Mintavételezés és visszaállítás 6. MINTAVÉTELEZÉS ÉS VISSZAÁLLÍTÁS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mintavételezés és visszaállítás 6. MINTAVÉTELEZÉS ÉS VISSZAÁLLÍTÁS"

Átírás

1 6. A mamaikai miavélzé 6. MINAVÉELEZÉS ÉS VISSZAÁLLÍÁS Milő blkzdük a dizkré idjű rdzrk árgyaláába ill vola azzal a kérdél foglalkozi, ogy a miavélzél lőállío dizkré idjű jlből vzég m vizaállíaó- vajo a folyoo idjű jl? A válaz jjük: ig. Az alábbiakba a vzégm vizaállíá fléli kívájuk izázi. Az alcímb zrplő mamaikai jlző arra ual, ogy a valóágo rdzrk az alábbiakba árgyal rdzről prakiku okokból lérk. Mi lái fogjuk, a valóágo rdzr áramköri az idalizál áramkörök zőlg pooággal mg udják közlíi ayira, amíg az léré layagolaóvá válik é így a vizaállíá majdm ökél. Lgy a mamaikai miavélzé folyoo idjű miavvő függvéy a Diracdla függvéykből lőállío priodiku ( függvéy: ( δ ( A Dirac-dla függvéy az géz érlmzéi aromáyá zéru, kivév gyl poo, amikor az argumuma zéru. I a függvéy érék végl agy, d úgy, ogy az igrálja gyégyi. (6. a δ ( é ( (6. a δ d Folyoo f(-r: f ( δ ( d f ( δ ( d f ( (6.3 Az x( folyoo idjű jl mamaikai miavélzéé az alábbi ljárá érjük: x ( x( ( x( δ ( (6.4 Ez a folyoo idjű jl ayiba dizkré idjű, ogy az idő agy rézéb zéru érékű, kivév a miavéli időköz gézzámú öbbzöröiél, amikor: ( x( x x. ( ( ( ( Ezzl: x x δ x δ (6.4 Ez gy folyoo idjű jl, mlyk a pkrumá a Fourir igrál adja: ( F x ( j { } x ( d xδ ( j d ℵ ℵ Az igrálá é az özgzé orrdjé flcrélv: ( x ( j j j { } x ( d x δ ( d x F (6.5 ℵ ℵ -3

2 A (6.5-b a dizkré idjű oroza DF-jé imrjük fl, ami gy Fourir igrál kizámíáával kapuk. A jlk rprzációjáak árgyalááál a oroza pkrumá dfiíció zrű a (6.5 zrii kifjzé érük. Mo lájuk, ogy a pkrum lvzé jogo vol, a dizkré idjű Fourir razformál ugya az a fizikai aralma jli, mi a folyoo idjű jlkr a Fourir igrál. A Dirac-dla miavvő függvéy végl ampliúdójára a jl vég rgiájáak bizoíáa érdkéb vol zükég. Ugyai az igrálába a görb alai rülk zéruól külöbözők kll li, a l akarjuk krüli az azooa zéru rdméy. rméz gy mgvalóíaó miavéli ljárába m zrpl Dirac-dla jl (godoljuk cupá az élbizoági lőíráokra. A valóágo miavélző olya áramkör, amlyik a jlből közl pillaaérék zrii miá vz, ami gy vég x érék. Hogy z a fzülég érék m fzülég formába azáljuk majd fl, am gy aalóg-digiál áalakíóval gy mérőzámmá kovráljuk, az gylikb m fog ükröződi. Vizgáljuk mg a miavélzéi ljáráak a jl pkrumára gyakorol aáá! A folyoo idjű jl pkruma: ( x( j d (6.6 A miavvő jl gy priodiku jl, mly lőállíaó Fourir orával. A Fourir or gyüaói: + + jk jk Ck ( d ( d co δ (6.7 (I flazáluk (6.3-a. jk Ezzl: ( δ ( Ck k k jk (6.8 Aol a miavéli (körfrkvcia: A miav jl pkruma: π πf (6.9 j jk j j( k ( x( ( d x( d x( Figylmb vév (6.6-o: k ( ( k k k d (6. A miav jl pkruma: a folyoo idjű jl pkrumáak priodiku kirjzé. A ké alak gy formulába (Poio özgzéi formula: ( ( k k x j (6.. -3

3 ( / - * ( - - / 6.. ábra A ávaárol pkrum priodiku kirjzé 6. A mamaikailag miavélz jl vizaállíáa A mgválazoladó kérdé: az x( oroza imréb vizaállíaó- az x( függvéy? A válaz az, ogy bizoyo flélk baráa mll: ig. Korábba ivakozuk a rprzációk gyérékűégér. A válaz lggyzrűbb a frkvcia aromáyba adajuk mg. A 4.. ábrá ézv a kérdé az, ogy az * ( függvéyből ogya állíaák lő (-á. Ha z ikrül, akkor bláuk a vizaállíaóágo. Ikauk az x * ( rdzr újába gy folyoo idjű liári rdzr, mlyk ávili függvéy: a < H ( (6. a Ez a liári rdzr vzzük idáli alul-árző zűrők. A pkrum módzr zri: < ( ( ( ( + a H H ( k (6.3 k a ( x ( ( x*( *( H( x ( ( *( 6.. ábra A mamaikai miavélzé é vizaállíá émája Ha az frkvciára ávaárol pkrumo m mgfllő béggl miavélzzük ( <, akkor a 6.3. ábra zrii ziuáció fog lérjöi. Az alulárző zűrő kimé lévő jl pkrumába álapolódáok (aliaig jök lér, amly pkrum özvők az rdi jlb m volak, é amlykől a kéőbbikb már m uduk mgzabaduli. Ugyacak álapolódá jö lér, a az rdi jl m vég arójú, azaz m ávaárol. Ezér a miavélzé lő, idokol gy ávkorláozó (ai-aliaig alulárző alkalmazáa. A miavéli frkvciá úgy kll mgválazai, ogy a azo jláv flő zélék érékéél lgalább kézr agyobb lgy. (

4 * ( - - / H( - / # ( / Álapolódáok - / / 6.3. ábra Álapolódá lérjö, amikor m lég gyor a miavél 6.3 Sao miavéli él Lgy a folyoo idjű x( jl Fourir razformálja az (! Aol: az (, amyib, azaz a jl ávaárol. ( ( Ekkor: x( i x( (6.5 π Aol é A él az állíja, ogy a dizkré időpookba flv érékk mgaározzák az x( öz közbülő időpillaabli éréki. ( i π π ábra Az irpolációba azál i(x/x függvéy kép Az irpoláló függvéy foo ulajdoága: ( π / i π / a a (

5 Bizoyíá: A [-,+ ] aromáyba állíuk lő (-á Fourir orával! Aol: c ( x x jπ j ( c c π + j d j j Mivl: ( ( ( ( I kiazáluk, ogy ( ávaárol: ( (, a Ezzl: c x( Az időfüggvéy: x π + π π + d π + j j j j ( ( ( d c d x( d + Kizámíva az igrál éréké, mgkapjuk (6.5-ö, ami bizoyíai akaruk: d + j( d j j( ( + j ( j ( j ( i ( ( 6.3 A mgvalóíaó miavélzé é vizaállíá Maapág a mgvalóío rdzrkb a miavélzé a korzrű aalóg-digiál áalakíók végzik. Ezk az áramkörök valójába ké fukció láak l: a miavél-ará é az aalóg-digiál áalakíá fukciójá. A miavél-ará fladao gy kodzáor é gy kapcoló lája l. A kapcoló agyo rövid idig rákapcolja az áalakíadó jl a kodzáorra a miavél pillaaába. A kodzáor flölődik rr a fzülégr, majd miuá a kapcoló yi, arja z az érék a kövkző miavélig. (A kapcoló agyo rövid idjű záráa a pillaaérék pooágá aározza mg. A arára azér va zükég, mr a jl digiáliá kovráláára időr va zükég az áalakíóak. A kim gy kód, maapág z ipikua az u.. k komplm kód, ami gy k zámrdzrbli lőjl zámo ad. (Kéőbb rről majd bővbb. Ez áramkörök jllmző adaa: a maximáli miavéli bég é kimi kód zóozúága. A fldolgozadó jl az áalakíá mglőző mgfllő kodicioáli kll: a jl forráa álalába éáy milli- lg mikro-volo. Az aalóg-digiál áalakíók mgfllő kivzérlééz ipikua Vol agyágrd zükég, á lőrőíőr va zükég. Ha m vzérljük ki az A/D áalakíó a lőégkk mgfllő, akkor jlő jl-zaj vizoy romlá apazaluk, amiről kéőbb bőv lz zó. A flrőí jl kapcolódik a pkrum álapolódá mglőzéé zolgáló alulárző (ai-aliaig zűrőr (lád a 6.4.ábrá. A rdzr rvzékor ado a fldolgozadó frkvcia áv agyága, pld a mai agrdzrkb (CD a - khz aromáy. A miavéli frkvcia 44. khz ami agyobb a khz kézréél. Err azér va zükég, ogy a zűrő az árző é a záró aromáya közöi ámi aromáyba (khz-.5 khz l udja éri a zükég cillapíá érék (kb 8 db. 5-3

6 Előrőíő Sáva. zűrő Miavvő A/D áalakíó Digiáli jlfldolgozá Aalóg jl Digiáli jl D/A áalakíó aró á.k. Simíó zűrő Végrőíő 6.4. ábra A digiáli fldolgozá végző rdzr illzkdé az aalóg köryzz Az aalóg jllé öréő kovrzió a D/A áalakíó végzi. A mamaikai miavélzéél a digiáli aromáy kiagyuk, miáka fzülég érékűk kiük. A árgyalába a dizkré idjű mia agyága vol cak érdk, aak rprzációja (.i. ogy az gy fzülég érék, vagy aak cak a mérőzáma m vol érdk a kiűzö kérdék mgválazoláába. A véglül kky fzülég miákak úgy uduk vég rgiá bizoíai, ogy végl agy ampliúdó (a mia érékévl úlyozo Dirac-dla impulzuoka gdük mg. A rkoruáló (imíó zűrő z vég rgiájú bmő jlből állíoa lő a vég rgiájú rkoruál jl. A mgvalóíaó rdzrb i vég rgiájú jlll kll ápláli a imíó zűrő, ami a mgajó impulzuok vég zélégévl bizoíuk. Ha z a zélég épp a miavéli idő, akkor a kimő jl gy lépcő ullámalak. Ez az ljárá az u.. ulladrdű ará. A mai D/A áalakíókba z a ké fukció (a kovrálá é a ará gy cipb valóul mg. A D/A-ba blépő miák A ullad-rdű aró kim A imíó zűrő kim 6.5. ábra A jl rkorukció jlalakjai A mgvalóíaó ljárába gy járuléko lépé, a ullad-rdű ará ikauk b, ami a mamaikai rkorukcióba m vol. Mi az alábbiakba lái fogjuk z gy kimérékű liári orzíá okoz, ami a jl pkrumáak kimérékű orzuláá jli. A ulladrdű-aró gy olya dizkré idjű rdzr-lmk kijük az ávili lácba, amik a úlyfüggvéy: a ( a gyébké ( 6-3

7 A zéru-rdű aró ávili függvéy: H ( F{ ( } ( j / i j ( / ( / d Aol az ampliúdó karakrizika: ( j / j j d j iπ π iπ A π é a fázi karakrizika: ϕ ( jϕ j / ( A ( j / j (6.7 / (6.8 j / ( / A zéru-rdű aró copor fuái idj koa, (/. A pkrum rlaív ampliúdó i π orzuláa a 6.6. ábrá láaó. ( π A jl frkvcia aromáya ábra A rlaív ampliúdó orzulá a frkvcia függvéyéb A jl lgagyobb frkvciá özvői közl 4%-o vzég zvdk a ará kövkzéb. Ez az ampliúdó iba a imíó zűrő ávili karakrizikájáak mgfllő kialakíáával azoba kompzálaó. Mgjgyzzük ovábbá, ogy bzrzők olya D/A kovrrk i, mlyk gy bépí digiáli ampliúdó korrkorral még a digiáli doméba lvégzik a kompzálá. A mgvalóíaó jl rkorukció a mamaikai ljáráól a imíó zűrő ulajdoágaiba i külöbözik. Az idáli alul-árző zűrő fuái idj zéru. A úlyfüggvéy i(/ ipuú függvéy, ami m kauzáli jl, á mgvalóíaala. A valóágo alul-árző zűrők úlyfüggvéy kauzáli, fuái idjük vég d m flélül koa é záró aromáybli ávilük m mid frkvciá zéru érékű. Az idáli érékk azoba zőlg mgközlíők, az áramkörök boyolulágáak é áráak övléévl. 6.4 Miarikíá, dcimálá Vizgáljuk mg gy olya rdzr ulajdoágai, amlyik cak mid M-ik bmi miá gdi á a kimér! Ez az jli, ogy a a bmi oroza miavéli üm, akkor a kimi oroza miavéli üm M. Miavéli 7-3

8 frkvciába az aráy fordío: M. Az ily rdzr liári, d m idő-ivariá. Az idő-aromáyba a líró gyl gyzrű: y ( x( M (6.9 A frkvcia-aromáyba formália: Y j jm ( y( x( M (6. D z a kifjzé m muaja, ogy mi öré a jl pkrumával. Aak érdkéb ogy z láuk, vzük b gy miavvő orozao, amlyikk mid M-ik miája gy, a öbbi pdig zéru! M ( π j k a mm M M k a gyébké y x Ezzl: ( ( ( m: géz (6. M ( ( ( ( j π k j j M j Y y x x( M k π π Az özgzé orrdjé flcrélv é flazálva az M M M j( k Y ( x( ( k M k M k A (6. az rdi pkrum M-zr kirjzéé írja l! (6. * ( - Y * ( ábra A (6. formula zmlélé M3 ér A miarikíáál pkrum álapolódá jö lér! A 6.7. ábrába vizgál él z azér m jö lér, mr * ( lv ávaárol vol az / frkvciára. Ha ic ávaárolá, az álapolódó pkrum özvők lyrozaala orzíá okozak. Egy ávaárolá végző alul-árző zűrő é gy miarikíó alkoja a dcimáló fokozao. Low Pa M Filr 6.8. ábra A dcimálá: zűré + miarikíá Az alulárző zűrő záró aromáya kzdék az / frkvciáál kibbk kll li. Ekkor m lép fl álapolódá. 8-3

9 6.4 Miaűríé, irpolálá A miavéli frkvcia övléék gy lég ljáráa a ull-miákkal való flölé. y x(m N y(,, ( ( m x a mn a gyébké x(m y( 3 m 6.9. ábra A ull-miákkal való flölé N3 r Ez a művl m válozaja mg a jl pkrumá, ugyai: Y j jmn jm ( y( y( mn x( m ( (6.3 m m Az zri priodiku * ( pkrum rméz priodiku N zri i. Ha a flűrí orozao gy / aárfrkvciájú alulárző zűrőr vzjük, akkor a kimi oroza mggyzik azzal a orozaal, ami úgy kapuk vola mg, mia a folyoo idjű jl gyből frkvciával miavélzük vola. - * ( Y * ( - H * ( - W * ( - x(m y( N H * (,, w(, 6.. ábra Az irpolálá mgvalóíáa 9-3

10 x(m x( y( m 3 w( ábra Az irpolálá zmlélé az időaromáyba Az lkroiku zközök kíálaába mgjlk azok a D_A kovrrk, mlyk N4, N8 zoro irpoláció képk végrajai. Ezzl a zérurdű ará orzíó aáá, illv az aalóg imíó-zűrővl zmb ámazo kövlméyk udjuk jlő cökki Miavéli frkvcia N/M zrii váláa A miavéli frkvcia racioáli örzám zrii mgválozaáa az irpoláció é a dcimáló ljáráok gymá uái alkalmazáával lég. Ha az új é a régi miavéli frkvciák aráya N/M (N,M géz, akkor az ljárá: lőzör flövljük N zrr a miavéli frkvciá ull-miák ozzáadáával, a flövl frkvciá irpoláló zűrővl kizámíjuk a közbülő (irpolál miáka, majd dcimáljuk a M zri a zűrő kimi orozaá. Például gy 8 khz-r ávaárol jl f x 3 khz- miavéli frkvciával miavélzük. (Ez az jli, ogy az alapávba a 8kHz 6kHZ áv ür. Szrék áéri irpolációval f y 4 khz- miavéli frkvciára. A ké frkvcia lk 3,4 96 N 3 M lgkibb közö öbbzörö: { } 4 á N3 M4. * ( U * ( V * ( Y * ( 3 H * ( 4 3kHz 96kHz 96kHz 4kHz LPF 6. ábra A miavéli frkvcia válááak mgoldáa A mgoldá a frkvcia aromáyba kövjük a lgköybb (lád 6.3.ábra. Az * ( pkrum f x 3 khz zri priodiku. A ull-miákkal való flölé uá a priódu oza f u 96 khz (Ez i kijük prióduak. Az alulárző irpoláló zűrővl (Low Pa Filr mgizíjuk a pkrumo: V * (. Miarikíá uá a pkrum M-zr kirjződik: Y * (. Ezzl lőállíouk az a jl, ami az rdi aalóg jl f y 4 khz- miavélzéévl kapuk vola. -3

11 ( Δf H ( V ( U * ( [khz] [khz] Y ( [khz] [khz] 6.3. ábra A miavéli frkvcia 4/3 aráyú mgválozaáa A példákba az x( jl alapávi (féloldala ávzélég: Δf 8 khz. Az irpoláló zűrő pcifikációja: 3 A zűrő árző aromáya: - Δf ( - (8 khz Δ f f x Δf ( 8 (3 8 (8 (4 A zűrő ámi aromáya: ( ( khz A zűrő záró aromáya: ( f Δf ( f / (3 8 (48 ( 4 ( khz x u 48 Mgjgyzé: Valójába m kll az alulárző zűrő 96 khz miavéli béggl járai. Elég a 3 khz, a a zűrő FIR zűrő. Ebb az b cak mid M-ik miá kizámíai, ugyai a közbülők úgy i ldobák. ovábbi gyzrűíé jl, ogy a FIR rukúrába m kll a ull-miáka ároli. Egy időréb lég cak gy armad fokzámú zűrő kizámíai. Ily zűrőből árom va mlyk gyüaói az rdi zűrő (k gyüaóiból: ( k ( 3k, ( k ( 3k +, 3 ( k ( 3k +, k,,,... A kéllő láco 3 khz béggl kll lépi, a zűrők gymá uá orba, (priódikua kll alkalmazi..az adaok bolvaáá é mgfllő bégű kiíráá a ralizáló program lágazaáával l mgoldai, amir mo m érük ki. -3

12 6.6 Kérdék é fladaok. Az alábbi ábrá láaó rdzrb a bmr gy f 8 khz frkvciájú, koziuz jl vzük. A rdzr miavéli frkvciája f khz. Az alulárző zűrő (LPF aárfrkvciája f 5 khz Mily jl láuk a kim? Mgoldá: x( A/D x( D/A j πf j π ( f ( A co( f + LPF y( A A π voala pkrum: (+f, -f -ba f f kf x A miavélzé: a pkrum priodiku kirjzé: ( ( Rajzba: (f A / A / k -8 8 [khz] f -f H(f *(f f f [khz] Y(f - [khz] Vizaalakíá uá a zűrő kizűri az [ f i[ 5 khz- kompok. Az rdméy: gy khz-, koziuzo jl: ( A co[ π ( f f ϕ ] y Aol φ a kovrzióból é a zűréből adódó fázi kéllé. A jlő vizaállíái iba amia kövkz b, mr m arouk b a miavéli frkvciára voakozó f > f kövlméy.. Rajzolja l gy valóágo rdzrb az aalóg-digiál é a digiál-aalóg áalakíáokoz zükég jlkzléi fladaok blokkvázlaá! Idokolja az gy blokkok fladaá! 3. Egy f 8 khz-r ávaárol jl f x khz miavéli frkvciával miavélzük. rvzz mg az a rdzr, amllyl á uduk éri az f y 3 khz miavéli frkvciájú rdzrr! Adja mg a zűrő pcifikációjá! 4. Az ivrz Fourir razformációval zámía ki, ogy az A ( f [ δ ( f + f + δ ( f f ] pkrumú jlk mi az időaromáybli x( kép! Mgoldá: x A jπf jπf [ ] df [ ] j πf + A co(πf ( δ ( f + f + δ ( f f A f -3

13 6.7 Függlék Egy máik godolaml a miavéli él: Korábba már láuk, ogy az idő aromáybli kovolúció a frkvcia aromáyba zorzá vo maga uá. Ez mgfordíva: ( H ( ( x( ( x ( x ( τ ( τ dτ A (6.-b dfiiál idáli alulárző úlyfüggvéy: x π ( H ( j d π + j d j j j ( ( x ( x ( τ ( τ dτ x( δ ( τ ( τ dτ ( δ ( τ ( τ dτ x( ( x( x Ez a Sao fél miavéli él: x ( x( i ( ( i i ( ( 3-3