Végeredmények, feladatok részletes megoldása

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Végeredmények, feladatok részletes megoldása"

Átírás

1 Végeredmények, feladatok részletes megoldása I. Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés). Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés). Binomiális együtthatók, Pascal háromszög. Gráfelméleti alapismeretek II. Hatvány, gyök, logaritmus Az egész kitevőjű hatvány és az n-edik gyök (Ismétlés) 7. A törtkitevőjű hatványok 7. Az irracionális kitevőjű hatvány, az exponenciális függvény 8. Exponenciális egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek 8. A logaritmus definíciója, a logaritmusfüggvény 9. A logaritmus azonosságai 0 7. Logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek 0 III. A trigonometria alkalmazásai A trigonometriáról tanultak ismétlése. Trigonometrikus egyenletek I.. Trigonometrikus egyenletek II.. Trigonometrikus egyenlőtlenségek (Kiegészítő tananyag). Skaláris szorzat. Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között 7 IV. Koordináta-geometria Vektorok a koordinátasíkon 8. Tájékozódás a koordináta-rendszerben 9. Helyvektorok 9. Az egyenes normálvektoros egyenlete. Az egyenes egyenlete más adatokból. Egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltétele, egyenesek metszéspontja 7. Egyenesekkel kapcsolatos vegyes feladatok 8. A kör egyenlete 9. A körök és egyenesek kölcsönös helyzete 0. A parabola (Kiegészítő anyag) V. Valószínűség-számítás, statisztika Események, műveletek események között. Klasszikus valószínűségi modell, visszatevéses mintavétel 7. A szóródás mutatói 8

2 Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés) a)! = 0 b)! = (Ha csak a megérkezés számít.)!!! = (Ha az is számít, hogy hányféle sorrendben lépte át az ajtót az öt ember.). a)! = ; b)!!! = 8. a)! = 0; b)! = 8. 0-ra végződő számok száma! = 0 -re végződő számok száma! = 9 Összesen:,, egymás mellett szerepel: 0-ra végződők száma!! = -re végződők száma! = Összesen: 0. kilencjegyű szám: -vel osztható: vizsgálni.) 9! = 70!!!! 7! 7! 7! 7! = 00 (A -gyel való oszthatóságot elég!!!!!!!!!! 8! 8! 8!. kilencjegyű szám: + + = 00 (Az első helyen, vagy állhat.)!!!!!!!!!!!! 7.!!!!!!!!!! -vel osztható: = 70!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! a) = 7 b) = 70 c) 7 70 = 9 d) 7 7 = 880 e) = f) = 000 (A szitaformula alkalmazása.) g) ( ) = 8. a) ; b) 777; c) 8 ; d) 8 7; e) 8; f) 7 0; g) a)! = b) 8 7 = c) 0 9 =

3 0. a) 8 = 08 8 b) 8 = c) = a) = 777 b) = 7 (Legalább egy dobás páros.) c) = 7 d) e) (Palindromszámok.) f) 9 = 97. Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés) 0 = a) = 0 ; b) = a) = ; b) 0 =. = a) = 7 ; b) = = ! =, 0 8! 8! 8! 8! ! = 7, 7 0! 8! 8! 8!

4 Kombinatorika, gráfok 9. a)! = 70 ; b) + +! = 0 0. a)!! = 70; b)!! = 0 a) =0 9; b) = 0 8; c) = 8. Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög = 9. 7 = 8 0. = 0. 8 =. a) x+ x x 0 x ( ) = x x 0 x = = x + x + 0x + 0x + x+ b) ( a ) = a a a ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) 0 a + a = = a 8a + a a + c) (a + b) = a b a b a b a b + 0 a b + a b + a b = a + a b + a b + 0a b + a b + ab + b d) (x ) = 0 0 x ( ) + x ( ) + x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) + + x 0 ( ) = x x + x 0x + x x +

5 . Gráfelméleti alapismeretek. ábra. ábra.. ábra. Igen, például.. ábra.. Nem, mert ha az egyik embernek négy ismerőse van, akkor az összes többi embert ismeri, így viszont nem lehet olyan, akinek egy ismerőse sincsen.. a) Nem, mert a fokszámok összege páratlan. b) Nem, mert 0 és fokszám nem lehet egyszerre. c) Nem, mert két -es és -ös és -es fokszámú csúcsok nem lehetnek egyszerre. d) Igen, például.. d) ábra. 0 9 =. = 7. a).7. a) ábra D E C.. d) ábra A.7. a) ábra b) = c) Még -t, ha Dénest és Elemért is megveri (egy eset).,-t, ha egyszer nyer és egyszer döntetlent játszik (két eset). -et, ha két döntetlent játszik, vagy egyszer nyer és egyszer veszít (három eset). 0, pontot, ha egyszer döntetlent játszik és egyszer veszít (két eset). 0 pontot, ha kétszer veszít (egy eset). B

6 Hatvány, gyök, logaritmus 8. a gráf: komplementer gráfja: 9. Igaz. 0. Hárman.

7 Az egész kitevőjű hatvány és az n-edik gyök (Ismétlés) a) ; b) ; c) ; d) ; e). a) az első a nagyobb (ennek értéke 0 9, míg a másodiké 0 - ) b) az első a nagyobb (ennek értéke 9, míg a másodiké ).. a) a b ; b) ab c; c) y 9 ; d) ; e) b a a) ; b) ; c) d) 0,; e) 0; f) ; g) 0. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) 8; j) a) = 9 > 8 = ; b) = < 7 = ; c) 8 = 7 =, < = 8 7. a) a 7 ; b) ; c) 8 ; d) 0 x 0. A törtkitevőjű hatványok a) ; b) 7; c) ; d) ; e) ; f) 8; g) ; h) 9 ; i) 000; 9 j) 0 ; k) 0,0; l) 9. a) ; b) 7 ; c) 7 ; d) ; e) ; f) ; g) 7 9. a) ; b) a) x ; b) y 7 ; c) ; d) 0 ; c) a 7. a) x 0 = ; b) x ; c) x ; d) b; e) + c ; f) d 9 ; g) d 7; h) a + 8 7

8 Hatvány, gyök, logaritmus. Az irracionális kitevőjű hatvány, az exponenciális függvény a) ; b) 7%-kal... ábra a) y h f i g O x b) y m j l O k x.. ábra a) Az f, g, h, i függvények grafikonja; b) A j, k, l, m függvények grafikonja. Exponenciális egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek. a) ; b) 7 0 ; c) 9 ; d) a) 7; b) 7 ; c) ; d). a) b) Az egyenletnek nincs megoldása az egész számok halmazán (sőt a valós számok halmazán sincs).. a) és ; b) ; c) és 8

9 .. a) x = és y = ; b) x = és y = ; c) Az egyenletrendszernek nincs megoldása a valós számpárok halmazán. a) x > ; b) x 7 ; c) x vagy x ; d) x <. A logaritmus definíciója, a logaritmusfüggvény a) ; b) ; c) ; d) nem racionális szám; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) ; l). a) ; b) 0,; c) ; d) ; e) ; f),0; g),0; h) ; i) ; j) 00; k) ; l) ; m) 8 = 9787 ; n) 8 = ; o) = 9. a) ] 7 ; [; b) ]- ;[; c) ] 8 ; [ \ {}; d) ; \ ; e) ]- ;[ ]; [; f) ; ; g) \ ; h) ];7[; i) ] 7 ;[; j) ] [ ; 7 ;.. ábra a) ] ; [ b) ]; [ c) ] ; [ d) ]; [ e) ] ; [ y c O d x e a b.. ábra 9

10 Hatvány, gyök, logaritmus. A logaritmus azonosságai a) ; b) ; c) ; d). a) 0; b) ; c) a; d) b. a) ; b) ; c) -; d) ; e) 0 7. Logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek.. a) ; b) 0 ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) a) ; b) ; c) és ; d) 0, és 0,00 a) ; b) ; c) 9; d) 9 és ; e) és. 7 a) x = 8 és y = 8; b) x = 0 és y = 0,; c) x = és y = ; d) x = és y =. a) < x < ; b) < x < ; c) < x < 9 ; d) < x < 0

11 A trigonometriáról tanultak ismétlése a) 88 cm 07,9 cm ; b) 9. a) 9, m ; b) 7,7. vagy vagy vagy 7. cm 7,8 cm; c) cm,9 cm; a) A cos π α -t sin a val (pótszögek szögfüggvényeire vonatkozó azonosság), cos (a + p) t (cos a)-val helyettesítve, sin a = cos a-t kapunk, ahonnan sin a + cos a = π b) A ctg α t tg α val tg α + = -t kapunk. Ezt cos a-val beszorozva cos α sin a + cos a = -t kapunk. π α c) = α cos α sin α tg tg tg α a tg π α α α = ctg π k, k alapján tgα = ctgα a tgα ctgα = azonosság szerint cos α sin α tg α π = /(cos α sin α)( tg α)( α k, k ) cos α sin α tg α tg α = cos α sin α cos α sin α tg α ( )( ) tg α = cos α sin α cos α + sin α + sin α sin α tg α tg α = cos α sin α tg α az = sin α + cos sin α tg α = sin α tg α sin α cos α sin α = sin α sin α sin α (cos α ) = sin α sin α = sin α α azonosság alapján sin α a tg α = alapján cos α

12 R α β a:b:c=rsinα:rsinβ:rsinγ nγ nγa trigonometria alkalmazásai a), b), c), d) ábrák a) x π π y O π p x π x b) y π O π p π p x 8. a) ábra Az f függvény grafikonja 8. b) ábra A g függvény grafikonja c) x π y x π d) x π y x 7 π p O p x π O π p x 8. c) ábra A h függvény grafikonja 8. d) ábra Az i függvény grafikonja. Trigonometrikus egyenletek I. a) π kπ + ( k ) 0 b) π π 7π π + kπ, + lπ, + mπ, + nπ ( k, l, m, n ); π rövidebben: π π π + k, + l ( k, l ) c) π π π π + kπ, + lπ ( k, l ) ; + k ( k ) d) π π + k ( k ). π l a) + kπ, π ( k, l )

13 b) π π π 7π + kπ, + lπ, + mπ, + nπ ( k, l, m, n ); rövidebben: π k + π ( k ) 8 c) π 7π π π + kπ, + lπ ( k, l ); rövidebben: + k ( k ) kπ d) x 0, 9 + ( k ). a) π 7π lπ + kπ, + ( k, l ) b) π π lπ + kπ, + ( k, l ) 8 π kπ c) + ( k ) 9 π kπ d) + ( k ). π a) kπ ( k ) π kπ π b) +, + lπ ( k, l ) π π lπ + kπ, + ( k, l ) d) 9 π kπ ( k ) 0. Trigonometrikus egyenletek II. a) π π 7π π + kπ, + lπ, + mπ, + nπ ( k, l, m, n ); r π π rövidebben: + kπ, + lπ ( k, l ) b) π + kπ ( k ) c) π π + k ( k )

14 R α β a:b:c=rsinα:rsinβ:rsinγ nγ nγa trigonometria alkalmazásai. a) π π π π + k, + lπ, + mπ ( k, l, m, ) b) x 0, 8 + kπ, x, lπ ( k, l ) π + kπ, x, 88 + lπ ( k, l ) d) x, 7 + kπ, x, 9 + lπ ( k, l ) a) megoldás: Szorzattá alakítjuk: (sin x cos x)(sin x cos x) = 0. megoldás: Osszuk el az egyenlet két oldalát cos x-szel, így tg x tg x + = 0 egyenletet kapjuk!. megoldás: Oldjuk meg az egyenletet sin x-re, s tekintsük a cos x-et paraméternek! Megoldás: π + kπ, x 0, 7 + lπ ( k, l ) b) megoldás: Szorozzuk be az egyenlet két oldalát -vel,így sin x+ cos x = -t kapunk. A baloldal π az addíciós tételek miatt sin x +, ahonnan x+ π = 7π + k x+ π = π π és + l π ( k, l ). π 9π Így x = + kπ és x = + lπ ( k, l ).. megoldás: Emeljük mindkét oldalt négyzetre! (Vigyázat ez nem ekvivalens átalakítás!) sin x+ sin x cos x+ cos x = + sin x cos x = sin x = 7π π Ahonnan: x = + kπ vagy x = + lπ ( k, l ). A [0; π] on belüli megoldásokat visszahelyettesítve, csak két eset marad x-re: π 9π x = + kπ és x = + lπ ( k, l ).. megoldás: Emeljük az egyenlet mindkét oldalát négyzetre, s szorozzunk be kettővel: sin x+ sin xcos x+ cos x = A jobb oldalt helyettesítsük sin x+ cos x-szel! Majd osszunk el mindkét oldalt cos x-szel! A kapott egyenlet tg x -re nézve másodfokú, amit a másodfokú egyenlet megoldóképletével oldhatunk meg.

15 . π a) k π, + lπ ( k, l ) b) Nincs valós megoldás.. Trigonometrikus egyenlőtlenségek (Kiegészítő, emelt szintű tananyag) π a) π π π π π π + + π + + k ; k l ; l ( k, l ) π b) + kπ; π + kπ ( k ) 7 c) π + π π k ; + kπ ( k ). a) k π π π ; + k ( k ) π kπ π kπ b) + ; + ( k ) 8 8 c) π + kπ; kπ ( k ) [ ] ) a) kππ ; + kπ ( k kπ π kπ b) ; + ( k ). π 7 a) π π π + k ; + kπ π \ + k ( k ) π b) + kπ; π + kπ ( k ) c) kππ ; + kπ ( k [ ] ) d) kπ kπ kπ π ] ; 0, + ], 07+ ; + kπ ( k )

16 R α β a:b:c=rsinα:rsinβ:rsinγ nγ nγa trigonometria alkalmazásai. Skaláris szorzat a) 0; b) ; c) ; d). a) 0 ; b) 90 ; c) 8,. A legnagyobb szög (két tizedes jegyre kerekítve):, A legkisebb szög (két tizedes jegyre kerekítve):,98. a) cos 7 = cos (0 + ) = cos 0 cos - sin 0 sin = = b) sin 7 = sin (0 + ) = sin 0 cos + cos 0 sin = + = c) tg 7 = sin 7 cos 7 d) ctg 7 = = + = tg7 = = + ( ) 8 ( ) = + = = ( ) + + ( )( ) =. a) cos α = cos ( α + α) = cosα cosα sinα sinα = cos α sin α b) sin α = sin ( α + α) = sinα cosα + cosα sinα = sinα cosα sinα cosβ cosα sin β c) tg (a + b) = sin( α β ) + + sinα cos β + cosα sin β cosα cos β cosα cos β = = = cos( α + β) cosα cos β sinα sin β cosα cos β sinα sin β tgα + tgβ cosα cos β cosα cos β = tgα tgβ sinα cosβ cosα sin β d) tg (a b) = sin( α β ) sinα cos β cosα sin β cosα cos β cosα cos β = = = cos( α β) cosα cos β + sinα sin β cosα cos β sinα sin β + cosα cos β cosα cos β tgα tgβ + tgα tgβ tgα + tgα tgα e) tg α = tg ( α + α) = = tgα tgα tg α + Az itt bizonyított azonosságok csak abban az esetben érvényesek, ha a bennük szereplő szögfüggvények értelmezve vannak.

17 . Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között a) hegyesszögű b) tompaszögű c) hegyesszögű d) Nem létezik ilyen háromszög.. A trapéz szögei (két tizedes jegyre kerekítve):,, 7,7,,87, 0,. A trapéz területe: 9 cm. a, cm, b, cm, c = cm, a 7,, b 8,8, g,7. T cm.. Két ilyen paralelogramma létezik. Az elsőben a hiányzó oldal hossza, és területe:,8 cm és,0 cm. A másikban, cm és 8,7 cm..a hiányzó oldalak hossza: 9, dm és 0, dm. A háromszög szögei: 7,8,,98, 0,..A háromszög oldalai:, 0 és 8 egység. A háromszög szögei: 8,,,79, 0. 7

18 Koordináta-geometria Vektorok a koordinátasíkon a) a( ; ), b( 8 ; ), c( ; ), d( ; ) b) a+ b( ; ), a+ c+ d( ; ), c a( 88 ; ), a b + c( 8; 0), a+ b + c + d(;) 9 c( ; ), a+ c d( ; 8), a+ b + c( 0; 0) c) c) ábra AB ;, DB ;, BC 0;, CB 0; ( ) ( ) ( ) ( ) 0; y ; B C (0;) O D ; x A c) ábra. A ( ;8), B ( 8; ), C(; 8), D(8;) A négyzet területe: területegység, kerülete: egység.. A( ; ), B(; ), C(0; 8), D(7;) A négyzet kerülete: 0 egység, területe: 90 t.e.. Négy ilyen téglalap van. Első esetben (AB a rövidebbik oldal) a két hiányzó csúcs: C(;), D(;9). Második esetben (AB a rövidebbik oldal) a két hiányzó csúcs: C( ; ), D( ; 7).. Harmadik esetben (AB a hosszabbik oldal) a két hiányzó csúcs: C(8; ), D(; 9 ). Negyedik esetben (AB a hosszabbik oldal) a két hiányzó csúcs: C(; ), D(; ). Az első és a második esetben a kerület 0 egység, a terület 0 t.e. A harmadik és negyedik esetben a kerület egység, a terület, t.e. a) Kerülete , egység, területe, t.e. (Héron-képlettel számolva:,8). b) Kerülete , egység, területe 7 t.e. (Héron-képlettel számolva:,8). 8

19 . Tájékozódás a koordináta-rendszerben Az a és c vektorok párhuzamosak.. Az a és c illetve a b és f vektorok párhuzamosak. Az a és c -re merőleges a b és az f vektor. A d merôleges az e vektorra.. Az ábrával ellentétben nem egy háromszöget, hanem egy konkáv négyszöget látunk. megoldás: A nagy háromszög rövidebbik befogójával szemközti csúcspontját origónak választva az átfogó két végpontjának (jelöljük A-val és B-vel) és a közbülső pontnak (jelöljük D-vel) a koordinátái: A(0, 0), D(8; ), B( ; ). Így AD ( 8 ; ), DB ( ; ). A két vektor nem egyállású, tehát a három pont nem egy egyenesre illeszkedik.. megoldás: A narancssárga derékszögű háromszög rövidebb befogójával szemközti szögének tangense 8. A lila derékszögű háromszög rövidebb befogójával szemközti szögének tangense. Így a két szög nem egyezhet meg.. a) P a ( 7;); b) P b (7; ); c) P c (7;); d) P d (7;); e) Pe ( ; 7) és P e ( ; 7); f) P f ( ; 7); g) P g (; ); h) P h (; )... ábra a) ( ;); b) (;8); c) ( 7 ; 7 ). a) (;), ( ;), ( ; ), (; ) b) (;), ( ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ;, ;, ;, ; d) (;), ( ; ) e) Az y = x egyenes origótól különböző pontjai. f) 7. (;) ;, ;, ;, ; 7 7 ;.. ábra ; B y A O 8 ; C x. Helyvektorok d = a+ c b k = a+ c 9

20 Koordináta-geometria. a) c = a, d = b b) kab = a+ b kbc = b a kcd = a b kad = a b c) b d) a b. Az ABC háromszög súlypontja: (; ). Az oldalfelező pontok: FAB 7 9 ;, F AC ;, FBC ; A felezőpontok által alkotott háromszög súlypontja szintén: (;). A két súlypont megegyezik.. P, 0 ;. B (; 9) 8. A két súlypont megegyezik: ( ;) 7.Bármely ABCDEF hatszög AB, CD, EF oldalainak felezőpontjai által alkotott háromszög súlypontja megegyezik a másik három oldal felezőpontjai által alkotott háromszög súlypontjával. Legyen a hatszög hat csúcsa: A(x( ; y ), B(x( ; y ), C(x( ; y ), D(x( ; y ), E(x( ; y ), F( ( x ; y ). Ekkor az oldalak felezőpontjai: x+ x y+ y FAB ; x + x y + y FBC ; x + x y + y FCD ; x + x y + y FDE ; x + x y + y FEF ; x + x y + y FFA ; 0

21 Az F AB F F CD EF háromszög súlypontja: x+ x x + x x + x y+ y y + y y + y ;, azaz x+ x + x + x + x + x y+ y + y + y + y + y ; Az F BC FDE F FA háromszög súlypontja: x + x x + x x + x y + y y + y y + y ;, azaz x+ x + x + x + x + x y+ y + y + y + y + y ;. Az egyenes normálvektoros egyenlete Az egyenesre illeszkednek a következő pontok: A, D, E. a) x + y = b) x y = 7 c) x + y = 9... ábra a) Az egyenes egy normálvektora: n (;). 9 Az egyenes pontjai közül három: 0;, ;, (; ). x y y x y b) Az egyenes egy normálvektora: n (; ). Az egyenes pontjai közül három: 0 ;, ( ; ), ; c) Az egyenes egy normálvektora: n (;). Az egyenes pontjai közül három: (0; ), (; ), (; 7).. Ha az A-n megy át: x + y =. Ha a B-n megy át: x + y =.. x +y = a) y = ; n (;). 0 b) x = ; n (; 0). n(;); x+ y = 0.. ábra O x x y

22 Koordináta-geometria. Az egyenes egyenlete más adatokból a) x+ 8y = ; n( ; 8) b) 7x+ y = 0; n( 7; ) c) x+ y = ; n( ; ). a) tgα = ; α 0, 9 ; v ( ; ) b) tgα = ; α, 9 ; v ( 9; ) 9 tgα = ; α 7, 7 ; v ( ; ) tgα = ; α, ; v ( ; ). a) 8, ; b) 0 ; c) 79,7 ; d),87 ; e), ; f), ; g),7 a) x + y = ; b) x + y = ; c) y = 7; d) x + y = ; e) x + y = ; f) x + y = 0. a) (0;) és (7;0) b) (0;8) és (;0) Az x y + = (a, b 0) egyenletű egyenes a koordináta tengelyeket a (0;b) és az (a;0) pontokban a b metszi. A kimetszett háromszög területe: a b, így az a) pontban keletkezett háromszög területe t.e., a b) pontban keletkezett háromszög területe t.e.. Egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltétele, egyenesek metszéspontja A b párhuzamos a d-vel és merőlegesek az a-ra. A c párhuzamos az e-vel, és merőlegesek az f-re.. A párhuzamos: x + y = 0, a merőleges: x +y = 0.

23 . x+ y = 8 + a) x+ y = 8 b) x+ y = 8. a) ( ;); b) (7;); c, (; 8); 9 d) ; 7 7. A(; ), B( ;), C(;) A háromszög nem derékszögű. K = = 7 + +, egység T = t.e.. x 8y = 9 7. Egyenesekkel kapcsolatos vegyes feladatok. a) M(; ); b) M(; 9) 7 0 a) O r b) O ;, = ; ;, r = 0 Az adott egyenes és az AB felezőmerőlegesének metszéspontja, vagyis a (7; ) pont.. 0,,. Két ilyen háromszög létezik. Az első csúcspontjai: ( ; ), ( 9; ) és ( ; ). A második csúcspontjai: ( ; ), ( 9; ), ( ; 9). A kerület és a terület a két esetben megegyezik. K = 0 + egység, T =, t.e.. 9, 9 7. A négy csúcspont: A( ; 0), B(; ), C(; ), D(; ) Kerülete: , 7 egység Területe: 8 t.e.

24 Koordináta-geometria 8. A kör egyenlete a) (x ) + (y 7) = 9 az x tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: ( ;7), (;7) az y tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: (;0), (;) egy belső pontja: (;8) egy külső pontja: ( 0; 0) b) (x + ) + (y ) = az x tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: ( ;), ( ;) az y tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: ( ;), ( ; ) egy belső pontja: ( ;) egy külső pontja: ( 0; 0) c) x + (y + ) = 00 az x tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: (0; ), ( 0; ) az y tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: (0;), (0; ) egy belső pontja: (0; ) egy külső pontja: (0; 0). a) Körnek az egyenlete. A kör középpontja: (; 9), sugara: b) Körnek az egyenlete. A kör középpontja: ( 0;0), sugara: 8. c) Körnek az egyenlete. A kör középpontja: ( ;7), sugara:. d) Körnek az egyenlete. A kör középpontja: (8;8), sugara: e) Nem körnek az egyenlete.. a) (x + ) + (y ) = b) (x 9) + y = c) (x ) + (y ) = d) Két ilyen kör is van: (x ) + (y ) =, illetve (x + ) + (y ) = e) Két ilyen kör is van: (x ) + (y ) = és (x 9) + (y 9) = 8. a) x+ y + ( ) = b) (x ) + (y ) = c) x+ y + = d) (x ) + (y ) = 0. Ha x = 0, akkor a levágott húr hossza: 7. Ha x =, akkor a levágott húr hossza:. Ha x = 9, akkor a levágott húr hossza:. Ha x =, akkor a levágott húr hossza:. Ha x =, akkor a levágott húr hossza: 0. Ha x =, akkor nincs levágott húr. 7

25 9. A körök és egyenesek kölcsönös helyzete a) (;0) és ( ;) b) (;) és (; ). A körvonal és az adott egyenesre merőleges, a kör középpontján áthaladó egyenes metszéspontjai közül az egyik pont: (;). x y = és x y =. a) (x 9) + (y ) = 8 b) (x 9) + (y ) = 9 c) ( x 9) + ( y ) = 7. Metszéspontok: ( ;) és (;). A közös húron átmenő egyenes egyenlete: x y = 7.. x +y = és x +y = 7 7. A két érintő egyenlete: x + y = és x + 7y = 7. A két érintő által bezárt szög:,. 0. A parabola (Kiegészítő, emelt szintű tananyag) p = A vezéregyenes egyenlete: y = 0 y = ( x+ ). A húr hossza:

26 Valószínûség-számítás, statisztika Események, műveletek események között a) A = {FFF, FFI, FIF, IFF} A : Egy érmét egymás után háromszor feldobunk, és a dobások között legfeljebb egy fej lesz. A= {FII, IFI, IIF, III}. b) B = {,, } B : A szabályos dobókockával -et vagy összetett számot dobunk. B ={,, } c) C = {,,, } C : Az,, számok véletlen sorrendje esetén az és a nem kerülnek egymás mellé. C = {, } d) D ={, } D : Egy szabályos dobókockával legalább -ast dobunk. D = {,,, } e) E = {} E : Egy szabályos dobókockával nem köbszámot dobunk. E ={,,,, } a) A + B = {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, } b) A B = {,,,,, } c) A B = {,,,,, } d) A = {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, } e) A + B ={,,,,,,,,,,, } f) A B ={,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, }.Jelöljük a lapokat a következőképpen: M (makk), Z (zöld), T (tök), P (piros) VII, VIII, IX, X, A (alsó), F (felső), K (király), Á (ász) a) piros vagy zöld figurát húzunk: {PA, PF, PK, PÁ, ZA, ZF, ZK, ZÁ} b) pirosat, vagy zöld figurát: {PVII, PVIII, PIX, PX, PA, PF, PK, PÁ, ZA, ZF, ZK, ZÁ} c) figurát húzunk: {MA, MF, MK, MÁ, ZA, ZF, ZK, ZÁ, TA, TF, TK, TÁ, PA, PF, PK, PÁ} d) piros figurát húzunk: {PA, PF, PK, PÁ} e) lehetetlen esemény f) makk vagy tök figurát húzunk: {MA, MF, MK, MÁ, TA, TF, TK, TÁ} g) figurát húzunk: {MA, MF, MK, MÁ, ZA, ZF, ZK, ZÁ, TA, TF, TK, TÁ, PA, PF, PK, PÁ}

27 . Klasszikus valószínűségi modell, visszatevéses mintavétel a) ; b) ; c) ; d)! = e) 9 ; f) 0, 98.. a) 8 0, 0; b) 0, 0008; c) 8 8 0, 0; d) 8 0, 008; e) 0, 9.. a) 0, ; b) 0, ; c). a) d) 0, 98 ; b) + 0, 79. A 7-esnek nagyobb a valószínűsége. 7. 0, 98 ; c) 0, 00 0, 88; a) b) = 0, 7 7

28 Valószínûség-számítás, statisztika c) 0 0 = 0, 890. A szóródás mutatói Első:,,,,,, Terjedelme: 0 Átlagos abszolút eltérése: 0 Szórása: 0 Relatív szórása: 0 Második:,,,,,, 8 Terjedelme:. Átlagos abszolút eltérése: 7 Szórásnégyzete: Szórása: 07, 7 Relatív szórása: 0,78 a) Az átlag, a módusz és a medián -tal nő. A terjedelem, az átlagos abszolút eltérés és a szórás nem változik. b) Az átlag, a módusz, a medián, a terjedelem, az átlagos abszolút eltérés és a szórás 8-szorosára változik.... ábra lányok Módusz Medián Átlag Terjedelem Szórásnégyzet 8 9 Fiúk 7 Szórás 0,98 0,88 Átlagos abszolút eltérés 7 8

29 Tanulók száma Statisztika Osztályzat.. ábra oszlopdiagram lányok fiúk 9

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam

Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból Minden évfolyamra vonatkozóan általános irányelv, hogy a matematikai ismeretek alkalmazásán (feladatok, problémák megoldása) van a hangsúly,

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

MATEMATIKA. Szakközépiskola

MATEMATIKA. Szakközépiskola MATEMATIKA Szakközépiskola Az osztályozóvizsga írásbeli feladatlap. Az osztályozó vizsgán az osztályzás a munkaközösség által elfogadott egységes követelményrendszer alapján történik. A tanuló az osztályozó

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

NT-17312 Az érthető matematika 11. Tanmenetjavaslat

NT-17312 Az érthető matematika 11. Tanmenetjavaslat NT-17312 Az érthető matematika 11. Tanmenetjavaslat Idézet a 3.2.04. kerettantervből (11 12. évfolyam, bevezetés): Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Matematikából a tanulónak írásbeli és szóbeli osztályozó vizsgán kell részt vennie. Az írásbeli vizsga időtartama 60 perc, a szóbelié 20 perc.

Részletesebben

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél.

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél. Matematika A vizsga leírása: írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. A matematika írásbeli vizsga egy 45 perces feladatlap írásbeli megoldásából áll. Az írásbeli feladatlap tartalmi jellemzői az alábbiak:

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1 TARTALOM 11.osztály (222 óra)... 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra)... 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra)... 3 3. Függvények,

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Szóbeli érettségi gyakorló feladatok

Szóbeli érettségi gyakorló feladatok Szóbeli érettségi gyakorló feladatok Elméleti kérdések. Definiálja egy szám n-edik gyökét! Mondja ki az n-edik gyökre vonatkozó azonosságokat!. Definiálja a logaritmus fogalmát! Mondja ki a logaritmusra

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

Feladatok megoldása. Sorozatok

Feladatok megoldása. Sorozatok Feladatok megoldása Sorozatok I /.. a = 5, a =, a = -, a = -7, a 5 = -, a 6 = -6 b =, b =, b = 5, b =, b5 = 5 7, b6 = I /. c =, c = d = -, d =, d =, c = 0, c = -, c5 = - c6 = 0 8, d =,6, d 5 = 7 e =, e

Részletesebben

MATEMATIKA 11. évfolyam osztályozóvizsga/javítóvizsga témakörei

MATEMATIKA 11. évfolyam osztályozóvizsga/javítóvizsga témakörei MATEMATIKA 11. évfolyam osztályozóvizsga/javítóvizsga témakörei 1.félév I. Kombinatorika, gráfok Permutációk, variációk Ismétlés nélküli kombinációk Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög Gráfok pontok,

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Matematika. Matematika 11. évfolyam. IKT kompetencia fejlesztésére javasolt TANMENET

Matematika. Matematika 11. évfolyam. IKT kompetencia fejlesztésére javasolt TANMENET Matematika Matematika 11. évfolyam IKT kompetencia fejlesztésére javasolt TANMENET 1. Tanóra Az előző évek legfontosabb ismereteinek ismétlése Ellenőrzés / értékelés módja szóbeli felelet 2. Tanóra Másodfokú

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI. A vizsga formája. Közé pszinten: írásbeli Emelt szinten: írásbeli és szóbeli

A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI. A vizsga formája. Közé pszinten: írásbeli Emelt szinten: írásbeli és szóbeli Az érettségi vizsga követelményei 1 MATEK A vizsga formája Közé pszinten: írásbeli Emelt szinten: írásbeli és szóbeli A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga

Részletesebben

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Adott A( 1; 3 ) és B( ; ) 7 9 pont. Határozza meg

Részletesebben

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I. PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I. PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR EGYENES ÚT AZ EGYETEMRE 11 FELADATSOR 11 FELADATSOR I rész Felhasználható idő: 45 perc 6x 1 111) Melyik állítás igaz az alábbi egyenlet

Részletesebben

Nagy Ilona 2013.06.01.

Nagy Ilona 2013.06.01. Bevezető matematika példatár Kádasné Dr. V. Nagy Éva Nagy Ilona 0.06.0. Tartalomjegyzék Bevezető. Gyakorlatok.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel................. A logaritmus fogalma; arány-

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

Matematika. a fogalma. Négyzetgyökvonás azonosságainak használata. A logaritmus fogalma, logaritmus azonosságai. Áttérés más alapú logaritmusra.

Matematika. a fogalma. Négyzetgyökvonás azonosságainak használata. A logaritmus fogalma, logaritmus azonosságai. Áttérés más alapú logaritmusra. Matematika Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 1. Halmazok A halmazok megadásának különböző módjai, a halmaz elemének fogalma. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1411 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: 1.

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

MATEMATIKA (EMELT SZINT)

MATEMATIKA (EMELT SZINT) MATEMATIKA (EMELT SZINT) Tanterv 0 0 2 2 óraszámokra Készítette: Krizsán Árpád munkaközösség-vezető Ellenőrizte: Csajági Sándor közismereti igazgató-helyettes Érvényes: 2013/2014 tanévtől 2013. Óratervtábla

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke... Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény

Részletesebben

A 11. évfolyam emelt szintű előkészítő csoport óraszáma : 5 óra/hét (180 óra)

A 11. évfolyam emelt szintű előkészítő csoport óraszáma : 5 óra/hét (180 óra) A 11. évfolyam emelt szintű előkészítő csoport száma : 5 /hét (180 ) Témakörök 1. Gondolkodási és megismerési módszerek A témakör száma 16 Ismeretanyag Vegyes kombinatorikai feladatok, kiválasztási feladatok.

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Miskolci Magister Gimnázium

Miskolci Magister Gimnázium Miskolci Magister Gimnázium matematika 11. évfolyam 2013/2014 110/2012./VI.4./Kormányrendelet, és az 51/2012/XII.21./ EMMI kerettanterv alapján Készítette: Literáti Márta 1 Alapdokumentumok: EMMI kerettanterv

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT. Egy atlétika csapat alapozást tart. Robbanékonyságukat és állóképességüket 0 méteres síkfutással fejlesztik.

Részletesebben

4. A d és az e tetszőleges valós számot jelöl. Adja meg annak az egyenlőségnek a betűjelét, amelyik biztosan igaz (azonosság)!

4. A d és az e tetszőleges valós számot jelöl. Adja meg annak az egyenlőségnek a betűjelét, amelyik biztosan igaz (azonosság)! 005. október. Egyszerűsítse a következő törtet! (x valós szám, x 0 ) x x x. Peti felírt egy hárommal osztható hétjegyű telefonszámot egy cédulára, de az utolsó jegy elmosódott. A barátja úgy emlékszik,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. EMELT SZINT a) Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenséget? 3 3 1 1 8 b) Az alábbi f és g függvényt is a f 3 és g 0,5,5 I. 3;6. intervallumon értelmezzük.

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. EMELT SZINT 1) Jelölje A az pedig az x 4 0 x 3 x 3 4 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 013. május 7. EMELT SZINT Elemei felsorolásával adja meg az A B I. egyenlőtlenség egész megoldásainak a halmazát, B egyenlőtlenség egész megoldásainak

Részletesebben

A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli Emelt szinten: írásbeli és szóbeli A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 101 ÉRETTSÉGI VIZSGA 010. október 19. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Matematika kisérettségi

Matematika kisérettségi Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.

Részletesebben

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M)

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M) Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának

Részletesebben

A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli Emelt szinten: írásbeli és szóbeli A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Témakörök Témakör óraszáma Ismeretanyag Kompetenciák, nevelési célok, kapcsolódások 1. Gondolkodási és megismerési módszerek

Témakörök Témakör óraszáma Ismeretanyag Kompetenciák, nevelési célok, kapcsolódások 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 11.évfolyam éves óraszáma: 108 óra Témakörök Témakör óraszáma Ismeretanyag Kompetenciák, nevelési célok, kapcsolódások 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 12 óra Vegyes kombinatorikai feladatok, kiválasztási

Részletesebben