PMSTNB 260 segédlet a PTE PMMK építő mérnök hallgatói részére. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése

Átírás

1 EURÓPAI UNIÓ SRUKURÁLIS ALAPOK V É G E S E L E M E S M O D E L L E Z É S PMSNB 6 segédlet a PE PMMK építő mérnök hallgatói részére Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése HEFOP//../.

2 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés VÉGESELEMES MODELLEZÉS CSÉBFALVI ANIKÓ Pécsi udmánegetem, Pllack Mihál Műszaki Kar, Szilárdságtan és artószerkezetek anszék 7

3 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés Kiadó: Pécsi udmánegetem Pllack Mihál Műszaki Kar Cím: Pécs, Bszrkán út. elefn/fa: /8 Szerző: Csébfalvi Anikó (csebfalv@witch.pmmf.hu) ISBN

4 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés Részletes tantárgprgram: Hét Ea/Gak émakör. óra előadás A végeselemes mdellezés alapjai. Rúdelemek mdellezése. Az elemi tartó merevségi mátria és mechanikai jelentése. ehervektr meghatárzása. óra gakrlat Rúdelemek mdellezése. Az elemi tartó merevségi mátria és mechanikai jelentése. ehervektr meghatárzása.. óra előadás Rúdszerkezetek mdellezése. Ferde helzetű rúdelem. Lkális és glbális krdináta rendszerek. Krdináta transzfrmációk. óra gakrlat. OGY. AZ ELEMI ARÓ MEREVSÉGI MÁRIÁNAK ELŐÁLLÍÁSA.. óra előadás Gerenda tartók végeselemes mdellezése. Fltatólags gerendatartók végeselemes mdellezése. óra gakrlat Síkbeli és térbeli rúdszerkezetek megldása az AIS prgram segítségével.. óra előadás Rugalmas ágazású gerendatartók végeselemes mdellezése. óra gakrlat 5. óra előadás Rugalmas ágazású gerendatartók megldása az AIS prgram segítségével I. ZH. RÚDSZERKEZEEK VÉGESELEMES MODELLEZÉSE. óra gakrlat 6. óra előadás Síkbeli és térbeli keretek megldása az AIS prgram segítségével. Ferde helzetű tartók végeselemes mdellezése. Krdináta transzfrmációk. óra gakrlat 7. óra előadás óra gakrlat 8. óra előadás óra gakrlat 9 óra előadás Ferde helzetű tartók megldása az AIS prgram segítségével. Síkbeli keretek végeselemes mdellezése. A merevségi mátri és a tehervektr meghatárzása.. OGY. SÍKBELI KEREEK VÉGESELEMES MODELLEZÉSE. árcsák végeselemes mdellezése. Alapegenletek. Alakváltzásk és belső erők vektra. Hármszög elemek. árcsa feladatk megldása az AIS prgram segítségével. árcsák végeselemes mdellezése. Négszög elemek. Elemi merevségi mátri. óra gakrlat árcsa feladatk megldása az AIS prgram segítségével.. AVASZI SZÜNE. óra előadás árcsák végeselemes mdellezése. Az egenletrendszer felírása. óra gakrlat. óra előadás. OGY. ÁRCSÁK VÉGESELEMES MODELLEZÉSE. Lemezek végeselemes mdellezése. Alapegenletek. Négszögelemek. óra gakrlat. óra előadás óra gakrlat. óra előadás Lemezfeladatk megldása az AIS prgram segítségével. Lemezek végeselemes mdellezése. A közelítés pntssága. vábbi lemezmdellek. Lemezfeladatk megldása az AIS prgram segítségével. II. ZH. LEMEZEK VÉGESELEMES MODELLEZÉSE óra gakrlat 5. óra előadás óra gakrlat Rugalmas ágazású lemezek megldása az AIS prgram segítségével. PÓLÁSOK Rugalmas ágazású lemezek végeselemes mdellezése.

5 PMSNB 6 ARALOMJEGYZÉK: Végeselemes mdellezés. A végeselemes mdellezés alapjai 7.. Rúdelemek mdellezése 7. Az elemi tartó merevségi mátria és mechanikai jelentése. 9. ehervektr meghatárzása. Rúdszerkezetek mdellezése. Ferde helzetű rúdelem. Krdináta transzfrmációk. Gerendatartók végeselemes mdellezése 9. Fltatólags gerendatartók végeselemes mdellezése 9. Síkbeli és térbeli rácss tartók megldása az AIS prgram segítségével. örtvnalú gerendatartók végeselemes mdellezése.. A merevségi mátri előállítása. Az egenletrendszer felírása 5. örtvnalú gerendatartók megldása az AIS prgram segítségével 6 5. Síkbeli és térbeli rúdszerkezetek megldása az AIS prgram segítségével 7 5. Síkbeli rúdszerkezetek 7 5. érbeli rúdszerkezetek megldása az AIS prgram segítségével 9 6. Síkbeli keretek végeselemes mdellezése 6. Elmzdulás paraméterek a lkális és glbális krdinátarendszerben 6. A glbális merevségi mátri előállítása 7. Síkbeli és térbeli keretek végeselemes megldása az AIS VM8 prgram segítségével 7 7. Síkbeli keretek. Merev és félmerev kialakítású szlp-gerenda kapcslatk 7 7. érbeli keretek mdellezése az AIS VM8 prgram segítségével 9 8. árcsák végeselemes mdellezése 8. Alapegenletek 8. Hármszög elemek 8. Az egensúli egenletek 8. árcsa feladatk megldása az AIS prgram segítségével 6 9. árcsák végeselemes mdellezése 7 9. Négszög elemek 7 9. Az elemi merevségi mátri 9. árcsák végeselemes mdellezése 5. Az elemi merevségi mátri meghatárzásának bemutatása eg adtt példán keresztül 5. A redukált terhek meghatárzásának bemutatása eg adtt példán keresztül 5. Lemezek végeselemes mdellezése 55 5

6 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés. Alapfgalmak 55. Alakváltzásk és belső erők vektra 55. Négszög elemek 56. Az alakváltzásk meghatárzása 58.5 Az elemi tartó merevségi mátria és a tehervektr 6. Lemezek végeselemes mdellezése 6. A közelítés pntssága - tvábbi lemez mdellek 6. Kilenc szabadságfkú nemknfrm hármszögelem 6. Huszneg szabadságfkú knfrm hármszögelem 6. Lemezfeladatk megldása az AIS prgram segítségével 65. Rugalmas ágazású lemezek végeselemes mdellezése 7 Irdalmjegzék 7 6

7 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés. A végeselemes mdellezés alapjai A végeselemes mdellezést a tartószerkezetek igénbevételeinek megldó módszereként alkalmazzuk a tartószerkezeti mechanikában. A tantárg keretén belül fglakzunk a rúdszerkezetek, ezen belül a keretek és gerendatartók végeselemes mdellezésével, tvábbá a lemez és tárcsa feladatk végeselem-módszerrel történő megldásával. A félév srán az AIS VM8 prgramcsmag alkalmazásával ellenőrizzük a bemutatásra kerülő egszerűbb feladatk végeselemes mdellezést. Bemutatjuk az AIS VM8 prgramcsmag alkalmazási lehetőségeit nagméretű, összetett tervezési feladatk megldására is... Rúdelemek mdellezése A rúdszerkezetek elemi tartórészekre bntásával, illetve az elemi tartók mdellezésén keresztül határzzuk meg a rúdszerkezetek elmzdulás módszeren alapuló egenletrendszerét. L u EI, EA u, u w w() ϕ ϕ w z, w defrmált alak. ábra: A defrmált tartó elmzdulásai Határzzuk meg az. ábra szerinti elemi tartó u (), w () eltlódásainak közelítő értékét az alábbi plinmkkal: u() a + a (.) w () a + a + a5 + a6 (.) 7

8 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés 8 Az. és. kifejezések mátri alakban történő felírásával az alábbi egszerű frmát kapjuk: a u (.) ahl [ ] w u u, (.) [ ] 6 5 a a a a a a a, (.5). (.6) A rúdelem teljes elmzdulás-rendszerét ezek után az alábbi frmában adhatjuk meg: [ ] w u w u φ φ d. (.7) Az. kifejezés behelettesítésével kapjuk az elemi tartó elmzdulásaira vnatkzó általáns frmát: Aa d, (.8) ahl L L L L L L A. (.9) Az.8 mátri egenlet megldásával meghatárzható az a egütthatók vektra: d A a, (.) ahl

9 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés / L / L A. (.) / L / L /L / L / L / L / L / L. Az elemi tartó merevségi mátria és mechanikai jelentése. Az elemi tartó elmzdulásait meghatárzhatjuk, ha az. kifejezésbe behelettesítjük az. egenletet: Vezessük be az alábbi kifejezést: u A d. (.) N A, (.) ahl N az alakfüggvének (bázisfüggvének) mátria. Az N mátri az. szerinti mátriszrzás elvégzése után az alábbi frmában írható: ahl N N N, (.) N N N5 N6 N /L N / L /L / L N + N 5 / L / L N ( /L /L + /L )L N6 ( /L + /L )L Az elemi tartó egenletrendszerének meghatárzásáhz szükségünk van az anagtörvén, valamint a belső erők és az alakváltzásk közötti összefüggések ismeretére. Az. ábra szerinti belső erők és az elmzdulásk közötti kapcslatk szilárdságtani ismereteink alapján az alábbi frmában írhatók: S () N() EA du/ d (.5) S () Q() EI d w / d (.6) 9

10 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés S () M() EI d w/ d (.7) S S S 5 S S L S 6. ábra: A rúdvégi belső erők Az.5-.7 összefüggések alapján látható, hg az alakváltzásk az elmzdulásk függvénei. Vegük észre tvábbá, hg a rúdvégi níróerők a rúdvégi nmatékk alapján meghatárzhatók, a feladatunk ez által kétváltzósra redukálódik. Legen a belső erők vektra: [ S S ] S (.8) Az alakváltzásk és az elmzdulásk közötti kapcslat felírásáhz vezessük be az alábbi perátrt: d/ d D d / d (.9) Lineárisan rugalmas anagt feltételezve, az anagtörvén mátria a következő: EA E (.) EI Az alakváltzásk vektra ahl ε Du DA d BA d, (.)

11 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés B D. (.) 6 A belső erők vektra az.5-.7 összefüggések alapján, valamint. behelettesítésével a következő eredmént kapjuk: azaz S EDu EDA d EBA d Kd, (.) S EA/ L S S S EA/ L S 5 S6 EI/L 6EI/L EI/L 6EI/L 6EI/L EI/L 6EI/L EI/L EA/ L EA/ L EI/L 6EI/L EI/L 6EI/L d 6EI/L d EI/L d.(.) d 6EI/L d 5 EI/L d6 Az elemi tartókra vnatkzó. szerinti merevségi mátri megegezik a artók statikája tantárg keretében ismertetett mátri-elmzdulás módszer elemi tartókra meghatárztt merevségi mátriával. (Lásd: Kurutzné Kvács Márta: artók statikája ). ehervektr meghatárzása Az egensúli egenletrendszer felírásáhz szükségünk van a rúdvégekre redukált csmópnti terhek meghatárzására. A tehervektr fgalma és mechanikai jelentése szintén a artók statikája tantárg keretében került bevezetésre. A végeselemes mdellezés esetén a tehervektr meghatárzására a külső ptenciális energia függvénből indulunk ki. Az. kifejezés szerinti alakfüggvének behelettesítésével határzzuk meg a tehervektrt, azaz a rúdvégekre redukált megszló terhet. fn f q q q q L q5 q 6. ábra: A rúdvégekre redukált terhek

12 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés π L L N k d ()w() f ()u()d f, (.5) [ ] π L N k ud f f, (.6) [ ] π L 6 5 N k d N N N N N N f f d, (.7) k q d π, (.8) ahl / L f L / f L / f / L f L / f L / f d N f N f N f N f N f N f q q q q q q N N L 6 5 N N 6 5 q. (.9) Megjegezzük, hg az.9 szerinti eredmén megegezik a mindkét végén befgtt tartó esetén meghatárztt reakció erőkkel, illetve nmatékkkal. (Lásd: Kurutzné Kvács Márta: artók statikája MK )

13 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés. Rúdszerkezetek mdellezése A teljes ptenciális energia minimum tétele alapján meghatárzhatjuk az egensúli feltételt biztsító mátri egenletrendszert. Az előző fejezetben meghatárztt, a belső erők és rúdvégi elmzduláskra vnatkzó. kifejezés alapján a teljes ptenciális energia függvén: π d Kd d q, (.) ahl q a tehervektrt jelöli. A ptenciális energia minimum tétele alapján: π d d d Kd d q, (.) Kd q. (.) Az egensúli egenletrendszer pntsan anni egenletet tartalmaz amenni az elmzdulás váltzók száma, a merevségi mátri pedig, kvadratikus, íg a megldás az alábbi frmában keresendő: d K q. (.). Ferde helzetű rúdelem Mielőtt rátérnénk a rúdszerkezetek végeselemes megldására, vizsgáljuk meg, hgan módsul az egenletrendszerünk általáns helzetű tartó (. ábra) esetén. A. ábrán feltüntettük az elemi tartó elmzdulásait a tartóhz rendelt, z lkális krdinátarendszerben. A glbális, Z krdinátarendszerben az elmzduláskra az u, w jelölést vezetjük be. A csmópnti elmzdulásk vektra legen tehervektrt q, a merevségi mátrit pedig, krdinátarendszerben. d. A K jelöli a glbális

14 PMSNB 6 d d, u Végeselemes mdellezés d α Z, w z, w d 5 d, u d 6. ábra: Ferde helzetű rúdelem a lkális és glbális krdináta rendszerben. Krdináta transzfrmációk Az, z lkális krdinátarendszer és a glbális, Z krdinátarendszer közötti kapcslatt az alábbi krdináta transzfrmációkkal adjuk meg: illetve cs α z sin α cs α Z sin α sin α α, cs Z (.5) sin α α. cs z (.6) A rúdelem elmzdulás vektrát hasnló módn transzfrmáljuk a lkális krdinátarendszerből a glbálisba, illetve glbálisból a lkális rendszerbe. A. ábra szerinti lkális krdinátarendszerben megadtt [ d d d d d d ] glbális [ d d d d d d ] illetve 5 6 d és a d elmzdulás vektr közötti transzfrmációk: d d, (.7) d d d, (.8) 5 6

15 PMSNB 6 ahl a transzfrmáló mátri Végeselemes mdellezés cs α sin α sin α cs α. (.9) cs α sin α sin α cs α Megjegzés: A transzfrmáló mátri speciális tulajdnságú mátri, mivel mindig igaz, hg -. A tehervektr transzfrmációját az előzőekhez hasnló módn állítjuk elő: q q, (.) illetve q d q, (.) ahl [ q q q q q q ] q a lkális krdinátarendszerben megadtt (lásd 5 6 q q q q q5 q6 q a glbális krdinátarendszerbe. ábra) és [ ] transzfrmált csmópnti terhek vektra., q q q q q α Z, q z q 6 q q 5. ábra: A rúdvégre redukált terhek a lkális és glbális krdináta rendszerben 5

16 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés A merevségi mátri transzfrmációját a csmópnti elmzduláskra vnatkzó.7, illetve a csmópnti terhekre vnatkzó. kifejezések. egenletrendszerbe való behelettesítéssel vezetjük le. q Kd, (.) Kd q. (.) Mivel frmában írható:, az egensúli egenletrendszer transzfrmált alakja a következő K d q, (.) ahl K K a transzfrmált merevségi mátri.. példa Határzzuk meg a. ábra szerinti rúdelem merevségi mátriát, valamint a rúdvégekre redukált terhek vektrát a lkális és a glbális krdináta rendszerben! ( A.76 cm ; I 78. cm ; E kn/cm ) A merevségi mátri a lkális krdinátarendszerben: EI K L A transzfrmáló mátri és inverze: 6

17 PMSNB 6,8,6,6,8,8,6,6,8,8,6,6,8,8,6 Végeselemes mdellezés,6,8 A K K transzfrmáció után kapjuk a merevségi mátrit a glbális krdináta rendszerben: K 6,6 8,5 EI - 8, L - 6,6-8,5-8, 8,5 6,, - 8,5-6,, - 8,,, 8, -, 5, - 6,6-8,5 8, 6,6 8,5 8, - 8,5-6, -, 8,5 6, -, - 8,, 5,. 8, -,,, q q q q Z, q q kn/m m 5 m q 5 q q 6. ábra: A rúdvégre redukált terhek transzfrmációja Határzzuk meg a. ábra szerinti tartó rúdvégekre redukált tehervektrát az.9 képlet segítségével a lkális krdinátarendszerben, majd transzfrmáljuk a glbális rendszerbe. 7

18 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés q q q q q q 6 5 q q q q q q q 6 5 q ahl a glbális krdinátarendszerbe történő transzfrmálást a. frmula szerint végeztük el: + 5 5,8,6,6,8,8,6,6,8 q.

19 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés. Gerendatartók végeselemes mdellezése. Fltatólags gerendatartók végeselemes mdellezése A fltatólags többtámaszú gerendatartók végeselemes mdellezésén keresztül mutathatjuk be legegszerűbben az elmzdulás módszeren alapuló egensúli egenletrendszer meghatárzását. A gerenda állandó keresztmetszetű (IPE ) acél tartó. A tartó elemekre bntása után meghatárzzuk az elemi merevségi mátrikat, s mivel a tartót a glbális (, Z ) krdinátarendszerben adtuk meg, íg ebben az esetben nincs szükség a krdináta transzfrmációra. Az elmzdulás vektrkat a glbális rendszerben adjuk meg a. ábra szerinti pntkban: d [ w ϕ ] d [ ] d [ ] d [ ] w ϕ w ϕ w ϕ 6 kn EI állandó m m 6 m. rúdelem. rúdelem. rúdelem. ábra: Fltatólags gerendatartó végeselemes mdellezése Az elemi merevségi mátrik jelen esetben az elmzdulás váltzókkal összhangban elemet tartalmaznak. Az almátrik jelölésekr alkalmaztt alsó inde az elem srszámát jelöli, a felső inde pedig, a kapcslódó elmzdulás váltzókra vnatkzik. k k k k k k k k ahl 8 8 EI k L, k k k k k k k, 8 8 EI k L,

20 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés k EI 6 L k,5 EI 6 L A gerendatartó glbális merevségi mátriát az elemi merevségi mátrik kmpilálásával határzzuk meg: k k k + k k k K +, k k k k k k A k, k, k elemi merevségi mátrik behelettesítésével kapjuk a. ábra szerinti gerendatartó teljes merevségi mátriát: 8 EI 8 K L ,5,5,5,5 8 8,5 5,5 9,5,5,5,5,5 9,5 8 A külső támaszknak megfelelően: ; ϕ ; w ; w, nem váltzó, íg az w elmzdulás vektr az alábbiak szerint négeleműre redukálódik: [ w ϕ ϕ ϕ ] d. A megfelelő (.,., 5., és 7.) srk és szlpk törlésével a merevségi mátri is elemű lesz. A feladat megldását jelentő egenletrendszer a következő alakt ölti: EI L w ϕ 9 ϕ 8 ϕ 6 w ϕ ϕ ϕ,6 L,6 EI,,,6,6,8,,,8,,6, 6,.,6,6

21 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés d 6,,6,5,6 m, illetve radián. A megldás: [ ]. Síkbeli és térbeli rácss tartók megldása az AIS prgram segítségével Határzzuk meg. ábra szerinti acélszerkezetű rácss tartó rúderőit az AIS VM8 prgrammal. Vegük fel az anagjellemzőket és a rúdkeresztmetszeteket l módn, hg a tartó szilárdságtanilag megfeleljen..5.5 RND8 RND8 RND8 RND8 RND8 RND8 RND8 RND8 -. RND8 RND8 RND8 RND8 RND8.5. Y. ábra: Síkbeli rácss tartó kezdeti gemetria adatai Szabván : MSz Eset : S Y...5 ábra: Síkbeli rácss tartó ptimális gemetria kialakítása

22 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés Z Y ábra: érbeli rácss tartó gemetria kialakítása

23 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés. örtvnalú gerendatartók végeselemes mdellezése. Az elmzdulás vektrkat a glbális krdinátarendszerben adjuk meg a. ábra szerinti pntkban: d [ u w ϕ ] d [ u ϕ ] d [ u ϕ ] d [ u ϕ ] w w w kn EI állandó m m m m. rúdelem. rúdelem. rúdelem. ábra: örtvnalú gerendatartó végeselemes mdellezése. A merevségi mátri előállítása Az elemi merevségi mátrik előállítása frmailag megegezik az előző feladat esetén tárgalt elemi merevségi mátrik meghatárzásával. Ferde helzetű tartók esetén visznt transzpnálnunk kell az elemi merevségi mátrit a glbális krdináta rendszerbe. Ennek következméneként,, Y, Z tengel iránú elmzduláskkal kell számlnunk, amit már az elemi merevségi mátri felírásánál figelembe kell venni. k k k k k k k k k k k k k k k

24 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés L EI k ; L EI k ; L EI k ; L EI,6 k A transzfrmáló mátri és inverze:,8,6,6,8,8,6,6,8,8,6,6,8,8,6,6,8

25 PMSNB 6 k k Végeselemes mdellezés k, 7, EI -,5 L -, - 7, -,5 7,,9,5-7, -,9,5 -,5,5 6,,5 -,5, -, - 7,,5, 7,,5-7, -,9 -,5 7,,9 -,5 -,5,5,,5 -,5 6,. Az egenletrendszer felírása A törtvnalú gerendatartó glbális merevségi mátriát az elemi merevségi mátrik kmpilálásával határzzuk meg: k k k + k k k K, k k + k k k k A külső támaszknak megfelelően: ; w ; ϕ ; u ; w, íg az elmzdulás u u w vektr az alábbiak szerint hételeműre redukálódik: [ ϕ u w ϕ ϕ ] d. A megfelelő (.,.,.;.;.) srk és szlpk törlésével a merevségi mátri is 77 elemű lesz. A feladat megldását jelentő egenletrendszer a következő alakt ölti: Ku q 6 8 6, 7,,5,5 7, 9,6,5 8,5,6,, u w ϕ,5 u,5 w, ϕ 6, ϕ A megldást a merevségi mátri inverzének előállításával az alábbi frmában kapjuk: 5

26 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés u K q u [, 6,69,6,9,,,96] [m, rad].. örtvnalú gerendatartók megldása az AIS prgram segítségével Határzzuk meg a. ábrán látható tartó igénbevételi és elmzdulási ábráit az AIS VM8 prgrammal. Ellenőrizzük az elmzduláskra kaptt eredméneket Z. ábra. A törtvnalú tartó elfrdulás értékei [rad] Z. ábra. A törtvnalú tartó lehajlás értékei [mm] 6

27 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés 5. Síkbeli és térbeli rúdszerkezetek megldása az AIS prgram segítségével 5. Síkbeli rúdszerkezetek Határzzuk meg az 5. ábrán megadtt síkbeli tartó igénbevételi ábráit csuklós csmópnti kialakítással, illetve az szlpk és a rácsrudak teljesen merev és félmerev ( S,9 * knm/rad ) kapcslata esetén. A teher értéke kn. A kiindulási keresztmetszeti szelvén ROR,*5,. Határzzuk meg a keresztmetszeti értékeket l módn, hg a maimális csmópnti lehajlás értéke 5 cm, a maimális feszültség pedig, kn/cm legen! Y 5. ábra. Síkbeli rúdszerkezet gemetriai kialakítása 7

28 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés Y 5. ábra. A rácss tartó csmópnti elmzdulásai a defrmált tartón [mm] Y 5. ábra. A merev csmópnti kialakítású tartó elmzdulásai a defrmált tartón [mm] 8

29 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés 5. érbeli rúdszerkezetek megldása az AIS prgram segítségével Határzzuk meg az 5. és 5.5 ábrán megadtt gemetriájú acélszerkezetű térbeli tartó igénbevételeit és elmzdulásait hárm különböző csmópnti kialakítás esetén:. Csuklós csmópnti kialakítással térbeli rácss tartó. eljesen merev csmópnti kialakítással. A kupla belső tizenkétszögű lezáró része félmerev csmópnti kialakítással csatlakzzn a tartó alsó részéhez, míg a többi csmópnt teljesen merev legen! A csmópnti terhek az 5.5 ábra szerinti csmópntkban a következők: F 6 kn, F F79 F9 F kn, F6 F5 F7 F7 kn A rudak keresztmetszetei európai ROR szelvénből készülnek. A keresztmetszeti méreteket mindhárm esetben úg határzzuk meg, hg a szerkezet szilárdságtanilag megfeleljen. A szelvén kiindulási adata: ROR,5*,6. Mindhárm esetben határzzuk meg a rúdelemek kihajlását! Ellenőrizzük a tartóelemeket az Euler-féle nmófeszültségekre! Z 5. ábra. érbeli kupla ldalnézete 9

30 PMSNB 6 5 Végeselemes mdellezés Y ábra. érbeli kupla alaprajzi kialakítása Sma [kn/cm ] Y 5.6 ábra. A sarkmerev csmópnti kialakítású tartó feszültségei [ kn /cm ]

31 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés ez [mm] Z 5.7 ábra. érbeli rácss kupla csmópnti eltlódásai az elmzdult tartón [mm] ez [mm] Y ábra. érbeli rácss kupla csmópnti eltlódásai [mm]

32 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés ez [mm] Z 5.9 ábra. A sarkmerev csmópnti kialakítású tartó defrmált alakja [mm] ez [mm] Y ábra. A sarkmerev csmópnti kialakítású tartó csmópnti eltlódásai [mm]

33 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés 6. Síkbeli keretek végeselemes mdellezése A. és. fejezetekben már fglakztunk egszerű gerendatartók és törtvnalú tartók végeselemes mdellezésével. Síkbeli keretek esetén, hasnló módn járunk el. A keretet véges elemekre bntjuk, meghatárzzuk az elemi merevségi mátrikat, majd ezek kmpilálásával előállítjuk a szerkezet glbális krdináta-rendszerbéli merevségi mátriát, illetve egenletrendszerét. 6. Elmzdulás paraméterek a lkális és glbális krdinátarendszerben A 6. ábrán látható kéttámaszú kereten keresztül mutatjuk be a síbeli keretek végeselemes mdellezését. 8 kn EI, EI EI, EI m m m EI EI EI,8 EI m 5. rúdelem. rúdelem. rúdelem. rúdelem Y 5 6. ábra. Síkbeli keret végeselemes felbntása A 6. ábrán feltüntettük a tartó gemetriáját, illetve a hajlítási merevségi aránkat. A núlási merevségek arána: EA EA EA,9 EA.

34 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés Rúdelemek Elem végpntk a lkális krdináta rendszerben Elmzdulásk a u w ϕ u w ϕ u w ϕ u w ϕ u w ϕ u w ϕ u w ϕ u w ϕ lkális krdináta rendszerben Elmzdulásk a d d d d d5 d6 d d d d d5 d6 d d d d d5 d6 d d d d d5 d6 lkális krdináta rendszerben Lkális kódk Glbális kódk a peremfeltételek nélkül Glbális kódk a peremfeltételek mellett Elmzdulásk a d d d d d 5 d6 d7 d 8 d9 d d glbális krdináta rendszerben Elem végpntk a 5 glbális krdináta rendszerben 6. táblázat. Elmzdulás paraméterek a lkális és glbális krdináta rendszerben A 6. táblázat segítségével können átlátható a lkális és glbális krdináta rendszerekben megadtt elmzdulásk közötti kapcslat. A táblázat nem csak az elmzdulás vektr meghatárzásában, hanem a glbális merevségi mátri előállításában is segítségünkre lesz. A táblázatból kilvasható, hg az eges elemek végpntjaiban mel elmzdulásk lesznek aznsak. A szerkezet valós elmzdulása csak a glbális rendszerben megadtt elmzdulás paraméterekkel jellemezhető, ahl figelembe vettük a támaszk hatását, mint peremfeltételeket. 6. A glbális merevségi mátri előállítása Az elemi merevségi mátrik előállítása az első fejezetben tárgalt módn az. szerint történik. Abban az esetben, amikr a lkális krdinátairánk nem egeznek meg a glbális krdináta tengelekkel, akkr az elemi merevségi mátrikat a glbális krdináta rendszerbe kell transzpnálnunk (lásd a 6. ábra szerinti. és. jelű rúdelemeket). A lkális krdináta rendszerben az elemi merevségi mátrik az alábbiak:

35 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés k k k, k k k k k, k k k k k, k k 5 k k k, (6.) 5 55 k k ahl EA i / Li ii k i EI i / L i 6EI i / L i. 6EI i / L i EIi / Li A glbális krdináta rendszerbe transzfrmált elemi merevségi mátrik az alábbiak: k, k k, k k, k k k, (6.) ahl cs αi sin αi sin αi cs αi i. cs αi sin αi sin α cs α i i A kmpilálást a 6. szerinti glbális krdinátarendszerbe frgattt elemi mátrik azns felső indeű ii i ii i k + k blkkmátriainak összegzésével nerjük. k k k, k k k k k, k k k k k, k k 5 k k k, (6.) 5 55 k k A peremfeltételek figelembe vétele nélkül a teljes merevségi mátri mérete 55 elemű, mint azt az előzőekben láttuk, illetve a 6. táblázatból kilvasható. A teljes merevségi mátrit az elemi mátrik kmpilálásával kapjuk a következő séma szerint, ahl a kitöltött jel jelöli a zérustól különböző elemeket. 5

36 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés 6 K. (6.) A támaszk miatt a glbális krdinátarendszerben felvett és 5 jelű csmópntk eltlódásait megakadálztuk, ezáltal a peremfeltételek figelembevételével a merevségi mátri elemű lesz, amit az előző 6. mátri első két srának és szlpának, valamint a. és. srának és szlpának törlésével kapunk. K. (6.5)

37 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés 7. Síkbeli és térbeli keretek végeselemes megldása az AIS VM8 prgram segítségével 7. Síkbeli keretek. Merev és félmerev kialakítású szlp-gerenda kapcslatk Határzzuk meg a síkbeli keret igénbevételi ábráit teljesen merev és félmerev ( S,9 * knm/rad ) szlp-gerenda kapcslat esetén. Az AIS VM8 alkalmazásáhz megadjuk a szerkezet kiinduló adatait. -. IPE6 -. HE6A... HE6A.6 7. Z 5. ábra. Síkbeli keret gemetriai adatai 7

38 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés [] [] [] Z 5. ábra. A nmaték ábra teljesen merev szlp-gerenda kapcslat esetén -.. [] -. [] [] Z 5. ábra. Elfrdulásk a defrmált tartón 8

39 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés -7.9 [] 7.9 [] [] Z 5. ábra. A nmaték ábra félmerev szlp-gerenda kapcslat esetén 7. érbeli keretek mdellezése az AIS VM8 prgram segítségével Határzzuk meg az 5. és 5.5 ábrán látható keretszerkezet igénbevételi ábráit teljesen merev és félmerev ( S,9 * knm/rad ) szlp-gerenda kapcslat esetén. ervezze meg a csarnk lefedését és a hssziránú merevítését! 9

40 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés IPE HEA HEA. Z ábra. A keretszerkezet kiinduló adatai Z Y HEA [] IPE [] [7] HEA IPE [] HEA [8] HEA [] IPE [5] IPE [] IPE[8] IPE[] IPE[7] [9] HEA [] HEA IPE[6] 5. IPE [] [6] HEA 7 8 IPE[5] [] HEA 5.5 ábra. A keretszerkezet kiinduló adatai

41 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés 8. árcsák végeselemes mdellezése 8. Alapegenletek A 8. ábra szerinti belső metszeterők vektra: Az elmzdulásk vektra: [ S S S ] [ n n n ] S. (8.) [ u v] u. (8.), v n d n d d d n d n d n d n, u n d n d d 8. ábra Az alakváltzásk vektra: [ ε ε γ ] ε. (8.) Az anagtörvén:

42 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés µ Eh E µ µ ( ). (8.) µ / A belső erők és az alakváltzásk közötti összefüggést a 8. és 8. kifejezések alapján a tárcsákra vnatkzó Hke-törvén adja: S Eε. (8.5) Az elmzdulásk és az alakváltzásk közötti kapcslatt az alábbi kifejezésekkel jellemezzük: Vezessük be az alábbi perátrt: u v u v ε, ε, γ +. (8.6) / D /, (8.7) / / íg az alakváltzási vektr mátri alakban az alábbi frmában írható / u ε /. (8.7) v / / 8. Hármszög elemek A tárcsák végeselemes mdellezésének egik lehetséges módja, hg a felületet hármszög elemekre bntjuk. Az elmzdulás módszeren alapuló végeselemes mdellezés első lépéseként közelítsük a 8. szerinti elmzduláskat az alábbi plinmkkal: azaz mátri alakban u(, ) a + a + a, (8.8) v(, ) a + a5 a6, (8.9) +

43 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés u a, (8.) ahl az egüttható mátri. (8.), v v u v u v u, u 8. ábra: A hármszög tárcsaelem elmzdulás paraméterei A 8. ábra szerinti hármszög véges elem csmópnti elmzdulásait az alábbi frmában kapjuk: d Aa, (8.) ahl [ u v u v u v ] [ d d d d d d ] d, (8.) 5 6

44 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés A. (8.) a A d, (8.5) ahl A, (8.6) A és ij ij ji, ij i j, ij i j, A. Az alakváltzásk és a csmópnti elmzdulásk közötti összefüggést a 8.6 alapján határzhatjuk meg: ε Du Da DA d BA d, (8.7) ahl / B / / /. (8.8) 8. Az egensúli egenletek Az egensúli egenletrendszer meghatárzásáhz induljunk ki a ptenciális energia függvénből:

45 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés π ε Eε da g uda p udp, (8.9) (A) (A) (P) ahl g a tömegerők, p pedig a peremerők vektra. Az alakváltzáskra és a csmópnti elmzduláskra vnatkzó 8., 8., illetve 8.5 kifejezések behelettesítésével kapjuk: π d ( A ) B E BdA ( A ) d g Nd da p NddP (A) (A) (P), (8.) ahl N A, (8.) az alakfüggvének mátria. Az egensúli egenletrendszert a 8.7 alapján a teljes ptenciális energia minimum tétele alapján írhatjuk fel: π d Kd q, (8.) ahl ( A ) B E da ( A ) K B, (8.) (A) q g N da + p NdP. 8.) (A) (P) 5

46 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés 8. árcsa feladatk megldása az AIS prgram segítségével Határzzuk meg 8. ábra szerinti tárcsa feladat igénbevételeit! A tárcsa anaga C6 betn. A terhek a -es és 8-as elem élén q 66,67 kn/m, a -as és a 8-as elemeken pedig q 8 q, kn/m. A felvett vastagság v cm. q 8 8. ábra: A tárcsa gemetriai adatai Linear Analsis Cde : MSZ -.5 Case : E (W) :.65E E (P) :.65E E (Eq) :.E Cmp. : ez [mm] Z ábra: A tárcsa z tengel iránú eltlódásai [mm] Linear Analsis. Cde : MSZ Case : E (W) :.65E- E (P) :.65E E (Eq) :.E- Cmp. : e [mm] Z ábra: A tárcsa tengel iránú eltlódásai [mm] 6

47 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés 9. árcsák végeselemes mdellezése A tárcsák végeselemes mdellezésének egik lehetséges módját, a felület hármszög elemekre való bntását, az előző fejezetben tárgaltuk. A másik lehetőség a négszög elemekre történő felbntás, amelnek pntssága a közelítő plinm méretének függvénében tvább javítható. 9. Négszög elemek Közelítsük a 9. ábra szerinti u (, ), (, ) v elmzduláskat az alábbi plinmkkal: azaz mátri alakban u(, ) a + a + a + a, (9.) v(, ) a5 + a6 + a7 + a8, (9.) ahl az egüttható mátri u a, (9.). (9.) v v u u, v b/, u b/ v v u u a/ a/ 7

48 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés 9. ábra: A négszög tárcsaelem elmzdulás paraméterei A 9. ábra szerinti négszög véges elem csmópnti elmzdulásait az alábbi frmában kapjuk: d Aa, (9.5) ahl d [ u v u v u v u v ] [ d d d d d d d d ] , (9.6) A a / a / a / a / b/ b/ b/ b/ ab/ ab/ ab/ ab/ a / a / a / a / b/ b/ b/ b/ ab/ ab/. (9.7) ab/ ab/ A 9.5 egenletrendszer megldásával kapjuk az a vektr értékét: a A d. (9.8) Az A egüttható mátri inverze egszerű frmában megadható, ha szeparáljuk a 9.5 egenleteket u i, v i váltzók szerint. Au A. (9.9) Av ahl a / b/ ab/ a / b/ ab/ A u Av. (9.) a / b/ ab/ a / b/ ab/ Az A u és v A blkkmátrik inverz mátria: 8

49 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés / / / / / a / a / a / a A u Av. (9.) /b /b /b /b / ab / ab / ab / ab A 9.9 mátri inverze: Au A. (9.) Av A 9. alapján a 9.7 mátri inverze: / / / / / a / a / a / a /b /b /b /b / ab / ab / ab / ab A / /. (9.) / / / a / a / a / a /b /b /b /b / ab / ab / ab / ab 9. Az elemi merevségi mátri Az elemi merevségi mátri meghatárzásakr ismét az alakváltzásk és az elmzdulás paraméterek közötti összefüggésből indulunk ki. ε Du Da DA d BA d, (9.) ahl ebben az esetben / B / / /. (9.5) 9

50 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés Az alakváltzásk vektrát a 9.5 és be történő behelettesítésével kapjuk: d b + b + b b d ε ab a a + a + a,(9.6) d a b a + b + a + b + a b d ahl d i i,, csmópnti elmzdulás paraméterek. Az egensúli egenletrendszert szkáss módn a teljes ptenciális energia minimum tétele alapján határzzuk meg: π ε Eε da g uda p udp, (9.7) (A) (A) ahl g a tömegerők, p pedig a peremerők vektra. Az egensúli egenletrendszert az alakváltzáskra vnatkzó 9.6 kifejezés 9.7- be való behelettesítésével kapjuk az alábbi módn: (P) π d Kd q, (9.8) ahl a merevségi mátri ( A ) B E da ( A ) K B, (9.9) (A) azaz a 9.6 kifejezés egüttható mátria behelettesítésével előállítható. A tehervektr 9., illetve 9. behelettesítésével q g N da + p NdP. 9.) (A) (P) ahl N A. (9.) 5

51 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés. árcsák végeselemes mdellezése A tárcsafeladatk végeselemes mdellezésére két lehetséges közelítést mutattunk be 8. és 9. fejezetben, a hármszög, illetve négszög elemekre történő felbntást.. Az elemi merevségi mátri meghatárzásának bemutatása eg adtt példán keresztül A mdell felépítésének főbb lépéseit eg mintapéldán keresztül mutatjuk be, amelet Bjtár Imre Gáspár Zslt: Végeselem módszer építőmérnököknek című könvéből vettünk át. A feladatt az, krdinátasíkban ábrázltuk a csmópntkhz rendelt elmzduláskkal. A Pissn-ténező értéke,., v v 7 u v u v u, u 7 9. ábra: árcsa feladat hármszögelemmel A merevségi mátri meghatárzását a 8. szerint végezzük: ( A ) B E da ( A ) K B, (.) (A) ahl mst a síkbeli feszültség állaptra vnatkzó 8. szerinti kifejezés 5

52 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés, Eh E, ( ) (.),, / Végezzük el 8.6 és 8.8 kifejezések alapján az alábbi mátriszrzást: BA A, (.) és ij ij ji, ij i j, ij i j, A. A megldásként kaptt kifejezésbe helettesítsük be a csmópnti krdináták aktuális értékeit: BA A , (.) amelet a merevségi mátri 8. szerinti kifejezésébe helettesítve az alábbi megldásra jutunk: 7,6 7, 9,6,6 8, 7, 8, 8,,6, 5, K Eh 9,6 8, 5,6 6,8 6,6 68,96,6,6 6,8 55, 5,,8. (.5) 8, 6 5, 6, 5,,6,8 6 6,6 5

53 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés. A redukált terhek meghatárzásának bemutatása eg adtt példán keresztül A redukált terhek vektrának meghatárzását szintén eg mintapéldán keresztül mutatjuk be, amelet ugancsak Bjtár Imre Gáspár Zslt: Végeselem módszer építőmérnököknek című könvéből vettünk át., v s s m 5, u p s kn/m m. ábra: A tárcsaelem terhelése A tehervektr meghatárzása a külső ptenciális energia (8.) alapján a következő alakban keresendő: q p NdP. (.6) (P) ahl N A, (.7). (.8) 5

54 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés A, (.9) A ahl ij ij ji, ij i j, ij i j, A. A mátri szrzás elvégzése után a bázis függvének az alábbi alakt öltik: N N N N, (.) N N N ahl N, N, N. A. ábra adatainak behelettesítésével az, szerinti váltzókat s függvéneként írunk fel: s s, p p, s s 7 A.6 kifejezésbe való behelettesítés után az eredmén: s s s s s s s q ds s s, (.) s s q [ ]. (.) 5

55 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés. Lemezek végeselemes mdellezése. Alapfgalmak A tantárg keretén belül csak a vékn lemezek végeselemes mdellezésével fgunk fglalkzni, azaz síkbeli feszültségállaptt feltételezünk. A. ábrán, krdináta síkban adtuk meg az elemi tartóra ható metszeterőket. A véknlemezek esetén az elmzdulásk vektra csak eg elemet, a. ábra szerinti w (, ) lehajlást tartalmazza: [ w(, ) ] u. (.) d m d d q z d m d q z d m d d m d m m d q z d m d q z d m d z, w. ábra: A lemezelem belső erői. Alakváltzásk és belső erők vektra Az alakváltzásk vektra: w w w ε. (.) Az anagtörvén: µ Eh E µ. (.) ( µ ) ( ) µ / 55

56 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés A. ábra szerinti független belső erők vektra: [ S S S ] [ m m m ] S. (.) A belső erők és az alakváltzásk közötti összefüggés mátri alakja: S Eε, (.5) azaz ( w + w ) Eh m µ, (.6) ( µ ) ( w + w ) Eh m Y µ, (.7) ( µ ) Eh m ( µ ) w. (.8) ( µ ). Négszög elemek Közelítsük a. ábra szerinti (, ) plinmmal: w (, ) w lehajlás függvént az alábbi 6 elemű kubikus a + a + a + a + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 a + a + a + a + a5 a6 a + +, (.9) + azaz mátri alakban w a, (.) ahl [ ] (.) 56

57 PMSNB 6 a Végeselemes mdellezés [ a a a a a a a a a a a a a a a a ] (.) Az elmzdulás paraméterek vektra a közelítő függvénnek megfelelően a. ábra szerinti négszögelem sarkpntjaiban felvett [ d d d d ] d, (.) ahl i [ w w w w ] d, i,,,. (.) i i i i d [ w w w ] w [ w w w ] w d b d [ w w w ] d [ w w w ] w w a. ábra: A lemezelem elmzdulás vektrai Az elmzdulás paraméterek a szkáss módn megadhatók d Aa, (.5) íg a lehajlás függvént az alábbi frmában kapjuk: w A d. (.6) 57

58 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés Az A egüttható mátri előállításáhz adjuk meg a lehajlás függvén, és szerinti deriváltjait: w(, ) + a + + a + a5 + + a7 + a8 + a9 + a + a + a + a5 a6 + a +, (.7) + w(, ) + + a + + a 5 + a + + a a 9 + a + a + a + a + a5 a6 a + +, (.8) w (, ) a a 8 + a a + a + 6a + 6a5 9a6 + a +, (.9) Az A egüttható mátri elemeit a. táblázat tartalmazza. Az A egüttható mátri inverzének elemeit a. táblázatban adtuk meg.. Az alakváltzásk meghatárzása Az alakváltzáskra vnatkzó. szerinti kifejezés.6 behelettesítésével az alábbi alakt ölti: ε DA d BA d. (.) ahl B (.) 58

59 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés a a a 6 a a 7 a a a 8 a a 9 a b a ab b a a b ab b ab a b a b a b a b a b a b a ab b b a b ab ab a b a b a b a ab b ab a a b a b a b a b a b b a ab 6ab 6a b 9a b b b 5 b b 6 b b b b b b. táblázat: Az A mátri elemei (az üresen hagtt helek értéke zérus) 59

60 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés / a -/ a / a -/ a -/ b -/ b / b -/ b / a / a / a / a -/ a / a / a -/ a -/ b -/b / b -/ b b / b -b / b b / b -b / b / a / a -/ a / a 9/ a b 6/ ab 6/ a b - 6/ a b -/ ab 5-6/ a b 6 / ab - 9/ a b / ab -6/ a b / ab - / a b -/ ab 6/ a b -/ ab / a b -/ ab 6/ a b / ab - / a b -/ a b -/ a b 6/ a b / a b / a b / a b / a b - / a b / a b - 9/ a b -6/ ab / a b / ab 9/ a b -/ ab / a b - / a b -/ ab / ab - 6/ a b / ab / a b -/ ab - - / a b / a b -/ a b 6/ a b / a b -/ a b -/ a b 6/ a b / a b / a b -/ a b - / a b / a b - / a b - / a b / a b / a b - / a b - / a b - / a b / a b. táblázat: Az A mátri elemei (az üresen hagtt helek értéke zérus) 6

61 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés.5 Az elemi tartó merevségi mátria és a tehervektr A merevségi mátri meghatárzásánál mst is uganúg járunk el mint a tárcsák esetén, azaz a teljes ptenciális energia függvén szélsőértékét keressük: π ε Eε da g uda p udp, (.) (A) (A) (P) ahl g a tömegerők, p pedig a peremerők vektra. Az alapösszefüggések (..) kifejezéseinek behelettesítésével a frmailag a tárcsa feladatkéval megegező, de tartalmilag eltérő összefüggést kapjuk: π d ( A ) B E BdA ( A ) d g Nd da p NddP (A) (A) (P), (.) ahl N A, (.) az alakfüggvének mátria. Az egensúli egenletrendszert a. alapján a teljes ptenciális energia minimum tétele alapján írhatjuk fel: π d Kd q, (.5) ahl ( A ) B E da ( A ) K B, (.6) (A) q g N da + p NdP. (.7) (A) (P) A merevségi mátri, illetve a tehervektr meghatárzásáhz szükséges értékeit a. táblázat tartalmazza. A mátri 6

62 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés. Lemezek végeselemes mdellezése. A közelítés pntssága - tvábbi lemez mdellek A lemezek végeselemes mdellezésénél nem szabad figelmen kívül hagnunk a lemezvastagság hatását. Az eddig tárgalt vékn lemezek az ún. klasszikus Kirchff- Lve féle lemezmdellen alapulnak. Ha lemez befglaló méretének és vastagságának befglaló méretének arána kisebb, mint tíz, akkr a lemezvastagság hatása számításainkban már nem hanaglható el. A lemezvastagság hatását is követő lemezmdellt Reissner-Mindlin féle mdellnek nevezzük. A lemezek végeselemes mdellezésénél, azaz az alkalmaztt végeselemes mdell megválasztásánál szintén tekintettel kell lennünk a lemezvastagság hatására. Az előző fejezetben bemutattt 6 szabadságfkú knfrm négszögelem mint említettük vékn lemezek esetén alkalmazható. Az ismertetésre kerülő tvábbi lemezelemeket, melek ugancsak a vékn lemezek mdellezésére alkalmasak, Bjtár Imre Gáspár Zslt: Végeselem módszer építőmérnököknek című könve alapján állítttuk össze. A vastag lemezek végeselemes mdellezésre tvábbi lehetőségeket szintén Bjtár Imre Gáspár Zslt: Végeselem módszer építőmérnököknek című könvében találhatnak a téma iránt érdeklődők.. Kilenc szabadságfkú nemknfrm hármszögelem Közelítsük a. ábra szerinti (, ) plinmmal: w lehajlás függvént az alábbi 9 elemű kubikus + a + a + a + a5 + + a6 + a7 + a8 a9 w (, ) a +, (.) azaz mátri alakban w a, (.) ahl [ ] (.) [ a a a a a a a a a ] a. (.)

63 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés Az elmzdulás paraméterek vektra a közelítő függvénnek megfelelően a. ábra szerinti négszögelem sarkpntjaiban felvett [ d d d ] d, (.5) ahl i [ w w w ] d, i,,. (.6) i i i A. ábra, valamint a.5 és.6 frmula alapján belátható, hg ebben az esetben a csmópnti elmzdulásk és a közelítő plinm mérete közt csak akkr teremthető meg a kapcslat, ha a veges deriváltakat elhagjuk. segéd pnt w w / w / w w / w / segéd pnt segéd pnt. ábra: 9 szabadságfkú nemknfrm lemezelem w / w / w A tvábbiakban a merevségi mátri és a tehervektr meghatárzását az előző fejezethez hasnló módn végezzük. 6

64 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés 6. Huszneg szabadságfkú knfrm hármszögelem A szabadságfkú, a. ábra szerinti hármszögelem esetén közelítsük a ( ), w lehajlás függvént az alábbi elemű ötödfkú plinmmal: a a a a a a a a ) w(, a a a a + + +, (.7) azaz mátri alakban a w, (.8) ahl [ ] 5... (.9) [ ] a a... a a a a a a a a a. (.) / w / w w / w / w w / w / w w / w / w / w / w / w / w / w / w / w n n n n / w 5 6. ábra: szabadságfkú knfrm lemezelem A. ábra szerinti deriváltak előállítása és behelettesítése után a tvábbi lépések a krábbi fejezeteknek megfelelően történnek.

65 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés. Lemezfeladatk megldása az AIS prgram segítségével Határzzuk meg a, 6, m-es vasbetn lemez elmzdulásait és belső igénbevételeit! A lemezvastagság v cm, a betn minősége C. A lemez balldali pereme befgtt, a jbbldali sarkpntkban csuklós támaszt alkalmaztunk Y 6.. ábra: A vasbetn lemez lehajlása w z [mm] 65

66 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés ez [mm] Y. ábra: A vasbetn lemez lehajlása w z [mm] D szintfelület m [knm/m] Y. ábra: A vasbetn lemez iránú nmatéka m [knm/m] - D szintfelület 66

67 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés m [knm/m] Y. ábra: A vasbetn lemez iránú nmatéka m [knm/m] - D szintfelület m [knm/m] Y.5 ábra: A vasbetn lemez iránú nmatéka m [knm/m] - D szintfelület 67

68 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés m [knm/m] Y.6 ábra: A vasbetn lemez főiránú nmatéka m [knm/m] - D szintfelület m [knm/m] Y.7 ábra: A vasbetn lemez főiránú nmatéka m [knm/m] - D szintfelület 68

69 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés m [knm/m] Y.8 ábra: A nílással áttört lemez iránú nmatéka m [knm/m] - D szintfelület m [knm/m] Y.9 ábra: A nílással áttört lemez iránú nmatéka m [knm/m] - D szintfelület 69

70 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés. Rugalmas ágazású lemezek végeselemes mdellezése Határzzuk meg a. ábrán található 7,, m-es rugalmas ágazású vasbetn lemez elmzdulásait és belső igénbevételeit! A lemezvastagság v cm, a betn minősége C. A lemez pereme minden ldaln, szabadn elmzdulhat. A lemez felületén egenletesen megszló teher hat. A. ábrán megadtt helen kncentrált erőt működtettünk, amelnek a körnezetében a háló felsztást sűrítettük Y.. ábra: A rugalmas ágazású vasbetn lemez háló generálása 7

71 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés ez [mm] Y ábra: A vasbetn lemez lehajlása w z [mm].6 m [knm/m] Y.. ábra: A rugalmas ágazású lemez iránú nmatéka m [knm/m] 7

72 PMSNB 6 Végeselemes mdellezés.6 m [knm/m] Y.. ábra: A rugalmas ágazású lemez iránú nmatéka m [knm/m] Irdalmjegzék. Bjtár Imre Gáspár Zslt, Végeselemmódszer építőmérnököknek, ERC Kft, Budapest,. Ck, R. D., Cncepts and Applicatins f Finite Element Analsis, secnd editin, Jhn Wile & Sns, 97. Hintn, E. Owen, D. R. J., Finite Element Prgramming, Academic Press, Lndn, 977. Kurutzné Kvács Márta, artók statikája, Műegetemi Kiadó, Budapest, 5. hieme, D., Einfürung in die Finite Elemente Methde für Bauingenieure, Verlag für Bauwesen, Berlin, Rózsa Pál, Lineáris algebra és alkalmazásai, Műszaki Könvkiadó, Budapest, Zienkiewicz, O. C., he Finite Element Methd, third editin, McGraw-Hill, 977 7