A WGS84 és HD72 alapfelületek közötti transzformáció Molodensky-Badekas-féle (3-paraméteres) meghatározása a gyakorlat számára

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A WGS84 és HD72 alapfelületek közötti transzformáció Molodensky-Badekas-féle (3-paraméteres) meghatározása a gyakorlat számára"

Átírás

1 A WGS84 és HD7 alapfelületek közötti traszformáció Molodesky-Badekas-féle (3-paraméteres) meghatározása a gyakorlat számára Timár Gábor Molár Gábor Pásztor Szilárd ELTE Geofizikai Taszék, Ûrkutató Csoport. Bevezetés A kereskedelmi forgalomba kapható, legolcsóbb kategóriájú GPS mûszerek ára már arra a szitre csökket, hogy ezek már szite tömegcikkek tekithetõk, és számos terepi észlelést végzõ kutató felszerelésébe megtalálhatók. A terepi mukát végzõ felhaszálók többsége, elsõsorba biológusok, geológusok, mezõgazdászok, geofizikusok, erdészek, katoák stb. a méréseikhez redeledõ koordiáták geodéziai potosságát em várják el; számukra elegedõ, ha pozíciójukat 3-5 méter potossággal méri és topográfiai térképe ábrázoli tudják. Ezt a követelméyt ma, a korlátozott elérhetõségi kódok feloldása utá, szite bármely GPS mûszer teljesíti problémát jelet viszot, hogy e beredezések többsége em ismeri a Magyarországo terepi kutatásialkalmazási célra haszált topográfiai térképek alapfelületeit, evezetese a HD7 (ill. a Gauss- Krüger vetületi térképeke alkalmazott S-4) dátumot. Más alapfelület, pl. a WGS84 alkalmazása eseté viszot az észlelt koordiáták eltérése megközelítheti a 00 métert, ami pedig már a emgeodéziai célú alkalmazások eseté is elfogadhatatla. A legtöbb alsókategóriás GPS mûszer esetébe lehetõség va felhaszáló általi dátumdefiiálásra (User Datum), mely 5 paramétert kívá meg: az alapellipszoidak a WGS84 ellipszoidhoz viszoyított eltolását leíró 3 paramétert (d, d, dz), illetve az alapellipszoid és a WGS84 ellipszoid agytegelyéek és lapultságáak eltérését (da és df). A HD7 és a WGS84 alapfelületek közötti, a szakirodalomba leírt traszformációk, pl. Mihály (995, 996); Busics (996); Ádám (000), az alapellipszoidok eltérésé túl 7 paramétert tartalmazak. A széleskörû, em geodéziai célú és igéyû GPS-alkalmazásokhoz szükséges még a 3-paraméteres traszformációs modell defiiálása is. Takács (00a; 00b), részbe Busics (996) yomá, olya traszformációkat ad meg, amelyekkel külöbözõ típusú kézi GPS vevõkkel, felhaszáló által defiiált koordiátaredszerek (User Grid) beállításával, avigációs célra elegedõ potossággal, közvetleül az EOV koordiáták jeleíthetõk meg. A jele dolgozat em ezt az utat választja: mivel az EOV koordiáták számítási képletei ismertek (MÉM OFTH, 975), ezért itt az EOV alapfelületéek, a HD7-ek a miél potosabb, 3-paraméteres, kézi GPS-vevõkbe is beállítható defiíciója a cél, így a GPS vevõ a HD7 alapfelülete értelmezett földrajzi koordiáták irathatók ki.. A Bursa-Wolf-féle (7 paraméteres) traszformáció A geodéziai alapfelületek, más éve dátumok defiiálása más dátumokhoz törtéõ traszformációk segítségével lehetséges (pl. Bíró, 985). A leírás és így a dátumdefiíció általába a klasszikus

2 Helmert-traszformáció 7 paraméterével törtéik: 3 paraméter az eltolási, 3 az elforgatási tag, és a femaradó az alapelipszoidok közötti agyítási téyezõ. A 7 paraméter, illetve a kiidulási- és a céldátum ellipszoidi koordiátái segítségével az átváltás az ú. Bursa-Wolf traszformáció segítségével törtéhet (Bursa, 96; Wolf, 963): Áttérés geocetrikus koordiátákra: = ( N + h) cos Φ cos Λ = ( N + h) cosφ si Λ Z = [ N ( e ) + h] si Φ ahol a N( Φ) = e si Φ () () (3) a harátgörbületi sugár; a az ellipszoid fél agytegelye, e az excetricitása; Φ, Λ, ill. h a pot földrajzi koordiátái és ellipszoidi magassága,, és Z pedig a geocetrikus koordiáták. Áttérés más alapfelületre: Z ' ' d + + = d ( κ ) Z dz ' Z Z (4) ahol ', ' és Z' a céldátumo értelmezett geocetrikus koordiáták, d, d és dz az eltolási, és Z az elforgatási paraméterek, a méretaráytéyezõ. A geocetrikus koordiátákról földrajzi koordiátákra törtéõ koverzió egyeletei a földrajzi szélesség számításakor em hozhatók explicit alakra, ezért Bowrig (976) yomá a potos leíráshoz képest a következõ egyszerûsítés alkalmazható: Z + e' bsi Φ ' = arcta p e a cos Λ = arcta (5) (6) p h' = N ( Φ) cosφ (7) Za ahol p = +, θ = arcta, pb 3 θ θ 3 a b e' =, b a és b az ellipszoid fél agy- és kistegelye. A feti egyszerûsítõ formula (de em az egész háromparaméteres egyszerûsítés) alkalmazása 000 km magasságig cetiméter potosságot jelet (Bowrig, 976). Ez természetese a geodéziai szitû potosság elvesztését eredméyezi, de a jele dolgozatba vázolt célak ez megfelel, és a további egyszerûsítések egyébkét is ezt meghaladó hibát eredméyezek. A GPS techológia lehetõvé tette a geocetrikus koordiátaredszerek, vagyis a Föld téyleges tömegközéppotjához rögzített, abszolút helyzetû ellipszoid, a WGS84 globális dátum bevezetését (DMA, 986). Ezt követõe bármely dátum relatív leírását a WGS84-hez képest tehetjük meg. 3. A Molodesky-Badekas-féle egyszerûsített traszformációs formulák A dátum-traszformáció megadásakor feltételkét szabhatjuk, hogy a (4) egyeletbe = = = κ := 0 Z (8) Ilyekor a 3-paraméteres, tisztá eltolássá redukált traszformációt Molodesky- illetve Molodesky-Badekas-traszformációak evezzük (Molodesky et al., 960; Badekas, 969). A traszformáció természetese az ()-(7) egyeletekbe törtéõ behelyettesítéssel is elvégezhetõ, ekkor a traszformáció vektorösszegzéssé egyszerûsödik. Nem szükséges azoba a földrajzi, ill. geocetrikus koordiáták közötti oda-vissza váltás, haem a kiiduló és a céldátumo értelmezett földrajzi koordiáták külöbsége, ill. az ellipszoid-magasságok eltérése az ú. Molodesky-féle áthidaló formulák segítségével közvetleül is megadható (DMA, 990): d si Φ cosλ d si Φ si Λ + Φ" = M si " + dz cosφ + ( a df + f da)si Φ (9) M si " d si Λ + d cos Λ Λ" = N cosφ si" (0)

3 h = d cosφ cos Λ + d cosφ si Λ + + ( a df + f da)si ahol Φ da e M ( Φ) = a ( e si () a meridiágörbületi sugár; Φ és Λ a kiiduló, ill. a céldátumo értelmezett szélesség-, ill. hosszúságkülöbség szögmásodpercbe, h a kiiduló és a céldátumo értelmezett ellipszoidmagasságok külöbsége, f a kiiduló ellipszoid lapultsága, da és df a kiiduló és célellipszoidok félagytegely-, ill. lapultság-eltérése. N és e leírását ld. a (3) egyelet utá. 4. A geoidmagasságok értelmezése a modellparaméterek meghatározásakor Φ) 3 A szerzõk 99 darab, Magyarország területé egyeletese elhelyezkedõ alappot adatait kapták meg a Földmérési és Távérzékelési Itézettõl a jele dolgozat elkészítéséhez. Az egyes alappotokhoz adott volt azok két EOV-koordiátája, geoid magassága, továbbá a WGS84 redszerbe értelmezett 3 geocetrikus koordiátája (Borza, 996). Az egyetle felmerülõ problémát tehát az jeleti, hogy az alappotok magasságait em a HD7 alapfelülethez, haem a szitezési folyamato keresztül a geoidhoz képest határozták meg. Ezt a problémát háromféleképp is megoldhatóak tartjuk. A geometriai értelembe egzakt megoldás az, ha a geoidmagasságokat a HD7 dátum felett értelmezett ellipszoid-magasságokká alakítjuk át, ehhez szükséges a geoid magyarországi felületdarabjáak ismerete. Jele dolgozatba az EGM96 globális geoidmodellt (NIMA, 997) alkalmaztuk az alappotoko fellépõ geoid-uduláció becslésére. Egy másik lehetséges megoldás, hogy eltekitük a geoid-udulációtól, és olya modellt defiiáluk, amely közvetleül a geoidmagasság, ill. az EOV-koordiáták és a WGS84 koordiáták között teremt kapcsolatot. Erre a geometriailag egyébkét ikorrekt defiícióra azért va lehetõség, mert bár a HD7 dátum által leírt ellipszoid és a geoid em esik egybe, Magyarország területé azoba majdem párhuzamosa haladak: a HD7 geoidudulációja 6,5-7 méter körüli, sehol em kerül 5,5 m alá, ill. 8,5 m fölé (Ádám et al., 000). A harmadik lehetõség azt célozza, hogy a GPSmûszerekbe beállítható felhaszálói dátumak e csak 3, haem mid az 5 paraméterét beállítva, magasságkorrekció (tehát a kijelzett ellipszoidmagasságból a geoid-uduláció levoása) élkül közvetleül a HD7 ellipszoid-magasság legye leolvasható. Kihaszálva az imét említett téyt, hogy a HD7 dátum geoid-udulációja majdem álladó Magyarország területé, a dátum alapját képezõ GPS67 ellipszoid fél agy- és kistegelyét egyarát ez átlagértékkel (pl. 7 méterrel) megövelve megadhatók a WGS84 és e módosított ellipszoid dátumáak paraméterei. Ismét szükséges hagsúlyozi, hogy a második és a harmadik megoldás geometriai értelembe em helyes, s bár az általuk eredméyezett paramétereket is megadjuk, csak az elsõ megoldást részletezzük. 5. A modellparaméterek számítása A geoid magyarországi darabjáak leírására a HGEO99B modell szolgál (Keyeres, 999), eek a WGS84-gyel majdem megegyezõ, abszolút elhelyezésû GRS80 ellipszoidra voatkoztatott geoid-udulációját Ádám et al. (000) leírja. Mivel a HGEO99B modell em állt redelkezésükre, a globális, 360-ad fokú és 360-ad redû EGM96 modellt (NIMA, 997) haszáltuk. Adott poto az így számolt geoid-uduláció eltérése a HGEO99B szerititõl Magyarország területé mideütt fél méter alatt marad, általába az eltérés 0 cm körüli. Az EOV síkkordiáták HD7 alapfelülete értelmezett földrajzi koordiátákká alakítását GPS Pathfider Office.70 szoftverrel végeztük, mide további traszformáció számítására a NIMA (00) GeoTras.03 programját haszáltuk. Az EOV síkkordiáták és a geoidmagasságok alapjá, az utóbbiakat az EGM96 modell segítségével ellipszoid-magasságokká kovertálva, kiszámítottuk a megkapott alappotok HD7 dátumo értelmezett geocetrikus koordiátáit. Ie az eltolási traszformáció 3 paramétere a A GPS mûszerek egy részéél az alapfelület átállítása csak a síkkordiátákat változtatja; a jelzett magasság a WGS84 ellipszoidi magasság marad. d = i= ( WGS 84, i HD7, i ) ; 3

4 d = i= ( WGS 84, i HD7, i ) ; dz = ( Z WGS 84, i Z HD 7, i ) () i= összefüggések segítségével egyszerûe kiszámítható, és a következõ értékeik adódtak (HD7àWGS84 iráyú traszformáció eseté): d=56,9 m (+0,48 0,53 m); d=-70,8 m (+0,50-0,79 m); dz=-9,49 m (+0,73-0,36 m) A feti zárójeles számértékek a legikább eltérõ pot koordiátájáak az átlagostól való eltérését jelzik. Az EOV koordiáták és geoidmagasságok felhaszálásával, a feti háromparaméteres modell segítségével számított WGS84 geocetrikus koordiáták átlagos eltérése a megadottaktól a 99 alappoto 4 cm, a maximális eltérés 94 cm. A traszformáció háromdimeziós potossága tehát méter. Ugyailye fotos megadi a traszformáció vízszites hibáját, amelyek átlagértéke 4 cm, maximális értéke 80 cm. Ameyibe a geoidmagasságokat ellipszoidmagasságokak tételezzük fel, úgy a következõ eredméyek adódak: d = 6,6 m (+0,9 -,5 m); d = -68,66 m (+,5 -,38 m); dz = -4,39 m (+0,95 -,8 m) Itt a háromdimeziós átlagos eltérés 75 cm, a maximális eltérés,53 méter. A vízszites átlagos eltérés 5 cm, a maximális vizszites hiba 9 cm. A becsült geoidmagasságok maximális hibája 86 cm. Végül, ha a geoidmagasságokat a 7 méterrel megövelt félagytegelyû és ugyaeyivel övelt félkistegelyû, módosított GRS67 ellipszoid feletti magasságkét értelmezzük, úgy: d = 56,8 m (+0,74-0,97 m); d = -70, m (+0,6-0,9 m); dz = -9,59 m (+0,64-0,74 m) Ekkor a háromdimeziós átlagos eltérés 5 cm, a maximális eltérés,06 méter. A vízszites hiba átlaga 45 cm, maximuma 95 cm, a függõleges eltérések átlaga 39,5 cm (vagyis a GRS67 méretét em 7 méterrel, haem 7-0,395=6,605 méterrel kell öveli). Lehetséges természetese az is, hogy a 3-paraméteres modellt ismert geoid-udulációjú pothoz, egybe az alapfelület kezdõpotjához kössük. Felhaszálva, hogy a Szõlõhegy poto a geoid 6,56 méterrel a HD7 alapfelület felett va, az így kiszámított HD7 geocetrikus koordiáták és a WGS84 geocetrikus koordiáták külöbségét képezve: d = 57.0 m; d = m; dz = -9,9 m, ami alig tér el az elsõ megoldástól, az eltérés mértéke az EGM96 geoidmodel potosságára utal! Ez a traszformáció garatálta helyes geoid-udulációhoz, ill. magassági dátumhoz kötött. Átlagos vizszites hibája 45 cm, a maximális eltérés 95 cm. 6. Diszkusszió és összefoglalás Az eredméyekbõl látható, hogy a legkisebb hibát a geometriailag egzakt megoldás adja, ez esetbe a traszformáció méterél em agyobb háromdimeziós eltéréssel bármely vizsgált alappot WGS84-koordiátáit átalakítja HD7-koordiátákká és viszot. Eél valamivel rosszabb a módosított méretû alapellipszoidra számított modell hibája. A geometriailag helyes Molodesky-Badekas modell paraméterei tehát a következõk (HD7àWGS84 iráyú traszformáció eseté, a WGS84 és a GRS67 ellipszoid ismert félagytegely- és lapultság-eltérésével): d = 56,9 m; d = -70,8 m; dz = -9,49 m; da = -3 m; df = -,304*0-7, míg az alapfelület kezdõpotjához és aak ismert ellipszoid-magasságához kötött traszformáció paraméterei: d = 57,0 m; d = -69,97 m; dz = -9,9 m; A GRS67-tõl eltérõ alapellipszoid miatt itt da = -30 m és df = -,0937*0-7. 4

5 da = -3 m; df = -,304*0-7 Ezek az adatok alkalmazhatók a GPS mûszerek felhaszálói dátumakét megadva a HD7 alapfelület defiiálására 3, az eze értelmezett koordiátákból pedig a helyes EOV koordiáták számíthatók. A potosság m alatti, ami a kézi GPS-ek mérési és sok esetbe adatkijelzési potosságát meghaladja. Összehasolításkét megemlítjük, hogy a HD7 és a WGS84 közötti 7-paraméteres traszformációs modellek potossága eél jobb, de azoos agyságredû. A Busics (996) által leírt modell átlagos vizszites hibája a vizsgált 99 alappoto 30 cm, a maximális eltérés 6 cm, a maximális függõleges eltérés 87 cm (ez a modell közvetleül geoidmagasságokat számol). Hasoló vizszites potosságú a Mihály (995) által megadott, ellipszoidmagasságokat becslõ modell. Az így defiiált dátumtraszformáció további elõyei: A csak 3-paraméteres dátumtraszformációs modelleket ismerõ GIS alkalmazásokba is haszálható. A WGS84 közbeiktatása élküli, közvetle átszámítások más alapfelületekre eek alkalmazásával léyegese egyszerûbbek. Míg adott potossággal több 7-paraméteres traszformáció is meghatározható, a tisztá eltolásos modellt adott kezdõadatokat felhaszálva midig egyértelmûe defiiálhatjuk. Köszöetyilváítás A dolgozat elkészítéséhez szükséges geodéziai alapadatokat a Földmérési és Távérzékelési Itézet bocsátotta a szerzõk redelkezésére, kizárólag tudomáyos célú felhaszálásra. A szerzõk ezúto modaak köszöetet dr. Borza Tiborak (FÖMI Kozmikus Geodéziai Obszervatórium) és dr. Györffy Jáosak (ELTE Térképtudomáyi Taszék) a dolgozat elkészítéséhez yújtott szakmai segítségért. 3 Bár a dolgozat em részletezi, a gyakorlati alkalmazások érdekébe megadjuk az S-4 (Gauss-Krüger vetületû új katoai térképek alapfelülete) defiiálására GIS szoftverekbe alkalmazott paramétersort: d = 8 m; d = - m; dz = -77 m; da = -08 m; df = 4,80795*0-7; koverziós iráy: S-4 à WGS84 (NIMA, 00). * IRODALOM. Ádám J.: 000. Magyarországo alkalmazott geodéziai voatkoztatási redszerek vizsgálata. Geodézia és Kartográfia 5/:9-5.. Ádám J. Gazsó M. Keyeres A. Virág G.: 000. Az Állami Földmérésél 969 és 999 között végzett geoidmeghatározási mukálatok. Geodézia és Kartográfia 5/: Badekas, J.: 969. Ivestigatios related to the establishmet of a world geodetic system. Report 4, Departmet of Geodetic Sciece, Ohio State Uiversity, Columbus. 4. Bíró P.: 985. Felsõgeodézia. Taköyvkiadó, Budapest. 5. Borza T.: 996. A háromdimeziós geodézia hazai alaphálózata.. Kozmikus Geodéziai Szemiárium, Elõadáskötet, Budapest. 6. Bowrig, B.: 976. Trasformatio from spatial to geographical coordiates. Survey Review III: Bursa, M.: 96. The theory for the determiatio of the o-parallelism of the mior axis of the referece ellipsoid ad the iertial polar axis of the Earth, ad the plaes of the iitial astroomic ad geodetic meridias from the observatio of artificial Earth satellites. Studia Geophysica et Geodetica 6: Busics Gy.: 996. Közelítõ alkalmazások a GPS és az EOV-koordiáták között. Geodézia és Kartográfia 48/6: Defese Mappig Agecy, 986. Departmet of Defese World Geodetic System 984 Its Defiitio ad Relatioships With Local Geodetic Systems. Techical Report St. Louis, Missoury, USA. 0. Defese Mappig Agecy, 990. Datums, Ellipsoids, Grids ad Grid Referece Systems. DMA Techical Maual Fairfax, Virgiia, USA. Keyeres A.: 999. A geoid magyarországi felületdarabjáak továbbfejlesztése. Kutatási jeletés, FÖMI, Pec.. Mezõgazdasági és Élelmezésügyi Miisztérium, Országos Földügyi és Térképészeti Hivatal, 975. Vetületi Szabályzat az Egységes Országos Vetületi Redszer alkalmazására. Szabályzat, Budapest. 3. Mihály Sz.: 995. A magyarországi geodéziai voatkozási és vetületi redszerek leíró katalógusa, 4. kiadás, FÖMI, Budapest. 4. Mihály Sz.: 996. Descriptio Directory of the Hugaria Geodetic Refereces. GIS 4:

6 5. Molodesky, M.S.: Eremeev, V.F., urkia, M.I., 960. Metody izucheyia vesego gravitatsioogo polya i figuri Zemli. Tr. CNIIGAiK 3 Moszkva. 6. Natioal Imagery ad Mappig Agecy, 00. GeoTras v Geodetic Coordiate Trasformatio Utility. St. Louis, Missoury, USA. 7. Natioal Imagery ad Mappig Agecy, Natioal Aeroautics ad Space Admiistratio GSFC, 997. WGS84 EGM96 (complete to degree ad order 360) st Editio. NIMA-NASA GSFC, St. Louis, Missoury, USA 8. Takács B.: 00a. EOV koordiáták beállítása GARMIN vevõkö. staff-h/bece/eov_gar.html 9. Takács B.: 00b. EOV koordiáták beállítása MAGELLAN vevõkö. 0. Wolf, H.: 963 Geometric coectio ad re-orietatio of three-dimesioal triagulatio ets. Bulleti Géodésique 68: The Molodesky-Badekas (3-parameter) datum trasformatio betwee the WGS84 ad the Hugaria Datum 97 for practical use G. Timár G. Molár Sz. Pásztor Summary World Geodetic System 984 (WGS84) ad the Hugaria Datum 97 (HD7) of the GRS67 ellipsoid. 99 base poits of the precise levellig i uiform spatial distributio i Hugary was used to the parameter estimatio with the data set of WGS84 geocetric coordiates, EOV (Hugaria Grid) eastigs ad orthigs ad the geoid height for each poit. Sice EOV is iterpreted o HD7 datum, the coordiates was trasformed ito geographic latitudes ad logitudes. Ellipsoid heights o HD7 were estimated from geoid heights usig the EGM96 global geoid model. The 3 parameters of the datum shift were calculated usig the computed HD7 ad the give WGS84 geocetric coordiates. The parameters are the followig, with the kow semi major axis ad flatteig differece of WGS84 ad GRS67 ellipsoids: d = 56.9 m; d = m; dz = m; da = -3 m; df = -.304*0-7 (directio: from HD7 to WGS84). The three-dimesioal error of the trasformatio is uder meter i Hugary. The parameters of the trasformatio usig oly the base poit of the HD7 (Szõlõhegy) ad its kow exact geoid udulatio: d = 57.0 m; d = m; dz = -9.9 m; da = -3 m; df = -.304*0-7 (directio: from HD7 to WGS84), its maximum horizotal error is below meter i Hugary. A 3-parameter Molodesky-Badekas datum trasformatio model is defied betwee the A felsõfokú földmérõ képzésrõl másképpe Gyees Róbert, NME Geoiformatikai Fõiskolai Kar, Geodézia Taszék Lapuk 00/6. számába olvashattuk a magyar felsõfokú földmérõ-térképész képzésrõl [3]. A taulmáyba a Budapesti Mûszaki és Gazdaságtudomáyi Egyeteme, az Eötvös Lórád Tudomáyegyeteme és a Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Fõiskolai Kará (NME GEO) folyó szakember-képzés került bemutatásra. A leírtak alapjá elismerést érdemel az itézméyekbe folyó oktatói-kutatói-evelõi muka, de mit az ebbe a mukába mideap résztvevõ, em szaladhatok el azo sorok fölött, amelyek a 3. fejezetbe, az NME GEO-ál leírtakál találhatók. Egedjék meg, hogy most szó szerit ebbõl idézzek: 6

A legjobb vízszintes illeszkedést. azonos pontok adatai alapján

A legjobb vízszintes illeszkedést. azonos pontok adatai alapján legjobb vízszintes illeszkedést biztosító Molodenskyparaméterek meghatározása azonos pontok adatai alapján Molnár Gábor dr. Timár Gábor ELTE Geofizikai Tanszék, Ûrkutató Csoport. Bevezetés térinformatika

Részletesebben

A magyarországi Gauss-Krüger-vetületû katonai topográfiai térképek dátumparaméterei

A magyarországi Gauss-Krüger-vetületû katonai topográfiai térképek dátumparaméterei A magyarországi Gauss-Krüger-vetületû katonai topográfiai térképek dátumparaméterei Timár Gábor 1 Kubány Csongor 2 Molnár Gábor 1 1ELTE Geofizikai Tanszék, Ûrkutató Csoport 2Honvédelmi Minisztérium, Térképészeti

Részletesebben

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között A különböző időpontokban, különböző körülmények között rögzített pontok földi koordinátái különböző alapfelületekre (ellipszoidokra geodéziai dátumokra)

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

A második és harmadik katonai felmérés erdélyi szelvényeinek vetületiés dátumparaméterei

A második és harmadik katonai felmérés erdélyi szelvényeinek vetületiés dátumparaméterei geos-majus.qxd 9/1/04 9:35 PM Page 1 A második és harmadik katonai felmérés erdélyi szelvényeinek vetületiés dátumparaméterei Timár Gábor 1 Molnár Gábor 1 Păunescu Cornel Pendea Florin 3 1 ELTE Geofizikai

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Űrfelvételek térinformatikai rendszerbe integrálása

Űrfelvételek térinformatikai rendszerbe integrálása Budapest, 2005. október 18. Űrfelvételek térinformatikai rendszerbe integrálása Molnár Gábor ELTE Geofizikai Tanszék Űrkutató Csoport Témavezető: Dr. Ferencz Csaba Eötvös Loránd Tudományegyetem Geofizikai

Részletesebben

Koordináta-rendszerek

Koordináta-rendszerek Koordináta-rendszerek Térkép: a Föld felszín (részletének) ábrázolása síkban Hogyan határozható meg egy pont helyzete egy síkon? Derékszögű koordináta-rendszer: a síkban két, egymást merőlegesen metsző

Részletesebben

Agrár-környezetvédelmi Modul Agrár-környezetvédelem, agrotechnológia. KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI MSc

Agrár-környezetvédelmi Modul Agrár-környezetvédelem, agrotechnológia. KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI MSc Agrár-környezetvédelmi Modul Agrár-környezetvédelem, agrotechnológia KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI MSc A művelést segítő szenzorok és monitorok I. 139.lecke Globális helymeghatározás

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

A FÖLDMINŐSÍTÉS GEOMETRIAI ALAPJAI

A FÖLDMINŐSÍTÉS GEOMETRIAI ALAPJAI A FÖLDMINŐSÍTÉS GEOMETRIAI ALAPJAI Detrekői Ákos Keszthely, 2003. 12. 11. TARTALOM 1 Bevezetés 2 Milyen geometriai adatok szükségesek? 3 Néhány szó a referencia rendszerekről 4 Geometriai adatok forrásai

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

Átfolyó-rendszerű gázvízmelegítő teljesítményének és hatásfokának meghatározása Gazdaságossági számításokhoz

Átfolyó-rendszerű gázvízmelegítő teljesítményének és hatásfokának meghatározása Gazdaságossági számításokhoz Átfolyó-redszerű gázvízmelegítő teljesítméyéek és hatásfokáak meghatározása Gazdaságossági számításokhoz Szuyog Istvá 005 Készült az OTKA T-0464 kutatási projekt keretébe A Gázipari oktatási laboratórium

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 4.

Matematikai geodéziai számítások 4. Matematikai geodéziai számítások 4. Vetületi átszámítások Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 4.: Vetületi átszámítások Dr. Bácsatyai, László Lektor: Dr. Benedek, Judit Ez a modul a

Részletesebben

A második világháború német katonai térképeinek koordinátarendszere

A második világháború német katonai térképeinek koordinátarendszere geos-junius.qxd 9/1/04 9:52 PM Page 28 A második világháború német katonai térképeinek koordinátarendszere Dr. Timár Gábor 1, Lévai Pál 2, dr. Molnár Gábor 1, dr. Varga József 3 1ELTE Geofizikai Tanszék

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Bevezetés a geodéziába

Bevezetés a geodéziába Bevezetés a geodéziába 1 Geodézia Definíció: a földmérés a Föld alakjának és méreteinek, a Föld fizikai felszínén, ill. a felszín alatt lévő természetes és mesterséges alakzatok geometriai méreteinek és

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

GEODÉZIA ÉS KARTOGRÁFIA

GEODÉZIA ÉS KARTOGRÁFIA GEODÉZIA ÉS KARTOGRÁFIA 55. ÉVFOLYAM 2003 10. SZÁM Az EOV-alapfelületek térbeli helyzetének vizsgálata Kratochvilla Krisztina doktorandusz BME Általános- és Felsõgeodézia Tanszék Bevezetés Az 1975-ben

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

A budapesti sztereografikus, illetve a régi magyarországi hengervetületek és geodéziai dátumaik paraméterezése a térinformatikai gyakorlat számára

A budapesti sztereografikus, illetve a régi magyarországi hengervetületek és geodéziai dátumaik paraméterezése a térinformatikai gyakorlat számára A budapesti sztereografikus, illetve a régi magyarországi hengervetületek és geodéziai dátumaik paraméterezése a térinformatikai gyakorlat számára Timár Gábor 1, Molnár Gábor 1, Márta Gergely 2 1ELTE Geofizikai

Részletesebben

REOIL. növeli a transzformátorok élettartamát. www.ekofluid.sk/hu/

REOIL. növeli a transzformátorok élettartamát. www.ekofluid.sk/hu/ 5 öveli a traszformátorok öveli a traszformátorok A techológia előyei A költségek csökketéseek folyamatos kéyszere és a zavartala eergiaellátás ehézségei szükségessé teszik a traszformátorok tervezett

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

RTCM alapú VITEL transzformáció felhasználó oldali beállítása Trimble Survey Controller szoftver használata esetén

RTCM alapú VITEL transzformáció felhasználó oldali beállítása Trimble Survey Controller szoftver használata esetén RTCM alapú VITEL transzformáció felhasználó oldali beállítása Trimble Survey Controller szoftver használata esetén A http://www.gnssnet.hu/valos_trafo.php weboldalról letöltött RTCM VITEL.dc nevű Trimble

Részletesebben

Vetületi rendszerek és átszámítások

Vetületi rendszerek és átszámítások Vetületi rendszerek és átszámítások PhD értekezés tézisei Dr. Varga József egyetemi adjunktus Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Építőmérnöki Kar Általános- és Felsőgeodézia Tanszék Budapest,

Részletesebben

Térképészeti alapismeretek. Mit jelent egy térkép léptéke?

Térképészeti alapismeretek. Mit jelent egy térkép léptéke? Térképészeti alapismeretek Mi a térkép? A föld felszínén illetve azzal kapcsolatban álló anyagi vagy elvont dolgoknak általában kicsinyített, generalizált, síkbeli megjelenítése. Térképészeti absztrakció

Részletesebben

TÉRINFORMATIKA II. Dr. Kulcsár Balázs főiskolai docens. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék

TÉRINFORMATIKA II. Dr. Kulcsár Balázs főiskolai docens. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék TÉRINFORMATIKA II. Dr. Kulcsár Balázs főiskolai docens Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék TÁJÉKOZTATÁS TANTÁRGYI TEMATIKA 1 Előadás 1. GPS műszerek és kapcsolódó szoftvereik bemutatása

Részletesebben

PELTON TURBINA MÉRÉSE

PELTON TURBINA MÉRÉSE idrodiamikai Redszerek Taszék PELTON TURBINA MÉRÉSE 1. A mérés célja A mérés célja egy, a gyógyszer- és vegyiparba eergia visszayerés céljára haszálatos saválló jelleggörbéiek felvétele. A turbia jellemzői:

Részletesebben

Nyílt forrású, webes WGS84-EOV transzformáció

Nyílt forrású, webes WGS84-EOV transzformáció Nyílt forrású, webes WGS84-EOV transzformáció Faludi Zoltán UniGIS 2007 Faludi Zoltán UniGIS 2007 http://wgseov.sf.net 1/17 Nyílt forrású rendszerek a térinformatikában Szerver oldali szoftverek Kliens

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

A felsõfokú földmérõ képzésrõl másképpen. Gyenes Róbert, NYME Geoinformatikai Fõiskolai Kar, Geodézia Tanszék

A felsõfokú földmérõ képzésrõl másképpen. Gyenes Róbert, NYME Geoinformatikai Fõiskolai Kar, Geodézia Tanszék 15. Molodensky, M.S.: Eremeev, V.F., Yurkina, M.I., 1960. Metody izuchenyia vnesnego gravitatsionnogo polya i figuri Zemli. Tr. CNIIGAiK 131 Moszkva. 16. National Imagery and Mapping Agency, 2001. GeoTrans

Részletesebben

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése 3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem

Részletesebben

Az ivanicsi (ivanići) rendszer paraméterezése a térinformatikai alkalmazásokban Dr. Timár Gábor 1, Markovinović Danko 2, Kovács Béla 3

Az ivanicsi (ivanići) rendszer paraméterezése a térinformatikai alkalmazásokban Dr. Timár Gábor 1, Markovinović Danko 2, Kovács Béla 3 Az ivanicsi (ivanići) rendszer paraméterezése a térinformatikai alkalmazásokban Dr. Timár Gábor 1, Markovinović Danko 2, Kovács Béla 3 1 ELTE Geofizikai Tanszék Űrkutató Csoport 2 Zágrábi Egyetem, Geodéziai

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

5. előadás: Földi vonatkoztatási rendszerek

5. előadás: Földi vonatkoztatási rendszerek 5. előadás: Földi vonatkoztatási rendszerek 5. előadás: Földi vonatkoztatási rendszerek A Nemzetközi Földi Vonatkoztatási Rendszer A csillagászati geodézia története során egészen a XX. század kezdetéig

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL 36 MIXCONTROL AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL Subert Istvá deformáció-elleálló keverékvázat lehet létrehozi. Kiidulási feltétel az alkalmazás helyéek

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

Magasságos GPS. avagy továbbra is

Magasságos GPS. avagy továbbra is Magasságos GPS avagy továbbra is Tisztázatlan kérdések az RTK-technológiával végzett magasságmeghatározás területén? http://www.sgo.fomi.hu/files/magassagi_problemak.pdf Takács Bence BME Általános- és

Részletesebben

DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI

DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI Koós Tamás Zríyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem koos.tamas@zme.hu DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI Absztrakt A tériformatikai szoftverek egyre szélesebb köre képes

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

11. előadás: Az ellipszoid vetületei

11. előadás: Az ellipszoid vetületei 11. előadás: Az ellipszoid vetületei 11. előadás: Az ellipszoid vetületei Vetítés ellipszoidról a gömbre A vetítés általáos szempotjai Ha forgási ellipszoiddal helyettesítjük a Földet, de a felszíét gömbö

Részletesebben

Mobil térinformatikai feladatmegoldások támogatása GNSS szolgáltatással

Mobil térinformatikai feladatmegoldások támogatása GNSS szolgáltatással Mobil térinformatikai feladatmegoldások támogatása GNSS szolgáltatással Horváth Tamás FÖMI Kozmikus Geodéziai Obszervatórium horvath@gnssnet.hu www.gnssnet.hu Tel.: 06-27-200-930 Mobil: 06-30-867-2570

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

INFORMATIKA ÁGAZATI ALKALMAZÁSAI. Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP /1/A

INFORMATIKA ÁGAZATI ALKALMAZÁSAI. Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP /1/A INFORMATIKA ÁGAZATI ALKALMAZÁSAI Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010 14. GIS feldolgozás, méréselőkészítés Desktop méréselőkészítés Méréselőkészítés a kontrolleren

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

A GNSS infrastruktúrára támaszkodó műholdas helymeghatározás. Borza Tibor (FÖMI KGO) Busics György (NyME GEO)

A GNSS infrastruktúrára támaszkodó műholdas helymeghatározás. Borza Tibor (FÖMI KGO) Busics György (NyME GEO) A GNSS infrastruktúrára támaszkodó műholdas helymeghatározás Borza Tibor (FÖMI KGO) Busics György (NyME GEO) Tartalom Mi a GNSS, a GNSS infrastruktúra? Melyek az infrastruktúra szintjei? Mi a hazai helyzet?

Részletesebben

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.: 6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú

Részletesebben

A vonatkoztatási rendszerek és transzformálásuk néhány kérdése. Dr. Busics György Óbudai Egyetem Alba Regia Műszaki Kar Székesfehérvár

A vonatkoztatási rendszerek és transzformálásuk néhány kérdése. Dr. Busics György Óbudai Egyetem Alba Regia Műszaki Kar Székesfehérvár A vonatkoztatási rendszerek és transzformálásuk néhány kérdése Dr. Busics György Óbudai Egyetem Alba Regia Műszaki Kar Székesfehérvár Tartalom Vonatkoztatási rendszer a térinformatikában Földi vonatkoztatási

Részletesebben

TÉRINFORMATIKA I. Dr. Kulcsár Balázs egyetemi docens. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék

TÉRINFORMATIKA I. Dr. Kulcsár Balázs egyetemi docens. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék TÉRINFORMATIKA I. Dr. Kulcsár Balázs egyetemi docens Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék TÁJÉKOZTATÁS TANTÁRGYI TEMATIKA 1 Előadás 1. Bevezetés a térinformatikába. Kartográfia történet.

Részletesebben

Folytonos idejű rendszerek stabilitása

Folytonos idejű rendszerek stabilitása Folytoos idejű redszerek stabilitása Összeállította: dr. Gerzso Miklós egyetemi doces PTE MIK Műszaki Iformatika Taszék 205.2.06. Itelliges redszerek I. PTE MIK Mérök iformatikus BSc szak Stabilitás egyszerűsített

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

FOLYADÉKSZÁLLÍTÓ RENDSZER LINEÁRIS PARAMÉTER-ÉRZÉKENYSÉG ELEMZÉSE 2 1. BEVEZETÉS

FOLYADÉKSZÁLLÍTÓ RENDSZER LINEÁRIS PARAMÉTER-ÉRZÉKENYSÉG ELEMZÉSE 2 1. BEVEZETÉS Pokorádi László Szoloki Tudomáyos Közleméyek XVII. Szolok, 3 FOLYADÉKSZÁLLÍTÓ RENDSZER LINEÁRIS PARAMÉTER-ÉRZÉKENYSÉG ELEMZÉSE Techikai redszerek matematikai modellvizsgálata sorá figyelembe kell veük,

Részletesebben

2. fejezet. Vetületi alapfogalmak. Dr. Mélykúti Gábor

2. fejezet. Vetületi alapfogalmak. Dr. Mélykúti Gábor 2. fejezet Dr. Mélykúti Gábor Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 2.1 Bevezetés A modul a Térképtan és a Topográfia c. tantárgyak részét képezi. A modul a térképek készítése és használata

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

A második katonai felmérés térképeinek közelítõ vetületi és alapfelületi leírása a térinformatikai alkalmazások számára

A második katonai felmérés térképeinek közelítõ vetületi és alapfelületi leírása a térinformatikai alkalmazások számára A második katonai felmérés térképeinek közelítõ vetületi és alapfelületi leírása a térinformatikai alkalmazások számára Timár Gábor Molnár Gábor ELTE Geofizikai Tanszék Ûrkutató Csoport 1. Bevezetés A

Részletesebben

VTŠ Subotica / VTŠ Szabadka Ispitni zadatak iz MAŠINSKIH ELEMENATA 2 / Vizsga feladatsor GÉPELEMEK 2-ből Datum ispita / Vizsga időpontja:

VTŠ Subotica / VTŠ Szabadka Ispitni zadatak iz MAŠINSKIH ELEMENATA 2 / Vizsga feladatsor GÉPELEMEK 2-ből Datum ispita / Vizsga időpontja: VTŠ Subotica / VTŠ Szabadka Ispiti zadatak iz MAŠINSKIH ELEMENATA 2 / Vizsga feladatsor GÉPELEMEK 2-ből Datum ispita / Vizsga időpotja: 2015-06-17 Za preosik, prikaza a crtežu, koji radi miro bez udara:

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség: defiíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás sorá Péter László Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség fogalomköre és az érdesség

Részletesebben

A WGS84 geodéziai világrendszer és továbbfejlesztései*

A WGS84 geodéziai világrendszer és továbbfejlesztései* A WGS84 geodéziai világrendszer és továbbfejlesztései* Dr. Ádám József egyetemi tanár, akadémikus BME Általános- és Felsőgeodézia Tanszék MTA-BME Fizikai Geodézia és Geodinamikai Kutatócsoport 1. Bevezetés

Részletesebben

Geoshop fejlesztése a FÖMI-nél

Geoshop fejlesztése a FÖMI-nél Geoshop fejlesztése a FÖMI-nél Szolgáltató Igazgatóság Földmérési és Távérzékelési Intézet www.fomi.hu www.geoshop.hu takacs.krisztian@fomi.hu Budapest, 2014. június 12. Mi az a Geoshop? INSPIRE = térinformatikai

Részletesebben

Piacmeghatározás. Hipotetikus monopolista teszt. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása

Piacmeghatározás. Hipotetikus monopolista teszt. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása Moder iacelmélet Moder iacelmélet A iaci erő mérése ELTE TáTK Közgazdaságtudomáyi Taszék Selei Adrie ELTE TáTK Közgazdaságtudomáyi Taszék Készítette: Hidi Jáos A taayag a Gazdasági Verseyhivatal Verseykultúra

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Magyarországi geodéziai vonatkozási rendszerek és vetületi síkkoordináta-rendszerek vizsgálata

Magyarországi geodéziai vonatkozási rendszerek és vetületi síkkoordináta-rendszerek vizsgálata Magyarországi geodéziai vonatkozási rendszerek és vetületi síkkoordináta-rendszerek vizsgálata Az elmúlt 150 év során Magyarországon a történelmi helyzet sajátos alakulása következtében több alkalommal

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

Az EOV-koordináták nagypontosságú közelítése Hotine-féle ferdetengelyû Mercator-vetülettel

Az EOV-koordináták nagypontosságú közelítése Hotine-féle ferdetengelyû Mercator-vetülettel Az EOV-koordináták nagypontosságú közelítése Hotine-féle ferdetengelyû Mercator-vetülettel Molnár Gábor Timár Gábor ELTE Geofizikai Tanszék, Ûrkutató Csoport 1 Hotine (1947) vetületi leírása a Gauss-gömböt

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

GPS-navigáció történeti topográfiai és kataszteri térképeken Dr. Timár Gábor ELTE Földrajz- és Földtudományi Intézet, Űrkutató Csoport

GPS-navigáció történeti topográfiai és kataszteri térképeken Dr. Timár Gábor ELTE Földrajz- és Földtudományi Intézet, Űrkutató Csoport GPS-navigáció történeti topográfiai és kataszteri térképeken Dr. Timár Gábor ELTE Földrajz- és Földtudományi Intézet, Űrkutató Csoport Bevezetés Az elmúlt évtizedben, különösen a GPS-rendszer pontosságát

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Erdőmérnöki Kar Geomatikai, Erdőfeltárási és Vízgazdálkodási Intézet. Dr. Bányai László GEOMATIKAI ISMERETEK

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Erdőmérnöki Kar Geomatikai, Erdőfeltárási és Vízgazdálkodási Intézet. Dr. Bányai László GEOMATIKAI ISMERETEK NYUGAT-MAGYAOSZÁGI EGYETEM Erdőmérnöki Kar Geomatikai, Erdőfeltárási és Vízgazdálkodási Intézet Dr. Bányai László GEOMATIKAI ISMEETEK Tankönyvpótló segédlet a természetvédelmi mérnökhallgatók részére Kézirat

Részletesebben

A DIGITÁLIS TÉRKÉP ADATAINAK ELŐÁLLÍTÁSA, ADATNYERÉSI ELJÁRÁSOK

A DIGITÁLIS TÉRKÉP ADATAINAK ELŐÁLLÍTÁSA, ADATNYERÉSI ELJÁRÁSOK A DIGITÁLIS TÉRKÉP ADATAINAK ELŐÁLLÍTÁSA, ADATNYERÉSI ELJÁRÁSOK - két féle adatra van szükségünk: térbeli és leíró adatra - a térbeli adat előállítása a bonyolultabb. - a költségek nagyjából 80%-a - munkaigényes,

Részletesebben

Térinformatika. A vonatkozási és koordináta rendszerek szerepe. Vonatkozási és koordináta rendszerek. Folytonos vonatkozási rendszer

Térinformatika. A vonatkozási és koordináta rendszerek szerepe. Vonatkozási és koordináta rendszerek. Folytonos vonatkozási rendszer Térinformatika Vonatkozási és koordináta rendszerek Dr. Szabó György BME Fotogrammetria és Térinformatika Tanszék A vonatkozási és koordináta rendszerek szerepe Heterogén jelenségek közös referencia kerete

Részletesebben