Végeredmények, feladatok részletes megoldása
|
|
- Miklós Pap
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Végeredmények, feladatok részletes megoldása I. Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés). Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés). Binomiális együtthatók, Pascal háromszög. Gráfelméleti alapismeretek II. Hatvány, gyök, logaritmus Az egész kitevőjű hatvány és az n-edik gyök (Ismétlés) 7. A törtkitevőjű hatványok 7. Az irracionális kitevőjű hatvány, az exponenciális függvény 8. Exponenciális egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek 8. A logaritmus definíciója, a logaritmusfüggvény 9. A logaritmus azonosságai 0 7. Logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek 0 III. A trigonometria alkalmazásai A trigonometriáról tanultak ismétlése. Trigonometrikus egyenletek I.. Trigonometrikus egyenletek II.. Trigonometrikus egyenlőtlenségek (Kiegészítő tananyag). Skaláris szorzat. Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között 7 IV. Koordináta-geometria Vektorok a koordinátasíkon 8. Tájékozódás a koordináta-rendszerben 9. Helyvektorok 9. Az egyenes normálvektoros egyenlete. Az egyenes egyenlete más adatokból. Egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltétele, egyenesek metszéspontja 7. Egyenesekkel kapcsolatos vegyes feladatok 8. A kör egyenlete 9. A körök és egyenesek kölcsönös helyzete 0. A parabola (Kiegészítő anyag) V. Valószínűség-számítás, statisztika Események, műveletek események között. Klasszikus valószínűségi modell, visszatevéses mintavétel 7. A szóródás mutatói 8
2 Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés) a)! = 0 b)! = (Ha csak a megérkezés számít.)!!! = (Ha az is számít, hogy hányféle sorrendben lépte át az ajtót az öt ember.). a)! = ; b)!!! = 8. a)! = 0; b)! = 8. 0-ra végződő számok száma! = 0 -re végződő számok száma! = 9 Összesen:,, egymás mellett szerepel: 0-ra végződők száma!! = -re végződők száma! = Összesen: 0. kilencjegyű szám: -vel osztható: vizsgálni.) 9! = 70!!!! 7! 7! 7! 7! = 00 (A -gyel való oszthatóságot elég!!!!!!!!!! 8! 8! 8!. kilencjegyű szám: + + = 00 (Az első helyen, vagy állhat.)!!!!!!!!!!!! 7.!!!!!!!!!! -vel osztható: = 70!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! a) = 7 b) = 70 c) 7 70 = 9 d) 7 7 = 880 e) = f) = 000 (A szitaformula alkalmazása.) g) ( ) = 8. a) ; b) 777; c) 8 ; d) 8 7; e) 8; f) 7 0; g) a)! = b) 8 7 = c) 0 9 =
3 0. a) 8 = 08 8 b) 8 = c) = a) = 777 b) = 7 (Legalább egy dobás páros.) c) = 7 d) e) (Palindromszámok.) f) 9 = 97. Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés) 0 = a) = 0 ; b) = a) = ; b) 0 =. = a) = 7 ; b) = = ! =, 0 8! 8! 8! 8! ! = 7, 7 0! 8! 8! 8!
4 Kombinatorika, gráfok 9. a)! = 70 ; b) + +! = 0 0. a)!! = 70; b)!! = 0 a) =0 9; b) = 0 8; c) = 8. Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög = 9. 7 = 8 0. = 0. 8 =. a) x+ x x 0 x ( ) = x x 0 x = = x + x + 0x + 0x + x+ b) ( a ) = a a a ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) 0 a + a = = a 8a + a a + c) (a + b) = a b a b a b a b + 0 a b + a b + a b = a + a b + a b + 0a b + a b + ab + b d) (x ) = 0 0 x ( ) + x ( ) + x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) + + x 0 ( ) = x x + x 0x + x x +
5 . Gráfelméleti alapismeretek. ábra. ábra.. ábra. Igen, például.. ábra.. Nem, mert ha az egyik embernek négy ismerőse van, akkor az összes többi embert ismeri, így viszont nem lehet olyan, akinek egy ismerőse sincsen.. a) Nem, mert a fokszámok összege páratlan. b) Nem, mert 0 és fokszám nem lehet egyszerre. c) Nem, mert két -es és -ös és -es fokszámú csúcsok nem lehetnek egyszerre. d) Igen, például.. d) ábra. 0 9 =. = 7. a).7. a) ábra D E C.. d) ábra A.7. a) ábra b) = c) Még -t, ha Dénest és Elemért is megveri (egy eset).,-t, ha egyszer nyer és egyszer döntetlent játszik (két eset). -et, ha két döntetlent játszik, vagy egyszer nyer és egyszer veszít (három eset). 0, pontot, ha egyszer döntetlent játszik és egyszer veszít (két eset). 0 pontot, ha kétszer veszít (egy eset). B
6 Hatvány, gyök, logaritmus 8. a gráf: komplementer gráfja: 9. Igaz. 0. Hárman.
7 Az egész kitevőjű hatvány és az n-edik gyök (Ismétlés) a) ; b) ; c) ; d) ; e). a) az első a nagyobb (ennek értéke 0 9, míg a másodiké 0 - ) b) az első a nagyobb (ennek értéke 9, míg a másodiké ).. a) a b ; b) ab c; c) y 9 ; d) ; e) b a a) ; b) ; c) d) 0,; e) 0; f) ; g) 0. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) 8; j) a) = 9 > 8 = ; b) = < 7 = ; c) 8 = 7 =, < = 8 7. a) a 7 ; b) ; c) 8 ; d) 0 x 0. A törtkitevőjű hatványok a) ; b) 7; c) ; d) ; e) ; f) 8; g) ; h) 9 ; i) 000; 9 j) 0 ; k) 0,0; l) 9. a) ; b) 7 ; c) 7 ; d) ; e) ; f) ; g) 7 9. a) ; b) a) x ; b) y 7 ; c) ; d) 0 ; c) a 7. a) x 0 = ; b) x ; c) x ; d) b; e) + c ; f) d 9 ; g) d 7; h) a + 8 7
8 Hatvány, gyök, logaritmus. Az irracionális kitevőjű hatvány, az exponenciális függvény a) ; b) 7%-kal... ábra a) y h f i g O x b) y m j l O k x.. ábra a) Az f, g, h, i függvények grafikonja; b) A j, k, l, m függvények grafikonja. Exponenciális egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek. a) ; b) 7 0 ; c) 9 ; d) a) 7; b) 7 ; c) ; d). a) b) Az egyenletnek nincs megoldása az egész számok halmazán (sőt a valós számok halmazán sincs).. a) és ; b) ; c) és 8
9 .. a) x = és y = ; b) x = és y = ; c) Az egyenletrendszernek nincs megoldása a valós számpárok halmazán. a) x > ; b) x 7 ; c) x vagy x ; d) x <. A logaritmus definíciója, a logaritmusfüggvény a) ; b) ; c) ; d) nem racionális szám; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) ; l). a) ; b) 0,; c) ; d) ; e) ; f),0; g),0; h) ; i) ; j) 00; k) ; l) ; m) 8 = 9787 ; n) 8 = ; o) = 9. a) ] 7 ; [; b) ]- ;[; c) ] 8 ; [ \ {}; d) ; \ ; e) ]- ;[ ]; [; f) ; ; g) \ ; h) ];7[; i) ] 7 ;[; j) ] [ ; 7 ;.. ábra a) ] ; [ b) ]; [ c) ] ; [ d) ]; [ e) ] ; [ y c O d x e a b.. ábra 9
10 Hatvány, gyök, logaritmus. A logaritmus azonosságai a) ; b) ; c) ; d). a) 0; b) ; c) a; d) b. a) ; b) ; c) -; d) ; e) 0 7. Logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek.. a) ; b) 0 ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) a) ; b) ; c) és ; d) 0, és 0,00 a) ; b) ; c) 9; d) 9 és ; e) és. 7 a) x = 8 és y = 8; b) x = 0 és y = 0,; c) x = és y = ; d) x = és y =. a) < x < ; b) < x < ; c) < x < 9 ; d) < x < 0
11 A trigonometriáról tanultak ismétlése a) 88 cm 07,9 cm ; b) 9. a) 9, m ; b) 7,7. vagy vagy vagy 7. cm 7,8 cm; c) cm,9 cm; a) A cos π α -t sin a val (pótszögek szögfüggvényeire vonatkozó azonosság), cos (a + p) t (cos a)-val helyettesítve, sin a = cos a-t kapunk, ahonnan sin a + cos a = π b) A ctg α t tg α val tg α + = -t kapunk. Ezt cos a-val beszorozva cos α sin a + cos a = -t kapunk. π α c) = α cos α sin α tg tg tg α a tg π α α α = ctg π k, k alapján tgα = ctgα a tgα ctgα = azonosság szerint cos α sin α tg α π = /(cos α sin α)( tg α)( α k, k ) cos α sin α tg α tg α = cos α sin α cos α sin α tg α ( )( ) tg α = cos α sin α cos α + sin α + sin α sin α tg α tg α = cos α sin α tg α az = sin α + cos sin α tg α = sin α tg α sin α cos α sin α = sin α sin α sin α (cos α ) = sin α sin α = sin α α azonosság alapján sin α a tg α = alapján cos α
12 R α β a:b:c=rsinα:rsinβ:rsinγ nγ nγa trigonometria alkalmazásai a), b), c), d) ábrák a) x π π y O π p x π x b) y π O π p π p x 8. a) ábra Az f függvény grafikonja 8. b) ábra A g függvény grafikonja c) x π y x π d) x π y x 7 π p O p x π O π p x 8. c) ábra A h függvény grafikonja 8. d) ábra Az i függvény grafikonja. Trigonometrikus egyenletek I. a) π kπ + ( k ) 0 b) π π 7π π + kπ, + lπ, + mπ, + nπ ( k, l, m, n ); π rövidebben: π π π + k, + l ( k, l ) c) π π π π + kπ, + lπ ( k, l ) ; + k ( k ) d) π π + k ( k ). π l a) + kπ, π ( k, l )
13 b) π π π 7π + kπ, + lπ, + mπ, + nπ ( k, l, m, n ); rövidebben: π k + π ( k ) 8 c) π 7π π π + kπ, + lπ ( k, l ); rövidebben: + k ( k ) kπ d) x 0, 9 + ( k ). a) π 7π lπ + kπ, + ( k, l ) b) π π lπ + kπ, + ( k, l ) 8 π kπ c) + ( k ) 9 π kπ d) + ( k ). π a) kπ ( k ) π kπ π b) +, + lπ ( k, l ) π π lπ + kπ, + ( k, l ) d) 9 π kπ ( k ) 0. Trigonometrikus egyenletek II. a) π π 7π π + kπ, + lπ, + mπ, + nπ ( k, l, m, n ); r π π rövidebben: + kπ, + lπ ( k, l ) b) π + kπ ( k ) c) π π + k ( k )
14 R α β a:b:c=rsinα:rsinβ:rsinγ nγ nγa trigonometria alkalmazásai. a) π π π π + k, + lπ, + mπ ( k, l, m, ) b) x 0, 8 + kπ, x, lπ ( k, l ) π + kπ, x, 88 + lπ ( k, l ) d) x, 7 + kπ, x, 9 + lπ ( k, l ) a) megoldás: Szorzattá alakítjuk: (sin x cos x)(sin x cos x) = 0. megoldás: Osszuk el az egyenlet két oldalát cos x-szel, így tg x tg x + = 0 egyenletet kapjuk!. megoldás: Oldjuk meg az egyenletet sin x-re, s tekintsük a cos x-et paraméternek! Megoldás: π + kπ, x 0, 7 + lπ ( k, l ) b) megoldás: Szorozzuk be az egyenlet két oldalát -vel,így sin x+ cos x = -t kapunk. A baloldal π az addíciós tételek miatt sin x +, ahonnan x+ π = 7π + k x+ π = π π és + l π ( k, l ). π 9π Így x = + kπ és x = + lπ ( k, l ).. megoldás: Emeljük mindkét oldalt négyzetre! (Vigyázat ez nem ekvivalens átalakítás!) sin x+ sin x cos x+ cos x = + sin x cos x = sin x = 7π π Ahonnan: x = + kπ vagy x = + lπ ( k, l ). A [0; π] on belüli megoldásokat visszahelyettesítve, csak két eset marad x-re: π 9π x = + kπ és x = + lπ ( k, l ).. megoldás: Emeljük az egyenlet mindkét oldalát négyzetre, s szorozzunk be kettővel: sin x+ sin xcos x+ cos x = A jobb oldalt helyettesítsük sin x+ cos x-szel! Majd osszunk el mindkét oldalt cos x-szel! A kapott egyenlet tg x -re nézve másodfokú, amit a másodfokú egyenlet megoldóképletével oldhatunk meg.
15 . π a) k π, + lπ ( k, l ) b) Nincs valós megoldás.. Trigonometrikus egyenlőtlenségek (Kiegészítő, emelt szintű tananyag) π a) π π π π π π + + π + + k ; k l ; l ( k, l ) π b) + kπ; π + kπ ( k ) 7 c) π + π π k ; + kπ ( k ). a) k π π π ; + k ( k ) π kπ π kπ b) + ; + ( k ) 8 8 c) π + kπ; kπ ( k ) [ ] ) a) kππ ; + kπ ( k kπ π kπ b) ; + ( k ). π 7 a) π π π + k ; + kπ π \ + k ( k ) π b) + kπ; π + kπ ( k ) c) kππ ; + kπ ( k [ ] ) d) kπ kπ kπ π ] ; 0, + ], 07+ ; + kπ ( k )
16 R α β a:b:c=rsinα:rsinβ:rsinγ nγ nγa trigonometria alkalmazásai. Skaláris szorzat a) 0; b) ; c) ; d). a) 0 ; b) 90 ; c) 8,. A legnagyobb szög (két tizedes jegyre kerekítve):, A legkisebb szög (két tizedes jegyre kerekítve):,98. a) cos 7 = cos (0 + ) = cos 0 cos - sin 0 sin = = b) sin 7 = sin (0 + ) = sin 0 cos + cos 0 sin = + = c) tg 7 = sin 7 cos 7 d) ctg 7 = = + = tg7 = = + ( ) 8 ( ) = + = = ( ) + + ( )( ) =. a) cos α = cos ( α + α) = cosα cosα sinα sinα = cos α sin α b) sin α = sin ( α + α) = sinα cosα + cosα sinα = sinα cosα sinα cosβ cosα sin β c) tg (a + b) = sin( α β ) + + sinα cos β + cosα sin β cosα cos β cosα cos β = = = cos( α + β) cosα cos β sinα sin β cosα cos β sinα sin β tgα + tgβ cosα cos β cosα cos β = tgα tgβ sinα cosβ cosα sin β d) tg (a b) = sin( α β ) sinα cos β cosα sin β cosα cos β cosα cos β = = = cos( α β) cosα cos β + sinα sin β cosα cos β sinα sin β + cosα cos β cosα cos β tgα tgβ + tgα tgβ tgα + tgα tgα e) tg α = tg ( α + α) = = tgα tgα tg α + Az itt bizonyított azonosságok csak abban az esetben érvényesek, ha a bennük szereplő szögfüggvények értelmezve vannak.
17 . Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között a) hegyesszögű b) tompaszögű c) hegyesszögű d) Nem létezik ilyen háromszög.. A trapéz szögei (két tizedes jegyre kerekítve):,, 7,7,,87, 0,. A trapéz területe: 9 cm. a, cm, b, cm, c = cm, a 7,, b 8,8, g,7. T cm.. Két ilyen paralelogramma létezik. Az elsőben a hiányzó oldal hossza, és területe:,8 cm és,0 cm. A másikban, cm és 8,7 cm..a hiányzó oldalak hossza: 9, dm és 0, dm. A háromszög szögei: 7,8,,98, 0,..A háromszög oldalai:, 0 és 8 egység. A háromszög szögei: 8,,,79, 0. 7
18 Koordináta-geometria Vektorok a koordinátasíkon a) a( ; ), b( 8 ; ), c( ; ), d( ; ) b) a+ b( ; ), a+ c+ d( ; ), c a( 88 ; ), a b + c( 8; 0), a+ b + c + d(;) 9 c( ; ), a+ c d( ; 8), a+ b + c( 0; 0) c) c) ábra AB ;, DB ;, BC 0;, CB 0; ( ) ( ) ( ) ( ) 0; y ; B C (0;) O D ; x A c) ábra. A ( ;8), B ( 8; ), C(; 8), D(8;) A négyzet területe: területegység, kerülete: egység.. A( ; ), B(; ), C(0; 8), D(7;) A négyzet kerülete: 0 egység, területe: 90 t.e.. Négy ilyen téglalap van. Első esetben (AB a rövidebbik oldal) a két hiányzó csúcs: C(;), D(;9). Második esetben (AB a rövidebbik oldal) a két hiányzó csúcs: C( ; ), D( ; 7).. Harmadik esetben (AB a hosszabbik oldal) a két hiányzó csúcs: C(8; ), D(; 9 ). Negyedik esetben (AB a hosszabbik oldal) a két hiányzó csúcs: C(; ), D(; ). Az első és a második esetben a kerület 0 egység, a terület 0 t.e. A harmadik és negyedik esetben a kerület egység, a terület, t.e. a) Kerülete , egység, területe, t.e. (Héron-képlettel számolva:,8). b) Kerülete , egység, területe 7 t.e. (Héron-képlettel számolva:,8). 8
19 . Tájékozódás a koordináta-rendszerben Az a és c vektorok párhuzamosak.. Az a és c illetve a b és f vektorok párhuzamosak. Az a és c -re merőleges a b és az f vektor. A d merôleges az e vektorra.. Az ábrával ellentétben nem egy háromszöget, hanem egy konkáv négyszöget látunk. megoldás: A nagy háromszög rövidebbik befogójával szemközti csúcspontját origónak választva az átfogó két végpontjának (jelöljük A-val és B-vel) és a közbülső pontnak (jelöljük D-vel) a koordinátái: A(0, 0), D(8; ), B( ; ). Így AD ( 8 ; ), DB ( ; ). A két vektor nem egyállású, tehát a három pont nem egy egyenesre illeszkedik.. megoldás: A narancssárga derékszögű háromszög rövidebb befogójával szemközti szögének tangense 8. A lila derékszögű háromszög rövidebb befogójával szemközti szögének tangense. Így a két szög nem egyezhet meg.. a) P a ( 7;); b) P b (7; ); c) P c (7;); d) P d (7;); e) Pe ( ; 7) és P e ( ; 7); f) P f ( ; 7); g) P g (; ); h) P h (; )... ábra a) ( ;); b) (;8); c) ( 7 ; 7 ). a) (;), ( ;), ( ; ), (; ) b) (;), ( ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ;, ;, ;, ; d) (;), ( ; ) e) Az y = x egyenes origótól különböző pontjai. f) 7. (;) ;, ;, ;, ; 7 7 ;.. ábra ; B y A O 8 ; C x. Helyvektorok d = a+ c b k = a+ c 9
20 Koordináta-geometria. a) c = a, d = b b) kab = a+ b kbc = b a kcd = a b kad = a b c) b d) a b. Az ABC háromszög súlypontja: (; ). Az oldalfelező pontok: FAB 7 9 ;, F AC ;, FBC ; A felezőpontok által alkotott háromszög súlypontja szintén: (;). A két súlypont megegyezik.. P, 0 ;. B (; 9) 8. A két súlypont megegyezik: ( ;) 7.Bármely ABCDEF hatszög AB, CD, EF oldalainak felezőpontjai által alkotott háromszög súlypontja megegyezik a másik három oldal felezőpontjai által alkotott háromszög súlypontjával. Legyen a hatszög hat csúcsa: A(x( ; y ), B(x( ; y ), C(x( ; y ), D(x( ; y ), E(x( ; y ), F( ( x ; y ). Ekkor az oldalak felezőpontjai: x+ x y+ y FAB ; x + x y + y FBC ; x + x y + y FCD ; x + x y + y FDE ; x + x y + y FEF ; x + x y + y FFA ; 0
21 Az F AB F F CD EF háromszög súlypontja: x+ x x + x x + x y+ y y + y y + y ;, azaz x+ x + x + x + x + x y+ y + y + y + y + y ; Az F BC FDE F FA háromszög súlypontja: x + x x + x x + x y + y y + y y + y ;, azaz x+ x + x + x + x + x y+ y + y + y + y + y ;. Az egyenes normálvektoros egyenlete Az egyenesre illeszkednek a következő pontok: A, D, E. a) x + y = b) x y = 7 c) x + y = 9... ábra a) Az egyenes egy normálvektora: n (;). 9 Az egyenes pontjai közül három: 0;, ;, (; ). x y y x y b) Az egyenes egy normálvektora: n (; ). Az egyenes pontjai közül három: 0 ;, ( ; ), ; c) Az egyenes egy normálvektora: n (;). Az egyenes pontjai közül három: (0; ), (; ), (; 7).. Ha az A-n megy át: x + y =. Ha a B-n megy át: x + y =.. x +y = a) y = ; n (;). 0 b) x = ; n (; 0). n(;); x+ y = 0.. ábra O x x y
22 Koordináta-geometria. Az egyenes egyenlete más adatokból a) x+ 8y = ; n( ; 8) b) 7x+ y = 0; n( 7; ) c) x+ y = ; n( ; ). a) tgα = ; α 0, 9 ; v ( ; ) b) tgα = ; α, 9 ; v ( 9; ) 9 tgα = ; α 7, 7 ; v ( ; ) tgα = ; α, ; v ( ; ). a) 8, ; b) 0 ; c) 79,7 ; d),87 ; e), ; f), ; g),7 a) x + y = ; b) x + y = ; c) y = 7; d) x + y = ; e) x + y = ; f) x + y = 0. a) (0;) és (7;0) b) (0;8) és (;0) Az x y + = (a, b 0) egyenletű egyenes a koordináta tengelyeket a (0;b) és az (a;0) pontokban a b metszi. A kimetszett háromszög területe: a b, így az a) pontban keletkezett háromszög területe t.e., a b) pontban keletkezett háromszög területe t.e.. Egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltétele, egyenesek metszéspontja A b párhuzamos a d-vel és merőlegesek az a-ra. A c párhuzamos az e-vel, és merőlegesek az f-re.. A párhuzamos: x + y = 0, a merőleges: x +y = 0.
23 . x+ y = 8 + a) x+ y = 8 b) x+ y = 8. a) ( ;); b) (7;); c, (; 8); 9 d) ; 7 7. A(; ), B( ;), C(;) A háromszög nem derékszögű. K = = 7 + +, egység T = t.e.. x 8y = 9 7. Egyenesekkel kapcsolatos vegyes feladatok. a) M(; ); b) M(; 9) 7 0 a) O r b) O ;, = ; ;, r = 0 Az adott egyenes és az AB felezőmerőlegesének metszéspontja, vagyis a (7; ) pont.. 0,,. Két ilyen háromszög létezik. Az első csúcspontjai: ( ; ), ( 9; ) és ( ; ). A második csúcspontjai: ( ; ), ( 9; ), ( ; 9). A kerület és a terület a két esetben megegyezik. K = 0 + egység, T =, t.e.. 9, 9 7. A négy csúcspont: A( ; 0), B(; ), C(; ), D(; ) Kerülete: , 7 egység Területe: 8 t.e.
24 Koordináta-geometria 8. A kör egyenlete a) (x ) + (y 7) = 9 az x tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: ( ;7), (;7) az y tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: (;0), (;) egy belső pontja: (;8) egy külső pontja: ( 0; 0) b) (x + ) + (y ) = az x tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: ( ;), ( ;) az y tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: ( ;), ( ; ) egy belső pontja: ( ;) egy külső pontja: ( 0; 0) c) x + (y + ) = 00 az x tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: (0; ), ( 0; ) az y tengellyel párhuzamos átmérőjének két végpontja: (0;), (0; ) egy belső pontja: (0; ) egy külső pontja: (0; 0). a) Körnek az egyenlete. A kör középpontja: (; 9), sugara: b) Körnek az egyenlete. A kör középpontja: ( 0;0), sugara: 8. c) Körnek az egyenlete. A kör középpontja: ( ;7), sugara:. d) Körnek az egyenlete. A kör középpontja: (8;8), sugara: e) Nem körnek az egyenlete.. a) (x + ) + (y ) = b) (x 9) + y = c) (x ) + (y ) = d) Két ilyen kör is van: (x ) + (y ) =, illetve (x + ) + (y ) = e) Két ilyen kör is van: (x ) + (y ) = és (x 9) + (y 9) = 8. a) x+ y + ( ) = b) (x ) + (y ) = c) x+ y + = d) (x ) + (y ) = 0. Ha x = 0, akkor a levágott húr hossza: 7. Ha x =, akkor a levágott húr hossza:. Ha x = 9, akkor a levágott húr hossza:. Ha x =, akkor a levágott húr hossza:. Ha x =, akkor a levágott húr hossza: 0. Ha x =, akkor nincs levágott húr. 7
25 9. A körök és egyenesek kölcsönös helyzete a) (;0) és ( ;) b) (;) és (; ). A körvonal és az adott egyenesre merőleges, a kör középpontján áthaladó egyenes metszéspontjai közül az egyik pont: (;). x y = és x y =. a) (x 9) + (y ) = 8 b) (x 9) + (y ) = 9 c) ( x 9) + ( y ) = 7. Metszéspontok: ( ;) és (;). A közös húron átmenő egyenes egyenlete: x y = 7.. x +y = és x +y = 7 7. A két érintő egyenlete: x + y = és x + 7y = 7. A két érintő által bezárt szög:,. 0. A parabola (Kiegészítő, emelt szintű tananyag) p = A vezéregyenes egyenlete: y = 0 y = ( x+ ). A húr hossza:
26 Valószínûség-számítás, statisztika Események, műveletek események között a) A = {FFF, FFI, FIF, IFF} A : Egy érmét egymás után háromszor feldobunk, és a dobások között legfeljebb egy fej lesz. A= {FII, IFI, IIF, III}. b) B = {,, } B : A szabályos dobókockával -et vagy összetett számot dobunk. B ={,, } c) C = {,,, } C : Az,, számok véletlen sorrendje esetén az és a nem kerülnek egymás mellé. C = {, } d) D ={, } D : Egy szabályos dobókockával legalább -ast dobunk. D = {,,, } e) E = {} E : Egy szabályos dobókockával nem köbszámot dobunk. E ={,,,, } a) A + B = {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, } b) A B = {,,,,, } c) A B = {,,,,, } d) A = {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, } e) A + B ={,,,,,,,,,,, } f) A B ={,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, }.Jelöljük a lapokat a következőképpen: M (makk), Z (zöld), T (tök), P (piros) VII, VIII, IX, X, A (alsó), F (felső), K (király), Á (ász) a) piros vagy zöld figurát húzunk: {PA, PF, PK, PÁ, ZA, ZF, ZK, ZÁ} b) pirosat, vagy zöld figurát: {PVII, PVIII, PIX, PX, PA, PF, PK, PÁ, ZA, ZF, ZK, ZÁ} c) figurát húzunk: {MA, MF, MK, MÁ, ZA, ZF, ZK, ZÁ, TA, TF, TK, TÁ, PA, PF, PK, PÁ} d) piros figurát húzunk: {PA, PF, PK, PÁ} e) lehetetlen esemény f) makk vagy tök figurát húzunk: {MA, MF, MK, MÁ, TA, TF, TK, TÁ} g) figurát húzunk: {MA, MF, MK, MÁ, ZA, ZF, ZK, ZÁ, TA, TF, TK, TÁ, PA, PF, PK, PÁ}
27 . Klasszikus valószínűségi modell, visszatevéses mintavétel a) ; b) ; c) ; d)! = e) 9 ; f) 0, 98.. a) 8 0, 0; b) 0, 0008; c) 8 8 0, 0; d) 8 0, 008; e) 0, 9.. a) 0, ; b) 0, ; c). a) d) 0, 98 ; b) + 0, 79. A 7-esnek nagyobb a valószínűsége. 7. 0, 98 ; c) 0, 00 0, 88; a) b) = 0, 7 7
28 Valószínûség-számítás, statisztika c) 0 0 = 0, 890. A szóródás mutatói Első:,,,,,, Terjedelme: 0 Átlagos abszolút eltérése: 0 Szórása: 0 Relatív szórása: 0 Második:,,,,,, 8 Terjedelme:. Átlagos abszolút eltérése: 7 Szórásnégyzete: Szórása: 07, 7 Relatív szórása: 0,78 a) Az átlag, a módusz és a medián -tal nő. A terjedelem, az átlagos abszolút eltérés és a szórás nem változik. b) Az átlag, a módusz, a medián, a terjedelem, az átlagos abszolút eltérés és a szórás 8-szorosára változik.... ábra lányok Módusz Medián Átlag Terjedelem Szórásnégyzet 8 9 Fiúk 7 Szórás 0,98 0,88 Átlagos abszolút eltérés 7 8
29 Tanulók száma Statisztika Osztályzat.. ábra oszlopdiagram lányok fiúk 9
Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, kulcsfogalmak/fogalmak 1. Év eleji szervezési feladatok 2.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI ELŐKÉSZTŐ 11. évfolyam Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, 1. Év eleji szervezési feladatok 2. A hatványozásról tanultak ismétlése, feladatok az n- edik gyök fogalmára, azonosságaira
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
RészletesebbenMatematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport)
Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport) Műveltségi terület: MATEMATIKA Iskola, osztályok: Vetési Albert Gimnázium, 11.A, 11.B, 11.D (alap) Tantárgy: MATEMATIKA Heti óraszám: 4 óra Készítették:
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenTARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK
TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenOsztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenAz osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév
9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenTANMENET. a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára
Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján Használatos
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenTanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához
ciklus óra óra anyaga, tartalma 1 1. Év eleji szervezési feladatok, bemutatkozás Hatvány, gyök, logaritmus (40 óra) 2. Ismétlés: hatványozás 3. Ismétlés: gyökvonás 4. Értelmezési tartomány vizsgálata 2
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenMatematika 11. évfolyam
Matematika 11. évfolyam Tanmenet Másodfokúra visszavezethető magasabb rendű egyenletek, másodfokú egyenletrendszerek 1. Másodfokú egyenletek (ismétlés) 2. Másodfokú egyenletrendszerek (behelyettesítő módszer)
RészletesebbenI. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK
MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,
Részletesebben3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenNT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat
NT-17302 Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 11. tankönyv a Heuréka-sorozat harmadik tagja. Ebben a segédanyagban ehhez a könyvhöz a tizenegyedikes tananyag
RészletesebbenMatematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény
RészletesebbenMegoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7
A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenMatematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)
Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.
RészletesebbenMatematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )
Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenOsztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
RészletesebbenJavítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök
Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök I. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok Állítás (igazságérték), állítás tagadása, állítás megfordítása Halmazok
Részletesebben13. Trigonometria II.
Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenAz osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom
RészletesebbenGyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6
Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
Részletesebben2) Egy háromszög két oldalának hossza 9 és 14 cm. A 14 cm hosszú oldallal szemközti szög 42. Adja meg a háromszög hiányzó adatait!
Szinusztétel 1) Egy háromszög két oldalának hossza 3 és 5 cm. Az 5 cm hosszú oldallal szemközti szög 70. Adja ) Egy háromszög két oldalának hossza 9 és 14 cm. A 14 cm hosszú oldallal szemközti szög 4.
RészletesebbenOSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY
OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Gráfok Betűk használata a matematikában Hatványozás. A
Részletesebben2018/2019. Matematika 10.K
Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép, függvénytáblázat 2 órás, 4 jegyet ér 2019. május 27-31. héten Aki hiányzik, a következő héten írja meg, e nélkül
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
RészletesebbenMATEMATIKA 11. osztály I. KOMBINATORIKA
MATEMATIKA 11. osztály I. KOMBINATORIKA Kombinatorika I s m é t l é s n é l k ü l i p e r m u t á c i ó 1. Öt diák (A, B, C, D, E) elmegy moziba, és egymás mellé kapnak jegyeket. a) Hányféle sorrendben
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenMATEMATIKA. Szakközépiskola
MATEMATIKA Szakközépiskola Az osztályozóvizsga írásbeli feladatlap. Az osztályozó vizsgán az osztályzás a munkaközösség által elfogadott egységes követelményrendszer alapján történik. A tanuló az osztályozó
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége,
RészletesebbenOsztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,
RészletesebbenAz osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam
Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból Minden évfolyamra vonatkozóan általános irányelv, hogy a matematikai ismeretek alkalmazásán (feladatok, problémák megoldása) van a hangsúly,
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenHatvány, gyök, normálalak
Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő
RészletesebbenNT-17312 Az érthető matematika 11. Tanmenetjavaslat
NT-17312 Az érthető matematika 11. Tanmenetjavaslat Idézet a 3.2.04. kerettantervből (11 12. évfolyam, bevezetés): Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos
RészletesebbenAz egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMegoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.
1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,
RészletesebbenFeladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
RészletesebbenA keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)
55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +
RészletesebbenGyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!
1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!
RészletesebbenMit emelj ki a négyjegyűben?
Mit emelj ki a négyjegyűben? Már többször észrevettem, hogy az érettségi előtt állók, nem tudják használni a négyjegyű függvénytáblázatot. Ez nem az ő hibájuk... sajnos az oktatás nem tér ki erre... ezt
RészletesebbenI. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?
1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan
Részletesebben8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész
Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=
RészletesebbenMATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005
2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus
Részletesebben12. Trigonometria I.
Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenElméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!
Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenLehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
RészletesebbenMatematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
Részletesebben1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!
1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! G H = H \ G = 2. Ha 1 kg szalámi ára 2800 Ft, akkor hány
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
RészletesebbenSzé12/1/N és Szé12/1/E osztály matematika minimumkérdések a javítóvizsgára
Szé1/1/N és Szé1/1/E osztály matematika minimumkérdések a javítóvizsgára Halmazelmélet Halmaz, részhalmaz, végtelen halmaz, üres halmaz, halmaz megadása, halmazműveletek (metszet, unió, különbség, komplementer),
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.
RészletesebbenAbszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása
Részletesebben3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2
3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor
Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket
RészletesebbenMatematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
Részletesebben