Hidrodinamikai és transzportmodellezés I. kurzus kezdőknek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Hidrodinamikai és transzportmodellezés I. kurzus kezdőknek"

Átírás

1 Hidrodinamikai és transzportmodellezés I. kurzus kezdőknek Szervezők: Szegedi Tudományegyetem (SZTE), Földtudományi Tanszékcsoport Miskolci Egyetem (ME), Műszaki Földtudományi Kar Nyugat-Magyarországi Egyetem (NYME), Földtudományi Intézet International Association of Hydrogeologists (IAH) Hungarian National Chapter Magyarhoni Földtani Társulat (MFT) Alföldi Területi Szervezet Helyszín, időpont: Ópusztaszer, Erdei Vendégház, november Előadók: Kovács Balázs és Szanyi János Program: november Érkezés, regisztráció, a szálláshelyek elfoglalása A modellezéshez szükséges hidrogeológiai alapismeretek Ebéd Térképszerkesztés Surfer for Windows környezetben 3. Önálló térképszerkesztési feladat Konzultáció, napi tapasztalatok megbeszélése Vacsora november Reggeli Modellezés elméleti alapismeretek (hogyan építsünk modellt?) 5. Processing MODFLOW for Windows modellezési környezet bemutatása Ebéd Permanens állapotra vonatkozó hidrodinamikai modell építése 7. Önállóan megoldandó hidrodinamikai feladat Konzultáció, KULTÚRPROGRAM Vacsora november Reggeli Nem permanens állapotra vonatkozó hidrodinamikai modell építése 9. Önállóan megoldandó nem permanens hidrodinamikai feladat Ebéd A transzportmodellezés bemutató 11. A modellek eredményeinek értékelése, paraméter-érzékenysége, kalibráció, vizualizáció és animáció Hazautazás A kurzus során használt szoftverek: Processing MODFLOW for Windows v5.3 Surfer for Windows v8 Tankönyv: Kovács B. Szanyi J.: Hidrodinamikai és transzportmodellezés Processing MODFLOW környezetben I-II., Miskolci Egyetem Szegedi Tudományegyetem,

2 Hidrogeológia Hidrogeológiai alapismeretek Kovács Balázs & Szanyi János Kovács Szanyi, Víz a felszín alatt TALAJNEDVESSÉG ZÓNÁJA: Háromfázisú telítetlen zóna, szemcsék közötti hézagok vizet és levegőt egyaránt tartalmaznak. A szemcséket kétrétegű hidrátburok veszi körül, melynek belső rétegét a gyökerek szívóereje sem képes leszakítani. TALAJVÍZTÜKÖR: Kétfázisú, telített zóna határa. Jellemzője, hogy a tényleges nyomás a légköri nyomással egyezik meg. Néhány cm-től, néhány 10 m-es mélységben található. Hidrosztratigráfia Vízadó (Aquifer): földtani egység, amely képes tárolni és szállítani a vizet úgy, hogy a vízadó kutakat táplálja. Ez általában konszolidálatlan homok, kavics, vagy homokkő, mészkő, dolomit, esetleg repedezett magmás vagy metamorf kőzet. Vízzáró (Confining layer): földtani egység, amelynek nagyon kicsi a permeabilitása, rossz a vízvezető képessége. A vízadókat víz-záró rétegek fogják közre. A víz csak nagyon lassan tud átszivárogni rajta, bár víztároló képessége lehet jó. A hazai gyakorlatban célszerűbb féligátersztő vagy átszivárgó (leaky confining layer) rétegről beszélni

3 Vízadó képződmények osztályozása I. Karsztos ill. repedezett vízadó : jellemzőjük, hogy nem az elsődleges (képződésükkel egyidejű) pórusok hanem inkább a másodlagosan kialakuló repedések, törések melyek karbonátos képződmények esetén karsztosodhattak tárolják ill. vezetik a vizet. A felszín felöli szennyezések általában gyorsan, késleltetés nélkül juthatnak le a hasadékvízszintig. Porózus vízadó: anyaga konszolidált vagy konszolidálatlan homok, kavics. Szokás talajvíz és rétegvízadó, illetve partiszűrésű vízadókra osztani. Utóbbi jó vízvezető képességű, jelentősebb vízfolyások közelében található, ahol a folyó menti rétegek vize közvetlen kapcsolatban van a vízfolyással. Vízadó képződmények osztályozása II. Nyílt tükrű vízadó (Unconfined): a víz nyomásszintje azaz a víztükör a képződmény fedő szintje alatt van, ennek megfelelően a víz szintje a légnyomással tart egyensúlyt. Zárt tükrű vízadó (Confined): a víz nyugalmi nyomásszintje a fedő szint felett van; szemléletesen nyomás alatti vízadónak is nevezzük. Szokás megütött és beállt vízszintről beszélni zárt tükrű rendszerek esetén. Az előbbi a vízadó fedőszintjét jelzi, az utóbbi pedig a nyugalmi nyomását Darcy törvény I. Q = K A (h A -h B )/L ahol Q: egységnyi idő alatt átáramló vízmennyiség [L 3 /T]; h A -h B : vízoszlop magassága A,B pontban [L]; L: A és B pontok távolsága [L] K: szivárgási tényező (K tényező) [L/T]

4 Darcy törvény II. Darcy törvény különbségekkel felírva: Q = K A (dh/dl) Az i = dh/dl hányadost hidraulikus gradiensnek, más néven hidraulikus esésnek nevezzük. (Dimenzió nélküli mennyiség [L/L]!) Horizontális és vertikális, azaz vízszintes és függőleges komponensét is szokás értelmezni. A két komponens eredője mutatja meg a szivárgás irányát. Az áramlás irányát döntően nem a nyomás és nem a térfelszín határozza meg, hanem a h. A h az egységnyi tömegű folyadék által tartalmazott mechanikai energia mértéke. Ha a Darcy által felírt egyenletet osztjuk a cső keresztmetszetével kapjuk a az áramlás intenzitást vagy fluxust (q). Dimenziója [L/T]. q = K (dh/dl) ezt nevezzük Darcy-féle sebességnek v D A valódi sebesség a Darcy-féle sebesség osztva a szabad hézagtérfogattal: v = v D /n 0 Szivárgási tényező A szivárgási tényező az előző egyenletből adódóan szintén sebesség dimenziójú [L/T] King Hubert (1956) rámutatott, hogy a Darcy féle arányossági konstans (K) egyaránt jellemzi a fluidumot és a közeget, amelyben a folyadék áramlik. - K tényező fluidumra jellemző része egyenesen arányos a folyadék fajsúlyával (γ) és fordítottan arányos a folyadék viszkozitásával (µ). A fajsúly a folyadék sűrűségének és a gravitációs gyorsulásnak a szorzata: γ = ρg - K tényező közegre jellemző része egyenesen arányos a szemcsék alakjával (C) és a szemcsék átmérőjének négyzetével: (d 2 ) A Közegre jellemző paraméterek szorzatát belső permeabilitásnak nevezzük és K i -vel jelöljük. K i = C d 2 - A fentiek alapján K = K i (γ /µ) = K i (ρg /µ) - Az előző egyenletből K i -t kifejezve: K i = K /(ρg /µ) = Kµ /ρg [L 2 ] A belső permeabilitás mértékegysége a darcy 1 darcy = 9,87 x 10-9 cm 2 ; 1 milidarcy = 9,87 x cm 2 Szivárgási tényező Egy képződmény vízadó képességét legjobban a szivárgási tényező és a vastagság szorzata jellemzi, melyet transzmisszivitásnak neveznek (jele:t, dimenziója: [L 2 /T]). T=Km Könnyen belátható, hogy ugyanakkora vízhozamot képes szolgáltatni azonos feltételek esetén egy adott vastagságú és szivárgási tényezőjű réteg, illetve kétszer akkora szivárgási tényezővel jellemezhető, fele akkora vastagságú réteg. A rétegekben mozgó vagy kutakkal kitermelt víz mennyiségét az időegység alatt átáramló vagy kitermelt vízmennyiséggel jellemezzük, amit vízhozamnak nevezünk (jele: Q, dimenziója [L 3 /T]).

5 Porozitás A porózus közegben a pórusok térfogatának és a teljes térfogatnak az arányát hézagtérfogatnak vagy idegen szóval porozitásnak nevezik (jele: n). A teljes pórustérnek azonban csak egy részében történik szivárgás, a szemcsék körül kötött hidrátburok, a szemcsék mellett szegletvíz, zárt pórustérben található vizek, illetve kapilláris erők által kötött vízmolekulák is vannak. A víz mozgásában részt vevő pórustér térfogatának és a teljes térfogatnak az arányát szabad hézagtérfogatnak vagy effektív porozitásnak nevezik (jele: n 0 ). A definíció alapján triviális, hogy a szabad hézagtérfogat a hézagtérfogatnál mindig kisebb szám. Szokásos még a hézagtényező (e) használata is, mely a pórustérfogatnak a szemcsék térfogatához viszonyított aránya. A definíció alapján a hézagtérfogat 1-nél kisebb, valójában 0,35-nál kisebb érték, míg a hézagtényező értéke speciális esetekben, pl. szerves agyagok vagy tőzeges képződmények 1-nél nagyobb is lehet. A teljes és a szabad hézagtérfogat, valamint a hézagtényező dimenziónélküli szám [L 3 /L 3 ]. Vízoszlop nyomó magassága felszín P nyugalmi vízszint ϕ z z ϕ = h z h z = 0 A Darcy törvényben szereplő henger két végén mért nyomás úgy is kiszámítható, hogy a víz fajsúlyát (g) szorozzuk a vízoszlop magasságával ( ϕ): azaz P = γϕ P = ρgϕ Potenciál I. A felszínalatti víz energiája mechanikai, termikus vagy kémiai jellegű. Mivel az energia térbeli eloszlása nem egyenletes, ezért a víz áramlással próbálja kiegyenlíteni az energia különbségeket. Ezért kell foglalkozni fizikai és termodinamikai törvényekkel. A továbbiakban feltételezzük, hogy a víz konstans hőmérsékletű, valamint oldott sótartalma, azaz sűrűsége sem változik. A z 0 vonatkoztatási szintről emeljünk fel egy m tömegű víztestet P pontba. Vizsgáljuk meg mennyi munkát kell ehhez végeznünk! P (z; p; v; ρ) M (z =0; p ; v =0; ) ρ0 - Gravitáció ellen végzett munka: W 1 = mgz - Gyorsításkor végzett munka: 2 mv W 2 = 2 - Tágulási munka: p dp W3 = m ρ p 0

6 Potenciál II. A végzett munkák összege az m tömegű folyadék potenciális energiájával azonos: W = mφ Egységnyi tömegre eső energiatartalom: 2 p W W1 + W2 + W3 v dp Φ = = = gz + + m m 2 ρ p0 (Bernoulli egyenlet) Egyszerűsítve, becsléseket alkalmazva: p p Φ = gz + 0 (Hubbert féle energia egyenlet) ρ Előzőek alapján P pontban a nyomás: p = ρgϕ + p 0 azaz p = ρg( h z) + p0 Behelyettesítve a Hubbert féle energia egyenletbe: ρg( h z) + p0 p0 Φ = gz = gh ρ Potenciál III. A folyadék szivárgási potenciálját a porózus közegben a folyadék tömegegységre vonatkoztatott mechanikai energiájaként értelmezzük. A potenciál megváltozása az a munka, amit be kell fektetni vagy nyerünk, miközben a vizsgált folyadék az áramlási térben az egyik pontból egy másik pontba jut. A potenciál-változás a két pont között jelentkezhet a helyzeti energia, a mozgási energia, illetve a nyomás vagy a folyadék-sűrűség megváltozásában. A képződményekben a víz a potenciálkülönbségek hatására mozog. A potenciál egy olyan fizikai mennyiség, amely egy áramlási közeg bármely pontjában meghatározható és amely nagyságával meghatározza térbeli irányultságtól függetlenül a szivárgás irányát oly módon, hogy a szivárgás mindig a nagyobb potenciálú hely felől a kisebb potenciálú hely felé történik. A potenciál abszolút értéke nem mérhető, csak egy viszonyítási ponthoz képesti értéke adható meg. Potenciálkülönbségek ugyanakkor egyszerűen meghatározhatók. Áramlási Egyenletek I. Válasszunk ki a vízadó rétegből egységnyi térfogatú, homogén, izotróp kockát. Z + ρqx Y x ( ρq ) ρqx + x x Ha q x a Darcy törvényből megismert intenzitás (fluxus), ρ a folyadék sűrűsége, akkor ρq x tömegáramlási sűrűség vagy tömegfluxus x irányban. A fenti ábra jobb oldalán a kiáramló tömegfluxus látható. A ( ) ρ x q x tag az x irányú bemenő és kimenő oldal közötti változást jelenti.

7 Stacionárius áramlások A tömegfluxus egyenletét a tér mindhárom irányába fel lehet írni. Ha állandósult (stacionárius) áramlást tételezünk fel, akkor a beáramló tömeg-fluxusnak azonosnak kell lenni a kiáramló tömeg fluxussal, azaz a változások összege zérus: ( ρq ) ( ρq ) x y ( ρqz ) + + = 0 Ez a stacionárius áramlás folytonossági egyenlete x y z h Darcy törvényből q x = K -t behelyettesítve: x h h h K + K + K = 0 x x y y z z rendezve: h h h + + = x y z (Laplace egyenlet) A Laplace-egyenlet megoldása mutatja meg a h potenciometrikus szint nagyságát bárhol a háromdimenziós áramlási térben. Regionális áramlások tanulmányozására használják (nincsenek sem források, sem nyelők). Tranziens áramlások Ha az áramlás nem stacionárius, akkor tranziens (átmeneti vagy időben változó) áramlásról beszélünk, ebben az esetben nem érvényes a Laplace egyenlet, azaz a jobb oldal nem zérus h h h S h + + = 0 ahol S fajlagos tárolási tényező, vagy kapacitás x y z K t Az S 0 /K hányados határozza meg, hogy a megváltozott nyomás mennyi idő alatt fog kiegyenlítődni. (A K/S 0 hányadost hidraulikus diffuzivitásnak nevezik [L 2 /T]). Fajlagos tárolási tényező (S 0 ): Az a vízmennyiség, amit egységnyi térfogatú nyomás alatti vízadó veszít a hidraulikus emelkedési magasság egységnyi csökkenése során [L 3 /L 4 ] = [1/L], értéke 3,3*10-6 2*10-2 között változhat Tárolási tényező (S): Az a vízmennyiség, amit egységnyi felületű nyomás alatti vízadó veszít a hidraulikus emelkedési magasság egységnyi csökkenése során [L 3 /L 3 ], S= S 0 m, ahol m a rétegvastagság Fajlagos hozam, más néven aktív hézagtérfogat (S y ): A nyílt tükrű vízadó által leadott vízmennyiség és a vízadó térfogatának hányadosa [L 3 /L 3 ] Képződmények víz visszatartó képessége 0,001 0,01 0, hézagtérfogat, fajlagos hozam, fajlagos vízvisszatartó képesség [%] fajlagos hozam hézagtérfogat fajlagos vízvisszatartó képesség 0 agyag iszap hkliszt homok kavics finom középszemcsés durva apró durva 0,002 0,02 0,1 0,25 0,5 Szemcseméret [mm] 2 20

8 0 Beszivárgás A maradó beszivárgás a beszivárgás és az evapotranspiráció különbsége [L/T]. A hidrodinamikai modellezés egyik legnehezebben meghatározható paramétere. Meghatározása liziméteres mérésekkel, empirikus összefüggésekkel és terepi kútcsoportos vizsgálattal lehetséges. Beszivárgás [mm/év] 200 Függőleges évi vízforgalom [mm] Párolgás [mm/év] Talajfelszín Maximális párolgás 0 Terepszint Maximális beszivárgás mélysége Maximális párolgás mélysége A talajvíz terepszint alatti mélysége [cm] 150 mm/év 174 mm/év 80 mm/év mm/év Talajvízjárás Maximális beszivárgás Mélység Hidrológia alapegyenlete - vízmérleg A víz körforgásához az energiát a Nap szolgáltatja (energia transzformáció) A hidrológiai egyenlet megpróbálja kvantitatívvá tenni a víz körforgását Az alapegyenlet a tömegmegmaradás elvére épül Az egyenlet bármilyen rendszerre, bármilyen méretben alkalmazható Az egyenlet időfüggő Beáramlás = Kiáramlás ± Tározott víz változása + - csapadék evapotranspiráció felszíni víz beáramlása felszíni víz párolgása felszín alatti víz felszíni vízelfolyás beáramlása felszín alatti vízelfolyás mesterséges vízbevezetés mesterséges vízelvezetés Hidrodinamikai paraméterek medencebeli eloszlása A Laplace egyenlet tárgyalásánál láttuk, hogy ha egy vízadó rendszerben megváltozik a nyomás, akkor a rendszer a változás kiegyenlítésére törekszik. A változás végigfutásának ideje számítható. Az egyszerűbb tárgyalás érdekében két dimenzióban vizsgáljuk az áramlási rendszereket. Továbbiakban Tóth József (1963) terminológiáját követjük. Vegyük fel az Egység Medencét (Unit Basin), mely a következő tulajdonságokkal rendelkezik: egyenes lejtő határolja (a víztükör is egyenes lejtésű!), homogén (egy féle üledék alkotja), izotróp (fizikai tulajdonságai a tér minden irányában azonosak), impermeábilis határokat tételezünk fel, kivéve a felszínt (alulról és oldalról nincs hozzááramlás sem eláramlás, csak a felszíni csapadék táplálja és ez a mennyiség el is távozik a felszínen keresztül. Ezek a feltételek talán túl szigorúak, azonban az egyszerűsítések következtében az áramlási rendszerek matematikailag is értelmezhetővé válnak. Azonkívül a nagy üledékes medencékre jó közelítést ad.

9 Egység medence képe az áramvonalakkal Nyomás-mélység profilok mélység (mbf) Algyő P(z) profilja nyomás (MPa) γ din=9,9785 (MPa/km) γ din =10,3751 (MPa/km) γ din=20,5931 (MPa/km) γ st=9,8067 (MPa/km) Ha a mélység függvényében ábrázoljuk a nyomást a beáramlási területek és a megcsapolási területek elkülöníthetők. A megcsapolási zónában minél mélyebbre fúrunk annál nagyobb a nyomás a hidrosztatikusnál, a tápterületen pedig fordítva: minél mélyebbre fúrunk annál alacsonyabb! A középvonaltól való eltérést dinamikus nyomásemelkedésnek nevezzük: p = p valós p középvonal Egymásba ágyazott áramlási rendszerek

10 Surfer for Windows alapismeretek A Surfer for Windows használata (8. verzió) Kovács Balázs & Szanyi János Kovács Szanyi, A Surfer fontosabb jellemzői Kereskedelmi szoftver Gyártó: Golden Software Inc., Golden, Colorado, USA ( Ár: 599 USD Érdemes az Interneten megvásárolni!!! 2.5 dimenziós térbeli ábrázolás (egy x,y pontpárhoz csak egy z érték tartozhat!) 3D gömbfelület 2 db fél(gömb)felülettel rajzolható meg (Az igazi 3D program most jelent meg (Voxler, Golden Software, bevezető ár: 359 USD!) A Surfer munka-módszere Adatállomány x, y, z 1 (, z 2, z 3,, z n ) adatok oszlopokba rendezve egy nx*ny irányonként egyenközű Rácsháló (grid) állomány rácsháló csomópontjaira, az adatpontok alapján számított legvalószínűbb értékei Rajz-állomány A grid-állományban található értékek síkbeli vagy térbeli megjelenítése 8-29.

11 A Surfer által használt állományok Adatállományok (*.dat, *.csv, *.slk, *.xls, stb.) Grid (rácsháló)-állományok (*.grd) Térkép vagy térfelület-rajz állományok (*.srf) Egyebek: Blank (törlő) állományok (*.bln) Vektorgrafikus állományok AutoCAD dxf (*.dxf) AtlasBNA (*.bna) ESRI ArcView Shape (*.shp), stb. Rasztergrafikus állományok *.bmp, *.jpg, *.tif, *.gif, stb A Surfer munka-módszere II. Adatállomány Adatgyûjtés, értékelés feldolgozás *.DAT, *.XLS, *.CSV, *.SLK adatállományok Digitalizálás Vektorgrafikák *.DXF, *.BLN, *.BNA, stb. *.GRD grid (rácsháló) állományok Rácsháló (grid) állomány Szkennelés Rasztergrafikák *.BMP, *.TIFF, *:JPG, stb. Koordinátákhoz történõ hozzárendelés Matematikai mûveletek gridállományokkal térképek összeadása, kivonása, osztása, szorzása, logaritmizálás, integrálás, deriválás, stb. Síkbeli ábrázolás: izovonalas, színskálás vektoros ábrázolású térképek szerkesztése, stb. Térbeli ábrázolás: egyes térfelületek, térfelület rendszerek ábrázolása, dróthálós térbeli ábrázolás, stb. Rajz-állomány *.SRF surfer rajzállományok Megjelenítés és nyomtatás A Surfer menü- és ablakrendszere Menürendszer Rajzablak Objektumablak 8-29.

12 A Surfer menü- és ablakrendszere Menürendszer Táblázatkezelőablak Objektumablak Menürendszer File hagyományos állományműveletek (megnyitás, mentés, importálás, exportálás, stb.) Edit hagyományos szerkesztés (kivágás, másolás, beillesztés, undo, redo, stb. View a nézet beállításai (nagyítás, kicsinyítés, egész lapos nézet, stb.) Draw nem koordinátákhoz, hanem a laphoz kötött objektumok létrehozása (vonal, ellipszis, négyzet, szimbólum, stb.) Arrange objektumok sorrendbe rendezése, forgatása, igazítása, stb. Grid minden ami a rácshálók gyártásához, módosításához, szerkesztéséhez kellhet Map minden 2D és 2.5D ábrázoláshoz kell(het) Window hagyományos Windows ablakkezelés (ablakok megjelenítése, aktuális ablak kiválasztása, stb.) Help részletes súgó angol nyelven (Ami itt nincs benne, azt ne is keressük! Sokszor tartalmaz külső hivatkozásokat kapcsolódó irodalomra! Korrekt és érthető módon írja le a dolgokat, ezért érdemes elolvasni ha megakadunk!) Hagyományos menük File menü A program sok formátumot ismer és korrektül kezeli azokat, akár konverzióra is érdemes használni. Hiba: csak 1lapos Excel táblákat kezel! Adatvesztés lehet, de erre figyelmeztet! 8-29.

13 Hagyományos menük File menü - Preferences Allways Reset: mindig újradefiniált típusú Current Session Only: aktuális folyamatra vonatkozó típusú All Sessions: állandó típusú Hagyományos menük File menü - Preferences Hagyományos menük Edit menü Rajzablak esetén: Táblázatkezelőablak esetén: A menüparancsok függenek az aktív ablak típusától rajzablak esetén több (bal oldal), táblázatkezelő ablak (jobb oldal) esetén kevesebb parancs érhető el! 8-29.

14 Hagyományos menük View menü Nézet: Ablakhoz vagy laphoz igazít, nagyít/kicsinyít Nagyít/kicsinyít Újrarajzolás parancsra vagy automatikusan Ablakelemek megjelenítése (kipróbálandó és kinek, kinek ízlése szerint használandó ) Hagyományos menük Draw menü A lap széleihez pozícionált objektumokat (szöveg, zárt sokszög, törtvonal, font egy karaktere, téglalap, lekerekített sarkú téglalap, ellipszis) rajzol. Az objektumok helye független a térkép koordináta rendszerétől!!!! Amire használható: Céglogo, lapkeret rajzolás, impresszum feliratozás, stb. Amire nem használandó: Térképi feliratok pl. helynevek, folyónevek, stb. felírására (vagy ha igen, akkor nagyon figyeljünk minden átalakításnál (lépték, kivágat megváltoztatása, stb.) Hagyományos menük Arrange menü Sorrendet megváltozat: előre vagy hátraküld, előrébb vagy hátrább küld Objektumokat csoportosít vagy meglévő csoportot szétbont Forgat (adott szöggel vagy szabadkézzel), elemet eltol 8-29.

15 Hagyományos menük Window menü Ablakok elrendezési módjai Aktív ablakok felsorolása és váltási lehetőség köztük Hagyományos menük Help menü Súgó részei Webes eszközök About (verziószám, copyright, stb.) Speciális Surfer menük Grid menü x, y, z adatokból rácsháló állomány gyártása matematikai műveletek rácsháló állományokkal rácsháló állományokkal definiált felületek deriválása rácsháló állomány simítása törlés rácsháló állományból rácsháló állomány konvertálás rácsháló állomány eltolása, tükrözése és egyéb trükkök térfogatszámítás vonal mentén magasság leolvasás (szeletelés) 8-29.

16 Speciális Surfer menük Grid Data menü Adatok EOV X [m] EOV Y [m] Speciális Surfer menük Grid Data menü Adatok Rácsháló EOV X [m] EOV Y [m] Speciális Surfer menük Grid Data menü Adatok Rácsháló Rácspontokban értékek EOV X [m] EOV Y [m] 8-29.

17 Speciális Surfer menük Grid Data menü Speciális Surfer menük Map menü Speciális Surfer menük Map menü

18 Speciális Surfer menük Map menü T9 T T6 T5 T3 T11 T4 T1 T2 T7 T T14 T T Speciális Surfer menük Map menü Speciális Surfer menük Map menü

19 Speciális Surfer menük Map menü Speciális Surfer menük Map menü Speciális Surfer menük Map menü 8-29.

20 Speciális Surfer menük Map menü fedvények kombinálása Speciális Surfer menük Map Post map menü Fúráspont alaptérkép behívása Speciális Surfer menük Map Post map menü EOV X [m] EOV Y [m] 8-29.

21 Speciális Surfer menük Map Base map menü Vonalrajz alaptérkép behívása Speciális Surfer menük Map Overlay maps menü Térképek egymásra illesztése (azonos koordináta-rendszer!!!) Speciális Surfer menük Map Overlay maps menü Azonos koordináta-rendszer = Egy objektummá vált! Szétbontás: Map - Break apart overlays 8-29.

22 Speciális Surfer menük Map Contour map menü Izovonalas térkép behívása és rajzolása Speciális Surfer menük Map Contour map menü Speciális Surfer menük Map Vector map menü 8-29.

23 Modellezés Modellezés elméleti alapismeretek Kovács Balázs & Szanyi János Kovács Szanyi, Mi a modellezés? A MODELL a valós rendszer egyszerűsített, sematikus transzformációja. A modell nem a valós rendszer! A szimuláció sematikus, nincs minden tulajdonság reprezentálva. Ugyanaz a valós rendszer másképpen van modellezve eltérő célok esetén. Nincs univerzális modell! Egy modellt mindig lehet javítani, de soha nem lesz az eredeti valós rendszer. A modell jósága csak a probléma ismeretében dönthető el. Ha a célt elérem, akkor a modell jó! Két azonos tudású modell közül az egyszerűbb a jobb! Két féle modellezés létezik: az eredményes és a tanulságos. A modellezés kreatív játék! -29. Modellek fajtái Fizikai modell: kisebb léptékben megépítjük a modellezett tér egyszerűsített mását terepasztal modell Analóg modell: egy már ismert, matematikailag leírt jelenséggel kapcsolatos hasonlóságra épít; az áramlási egyenletek tulajdonképpen ugyanazok, mint a hő, elektromosság vagy mágneses mező áramlási egyenletei Matematikai modell: a felszín alatti vízáramlást leíró egyenletek megoldása (szivárgás alapegyenlete) - analitikus modell: egzakt, matematikai megoldást ad, pontszerű esetben vagy homogén környezeti viszonyok között alkalmazható - numerikus modell: a szivárgás alapegyenletének közelítő, nem egzakt megoldásai; a numerikus megoldások mind időben, mind térben szakaszolják a lezajló folyamatokat úgy, hogy az egyes szakaszokon belül a számításhoz szükséges paramétereket állandónak tekintik - szemianalitikus modell: az alapegyenletet analitikusan oldja meg, amíg megoldható, majd numerikus számítással folytatja -29.

24 Numerikus modellek Felszín alatti vizek szivárgásának jellemzőit az alábbi numerikus módszerekkel lehet vizsgálni: - véges differencia módszer - véges elem módszer - perem elem módszer - analitikus elemek módszere Véges differencia módszer: a modellezett teret tetszőleges darabszámú, de azonos eloszlású, egymással érintkező téglatest alakú elemekre bontjuk, a szivárgás alapegyenletét leíró parciális differenciál-egyenletet differencia egyenletté alakítjuk és az egyes elemek közötti vízforgalmat numerikus, iteratív eljárásokkal megoldjuk Véges elem módszer: a modellezett tér tetszőleges csomópontú felosztását teszi lehetővé és az azokat összekötő vonalak által határolt elemekre bontja, melyek nem oldalukkal hanem csomópontjukkal illeszkednek egymáshoz; az egyes elemek mentén a keresett attribútum értékét előre felvett paramétereket tartalmazó függvényekkel közelíti, majd a szomszédos elemek határai mentén valamilyen hibaelv alapján illeszti (lokális approximáció elve) -29. Elemekre bontás Véges differencia háló Véges elem háló Négy rétegből álló rendszer véges differencia elemekre bontása (CHIANG és KINZELBACH, 1999) Egy szennyeződés modellezésénél használt végeselem-háló (VOGT, 1993.) -29. Véges differencia módszer alkalmazásának lépései A modellezett teret tetszőleges számú sort, oszlopot, réteget tartalmazó elemekre bontjuk, egyenletes vagy változó osztású rácsháló segítségével. Szivárgás alapegyenletét leíró differenciál-egyenletet differencia-egyenletté alakítjuk. Meghatározzuk az egyes hasábelemek és az azokkal közvetlenül érintkező elemek közötti vízhozamokat a Darcy-törvény és a kontinuitási tétel felhasználásával, Meghatározzuk az egyes elemekbe táplált vagy onnan kivett hozamokat, valamint a rendszer vízmérlegét befolyásoló egyéb objektumok (pl. felszíni vizek és vízadók kommunikációjából eredő hozamok) vízmérlegre gyakorolt hatását. Összegezzük minden egyes elemre a vízmérleg elemeit. A hiányzó elemek pótlására a modell szélein peremfeltételeket alkalmazunk. A vízmérleg alapján felállítjuk a modellezett tér vízforgalmát az adott időlépcsőben leíró lineáris egyenletrendszert, majd numerikus iteratív eljárásokkal megoldjuk. Az egyes elemekre felírt vízmérleg aktívum vagy passzívum alapján meghatározzuk az elemben bekövetkező vízszint (nyílt tükrű rendszer) vagy nyomásszint (zárt tükrű rendszer) változásokat. Nem permanens rendszerben a következő időlépcsőre ismét felírjuk a Darcytörvényen alapuló, elemek közötti vízhozamokat és a számítás fázisait a szükség szerinti időlépcsőkre megismételjük -29.

25 Véges differencia módszer következményei A módszerrel abszolút nyomásszinteket nem tudunk számítani, csak a nyomásszintek változásait! Ezért szükséges a számításhoz egy kiindulási állapot, egy alaphelyzet, amit a számítás kezdeti feltételének nevezünk. A kezdeti időpontban meg kell adni a nyugalmi nyomásszint eloszlást! A módszer előnyei: a megoldás során megmarad az eredeti differenciálegyenlet összefüggés a számítás részeredményei valós fizikai tartalommal bírnak szemléletes a szabályos elemkiosztás miatt az alapadat-rendszer könnyen feltölthető A módszer hátrányai: a háló lokálisan nem, csak speciális eljárással sűríthető a változékony településű képződmények határai nehezen követhetők a kapott eredmények az egyes elemekre jellemző átlagértékek lesznek a hidrogeológiai információk pontszerűek ugyanakkor a modellben egy térfogati cella értékeként jelennek meg -29. Cellák vízmérlege véges differenciák segítségével I. ahol t a kezdeti időpont és S a tárolási tényező -29. A 0 sorszámú véges differencia elem felé Q i hozamok szivárognak a szomszédos 4 elemből. A vizsgált elemből a források vagy nyelők által kitermelt vagy betáplált vízmennyiség Q 0. A vízmérleg megváltozása t idő alatt: 4 t Q i i= 0 Ez a vízmérleg változás indukálja a h 0 nyomásszint megváltozását a 0 jelű elemben, ( h ( t + t) h ( t ) S x y azaz t( Q0 + Q10 + Q20 + Q30 + Q40 ) = 0 0 ) Cellák vízmérlege véges differenciák segítségével II. Darcy törvényt felhasználva: h1 ( ti ) h0 ( ti ) h2 ( ti ) h0 ( ti ) h3 ( ti ) h0 ( ti ) x T10 + y T20 + x T30 + y x y h4 ( ti ) h0 ( ti ) ( h0 ( t + t) h0 ( t) ) S x y + y T40 = x t ahol T i0 a kiszemelt és a szomszédos elem transzmisszivitásai alapján számított mértékadó transzmisszivitás értéke. A T i0 átlagérték meghatározására különböző módszerek terjedtek el. A sorba kötött ellenállások elvének figyelembevételével: y0 + y1 x0 + x2 T10 = 2 ; T 2 20 = ; y0 y1 x0 x T 30 és T 40 hasonlóképpen T0 T1 T0 T2 Ti + T0 2 Ti T0 De lehet számtani átlaggal: Ti 0 = vagy mértani átlaggal: Ti 0 = 2 T + T -29. i 0

26 Források, nyelők Vízzáró határ esetén egyedül csak a mértani átlaggal számított mértékadó transzmisszivitás ad a vízzáró felöl zérus hozamot. Ezért olyan programok esetén, melyek nem ezzel számolnak bevezetnek egy további paramétert, arra vonatkozóan, hogy a cella aktív vagy inaktív. Értelemszerűen az inaktív cellákból nem lép víz se be se ki. Folyó: olyan cellákkal reprezentáljuk, ahol az oldalfalak vízzáróak, csak a fenéken keresztül van vízátadás, a kolmatált zónán keresztül Drén: hasonló felépítésű mint a folyó típusú cella, csak a vízadó megcsapolására képes ha a fenékszintjénél nagyobb a vízadó vízszintje Kutak: negatív a termelő, pozitív az injektáló, ha egy cellába több kút esik, akkor összegezni kell a hozamokat Maradó beszivárgás: az időegység alatt leszivárgó vízmennyiséget jelöli Peremfeltételek Ahhoz, hogy a vízmérleget minden egyes elemre ki lehessen számolni a számításba bevont térrész szélein peremfeltételekre van szükség. A peremfeltételek három csoportba sorolhatók: Dirichlet-típusú peremfeltétel a peremi helyzetű cellában nem a vízmérleget módosító hozamot vesz figyelembe, hanem a cella vízforgalmát a cella előírt nyomás szintjén keresztül szabályozza. A nyomásszint lehet időben állandó vagy előírt módon változó (fix nyomású perem). Hátránya, hogy depresszió a peremen nem alakulhat ki. Neumann-típusú peremfeltétel alkalmazásakor a vízmérleget egy adott, állandó hozammal korrigáljuk (fix hozamú perem). Ha vízzáró a határ, akkora perem felől érkező Q i hozamot zérusnak adjuk meg. A megoldás hibája, hogy függetlenül az aktuális vízföldtani helyzettől a meghatározott vízmennyiséggel a vízmérleg módosul. Féligáteresztő típusú a perem, ha a cellák vízmérlegének módosulása, azaz a peremi hozam időben nem állandó, hanem az aktuális hidrodinamikai helyzettől függő nagyságú. Az ilyen peremek egyesítik a Dirichlet és a Neumann típusú peremek előnyeit. Legismertebb képviselője az ún. általános nyomásszintű határ, amit angol nevének rövidítéséből GHB (General Head Boundary)-peremnek is hívnak. A GHB peremen van egy előírt vagy mértékadó h m nyomásszint, melyet a határon a megközelítőleg tartani szándékozunk. A peremi cellában - a szomszédos elemekkel való vízforgalom következtében - azonban változna a vízmérleg és ennek következtében a nyomás- vagy vízszint h értékkel változna. A változás korrekciójára a GHB peremen a h értékkel arányos vízmennyiséget táplálunk be Modell adatrendszer hibái Észlelt (mért) érték Aktuális mérési érték A paraméter becsült értéke a modell-elemben Átlagérték Aktuális becslési érték Mérõmûszer pontatlansága Átlagos becslési érték Modell-eredmény Aktuális mérési hiba Mérési hiba szórása Átlagos modell-eredmény Aktuális modell-eredmény A hibák átöröklődésének sémája Mehra, 1978 és McLaughlin, 1978 nyomán (SACHER, 1983) -29.

27 Numerikus hibák I. Numerikus megoldás közelítő megoldás hibával terhelt! Iterációs módszer esetén megadjuk, hogy mekkora az a küszöb érték, mely elérése után a megoldást már elég pontosnak tekintjük (konvergencia kritérium) Másodsorban megszabjuk, hogy mekkora legyen a maximális iterációszám. A konvergencia kritériumot magunk választjuk meg a modellben a nyomásszintnek megadott hossz mértékegységében. Nyomásszint hiba gradiens hiba (egyenletesen megoszló nyomásszint hiba esetén a legkisebb elemeknél a legnagyobb, mert I= Dh/Dy ) Gradiens hiba szorozva a szivárgó keresztmetszettel kapjuk a vízmérleg hibát. Törekedni kell, hogy a vízmérleg hiba mindig elhanyagolható legyen a forrásoknyelők által kitermelt vagy eltávolított vízmennyiséghez képest, ezek 1%-át ne haladja meg! -29. Numerikus hibák II. Megoldás instabil ha a közelítő megoldás nem konvergál a valódi megoldáshoz Numerikus instabilitás Numerikus oszcilláció numerikus instabilitás numerikus oszcilláció Nyomásszint Nyomásszint Idö Idö a, b, Koncentráció Koncentráció alálövés fölélövés numerikus diszperzió Numerikus megoldás Numerikus megoldás Valódi megoldás Valódi megoldás Hely Hely -29. Numerikus hibák kiküszöbölése Az instabilitás leküzdéséhez a legfontosabb gyakorlatban előforduló okokat kell ismernünk, ezek: - a konvergencia- vagy más néven stabilitási-kritériumnak nem megfelelő időlépcső alkalmazása, - irreális modelladat-rendszer azon belül is mértékegység hibák, helyiérték hibák, egymást kizáró paraméterek használata A megoldás alapvetően akkor válik divergenssé, ha lehetőség van az anyagmérleg számításakor arra, hogy egy adott elemből több anyag (víz vagy szennyezőanyag) távozzék, mint amennyit abban az elemben az időlépcső elején tároltunk. Az időlépcső csökkentése ilyen hibák esetén előbb-utóbb stabilitást eredményez. A lényeg, bármi áron stabil megoldáshoz jutni Bizonyított, hogy transzport számítások során a numerikus oszcilláció annál nagyobb minél nagyobb a advektív transzport folyamat jelentősége a diszperzív transzportnál. a, b, C C Pe=2 Pe=8 Pe=16 Pe=32 Co=1 Co=80 Co=800 Co=1600 Co=3200 v x v x A végeselem módszer numerikus hibái a SICK100 programrendszeren: a koncentráció-eloszlás t=1000 s elteltével, harang alakú kiindulási koncentráció-impulzus, állandó szivárgási sebesség esetén (a, különböző Peclet-számok, b, különböző Courant-számok esetén) (KÖNIG, 1993) -29.

28 Numerikus hibák csökkentése Az egyes paraméterek megváltoztatásának hatása a modellnél fellépő numerikus hibákra Paraméter változtatás Előre- vagy hátralépéses differenciák alkalmazása Középponti differenciák alkalmazása Cella- vagy elemméret csökkentése Numerikus hibára való hajlam instabilitás oszcilláció diszperzió alálövésfölélövés nő csökken nem befolyásolja nem befolyásolja csökken nő nem befolyásolja nem befolyásolja nő nő nő nő nem befolyásolja Időlépcső növelése nő nő nem befolyásolja szivárgási sebesség, transzmisszivitás növelése Források és nyelők hozamának növelése nő nő nő nő nő nő nem változik nem változik Tárolási tényező növelése csökken csökken nem befolyásolja nem befolyásolja Diszperzió-állandó, diszperzivitás növelése nő nő csökken csökken -29. Modellezési munkafolyamat Földtani és vízföldtani ismeretek összegyûjtése és rendszerezése A modellezési koncepció (munkahipotézis) felállítása Modelladatrendszer felállítása Numerikus számítások elvégzése Munkahipotézis vagy adatrendszer módosítása Eredmények értékelése Modell felhasználása a vizsgálandó probléma megoldására -29.

29 Processing MODFLOW alapismeretek A PMWIN 5.3 használata Kovács Balázs & Szanyi János Kovács Szanyi, A Processing MODFLOW fontosabb jellemzői Freeware szoftver (A PMWIN Pro 7.0 változat kereskedelmi!) Készítők: Wen-Hsing Chiang és Wolfgang Kinzelbach ( Ár: ingyenesen letölthető professzionális grafikus megjelenítés véges differencia módszert alkalmazó hidrodinamikai modell (MODFLOW) a hidrodinamikai és a transzportmodell kalibrációjára szolgáló inverz megoldást használó eszközök (PEST és UCODE) részecske-követési, egyben advektív transzport modell (PMPATH) véges differencia elven működő, valamint a karakterisztika módszerét használó transzport-modellek maximum időlépcső, 80 modellréteg és cella/réteg A PMWIN által használt fontosabb állományok Adatállományok (szövegfájlban tárolt kötött formátumú adatok) Modell alapállomány (*.pm5) Egyebek: Vektorgrafikus állományok AutoCAD dxf (*.dxf) Rasztergrafikus állományok *.bmp

30 A Processing MODFLOW környezet felépítése Processing MODFLOW keretrendszer Preprocesszor (Adatbevitel és adatfeldolgozás) Programok futtatása Kalibráció Posztprocesszor (Eredményfeldolgozás, megjelenítés) Grid Editor MODFLOW PEST PMPATH Field Interpolator MT3D UCODE Water Budget Calculator Field Generator MT3DMS Presentation MOC3D DOS Graph Viewer Result Extractor Windows A modellezési munkafolyamat és a PMWin környezet Földtani és vízföldtani ismeretek összegyûjtése és rendszerezése A modellezési koncepció (munkahipotézis) felállítása Modelladatrendszer felállítása Numerikus számítások elvégzése Munkahipotézis vagy adatrendszer módosítása Eredmények értékelése Modell felhasználása a vizsgálandó probléma megoldására A modellezési munkafolyamat és a PMWin környezet

31 A Processing MODFLOW menü- és ablakrendszere Menürendszer Munkaterület Információs sáv Menürendszer File hagyományos állományműveletek (megnyitás, mentés, konvertálás, stb.) Grid a modellezett rendszer geometriájának és alapvető tulajdonságainak megadása Parameters a Grid menüpontban megadott elemek általános földtani és vízföldtani jellemzőit adhatjuk meg, illetve az ezen jellemzők megadásához szükséges idő dimenzióját Models a Grid menüben leírt geometriájú, a Parameters menüben megadott tulajdonságokkal jellemezhető porózus közegben lejátszódó hidrodinamikai és transzportfolyamatokat leíró modellek speciális lehetőségei Tools a modellezést, illetve az eredmények megjelenítését elősegítő alkalmazások (digitalizálás, adattér interpolálás illetve generálás, stb.) Help részletes súgó angol nyelven (gyakorlatilag a teljes kézikönyvet tartalmazza) File menü Célszerű minden új modellt külön könyvtárba menteni, mivel egyrészt a rendszer alkalmaz kötelező nevű állományokat, melyek több modell azonos könyvtárba írása esetén felülírják egymást, másrészt mert egy-egy adatrendszer rengeteg állományból áll, melyek strukturálása célszerű. A *.pm5 állomány magában csak a modell általános jellemzőit tartalmazza, nem az egész adatrendszert!

32 File menü Convert Model A Telescoping A File Convert Flow Model Modelegy parancs meglévő három 5.x célra verziójú szolgál: modell Itt részmodelljét konvertálhatjuk készíti a korábbi, el. Ehhez 4.x meg kell verziójú adnunk a modelleket, meglévő modell valamint nevét a MODFLOW-88 PM Model (*.pm5) vagy szövegdobozba, MODFLOW-96 illetve formátumú a készítendő modell-kivágat állományokat első 5.x és verziójú utolsó formátumra, sorának és oszlopának a szükséges (Starting állománynév coloumn, megadása Ending vagy Coloumn, a Starting gomb megnyomása row, Ending után row) történő sorszámát kiválasztás a meglévő után. modell Az eredeti elemszámozása modell finomítható, szerint, oly de a korábbiakhoz módon, hogy hasonlóan megadhatjuk, elemsűrítés hogy (Refinement egy-egy elemet factor) hány is sorra kérhető. (Refinement A készített factor részmodell for peremein rows) és a oszlopra rendszer bontson maga határoz a rendszer meg peremfeltételeket, (Refinement factor amik for szükség coloumns) szerint korrigálandók. File menü Model Information A Model information paranccsal a modell legfontosabb aktuális jellemzőit nézhetjük meg, illetve a Simulation title ablakban a modellre vonatkozó saját megjegyzéseket is beírhatjuk. File menü Save Plot As A Save Plot As... paranccsal a képernyőn lévő aktuális tartalmat lehet elmenteni Windows Bitmap (*.BMP), Hewlett-Packard Graphics Language (HPGL) és AutoCAD drawing exchange formátumba (*.dxf) (Használjunk AutoCAD v12 vagy korábbi állományokat!!!)

33 File menü Print Plot Print Plot paranccsal az aktuális grafika nyomtatása történhet. A legfontosabb opciók a teljes oldalt kitöltő nyomtatás (Use full page) és a lapközépre helyezett nyomtatás (Enter on Page). Grid menü Mesh Size Az itt választott hosszúság (mérték)egység a későbbiekben meghatározza a további paraméterek esetében alkalmazott hosszúság (mérték)egységeket is! A Mesh Size... paranccsal a modell térdimenzióinak méreteit, majd az egyes cellák méreteit állíthatjuk be. Amennyiben a modellt éppen most hozzuk létre, akkor először a Model Dimension nevű ablakot kell kitölteni, ahol megadhatjuk a rétegek számát (Layers) az oszlopok (Coloumns) darabszámát (Number) és méretét (Size), illetve a sorok (Rows) darabszámát (Number) és méretét (Size) Grid menü Mesh Size A modell térdimenzióinak megadása után a Grid Editor programrész egy módosított változata jelenik meg

34 Grid menü Mesh Size A cellák méreteit a cellára klikkelve, majd jobb egérgomb segítségével feljövő ablakban változtathatjuk meg. Ebben az ablakban, megadhatjuk az elem méretét (Size: Coloumn, Row), illetve a több részre bontását is elvégezhetjük a tér három irányában (Refinement: Coloumn, Row, Layer). A több részre bontás a rácsháló miatt a többi elemek méretét is befolyásolhatja. Amennyiben a több részre bontás nem működik, akkor először az ablakból kilépve e merevlemezre kell írni a háló adatait, majd a Grid Mesh Size... paranccsal újra szerkeszteni és módosítani a hálót. Grid menü Layer type A Grid Layer Type... paranccsal az egyes rétegek tulajdonságait adhatjuk meg. A parancs hatására a Layer Options ablak nyílik meg, ahol láthatók az egyes rétegek tulajdonságai táblázatos formában. Grid menü Boundary Condition A Grid Boundary Condition paranccsal az alkalmazott véges differencia modell peremfeltételeit állíthatjuk be. A két almenüvel egyrészt a MODFLOW IBOUND paraméterét, másrészt az MT3D/MT3DMS ICBOUND paraméterét lehet megadni a később ismertetett Grid Editor segítségével. Értékek: 1 változó értékű (aktív) cella (számított értékek!) 0 inaktív cella -1 állandó (nyomás vagy koncentráció) értékű cella

35 Grid menü Top/Bottom of Layers A Grid Top of Layers (TOP) paranccsal a rétegek fedőszintjeit adhatjuk meg. Az értékek cellákhoz rendelését a Grid Editorral tehetjük meg. A Grid Bottom of Layers (BOT) paranccsal a rétegek fedőszintjeit adhatjuk meg. Az értékek cellákhoz rendelését a Grid Editorral tehetjük meg. Parameters menü Time A Parameters Time paranccsal az idővel kapcsolatos beállítások érhetők el. Az ablakban először az idő mértékegységét célszerű beállítani (Simulation Time Unit), ahol a másodperc (seconds), perc (minutes), óra (hours), nap (days) és év (years) közül választhatunk. Az idődimenzió megadásával és a hosszúságdimenzió felvételével [Mesh Size] a vízhozam [L 3 /T], sebesség [L/T], stb. dimenzióját is meghatározzuk!!! Parameters menü Initial Hydraulic Heads A hidrodinamikai számítások kezdeti feltételét jelentő nyugalmi nyomásszint-eloszlásokat adhatjuk meg elemenként a Grid Editor segítségével.

36 Parameters menü Boreholes and Observations Itt két táblázattal adhatjuk meg a megfigyelő kutak (Boreholes) és az észlelések (Observations) adatait, melyeket később az automatikus kalibrációhoz (PEST, UCODE), illetve a modellszámítás eredményeinek értékelésénél használhatunk fel. Parameters menü rétegjellemzők megadása *Kivéve, ha a Layer Options menüben megadtuk, hogy a szivárgási tényezők és a modellgeometria alapján történjék az értékek számítása! (Calculated vagy User defined) A vízszintes szivárgási tényezők eloszlását adhatjuk meg elemenként, a Grid Editor segítségével. A függőleges szivárgási tényezők eloszlását adhatjuk meg elemenként, a Grid Editor segítségével. A fajlagos tárolási tényező eloszlását adhatjuk meg elemenként, a Grid Editor segítségével. A transzmisszivitás eloszlását adhatjuk meg elemenként., a Grid Editor segítségével. * A függőleges átszivárgási tényezők (b érték) eloszlását adhatjuk meg elemenként, a Grid Editor segítségével.* A tárolási tényező eloszlását adhatjuk meg elemenként, a Grid Editor segítségével.* A szabad hézagtérfogat értékek eloszlását adhatjuk meg elemenként, a Grid Editor segítségével. A fajlagos hozam értékek eloszlását adhatjuk meg elemenként, a Grid Editor segítségével. Parameters menü *Kivéve, ha a Layer Options menüben megadtuk, hogy a szivárgási tényezők és a modellgeometria alapján történjék az értékek számítása! (Calculated vagy User defined)

37 Models menü A Models menün keresztül érjük el a Grid menüben leírt geometriájú, a Parameters menüben megadott tulajdonságokkal jellemezhető porózus közegben lejátszódó hidrodinamikai és transzportfolyamatokat leíró modellek speciális lehetőségeit. Models menü - MODFLOW A MODFLOW 3D, telített közegben lejátszódó hidrodinamikai folyamatokat leíró programcsomag. A MODFLOW moduláris felépítésű FORTRAN program, melyhez speciális helyzeteket leíró programcsomagok (Packages) csatlakoztathatók. A legfontosabb MODFLOW csomagok A MODFLOW csomagok a Models MODFLOW menüből érhetőek el.

38 A legfontosabb MODFLOW csomagok Well package (Kút csomag) Ismert hozamú vízkivételek és betáplálások szimulációjára szolgál. A MODFLOW egy-egy elem vízmérlegét számítja, ezért az egyes elemekbe eső összes hozamot (az elembe eső szűrőzésű kutak együttes hozamát) (Recharge Rate of the Well) kell bevinni. A kitermelt hozamok negatív, az injektált hozamok pedig pozitív előjellel szerepelnek a vízmérlegben. A legfontosabb MODFLOW csomagok Drain package (Szivárgó csomag) A szivárgó egy olyan víztelenítő létesítmény, ami akkor lép működésbe, ha a szivárgó környezetében a talajvízszint magasabbá válik, mint a szivárgó fenékszintje. A feltételezés szerint az elvezetett víz mennyisége arányos a drén fenékszintje feletti vízoszlop nyomásával és a drén körüli képződmények vízvezető képességével. A legfontosabb MODFLOW csomagok Drain package (Szivárgó csomag) Ha a vízszint alacsonyabban áll, mint a drén fenékszintje, akkor a szivárgónak a vízmérlegre nincs hatása! ( a levegőben lógó drén esete ) Q = C ( h d) = K L ( h d) d d Q d - a drén hozama C d - a drén vízszállító képessége h - a nyomásszint az elemben d - a drén fenékszintje K - egy egyenértékű szivárgási tényező L - a szivárgó hossza az elemben

39 A legfontosabb MODFLOW csomagok River package (Folyó csomag) A folyó csomag annyiban különbözik a szivárgótól, hogy függetlenül a vízállástól, a folyónak van hatása a vízmérlegre. Ha a folyó vízállása magasabb, mint a talajvíz nyomásszintje, akkor a folyó táplálja a vízadót, ellenkező esetben megcsapolja. A folyó elemek oldalfalainak a folyómederben lévő részei vízzáróak, vízforgalom kizárólag a folyó mederfenekén, a kolmatált zónán keresztül lehetséges. Felszíni vizekből átadott vízhozamok számítása (KINZELBACH, 1986) A legfontosabb MODFLOW csomagok River package (Folyó csomag) Q Q C folyó folyó folyó = C = C k = m folyó folyó kolmatált kolmatált ( H ( H folyó folyó L W h), h mederfenék ha ), ha h > h h h mederfenék mederfenék Q folyó - a folyóból a vízadóba jutó hozam H folyó - a vízállás h - a talajvízszint h mederfenék -a mederfenék szintje C folyó - a felszíni és felszín alatti vizek kapcsolatára jellemző mérőszám k kolmatált - a kolmatált zóna szivárgási tényezője m kolmatált - a kolmatált zóna vastagsága L - a folyó hossza W - a folyó szélessége az elemen belül A legfontosabb MODFLOW csomagok General Head Boundary package (GHB csomag) A GHB csomaggal puha peremfeltételeket lehet biztosítani. A peremen ki- és be-áramló vízmennyiség arányos a GHB cellák esetén az aktuális és egy előírt vízszint eltérésével.

40 A legfontosabb MODFLOW csomagok General Head Boundary package (GHB csomag) Q GHB C GHB = C GHB k A = L 0 ( h h) GHB Q GHB -a hozam h GHB - az előírt vízszint h - az aktuális vízszint C GHB - a perem erősségét jelző mérőszám k - a réteg vízszintes szivárgási tényezője A - a szivárgás irányára merőleges felület nagysága az elemben L 0 - a perem távolsága az állandó nyomásúnak feltételezett határtól E definíció szerint a GHB perem felfogható egy olyan cellának, mint egy állandó h GHB vízszinttel jellemezhető peremtől ismert L 0 távolságra lévő cella. A legfontosabb MODFLOW csomagok Recharge package (Maradó beszivárgás csomag) A maradó beszivárgást egy intenzitásértékkel adjuk meg. A legfontosabb MODFLOW csomagok Recharge package (Maradó beszivárgás csomag) A maradó beszivárgás értéke A beszivárgás miatt megjelenő hozamokat a legfelső réteghez rendeljük hozzá A beszivárgás miatt megjelenő hozamokat egy az IRCH mezőben megadott sorszámú és ezért területileg eltérő mélységben található réteghez rendeljük hozzá A beszivárgás miatt megjelenő hozamokat a legfelső aktív cellához rendeljük hozzá Amennyiben az első esetet választottuk, akkor az inaktív cellák esetén a beszivárgást a vízmérlegben nem veszi a program figyelembe. A hozamot az intenzitás és az elem területének szorzataként kapjuk meg

41 0 A legfontosabb MODFLOW csomagok Evapotranspiration package (Evapotranszspiráció csomag) A MODFLOW evapotranszspirációs csomagja a növények párologtató hatását és a földfelszín kiszáradása miatti vízveszteséget veszi figyelembe. A legfontosabb MODFLOW csomagok Evapotranspiration package (Evapotranszspiráció csomag) FüggQleges évi vízforgalom [mm] Beszivárgás [mm/év] Párolgás [mm/év] 0 Terepszint A talajvíz terepszint alatti mélysége [cm] 150 mm/év 174 mm/év 80 mm/év mm/év Talajvízjárás Talajfelszín Maximális beszivárgás mélysége Maximális párolgás Maximális párolgás mélysége Maximális beszivárgás Mélység A legfontosabb MODFLOW csomagok Evapotranspiration package ( Evapotranspiráció csomag) RET = RETMaximum, ha h > hs R = 0, ha h > hs d ET d ( hs d ) RET = RETMaximum, ha ( hs d ) h hs. d - Maximális vízvesztés (R ETMaximum ) - Az evapotranszspirációs zóna maximumának szintje (h s ) - Az evapotranszspirációs zóna minimumának szintje (d) - Az evapotranszspirációs vízvesztés megadása a legfelső réteghez történik - Az evapotranszspirációs vízvesztés által érintett cellák mélységének megadása egy adatmátrix segítségével történik

Surfer for Windows alapismeretek. A Surfer for Windows használata (8. verzió) A Surfer fontosabb jellemzői

Surfer for Windows alapismeretek. A Surfer for Windows használata (8. verzió) A Surfer fontosabb jellemzői Surfer for Windows alapismeretek A Surfer for Windows használata (8. verzió) Kovács Balázs & Szanyi János Kovács Szanyi, 2004-2006 Hidrodinamikai és transzportmodellezés kurzus kezdőknek A Surfer fontosabb

Részletesebben

Modellezés elméleti alapismeretek

Modellezés elméleti alapismeretek Modellezés Modellezés elméleti alapismeretek Kovács Balázs & Szanyi János Kovács Szanyi, 4-6 Mi a modellezés? A MODELL a valós rendszer egyszerűsített, sematikus transzformációja. A modell a valós rendszer!

Részletesebben

A Surfer for Windows használata (8. verzió)

A Surfer for Windows használata (8. verzió) Surfer for Windows alapismeretek A Surfer for Windows használata (8. verzió) Kovács Balázs & Szanyi János Kovács Szanyi, 2004-2006 Hidrodinamikai és transzportmodellezés kurzus kezdőknek; Sümeg, 2006.

Részletesebben

Hidrogeológiai alapismeretek

Hidrogeológiai alapismeretek Hidrogeológia Hidrogeológiai alapismeretek Kovács Balázs & Szanyi János Kovács Szanyi, 004-006 Víz a felszín alatt TALAJNEDVESSÉG ZÓNÁJA: Háromfázisú telítetlen zóna, szemcsék közötti hézagok vizet és

Részletesebben

Modellek kalibrációja és a paraméterérzékenységi vizsgálat Kovács Balázs & Szanyi János

Modellek kalibrációja és a paraméterérzékenységi vizsgálat Kovács Balázs & Szanyi János Modellezés és kalibráció Modellek kalibrációja és a paraméterérzékenységi vizsgálat Kovács Balázs & Szanyi János Kovács Szanyi, 4-6 A kalibráció ( bearányosítás, jaj!) A kalibráció során a ismert valós

Részletesebben

Szennyezőanyagok terjedésének numerikus szimulációja, MISKAM célszoftver

Szennyezőanyagok terjedésének numerikus szimulációja, MISKAM célszoftver Szennyezőanyagok terjedésének numerikus szimulációja, MISKAM célszoftver 1. A numerikus szimulációról általában A szennyeződés-terjedési modellek numerikus megoldása A szennyeződés-terjedési modellek transzportegyenletei

Részletesebben

A PMWIN 5.3 használata

A PMWIN 5.3 használata Processing MODFLOW alapismeretek A PMWIN 5.3 használata Kovács Balázs & Szanyi János Kovács Szanyi, 2004-2006 Hidrodinamikai és transzportmodellezés kurzus kezdőknek A Processing MODFLOW fontosabb jellemzői

Részletesebben

Hidrogeológia alapfogalmak. www.hidrotanszek.hu

Hidrogeológia alapfogalmak. www.hidrotanszek.hu Hidrogeológia alapfogalmak www.hidrotanszek.hu Követelmények Minden gyakorlaton részt kell venni Minden gyakorlatról jegyzőkönyvet kell készíteni Zárthelyit csak az írhat aki minden jegyzőkönyvet leadott

Részletesebben

Hidrodinamikai vízáramlási rendszerek meghatározása modellezéssel a határral metszett víztesten

Hidrodinamikai vízáramlási rendszerek meghatározása modellezéssel a határral metszett víztesten Hidrodinamikai vízáramlási rendszerek meghatározása modellezéssel a határral metszett víztesten Hidrodinamikai modell Modellezés szükségessége Módszer kiválasztása A modellezendő terület behatárolása,rácsfelosztás

Részletesebben

Kun Éva Székvölgyi Katalin - Gondárné Sőregi Katalin Gondár Károly XXI. Konferencia a felszín alatti vizekről Siófok,

Kun Éva Székvölgyi Katalin - Gondárné Sőregi Katalin Gondár Károly XXI. Konferencia a felszín alatti vizekről Siófok, Sűrűségüggő geotermikus modellezés tapasztalatai magyarországi esettanulmányok tükrében Kun Éva Székvölgyi Katalin - Gondárné Sőregi Katalin Gondár Károly, 2014.04.02-03 Előadás vázlata Csatolt víz és

Részletesebben

Környezeti elemek védelme III. Vízvédelem

Környezeti elemek védelme III. Vízvédelem Globális környezeti problémák és fenntartható fejlődés modul Gazdálkodási modul Gazdaságtudományi ismeretek I. Közgazdasá Környezeti elemek védelme III. Vízvédelem KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI

Részletesebben

A fenntartható geotermikus energiatermelés modellezéséhez szüksége bemenő paraméterek előállítása és ismertetése

A fenntartható geotermikus energiatermelés modellezéséhez szüksége bemenő paraméterek előállítása és ismertetése A fenntartható geotermikus energiatermelés modellezéséhez szüksége bemenő paraméterek előállítása és ismertetése Boda Erika III. éves doktorandusz Konzulensek: Dr. Szabó Csaba Dr. Török Kálmán Dr. Zilahi-Sebess

Részletesebben

A porózus vízadó rendszereket parti szűrésű, talaj és rétegvízadó rendszerekre oszthatjuk.

A porózus vízadó rendszereket parti szűrésű, talaj és rétegvízadó rendszerekre oszthatjuk. VÍZFÖLDTANI ALAPFOGALMAK A felszín alatti vizeket tároló képződmények egymástól eltérő mértékben vezetik a vizet. Ennek alapján megkülönböztethetünk vízadó és vízrekesztő képződményeket. Az elnevezés relatív,

Részletesebben

Folyadékok és gázok áramlása

Folyadékok és gázok áramlása Folyadékok és gázok áramlása Hőkerék készítése házilag Gázok és folyadékok áramlása A meleg fűtőtest vagy rezsó felett a levegő felmelegszik és kitágul, sűrűsége kisebb lesz, mint a környezetéé, ezért

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

SZÁMÍTÓGÉPES ADATFELDOLGOZÁS

SZÁMÍTÓGÉPES ADATFELDOLGOZÁS SZÁMÍTÓGÉPES ADATFELDOLGOZÁS A TÁBLÁZATKEZELŐK Irodai munka megkönnyítése Hatékony a nyilvántartások, gazdasági, pénzügyi elemzések, mérési kiértékelések, beszámolók stb. készítésében. Alkalmazható továbbá

Részletesebben

Sósvíz behatolás és megoldási lehetőségeinek szimulációja egy szíriai példán

Sósvíz behatolás és megoldási lehetőségeinek szimulációja egy szíriai példán Sósvíz behatolás és megoldási lehetőségeinek szimulációja egy szíriai példán Allow Khomine 1, Szanyi János 2, Kovács Balázs 1,2 1-Szegedi Tudományegyetem Ásványtani, Geokémiai és Kőzettani Tanszék 2-Miskolci

Részletesebben

Mechatronika segédlet 3. gyakorlat

Mechatronika segédlet 3. gyakorlat Mechatronika segédlet 3. gyakorlat 2017. február 20. Tartalom Vadai Gergely, Faragó Dénes Feladatleírás... 2 Fogaskerék... 2 Nézetváltás 3D modellezéshez... 2 Könnyítés megvalósítása... 2 A fogaskerék

Részletesebben

Folyadékok és gázok mechanikája

Folyadékok és gázok mechanikája Folyadékok és gázok mechanikája Hidrosztatikai nyomás A folyadékok és gázok közös tulajdonsága, hogy alakjukat szabadon változtatják. Hidrosztatika: nyugvó folyadékok mechanikája Nyomás: Egy pontban a

Részletesebben

Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája

Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája A táblázatkezelés alapjai A táblázat szerkesztése A táblázat formázása A táblázat formázása Számítások a táblázatban Oldalbeállítás és nyomtatás

Részletesebben

9. Laboratóriumi gyakorlat NYOMÁSÉRZÉKELŐK

9. Laboratóriumi gyakorlat NYOMÁSÉRZÉKELŐK 9. Laboratóriumi gyakorlat NYOMÁSÉRZÉKELŐK 1.A gyakorlat célja Az MPX12DP piezorezisztiv differenciális nyomásérzékelő tanulmányozása. A nyomás feszültség p=f(u) karakterisztika megrajzolása. 2. Elméleti

Részletesebben

QGIS tanfolyam (ver.2.0)

QGIS tanfolyam (ver.2.0) QGIS tanfolyam (ver.2.0) I. Rétegkezelés, stílusbeállítás 2014. január-február Összeállította: Bércesné Mocskonyi Zsófia Duna-Ipoly Nemzeti Park Igazgatóság A QGIS a legnépszerűbb nyílt forráskódú asztali

Részletesebben

6.1.1.2 Új prezentáció létrehozása az alapértelmezés szerinti sablon alapján.

6.1.1.2 Új prezentáció létrehozása az alapértelmezés szerinti sablon alapján. 6. modul Prezentáció A modul a prezentációkészítéshez szükséges ismereteket kéri számon. A sikeres vizsga követelményei: Tudni kell prezentációkat létrehozni és elmenteni különböző fájl formátumokban A

Részletesebben

Vízkutatás, geofizika

Vízkutatás, geofizika Vízkutatás, geofizika Vértesy László, Gulyás Ágnes Magyar Állami Eötvös Loránd Geofizikai Intézet, 2012. Magyar Vízkútfúrók Egyesülete jubileumi emlékülés, 2012 február 24. Földtani szelvény a felszínközeli

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Ebben a fejezetben egy szögtámfal tervezését, és annak teljes számítását mutatjuk be.

Ebben a fejezetben egy szögtámfal tervezését, és annak teljes számítását mutatjuk be. 2. számú mérnöki kézikönyv Frissítve: 2016. Február Szögtámfal tervezése Program: Szögtámfal File: Demo_manual_02.guz Feladat: Ebben a fejezetben egy szögtámfal tervezését, és annak teljes számítását mutatjuk

Részletesebben

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása Nyomaték (x 0 Nm) O k t a t á si Hivatal A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása./ A mágnes-gyűrűket a feladatban meghatározott sorrendbe és helyre rögzítve az alábbi táblázatban feltüntetett

Részletesebben

Hogyan készül a Zempléni Geotermikus Atlasz?

Hogyan készül a Zempléni Geotermikus Atlasz? Hogyan készül a Zempléni Geotermikus Atlasz? MISKOLCI EGYETEM KÚTFŐ PROJEKT KÖZREMŰKÖDŐK: DR. TÓTH ANIKÓ NÓRA PROF. DR. SZŰCS PÉTER FAIL BOGLÁRKA BARABÁS ENIKŐ FEJES ZOLTÁN Bevezetés Kútfő projekt: 1.

Részletesebben

A szigetközi MODFLOW modellezés verifikálása, paraméter optimalizálás izotóp-adatokkal

A szigetközi MODFLOW modellezés verifikálása, paraméter optimalizálás izotóp-adatokkal A szigetközi MODFLOW modellezés verifikálása, paraméter optimalizálás izotóp-adatokkal Deák József Maginecz János Szalai József Dervaderits Borbála Földtani felépítés Áramlási viszonyok Vízföldtani kérdések

Részletesebben

Táblázatok. Táblázatok beszúrása. Cellák kijelölése

Táblázatok. Táblázatok beszúrása. Cellák kijelölése Táblázatok Táblázatok beszúrása A táblázatok sorokba és oszlopokba rendezett téglalap alakú cellákból épülnek fel. A cellák tartalmazhatnak képet vagy szöveget. A táblázatok használhatók adatok megjelenítésére,

Részletesebben

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok A végeselem módszer alapjai Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor 2. Alapvető elemtípusok - A 3D-s szerkezeteket vagy szerkezeti elemeket gyakran egyszerűsített formában modellezzük rúd, gerenda, 2D-s elemek,

Részletesebben

Az Alföld rétegvíz áramlási rendszerének izotóphidrológiai vizsgálata. Deák József GWIS Kft Albert Kornél Micro Map BT

Az Alföld rétegvíz áramlási rendszerének izotóphidrológiai vizsgálata. Deák József GWIS Kft Albert Kornél Micro Map BT Az Alföld rétegvíz áramlási rendszerének izotóphidrológiai vizsgálata Deák József GWIS Kft Albert Kornél Micro Map BT Koncepcionális modellek az alföldi rétegvíz áramlási rendszerek működésére gravitációs

Részletesebben

Folyadékok és gázok áramlása

Folyadékok és gázok áramlása Folyadékok és gázok áramlása Gázok és folyadékok áramlása A meleg fűtőtest vagy rezsó felett a levegő felmelegszik és kitágul, sűrűsége kisebb lesz, mint a környezetéé, ezért felmelegedik. A folyadékok

Részletesebben

(Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja.

(Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja. Testmodellezés Testmodellezés (Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja. A tervezés (modellezés) során megadjuk a objektum geometria

Részletesebben

Kulcsár Attila. A második szint GeoCalc GIS 2. GISopen 2012 konfrencia. www.geocalc.hu

Kulcsár Attila. A második szint GeoCalc GIS 2. GISopen 2012 konfrencia. www.geocalc.hu Kulcsár Attila A második szint GISopen 2012 konfrencia 1 GeoCalc GIS története 2006 Alapverzió (csak adatbázisokkal együtt Temető nyilvántartás) 2008 GeoCalc GIS 1.0 2011 GeoCalc GIS 1.5 (hierarchia, földtömegszámítás,

Részletesebben

Nagy Gábor: Mapinfo. Tartalomjegyzék

Nagy Gábor: Mapinfo. Tartalomjegyzék Nagy Gábor: Mapinfo Jelen segédletet abból a célból kezdtem el írni, hogy a Jáky József Műszaki Szakközépiskola ötödéves térinformatikai technikus tanulóinak segítséget nyújtson a MapInfo megismerésében.

Részletesebben

Trícium ( 3 H) A trícium ( 3 H) a hidrogén hármas tömegszámú izotópja, egy protonból és két neutronból áll.

Trícium ( 3 H) A trícium ( 3 H) a hidrogén hármas tömegszámú izotópja, egy protonból és két neutronból áll. Trícium ( 3 H) A trícium ( 3 H) a hidrogén hármas tömegszámú izotópja, egy protonból és két neutronból áll. Bomláskor lágy - sugárzással stabil héliummá alakul át: 3 1 H 3 He 2 A trícium koncentrációját

Részletesebben

ÁRVÍZVÉDELMI TÖLTÉSEK ÉS ALTALAJÁNAK HIDRODINAMIKAI MODELLEZÉSE A SEEP2D MODULLAL

ÁRVÍZVÉDELMI TÖLTÉSEK ÉS ALTALAJÁNAK HIDRODINAMIKAI MODELLEZÉSE A SEEP2D MODULLAL A Miskolci Egyetem Közleménye, A sorozat, Bányászat, 81. kötet (2011) ÁRVÍZVÉDELMI TÖLTÉSEK ÉS ALTALAJÁNAK HIDRODINAMIKAI MODELLEZÉSE A SEEP2D MODULLAL Zákányi Balázs 1, Nyiri Gábor 2 1 egyetemi tanársegéd,

Részletesebben

5. osztály. Matematika

5. osztály. Matematika 5. osztály A természetes számok értelmezése 100 000-ig. A tízes számrendszer helyértékes írásmódja. A A természetes számok írásbeli összeadása, kivonása. A műveleti eredmények becslése. Ellenőrzés 3. A

Részletesebben

Országos Területrendezési Terv térképi mel ékleteinek WMS szolgáltatással történő elérése, Quantum GIS program alkalmazásával Útmutató 2010.

Országos Területrendezési Terv térképi mel ékleteinek WMS szolgáltatással történő elérése, Quantum GIS program alkalmazásával Útmutató 2010. Országos Területrendezési Terv térképi mellékleteinek WMS szolgáltatással történő elérése, Quantum GIS program alkalmazásával Útmutató 2010. május 1. BEVEZETÉS Az útmutató célja az Országos Területrendezési

Részletesebben

Lakóház tervezés ADT 3.3-al. Segédlet

Lakóház tervezés ADT 3.3-al. Segédlet Lakóház tervezés ADT 3.3-al Segédlet A lakóház tervezési gyakorlathoz főleg a Tervezés és a Dokumentáció menüket fogjuk használni az AutoDesk Architectural Desktop programból. A program centiméterben dolgozik!!!

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA

ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA Az áramkörök szimulációja révén betekintést nyerünk azok működésébe. Meg tudjuk határozni az áramkörök válaszát különböző gerjesztésekre, különböző üzemmódokra. Végezhetők analóg

Részletesebben

Hidrogeológiai kutatások. Mező Gyula hidrogeológus

Hidrogeológiai kutatások. Mező Gyula hidrogeológus A Paks II atomerőmű telephelyvizsgálatának tudományos eredményei Hidrogeológiai kutatások Mező Gyula hidrogeológus 1 A vízföldtani kutatás célja, hogy adatokat szolgáltasson a nukleáris létesítmény tervezéséhez,

Részletesebben

Izotóphidrológiai módszerek alkalmazása a Kútfő projektben

Izotóphidrológiai módszerek alkalmazása a Kútfő projektben Izotóphidrológiai módszerek alkalmazása a Kútfő projektben Deák József 1, Szűcs Péter 2, Lénárt László 2, Székely Ferenc 3, Kompár László 2, Palcsu László 4, Fejes Zoltán 2 1 GWIS Kft., 8200. Veszprém,

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

DIGITÁLIS TEREPMODELL A TÁJRENDEZÉSBEN

DIGITÁLIS TEREPMODELL A TÁJRENDEZÉSBEN DIGITÁLIS TEREPMODELL A TÁJRENDEZÉSBEN DR. GIMESI LÁSZLÓ Bevezetés Pécsett és környékén végzett bányászati tevékenység felszámolása kapcsán szükségessé vált az e tevékenység során keletkezett meddők, zagytározók,

Részletesebben

METEOROLÓGIAI MÉRÉSEK és MEGFIGYELÉSEK

METEOROLÓGIAI MÉRÉSEK és MEGFIGYELÉSEK METEOROLÓGIAI MÉRÉSEK és MEGFIGYELÉSEK Földtudomány BSc Mészáros Róbert Eötvös Loránd Tudományegyetem Meteorológiai Tanszék MIÉRT MÉRÜNK? A meteorológiai mérések célja: 1. A légkör pillanatnyi állapotának

Részletesebben

Követelmény az 5. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény az 5. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény az 5. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Néhány elem kiválasztása adott szempont szerint. Néhány elem sorba rendezése, az összes lehetséges sorrend felsorolása.

Részletesebben

Koós Dorián 9.B INFORMATIKA

Koós Dorián 9.B INFORMATIKA 9.B INFORMATIKA Számítástechnika rövid története. Az elektronikus számítógép kifejlesztése. A Neumann-elv. Információ és adat. A jel. A jelek fajtái (analóg- és digitális jel). Jelhalmazok adatmennyisége.

Részletesebben

W = F s A munka származtatott, előjeles skalármennyiség.

W = F s A munka származtatott, előjeles skalármennyiség. Ha az erő és az elmozdulás egymásra merőleges, akkor fizikai értelemben nem történik munkavégzés. Pl.: ha egy táskát függőlegesen tartunk, és úgy sétálunk, akkor sem a tartóerő, sem a nehézségi erő nem

Részletesebben

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével IgyR - 3/1 p. 1/20 Integrált Gyártórendszerek - MSc Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék IgyR - 3/1 p. 2/20

Részletesebben

A Vonallánc készlet parancsai lehetővé teszik vonalláncok és sokszögek rajzolását.

A Vonallánc készlet parancsai lehetővé teszik vonalláncok és sokszögek rajzolását. 11. Geometriai elemek 883 11.3. Vonallánc A Vonallánc készlet parancsai lehetővé teszik vonalláncok és sokszögek rajzolását. A vonallánc egy olyan alapelem, amely szakaszok láncolatából áll. A sokszög

Részletesebben

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,

Részletesebben

azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra

azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra 4. Gyakorlat 31B-9 A 31-15 ábrán látható, téglalap alakú vezetőhurok és a hosszúságú, egyenes vezető azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra. 31-15 ábra

Részletesebben

Polgár-Ny elnevezésű távlati ivóvízbázis hidrodinamikai modellezése

Polgár-Ny elnevezésű távlati ivóvízbázis hidrodinamikai modellezése Polgár-Ny elnevezésű távlati ivóvízbázis hidrodinamikai modellezése Seregi Ferenc Tiszántúli Vízügyi Igazgatóság Vízgazdálkodási referens Debrecen, 2016. 1. Bevezetés A Kormány rövid- és középtávú környezetvédelmi

Részletesebben

1. Gauss-eloszlás, természetes szórás

1. Gauss-eloszlás, természetes szórás 1. Gauss-eloszlás, természetes szórás A Gauss-eloszlásnak megfelelő függvény: amely egy σ szélességű, µ középpontú, 1-re normált (azaz a teljes görbe alatti terület 1) görbét ír le. A természetben a centrális

Részletesebben

A talajok összenyomódásának vizsgálata

A talajok összenyomódásának vizsgálata A talajok összenyomódásának vizsgálata Amit már tudni kellene Összenyomódás Konszolidáció Normálisan konszolidált talaj Túlkonszolidált talaj Túlkonszolidáltsági arányszám,ocr Konszolidáció az az időben

Részletesebben

TALAJVÉDELEM XI. A szennyezőanyagok terjedését, talaj/talajvízbeli viselkedését befolyásoló paraméterek

TALAJVÉDELEM XI. A szennyezőanyagok terjedését, talaj/talajvízbeli viselkedését befolyásoló paraméterek TALAJVÉDELEM XI. A szennyezőanyagok terjedését, talaj/talajvízbeli viselkedését befolyásoló paraméterek A talajszennyezés csökkenése/csökkentése bekövetkezhet Természetes úton Mesterséges úton (kármentesítés,

Részletesebben

Magyar Földtani és Geofizikai Intézet. XXIII. Konferencia a felszín alatti vizekről április 6 7., Siófok

Magyar Földtani és Geofizikai Intézet. XXIII. Konferencia a felszín alatti vizekről április 6 7., Siófok Nemzeti Alkalmazkodási Térinformatikai Rendszer a klímaváltozás lehetséges hatásainak regionális léptékű előrejelzése és az alkalmazkodási intézkedések megalapozása érdekében Szőcs Teodóra, Kovács Attila,

Részletesebben

Hálózat hidraulikai modell integrálása a Soproni Vízmű Zrt. térinformatikai rendszerébe

Hálózat hidraulikai modell integrálása a Soproni Vízmű Zrt. térinformatikai rendszerébe Hálózat hidraulikai modell integrálása a térinformatikai rendszerébe Hálózathidraulikai modellezés - Szakmai nap MHT Vízellátási Szakosztály 2015. április 9. Térinformatikai rendszer bemutatása Működési

Részletesebben

EGYENES ILLESZTÉSE (OFFICE

EGYENES ILLESZTÉSE (OFFICE EGYENES ILLESZTÉSE (OFFICE 2007) 1. Írjuk a mérési adatokat az x-szel és y-nal jelzett oszlopokba. Ügyeljünk arra, hogy az első oszlopba a független, a második oszlopba a függő változó kerüljön! 2. Függvény

Részletesebben

= Φ B(t = t) Φ B (t = 0) t

= Φ B(t = t) Φ B (t = 0) t 4. Gyakorlat 32B-3 Egy ellenállású, r sugarú köralakú huzalhurok a B homogén mágneses erőtér irányára merőleges felületen fekszik. A hurkot gyorsan, t idő alatt 180 o -kal átforditjuk. Számitsuk ki, hogy

Részletesebben

Folyadékok és gázok mechanikája

Folyadékok és gázok mechanikája Folyadékok és gázok mechanikája A folyadékok nyomása A folyadék súlyából származó nyomást hidrosztatikai nyomásnak nevezzük. Függ: egyenesen arányos a folyadék sűrűségével (ρ) egyenesen arányos a folyadékoszlop

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes.

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes. Heti 4 óra esetén, 37 tanítási hétre összesen 148 óra áll rendelkezésre. A tanmenet 132 óra beosztását tartalmazza. Heti 5 óra esetén összesen 37-tel több órában dolgozhatunk. Ez összesen 185 óra. Itt

Részletesebben

Vízszállító rendszerek a földkéregben

Vízszállító rendszerek a földkéregben Vízszállító rendszerek a földkéregben Módszertani gyakorlat földrajz tanárjelölteknek Mádlné Szőnyi Judit szjudit@ludens.elte.hu Csondor Katalin Szikszay László Általános és Alkalmazott Földtani Tanszék

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1

1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 Kérdések. 1. Mit mond ki a termodinamika nulladik főtétele? Azt mondja ki, hogy mindenegyes termodinamikai kölcsönhatáshoz tartozik a TDR-nek egyegy

Részletesebben

Vezetők elektrosztatikus térben

Vezetők elektrosztatikus térben Vezetők elektrosztatikus térben Vezető: a töltések szabadon elmozdulhatnak Ha a vezető belsejében a térerősség nem lenne nulla akkor áram folyna. Ha a felületen a térerősségnek lenne tangenciális (párhuzamos)

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

A vízgyűjtő, mint a hidrogeográfiai vizsgálatok alapegysége Jellemző paraméterek. Az esésgörbe

A vízgyűjtő, mint a hidrogeográfiai vizsgálatok alapegysége Jellemző paraméterek. Az esésgörbe A vízgyűjtő, mint a hidrogeográfiai vizsgálatok alapegysége Jellemző paraméterek. Az esésgörbe Fogalmak vízgyűjtő terület (vízgyűjtő kerület!): egy vízfolyás vízgyűjtőjének nevezzük azt a területet, ahonnan

Részletesebben

Geometria megadása DXF fájl importálásából

Geometria megadása DXF fájl importálásából 30. sz. Mérnöki kézikönyv Frissítve: 2016. március Geometria megadása DXF fájl importálásából Program: GEO5 FEM GEO5 Fájl: Demo_manual_30.gmk DXF Fájlok: - model201.dxf eredeti fájl, amit bonyolultsága

Részletesebben

Grafikonok automatikus elemzése

Grafikonok automatikus elemzése Grafikonok automatikus elemzése MIT BSc önálló laboratórium konzulens: Orosz György 2016.05.18. A feladat elsődleges célkitűzései o eszközök adatlapján található grafikonok feldolgozása, digitalizálása

Részletesebben

3. Gyakorlat Áramlástani feladatok és megoldásuk

3. Gyakorlat Áramlástani feladatok és megoldásuk 3 Gyakorlat Áramlástani feladatok és megoldásuk 681 Feladat Adja meg Kelvin és Fahrenheit fokban a T = + 73 = 318 K o K T C, T = 9 5 + 3 = 113Fo F T C 68 Feladat Adja meg Kelvin és Celsius fokban a ( T

Részletesebben

Hidrosztatika. Folyadékok fizikai tulajdonságai

Hidrosztatika. Folyadékok fizikai tulajdonságai Hidrosztatika A Hidrosztatika a nyugalomban lévő folyadékoknak a szilárd testekre, felületekre gyakorolt hatásával foglalkozik. Tárgyalja a nyugalomban lévő folyadékok nyomásviszonyait, vizsgálja a folyadékba

Részletesebben

Villámárvíz modellezés a Feketevíz vízgyűjtőjén

Villámárvíz modellezés a Feketevíz vízgyűjtőjén Villámárvíz modellezés a Feketevíz vízgyűjtőjén Pálfi Gergely DHI Hungary Kft. 2016.07.07. MHT, XXXIV. Országos Vándorgyűlés Debrecen Villám árvíz modellezés A villámárvizek általában hegy és dombvidéki

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló FIZIKA I. KATEGÓRIA. Javítási-értékelési útmutató

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló FIZIKA I. KATEGÓRIA. Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal A 06/07 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló FIZIKA I KATEGÓRIA Javítási-értékelési útmutató feladat Három azonos méretű, pontszerűnek tekinthető, m, m, m tömegű

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

(Freeze & Cherry, 1979)

(Freeze & Cherry, 1979) Bevezetés a hidrogeológiába iáb Kreditkód: gg1n1k34 Földtudomány és környezettudomány BSc 3. szemeszterben meghirdetett kurzus 6. TK. Felszínalatti vizek dinamikája Előadó és az elektronikus tananyag összeállítója:

Részletesebben

Hajdúnánás geotermia projekt lehetőség. Előzetes értékelés Hajdúnánás 2011. 09. 02.

Hajdúnánás geotermia projekt lehetőség. Előzetes értékelés Hajdúnánás 2011. 09. 02. Hajdúnánás geotermia projekt lehetőség Előzetes értékelés Hajdúnánás 2011. 09. 02. Hajdúnánástól kapott adatok a 114-es kútról Általános információk Geotermikus adatok Gázösszetétel Hiányzó adatok: Hő

Részletesebben

Esri Arcpad 7.0.1. Utó- feldolgozás. Oktatási anyag - utókorrekció

Esri Arcpad 7.0.1. Utó- feldolgozás. Oktatási anyag - utókorrekció Esri Arcpad 7.0.1 & MobileMapper CE Utó- feldolgozás Oktatási anyag - utókorrekció Tartalomjegyzék GPS- MÉRÉSEK UTÓ- FELDOLGOZÁSA... 3 1.1 MŰHOLD ADATOK GYŰJTÉSÉNEK ELINDÍTÁSA, A ESRI ArcPad PROGRAMMAL

Részletesebben

TÉRINFORMATIKA II. Dr. Kulcsár Balázs Ph.D. adjunktus. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék

TÉRINFORMATIKA II. Dr. Kulcsár Balázs Ph.D. adjunktus. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék TÉRINFORMATIKA II. Dr. Kulcsár Balázs Ph.D. adjunktus Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék MÁSODLAGOS ADATNYERÉSI ELJÁRÁSOK Meglévő (analóg) térképek manuális digitalizálása 1 A meglévő

Részletesebben

ECDL Táblázatkezelés. www.nomina3p.hu 1. 4.1.1 A táblázatkezelés első lépései. 4.1.2 Beállítások elvégzése

ECDL Táblázatkezelés. www.nomina3p.hu 1. 4.1.1 A táblázatkezelés első lépései. 4.1.2 Beállítások elvégzése 4.1 Az alkalmazás 4.1.1 A táblázatkezelés első lépései 4.1.2 Beállítások elvégzése 4.1.1.1 A táblázatkezelő alkalmazás megnyitása és bezárása. 4.1.1.2 Egy és több munkafüzet (dokumentum) megnyitása. 4.1.1.3

Részletesebben

Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével

Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 213. október 8. Javítva: 213.1.13. Határozzuk

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA tankönyv ötödikeseknek címû tankönyvéhez A heti 3 óra, évi 111 óra B heti 4 óra, évi 148 óra Javaslat témazáró dolgozatra: Dr. Korányi Erzsébet: Matematika

Részletesebben

17. Diffúzió vizsgálata

17. Diffúzió vizsgálata Modern Fizika Labor Fizika BSC A mérés dátuma: 2011.11.24. A beadás dátuma: 2011.12.04. A mérés száma és címe: 17. Diffúzió vizsgálata A mérést végezte: Németh Gergely Értékelés: Elméleti háttér Mi is

Részletesebben

Táblázatkezelés Excel XP-vel. Tanmenet

Táblázatkezelés Excel XP-vel. Tanmenet Táblázatkezelés Excel XP-vel Tanmenet Táblázatkezelés Excel XP-vel TANMENET- Táblázatkezelés Excel XP-vel Témakörök Javasolt óraszám 1. Bevezetés az Excel XP használatába 4 tanóra (180 perc) 2. Munkafüzetek

Részletesebben

Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével

Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2013. szeptember 23. Javítva: 2013.10.09.

Részletesebben

Visszasajtolás pannóniai homokkőbe

Visszasajtolás pannóniai homokkőbe Visszasajtolás pannóniai homokkőbe Szanyi János 1 Kovács Balázs 1 Szongoth Gábor 2 szanyi@iif.u-szeged.hu kovacs.balazs@gama-geo.hu posta@geo-log.hu 1 SZTE, Ásványtani Geokémiai és Kőzettani Tanszék 2

Részletesebben

A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói. Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság. mérés. mérési elv

A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói. Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság. mérés. mérési elv Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói mérés Műveletek összessége, amelyek célja egy mennyiség értékének meghatározása. mérési

Részletesebben

Írja fel az általános transzportegyenlet integrál alakban! Definiálja a konvektív és konduktív fluxus fogalmát!

Írja fel az általános transzportegyenlet integrál alakban! Definiálja a konvektív és konduktív fluxus fogalmát! Írja fel az általános transzportegyenlet integrál alakban! Definiálja a konvektív és konduktív fluxus fogalmát! Írja fel az általános transzportegyenletet differenciál alakban! Milyen mennyiségeket képviselhet

Részletesebben

Elektromos áramerősség

Elektromos áramerősség Elektromos áramerősség Két különböző potenciálon lévő fémet vezetővel összekötve töltések áramlanak amíg a potenciál ki nem egyenlítődik. Az elektromos áram iránya a pozitív töltéshordozók áramlási iránya.

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

CAD-ART Kft. 1117 Budapest, Fehérvári út 35.

CAD-ART Kft. 1117 Budapest, Fehérvári út 35. CAD-ART Kft. 1117 Budapest, Fehérvári út 35. Tel./fax: (36 1) 361-3540 email : cad-art@cad-art.hu http://www.cad-art.hu PEPS CNC Programozó Rendszer Oktatási Segédlet Laser megmunkálás PEPS 4 laser megmunkálási

Részletesebben

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás ZÉHENYI ITVÁN EGYETE GÉPZERKEZETTN É EHNIK TNZÉK 6. EHNIK-TTIK GYKORLT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya ulmann-szerkesztés Ritter-számítás 6.. Példa Egy létrát egy verembe letámasztunk

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben