ARATÓ MIKLÓS NEM-ÉLETBIZTOSÍTÁSI MATEMATIKA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "ARATÓ MIKLÓS NEM-ÉLETBIZTOSÍTÁSI MATEMATIKA"

Átírás

1 ARATÓ MIKLÓS NEM-ÉLETBIZTOSÍTÁSI MATEMATIKA EGYETEMI TANKÖNYV

2 Leor: Mchlezy György Az Álláos bzosíásmem egyeem egyze Eövös Kdó 997 vío bıvíe dás

3 ELİSZÓ 997-be ele meg z Álláos bzosíásmem címő egyeem egyze melye ez öyv bıvíe és vío dás Az zó elel dıbe öbb egyeeme s dío bzosíásmem ézés bzosíóézeeél s egyre öbbe foglloz uárus feldol Többe vsolá hogy z erede ygo bıvísem éháy z llmzásb gyo foos émávl Ezér foglloz ú feezee bóusz-málusz redszereel és em-élebzosíás rléolás módszereel A bóusz-málusz redszererıl szóló feezebe J Lemre z uárus szmáb álláos elfogdo [9] öyv feléíésé öveem A számíáso elleırzésébe gy segíségemre vol Regıs Gábor szdolgoz elészíéséél öyvbe szerelııl elérı módszereel elvégeze mgyr öelezı géármő-felelısségbzosíásr voozó hsoló számíáso A em-élebzosíás rléoról szóló részbe szerelı módszere özül öbbél z gol uáruso rléolás ézöyvé [3] veem lul Szereém hgsúlyoz hogy ele öyv oás célo szolgál és gyorl muáb örülméye hályos ogszbályo fgyelembe véele melle hszálhó cs fel A öyvbe szerelı éldá és feldo özül éháy már őzem Mgyr Auárus Társság feldmegoldó verseye Bocz Adrás Há Gábor és Mócsy Mlós megoldás éháy godolá felhszálm éldá árgylásáál Köszöee szereé mod Aró Máyás Há Gábor Korád Márá Mros Jud és Pro Vlmos észülı öyv egy-egy részé elolvsá és észrevéeleel segíeé muám Végül de em uolsósorb megöszööm Mchlezy György fgyelmes leor muáá Észrevéele fgyelembe véve ézro öbb helye s oosíom Budes árls 5 Aró Mlós 3

4 ELİSZÓ AZ 997 ÉVI KIADÁSHOZ A egyze m z olvsó ezébe r z ELTE TTK Memus szá 993 vsz ó ro Dílulácó elıdás yg lá észül Tehá egyze elsısorb memus hllgó számár íródo de remélem hszol forgá bzosíásmem rá érdelıdı más szos hllgó és eseleg orább végzee s Elıször száz szereém lá em elese érheı címe Az álláos bzosíásmem elevezés legább z gol geerl surce mhemcs foglom r megfelel A em-élebzosíás mem elevezés emcs rossz hgzás m em rm hszál hem mer z árgyl eszözö eseeé llmzhó z élebzosíásb s A öe megéréséhez álláb elegedı egy sdrd vlószíőségszámíás urzus smeree A mem ssz smereée háy ugy cs éháy éld megérésé ehezíhe meg de zér hgsúlyoz szereém hogy bzosíásmem muá elvégzéséhez elsısorb los mem ssz udás és cs másodsorb secáls bzosíásmem smeree szüségese A egyze bzosíás lfoglm smereésével ezdıd Ez gyo rövd smereı ívá segísége yú bzosíás mu elezdéséhez és segí megére éldá és feldo Az elsı feeze z összár eloszlásá meghározásávl foglloz Az szerelı eloszláso és modellee éylegese llmzzá bzosíás gyorlb A másod feeze ülöbözı dílulácós elvee veze be és eze uldoság vzsgál A gyorlb ezee z eredméyee evéssé llmzzá de smereü öleee dh muáb A hrmd feeze o elleezıleg gyorlb gyo ól llmzhó elméleel credbly elméleel foglloz Ez uóbb em más m bzosíásmem byes megözelíése Az uolsó egyed feezebe ább cs leíró elleggel smereem bóusz-redszereel és rléolássl csolos roblémá Ez rész ésıbbebe mdeée bıvíe szereém M em rlmz egyze? Ncs bee szó ocáz folymoról és vszobzosíásról Ezee émá széü ülö ór ereébe o egyzee s észüle [3] [] [3] Nem ére oly foos émár m szolvec befeeése omlzálás flácó elemzése és még so másr mvel ezzel eleıse úlléém egy féléves árgy egyzeée eree Nem lál z olvsó vlóságos árdo sem éháy véelıl ele- 4

5 ve mor cebe vgy más öyvebe szerelı éldár hvozom Ee o hogy léyegébe em redelezem ublus árdol Igyeezem foglm roblémá bzosíás háeré megvlágí ezér öbb feldo és éldá szereelee Azob z eseebe mor egy éld dolgozásáál felhszálom egy-egy vol dáom megoldásá or hvozom ráu de vlmey éldá számolm mgm s Ngyo álom z olvsó hogy old meg feldo melye özö eheze és öyőe egyrá szereele mvel émá így érhe meg legobb Tudomásom szer egyze émááb mgyrul eddg három öyv egyze ele meg [4] [] és [] Mdhárom öyv más-más olvsóözösége célzo meg és emáu eleıse elér z do egyzeéıl ezér rom szüségese megírásá Más yelvee mos már ge so bzosíásmem öyv ele meg eze özül é [] és [5] öyvebıl ulm legöbbe A dílulácós elve émörébe [4] egyze legoosbb z összes állm smer özül Köszöee szereé mod Aró Máyás Ioomu Ágese Korád Márá Márus László Zvody Józsefe és Zsgr Gábor észülı egyze egyegy részé elolvsá és észrevéeleel segíeé muám A egyze elészíéséhez szüséges számíógées smereebıl so do á eem Zsgr Gábor Végül de em uolsósorb megöszööm leoro fgyelmes muáá Észrevéelee és vsl fgyelembe véve ézro öbb helye s oosíom éldául 3 Állíás élesíésé és bzoyíásá egyszerősíésé Mór Tmás vsol Budes 997 márcus 6 Aró Mlós 5

6 TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETÉS FEJEZET KÁRÖSSZEG MEGHATÁROZÁSA 6 EGYÉNI KOCKÁZAT MODELLJE 6 Kárösszeg reurzós meghározás 7 Normáls özelíés NEVEZETES KÁRSZÁMELOSZLÁSOK 4 b eloszláso 4 Negív bomáls árszám 6 Tovább árszámmodelle 8 A árszám eloszlásá zoosíás 3 3 NEVEZETES KÁRELOSZLÁSOK 34 Hgyomáyos áreloszláso 35 Örésze és áreloszláso 4 Iflácó és áreloszláso 43 4 ÖSSZETETT KOCKÁZAT MODELLJE 43 Per-reurzó 44 Összee Posso-eloszláso 47 FEJEZET DÍJKALKULÁCIÓS ELVEK 5 KLASSZIKUS DÍJELVEK 5 A várhó éré elve 5 A mmáls veszeség elve 53 Kvls elv 54 6

7 Szóráségyze elv 55 Szórás elv 55 Féloldl szóráségyze elv 55 AZ ÁTLAGOS ÉRTÉK ELVE 57 Az álgos éré elv rerzácó 59 3 ELMÉLETI DÍJELVEK 65 A zéró hszosság elve 65 A svác dílulácós elv 66 Veszeségfüggvéy elv 67 4 DÍJKALKULÁCIÓS ELVEK TULAJDONSÁGAI 68 A várhó éré úlléése és o-roff feléel 68 Redezésmegrás 69 Homogeás 69 Addvás és elolásvrc 69 Ierálhóság 7 Szubddvás 7 3 FEJEZET CREDIBILITY ELMÉLET ÉS A TAPASZTALATI DÍJSZÁMÍTÁS 73 3 Credbly modelle 75 Bühlm-modell erede 75 Bühlm-modell lsszus 77 Bühlm Srub-modell 8 3 Tszl díszámíás 8 4 FEJEZET BÓNUSZ RENDSZEREK 85 4 KÁRMENTESSÉGI DÍJVISSZATÉRÍTÉSEK 85 7

8 4 KÁRMENTESSÉGI ENGEDMÉNY 9 43 BÓNUSZ MÁLUSZ RENDSZER 9 44 VISZONYLAGOS STACIONÁRIUS KÖZÉPSZINT DÍJAK SZÓRÁSI EGYÜTTHATÓJA 46 BÓNUSZ MÁLUSZ RENDSZEREK ELASZTICITÁSA 3 5 FEJEZET TARTALÉKOLÁS 8 5 A BIZTOSÍTÓK ÉVES BESZÁMOLÓJA 8 5 MEG NEM SZOLGÁLT DÍJAK TARTALÉKA 9 53 MATEMATIKAI TARTALÉK 54 FÜGGİKÁROK TARTALÉKA 4 Kfuás háromszöge 6 Kfzee áro elıreveíése 7 Téeles függıáro és fzee áro elıreelzése 8 Kárháydo luló elıreelzése 3 Szerácós módszer 3 IBNR rléolás EREDMÉNYTİL FÜGGETLEN DÍJVISSZATÉRÍTÉSI TARTALÉK EREDMÉNYTİL FÜGGİ DÍJVISSZATÉRÍTÉSI TARTALÉK 4 57 KÁRINGADOZÁSI TARTALÉK ÉS A NAGYKÁROK TARTALÉKA 4 58 EGYÉB BIZTOSÍTÁSTECHNIKAI TARTALÉK 4 6 FEJEZET EGYÉB BIZTOSÍTÁSI PROBLÉMÁK 44 8

9 6 KÁRARÁNY ELİREJELZÉSE MINT A LEGEGYSZERŐBB KALKULÁCIÓS MÓDSZER 44 6 EGY BALESETBIZTOSÍTÁSI PÉLDA 49 sz FÜGGELÉK: NEVEZETES KÁRSZÁMELOSZLÁSOK 56 sz FÜGGELÉK: NEVEZETES KÁRELOSZLÁSOK 57 3sz FÜGGELÉK: DÍJELVEK TULAJDONSÁGAI 58 4 sz FÜGGELÉK: A LAPLACE-TRANSZFORMÁLT TULAJDONSÁGAI 59 5 sz FÜGGELÉK: VÉGES MARKOV-LÁNCOK NÉHÁNY TULAJDONSÁGA 6 6 sz FÜGGELÉK: A MAGYARORSZÁGI BÓNUSZ MÁLUSZ RENDSZER PARAMÉTERMEGHATÁROZÓ MAPLE PROGRAMJA 6 7 sz FÜGGELÉK: A BIZTOSÍTÓK MÉRLEGÉNEK ÉS EREDMÉNYKIMUTATÁSÁNAK SZERKEZETE 64 IRODALOM 68 TÁRGYMUTATÓ 7 9

10 BEVEZETÉS A bevezeésbe szereé összefogll zo bzosíás foglm melye smereére egyze olvsás sorá szüség lesz Természeese ez z összefoglló gyo rövd összeállíásáál em öreedheü elességre Leíru hogy mlye vlószíőségszámíás obeumo feleleü meg legfoosbb bzosíás foglm és smereü llmzo elölésee M s bzosíás? Összeesége m em s róbálozu meghározásávl cs örülírásávl: vl vle bzoyos eseméy beöveeze eseé fze K fze? A bzosíó A egyzebe bzosíó fogu evez bzosíó részvéyársságoo ívül bzosíó szöveezee és egyesülee z öées ölcsöös ézár és vszobzosíó s Hogy ö lére álláb bzosíás? A bzosíóvl szerzıdés ö szerzıdı így bzosíás lesz A bzosíás bzoyos dıre szól ez z dı evez bzosíás rmá A bzosíás lehe hározl vgy hározo rmú Hározo rm eseé szerzıdés meghározo dıre éldául ö évre szól Hározl rm eseé bzosíás ddg érvéyes míg meg em sző éldául bzosíó vgy szerzıdı fel em mod lleve díemfzeés m A rmo gyr feloszá rögzíe dırmor bzosíás dıszor melye végé bzosíó módosíh dí szerzıdés boh bzoyos megszoríásol A szerzıdı z bzosíó fze M fze? A bzosíás dí Mér fze? Mer vlmlye övıbel eseméy beöveeze eseé éz vár bzosíóól Ez övıbel eseméy evez bzosíás eseméye M bzosíás eseméy? Oly eseméy mely bzosíohoz csolód Leggyrbb bzosíás eseméy vlm rossz ele bzosío éldául meghl de elehe ó s éldául gyermeszüleés Álláb öveelméy z hogy bzosíás eseméy beöveeze vgy dee legye bzoyl Ú foglom: bzosío A bzosío személye gyr megegyez szerzıdıével de em feléleül Lehe ermészees és og személy s Az z dıszo mely l bzosíás eseméy beöveezhe szerzıdés hályá rmá evez

11 H bzosíó meggyızıdö bzosíás eseméy beöveezérıl és rról hogy szolgál ell z esebe áreseméy öré Eor fze ell és z z összege m bzosíó fze evez szolgálás lleve bzosíó szemoából ár Mey ell fze? Ez elsısorb bzosíás összegıl függ H szereel szerzıdésbe meghározz mmáls fzeheı összege A fzeés lehe mg bzosíás összeg vgy megfelelı százlé és lehe árosodás mérée s K szolgálás? A edvezméyeze lleve felelısségbzosíásoál lesebe árosul Személye gyr megegyez szerzıdıvel vgy bzosíol ezér vgyobzosíáso eseé álláb em s írá szerzıdésbe Hogy egy ssé megvlágísu z elıbb foglm eleésé esü öveezı é éldá Péld: Ks Jáos Cér Mőve llmzásáb áll orásé dolgoz Ks Jáos és Cér Mőve s HORGOL Bzosíó Egyesüle g A Cér Mőve blese roságr szóló bzosíás öö Ks Jáosr HORGOL Egyesüleel 993 december -é A bzosíás szer h Ks Jáos 994-be beöveezı blesebe megro or z egyesüle ezer F- megroás fo szer százléá fze Ks Jáosé A Cér Mőve 5 F-o fzee z egyesülee 993 december -é Ks Jáos 994 december 3-é ór 49 ercor vllmos lá ese me öveezébe 995 uár -é obb lábá muálá 995 ovember 5-ére z egyesüle megállío Ks Jáos megroásá és 996 uár -é fzee Ks Jáosé ezer F 5%-á 5 ezer F-o Hszálu erre éldár bzosíás lfoglm: Bzosíó: HORGOL Bzosíó Egyesüle Szerzıdı: Cér Mőve 3 Bzosío: Ks Jáos 4 Kedvezméyeze: Ks Jáosé 5 Bzosíás rm: év 994I-994II3 hározo rm 6 Bzosíás eseméy: Ks Jáos blese megroás 7 Bzosíás összeg: ezer F 8 Bzosíás dí: 5 F 9 Káreseméy: Ks Jáos 994 december 3- blesee m es sérülése Szolgálás ár: 5 ezer F

12 Péld: Szbó Gyögyvér loás CASCO bzosíás ö LADA géocsár Mgyrország Bzosíóvl 994 február 5-é Hv dí F z elsı dí szerzıdésöésél befzee Eor: Bzosíó: Mgyrország Bzosíó Szerzıdı: Szbó Gyögyvér 3 Bzosío ez em szoá ír: Szbó Gyögyvér 4 Kedvezméyeze ez em szoá ír: Szbó Gyögyvér 5 Bzosíás rm: hározl rmú 6 Bzosíás dısz: év 7 Bzosíás eseméy: Szbó Gyögyvér LADA géocsá elloás 8 Bzosíás összeg: Szbó Gyögyvér LADA géocsá érée 9 Bzosíás dí: F/hó Mér öe z embere bzosíás? Többyre zér mer úgy godolá hogy bzoyos eseméye beöveeze eseé ézre vgy éldául egészségézár eseé szolgálásr lesz szüségü és ez öerıbıl em vgy cs eheze udá fedez Tehá leggyrbb védelme bzoságo vár bzosíás megöéséıl M cél z üzle bzosíó bzosíásol? Természeese yer szeree r A é cél em mod elle egymás hsze bzosío védelembe részesüle összességébe edg bzosíó yer z üzlee Ebbe z esebe egy c más bzosíó egyesüle és z öées ézár helyzee hsze bzosío egybe go s és elvleg em cél rofszerzés A bzosíó bzosíásíus -fá csoorob sorol eze öveezı bıvülı sorredbe: módoz bzosíás ágz bzosíás ág Mgyrországo é bzosíás ág v z éle ág és em-éle ág A régebbe lío bzosíó mdé bzosíás ág mővelhe z 995 uá cs egy ágr lehe bzosíó lí Az ágzo hsoló ellegő vgy íusú bzosíáso összessége Az egy módozhoz rozó bzosíáso zoos feléelszövegőe bzosíás szerzıdés zál elıre yomo része legfelebb rméere ülöböze Az lábbb megróbálu éháy lveı bzosíásíus felsorol álláb z ágz és ág besorolás eze lá öré Élebzosíás: bzosíás eseméy álláb bzosío em og! személy élebelééhez vgy hlálához csolód A szolgálás leggyrbb elıre rögzíe bzosíás összeg

13 b Blesebzosíás: bzosíó bzosío személy blese sérülésébıl dódó hlál megroás csoörése sb eseé fzehe c Beegségbzosíás: érelemszerőe beegség eseé fze bzosíó A szolgálás lehe f összegő eor szerzıdésöés sorá rögzí hogy mlye beegség mőé eseé órházb ölö r mey fze bzosíó Másrész szolgálás gyógyíás ölségfedezeé dh Például z egészségézár cs ez uóbb szolgálás válllhá Az eddg felsorol bzosíásfá összefoglló személybzosíás evez d Vgyobzosíás: sző érelembe vgyoárgy bzosíásá ele mely vgyoárgyb beöveeze áro eseé yú szolgálás A ágbb érelmezés szer mely álláos elfogdo vgyobzosíás e felelısségbzosíáso eresedelm és helocázohoz rozó bzosíáso s e Felelısségbzosíás: bzosío áll más oozo ár eseé yú fedezee f Vszobzosíás: bzosío ebbe z esebe mg s bzosíó bzosíás eseméy z áll öö bzosíásohoz csolód A b c d e bzosíásíuso együese em-élebzosíáso evez A emélebzosíáso vszobzosíásol együ loá z álláos bzosíás geerl surce A egyzebe ez uóbb foglomb beleérü ocáz élebzosíáso mor bzosíó cs bzosío hlál eseé fze s Szüségü lesz még éháy bzosíás lfoglomr A bzosíó ermészeese ölsége v ezér bzosíás dí emcs bzosíás szolgálás hem ölsége fedezeé s yú A eles dí bruó dí evez A dí mely cs szolgáláso fedezeé yúá eó dí ee meghározás em mdg öré meg A bzosíó egy módozához ágzához ágához egész bzosíóhoz rozó bzosíáso összességé veszélyözössége orfóló ocázözössége evez A bzosíó bzoságos mőödésée egy legfoosbb feléele megfelelı veszélyözösség lérehozás Az egy bzosíásr vgy bzosíáso csoorár fzeedı ézösszege gyság bzoyl! evezzü egyzebe ocáz Külö szereé hgsúlyoz hogy egyzebe hszálu így ez foglm Ez szóhszál megfelel [8] és [] öyve ermológáá de bzosíás és özgzdság rodlomb ocáz legülöbözıbb más meghározás s elıfordul /lásd errıl bıvebbe z [] öyve/ A bzosíás üzle egy leggyobb ehézsége z hogy dífzeés áreseméy ár- 3

14 beeleés és szolgálás dıo elére egymásól elıfordul hogy éve vgy ár évzede s elelhee özöü Ezér elegedheele bzosíás rléo ézése A rléo megézése módszerée dolgozás bzosíó memusá egy legfoosbb feld M bzosíás rlé? Álláb z modhu hogy z ézösszeg m rléolás dıo elı megöö bzosíásor félre ell r mvel ésıbb befzeése em feléle fedez ésıbb szolgáláso Felsorolu legfoosbb rléfá: Meg em szolgál dí rlé: gyr befzee dí áll fedeze dısz áyúl rléolás uá dıre eor álláb dí ezde ölsége levoás uá ráyos megoszá rléolás elı és uá dısz özö b Mem rlé: élebzosíásor beegségbzosíásor árdéor éze rlé c Függıárrlé: rléolás dıo elı beöveeze beleérve z oozo s de még em vgy em elese fzee áror éze rlé Ké részre oszl egyrész már smer beelee áror éze rlér másrész bzosíó áll még em smer em beelee áror éze rlér Ez uóbb áro emzeözleg elsmer rövdíése IBNR d Kárgdozás rlé: bzosíó eredméyébıl edvezıle évere rléol összeg Ez rlmlg elese ülöböz z összes öbb rléól mer ebbe z esebe em feléleül már meglévı szerzıdése szolgálásr öré rléolás 4 Amor bzosíó szlo lá bzosíáso mőödésé éréel éháy lveı mérıszámo llmz: árháyd: árfzeése és beszede dí háydos; b árráy: árfzeése és bzosíás összege összegée háydos; c árgyorság: árszám és szerzıdésszám háydos bzoyos eseebe szerzıdésszám helye más szereel l usloméer; Az eddg smeree foglmr öveezı mem modell llmzzu A ocáz emegív árszám emegív egész éréő ár ozív vlószíőség válozó feleleü meg Tehá egyzebe ocáz árszám és ár vlószíőség válozó! Mvel emegív válozóról v szó ezér egy legfıbb eszözü Llcerszformál árszám eseébe geeráorfüggvéy s H ξ emegív vlószíőség válozó or öveezı elölésee llmzzu:

15 Q ξ : ξ eloszlás F ξ : ξ eloszlásfüggvéye f ξ : ξ sőrőségfüggvéye h bszolú folyoos eloszlású E ξ : ξ várhó érée D ξ : ξ szórás D ξ : ξ szóráségyzee L G ξ ξ s E sξ e s ξ z z E z : ξ eloszlásá Llce-rszformál : ξ geeráorfüggvéye ξ egész éréő s Végül egy form megegyzés: bzoyíáso végé *** elz 5

16 KÁRÖSSZEG MEGHATÁROZÁSA FEJEZET Egy bzosíó számár léérdés hogy smere szerzıdéseé módozoé ágzoé övıbe fzeedı áro összegée uldoság Egy c memusbb foglmzv z modhu hogy smerü ell árösszeg eloszlásá Természeese hogy z smere megszerzéséhez elıször orább áro ssz vzsgálá ell elvégez M ovábbb zzl feldl fogllozu hogy lehe árösszeg eloszlásá meghároz özelíe h do bzoyos leloszláso Ee feld lveıe é megözelíése v: Az egyé ocáz modelle mor szerzıdése ocáz összegezzü Az összee ocáz modelle hol áro összegé eü EGYÉNI KOCKÁZAT MODELLJE Veszélyözösségü szerzıdésbıl áll és z összár: S hol : z szerzıdésre uó árfzeés melyerıl feléelezzü hogy függelee és eloszlásu smer Mlye eseebe llmzzá ez modell? Elsısorb or mor veszélyözösségü em homogé zz z - em zoos eloszlású Természeese modell llmzhó homogé esebe s de lyeor mdg meg ell godol hogy em éyelmesebbe z összee modell llmzás Bzosíásfá eve leggyrbb blesebzosíáso vgy ocáz élebzosíáso eseé llmzzá ez modell hsze o gyr egy szerzıdésél cs egyf elıre rögzíe árgyság lehe m m lá fogu gyb megöyí számolás Vlószíőségszámíás urzusoból smer hogy öbb eloszlás ovolúcóá meghározás álláb ge ehéz feld Így S eloszlásá em mdg udu meghároz de 6

17 ersze bzoyos ellemzı ge m éldául várhó éréé szóráségyzeé Llcerszformálá A öveezıbe éháy secáls esee vzsgálu meg Kárösszeg reurzós meghározás Tesü öveezı modell mely ól ír le éldául egy élebzosíás vgy blese hlál eseére szóló módoz veszélyözösségé: P P b q hol egész Jelöle z elsı szerzıdés összárá eor ylvávló: P S P S : S b szerzıdés bzosíás összege ozív P S < b S q P S b b Nem úl gy -ere ez z elárás ól llmzhó m szlhu h megoldu öveezı élebzosíás feldo Feld: [4] 36 oldl Egy s d válll csooros élebzosíás öö 4 személyre A bzosío személye d z lább ábláz rlmzz Bzosío Kor Nem Bzosíás összeg Hlálozás vlószíőség év b q Férf Férf Férf Férf Férf Férf Férf Férf Férf Nı 4 5 Nı Nı Nı 3 3 7

18 Nı Összese 373 Jelölü S-sel bzosíó áll erre szerzıdésre egy év l fzeedı összege Hározzu meg S eloszlásá és öveezı ellemzı mde -r: S S S S E P D E Feld: Oldu meg ugyez feldo mgyr hldóság dol! Az lább smeree reurzó llmzásor feléelezzü hogy veszélyözösségübe mde bzosío meg cs egyf elıre rögzíe ár lehe A szerzıdésee bzosíás összeg gyság és ár beöveezée vlószíősége < q < szer csoorosíu; z egyes csoorob szerzıdés v: l l l l S l m r q P P S eloszlásá geeráorfüggvéye segíségével ru meghároz S geeráorfüggvéye l geeráorfüggvéyee szorz: G G r m r m l S l z q q z z Ebbıl r m S z q q z l G l és l G G G r m S S S z q q z q z z z Így z z l h z z q q z z q q z q q z z S r l l S r m l l l S r m S G G G G > P l z l S l h

19 h z q < m m q / hol Mvel m l h l z G S q q l r l z z P S z P S z > ezér z elızıebıl u öveezı állíás Állíás: De Prl Legye S eloszlás z formulávl meghározv eor elesüle öveezı reurzív zoosságo: P r m S q P m r [ ] > S h lp S l l r m Íru fel reurzó éháy elsı gá! P P P S hp S 3 S hp S h h P S S 3 hp S h h P S h3 h3 P S Péld: Tesü öveezı hgsúlyozo egyszerősíe élebzosíás éldá []-b lálhóhoz hsolí Egy bzosíó egyéves rmú ocáz élebzosíásol redelezı veszélyözössége 3 5 és 7 éves férfból áll A leheséges bzosíás összege: 5 és mlló F A veszélyözösség megoszlásá öveezı ábláz mu Bzosíás összeg Éleor / /5 / /5 / /5 /3 /3 /3 Hározzu meg z összár eloszlásá mgyr hldóság do lá h veszélyözösség lészám K 6 ll 3! 9

20 Az 988 év éhldóság ábl szer q q 3 7 q q5 95 q3 q7 577 Az formul elölésevel r 3 m 3 K / 5 K / 5 K / A De Prl-lgormus llmzv u hogy K 6 eseé P S P S P S P S P S P S Kszámolv ugyez K 3-r s u hogy: P S P S P S P S P S P S

21 Szemléleese lász hogy h q q - cs or gy l-re q l -e és h- s zo Ez megérzés róbálu meg láámsz öveezı feld megoldásávl! 3 Feld: [7] Legye d egy ozív egész szám Hározzu meg segíségével öveezı "levágo" számsorozo: Mussu meg hogy d d P S d [ ] h l m r m r m d l l hol M P d δ d S e M r m leggyobb leheséges ár és d r m q q δ d d q q M udu mod P S hsoló özelíésérıl? Normáls özelíés

22 A ceráls háreloszlás éel lá S-e legermészeesebbe ormáls eloszlássl özelíheü A özelíés hbáá becslése sorá Berry Essée íusú éelere v szüségü ezér emléezeıül felíru öveezı é éel: Téel: Essée Legyee - függele vlószíőség válozó melyee léez hrmd bszolú momeumu A öveezı elöléseel: E P D E 3 3 < m B L m B F B m σ σ gz hogy L F Φ < < 795 su hol Φ sdrd ormáls eloszlás eloszlásfüggvéye Téel: Berry Essée Legyee - függele zoos eloszlású vlószíőség válozó melyee léez hrmd bszolú momeumu A öveezı elöléseel: P E D E 3 3 < m F m m σ σ ρ σ gz hogy F ρ Φ < < 7655 su Megegyzés: A éelebe szerelı osso IS Sgov eredméye lásd [6] 57 és 83 oldl Péld: Térü vssz z éldához O meghározu z eloszlás oos érée 6 és 3 fıs veszélyözösség eseé Nézzü meg hogy ebbe z esebe m d ormáls özelíés! Az ábr mu be éyleges ool elöl és becsül folymos volll elöl eloszlásfüggvéy 6 fıs veszélyözösség eseé

23 Ábr Tszlhu hogy özelíés -él sebb éréere gyo ol A özelíés már sol oosbb h 3 fıs veszélyözösségrıl v szó m z ábr s mu de s láhó hogy z elérés eleıs Ábr Megegyezzü hogy ormáls özelíés még sol olbb h z eloszlás özelíü z eloszlásfüggvéy helye 4 Feld: A Nféy Bzosíó csooros bzosí z óvóıe blese hlál eseére Korább szlo lá blese hlál vlószíőségé ezrelée vesz 5 óvóıe 5 M F-os -e M F-os és 5-5 M F-os bzosíás összege Mlye gy ell válsz z összdí eó hogy z leglább 995%-os vlószíőséggel elég legye fzeésere? Próbálozzu ülöbözı módszereel! 3

24 NEVEZETES KÁRSZÁMELOSZLÁSOK Egy do dısz ár számá elölü η-vl Korább bzosíó ee cs egyele ellemzıe várhó érée érdeele Ez z egy szerzıdésre vgy usloméerre sb uó áro számávl árgyorsággl becsülé Ebbe ob számur elese mdegy lesz hogy mlye árszámról lesz szó ez lehe egy szerzıdés módoz vgy ágz egyéves ééves vgy egy más dırm eseleg em s dı hem éldául usloméer árszám Természeese η cs emegív egész éréee vehe fel ez ovábbb em fogu ír A leggyrbb llmzo árszámeloszlás Posso ez gyorl szlo és elméle megfooláso s láámszá lásd l [3] A öveezıbe éháy oly eloszlássl fogllozu melye szé gyr elıfordul b eloszláso Defícó: η b eloszlású h b P η P η M ésıbb lá fogu b eloszlású árszám eseé z összár eloszlás ól számolhó Az b eloszláso eddg s ól smerü cs em lye módo defálu ıe Ez mu öveezı állíás Állíás: η b eloszlású oos or h Posso vgy bomáls vgy egív bomáls eloszlású Megegyzése: Negív bomáls eloszláso -b elol egív bomáls eloszlás érü lásd z sz függelée Vgyáz! Az állíás em mod z hogy mde b-re léez b eloszlás Bzoyíás: Legye P η H η Posso-eloszlású or Elıször fordío ráy lássu be e! b 4

25 m m H η Bm eloszlású or m!!! m!! m m! m m m m Ez elesül m -re s így m és így m m m m b H η NBrq eloszlású or Γ Γ r r r r! Γ r q q és így Γ r r q q q q q b r q Megu z s hogy q rméerő Pscl- geomer eloszlás egybe q eloszlás A más ráy bzoyíásáál megézzü és b leheséges érée és z hogy eor mlye eloszláso u b b H or és így Ebbıl öveez hogy η b -! rméerő Posso-eloszlású b H > és b < or b < és így < m leheele H > és b or b és így Tehá η z zoos elfuló vlószíőség válozó m B eloszlás H < < és b > or megmuu η-ról hogy NBb/ eloszlású Legye { v } egy NBb/ eloszlás megfelelı számsoroz Eor eles ducóvl megmuu hogy v Ez -r ersze ylvávló Tegyü fel hogy --re s gz Így -re v Ee ell megegyez b b Γ b! Γ b! 5

26 háydossl m elesül s elleırzheü éldául gmm-függvéyre érvéyes Γ Γ > zoosság felhszálásávl Mvel mdé számsoroz összege ezér go s egyelı H és b > or b > Ebbıl Tehá mbıl öveez hogy m ebbe z esebe leheele H < és b < or b < m m már láu leheele H < és b or b és így Tehá η z zoos elfuló vlószíőség válozó b b H < és b > or léez oly K hogy < > K -r mbıl Te- K há η B K eloszlás *** Hogy elehee meg eze z eloszláso? A Posso-eloszlás már emlíeü orább A bomáls eloszlás ermészees módo ele meg zo módozoál hol egy szerzıdés eseé vgy ár lehe A egív bomáls eloszlás ülö ob vzsgálu Negív bomáls árszám Péld: Tesü öveezı éldá [5] 4 oldl Klfor géármővezeı árszámá vzsgálá ééves eródusb A 48 6 vezeı d z lább ábláz rlmzz Kárszám >7 Összese Vezeı szám A árszámeloszlás meghározásáál derül hogy Posso-eloszlás em lleszed ól z dor vszo egív bomáls ge: 6

27 Kárszám >7 Tszl Posso E-5 5E-7 Negív bomáls Mgyrázo s d erre mégedg öveezı Mde egyes vezeı árszám Possoeloszlású de rméere ülöböze Az do esebe h Posso-rméer mg s vlószíőség válozó méghozzá 79 várhó éréő és 679 szóráségyzeő gmmeloszlású or z lleszedés gyo oos Nézzü meg ez részleese! Tegyü fel hogy rögzíe υ melle η eloszlás υ rméerő Posso ehá feléeles geeráorfüggvéye: Ebbıl η geeráorfüggvéye: η υ z z e G z E υ η υ η υ z { E z } E e L z Gη z E υ υ H υ rméerő gmm-eloszlás or Llce-rszformál Így η geeráorfüggvéye G η L υ s s z z z ez edg NB eloszlású válozó geeráorfüggvéye Ebbıl lász hogy egív bomáls eloszlás egybe everé Posso-eloszlás s gmm-eloszlású everı vlószíőség válozóvl Defícó: Az η vlószíőség válozó everé Posso-eloszlású h v oly τ vlószíőség válozó hogy η - τ -r voozó feléeles eloszlás τ rméerő Posso-eloszlás Megegyzés:τ - everı vlószíőség válozó szoá evez Az lábbb megmuu hogy egív bomáls eloszlás összee Posso s Defícó: Az η vlószíőség válozó összee Posso-eloszlású h hol N Posso-eloszlású és M - egymásól és N -ıl s függele zoos eloszlású vlószíőség válozó η M M Péld: Tesü meg egy uóbzosíás éldá [8] [5] oldl 4 szerzıdés árd vzsgálá meg Az do z lább ábláz rlmzz N 7

28 Kárszám >5 Összese Vezeı szám Amor árszámeloszlás róbálá meghároz s derül hogy Posso-eloszlás em lleszed ól z dor vszo egív bomáls ge A mgyráz ebbe z esebe öveezı vol Egy áreseméyél öbb ülöbözı ár s elıfordulh I z egy áreseméyél elıforduló áro számá logrmus eloszlássl özelíeé melye geeráorfüggvéye G M l qz z l q H áreseméye N-szám Posso-eloszlású or z η M M árszám geeráorfüggvéye z lább lesz η η z E[ E z N ] E G z N [ ] G G z Gη z E Ismerü mdé geeráorfüggvéy: Tehá árszám G z e η qz q NB - l q q l- q G z M q z q eloszlású M l qz e l q l q Gyorl llmzásoál ovább árszámeloszlásor s szüség lehe N M N Tovább árszámmodelle Az lábbb felsorolásr erülı eloszláso és ebbe z lob léyegébe cs defálu ıe három csoorból szármz: b eloszláso álláosíás összee és everé eloszláso b η η Defícó: η b eloszlású h P P 3 8

29 Elsı llásr úgy ő hogy z elérés z b eloszlásoól eleéele hsze reurzó elesülésé cs z ob em öveelü meg Az elérés zob mégs eleıs Az b loszályo ívül legfoosbb szgorú ozív eloszláso η Defícó: η b eloszlású h b eloszlású és P Feld: Mussu meg hogy logrmus eloszlás b! Adu meg rméere! Feld: "Készísü" Posso és egív bomáls eloszlásból b eloszlású! Az lább feld mu hogy vlóáb elég z b és b loszályo smer 3 Feld: Mussu meg h η b eloszlású or léez oly szám és τ b vgy b eloszlású vlószíőség válozó hogy P P η P τ η P τ > A árszámo egy más gy csoor összee Posso-eloszlású szer egy lye árszám geeráorfüggvéye hol G Gη z e M z G M egy emegív egész éréő vlószíőség válozó geeráorfüggvéye Eze eloszláso özül lá é legsmerebb z mor M bomáls lleve Posso-eloszlású [ m ] [ e z ] Defícó: η Posso-bomáls eloszlású h geeráorfüggvéye e z Defícó: η A íusú Neym-eloszlású h geeráorfüggvéye e Természeese emcs Posso-eloszlás szer v összee eloszláso "észerőe" z llmzásob geomer összee eloszláso s I é eloszlás defálu mor M szé geomer lleve Posso-eloszlású Defícó: η geomer-geomer eloszlású h geeráorfüggvéye lú β β z Defícó: η geomer Posso-eloszlású h geeráorfüggvéye [ β e z ] lú 4 Feld: Hározzu meg geomer Posso-eloszlás elsı három momeumá! 9

30 Ebbe ob még everé Posso-eloszláso s megemlíü Eor ól smer l [7] 3 és 6oldl hogy E η τ Eη D η D E η τ E D η τ E Ebbıl rögö dód everé -Posso-eloszlás várhó érée és szóráségyzee h léez everı vlószíőség válozó elsı é momeum: Eη Eτ D η D τ Eτ 3 Péld: Tegyü fel hogy everı vlószíőség válozó eloszlásá Llcerszformál: [ e ] Lτ s e µ s zz everı vlószíőség válozó µ rméerő Posso-eloszlású Eor szer everé eloszlás geeráorfüggvéye [ z ] e[ µ e ] Gη z Lτ z Kssé megleı módo smé z A íusú Neym-eloszlás u meg Az lább állíás zob mu hogy ez z egybeesés em vélele Defícó: Egy eloszlás orlálul oszhó h mde ermészees -re zoos eloszlás ovolúcó Állíás: Tegyü fel hogy η eloszlás oly everé Posso-eloszlás melybe everı eloszlás orlálul oszhó Eor η összee Posso-eloszlású Bzoyíás vázl: Jelölü everı eloszlás Llce-rszformálá L-lel Mvel ez egy orlálul oszhó eloszlás Llce-rszformál ezér L L szé Llcerszformál Az formul szer η geeráorfüggvéye Mvel z [ L z ] [ G z ] G η z L G szé egy everé Posso-eloszlás geeráorfüggvéye és ez felírás mde ermészees -re elvégezheı ezér η orlálul oszhó eloszlású Egy emegív egész éréee felvevı orlálul oszhó eloszlású vlószíőség válozó zob cs összee Posso-eloszlású lehe ez em bzoyíu *** 4 Péld: A gyorlb legább oly everı vlószíőség válozó llmz melye é vgy három érée vehee fel Például egy bzosíó megfgyelése szer méhe bzosíásáál v ó és rossz éve A ó évebe árgyorság sebb m roszszb A szlo lá öveezı modell llmzzá árszámr: 3

31 { τ 5}{ó év} { τ }{rossz év} η áro szám τ P! τ τ 5 8 P τ P η τ e Természeese még regeeg más eloszlás s vzsgálhó lee A ovább részleere ívács [5] öyve álu A árszám eloszlásá zoosíás M már öbbször emlíeü feléelezzü hogy z olvsó redelez leglább elem ssz smereeel ssz módszere smereése em célu ebbe egyzebe mégs megemlíü egy lye érdés mvel egy secáls bzosíás roblémáról v szó Tegyü fel hogy bzosíó redelezésére áll egy árszámor voozó dsor Tehá háy szerzıdésél em öré ár háyál vol egy eı sb ár Vlóáb egy lye dsor em s öyő összeállí hsze szerzıdése em ugyor ezdıde és rmu s ülöbözı lehe Mos feléelezzü hogy z dgyőés és redszerezés már megöré Az elsı léés hogy válsszu megfelelı modell Elıször érdemes z b eloszlásol róbáloz M udu rólu? : vgy Posso vgy bomáls vgy egív bomáls eloszlásról v szó : h P η q or legye b H z eloszlás Posso or D η Eη ovábbá és így q oss H z eloszlás bomáls or D η < Eη ovábbá < és így q leárs csöe H z eloszlás egív bomáls or D η > Eη ovábbá > és így q leárs ı Eze smeree broáb elárásu öveezı Jelölü U -vel zo szerzıdése számá melyere áro szám -vel egyelı A szerzıdése szám K leggyobb árszám Eor z r-ed szl momeum szl em orrgál! szóráségyze M r r K U Legye S M M 3

32 H T U U S özel egyelı M -gyel ovábbá T özel álldó or árszámeloszlás Possoeloszlássl fogu özelíe H S sebb M -él ovábbá T csöe or árszámeloszlás bomáls eloszlássl fogu özelíe H S gyobb M -él ovábbá T ı or árszámeloszlás egív bomáls eloszlássl fogu özelíe Egyállá em bzos zob hogy árszámeloszlásu b Gyú ébreszhe beü éldául h T leársál gyorsbb ı Eor érdemes megbecsül hrmd ceráls momeumo: 3 M M 3 κ M 3 M H η egív bomáls eloszlású or hrmd ceráls momeum D η Eη 3D η Eη Eη Ezér κ - hsolísu össze S M 3S M M -gyel H örülbelül egyelıe or egív bomáls fogdu el h κ gyobb or gyr A íusú Neym vgy Posso-geomervl özelíü H κ sebb or róbálozzu öbbf everé Posso-eloszlássl Az eloszlásíus válszás uá ermészeese rméerbecslés öveez Nézzü meg ez feldo részleesebbe egív bomáls esere! Legye η η η K elemő függele NBrq m Eor m udu P K Γ r Γ r! rq q rq q r η q q Eη D η A momeum módszer egyeleredszere: rq M q Ee megoldás rméere becslése: rq q S M qˆ M qˆ rˆ M 3 S qˆ S M 3

33 A mmum lelhood becslés meghározás eél óvl boyolulbb feld Íru fel lelhood függvéy: K Γ r L r q Pr Γ r! Ebbıl loglelhood függvéy r q η ηk K Π q q K l r q l L r q rk l q l q l r m l! Derválássl u lelhood egyeleee: l rk q q q Ebbıl l K l q r K K K m m r m K rq M q m momeum módszerél! K l q K m m r Beláhó hogy h orrgál szl szóráségyze gyobb szl özéél or ee z egyeleredszere oos egy megoldás léez A becslése elvégzése uá χ -róbávl elleırzheü hogy meyre ól lleszed egív bomáls eloszlás z dr Ne hggye se hogy z elıbbe elvégzésé ívül semmlye más evló cse Például árszám ellemzı évrıl évre válozh megfgyelheı árgyorság m árszám várhó éréée egy becslése válozás A válozáso íusból éháy felsorolu A árgyorságb red fgyelheı meg Lehe hározo öveedés vgy csöeés Ee o lehe moorzácó hldóságválozás ú éíés módo bevezeése sb b Perodusság rövd clusol m oozh z éghl és árváyo éves erodcás c Perodusság hosszú clusol m csolb lehe z álláos gzdság folymol Mgyrországo lye vzsgálo bzosíásb még em gyo lehe végez 33

34 d Egyszerő vélele gdozás Mdezeel z dısoro elmélee foglloz 3 NEVEZETES KÁRELOSZLÁSOK Az elızı ob árszámol fogllozu m ersze gyo foos de bzosíó elsısorb fzeedı éz érdel Ahhoz hogy ez smerü segísége yú z egyes áror fzee összeg eloszlásá smeree Mvel fzeése mdg vlmlye ézegységbe örée és Mgyrországo éldául em szo flléreel számol ezér elvbe elég lee cs ozív egész éréő vlószíőség válozól foglloz Hgyomáyos s úgy lul zob hogy hol leheséges árérée szám gy o bszolú folyoos eloszláso lleszee Amor áreloszlás lleszü mdg fgyelembe ell ve z hogy ár végleges összege gyr egy hosszú folym eredméyeé lul A ár beöveezése és ár beeleése özö s eleıs dı elhe el ülööse felelısségbzosíásoál A ésıbb beelee áro lehee ár sol gyobb s m orá beeleee Muá ár beele árfzeése egy árr! dıbe elhúzódh és öbb részlebe öréhee Mvel éz ülöbözı dıoob más és más ér ezér egy lezár árál sem egyérelmő ár gyság Eze felül gyor ársszá s háyos em ároról gyr cs gyo evés du v éldául smerü szl özee és szóráségyzee Az s rögö lász hogy ez z smere ömgáb em elegedı ú örészoszályo díá meghározásához mdeée szüség v z eloszlás becslésére Melı ráéré evezees áreloszlásor ézzü meg öveezı gyo egyszerő éldá hsolí [] 34 oldl éldáár mely mu hogy még lye egyszerő esebe s öyő éved 3 Péld: A Kür Bzosíó uyséáló mgáválllozó felelısségbzosíásá vezeee be 99-be A bzosíó válll uy sérülésébıl em ívá erhességébıl és elveszésébıl eredı dolog és eszme áro megéríésé A bzosíó 99-ıl z elızı év álgár és árszám lá számol dí 995-be észrevesz hogy 994-be csöe z álgár és csöe dí Helyese eé-e? Nézzü meg áro összesíı áblázá! 34

35 Kárfzeés éve Kár éve Összese Kárszám E F Kárszám E F Kárszám E F Kárszám E F Kárszám E F Kárszám E F Kárszám E F Álgár Összese Álgár H fgyelmese megézzü áblázo z láu hogy ár évébe fzee ár álgos érée ezer F öveezı évbe fzeeé ezer z álgár 5 ezer 994-be vlóáb em áro gyság válozo meg hem szerzıdésszám ı észeresére Így úlsúlyb erüle árév fzeése és ez vezee z 994-es álgárcsöeéshez ehá dícsöeés em vol ogos m z 995-ös do s láámsz Hgyomáyos áreloszláso Tlá legrégebbe llmzo áreloszlás z eoecáls: F e > f e > Nészerőségée em z z o hogy gyo gyr lleszed ól árdor hem sol ább éyelm szemo Egyrész már szl özébıl megbecsülheı rméere másrész öye lehe vele számol Gyr gyo ó lleszedés mu logormáls eloszlás Emléezeü rr hogy z vlószíőség válozó µ σ rméerő logormáls eloszlású h logrmus µ σ rméerő ormáls eloszlású ehá sőrőségfüggvéye l µ f e > σ π σ Eor várhó érée és szóráségyzee µ σ D e µ σ [ e ] E e σ 35

36 H smerü szl özee M és szóráségyzee S or momeum módszer egyeleredszerébıl u hogy e ˆ σ S M M e ˆ µ e ˆ σ Tesü egy gyo egyszerő éldá 3 Péld: A Mgyrország Bzosíó mezıgzdság csorogáyo bzosí Az 994 év ároról öveezı árssz áll redelezésre A áro ezer forb éredı Kárgyság >8 Kárszám Rögö meg lehe érdez hogy árssz mér lye mér csee meg éyleges árdo Sos gyo gyr még eél s rosszbb árssz Soszor ublus sszá KSH TB s lye szerezeőe Az do grfoo s ábrázolu: db Kárszám >8 ezer F 3 Ábr: Csorogáybzosíás Becsülü meg várhó érée és szóráségyzee gyo egyszerő módszerrel feléelezve hogy áro z ervllum özeére ese ez ermészeese orzíáshoz veze! M S / /3 M 8 36

37 Ebbıl ˆ σ µ ˆ 3496 Elleırzzü χ -róbávl hogy megfelelı-e z lleszésü Teles eseméyredszere öveezı válszu: A {ár<} A { ár<3} A {3 ár<4} A {4 ár<5} A {5 ár } 4 H z ár µ σ rméerő logormáls eloszlású or z eseméye vlószíősége öye számíhó hsze lb µ l µ P < < b Φ Φ σ σ Így χ ssz érée 85 Mvel P χ > ezér ermészeese elfogdu hoézs A szl és llesze sőrőségfüggvéy 3 ábrá s mu hogy ezzel z egyszerő módszerrel s megleıe ó özelíés u 3 Ábr: Logormáls özelíés Próbálozzu zér meg mmum lelhood becsléssel s! 3 Feld: Végezzü el fe éldár mmum lelhood becslés s! Az elızı é áreloszlás már ól smer vlószíőségszámíásb ulból A Preo-eloszlásról m lább defálu vszo z lehe mod hogy secáls "bzosíás" eloszlás Defícó: Az vlószíőség válozó β rméerő Preo-eloszlású h eloszlásfüggvéye 37

38 38 > F β β Megegyzés: A Preo-eloszlás fe meghározás álláos elfogdo Ameráb Euróáb c rméerő Preo-eloszlású evez z > c c c F eloszlásfüggvéyő vlószíőség válozó Persze rögö lász hogy h β rméerő Preo-eloszlású or β euró érelembe Preo-eloszlású β rméereel A Preo-eloszlású ár veszélyese modá és ezér llmzzá gyr őzbzosíáso modellezéséél hsze várhó érée cs > -re szóráségyzee edg cs > -re véges: D E E > > > β β β β β β β β β β β d d F d d F Az 33 ábrá várhó éréő eoecáls logormáls l rméereel és Preo-eloszlás rméereel sőrőségfüggvéyé ábrázolu 33 Ábr: Eoecáls logormáls és Preo-eloszláso sőrőségfüggvéye

39 A Preo-eloszlásr z modá hogy "gy frú" eloszlás mer sőrőségfüggvéye lssbb cseg le m orább emlíe eloszlásoé és így gy összegő áro gyobb vlószíősége Ez z elıbb ábr folyás s mu: 34 Ábr: Eoecáls logormáls és Preo-eloszláso sőrőségfüggvéye gy éréere Az ábr zob z s mu hogy Preo-eloszlás veszélyessége gyr gyo vszoylgos modhó hsze éldául eseübe egy várhó éréő eloszlásál cs óvl fele le Preo-eloszlás sőrőségfüggvéye gyobb logormálséál Hogy elehe meg ez z eloszlás? Tegyü fel éldául hogy rögzíe θ y melle y rméerő eoecáls eloszlású H θ gmm-eloszlású β rméereel or Llce-rszformál Így eloszlásfüggvéye β L θ s β s F E χ{ < } E E χ{ < } θ β θ E e L θ β Tehá β rméerő Preo-eloszlású 3 Feld: Mussu meg hogy h z vlószíőség válozó β rméerő Preoeloszlású or l eoecáls eloszlású rméerrel β 33 Feld: [8] Legye elemő függele Preo-m smer β rméerrel Mussu meg hogy 39

40 ˆ l mmum lelhood becslése ovábbá hogy β E ˆ D ˆ és hásos becslése - ~ ˆ 34 Feld: Legye M egy elemő Preo-m szl özee és S szl szóráségyzee Mussu meg hogy S > M eseé momeum módszer egyeleredszerée léez megoldás és z S M S ˆ M ˆ β S M S M Káreloszlásé z elıbb három eloszlásíus llmzzá leggyrbb Rább llesz gmm- és Webull-eloszlás Defícó: Az vlószíőség válozó rméerő Webull-eloszlású h eloszlásfüggvéye F e > Megegyzés: Ez z eloszlás leggyrbb megbízhóságelmélebe fordul elı és más elfogdo eve Webull Gedeo-eloszlás Örésze és áreloszláso A vgyobzosíáso eseé álláos elfogdo z örésze llmzás A legegyszerőbb esebe bzosíó cs egy do árösszeg z örész fele fze és cs ár örész fele részé Kéleel leírv h z örész c és bzosío ár or bzosíó áreloszlás Q Y Q c > c Már eél oál megmuoz áreloszlás lleszésée foosság Hsze bzosíó gyo gyr meg r váloz vgy bıvíe z örészbesoroláso és z ú dí 4

41 4 számíásá gyb segíhe egy megbízhó áreloszlásbecslés De várl roblémál s szembeerülheü Például ülöbözı örészoszályo válszó géocsvezeı gyr egésze másé oozzá áro obb vezeı mgsbb örészee válszá szlo szer Nézzü meg hogy z örész hogy váloz meg z eddg árgyl áreloszláso H bzosío ár eoecáls eloszlású or bzosíó árá eloszlásfüggvéye öveezı P P P > > > < < e e e e c F c F c F c c c Y c c c Tehá áreloszlás em váloz Természeese mdez em s elle vol számol hsze mde ól smer z eoecáls eloszlás öröfú uldoságá H z eloszlás logormáls or z ú eloszlásfüggvéy l l l P > Φ Φ Φ < c c c c F c F c F Y σ µ σ µ σ µ Ebbıl sőrőségfüggvéy l e l > Φ c c c f Y σ µ π σ σ µ Tehá z eloszlás íus megválozo Számolu elsı é momeumá! [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] / e / e / / e / / e / / e / E l l l / l / l l l l l l l c c ds e c ds e c d d c Y c c c s c s s c s c c c c c c Φ Φ Φ Φ Φ Φ σ µ σ µ σ µ σ σ µ σ µ µ σ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ σ µ π π π σ π σ σ µ σ µ 3 Hsoló hározhó meg másod momeum s:

42 EY µ σ l c µ σ σ l c µ l c µ σ σ l c µ Φ σ Φ e c e µ Φ σ Φ σ Mos már meg udu old öveezı éldá c 33 Péld: A Gyrm Bzosíó Suzu uó CASCO bzosíásá r módosí Eddg bzosíáso ezer F örészőe vol Az 994 év árssz szer fzee áro álg z örész levoás uá 49 ezer F vol szórás 9 ezer 996-b már cs ezer F-os örésszel lehe szerzıdés ö Becsülü meg z 996 év álgár-fzeés! A bzosíó em számol flácóvl és szl szer z örész élül áro logormáls eloszlású Az 3 formul szer h 994-be árfzeés várhó érée m 994 vol or 996- b ez öveezı lesz: m m Φ Φ lµ σ lµ σ Φ Φ l µ σ σ l µ σ σ Becsülü meg rméeree momeum módszerrel mássl em s udá d lá Az elméle elsı és másod momeum smereébe egyelee öveezı: lµ σ σ l µ σ lµ σ σ lµ σ lµ Φ σ σ lµ Φ σ Φ µ 49 Φ e e µ σ Φ Φ σ e µ σ 9 49 Ez z egyeleredszer umerus megoldv Hegy Zolá megoldás u ˆ µ 875 ˆ σ 465 Ebbıl becslésü z 996 év álgárr F Lász hogy em évedü vol so h z 994 év álgárból egyszerőe levou vol ezer F-o de zér 764 F elérés sem oly evés és gyobb örészél z elérés még gyobb le vol Nézzü meg végül hogy m öré Preo-eloszlássl örész bevezeése eseé Az ú eloszlásfüggvéy β β β c β c β F c F c β c P Y < > F c β c β c Tehá z ú áreloszlás s Preo lesz β c rméereel Így z ú várhó éré és szóráségyze 4

43 β c β c > D Y > EY Iflácó és áreloszláso A bzosíó ársszá ermészeese múl d dolgozzá fel mözbe elıre elez öveezı évere ell Az ár özbe ıe és ez bzosíó memusá fgyelembe ell vee legöbb vgyobzosíásál Egyállá em bzos hogy lehe lál oly flácós számo m oos megfelel áro flálódásá ezér ee ssz vzsgál s feld memus uárus Ebbe z lob gyo egyszerő feldl fogllozu evezeese zzl hogy h smerü eloszlásá or m lesz d d> álláb -él s gyobb eloszlás Szerecsére evezees áreloszlás vrás erre mővelere cs rméere váloz: H rméerő eoecáls or d eoecáls d H µ σ rméerő logormáls eloszlású or d µ l d σ logormáls H β rméerő Preo-eloszlású or d d β Preo 35 Feld: Oldu meg z elızı lo 33 éldáá feléelezve hogy é év l z flácó 35%-os! 4 ÖSSZETETT KOCKÁZAT MODELLJE Egy do dıszr l egy évre z összár öveezı módo áll elı: hol S 4 η z árr uó fzeés η z dısz ár szám Feléelezzü hogy η és függele smer eloszlású uóbbé zoos Mér álláos elfogdo ee modelle z llmzás? Egyrész z do gyr ároé v ylvárv és em szerzıdéseé másrész soszor lá egy c megleı módo éyelmesebb z összee modell llmzás Persze ebbe z esebe sem öyő meghároz z S összár eloszlásá Íru fel elıször legfoosbb ellemzı me meghu eles várhó éré éel segíségével E D < ES E Eη Eη < D S EηD D η η - 43

44 44 [ ] L G P L P E E L s s e e s ss ss S η η η η 4 A öveezı ob reurzós módszer du z összáreloszlás meghározásár Per-reurzó A árszámeloszláso árgylásáál emeledı szeree száu z b eloszláso Az lább éel mu hogy ez em vol vélele Az egyszerőség érdeébe vezessü be öveezı elölés Jelölés: Teszıleges Y egész éréő vlószíőség válozór legye Y Y P 4 Téel: Per Legye η b eloszlású és ozív egész éréő vlószíőség válozó eor z 4 formulávl meghározo összár eloszlásár elesül öveezı reurzív zoosság y y y b y S S S η Bzoyíás: Mvel oos or cs árfzeés h cs ár ehá árszám ezér z elsı zoosság ylvávló elesül A öveezı léésbe íru fel geeráorfüggvéyee [ ] G G G S S z z z z z η 43 Mvel η b eloszlású ezér η -re b b lá [ ] [ ] [ ] [ ] G G G G G G G G z z b z z z z z z Ez összegezve -ıl végeleg u hogy

45 45 [ ] [ ] G G G G G z z b z z z Ez és 43 lá [ ] [ ] G G G G G z z b z z z S S S Ebbıl m m S l l S S z z m b z l z z Íru fel z együhóá mdé oldlo! m m S l l S S m b l Az egyele oos éelü reurzóá d *** 4 Péld: Egy cég fogász egészségézár r lí Egyszerőbb bevozásál húzás ömés F-o fzee z orvos omolybbál híd sb F ézár ölsége z eseleges öbblee ézárg áll Egy éve ereszül cég md száz dolgozó beeleee fogász bevozás Kderül hogy bevozáso 95%- vol egyszerő ovábbá árszámo álg szl szóráségyzee A cég áll llmzo uárus árszám eloszlásá egív bomáls feléeleze és rméeree momeum módszerrel becsüle Eor 3 szer becslése z smerele rméerere: ˆ ˆ ˆ 5 ˆ q q M r S M q H ehá z egy gr uó árszám eloszlásá NB 5 eloszlású fogdom el or ézár összárszám NB 5 eloszlású m b eloszlás 5 és b 45 rméereel Káreloszlás ebbe z esebe szolgáláseloszlás ellee evez öveezı fogdu el: 5 P 95 P ezer F-b számolu Az összár eloszlásá Per-reurzóvl hározhu meg Téelü szer 5 45 / / 5 5 S S S S η Az lább áblázb z összáreloszlás és z eloszlásfüggvéy érée íru fel Eze segíségével hározhó meg gdí és lehe árgyl vszobzosíásról s

46 S S P S S P S P S e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Az eloszlásfüggvéy érée z 4 grfoo s ábrázolu: 4 Ábr Megegyzés: M mdem mde reurzóál s ulcsfoosságú reurzó ezde o Elıfordulh és elı s fordul gy szerzıdésszám melle hogy S oly η 46

47 cs hogy számíógé h em fgyelü od - e és így mde érére - u A Per-reurzó lehee mod egy cs módosío formáb or s h ár érée s ozív vlószíőséggel vesz fel Úgy őhe hogy ár em so érelme v de elıfordulh hogy bzosíó árszám árbeeleése számá e és h árbeeleésre em fzee or ár A öveezı feld é szemoból s álláosí z 4 éel egyrész lehe ár s másrész árszámeloszlás b és em b 4 Feld: Legye η b eloszlású és emegív egész éréő vlószíőség válozó Mussu meg hogy eor z 4 formulávl meghározo összár eloszlásár elesül öveezı reurzív zoosság [ ] S y η y b S [ ] y S y b η Meg lehe érdez hogy m együ em rácsos áreloszláso eseébe A legermészeesebb megoldás lyeor dszrezálás Redelü hozzá árhoz z lább egész éréő vlószíőség válozó h > rögzíe oss: η Y Y f < h h < h { h < h Eor f f f Y S h Y Y hs hs h Y η η η 45 H árszámeloszlásu b eloszlású or Per-reurzó segíségével meg udu hároz S és f S eloszlásá és eloszlásfüggvéyé Az 45 formulából rögö dód hogy F F S F f h S S Tehá z összár eloszlásfüggvéyé orláo özé udu szorí H áro bszolú folyoos eloszlású or z összár eloszlás bszolú folyoos omoese sőrőségfüggvéyére Volerr íusú egrálegyelee lehe felír Tovább részlee meglálhó [3] oldlá h Összee Posso-eloszláso 47

48 M már öbbször emlíeü Posso-eloszlás leggyrbb llmzo árszámeloszlás Ebbe ob η egy dısz ár szám rméerő Possoeloszlású vlószíőség válozó Az dısz összár öveezı módo áll elı: hol z árr uó fzeés z S 46 η - egymásól és η-ól függele zoos eloszlású Tehá S összee Posso-eloszlású vlószíőség válozó Eor z 4 formul szer D E E L s e L [ ] ES E D S S s Ebbe z esebe Per-reurzó s egésze egyszerő lb írhó fel Legye ozív egész éréő vlószíőség válozó eor z 46 formulávl meghározo összár eloszlásár elesül öveezı reurzív zoosság: e S S y y y y S 4 Péld: Egy s uóbzosíás egyesüle em úl gy ár eseé ezer F-o oálárál ezer F-o érí Évee álgos árr fzee A fzeése 95%- ezer F-os Hározzu meg z összár eloszlásá h feléelezzü hogy árszám Posso-eloszlású! A feléele szer η rméerő Posso-eloszlású és 95 P 5 P ezer F-b számolu A Per-reurzó z összár eloszlásár z lább d: e S S S 95e 95 3 Rögö lász hogy reurzó fordío ráyb s felírhu: S S S S 95 S 47 Elvégezü reurzó egy áblázezelı rogrm segíségével z eloszlás elsı 3 gár és uá vsszfelé s számolu z 47 formul szer A o eredméyee z lább áblázb íru fel f S fordío reurzóvl számío éré S f S S f S S f S 454E-5 3E E

49 S f S S f S S f S E-5 544E E-5 36E E-6 996E E-6 48E-6 Egy ssé lesúó hogy fordío reurzóvl számío eredméye em dá vssz z erede eloszlás sı em s eloszlás u Ezér vsolu hogy számíásoál gy oosságú mem rogrmcsomgo llmzz Az llmzáso sorá gyo gyr ell ülöbözı veszélyözösségee vgy ocázo egyesíe ezeél z eseeél segíhe öveezı állíás 4 Állíás: Legyee S S S függele összee Posso-eloszlású vlószíőség válozó Posso-rméereel és F F F áreloszlásfüggvéyeel Eor S S S szé összee Posso-eloszlás Posso-rméerrel és F áreloszlásfüggvéyel F S Bzoyíás: Jelölü formul szer L -vel -ed áreloszlás Llce-rszformálá Eor z 4 [ L ] L S s e s mbıl Mvel L s S e L S s e [ L s ] L e s L s 49

50 L F s ezér m o z állíás d *** e e s s df df s e d F L s [ L ] LS s e F s 4 Feld: Az 4 éld bzosíó egyesülee úgy döö hogy géocs loásocázá s válll Ez esebe 5 ezer F-o éríee Úgy godolá hogy árszám ebbe z esebe 9 rméerő Posso-eloszlású lesz Allmzzu z elızı állíás és hározzu meg umerus z összár eloszlásá Gyr elıfordul hogy bzosíó cs bzoyos árgyság eseé eleez ár Ez lehe örész és vszobzosíás m s Ebbe z esebe öveezı állíás segíhe 4 Állíás: Tegyü fel hogy S η rméerő összee Posso-eloszlású vlószíőség válozó Legye A A ozív félegyees egy dszu felboás Eor A B { : η A } B S P η A m B elöléseel η η m egymásól függele rméerő Posso-eloszlású ovábbá A árelosz- S S m egymásól függele rméerő összee Posso-eloszlású lásol Q Megegyzés: Nylvávló hogy η ηm összege η ehá árszámo függele árszámo összegére boou Hsoló S Sm összege S Bzoyíás: Cs z állíás elsı felé láu be ehá megmuu hogy η ηm függele Possoo 5

51 5!!!!!!!!! P P P m m m m m m m m m e e e e e m m m η η η η η η Tehá η - Posso-eloszlású rméereel és függelee *** 43 Feld: Tesü úr z 35 feldo A Gyrm Bzosíó Suzu uó CAS- CO bzosíásá r módosí Eddg bzosíáso ezer F örészőe vol Az 994 év árssz szer szerzıdése 93%-áál öré fzeés és fzee áro álg 49 ezer F vol szórás 9 ezer 996-b már cs ezer F-os örésszel lehe szerzıdés ö A bzosíó szl szer z örész élül árszám Posso-eloszlású Ké év l 35%-os flácó feléelezve becsülü meg z 996 év árszám eloszlásá!

52 DÍJKALKULÁCIÓS ELVEK FEJEZET A feeze cél hogy bemusso éháy dílulácós elve és eze uldoság I ocázohoz hározu meg dí Emléezeü rr hogy ocázo mdg emegív vlószíőség válozó érü Feléelezzü hogy ocáz eloszlás smer Megegyezzü hogy ebbe feezebe számur mdegy hogy me ocázáról v szó lehe ez egy szerzıdésé vgy egy módozé vgy ár egy ágzé s A feezebe em lesze llmzáso de zér z ul segíhee gyorlb s ölee dh hogy mlye összdí számolu hogy osszu meg dí szerzıdése özö Természeese cs ocáz eó díl fogllozu Térü á oos defícór Jelölü H-vl emegív félegyeesre ocerál eloszláso hlmzá Dí cs lye eloszlásor hározu meg Defícó: Π dílulácós elv vgy rövdebbe díelv h Π : H H R R Π leéezés Az eloszláshoz redel éré z eloszlás dí A dílulácós elvee ermészees módo érelmezheü vlószíőség válozóo és eloszlásfüggvéyee s Defícó: A Π díelv öveezı dí hározz meg eszıleges emegív ξ vlószíőség válozór és emegív félegyeesre ocerál eszıleges F eloszlásfüggvéyre: Elıször éháy evezees díelve vezeü be Π Π v F ξ : Π Q ξ F : Π Q F ; { } KLASSZIKUS DÍJELVEK A várhó éré elve A legegyszerőbb és leggyrbb llmzo díelv várhó érée luló elv 5

53 Defícó: Π rméerő emegív ξ vlószíőség válozór Π v E mde várhó éré elv h ξ ξ Megegyzés: A rméerő várhó éré elve eó várhó éré elve evez A dílulácós elve rodlmá döı része ú rerzácós éelebıl áll ehá oly éelebıl melye megmodá hogy mlye uldoságo hározzá meg oos z do díelve Ahhoz hogy udu mod várhó éré elv egy fı rerzácós éelé defálu ell folyoos díelv foglmá Defícó: Π folyoos díelv h Π Q Π Q Q ξ Qξ H és E ξ - ξ -ból öveez hogy Π Jelölés: Jelöle δ c c osshoz rozó eloszlás Állíás: A Π díelv várhó éré elv oos or h folyoos δ c Π c Π Q S Π Q Π S mde Q S H eseé Bzoyíás: A várhó éré elv rváls elégí három uldoságo A más ráy bzoyíásáál elıször esü egy ξ véges várhó éréő vlószíőség válozó Eor m udu léeze oly véges so érée felvevı emegívξ ξ válozó melyere ξ ξ és szer v ξ Eξ E ehá Π v ξ Eξ H ξ em véges várhó éréő or szer Π P Π szer Π ξ Π ξ v ξ Π v χ ξ ξ χ ξ > ξ P ξ Π Q P ξ > Π Q ξ ξ ξ ξ > ξ Π Q P ξ E ξ ξ E χ ξ ξ ξ ξ A mooo overgec éel szer ez uóbb g Eξ -hez r ehá vlób várhó éré elvrıl v szó *** v v A mmáls veszeség elve Defícó: Π rméerő mmáls veszeség elv h Π v E ξ su{ : P ξ > > } < < ξ 53

54 mde emegív ξ vlószíőség válozór Megegyzés: A díelv elese érheı meggodoláso lsz gy ár veszélyes z büe ell Kvls elv Defícó: Π ε rméerő vls elv h Π ξ E ξ f{ : P ξ < ε} < < < ε < v mde emegív ξ vlószíőség válozór Megegyzés: A díelv hsoló meggodoláso lsz m mmáls veszeség elve s gy áro "büe" A vls dí meg lehe becsül várhó éré és szórás segíségével: Állíás: H Π ε rméerő vls elv és σ D ξ < or ε ε Eξ - σ Πv ξ Eξ σ ε ε Bzoyíás: Elıször lássu be egy gyo egyszerő lemmá! Lemm: Legye A egy eszıleges ozív vlószíőségő eseméy eor Bzoyíás: { E ξ A Eξ} Ω Ω χ P A A ξ Eξ dp ξ Eξ A χ A P A Ω χ A P Ω ξ Eξ dp { E A Eξ} ξdp P A A ξ σ P Ω ξdp dp A Cuchy Schwrz-egyelıleség m ez sebb-egyelı Ω χ A P A dp ξ Eξ Jelölü z ε vls r ε -l: Ω dp P P A A σ -él *** 54

55 A lemmá z A { < } Π v Eξ { : P ξ < ε} r f ε ξ r ε eseméyre llmzv u ξ E ξ r Eξ E ξ ξ < r Eξ σ ε E ξ ξ < r Eξ Eξ ε ε ε ε σ P P ξ < rε ξ < r mvel P ξ < r ε P ξ r Ez és lemmá z A { } ε ξ r ε eseméyre llmzv u meg z egyelıleség más ráyá: Π v Eξ ξ Eξ r Eξ E ξ ξ r Eξ E ξ ξ r Eξ Eξ ε ε σ *** Szóráségyze elv ε ε ε ε σ P ε P ξ rε ξ r ε Defícó: Π β rméerő emegív ξ vlószíőség válozór Π v E β szóráségyze elv h ξ ξ β ξ Megegyzés: Végele szóráségyzeő ocáz dí végele D mde Szórás elv Defícó: Π rméerő ξ vlószíőség válozór Π v E szórás elv h ξ ξ ξ D mde emegív Megegyzés: A várhó éré elv melle lá ez leggyrbb llmzo díelv Féloldl szóráségyze elv Az elızı é díelv megy várhó éréıl öréı elérés büe Jogos lehe érdés mér büessü z z esee mor ocáz sebb várhó éréél Ez dool öveezı díelv bevezeésé mhez elıbb be ell vezeü féloldl szóráségyzee 55

56 Defícó: D E ξ ξ ξ féloldl szóráségyze : ozív része E Defícó: Π β rméerő mde emegív ξ vlószíőség válozór Π v E β féloldl szóráségyze elv h ξ ξ β ξ D Megegyzés: Vgyáz! A féloldl szóráségyze em ξ E ξ szóráségyzee Egyes eseebe éyelmes lehe öveezı egyelıleség mely várhó éré és szóráségyze segíségével d felsı orláo féloldl szóráségyzere 3 Állíás: Legye ξ orláos vlószíőség válozó ξ M Eξ µ D ξ σ Eor σ σ µ D ξ M µ σ σ M µ Ez becslés éles: eszılegese do µ és σ eseé h < µ < M és < σ < µ M µ mdé oldl becsléshez lálhó oly ξ vlószíőség válozó melyre egyelıség elesül Bzoyíás: A Cuchy Schwrz-egyelıleségbıl dulv I ebbıl z lsó becslés öveez Allmzzu ez mos z Eξ E ξ - Eξ E ξ ξ - Eξ E ξ ξ - Eξ E ξ ξ - Eξ D M ξ vlószíőség válozór: ξ M ξ - EM -ξ ξ - Eξ ezér 4 4 _ D M-ξ σ E ξ - Eξ E M ξ σ M µ Ebbıl D ξ σ E ξ - Eξ σ σ _ σ σ M µ M µ σ M µ Az lsó becslésbe oos or elesül egyelıség h ξ vlószíőséggel ossszoros ξ Eξ - zz ξ mor ξ Eξ és ξ cs egy oly érée vehe fel mely gyobb m E ξ : 56

57 σ µ σ P ξ µ P µ µ σ µ σ ξ Ee megfelelıe felsı becslésbe edg oos or elesül z egyelıség h P σ µ σ ξ µ P µ M M µ σ M µ σ ξ M *** Az eddg felsorol díelve még öbbször elı fog fordul m egyes álláosbb díelve secáls esee és uldoság s meg fogu vzsgál AZ ÁTLAGOS ÉRTÉK ELVE Legye f folyoos és szgorú mooo függvéy [ -e Segíségével hározhu meg öveezı díelve Defícó: H E f ξ véges or z f Ef ξ elv lá számío dí Jelölés: A díelv elölése Π f egyele egyele gyöe ξ álgos éré Megegyzés: Az elevezés gyo hsolí várhó éré elvre e évesszü össze! A leárs függvéyehez rozó díelv eó várhó éré elve d vssz cs z érelmezés romáy szőebb Defícó: Az eoecáls függvéyhez rozó ξ l{ E e ξ } Π v díelv z eo- ecáls elv > Jelölés: Jelölü B-vel orláos ocázohoz rozó eloszláso hlmzá és Bv -vel orláos vlószíőség válozó összességé A öveezı állíás mu hogy mor egyez meg é álgos éré elv Állíás: Az f és g folyoos szgorú mooo függvéyehez rozó díelve oos or egyeze meg orláos ocázo hlmzá h léez oly és β oss hogy g βf [ Bzoyíás: H g és f egymás leárs rszformál or mdeξ Bv -re β f β E Π v ξ g g Π v ξ g Eg ξ f ξ β f Π ξ f Ebbıl dód é díelv megegyezése hsze β és f szgorú mooo v 57

58 A más ráy bzoyíásáál elıször rögzísü < osso és eze segíségével vegyü öveezı ξ véges vlószíőség válozó: Jelölü e ocáz díá -vel: P ξ P ξ ξ f Π ξ g Πv v A várhó éré zol számolhó: Ef ξ f f Mvel álgos éré elvrıl v szó ezér f f f Ebbıl feezheü -: f f f f Vegyü egy eszıleges - és legye f f s f f Mvel f szgorú mooo ezér s [] Így formul szer f s f s f f Mvel f szgorú mooo ezér formulából s Mdezee felírhu vol g-re s így g s g s g g Tehá eszıleges eseé f f f f g g g g Így [ ] ervllumo g β f H ebbıl < or β f g f β β f β és így f szgorú moooás m β β mvel beláu z állíás *** A öveezı állíás segí ülöbözı függvéyehez rozó dí összehsolíásáál 58

59 Állíás: Az f és g folyoos szgorú mooo övı függvéyehez rozó díelvere Π v ξ f Π ξ g ξ B v v oos or h h g f függvéy ove Bzoyíás: A Jese-egyelıleség egyszerő öveezméye hogy egy h függvéy oos or ove h h ξ E h ξ ξ Bv E llmzzu z egyelılesége egy ééréő emegív vlószíőség válozór! H h ove or Mvel g szgorú mooo ezér g E Π v ξ f g f [ E f ξ ] h[ Ef ξ ] h f ξ E g ξ g Π ξ g Π v ξ f Π v ξ g ξ Bv H ez uóbb egyelıleség elesül or mde ξ Bv eseé: h g g f E f f ξ g Π v f ξ f g g E g f ξ E h ξ Eξ g f Eξ Π f ξ g v Így Jese-egyelıleség öveezméye szer h ove *** v Az álgos éré elv rerzácó A vlószíőségszámíásb vlószíőségeloszláso és válozó öbbf részbe redezése s smer Neü ovábbb öveezıre lesz szüségü Defícó: ξ < η szochszus sebb h E w ξ E w η mde em-csöeı w függvéyre s A öveezı állíás mu hogy redezésüe meghározhu vol más módo s 3 Állíás: A öveezı három állíás evvles: ~ léeze oly ξ d ξ és ~ η d ~ η vlószíőség válozó melyere ξ ~ η vlószíőséggel ξ < η s F F ξ η 59

60 Bzoyíás: Teszıleges vlós -re legye w χ [ Mvel ez emcsöeı ezér ~ Legye Ω A ~ Ew ξ Ew η F F eloszlásfüggvéye álláosío verze: ~ ξ ξ F su s F s ξ η ~ Lebesgue-mérheı hlmzo P Lebesgue-méré Vegyü { } ξ : < ~ η η { } η F su s : F s < M ól smer eze függvéye m vlószíőség válozó eloszlásfügvéye o z erede eloszlásfüggvéye Mvel ezér F ξ F η ~ F F ~ ξ η η ξ ~ ~ *** Nylvávló hogy E w ξ Ew ξ Ew η Ew η Mos már modhu rerzácós éelüe Téel: A orláos ocázoo érelmeze Π díelv oos or egy szgorú mooo övı függvéyhez rozó álgos éré elv h öveezı feléele elesüle: H ξ < η és ξ Fη s Π c c δ c H Q Q3 F or ξ < Π η Π v v Q orláos ocázohoz rozó eloszláso és Π Q Π Q or eszıleges [] -re Q Q Π Q Q Π 3 3 Megegyzés: H belegodolu or z elsı é uldoság elese ermészees Hsze 'gyobb' ocáz gyobb dí ár bzos fzeés dí eó! ömg Az erıs megszoríás hrmd uldoság mely szer egy zoos díúr öréı 'csere' em ell hogy válozsso dío Bzoyíás: H Π álgos éré elv or öveezıe modhu ~ H ξ < η és Fξ Fη or z elızı állíás szer léeze ξ d ξ és ~ η d η vlószíőség 6 s ~ válozó melyere ξ ~ ~ η vlószíőséggel és P ξ <η~ > Ebbıl Π f v ~ ξ f Ef ξ f Ef ξ < E ~ f η f Ef η Π η I felhszálu z hogy f szgorú mooo ı v

61 6 Ez uldoság ermészeese elesül: c c f f c Π E δ H Q Q Π Π or { } { } { } { } Q Q dq f dq f f dq f Q f f dq f Q f f dq f dq f f Q Q Π Π Π Π mvel z egy ráy beláu Tegyü fel mos hogy elesüle z uldoságo és rögzíe > melle vezessü be öveezı R :[] ϕ függvéy: δ δ ϕ Π m ϕ szgorú mooo ı m ϕ ϕ Megmuu hogy függvéy folyoos s m eszıleges ] [ q -re δ δ ϕ δ ϕ q q q q Π Π Így már llmzhu - öveezı szereoszásb: 3 Q q q Q Q r q ϕ ϕ δ δ δ δ Ebbıl [ ] r r q q q ϕ ϕ ϕ δ δ δ δ δ Π Π Mos legye 3 q q Q r r Q Q r δ δ δ δ δ ϕ Meg - llmzv u hogy [ ] [ ] r q r q r q r r q q r q Π Π Π ϕ δ δ δ δ δ δ δ δ ϕ ϕ Tegyü fel dre módo hogy ϕ egy ob obbról em folyoos: ε ϕ ϕ ε < lm Ebbıl és -bıl ε ϕ ε ϕ δ δ δ δ δ δ ϕ ε ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Π < Π Π

62 6 Tehá eszıleges -re függvéyü / ob sem folyoos m ellemodás mer egy mooo függvéye legfelebb megszámlálhó so szdás helye lehe Telese hsoló módo muhó meg hogy függvéy blról s folyoos Jelölü f -vl ϕ verzé Eor δ δ ϕ δ u f u f u f u u Π Π 3 -ból öveez eles ducóvl hogy h Q Q Π Π és or Π Π Q Q Ebbıl és 3-ból ] [ c -re [ ] E ξ ϕ ϕ δ δ δ δ δ c f c f c f c f c f c f Π Π Π hol c P ξ H ξ eszıleges vlószíőség válozó or léeze oly ξ ξ ξ válozó melye véges so érée vesze fel és f f f E E E ξ ξ ξ Eor z elızıe szer ξ ξ ξ Π Π Π és f f f f ξ ξ ξ ξ Π Π E E Így E E E Π Π Π Π f f f f f f f ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ Tehá E E ξ ξ ξ ξ f f f f Π Π 4 A függvéy még függ -ól és érelmezés romáy sem z egész emegív félegyees Ez roblémá zob már öyő megold

63 H < b or u < -r Π f u f u f u f fb u fb δ δ b 4 Ebbıl < b -re Legye u > -r fb u f u f fb f u fb f u f f f f f f b b f u f u > m u f b Az elızı zoosság szer ez érelmes meghározás ovábbá f folyoos szgorú mooo övı függvéy és 4 m f Π ξ Ef ξ mde orláos vlószíőség válozór *** Elég ermészees feléele ő hogy egy ocázo oss hozzádásávl övelve dí oos ezzel osssl válozzo meg Defícó: A Π díelv elolásvrás h c > Q Q H -bıl öveez hogy Π c Π ξ c ξ v v ξ ξ c A öveezı éel mu hogy z álgos éré elve özül cs evés elolásvrás Téel: Az f függvéyhez rozó álgos éré elv oos or elolásvrás h függvéy leárs vgy eoecáls Bzoyíás: Kod Bece házfeld megoldás lá H f leárs or díelv eó várhó éré elv mely ylvávló elolásvrás H másrész or Π v f d d e ξ c f Ef ξ c log E e ξ c E e ξ e c log E e ξ c Π ξ c log v Π A más ráy bzoyíásáál elıször rögzísü < osso és eze segíségével vegyü öveezı ξ véges vlószíőség válozó: P ξ P ξ ξ A várhó éré zol számolhó: Ef f f ξ c f c f c Ef Mvel álgos éré elvrıl v szó ezér 63

64 Π ξ f f f Π ξ c f f c f c v v Ebbıl z elolásvrc m [ f f f c] f c f c f 5 Mvel f szgorú mooo ezér léez oly < < hogy f f f Allmzzu 5-ö c -r: f f f f f 3 f f 3 f 3 f f Ebbıl f 3 f f f f f f f 5-ö c -r llmzv hsoló u hogy f 4 f 3 f 3 f f 3 f f f f f f f Teles ducóvl dód hogy f f f f f f f f 6 Allmzzu 6-o helyébe - írv 3-r! Ebbıl Így f Tehá f f f 3 f 3 f f f 3 f f f f 3 f f f f r 3 r 3 r f f f f f f f f r f f 3 r r f f r r f f r f f f f f f f f 7 f f I felhszálu hogy f szgorú mooo és így r > Legye g folyoos szgorú mooo függvéy mely szé elégí 6-o és 7-e ovábbá f g f g f g 7-bıl öveez hogy 64

65 g f ovábbá eles ducóvl f g eles ducóvl u hogy f m m m g m m m egészre Így 6-ból meg egészre Tehá f g emegív félegyeese Mos már meg udu mu hogy f vlób leárs vgy eoecáls függvéy Eze függvéye elégí 6-o és 7-e mvel hozzáu rozó álgos éré elv m láu elolásvrás H f f f f or oos egy oly és b léez hogy f b -re Így z elızıe szer f b H f f f f or z f f f f l d d f d f f e válszássl f de d és így f d e d *** Az elızı éele egyszerő öveezméye z lább éel 3 Téel: A orláos ocázoo érelmeze Π díelv oos or eó várhó éré elv vgy eoecáls elv h öveezı feléele elesüle: H ξ < s η és ξ Fη Π δ H Q Q3 eszıleges [] -re F or ξ < Π η Π v v Q orláos ocázohoz rozó eloszláso és Π Q Π v Π elolásvrás Q Q Π Q Q Π 3 3 Q or 3 ELMÉLETI DÍJELVEK A öveezı díelvee gyorlb evésbé hszálá ezér m s cs érılegese fogllozu velü A ovább részleere ívács [4] vgy [9] ulmáyozásá vsolu A zéró hszosság elve 65

66 Tegyü fel hogy bzosíó döése egy oly u : R R dfferecálhó hszosság függvéy llmzásá lul melyre öveezı elesüle: folyoos emcsöeı b u csöeı és u c u Ee segíségével hározhu meg ú díelvüe Defícó: Az E u ξ egyele gyöe ξ zéró hszosság elv lá számío dí Megegyzés: Az elevezés em ele z hogy bzosíó em lesz hsz! 3 Péld: Az u válszássl eó várhó éré elve u vssz 3 Péld: Az u e függvéy z rméerő eoecáls elve d A öveezı é feld megoldás segíhe díelv megérésébe 3 Feld: Mussu meg hogy orláos ocázor léez zéró hszosság dí! 3 Feld: Legye f szgorú mooo övı folyoos és u egy hszosság függvéy Mussu meg hogy eor hozzáu rozó álgos éré lleve zéró hszosság díelv oos or egyez meg orláos ocázo hlmzá h f b f b y u y b m y f b A svác dílulácós elv A svác elv álláosí md z álgos éré md zéró hszosság elve Legye f folyoos szgorú mooo függvéy R-e ovábbá z [] Defícó: Az Ef z f z ξ egyele gyöe ξ svác díelv lá számío dí Jelölés: A díelv elölése Π f z Megegyzés: A díelve vlószíőleg semm öze scs sváchoz A z válszássl z álgos éré elve u vssz 3 H z f és u f hszosság függvéy or zéró hszosság elvéhez uu 33 Feld: Mussu meg hogy orláos ocázor léez svác díelv lá számío dí! 66

67 Veszeségfüggvéy elv Természees hogy egy ocáz dí és éylegese beöveeze ár gyo rá es egybe Az elérése ülöbözı ár oozh H gyobb ár m dí z ersze veszeség bzosíó De bzosíó vgyáz rr hogy dí e legye sol gyobb m éyleges ár hsze így elveszíhe ügyfele A veszesége modellezésére hszálá z ú veszeségfüggvéy: L : R R R Ee függvéye segíségével hározzu meg z lább díelve melybıl secáls eseé öbb orább elve s vsszu Defícó: A EL ξ lá számío dí függvéy mmumhelye ξ ocáz veszeségfüggvéy elv Jelölés: A díelv elölése Π L dí H Az lábbb éháy secáls veszeségfügvéyre felíru segíségüel o L or dí eó várhó éré dí L e e függvéy d rméerő eoecáls elve d d d Az 3 H L ε ε or h EL ξ ε Eξ ε Fξ d ε Fξ d εeξ Ee mmumhelyére dód hogy: F ε F ε zz z ε rméerő vls elve u meg 4 Legye L h e Eor v hξ E ξe ξ L hξ E e Π Defícó: A fe veszeségfüggvéyel o dí Esscher-dí evez 34 Feld: M lesz dí h L? 35 Feld: Mussu meg hogy h L veszeségfüggvéy u vszo hszosság függvéy és L u 67

68 or z állu meghározo díelve megegyeze! 4 DÍJKALKULÁCIÓS ELVEK TULAJDONSÁGAI A feezebe eddg öbbf díelve defálu és vzsgálu eze uldoság Ebbe z lfeezebe összefogllu z eddg o eredméyee mözbe ú szemoo szer s vzsgálu díelvee Megegyezzü hogy 3 számú függelébe egy összefoglló ábláz lálhó evezees díelve uldoságról A várhó éré úlléése és o-roff feléel Ké ermészees uldoságról v szó A bzosíó várhó árál mdeée gyobb dí ívá beszed vszo szerzıdı em fog öbb dí fze m leheı leggyobb ár E ξ Π ξ ξ: Q H Defícó: A Π várhó érée úlléı díelv h v Π Defícó: A Π díelv elesí o-roff feléel h Π v ξ { : P ξ > > } ξ: Q H Π su Eze uldoságo álláb gyo öye elleırzheı Például rögö lász hogy várhó éré szórás és szóráségyze elv várhó érée úlléı A vls elv vszo már em bár eszıleges véges várhó éréő ocázhoz válszhó oly ε hogy ocáz ε rméerő vls dí meghld várhó éréé A állíásból öveez hogy z álgos éré elv oos or várhó érée úlléı h függvéy melye megfelel ove Az s rögö lász hogy zéró hszosság elve s várhó érée úlléı 4 Feld: Mussu meg hogy egy ove függvéye megfelelı svác díelv várhó érée úlléı ξ ξ A várhó éré elve özül cs eó elesí o-roff feléel A szórás és szóráségyze elv sem elesí ez feléel egész érelmezés romáyá ersze mde ocázhoz lálhó oly rméer hogy dí megfelelı legye Nylvávló svác díelv így z álgos éré és zéró hszosság elve s elégí o-roff feléel 68

69 Redezésmegrás Ezzel uldosággl már lálozu z álgos éré elv rerzácóáál Természees öveelméy bzosíásb: gyobb ocáz gyobb dí Defícó: A Π díelv redezésmegró h ξ < s ξ -bıl öveez hogy Π Π v ξ : ξ ξ Q Q H Π ξ v ξ ξ Az álgos éré elvrıl udu hogy redezésmegró Nézzü meg öbb díelve s! 4 Feld: Redezésmegró-e z Esscher- zéró hszosság és svác díelv? Homogeás Természeessége elleére so vá z lább uldoság szüségességé Defícó: A Π díelv homogé h Π v cξ cπ v ξ c ξ: Q Qc H Π Mér vá e uldoság szüségességé? Tegyü fel hogy egy ember é blese hlálr szóló bzosíás ö Az egy övéy bzosíás összege F másé mlló F Bzos vgyu-e bb hogy másod bzosíás díá z elsı ezerszeresée ell lee? Ebbe egyállá em leheü bzos Ugys h ez elesüle or ülöbözı bzosíoú és F-os bzosíás összegő bzosíás ocáz összdí megegyeze mlló F-os bzosíás összegő bzosíás ocáz díávl mözbe ez uóbb ocáz sol gyobb szóráségyzee A bruó dí eseébe vszo z ellee fgyelembe ve hogy egy szerzıdés ölsége álláb sebb m szerzıdésé A hgyomáyos díelve örébe homogeás elleırzése gyo egyszerő Más eseebe zob lehe boyolulbb s m mu öveezı feld s 43 Feld: Legye f folyoos szgorú mooo függvéy R-e ovábbá z [] Mussu meg hogy eor Π f z oos or homogé h ξ ξ hol eszıleges β γ r > r β f r γ < Addvás és elolásvrc 69

70 Az elolásvrcá már orább defálu z ddvás eél erısebb uldoság Defícó: A Π díelv ddív h mde függele ξ és ξ -re melyre v ξ ξ Π ξ Π Π v v ξ Q ξ Q Q H ξ ξ ξ Π E uldoság megöveelése s erıse éséges hsze z ember érz hogy mél öbb függele ocáz v egy bzosíó ál lcsoybb dí ud megállí Klszszus díelvere meg egyszerőe elleırzheı e uldoságo meglée vgy háy Például rögö lász hogy szórás elv elolásvrás de em ddív szóráségyze elv vszo ddív Az álgos éré elvrıl éelbıl udu hogy oos mor elolásvrás Megegyezzü hogy éelbe z elolásvrcá felválhá z ddvásr mer eó várhó éré elv és z eoecáls elv s ylvávló ddív A zéró hszosság elve elolásvrás de em mde esebe ddív m öveezı éld mu 44 Feld: Tegyü fel hogy u észer derválhó hszosság függvéy Mussu meg hogy eor megfelelı díelv oos or ddív h függvéy leárs vgy eoecáls! 45 Feld: Mor lesz egy svác díelv elolásvrás? Ierálhóság Mde egy cse vlószíőségszámíás s ul emlész eles várhó éré éelre: [ E ξ η ] Eξ E Ee megfelelıe díelvere öveezı uldoság mely em díelv rlmár l bzoságosság hem számíás egyszerőségére vooz Defícó: A Π díelv erálhó h Π v Π Q Π v ξ ξ η: Qξ Q H ξ η ξ η Π Jelölés: Π ξ η Π Q v ξ η Hogy egy c megvlágísu "feléeles dí" foglmá esü öveezı éldá: 43 Péld: Egy bzosíó beöréses loás elle bzosíáso d el Kuuy városáb Már 9 éves árszlu v és öveezıe fgyelé meg A városb öréı éves beörésszám z do évee megá redırségıl ól özelíheı / rméerő bomáls eloszlássl H városb η y beörés v or vlószíősége 7

71 y hogy bzosíó egy szerzıdéséél ár v H v ár or gyság várhó éréő eoecáls eloszlású A bzosíó dí / rméerő szóráségyze elv lá hározz meg Nézzü meg m lesze dí: Ebbıl Q y y δ Q ξ η y e y ξ η y E y és D y η y 4y y 8 4y ξ Tehá "feléeles dí" y y y 8 4y y Π ξ η 8 y 5 η Így z "erál dí" számíásáál 8η -re ell dí számolu megy elfeledezheü bzosíó sá ocázáról elég eü beörése számá smeree De m 5 számolhu feld! ez dí em fog megegyez ξ -re számol díl Tehá márs lálu oly díelve mely em erálhó Hsoló em erálhó vls és szórás elv sem Ezzel szembe z álgos éré elv erálhó hsze Π f v [ η ] f [ E f { f [ E f ξ η ]} ] [ E f { Π ξ η }] Π Π ξ η ξ f [ Ef ξ ] f E E f ξ v v v Egy s megszoríássl megfordíás s gz: 46 Feld: Tegyü fel hogy orláos ocázoo érelmeze Π díelvre eszıleges > -r φ q Π qδ q δ függvéy folyoos és szgorú övı ovábbá φ φ Eor díelv oos or erálhó h álgos éré elv Szubddvás Az ügyfél és bzosíó szemoából s ermészees hogy é bzosíás díá h együ öü ıe sebbe ell lee m h ülö öü ıe Defícó: A Π díelv szubddív h mde ξ -re és ξ -re melyre v ξ ξ Π ξ Π Π v v ξ Q Q Q H ξ ξ ξ ξ Π 7

72 Mdár lász hogy várhó éré és szórás elv szubddív Vgyáz ell zob hogy z ddvásból em öveez szubddvás Ez z lább éld mu melybıl derül hogy z eoecáls elv em szubddív 44 Péld: Egy férf egy évre szóló ocáz élebzosíás ö Hldóság vlószíősége 534 Legye ξ mlló F bzosíás összeg melle fzeés A díszámíás ξ rméerő eoecáls elv lá öré: ξ Π ξ l e és ξ ξ l e Π Π Tehá mlló F bzosíás összegő bzosíás dí gyobb m észer mllósé A éldából zér z s lász hogy szubddvás megöveelése sem elese egyérelmő hsze ocázocerácó s büe ellee A feezee összefogllv: remélheıleg ez rövd s smereı s megmu hogy cs és em s lehe öélees díelv mdg örülméyee legobb megfelelı ell válsz Többe öveezı módszer rá leggyrbb llmzhó: olleív dí számíás örée szórás feloszás edg eoecáls vgy szóráségyze elv szer 7

73 3 FEJEZET CREDIBILITY ELMÉLET ÉS A TAPASZTA- LATI DÍJSZÁMÍTÁS Egy bzosíás memus gyr erül szembe zzl roblémávl hogy meyre vehe fgyelembe bzosíó sá szlá és meyre ell ámszod más bzosíó redelezésre álló dr Ehhez hsoló roblém mor szerzıdése díoszályob v sorolv és elıfordulh hogy egy-egy díoszályb evés szerzıdés v és el ell döe hogy díoszály díá mlye mérébe hározz meg sá árszl Ilye feldo eseébe yúh eleıs segísége credbly elméle m végül s em más m bzosíás mem byes megözelíése éldá Hogy elézelü feezebe elıforduló roblémá ellegé esü öveezı 3 Péld: [] 64 oldl éldáához hsolí Egy bzosíó géármő-bzosíás r beveze A dí árgyorság lá hározz meg ehhez é évvel ezelı ublus országos do hszál fel m 96 A bzosíó vezeısége úgy érz hogy bzosío árszámá álgos érée gy vlószíőséggel em ér el eıl 5%-ál öbbel A mőödés elsı évébe bzosío géocs álgos szám 53 áro szám 97 vol Becsülü meg bzosíó bzosío árszámá álgos éréé! Fogdu el öveezı feléelezés z éld öveezeése egy c hsolí erre: mde egyes vezeı árszám θ rméerő Posso-eloszlású rögzíe θ melle feléelese függelee A θ rméer mely bzosíóé váloz mg s vlószíőség válozó méghozzá gmm-eloszlású Feldu ehá becslés d θ -r Jelölü η -vel z szerzıdés árszámá és róbálu formáls felír smereee: q q e P η θ q! f θ s s s e s > Eθ 96 Dθ Γ 5 Eθ 73

74 I lá cs z ell megmgyráz hogy mér veü eye θ szórásá A mgyráz gyo heurszus A bzosíó vezeısége szer bzosío árszámá álgos érée gy vlószíőséggel em ér el 96-ól 5%-ál öbbel Máredg h szórás fe or Csebsev-egyelıleség szer m már "gy vlószíőség" Ebbıl θ gmm rméerere D θ θ 75 Eθ 5Eθ P 5Eθ Íru fel Byes-formul segíségével θ feléeles sőrőségfüggvéyé: f θ c s η η P s s e η η θ s P η η fθ s Tehá θ feléeles eloszlás s gmm-eloszlás θ rméereel így felée- les várhó érée E η η Eseübe feld θ ehá Posso-rméer becslése vol ez megeheü feléeles várhó éréével megbecsülve: ˆ θ m orább 96-os éréél eleıse gyobb ezér bzosíó díemelésre éyszerül Meg ell egyez hogy z elıbb becslés erıse befolyásol θ rméer szórásá részbe öéyes becslése Például h ez szórás felére csöeü or árszám álgos éréée becslése 8-r módosul A éld eseébe felmerülhe z érdés hogy egyállá szüségese-e z országos do egy éves megfgyelés uá Ez vgys hogy elegedıe-e sá d megfelelı becsléshez vgy döéshez mdg el ell döe H sá árszl elegedı or z így o becslés eles credbly becslése evez 74

75 3 Credbly modelle Feléelezzü hogy egy szerzıdéshez vgy szerzıdése egy csoorához rzórméer roz mely eleıs mérébe befolyásol ocáz rméere A rzórméer eloszlásfüggvéyé U-vl elölü Vzsgálu meg legegyszerőbb modell Bühlm-modell erede Tegyü fel hogy z ocázo rögzíe θ rzórméer melle feléelese függelee zoos eloszlású Vezessü be öveezı elölésee: µ σ q E θ q m E E µ θ D [ E θ ] D [ µ θ ] q D θ q s E[ D θ ] E σ θ A feld: mél oosbb meghároz θ vgy vlmlye h függvéyée éréé z megfgyelése lá A legfoosbb θ µ becslése H oosságo égyzees eléréssel mérü or h θ legobb becslése feléeles várhó éré lesz: h θ E Ee feléeles várhó érée credbly elmélebe más eve s d Defícó: h θ θ E h credbly becslése A feléeles várhó érée Byes-formul segíségével számolhu m éldául 3 éldáál m sos em végezheı el mdg öye Ezér gyr megfgyelése leárs ombácó özö eressü legobb özelíés A öveezı állíás ól smer és ól llmzhó 3 Állíás: s cov µ θ cov δ Bzoyíás: Azoos álíásol u hogy E E E E E E θ θ E θ E θ E E δ D θ cov E θ E θ δ s cov E cov Hsoló dód z állíás más része s *** A öveezı éel evezheı credbly elméle léelée elleére hogy egyszerő E öveezméye ól smer öbbdmezós ssz eredméyee E 75

76 3 Téel: A leárs g c c c lú függvéye özö z θ g E µ várhó érée függvéy mmlzál Defícó: g z z m z s z z m µ θ leárs credbly becslése Megegyzés: A z rméer Bühlm-for evez A éel más szvl z mod hogy várhó éré becsléséél z-edrészyre ell fgyelembe ve sá szlo luló becslés ez és -z-edrészyre z álláos érée ez m Bzoyíás: Az E θ g m c rméere függvéyé! f c µ várhó érée ell mmlzálu Íru fel ez µ θ g E µ c c c c c E θ Ebbıl zol dód hogy c m Így mmlzáldó függvéyre 3 állíás felhszálv u hogy f c c c D µ θ c c c c c cov µ θ cc cov s δ c cc s c Ez válozó szer derválv u öveezı egyeleredszer: Ez álív dód hogy c c s c s c c c c c *** s Megegyzés: H θ hsze ovrcá µ helye -e ru megbecsül or becslésü ugyz lesz -vel ugyzo 76

77 3 Péld: A Secál Bzosíó eleıs szlol redelez géármőfelelısségbzosíás erüleé Eze szlo szer z egyes díoszályohoz rozó áro md eoecáls eloszlású cs z eloszlás rméere függ díoszályól A rméer θ -vl elölve 5 díoszály öbbév megfgyelése öveezı eredméy d ezer F-b E 34D θ θ A bzosíó 994-be egy ú díoszály vezee be ereárór Ebbe z évbe 7 áreseméy öré áro álg 49 ezer F vol Becsülü meg díoszály áro várhó éréé! Allmzhu 3 éel elleére hogy ebbe z esebe ároról és em ocázoról v szó de éel feléele eze s elégí A éel elölésevel m 34 s E µ θ θ A Bühlm-for eor 7 z 685 s 56 7 Így ereáró ár várhó éréére becslésü z 49 z ezer F A fe modell gyo leegyszerősíe de segíségével credbly elméle obb megérheı Térü á öbb modell vzsgálár θ Bühlm-modell lsszus Tegyü fel hogy elemő veszélyözössége fgyelü meg éve ereszül A -ed szerzıdéshez rozó megfgyelése: T A megfgyeléserıl é duló feléelezésü v z elsı elölü B-gyel és öveezı mod: E r θ q µ q r T θ q E[ µ q µ q θ q] σ q I cov hol I dmezóú deásmár másod B-vel elölü: θ θ függele zoos eloszlású válozó 77

78 Tehá feléelezzü hogy szerzıdése függelee beleérve szerzıdésehez rozó rzórméeree s Természeese ez modell llmzhu más szereoszásb s éldául hogy em veszélyözössége vzsgálu hem drb bzosíó és θ -ed bzosíóhoz rozó rzórméer Megru elızı ou elölése: µ σ [ θ ] D [ µ θ ] q E r θ q m E r E µ θ D E r q D θ q s E[ D θ ] E σ θ r r Célu mos s rzórméere mél oosbb meghározás Az elsı állíás z mu hogy özös várhó éré m smeree eseé µ θ becsléséhez elegedı -ed szerzıdés árszl 3 Állíás: A leárs g c cr r lú függvéye özö z θ g E µ várhó érée függvéy mmlzál r g z z m z s Megegyzés: Az állíás z mod hogy -ed szerzıdés várhó éréée becsléséél z- edrészyre ell fgyelembe ve szerzıdés sá szlá luló becslés ez M és -z-edrészyre z álláos érée ez m Bzoyíás: Fesü z E θ g E µ θ g E µ θ E µ θ E µ θ m r µ várhó érée: m m c m c m c D c m c r c r r r r c r r c r r r c r r r r m r r r Rögö lász hogy e feezés mmlzálás eseé c r - ell válsz Így feldu vsszvezeü 3 éel eseére és megu állíásu *** r c r θ 78

79 Álláb em smerü özös várhó érée m-e ezér ülööse foos öveezı éelü 3 Téel: A leárs g cr r lú függvéye özö z E θ g r E r feléel melle r µ várhó érée z c r θ µ θ g z z r függvéy mmlzál Megegyzés: Az állíás z mod hogy -ed szerzıdés várhó éréée leárs credbly becsléséél z-edrészyre ell fgyelembe ve szerzıdés sá szlá luló becslés ez M M M r és -z-edrészyre z összes megfgyelés álgá ez Bzoyíás: A éel feléele szer feléeles mmumhelye ell eresü hol feléel r r lú Íru fel z függvéy m mmlzálu ell: f c E µ θ E µ θ E µ θ g E µ θ m r c 3 m m c r r m E cr r m r c r r r I felhszálu c együhór e 3 feléel és B feléel Allmzv 3 állíás u hogy f c 3 feléelü szer r c r cr cr c c r r r r s r r 79

80 g c c r r Allmzzu Lgrge-féle mulláor módszer feléeles mmumhely meghározásár! Eor egyeleredszerü öveezı lesz H or Ebbıl f g cr s c r c c r r r cr c r s Tehá ez z együhó em függ r-ıl Ezér 3 cr c így 3-bıl H or c / s r f g c r s c r c c r r r Ebbıl c r c r s 33 A feehez hsoló özveleül dód hogy Behelyeesíve 3-be u hogy mbıl c r c / s r / s s c r s s s m o éelü állíásá d*** 3 Péld: A Vdé Bzosíó 5 állbzosíás módozo mővel z uóbb 7 évbe Felé- 8

81 elez hogy -ed módoz árráy %-b feezve z r-ed évbe m -rel elö- lü N c r m eloszlású és árráyo elesí B és B feléel Más módozo szlr ámszodv úgy godolá hogy D m Ec 5 A ehébzosíás árráy eddg álg 7% z összes állbzosíás eddg árráy álg 9% vgyáz ez em z összesíe árráy! Adu leárs credbly elıreelzés ehébzosíás árráyá övı év éréére! M már emlíeü erese credbly elıreelzés megegyez ehébzosíás árráy várhó éréée credbly becslésével így llmzhu 3 éel E éel elölésevel µ m c m D µ m c σ u v D s E r m u c v v σ m c Ec 7 5 M 7 M 9 D m A Bühlm-for eor 7 z 9333 s 7 Tehá elıreelzésü ehébzosíás árráyár zm z M 733 Még lsszus Bühlm-modell s cs secáls eseebe llmzhó A öveezı modell már óvl álláosbb mözbe szüséges mem eszözö ugyzo mrd Bühlm Srub-modell Trsu meg z elızı o elölése A lsszus Bühlm-modellhez ées B feléel váloz meg B léyegébe válozl mrd Az ú feléel BS-gyel elölü és ez öveezı mod: E θ q µ q r r σ q θ q δ r cov r w r r A BS feléel B feléel BS-e megfelelı érelemszerő módosíás: θ válozó függelee θ - zoos eloszlású 8

82 Hogy elehe meg ez modell? Például h θ rzórméerhez z r-ed évbe w r szerzıdés roz és eze eredméyée z álgá elölü r -rel Vezessü be z lább elölésee: w w w z M z r w r z z z M r M r s w r w Lássu be öveezı feldb szerelı állíás! 3 Feld: Tegyü fel hogy elesül BS és BS feléel eor smer m eseé µ θ leárs credbly becslése z m z M H m em smer or leárs credbly becslés M z z M 3 Feld: Allmzzu z elızı feldo rr z esere mor feléelezzü hogy díoszály ár eloszlás eoecáls és becslés ru d díoszályáro várhó éréére! 3 Tszl díszámíás Az elızı lfeezebe z eddg árszlo lá becsülü meg E ξ θ - hol ξ éldául öveezı év ocáz θ edg hozzá rozó rzórméer Dílulácós szemoból eve ezzel ocáz eó várhó éré elv lá számío díá becsülü meg Defícó: ξ leárs eó szl dí µ θ E ξ θ leárs credbly becslése A dílulácós feezebıl udu hogy várhó éré elve ívül még so más díelv léez A szl díszámíáshoz m veszeségfüggvéy elve válszu melye öbb evezees díelv s secáls esee A ovábbb rögzíü ξ ocázo θ-vl elölü hozzá rozó rzórméer és -szel z eddg árszlo H rzórméer érée smer or veszeségfüggvéy elvvel számol dí: ξ Lθ q mhely[ E L ξ q ] D q Π θ * v 8

83 A szl dí meghározásár öbb vsl s v ezee lább felsorolu z elevezése em álláos elfogdo Defícó: A ξ ocáz szl dí z szl eseé [ L D d ] d* mhely E * θ d Megegyzés: Vegyü részre hogy szl dí ugyz veszeségfüggvéy hározz meg m mely z erede dí Ez em szüségszerő hsze z "gz" díól vló elérés em feléleül úgy ell büe m ocázól vló elérés Defícó: A ξ ocáz Byes-dí z d szl eseé [ E L d θ ] mhely E L d [ ] mhely E ξ ** ξ d d Megegyzés: H veszeségfüggvéy L or szl és Byes-dí megegyez eó szl díl hsze eor mbıl Π ξ L Eξ D q Π ξ Lθ q E ξ θ q * v v [ E ξ θ d ] E[ E ξ ] d mhely E θ * d m o eó szl dí Másrész d ** mhely E E d mhely d mhely[ E E L ξ d θ ] mhely[ E E ξ d θ ] d d [ ξ θ de E ξ θ d ] [ de E ξ θ d ] E E ξ θ d Defícó: A ξ ocáz leárs szl dí z ld g * hol g leárs függvéye özö mmlzál z feezés L g E ξ * szl eseé Megegyzés: A leárs szl dí formlg Byes-díhoz áll özelebb ezér leárs Byes-dí s evez 3 Péld: Tegyü fel hogy z ocázo elesí z erede Bühlmmodell feléele ovábbá rzórméer gmm-eloszlású ocázo feléeles eloszlás Posso mde árr ugyy fzee: 83

84 84! P e q q q θ > Γ q e q q f q θ Hározzu meg eoecáls szl díá szl: T veszeségfüggvéy: e e L γ γ! Ismer rzórméer melle dí γ γ θ γ γ γ γ E l * e q e q q e q D Az éldából udu hogy NB eloszlású vlószíőség válozó emléezzü rá hogy gmm-everıő everé Posso-eloszlás egív bomáls Így γ rméerő eoecáls dí: γ γ γ γ γ γ e e e v Π l l l E l A 3 éldából udu hogy θ rzórméer feléeles eloszlás z feléel melle meg cs gmm-eloszlás rméereel Mdezebıl szl dí [ ] l l l e E l e e E mhely E mhely * γ γ γ γ γ γ γ γ γθ γ γ γ γθ γ θ e e e d e d e L d d d 3 Feld: Hározzu meg z elızı éldár leárs szl és Byes-dí! 3 Feld: Hározzu meg z Esscher- leárs szl dí z erede Bühlmmodellbe! Összefogllv feezee: z e eredméye muá hogy még rövd szl vgy s veszélyözössége eseé s fgyelembe ell ve sá d

85 4 FEJEZET BÓNUSZ RENDSZEREK A bzosíó elem érdee hogy érdeelé egyé bzosío ár elháríásáb Külööse géármő-bzosíáso eseé vezeı óvosság gy szeree ász ármeességébe H vl ár ooz és ezuá öbb dí ell fzee ésıbbebe lá óvosbb lesz A bzosíó megfgyelé z s hogy orább evesebb ár oozó álláb ésıbb s evesebb ár ooz ez em bzos hogy bzosío vseledéséıl hem éldául csooros blesebzosíás eseé mu ellegéıl függ Eze meggodoláso vezee ülöbözı díegedméye dívsszéríése és díövelése redszeree lulásához melye legfıbb íus fogllu össze gyo rövde 4 KÁRMENTESSÉGI DÍJVISSZATÉRÍTÉSEK Egy lye redszerbe szerzıdı vssz dí egy részé ez z összege evez bóusz h ármees vgy lcsoy árú vol Ez dívsszéríés függhe módoz eredméyéıl ehá cs bb z esebe fze bzosíó h módoz yeresége m árfzeése úl éldául ölségeleme s befolyásolh elér egy bzoyos sze és z e fölö rész osz szé bzosíó A módszer gyo gyr llmzzá orof bzosíó egyesülee ézár Más esebe vsszéríés függele z összesíe eredméyıl cs szerzıdés árlulás érdees Nb már evéssé elered ez módszer Mgyrországo géármő-bzosíásoál zob még gyr elıfordul A dívsszéríéses bzosíáso egy eleıs részé modellezheü öveezı módo Legye ξ η ocáz dívsszéríés élül η áro szám és d bruó dí Eor ocáz dívsszéríéssel: K J ζ ξ d χ η β χ c < ξ c 4 hol K J do ozív egésze < c β c < < c do osso A leggyorbb z hogy ármeesség vgy lcsoy összár eseé éríee vssz dí Ezebe z eseebe z elızı formul egyszerőbb lo vesz fel: J 85

86 ζ ξ dχ ζ ξ dβχ η ξ c 4 Lász hogy dívsszéríéses esebe bzosíó ocáz egy emegív vlószíőség válozóvl ı mely ozív vlószíőséggel hározo ozív z érdeele eseee véve Így z esee döı részébe dívsszéríés övel dí! Erre éyre z uárus öeles felhív bzosíó vezeıe fgyelmé Hározzu meg álláos esebe várhó éré elvvel dí! 4 Állíás: A bzosíó rméerő várhó éré elvvel hározz meg ocázo bruó díá Ameybe bzosíás dısz l ár K öveez be or bzosíó dí részé érí vssz bzosíás dısz végé meybe ovábbá árfzeés elér c -e de em hld meg c - or bzosíó dí β részé érí vssz bzosíás dısz végé Eor dí hol K J df β F c F c drb ár beöveezésée vlószíősége F dívsszéríés élül ocáz eloszlásfüggvéye Megegyzés: A rméerrel be udu állí megfelelı ölségrész és bzoság óléo Az állíásból rögö lász hogy dívsszéríés övel dí hsze dívsszéríés élül dí df lee Bzoyíás: A 4 formulából zol dód hogy dí elégí öveezı egyelee K J d Eζ Eξ d P η β P c < ξ c Ebbıl d- feezve u z állíás *** Más dílulácós elveel dí meghározás már boyolulbb feld A öveezı állíás leggyrbb llmzo dívsszéríés ármeesség eseé mu meg szóráségyze elv lá számío dí 86

87 4 Állíás: A bzosíó bruó dí ρ részé szá ölségere ocáz dí µ rméerő szóráségyze elvvel hározz meg Ameybe bzosíás dısz l em öveez be ár or bzosíó bruó dí részé érí vssz bzosíás dısz végé Eor bruó dí öveezı másodfoú egyelee elégí µ d µm ρ d m µσ hol P η m Eξ σ D ξ Bzoyíás: A 4 formul szer ζ ξ d χ η és így Eζ Eξ deχ D ζ D ξ d σ σ Ez E η d d dm η m d D χ η d cov ξ χ η d{ E ξχ η EξEχ η } ξχ zoosság m elesül Felhszálv hogy ρ d Eζ µ D ζ u ívá másodfoú egyelee *** 4 Feld: Hározzu meg szóráségyze elvvel lulál dí h dívsszéríés c- él sebb árösszegél öré! 4 Péld: Bergegócáb Bergegóc Bzosíó R 994-ıl mővel lovsocs CAS- CO bzosíásá Szerzıdése éves rmú Kármeesség eseé szerzıdı %-os dívszszéríésbe részesül bruó díból A bruó dí %- ölség ee fele ezde A árszl be öveezı vol: Kárszám > Szerzıdése szám 8 8 A áro álg mlló ry szórás 5 mlló vol Tory Ubul 998 úlus -é öö egy lye bzosíás Mey lesz bzosíás dí h ocáz dí eó várhó éré elv lá hározzá meg b ocáz dí / rméerő szóráségyze elv lá hározzá meg? Rögö észreveheü hogy szóráségyze elv em sálvrás ezér meg ell modu hogy m z egységy ár A megoldásb mlló ry egységgel dolgozu Vezessü be öveezı elölésee: Y: szerzıdéshez rozó ocáz N: áro szám egy év l 998 VII 999 VI 3 : ár gyság 87

88 d : bruó dí várhó éré elv d : bruó dí szóráségyze elv T: rlé 998 II 3-ére A feld feléele és z 4 állíás szer 5: 5ENE d 5 P N A 4 állíásból és z 4 formulából dód másodfoú egyele más bruó dír d ENE P E N P N d P N E NE P N 8 ND D NE Mos érü á oré dor Jó lee árszámeloszlás llesze hogy ez z lfeezebe öré Elıször Posso-özelíéssel róbálozu A rméer becslésére dód Az lleszedés zob elfogdhlul rossz: > szl 8 8 Posso-özelíés χ A egív bomáls özelíés em érdemes róbál mer szl szóráségyze /8/ sebb szl özéél Így dí meghározásáál szl éréee íru be árszám és áreloszlás rméerere: 88 P N E Ezeel z dol dí: 8 EN D N D d d ry ry A szóráségyze elv díár egy más eredméy s ö méghozzá megdöbbeıe gy mlló ry Elvleg ez dí s elégí feld feléele de gyorl relás cs Ameybe em le vol dívsszéríés dí óvl sebbe lee vol: d d 5 ry ry Érdeesség hogy z elıbb éldáb %-os dívsszéríés öbb m %-os díemelés eredméyeze A öveezı éld mu hogy lcsoy árvlószíőség melle z emelés mérée még gyobb lehe

89 4 Péld: Lbc Luz blese hlál eseére szóló egy éves rmú bzosíás öö Szré Bzosíóvl Mvel véleméye szer bzosíó cs yerészed r ezér oly egyed szerzıdés öö hogy meybe em hl meg blesebe egy év l or ı vgy örööse vssz befzee dí 5%-á mlló foros bzosíás összeg eseé mey lesz dí? A bzosíó 3%-os ölséggel 7 -es blese hlál vlószíőséggel és várhó éré elvvel lulál dí Így dívsszéríés élül erede dí for le vol Az ú dí 4 állíás szer A szüséges emelés mérée özel 49% így Luz sol rosszbbul ár Az elızı éldáb dívsszéríés ármeesség ulm vol Az lfeeze uolsó éldááb zob edvezı árlulás ulmzzá 43 Péld: Bulszáb Belügymszérum eder hrdee redırö bzosíásár A Rzó Bzosíó orább szl és eder feléele lá úgy godol hogy z egy redırre uó várhó fzeés 5 bul szórás A bzosíó 5%-os ölségrész ervez erre bzosíásr ovábbá 5% l árháyd eseé dí 4%-á 5 és 8% özö árháyd eseé dí %-á éríeée vssz Mey lesz bzosíó áll álo dí ezer redır eseé? Várhó éré elvvel számolv és elhygolv dívsszéríés dí mlló bulb 5 / mlló bul lee A dívsszéríéssel s számolv szüségü lesz z összár eloszlásá özelíésére Ugys z összár S-sel elölve dír z 4 állíás öveezı egyelee d mlló bulb számolv: 5 95 d { 4P S < 5d P5 d S < 8d } 95 Normáls özelíés llmzv u hogy 89

90 P P S < 5d P S d ~ d < Φ 5 5d 5 8d 5d S < 8d ~ Φ Φ Ebbıl öveez hogy d öveezı egyele megoldásához v özel d d d Φ Φ 5 Ez z egyelee em ehéz umerus megold Elıször ábrázolu z egyele bl oldlá d függvéyébe! Ábr A megoldás mlló bul m mlló bulvl öbb z erede díál A megoldás sorá észreveheü hogy z 5% l árháyd vlószíősége eleyészı dí így ez dívsszéríés léyegébe em befolyásol A megoldásál hgsúlyos felhszálu z hogy oos smerü bzosío szolgálásá várhó éréé és szórásá Ameybe ez em így v or dívsszéríése léyegese gyobb s lehe vlószíősége 4 Feld: Egy egészségbzosíás módoz ársszá z muá hogy z egy bzosíor uó éves árszám B eloszlású áreloszlás várhó éréő és szórású 9

91 ezer F-b logormáls A erve szer ármees év uá dí 5%-á vsszérí Hározzu meg z egy bzosíor uó dí rméerő szóráségyze elv segíségével h v dívsszéríés és h cs! 4 KÁRMENTESSÉGI ENGEDMÉNY A redszer melye rövdíe eve NCD o clm dscou ármeessége díegedméyel ulmzz A szerzıdı dífzeés foozob v sorolv -ıl -g Az elsı fooz legmgsbb díú -d leglcsoybb Álláb z ú szerzıdı z elsı foozb erül és eles dí fze Egy ármees év uá eseeé feléele öbb éve s megöveelhee eggyel vgy eıvel mgsbb foozb lehe erül Mde ár egy fooz vsszléés ele de z elsıél rosszbb em lehe erül M e módszer elıye? M már orább emlíeü bzosío érdeele ármeességbe ezér obb vgyáz b A s áro álláb be sem ele ább díegedméyre r géy Így árfzeése s és árredezés ölsége s csöee c A szerzıdı éyleges ocázu obb megfelelı dí fzee d A bzosíó heerogé ocázú veszélyözösségé homogébb csooror osz Ez segíhe éldául szőr veszélyes szerzıdésee Persze beszél ell háráyoról s: Felelısségbzosíáso eseé ároozó gyr em smer el ároozásu mvel így yg ár éré ıe b Boyolód z dmszrácó díszámíás és rléolás 43 BÓNUSZ MÁLUSZ RENDSZER Euróáb álláos elered módszerrıl v szó mely z elızııl yb ér el hogy v egív foozo s melyee máluszoszályo eveze A ozív foozo bóuszoszályo Tehá ebbe z esebe ezde foozhoz ées rosszbb foozb s lehe erül Ee redszere z elızıhöz ées elıye hogy még gyobb óvosságr éyszerí szerzıdıe Háráy zob hogy máluszoszályb erülı éylegese 9

92 em erüle od mer vgy lée redszerbıl ámee egy más bzosíóhoz vgy ú beléıe álcázzá mgu és eor özée ezdee Az eddg smeree redszeree álláb öveezı módo modellez Jelöle Z egy bzosíás -ed év dífoozá A foozo K-vl elölü Ez ersze emcs z NCD hem bóusz málusz redszer s modellez hsze elölheü -gyel legmgsbb máluszfoozo A bóuszredszer szbály öveezı K K s máro segíségével írhó le: T meybe z foozú ár eseé -edbe erül or ülöbe A redszer vzsgálához szüségü v vlószíőségere Álláb feléelezzü hogy Z Z K P 4 Z Z Z Z P Z Z K P egy vlószíőséggel ehá hogy Z Mrov-lác E egyze eree úllée Mrovláco elméleée smereése ezér zo még em ulá z álhó éldául mgyr yelvő [6] öyv A véges Mrov-láco legfoosbb uldoság meglálhó z 5 sz függelébe Megegyezzü hogy Mrov-uldoság m 4 vlószíősége meghározásához elegedı P Z Z K vlószíősége smeree A bzosíás modelleél gyo gyr feléelez hogy érée em függe -ıl Eor ermészeese számoláso gyo leegyszerősöde Alveı feld eldöése hogy vo vlószíősége mıl függe Hsze h derül hogy cs z - ülöbségıl or bóuszredszere egy legfıbb elıye vész el evezeese z hogy ülöbözı bóuszfoozú ocáz ülöböz Mégs gyr éyelee vgyu ez fele ülööse h mos díu el egy ú bóuszredszer Eor vlószíősége meghározhó árszám eloszlásá smereébe Ez mu be z lább éld 4 Péld: Egy géármő-bzosíás NCD redszerbe mőöd é bóuszoszállyl Kármees év eseé egy oszállyl felebb lehe erül mde ár egy oszály vsszléés e- 9

93 le Az egy vezeı áll oozo áro szám rméerő Posso-eloszlású Hározzu meg vlószíőségee! Jelölü -gyel lleve ár oozásá vlószíőségé Eor e e P e e e e e e Természeese z elıbb modell gyo egyszerősíe em vesszü fgyelembe hogy bzosío s és be s léhee redszerbe Eze fgyelembevéele modell álláosíáshoz veze A vzsgáloál Mrov-láco elméleée segíségével álláb meghározzá scoárus álloo és z hogy redszer mlye gyors overgál ehhez Még em ese szó bóuszredszere dír gyorol hásáról Ez hás lveıe öveezııl függ: A bóuszoszály díegedméye vgy dívsszéríése és máluszoszály díövelése elıre rögzíve v-e? b A dí egy vgy öbb évre v-e rögzíve? Egyszerő helyze h díegedméy és dí özül leglább z egy cs rögzíve Hsze h díegedméye díövelése csee elıre rögzíve or úgy hározhu meg zo hogy z összdí oos szüséges legye Ez öréhe éldául úgy hogy mde bóuszoszály oos ocázá megfelelı dí fze Ebbe z esebe s gyo álhó credbly módszere llmzás H díegedméye mérée elıre rögzíee de dí em or oly ldí ell meghároz mely lá z összdí o szüséges Tehá ebbe é esebe z ú dí oos megfelele z ú ocázo em ell géybe ve orább dí Ee öveezméye hogy egy évre ell dí számolu és em ell ú bóuszrléo éezü H zob mde rögzíve v or díszámíásál fgyelembe ell ve ésıbb egedméyee és vsszéríésee A ovábbb Lemre [9] öyvé öveve meghározzu bóuszredszere zo ellemzı melye segíségével zo összehsolíhó Az összehsolíáso lveıe é szemoból öréhee egyrész bzosíoéból másrész bzosíóéból Gyrbb vzsgál bzosío szemoából mer egyszerőbb modelle írhó fel Ugys árszámor és áror z és 3 lfeezeebe szerelı modellee szoá llesze Az éldához hsoló álláos elfogdo 93

94 P q K Z leglábbs géármő-bzosíásoál z hogy bzosío árszám ülö-ülö Posso-eloszlású de összességébe összee Posso A vzsgálo így ülöbözı rméerő Posso-eloszlású árszámo eseére végz el A bóuszredszer szbály és bzosío árszámeloszlásá smereébıl meg udu hároz bzosío bóuszoszályhoz redel Mrov-lác ámeevlószíőség márá: hol { } bzosío árszámá eloszlás Ameybe ez rméerő Possoeloszlás or e! 44 VISZONYLAGOS STACIONÁRIUS KÖZÉPSZINT A emzeöz szl szer bóuszredszer bevezeése uá z összesíe díegedméye mérée öbb éve ereszül övesz zá ez méré sblzálód Másée megfoglmzv: Mrov-lác overgál scoárus állohoz A overgec sebessége ermészeese eleıse függ bóusz szbályól A ovábbb feléelezzü hogy bóuszredszer Mrov-lác homogé rreducbls és erodus Az elsı uldoság mdg elesül mvel Mrov-láco ez esebe z egylééses ámeevlószíősége segíségével hározzu meg Az rreducblás gyorlb már em mdg elesül éldául Némeországb ezdı vezeıe ülö oszályu v hová már em lehe vsszerül Az erodcás vszo álláb em ooz godo mvel ármeesség eseé vezeı legobb bóuszoszályb mrd így legobb bóuszoszály megfelelı állo eródusú m rreducbls esebe elég z erodcáshoz lásd 5 sz függelé Tehá feléelezése legöbb esebe helyálló éháy véel s hsoló módo ezelheı Álláb z elsı érdés z hogy mhez r z álgos dí gyság Ez öveezı módo hározzu meg Legye { q } Mrov-lác scoárus eloszlás ehá öveez hogy K P Z q K -ból P Z q K Ez elégí öveezı egyelee: 94

95 q K q K q Veor lb felírv ez q P T q q q q K P K Ameybe z -ed fooz dí d or scoárus dí d sc K d q K Ez megegyez lm Ed lm d P Z -vel mvel Z lm P Z q K 44 Péld: Mgyrországo öelezı géármő-felelısségbzosíásb személygéocs eseébe egy loszály 4 máluszoszály és bóuszoszály v Az lfooz díá -e eve dí: Oszály Dí M4 M3 6 M 35 M 5 A B 95 B 9 B3 85 B4 8 B5 75 B6 7 B7 65 B8 6 B9 55 B 5 A szbályo öveezı: egy blesemees év egy oszály vulás eredméyez egy blese é vsszugrás ooz z ú A-b ezdee Leglább 4 ároozás eseé M4-be erül 95

96 96 szerzıdı függeleül elıéleéıl Ameybe feléelezzü hogy egy vezeı eseébe z egy éve belül ármeessége és z egy ár beöveezésée s ozív vlószíősége or redszerhez észíe Mrov-lác rreducbls és erodus Ugys bármely oszályból el lehe u éháy éve belül mde évbe egy ár oozv M4-be M4-bıl vszo ármeességgel foozos z összes oszályb eluhu Így bármely oszályból bármelybe ozív vlószíőséggel uu el m z rreducblás feléele H B-be vgyu or o s mrdu h em oozu ár ehá B egyeródusú állo m mu lác erodusságá Mos íru fel Posso-eloszlású árszámo feléelezve z ámeevlószíősége márá! e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e! / /3! 3! / /3! 3! / /3! 3! / /3! 3 /3! 3! / /3! 3! /! /! / Ebbıl meghározhu scoárus dí m éldául %-os álgos árgyorság melle 57 lesz Tehá lye árgyorság és Posso-eloszlású árszám melle z álgos dí z A-ás dí 57 százléához fog r Érdemes scoárus eloszlás s felír q 94-5 q 4-5 q q q 5-4 q q q q q 57-3 q 63 q q 3 95

97 q 4 89 q Lász hogy mgs bóuszfoozo vlószíősége leggyobb A öveezı é ábr várhó dí A-b feezve mu z elsı 4 évbe lleve 5%-os rméerő Posso-eloszlás és A-ás dulás feléelezve 44 Ábr: Várhó dí z elsı 4 évbe %-os álgos árgyorság Jól lász hogy dí mooo csöe és egyre özelebb erül 57 scoárus díhoz 5%-os esebe edec egésze más A várhó dí gyors özelí z 37 scoárus dí 97

98 44 Ábr: Várhó dí z elsı 4 évbe 5%-os álgos árgyorság A számíáso MAPLE rogrmcsomg segíségével végezü el A rogrm leírás 6 sz függelébe lálhó meg A scoárus dí ömgáb még em esz leheıvé ülöbözı redszere összehsolíásá hsze gymérébe függ sálázásól Ezér vezeé be öveezı foglm Defícó: A bóusz málusz redszer vszoylgos scoárus özésze z vs d d sc d d ráyszám hol d legmgsbb máluszoszályhoz rozó dí K K d K legmgsbb bóuszoszályhoz Az vs ör lcsoy érée z álgos mgs egedméyee mu és így megd redszer egy ellemzıé A öveezı ábláz %-os álgos árgyorságo melle hsolí össze vszoylgos scoárus özésze öelezı géármőfelelısségbzosíásor /[9] 83oldl egészíve mgyr 5%-os dl/ Ország vs %-b Key 879 Syolország Mlz 7 4 Fország ú 64 5 Svédország 4 6 Holld 78 7 Ngy-Br véde 37 8 Tv Fország rég 846 Hogog 835 Thföld 83 Ngy-Br em véde 77 3 Porugál Norvég rég 66 5 Svác ú Némeország ú Já ú Belgum ú 45 98

99 9 Dá 378 Svác rég 9 Frcország Norvég ú 3 Brzíl 85 4 Mgyrország 5 5 Dél-Kore 37 6 Luemburg ú 36 7 Olszország ú 3 8 Luemburg rég 9 Já rég 88 3 Belgum rég 74 3 Olszország rég A legmgsbb éréő három országb gyo egyszerő redszer hsze blesee oozó rögö legrosszbb máluszoszályb erül elveszve összes ddg edvezméyé Olszországb éylegese cs ey egedméy mer árgyorság léyegese öbb %-ál A mgyr d 4 helye v m edvezméye mgs szé mu m szrodlomb em mod úl edvezıe A más foos ellemzı z hogy meyre büe ezdı vezeıe A ezdı vezeı érhee ú szerzıdı vgy fl s Defícó: A bóusz málusz redszer ezdıe büeı öbblee z ezdı d ezdı d d ráyszám Egyes országob más módo s dszrmálá ezdıe éldául örész bevezeésével I s érdemes összehsolí ülöbözı országo %-os álgos árgyorságo melle [9] 84oldl egészíve mgyr 93%-os dl sc sc Ország ezdı %-b Némeország ú 97 Norvég ú Dá Norvég rég Svédország Holld

100 7 Já rég 44 8 Fország rég Fország ú 457 Kore 355 Hogog 4 Já ú 76 3 Olszország ú 38 4 Luemburg ú 89 5 Ngy-Br em véde Svác rég 94 7 Luemburg rég 95 8 Mgyrország 93 9 Ngy-Br véde 8465 Frcország 7755 Mlz 7665 Key Tv 68 4 Svác ú Olszország rég Brzíl Thföld Belgum ú Belgum rég Syolország 87 3 Porugál 695 Lász hogy ülööse Némeországb óvos z ú szerzıdıel szembe Mgyrország özémezıy lá helyezed el Meg ell egyez hogy cs lcsoy árgyorságo eseébe beszélheü büeésrıl hsze gyo veszélyes ezdı ább egedméy m ez mgyr álgos árgyorság függvéyébe ábrázol 443 ezdı grforól leolvshó:

101 443 Ábr: Kezdıe büeı öbble 45 DÍJAK SZÓRÁSI EGYÜTTHATÓJA A bzosíásoál bzosío ádá ocázu bzosíó Ameybe cs bóuszredszer or dí em függ áröréeıl eles veszélyözössége belül szoldrás Bóuszredszereél ez szoldrás gyegül dí évrıl évre válozh A gyméréő válozás z mu hogy redszer ge érzéey árszlr Természeese egy redszerıl elvárá hogy dí válozéoyság sebb legye m ocázé Defícó: Egy bóusz málusz redszer dí szórás együhó s E d d Z d sc Z ráyszám hol Z redszer scoárus Mrov-lác Megegyzés: Egy vlószíőség válozó szórás együhó álláb szórás oszv várhó éréével A szórás együhó egyszerő módo meghározhu scoárus eloszlás smereébe:

102 s K E q Z K E q d Z d d d K Z K d sc q d Z K K d d q d d K K q d q d A öveezı áblázb ülöbözı országo szórás együhó láhu %-os álgos árgyorságo melle [9] 88oldl egészíve mgyr 769-es dl Ország s Svác ú 4595 Norvég rég 39 3 Key Fország ú Svédország Holld Já ú Tv 36 9 Mlz 375 Dá 37 Svác rég 7 Fország rég 57 3 Némeország ú Hogog 58 5 Ngy-Br em véde 49 6 Luemburg ú 47 7 Norvég ú 4 8 Belgum ú 8 9 Frcország 49 Porugál 956 Thföld 95 Syolország Kore 7 4 Já rég 6 5 Ngy-Br véde 6 6 Luemburg rég 75

103 7 Olszország ú Mgyrország Belgum rég Brzíl 34 3 Olszország rég 46 Eze szórás együhó sol sebbe m ocázoé még Svác eseébe s cs ocáz szórás együhóá lg öbb m 7%- [9] 87oldl A mgyr szórás együhó gyo cs ehá dí válozéoyság ge cseély Ez mu z álgos árgyorság függvéyébe ábrázol 45 grfo s 45 Ábr: Szórás együhó 46 BÓNUSZ MÁLUSZ RENDSZEREK ELASZTICITÁSA A bóusz málusz redszere egy legfoosbb cél ó vezeı díá csöeése és rossz díövelése Álláb feléelez hogy áro szám és áro gyság függele egymásól így bóuszoszályb sorolás cs z ddg árszámól függ M s ezzel gyorlb em mdg elesülı feléelezéssel élü E melle feléelezés melle vezeı várhó árszám Posso-esebe ól ellemz ocázo Az elszcás redszer sblásá mér z álgos árgyorság válozásávl szembe Érelmes redszerıl ermészeese elvárhó hogy hosszú ávo fzee dí mooo övı függvéye legye Ideáls esebe ez leárs lee m gyorlb soh em elesül Mdez ól öveheı mgyr redszer 46 grfoá 3

104 46 Ábr: Scoárus dí z álgos árgyorság függvéyébe Lász hogy dí lcsoybb árgyorságo eseébe lg ı Például 5%-os álgos árgyorság melle 59 dí és ocáz égyszeresére öveléséél ehá %-os álgos árgyorság ál mdössze 44%-l 58-re ı A rméerő Posso-árszámú vezeı scoárus díá d -vl elölve bevezeheü öveezı meysége Defícó: A bóusz málusz redszer elszcás d sc η d / sc háydos Megegyzés: Ameybe dí yszorosár ıe háyszorosár z álgos árgyorság z elszcás lee M már emlíeü mőödı redszerebe ez z éré sebb sc Az elszcás öveezı módo hározhu meg A scoárus eloszlásál s elezve -ól vló függés: d sc K d sc d d q d T q T q 4

105 q - öveezı egyeleredszerbıl hu meg: q P T q P T q Ez z egyeleredszer megoldv zol dód z elszcás érée 46 Péld: A mgyr redszerre s számolhu z elszcás érée Az eredméyee 46 ábr mu be 46 Ábr: Elszcás z álgos árgyorság függvéyébe %-os álgos árgyorság melle mgyr redszer elszcás 64 m vzsgál országo özül z egy legsebb éré A bóusz málusz redszer ellemezheü más dol s éldául meghározhu z omáls megrás Ugys redszere gy részébe szerzıdı fzehe z áll oozo ár bzosíó helye és így meesül ároozás öveezméye lól A feld lyeor z hogy meghározzu zo z éréee melye l érdemesebb sá mgu fze ár m mgsbb dí fze övıbe 46 Feld: Hározzu meg mgyr redszer omáls megrásá öveezı feléelezése melle! A árszám 7% rméerő Posso-eloszlású áreloszlás ezer for várhó éréő eoecáls A dí úgy v meghározv hogy scoárus dí %- l öbb legye ocáz várhó érééél A fzeésee %-os ech m segíségével dszoálu 5

106 Egy más leheséges ellemzése redszere z "omálssl" öréı összehsolíás I z omálso z érü hogy bóuszoszály dí ölsége élül oos megegyez z oszály éyleges ocázá díávl Ez z összehsolíás credbly elméle eszözevel végezheü el A feezebe öbb oly érdés em éreü melye ge foos lehee egy bóusz málusz redszer eles vzsgáláál A elesség géye élül felsorolu éháy: léése és beléése hás árszám és ár eloszlásá meghározás ülöbözı bóuszoszályob máluszoso előése Befeezésül állo éháy feld 46 Feld: Hározzu meg 4 éldához rozó scoárus eloszlás! 463 Feld: Tesü meg 4 éldá! Téelezzü fel hogy egy ár 3 ezer várhó éréő eoecáls eloszlású Egy bzosío 5 vlószíőséggel szüe meg bzosíásá mde bzosíás évforduló Hározzu meg z z ldí melyél várhó bevéele és dáso megegyeze! 464 Feld: Hározzu meg Hogog és Key bóuszredszeree ellemzı! A o eredméyee hsolísu össze áblázob szerelı éréeel! Hogog eseébe redszer öveezı: Oszály Oszály Dí > ár eseé A ezdı oszály 6-os hsoló Keyához hol ezdı szé legrosszbb oszályb erüle de redszer még egyszerőbb Oszály Oszály Dí > ár eseé

107

108 5 FEJEZET TARTALÉKOLÁS Korább már öbbször emlíeü hogy bzosíásohoz öbb gyr egymásól eleıse elérı dırm roz Eze z elérése esz szüségessé rléo ézésé A rléo ézés módszererıl fog szól ele feeze 5 A BIZTOSÍTÓK ÉVES BESZÁMOLÓJA A bzosíó ézügy redszerée szemoából legfoosbb é egymás öveı mérlegzárás özö dısz Mvel Mgyrországo ogszbályo álláb december 3- mérlegzárás dıoo öveele meg ezér ldısz ár éve eü Egyre öbb bzosíó már egyedéves mérlege s észí de m ovábbb cs éves dıszoról fogu beszél hsze z o eredméye érelemszerőe ávheı más rmor s Feléleül szól ell rról hogy m s z mérleg I ele egyze ellegébıl dódó ermészeese em oos számvel meghározáso szereele hem z uárus ulmáyohoz szüséges foglm Amor egy év elel or mde gzdálodó szervezee számb ell vee z év öréése meg ell hároz mey éze mrd és mlye öelezesége v Ez számbvéel öré meg z éves beszámoló elészíéseor Az éves beszámoló é fı része z eredméymuás és mérleg A -be érvéyes bzosíó eredméymuás és mérleg ábláz 7 sz függelébe lálhó meg Az eredméymuás mu be z év öréése olyo m díbevéel árfzeés sb Az eredméymuás lá legfoosbb sor mérleg szer eredméy ugys ez z öszszes ddg sor összegzése m megmu hogy bzosíó mlye eredméyel zár z éve A mérleg december 3- álloo mu be z összes eszöz és z összes öelezesége A bzosíó uárus legfoosbb feld hogy mérlegbe szerelı soro özül meghározz bzosíásech rléo M orább s emlíeü rléo zér ell megéez mer december 3-ég megöö szerzıdésere december 3-e uá s örée fzeése A bzosíásech rléor összességébe árgdozá- 8

109 s és gy áro rléá zárásávl z élebzosíás dírléoál s llmzo formulához hsoló írhó fel: bzosíásech rléo várhó szolgáláso - várhó díbevéele5 I szolgáláso és díbevéele s bzosíó december 3-ég él szerzıdésere vooz ehá z olyor s melye orább már megszőe A várhó díbevéelee ddg legorább dıog ell számol mor szerzıdés megsző vgy felmodhó vgy dímódosíás leheséges A szolgáláso s z eddg z dıog eleezı öelezeségere ell számol Töréeleg úgy lul hogy bzosíásech rléo öbb részre booá szolgáláso íus szer Ezee részrléo gyr egymásól elese függeleül hározzá meg A ovábbb lá fogu hogy rléézés módszere ülöbözıe lehee és eze módszere gyr ge elérı gyságú rléo eredméyeze Mvel rléézés erıse befolyásol bzosíó fzeıéességé ovábbá befzeedı dó gyságá mél gyobb rlé ál sebb z eredméy ezér sze mde országb állmlg szbályozzá rléézés módszeree Mgyrországo egyze írásá dıoáb -be z álláos elvee bzosíás örvéy secáls szbályo edg /996 PM redele ovábbb: rléredele hározz meg A rléézés döıe befolyásol bzosíó eredméyességé Mgyrországo 999- be em-élebzosíás árfzeés 9 mllárd for em-élebzosíás rlé gyság 3 mllárd for vol Több esebe rlé seres befeeése bzosío bzosíó yereséges mőödésé Érdees omlzálás feld lehe rléo uldoos yereségességée szemoából omáls szée meghározás A szbályozás szer rléo ágz boásb ell megéez Ez em ele z hogy rléo egyes eseebe e lehesse vgy e elle módozr vgy ár szerzıdésre megéez de ágz sze mde rléo smer ell 5 MEG NEM SZOLGÁLT DÍJAK TARTALÉKA E rléform orább elevezése díável rlé vol Kézésée do z hogy szerzıdı áll befzee dí gyr emcs mérlegzárás dıog fedez ocázo hem ovább dıszr s szól 9

110 5 Péld: Kovács Los ezer forér vásárol egy egyéves rmú blese hlál eseére szóló bzosíás ovember -é és szerzıdésöésor fze eles bzosíás dí December 3-ég em öveeze be hlálese Nylvávló hogy bzosíó ezer for egy részé félre ell r A érdés z hogy mey Álláb ülöbözı országo ogszbály gyo egyszerő ézés módszer vsol A mgyr redele éldául öveezıe ír: " A meg em szolgál dí rléá árgyév mérleg fordulóávl szerzıdéseé egyedleg ell megállí és megéez öveezıée: özvele bzosíásál díelıírás összegé dıráyos lleve módozervbe fogll szer ell megosz árgyév és z z öveı dıszo özö; Tehá rléo egyszerő ráyosíássl ell éez 5 Péld: A Nrcs Bzosíó CASCO bzosíáso eresz Korább szlo lá bzosíó uárus z feléelez hogy T íusú géármőve éves árszám rméerő Posso-eloszlású áreloszlás várhó éréő ezer forb eoecáls eloszlású lesz -es évebe Az éves ocáz dí eó várhó éré elv segíségével hározzá meg A ezde ölség z éves bruó dí %- folymos ölség bruó dí 5%- Próbálu meghároz egy ovember -éıl oóber 3-g hályos szerzıdés meg em szolgál dí rléá! A ocáz dí for A bruó dí /758 for Ebbıl 8 for ezde ölség uár -ıl oóber 3-g szerzıdés /-e mrd hár Így szüséges rlé 8-8 for M váloz h rméerő várhó éré elv segíségével hározá meg bzosíó ocáz dí? Eor ocáz dí 5 bruó 5 / for lesz A meg em szolgál dí rlé r váloz Ebbıl 4 for u ölségere és for ocázr A várhó árfzeés 7 5 for Tehá meybe em eó várhó éré elvvel hározzá meg ocáz dí or meg em szolgál dí rléá ézéseor sérülhe z 5 formul Egy ovább hásáb álláb em úl eleıs roblém öveezı Jogos-e z öveelméy hogy cs z élı szerzıdésere szbd és ell megéez ez rléo? A érdés fel sem merül z esee döı részébe hsze álláb szerzıdése em szőe meg egy bzosíás eseméy beöveezeor leglább ddg érvéyese míg szerzıdés dí v fzeve A roblém legfelebb ocáz élebzosíásoál és blese hlál ese-

111 ére szóló bzosíásoál eleezhe A öveezı hgsúlyozo egyszerősíe éldávl megróbálu láámsz z hogy vlób célszerőbb cs élı szerzıdésere éez meg em szolgál dí rléá 53 Péld: Az UMBULDA Bzosíóál ezer ember vásárol egyéves rmú blese hlál eseére szóló bzosíáso 999 úlus -é A bzosíás összege egységese M Fos vol A bzosíó uárus 7 -es éves blese hlál vlószíőséggel és eó várhó éré elv llmzásávl hároz meg ocáz dí m így 7 F vol A ezde ölsége folymos F-o ee Az F-os bzosíás dí szerzıdı bzosíás ezdeeor fzeé Mey meg em szolgál dí rléá ell éeze bzosíó ezere szerzıdésere 999 december 3-é h eddg z dıog hár hl meg blese m? Kezde ölségere F me el így 8 F ráyos részé ell ve m eseübe 4 F A 9997 élı szerzıdésre meg em szolgál dí rlé: F Ameybe em élı szerzıdésee s fgyelembe veü vol rlé F-ol öbb lee m rlé mdössze 3%- Lász hogy ülöbség ebbe z esebe eleéele de zér róbálu megéz hogy mely elárás 'helyesebb' Jelölü -vel vlószíőségé hogy egy bzosío fél éve belül meghl blesebe Nem úl erıs felevés öveezı: 7 Ebbıl 356 és így bzosíó várhó árfzeése és ölsége for A meg em szolgál dí rlé 6 forl evesebb eél mözbe h z elhuy s fgyelembe veü vol or 59 for öbbleü lee Álláb zob meg em szolgál dí rlé obb özelí m öveezıbe muu be Jelölü ovábbr s -vel vlószíőségé hogy egy bzosío fél éve belül meghl blesebe M-mel bzosío számá -vl ezde b-vel folymos ölségee d- vel bruó dí és N-el z elsı félévbe blesebe elhuy számá T meg em szolgál dí rlé T bzosíó várhó árfzeése és ölsége másod félévbe T 3 meg em szolgál dí rlé h megsző szerzıdésee s fgyelembe vesszü Eor:

112 d T T T 3 M N M N b / d M Ebbıl meghu z elérése várhó éréé: E T E T 3 T M T M M b d b Tehá másod esebe z elérés várhó érée gyobb 53 MATEMATIKAI TARTALÉK Ez rlé égy részbıl áll: éle- és beegségbzosíás dírlé vlm felelısség- és blesebzosíás árdérlé A egyze em árgyl z éle- és hosszúávú beegségbzosíáso ezér z elsı é rléfávl em fogllozu Felelısségbzosíás árdérléo oly esebe ell éez mor felelısségbzosíás lá bzosíó árdéo öeles szolgál Eor rléo árdéosoé álláb öveezı egyszerő formulávl hározzá meg éves árdé eseébe: l l S d b 53 A elölése öveezı: : árdéos or l : megfelelı hldóság áblából ve d : árdéfolyósíásból hárlévı éve szám S : z éves árdé gyság rléolás uá -ed évbe : ech m d b: ölségéyezı álláb z egy A formul gyo egyszerő ehézsége rméere meghározás oozz Tesü legfoosbb! A hldóság megválszásáál foos megülöböze sá ogú árdéos hozzározó árdéosól Álláb sá ogú árdéoso ro ezér éleláás gyr

113 rosszbb z álgosál Ameybe bzosíóál leheıség v árdé helye egyöszszegő megválás géyel or árdéo válszó obb éleláású A felelısségbzosíás árdéoál gyr cs ezde árdéo lehe smer Egyes eseebe semmféle övedı árdéemelésrıl cs szó másor f vgy flácóöveı emelésbe egyeze meg elıfordulh hogy bíróság dö érdésbe Még megegyezés eseé s öréhe árdéválozás éldául mer drágább gyógyezelésre v szüség Adó- és áruléválozáso s oozh árdéválozás A bzosíó rléo elér hozm s ehéz elıre elez Így z S - és z ech m meghározás ehéz feld és gyr egyszerre öré Nézzü végg éháy esee öveezı éld csá! 53 Péld: Pál Már féré 994-be hlálos megsebesíee egy rodházról leesı voldrb Az rodház uldoos Mgyrország Bzosíóál redeleze felelısségbzosíássl A bíróság z 944-b szülee házrásbel Pál Márá fére fzeésée felé év egy mlló foro íél meg Az eseleges övıbel árdéemelésrıl bíróság em hározo A bzosíó áll felálo 6 mllós egyösszegő megválás z özvegy em fogd el Az elsı árdéo 995 uár -á öeles folyósí bzosíó Az uárus úgy godol hogy övıbe lesze emelése és ezee bzosíó hozmából ell fedez ezér százléos ech hozmml és álldó S -vl számol Mvel z özvegy em fogd el z egyösszegő megválás ezér z 99-es ı hldóság áblávl számol de z elsı é évre hldóság vlószíőségee hrmdár csöe A bzosíó ölsége árdé 3%-b hározz meg A rléolás legfoosbb d mlló forb öveezı ábláz rlmzz Trlé Járdé Hozm %-b Leboyolíás eredméy Lász hogy leboyolíás eredméy 997-g erıse ozív vol 997-be zob eleıs veszeség muozo mvel Pál Már ügyvéde 997 szeemberébe 8 ezer foros 3

114 árdéemelés ígéy yúo be A bzosíóvl végül 997 ovemberébe 7 ezer foros emelésbe egyeze meg m 998-ól folyósío 998 és 999-be z eredméy úfe ozív vol Hogy lehee elerül ezee z gdozáso? Ameybe bzosíó so árdéossl redelez or z eredméye egyelíhe egymás de godol ell rr veszélyes esere s mor gyo so árdéos eseébe öveez be emelés Megfelelı szlo eseébe érdemes megbecsül hozmo és emelése egymáshoz vszoyío ráyá fgyelembe ve z s hogy mor öré z uolsó árdéemelés és zó mey z flácós elmrdás Ee rlé eleısége várhó egyre obb ı fog hsze már elıfordul félmlló foros hv árdéo és ár egy lye árdé megeleése s hássl lehe z egész bzosíó eredméyére Amor felelısségbzosíáso árszlá vzsgálá or árdéos ár eseébe ár ezde árdérléo e Ez lesz z l z ú dí lulácóá H zob módoz eredméyességé vzsgálá or m már orább emlíeü fgyelembe vesz árdérlé hozmá és árdéfzeésee s Blesebzosíás árdérléo oly esebe ell éez mor blesebzosíás lá bzosíó árdéo öeles szolgál Ez leggyrbb blesebe megro személy de lehe blese hlál edvezméyezee s A árdérlé formulá s álláb 53 A meghározás yb öyebb ebbe z esebe hogy árdé összege sze mde esebe álldó Foos megegyez hogy szembe z élebzosíás dírlél e é árdérléál Mgyrországo bzosíó em öelese megoszoz rléo elér hozmml sem bzosíol sem árdéosol sem szerzıdıel 54 FÜGGİKÁROK TARTALÉKA Ez rlé gyság m messze legeleısebb z összes em-élebzosíás rlé özül Ez szemléle z 54 ábr s hol z 999 év mgyrország összesíe do muu be 4

115 Ábr: Nem-éle ág rléo Mgyrországo 999-be ezer forb A függıárrléo zor már megöré áror éez meg melyere árfzeés em vgy cs részbe öré meg M oozz áreseméy és szolgálás árfzeés dıo öz eseeé öbb éves dıelolódás? Ee lveıe é o v: Késedelem árredezésbe b Késedelem árbeeleésbe A ésedelem gyság gyo gy mérébe függ bzosíás módoz ellegéıl Például blese és CASCO bzosíás eseméyee álláb gyors beele Míg CASCOáro em sol beeleés uá fze éháy hóál hosszbb vározás ráylg r ddg blesebıl eredı roság megállíás öbb éves folym s lehe Felelısségbzosíásoál gyor öbb éves árbeeleés ésés Például egy éíészfelelısségbzosíásál ház megervezése uá évvel s összedılhe hbás ervezés m Lehe hogy z éíész zó már yugdíb me cs s bzosíás de bzosíó ervezés dee l érvéyes szerzıdés lá ell fzee A rléolás ehezí ülöbözı éve ülöbözı ársze s Erıse gdozó flácó melle ehéz éréel orább éve ssz d még ehezebb elıreelez ésıbb árfzeésee Fgyelembe ell ve rléoo elérheı hozmo s 5

116 A függıárrléo ézéséél é megözelíés élese elülöül egymásól Az egy szer már smer áror egyedleg árszérı segíségével ell meghároz rléo Ez rléo éeles függıárrlé evez A már beöveeze de még be em elee áro ésı vgy IBNR curred bu o reored áro ráu éze rléo IBNR rlé evez A más megözelíés ssz módszeree llmz Több országb z elemzése z muá hogy ssz módszereel öréı meghározás oosbb Gyr érdemes áro öbb csoorr bo éldául ugró gy vgy árdéos áro ülö ezel Melı ráéré evezees rléézés módszere árgylásár ézzü meg hogy függıáro rléolásához mlye do hszál fel és zo mlye formáb redez Megegyezzü hogy ölségrléol em fogllozu mvel eleleg gyorl szer ölségere rlé egy meghározo százléá ell rléol Kfuás háromszöge Egy-egy módoz vgy ágz orább évee ársszáá leggyrbb egy összesíe áráblázb z ú fuás háromszögbe szoá összefogll m em más m árfzeése összege ár eleezése és fzeése évée megfelelı boásb: Kár elee- Kár fzeésée éve ár évéhez ées zésée éve - Ahol elöl z -ed év árr z --ed évbe fzee összege A rléolás feld em más m ábláz háyzó elemee z lsó háromszöge megbecslése Ez ábláz or d eles ée áro fuásáról h udu hogy ár beöveeze uá 6

117 év elelével már csee árfzeése H ez em így v or -szl elölü z elsı év becsül árfzeése -ed év uá és ez s szereeleü áblázb Gyr fuás háromszögbe más do szereelee Az lábbb felsorolu éháy leheısége A ábláz -ed eleme lehe: Az -ed év árr z --ed év végég összese fzee összeg umulál árfuás háromszög Az -ed év árr z --ed év végég összese fzee összeg és z -- ed év vég éeles függıárrlé beelee áro umulál árfuás háromszöge összeg Az -ed év ár özül z --ed évbe beeleee szám Az -ed év ár özül z --ed év végég beeleee szám Az -ed év ár özül z --ed év végég lezár áror összese fzee A gyorlb elfogdo függıár-rléolás módszere álláb fe fuás háromszöge egyé hszálá ld Kfzee áro elıreveíése Az e ob felsorol módszereél mdg cs éylegese fzee ézee vesszü fgyelembe z ld umulál árfzeése fuás háromszöge: Kár elee- Kár fzeésée éve ár évéhez ées zésée éve - Az -ed év árr oly rléo ellee beállí mely mél özelebb lee -hez Tehá meg ell becsül egy do évbe beöveeze áror z ösz- 7

118 szes fzeés Négyzees hb eseé legobb becslés ersze ɵ E u v ehá rlé z -ed év árr V ɵ A u v b cs z hogy álláb emcs fuás háromszögbe szerelı válozó együes eloszlásá em smerü hem ovrcáu sem Ezér gyorlb gyr egyszerősíee Például öveezıbe smeree módszere lgodol gyo egyszerő Feléelez z hogy beöveezés uá -ed év végég z összes ár háyd részé fze em függ erıse árbeöveezés évéıl Jéghegy módszer A módszer m öveedése Grossg U Mehod s eveze rról evé hogy éghegy eles ömegé meg lehe becsül láhó része lá Melı ráéré z elárás oos smereésére ézzü meg egy éldá! 54 Péld: Az egy bzosíó CASCO módoz em umulál árdo mlló Fb rlmzó fuás háromszöge öveezı: Kár eleezé- Kár fzeésée éve ár évéhez ées sée éve Becsülü meg e módozo függıárrléá! Elıször s hározzu meg umulál fuás háromszöge! Kár eleezé- Kár fzeésée éve ár évéhez ées sée éve

119 Rögö felmerül hogy leheséges-e árfzeés ár beöveeze uá 5 évvel? Erre cs orább éve árd felhszálv udu válszol Kár eleezé- Kfzeés z Összes Aráy sée éve 5 év végég fzeés % Összese Ebbıl z 995 év áror öréı összes fzeés 94/9647-el becsülü Ez lesz z l ülöbözı évere uó árfzeés becslése s: Kár eleezé- Kár fzeésée éve ár évéhez ées sée éve Összese Aráy %-b Feléelezzü hogy öbb évbe beöveeze áror s gz eze z ráyo: Kár eleezé- Kár fzeésée éve ár évéhez ées sée éve Összese Ebbıl már megállíhu rléo ülöbözı évere és összese s: Kár eleezésée éve Trlé

120 Összese 57 Mos érü vssz z álláos esere! Az -ed évbe beöveeze áror öréı összes árfzeés -szl elölü Feléelezzü hogy z / háydoso em függe erıse -ıl árbeöveezés évéıl Korább éve szl lá becslés du / -re ez d -vel elölü Ebbıl megbecsülü z elsı évbe beöveeze áror öréı összes árfzeés: ɵ / d 54 Ameybe egyállá cs du orább éverıl or ɵ - vgy más bzosíáso szl lá vgy éeles függıáro segíségével becsülü Ezuá öveezı háydoso számolu : d d d ɵ ɵ ɵ 54 Eze együhó segíségével becsülü meg öbb évbe beöveeze áror uó összes árfzeés: ɵ / d ɵ / d ɵ / d Ebbıl z -ed év árr éze függıárrlé vlm eles rlé V ɵ V V 544 Lász hogy módszer gyo eleıssé esz z elsı év szereé hsze cs d együhó meghározásáb hszálu fel más éve d A módszer léyegé em érve válozhu r úgy hogy z elsı év szeree csöee módosíás: A d együhó meghározásor már felhszálu z elsı év elı éve d Elıfordulh hogy ezere z évere redelezésre áll árfzeése éveé boásb s ehá meghározhu z rr z évre ellemzı d-e Jelölü z 54 formulávl z elsı évre o d -e d -gyel öbb évre o d - d - d --vl Eor z 54 és 543 éleebe szerelı d -e z együhó álgár cserélü: d d d d Péld folyás: Az 99 9-es évere s megv árdo

121 Kár eleezé- Kár fzeésée éve ár évéhez ées sée éve Összese Aráy %-b Aráy %-b Aráy %-b Aráy %-b Álg %-b Az uolsó sor d beírv z 543 formuláb u: Kár eleezésée éve Becsül összár Trlé Összese 964 Lász hogy óvl gyobb rléo u lveıe z 999 év áror éze gyobb rlé m Gyr modá hogy z uárus mdg legrosszbbr ell felészül A öveezı váloz s egy lye hozzáálláso lsz módosíás: Abb ér el z elızııl hogy z 545 formulá legrosszbb esere észülve válozu meg: d m d d d 54 Péld folyás: A módosíás szer együhó öveezı: M %-b Mos ez íru be z 543 formuláb:

122 Kár eleezésée éve Becsül összár Trlé Összese 3493 A szüséges rlé ebbe z esebe még gyobb le Az elızı válozob gyo foos szeree ászo orább fuás háromszög elı éve A öveezı módosíásob már óvl gyobb fuás háromszögbe szerelı do eleısége 3 módosíás: A ezde léés ugyz m z erede és z elsı módosíású válozál megbecsülü ɵ -e és ebbıl d -ee Ezuá du becslés év összárfzeésére: ɵ / d m megegyez z erede becsléssel Így már felírhu évhez rozó együhó: d d ˆ ˆ Eor d -e é együhó álgá válszu és ee segíségével íru fel 3 év árfzeésere becslés: d d d ɵ 3 3 / d 546 Ezuá d 3 - már m 3 év álgos éréé hározzu meg és ugyígy folyu z elárás míg cs z uolsó éve el em érü 54 Péld folyás: A 3 módosíás szer 995-re együhó és árfzeése öveezı: Kár eleezé- Kár fzeésée éve ár évéhez ées sée éve Összese Aráy %-b

123 Ebbıl 996-r u hogy Kár eleezé- Kár fzeésée éve ár évéhez ées sée éve Összese Aráy %-b Ez 997-re d hogy Kár eleezé- Kár fzeésée éve ár évéhez ées sée éve Összese Aráy %-b Hsoló 998 és 999-re Kár eleezé- Kár fzeésée éve ár évéhez ées sée éve Összese Aráy %-b Aráy %-b 3 Mdeze lá rlé Kár eleezésée éve Becsül összár Trlé Összese 434 Eddg ez z elárás d legsebb rléo A öveezı válozb úr legrosszbbr észülü fel 3

124 4 módosíás: Az elárás megegyez 3 módosíássl cs módosíáshoz hsoló z együhó meghározásáál álg helye mmumo veszü Például z 546 formul helye: d m d d ɵ / d Péld folyás: A 4 módosíás szer együhó és árfzeése öveezı: Kár eleezé- Kár fzeésée éve ár évéhez ées sée éve Összese Aráy %-b Aráy %-b Aráy %-b Aráy %-b Aráy %-b 9 A ábláz rlér öveezı d: Kár eleezésée éve Becsül összár Trlé Összese A 3 és 4 módosíáso rb módszere s evez mer fuás háromszög felhszálás obbról blr öré 4 Lácszemháydos módszer

125 A lácszemháydos l ro módszer gyo hsolí éghegy módszerre cs bzoyos érelembe fordío I fuás háromszög felhszálás blról obbr öré Ee módszere s öbb váloz v melyee ovábbb összefogllu Feléelezzü hogy z c háydoso em függe erıse -ıl örülbelül c -vel egyelı Ezér elıször ezee háydoso számolu A c d együhó meghározás d -hez hsoló orább éve szl vgy éeles függıárrlé segíségével öré A öbb c - éyleges c háydoso vlmlye függvéyeé állíu elı Az llmzo függvéye válozásávl u módszer ülöbözı módosíás A árfzeése becslése és rlé meghározás öveezı módo öré ˆ ˆ ˆ c c c c c V c c ˆ V V ˆ ˆ c Felsorolu módszer leggyorbb váloz Alváloz Az együhó cs z elsı évıl függe: c c c c c c c c módosíás Az együhó z álggl hározzu meg: c módosíás Feléelezzü legrosszbb: c c c c m c c c 3 módosíás Az együhó súlyozo álggl hározzu meg: c c c c Láhu hogy 3 módosíás secáls eseé rlmzz z elızıee A legülöbözıbb súlyozáso lehe lál eze özül z egy z erede súlyol öréı veze legszélesebb örbe llmzo rléolás módszerhez lác-lér módszerhez 5

126 Lác-lér módszer A lác-lér módszer gyo észerő egyszerősége és szlo szer megbízhóság m E lácszemháydos módszerél z együhó öveezı: c c c c Tehá fuás háromszög oszlob szerelı éréee ell összedu Lászólg cs szüség d és c együhó meghározásár Mvel lác-lér módszer llmzzá leggyrbb soszor elhygolá eze érée számíásá m álos mdg elvégez hsze z együhó áblázából gyr leolvshó red omál sb Mos érü vssz umerus éldához! 54 Péld folyás: A c együhó ábláz öveezı Kár eleezé- Kár fzeésée éve ár évéhez ées sée éve Ee ábláz segíségével meghározhu ülöbözı lácszemháydos módszere szer rléo Az eredméyee z lább összefoglló ábláz rlmzz Jéghegy Lácszem Lác-lér l mód mód 3 mód 4 mód l mód mód Kár Tr Kár Tr Kár Tr Kár Tr Kár Tr Kár Tr Kár Tr Kár Tr Kár Tr Össz

127 A áblázból ól lász hogy ülöbözı módszere más és más eredméy d Vlóáb még so válozo fel lehee ír és gyr örülméye smereébe erre szüség s v A árgyorság árredezés gyorl válozás felderíéséhez segísége yúh d és c együhó ábláz áeése A gyméréő állomáyválozáso és z flácó s eleıs orzíáso eredméyeze Ez uóbb esebe obeívebb ée hu h em umulál árfzeésee rlmzó fuás háromszög érée z uolsó év árszére flálu és uá észíü el umulál áblázo Módszeree már erre áblázr llmzhu Az állomáyb más válozáso s elıfordulh A öveezı feld z lyeor felléı ehézségee r szemléle 54 Feld: Brum szgeé vrágz gzdság Az uóbb évbe léyegébe em vol flácó de deflácó sem A Brum Moor Isurce Comy BMIC bzosíó cs CASCO bzosíásol foglloz Szerzıdése z uóbb 5 évbe egységese vol mde szerzıdıre cs z örész gyság válozo éveé A szerzıdésszámo és örésze öveezı vol Év Szerzıdése szám Örész brmbe A árszámo és árfzeése d öveezı áblázb lálhó meg A beeleés éve A ár éve

128 Kárszámo A árfzeés éve A ár éve Kárfzeése brmbe Hározzu meg BMIC szüséges függıárrléá ermészeese z IBNR rléo s beleérve h udu hogy BMIC árredezés gyorláb ár beeleésée éve uá másod év végére feez be legésıbb árfzeés! Téeles függıáro és fzee áro elıreelzése Az elızıebe rléo úgy hározu meg mh már smer ároról semmlye formácó em lee Azob ez álláb em így v Már emlíeü hogy z smer áror bzosíó árszérı éeles függıárrléo éeze Ez dıszoé felülvzsgálá A é felülvzsgál özö rlé egyelı z elızı felülvzsgálál meghározo rlé míusz z zó öré fzeése A rlé meghározásáál úr umulál árfzeése fuás háromszögébıl dulu Ezehez z dohoz hozzádu éeles függıárrléo és így beelee áro umulál árfuás háromszögével dolgozu: Kár elee- Kár fzeésée éve ár évéhez ées zésée éve - Z Z Z Z Z Z Z 8

129 Z hol Z z -ed év árr z --ed év végég összese fzee összeg és z -- ed év vég éeles függıárrlé ehá Z Y Y z --ed év vég éeles függıárrlé A éghegy és lácszemháydos módszeree úr véggszámolhu de ld ez fuás háromszöge eü Z - vgy Y - vgy /d - veszszü számíásob Egy más megözelíésél z hározzu meg hogy éeles függıárrlé háy százlé szüségese Eor elıször z elsı sorhoz rozó együhó számolu : f Y Ee segíségével megbecsülü másod év árfzeése: ɵ Y / f V Y / f Ee z érée segíségével öré másod sorhoz rozó együhó meghározás: f Y ɵ A hrmd év árfzeés becsléséél öbb leheıségü s v: ɵ Y / f V Y / f ɵ Y / f f / V Y / f f / ɵ Y / m f f V Y / m f f A ovább soro z ebbe sorb válszo módszerrel ölü 54 Feld: Az 54 éldáb smere éeles függıárrléo s: Kár eleezé- Kár fzeésée éve ár évéhez ées sée éve

130 Becsülü meg ülöbözı módszereel eles árfzeés és szüséges rléo! Hsolísu össze o eredméyee orábbl! Kárháydo luló elıreelzése Az elızıebe cs árol csolos do hszálu fel Az állomáy zob más do s ellemz éldául dí Külööse ú módoz eseé mde dr szüségü lehe Nív árháyd módszer Feléelezzü hogy bzosíás dí megállíás helyes vol Az -ed év díá várhó -ρ -d részé fze áror Eor rlé: V P ρ V V hol P z -ed év megszolgál dí Az elevezésbe szerelı ív feezés módszer úlzo egyszerőségére ul hsze árszlból semm em vesz fgyelembe Allmzásá legább ú bzosíó számár lehe ál Borhueer Ferguso módszer Eél z elárásál felhszálá md dído md árszlo A lácszemháydos és éghegy módszereél s z feléelezü hogy ár beöveeze uá -ed év végég fzee áro összege oszv összes árrl em függ erıse ár évéıl: d d d d c ɵ c c ɵ c c c ɵ c c c ɵ A rléo ebbıl: 3

131 V d ɵ ɵ c V d ɵ ɵ c c V3 d3 3 ɵ ɵ 3 c c c V d ɵ c c c ɵ 546 A Borhueer Ferguso módszerél elıször éghegy vgy lácszemháydos módszerrel meghározzu d lleve c együhó Az összárfzeésee vszo ív árháyd módszerrel megegyezıe díból becsülü meg: ɵ P ρ Végül z így o éréee z 546 formuláb behelyeesíve u meg rléo 543 Feld: Az 54 éld eseébe smere dí: Dí A dí várhó éré elvvel hározá meg dí %- ölség Hározzu meg rléo! Szerácós módszer A em umulál árdo rlmzó fuás háromszöge hszálu eél módszerél Feléelezzü hogy -ed év végég z összes ár fze ovábbá hogy hol r z -ed év ár szám beleérve ésıbb évebe beeleeee m smere éelezü fel Az éves árszámo megbecsülheü éldául lác-lér módszerrel vgy öveezı lob smeree elárássl H r rmeus szerácós módszer or modellre szemlélees mgyrázo lehe d Ugys r mu hogy ár eleezéséıl számío -ed évbe áro h- 3

132 ydrészé fze A mu -d év flácós öveedésé z elsı évhez ées Az r együhó meghározás öveezı módo öré Elıször osszu végg soro -el: és így Kár eleezé- Kár fzeésée éve ár évéhez ées sée éve - r r 3 r r r r r r áblázo u Ezuá összegezzü z álób álló éréee így elıször u hogy mbıl mbıl ˆ rˆ r r r ˆ A öveezı melléáló összegezve: r r r ˆ ˆ ˆ r r ˆ ˆ Az elárás folyv meghározzu z összes együhó Ezuá flácós vározás megfelelıe vgy ˆ ˆ ssz vzsgálávl elıreelezzü ˆ ˆ együhó Mdeze lá megu öveezı éve árfzeésee becslésé: ˆ ˆ ˆ r 3

133 mbıl z -ed év árr éze függıárrlé: r ˆ Hsoló mőöd geomer szerácós módszer mor z r együhóról r feléelezésü A ülöbség cs z hogy z együhó meghározásához z álób lévı eleme szorzá és em összegé ell ve 544 Feld: Az 54 éldáb z éves árszámo Hározzu meg z 999 december 3- függıárrléo szerácós módszerrel! IBNR rléolás M emlészü z IBNR áro zo melye beöveeze de még em eleeé ıe deérü még cs oozo áro s melye még em "árgysul" Az lye áror éze rlé függıárrlé része H függıárrlé-ézés z összes függıárr egyszerre végz el éldául lác-lér módszerrel or em ell ülö éez z IBNR áror rléo Modhu z s hogy z IBNR áro rlé függıáro rlé míusz éeles függıárrlé Azob gyr elıfordul hogy szüség v z IBNR rlé ülö ézésére A ézés mód soszor öveezı: IBNR rlé IBNR áro becsül szám IBNR áro álgos érée Vegyü észre hogy em z álgárrl számolu mvel eıl eleıse elérhe z IBNR áro álgos érée Lász hogy legfoosbb feldu megbecsül z IBNR árszámo Megegyezzü hogy erre becslésre más esebe s szüség lehe éldául szerácós módszer llmzásáál A becslése álláos elfogdo ld ésleedés ábláz mely z mu hogy z eddg szlo lá áro mlye részé eleeé be egy-egy dıog: Ahol Késleedés dee - Aráy umulál u u u u u ár uá -ed llg beelee áro szám/összes árszám 33

134 Az dıegység álláb hó szoo le de elıfordulh év egyedév és s H ár és beeleése özö dı eloszlásfüggvéyé F-fel elölü or ábláz em más m egy F eloszlásfüggvéyhez rozó m szl eloszlásfüggvéye éréee felsorolás A ésleedés áblázo megbecsülheü orább árgyl módszereel fuás háromszögbe árszámo és em áro írv Természeese h ebbe fuás háromszögbe zo z do szereele m lá z IBNR árszámo meg ru becsül or z elárás sorá özveleül megu z IBNR árszám becslésé H u ehá ár dıo uá -vel ár már bzos beeleeé or elölü m - vel rléolás dıoáb smer rléolás elı -ed dıegységbe beöveeze áro számá Eor z IBNR áro számár egy egyszerő de gyr llmzo becslés: Nˆ m u u / u IBNR A becslés ermészeese fomí lehe h árbeeleés ésleedés eloszlásár eloszlás lleszü melye rméere megbecsülü 545 Feld: Egy lásbzosíás módoz árbeeleés ésleedés ábláz öveezı hób: Késleedés dee 3 4 Aráy umulál Az 994 december 3-g beelee 994 év áro szám z lább vol: Kár hó I II III IV V VI VII VIII I I II Beelee áro szám Becsülü meg z 994 év áro számá! M emlíeü z elıbb felír rléolás módszere ge elerede Persze elıfordulh hogy em vgyu megelégedve z így o eredméyeel Ilyeor érdemes legülöbözıbb ssz módszeree róbál éldául regresszó credbly uoregresszós 34

135 modell Kálmá-szőrı melyehez ölee lálhó []-be Mdeée érdemes elemez orább do lá rléo leboyolíás eredméyé és övıbe legobb bevál módszer llmz 55 EREDMÉNYTİL FÜGGETLEN DÍJVISSZATÉRÍTÉSI TARTALÉK A rlé elevezése egy c megéveszı Ez rlé bzosíó eredméyéıl em függ de oré bzosíás szerzıdés eredméyéıl ál ább Abb z esebe ell megéez h szerzıdés szer bzosíó dívsszéríésre dícsöeésre vgy bármlye más szolgálásr öeleze h bzosíás szerzıdés edvezı árlulású és mérlegzárásg elesül ez edvezı árlulás Az lye íusú szerzıdéseel 4 feezebe már fogllozu Legye megfelelıe ocáz K J ζ ξ d χ η β χ c < ξ c ehá meybe bzosíás dısz l ár K öveez be or bzosíó dí részé érí vssz bzosíás dısz végé meybe ovábbá árfzeés elér c -e de em hld meg c - or bzosíó dí β részé érí vssz bzosíás dısz végé A ocázo bosu fel mérlegzárás elı és uá részre: ζ ζ ζ η η η ξ ξ ξ ovábbá legye d mérlegzárás uá dıszb fzeedı dí vgy meg em szolgál dí rlé A dí ρ része megy ölségere Mérlegzárásg drb ár öveeze be és - e fzee A mérlegzárás uá ocáz és dí ülöbségée várhó érée öveezı lesz: V d E K l ζ ρ d η ξ E ξ η ξ l P ρ d η l η ξ β P c < ξ c η ξ c < Az 5 formulá z felele meg legobb h ez z éré lee z eredméyıl függele dívsszéríés rlé Vegyü észre hogy ebbe z esebe elıfordulh hogy rlé egív Ez or öréhe meg mor mérlegzárásg edvezıle vol árlulás és így már evés dívsszéríés várhó A mgyr szbályozás zob más rléo ír elı: Az eredméyıl függele dívsszéríés rléo árgyév mérleg fordulóá z érvéybe levı szerzıdése lá ell megéez Ameybe vlmely szerzıdésél mérleg fordulóá dí- 35

136 vsszéríés feléele feáll bb z esebe rléé várhó éves dí-vsszéríés összeg dıráyos részé ell megéez Így V helye rlé: V d K l l c c P η η ξ β P < ξ η ξ l c < hol szerzıdésbıl mérlegzárásg elel dı hárlévı dı Lász hogy é rlé em egyez meg ezér bár bzosíó uárus öeles másod rléo megéez de mdg össze ell hsolí z elsıvel s 55 Péld: A Szederermelı Országos Egyesülee g részére csooros blesebzosíás öö Nféy Bzosíóvl 999 oóber -ıl egy éves rmr A bzosíó mlló foro fze blese hlál eseé Az egyesüle hvo 5 ezer for bzosíás dí fze Ameybe go özül legfelebb egy ember hl meg blesebe bzosíó 5 ezer foro vsszfze z egyesülee Mey eredméyıl függele dívsszéríés rléo elle éeze erre szerzıdésre bzosíó 999 december 3-é? A válsz megdásához még ovább dor v szüségü Elıször s hogy mlye blese hlál vlószíőséggel számol bzosíó 5 -es esebe ocáz ezer forb és várhó érée: ζ ξ 5χ η η Eζ Eξ 5P A dí öbb ezer for része ölség A vlószíőségé hogy egy bzosío / lleve 9 hóo belül meghl blesebe éelezzü fel A rléo ehá öveezı módo hározhu meg ξ η ρ 5 η η V E d P 9/ / 5 9 / -e lleve 9/ 9/ 9 999/ 5χ χ / V 5 3 P η η χ 5 χ / 9/ 9 999/ 9 999/ χ 5 Az lább ábláz rléo umerus érée mu be 36

137 V V Láhó hogy é rléolás eleıse elérı eredméyee d Az állm szbályozás szer rlé em lehe egív Ez óvosság s felfoghó hsze ezde rossz árlulás elezhe z hogy ocáz rosszul vol ezelve Mos hározzu meg rléo legább gyor esebe mor ármeesség eseé érí vssz dí bzosíó! V V d d ξ η ξ ρ d h η > E ξ η ρ P η η h η 55 E dp η η h η 55 h η > Az 55 és 55 éleee ovább lehe egyszerősíe h árfolymról ovább feléelezésee eszü Például h mérlegzárás elı és uá áreseméye árfzeése függelee egymásól or ξ ρ d dp η ξ ρ d h η > E h η V 553 E V dp η h η h η >

138 38 Ameybe z éves dí várhó éré elvvel hározá meg ρ ölség melle or feléelezve hogy egy dısz ocáz és dí ráyos z dısz hosszávl u 4 állíás segíségével: P P E P P E P E d d d d η η ρ ξ η η ρ ξ η ρ ξ Ebbıl z elsı rlér [ ] > h P P E h P P P P P P E η η η ρ ξ η η η η ρ η η ρ η ρ ξ d d d d d d V 555 Így é rlé ülöbsége: [ ] > h P P h P P - η η η η η η d d V V 55 Péld: Tesü 4 éldá és hározzu meg Tory Ubul szerzıdésée eredméyıl függele dívsszéríés rléá 998 december 3-ére! Felesszü hogy z elsı félév fzeés függele másod félévıl Eor N N N -vel elölve árszámo öveezı eloszláso o megfelele szl: P 9 P N N P 8 P 8 P N N N A meg em szolgál dí rlé z egyszer dí fele: 68 ry 4 8 ry 39 d T hol z elsı éré várhó éré elv lá meghározo díból másod szóráségyze elv lá meghározoból szármz Az 554 formul zol d ogszbály szer eredméyıl függele dívsszéríés rléo

139 Várhó éré elv eseé: ry h N V h N > Szóráségyze elv eseé: ry h N V h N > Várhó éré elv eseé özveleül llmzhu V meghározásár z 555 élee: ry h N V ry h N > A szóráségyze elvél vssz ell érü z 554 élehez: / ryh N V / 545 ry h N > Az eredméye z see hogy ogszbály szer rlé meg óvosbb Hsolísu össze é rlé várhó éréé or mor dí várhó éré elvvel hározá meg E V E V Lász hogy é rlé várhó érée megleı módo megegyez Ee csá dód öveezı feld 55 Feld: Hsolísu össze meg em szolgál dí rlé várhó éréé álláos esebe! Gyor hogy mérlegzárás elı és uá öréése függe egymásól Ez fordul elı éldául or mor bzosío árszám rögzíe rzórméer melle Posso-eloszlású és rzórméer gmm-eloszlású Eor árszám egív bomáls eloszlású lásd z éldá A öveezıe feléelezzü: 39

140 4 E P E E P E! P P P P! P! P η η η η υ ρ η ρ η η ρ ξ ξ ξ η υ η υ η υ η η υ η υ η Γ Γ Γ d e f e e A 3 éldából udu hogy z { } η feléel melle υ feléeles eloszlás s gmm de rméere -r váloz Ebbıl P η η Γ Γ! A rléor így z 55 és 55 formulá segíségével u hogy h E E h E E V η ρ ρ η ρ ρ > h h E η η ρ V 55 Feld: A Mgyrország Bzosíó géármő-bzosíásáál szerzıdı árszámá eloszlás megegyez z éldáb llesze eloszlássl Egy ár várhó érée mlló for A bzosíó ármees év uá dí %-á vsszérí A dí várhó éré elvvel és

141 5%-os ölségrésszel hározá meg Készíse áblázo melybe meg em szolgál dí rlé szereele! 56 EREDMÉNYTİL FÜGGİ DÍJVISSZATÉRÍTÉSI TARTALÉK Ez rléo legább élebzosíásoál éz öbblehozm vsszuásár Elıfordul ézése zob em-élebzosíásál s mor szerzıdése egy csoorá edvezı árlulás eseé bzosíó öbbleszolgálás válll E rlél csolos mem roblémá elese megegyeze z eredméyıl függele dívsszéríés rlé roblémávl cs ocáz egyed ocázo összegével egyez meg Nemélebzosíásoál érdemesebb úgy megd ereee hogy eredméyıl függele dívsszéríés rléo elle éez mvel z eredméyıl függı rlé felhszálás em egyszerő 57 KÁRINGADOZÁSI TARTALÉK ÉS A NAGYKÁROK TARTALÉKA E rléo rr szolgál hogy bzosíó z eredméyes éverıl rléolo rosszbb évere Alveı ülöbség öbb rléhoz ées hogy ez rléo em feálló öelezesége m ell éez Az ágzo yereségébıl lehe gyároál egyes eseebe ell ez rléo úgy éez hogy z ogszbály d méreee e lée úl Foos megöés hogy cs z do ágz veszesége eseé lehe felhszál Tehá h bzosíó erıse veszeséges de gy árgdozás rlél redelezı ágz yereséges or ehhez rléhoz em szbd yúl Em ez rléo em yereségoreál bzosíó egyesüleee em s álo éez hsze ı yereségüe mde veszeség élül ıéü övelésére fordíhá A bzosíó részvéyársságo eseébe z ágz sáosság úlmeıe fgyelembe ell ve bzosíó álláos helyzeé és z dózás öryezee s 58 EGYÉB BIZTOSÍTÁSTECHNIKAI TARTALÉK Ee rlé léezése leheıvé esz z hogy bzosíó rlé eléré leglább z 5 éleel meghározo érée Ugys ogszbály öveezıe mod 4

142 Az egyéb bzosíásech rlé z egy vgy öbb bzosíás módoz sá vgy vszobzosíásb ve mővelése sorá z oly gy vlószíőséggel beöveezı övıbe veszeség fedezeére szolgál melye feálló szerzıdés öelezesége m em vgy cs ésıbb dıszb lehe megszüe A várhó veszeség gyságredé z do bzosíás módozo mővelésée leglább év d lá észíe eredméyelszámolás és z do szerzıdése érvéyességég várhó ár- és ölségráfordíás lulvevı lulácóvl ell megállí fgyelemmel módozo dílulácóár 3 A rléo évee mérleg fordulóá mérlegészíés dıoág redelezésre álló formácó fgyelembe véve más bzosíásech rléob redelezésre álló fedeze beszámíásávl ell megállí A rlészüségle z e fedezee meghldó várhó veszesége összegével egyelı Tehá e rlé gyság: Egyéb bzosíásech rlé m várhó szolgáláso - várhó díbevéele - öbb bzosíásech rlé Mlye eseebe v szüség lye rlé ézésére? Elsısorb or mor derül hogy z llmzo díéele em megfelelıe de zo módosí vgy szerzıdés felmod cs egy ésıbb dıob lehe Rább z z ese mor ogszbály elıíráso em esz leheıvé megfelelı rléézés és rléháy z egyéb rlé ézésével óolá 58 Péld: Tesü z 55 éldá! Tegyü fel hogy z do módozb cs Tory Ubul szerzıdése mrd meg 998-r ebbe z évbe em oozo ár A régebb szerzıdése ár elese lezárá A éldáb megállíou hogy ogszbály szer meg em szolgál dí rlé 57 ry mözbe szüséges éré ry Mvel módozo már öbb m é éve mővel bzosíó ezér 5 ry érébe egyéb rléo éez 998 december 3-re A feeze végé még egyszer szereé hgsúlyoz z uárus felelısségé rléo ézéséél Ameybe rléo úl lcsoy sze állí be or megövel z év eredméyé Ez z eredméyez hogy összességébe éz vo el bzosíóól mvel ésıbbebe öbbe ell fzee m mey rléol de z lulrléolásból szármzó öbble egy része ddgr már elúszo dór oszlér sb H vszo úl mgs rléo éez or ro bzosíó eredméyé és z állm se u z ı meglleı részhez Techlg se öyő meghároz szüséges mérée Láu hogy ülöbözı módszere eleıse ülöbözı rléo eredméyeze Az s eleıs befolyásoló éyezı 4

143 hogy mlye do veszü fgyelembe és melyee hgyu el Soh em szbd elleırzés élül cs formáls számol! 43

144 6 FEJEZET EGYÉB BIZTOSÍTÁSI PROBLÉMÁK Ebbe feezebe é secáls bzosíás feldo árgylu melye megoldásáál llmzzu z elızıebe megsmer eszözöe 6 Kárráy elıreelzése m legegyszerőbb lulácós módszer M bevezeésbe emlíeü bzosíáso csoorá díoszály módoz ágz sb egy do dıszr voozó árráy csoor dısz l beöveeze ár és csoor bzosíás összegee háydos Mgyrországo z uóbb dıg álláos elered módszer vol árráy becslésé luló dímeghározás A módszer öveezı vol: díoszály orább árráy segíségével vlmlye sző felsı orláo d öveezı év árráyár Egy bzosíás eó dí ezuá bzosíás összeg árráy felsı orlá E módszer elıye egyszerőségébe rel A felsı orlá meghározásár vol egy dolgozo egyszerő és hbás meod [5] m bzosíásb dolgozó elfogd és m mde elıézeség élül lehee llmz Megróbálu felsorol módszer háráy és veszélye melye még helyes meod melle s megmrd: Nem vesz fgyelembe z éve állomáyülöbségé b A áro elese reve v ülööse veszélyes áro em "büe" c A árráyo dısorá álláb ehéz részlees ssz vzsgál láve mer hossz legrább esebe ér el éve cse Mor llmzzu mégs ez módszer? Cs or h semmlye más du Jelölü ξ -vel z -ed év árráyá Feléelezzü hogy eze függele ormáls eloszlású H árráyo dısor em mu rede or z zoos eloszlás s feléelezzü Tesü mos ez z esee: 44

145 ξ m ξ ξ - fgyelü meg és ξ ~ N σ függelee 6 ξ -re ru oly orláo mely l z ε vlószíő- séggel mrd H m és σ smer lee or gyo egyszerő dolgu lee mvel ξ m σ ξ < m u σ P < u Φ ε P ε ε uε hol Φ sdrd ormáls eloszlás eloszlásfüggvéye és u ee ε ε -vlse A roblém zob o bból dód hogy z eloszlás rméere smerelee Természees megoldás ő várhó éré és szóráségyze helyébe szl éréee beír Eor zob z u ε együhó s meg ell váloz hogy ξ ε vlószíőséggel orlá l mrdo Hogy mlye együhó ell llmz mu öveezı állíás 6 Állíás: Tegyü fel hogy elesül 6 feléel eor z elöléseel mˆ ξ és σ ˆ ξ mˆ hol ε ξ < m ˆ ˆ ε σ ε P z - szbdságfoú -eloszlás Sude-eloszlás ε vlse Bzoyíás: Nevezees éy hogy ormáls m eseé szl özé és szórás függelee Mvel ξ függele ξ ξ ξ -ıl így z s függele szl szórásól Tehá ξ mˆ válozó melye eloszlás Ee öveezébe σ N σ függele z - szbdságfoú σ ˆ σ -ıl ξ mˆ ˆ σ χ eloszlású válozó - szbdságfoú -eloszlású Tehá ξ ξ σ ˆ m ˆ ˆ P m ε < ε ε ˆ σ P < m o éel állíásá d *** 45

146 6 Péld: A Nféy Bzosíó éülebzosíás módozo r beveze 996-ól Egy muárs orább Mgyrország Bzosíóál dolgozo és ud hogy bzosíó éülebzosíás árráy 99-be b 7 és 994-be 6 ezrelé vol Ú muhelyére elhoz rföyve s melyrıl ud hogy 7 ezrelées árráy feléelezve észül 4 százléos ölségrész számolv A Nféy Bzosíó 35 százléos ölségrész llmz és mérséele bzoságos dí r meghároz bevezeı 996-os évre Mlye rfá llmzzo? Mvel redelezésre álló formácó mmáls elsı megözelíésbe érdemes más bzosíó rföyvé és árráy lul ve Téelezzü fel hogy árráyo függele zoos eloszlású ormáls A szl özé és szórás zol számolhó: m 6 ˆ σ ˆ 3 3 Allmz ru 6 állíás ezér szüségü v szbdságfoú -eloszlás vlsere: Az állíás szer z 996-os árráy 9%-os sző felsı hár 95%-os 3 m ˆ σ 877 ˆ m ˆ σ 937 ˆ Természeese eze más bzosíó árráyár felsı háro de éyelee vgyu ez llmz A Mgyrország Bzosíó díéelé d-vel elölve z ú díéel 6d d vgy 6d d lee E számíáso lá bzosíó díéele oos ávéelérıl döö 6 Péld: Folyssu z elızı éldá! A Mgyrország Bzosíó felül r vzsgál éülebzosíás díéele 996-r A ermé meedzsere cs árráyoo luló díszámíás módszer smere így 88%-os díemelés vsol mvel 937/7~88 Elfogdhóe ebbe z esebe s ez módszer? 46

147 Semmée em Hsze bzosíó leglább 3 év részlees ársszáávl redelez Egyállá em bzos hogy rég rföyv ó díráyo hározo meg ülöbözı díoszályo özö credbly!!! Elézelheı hogy z örésze csee összhgb díl Mdeée meg ell vzsgál árszámo áreloszláso és még so egyebe s Természeese 6 állíás emcs árráyor llmzhó hem éldául árháydor árvlószíőségere s Ez mu öveezı éld s 63 Péld: Az 57 mlló losú Brevááb 4 éve özl hely ssz hvl blese m elhuy számá A 8 és 6 év özö blesebe elhuy számá és oroszály lészámá háydos öveezı vol: és 9 ezrelé Egy bzosíó egy évre szerzıdés ö z állm vsúárssággl hogy bzosí dolgozó blese hlál eseére ezer embere mlló r 5 ezer embere 5 mlló r és ezer embere mlló r bzosíás összege Becsülü meg vlószíőségé hogy ölsége levoás uá megmrd mlló rs dí em lesz elég fzeésere! Mvel 8 és 6 özö oroszály lészám md égy évbe meghld 5 mlló ezér em fogdhu el z hoézs hogy blese hlál vlószíősége md égy évbe ugyz vol mér? Ezér esü öveezı áblázo mely z mu hogy h blese hlál vlószíősége ξ -vel elölü 5 és 45 ezrelé özé es or mey lesz z összár S-sel elölü várhó érée szórás és vlószíősége hogy -ál sebb mlló rbe számolu Megegyezzü hogy vlószíőségee em ormáls özelíéssel hem De Prl módszerrel számolu állíás mvel z összár eloszlásá ormáls özelíése ol b 5% hb eredméy d ebbe z esebe gy szóráso m ξ ezrelébe E S S P S D

148 A áblázból rögö lász hogy bzosíó elég gy ocázo válll hsze még z 5 ezrelées blese hlálvlószíőség melle s özel 5 százlé vlószíősége hogy em lesz elég dí Nylvávló gz öveezı egyelıleség: P S P S ξ P ξ P ξ > P S ξ P ξ P ξ > Allmzv 6 állíás u ξ P vlószíőségere z lább áblázo 6 ezrelé P ξ ezrelé P ξ ezrelé P ξ

149 A é áblázo ombálv dód hogy > P S > ξ 35 P ξ 35 P ξ > P S 6 Feld: Adu obb becslés P S > -r 6 egyelıleségél oosbb llmzv Ngyo gyr elıfordul hogy árráyo dısor rede rlmz melye rméere szé legrább esebe smerü Ilyeor segí öveezı feld megoldás 6 Feld: Aξ ξ ξ árráyo fgyelü meg z meg z -ed év árráyár ξ -re oly orláo mely l z ε és -ed évbe Adu vlószíőséggel mrd h árráyo függelee és -d évhez rozó eloszlás ξ ~ N b σ hol b és σ smerelee Hogy lássu mey váloz red feléelezése oldu meg öveezı feldo 63 Feld: Oldu meg 6 éldá zzl módosíássl hogy árráyo leárs öveedésé feléelezzü 6 EGY BALESETBIZTOSÍTÁSI PÉLDA * Egy bzosíóál 6 N blesebzosíás ööe Az országos do lá blese hlál vlószíőségé 664 -e vesz Mgyrországo losr uó blesebe meghl számá álg z s évere 664 Egy év elelével zob bzosíó redelezésére áll sá szl s -e hl meg A érdés z hogy bzosíó ovábbb s mővel blesebzosíásol csolos döésehez mlye mérébe vegye fgyelembe sá szlá Fogdu el öveezı feléelezés: mde egyes bzosío hlálozás vlószíősége θ hol θ rzórméer bzosíóé váloz P θ P θ - Az do öveezı módo lehe összefogll ermészees feléelezés z hogy θ várhó érée megegyez z országos dl: * Az lfeeze éld megírásához Komor Aszáz szdolgoz yúo segísége 49

150 µ σ E θ m E E θ 64 D [ E θ ] D θ D θ s E[ D θ ] E θ θ E θ E θ D θ Elıször becsülü meg bzosíó rzóá leárs! θ leárs credbly becslése: 6 z z m z z D z D θ 6D θ θ 6 Tehá Bühlm-for meghározásához rzórméer szórásár s szüségü v A for érée 6 grfo ábrázol szórás függvéyébe 6 Ábr: Bühlm-for A 6 ábr rzórméer leárs credbly becslésé mu be függvéyébe Dθ m/ r és m/8-r eresz Négyzeeel elölü z országos do Eor foro 957 lleve 375% Jól láhó hogy meyre evésbé ell fgyelembe ve sá szlo Dθ m/8 eseé 5

151 6 Ábr: A rzórméer becslése Mos ézzü meg hogy do ror eloszlás eseé mlye becslésee udu d Elıször esü z egyelees eloszlás eseé Legye rzórméer z országos d egy s öryezeére ocerálv θ ~ E m / c m / c D 4m / c m θ 3c Eor szóráségyze: Az elıbb vzsgál szórásérée c54 és 469-re öe Megróbálozhu más ror eloszlássl s Mvel θ érée és özé ese ezér ézefevı válszás bé-eloszlás llmzás A öveezıbe θ bé-eloszlású és β rméereel: Γ β β []; fθ Γ Γ β [] β Eθ D θ β β β A bé-eloszlás rméere úgy hározzu meg hogy várhó érée m-e dódo hsze ez z összes ror formácó: m 64 β Eor szóráségyze függvéyébe: m m D θ m

152 Így z elıbb vzsgál szóráso lleve re öe A rzórméer oseror sőrőségfüggvéye Byes-formul szer: f θ θ P f θ P f d θ θ N fθ θ N f d Ebbıl rzórméer credbly becslése feléeles várhó érée: N 6 E θ N f d N θ θ f d Egyelees eloszlás eseé z elızı formulából dód hogy f θ N m / c θ N d m / c m / c N N d E N d N m / c m / c m / c Bé-eloszlás eseébe helyze egyszerőbb mer 6 szer feléeles eloszlás úfe bé-eloszlás lesz cs és β rméere helye és βn- rméereel: f θ N Γ β β N Γ Γ β N β oss N Γ β β d Γ Γ β Eze szer várhó éré: E θ β N N Ez uóbb formulából lász hogy bé ror eloszlás eseé leárs credbly becslés egybees credbly becsléssel Mos hsolísu össze leárs credbly becslés r z egyelees ror eresz melle credbly becsléssel A becslésee függvéyébe ábrázolu Elıször 63 ábrá or mor rzórméer szórás m/ 5

153 63 Ábr: A rzórméer becslése m/ szórás Ezuá esü z z esee mor szórás m/8 64 Ábr: A rzórméer becslése m/8 szórás A bzosíó -be már 7 N embere r eld ez blesebzosíás egységese mlló for bzosíás összeggel Feléelezzü hogy z ú szerzıdı rzó megegyez már bzosíol Mey lesz z ocáz összdí m 99%-os vlószíőséggel elég lesz árfzeésere? Ameybe blese hlál vlószíősége o m or z összár S-sel elölve: 53

LUK ÁCS TA MÁS. Add, hogy lás sak... SEMJÉN ZSOLT: JUS RESISTENDI

LUK ÁCS TA MÁS. Add, hogy lás sak... SEMJÉN ZSOLT: JUS RESISTENDI LUK ÁCS TA MÁS Add, hogy lás sak... SEMJÉN ZSOLT: JUS RESISTENDI 33 34 KERESZTÉNYSÉG ÉS KÖZÉLET LUK ÁCS TA MÁS Add, hogy lás sak... SEMJÉN ZSOLT: JUS RESISTENDI 35 22 KERESZTÉNYSÉG ÉS KÖZÉLET Git tá nak

Részletesebben

Húsz éve ka to nák kö zött

Húsz éve ka to nák kö zött Evangélikus hetilap www.evangelikuselet.hu 79. évfolyam, 9. szám g 2014. március 2. g Ötvened vasárnap Ára: 275 Ft de át él tem ha son lót a ha tal mas dél ba jor hegy csú cso kon, a ha vas Har gi tán

Részletesebben

Közgyűlésekmindháromegyházkerületben Tisztújításazészakiakcsaládjában

Közgyűlésekmindháromegyházkerületben Tisztújításazészakiakcsaládjában Evangélikus hetilap www.evangelikuselet.hu 77. évfolyam, 39. szám g 2012. szeptember 30. g Szentháromság ünnepe után 17. vasárnap Ára: 250 Ft Az, hogy ma már nem erő szak kal aka runk/akar nak val lá si

Részletesebben

Nem azé, aki akarja...

Nem azé, aki akarja... MEDGYASSZAY LÁSZLÓ Nem azé, aki akarja... SEMJÉN ZSOLT: JUS RESISTENDI 33 34 KERESZTÉNYSÉG ÉS KÖZÉLET MEDGYASSZAY LÁSZLÓ Nem azé, aki akarja... ÉLETRAJZI BESZÉLGTÉS BESZÉLGETÕTÁRS KOZMA HUBA BESZÉDEK,

Részletesebben

A ver seny: Min den ze ne kar nak két ze ne szám elõ adá sá ra van le he tõ ség, egy sa ját tal és egy fel dol go zás sal kell ké szül nie.

A ver seny: Min den ze ne kar nak két ze ne szám elõ adá sá ra van le he tõ ség, egy sa ját tal és egy fel dol go zás sal kell ké szül nie. Ne ve zés: Ne vez het min den olyan, már mû kö dõ Ma gyar ze ne kar, aki je len leg még hi va ta lo san ki adott han ga nyag gal nem ren del ke zik. (Nem hi va ta los nak szá mít: ga rázs fel vé tel, de

Részletesebben

Mikor éri el a magyar gazdaság fejlettsége az Európai Unió átlagát?

Mikor éri el a magyar gazdaság fejlettsége az Európai Unió átlagát? Közgazdasági Szemle, XLVIII. évf., 2001. december (995 1008. o.) MELLÁR TAMÁS Mikor éri el a magyar gazdaság fejlesége az Európai Unió álagá? A anulmány az Európai Unió álagos fejleségi szinjéhez való

Részletesebben

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2008. má jus 14., szerda. 74. szám. Ára: 1755, Ft

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2008. má jus 14., szerda. 74. szám. Ára: 1755, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2008. má jus 14., szerda 74. szám Ára: 1755, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2008. má jus 14., szerda 74. szám Ára: 1755, Ft TARTALOMJEGYZÉK

Részletesebben

60. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2006. má jus 19., péntek TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 2783, Ft. Oldal

60. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2006. má jus 19., péntek TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 2783, Ft. Oldal A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2006. má jus 19., péntek 60. szám Ára: 2783, Ft TARTALOMJEGYZÉK 121/2006. (V. 19.) Korm. r. A Magyar Köztársaság Kormánya és az Indonéz Köztársaság Kor -

Részletesebben

A hónap mûvésze. Képviselõ-testületi ülés. Dunaharaszti Gazdakör. Faragó Tibortól búcsúzunk

A hónap mûvésze. Képviselõ-testületi ülés. Dunaharaszti Gazdakör. Faragó Tibortól búcsúzunk XXI. évfolyam 2012. január * Dunaharaszti Város Önkormányzatának Lapja A hónap mûvésze Képviselõ-testületi ülés Dunaharaszti Gazdakör Faragó Tibortól búcsúzunk 2. oldal 8. oldal 12. oldal 18. oldal 6.

Részletesebben

Pál fel tá ma dás hi té rõl

Pál fel tá ma dás hi té rõl Pál fel tá ma dás hi té rõl Hogyan alakult ki Pál hite Jézus feltámadásában, és miért vált szá má ra min den mást el söp rõ vé? A kor rekt vá lasz hoz (rész- ben te o ló gi ai, rész ben pszi cho ló gi

Részletesebben

AZ AL KOT MÁNY BÍ RÓ SÁG HATÁROZATAI

AZ AL KOT MÁNY BÍ RÓ SÁG HATÁROZATAI 2012. november 12. 2012. 9. szám HATÁROZATAI HI VA TA LOS LAP JA T A R T A L O M 3301/2012. (XI. 12.) AB ha tá ro zat jog sza bály fo lya mat ban lé võ ügy ben al kal ma zá sá nak kizárá - sáról... 603

Részletesebben

A KI HALL GA TÁ SI TECH NI KÁK EM LÉ KE ZET RE GYA KO ROLT HA TÁ SA: A SZEM TA NÚ-EM LÉ KE ZET SÉ RÜ LÉ KENY SÉ GÉ NEK BI ZO NYÍ TÉ KAI

A KI HALL GA TÁ SI TECH NI KÁK EM LÉ KE ZET RE GYA KO ROLT HA TÁ SA: A SZEM TA NÚ-EM LÉ KE ZET SÉ RÜ LÉ KENY SÉ GÉ NEK BI ZO NYÍ TÉ KAI ALKALMAZOTT PSZICHOLÓGIA 2011/4, 39 62. 39 A KI HALL GA TÁ SI TECH NI KÁK EM LÉ KE ZET RE GYA KO ROLT HA TÁ SA: A SZEM TA NÚ-EM LÉ KE ZET SÉ RÜ LÉ KENY SÉ GÉ NEK BI ZO NYÍ TÉ KAI RÉPÁSI Éva HA LÁSZ Er

Részletesebben

Szü re ti Mu lat ság ÜN NE PEL TÜNK A TAR TA LOM BÓL. A ha gyo má nyos szü re ti fel vo nu lás és bál Szent ki rá lyon 2013. szep tem ber 21-én lesz.

Szü re ti Mu lat ság ÜN NE PEL TÜNK A TAR TA LOM BÓL. A ha gyo má nyos szü re ti fel vo nu lás és bál Szent ki rá lyon 2013. szep tem ber 21-én lesz. XXIV. ÉV FO LYAM 9. szám ÁRA: 100,-Ft 2013. szep tem ber SZENT KI RÁ LYI ÜN NE PEL TÜNK www.szentkiraly.hu Köz sé günk név adó já nak, Szent Ist ván nak ne ve nap ján au gusz tus 20-án mél tó ság gal em

Részletesebben

A MAGYAR BÁNYÁSZATI ÉS FÖLDTANI HIVATAL HIVATALOS LAPJA

A MAGYAR BÁNYÁSZATI ÉS FÖLDTANI HIVATAL HIVATALOS LAPJA XV. ÉVFOLYAM 3. SZÁM 2007. NOVEMBER 23. A MAGYAR BÁNYÁSZATI ÉS FÖLDTANI HIVATAL HIVATALOS LAPJA Szerkesztõség: 1051 Bp., Arany Já nos u. 25. Te l.: 301-2924 Megjelenik szükség szerint Ára: 924 Ft F E L

Részletesebben

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2008. jú ni us 19., csütörtök. 90. szám. Ára: 2830, Ft

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2008. jú ni us 19., csütörtök. 90. szám. Ára: 2830, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2008. jú ni us 19., csütörtök 90. szám Ára: 2830, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2008. jú ni us 19., csütörtök 90. szám Ára: 2830, Ft TARTALOMJEGYZÉK

Részletesebben

ÉR ZÉ KE LÉS PSZI CHO LÓ GIA A DI GI TÁ LIS MÉ DI Á RÓL

ÉR ZÉ KE LÉS PSZI CHO LÓ GIA A DI GI TÁ LIS MÉ DI Á RÓL ÉR ZÉ KE LÉS PSZI CHO LÓ GIA A DI GI TÁ LIS MÉ DI Á RÓL A Ma gyar Tu do mányos Akadémia né hány kutatócso portjá nak köz re mû kö dé sé vel, a Tu dás tár sada l om Ku ta tó központ s zervezésében ta nulm

Részletesebben

A tõ ke pi a ci sze rep lõk

A tõ ke pi a ci sze rep lõk Sza bó Zsolt A tõ ke pi a ci sze rep lõk ki vo nu lá sá nak, til ta ko zá sá nak, hû sé gé nek gaz da sá gi nö ve ke dés re gya ko rolt ha tá sa Ös sze fog la ló: a glo bá lis szin tû pénz- és tõ ke pi

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK Elõ szó...3 I. FEGYVERNEK HELYE, HAGYOMÁNYOK, TÖRTÉNETE...4 1. A nagy köz ség te rü le ti el he lyez ke dé se...4 2.

TARTALOMJEGYZÉK Elõ szó...3 I. FEGYVERNEK HELYE, HAGYOMÁNYOK, TÖRTÉNETE...4 1. A nagy köz ség te rü le ti el he lyez ke dé se...4 2. TARTALOMJEGYZÉK Elõ szó...3 I. FEGYVERNEK HELYE, HAGYOMÁNYOK, TÖRTÉNETE...4 1. A nagy köz ség te rü le ti el he lyez ke dé se...4 2. Ter mé sze ti jel lem zõk...4 3. A te le pü lés múlt ja...6 4. Fegy

Részletesebben

Megbízhatóság-elmélet. 2. rész

Megbízhatóság-elmélet. 2. rész Megbízhaóság-elméle. rész Rendszerek megbízhaósági vizsgálaa Boole modell szerin Min & mb. rész Megbízhaóság szemponjából jellegzees rendszersrukúrák Redundancia menes rendszer - bármely rendszerelem meghibásodása

Részletesebben

Hát rány ban az előny A szociokulturálisan hátrányos tehetségesek

Hát rány ban az előny A szociokulturálisan hátrányos tehetségesek Hát rány ban az előny A szociokulturálisan hátrányos tehetségesek GÉNIUSZ KÖNYVEK A Géniusz Könyvtárat a Magyar Tehetségsegítő Szervezetek Szövetsége által koordinált Magyar Géniusz Program keretében megjelentetett

Részletesebben

NYELV ÉS BE SZÉD MINT A KARTEZ IÁNUS EM BER DIF FER EN TIA SPECI FI CA- JA

NYELV ÉS BE SZÉD MINT A KARTEZ IÁNUS EM BER DIF FER EN TIA SPECI FI CA- JA Dékány And rás NYELV ÉS BE SZÉD MINT A KARTEZ IÁNUS EM BER DIF FER EN TIA SPECI FI CA- JA (Ap ró meg jegy zé sek egy is mert descartes -i szö veg hely néhány idé ze té hez ) Elsô idézet: azok, akik tud

Részletesebben

TÖR TÉ NEL MI KÉ PEK KOR TÁR SA INK MA GYA RÁ ZA TÁ BAN

TÖR TÉ NEL MI KÉ PEK KOR TÁR SA INK MA GYA RÁ ZA TÁ BAN Mes ter Bé la TÖR TÉ NEL MI KÉ PEK KOR TÁR SA INK MA GYA RÁ ZA TÁ BAN A Sipáni Úr pél dá ja Í r á s o m b a n a z e lm úl t é vt iz ed e k e g y i k l e gj el e ntôs e b b r é g é s z e t i l e l e té

Részletesebben

Ha tehetséges a gyerek

Ha tehetséges a gyerek Ha tehetséges a gyerek GÉNIUSZ KÖNYVEK A Géniusz Könyvtárat a Magyar Tehetségsegítő Szervezetek Szövetsége által koordinált Magyar Géniusz Program keretében megjelentetett kötetek alkotják. A sorozat célja,

Részletesebben

Épít ke zõk. Oláh Ro land szo ci á lis mun kás

Épít ke zõk. Oláh Ro land szo ci á lis mun kás Épít ke zõk Jú li us ele jén Ágon te tõ fel újí tás ba fo gott Or sós Flóra és Fá bi - án. A Hab itat Pont és a Köz-Tér-Há ló Ala pít vány köz re mû kö dé - sé vel meg va ló su ló mun kát már áp ri lis

Részletesebben

Hit, remény, a hévízgyörki református egyházközség hírlevele l 2011/május

Hit, remény, a hévízgyörki református egyházközség hírlevele l 2011/május Hit, remény, szeretet a hévízgyörki református egyházközség hírlevele l 2011/május Hús vé ti üze net Mert úgy sze ret te Is ten e vi lá got, hogy egy szü lött FI át ad ta, hogy aki hisz Ben ne el ne vesszen,

Részletesebben

A reflektív gondolkodás fejlesztése

A reflektív gondolkodás fejlesztése A reflektív gondolkodás fejlesztése GÉNIUSZ KÖNYVEK A Géniusz Könyvtárat a Magyar Tehetségsegítő Szervezetek Szövetsége által koordinált Magyar Géniusz Program keretében megjelentetett kötetek alkotják.

Részletesebben

Al go rit mu sok és táb lá zat ke ze lés Te het ség gon do zás a köz ok ta tás ban az in for ma ti ka te rü le tén

Al go rit mu sok és táb lá zat ke ze lés Te het ség gon do zás a köz ok ta tás ban az in for ma ti ka te rü le tén Al go rit mu sok és táb lá zat ke ze lés Te het ség gon do zás a köz ok ta tás ban az in for ma ti ka te rü le tén GÉNIUSZ KÖNYVTÁR A Géniusz Könyvtárat a Magyar Tehetségsegítő Szervezetek Szövetsége által

Részletesebben

MAGYAROK A BÉKEFENNTARTÁSBAN

MAGYAROK A BÉKEFENNTARTÁSBAN Kiss Zoltán László MAGYAROK A BÉKEFENNTARTÁSBAN ZRÍNYI KIADÓ Kiss Zoltán László MAGYAROK A BÉKEFENNTARTÁSBAN Kiss Zoltán László MAGYAROK A BÉKEFENNTARTÁSBAN Katonaszociológiai adalékok a nemzetközi béketámogató

Részletesebben

Az iro dal mi al ko tó te vé keny ség fej lesz té se

Az iro dal mi al ko tó te vé keny ség fej lesz té se Az iro dal mi al ko tó te vé keny ség fej lesz té se GÉNIUSZ KÖNYVEK A Géniusz Könyvtárat a Magyar Tehetségsegítő Szervezetek Szövetsége által koordinált Magyar Géniusz Program keretében megjelentetett

Részletesebben