FEJEZETEK A DINAMIKÁBÓL

Átírás

1 FEJEZETEK A DINAMIKÁBÓL Dulácska Endre

2 1. BEVEZETÉS, A DINAMIKA CÉLJA 1.1 A rezgés Ha megfigyeljük a világot, azt tapasztaljuk, hogy különböző mértékben ugyan, de minden és mindig rezeg, ebbe beleértve a saját testünket is. Bennünket ez általában nem szokott zavarni, mert a rezgések nagy részének az f frekvenciája (másodpercenkénti rezgésszáma, amit Hz nak, azaz Herz-nek nevezünk), ill. a amplitúdója kívül esik az észlelési határainkon. Ha a rezgés paraméterei meghaladják az észlelési korlátot, akkor először érezzük a rezgést, aztán már zavaró, később már olyan erős is lehet, hogy egészségkárosodást okoz.

3 Tárgyainkat, (pl. épületeket) bizonyos értéken túlmenő mértékű mechanikai rezgések már kisebb - nagyobb mértékben károsíthatják (repedés), később tönkre is tehetik (leszakadás, összeomlás, pl. földrengés). Tekintve, hogy a káros rezgések, ill. káros hatásuk egy része megfelelő tervezéssel elkerülhető, nem lesz érdektelen, ha legalább alapszinten foglalkozunk a rezgések, és a rezgésvédelem kérdéseivel. Az építési területen a káros épületrezgések általában az ipari tevékenység keretében rezgést keltő gépek hatásai, a közlekedés, útépítés okozta rezgéshatások, és a földrengés keltette rezgéshullámok következtében alakulnak ki. Tárgyalásunkat is ebben a csoportosításban fogjuk lefolytatni.

4 2. A DINAMIKA ALAPJAI 2.1 Rezgéstani alapfogalmak, és praktikus közelítő módszerek Ahhoz, hogy a rezgésvédelem kérdéseit megértsük, néhány rezgés-tani alapfogalmat tisztáznunk kell. A rezgésvédelem körében csak az anyagok rugalmas rezgéseivel foglalkozunk, mert a képlékeny területen való rezgési problémák már súlyos épületkárokat jelentenek. Ezekkel a földrengési védelemnél találkozhatunk, ahol nem az épület kármentessége a főcél, hanem az, hogy ne omoljon össze.

5 A rezgések tekintetében megkülönböztetjük a sajátrezgést, melyet a magára hagyott szerkezet végez, és a gerjesztett rezgést, melyet hosszabb időtartamú gerjesztés (pl. egy rázó hatású gép) okoz. A sajátrezgés időbeli lefolyása rendszerint szinusz-hullámú,(harmonikus), mely az x összefüggéssel írható le. Itt az A amplitúdó, a maximális kitérés, t az idő, és T S a sajátperiódus idő. (3.1.ábra.) Továbbá v=dx/dt, a rezgés-sebesség, és a = d 2 x/dt 2,a gyorsulás. A sin 2 T Ha x (cm) a kitérés,akkor a rezgéssebesség maximuma v max =(2π/T s ) A (cm/sec), a gyorsulás maximuma pedig a max = -(2π/T) 2 A (cm/sec 2 ), a gyorsulás. A harmonikus rezgés képe a 2-1. ábrán látható. Az egy másodperc alatt bekövetkezett, T periódusú hullámok száma az f frekvencia, melynek neve a Hz (Herz). Szükséges a g nehézségi gyorsulás fogalma is, melyet a test M tömegével szorozva kapjuk a test súlyát N (Newton) ban. A nehézségi gyorsulás értéke: g = 981» 1000 cm sec -2. s t

6 A gépek gerjesztései periodikusak, de nem mindig harmonikusak (bár minden periodikus rezgés szinusz sorba fejthető). A saját rezgés az idő előrehaladásával a csillapítás miatt elhal (zérus amplitúdójúvá válik). A lökésszerű erőhatás (impulzust átadó gépek, járműütközés stb.) hatása az impulzus átadása után szintén periodikussá, rendszerint harmonikussá válik ábra. A harmonikus rezgőmozgás

7 A gerjesztett rezgés a gerjesztő erőből számított statikus alakváltozás (lehajlás) értékét megváltoztatja, a változást jelző dinamikus tényező: μ =1/ (1- T s2 / T g2 ) <15. E kifejezésben T s a szerkezet saját periódusideje, T g pedig a gerjesztésé. Ha a gerjesztési és a saját periódusidő egyezik, a szerkezet rezonanciába kerül, és amplitúdója elvileg végtelen naggyá válik. (A 15-ös korlátot a mindig meglévő csillapítás adja). A rezonanciát el kell kerülni, ezért az előírás szerint legalább±20% elhangolás szükséges. Tekintve, hogy a rezgésszámítás pontossága kb. 20%, inkább a 40%-os elhangolási értéket célszerű megtartani. A μ érték a T s /T g kifejezéstől függ. Ha ez egynél kisebb, a szerkezet a gerjesztés fázisában, ha pedig nagyobb, akkor ellenfázisban rezeg.

8 A rezgőrendszer lehet egytömegű ( pl. egy rúgóra függesztett tömeg), vagy több tömegből álló, rúgókkal kapcsolt rezgőrendszer. Az egytömegű rendszernek egy rezgéshullám alakja (módusa) van, a többtömegűnek pedig annyi sajátrezgés hullámalakja (szabadságfoka) van, ahány tömegből áll. Így a folyamatos tömegeloszlású tartónak elvileg végtelen sok rezgési alakja van, melyből mérnöki szempontból az első néhány az érdekes. Jelen tárgyalás keretében megelégszünk az első (normális) hullámalak vizsgálatával. Így pl. egy talajon álló épület tömegeit a födémek tömege, rugóját a merevítőfal, ill. a pillérek rugalmas ellenállása adja. Az egytömegű rendszer rezgési periódusidejét a T s = kifejezésből számíthatjuk ki, ahol w stat a rendszer saját tömege okozta statikus le vagy elhajlás (lásd a 2.-1.ábrát) cm-ben, és. T s periódusidő sec (másodperc)-ben. 2 0,2 wstat pedig a

9 Az M1, M2,..Mn tömegből álló többtömegű rendszer első rezgési alakjának sajátrezgési periódusidejét a DUNKERLEY elv szerinti jó közelítéssel a T = (T s1 + T s2 +...T sn ) -2 kifejezésből számíthatjuk, ahol T s1, T s2, T sn az egyes tömegekre külön - külön meghatározott sajátperiódusidő, és az indexek az egyes tömegeket jelzik. Tájékoztató értékek a saját periódusidőre: Falazott épület T s» 0,04 N, Vasbeton váz T s» 0,12 N, ahol N a szintszám. Födémrezgések T s» 0,10-0,25 sec. Megjegyezzük, hogy az elmozdulást x helyett u-val is szokás jelölni. A tartó mentén megoszló tömeg jele rendszerint m, és akkor M red a helyettesítő redukált tömeg. Van, hogy a koncentrált tömeget jelölik m betűvel. A k rugómerevség az egységnyi elmozdulást okozó erő, és c pedig a rezgést csökkentő csillapítási tényező. Van, hogy az irodalom e két fogalom nevét fordítva, felcserélve alkalmazza.

10 3. A DINAMIKA ELMÉLETE 3.1. A rezgő rendszer modelljei A következőkben a rugalmas szerkezetek rezgőmozgásaival foglalkozunk. Ezeket az jellemzi, hogy a mozgás energiája felváltva alakváltozási munkává és lendületté alakul át. Az alakváltozási munka hordozója az anyag rugalmassága, melyet rugóval, vagy rugók rendszerével jellemzünk. A lendület hordozója pedig az anyag tehetetlensége, melyet a tömegponttal, ill. a tömegpontok rendszerével modellezünk. Az alkalmazott fogalmak jelöléseit a 2. fejezetben tárgyaltuk. Ennek ellenére lesz olyan hely, ahol külön megemlítjük.

11 A rezgőmozgás akkor periodikus, ha bizonyos T idő múlva megismétli önmagát. A legegyszerűbb periodikus mozgás a harmonikus rezgőmozgás, amit már a 2.1 ábrán bemutattunk. A rezgési elmozdulás első deriváltja a sebesség, második deriváltja pedig a gyorsulás. A gyorsulás és a tömeg szorzata az erő. A harmonikus rezgőmozgás e három elemét a 3.1 ábra mutatja. 3.1 ábra. harmonikus rezgés út, sebesség és gyorsulás diagramja

12 A rezgő tömeget a 2.1 ábrának megfelelő olyan konzollal modellezzük, melynek végén van a tömeg. Szokás a ábráknak megfelelő modellezés is ábra. A rezgő tömeg modellezése a, egytömegű, b, kéttömegű (két szabadságfokú), c, több szabadságfokú (Az a, és b, ábrán a kétoldali vezetés jelzi a biztos egyirányú mozgást.)

13 Mint ahogy a 3.2 ábra szemlélteti, lehet a rendszer egytömegű, egy szabadságfokú, többtömegű, egy rugóval és két tömeggel, és lehet egy tömeggel, és több rugóval. Így a több szabadság-fokúságot a rugók és tömegek kombinációja határozza meg. 3.3/a. ábra Erőgerjesztett regés 3.3/b. ábra Támaszgerjesztés

14 A rezgés lehet erővel gerjesztett, amikor valami külső hatás hozza rezgésbe a rendszert, (3.3.-a ábra.), és támasz gerjesztett rezgés, amikor a támaszrezgés rezgeti a rendszert (3.3-b ábra). A gerjesztés természetesen nemcsak függőleges lehet, hanem bármely irányú, pl. vízszintes. A gerjesztés megszűnésével következik a szabadrezgés (sajátrezgés), amikor a rendszer a gerjesztés elmúltával magában rezeg ábra. A csillapított szabadrezgés modellje Az ábrán a csillapítást a c betűvel jeleztük. (A ábrázolás az olajjal telt mozgó lyukas dugattyús rendszerű csillapító).

15 A csillapítás lehet viszkózus jellegű, azaz a sebességgel arányos fékező erőt reprezentáló (a számítás egyszerűsítése céljából rendszerint sokszor ezt a lineáris csillapítási modellt használjuk) de tudomásul kell vennünk, hogy a valóságban a működő csillapítások ettől eltérőek, az anyag hiszterézise, a légellenállás, a súrlódó hatások, vagy beépített mechanikai fékező rendszerek miatt. A csillapítás mértéke függ a rezgési amplitúdó nagyságától is. Megjegyezzük, hogy a sokszor fellépő súrlódásos csillapítást Coulomb csillapításnak nevezik. A szokásos mértékű csillapítások a sajátrezgés periódusát (rezgésszámot) alig befolyásolják. Jelentőségük igazán abban van, hogy egyrészt nem engedik a később tárgyalandó rezonancia amplitúdót végtelenig növekedni, másrészt abban, hogy hatásukra a rezgés egyáltalán megáll. A csillapítás rezgési amplitúdó csökkentési hatását a 3.5. ábra mutatja.

16 3.5. ábra. A csillapítás amplitúdó csökkentő hatása A csillapítás mértékét a csillapítás logaritmikus dekrementumával szokták jellemezni (jele:δ.) Ez két egymás után következő azonos fázisú amplitúdó hányadosának (kisebb per nagyobb) a logaritmusa. Néhány szerkezetre jellemző értéket mutatunk be a 3.1 táblázatban.

17 Szerkezetfajták csillapításának logaritmikus dekrementuma 3.1 Táblázat Szerkezetfajta Logaritmikus dekrementum, δ NF csavaros, vagy hegesztett acélszerkezet δ = 0,0150, Szegecselt vagy csavarozott acélszerkezet δ = 0,0300, Vegyes acélszerkezet δ = 0,0500, Repedetlen vasbetonszerkezet δ = 0,0500, Berepedt vasbetonszerkezet δ = 0,1000, Feszített vasbetonszerkezet δ = 0,0500 A csillapításnak az az értéke, melynél a kilendítés után a szerkezet visszatér eredeti helyzetébe, de nem jön rezgésbe, a kritikus csillapítás. A kritikus csillapítás értéke: c krit = 4 π M / T s. A csillapítás mértékének a jellemzésére a D relatív csillapítás fogalmát használják, mely a tényleges csillapítás, és a kritikus csillapítás hányadosa. Tehát D = c/c krit.

18 A talaj relatív csillapítása a következő ábrán látható, a talaj relatív szögelfordulásának függvényében. (Alapelfordulás, vagy nyírási deformáció). 3.6-a ábra Homoktalaj relatív 3.6.-b ábra Agyagtalaj relatív csillapítása csillapítása

19 3.3. A gerjesztés A gerjesztés lehet periodikus, ütésszerű, periodikusán ütésszerű, tranziens, és harmonikus. A gerjesztés nemcsak a rezgő tömeget, hanem a rugó befogási pontját is gerjesztheti. Ebben az esetben támaszgerjesztésről beszélünk. A két eset viselkedése ugyanaz, de ellenkező előjellel. Az alul befogott, egytömegű csillapított konzol szabadrezgésének, gerjesztett rezgésének, és támasz gerjesztési rezgésének modelljét a 3.7 ábra mutatja ábra. A csillapított szabadrezgés (a), a csillapított gerjesztett rezgés (b), és a csillapított gerjesztett támaszrezgés modellje (c).

20 3.4. Rezgéshatások A rezgéseknek hatásuk van egyrészt az emberre, másrész pedig a létesítményekre. Először az emberekre való hatásokat tekintsük át A rezgés hatása az emberre A mechanikai rezgések egy részét tapintás útján érzékeljük. Ha a rezgési frekvencia nagyobb, mint 20 Hz, akkor hangként is érzékelhető. 100 Hz felett már túlnyomóan hallás útján veszünk tudomást a rezgésről. A rezgés az emberi szervezetre káros is lehet. Az emberi szervezet a rezgéseket fiziológiailag érzékeli. Az ember érzékeny a rezgés amplitúdójára, de a frekvenciájára, sőt az irányára is. Ezért az ilyen jellegű vizsgálatok és eredményeik e hatásokat összevonva tartalmazzák. A rezgéshatás mérhető a PAL skálával, értéke: PAL=10 log(v/v 0 ) 2, ahol v 0 =0,0316 cm/sec, a rezgési sebesség elfogadott küszöbértéke. Harmonikus rezgésnél 30 PAL-nak felel meg. v =1,4 π a / T. A PAL skálában v=1cm 30 PAL-nak felel meg. A PAL skála határértékei: 5 PAL-ig, éppen érezhető, 10 PAL-ig jól érezhető, 20 PAL-ig erősen érezhető, 40 PAL-ig kellemetlen hatású.

21 Egy másik érzékelési szisztéma az F.I.Meister féle diagramsorozat, mely az amplitúdó és a frekvencia összefüggésében mutatja az értékelést. A 3.8. ábrán feltüntetett rezgésszám szó természetesen frekvenciát jelez ábra. A rezgések hatása az emberre

22 A harmadik értékelési rendszer a Magyar rezgésszabvány értékelése, melynek rezgéssebesség értékeit a következő táblázat mutatja. Az ember érzékenysége a rezgésre 3.2 Táblázat Rezgéssebesség, mm/sec Az emberben kiváltott érzés -- 0,2-0,5 Érzékelhető 0,5-1,0 Figyelemre méltó 1,0-2,0 Kellemetlen 2,0 -- 3,0 Zavaró 3,5-5,0 Kifogásolható

23 3.4-2 A rezgés hatása az épületekre Másodszorra az épületekre gyakorolt hatást tekintsük át. Általában nem keletkezik repedési károsodás a szabályos, jó minőségű épületben, ha a rezgéssebesség nem lépi túl a következő 3.3 táblázatban adott értékeket. Sorsz. Épületfajta Az alapokon megengedett v rezgéssebesség megengedett irányértékei (mm/sec), ha a frekvencia 10Hz 10-50Hz Hz legfelső teljesszint 1 Ipari épület Lakóépület Műemlék épület 4 Statikailag bizonytalan épület Szakértői mérlegelésszerint födém síkjában, vízszintesen *100 Hz feletti frekvenciák esetén az irányérték még nagyobb is lehet, de legalább a 100 Hz- hez tartozó értéket kell figyelembe venni

24 Jó állapotú épületre a 2. sorszámú, míg már előzetesen összerepedezett épületre a 3. sorszámú értékeket lehet figyelembe venni. Ha szükséges, akkor a 4. sorban a 3. sor értékeinek felét lehet számításba venni. Így a legkisebb lehetséges érték 1,5. Természetesen, miután a 3.3 táblázat adatai tájékoztatóak, konkrét esetben nem mellőzhetjük a számítási eredmények vizsgálatát. Ehhez meg kell határoznunk a gerjesztő hatást, és annak rezgési paramétereit. (Amplitúdó, rezgési sebesség, gyorsulás.). Ezeket gépek esetében ezt a gyártmány leírása kell, hogy tartalmazza. Egyébként tervezés esetén a szakirodalomban kell keresnünk hasonló eseteket, míg megépült szerkezetek vizsgálata esetén nem mellőzhetők a gerjesztő rezgés mérési adatai.

25 Ugyancsak meg kell határoznunk a vizsgált szerkezet sajátrezgési adatait is. Megépült szerkezetek esetében mérések alapján, tervezett létesítmény esetében pedig számításokkal. Ennek érdelében a következőkben végig vesszük az egyes rezgőrendszerek vizsgálati módszereit. Tekintve, hogy a sajátrezgési frekvenciát, ill. periódusidőt alig befolyásolja, a csillapítás, a mutatott számítási módszerek, eljárások csillapítás nélküliek Rezgéselmélet A rezgéselmélet keretében a lineárisan rugalmas szerkezetek rezgéseivel foglalkozunk. A gyakorlatban a komplikált rezgési problémákat igyekszünk visszavezetni a legegyszerűbb esetre, a csillapítás nélküli, egytömegű, egyszabadság fokú rezgés esetére.

26 Egyszabadságfokú rezgés Az ennek megfelelő modellt a 3.2 és a 3.7 ábrán mutattuk be. Ennek az esetnek az egyensúlyi egyenlete: F a +F cs +F rug =F 0. Ez a dinamika alapvető egyenlete, melyben F a a gyorsulási tömegerő, F cs a csillapító erő, F rug a visszatérítő rugóerő, és F 0 a gerjesztő erő. Írjuk be az erők helyére az elemekkel kifejezett értékeket. Így a következő egyenletet nyerjük m x c x k x F t x (3.1) o, A következőkben ezt nevezzük a szerkezeti dinamika alapegyenletének. Bár korábban már tisztáztuk a jelöléseket, most még egyszer tisztázzuk. m a tömeg, x a mozgás (a t idő függvénye), (Jelölhető u-val is.) az x feletti pont a differenciálás jele, c a csillapítás, k a rugómerevség, és F 0 gerjesztő erő. (lehet P 0 is.) a

27 A következőkben tekintsük az elhanyagolhatóan kis c csillapítást zérusnak. Az egyenlet egy közönséges másodrendű inhomogén differenciálegyenlet. Ha a gerjesztés harmonikus, azaz szinusz-szerű (nagyon sok esetben valóban az), az egyenlet analitikusan megoldható. Az általános megoldás: x = A sin(2π/t s ) t + B cos (2π/T s ) t + F 0 / k (1/(1- (T s /T g ) 2 ) (3.2) Ha kezdeti feltétel az, hogy a zérus pontban x=0, F 0 =0, akkor B=0, és a x A sin 2 T s t megoldás: (3.3) Ha az F 0 zavaró függvény zérus, akkor az egyenletünk homogén egyenlet lesz. Ennek megoldásaként kapjuk a szerkezet sajátfrekvenciáját. Miután ez esetben az A amplitúdó minden tagban szerepel, értéke határozatlan. Ez azt jelenti, hogy a sajátfrekvencia minden amplitúdó érték mellett ugyanakkora. (A sajátrezgést szokás szabadlengésnek is nevezni. Általában a lassú rezgést gyakran lengésnek, a gyorsat pedig rezgésnek vagy vibrációnak szokták emlegetni.) A következőben egyes szerkezetek sajátrezgés adatait mutatjuk be, a matematikai részletek nélkül.

28 Ez a kép most nem jeleníthető meg Sajátrezgés A 3.1 egyenlet megoldásából a sajátrezgés periódusideje: 2 Ez az összefüggés igen jól megközelíthető a T s T 2 s x stat kifejezéssel. Itt T s a periódusidő secundumban (másodpercben), és x stat a statikus teher (saját súly) okozta maximális elmozdulás (tartóknál lehajlás) méterben. (A frekvencia a T s reciproka, tehát f=1/ T s. Az egy perc alatti n rezgésszám a periódus hatvanszorosa (egy perc = 60 másodperc). A fentiek a felvett rezgésalaknak megfelelően az egy hullámú megoldásra vonatkoznak, így az első modus rezgésszámát adják. m k

29 3.9. ábra A magasabb modusokhoz tartozó rezgésszámok A következő 3.9 ábrán a felhangok (magasabb modusú) rezgésszámait mutatjuk be egy kéttámaszú, és egy konzolos tartó esetében.

30 Ha a tartó megoszló tömegű, akkor végtelen sok kicsi tömegből állónak lehet elképzelni. Ilyen esetekben a frekvencia számításához meg szokás határozni az m megoszló tömegű tartó helyett egy olyan tartót, melynek egyetlen M red redukált tömege van. A redukált tömeget úgy kell meghatározni, hogy a pontos rezgésszámot, ill. frekvenciát szolgáltassa. Szerencsére ezt a számítást már több tartóra elvégezték. Ezen redukált tömegek értékeit mutatjuk be a 3.10 ábrán ábra. A redukált tömegek értékei.

31 A dinamikus teher okozta igénybevételek, alakváltozások mások, mint a statikus teher okozta hasonló mennyiségek. Azt a szorzót, mely ezt a különbözőséget kifejezi, dinamikus tényezőnek nevezzük, jele: μ. Ha egy terhet hirtelen engedünk rá egy tartóra, akkor az alakváltozás kétszerese is lehet annak, mintha lassan engednénk rá. Így ez esetben μ =2,0. Ha pl. egy t ideig tartó lökést kap a tartó, és a D relatív csillapítás 0,08 (vasbeton), akkor a dinamikus tényező μ = 1+2t/T 2,0. A sajátrezgési frekvencia közelítő meghatározására energia alapon egy igen jó módszert dolgozott ki Raleigh. A módszer lényege: A tartót részekre bontjuk, és minden rész súlypontjához meghatározzuk a Q i tömeget, és az y i elmozdulást a Q tömeg hatására. A tartó ω körfrekvenciáját a 3.11 ábrán látható összefüggéssel számíthatjuk. A módszer nemcsak állandó, hanem hossza mentén változó merevségű tartóra is alkalmazható. Sőt, a nyírási alakváltozásokat is figyelembe tudjuk venni. Ez a módszer mindig néhány százalékkal nagyobb rezgésszámot ad, mint a pontos számítás.

32 3.11. Ábra. A Raleigh módszer a sajátfrekvencia számítására. A részekre osztott tartón az egyes részekhez tartozó tömegrészt viszonylag könnyen meg tudjuk határozni. Nem így van azonban az egyes pontokhoz tartozó y i értékek meghatározásánál, mert ezek hosszadalmas integrálással számíthatók. Igen jó közelítő értéket nyerünk a frekvenciára, ha a pontos alakváltozás görbét egy valószínű görbével helyettesítjük. Ennek ordinátáit már könnyen meg tudjuk határozni. Több hasonló görbével elvégezve a számítást, az eredményt pontosíthatjuk.

33 Az épületek alul befogott konzolként méretezhetők. Magasságuk miatt szükség lehet a magasabb modusokra is. Ezekhez nyújt segítséget a következő ábrasorozat ábra. Az épület mint befogott konzol

34 3.13. ábra. Nyírási alakváltozás nélküli épület körfrekvenciái (Nincs nyírási alakváltozás)

35 3.14. Ábra. Csak nyírási alakváltozású épület körfrekvenciái (Nincs hajlítási alakváltozás)

36 A fenti ábrákon μ (mű) a megoszló tömeg, A s a keresztmetszeti terület, E a rugalmassági tényező, és I az inercianyomaték. Látható az ábrán, hogy a csak nyírási alakváltozású épület (keretváz) 3.14 ábrán vázolt alakváltozása mennyire különbözik a csak hajlítási alakváltozást végző (merevítő falas) épületétől (3.13. ábra.). Tájékozódás céljából nem árt [8] alapján megnéznünk néhány tartószerkezet, ill. épület az n (1/perc) sajátrezgésszámát. ( a frekvencia: f=n/60)

37

38 3.7. Gerjesztett rezgés-kényszerrezgés Ha F 0 nem zérus, akkor gerjesztett rezgéssel van dolgunk. (Itt most csak a harmonikus gerjesztéssel foglalkozunk.) A forgó gépek okozta rezgés rendszerint harmonikus. A távolabbi rezgésforrások is harmonikus rezgést adnak át a közbenső anyagok szűrőhatása miatt. (Az ütésszerű gerjesztéssel később röviden foglalkozunk.) A nem harmonikus periodikus (pl. tranziens) rezgések pedig Fourier (sin) sorba fejthetők, és így hatásuk összegezhető. Miután a sajátrezgés a mindig meglévő csillapítás hatására elhal (c = D = 0), a harmonikus gerjesztés hatása a (3.2) egyenletből a kifejezéssel írható le, ahol a dinamikus tényező: x din = F 0 μ / k A dinamikus tényező a T s /T g hányados függvényében való változását a 3.15 ábrán mutatjuk be. Itt x din a dinamikus, x stat pedig a statikus teher okozta elmozdulás. μ 1/ 1-(T s / T g ) 2

39 3.15. ábra. A μ = X din /x stat dinamikus tényező

40 Az ábra mutatja, ha a T g gerjesztési periódusidő végtelen nagy (statikus teher), akkor a dinamikus tényező az egységgel egyenlő. Ha a T g csökken, a dinamikus hatás növekszik, és amikor T s = T g, akkor a dinamikus tényező végtelenné válik. Ezt nevezzük rezonanciának. (Szerkezeteinknél ezt a rezonanciapontot el kell kerülnünk. A dinamikus tényezőt a folyamatos vonal jelzi. A rezonancia ponttól balra eső szakasz a kemény rugózás szakasza, ezt fölé hangolásnak nevezik. Ebben a szakaszban a rezgő rendszer, és a gerjesztés fázisban van, tehát a tömeg elmozdulásának iránya megegyezik a gerjesztés irányával. A jobbra eső szakasz a lágy rugózású, aláhangolt szakasz. Ebben a szakaszban a tömeg ellenfázisban rezeg, azaz a tömeg mozgásának iránya ellentétes e gerjesztő erő irányával. Támaszgerjesztésre ugyanez vonatkozik.

41 Miután a maximális amplitúdónak mindegy az előjele, a lágy rugózású szakasz görbéjét a T s / T g tengely körül felforgathatjuk (szaggatott vonal). Az ábrából azt is láthatjuk, hogy a rezonancia elkerülésére két mód van. Az egyik, hogy a szerkezet merevségét növeljük, a másik az, hogy csökkentjük. Így az a dinamikai anomália, hogy egy tartót néha úgy is lehet erősíteni, hogy gyengítjük. Már említettük, hogy a csillapítás hatására a rezonancia végtelen értéke nem alakulhat ki, gyakorlatilag 15- nél nagyobb dinamikus tényező nem lehetséges. A csillapított rendszer rezonancia görbéjét [8],[13] alapján a 3.16 ábra mutatja, ahol D a relatív csillapítás ábra. A csillapított rendszer rezonanciagörbéje

42 Megjegyezzük, hogy a dinamikai hatások vizsgálatánál a dinamikus (mozgó) tömegek, (így pl. forgó részeknél a forgórész, gépkalapácsoknál a kalapács tömege, járműhatásnál a jármű tömege, stb.) hatását kell szorozni a dinamikus tényezővel. A csillapítás kismértékben a sajátfrekvenciát, ill. a sajátperiódust is befolyásolja. Ha T s a csillapítás nélküli sajátperiódus idő, és T s,csill a csillapítás figyelem bevételével meghatározott, akkor: T Ez a szokásos 3-10% relatív csillapítási értékek esetén 0,05-0,5% eltérést ad. Az eddigiek a sebességgel lineárisan változó csillapításra vonatkoztak. Létezi négyzetesen változó, és állandó értékű (Coulomb súrlódásos) csillapítás is. Ezek számításba vétele sokkal bonyolultabb, és eredményül néhány százalék eltérést kapunk. Ezért azt gondoltuk, hogy itt nem foglalkozunk velük. s, csill T s ( 1 D 2

43 3.8. Többszabadságfokú rezgés Az eddig tárgyalt egyszerű rezgések nem mindig lépnek fel önállóan, egymástól függetlenül, hanem egymáshoz kapcsolódva. Ha egy tömeget több rugó támaszt meg, akkor a rugómerevség több részből tehető össze, vagy a tömeg több részből tehető össze, azaz rugók és tömegek kapcsolat vizsgáljuk, akkor több szabadságfokú rendszerrel van dolgunk. Az m szabadságfokú rendszernek n sajátfrekvenciája van. Mindegyikhez más sajátfrekvencia tartozik. A legalacsonyabb frekvenciájú rezgést alaprezgésnek nevezzük. Az egyes frekvenciákat n-ed fokú egyenletből lehet meghatározni. A legegyszerűbb ilyen esetet mutat a 3.17 ábra ábra. A kéttömegű rezgőrendszer modellje

44 Ez egy kétszabadság fokú rendszer. A feladat differenciálegyenlet rendszere az állandók variálásának módszerével oldható meg (itt nem részletezzük). Határozzuk meg külön a fiktív frekvenciákat. Így: f1 ( 1 2 ) k1 m1 f2 1 2 k2 m 2 Ezeknek, valamint az m 1 /m 2 tömegaránynak függvényében a megoldást a következő bikvadratikus egyenlet gyökei adják f f 1 m m f f 1 f f f f 0 1, , Ez az egyenlet numerikusan megoldható, az irodalom a megoldást grafikonon közli. Ez a kéttömegű rendszer megoldása fontos a dinamikus lengéscsillapítóknál. A gerjesztett rezgés a több szabadságfokú rendszerre akkor veszélyes, ha a gerjesztő frekvencia megegyezik, vagy közel áll egyik sajátfrekvenciához, mert ez rezonanciát jelent.

45 A dinamikai hatások vizsgálata esetén nagyon fontos a T s alap saját periódus idő meghatározása. Ez komplikáltabb esetekben elég nagy nehézséggel jár. A számítások megkönnyítése céljából két ilyen módszert ismertetünk. Az egyik a Dunkerley módszer (más néven Föppl-Papkovics), a másik pedig a Southwell módszer. A Dunkerley módszer szerint, ha egy rendszer több tömegből tehető össze, és ismerjük a több tömegből külön-külön meghatározott periódusidőket, akkor a leglassúbb közös periódusidő a kifejezéssel számítható. T s T i 2

46 Ez a kép most nem jeleníthető meg. Példaképpen vizsgáljunk egy talajba befogott konzolt. Először legyen a konzol mereven befogva. Ekkor a hajlításból származó periódusideje legyen T 1 =1,0 sec, és a nyírásból származó periódusideje legyen T 2 =0,5 sec. Másodszorra merevítsük meg a konzolt, és határozzuk meg a talajba való rugalmas befogásból származó rezgéshez tartozó periódusidőt, ez legyen T 3 = 0,6 sec. A helyettesítő eredő periódus (A Dunkerley képlet néhány százalékkal kisebb frekvenciát ad a pontos értéktől.) T s T T2 T3 1 0,5 0,6 A függőleges rezgések vizsgálatánál nem szabad figyelmen kívül hagyni az oszlopok függőleges összenyomódásából származó merevségrészt, mert egyes esetekben ez érezhetően befolyásolja az eredményt. 1,269sec.

47 A Southwell tétel szerint, ha a merevség tehető össze több részből, pl. k = k 1 +k 2, és ismerjük az egyes merevségrészekhez tartozó f 1 és f 2 frekvenciákat, akkor az eredő frekvencia az kifejezésből számítható. A Southwell módszer néhány százalék hibával adja az eredményt. Kettőnél több szabadságfokú, komplex rendszer esetében a sajátfrekvencia meghatározása már csak számítógéppel járható út. Erre külön kidolgozott szoftverek állnak rendelkezésre, de néhány szokásos program (pl. MATLAB) is képes rá. f Egy külön szám a folytonos tömegeloszlású tartók számítása. Ezek végtelen szabadságfokúak. Nyilvánvalóan végtelen szabadság fokkal nem lehet dolgozni, ezért ezeknél alkalmasan megválasztott csomópontokba kel redukálni a tömegeket, és így keresni a megoldást. Néhány egyszerű tartó redukált tömeg meghatározását a 3.10 ábrán mutattuk be. 2 f 1 f 2 2

48 A mérnöki gyakorlatban sokszor fordul elő tömbszerű gépalap, mely rugalmasnak tekinthető talajon van ágyazva. Ez általában hat szabadságfokot jelent. Három irányban végezhet eltolódást, és három tengely körül forgást. Ha azonban az alaptest súlypontja a megtámasztott felület súlypontja fölé esik, a függőleges súlyponti tengely az alaptest tehetetlenségi főtengelye, és végül az alaptest két vízszintes tehetetlenségi főtengelye párhuzamos a megtámasztó síkfelület tehetetlenségi főirányaival, akkor az alaptest minden rezgése felbontható egy függőleges eltolódási rezgésre (egy szabadságfok), egy függőleges tengely körüli csavaró rezgésre (egy szabadságfok), és a két függőleges fősíkban végbemenő un. billenő (inga) rezgésre (két-két szabadságfok). Igy a függőleges gerjesztő erő, valamint a függőleges tengely körüli csavaró nyomaték hatására az alaptest egy szabadságfokú, valamelyik fősíkban ható vízszintes erő hatására pedig két szabadságfokú rendszerként viselkedik. Így a számítás lényegesen leegyszerűsödik.

49 3.9. Elmozdulás (támasz) gerjesztés Támaszgerjesztés esetén a gerjesztő hatás nem a tömegre, hanem a támaszra működik. Ennek a gerjesztés típusnak főleg a földrengésvédelem területén jut jelentős szerep. A matematikai megoldás lényegében azonos, de az előjel ellenkezőre változik. A dinamikus tényezőt ebben az esetben rezgésátadási tényezőnek nevezzük. A [13] alapján egy egyszabadság fokú keretmodellt mutatunk a 3.18 ábrán, ahol a csillapítást a dugattyús csillapító szemlélteti. Fontos különbség, hogy az igénybevételek a keretlábban nem a támasz z elmozdulásából, hanem a tömeg x elmozdulásából származnak. Attól függően, hogy a rendszer föléhangolt, vagy aláhangolt, x lehet nagyobb, vagy kisebb z-nél 3.18 ábra. Támaszgerjesztés modellje

50 3.19. ábra. Többszintes épület elmozdulás gerjesztése. Egy többszintes épület hasonló modelljét mutatja a 3.19 ábra. Látható, hogy az oszlopok keresztirányú alakváltozása miatt az épület a nyírási modellhez hasonlóan deformálódik. A modell gerendái végtelen merevek. De a gerendák deformációja jelentős hatással van a sajátrezgési frekvenciára, és így az igénybevételekre is. A sokszintes épületeknél indokolt a három, vagy több modus figyelembevétele, mert az épület felső szintjein a rezgési gyorsulások összeadódnak.

51 3.10. Leeső test esete (ütésteher) A leeső test az alatta lévő testre dinamikus hatást fejt ki. Ilyen probléma merül fel többek között a védőhidaknál, ahol az út felett keresztező csillepályán futó csillék esetleges leesés ellen kell megvédeni az úton közlekedő forgalmat. Ugyancsak ez a probléma a védőtetők esetén, ahol a leeső tárgyak ellen kell biztosítani a járókelők épségét. A számítási modellt a 3.20 ábra mutatja. Az ütéshatást abból a feltételből lehet meghatározni, hogy a leeső Q tömegű test által leadott energia meg kell egyezzen az ütközést felfogó G red tömegű test rugalmas, és az ütközés (rugalmas vagy képlékeny) energiájával. Egy ilyen tartót mutat be a ábra. a levezetés ismertetése nélkül (képlékeny ütközést feltételezve) ábra. A leeső test modellje ábra. Ütközést helyettesítő erő meghatározása

52 3,11. Az ütközési probléma Többször előfordul, hogy a felmerült probléma kapcsán két test ütközési esetét kell vizsgálni. Ennek modellje látható a 3.22 ábrán ábra. Az ütközési probléma Haladjon az m tömegű test v 0 sebességgel, és ütközzön az M tömegű testtel. Az ütközés következtében meglöki az M tömeget, és közben az ütközés során energia elnyelés következik be. Az ábrán feltüntettük a v 1 sebességeket, rugalmas, ill. képlékeny ütközést feltételezve. Ezzel a sebességgel halad tovább az M tömeg. Ugyancsak feltüntettük az deformációs energia E def kifejezését is, mely az ütközési pont helyi roncsolódását okozhatja. Ilyen vizsgálat lehet szükséges pl. gépkocsik ütközésekor, vagy amikor egy jármű épületnek ütközik.

53 3.12. Rezgésmérés, kísérleti módszerek A rezgések mérésére több okból lehet szükség. Így pl. ha egy rezgésforrás okozta rezgéshatás rezgésátadódás útján berezget valamilyen objektumot, épületet, vagy épületszerkezetet. Ilyen rezgésforrás lehet a cölöpverés, szádfalverés, útépítés, köz- úti forgalom, vibrációs talajtömörítés, stb. Ilyen esetekben a kérdéses objektumon kialakult rezgés paramétereit kell mérni. Ezeknek, és az érvényes szabványok határértékeinek összehasonlításával lehet a rezgéshatást értékelni. A rezgések épületre gyakorolt hatásaival az MSz szabvány foglalkozik (mely lényegében a DIN német szabvány átvétele.) A szabvány megadja a rezgéssebesség megengedett értékeit. Az alkalmazott mérőműszernek alkalmasnak kell lennie az Hz közötti rezgéstartomány mérésére. Az elterjedt rezgésértékelők általában alkalmasak a gyorsulás, a sebesség, és az elmozdulás meghatározására

54 Az elektro-dinamikus rezgésmérő egy mechanikai rezgőkör (tömeg, rugalmasság és súrlódás), melyben a tömeg pillanatnyi mozgását az érzékelő mozgása, és a rezgő tárgy és az érzékelő relatív helyzete együttesen határozzák meg. Ez a rezgésérzékelő alkalmas a lassúbb rezgések mérésére. A másik típusú rezgésérzékelő a piezoelektromos érzékelő. Ez nem igényel tápfeszültséget, nem tartalmaz mozgó alkatrészt, hanem a piezoelektromos kristály nyomási, vagy nyírási állapotváltozásából állapítja meg a gyorsulást. A kimenőjel integrálásával a sebesség és az elmozdulás is megkapható. Az érzékelő lelke egy kerámiakristály, melynek pólusai között nyomás, húzás vagy nyírás igénybevételekre a ható erővel arányos elektromos töltés keletkezik. Ez az érzékelő inkább a gyors rezgések detektálására alkalmas. Az érzékelt jeleket külön eszköz dolgozza fel. Az érzékelőt ragasztással, csavarkötéssel vagy állandó mágnessel kell a mérendő objektumra rögzíteni. A kézben tartható érzékelők (pl. Vibropen) nem alkalmasak épületrezgés mérésére, mert a mérő személy a tárggyal együtt mozog, és ezért a mérés hamis. Ma már léteznek a Doppler elv alapján működő lézeres rezgésmérő műszerek is.

55 Egy másik eset lehet az, ha egy meglévő objektum sajátrezgési periódusait szeretnénk megállapítani, pl. abból a célból, hogy a telepítendő rezgésforrás okoz e rezonanciát, vagy sem. Ilyen esetben az objektumot megfelelő eszközzel rezgésbe kell hozni. Ez lehet egy rezgető gép (schäker), melynek frekvenciája változtatható. A frekvencia skálán végighaladva a sajátfrekvencia pontokon csúcsérték alakul ki, és ebből lehet a sajátfrekvenciákat megállapítani. Egy spektrum-analizátor ára elég magas, több millió forint. Rezgésmérésre lehet szükség akkor is, ha egy berendezés sajátfrekvenciáját akarjuk meghatározni, abból a célból, hogy ne kerüljön rezonanciába a rezgésforrással. Ilyen eset lehet pl. egy nagyobb szerkezetre (pl. oszlop) felerősített olyan szekrény, melyben azok a műszerek kapnak helyet, melyeknek földrengés esetén le kell kapcsolniuk a veszélye üzemet. Ilyenkor a vizsgálandó tárgyat egy rázóasztalra erősítik, felműszerezik, és a rázóasztalt egy aktuátorral változó rezgésbe hozzák. Így a műszerek rezonanciája kiküszöbölhető.

56 3,13. Rezgéscsökkentés Ha elhangolással nem tudjuk a rezonanciát elkerülni, akkor rezgéscsökkentést kell alkalmaznunk. A rezgéscsökkentés lehet aktív (activ control), vagy passzív (passive control). A rezgések elleni védekezés a leghatékonyabb a rezgéskeltés helyén, amennyiben ez lehetséges. Arra kell törekedni, hogy a megengedettnél nagyobb feszültségek keletkezését megakadályozzuk, és a rezgések átadódását csökkentsük. A gépalapok helyes kialakításával, a talaj rugalmasságának a figyelembevételével, valamint jól méretezett rezgéscsillapító alátétekkel jelentős rezgéscsillapítást érhetünk el. A gépalapok helyes kialakításának elvei: --Ütésszerű erőhatást átadó gépeknél (kalapács, törőgép) az épülettől független, nagytömegű alappal, és lágy rugózással csökkenthetjük a rezgéshatást. Periodikus erőhatású gépeknél (dugattyúsgépek, turbinák) az alapozástól független, rezonanciamentes alapozásra kell törekedni. Épületfödémre kerülő gépeknél arra kell ügyelnünk, hogy a födémre csak nyugodt járású gépek kerüljenek. Megemlítjük, hogy a gyalugépek lökésszerű hatásúak.

57 Miután az épületrezgések pontos meghatározása a különböző zavaró hatások miatt gyakorlatilag lehetetlen, ezért a számításokat utólag mérésekkel ellenőrizni kell. Ha a fentiekkel a rezgéseket nem sikerül megfelelően csökkenteni, akkor rezgéscsökkentő rendszerek lehetnek a különböző antivibrátorok (tilger), melyekről bővebben írtunk a 6. fejezetben. A különböző gépek megengedhető rezgésadatait a következő 3.4 táblázat mutatja.

58 4.1 Rezgési határértékek 4. REZGÉSVÉDELEM A rezgés intenzitásának határértékét két szempontból lehet értékelni. Az egyik az ember érzékenységére gyakorolt hatás, a második pedig az esetleges épületkárt okozó rezgés intenzitás. Ezeket a 3.4 fejezetnél tárgyaltuk. A következőkben lássuk a különböző típusú rezgésforrásokat. 4.2 Ipari rezgések, és az ellenük való védelem Az ipari rezgések gerjesztő forrásai különbözők lehetnek. Igy pl. a kiegyensúlyozatlan forgórészek periodikus, rendszerint harmonikus (szinusz hullámú) rezgést okoznak. Sajtoló gépek, kalapácsgépek rövididejű lökéseket, impulzusokat adnak. E hatások keltette rezgésekre az alátámasztó szerkezeteket a rezgésforrás frekvenciájától felfelé és lefelé legalább 40%-al el kell hangolni, és a szerkezetet a dinamikus tényező meghatározásával méretezni kell. A dinamikus tényező harmonikus gerjesztésre: Egyszeri, t idejű lökésre: 2,5 t / T s 2 μ 1/ 1- (T s / T g ) 2

59 Az előző kifejezésekben T s a szerkezet saját periódusideje, T g pedig a gerjesztésé. A fenti dinamikus tényezővel a gépsúlynak azt a részét kell szorozni, mely a rezgést okozza, így pl. forgógépnél a forgórész kiegyensúlyozatlan tömegét. Gyakorlati tapasztalat, hogy az állórész súlya + a dinamikus tényezővel szorzott mozgórész súlya nem szokta meghaladni a teljes gépsúly másfélszeresét. E hatások másik része a rezgéshullámok tovaterjedése, mely a talajon keresztül néhány száz, kedvezőtlen talajviszonyok mellett akár ezer méterre is érezhető. Ezen hatások ellen az egyetlen hatásos védekezés a rezgési forrásnál alkalmazott megfelelő rezgésszigetelés. Ennek megtervezése nem az építész, hanem rezgéstani szakértő, ill. tervező feladata, azt a gépsúly, és a dinamikus hatások paramétereinek megfelelően méretezni kell. Talán nem árt megemlíteni, hogy a sokszor alkalmazott nagyfelületű parafa alátét csak látszólagos megoldás, mert a nagy felület miatt kemény, és rosszul szigetel.

60 4.3 Közlekedési rezgések, és az ellenük való védelem A közlekedési rezgéseket a közúti járműforgalom, a repülőterek mellett a repülőgép forgalom, és a városok belterületén a földalatti METRO forgalma okozza. A METRO forgalom okozta enyhe rezgés ellen a pálya rugalmas alátételezésével lehet védekezni, ez pedig nem építészeti, hanem vasút építési kérdés. A repülőterek melletti rezgés és zajterhelés ellen építészeti eszközökkel védekezni nem lehet, csak a repülőterek megfelelő telepítésével. Ezért a felsoroltak közül csak a közúti forgalom okozta rezgési problémákkal foglalkozunk röviden. A közúti rezgés az emberi érzékenység, és az épület kár szempontjából értékelhetők. A járművek által keltett rezgések a Hz (T=0,1-0,007 sec) kategóriába esnek. Ezek csak az 1-2 mm-nél nagyobb amplitúdó esetén okozhatnak közvetlen épületkárt, annak ellenére, hogy a már erősen érezhető, ill. kellemetlen érzékenységi kategóriába esnek. Ilyen amplitúdó azonban a talaj csillapító hatása miatt még nehéz kamionforgalom mellett sem szokott fellépni. Az Igazságügyi Műszaki Szakértői Iroda által kivizsgált több száz rezgéspanasz közül mintegy 60-70% jogos volt az emberi érzékenység szempontjából, de nem az épületkár kritériumok szempontjából.

61 Meg kell azonban mondani, hogy az alapozás és vasbeton koszorú nélküli, korábban már más hatások miatt összerepedezett, és csak festéssel javított épületeken a rezgés hatására a hajszálrepedések a már megrepedt helyeken felléphetnek. Van még egy másik hatás is, mely esetleg repedést okozhat. Az erősen érezhető rezgés sebessége ugyan nem lépi túl az épületkárosodási határértéket, de túllépheti a talajtömörödési határértéket. Így a laza homoktalaj a rezgés hatására a felsőbb rétegekben 15%-ot, a mélyebb rétegekben mintegy 10%-ot tömörödhet. E hatás a részlegesen pincézett, vagy ferde terepen épült házak esetén süllyedés különbséget, és ezzel repedést okozhat. Kötött talaj esetén ilyen tömörödési hatás nincsen. Megjegyezzük, hogy a közúti rezgések ellen csak a jó minőségű, sima útburkolatokkal, sebességkorlátozással, ill. a nehézgépjármű forgalom elterelésével lehet védekezni.

62 4.4 Építési, és útépítési rezgések A talajban hosszirányú (longitudinális), és keresztirányú (tranzverzális) rezgéshullámok alakulnak ki. A károsodásokat főleg a tranzverzális hullámok okozzák, ha a gyorsulásuk, vagy rezgéssebességük túllép egy határértéket. (A rezgéssebesség nem azonos a rezgéshullám haladási sebességével.) Meg kell jegyeznünk, hogy a talajok inhomogenitása miatt a dinamikai számítások és értékelések szemiempirikus eredménynek tekinthetők, szórásuk jóval nagyobb, mint pl. az acélszerkezetek esetében végzett számításoké. A rezgésvizsgálat során először meg kell határoznunk a rezgéssebességet, melyet a rezgésforrás generál a rezgéskeltés helyén. A szóba jöhető rezgés források közül magasépítési, mélyépítési és hídépítési munkáknál a cölöpverés, ill. cölöpvibrálás, útépítési munkáknál pedig a földmunkagépek okozhatják. A földmunkáknál a sima hengerrel történő tömörítés nem okoz rezgést, hanem a rezgéshatást a különböző tömörítő eljárások okozhatnak. Ezek típusai a döngölő béka, a tömörítő vibrólap, a tömörítő henger, és az ejtődöngölő

63 . A vizsgálat során az alkalmazandó gépek figyelembevételével kell az előzetes rezgésvizsgálatot elvégezni. (a legerősebb rezgéssebesség általában nem haladja meg a 15 cm/sec értéket). Ha ezek még nem ismertek, akkor ezeknek a legjellemzőbb típusaival lehet a vizsgálatot elvégezni. Miután ilyenkor nem tudjuk hogy milyen földmunkagéppel fognak dolgozni, a legerősebb rezgéshatást (a legnagyobb rezgéssebességet) produkáló gép rezgéshatásait célszerű vizsgálni. Ha megvan a rezgésforrásnál a rezgéssebesség, akkor meg kell határozni a távolsági csillapítási hatást, és ennek figyelembevételével értékelni a vizsgált helyen a rezgéssebességet. Ha ez megvan, akkor értékelni kell, hogy ez a rezgéssebesség okozhat e károsodást a vizsgált épületen. A rezgéseknek a különböző talajokban való, távolság szerinti csillapodásra a [24] szakirodalom mutat be egy szemléltető diagramot (4.1. ábra). Az adott irodalom alapján számítással is meghatározható a csökkenés mértéke. Megjegyezzük, hogy az rezgésamplitúdó ugyanúgy csökken a távolsággal, mint a rezgéssebesség.

64 4.1. ábra A rezgéshatás csökkenése a távolság függvényében

65 Látszik az ábrából, hogy a talaj fajtájának és nedvességi viszonyainak alig van hatása a rezgés távolsági csökkenésére. Már 10 méterre is 95 %-ban, 100 méterre pedig gyakorlatilag 100 %-al csökken a rezgéshatás. Miután az esetleges egyenetlen talajtömörödés olyan deformációkat okozhat az épületen, mely repedéseket okozhat, meg kell vizsgálni, hogy a vizsgált helyen az oda érkező rezgés okozhat e talajtömörödést az épület környezetében. Mindezeknek a hatásoknak a kiértékelésével lehet meghatározni, hogy az útépítési munkák okozhatnak e épületkárosodást. Megjegyzés: A 4.1. ábrából látszik, hogy a rezgéshatás értékére a talaj nedvességtartalmának kicsi a hatása. A vízzel való telítettség távolabbra viszi el a rezgéshatást, pl. 10 méterről 15.-re. Ennek az az oka, hogy ilyen talajban a víz közvetíti a rezgést, és nem a talajszemcsék. Viszont éppen ezért kisebb a távolsági intenzitás, mert a rezgésforrás kevésbé hozza rezgésbe a talajszemcséket, mint száraz talaj esetén. A fenti elemzések sík felületű talajra vonatkoznak, Az esetleges árkok nem növelhetik, csak kis mértékben csökkenthetik a rezgéshatást.

66 4.5 Robbantási rezgések, és az ellenük való védelem E kategóriába tartozik a rezgéskeltésnek egy különleges fajtája, a robbantás. Röviden ezzel is foglalkozunk. A robbantással keltett rezgéshullámok frekvenciája Hz közötti. A kőzetek önrezgésszáma 2-6 Hz, a talajoké 2-8 Hz között változik. Ezért a talajban rezonancia nem alakulhat ki, már csak azért sem, mert a robbantási rezgés időtartama kicsi. A robbantás a különböző szerkezeteket a robbantási frekvenciatartományban nem a kicsi kitérés, hanem inkább a rezgéssebesség révén veszélyeztetheti. Ezért a robbantási rezgések intenzitását rezgési sebességben fejezik ki. A robbantáskor keltett lökéshullám csúcsnyomása a hullám előrehaladásával csökken, és közben időtartama növekszik, így rugalmas rezgőmozgássá alakul át. A robbantások során az emberek észlelnek olyan rezgéseket is, melyek az épületekre egyáltalán nem veszélyesek. Így pl. ha a rezgési sebesség 2-3 mm/sec közötti, az az emberre kellemetlen, sőt zavaró, míg a legérzékenyebb műemléképületekre is a 3 mm/sec alatti rezgéssebesség nem okoz károsodást, legfeljebb a már előzőleg más hatásokból összerepedezett, fellazult szerkezetű épületeken nyílnak meg kicsit a korábban elvakolt repedések.

67 Annál jobb a robbantás, minél kisebb rész távozik el az energiából a robbantás helyétől. Ezért rosszul méretezett, túlzott töltetű, vagy kevés töltetű, ill. beszorított robbantás a normálisnál nagyobb rezgést okozhat. Természetesen a robbantás hatása a robbantási helytől távolodva csökken. A csökkenést ugyancsak a 4.1 ábra diagramja alapján lehet becsülni. Bár nem tartozik a dinamika témakörébe, de felhívjuk a figyelmet arra, hogy ügyelni kell, hogy a robbantás a célt ismétlés, vagy utórobbantás nélkül elérje. Egy épület robbantásos bontásánál igen veszélyes, ha a félig sikerült robbantás után kell bemenni a romépületbe újabb robbantó elemeket felszerelni. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a robbantások megtervezéséhez, és az épületek védelmét szolgáló védőkörzet meghatározásához, ill. a szükséges védelmi intézkedések megtételéhez az erre vonatkozó előírások ismerete, és megfelelő robbantási szakértelemmel rendelkező szakember szükséges.

68 4.6 Rezgéssel terhelt szerkezeti anyagok, szigetelő és ágyazó anyagok [ 8.] A szerkezeti anyagok viselkedése a dinamikus hatás alatt többé-kevésbé eltér a statikus igénybevétel alattitól, elsősorban az anyag kifáradás jelensége miatt. Ezért röviden áttekintjük a különböző szerkezeti anyagok tulajdonságait. A hidak dinamikai igénybevétele számottevő lehet, és ezért indokolt a részletes vizsgálat. Az alapokat, vagy építményeket alátámasztó csavarrugókhoz használt acélok általában nagy statikus, és ehhez képest kis dinamikai igénybevételt szenvednek, így a fáradást elegendő a megengedett feszültség kismértékű csökkentésével figyelembe venni. A vasbeton viselkedése dinamikus igénybevétel esetén annyiban tér el a statikustól, hogy elsősorban a húzott acélok törhetnek el ridegen a kifáradás következtében. A nyomott betonzóna viszont a nem túl nagy szilárdságú betonok esetében meglehetősen nagy képlékeny alakváltozási képességgel rendelkezik. A jelenség tehát épp fordítottja a statikus igénybevétel alatti viselkedésnek. A dinamikus hatásokra javasolható fáradási növelő tényezők tájékoztató értékei tartós hatásra 2-3, rövid hatásra 1,5-2 közöttiek.

69 4.7 Rezgés szigetelő és ágyazó anyagok A talajon fekvő alapok hat szabadságfokú rendszert képeznek, bonyolult méretezésükhöz szükség van a talajok tulajdonságaira. Tájékoztatásúl szolgál a 4.3 táblázat. Talajfajta Laza talaj (képlékeny agyag, laza homok) Közepes szilárd talaj (agyag a sodrási határon, homok) Szilárd talaj (kemény agyag, kavicsos homok) Érvényességi σ tartomány(mn/m 2 ) Ágyazási alapérték C (MN/m 3 ) 0,15 mint 30 0,15 0, ,35 0, Szikla 0,50 100

70 Az egyes alap elmozduláshoz tartozó összegzett rugómerevségek (azaz az egységnyi elmozduláshoz tartozó igénybevételek) a következők: Függőleges eltolódás C v = C A Vízszintes eltolódás C H = 0,5 C A Billenés C B = 2 C I A Elcsavarodás C T = 0,8 C I T A fentiekben A az alap talajra támaszkodó területe, I A az alapozási sík inercianyomatéka a billenés síkjára merőleges súlyponti tengelyre, I T alapozási felület poláris inercianyomatéka a súlyponti tengelyre. Az ütőhatást átadó gépek alatti éles dinamikus hatás csökkentésére ágyazó anyagok alkalmasak. Ezek a parafa (a parafacsíkok között hézagot kell hagyni, hogy tágulni tudjon, a vasfilc (bitumen kötőanyaggal össze préselt gyapjú és marhaszőr), és a különböző acél és gumirugók. A rugók paramétereit a gyártmánykatalógusok tartalmazzák. az

71 5. FÖLDRENGÉS A korábbi előadások során már tárgyaltuk a földrengés, és földrengés elleni védelem kérdéseit. Ezért itt csak a legfontosabb elveket tekintjük át. Magyarország a mérsékelt földrengési zónába esik. Nagy földrengések mintegy évenként fordulnak elő. A földrengés elleni méretezés kötelező. Ez azonban nemcsak méretezési kérdés, az épületet már a vázlattervezés során úgy kell kialakítani, hogy földrengésre megfelelő legyen.(méret, arány, szintszám, anyag, stb.) Az előírt földrengési hatásokat az előírások tartalmazzák.(ec8) A mértezés a HSM, vízszintes erők módszerével történhet. A képlékeny viselkedés, és az időtényező figyelembe vehető. Fontos az épület megfelelő merevítése, és összefogása (Födémtárcsa, vasbeton koszorú.)

72 6. SPECIÁLIS DINAMIKAI PROBLÉMÁK 6.1 Széldinamika A szélteherről általánosságban A szélteher egy speciális teher, mert sok mindentől függ. Így például a szél erősségétől, a szél irányától, a vízszintes iránytól való eltéréstől, a széllökés periódusától, a térszíntől való magasságtól, a terep beépítettségétől, a széltámadott tárgy alakjától és felülete érdességétől, rugalmasságától, stb. Egy furcsa jelensége a szélnek, hogy magasság irányában rétegezett, azaz méter vastag rétegekben fúj, és a különböző rétegeknek mások a tulajdonságai, és a szél nemcsak a saját irányában okoz terhelést, hanem arra merőlegesen is. Ezenkívül a legtöbb széltulajdonság valószínűségi változó. Ezeket a tulajdonságokat lehetetlen pontosan figyelembe venni, ezért az egyes szabványok, szabályzatok egyszerűsítéseket vezetnek be, amikkel a méretezés biztonságosan elvégezhető.

73 Így a szélterhet egyszerűsített módon az áramló, turbulens szél hatásával megközelítően egyenértékű nyomásokkal modellezik. A számított szélteher az 50 éves visszatérési periódushoz tartozó csúcsérték. Ha a szabványok nem adnak az adott esetre megfelelő tájékoztatást, akkor meg kell nézni a szakirodalmat [ 7, 14, 19 ]. Ha ott sem találunk kellő tájékoztatást, akkor szélcsatorna vizsgálathoz kell fordulni. (Ezek a szélcsatorna vizsgálatok Magyarországon a Budapesti Műszaki Egyetem Aerodinamikai Tanszékén lehetséges.) Ebben a jegyzetben megpróbáljuk az előforduló eseteket bemutatni, hogy az olvasó tájékozódni tudjon a problémák fajtáiról.

74 A szél hatása a saját irányában A szél nyomást fejt ki arra a felületre, amely útját állja. Ez a torlónyomás a szélnek a v (m/sec) sebességének függvényében a kísérletek kiértékelése szerint a következő: q p = v 2 /1600 kn/m 2. A szél sebessége a talajjal és a beépítettséggel való súrlódás miatt a térszínen a legalacsonyabb, és a magasság irányában növekszik. A növekedés jellegét a következő ábra mutatja. A ma szabályozott értékeket a 6.1 táblázat mutatja ábra. A szélsebesség magasság menti változása

75 Beépítettség szerint a következő négy kategóriát különbözthetjük meg. I. Nyílt terep. (α =1,0), II. Mezőgazdasági terület, elszórt beépítés. (α = 0,8), III. Külvárosi vagy ipari alacsony beépítés. (α = 0,6), IV. Intenzíven beépített környezet. (α = 0,4), Az egyes beépítettségi kategóriákban m magasság között a torlónyomás a a következő kifejezéssel közelíthető meg: q p 2 1 0,004 kn / m ahol az α szorzó a beépítési kategórákat veszi figyelembe. Az egyes felületekre ható szélnyomást a torlónyomásnak az c p alaki tényezővel való szorzata adja. Az alaki tényezőket az előírások közlik, tájékoztatásul néhány: szélirányra merőleges felületre szélnyomásnál c p = 0,7 0,8, szélárnyékos oldalon pedig c p = 0,3 0,7.

76 A szél időbeni változása tranziens jelenség, azaz teljesen szabálytalanságot mutat. Egy jellegzetes szél-időfüggvényt (t) láthatunk a ábrán. A gyenge szelek gyakoriak, és a nagyon erős szelek ritkábban fordulnak elő. Egy ilyen méréssort mutat be a ábra ábra. A szélsebesség ábra. A szélsebesség és a időbeni változása gyakoriság összefüggése

77 6.1-3 A szélteher okozta szélirányú mozgás Természetesen a szélteher hatására a szerkezetek alakváltozást végeznek. Bizonyos esetekben elegendő a szabványos, statikai jellegű szélteherre elvégezni az alakváltozás vizsgálatot. Kényesebb esetekben (pl. karcsú tornyok, ha a torony magassága nagyobb a szélesség ötszörösénél) szükséges lehet a részletesebb dinamikai vizsgálat. Ilyenkor figyelembe kell venni az egymás után következő két vagy három széllökés dinamikai többlethatását, mind az alakváltozások, mind az igénybevételek szempont jából. A számításnak függenie kell a torony sajátrezgésének periódus idejétől, és a széllökések periódusától. Erre azonban nincsenek kellően megbízható adatok.

78 Rausch és Schlaich kutatásai nyomán közelítően a következőképpen járhatunk el. A szélteher 80%-át statikusan hatónak képzeljük el, a 20%- ot pedig dinamikus szorzóval növeljük. Két lökéshullámot kell figyelembe venni. Ha a sajátlengési T s periódus 5 sec-nél nagyobb, akkor a dinamikus tényező =1.5. Ha a T s periódus 0, akkor =1,0. A két érték között lineárisan lehet interpolálni. Ha a dinamikus szélteher kisebb, mint a statikus, akkor a statikus szélteher a mértékadó. Két lökéshullámot számítva kellő biztonsággal járunk el, ha a statikus szélteher másfélszeresére méretezzük a karcsú építményeket.

79 Példaképpen nézzük meg a ábrán a Stuttgarti TV torony szél okozta mozgásának mérési adatait különböző szélsebességeknél. A pontok a mért értékeket, a vastag vonal pedig a közepes értéket mutatja ábra. A Stuttgarti TV torony lengése a szél hatására

80 6.1-4 A szél örvénylése A különböző tereptárgyak a szél örvénylését okozzák. Az örvénylésnél a szél sebessége megnő, és az addig lamináris légáramlás turbulenssé válik. Ez veszélyes, mert leszakíthat tetőket, sőt volt olyan eset is, hogy embert kapott fel, és a földhöz csapta ábra. A szél örvénylése A széltámadta tárgy mögött lép fel a rendszerint nem szimmetrikus örvényhatás. A legnagyobb szélszívás a sarok környezetében alakul ki, értéke a normál szélszívás kétszeresét is elérheti. (6.1-5 ábra.)

81 6.1-5 A szélnyomás megoszlása körhengerszerű testeken A körhenger keresztmetszetű építményeken sajátos a szélteher megoszlás. A szél támadta oldalon a torlónyomás ébred, az oldalfelületeken, ahogy a szél körülöleli a kör keresztmetszetet, szívásba megy át, és a szívás utána lecsökken a szélárnyékos oldalon egy kisebb értékre. A szélteher jellegét a ábra mutatja. A ábrán alul ábrázolt szélszívás maximuma függ a felület érdességétől. Az érdességet k magasságú, és t kiosztású bordázattal biztosítják. A maximum érték k/t érdességtől való függését következő ábra szemlélteti ábra. A szélnyomás ábra. A legnagyobb szélszívásra jellemző érték körkerület menti eloszlása függése az érdességtől

82 Az örvényleválás A szél hatása keresztirányban A szélnek nemcsak a saját irányában van örvényhatása, hanem kereszt irányban is. Ez az úgynevezett Kármán féle örvényhatás. Ahogy a szél körülöleli a hengerszerű testet ( az bármilyen lehet, nemcsak kör), mindkét oldalon örvény válik le. A különböző véletlen hatások miatt azonban a leválás nem egyszerre történik, hanem felváltva. Az örvényleválás állandó szélsebesség mellett is bekövetkezhet. Ezt a váltakozó örvényleválást a ábra szemlélteti ábra. A Kármán féle örvények leválása.

83 Ez a váltakozó örvényleválás a vizsgált testnek váltakozó lökést ad kereszt irányban, ami rezgésbe hozhatja a szerkezetet. Ennek vizsgálatához az Re Reynolds szám ismerete szükséges, melyet a következő képlettel írhatunk le. Re = v D/ν, ahol v (m/sec) a szélsebesség, D (m) a körüláramlott testnek a jellegzetes keresztirányú mérete (körnél az átmérő), és ν az érdességi paraméter. A Reynolds szám kritikus értéke az, ahonnan kezd a lamináris (sima) áramlás turbulenssé (örvénylővé) válni. Ez az érték jó közelítéssel az Re krit = 3 x 10 5 értékkel vehető figyelembe.. A turbulencia feltételei a következők: Ha Re kisebb mint 100, az áramlás lamináris, és nincs örvényleválás. Ha Re 100 és Re krit közötti, akkor az áramlás nagyrészt lamináris de jól definiált f L = v S/D frekvenciával válnak le az örvények, ahol S a dimenzió nélküli Strouhal szám (lásd a ábrát). Ez az úgynevezett szubkritikus tartomány. Ha Re nagyobb mint Re krit, de kisebb mint 3 x 10 6 akkor az áramlás turbulens, de szabálytalan az örvényleválás (aperiodikus tartomány). Ha Re nagyobb mint 3 x 10 6, az áramlás turbulens marad, de az örvény leválás periodikus marad.az örvényleválás ismét periodikussá válik (transzkritikus tartomány).

84 A Strouhal szám a keresztmetszet alakjától, és a Reynolds számtól is függ. Kör keresztmetszetre a ábra mutatja. Szaggatottan a bizonytalan értékek tartománya van jelölve. Az örvényleválási hatás számítása tekintetében forduljunk a szakirodalomhoz [7, 19]. Az örvényleválás okozta rezgéseket dinamikus lengéscsillapítókkal (pl. a kéményre rugalmasan erősített gyűrűkkel, vagy a kémény különböző érdesítésével szokták csökkenteni. Egy ilyen spirális bordákkal, ill. terelőlemezekkel kialakított érdesítő csökkentést mutat be a ábra. Látható az ábrán, hogy a spirális terelőlemezek felszerelése az adott kémény szél-deformációját mintegy 80%-al csökkentette ábra. Körhenger ábra. Kéményrezgés Strouhal S száma csökkentése spirális terelőlemezekkel

85 Az örvényleválás mindenféle keresztmetszetnél, és épület alaprajzán előfordulhat, a kritikus szélsebesség túllépte esetén. A nem szimmetrikus szelvényeknél majdnem biztos, hogy a kétoldali örvényleválás más-más időpontban következik be. Ennek szemléltetésére bemutatjuk egy szélcsatorna kísérlet fényképeit, melyet I szelvényű acélgerendák viselkedésének tanulmányozására végeztek ( ábra) ábra. Acélgerendák szélcsatorna vizsgálata

86 A flutter (belebegés) jelensége A repülőgépszárnyak viselkedésénél vették észre, hogy bizonyos sebesség felett a szárnyak, ill. a légcsavar elcsavarodó mozgást végez. A jelenséget hidakon is észlelték. A kutatások azt mutatták, hogy a jelenség csavarodás mentes szerkezetnél is előfordulhat. Tekintsük át a jelenség lényegét. Vizsgáljuk a széliránnyal párhuzamos bezáró keskeny keresztmetszetet, melynek szögelfordulását csavaró és hajlítási ellenállás gátolja. Bármely kis elfordulásnál, vagy kissé ferde szélnél keresztirányú eltolóerő lép fel. A keresztmetszetet a szélsebesség négyzetével arányos L 1 eltolóerő igyekezik eltérí teni. A ellenálló L 2 rugalmas és a tehetetlenségi erők viszont a szélsebességgel lineárisan változnak. ( ábra.) Ilyen jelenség észlelhető a zászlók lobogásánál is ábra Belebegő keskeny négyszög keresztmetszet..

87 Meghatározható az a kritikus szélsebesség, melynél a jelenség megindul. Huzamosabb szélhatás esetén az ide-oda mozgás erősödik, amíg a szerkezet tönkre nem megy. Ilyen jelenség tette tönkre az 1940-es évben a Tacoma Narrows hidat Amerikában közepes szélsebesség mellett. A tönkremenetelről a ábrán mutatunk be két fényképet.(az interneten nagyon jó filmfelvételek találhatók a tönkremenetelről, mert a híd egy ideig haldoklott, és ez alatt a fotóriporterek sokasága fotózta. A hídkatasztrófa óta az ilyen hidakat egyrészt erősebb merevítő tartóval készítik, ill. a függesztő kábeleket rácsostartó szerűen alkalmazzák ábra. A Tacoma Narrows híd öszeomlása flutter miatt.

88 A galopping (táncolás) jelensége Ha egy hosszúkás keresztmetszetre keresztirányban fúj a szél, akkor kis ferdeség, vagy keresztmetszet elfordulás esetében a szélirányra merőleges erők lépnek fel. Ezen erők ciklikus váltakozása bizonyos szélerősségi és tartómerevségi feltételek esetén a szélirányra merőleges rezgési jelenséget okozhat. Ezt a jelenséget az irodalom galopping (táncolás) néven tartja nyilván. A jelenséget a ábra mutatja be ábra. A galopping (táncolás) jelensége.

89 A fellépő táncolási erőhatásokat a ábra szemlélteti. Kicsi a valószínűsége, hogy ez a hatás tönkretegyen egy penge jellegű magasházat, de az állandó rezgés igen kellemetlen hatásokat okozhat az épületben élők számára ábra. Szélerők az áramlástanilag instabil szelvény mozgásakor Miután a szélerők iránya véletlenszerűen változik, egyaránt felléphet a Flutter, vagy a Galopping. Ezért a keskeny magas épületeket célszerű megvizsgálni abból a szempontból, hogy valamelyik berezgési jelenség nem fog e kellemetlen rezgéshatásokat okozni.

90 Ovalizálódás Láttuk az előzőekben, hogy a Kármán örvények oldalt válnak le, és ezzel vízszintes erőhatásokat adnak át a szerkezetnek. A hengeres építmények rendszerint kis falvastagsággal készülnek, keresztirányú merevségük kicsi. Ezért keresztmetszetük a váltakozó keresztirányú erők hatására deformálódik, az eredeti kör keresztmetszet oválissá válik. ( ábra.) Miután az örvényleválás váltakozva következik be, ez a váltakozás a héj szerkezetét rezgésbe hozhatja. ( ábra.) ábra. A keresztmetszet ábra. A hengerhéj hűtőtorony ovalizálódása ovalizálódó alakjai.

91 Ilyen ovalizálódó rezgés döntött össze Angliában három nagyméretű hűtőtornyot. A tornyok erőteljes lélegzési mozgása egy egész napig tartott, úgy hogy a fotósoknak lehetőségük nyilt a katasztrófáról sok jó képet készíteniük. ( ábra.) ábra. A Ferry Bridge-i hűtőtornyok összeomlása

92 6.1-7 Hűtőtorony Az előbb említett hűtőtorony katasztrófa után sokat foglalkoztak azzal a kérdéssel, hogy hogyan lehet elkerülni a nagyméretű hűtőtornyok katasztrofális berezgéseit. A ábrán látható, a Ferry Bridge-i hűtőtornyoknak megfelelő geometriájú héjakon végzett tanulmányok alapján meghatározták azokat a szempontokat, amikkel a hasonló katasztrófák elkerülhetők. Így pl megállapították, hogy a hűtőtorony falvastagságát, ill. az esetleges bordázottságát úgy kell kialakítani, hogy a rezgésfrekvenciájuk egynél nagyobb legyen. Ezen kívül a kettős görbületű felületű héj falában mindenképp kétoldali acélhálót kell alkalmazni ábra. Vizsgálati hűtőtorony a kritikus rezgés elkerülésére

93 Megállapították azt is, hogy a felső peremen alkalmazott borda (mely amúgy is jó célt szolgál a körüljárás érdekében) erőteljesen növeli a merevséget, és növeli a rezgési frekvenciát. Ilyen megoldásokat mutat a ábra ábra. Peremezetlen és peremezett hűtőtorony összehasonlítása.

94 6.1-8 Kikötött torony viselkedése Karcsú, magas tornyokat, ill. árbócokat acélkötelekkel szoktak kimerevíteni. Ilyenkor a rúd talppontján gömbcsuklót alakítanak ki. Egy ilyen kötelekkel kikötött árbócot mutat a ábra. A kötelek alaprajzi elrendezése rendszerint háromszög. Így legalább alaprajzilag statikailag határozott a szerkezet ábra. Acélkötelekkel kikötött árbócrúd. A legegyszerűbb megoldás, hogy csak egy helyen kötik ki a rudat, a magasság fele és háromnegyede között. A sajátrezgésszám meghatározásához figyelembe kell venni, hogy két szabadságfokú rendszerről van szó. Egyrészt a rúd meggörbüléséből származik alakváltozás, másrészt a kötelek megnyúlásából.

95 Nehézséget okoz, hogy a kötélnyúlás két részből áll, a kötél rugalmas megnyúlásából, és a kötél belógásának a változásából. E második rész a kötél geometriai adatain kívül függ a kötél megfeszítettségétől, és a kötél saját súlyától. Téli viszonyok között a kötél súlya jelentősen megnőhet a rárakódott zúzmarától. Így a kikötő kötelek rugó karakterisztikája biztosan nemlineáris lesz. A feladat közelítően a Dunkerley tétel segítségével oldható meg. Ha a rúd több szinten van kikötve, akkor a feladat többismerelenessé válik, melynek megoldási nehézsége fokozott. Közelítő vizsgálatnál úgy szoktak eljárni, hogy a több kötelet a kötélsorral egyenértékű rugalmas lepellel közelítik. A részletesebb vizsgálatok azt mutatták, hogy e megoldással az egy kötélsorral kikötött oszlop vizsgálatához hasonlóan lehet megoldást találni. Ennek a közelítő megoldásnak a hibája általában 20% alatt van.

96 6.1-9 Belső csillapítás A szerkezetek belső csillapítása 3-8 százaléka a kritikus csillapításnak. Ez a sajátrezgésszámot alig befolyásolja, de szerepe két okból fontos. Egyrészt levágja a rezonancia esetén fellépő csúcsértéket, másrészt pedig a csillapítás teszi lehetővé, hogy a gerjesztés elmúlásával a rezgés egyáltalán megálljon. Bizonyos esetekben nem elegendő a belső csillapítás. Ilyen esetekben különböző csillapító szerkezeteket alkalmaznak. A gépkocsik lengéscsillapítói olajtöltésűek, melyben egy lyukasztott dugattyú mozog. A lyukakon az olaj lassabban préselődik át, és ezzel fékezi le az autó rúgózásának a lengéseit. Épületen is használnak ilyeneket.

97 Lengéscsillapítás A nagy fesztávú (km) hidak vízszintes lengéseit úgy oldják meg, hogy az útpálya alatt egy vízszintes rácsos tartót alakítanak ki, melynek övei a két szélső főtartó, a rácsozást pedig lengéscsillapítókkal oldják meg. Persze ezek jóval nagyobbak az autók lengéscsillapítóinál. Ilyen lengéscsillapítókat mutat be a ábra ábra. Nagyméretű ábra. A dinamikus lengéscsillapítók lengéscsillapító elve. A dinamikus lengéscsillapító a külső lengéscsillapítóknak egy más csoportja az úgynevezett (tilger, antivibrátor). A lényege, hogy a rezgő tömeghez rugóval vagy ingásan hozzákapcsolunk kisebb tömeget ( ábra.).

98 A fix aljzathoz a K merevségű rugóval kapcsolódó M tömegre működik az állandó frekvenciájú Q gerjesztés. Elkerülhetjük az M tömeg berezgését, ha egy m tömeget kapcsolunk hozzá k merevségű rugóval. Megfelelő méretezéssel elérhető, hogy a dinamikus hatásokat a kisebb tömeg átveszi a nagyobb tömegtől. Úgy kell megválasztani k és m értékeit, hogy a gerjesztési körfrekvencia egyezzen meg a 2π (k/m) 0,5 értékével. Ez esetben az M tömeg nyugalomban marad (lásd a baloldali a, ábrán az f kr rezonancia pontot), és az m tömeg fog rezegni. (Példánk esetén nagyobb, ötszörös,amplitúdóval, és egyensúlyt tart a gerjesztő erővel. Lásd a jobboldali b, ábrát). Több frekvencia átfogására csillapító szükséges ábra. Dinamikus lengéscsillapító működése

99 6.2 Rezgésátadódás A rezgést keltő objektumot általában rezgésforrásnak nevezzük. Ez lehet egy dinamikus hatásokat átadó gép, egy nehéz közlekedési eszköz, talajtömörítő gép, cölöpverés, stb. A rezgésforrástól távolabb is lehet észlelni a rezgést, rendszerint kisebb amplitúdóval. Ez az észlelési hely lehet az épületen belül, pl. a lift okozta rezgést a csatlakozó lakásokban érzik. Igényesebb helyeken ezért szokták a liftaknát elszigetelni az épület egyéb szerkezeteitől. De a rezgés átadódhat a közeli építményekre is, ezt nevezzük rezgésátadódásnak. A ábra szemlélteti, hogy a rezgésforrásból kiinduló rezgéshullám rezgetheti a szomszédos, vagy közeli épületeket» ábra. Rezgés átadódási példa

100 Az R távolságban várható A rezgési amplitúdó a rezgésforrás ismert A 0 amplitúdójából, és az adott távolság L értékéből a következő képlet szerint k számítható: A A. Itt α = L R 0, e a természetes logaritmus 0 e R 0 alapszáma, és R 0 a rezgésforrás köralaprajzának sugara. A k (1/m) tényező értéke 0,04 és 0,12 között változik. Pl. száraz talajban 0,04, vízzel telített talajban, márgában, löszben 0,1. A rezgés megítéléséhez bizonyos tájékoztatást adhat a rezgésforrás frekvenciája. Néhány közelítő értéket közlünk tájékoztatásul. (6.2. Táblázat.) Néhány rezgésforrás frekvenciája 6.2 Táblázat A rezgést keltő gép Vibrólap, vibrációs cölöpverő Gerjesztő frekvencia f =10 40 Hz 2 tonnás Döngölő f = 3 5 Hz Döngölő béka Robbanófejes cölöpverő f = 8 16 Hz f = 1-2 Hz

101 6.3 Földrengési rezgéscsillapítás A földrengésnek az épületre átadódó rezgéshatást különböző csillapítással lehet csökkenteni. Ezekből mutatunk be néhányat. A, Csillapítóelemekkel ellátott átlós csillapító rudak a vázszerkezetben. B, Base Isolation alapszigetelés. C, Külpontos, dúcos csillapítás csillapítóelemekkel. A fentieken kívül létezik ingás csillapítás is. Ez azt jelenti, hogy négy darab ingarúdra felakasztanak egy tömeget, mindkét irányban számítógéppel vezérelt olajdugattyús csillapítókkal fékezik. Az olajdugók szelepeit a számítógép vezérli, mely a távoli érzékelők segítségével észleli a közeledő földrengéshullámot, és a szelepek egy másodperc késéssel való optimális beállításával úgy képes vezérelni az ingás lengéscsillapítót, hogy a földrengéshatást töredékére, mintegy 10 %-ra csökkenti. Japánban, a Yokohamai magasázban három szinten van beépítve ilyen, egyenként 700 tonnás ingás lengéscsillapító. (Említve a 3.13-ban.)

102 6.4 Térrobbanás Ha egy zárt térben valamilyen robbanás következik be, azt térrobbanásnak nevezzük. A felrobbanó anyag sokféle lehet: benzin vagy olajgőz, szénpor, liszt, fűrészpor, stb. A robbanás következtében nyomás alakul ki a zárt térben. Miután ez a nyomás öszszenyomja a még el nem égett elegyet, kialakul egy fokozott nyomásnövekedés. Mutatja ezt a ábra. Ha a zárt tér hosszúkás alakú, a nyomásnövekedés fokozottan jelentkezik, mert a nyomáshullám gyorsabban terjed, mint a lángsebesség, és az utórobbanás igen nagy ütőhullámot eredményezhet. A nyomásérték akár több száz kn/m 2 értékre is növekedhet. (Ilyen jelenség zajlik le az autómotor hengerében.) Ezért nem szabad a robbanásveszélyes tereket (pl. gázkazánház) hosszúkásra építeni. A kazánházakban előírás a robbanási nyomás magas értékét levezető hasadó,nyíló felület alkalmazása. Ez azt jelenti, hogy pl. az alapterület 20-25%-ának megfelelő olyan felületet kell kialakítani, mely a robbanási nyomás kis értékénél megnyílik. Ez lehet nyíló ablak, elrepülni képes könnyű tető.

103 A hasadó-nyíló felület működését a következő ábrán szemléltetjük ábra. A hasadónyíló felület működése Ha a nyiló felület 1,8 kn/m2 nyomásra nyit, a késleltetés miatt a maradó felületeken 7 kn/m2 nyomás alakúl ki. Ügyelni kell arra, hogy a nyíló felületeket ne túl erősen építsék be, mert ez esetben a bent maradó szerkezetekre a nyomás értéke megnövekszik, mely azok károsodását okozhatja, sőt szélső esetben épület összeomlást is okozhat. Számos esetben ez lehet az oka a gázrobbanástól összedőlt házak katasztrófájának.

104 6.5 Vízépítési dinamika A vízépítés dinamikai problémái egy speciális osztályt képeznek. Az első a víztornyok problémája. Ezek közül három esetet említünk meg. A torony és a benne lévő víz alapvetően különbözik. Tulajdonképpen egy kéttömegű rendszert képez. Az igazi nehézség az, hogy a víz dinamikai tulajdonságai bizonytalanok, és kevéssé ismertek. Ezért a problémát úgy kerülik meg, hogy a 6.5-1/a. ábrának megfelelően a víztartályba egy félgömböt képzelnek, mint merev testet, mely súrlódásmentesen leng a gömbfelületen csúszkálva. Így egy merev test, és egy rugalmas torony dinamikus mozgását már lehet kéttömegű rendszerként kezelni, és a két differenciálegyenletet a változók szétválasztásának módszerével meg lehet oldani. A legkisebb T s alaplengés periódusidőt a teli tartály esetében kapjuk.

105 A második a gátak problémája A vizet megtámasztó gát a víz hullámzása (pl. erős szél esetén) megnöveli a gátra ható víznyomás magasságát (b. ábra), és ezen kívül a hullámnyomás is ad egy dinamikus nyomástöbbletet. Így a mértékadó víznyomás jelentősen nagyobb, mint a statikus nyomás. A földgátak esetén fordulhat elő a c. ábrán jelzett másik probléma. Erős hullámverés esetén a víz átcsaphat a gátkoronán, és dinamikus hatással megbontja a földgátat a vízzel ellentétes oldalon. Ezzel a gát ellenállását lecsökkenti. amely végül gátszakadáshoz vezethet /b. ábra Gát víznyomástöbblete 6.5-1/c. ábra. Gát elhabolása

106 A harmadik a hajók problémája A hajók a hullámzás hatására keresztirányban ide-oda bólogatnak, vagyis keresztirányú lengésbe kezdenek. Ez végül a hajó felborulásához vezethet. A lengés csillapítására a hajó keresztmetszetébe egy csőgyűrűt (tórusz) építenek be, félig vízzel töltve. A hullámzás hatására a víz a csőben ide-oda szaladgál, ezzel felveszi a hullámlökések dinamikai hatásait, lecsökkentve a hajótest lengését /d. ábra. Hajó keresztirányú lengésének csillapítása

107 6.6 Lavinadinamika A lavinák a hegyes vidékeken képesek óriási károkat okozni. Hazánkban ennek a valószínűsége igen kicsiny, de azért nem árt, ha néhány szót szólunk a lavinákról. A lavina egy szemcsés tömeg (a kőtörmelék és a laza hó is ennek tekinthető) hirtelen lecsúszása valamely lejtőről, és ezért a dinamika tárgykörébe tartozik. Amikor valaminek nekiütközik, ütésszerű dinamikai hatást fejt ki, mely óriási rombolást tud végezni. Ahhoz, hogy ezt a hatást értékeljük, valami fogalmunk kell legyen a lezúduló tömegről, és a lavina haladási sebességéről, és a lavinatömeg vastagságáról. Ezek az adatok függenek a lecsúszási δ szögtől, és a lecsúszás H magasságától (lásd a 6.6-1/a. ábrát). Érdekes dolog, hogy a lavina megindulásakor a sebesség fokozatosan növekszik, majd a súrlódás hatására a sebesség egy maximumnál stabilizálódik /a ábra. A lavinacsúszás geometriája 6.6-1/b ábra. Lavinatörő

108 Lavina elleni védekezési módok Kőlavina veszélye esetén szóba jöhet a, a laza kőzetrétegek rögzítése rozsdamentes acél kapcsolórendszerrel b, a kőzet hézagaiba injektáló anyag bejuttatása, c, a laza kőzetrétegek acélhálóval való burkolása, mely a lavina omlást a hegy tövében tartja Hólavina esetén szóba jöhető védekezés: a. lavinatörő betontömbök alkalmazása, (kb. 10 méter mérettel) b. a lavina robbantással való tudatos megindítása. Lavinaadatok Lavinafajta Kőlavina Hólavina Lavina max. sebessége m/sec 100 m/sec Szokásos vastagsága 2 5 méter Kb. 50 méter Fajlagos tömeg kg/m 3 Kb. 900 kg/m 3

109 6.7 Fáradás Ha egy drótot sokszor hajlítgatunk, kifárad, eltörik. Ha egy tartót hajlító igénybevételnek teszünk ki, az is elfárad. A fáradás még a rugalmas szakaszon bekövetkezik, mert a sokszoros hajlítás következtében az anyag rideggé válik, és eltörik. Megkülönböztetünk lüktető és lengő szilárdságot, annak függvényéven, hogy a hajlítófeszültség előjelet vált e, vagy sem. A jelenséget a ábrán folyamatos vonal lal jelzett Wőhler görbe mutatja ábra. A fáradási Wöhler görbe Ha a feszültség nem éri el (anyagtól függően) a statikus hajlítószilárdság 50-70%-át, nem következik be a rideg törés, még ha a teherismétlés sokszorosan is meghaladja az egymilliót.

110 6.8 A kihajlás, mint a rezgés speciális esete Ha egy rudat húzunk, akkor a frekvenciája annál nagyobb, minél nagyobb a húzóerő. (Pl. a hegedűhúr.) Ha viszont a rudat tengelyirányban nyomjuk, akkor a rezgési frekvencia csökken. A csökkenés mértékét az alábbi képlet mutatja. Ha az N nyomóerő eléri az N krit kritikus erő értékét, akkor a gyökjel alatti kifejezés zérussá válik, vagyis a T s sajátrezgés idő végtelen nagy lesz. Ez más néven azt jelenti, hogy a kilendített rúd kihajlik, mert nem tér vissza a helyére. Így kapcsolódik egymáshoz a rezgés és a kihajlás. (6.8-1 ábrák.) A kritikus erő meghatározását a 6.8-1/b ábra mutatja. Ha a kihajolt alak nem szinusz, hanem parabola, akkor a képletben π 2 = 9,88 helyett 10,0 lesz, azaz a hiba 2% /a. ábra. A nyomott rúd rezgési frekvenciájának változása a nyomóerő függvényében» 6.8-1/b. ábra. A nyomott rúd kritikus erejének meghatározása

111 6.9 Nemkonzervativ rendszerek Eddig mindig olyan eseteket vizsgáltunk, amikor a szerkezetre ható erő az alakváltozás során megtartotta eredeti irányát. Ilyen például a 6.9-1/a ábrán vázolt, alul befogott, felül függőleges erővel terhelt rúd. Ha ez a rúd kihajlik, a baloldali oldalán lesz a hajlítónyomaték ábra, és ugyancsak a baloldala, a domború oldal lesz húzott a hajlítási feszültségből. Az alsó ábrán a ω körfrekvencia, és a P nyomóerő összefüggését ábrázoltuk. Az ω 1 az első modushoz tartozó, az ω 2 a második modushoz tartozó állapot. A felfelé rajzolt hurok mutatja, hogy hogyan csökken az ω a P erő növekedésével. Amikor metszi a függőleges tengelyt, ω zérussá válik, és kimozdítás után a rúd nem tér vissza eredeti helyére, azaz kihajlik. Az ekkor érvényes erő az 1.modushoz tartozó P kr,1 kritikus erő. Miután a hurok metszi a függőleges tengelyt, a kritikus erő statikai módon is meghatározható, mint ahogy a 6.9-1/-b ábrán bemutattuk.

112 ábra Az Euler, és a Beck féle rúd Beck-től származik a következő feladat, melyet a 6.9-1/b ábrán láthatunk. Ahogy a P erő hatására a rúd kihajolna, a domború oldalon húzás kell ébredjen, de miután a befogásnál a hajlító nyomaték jobboldalra kerül, tehát jobboldalon kellene húzásnak ébredni. Ez egy ellentmondás, amiről sokáig azt gondolták, hogy ez a rúd nem hajol hat ki. Beck kimutatta, hogy ha a P nem statikus, hanem dinamikus erő, akkor a rúd mozgása közben kereszt irányú tehetetlenségi erő ébred (d Alambert féle erő), és ez biztosítja a dinamikai egyensúlyt.

113 Azaz a rúd csak rezgőmozgással lehet egyensúlyban. Ha az erő eléri a hurok tetejének szintjét, a mozgás az ott jelölt szaggatott vonal mentén instabil helyzetbe kerül, és szabálytalan rezgésállapotba kerül. Tehát a rúdnak dinamikus kritikus ereje van a hurok tetején. Ezért ez a kritikus erő statikai módszerrel nem határozható meg. Nem azért, mert a statikai módszer erre nem alkalmas, hanem azért, mert nincs statikus kritikus erő. Az ilyen kritikus erő okozta annakidején a karcsú testű Atlas rakéták sorozatos baleseteit. Mindenki tud magának ilyen esetet produkálni. Kell hozzá egy hosszú öntözőcső, amit rákapcsolunk a vízvezetékre. Ahogy a vizet fokozatosan növeljük, a cső egyszer elkezd csapkodni, mert elérte a kritikus helyzetet. Ha valaki elég ügyes, be tudja úgy állítani a víznyomást, hogy a hurok tetőpontján legyen. Ekkor a cső a térben, görbén állva tud maradni

114 6.10 Nemlineáris rendszerek A lineáris rendszereknél az elmozdulás és a P rúgóerő között lineáris kapcsolat van. Ezt a 6.10-/a ábrán a középső vonal mutatja. Azaz kétszer akkora erőhöz kétszer akkora elmozdulás tartozik. Ezt a modellt nem azért használjuk, mert a világ ilyen, hanem azért, mert ezzel tudunk a legegyszerűbben számolni, és sok esetben zárt analitikus megoldást kapni, és az kis amplitúdóknál jó közelítés. Az ilyen esetekben a rezgési frekvencia nem függ az x elmozdulástól (b. ábra). A valóságban azonban a növekvő erőhöz növekvő, vagy csökkenő az alakváltozás növekménye. A növekvőt szuperlineáris, a csökkenőt pedig szublineáris esetnek nevezzük. A b. ábrán láthatjuk, hogy a keményedő, szuperlineáris esetben az alakváltozással a frekvencia növekszik, míg a lágyuló, szublineáris esetben csökken ábra Nemlineáris rendszerek

115 Ha megvizsgáljuk a frekvencia függvényében a hozzátartozó amplitúdót, a következőt láthatjuk. A /b. ábra mutatja a lineáris esetet, itt a már jól ismert görbét látjuk. Az f kr kritikus frekvenciánál (rezonancia) az amplitúdó a vékony szaggatott vonalaknak megfelelően elvileg a végtelen felé tart. A csillapítás eredményeképpen a vastag vonallal rajzolt diagram alakul ki. A csúcs magassága a csillapítás mértékétől függ ábra. A nemlineáris szerkezetek rezonanciagörbéi

116 A /a ábra mutatja a szublineáris (lágyuló) szerkezet dinamikai amplitúdó vonalát. (A szerkezeti anyagaink rendszerint ilyenek.) A vastag vonallal rajzolt hurok balra hajlik, és az f 1 és f 2 frekvenciaérték között nincs egyértelmű összefüggés. A szaggatott vonallal rajzolt rész bizonytalan. Ez azt jelenti, hogy van egy olyan tartomány, ahol nem határozható meg az amplitúdó-frekvencia összefüggés. A valóságban ilyenkor a mozgás kaotikusan alakul ki, a viselkedés ide-oda ugrál. Ezt a helyzetet a szerkezeteinknél mindenképp el kell kerülni, tehát a gyakorlatban az f 1 frekvenciaértéket korlátértéknek kell elfogadnunk, amelyet bizonyos biztonsággal szabad csak megközelítenünk. Hasonló a helyzet a szuperlineáris szerkezetnél is, azzal a különbség, hogy az f 1 elérése után a szerkezet alakváltozása mindenképp csökken. Ez pedig kevésbé veszélyes..

117 6.11 Harang dinamikai hatása Hagyomány, hogy a templomtornyokban harangokat alkalmaznak. Régen ezekkel jelezték ha tűz van, ill. ha ellenséges rablóbandák közelednek a településhez. Ma már a harangok csak a szakrális eseményeket jelzik, és a Nándorfehérvári győzelem emlékére annakidején elrendelt, és hagyományként megmaradt déli harangszó megszólaltatására szolgálnak. A harangot egy himbával erősítik a harangszékre, és a himba tengelye körül leng ideoda a harangozáskor. A harang nyelve más ütemben leng, és ennek a harang falához való ütközése adja a harang zengő hangját. A harang sémáját a következő ábra mutatja be ábra. A harang vázlatos képe

118 A képen látható harang himba tengelye a harangtest felett, a V és H erők találkozásánál van. A harangot vagy kézzel, a harangozó kötél segítségével hozza lengésbe a harangozó, vagy pedig automata gép hozza lengésbe, az előre beállított program szerint. Miközben a harang leng, a H erő ciklikusan változik, és lengésbe hozza a tornyot. Miután sok tornyot szétharangoztak, kitalálták, hogy nem egyenes tengelyt adnak a himbának, hanem olyat, amelyik lejjebb viszi a forgáspontot. Ezzel a harang horizontális H ereje jelentősen lecsökken. Vigyázni kell, hogy bizonyos távolság maradjon a himba forgáspont, és a harang súlypontja között. Ugyanis, ha a forgáspont és az S súlypont egybe esne, a harang elvesztené a hangját. A harang és a nyelve kéttömegű lengésrendszert alkot, melynek megoldásával megkapható a harang Ts sajátlengés ideje, mely 1-2 másodperc körül van.

119 Ha a kilengés maximális 70 fokos értékét betartják, a H erő a H= k μ G összefüggésből becsülhető. Itt G a harangsúly, és a dinamikus tényező a μ =1/ ((1 - T s / T g ) 2 <15 összefüggés szerinti. A dinamikus tényezőben T g a harang, és T s a torony lengési periódusideje. A felfüggesztés magasságától függő tényező: k=1,6 felső himba forgáspont esetén, és k=0,4, ha a forgáspont a felső tengely és a súlypont közötti távolság felezőjében van. Természetesen a függőleges erőkomponens is dinamikus terhet jelent. A horizontális erő hajlítási és nyírási igénybevételt ad le a toronynak, amire azt a fáradási lehetőség figyelembevételével meg kell méretezni.

120 7. ESETTANULMÁNYOK 7.1 Függőfolyosó korlát belengése a, A tervezett korlát

121 7.2 Kempingépület lengése

122 7.3 Mosoda berezgése

123 MW turbógenerátor

124 7.5 Mátyás torony harangjai a, A Mátyás torony metszete b, Az ellenhimba