Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai"

Átírás

1 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) Merev test mogása Eddg olyan dealált "testek" mogását vsgáltuk, amelyek a tömegpont modelljén alapultak E aal a előnnyel járt, hogy nem kellett foglalkon a test kterjedésével kapcsolatos mogás lehetőségekkel, a forgással és a deformácóval Egy fokkal köelebb jutunk a valóságho, de még mndg vsonylag egyserűen leírható mogást kapunk, ha kterje testet vsgálunk, amelyet aonban a egyserűség kedvéért merevnek tekntünk, vagys elhanyagoljuk a test alakváltoásat kterje, de alakját nem váltotató test a merev test merev test knematkájának alapja merev test általános mogása merev test mogásának leírását a mogás leírásáho sükséges adatok, a ún sabadság fokok (f) sámának vsgálatával kedjük Egy tömegpont mogását egy helyvektorral, vagys 3 skalár adattal jellemehetjük, a tömegpont sabadság fokanak sáma tehát f=3 Egy merev test helyetét akkor smerjük, ha megadjuk három nem egy egyenesbe eső pontjának helyetét, vagys össesen 9 adatot, pl a három pont deréksögű koordnátát (Ha egy pontot adunk meg, akkor ekörül tetsőlegesen foroghat a test, ha még egy pontot megadunk, akkor a pontokon áthaladó tengely körül még mndg foroghat, egy harmadk, a tengelyen kívül eső pont megadása rögít a test helyetét) valóságban aonban ennél kevesebb adat s elegendő, hsen a test merevsége at jelent, hogy bármely két pontjának távolsága állandó Így a három pont köött három távolságot kfejeve pl a pontok koordnátával, a 9 koordnáta köött 3 össefüggést kapunk 9 adat köül tehát csak 6 független, eért a sabad merev test sabadság fokanak sáma f=6 Ha a merev test nem mooghat sabadon, hanem mogását valamlyen kényser korlátoa (pl egy kerék egy felületen gurul, vagy a test egy pont körül vagy rögített tengely körül forog), akkor a sabadság fokok sáma a kénysertől függő mértékben csökken (a felsorolt példákban rendre f=5, f=3 és f=) merev test lehetséges mogása köül a legegyserűbb a haladó mogás, vagy más néven translácó, amkor a test mnden pontja ugyanolyan pllanatny sebességgel moog, vagys a egyes pontok mogása egymással párhuamos pályákon ajlk E egyben at s jelent, hogy a testben felvett egyenes térbel helyete a mogás során nem váltok, önmagával párhuamosan modul el (pl a sakas a a ábrán) Így moog egy egyenes pályán haladó sán, vagy a "óráskerék" kabnja Mvel lyenkor a össes pont ugyanúgy moog, elég egyetlen pont mogását jellemen merev test mogása tulajdonképpen tömegpontserű apró rések mogásaként s felfogható, a b

2 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) eért haladó mogásának leírására hasnálhatók a tömegpontra vonatkoó össefüggések, így például a tömegköéppont tétel s merev test másk a tömegpontho képest új mogás módja a tengely körül forgás vagy más néven rotácó Eköben a test különböő pontja különböő sebességgel moognak, és a testben felvett egyenes térben elfordul (b ábra) merev test mogása köben általában mndkét mogás mód egydejűleg jelenk meg (baloldal ábra) E fgyelhető meg pl egy elgurított kerék, egy elhajított test vagy egy ' rotácó translácó ' ' kanyarodó jármű esetében semlélet s at sugallja, de be s bonyítható, hogy a merev test tetsőleges mogása elem translácók és rotácók egymásutánjaként fogható fel Et a eljárást egy síkdomnak a saját síkjában történő elmodulása (a helyetből a helyetbe) kapcsán a jobboldal ábra semléltet: a translácóval, és a at követő (' ) körül forgatással tetsőleges elmodulás létrehoható *********************************************** merev test mogásának translácóra és rotácóra történő felbontását könnyen bemutathatjuk, ha egy pontjának mogását egy külső K koordnátarendserből és a test tömegköéppontjáho rögített K TK rendserből s megvsgáljuk (ábra) helyvektorok köött ekkor fennáll a TK r = rtk + r össefüggés, amből a sebességekre at kapjuk, hogy K r dr TK = v = vtk + v TK Mvel a tömegköéppont és a -edk pont távolsága adott, a pont v pllanatny sebessége merőleges les a r TK helyvektorra, így e a sebesség a két vektorra merőleges ω sögsebesség-vektorral adható meg: TK v = vtk + ( ω r ) r TK r TK K TK E at jelent, hogy a merev test bármely pontjának mogása felbontható a tömegköéppont translácós mogására és a tömegköépponton átmenő tengely körül forgásra megfelelő forgástengely helyete aonban a pont tényleges sebességétől függ, vagys a mogás során váltok, eért e a felbontás csak elem elmodulásokra ga Mvel a fent gondolatmenet a test bármelyk pontjára érvényes, at s kmondhatjuk, hogy a egés merev test mogása a tömegköéppont elem translácónak és a tömegköépponton átmenő tengely körül elem forgásoknak a egymásutánjaként fogható fel *********************************************** merev test mnt pontrendser merev testet ks résekre felostva (ábra), köelítőleg pontokból állónak teknthetjük, és a pontrendserre vonatkoó össefüggéseket hasnálhatjuk pontos leírásho úgy jutunk el, hogy a felostást egyre fnomítjuk és megnéük, hogy eköben a pontrendserre felírt

3 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) 3 mennységek mlyen határértékhe tartanak merev testre vonatkoó mennységekként lletve össefüggésekként a határértéket fogadjuk el (bebonyítható, hogy eek a határértékek létenek, de eel tt nem foglalkounk) felostás alapján a test teljes térfogatát és teljes tömegét a V Δ V m Δm = = ΔV össefüggések adják meg teljes tömeg a sűrűséggel s Δm kfejehető a m = ρδv össefüggés felhasnálásával Mvel a sűrűség a helytől s függhet, a -edk térfogatelem köelítő tömegét a térfogatelemben érvényes átlagos ρ sűrűséggel a Δ m = ρ ΔV össefüggés adja meg Eel a teljes tömeg köelítő értéke m ρ ΔV, a pontos érték pedg a felostás fnomításával kapható meg m = lm ρδv = ρ( r ) dv Δ V 0 Itt a egyenlet jobboldalán álló ún térfogat ntegrállal tt nem foglalkounk résletesebben Egyelőre elég, ha végtelenül fnom felostáson történő össegésnek tekntjük, amelyben dv a r helyvektorral megadott pont körül felvett elem térfogatot jelent pontrendsereknél beveetett tömegköéppont helyvektorát folytonos tömegeloslás esetére ugyaneel a módserrel általánosíthatjuk: r Δm r ρδv rtk = lm = lm = rρ( r ) dv ΔV 0 Δm ΔV 0 Δm m Eel a modellel elértük at, hogy a pontrendserre érvényes knematka és dnamka törvényeket váltoatlan formában lehet alkalman, csak végül mndg át kell térn a végtelenül fnom felostásnak megfelelő határértékre V Merev test dnamkája merev test mogásának leírására solgáló egyenletekhe a legegyserűbben úgy juthatunk el, ha gen ks pontserűnek teknthető résekre ostjuk, és specáls, egymásho képest rögített helyetű pontokból álló pontrendserként tárgyaljuk Mvel a pontrendserre vonatkoó törvényeket smerjük, eel a módserrel a merev testre vonatkoó össefüggésekhe s eljuthatunk Mvel a merev test mogása translácóra és rotácóra bontható, a mogás leírása s két résből áll translácó leírása a pontrendsereknél érvényes tömegköéppont tétellel lehetséges: a külső erők a tömegköéppontban egyesített teljes tömegre hatnak, és a tömegköéppont mogását a tömegpontra érvényes mogásegyenlet írja le továbbakban a translácóval résletesebben nem foglalkounk, hanem elsősorban a tömegpont mogásáho képest új forgást vsgáljuk forgómogás vsgálatát s több lépésben, a egyserűtől a bonyolult felé haladva végeük el

4 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) 4 Rögített tengely körül forgó merev test mogása Elősör a legegyserűbb esettel foglalkounk, amkor a test egy rögített tengely körül foroghat E a eset egyserűsége mellett aért s fontos, mert módot ad a legfontosabb alapfogalmak beveetésére, és gyakorlat sempontból s fontos Rögtett tengely körül forgó merev test perdülete és mogásegyenlete, a tehetetlenség nyomaték pontrendserek vsgálatánál láttuk, hogy a rendser perdületének beveetésével egy mogásegyenletet tudunk felírn: d d = M, lletve merev testre = M K (tt csak külső forgatónyomaték van, így a megkülönbötető K nde felesleges) Írjuk fel eért elősör a merev test perdületét Vegyük fel a koordnátarendserünket úgy, hogy a -tengely a rögített forgástengelyre essen (ábra) testet ossuk fel térfogatelemekre, és a sámítást a így kapott "köelítő pontrendseren" végeük el egyes térfogatelemek körpályán moognak, a -edk tömegelem perdülete: = r Δmv Mvel a vektorsoratban sereplő vektorok merőlegesek egymásra, a perdület nagysága = r Δm v rögített tengely matt a perdületet csak a forgatónyomaték -komponense tudja váltotatn (a másk két komponenst a tengely kkompenálja), eért mogásegyenletnek és a perdületnek csak a - komponensét érdemes felírn: = cos ϑ = r Δmv cosϑ Mvel a tengelytől mért távolság és a helyvektor hossa köött fennáll a R = cosϑ össefüggés, végül a r = cos ϑ = RΔmv = Δm R ω össefüggést kapjuk (tt felhasnáltuk, hogy a körmogásnál v = Rω ), amnek a a előnye, hogy benne a egyes tömegek sebessége helyett a köös sögsebesség serepel teljes test perdületének -komponense ennek alapján köelítőleg: = m R ω = Δ ω Δm R össeget pontserűnek teknthető térfogatelemek esetén a testnek a adott tengelyre vonatkoó tehetetlenség nyomatékának nevek, és rendsernt θ -val jelölk: Δm R Θ tehetetlenség nyomaték adott össtömeg esetén alapvetően a test tömegének a rögített tengely körül eloslásától függ, vagys nagyságát a test tömege, alakja és a tengely helyete egyaránt befolyásolja tehetetlenség nyomaték fent kfejeése pontos eredményt csak tömegpontokból álló testnél ad merev test rendsernt nem teknthető lyennek, eért általában ϑ ω R r v ϑ r v r, v Δm

5 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) 5 végtelen fnom felostáson történő össegéssel, vagys ntegrálással sámítható k (l később) tehetetlenség nyomaték smeretében a rögített tengely körül forgó merev test perdületének -komponense a egyserű = Θ ω alakba írható pontrendsereknél kapott mogásegyenlet ennek alapján: d d( Θ ω ) = = M K = M Ha a tehetetlenség nyomaték dőben állandó, akkor a mogásegyenlet a dω Θ = Θ β = M alakot ölt, ahol β a söggyorsulás egyenletből a forgatónyomatékok és a tehetetlenség nyomaték smeretében a söggyorsulás, abból ntegrálással a sögsebesség, újabb ntegrálással pedg a sögelfordulás dőfüggése meghatároható fent mogásegyenlet egy másk fontos követkeménye, hogy ha a külső forgatónyomatékok eredője nulla, akkor a perdület megmarad, és érvényes a Θ ω = állandó össefüggés Et a össefüggést sámos egyserű kísérlettel lehet semléltetn KÍSÉRLETEK: kísérleteket függőleges tengely körül forgatható sékre ültetett semély vég kísérleteő mndkét knyújtott keébe súlyókat adunk, majd forgásba houk Ha a kísérleteő a súlyókat behúa, akkor forgása felgyorsul (ksebb a "R" és így a θ, eért nagyobb les a ω), a súlyókat újra knyújtva, a forgás lelassul Ugyane a oka annak, hogy a knyújtott karokkal lassan forgó korcsolyáó gyors forgásba tudja hon magát (pruett) keenek behúásával kísérleteő keébe függőleges tengelyű bcklkereket adunk Ha a kereket a tengelye körül megforgatja, akkor a forgósék ellenkeő rányban forogn ked, ha a kereket megállítja, a forgósék megáll (perdület-megmaradás) Ha a kísérleteő keébe forgó kereket adunk, akkor nem történk semm, de ha a forgó kerék tengelyét kal elfordítja, akkor a sék a kerék forgásrányával ellentétesen forogn ked tehetetlenség nyomaték ksámítása, a Stener tétel tehetetlenség nyomatékot a fent defnícó alapján csak akkor lehet ksámítan, ha a merev test valóban pontserűnek teknthető résekből áll Köelítőleg e a eset áll fenn pl, ha egy súlyóserű testben a súlyó nyelének tömege elhanyagolható a súlyoké mellett, és a súlyok mérete elhanyagolható a távolságuk mellett Ebben a t' esetben a ábrán látható t tengelyre vonatkoó r tehetetlenség nyomaték: ' r ' Θ = m r + mr m m Látható, hogy egy másk (t') tengelyt válastva, a tehetetlenség nyomaték általában más les: r Θ = m r + mr, r vagys a tehetetlenség nyomaték nem egyserűen t

6 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) 6 a test jellemője, hanem at a test és a tengelynek a testhe vsonyított helyete együttesen határoa meg Hasonlóan egyserű a tehetetlenség nyomaték sámítása, ha a test teljes tömege (m) egy nagy sugarú (R) körvonal vagy hengerfelület mentén helyekedk el, és a tömegelemek a sugárho képest elhanyagolható vastagságú rétegben (gyűrű vagy cső) találhatók Ilyenkor a össegésben sereplő tömegek köel aonos távolságra vannak a forgástengelytől, eért köelítőleg ga, hogy Θ Δmr = R Δm = mr testek aonban többnyre nem lyenek, eért e a módser általában nem hasnálható általános sámítás eljárás a végtelenül fnom felostásra, majd ntegrálásra való áttérésen alapul: Θ = lm r ρδv = r ρ( r ) dv Δ V 0 Ha a test homogén, akkor a sűrűség mndenütt ugyananny, és a egyserűbb Θ = ρ r dv alakot kapjuk onyolult alakú test vagy általános helyetű forgástengely esetén ennek a ntegrálnak a ksámítása nagyon bonyolult s lehet, ha aonban a test smmetrkus, és a forgástengely smmetratengely s, akkor egyserűbb a sámítás Egyserű példaként egy henger alakú homogén testnek a hengerpalásttal párhuamos smmetratengelyére vonatkoó tehetetlenség nyomatékát sámítjuk k sámítás aért egyserű, mert a térfogatelemet egy vékonyfalú csőnek válastva (ábra), a fent térfogat ntegrál sugár sernt ntegrállá alakítható ksemelt térfogatelem dv = rπhdr, így a tehetetlenség nyomaték: R = ρ r dv = ρ πh V 0 3 R Θ r dr = πhρ = mr 4 V dott test esetén a tehetetlenség nyomaték attól függ, hogy a forgástengely hogyan helyekedk el a testhe képest Gyanítható aonban, hogy a különböő tengelyekre vonatkoó tehetetlenség nyomatékok nem függetlenek egymástól Egy lyen össefüggést ad meg egymással párhuamos tengelyekre vonatkoó tehetetlenség nyomatékok köött a ún Stener-tétel ábra egy testnek olyan seletét mutatja, amely merőleges a tömegköépponton átmenő TK- és a vele párhuamos tengelyre - edk tömegelem helyetét a két tengelyhe vsonyítva a R és a TK R vektorok, a két tengely relatív helyetét a a vektor mutatja; mndhárom vektor merőleges a tengelyekre tömegelem tehetetlenség nyomatéka a két tengelyre: Θ = R Δm ΘTK = RTKΔm Mvel R = a + R, at kapjuk, hogy TK 4 V a R R h TK r ρ R TK dr Δm

7 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) 7 Θ = R Δm = ( a + R TK ) Δm = a Δm TK + ar = a Δm + ΘTK + artkδm Itt a = a a két párhuamos tengely távolsága teljes tehetetlenség nyomatékot úgy kapjuk meg, hogy et a össeget a testben felvett párhuamos seletek mnden tömegelemére ksámítjuk, és össeadjuk: Θ = a Δm + ΘTK + a R TKΔm = a m + ΘTK + a R TKΔm utolsó tag a test tömegköéppont-vektorának a tengelyekre merőleges össetevőjét adja meg a tömegköéppont rendserben, értéke tehát nulla, így végül at kapjuk, hogy Θ = a m + ΘTK, ahol m a test teljes tömege Vagys egy tengelyre vonatkoó tehetetlenség nyomatékot ksámíthatjuk, ha smerjük a vele párhuamos, tömegköépponton átmenő tengelyre vonatkoó tehetetlenség nyomatékot E a Stener-tétel Rögtett tengely körül forgó merev test energája rögített tengely körül forgó test mechanka energája a forgásból sármaó mogás energával egyenlő E a térfogatelemekre ostás technkájával könnyen ksámítható: E f = Em = Δmv = m R ω = ω m R = Θω egydejűleg haladó- és forgómogást végő test mogás energáját a korábban a pontrendserre kapott össefüggéssel kaphatjuk meg: E m = mvtk + mv = mv TK + Θ TK ω Itt v TK a tömegköéppont sebessége a koordnátarendserünkhö képest, v a -edk tömegelem sebessége a tömegköéppont rendserben (eért serepel tt a tömegköépponton átmenő tengelyre vonatkoó tehetetlenség nyomaték) teljes mogás energa tehát a tömegköéppontba képelt össtömeg haladó mogásából sármaó mogás energából és a tömegköéppont tengely körül forgásból sármaó forgás energából áll Ha külső konervatív erőtérben a testnek helyet energája s van (belső helyet energa merev testnél nncs), akkor e hoáadódk a mogás energáho E = mvtk + Θ TKω + Eh hogy a pontrendsernél, úgy tt s ga, hogy a mechanka energa megváltoása a nem konervatív erők munkájával egyenlő (tt csak külső erők vannak): Δ E = W nk Ha a nem konervatív erők munkája nulla, akkor a mechanka energa megmarad: E = mvtk + Θ TKω + Eh = állandó Rögtett tengely körül forgás és a haladó mogás analógája Ha a rögített tengely () körül forgó merev test tehetetlenség nyomatéka nem váltok, akkor a mogásegyenlet a + R Δm TK Δm =

8 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) 8 dω Θ = Θ β = M alakba írható Ebből a ϕ sögelfordulás dőfüggésére a alább egyenletet kapjuk, ha dϕ( t ) fgyelembe vessük, hogyω = d ϕ( t ) M = Θ E a egyenlet formalag teljesen aonos a -tengely mentén ajló haladó mogásra felírt d ( t ) F = m ewton-féle mogásegyenlettel, csak a erő helyett forgatónyomaték, a tömeg helyett tehetetlenség nyomaték, a koordnáta helyett pedg sögelfordulás serepel benne egyenlet megoldása a említett mennységek átírása után nylván ugyanolyan, mnt a haladó mogás esetén Így például állandó forgatónyomaték esetén M β = Θ ϕ( t ) = t t0 ω ( t ) = β = ω + β ( t t ω ( t ) = ϕ + ω ( t t t t ) ) + β ( t t tehát a haladó mogás össefüggésevel aonos alakú össefüggéseket kapunk Láttuk, hogy a forgás energa kfejeése s megerősít et a felsmerést, hsen a E f = Θ ω kfejeés a említett mennységek cseréjével a haladó mogás mogás energakfejeésével aonos -tengely ment haladó mogás mnden össefüggése átírható a -tengely körül forgómogás össefüggésévé (és vsont), ha végrehajtjuk a alább cseréket: F m Θ a v M β ω ϕ Merev test mogásegyenletének néhány alkalmaása mogásegyenlet alkalmaására három egyserű esetet vsgálunk meg, a egyk a torós nga, a másk a fka nga, a harmadk pedg egy lejtőn legördülő henger vagy gömb Torós nga torós nga egy rugalmas sálra felfüggestett test, például egy korong (ábra), am a sál csavarásával elndítva, függőleges tengely körül lengőmogást vége korong tehetetlenség nyomatéka a sálra, mnt tengelyre vonatkoóan Θ ktérítés után a sálban fellépő rugalmas erők egy vssatérítő forgatónyomatékot eredményenek, am arányos a sögelfordulással (ϕ) és aal ellentétesen forgat: 0 ),

9 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) 9 M = D* ϕ korong mogásegyenlete eel d ϕ M = D* ϕ = Θβ = Θ, D* am rendeés után a harmonkus regés egyenletének korábban megsmert alakját ölt Θ d ϕ ( t ) D* + ϕ ( t ) = 0 Θ ϕ Ennek megoldása ϕ ( t ) = ϕ0 cos( ωt + α ), D* ahol ω = Vagys a korong lengése lyen Θ körfrekvencájú harmonkus regés les Fka nga fka nga egy vísntes (a ábrán -val jelölt, a raj síkjára merőleges) tengely körül forgatható test, amelynek tömegköéppontja (TK) a tengely alatt helyekedk el Ha a tengelyt és a súlypontot össekötő egyenes nem ϕ S függőleges, akkor a súlyerő egy vssatérítő forgatónyomatékot fejt k, am a ktéréssel (ϕ) ellentétesen TK forgat: M = s F g Ha a -tengelyt a pontból a ábra síkjára merőlegesen kfelé rányítjuk, akkor a forgatónyomaték -komponense: F g M = sfg snϕ = mgs snϕ, így a mogásegyenlet: d ϕ M = mgs snϕ = Θ Itt Θ a testnek a forgástengelyre vonatkoó tehetetlenség nyomatéka fent egyenletből rendeés után at kapjuk, hogy d ϕ mgs + snϕ = 0 Θ Tudjuk, hogy a nga lengőmogást fog végen, de a kapott egyenlet sernt e nem harmonkus regés Ha aonban a ϕ ktérés kcs, akkor snϕ ϕ, és a egyenlet a harmonkus regés egyenletévé alakul: d ϕ mgs + ϕ = 0 Θ fka nga tehát ks ktérésnél harmonkus regést vége, amt a ϕ ( t ) = ϕ0 cos( ωt + α ) mgs függvény ír le, ahol a körfrekvenca ω = Θ fka nga specáls eseteként a vékony (elhanyagolható tömegű) fonálra felfüggestett pontserű m tömeggel megvalósított ún matematka nga körfrekvencáját és lengésdejét s megkaphatjuk Ekkor a felfüggestés pont és a tömegköéppont távolsága (am a fka ngánál s) éppen a nga l hossa, a

10 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) 0 tehetetlenség nyomaték pedg f 0 Θ = l m g l =, a lengésdő pedg T0 π π l = g, így ω 0 mgl = = ml g l frekvenca Lejtőn legördülő henger (gömb) Ebben a esetben a merev test egydejűleg forgó- és haladó mogást s vége mogás leírásáho at a korább eredményünket hasnáljuk fel, hogy a mogás a tömegköéppont haladó mogására és a tömegköéppont körül forgásra bontható fel Ha a test tstán gördül (nncs csúsás), akkor a testre a nehéség erő (G) és a lejtővel való érntkeésnél fellépő érntőleges kontaktus erő (F T ) lép fel (e utóbb matt gördül a test, és e nem a sokásos értelemben vett súrlódás erő!) test tömege m, sugara R, a lejtő söge α (ábra) tömegköéppont haladó mogására felírhatjuk a y Fe = GT FT = ma F Fey = F G = ma y F R egyenleteket T Ha lejtőre merőleges mogás nncs, akkor a y =0, G amből at kapjuk, hogy F = G, F = G T α lejtő mentén () történő mogásra a G G G T FT = G sn α FT = ma, α a G=mg össefüggés felhasnálásával pedg a mg sn α F T = ma egyenletet kapjuk tömegköéppontra csak a F T erőnek van forgatónyomatéka, am a sögelfordulással aonos rányban forgat, vagys a forgatónyomaték-vektor a tengellyel sembe mutat (a jobbsodrású rendserben a tengely a raj síkjára merőlegesen kfelé mutat) Ematt M = FT R, és a tömegköépponton átmenő vísntes tengely körül forgásra a mogásegyenlet: F T R = Θ β két mogásegyenletben 3 smeretlen serepel (a, β és F T ), de ha a test gördül, akkor a söggyorsulás és a tömegköéppont gyorsulása köött a a = Rβ össefüggés áll fenn (a mínus jel oka: a gyorsulás a + -tengely rányába mutat, a söggyorsulás vsont a - -tengely rányába), így a egyenletrendser megoldható sámolás elvégése után a tömegköéppont gyorsulására a mg snα a =, Θ m + R a söggyorsulásra pedg a mg snα β = Θ R m + R kfejeést kapjuk

11 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) Ha a legördülő test homogén henger, akkor gyorsulása a henger = g snα, 3 vagys a henger adatatól független Θ h = mr, így a tömegköéppont KÍSÉRLET: Tömör hengert és vele aonos tömegű, belül üres, vékonyfalú hengert (cső) nyugalm helyetből egyserre elndítunk egy lejtő aonos magasságú pontjaról, és megfgyeljük, hogy melyk ér előbb a lejtő aljára t tapastaljuk, hogy mndg a tömör henger ér le előbb, vagys annak a gyorsulása nagyobb kísérlet értelmeése érdekében sámítsuk k egy olyan R sugarú henger gyorsulását, am belül üres, és a tömege egy a henger sugaráho képest vékony héjban helyekedk el (vékonyfalú cső) Ennek a testnek a tehetetlenség nyomatéka jó köelítéssel cső Θ = mr, eért a tömegköéppont gyorsulása a cső = g snα ; sntén független a henger adatatól henger cső Látható tehát, hogy a hengerek adatatól függetlenül a > a, am megmagyaráa a fent tapastalatot: a tömör henger ér előbb a lejtő aljára Hasonló módon sámítható k a gyorsulás egy gömb legördülésénél s gömb tömegköépponton átmenő tengelyre vonatkoó tehetetlenség nyomatéka g 3 5 Θ = mr Ebből a g = g snα 5 7 Merev test perdülete és sögsebessége köött általános össefüggés, sabad tengelyek Láttuk, hogy a merev test perdület-vektora még rögített tengely körül forgásnál sem mndg párhuamos a sögsebességvektorral (forgástengellyel), de a forgástengely rányába eső vetülete arányos a sögsebességgel Sabad mogásnál a perdület és sögsebesség össefüggése még bonyolultabb tehetetlenség tenor, főtehetetlenség nyomatékok Mnt kmutatható, sabad mogásnál s ga a, hogy a perdületvektor komponense lneárs kapcsolatban vannak a sögsebesség komponensevel, de e általában nem egyserű arányosságot jelent általános össefüggés egy deréksögű,y, koordnátarendserben a követkeő : = Θ ω + Θ yω y + Θ ω y = Θ yω + Θ yyω y + Θ ω = Θ ω + Θ ω + Θ ω y Θ, Θ y, Θ y, Θ mennységek (9 adat) a testnek a koordnátatengelyekhe vsonyított tömegeloslását jellemk, és smeretükben a orgón átmenő tetsőleges rányú tengelyre ksámítható a test tehetetlenség nyomatéka E a 9 sám együttesen adja meg a egymással általában nem párhuamos és ω vektor össefüggését, és y Résletesebben pl: udó Á: Kísérlet Fka I

12 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) et a 9 sámból álló mennységet tehetetlenség tenornak nevek (a tenorokról a fkában és a matematkában később résletesen les só) Fontos tudn, hogy bármely testben található 3 egymásra merőleges rány, amelyekben felvéve a koordnátatengelyeket, érvényes, hogy = Θ ω y = Θ yyωy = Θω Eeket a rányokat főtehetetlenség tengelyeknek, a általuk meghatároott koordnátarendsert pedg főtengelyrendsernek nevek defnáló egyenletekből látható, hogy ha egy test egyk főtehetetlenség tengelye körül forog, akkor a és ω vektor egymással párhuamos Ha pl a forgástengely a -tengely, akkor ω = ω y = 0, eért = y = 0, vagys = k = Θ ω k = Θ ω Semléletesen s belátható, hogy bonyos smmetrával rendelkeő testek esetén a főtehetetlenség tengely a smmetratengelyen van Ha például a test egy smmetratengelyre merőleges metsetének centrum-smmetrája van, akkor e a tengely btosan főtehetetlenség tengely, hsen a ábra alapján látható, hogy lyen tengely körül forgásnál a smmetrkus térfogatelem-párok ω perdületvektora a tengelyre smmetrkusan helyekedk el, így a eredőjük és a teljes perdület s tengelyrányú les v Könnyen belátható, hogy egy deréksögű hasáb v v három főtehetetlenség tengelye a három v kfelé befelé egymásra merőleges "kétfogású" forgástengely, r r r r a hengeré a palásttal párhuamos smmetratengely és mnden erre merőleges kétfogású forgástengely, a gömbé pedg mnden a köépponton átmenő tengely (ábra) oldalnéet y y y θ =θ yy θ =θ yy =θ Sabálytalan testnél a főtehetetlenség tengelyek semlélet alapján nem találhatók meg, de sámítással vagy kísérlet útján meghatárohatók Sabad tengelyek tapastalat sernt a testek akkor s végenek forgó mogást, ha nncs külső beavatkoással rögített forgástengely lyen spontán kalakuló forgástengelyeket sabad tengelyeknek nevek

13 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) 3 sabad tengely kalakulása és a, hogy mlyen tengely lehet sabad tengely, jól semléltethető a alább kísérletekkel KÍSÉRLETEK: Késítsünk egy deréksögű hasábot úgy, hogy a egyk élhossa sokkal nagyobb legyen, mnt a másk kettő, és a rövdebb élhossak köött s legyen lényeges eltérés Függessük fel a hasábot egy drótra a hossú oldalara merőleges lapja köepén úgy, hogy a felfüggestés mnden rányban megengedje a elfordulást Eután a felfüggestő drótot forgassuk meg Kedetben a hasáb a hossú oldalával párhuamos, függőleges tengely körül forog, de a sögsebességet növelve vísntes helyetbe ugrk át, és a legrövdebb oldallal párhuamos smmetratengely körül forog tovább Megjegyés: a hossant tengely a hasáb legksebb-, a vísntesbe fordulás után tengely pedg a legnagyobb tehetetlenség nyomatékú, tömegköépponton átmenő főtehetetlenség tengelye Hurok alakú kerékpárláncot függessünk fel egy drótra úgy, hogy a hurok össecsukódva lógjon a dróton, majd a drótot forgassuk meg lánc kedetben össecsukódva forog, majd a sögsebesség növelésekor egyser csak vísntes helyetbe ugrk át, a hurok a forgástengelyre merőleges síkú körré tágul, és a forgástengely a kör köéppontján megy át Megjegyés: a lánc előbb a legksebb-, aután a legnagyobb tehetetlenség nyomatékú, tömegköépponton átmenő tengely körül forog tt serett tapastalatok egyenek a általános tapastalatokkal, amelyek sernt sabad tengely csak főtehetetlenség tengely lehet, csak tömegköépponton átmenő tengely lehet, stabls forgás csak a legnagyobb- és a legksebb tehetetlenség nyomatékú főtehetetlenség tengely körül jön létre (előbb a stablabb) fent tapastalatok elméletleg s értelmehetők, ha megvsgáljuk a sabad tengely létrejöttének feltételet Egy tengely körül forgó test egy térfogatelemére (pl a - edkre) a centrpetáls erő hat (a nehéség erőt most elhanyagoljuk), am a ábra jelölésevel: F = Δmω R Ugyanennek a erőnek forgatónyomatéka s van: ω Δm M = r F F forgásho sükséges eredő erő és eredő R forgatónyomaték: R TK s F = Δ ω R M = r m F r TK r TK Et a erőt és nyomatékot a tengelyek rögítése (csapágyak) adja Ha a test tömegeloslása olyan, hogy egy tengely körül forgásnál fennállnak a F = 0, M = 0 feltételek, akkor a tengelyre ható erők és forgatónyomatékok eredője s nulla, a test sabadon forog a adott rány körül, és nncs sükség tengelyre fent feltételekből meghatároható, hogy mlyen tengelyek jöhetnek sóba sabad tengelyként r

14 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) 4 első feltétel követkeményének kderítése érdekében a tömegelemek helyvektorat bontsuk a tengellyel párhuamos ( r )- és arra merőleges ( R ) össetevőkre, majd tegyük ugyanet a tömegköéppont helyvektorával s ( r és R TK TK ) test tömegköéppont-vektora így r TK = Δmr = Δm ( r + R ) = m r + m R = r + R Δ Δ TK TK m m m m Esernt a tömegköéppont-vektor tengelyre merőleges össetevőjét megadó vektor RTK = Δm R m Eel a erőkre vonatkoó F = 0 feltétel a alább alakba írható: Δ m ω R = ω mr = 0 E csak úgy teljesülhet, ha R TK =0, vagys a tömegköéppont a tengelyen van Sabad tengely tehát csak tömegköépponton átmenő tengely lehet, hogy a sabad tengelynek mndg főtehetetlenség tengelynek kell lenne, a nyomatékra vonatkoó M = 0 feltételből követkek hossabb sámolás után, amt tt mellőünk Merev test forgása rögített pont körül, a pörgettyű sabad forgásénál kevesebb, a rögített tengely körül forgásénál több a sabadság foka a mogásnak, ha a test egy pontja rögített, és a forgás ekörül történk lyen módon mogó testet pörgettyűnek nevek pörgettyűk mogásának leírása sempontjából fontos a forgó test alakja s Itt csak aal a egyserű esettel foglalkounk, amkor a homogén anyagú pörgettyű hengersmmetrkus, és a forgáspont a smmetratengelyen van (ábra) E egyúttal at s jelent, hogy a súlypont a smmetratengelyen van, és a pörgettyű három főtehetetlenség nyomatéka ( Θ, Θ, Θ ) köül kettő megegyek ( Θ = Θ Θ ) lyen pörgettyűt smmetrkus pörgettyűnek nevek pörgettyűk mogásának vsgálatánál két alapesetet érdemes megkülönbötetn: Ha a külső erők rögített forgáspontra vonatkoó forgatónyomatékanak eredője nulla, akkor erőmentes pörgettyűről besélünk ehéség erőtérben e a feltétel rendsernt úgy valósítható meg, hogy a rögített (alátámastott) forgáspont a test súlypontjában van Ha a külső erők forgatónyomatéka a forgáspontra vonatkoóan nem nulla, akkor a pörgettyű neve súlyos pörgettyű elneveés aal függ össe, hogy nehéség erőtérben e általában at jelent, hogy a forgáspont (alátámastás pont) nem esk egybe a súlyponttal, eért a súlyerőnek a forgáspontra vonatkoó forgatónyomatéka általában nem nulla TK sámolás megtalálható: udó Á: Kísérlet Fka I

15 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) 5 Erőmentes, smmetrkus pörgettyű mogása, a nutácó erőmentes smmetrkus pörgettyű mogásának vsgálatát kísérlettel kedjük: KÍSÉRLET: Súlypontjában () alátámastott pörgettyűt ferdén álló smmetratengelye () körül gyorsan megforgatjuk (baloldal ábra) Ekkor a pörgettyű a tengelye rányát megtartva forog smmetratengelyt kssé kbllentve (a jobboldal ábrán a függőlegeshe köelítve), a tengely egy kúp mentén körbeforog jelenség neve: nutácó ω ω megforgatott pörgettyű smmetratengelye sabad tengely, tehát akörül foroghat a test forgástengely a rányát aért tartja meg, mert tengelyrányú perdületet aunk a pörgettyűnek, és e megmarad, hsen nncs külső forgatónyomaték Itt tehát a smmetratengely, a ω vektor (forgástengely) és a perdületvektor ránya egybeesk kbllentéskor megváltok a perdület, de a külső hatás megsűnése után a új perdület megmarad lökés hatására aonban a smmetratengely és a ω vektor (pllanatny forgástengely) ránya sem egymással, sem pedg a perdületvektor rányával nem egyek meg többé alapos megfgyelés at mutatja, hogy a smmetratengely és a pllanatny forgástengely a perdületvektor rögített ránya körül egy-egy kúp mentén körbeforog, úgy hogy, ω és mndg egy ω síkban vannak (ábra) együttes körbeforgás oka lényegében a, hogy a ω vektor (pllanatny nutácós forgástengely) most nem esk egybe a tengellyel, kúp eért a tengely kfordul a és által meghatároott síkból E aonban csak úgy történhet, hogy a perdületvektor állandó marad Ha a perdületet és tengely rányú komponensekre bontjuk (ábra), akkor at írhatjuk, hogy = Θ ω = Θω ω ( és főtehetetlenség tengelyek) Mvel a tengely ω elfordulása matt és ω s kfordul a és által meghatároott síkból, állandósága matt -nak és ω - nak s ugyanet kell tenne, vagys a ω vektor együtt forog a tengellyel a állandó perdületvektor körül ω

16 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) 6 Ha olyan erőmentes pörgettyűt késítünk, amely tetsőleges rányban elfordulhat (ardano -féle felfüggestés; ábra), és et úgy houk forgásba, hogy a forgástengely és a perdületvektor ránya egybeesk a smmetratengellyel, akkor a pörgettyű et a forgástengelyt akkor s megtartja, ha a alátámastása elfordul lyen, tengelyrányát megtartó pörgettyűt groskópnak nevek Ennek a vselkedésnek egy példája, hogy a Föld egyenlítőjén Kelet- yugat rányú, vísntes tengely körül forgásba hoott groskóp tengelye a Föld forgása matt egy negyed nap alatt függőleges rányúvá válk (valójában megtartja a rányát, és a Föld fordul el) Súlyos, smmetrkus pörgettyű mogása, a precessó Ha a pörgettyű forgáspontjára vonatkoó forgatónyomaték nem nulla, akkor mogása lényegesen eltér a erőmentes pörgettyűétől lyen pörgettyű gyakor esete, hogy a külső forgatónyomaték a nehéség erőtől sármak, vagys a pörgettyű forgáspontja () nem esk egybe a súlyponttal (S) lyen pörgettyűt súlyos pörgettyűnek nevek (Megjegyeük, hogy súlyos pörgettyűnek sgorúan véve at a pörgettyűt nevek, amelynél a S a pont felett van; ha S a pont alatt van, akkor pörgettyűs ngáról besélünk) KÍSÉRLET: Súlypontja (S) alatt alátámastott () pörgettyűt ferdén álló smmetratengelye körül gyorsan megforgatjuk, és magára hagyjuk pörgettyű továbbra s a smmetratengelye körül forog, de e a tengely kúpfelületet leírva lassan körbeforog (ábra) jelenséget precessónak nevek S forgás G ω smmetratengely körül gyors forgatás btosítja, hogy a smmetratengely, a ω vektor (forgástengely) és a perdületvektor ránya egybeesk ( ω >> ω eért >>, vagys ) Most aonban a pörgettyűre a G súlyerő a pontra vonatkoó, a ábra síkjára merőleges, befelé mutató forgatónyomatékot fejt k Mvel a mogásegyenlet sernt d = M, a perdület a forgatónyomaték-vektor rányában megváltok Mvel a perdületvektor a smmetratengellyel egybeesk, a smmetratengely ránya a perdülettel együtt váltok Esetünkben e at jelent, hogy a tengely mndg a súlyerő és a tengely által meghatároott síkra merőlegesen modul el: a tengely csúcsa körön, a tengely maga egy kúpfelületen moog precessó még látványosabban bemutatható egy bcklkerék segítségével Gerolamo RD (50-576) olas termésettudós

17 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) 7 KÍSÉRLET: Egy vísntes tengelyű bcklkereket gyorsan megforgatunk, és a tengelyt egyetlen pontján madaggal felfüggestjük (ábra) Ekkor a kerék továbbra s a vísntes (sabad) tengely körül forog, de a tengely vísntes síkban függőleges tengely körül körbeforog M (befelé) G ω d (befelé) tengely körbeforgásának sögsebessége, vagy más sóval a precessó sögsebessége a mogásegyenlet alapján várhatóan arányos a külső Ω dϑ p forgatónyomatékkal, de pontos értéke s ksámítható a mellékelt ábrák segítségével d precessó sögsebessége (t+δt) dϑ S Ω p = (t) ϕ ϕ ábra alapján: G s d d ϑ =, snϕ másrést a mogásegyenletből d = M, így M Ω p = Ω p snϕ Ha a nyomaték a nehéség erőtől sármak, akkor a ábra alapján ω M = Gs snϕ = mgs snϕ, G M eért (befelé) mgs mgs Ω p = = Θ ω pörgettyűnyomaték precessót egy a pörgettyűvel kölcsönhatásban álló test által kfejtett forgatónyomaték okoa ewton III törvénye értelmében a pörgettyű ugyanekkora, de ellentétes M rányú forgatónyomatékot fejt k a kölcsönható testre Et a forgatónyomatékot pörgettyűnyomatéknak forgatás nevek precessót létrehoó nyomaték a korábbak F* -F ω alapján: M = Ω p snϕ F -F* Ω M=Ω p =Θ Ω p ω p forgatás pörgettyűnyomaték ennek megfelelően: M*=-M= Ω p =Θ ω Ω p M*= -M

18 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) 8 pörgettyűnyomatékot mutatja a alább kísérlet (fent ábra) KÍSÉRLET: Hounk forgásba egy vísntes tengelyen forgó bcklkereket, és a tengelyt próbáljuk függőleges síkban a óramutató járásával ellentétesen elfordítan (ábra) Ekkor at éreük, hogy a tengelynek függőleges síkban történő elforgatása csak akkor skerül, ha a két keünk a tengelyt megtartó erőpárt (a ábrán F és -F) fejt k E a erőpár a tengelyt vísntes síkban a óramutató járásával ellentétes rányba forgatná el (e felfelé mutató M forgatónyomaték-vektort jelent) E a tengely elforgatásáho (Ω p ) aa a precessóho sükséges nyomaték Ennek ellenhatásaként megjelenő erőpár (a ábrán F* és -F*) hatását éreük a keünkön, am a tengelyt vísntes síkban a óramutató járásával egyeő rányban akarja elforgatn E okoa a M* pörgettyűnyomatékot lkalmaások pörgettyűk sajátos vselkedésének sámos megnylvánulását megfgyelhetjük, lletve felhasnálhatjuk, amelyek köül néhányat tt megemlítünk erőmentes pörgettyűnek at a sajátságát, hogy forgástengelyének rányát megtartja, mogások stablálására lehet hasnáln (hajókon, egysínű vasúton erre nagy tehetetlenség nyomatékú pörgettyűt hasnálnak, a dskosvető a dskost pörögve hajítja el, ematt a dskos függőlegeshe képest ferde síkját megtartja, így egy állandó felhajtóerő lép fel, amtől messebbre repül a dskos, a lövedékek s pörögve repülnek k a fegyver csövéből, am sntén a mogás stablálását solgálja) erőmentes pörgettyű érdekes alkalmaása a ún pörgettyűs ránytű, amely egy függőleges és vísntes tengely körül sabadon elforduló pörgettyű (baloldal ábra) Ha egy lyen pörgettyűt gyors forgásba hounk, akkor tengelye a Földön Ésak-Dél rányba áll be, vagys ránytűként hasnálható Ennek oka a Föld forgásából sármaó orols-erő E a jobboldal ábra segítségével érthető meg, ahol a pörgettyű sematkus felülnéet raja látható Föld sögsebességvektora (ω F ) a ábrán felfelé, a pörgettyű sögsebességvektora (ω ) Ésakkelet felé mutat pörgettyűnek a ábra síkjában lévő tömegeleme a tengelytől jobbra a ábra síkjára merőlegesen befelé (v be ) a baloldalt lévők kfelé (v k ) moognak Ennek megfelelően a F =mv ω F orols-erő a jobboldal tömegelemekre jobb felé (F ), a baloldalakra bal felé (F ) mutat, így egy olyan erőpár jön létre, amely a pörgettyű tengelyét a Ésak-Dél rányba forgatja be (e a egyensúly helyet, mert ekkor nulla a forgatónyomaték) kerékpár egyensúlyának stablálásában s serepet játsk a pörgettyűhatás Ha a kerékpár valamlyen okból a haladás rányho vsonyítva jobbra dől, akkor a súlypont a alátámastástól jobbra kerül, eért fellép egy előre mutató forgatónyomaték Ematt a első kerék perdülete amely balra mutat a haladás rányában váltok meg Így a kerék perdületvektora, és vele együtt a kerék tengelye jobbra fordul, és a alátámastás a súlypont felé modul el: a pörgettyűhatás a kerékpár stablálódását segít elő F v k ω F ω v be F

19 TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) 9 Jobbra kanyarodó jármű kerekenek tengelye a haladás rányho vsonyítva jobbra fordul, tehát a precessó sögsebességvektora lefelé mutat kerék sögsebességvektora balra mutat, eért a útra (sínre) ható pörgettyűnyomaték vektora (M*=Θ ω Ω p ) hátrafelé mutat E a forgatónyomaték a út külső oldalán lévő baloldal kereket rányomja a útra, a út belső oldalán lévő jobboldal kereket pedg megemel, am (a egydejűleg fellépő centrfugáls erővel együtt) felborulásho veethet