A WGS84 és HD72 alapfelületek közötti transzformáció Molodensky-Badekas-féle (3-paraméteres) meghatározása a gyakorlat számára

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A WGS84 és HD72 alapfelületek közötti transzformáció Molodensky-Badekas-féle (3-paraméteres) meghatározása a gyakorlat számára"

Átírás

1 A WGS84 és HD7 alapfelületek közötti traszformáció Molodesky-Badekas-féle (3-paraméteres) meghatározása a gyakorlat számára Timár Gábor Molár Gábor Pásztor Szilárd ELTE Geofizikai Taszék, Ûrkutató Csoport. Bevezetés A kereskedelmi forgalomba kapható, legolcsóbb kategóriájú GPS mûszerek ára már arra a szitre csökket, hogy ezek már szite tömegcikkek tekithetõk, és számos terepi észlelést végzõ kutató felszerelésébe megtalálhatók. A terepi mukát végzõ felhaszálók többsége, elsõsorba biológusok, geológusok, mezõgazdászok, geofizikusok, erdészek, katoák stb. a méréseikhez redeledõ koordiáták geodéziai potosságát em várják el; számukra elegedõ, ha pozíciójukat 3-5 méter potossággal méri és topográfiai térképe ábrázoli tudják. Ezt a követelméyt ma, a korlátozott elérhetõségi kódok feloldása utá, szite bármely GPS mûszer teljesíti problémát jelet viszot, hogy e beredezések többsége em ismeri a Magyarországo terepi kutatásialkalmazási célra haszált topográfiai térképek alapfelületeit, evezetese a HD7 (ill. a Gauss- Krüger vetületi térképeke alkalmazott S-4) dátumot. Más alapfelület, pl. a WGS84 alkalmazása eseté viszot az észlelt koordiáták eltérése megközelítheti a 00 métert, ami pedig már a emgeodéziai célú alkalmazások eseté is elfogadhatatla. A legtöbb alsókategóriás GPS mûszer esetébe lehetõség va felhaszáló általi dátumdefiiálásra (User Datum), mely 5 paramétert kívá meg: az alapellipszoidak a WGS84 ellipszoidhoz viszoyított eltolását leíró 3 paramétert (d, d, dz), illetve az alapellipszoid és a WGS84 ellipszoid agytegelyéek és lapultságáak eltérését (da és df). A HD7 és a WGS84 alapfelületek közötti, a szakirodalomba leírt traszformációk, pl. Mihály (995, 996); Busics (996); Ádám (000), az alapellipszoidok eltérésé túl 7 paramétert tartalmazak. A széleskörû, em geodéziai célú és igéyû GPS-alkalmazásokhoz szükséges még a 3-paraméteres traszformációs modell defiiálása is. Takács (00a; 00b), részbe Busics (996) yomá, olya traszformációkat ad meg, amelyekkel külöbözõ típusú kézi GPS vevõkkel, felhaszáló által defiiált koordiátaredszerek (User Grid) beállításával, avigációs célra elegedõ potossággal, közvetleül az EOV koordiáták jeleíthetõk meg. A jele dolgozat em ezt az utat választja: mivel az EOV koordiáták számítási képletei ismertek (MÉM OFTH, 975), ezért itt az EOV alapfelületéek, a HD7-ek a miél potosabb, 3-paraméteres, kézi GPS-vevõkbe is beállítható defiíciója a cél, így a GPS vevõ a HD7 alapfelülete értelmezett földrajzi koordiáták irathatók ki.. A Bursa-Wolf-féle (7 paraméteres) traszformáció A geodéziai alapfelületek, más éve dátumok defiiálása más dátumokhoz törtéõ traszformációk segítségével lehetséges (pl. Bíró, 985). A leírás és így a dátumdefiíció általába a klasszikus

2 Helmert-traszformáció 7 paraméterével törtéik: 3 paraméter az eltolási, 3 az elforgatási tag, és a femaradó az alapelipszoidok közötti agyítási téyezõ. A 7 paraméter, illetve a kiidulási- és a céldátum ellipszoidi koordiátái segítségével az átváltás az ú. Bursa-Wolf traszformáció segítségével törtéhet (Bursa, 96; Wolf, 963): Áttérés geocetrikus koordiátákra: = ( N + h) cos Φ cos Λ = ( N + h) cosφ si Λ Z = [ N ( e ) + h] si Φ ahol a N( Φ) = e si Φ () () (3) a harátgörbületi sugár; a az ellipszoid fél agytegelye, e az excetricitása; Φ, Λ, ill. h a pot földrajzi koordiátái és ellipszoidi magassága,, és Z pedig a geocetrikus koordiáták. Áttérés más alapfelületre: Z ' ' d + + = d ( κ ) Z dz ' Z Z (4) ahol ', ' és Z' a céldátumo értelmezett geocetrikus koordiáták, d, d és dz az eltolási, és Z az elforgatási paraméterek, a méretaráytéyezõ. A geocetrikus koordiátákról földrajzi koordiátákra törtéõ koverzió egyeletei a földrajzi szélesség számításakor em hozhatók explicit alakra, ezért Bowrig (976) yomá a potos leíráshoz képest a következõ egyszerûsítés alkalmazható: Z + e' bsi Φ ' = arcta p e a cos Λ = arcta (5) (6) p h' = N ( Φ) cosφ (7) Za ahol p = +, θ = arcta, pb 3 θ θ 3 a b e' =, b a és b az ellipszoid fél agy- és kistegelye. A feti egyszerûsítõ formula (de em az egész háromparaméteres egyszerûsítés) alkalmazása 000 km magasságig cetiméter potosságot jelet (Bowrig, 976). Ez természetese a geodéziai szitû potosság elvesztését eredméyezi, de a jele dolgozatba vázolt célak ez megfelel, és a további egyszerûsítések egyébkét is ezt meghaladó hibát eredméyezek. A GPS techológia lehetõvé tette a geocetrikus koordiátaredszerek, vagyis a Föld téyleges tömegközéppotjához rögzített, abszolút helyzetû ellipszoid, a WGS84 globális dátum bevezetését (DMA, 986). Ezt követõe bármely dátum relatív leírását a WGS84-hez képest tehetjük meg. 3. A Molodesky-Badekas-féle egyszerûsített traszformációs formulák A dátum-traszformáció megadásakor feltételkét szabhatjuk, hogy a (4) egyeletbe = = = κ := 0 Z (8) Ilyekor a 3-paraméteres, tisztá eltolássá redukált traszformációt Molodesky- illetve Molodesky-Badekas-traszformációak evezzük (Molodesky et al., 960; Badekas, 969). A traszformáció természetese az ()-(7) egyeletekbe törtéõ behelyettesítéssel is elvégezhetõ, ekkor a traszformáció vektorösszegzéssé egyszerûsödik. Nem szükséges azoba a földrajzi, ill. geocetrikus koordiáták közötti oda-vissza váltás, haem a kiiduló és a céldátumo értelmezett földrajzi koordiáták külöbsége, ill. az ellipszoid-magasságok eltérése az ú. Molodesky-féle áthidaló formulák segítségével közvetleül is megadható (DMA, 990): d si Φ cosλ d si Φ si Λ + Φ" = M si " + dz cosφ + ( a df + f da)si Φ (9) M si " d si Λ + d cos Λ Λ" = N cosφ si" (0)

3 h = d cosφ cos Λ + d cosφ si Λ + + ( a df + f da)si ahol Φ da e M ( Φ) = a ( e si () a meridiágörbületi sugár; Φ és Λ a kiiduló, ill. a céldátumo értelmezett szélesség-, ill. hosszúságkülöbség szögmásodpercbe, h a kiiduló és a céldátumo értelmezett ellipszoidmagasságok külöbsége, f a kiiduló ellipszoid lapultsága, da és df a kiiduló és célellipszoidok félagytegely-, ill. lapultság-eltérése. N és e leírását ld. a (3) egyelet utá. 4. A geoidmagasságok értelmezése a modellparaméterek meghatározásakor Φ) 3 A szerzõk 99 darab, Magyarország területé egyeletese elhelyezkedõ alappot adatait kapták meg a Földmérési és Távérzékelési Itézettõl a jele dolgozat elkészítéséhez. Az egyes alappotokhoz adott volt azok két EOV-koordiátája, geoid magassága, továbbá a WGS84 redszerbe értelmezett 3 geocetrikus koordiátája (Borza, 996). Az egyetle felmerülõ problémát tehát az jeleti, hogy az alappotok magasságait em a HD7 alapfelülethez, haem a szitezési folyamato keresztül a geoidhoz képest határozták meg. Ezt a problémát háromféleképp is megoldhatóak tartjuk. A geometriai értelembe egzakt megoldás az, ha a geoidmagasságokat a HD7 dátum felett értelmezett ellipszoid-magasságokká alakítjuk át, ehhez szükséges a geoid magyarországi felületdarabjáak ismerete. Jele dolgozatba az EGM96 globális geoidmodellt (NIMA, 997) alkalmaztuk az alappotoko fellépõ geoid-uduláció becslésére. Egy másik lehetséges megoldás, hogy eltekitük a geoid-udulációtól, és olya modellt defiiáluk, amely közvetleül a geoidmagasság, ill. az EOV-koordiáták és a WGS84 koordiáták között teremt kapcsolatot. Erre a geometriailag egyébkét ikorrekt defiícióra azért va lehetõség, mert bár a HD7 dátum által leírt ellipszoid és a geoid em esik egybe, Magyarország területé azoba majdem párhuzamosa haladak: a HD7 geoidudulációja 6,5-7 méter körüli, sehol em kerül 5,5 m alá, ill. 8,5 m fölé (Ádám et al., 000). A harmadik lehetõség azt célozza, hogy a GPSmûszerekbe beállítható felhaszálói dátumak e csak 3, haem mid az 5 paraméterét beállítva, magasságkorrekció (tehát a kijelzett ellipszoidmagasságból a geoid-uduláció levoása) élkül közvetleül a HD7 ellipszoid-magasság legye leolvasható. Kihaszálva az imét említett téyt, hogy a HD7 dátum geoid-udulációja majdem álladó Magyarország területé, a dátum alapját képezõ GPS67 ellipszoid fél agy- és kistegelyét egyarát ez átlagértékkel (pl. 7 méterrel) megövelve megadhatók a WGS84 és e módosított ellipszoid dátumáak paraméterei. Ismét szükséges hagsúlyozi, hogy a második és a harmadik megoldás geometriai értelembe em helyes, s bár az általuk eredméyezett paramétereket is megadjuk, csak az elsõ megoldást részletezzük. 5. A modellparaméterek számítása A geoid magyarországi darabjáak leírására a HGEO99B modell szolgál (Keyeres, 999), eek a WGS84-gyel majdem megegyezõ, abszolút elhelyezésû GRS80 ellipszoidra voatkoztatott geoid-udulációját Ádám et al. (000) leírja. Mivel a HGEO99B modell em állt redelkezésükre, a globális, 360-ad fokú és 360-ad redû EGM96 modellt (NIMA, 997) haszáltuk. Adott poto az így számolt geoid-uduláció eltérése a HGEO99B szerititõl Magyarország területé mideütt fél méter alatt marad, általába az eltérés 0 cm körüli. Az EOV síkkordiáták HD7 alapfelülete értelmezett földrajzi koordiátákká alakítását GPS Pathfider Office.70 szoftverrel végeztük, mide további traszformáció számítására a NIMA (00) GeoTras.03 programját haszáltuk. Az EOV síkkordiáták és a geoidmagasságok alapjá, az utóbbiakat az EGM96 modell segítségével ellipszoid-magasságokká kovertálva, kiszámítottuk a megkapott alappotok HD7 dátumo értelmezett geocetrikus koordiátáit. Ie az eltolási traszformáció 3 paramétere a A GPS mûszerek egy részéél az alapfelület átállítása csak a síkkordiátákat változtatja; a jelzett magasság a WGS84 ellipszoidi magasság marad. d = i= ( WGS 84, i HD7, i ) ; 3

4 d = i= ( WGS 84, i HD7, i ) ; dz = ( Z WGS 84, i Z HD 7, i ) () i= összefüggések segítségével egyszerûe kiszámítható, és a következõ értékeik adódtak (HD7àWGS84 iráyú traszformáció eseté): d=56,9 m (+0,48 0,53 m); d=-70,8 m (+0,50-0,79 m); dz=-9,49 m (+0,73-0,36 m) A feti zárójeles számértékek a legikább eltérõ pot koordiátájáak az átlagostól való eltérését jelzik. Az EOV koordiáták és geoidmagasságok felhaszálásával, a feti háromparaméteres modell segítségével számított WGS84 geocetrikus koordiáták átlagos eltérése a megadottaktól a 99 alappoto 4 cm, a maximális eltérés 94 cm. A traszformáció háromdimeziós potossága tehát méter. Ugyailye fotos megadi a traszformáció vízszites hibáját, amelyek átlagértéke 4 cm, maximális értéke 80 cm. Ameyibe a geoidmagasságokat ellipszoidmagasságokak tételezzük fel, úgy a következõ eredméyek adódak: d = 6,6 m (+0,9 -,5 m); d = -68,66 m (+,5 -,38 m); dz = -4,39 m (+0,95 -,8 m) Itt a háromdimeziós átlagos eltérés 75 cm, a maximális eltérés,53 méter. A vízszites átlagos eltérés 5 cm, a maximális vizszites hiba 9 cm. A becsült geoidmagasságok maximális hibája 86 cm. Végül, ha a geoidmagasságokat a 7 méterrel megövelt félagytegelyû és ugyaeyivel övelt félkistegelyû, módosított GRS67 ellipszoid feletti magasságkét értelmezzük, úgy: d = 56,8 m (+0,74-0,97 m); d = -70, m (+0,6-0,9 m); dz = -9,59 m (+0,64-0,74 m) Ekkor a háromdimeziós átlagos eltérés 5 cm, a maximális eltérés,06 méter. A vízszites hiba átlaga 45 cm, maximuma 95 cm, a függõleges eltérések átlaga 39,5 cm (vagyis a GRS67 méretét em 7 méterrel, haem 7-0,395=6,605 méterrel kell öveli). Lehetséges természetese az is, hogy a 3-paraméteres modellt ismert geoid-udulációjú pothoz, egybe az alapfelület kezdõpotjához kössük. Felhaszálva, hogy a Szõlõhegy poto a geoid 6,56 méterrel a HD7 alapfelület felett va, az így kiszámított HD7 geocetrikus koordiáták és a WGS84 geocetrikus koordiáták külöbségét képezve: d = 57.0 m; d = m; dz = -9,9 m, ami alig tér el az elsõ megoldástól, az eltérés mértéke az EGM96 geoidmodel potosságára utal! Ez a traszformáció garatálta helyes geoid-udulációhoz, ill. magassági dátumhoz kötött. Átlagos vizszites hibája 45 cm, a maximális eltérés 95 cm. 6. Diszkusszió és összefoglalás Az eredméyekbõl látható, hogy a legkisebb hibát a geometriailag egzakt megoldás adja, ez esetbe a traszformáció méterél em agyobb háromdimeziós eltéréssel bármely vizsgált alappot WGS84-koordiátáit átalakítja HD7-koordiátákká és viszot. Eél valamivel rosszabb a módosított méretû alapellipszoidra számított modell hibája. A geometriailag helyes Molodesky-Badekas modell paraméterei tehát a következõk (HD7àWGS84 iráyú traszformáció eseté, a WGS84 és a GRS67 ellipszoid ismert félagytegely- és lapultság-eltérésével): d = 56,9 m; d = -70,8 m; dz = -9,49 m; da = -3 m; df = -,304*0-7, míg az alapfelület kezdõpotjához és aak ismert ellipszoid-magasságához kötött traszformáció paraméterei: d = 57,0 m; d = -69,97 m; dz = -9,9 m; A GRS67-tõl eltérõ alapellipszoid miatt itt da = -30 m és df = -,0937*0-7. 4

5 da = -3 m; df = -,304*0-7 Ezek az adatok alkalmazhatók a GPS mûszerek felhaszálói dátumakét megadva a HD7 alapfelület defiiálására 3, az eze értelmezett koordiátákból pedig a helyes EOV koordiáták számíthatók. A potosság m alatti, ami a kézi GPS-ek mérési és sok esetbe adatkijelzési potosságát meghaladja. Összehasolításkét megemlítjük, hogy a HD7 és a WGS84 közötti 7-paraméteres traszformációs modellek potossága eél jobb, de azoos agyságredû. A Busics (996) által leírt modell átlagos vizszites hibája a vizsgált 99 alappoto 30 cm, a maximális eltérés 6 cm, a maximális függõleges eltérés 87 cm (ez a modell közvetleül geoidmagasságokat számol). Hasoló vizszites potosságú a Mihály (995) által megadott, ellipszoidmagasságokat becslõ modell. Az így defiiált dátumtraszformáció további elõyei: A csak 3-paraméteres dátumtraszformációs modelleket ismerõ GIS alkalmazásokba is haszálható. A WGS84 közbeiktatása élküli, közvetle átszámítások más alapfelületekre eek alkalmazásával léyegese egyszerûbbek. Míg adott potossággal több 7-paraméteres traszformáció is meghatározható, a tisztá eltolásos modellt adott kezdõadatokat felhaszálva midig egyértelmûe defiiálhatjuk. Köszöetyilváítás A dolgozat elkészítéséhez szükséges geodéziai alapadatokat a Földmérési és Távérzékelési Itézet bocsátotta a szerzõk redelkezésére, kizárólag tudomáyos célú felhaszálásra. A szerzõk ezúto modaak köszöetet dr. Borza Tiborak (FÖMI Kozmikus Geodéziai Obszervatórium) és dr. Györffy Jáosak (ELTE Térképtudomáyi Taszék) a dolgozat elkészítéséhez yújtott szakmai segítségért. 3 Bár a dolgozat em részletezi, a gyakorlati alkalmazások érdekébe megadjuk az S-4 (Gauss-Krüger vetületû új katoai térképek alapfelülete) defiiálására GIS szoftverekbe alkalmazott paramétersort: d = 8 m; d = - m; dz = -77 m; da = -08 m; df = 4,80795*0-7; koverziós iráy: S-4 à WGS84 (NIMA, 00). * IRODALOM. Ádám J.: 000. Magyarországo alkalmazott geodéziai voatkoztatási redszerek vizsgálata. Geodézia és Kartográfia 5/:9-5.. Ádám J. Gazsó M. Keyeres A. Virág G.: 000. Az Állami Földmérésél 969 és 999 között végzett geoidmeghatározási mukálatok. Geodézia és Kartográfia 5/: Badekas, J.: 969. Ivestigatios related to the establishmet of a world geodetic system. Report 4, Departmet of Geodetic Sciece, Ohio State Uiversity, Columbus. 4. Bíró P.: 985. Felsõgeodézia. Taköyvkiadó, Budapest. 5. Borza T.: 996. A háromdimeziós geodézia hazai alaphálózata.. Kozmikus Geodéziai Szemiárium, Elõadáskötet, Budapest. 6. Bowrig, B.: 976. Trasformatio from spatial to geographical coordiates. Survey Review III: Bursa, M.: 96. The theory for the determiatio of the o-parallelism of the mior axis of the referece ellipsoid ad the iertial polar axis of the Earth, ad the plaes of the iitial astroomic ad geodetic meridias from the observatio of artificial Earth satellites. Studia Geophysica et Geodetica 6: Busics Gy.: 996. Közelítõ alkalmazások a GPS és az EOV-koordiáták között. Geodézia és Kartográfia 48/6: Defese Mappig Agecy, 986. Departmet of Defese World Geodetic System 984 Its Defiitio ad Relatioships With Local Geodetic Systems. Techical Report St. Louis, Missoury, USA. 0. Defese Mappig Agecy, 990. Datums, Ellipsoids, Grids ad Grid Referece Systems. DMA Techical Maual Fairfax, Virgiia, USA. Keyeres A.: 999. A geoid magyarországi felületdarabjáak továbbfejlesztése. Kutatási jeletés, FÖMI, Pec.. Mezõgazdasági és Élelmezésügyi Miisztérium, Országos Földügyi és Térképészeti Hivatal, 975. Vetületi Szabályzat az Egységes Országos Vetületi Redszer alkalmazására. Szabályzat, Budapest. 3. Mihály Sz.: 995. A magyarországi geodéziai voatkozási és vetületi redszerek leíró katalógusa, 4. kiadás, FÖMI, Budapest. 4. Mihály Sz.: 996. Descriptio Directory of the Hugaria Geodetic Refereces. GIS 4:

6 5. Molodesky, M.S.: Eremeev, V.F., urkia, M.I., 960. Metody izucheyia vesego gravitatsioogo polya i figuri Zemli. Tr. CNIIGAiK 3 Moszkva. 6. Natioal Imagery ad Mappig Agecy, 00. GeoTras v Geodetic Coordiate Trasformatio Utility. St. Louis, Missoury, USA. 7. Natioal Imagery ad Mappig Agecy, Natioal Aeroautics ad Space Admiistratio GSFC, 997. WGS84 EGM96 (complete to degree ad order 360) st Editio. NIMA-NASA GSFC, St. Louis, Missoury, USA 8. Takács B.: 00a. EOV koordiáták beállítása GARMIN vevõkö. staff-h/bece/eov_gar.html 9. Takács B.: 00b. EOV koordiáták beállítása MAGELLAN vevõkö Wolf, H.: 963 Geometric coectio ad re-orietatio of three-dimesioal triagulatio ets. Bulleti Géodésique 68: The Molodesky-Badekas (3-parameter) datum trasformatio betwee the WGS84 ad the Hugaria Datum 97 for practical use G. Timár G. Molár Sz. Pásztor Summary World Geodetic System 984 (WGS84) ad the Hugaria Datum 97 (HD7) of the GRS67 ellipsoid. 99 base poits of the precise levellig i uiform spatial distributio i Hugary was used to the parameter estimatio with the data set of WGS84 geocetric coordiates, EOV (Hugaria Grid) eastigs ad orthigs ad the geoid height for each poit. Sice EOV is iterpreted o HD7 datum, the coordiates was trasformed ito geographic latitudes ad logitudes. Ellipsoid heights o HD7 were estimated from geoid heights usig the EGM96 global geoid model. The 3 parameters of the datum shift were calculated usig the computed HD7 ad the give WGS84 geocetric coordiates. The parameters are the followig, with the kow semi major axis ad flatteig differece of WGS84 ad GRS67 ellipsoids: d = 56.9 m; d = m; dz = m; da = -3 m; df = -.304*0-7 (directio: from HD7 to WGS84). The three-dimesioal error of the trasformatio is uder meter i Hugary. The parameters of the trasformatio usig oly the base poit of the HD7 (Szõlõhegy) ad its kow exact geoid udulatio: d = 57.0 m; d = m; dz = -9.9 m; da = -3 m; df = -.304*0-7 (directio: from HD7 to WGS84), its maximum horizotal error is below meter i Hugary. A 3-parameter Molodesky-Badekas datum trasformatio model is defied betwee the A felsõfokú földmérõ képzésrõl másképpe Gyees Róbert, NME Geoiformatikai Fõiskolai Kar, Geodézia Taszék Lapuk 00/6. számába olvashattuk a magyar felsõfokú földmérõ-térképész képzésrõl [3]. A taulmáyba a Budapesti Mûszaki és Gazdaságtudomáyi Egyeteme, az Eötvös Lórád Tudomáyegyeteme és a Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Fõiskolai Kará (NME GEO) folyó szakember-képzés került bemutatásra. A leírtak alapjá elismerést érdemel az itézméyekbe folyó oktatói-kutatói-evelõi muka, de mit az ebbe a mukába mideap résztvevõ, em szaladhatok el azo sorok fölött, amelyek a 3. fejezetbe, az NME GEO-ál leírtakál találhatók. Egedjék meg, hogy most szó szerit ebbõl idézzek: 6

A legjobb vízszintes illeszkedést. azonos pontok adatai alapján

A legjobb vízszintes illeszkedést. azonos pontok adatai alapján legjobb vízszintes illeszkedést biztosító Molodenskyparaméterek meghatározása azonos pontok adatai alapján Molnár Gábor dr. Timár Gábor ELTE Geofizikai Tanszék, Ûrkutató Csoport. Bevezetés térinformatika

Részletesebben

A magyarországi Gauss-Krüger-vetületû katonai topográfiai térképek dátumparaméterei

A magyarországi Gauss-Krüger-vetületû katonai topográfiai térképek dátumparaméterei A magyarországi Gauss-Krüger-vetületû katonai topográfiai térképek dátumparaméterei Timár Gábor 1 Kubány Csongor 2 Molnár Gábor 1 1ELTE Geofizikai Tanszék, Ûrkutató Csoport 2Honvédelmi Minisztérium, Térképészeti

Részletesebben

A Föld alakja TRANSZFORMÁCIÓ. Magyarországon még használatban lévő vetületi rendszerek. Miért kell transzformálni? Főbb transzformációs lehetőségek

A Föld alakja TRANSZFORMÁCIÓ. Magyarországon még használatban lévő vetületi rendszerek. Miért kell transzformálni? Főbb transzformációs lehetőségek TRANSZFORMÁCIÓ A Föld alakja -A föld alakja: geoid (az a felület, amelyen a nehézségi gyorsulás értéke állandó) szabálytalan alak, kezelése nehéz -A geoidot ellipszoiddal közelítjük -A földfelszíni pontokat

Részletesebben

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között A különböző időpontokban, különböző körülmények között rögzített pontok földi koordinátái különböző alapfelületekre (ellipszoidokra geodéziai dátumokra)

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

A második és harmadik katonai felmérés erdélyi szelvényeinek vetületiés dátumparaméterei

A második és harmadik katonai felmérés erdélyi szelvényeinek vetületiés dátumparaméterei geos-majus.qxd 9/1/04 9:35 PM Page 1 A második és harmadik katonai felmérés erdélyi szelvényeinek vetületiés dátumparaméterei Timár Gábor 1 Molnár Gábor 1 Păunescu Cornel Pendea Florin 3 1 ELTE Geofizikai

Részletesebben

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum) Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok . gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt

Részletesebben

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük. Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Űrfelvételek térinformatikai rendszerbe integrálása

Űrfelvételek térinformatikai rendszerbe integrálása Budapest, 2005. október 18. Űrfelvételek térinformatikai rendszerbe integrálása Molnár Gábor ELTE Geofizikai Tanszék Űrkutató Csoport Témavezető: Dr. Ferencz Csaba Eötvös Loránd Tudományegyetem Geofizikai

Részletesebben

Koordináta-rendszerek

Koordináta-rendszerek Koordináta-rendszerek Térkép: a Föld felszín (részletének) ábrázolása síkban Hogyan határozható meg egy pont helyzete egy síkon? Derékszögű koordináta-rendszer: a síkban két, egymást merőlegesen metsző

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Agrár-környezetvédelmi Modul Agrár-környezetvédelem, agrotechnológia. KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI MSc

Agrár-környezetvédelmi Modul Agrár-környezetvédelem, agrotechnológia. KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI MSc Agrár-környezetvédelmi Modul Agrár-környezetvédelem, agrotechnológia KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI MSc A művelést segítő szenzorok és monitorok I. 139.lecke Globális helymeghatározás

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

A FÖLDMINŐSÍTÉS GEOMETRIAI ALAPJAI

A FÖLDMINŐSÍTÉS GEOMETRIAI ALAPJAI A FÖLDMINŐSÍTÉS GEOMETRIAI ALAPJAI Detrekői Ákos Keszthely, 2003. 12. 11. TARTALOM 1 Bevezetés 2 Milyen geometriai adatok szükségesek? 3 Néhány szó a referencia rendszerekről 4 Geometriai adatok forrásai

Részletesebben

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE BUDAPET MŰZAKI É GAZDAÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőméröki Kar Hidak és zerkezetek Taszéke VABETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉE Oktatási segédlet v. Összeállította: Dr. Bódi Istvá - Dr. Farkas György Budapest,. máus

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 1.

Matematikai geodéziai számítások 1. Matematikai geodéziai számítások 1 Ellipszoidi számítások, ellipszoid, geoid és terep metszete Dr Bácsatyai, László Created by XMLmind XSL-FO Converter Matematikai geodéziai számítások 1: Ellipszoidi számítások,

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

1. A radioaktivitás statisztikus jellege

1. A radioaktivitás statisztikus jellege A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a

Részletesebben

Átfolyó-rendszerű gázvízmelegítő teljesítményének és hatásfokának meghatározása Gazdaságossági számításokhoz

Átfolyó-rendszerű gázvízmelegítő teljesítményének és hatásfokának meghatározása Gazdaságossági számításokhoz Átfolyó-redszerű gázvízmelegítő teljesítméyéek és hatásfokáak meghatározása Gazdaságossági számításokhoz Szuyog Istvá 005 Készült az OTKA T-0464 kutatási projekt keretébe A Gázipari oktatási laboratórium

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 4.

Matematikai geodéziai számítások 4. Matematikai geodéziai számítások 4. Vetületi átszámítások Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 4.: Vetületi átszámítások Dr. Bácsatyai, László Lektor: Dr. Benedek, Judit Ez a modul a

Részletesebben

A méretaránytényező kérdése a földmérésben és néhány szakmai következménye

A méretaránytényező kérdése a földmérésben és néhány szakmai következménye A méretaránytényező kérdése a földmérésben és néhány szakmai következménye Dr. Busics György c. egyetemi tanár Óbudai Egyetem Alba Regia Műszaki Kar Székesfehérvár MFTTT Vándorgyűlés, Békéscsaba, 2019.

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

A második világháború német katonai térképeinek koordinátarendszere

A második világháború német katonai térképeinek koordinátarendszere geos-junius.qxd 9/1/04 9:52 PM Page 28 A második világháború német katonai térképeinek koordinátarendszere Dr. Timár Gábor 1, Lévai Pál 2, dr. Molnár Gábor 1, dr. Varga József 3 1ELTE Geofizikai Tanszék

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

TÉRINFORMATIKA II. Dr. Kulcsár Balázs főiskolai docens. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék

TÉRINFORMATIKA II. Dr. Kulcsár Balázs főiskolai docens. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék TÉRINFORMATIKA II. Dr. Kulcsár Balázs főiskolai docens Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék TÁJÉKOZTATÁS TANTÁRGYI TEMATIKA 1 Előadás 1. GPS műszerek és kapcsolódó szoftvereik bemutatása

Részletesebben

Bevezetés a geodéziába

Bevezetés a geodéziába Bevezetés a geodéziába 1 Geodézia Definíció: a földmérés a Föld alakjának és méreteinek, a Föld fizikai felszínén, ill. a felszín alatt lévő természetes és mesterséges alakzatok geometriai méreteinek és

Részletesebben

A paramétereket kísérletileg meghatározott yi értékekre támaszkodva becsülik. Ha n darab kisérletet (megfigyelést, mérést) végeznek, n darab

A paramétereket kísérletileg meghatározott yi értékekre támaszkodva becsülik. Ha n darab kisérletet (megfigyelést, mérést) végeznek, n darab öbbváltozós regresszók Paraméterbecslés-. A paraméterbecslés.. A probléma megfogalmazása A paramétereket kísérletleg meghatározott y értékekre támaszkodva becsülk. Ha darab ksérletet (megfgyelést, mérést

Részletesebben

Emlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854): " ' #$ * $ ( ' $* " ' #µ

Emlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854):  ' #$ * $ ( ' $*  ' #µ Emlékeztető: az -dimeziós sokaság görbültségét kifejező meyiség a Riema-tezor (Riema, 1854: ' ( ' $ ' #µ $ µ# ahol a ú. koexiós koefficiesek (vagy Christoffel-szimbólumok a metrikus tezor g # x $ kompoeseiből

Részletesebben

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Cserjésné Sutyák Ágnes *, Szilágyiné Biró Andrea ** ismerete mellett több kísérleti és empirikus képletet fel-

Cserjésné Sutyák Ágnes *, Szilágyiné Biró Andrea ** ismerete mellett több kísérleti és empirikus képletet fel- ACÉLOK KÉMIAI LITY OF STEELS THROUGH Cserjésé Sutyák Áges *, Szilágyié Biró Adrea ** beig s s 1. E kutatás célja, hogy képet meghatározásáak kísérleti és számítási móiek tosságáról, és ezzel felfedjük

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

A budapesti sztereografikus, illetve a régi magyarországi hengervetületek és geodéziai dátumaik paraméterezése a térinformatikai gyakorlat számára

A budapesti sztereografikus, illetve a régi magyarországi hengervetületek és geodéziai dátumaik paraméterezése a térinformatikai gyakorlat számára A budapesti sztereografikus, illetve a régi magyarországi hengervetületek és geodéziai dátumaik paraméterezése a térinformatikai gyakorlat számára Timár Gábor 1, Molnár Gábor 1, Márta Gergely 2 1ELTE Geofizikai

Részletesebben

RTCM alapú VITEL transzformáció felhasználó oldali beállítása Trimble Survey Controller szoftver használata esetén

RTCM alapú VITEL transzformáció felhasználó oldali beállítása Trimble Survey Controller szoftver használata esetén RTCM alapú VITEL transzformáció felhasználó oldali beállítása Trimble Survey Controller szoftver használata esetén A http://www.gnssnet.hu/valos_trafo.php weboldalról letöltött RTCM VITEL.dc nevű Trimble

Részletesebben

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8. . feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

A FUNDAMENTÁLIS EGYENLET KÉT REPREZENTÁCIÓBAN. A függvény teljes differenciálja, a differenciális fundamentális egyenlet: U V S U + dn 1

A FUNDAMENTÁLIS EGYENLET KÉT REPREZENTÁCIÓBAN. A függvény teljes differenciálja, a differenciális fundamentális egyenlet: U V S U + dn 1 A FUNDAMENÁLIS EGYENLE KÉ REPREZENÁCIÓBAN A differeciális fudametális egyelet A fudametális egyelet a belső eergiára: UU (S V K ) A függvéy teljes differeciálja a differeciális fudametális egyelet: U S

Részletesebben

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje. 24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor

Részletesebben

Vetületi rendszerek és átszámítások

Vetületi rendszerek és átszámítások Vetületi rendszerek és átszámítások PhD értekezés tézisei Dr. Varga József egyetemi adjunktus Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Építőmérnöki Kar Általános- és Felsőgeodézia Tanszék Budapest,

Részletesebben

Térképészeti alapismeretek. Mit jelent egy térkép léptéke?

Térképészeti alapismeretek. Mit jelent egy térkép léptéke? Térképészeti alapismeretek Mi a térkép? A föld felszínén illetve azzal kapcsolatban álló anyagi vagy elvont dolgoknak általában kicsinyített, generalizált, síkbeli megjelenítése. Térképészeti absztrakció

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

GEODÉZIA ÉS KARTOGRÁFIA

GEODÉZIA ÉS KARTOGRÁFIA GEODÉZIA ÉS KARTOGRÁFIA 55. ÉVFOLYAM 2003 10. SZÁM Az EOV-alapfelületek térbeli helyzetének vizsgálata Kratochvilla Krisztina doktorandusz BME Általános- és Felsõgeodézia Tanszék Bevezetés Az 1975-ben

Részletesebben

Nyílt forrású, webes WGS84-EOV transzformáció

Nyílt forrású, webes WGS84-EOV transzformáció Nyílt forrású, webes WGS84-EOV transzformáció Faludi Zoltán UniGIS 2007 Faludi Zoltán UniGIS 2007 http://wgseov.sf.net 1/17 Nyílt forrású rendszerek a térinformatikában Szerver oldali szoftverek Kliens

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

REOIL. növeli a transzformátorok élettartamát. www.ekofluid.sk/hu/

REOIL. növeli a transzformátorok élettartamát. www.ekofluid.sk/hu/ 5 öveli a traszformátorok öveli a traszformátorok A techológia előyei A költségek csökketéseek folyamatos kéyszere és a zavartala eergiaellátás ehézségei szükségessé teszik a traszformátorok tervezett

Részletesebben

GPS mérési jegyz könyv

GPS mérési jegyz könyv GPS mérési jegyz könyv Mérést végezte: Csutak Balázs, Laczkó Hunor Mérés helye: ITK 320. terem és az egyetem környéke Mérés ideje: 2016.03.16 A mérés célja: Ismerkedés a globális helymeghatározó rendszerrel,

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése 3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

A PPP. a vonatkoztatási rendszer, az elmélet és gyakorlat összefüggése egy Fehérvár környéki kísérleti GNSS-mérés tapasztalatai alapján

A PPP. a vonatkoztatási rendszer, az elmélet és gyakorlat összefüggése egy Fehérvár környéki kísérleti GNSS-mérés tapasztalatai alapján GISopen konferencia, Székesfehérvár, 2017. 04. 11-13. A PPP a vonatkoztatási rendszer, az elmélet és gyakorlat összefüggése egy Fehérvár környéki kísérleti GNSS-mérés tapasztalatai alapján Busics György

Részletesebben

A felsõfokú földmérõ képzésrõl másképpen. Gyenes Róbert, NYME Geoinformatikai Fõiskolai Kar, Geodézia Tanszék

A felsõfokú földmérõ képzésrõl másképpen. Gyenes Róbert, NYME Geoinformatikai Fõiskolai Kar, Geodézia Tanszék 15. Molodensky, M.S.: Eremeev, V.F., Yurkina, M.I., 1960. Metody izuchenyia vnesnego gravitatsionnogo polya i figuri Zemli. Tr. CNIIGAiK 131 Moszkva. 16. National Imagery and Mapping Agency, 2001. GeoTrans

Részletesebben

VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.

VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea. VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Az ivanicsi (ivanići) rendszer paraméterezése a térinformatikai alkalmazásokban Dr. Timár Gábor 1, Markovinović Danko 2, Kovács Béla 3

Az ivanicsi (ivanići) rendszer paraméterezése a térinformatikai alkalmazásokban Dr. Timár Gábor 1, Markovinović Danko 2, Kovács Béla 3 Az ivanicsi (ivanići) rendszer paraméterezése a térinformatikai alkalmazásokban Dr. Timár Gábor 1, Markovinović Danko 2, Kovács Béla 3 1 ELTE Geofizikai Tanszék Űrkutató Csoport 2 Zágrábi Egyetem, Geodéziai

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

PELTON TURBINA MÉRÉSE

PELTON TURBINA MÉRÉSE idrodiamikai Redszerek Taszék PELTON TURBINA MÉRÉSE 1. A mérés célja A mérés célja egy, a gyógyszer- és vegyiparba eergia visszayerés céljára haszálatos saválló jelleggörbéiek felvétele. A turbia jellemzői:

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

5. előadás: Földi vonatkoztatási rendszerek

5. előadás: Földi vonatkoztatási rendszerek 5. előadás: Földi vonatkoztatási rendszerek 5. előadás: Földi vonatkoztatási rendszerek A Nemzetközi Földi Vonatkoztatási Rendszer A csillagászati geodézia története során egészen a XX. század kezdetéig

Részletesebben

TÉRINFORMATIKA I. Dr. Kulcsár Balázs egyetemi docens. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék

TÉRINFORMATIKA I. Dr. Kulcsár Balázs egyetemi docens. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék TÉRINFORMATIKA I. Dr. Kulcsár Balázs egyetemi docens Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék TÁJÉKOZTATÁS TANTÁRGYI TEMATIKA 1 Előadás 1. Bevezetés a térinformatikába. Kartográfia történet.

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k. 8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),

Részletesebben

Szabályozó szelepek (PN 6) VL 2 2-utú szelep, karima VL 3 3-járatú szelep, karima

Szabályozó szelepek (PN 6) VL 2 2-utú szelep, karima VL 3 3-járatú szelep, karima Szabályozó szelepek (PN 6) V 2 2-utú szelep, karima V 3 3-járatú szelep, karima eírás V 2 V 3 A V 2 és a V 3 szelepek miőségi és költséghatékoy megoldást adak a legtöbb víz és hűtött víz alkalmazás eseté.

Részletesebben

Matematika B4 I. gyakorlat

Matematika B4 I. gyakorlat Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a

Részletesebben

Magasságos GPS. avagy továbbra is

Magasságos GPS. avagy továbbra is Magasságos GPS avagy továbbra is Tisztázatlan kérdések az RTK-technológiával végzett magasságmeghatározás területén? http://www.sgo.fomi.hu/files/magassagi_problemak.pdf Takács Bence BME Általános- és

Részletesebben

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL 36 MIXCONTROL AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL Subert Istvá deformáció-elleálló keverékvázat lehet létrehozi. Kiidulási feltétel az alkalmazás helyéek

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

A vonatkoztatási rendszerek és transzformálásuk néhány kérdése. Dr. Busics György Óbudai Egyetem Alba Regia Műszaki Kar Székesfehérvár

A vonatkoztatási rendszerek és transzformálásuk néhány kérdése. Dr. Busics György Óbudai Egyetem Alba Regia Műszaki Kar Székesfehérvár A vonatkoztatási rendszerek és transzformálásuk néhány kérdése Dr. Busics György Óbudai Egyetem Alba Regia Műszaki Kar Székesfehérvár Tartalom Vonatkoztatási rendszer a térinformatikában Földi vonatkoztatási

Részletesebben

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.: 6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú

Részletesebben

1. ábra A rendelkezésre álló adatok szemléltetése

1. ábra A rendelkezésre álló adatok szemléltetése Folyásgörbe elvétele 1. Folyásgörbe elvétele hegeres próbatest egytegelyű húzó-igéybevételével Egytegelyű húzó-igéybevétel biztosítható a szakítóvizsgálatál az egyeletes yúlás határáig, vagy másképpe megogalmazva

Részletesebben

oldatból történő kristályosítás esetén

oldatból történő kristályosítás esetén Borsos és Lakatos: Méretfüggő kristályövekedési sebesség modellezése Méretfüggő kristályövekedési sebesség modellezése oldatból törtéő kristályosítás eseté Borsos Ákos és Lakatos G. Béla Pao Egyetem, Méröki

Részletesebben

Bizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl).

Bizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl). ) a) Értelmezzük a valós számok halmazá az f függvéyt az f x = x + kx + 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl) ( ) Számítsa ki, hogy k mely értéke eseté lesz x = a függvéyek lokális szélsőértékhelye

Részletesebben

DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI

DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI Koós Tamás Zríyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem koos.tamas@zme.hu DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI Absztrakt A tériformatikai szoftverek egyre szélesebb köre képes

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Mobil térinformatikai feladatmegoldások támogatása GNSS szolgáltatással

Mobil térinformatikai feladatmegoldások támogatása GNSS szolgáltatással Mobil térinformatikai feladatmegoldások támogatása GNSS szolgáltatással Horváth Tamás FÖMI Kozmikus Geodéziai Obszervatórium horvath@gnssnet.hu www.gnssnet.hu Tel.: 06-27-200-930 Mobil: 06-30-867-2570

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben