A kapillaritás-elmélet individuális fizikai mennyiségei Új eljárás a határfelületi kölcsönhatások kiértékelésében

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A kapillaritás-elmélet individuális fizikai mennyiségei Új eljárás a határfelületi kölcsönhatások kiértékelésében"

Átírás

1 76 Magyar Kéma Folyórat Közlemények A kapllartás-elmélet ndvduáls fzka mennysége Új eljárás a határfelület kölcsönhatások kértékelésében PÁSZI István a, ÁSZÓ Krsztna b* a Eötvös oránd Tudományegyetem, Kollodkéma és Kollodtechnológa Tanszék * 1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 2. b Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem, Fzka Kéma Tanszék 1111 Budapest, Budafok út 8 A kapllartás elmélet fzka mennysége és összefüggése (az un. apparátus) a heterogén kémaanyag rendszer zárt, lemez-alakú réteg-tartományara vonatkoznak. A fázshatárrétegek kterjedésével, koncentrácó-vszonyaval, stb. kapcsolatos ektusok kvaltatíve kelégítően értelmezhetők a tradconáls hpotézsek 1-12 alapján. Kvanttatvtás szempontjából azonban távolról sem lyen kedvező a helyzet. A problémák megoldására tett kísérletek szernt a felület változók egy része jelenleg kísérletleg hozzáférhetetlen (becslés s csak specáls rendszerek mennységere - pl. a csllám felület feszültségére adható 2 ). A meghatározhatóság csaks a meglévő apparátus bővítésével, a kanonkus termosztatka algebraanaltka formalzmusával kompatíbls és a defnálhatóság feltételeket s kelégítő mennységek bevezetésével bztosítható. Egy fzka változó egyértelműen határozott, ha extenzív-ntenzív jellege, tenzor rendje tsztázott és un. dmenzó-egyenlete s megadható 2. A dmenzó-analízs és a hasonlóságelmélet összefüggése, ll. a felület feszültség deformácó-elmélet jelentése alapján mód nyílk új típusú változók értelmezésére. Az un. szubsztancáls paraméterek értékét azonban - paradox módon - kzárólag a tömb-fázsok ndvduáls tulajdonsága határozzák meg. Felhasználásukkal kalakítható a kapllartásnak a jelenségek egy szélesebb körére kterjedő és a mennységek maradéktalan hozzáférhetőségét s bztosító új reprezentácója, mely alapvetően különbözk a tradconáls állapotleírás szemléletétől. A felület feszültség és a paraméteres reprezentácó A kapllárs ektusok dnamka jellegük matt a deformácóhoz kapcsolódnak. A határréteg pontjaban a korpuszkulák közt ható folytonos és szakaszonként monoton változású f r () eredő konzervatív belső-erő (ll. u() potencálja) - az un. tömb-fázsokkal szemben - egyensúly állapotban sem tűnk el. A deformácó-elmélet alapján azonban egy-egy { ; }- fázspár homogén s határrétege kterjedésével összefüggésben csupán egyetlen ntenzív jellegű változó értelmezhető. A csaks poztív értékeket felvevő ( ( ) = { P ( ) P ( )} d + N + { PN( ) PT( )} d ) (1) függvény a szomszédos rétegtartományok mennységeből képzett S ( ): = u( ) u típusú Stefan-mennységek ntegráljanak összege ( a réteg,, a ( burkolófelszínek pontja, a ) ( ) =, = távolságok összege a rétegátmérő). A függvényértéket (az általánosságot nem korlátozó u u( ) u feltétel mellett) a rétegpont (ll. a pontot tartalmazó és a burkolókkal párhuzamos Stefanféle megosztó-felszín) helyzete szabja meg. A uuuuuur z koordnáta helyettesítésével adódó ; = ( ) = ( z) függvény (felső-, ll. alsó-határ szernt képzett) derváltja eltűnk a { z z} u u u ( )/ = 2 ( ) ( + ) = (2) feltételt kelégítő = pontra lleszkedő feszültség felszín mentén, (2) fejezk k a Stefan-törvényt 24. Ugyantt a másodk dervált poztív, vagys a s ( z) függvénynek mnmuma van. A deformácó karaktersztkus függvényének extrémumával összhangban értelmezett lm = ( ) = mn.! skalárs ntegrál-határérték az s réteg felület feszültsége: az (1)-nek megfeleltethető összeg tehát a feszültség felszínnel elválasztott fél-réteg tartomány azonos térfogatú saját tömb-fázsához képest meglévő energa-többlete. A c()=1 konstans-függvény a rétegtartományban mndenütt ntegrálható, a potencálkülönbség pedg ugyantt szakaszonként monoton és T * ászló Krsztna. Tel.: ; fax: ; e-mal:

2 Magyar Kéma Folyórat Közlemények 77 korlátos változású. A két függvény s ( ) fél-rétegre vonatkozó szorzata a du Bos-Reymond-féle ntegrál középérték-tétel 25 alapján u ( ) u ( ) c ( ) d S ( ) d + S ( ) d : = u ( ) u ( ). mert a burkolófelszín mentén az S( ) Stefan-féle mennység eltűnk ( a és pontok közé esk 1. ábra). A = ( ) szakasz hossza az s ( ) fél-réteg ektív vastagsága. u 1. ábra. A u görbeoldalú háromszög területe megegyezk a = ( ) alapú u magasságú téglalap területével A szomszédos fél-rétegre s analóg összefüggés adódk. A (2) alapján a potencálokat tartalmazó mennységek s megegyeznek, így a réteg = + ( ) ( ) ektív rétegvastagsága s értelmezhető. A felület feszültség tehát a 1 = 2 u ( ) u ( )., (3) szorzat-alakban s megadható. A kzárólag poztív értékeket felvevő X fzka mennységeket a dmenzóanalízs összefüggése alapján az X x ν ν = = x általános dmenzó-egyenlet (un. Wallot-formula 26 ) határozza meg. Az x változók, ll. a ν valós szám ktevők egyke sem zérus. A potencál-különbség tehát a szomszédos tömb-fázsok releváns {..., x,...}, {..., x,...} ndvduáls változónak szmmetrkus o o ν ν u u x x : = q. q u (4) függvénye. A mennység így a fázsonként szeparált részkölcsönhatás mennységek egyetlen változóban összevont { q, q } értékevel, az un. ndvduáls- (szubsztancáls-) paraméterekkel s jellemezhető 27. Ezért a ( / ) hányados értéke - így a felület feszültség, ll. ektív rétegvastagság s - szntén csak tömbtulajdonságoktól függ és (4) analógájára külön-külön s megadható saját egyén fázs-járuléka szorzataként. A tömb-fázsok ndvduáls járuléka a mennységre χ, ll. χ, a változóra pedg, ll.. A szubsztancáls paraméterek az ndvduáls állapotleírás kardnáls fzka mennysége, valójában anyag állandók, amelyeknek mnden fázshoz egy-egy - kzárólag a tömbfázsok állapotától függő és a (4) egyenlet alapján meghatározható értéke tartozk. A,, ll. az u u változók vszont a szomszédos tömb-fázsok mndegykétől szmultán függő kollektív állapotjellemzők. A kapllárs mennységek kfejezése tehát - a réteg-változók mellett - a réteget generáló tömbfázsok mennységevel s megadhatók. A felület feszültség tenzó-paramétere folyadékokra három - egymással egyensúlyt tartó - fázspár adataból a χχ χ = χ = χ χ =, χχ formulával, gőzfázsok χ V tenzó-paramétere pedg a χv = ( / χ) összefüggéssel számíthatók. Mért értékekből meghatározott adatokat tartalmaz az 1. táblázat. Szlárd fázsok tenzó-paramétere pl. χs = cos θ χ χ V összefüggés, azaz a Young-egyenlet alapján a flud fázsok tenzó-paramétere és a θ peremszög smeretében számíthatók. Teflon/víz/vízgőz rendszerre nagy számú mérés adat 28 alapján a peremszög θ = 18,7 o, így a 1/2 teflon tenzó-paramétere 7,8736 (mn/m). Vagys a szlárd/flud felület feszültség vízre 56,3 mn/m, vízgőzre pedg 79,5 mn/m. A szlárdfelszín- (felület-) feszültségek numerkus meghatározására tehát általános mérés módszer adható meg. Az ndvduáls reprezentácó a krsztallográfában s alkalmazható. A Young-egyenlet és a (1/ χv) (1/ χ) = jelölés alapján a Rehbnder-szám cos θ = χ.. S

3 78 Magyar Kéma Folyórat Közlemények Az { ; } folyadékok ugyanazon M Mller-ndexű lapra vonatkozó mennységere így (cos θ / cos θ ) = ( / ), vagys a Rehbnder-számok hányadosa a krstály mndegyk lapjára ugyanakkora és csaks a flud fázsoktól függ. A 2. és a 3. táblázat adata fenl-szalclát (szalol) egykrstály 29 eltérő Mller-ndexű lapjara vonatkoznak; a 2. táblázat vízre, ll. Glcernre vonatkozó peremszögekből 3 számított adatokat tartalmaz. Ugyancsak a Young-egyenlet alapján ugyanarra az (M /M*) lap-párra vonatkozó tenzó-paraméterek hányadosa vszont - a beágyazó fázs kéma-anyag mnőségétől függetlenül - szükségképp ugyanakkora. A 3. táblázat az előbb adatokból számított hányadosokat tartalmaz. 1. Táblázat. Felület feszültség adatokból 11 számított tenzóparaméterek szobahőmérsékleten Folyadék,víz,Hg χ χ V Hexán 19,5 51,2 38, 7,16 2,72 Heptán 2,3 5,7 377, 7,11 2,86 Oktán 21,7 5,9 375, 7,7 3,7 Cklohexán 24,7 51, 378, 7,12 3,47 Benzol 28,4 33,7 366, 6,9 4,12 Toluol 29,3 35,7 357, 6,73 4,35 Kloroform 26,3 32,3 357, 6,73 3,91 Szén-tetraklord 28,8 45, 359, 6,77 4,26 Klórbenzol 33,2 38,1 352, 6,64 5, Brómbenzol 37, 39,3 35, 6,6 5,61 Ntrobenzol 43,7 25,5 35, 6,6 6,63 Metanol 22,5-384, 7,24 3,11 Etanol 22,3-383, 7,22 3,9 Propanol 23,7-378, 7,14 3,32 Butanol 24,5-378, 7,12 3,44 zo-butanol 23,4-343, 6,46 3,62 Ecetsav 27,5-329, 6,2 4,44 Metl-acetát 25,7-388, 7,31 3,51 Etl-acetát 24,8-384, 7,24 3,43 Aceton 23,3-369, 6,95 3,35 Víz 72,4-38, 7,16 1,11 Hgany 48, 38, - 53,6 9,5 (a felület feszültséget []=(mn/m); a szubsztancáls paramétereket [χ]=(mn/m) 1/2 egységben adtuk meg ) 2. Táblázat. Szalol egykrstály lapjan mért peremszögek és számított tenzóparaméterek Mller-ndex θ víz, θ glcern, cosθ glcern /cosθ víz χ S, (mn/m) 1/2 (1) ,3 21,81 (111) ,4 2,76 (11) ,5 18,76 3. Táblázat. Paraméter-arányok szalol egykrstály különböző Mller-ndexű lapjara ( M / M ) ( / ) glcern ( / ) víz ( χ / χ ) (1)/(111) 1,4 1,5 1,5 (1)/(11) 1,1 1,16 1,16 (111)/(11) 1,5 1,9 1,11 S S

4 Magyar Kéma Folyórat Közlemények 79 A kapllartás klasszkus egyenlete a vákuumbel kölcsönhatásokra s alkalmazhatók. A szubsztancáls mennységeket tartalmazó apparátus alapján kzárólag csak ndvduáls reprezentácóban értelmezhető összefüggések s felsmerhetők. A számított paraméterek pontosságát a felhasznált mérés adatok bzonytalansága határozza meg. Az eredmények értelmezése A kapllartás-elmélet - előzőkben vázolt - paraméteres reprezentácója szemléletmódjában lényegesen különbözk a tradconáls elméletbeltől. A kardnáls kapllárs változók az utóbbban rendszernt kollektív jellegű rétegmennységek függvényeként adottak, az ndvduáls leírás változó vszont a tömb-fázsok állapotára vonatkoznak. Utóbbak - a határfelületekre kdolgozott kísérlet eljárásokhoz képest - általában egyszerűbben kvtelezhető és pontosabb adatokat eredményező mérés módszerekkel s vzsgálhatók. Felhasználásukkal tehát - a könnyebb átteknthetőség matt - általában s megalapozottabb következtetések levonására nyílk mód. Összefoglalás A dmenzó-analízs, ll. a hasonlóság-elmélet alapján a deformácós egyensúlyokra támaszkodva a kapllartás új típusú - a fázsokat ndvduálsan jellemző - változó értelmezhetők. Bevezetésükkel a tradconáls elméletnél heursztkusan átfogóbb formalzmus alakítható k. A kollektív és az ndvduáls megközelítés a rendszernek ugyanazt az állapotát írja le, de eltérő számú és jelentésű változóval. A szubsztancáls paraméterek - a tradconáls elmélet kollektív változóval ellentétben - kísérlet adatok alapján legalább egyfajta módon maradéktalanul meghatározhatók. Ugyans ha adott tulajdonságokkal jellemezhető fázs több egyensúlyban vesz részt, paramétere mndegyk esetben ugyanakkora és ezért értéke bármelyk, tetszőlegesen kválasztott egyensúlyból meghatározható. A módszer felhasználásával a szlárdfelszín feszültségek meghatározására általános eljárás adható meg. Az ndvduáls reprezentácó alkalmazását mérésértékelés szempontok s ndokolják. A kapllartás-elmélet kollektív-, ll. paraméteres reprezentácója tehát kegészít egymást. Köszönetnylvánítás A munka az OTKA és NKFP pályázat támogatásával készült (a projektek száma T ll. 3/43/21). Szerzők köszönettel tartoznak Fülöp Emesének és Boszna Györgynek a technka segítségért. Hvatkozások 1. Adamson, A. W.: Physcal Chemstry of Surfaces. Wley, New York, Rusanov, A. I.: Phasenglechgewchte und Grenzflächenerschenungen. Akademe-Verl., Berln, Defay, R., Prgogne, I., Bellemans, A., Everett, D. H.: Surface Tenson and Adsorpton. Wley, New York, Bakker, G.: Kapllartät und Oberflächenspannung (n Wen, W., Harms, F. ed.: Handbuch der Expermentalphysk, Bd. 6.,). Akademsche Verlagsgesellschaft, epzg, Buff, F. P.: The Theory of Capllarty (n Wen, W., Harms, F. eds.: Handbuch der Expermental- Physk, Bd. X.). Sprnger Verlag, Berln, Goodrch, F. C.: The Thermodynamcs of Flud Interfaces (n Matjevc, E. ed.: Surface and Collod Scence, Vol. 1.), Wley-Interscence, New York, Padday, J. E.: The Theory of Surface Tenson (n Matjevc, E. ed.: Surface and Collod Scence, Vol. 1.), Wley- Interscence, New York, Johnson, R. E. Jr., Dettre, R.: Wetteablty and Contact Angles (n Matjevc, E. ed.: Surface and Collod Scence Vol. 2.), Wley-Interscence, New York, Rowlnson, J. S., Wdom, B.: Molecular Theory of Capllarty. Oxford Unv. Press, ondon, Gbbs, J. W.: On the Equlbrum of Heterogeneous Substances, The Collected Works (Vol. 1.), Thermodynamcs, ongmans, New York, Wolf, K..: Physk und Cheme der Grenzflächen, Bd. I.-II., Sprnger-Verl., Berln, Dörfler, H.-D.: Grenzflächen und kollod-dsperse Systeme. Sprnger Verl., Berln, Fox, H. W., Zsman, W. A.: J. Coll. Sc. 195, Good, R. J., Grfalco,. A.: J. Phys. Chem. 196, 64, Fowkes, F. M.: Ind. and Eng. Chem. 1964, 56, Wu, S.: J. Collod-Interface Sc. 1979, 71, Ko, Y. C., Ratner, B. D., Hoffman, A. S.: J. Collod- Interface Sc. 1981, 82, van Oss, C. J., Chaudhury, M. K., Good, R. J.: J. Adv. Coll. Inter. Sc. 1987, 28, Baley, A. I., Danels, H.: Kollod-Z. u. Z. Polymere, 1972, 25, Fényes, I.: Termosztatka és termodnamka. Műszak K., Budapest, Ehrenfest-Afanassjeva, T.: Math. Ann. 1916, 77, Brdgman, P. W.: Dmensonal Analyss. AMS Press, New York, Szücs, E.: Smltude and Modellng (Fundamental Studes n Engneerng 2). Elsever, Amsterdam, Stefan, J.: Wedemanns Ann. Phys. Chem. 1886, 29, Korn, G. A., Korn, T. M.: Matematka kézkönyv. Műszak K., Budapest, Wallot, J.: Grössenglechungen, Enheten und Dmensonen. J. A. Barth Verl., epzg, Pászl, I.: Z. phys. Chem. (epzg), 1986, 267, yklema, J.: Fundamentals of Interface and Collod Scence, Vol. III. (qud-flud Interfaces), Academc Press, San Dego, Hammond, R. B., Jones, M. J., Roberts, K. J., Kutzke, H., Klapper, H.: Z. Krst. 22, 217, Najdcs, Ju. V., Perevertajlo, V. M., Grgorenko, N. F.: Fzcseszkaja hmja granc razdela kontaktrujuscsh faz (eds.: Eremenko, B. N., Floka,. I., Nzsenko, V. I., Hantadze, D. V.). Naukova Dumka, Kev, 1976.

5 8 Magyar Kéma Folyórat Közlemények Indvdual Physcal uanttes of Capllary Theory A novel method to evaluate nterfacal nteractons The collectve representaton of the classcal capllarty relatons can also be expressed by ndvdual varables correspondng to the ndvdual contrbutons of the nteractng phases, based on the dmensonal analyss and the law of smlarty. The collectve and the ndvdual representaton descrbe the same state of the system, but wth varables of dfferent meanng and number. The state of the surface layers n a heterogeneous system s, by defnton, not ndependent of ther own propertes. The equatons used only state that these values can also be expressed by the ndvdual fundamental quanttes of the bulk phases. However, t s possble only f the structure s physcally smlar and f the physco-chemcal propertes of adjonng phases affect only the geometrcal sze of the layer. The advantage of the ndvdual representaton s that all the quanttes, unlke the collectve ones, can be drectly derved from measured data, at least n one way. If a phase of gven propertes partcpates n several equlbrum states, ts parameter s perforce dentcal, and ts value can therefore be determned by studyng any of the correspondng systems. The surface tenson of the layer s can be defned accordng to the extremum behavour of the elastc potental (Eq. 3). The ectve thckness of the whole layer, s the sum of the half layer thcknesses. Accordng to the Wallot-formula (Eq.6), the derved physcal quantty, X, whch s always postve, can be expressed as a power law functon of the fundamental quanttes of the ndependent partal nteractons, x. The tenson parameters determnng the surface tenson n an equlbrum ternary lqud system can be derved from the data of the three lquds by Eq. 8. The tenson parameters of a sold phase can be calculated from Young's equaton (Eq. 9). Table 1 contans parameters calculated accordng to Eqs 8-9. The parameters can be determned at least n one way. Thus, the data of a phase n any state of matter s theoretcally avalable. Owng to the avalablty of the parameters, the algebrac uncertanty experenced n the ndvdual representaton (e.g. n Young's equaton) can be elmnated. Thus, when ths approach s appled, the surface tenson of the sold surface can be determned easly. The ndvdual representaton can be appled n crystallography as well (Table 2). Beérkezett: 23. IX. 25.

KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY POROSIMETRY DATA

KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY POROSIMETRY DATA Műszak Földtudomány Közlemények, 84. kötet,. szám (03), pp. 63 69. KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY

Részletesebben

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1, Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer

Részletesebben

3515, Miskolc-Egyetemváros

3515, Miskolc-Egyetemváros Anyagmérnök udományok, 37. kötet, 1. szám (01), pp. 49 56. A-FE-SI ÖVÖZERENDSZER AUMÍNIUMAN GAZDAG SARKÁNAK FEDOGOZÁSA ESPHAD-MÓDSZERRE ESIMAION OF HE A-RIH ORNER OF HE A-FE-SI AOY SYSEM Y ESPHAD MEHOD

Részletesebben

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA A Ga-B OLVADÉK TRMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA Végh Ádám, Mekler Csaba, Dr. Kaptay György, Mskolc gyetem, Khelyezett Nanotechnológa tanszék, Mskolc-3, gyetemváros, Hungary Bay Zoltán Közhasznú Nonproft kft.,

Részletesebben

Ötvözetek mágneses tulajdonságú fázisainak vizsgálata a hiperbolikus modell alkalmazásával

Ötvözetek mágneses tulajdonságú fázisainak vizsgálata a hiperbolikus modell alkalmazásával AGY 4, Kecskemét Ötvözetek mágneses tulajdonságú fázsanak vzsgálata a hperbolkus modell alkalmazásával Dr. Mészáros István egyetem docens Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Anyagtudomány és Technológa

Részletesebben

RENDSZERSZINTŰ TARTALÉK TELJESÍTŐKÉPESSÉG TERVEZÉSE MARKOV-MODELL ALKALMAZÁSÁVAL I. Rendszerszintű megfelelőségi vizsgálat

RENDSZERSZINTŰ TARTALÉK TELJESÍTŐKÉPESSÉG TERVEZÉSE MARKOV-MODELL ALKALMAZÁSÁVAL I. Rendszerszintű megfelelőségi vizsgálat ENDSZESZINTŰ TATALÉK TELJESÍTŐKÉPESSÉG TEVEZÉSE MAKOV-MODELL ALKALMAZÁSÁVAL I. endszerszntű megfelelőség vzsgálat Dr. Fazekas András István okl. gépészmérnök Magyar Vllamos Művek Zrt. Budapest Műszak és

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

Elméleti fizikai kémia II. Felületek termodinamikája nts/tamop/mfk/ch05.html

Elméleti fizikai kémia II. Felületek termodinamikája  nts/tamop/mfk/ch05.html Elmélet fzka kéma II Felületek termodnamkája http://www.ttk.undeb.hu/docume nts/tamop/mfk/ch05.html Az előadások tartalma 1. A (határ)felületek fogalma, termodnamka sajátsága. A felület feszültség, Laplace-nyomás,

Részletesebben

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott

Részletesebben

Bevezetés a kémiai termodinamikába

Bevezetés a kémiai termodinamikába A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

Bevezetés a kémiai termodinamikába

Bevezetés a kémiai termodinamikába A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal

Részletesebben

10. Transzportfolyamatok folytonos közegben. dt dx. = λ. j Q. x l. termodinamika. mechanika. Onsager. jóslás: F a v x(t) magyarázat: x(t) v a F

10. Transzportfolyamatok folytonos közegben. dt dx. = λ. j Q. x l. termodinamika. mechanika. Onsager. jóslás: F a v x(t) magyarázat: x(t) v a F 10. Transzportfolyamatok folytonos közegben Erőtörvény dff-egyenlet: Mérleg mechanka Newton jóslás: F a v x(t) magyarázat: x(t) v a F pl. rugó: mat. nga: F = m & x m & x = D x x m & x mg l energa-, mpulzus

Részletesebben

BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK

BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK MÉRNÖKI MATAMATIKA Segédlet a Bessel-függvények témaköréhez a Közlekedésmérnök

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

VÁLASZOK A FIZKÉM I ALAPKÉRDÉSEKRE, KERESZTÉVFOLYAM 2006

VÁLASZOK A FIZKÉM I ALAPKÉRDÉSEKRE, KERESZTÉVFOLYAM 2006 ÁLASZOK A FIZKÉM I ALAPKÉRDÉSEKRE, KERESZÉFOLYAM 6. Az elszgetelt rendszer határfelületén át nem áramlk sem energa, sem anyag. A zárt rendszer határfelületén energa léhet át, anyag nem. A nytott rendszer

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

SZÁMOLÁSI FELADATOK. 2. Mekkora egy klíma teljesítménytényező maximális értéke, ha a szobában 20 C-ot akarunk elérni és kint 35 C van?

SZÁMOLÁSI FELADATOK. 2. Mekkora egy klíma teljesítménytényező maximális értéke, ha a szobában 20 C-ot akarunk elérni és kint 35 C van? SZÁMOLÁSI FELADATOK 1. Egy fehérje kcsapásához tartozó standard reakcóentalpa 512 kj/mol és standard reakcóentrópa 1,60 kj/k/mol. Határozza meg, hogy mlyen hőmérséklettartományban játszódk le önként a

Részletesebben

OPTIMALIZÁLT LÉPÉSKÖZŰ NEWTON-RAPHSON ALGORITMUS EHD FELADAT MEGOLDÁSÁHOZ

OPTIMALIZÁLT LÉPÉSKÖZŰ NEWTON-RAPHSON ALGORITMUS EHD FELADAT MEGOLDÁSÁHOZ Multdszcplnárs tudományok, 3. kötet. (013) 1. sz. pp. 97-106. OPTIMALIZÁLT LÉPÉSKÖZŰ NEWTON-RAPHSON ALGORITMUS EHD FELADAT MEGOLDÁSÁHOZ Száva Szabolcs egyetem adjunktus, Mskolc Egyetem, Anyagszerkezettan

Részletesebben

HIBAJEGYZÉK az Alapvető fizikai kémiai mérések, és a kísérleti adatok feldolgozása

HIBAJEGYZÉK az Alapvető fizikai kémiai mérések, és a kísérleti adatok feldolgozása HIBAJEGYZÉK az Alapvető fzka kéma mérések, és a kísérlet adatk feldlgzása címü jegyzethez 2008-070 Általáns hba, hgy a ktevőben lévő negatív (-) előjelek mndenhnnan eltűntek a nymtatás srán!!! 2. Fejezet

Részletesebben

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

2 Wigner Fizikai Kutatóintézet augusztus / 17

2 Wigner Fizikai Kutatóintézet augusztus / 17 Táguló sqgp tűzgömb többkomponensű kéma kfagyása Kasza Gábor 1 és Csörgő Tamás 2,3 1 Eötvös Loránd Tudományegyetem 2 Wgner Fzka Kutatóntézet 3 Károly Róbert Főskola 2015. augusztus 17. Gyöngyös - KRF 1

Részletesebben

Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval

Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Szárítás során kalakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Rajkó Róbert 1 Eszes Ferenc 2 Szabó Gábor 1 1 Szeged Tudományegyetem, Szeged Élelmszerpar Főskola Kar Élelmszerpar Műveletek és Környezettechnka

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Kolloid rendszerek definíciója, osztályozása, jellemzése. Molekuláris kölcsönhatások. Határfelüleleti jelenségek (fluid határfelületek)

Kolloid rendszerek definíciója, osztályozása, jellemzése. Molekuláris kölcsönhatások. Határfelüleleti jelenségek (fluid határfelületek) Kollod rendszerek defnícója, osztályozása, jellemzése. olekulárs kölcsönhatások. Határfelülelet jelenségek (flud határfelületek) Kollodka helye Bológa Kollodkéma Fzka kéma bokéma Szerves kéma Fzka A kéma

Részletesebben

Folyamatosan öntött lemezbugák középvonali dúsulása és következményei

Folyamatosan öntött lemezbugák középvonali dúsulása és következményei Folyamatosan öntött lemezbugák középvonal dúsulása és következménye MTA doktor értekezés Írta dr. habl. Réger Mhály Budapest 21 Tartalomjegyzék oldal Summary 4 1. Bevezetés, célktűzés 5 2. Az öntött szál

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

Közepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán

Közepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör Megnyitója Debrecen, 015. szeptember 7. AGH-egyenl tlenség Tétel Értelmezzük

Részletesebben

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika)

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika) Fzka II. (Termosztatka, termodnamka) előadás jegyzet Élelmszermérnök, Szőlész-borász mérnök és omérnök hallgatóknak Dr. Frtha Ferenc. árls 4. Tartalom evezetés.... Hőmérséklet, I. főtétel. Ideáls gázok...3

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

A TERMODINAMIKA MIKROSZKOPIKUS ÉRTELMEZÉSE: A STATISZTIKUS TERMODINAMIKA ALAPJAI

A TERMODINAMIKA MIKROSZKOPIKUS ÉRTELMEZÉSE: A STATISZTIKUS TERMODINAMIKA ALAPJAI A TERMODINAMIKA MIKROSZKOPIKUS ÉRTELMEZÉSE: A STATISZTIKUS TERMODINAMIKA ALAPJAI BEVEZETÉS Alkotórészek: molekulárs modell + statsztka Mért kell a statsztka? Mert 0 23 nagyságrend mkroszkopkus változója

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

AZ ENTRÓPIAPROBLÉMA I. RÉSZ

AZ ENTRÓPIAPROBLÉMA I. RÉSZ Karen Lews és munkatársa 2008-ban pulzárok jelének perodkus késését vzsgálták, és arra keresték a választ, hogy egy rendszerben kerngô exohold mlyen mértékben módosítja a vzsgált pulzárjelek peródusát

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:

Részletesebben

Using the CW-Net in a user defined IP network

Using the CW-Net in a user defined IP network Using the CW-Net in a user defined IP network Data transmission and device control through IP platform CW-Net Basically, CableWorld's CW-Net operates in the 10.123.13.xxx IP address range. User Defined

Részletesebben

MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR DOKTORI ISKOLA VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMACSOPORT VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMAVEZETŐ: egyetemi docens

MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR DOKTORI ISKOLA VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMACSOPORT VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMAVEZETŐ: egyetemi docens MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR ÚJ ELJÁRÁS AUTOKLÁV GÉPCSOPORTOK EXPOZÍCIÓJÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRA PhD értekezés KÉSZÍTETTE: Szees L. Gábor okleveles géészmérnök SÁLYI ISTVÁN GÉPÉSZETI TUDOMÁNYOK DOKTORI

Részletesebben

A MOLEKULADINAMIKAI MÓDSZEREK SZISZTEMATIKUS TÁRGYALÁSA: KLASSZIKUS DINAMIKA A POSTERIORI KORREKCIÓJA

A MOLEKULADINAMIKAI MÓDSZEREK SZISZTEMATIKUS TÁRGYALÁSA: KLASSZIKUS DINAMIKA A POSTERIORI KORREKCIÓJA A MOLEKULADINAMIKAI MÓDSZEREK SZISZTEMATIKUS TÁRGYALÁSA: KLASSZIKUS DINAMIKA A POSTERIORI KORREKCIÓJA KLASSZIKUS DINAMIKA Klasszkus magok mozognak egy elre elkészített potencálfelületen. Potencálfelület

Részletesebben

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Alapmőveletek koncentrált erıkkel

Alapmőveletek koncentrált erıkkel Alapmőveletek koncentrált erıkkel /a. példa Az.7. ábrán feltüntetett, a,5 [m], b, [m] és c,7 [m] oldalú hasábot a bejelölt erık terhelk. A berajzolt koordnátarendszer fgyelembevételével írjuk fel komponens-alakban

Részletesebben

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal

Részletesebben

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary)

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary) Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 9 (00) 07 4 PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL Orosz Gyuláné (Eger, Hungary) Kiss Péter professzor emlékére Abstract. In this article, we characterize the odd-summing

Részletesebben

MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap

MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap Közlekedésmérnök Kar Jármőtervezés és vzsgálat alapja I. Feladatlap NÉV:..tk.:. Feladat sorsz.:.. Feladat: Egy jármő futómő alkatrész terhelésvzsgálatakor felvett, az alkatrészre ható terhelı erı csúcsértékek

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,

Részletesebben

TARTÁLY LÉGRITKÍTÁSÁNAK TERMODINAMIKAI MODELLEZÉSE

TARTÁLY LÉGRITKÍTÁSÁNAK TERMODINAMIKAI MODELLEZÉSE TARTÁLY LÉGRITKÍTÁSÁNAK TERMODINAMIKAI MODELLEZÉSE FÁBRY Gergely Szent István Egyetem Gödöllő Géészmérnöi Kar, Környezetiari Rendszere Intézet Műszai Tudományi Dotori Isola 213 Gödöllő, Páter Károly u.

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

Környezetbarát és katalitikus folyamatok (oldószerek) Székely Edit BME Kémiai és Környezeti Folyamatmérnöki Tanszék sz-edit@mail.bme.

Környezetbarát és katalitikus folyamatok (oldószerek) Székely Edit BME Kémiai és Környezeti Folyamatmérnöki Tanszék sz-edit@mail.bme. Környezetbarát és katalitikus folyamatok (oldószerek) Székely Edit BME Kémiai és Környezeti Folyamatmérnöki Tanszék sz-edit@mail.bme.hu Az előadás vázlata Oldószerválasztás a gyógyszeriparban Élelmiszeriparban

Részletesebben

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája Egy koncentrált paraméterű, ellenállással és nduktvtással jellemzett tekercs Uáll feszültségre kapcsolásakor az

Részletesebben

INCZÉDY János. Magyar Kémiai Folyóirat - Összefoglaló közlemények 77. Pannon Egyetem, 8201 Veszprém, Pf. 158.

INCZÉDY János. Magyar Kémiai Folyóirat - Összefoglaló közlemények 77. Pannon Egyetem, 8201 Veszprém, Pf. 158. Magyar Kéma Folyórat - Összefoglaló közlemények 77 Vegyészmérnök tudomány szerepe a fenntartható felődésben II. rész, Környezetbarát kéma technológa rendszerek tervezése, ú típusú kéma rendszerek alkalmazása,

Részletesebben

A hőátbocsátási tényező meghatározása az MSZ-04-140-2:1991 szerint R I R= II. λ be R R + R [%], 4 [%], 3. ibe RI =

A hőátbocsátási tényező meghatározása az MSZ-04-140-2:1991 szerint R I R= II. λ be R R + R [%], 4 [%], 3. ibe RI = Fa boravázas épület hőátbocsátás tényező számítása Hantos Zoltán, Karácsony Zsolt 006. szeptember -én hazánkban s életbe lépett az új épületenergetka szabályozás. A számítás eljárás során az épület valamenny

Részletesebben

A hőterjedés dinamikája vékony szilikon rétegekben. Gambár Katalin, Márkus Ferenc. Tudomány Napja 2012 Gábor Dénes Főiskola

A hőterjedés dinamikája vékony szilikon rétegekben. Gambár Katalin, Márkus Ferenc. Tudomány Napja 2012 Gábor Dénes Főiskola A hőterjedés dinamikája vékony szilikon rétegekben Gambár Katalin, Márkus Ferenc Tudomány Napja 2012 Gábor Dénes Főiskola Miről szeretnék beszélni: A kutatás motivációi A fizikai egyenletek (elméleti modellek)

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet

Részletesebben

Gráfelméleti megközelítés rendszerek strukturális modellezésére (A holográfia elv kiterjesztése általános rendszerekre) Bevezetés

Gráfelméleti megközelítés rendszerek strukturális modellezésére (A holográfia elv kiterjesztése általános rendszerekre) Bevezetés D é n e s T a m á s matematkus e-mal: tdenest@freemal.hu Gráfelmélet megközelítés rendszerek strukturáls modellezésére (A holográfa elv kteresztése általános rendszerekre) Bevezetés Jelen dolgozatom céla,

Részletesebben

Hogyan szűrjük a röntgensugarat?

Hogyan szűrjük a röntgensugarat? Hogyan szűrjük a röntgensugarat? (A röntgencsőegység állandó szűrésének nemzetközi szabványáról) Porubszky Tamás OSSKI Munkahelyi Sugáregészségügyi Osztály E-mail: porubszky@osski.hu 1 IEC 60522 (IEC 522):

Részletesebben

TECHNIKAI RENDSZEREK ÁLLAPOTLEÍRÁSÁNAK KÉRDÉSEI QUESTIONS REGARDING THE DESCRIPTION OF THE STATE OF TECHNICAL SYSTEMS

TECHNIKAI RENDSZEREK ÁLLAPOTLEÍRÁSÁNAK KÉRDÉSEI QUESTIONS REGARDING THE DESCRIPTION OF THE STATE OF TECHNICAL SYSTEMS űszaki tudományos közlemények 2. XV. űszaki Tudományos Ülésszak, 2014. Kolozsvár, 235 241. http://hdl.handle.net/10598/28544 TCHNIKAI RNDSZRK ÁLLAPOTLÍRÁSÁNAK KÉRDÉSI QUSTIONS RGARDING TH DSCRIPTION OF

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem www.sze.hu/~herno

Széchenyi István Egyetem www.sze.hu/~herno Oldal: 1/6 A feladat során megismerkedünk a C# és a LabVIEW összekapcsolásának egy lehetőségével, pontosabban nagyon egyszerű C#- ban írt kódból fordítunk DLL-t, amit meghívunk LabVIEW-ból. Az eljárás

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán):

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán): F NIK INÁRIS RLÁIÓK INÁRIS RLÁIÓK (és hasonló mátrxok s tt!) Defnícó: z R bnárs relácó, ha R {( a, b) a, b } nárs relácók lehetséges tuladonsága:. Reflexív ha ( x,.(a). Szmmetrkus ha ( x, y) ( y,.(b).

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

First experiences with Gd fuel assemblies in. Tamás Parkó, Botond Beliczai AER Symposium 2009.09.21 25.

First experiences with Gd fuel assemblies in. Tamás Parkó, Botond Beliczai AER Symposium 2009.09.21 25. First experiences with Gd fuel assemblies in the Paks NPP Tams Parkó, Botond Beliczai AER Symposium 2009.09.21 25. Introduction From 2006 we increased the heat power of our units by 8% For reaching this

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

A pályázat címe: Új elméleti és numerikus módszerek tartószerkezetek topológiaoptimálására

A pályázat címe: Új elméleti és numerikus módszerek tartószerkezetek topológiaoptimálására 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János A pályázat címe: Új elmélet és numerkus módszerek tartószerkezetek topolóaoptmálására determnsztkus és sztochasztkus feladatok esetén. (Részletes jelentés)

Részletesebben

Extraktív heteroazeotróp desztilláció: ökologikus elválasztási eljárás nemideális

Extraktív heteroazeotróp desztilláció: ökologikus elválasztási eljárás nemideális Ipari Ökológia pp. 17 22. (2015) 3. évfolyam, 1. szám Magyar Ipari Ökológiai Társaság MIPOET 2015 Extraktív heteroazeotróp desztilláció: ökologikus elválasztási eljárás nemideális elegyekre* Tóth András

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Méréselmélet MI BSc 1

Méréselmélet MI BSc 1 Mérés és s modellezés 2008.02.15. 1 Méréselmélet - bevezetés a mérnöki problémamegoldás menete 1. A probléma kitűzése 2. A hipotézis felállítása 3. Kísérlettervezés 4. Megfigyelések elvégzése 5. Adatok

Részletesebben

DETERMINATION OF SHEAR STRENGTH OF SOLID WASTES BASED ON CPT TEST RESULTS

DETERMINATION OF SHEAR STRENGTH OF SOLID WASTES BASED ON CPT TEST RESULTS Műszaki Földtudományi Közlemények, 83. kötet, 1. szám (2012), pp. 271 276. HULLADÉKOK TEHERBÍRÁSÁNAK MEGHATÁROZÁSA CPT-EREDMÉNYEK ALAPJÁN DETERMINATION OF SHEAR STRENGTH OF SOLID WASTES BASED ON CPT TEST

Részletesebben

http://youtu.be/qnwuckcx76i

http://youtu.be/qnwuckcx76i KERKLECZ MÉDEA SÜMEGI ÉVA COSOVAN TAMÁS FENYVESI BORI HOSSZÚ GERGELY NAGY RICHÁRD KAVALECZ ESZTER WWW.... a nyitottság az emberi szabadság záloga, a szabadság pedig az együttműködés alapja. cosovan attila

Részletesebben

KOLLOIDKÉMIA: NANORENDSZEREK ÉS HATÁRFELÜLETEK. egyetemi jegyzet

KOLLOIDKÉMIA: NANORENDSZEREK ÉS HATÁRFELÜLETEK. egyetemi jegyzet KOLLOIDKÉMIA: NANORENDSZEREK ÉS HATÁRFELÜLETEK egyetem jegyzet Glány Tbor ELTE Kollodkéma és Kollodtechnológa Tanszék Budapest, 2005 A kollodkéma tárgya A kollodkéma tárgyának meghatározásához nduljunk

Részletesebben

TANULÁSI GÖRBÉK AZ ÉPÍTŐIPARBAN

TANULÁSI GÖRBÉK AZ ÉPÍTŐIPARBAN TANULÁSI GÖRBÉK AZ ÉPÍTŐIPARBAN Mályusz Levente ELŐZMÉNYEK 1 A tanulási görbét először egy 19 századi pszichológus Hermann Ebbinghaus írta le. Azt vizsgálta, hogy milyen gyorsan memorizál valaki különböző

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Tavaszi Sporttábor / Spring Sports Camp. 2016. május 27 29. (péntek vasárnap) 27 29 May 2016 (Friday Sunday)

Tavaszi Sporttábor / Spring Sports Camp. 2016. május 27 29. (péntek vasárnap) 27 29 May 2016 (Friday Sunday) Tavaszi Sporttábor / Spring Sports Camp 2016. május 27 29. (péntek vasárnap) 27 29 May 2016 (Friday Sunday) SZÁLLÁS / ACCOMODDATION on a Hotel Gellért*** szálloda 2 ágyas szobáiban, vagy 2x2 ágyas hostel

Részletesebben

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet:

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet: Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján

Részletesebben

FIATAL MŰSZAKIAK TUDOMÁNYOS ÜLÉSSZAKA

FIATAL MŰSZAKIAK TUDOMÁNYOS ÜLÉSSZAKA FIATAL MŰSZAKIAK TUDOMÁNYOS ÜLÉSSZAKA Kolozsvár, 2002. március 22-23. KOPÁSI KÁROSODÁSI FOLYAMATOK MODELLEZÉSE Modeling of Damage Accumulation Occurring during Wear Process Kovács Tünde, Horváth László,

Részletesebben

Mechanika és szilárdságtan (Mecanica şi rezistenţa materialelor) Egyetemi jegyzet. Dr. Szilágyi József

Mechanika és szilárdságtan (Mecanica şi rezistenţa materialelor) Egyetemi jegyzet. Dr. Szilágyi József Mechanka és szlárdságtan (Mecanca ş rezstenţa materalelor) Egyetem jegyzet Dr. Szlágy József Tartalomjegyzék. Fejezet 3. Fogalomtár-termnológa 3. Fejezet 4.. Bevezetés 4.. Statka alapfogalmak 4.3 Az anyag

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Adatelemzés és adatbányászat MSc

Adatelemzés és adatbányászat MSc Adatelemzés és adatbányászat MSc. téma Adatelemzés, statsztka elemek áttekntése Adatelemzés módszertana probléma felvetés módszer, adatok meghatározása nyers adatok adatforrás meghatározása adat tsztítás

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Háromfázisú hálózatok

Háromfázisú hálózatok PTE Műszaki és Informatikai Kar DR. GYURCSEK ISTVÁN Háromfázisú hálózatok Forrás és irodalom: Dr. Selmeczi Kálmán Schnöllner Antal: Villamosságtan II. Műszaki Könyvkiadó Torda Béla: Bevezetés az elektrotechnikába

Részletesebben

Elegyek. Fizikai kémia előadások 5. Turányi Tamás ELTE Kémiai Intézet. Elegyedés

Elegyek. Fizikai kémia előadások 5. Turányi Tamás ELTE Kémiai Intézet. Elegyedés Elegyek Fzka kéma előadások 5. Turány Tamás ELTE Kéma Intézet Elegyedés DEF elegyek: makroszkokusan homogén, többkomonensű rendszerek. Nemreaktív elegyben kéma reakcó nncs, de szerkezet változás lehet!

Részletesebben

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben

CRT Monitor gammakarakteriszikájának

CRT Monitor gammakarakteriszikájának Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Mechatronka, Optka és Gépészet Informatka Tanszék CRT Montor gammakarakterszkájának felvétele 9. mérés Mérés célja: Számítógéppel vezérelt CRT montor gamma karaktersztkájának

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

I. BESZÁLLÍTÓI TELJESÍTMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE

I. BESZÁLLÍTÓI TELJESÍTMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE I. BESZÁLLÍTÓI TELJESÍTMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE Komplex termékek gyártására jellemző, hogy egy-egy termékbe akár több ezer alkatrész is beépül. Ilyenkor az alkatrészek általában sok különböző beszállítótól érkeznek,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben