Végeredmények, feladatok részletes megoldása

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Végeredmények, feladatok részletes megoldása"

Átírás

1 Végeredmények, feladatok részletes megoldása I. Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés). Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés). Binomiális együtthatók, Pascal háromszög. Gráfelméleti alapismeretek II. Hatvány, gyök, logaritmus Az egész kitevőjű hatvány és az n-edik gyök (Ismétlés) 7. A törtkitevőjű hatványok 7. Az irracionális kitevőjű hatvány, az exponenciális függvény 8. Exponenciális egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek 8. A logaritmus definíciója, a logaritmusfüggvény 9. A logaritmus azonosságai 0 7. Logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek 0 III. A trigonometria alkalmazásai A trigonometriáról tanultak ismétlése. Trigonometrikus egyenletek I.. Trigonometrikus egyenletek II.. Trigonometrikus egyenlőtlenségek (Kiegészítő tananyag). Skaláris szorzat. Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között 7 IV. Koordináta-geometria Vektorok a koordinátasíkon 8. Tájékozódás a koordináta-rendszerben 9. Helyvektorok 9. Az egyenes normálvektoros egyenlete. Az egyenes egyenlete más adatokból. Egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltétele, egyenesek metszéspontja 7. Egyenesekkel kapcsolatos vegyes feladatok 8. A kör egyenlete 9. A körök és egyenesek kölcsönös helyzete 0. A parabola (Kiegészítő anyag) V. Valószínűség-számítás, statisztika Események, műveletek események között. Klasszikus valószínűségi modell, visszatevéses mintavétel 7. A szóródás mutatói 8

2 Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés) a)! = 0 b)! = (Ha csak a megérkezés számít.)!!! = (Ha az is számít, hogy hányféle sorrendben lépte át az ajtót az öt ember.). a)! = ; b)!!! = 8. a)! = 0; b)! = 8. 0-ra végződő számok száma! = 0 -re végződő számok száma! = 9 Összesen:,, egymás mellett szerepel: 0-ra végződők száma!! = -re végződők száma! = Összesen: 0. kilencjegyű szám: -vel osztható: vizsgálni.) 9! = 70!!!! 7! 7! 7! 7! = 00 (A -gyel való oszthatóságot elég!!!!!!!!!! 8! 8! 8!. kilencjegyű szám: + + = 00 (Az első helyen, vagy állhat.)!!!!!!!!!!!! 7.!!!!!!!!!! -vel osztható: = 70!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! a) = 7 b) = 70 c) 7 70 = 9 d) 7 7 = 880 e) = f) = 000 (A szitaformula alkalmazása.) g) ( ) = 8. a) ; b) 777; c) 8 ; d) 8 7; e) 8; f) 7 0; g) a)! = b) 8 7 = c) 0 9 =

3 0. a) 8 = 08 8 b) 8 = c) = a) = 777 b) = 7 (Legalább egy dobás páros.) c) = 7 d) e) (Palindromszámok.) f) 9 = 97. Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés) 0 = a) = 0 ; b) = a) = ; b) 0 =. = a) = 7 ; b) = = ! =, 0 8! 8! 8! 8! ! = 7, 7 0! 8! 8! 8!

4 Kombinatorika, gráfok 9. a)! = 70 ; b) + +! = 0 0. a)!! = 70; b)!! = 0 a) =0 9; b) = 0 8; c) = 8. Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög = 9. 7 = 8 0. = 0. 8 =. a) x+ x x 0 x ( ) = x x 0 x = = x + x + 0x + 0x + x+ b) ( a ) = a a a ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) 0 a + a = = a 8a + a a + c) (a + b) = a b a b a b a b + 0 a b + a b + a b = a + a b + a b + 0a b + a b + ab + b d) (x ) = 0 0 x ( ) + x ( ) + x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) + + x 0 ( ) = x x + x 0x + x x +

5 . Gráfelméleti alapismeretek. ábra. ábra.. ábra. Igen, például.. ábra.. Nem, mert ha az egyik embernek négy ismerőse van, akkor az összes többi embert ismeri, így viszont nem lehet olyan, akinek egy ismerőse sincsen.. a) Nem, mert a fokszámok összege páratlan. b) Nem, mert 0 és fokszám nem lehet egyszerre. c) Nem, mert két -es és -ös és -es fokszámú csúcsok nem lehetnek egyszerre. d) Igen, például.. d) ábra. 0 9 =. = 7. a).7. a) ábra D E C.. d) ábra A.7. a) ábra b) = c) Még -t, ha Dénest és Elemért is megveri (egy eset).,-t, ha egyszer nyer és egyszer döntetlent játszik (két eset). -et, ha két döntetlent játszik, vagy egyszer nyer és egyszer veszít (három eset). 0, pontot, ha egyszer döntetlent játszik és egyszer veszít (két eset). 0 pontot, ha kétszer veszít (egy eset). B

6 Hatvány, gyök, logaritmus 8. a gráf: komplementer gráfja: 9. Igaz. 0. Hárman.

7 Az egész kitevőjű hatvány és az n-edik gyök (Ismétlés) a) ; b) ; c) ; d) ; e). a) az első a nagyobb (ennek értéke 0 9, míg a másodiké 0 - ) b) az első a nagyobb (ennek értéke 9, míg a másodiké ).. a) a b ; b) ab c; c) y 9 ; d) ; e) b a a) ; b) ; c) d) 0,; e) 0; f) ; g) 0. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) 8; j) a) = 9 > 8 = ; b) = < 7 = ; c) 8 = 7 =, < = 8 7. a) a 7 ; b) ; c) 8 ; d) 0 x 0. A törtkitevőjű hatványok a) ; b) 7; c) ; d) ; e) ; f) 8; g) ; h) 9 ; i) 000; 9 j) 0 ; k) 0,0; l) 9. a) ; b) 7 ; c) 7 ; d) ; e) ; f) ; g) 7 9. a) ; b) a) x ; b) y 7 ; c) ; d) 0 ; c) a 7. a) x 0 = ; b) x ; c) x ; d) b; e) + c ; f) d 9 ; g) d 7; h) a + 8 7

8 Hatvány, gyök, logaritmus. Az irracionális kitevőjű hatvány, az exponenciális függvény a) ; b) 7%-kal... ábra a) y h f i g O x b) y m j l O k x.. ábra a) Az f, g, h, i függvények grafikonja; b) A j, k, l, m függvények grafikonja. Exponenciális egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek. a) ; b) 7 0 ; c) 9 ; d) a) 7; b) 7 ; c) ; d). a) b) Az egyenletnek nincs megoldása az egész számok halmazán (sőt a valós számok halmazán sincs).. a) és ; b) ; c) és 8

9 .. a) x = és y = ; b) x = és y = ; c) Az egyenletrendszernek nincs megoldása a valós számpárok halmazán. a) x > ; b) x 7 ; c) x vagy x ; d) x <. A logaritmus definíciója, a logaritmusfüggvény a) ; b) ; c) ; d) nem racionális szám; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) ; l). a) ; b) 0,; c) ; d) ; e) ; f),0; g),0; h) ; i) ; j) 00; k) ; l) ; m) 8 = 9787 ; n) 8 = ; o) = 9. a) ] 7 ; [; b) ]- ;[; c) ] 8 ; [ \ {}; d) ; \ ; e) ]- ;[ ]; [; f) ; ; g) \ ; h) ];7[; i) ] 7 ;[; j) ] [ ; 7 ;.. ábra a) ] ; [ b) ]; [ c) ] ; [ d) ]; [ e) ] ; [ y c O d x e a b.. ábra 9

10 Hatvány, gyök, logaritmus. A logaritmus azonosságai a) ; b) ; c) ; d). a) 0; b) ; c) a; d) b. a) ; b) ; c) -; d) ; e) 0 7. Logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek.. a) ; b) 0 ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) a) ; b) ; c) és ; d) 0, és 0,00 a) ; b) ; c) 9; d) 9 és ; e) és. 7 a) x = 8 és y = 8; b) x = 0 és y = 0,; c) x = és y = ; d) x = és y =. a) < x < ; b) < x < ; c) < x < 9 ; d) < x < 0

11 A trigonometriáról tanultak ismétlése a) 88 cm 07,9 cm ; b) 9. a) 9, m ; b) 7,7. vagy vagy vagy 7. cm 7,8 cm; c) cm,9 cm; a) A cos π α -t sin a val (pótszögek szögfüggvényeire vonatkozó azonosság), cos (a + p) t (cos a)-val helyettesítve, sin a = cos a-t kapunk, ahonnan sin a + cos a = π b) A ctg α t tg α val tg α + = -t kapunk. Ezt cos a-val beszorozva cos α sin a + cos a = -t kapunk. π α c) = α cos α sin α tg tg tg α a tg π α α α = ctg π k, k alapján tgα = ctgα a tgα ctgα = azonosság szerint cos α sin α tg α π = /(cos α sin α)( tg α)( α k, k ) cos α sin α tg α tg α = cos α sin α cos α sin α tg α ( )( ) tg α = cos α sin α cos α + sin α + sin α sin α tg α tg α = cos α sin α tg α az = sin α + cos sin α tg α = sin α tg α sin α cos α sin α = sin α sin α sin α (cos α ) = sin α sin α = sin α α azonosság alapján sin α a tg α = alapján cos α

12 R α β a:b:c=rsinα:rsinβ:rsinγ nγ nγa trigonometria alkalmazásai a), b), c), d) ábrák a) x π π y O π p x π x b) y π O π p π p x 8. a) ábra Az f függvény grafikonja 8. b) ábra A g függvény grafikonja c) x π y x π d) x π y x 7 π p O p x π O π p x 8. c) ábra A h függvény grafikonja 8. d) ábra Az i függvény grafikonja. Trigonometrikus egyenletek I. a) π kπ + ( k ) 0 b) π π 7π π + kπ, + lπ, + mπ, + nπ ( k, l, m, n ); π rövidebben: π π π + k, + l ( k, l ) c) π π π π + kπ, + lπ ( k, l ) ; + k ( k ) d) π π + k ( k ). π l a) + kπ, π ( k, l )

13 b) π π π 7π + kπ, + lπ, + mπ, + nπ ( k, l, m, n ); rövidebben: π k + π ( k ) 8 c) π 7π π π + kπ, + lπ ( k, l ); rövidebben: + k ( k ) kπ d) x 0, 9 + ( k ). a) π 7π lπ + kπ, + ( k, l ) b) π π lπ + kπ, + ( k, l ) 8 π kπ c) + ( k ) 9 π kπ d) + ( k ). π a) kπ ( k ) π kπ π b) +, + lπ ( k, l ) π π lπ + kπ, + ( k, l ) d) 9 π kπ ( k ) 0. Trigonometrikus egyenletek II. a) π π 7π π + kπ, + lπ, + mπ, + nπ ( k, l, m, n ); r π π rövidebben: + kπ, + lπ ( k, l ) b) π + kπ ( k ) c) π π + k ( k )

14 R α β a:b:c=rsinα:rsinβ:rsinγ nγ nγa trigonometria alkalmazásai. a) π π π π + k, + lπ, + mπ ( k, l, m, ) b) x 0, 8 + kπ, x, lπ ( k, l ) π + kπ, x, 88 + lπ ( k, l ) d) x, 7 + kπ, x, 9 + lπ ( k, l ) a) megoldás: Szorzattá alakítjuk: (sin x cos x)(sin x cos x) = 0. megoldás: Osszuk el az egyenlet két oldalát cos x-szel, így tg x tg x + = 0 egyenletet kapjuk!. megoldás: Oldjuk meg az egyenletet sin x-re, s tekintsük a cos x-et paraméternek! Megoldás: π + kπ, x 0, 7 + lπ ( k, l ) b) megoldás: Szorozzuk be az egyenlet két oldalát -vel,így sin x+ cos x = -t kapunk. A baloldal π az addíciós tételek miatt sin x +, ahonnan x+ π = 7π + k x+ π = π π és + l π ( k, l ). π 9π Így x = + kπ és x = + lπ ( k, l ).. megoldás: Emeljük mindkét oldalt négyzetre! (Vigyázat ez nem ekvivalens átalakítás!) sin x+ sin x cos x+ cos x = + sin x cos x = sin x = 7π π Ahonnan: x = + kπ vagy x = + lπ ( k, l ). A [0; π] on belüli megoldásokat visszahelyettesítve, csak két eset marad x-re: π 9π x = + kπ és x = + lπ ( k, l ).. megoldás: Emeljük az egyenlet mindkét oldalát négyzetre, s szorozzunk be kettővel: sin x+ sin xcos x+ cos x = A jobb oldalt helyettesítsük sin x+ cos x-szel! Majd osszunk el mindkét oldalt cos x-szel! A kapott egyenlet tg x -re nézve másodfokú, amit a másodfokú egyenlet megoldóképletével oldhatunk meg.

15 . π a) k π, + lπ ( k, l ) b) Nincs valós megoldás.. Trigonometrikus egyenlőtlenségek (Kiegészítő, emelt szintű tananyag) π a) π π π π π π + + π + + k ; k l ; l ( k, l ) π b) + kπ; π + kπ ( k ) 7 c) π + π π k ; + kπ ( k ). a) k π π π ; + k ( k ) π kπ π kπ b) + ; + ( k ) 8 8 c) π + kπ; kπ ( k ) [ ] ) a) kππ ; + kπ ( k kπ π kπ b) ; + ( k ). π 7 a) π π π + k ; + kπ π \ + k ( k ) π b) + kπ; π + kπ ( k ) c) kππ ; + kπ ( k [ ] ) d) kπ kπ kπ π ] ; 0, + ], 07+ ; + kπ ( k )

16 R α β a:b:c=rsinα:rsinβ:rsinγ nγ nγa trigonometria alkalmazásai. Skaláris szorzat a) 0; b) ; c) ; d). a) 0 ; b) 90 ; c) 8,. A legnagyobb szög (két tizedes jegyre kerekítve):, A legkisebb szög (két tizedes jegyre kerekítve):,98. a) cos 7 = cos (0 + ) = cos 0 cos - sin 0 sin = = b) sin 7 = sin (0 + ) = sin 0 cos + cos 0 sin = + = c) tg 7 = sin 7 cos 7 d) ctg 7 = = + = tg7 = = + ( ) 8 ( ) = + = = ( ) + + ( )( ) =. a) cos α = cos ( α + α) = cosα cosα sinα sinα = cos α sin α b) sin α = sin ( α + α) = sinα cosα + cosα sinα = sinα cosα sinα cosβ cosα sin β c) tg (a + b) = sin( α β ) + + sinα cos β + cosα sin β cosα cos β cosα cos β = = = cos( α + β) cosα cos β sinα sin β cosα cos β sinα sin β tgα + tgβ cosα cos β cosα cos β = tgα tgβ sinα cosβ cosα sin β d) tg (a b) = sin( α β ) sinα cos β cosα sin β cosα cos β cosα cos β = = = cos( α β) cosα cos β + sinα sin β cosα cos β sinα sin β + cosα cos β cosα cos β tgα tgβ + tgα tgβ tgα + tgα tgα e) tg α = tg ( α + α) = = tgα tgα tg α + Az itt bizonyított azonosságok csak abban az esetben érvényesek, ha a bennük szereplő szögfüggvények értelmezve vannak.

17 . Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között a) hegyesszögű b) tompaszögű c) hegyesszögű d) Nem létezik ilyen háromszög.. A trapéz szögei (két tizedes jegyre kerekítve):,, 7,7,,87, 0,. A trapéz területe: 9 cm. a, cm, b, cm, c = cm, a 7,, b 8,8, g,7. T cm.. Két ilyen paralelogramma létezik. Az elsőben a hiányzó oldal hossza, és területe:,8 cm és,0 cm. A másikban, cm és 8,7 cm..a hiányzó oldalak hossza: 9, dm és 0, dm. A háromszög szögei: 7,8,,98, 0,..A háromszög oldalai:, 0 és 8 egység. A háromszög szögei: 8,,,79, 0. 7

18 Koordináta-geometria Vektorok a koordinátasíkon a) a( ; ), b( 8 ; ), c( ; ), d( ; ) b) a+ b( ; ), a+ c+ d( ; ), c a( 88 ; ), a b + c( 8; 0), a+ b + c + d(;) 9 c( ; ), a+ c d( ; 8), a+ b + c( 0; 0) c) c) ábra AB ;, DB ;, BC 0;, CB 0; ( ) ( ) ( ) ( ) 0; y ; B C (0;) O D ; x A c) ábra. A ( ;8), B ( 8; ), C(; 8), D(8;) A négyzet területe: területegység, kerülete: egység.. A( ; ), B(; ), C(0; 8), D(7;) A négyzet kerülete: 0 egység, területe: 90 t.e.. Négy ilyen téglalap van. Első esetben (AB a rövidebbik oldal) a két hiányzó csúcs: C(;), D(;9). Második esetben (AB a rövidebbik oldal) a két hiányzó csúcs: C( ; ), D( ; 7).. Harmadik esetben (AB a hosszabbik oldal) a két hiányzó csúcs: C(8; ), D(; 9 ). Negyedik esetben (AB a hosszabbik oldal) a két hiányzó csúcs: C(; ), D(; ). Az első és a második esetben a kerület 0 egység, a terület 0 t.e. A harmadik és negyedik esetben a kerület egység, a terület, t.e. a) Kerülete , egység, területe, t.e. (Héron-képlettel számolva:,8). b) Kerülete , egység, területe 7 t.e. (Héron-képlettel számolva:,8). 8

19 . Tájékozódás a koordináta-rendszerben Az a és c vektorok párhuzamosak.. Az a és c illetve a b és f vektorok párhuzamosak. Az a és c -re merőleges a b és az f vektor. A d merôleges az e vektorra.. Az ábrával ellentétben nem egy háromszöget, hanem egy konkáv négyszöget látunk. megoldás: A nagy háromszög rövidebbik befogójával szemközti csúcspontját origónak választva az átfogó két végpontjának (jelöljük A-val és B-vel) és a közbülső pontnak (jelöljük D-vel) a koordinátái: A(0, 0), D(8; ), B( ; ). Így AD ( 8 ; ), DB ( ; ). A két vektor nem egyállású, tehát a három pont nem egy egyenesre illeszkedik.. megoldás: A narancssárga derékszögű háromszög rövidebb befogójával szemközti szögének tangense 8. A lila derékszögű háromszög rövidebb befogójával szemközti szögének tangense. Így a két szög nem egyezhet meg.. a) P a ( 7;); b) P b (7; ); c) P c (7;); d) P d (7;); e) Pe ( ; 7) és P e ( ; 7); f) P f ( ; 7); g) P g (; ); h) P h (; )... ábra a) ( ;); b) (;8); c) ( 7 ; 7 ). a) (;), ( ;), ( ; ), (; ) b) (;), ( ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ;, ;, ;, ; d) (;), ( ; ) e) Az y = x egyenes origótól különböző pontjai. f) 7. (;) ;, ;, ;, ; 7 7 ;.. ábra ; B y A O 8 ; C x. Helyvektorok d = a+ c b k = a+ c 9

20 Koordináta-geometria. a) c = a, d = b b) kab = a+ b kbc = b a kcd = a b kad = a b c) b d) a b. Az ABC háromszög súlypontja: (; ). Az oldalfelező pontok: FAB 7 9 ;, F AC ;, FBC ; A felezőpontok által alkotott háromszög súlypontja szintén: (;). A két súlypont megegyezik.. P, 0 ;. B (; 9) 8. A két súlypont megegyezik: ( ;) 7.Bármely ABCDEF hatszög AB, CD, EF oldalainak felezőpontjai által alkotott háromszög súlypontja megegyezik a másik három oldal felezőpontjai által alkotott háromszög súlypontjával. Legyen a hatszög hat csúcsa: A(x( ; y ), B(x( ; y ), C(x( ; y ), D(x( ; y ), E(x( ; y ), F( ( x ; y ). Ekkor az oldalak felezőpontjai: x+ x y+ y FAB ; x + x y + y FBC ; x + x y + y FCD ; x + x y + y FDE ; x + x y + y FEF ; x + x y + y FFA ; 0

21 Az F AB F F CD EF háromszög súlypontja: x+ x x + x x + x y+ y y + y y + y ;, azaz x+ x + x + x + x + x y+ y + y + y + y + y ; Az F BC FDE F FA háromszög súlypontja: x + x x + x x + x y + y y + y y + y ;, azaz x+ x + x + x + x + x y+ y + y + y + y + y ;. Az egyenes normálvektoros egyenlete Az egyenesre illeszkednek a következő pontok: A, D, E. a) x + y = b) x y = 7 c) x + y = 9... ábra a) Az egyenes egy normálvektora: n (;). 9 Az egyenes pontjai közül három: 0;, ;, (; ). x y y x y b) Az egyenes egy normálvektora: n (; ). Az egyenes pontjai közül három: 0 ;, ( ; ), ; c) Az egyenes egy normálvektora: n (;). Az egyenes pontjai közül három: (0; ), (; ), (; 7).. Ha az A-n megy át: x + y =. Ha a B-n megy át: x + y =.. x +y = a) y = ; n (;). 0 b) x = ; n (; 0). n(;); x+ y = 0.. ábra O x x y

22 Koordináta-geometria. Az egyenes egyenlete más adatokból a) x+ 8y = ; n( ; 8) b) 7x+ y = 0; n( 7; ) c) x+ y = ; n( ; ). a) tgα = ; α 0, 9 ; v ( ; ) b) tgα = ; α, 9 ; v ( 9; ) 9 tgα = ; α 7, 7 ; v ( ; ) tgα = ; α, ; v ( ; ). a) 8, ; b) 0 ; c) 79,7 ; d),87 ; e), ; f), ; g),7 a) x + y = ; b) x + y = ; c) y = 7; d) x + y = ; e) x + y = ; f) x + y = 0. a) (0;) és (7;0) b) (0;8) és (;0) Az x y + = (a, b 0) egyenletű egyenes a koordináta tengelyeket a (0;b) és az (a;0) pontokban a b metszi. A kimetszett háromszög területe: a b, így az a) pontban keletkezett háromszög területe t.e., a b) pontban keletkezett háromszög területe t.e.. Egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltétele, egyenesek metszéspontja A b párhuzamos a d-vel és merőlegesek az a-ra. A c párhuzamos az e-vel, és merőlegesek az f-re.. A párhuzamos: x + y = 0, a merőleges: x +y = 0.

23 . x+ y = 8 + a) x+ y = 8 b) x+ y = 8. a) ( ;); b) (7;); c, (; 8); 9 d) ; 7 7. A(; ), B( ;), C(;) A háromszög nem derékszögű. K = = 7 + +, egység T = t.e.. x 8y = 9 7. Egyenesekkel kapcsolatos vegyes feladatok. a) M(; ); b) M(; 9) 7 0 a) O r b) O ;, = ; ;, r = 0 Az adott egyenes és az AB felezőmerőlegesének metszéspontja, vagyis a (7; ) pont.. 0,,. Két ilyen háromszög létezik. Az első csúcspontjai: ( ; ), ( 9; ) és ( ; ). A második csúcspontjai: ( ; ), ( 9; ), ( ; 9). A kerület és a terület a két esetben megegyezik. K = 0 + egység, T =, t.e.. 9, 9 7. A négy csúcspont: A( ; 0), B(; ), C(; ), D(; ) Kerülete: , 7 egység Területe: 8 t.e.

24 Koordináta-geometria 8. A kör egyenlete a) (x ) + (y 7) = 9 az x tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: ( ;7), (;7) az y tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: (;0), (;) egy belső pontja: (;8) egy külső pontja: ( 0; 0) b) (x + ) + (y ) = az x tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: ( ;), ( ;) az y tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: ( ;), ( ; ) egy belső pontja: ( ;) egy külső pontja: ( 0; 0) c) x + (y + ) = 00 az x tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: (0; ), ( 0; ) az y tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: (0;), (0; ) egy belső pontja: (0; ) egy külső pontja: (0; 0). a) Körnek az egyenlete. A kör középpontja: (; 9), sugara: b) Körnek az egyenlete. A kör középpontja: ( 0;0), sugara: 8. c) Körnek az egyenlete. A kör középpontja: ( ;7), sugara:. d) Körnek az egyenlete. A kör középpontja: (8;8), sugara: e) Nem körnek az egyenlete.. a) (x + ) + (y ) = b) (x 9) + y = c) (x ) + (y ) = d) Két ilyen kör is van: (x ) + (y ) =, illetve (x + ) + (y ) = e) Két ilyen kör is van: (x ) + (y ) = és (x 9) + (y 9) = 8. a) x+ y + ( ) = b) (x ) + (y ) = c) x+ y + = d) (x ) + (y ) = 0. Ha x = 0, akkor a levágott húr hossza: 7. Ha x =, akkor a levágott húr hossza:. Ha x = 9, akkor a levágott húr hossza:. Ha x =, akkor a levágott húr hossza:. Ha x =, akkor a levágott húr hossza: 0. Ha x =, akkor nincs levágott húr. 7

25 9. A körök és egyenesek kölcsönös helyzete a) (;0) és ( ;) b) (;) és (; ). A körvonal és az adott egyenesre merőleges, a kör középpontján áthaladó egyenes metszéspontjai közül az egyik pont: (;). x y = és x y =. a) (x 9) + (y ) = 8 b) (x 9) + (y ) = 9 c) ( x 9) + ( y ) = 7. Metszéspontok: ( ;) és (;). A közös húron átmenő egyenes egyenlete: x y = 7.. x +y = és x +y = 7 7. A két érintő egyenlete: x + y = és x + 7y = 7. A két érintő által bezárt szög:,. 0. A parabola (Kiegészítő, emelt szintű tananyag) p = A vezéregyenes egyenlete: y = 0 y = ( x+ ). A húr hossza:

26 Valószínûség-számítás, statisztika Események, műveletek események között a) A = {FFF, FFI, FIF, IFF} A : Egy érmét egymás után háromszor feldobunk, és a dobások között legfeljebb egy fej lesz. A= {FII, IFI, IIF, III}. b) B = {,, } B : A szabályos dobókockával -et vagy összetett számot dobunk. B ={,, } c) C = {,,, } C : Az,, számok véletlen sorrendje esetén az és a nem kerülnek egymás mellé. C = {, } d) D ={, } D : Egy szabályos dobókockával legalább -ast dobunk. D = {,,, } e) E = {} E : Egy szabályos dobókockával nem köbszámot dobunk. E ={,,,, } a) A + B = {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, } b) A B = {,,,,, } c) A B = {,,,,, } d) A = {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, } e) A + B ={,,,,,,,,,,, } f) A B ={,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, }.Jelöljük a lapokat a következőképpen: M (makk), Z (zöld), T (tök), P (piros) VII, VIII, IX, X, A (alsó), F (felső), K (király), Á (ász) a) piros vagy zöld figurát húzunk: {PA, PF, PK, PÁ, ZA, ZF, ZK, ZÁ} b) pirosat, vagy zöld figurát: {PVII, PVIII, PIX, PX, PA, PF, PK, PÁ, ZA, ZF, ZK, ZÁ} c) figurát húzunk: {MA, MF, MK, MÁ, ZA, ZF, ZK, ZÁ, TA, TF, TK, TÁ, PA, PF, PK, PÁ} d) piros figurát húzunk: {PA, PF, PK, PÁ} e) lehetetlen esemény f) makk vagy tök figurát húzunk: {MA, MF, MK, MÁ, TA, TF, TK, TÁ} g) figurát húzunk: {MA, MF, MK, MÁ, ZA, ZF, ZK, ZÁ, TA, TF, TK, TÁ, PA, PF, PK, PÁ}

27 . Klasszikus valószínűségi modell, visszatevéses mintavétel a) ; b) ; c) ; d)! = e) 9 ; f) 0, 98.. a) 8 0, 0; b) 0, 0008; c) 8 8 0, 0; d) 8 0, 008; e) 0, 9.. a) 0, ; b) 0, ; c). a) d) 0, 98 ; b) + 0, 79. A 7-esnek nagyobb a valószínűsége. 7. 0, 98 ; c) 0, 00 0, 88; a) b) = 0, 7 7

28 Valószínûség-számítás, statisztika c) 0 0 = 0, 890. A szóródás mutatói Első:,,,,,, Terjedelme: 0 Átlagos abszolút eltérése: 0 Szórása: 0 Relatív szórása: 0 Második:,,,,,, 8 Terjedelme:. Átlagos abszolút eltérése: 7 Szórásnégyzete: Szórása: 07, 7 Relatív szórása: 0,78 a) Az átlag, a módusz és a medián -tal nő. A terjedelem, az átlagos abszolút eltérés és a szórás nem változik. b) Az átlag, a módusz, a medián, a terjedelem, az átlagos abszolút eltérés és a szórás 8-szorosára változik.... ábra lányok Módusz Medián Átlag Terjedelem Szórásnégyzet 8 9 Fiúk 7 Szórás 0,98 0,88 Átlagos abszolút eltérés 7 8

29 Tanulók száma Statisztika Osztályzat.. ábra oszlopdiagram lányok fiúk 9

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Matematika 11. évfolyam

Matematika 11. évfolyam Matematika 11. évfolyam Tanmenet Másodfokúra visszavezethető magasabb rendű egyenletek, másodfokú egyenletrendszerek 1. Másodfokú egyenletek (ismétlés) 2. Másodfokú egyenletrendszerek (behelyettesítő módszer)

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

NT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17302 Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 11. tankönyv a Heuréka-sorozat harmadik tagja. Ebben a segédanyagban ehhez a könyvhöz a tizenegyedikes tananyag

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

MATEMATIKA. Szakközépiskola

MATEMATIKA. Szakközépiskola MATEMATIKA Szakközépiskola Az osztályozóvizsga írásbeli feladatlap. Az osztályozó vizsgán az osztályzás a munkaközösség által elfogadott egységes követelményrendszer alapján történik. A tanuló az osztályozó

Részletesebben

Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam

Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból Minden évfolyamra vonatkozóan általános irányelv, hogy a matematikai ismeretek alkalmazásán (feladatok, problémák megoldása) van a hangsúly,

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

NT-17312 Az érthető matematika 11. Tanmenetjavaslat

NT-17312 Az érthető matematika 11. Tanmenetjavaslat NT-17312 Az érthető matematika 11. Tanmenetjavaslat Idézet a 3.2.04. kerettantervből (11 12. évfolyam, bevezetés): Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Matematikából a tanulónak írásbeli és szóbeli osztályozó vizsgán kell részt vennie. Az írásbeli vizsga időtartama 60 perc, a szóbelié 20 perc.

Részletesebben

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1 TARTALOM 11.osztály (222 óra)... 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra)... 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra)... 3 3. Függvények,

Részletesebben

Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika

Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika Témakörök az osztályozó vizsgához Idegenforgalmi és Informatikus osztályok (9.A/9.B) 1. A halmazok, számhalmazok, ponthalmazok 2. Függvények 3. A számelmélet elemei. Hatványozás. 0 és negatív kitevőjű

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél.

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél. Matematika A vizsga leírása: írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. A matematika írásbeli vizsga egy 45 perces feladatlap írásbeli megoldásából áll. Az írásbeli feladatlap tartalmi jellemzői az alábbiak:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I. 1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember. Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható nálható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői XI.5. LÉGY TE A TANÁR! Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebrai, geometriai, kombinatorikai és valószínűségszámítási tipikus gondolkodási hibák, buktatók. Előzmények Mérlegelv, másodfokú egyenletek

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben