prob and stat Agoston Roth /3/15 10:21 page i #1 és statisztika laborfeladatok

Átírás

1

2 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page i # Róth Ágosto Valószíűség-számítás és statisztika laborfeladatok Presa Uiversitară Clujeaă Kolozsvári Egyetemi Kiadó, 0

3 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page ii # A segédlet yomtatását a kolozsvári Babeş Bolyai Tudomáyegyetem Farkas Gyula Egyesület a Matematikáért és Iformatikáért háttéritézméye támogatta. Lektorálták a Babeş Bolyai Tudomáyegyetem oktatói: Dr. Soós Aa, egyetemi doces, dékáhelyettes Dr. Csató Lehel, egyetemi doces A teljes yomdai előkészítés ábrák, borítóterv, tördelés a szerző mukája. c Róth Ágosto, 0 Mide jog fetartva. Descrierea CIP a Bibliotecii Naţioale a Româiei RÓTH, ÁGOSTON Valószíűség-számítás és statisztika laborfeladatok / Róth Ágosto. Cluj-Napoca: Presa Uiversitară Clujeaă, 0 Bibliogr. ISBN :004.4 MATLAB Uiversitatea Babeş Bolyai c Presa Uiversitară Clujeaă Director: Codruţa Săcelea Adresa: Str. Haşdeu r. 5, Cluj-Napoca, Româia Tel./fax: editura@editura.ubbcluj.ro

4 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page iii #3 Tartalomjegyzék Előszó v. A valószíűség-számítás alapjai.. Eseméyalgebra és eseméymező fogalma A valószíűség klasszikus és axiomatikus értelmezése Geometriai valószíűség Feltételes valószíűség Eseméyek függetlesége Valószíűségi modellek Beroulli-modell Visszatevéses biomiális modell Többállapotú biomiális modell Hipergeometrikus modell Többállapotú hipergeometrikus modell Poisso-féle valószíűségi modell Pascal-féle vagy egatív biomiális modell Geometriai modell Kitűzött feladatok Valószíűségi változók és vektorok 3.. Valószíűségi változók és vektorok tulajdoságai Diszkrét valószíűségi változók és vektorok Folytoos valószíűségi változók és vektorok Feltételes valószíűség-eloszlások Valószíűségi változók umerikus jellemzői Nevezetes diszkrét valószíűségi változók és vektorok Egyeletes eloszlás Beroulli-eloszlás Biomiális eloszlás Hipergeometrikus eloszlás Geometriai eloszlás Pascal-féle vagy egatív biomiális eloszlás Poisso-eloszlás Nevezetes folytoos valószíűségi változók Egyeletes eloszlás Expoeciális eloszlás Normális eloszlás Többdimeziós ormális eloszlás Pearso-féle χ -eloszlás Gamma-eloszlás Béta-eloszlás iii

5 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page iv #4 TARTALOMJEGYZÉK.3.8. Studet-eloszlás Sedecor Fisher-féle eloszlás Határeloszlás-tételek Kitűzött feladatok Véletleszám-geerátorok Egyeletes eloszlású véletleszám-geerátorok A multiplikatív lieáris kogruecia módszere Összetett multiplikatív lieáris kogrueciák módszere A Mersee-twister egyeletes eloszlású számgeerátor Nemegyeletes eloszlású véletle számok geerálása Az iverziós módszer Az elutasítás módszere A közrefogás módszere A Box Muller-algoritmus Pearso-féle χ -eloszlású valószíűségi változók geerálása Gamma-eloszlású valószíűségi változók geerálása Béta-eloszlású valószíűségi változók geerálása Studet-eloszlású valószíűségi változók geerálása Sedecor Fisher-eloszlású valószíűségi változók geerálása A Pearso-féle valószíűség-eloszlások családja Kitűzött feladatok Statisztikai próbák Várható értékre és szórásra voatkozó próbák Egymitás U-próba az ismeretle elméleti várható értékre Kétmitás U-próba az ismeretle elméleti várható értékek összehasolítására Egymitás T -próba az ismeretle elméleti várható értékre Kétmitás T -próba az ismeretle elméleti várható értékek összehasolítására Egymitás χ -próba az ismeretle elméleti szóráségyzetre Kétmitás F -próba az ismeretle elméleti szóráségyzetek összehasolítására Illeszkedésvizsgálat Nemparaméteres χ -próba az ismeretle elméleti eloszlásra Paraméteres χ -próba az ismeretle elméleti eloszlásra Kitűzött feladatok Irodalomjegyzék 3 iv

6 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page v #5 Előszó A kézbe tartott segédlet elsősorba a kolozsvári Babeş Bolyai Tudomáyegyetem iformatika és matematika-iformatika szakos hallgatói számára készült, de bárki yugodta lapozgathatja, feltéve, hogy arra érdemesek találja. Az egyetemükö hosszú évtizedeke át a valószíűség-számítás és statisztika tárgyak egyegy féléves szerepet kaptak az alapképzés tatervéek kialakításába. A Bologai Egyezméy aláírásával elidult em feltétleül pozitív folyamat hatására a két tárgyat összevoták és mostara már csak egyetle féléve át biztosíthatuk ilye jellegű szakismeretet az óráikat látogató iformatikus hallgatókak. Midez emcsak a diákok életét keseríti meg, mert éháy karcsapás utá mélyvízbe érzik magukat, haem az előadást vezető taár és segédje mukáját is megehezíti. Képzeljük el, hogy amíg az első előadás alkalmával a taár a valószíűség klasszikus és axiomatikus értelmezésével bajlódik, addig a segédje a szemiáriumi órák alkalmával még megpróbál igazodi az elmélet kibotakozási ritmusához, viszot a szemiáriumot követő első labor órá már valószíűségi modellekhez kapcsolható, diszkrét eloszlású, véletle számok geerálására buzdítja az ifjúságot. Majd következik a második kurzus, amely em fejeződik be az összes valószíűségi modell ismertetésével, illetve a második labor, ahol éháy geometriailag megoldható feladat szimulálása utá, várható értékkel és szórással kapcsolatos, burkolt kérdések hagzaak el, holott a hallgatóak fogalma sics valószíűségi változóról, relatív gyakoriság, eloszlás- és sűrűségfüggvéyről. A harmadik labor órá már emegyeletes eloszlású folytoos valószíűségi változók, illetve em feltétleül függetle kompoesű valószíűségi vektorok sűrűség- és eloszlásfüggvéyét kellee ábrázoli úgy, hogy a határidőre kitűzött feladatok leadásával elkésett hallgatókat azért vojuk felelőségre, hogy miért is em kódolták addig például a Box Muller-féle traszformáció alapuló ormális eloszlású véletleszám-geerátort. Érezhető, hogy egy óriási fáziseltolódás va az elmélet és a hétről-hétre kitűzött laborfeladatok megoldásához szükséges háttérismeretek között, olyayira, hogy sokszor a segéd azo kapja magát, hogy még este tíz órakor is magyaráz a diákak, hacsak em zavarja meg az időkét moológgá fajuló párbeszéd idilljét a kötelességét végző kapus. A kézbe tartott segédlet ezt a folyamatot szereté valamivel letisztultabbá és érthetőbbé tei. Az elkövetkező évek tapasztalatai, valamit egy jól meghatározott szigifikaciaszit mellett döthetjük csak el, hogy a kézbe tartott kisebb méretű köyvvel meyire sikerült célukat eléri. Midezek elleére igyekeztük egy olya ayagot biztosítai az érdeklődő diák számára, amelybe egyrészt a tömöre megfogalmazott elméletet számos megoldott feladattal illusztráltuk, másrészt mélyebb gyakorlati lehetőséget is biztosítuk a godosa kidolgozott, emegyeletes eloszlású véletleszám-geerátorok algoritmusaiak taulmáyozásával, valamit a külöféle statisztikai próbákat végrehajtó kódrészletekkel. Az olvasóról azt feltételezzük, hogy már jártas halmazelméletbe, lieáris algebrába, sorok elméletébe, valós és komplex függvéytaba, umerikus aalízisbe, egy kis mértékelméletbe, valamit egy hatékoy programozási yelv, vagy matematikai szoftvercsomag haszálatába. Az utóbbi szempotból a választásuk a Matlab R matematikai programredszerre és programozási yelvre esett, mert eredméyeiket és forráskódjaikat köye elleőrizhetjük aak statisztikai eszköztárába található függvéyekkel és paracsokkal. Nyilvá, em midekiek szíve csücske az említett programredszer. Éppe ezért a legfotosabb algoritmusokat pszeudokóddal fogalmaztuk meg, lehetőséget biztosítva arra, hogy tetszőleges programozási yelvbe kódolhatóak legyeek. A pszeudokódok mellett számos helye Matlab R alapú forráskódokat is listáztuk, amelyeket v

7 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page vi #6 ELŐSZÓ egyrészt a fejlesztői köryezet által biztosított súgókkal való egységesség, másrészt a emzetközi szakyelv ismertetése céljából is agol yelvű megjegyzésekkel láttuk el. Az elméleti ayag jegyzetkét is haszálható, viszot semmiképpe sem helyettesíti a valószíűség-számítás és statisztika alapműveit [Feller, 950; Hogg, Craig, 978; Réyi, 973]. A két szorosa összefüggő területek egyetle félévbe való zsúfolása és a kitűzött gyakorlatiasság miatt, bizoyos részeket mellőzük kellett. Meggyőződésük, hogy szakavatott szem biztosa észlel majd hiáyokat és ameyibe szükséges, pótolja is azokat a diákjai számára. Az alábbi témákat felölelve, a segédlet égy fejezetre bomlik:. a valószíűség-számítás alapjai, a valószíűség klasszikus és axiomatikus értelmezése, geometriai valószíűség, feltételes valószíűség, valószíűségi modellek;. diszkrét, illetve folytoos valószíűségi változók és vektorok, ezek tulajdoságai, umerikus jellemzői, karakterisztikus függvéye, továbbá a határeloszlás-tételekek egy része; 3. egyeletes, illetve emegyeletes eloszlású véletleszám-geerátorokkal kapcsolatos módszerek és algoritmusok, ezek helyességéek és futási idéjéek taulmáyozása; 4. várható értékre, szórásra, ezek összehasolítására, és illeszkedésvizsgálatra voatkozó egy-, vagy többmitás statisztikai próbák. Ugyaakkor midegyik fejezetet kitűzött feladatok listájával zártuk, amelyek kapcsá emcsak az elméleti, haem a gyakorlati tudás is felmérhető. A kitűzött és megoldott feladatok jelöléséhez hasolóa, piros szíel tütettük fel időkét azokat az elméleti tételeket is, amelyeket a hallgatók öállóa igazolhatak az addig a potig szerzett ismeretek alapjá. Ha esetleg mégis túl ehézek bizoyul eze állítások belátása, akkor az előadást vezető taár és segédje is biztosa szívese segít. Végezetül pedig személyek, akik élkül sokkal ehezebb lett vola: Kedvesem köszööm a türelmedet és megértésedet amiatt, hogy a kézbe tartott segédlet megírása emésztette fel a yarukat, Szüleim egyszerűe csak köszööm, hogy vagytok ekem és midazt, amit tettetek és tesztek értem, dr. Juhász Imre, egyetemi taár, a Miskolci Egyetem, Ábrázoló Geometria Taszékéek vezetője, továbbá dr. Lukács Ador, egyetemük posztdoktori kutatója köszööm a lektorálásra és magyarosításra szát időtöket, fáradtságot em kímélő türelmeteket, valamit biztatásaitokat. Székelyudvarhely, 0. szeptember 5. A Szerző vi

8 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page #7. A valószíűség-számítás alapjai A kézbe tartott segédletek em célja a valószíűség-számítás elméletéek kialakulását és fejlődését részletező törtéeti adatok ismertetése. Dióhéjba összefoglalva megemlítjük, hogy többek között az.. ábrá látható személyek kutatási eredméyeiek ismertetésével maraduk adósak... Eseméyalgebra és eseméymező fogalma A valószíűség-számítás axiomatikus felépítéséhez egy matematikai struktúrára va szükségük. Amit hamarosa láti fogjuk, jele esetbe ez a struktúra egy σ-algebra másképpe mérhető tér által biztosított olya eseméyalgebráak felel meg, amelyet egy adott kísérlet lehetséges kimeeteleiek halmazá értelmezük. Ebbe a szakaszba éháy olya összefüggést és tételt tárgyaluk, amelyek a valószíűség-számítás elméletéek kibotakoztatását segítik elő. A későbbi vizsgálódásaik sorá midig ugyaahhoz a kísérlethez tartozó eseméyalgebra kereteibe maraduk... Értelmezés Elemi eseméyek és azok tere. Egy kísérlet lehetséges kimeeteleit elemi eseméyekek evezzük. Az elemi eseméyek együttese az Ω elemi eseméyek terét határozzák meg. Ezért az adott kísérlethez tartozó bármely eseméyt felfoghatjuk úgy, mit az elemi eseméyek Ω teréek olya részhalmazát, amelyet a kérdéses eseméyt előidéző elemi eseméyek alkotak. Ameyibe az adott kísérlet lehetséges eredméyei legfeljebb megszámlálhatóak az eseméyteret Ω = {ω i } i I redszerkét is jelölhetjük, ahol I legfeljebb megszámlálhatóa végtele idexhalmaz, ω i pedig az adott kísérlet egy lehetséges kimeeteléek felel meg. Az Ω tér összes részhalmazáak halmazát P Ω-val jelöljük... Megjegyzés Biztos, lehetetle és véletle eseméyek. A biztos eseméy a kísérlet bármely megismétlésekor bekövetkezik, míg a lehetetle eseméy sohasem következik be. A biztos eseméyt az elemi eseméyek Ω terével azoosíthatjuk, a lehetetle eseméy jelölésére pedig az szimbólumot haszáljuk. Az olya eseméyt, mely egy adott kísérlet végrehajtásakor bekövetkezhet vagy sem, véletle eseméyek evezzük. A továbbiakba fotos szerepet kap még az elletett eseméy fogalma is... Értelmezés Elletett eseméy. Ha A P Ω az adott eseméy, akkor az A-sal jelölt elletett eseméy azt jeleti, hogy A em következik be. Nyilvá az A elletett eseméye potosa A, azaz A = A.

9 i i prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page #8 i i. A VALO SZı NU SE G-SZA Mı TA S ALAPJAI.. a bra. Felu lro l lefele, balro l jobbra haladva, a valo szı u se g-sza mı ta s kombiatorikus, majd ke so bb axiomatikus alapjait kidolgozo evezetes egye ise geket la thatjuk: Gerolamo Cardao , Pierre Fermat , Blaise Pascal 63 66, Jacob Beroulli , Abraham de Moivre , Thomas Bayes 70 76, George-Louis Leclerc , Pierre-Simo de Laplace , Adrie-Marie Legedre , Carl Friedrich Gauss, , Sime o Deis Poisso , Pafutyij Lvovics Csebisev 8 894, Adrej Adrejevics Markov 856 9, Alekszadr Mihajlovics Ljapuov , Adrej Nyikolajevics Kolmogorov Pe lda. Egyszeru pe ldake t tekitsu k a kockadoba st jellemzo ωi = a kapott eredme y i, i =,,...,6 elemi eseme yeket, e s jelo lje A azt az eseme yt, amikor prı msza mot dobtuk. Ekkor ko ye bela thato, hogy A = {ω, ω3, ω5 } e s A = {ω, ω4, ω6 }. Egy adott kı se rlethez tartozo o sszes eseme y P Ω halmaza t egy absztrakt algebrai struktu ra val, u gyevezett Boole-algebra val, ruha zhatjuk fel az ala bbi additı v e s multiplikatı v mu veletek e rtelmeze se vel..3. E rtelmeze s Eseme yek egyesı te se/o sszege/uio ja. Az A e s B eseme y uio ja /egyesı te se /o sszege, ma ske ppe az A vagy B eseme ye, azt az eseme yt e rtju k, amely akkor ko vetkezik be, ha az A e s B eseme yek ko zu l legala bb az egyik beko vetkezik. Az egyesı te si/o sszegze si mu velet jelo le se re az A B, vagy az A + B kifejeze st hasza ljuk..4. E rtelmeze s Eseme yek metszete/szorzata. Az A e s B eseme y metszete /szorzata, ma ske ppe az A e s B eseme ye, azt az eseme yt e rtju k, amely akkor ko vetkezik be, ha mid az A, mid a B eseme y beko vetkezik. A metsze si/szorza si mu veletet az A B, vagy az A B = AB alakba ı rjuk. i i i i

10 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 3 #9.. ESEMÉNYALGEBRA ÉS ESEMÉNYMEZŐ FOGALMA.. Tétel Eseméyalgebra. A P Ω,,, A,, Ω struktúra Boole-algebrát alkot, azaz bármely A, B, C P Ω eseméy eseté teljesülek az alábbi axiómák:. asszociativitás: A B C = A B C, A B C = A B C;. kommutativitás: A B = B A, A B = B A; 3. elyelési tulajdoság: A A B = A, A A B = A; 4. disztributivitás: A B C = A B A C, A B C = A B A C ; 5. komplemeter képzés: A A = Ω, A A =. Ameyibe az Ω eseméytér véges megszámlálhatóa végtele, a P Ω,,, A,, Ω eseméyalgebrát végesek végteleek evezzük... Következméy. Mide olya összefüggés, tétel, amely az.. tételbeli axiómákból halmazelméleti úto levezethető, érvéyes az eseméyek halmazára voatkozóa is... Következméy Dualitási elv első alakja. Ha az Ω eseméytérhez tartozó P Ω,,, A,, Ω eseméyalgebrába egy érvéyes összefüggésbe az egyesítés és a metszés műveleteit felcseréljük egymással, továbbá, ha az összefüggésbe esetlegese szereplő biztos eseméy helyett a lehetetle eseméyt írjuk és fordítva, akkor ugyacsak érvéyes összefüggéshez jutuk. Megjegyezzük, hogy az átíradó összefüggésbe csak a két feti művelet szerepelhet. Példakét megemlítjük, hogy az.. tételbeli axiómák képletei valójába egymás duálisai..3. Következméy Dualitási elv második alakja. Ha az Ω eseméytérhez tartozó P Ω,,, A,, Ω eseméyalgebrába egy eseméyekből alkotott kifejezés elletétes eseméyét akarjuk felíri, akkor felírjuk az adott kifejezés duálisát és mide eseméyt aak elletétesére cseréljük. Megjegyezzük, hogy az átíradó összefüggésbe csak a két feti művelet szerepelhet. 3

11 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 4 #0. A VALÓSZíNŰSÉG-SZÁMíTÁS ALAPJAI.. Példa de Morga-féle képletek. A dualitási elv második alakjára jó példák a halmazelméletből is ismert de Morga-féle képletek. A B = A B, A B = A B.. Tétel Véges eseméyalgebra eseméyeiek a száma. Ha az Ω eseméytér elemi eseméyből áll, akkor a P Ω,,, A,, Ω eseméyalgebra összes eseméyéek száma beleértve a biztos és lehetetle eseméyt is -el egyelő. Bizoyítás. A kérdéses eseméyek száma megegyezik az Ω eseméytér részhalmazaiak számával, azaz a card P Ω számossággal. Egyetle elemi eseméyt sem tartalmazó részhalmazok azaz a lehetetle eseméy száma = 0, az összes elemi eseméyt tartalmazó részhalmazok azaz a biztos eseméy száma szité =. Egyetle elemi eseméyt tartalmazó részhalmazok száma, két elemi eseméy egyesítésére felbotható részhalmazok száma, míg általába k darab elemi eseméy egyesítésére felbotható részhalmazok száma k, ahol k = 0,,...,. Tehát az Ω eseméytérhez tartozó véges eseméyalgebra összes eseméyéek számát a összeg adja. k=0 = + = k.5. Értelmezés Egymást kizáró eseméyek. Az A P Ω és B P Ω eseméyek egymást kizárják, ha em következhetek be egyidejűleg, vagy másképpe modva, az eseméytér A és B részhalmazai diszjuktak. Az ilye eseméyek jelölésére az A B = egyelőséget haszáljuk..6. Értelmezés Eseméyek külöbsége. Az eseméyek P Ω halmazába bevezetett egyesítési additív és metszési multiplikatív műveletei mellett egy harmadik de a másik kettőtől em függetle műveletet is értelmezhetük. Az A és B eseméyek külöbségé azt az eseméyt értjük, amely akkor következik be, amikor az A eseméy bekövetkezik és ugyaakkor a B eseméy em valósul meg. Az értelmezés alapjá tehát A B = A B..7. Értelmezés Eseméyek implikációja. Azt modjuk, hogy az A eseméy maga utá voja implikálja a B eseméyt, ha az A eseméy bekövetkezésekor biztosa megvalósul a B eseméy is. E jeleség jelölésére a halmazelméletből ismert A B befoglalást haszáljuk..8. Értelmezés Ekvivales eseméyek. Ha A B és B A, akkor az A és B eseméyeket ekvivalesek másképpe egyelőek evezzük..9. Értelmezés Eseméy felbotása. Az A P Ω eseméyek egy felbotásá olya legfeljebb megszámlálható {A j } j J P Ω eseméyredszert értük, amelyek elemei párokét kizáróak és egyesítésük az A eseméyt eredméyezi, azaz ha teljesülek az feltételek. A k A l =, k, l J k l, j J A j = A.0. Értelmezés Teljes eseméyredszer. A biztos eseméy bármely felbotását teljes eseméyredszerek evezzük. 4

12 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 5 #.. A VALÓSZíNŰSÉG KLASSZIKUS ÉS AXIOMATIKUS ÉRTELMEZÉSE.. Értelmezés Algebra. Az A P Ω em üres halmazt algebráak evezzük, ha teljesülek az feltételek. A A A A, A, B A A B A.. Értelmezés σ-algebra. Az A P Ω em üres halmazt σ-algebráak evezzük, ha teljesülek az A A A A, A j A, j J j J A j A feltételek, ahol J egy megszámlálhatóa végtele idexhalmaz..3. Értelmezés Véges és végtele eseméymező. Ha az A P Ω halmaz alegbrát σalgebrát alkot, akkor az Ω, A párost véges végtele eseméymezőek evezzük... A valószíűség klasszikus és axiomatikus értelmezése Ha a véges Ω = {ω i } i I eseméytér elemi eseméyei egyelő eséllyel következhetek be, akkor ezeket esetekek evezzük. Azo eseteket, amelyek valamely A P Ω eseméy bekövetkezését voják maguk utá, az A eseméyre ézve kedvező esetekek modjuk..4. Értelmezés Valószíűség klasszikus/kombiatorikus defiíciója. Klasszikus vagy kombiatorikus értelembe a véges és egyelő esélyű elemi eseméyekből álló Ω eseméytér valamely A P Ω eseméyéek valószíűségé a P A = az A eseméy kedvező eseteiek száma az eseméytér összes eseteiek száma aráyt értjük, amit még az A eseméy relatív gyakoriságáak is evezük.... Megjegyzés Valószíűség klasszikus értelmezéséek bírálata. A valószíűség.4. kombiatorikus értelmezését a következő idokok miatt bírálhatjuk:. az értelmezés azt feltételezi, hogy az elvégzett kísérlet kimeetelei egyelő eséllyel következhetek be, viszot az egyelő esély kifejezés pot olya körülméyes, mit a valószíűség fogalma, így az értelmezés körkörös okfejtést haszál;. az értelmezés em haszálható, amikor a kísérlet lehetséges kimeetelei em egyelő eséllyel fordulhatak elő; 3. az értelmezés em haszálható, amikor a kísérlet eredméyeiek száma végtele, vagy akár ha véges is, de eheze megszámlálhatóak az összes vagy a kedvező esetek pl. ehéz megszámoli egy óceá halait, így ehéz megmodai aak a valószíűségét is, hogy kg feletti halat fogjuk ki. A következő megoldott feladatok a valószíűség klasszikus kombiatorikus értelmezéséek haszálatára adak példát... Feladat. Egy dobozba k kék és z zöld szíű golyó va. Visszatevés élkül találomra, egyekét vesszük ki a golyókat. Mi aak a valószíűsége, hogy az első kék szíű golyót az i-edik húzás sorá kapjuk? 5

13 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 6 #. A VALÓSZíNŰSÉG-SZÁMíTÁS ALAPJAI Megoldás. Mivel véges számú golyók va, az eseméytér is véges: az összes lehetséges húzási sorredet k + z!-féleképpe alakíthatjuk ki. A kedvező esetek számát megkapjuk, ha megszámoljuk, hogy a k kék és a z zöld golyó kiválasztása sorá háy olya sorredet kapuk, amely eseté az első i golyó mid zöld, míg az i-edik kék. Az első i zöld golyót z i -féleképpe választhatjuk ki és ezeket i!-féleképpe redezhetjük sorredbe. Az i-edik pozícióra kerülő kék golyót k-féleképpe választhatjuk, és a femaradt golyókat k + z i! módo rögzíthetjük. Következésképpe a keresett valószíűséget a z i i!kk + z i! k + z! relatív gyakoriság adja... Feladat Baach gyufaskatulyás problémája. Egy doháyzó két doboz gyufát vásárol, mideikbe gyufaszállal. Mide cigarettagyújtáskor találomra kiveszi az egyik dobozt és elhaszál egy gyufaszálat. Mi aak a valószíűsége, hogy amikor észreveszi, hogy az egyik doboz üres, akkor a másikba még k {0,,..., } darab gyufaszál va? Az így kiszámolt valószíűség segítségével igazoljuk, hogy =. Megoldás. Tekitsük az és A k = az első doboz üres voltáak észrevételekor a másodikba éppe k darab gyufaszál va B k = a második doboz üres voltáak észrevételekor az elsőbe éppe k darab gyufaszál va egymást kölcsööse kizáró eseméyeket, ahol k = 0,,...,. Ekkor a feladat által megfogalmazott eseméyt a C k = A k B k, k = 0,,..., alakra hozhatjuk, valamit mide k = 0,,..., eseté teljesülek a és P A k = P B k P C k = P A k + P B k = P A k összefüggések. Nyilvá elégséges csak az A k eseméy valószíűségét meghatározi. Az A k eseméy csak akkor következhet be, ha összese k darab gyufaszálat haszáltuk el úgy, hogy ebből gyufaszálat az első dobozból vettük ki, és a k + -edik rágyújtás alkalmával is az első dobozt vettük ki találomra a zsebükből. Nyilvá a két doboz közül egyelő valószíűséggel választhatuk. Így k k P A k = }{{} -szer választottuk az első dobozt Tehát a kérdéses eseméy valószíűsége k P C k = P A k = 6 }{{} k -szor yúltuk a második dobozba k = k. }{{} a k + -edik alkalommal az első dobozt vettük elő, k = 0,,...,. k

14 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 7 #3.. A VALÓSZíNŰSÉG KLASSZIKUS ÉS AXIOMATIKUS ÉRTELMEZÉSE Figyelembe véve, hogy a {C k } k=0 eseméyredszer a biztos eseméy felbotásáak felel meg azaz teljes eseméyredszert határoz meg, az k P Ω = P C k = k k=0 k=0 azoosságot kapjuk, amelyet átszorzova -el potosa a k k k=0 igazoladó azoosságot kapjuk. Nyilvá az.4. értelmezésbeli.-es képletet csak akkor értékelhetjük ki, ha az Ω eseméytér eseteiek száma véges. A következő értelmezés a valószíűség fogalmát axiomatikusa építi fel és akkor is haszálható, ha az Ω eseméytér em feltétleül véges számosságú..5. Értelmezés Valószíűség axiomatikus értelmezése. Az Ω, A eseméymező értelmezett P : A [0,] leképezést valószíűségi függvéyek rövide valószíűségek evezzük, ha teljesíti az alábbi axiómákat:. bármely A A eseméy eseté P A 0;. P Ω = ; 3. bármely J legfeljebb megszámlálható idexhalmaz és bármely {A j } j J párokét kölcsööse kizáró eseméyekből álló redszer eseté teljesül a P j J A j = j J P A j összefüggés..6. Értelmezés Valószíűségi mező. A P : A [0,] valószíűségi függvéyel felruházott véges végtele Ω, A eseméymezőt véges végtele valószíűségi mezőek evezzük és az Ω, A, P hármassal jelöljük..3. Tétel Valószíűségek közötti egyszerűbb összefüggések. Legye Ω, A, P egy véges valószíűségi mező és A, B A két tetszőleges eseméy! Ekkor igazak az alábbi kijeletések:. P = 0;. P A = P A; 3. P B A = P B P A B; 4. ha A B, akkor P A P B; 5. P A B = P A + P B P A B; 6. P A B P A + P B; 7. Poicaré-féle képlet: mide véges {A i } i= A eseméyredszer eseté feáll a P i= A i = i= P A i P A i A i +... i <i + k P A i A i... A ik +... i <i <...<i k + P i= A i. 7

15 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 8 #4. A VALÓSZíNŰSÉG-SZÁMíTÁS ALAPJAI összefüggés, amely a P i=a i = P A i egyszerűbb alakra redukálódik, ameyibe az adott eseméyredszer elemei párokét kizáróak. Bizoyítás. Az. tulajdoság igazolásához vegyük észre, hogy Ω = Ω és Ω =, amelyek alapjá P Ω = P Ω = P Ω + P =, amiből a P = 0 azoosság következik. A. kijeletés eseté tudjuk, hogy A A = Ω és A A =, amiből az = P Ω = P A A = P A + P A feltételt kapjuk, ahoa P A = P A. A 3. tulajdoság belátásához vegyük észre, hogy a B eseméy a i= B = B A A B alakra hozható, ahol B A A B =. Ezért P B = P B A + P A B, vagy másképpe P B A = P B P A B. A 4. kijeletésbe megfogalmazott A B implikáció miatt a P B P A = P B A 0 egyelőtleséget kapjuk, ahoa P A P B. Az 5. tulajdoságbeli A B eseméyt az A és B A egymást kizáró eseméyek egyesítésekét is felírhatjuk, ezért P A B = P A B A = P A + P B A, amit a 3. kijeletés alapjá a P A B = P A + P B P A B alakra is hozhatuk. A 6. állítás az 5. tulajdoság közvetle folyomáya. A 7. tulajdoságba megfogalmazott Poicaré-képletet -szeriti teljes idukcióval igazoljuk. Ha =, akkor az 5. potba igazolt képletet kapjuk vissza. Feltételezzük, hogy az állítás igaz bármely -él kisebb vagy egyelő természetes számra, és igazoljuk az + eseméyből álló {A i } + i= eseméyredszerre is: P + i= A i = P i=a i A + = P i=a i + P A + P i=a i A + 8 = P i=a i + P A + P i= A i A + = P A i P A i A i P i=a i = i= +P A + i <i P A i A + + i= j <j + P A A... A A + + P A i i= i <i + P A j A j A P A i A i P + i= A i,

16 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 9 #5.. A VALÓSZíNŰSÉG KLASSZIKUS ÉS AXIOMATIKUS ÉRTELMEZÉSE ahol kétszer alkalmaztuk az idukciós hipotézist az -elemű i= A i és i= A i A + egyesítésekre. Az alábbi feladat megoldása a valószíűségek általáos összeadási tételére, valamit az.-es Poicaré-féle képlet alkalmazására épül..3. Feladat Példa a Poicaré-féle képlet alkalmazására. Valaki levelet ír, megcímezi a borítékokat, majd találomra elhelyezi a leveleket. Mi aak a valószíűsége, hogy egy levél sem ér el a kívát címzetthez? Megoldás. Jelölje A a feladat szövegébe megfogalmazott eseméyt! A P A valószíűség helyett köyebb, ha az A elletett eseméy P A = P A valószíűségét határozzuk meg. Az A eseméy azt jeleti, hogy legalább egy levél a kívát címzetthez ért. Ha A i jelöli azt az eseméyt, mely szerit az i-edik levél a megfelelő címzetthez került, akkor az A elletett eseméyt az A = A A... A alakba írhatjuk. A továbbiakba az i= A i eseméy valószíűségéek meghatározásához az.-es Poicaré-féle képletet másképpe szita-formulát haszáljuk. Az darab levelet összese! módo helyezhetjük el a borítékokba. Aak a valószíűsége, hogy valamely k darab i, i,..., i k sorszámú levél a kívát címzetthez ért, em más, mit P A i A i... A ik = k!,! mert a femaradt k darab levelet k!-féleképpe redezhetjük úgy, hogy a rögzített i, i,..., i k sorszámú borítékok tartalmát em változtatjuk. Az.-es Poicaré-képletbe az összes k darab metszetet tartalmazó összegzés tagjaiak száma, hisze összese eyiféleképpe rögzíthetük borítékból k darabot úgy, hogy em vagyuk k tekitettel azok sorredjére. A fetiek alapjá P A = k k! = k! k= azaz a feladatbeli A eseméy kérdéses valószíűsége éppe k, k! k= P A = P A k = + k! k= k =, k! k=0 ami em más, mit az e x függvéy e x = k 0 x k k! Taylor-sorbafejtéséek -edik részletösszege az x = potba. Így agyo sok levél eseté a keresett valószíűség lee. lim P A = e = e 9

17 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 0 #6. A VALÓSZíNŰSÉG-SZÁMíTÁS ALAPJAI... Geometriai valószíűség A valószíűség klasszikus/kombaitorikus.4. értelmezése egy bizoyos eseméyt realizáló lehetséges kimeetelek megszámolhatóságára épül. Ezért ez az értelmezés haszálhatatla olya esetekbe, amikor az eseméytér em megszámlálhatóa végtele pl. egy szakasz, egy síkidom, vagy egy térbeli alakzat potjaiak felel meg. Poicaré ilye esetek tárgyalására a halmaz megszámlálhatóságáak fogalmát aak mérhetőségére cserélte le..7. Értelmezés Geometriai valószíűség. Ha az Ω, A, P valószíűségi mező eseté az Ω eseméytér az R euklideszi tér egy véges Lebesgue-mértékű részhalmazáak felel meg, valamit ha az A P Ω σ-algebra elemei is Lebesgue-mérhetőek, akkor a P A = m A m Ω.3 háyadost az A A eseméy geometriai valószíűségéek evezzük, ahol m az adott tére értelmezett mértéket pl. hosszúságot, területet, térfogatot jelöli..3. Megjegyzés Geometriai valószíűség bírálata. A valószíűség geometriai.7. értelmezése azo az elve alapszik, hogy az egyelőe valószíű elemi eseméyeket az egyees, egy görbeív, a sík, a tér bizoyos potjaival ábrázoljuk és a szóba forgó eseméy kérdéses valószíűségét az adott eseméyt előidéző elemi eseméyeket ábrázoló potok halmazáak mértékével aráyosak vesszük. Végtele eseméyalgebrák eseté eek az elvek az érvéyességét viszot gyakorlati úto elleőrizi kell, vaak ugyais olya kísérletek, amelyekbe a valószíűségek és mértékek aráyossága em áll fe. Például, ha céltáblára lövük, aak bármelyik potja, mit lehetséges becsapódási hely, elemi eseméykét fogható fel, a teljes eseméyteret pedig a céltábla ábrázolja. Mithogy azoba egy jól célzó lövész általába sűrűbbe találja el a céltábla középső részét, mit aak széleit, em állíthatjuk, hogy a céltáblára rajzolt bármely r sugarú körbe egyelő valószíűséggel csapódak a lövedékek: az.. ábrát tekitve, hosszabb lövési sorozatból több találat lesz a C körbe, mit a C körbe. Ezért azt modhatjuk, hogy a találati valószíűség emegyeletes eloszlású az egész céltáblá, másképpe fogalmazva: a céltábla középső részé agyobb a valószíűségi sűrűség, mit a szélei... ábra. Egy megfelelő távolságba elhelyezkedő jól célzó lövész céltáblát ért találataiak sűrűsége emegyeletes eloszlást követ. Ahogy a lövészt viszot egyre távolabb helyezzük a céltáblától, jó közelítéssel már feltételezhetjük, hogy a találati valószíűség az egész céltáblá egyeletese oszlik meg és akkor már alkalmazhatjuk.7. értelmezésbeli geometriai módszert. 0

18 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page #7.. A VALÓSZíNŰSÉG KLASSZIKUS ÉS AXIOMATIKUS ÉRTELMEZÉSE Ha egy kísérlet potos feltételeit em rögzítjük, akkor elletmodásos helyzetekbe ütközhetük, ahogy azt a következő, geometriai valószíűsége alapuló példa is mutatja..4. Feladat Bertrad-féle paradoxo. Adjuk meg aak a valószíűségét, hogy egy adott körbe tetszőlegese felvett húr hossza agyobb, mit a rögzített körbe írt egyelő oldalú háromszög oldala. Megoldás. A rögzített kört yugodta feltételezhetjük origó középpotúak és r > 0 sugarúak. Ekkor a körbe írt egyelő oldalú háromszög oldalhossza r 3. A feladat szövege em rögzíti potosa, hogy mit is jelet egy húr véletleszerű felvétele. Éppe ezért az.3. ábrá látható eseteket külöböztetjük meg..3. ábra. a Tetszőleges p potot rögzítve a kör kerületé, a kísérlet szempotjából csak a zöld húrok kedvezőek. b Csak a rögzített átmérőre merőleges, zöld tartomáyba eső húrok a kedvezőek. c Az r sugarú körlemez belsejébe véletleszerűe felvett potok közül csak azok eredméyezek megfelelő hosszúságú húrokat, amelyek a zöld r sugarú körlemez belsejébe esek. Rögzítsük egy tetszőleges p potot a kör kerületé és az.3.a ábrához hasolóa feltételezzük azt, hogy a véletleszerűe felvett húrok egyik végpotja egybeesik ezzel a pottal. Mide p poto áthaladó húr egy α 0, π szöggel jellemezhető. Ekkor egy π hosszúságú itervallum felel meg a teljes eseméytérek, míg a kedvező hosszúságú húrokhoz tartozó α szögek egy π 3 agyságú itervallumból kerülek ki. Ezért ebbe az esetbe az.3-as képlet alapjá a keresett valószíűség π 3 π = 3. Most írjuk a körbe egy egyelő oldalú háromszöget úgy, hogy az egyik csúcsa illeszkedje a kör vízszites átmérőjére. Midez em jelet megszorítást, hisze egy alkalmas forgatási traszformációval bármely körbe írt egyelő oldalú háromszöget ebbe az alaphelyzetbe hozhatuk. Ugyaakkor vizsgáljuk erre a vízszites átmérőre merőlegese felvett véletleszerű húrok hosszát, ahogy azt az.3.b ábra mutatja. A rögzített átmérő potjai és az átmérőre merőleges húrok között kölcsöese egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Így az összes eset halmazáak mértéke megegyezik az átmérő r hosszával, a kedvező merőleges húrok és a rögzített átmérő metszéspotjai pedig egy r hosszúságú szakaszt futak be. Midezek tudatába a kérdéses valószíűségre az r r = érték adódik. Végezetül tekitsük az.3.c ábrát, mely eseté a körlap belsejébe véletleszerűe felvett potokat egy-egy húr középpotjáak feleltettük meg. A kör középpotjáak kivételével, ez a

19 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page #8. A VALÓSZíNŰSÉG-SZÁMíTÁS ALAPJAI megfeleltetés is kölcsööse egyértelmű. Képzeljük el, ahogy a körbe írt egyelő oldalú háromszöget a kör középpotja körül elforgatjuk. Ekkor a háromszög oldalaiak középpotjai azt a szité origó középpotú, de r sugarú kört futják be, amely belsejébe eső véletleszerű potok midegyike kedvező hosszúságú húrt reprezetál. E kör kerületére illeszkedő és azo kívül eső potok olya húrokak felelek meg, amelyek hosszai éppe megegyezek, illetve rövidebbek az r sugarú körbe írt egyelő oldalú háromszög odalhosszáál. Így az r sugarú körlemez a teljes eseméyteret írja le, míg a vele kocetrikus r sugarú körlemez a kedvező potok halmazáak felel meg. Tehát a keresett valószíűség a kis és agy körlemezek területéek értékű aráyával egyezik meg. r π r π = 4.4. Megjegyzés Bertrad-féle paradoxo. Az.4. feladat eseté a három külöböző esetből származó valószíűségi értékek elletmodaak egymásak. Mitha em lee egyértelmű a feladat által kérdezett valószíűség értéke. Ez viszot em azt jeleti, hogy baj va a valószíűség-számítás alapjaival, haem csak azt, hogy a szóba forgó feladat ics megfelelő potossággal megfogalmazva: azaz ics rögzítve, hogy mit érthetük egy húr véletleszerű felvételé..5. Feladat. Egyeletes eloszlást feltételezve, egy d > 0 hosszúságú szakasz belsejébe találomra felveszük két potot. Ezzel az adott szakaszt három kisebb szakaszra osztottuk. Határozzuk meg aak a valószíűségét, hogy az így keletkezett három szakasszal háromszög szerkeszthető. Megoldás. A feladat megoldása sorá két külöböző esetet külöböztetük meg az.4. ábra jelöléseiek megfelelőe..4. ábra. Bármely x, y [0, d] eseté az a x < y és b x > y eseteket külöböztetjük meg. Ha x < y, akkor a következő három háromszög-egyelőtleség adja a kedvező potok halmazáak mértai helyét: x + y x > d y y > d, x + d y > y x y < x + d, y x + d y > x x < d. Hasolóa godolkodhatuk az x > y esetbe is a kedvező potok halmazáak meghatározásakor. Nem kell egyebet teük, mit felcseréli az x és y változók szerepét a feti egyelőtlesé-

20 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 3 #9.. A VALÓSZíNŰSÉG KLASSZIKUS ÉS AXIOMATIKUS ÉRTELMEZÉSE gekbe: x > d, x < y + d y > x d, y < d. Mivel x, y [0, d], az összes pot halmaza azaz a teljes eseméytér a [0, d] [0, d] R síktartomáyak felel meg, ami valójába egy d oldalhosszúságú égyzet. Figyelembe véve az esetszétválasztás sorá kapott három-három egyelőtleséget, köye felrajzholhatjuk a kedvező potok mértai helyét az.5. ábráak megfelelőe..5. ábra. A kedvező potok mértai helye a zöld és piros tartomáyok egyesítéséek felel meg. Így a kedvező és az összes potok halmazáak mértékéek jele esetbe területéek d d = 4 értékű aráya a kérdéses eseméy valószíűségét határozza meg. Geometriailag megoldható feladatok eseté em midig vagyuk abba a szerecsés helyzetbe, hogy a kedvező és az összes potok halmazáak mértékét jól ismert síkidomok és térbeli alakzatok területére, illetve térfogatára vezethessük vissza. Ilye esetekbe más számítási eszközökkel, pl. határozott itegrálszámítással, próbálkozhatuk, ahogy azt a következő két megoldott feladat is mutatja. 3

21 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 4 #0. A VALÓSZíNŰSÉG-SZÁMíTÁS ALAPJAI.6. Feladat. Egyeletes eloszlást feltételezve, az α és β potokat véletleszerűe választjuk a 0, itervallumból. Mekkora aak a valószíűsége, hogy az egyeletek valós gyökei legyeek? x + αx + β = 0 Megoldás. Az α, β potok véletleszerű megválasztásával a teljes eseméytér a 0, 0, egységyi égyzetek felel meg. A feladat feltételéek megfelelő α, β párok kielégítik az α 4β 0 egyelőtleséget, tehát a kedvező potok az egységyi égyzet belsejébe a β α = α 4 parabola és a 0α abszcisszategely közötti területe helyezkedek el, ahogy azt az.6. ábra is mutatja..6. ábra. A kedvező potok mértai helye a piros β α = α, α 0, egyeletű parabolaív és a 0α 4 abszcisszategely közötti zöld síkidomak felel meg. A kedvező potok halmazáak mértékét területét az α dα = α3 α= 4 0 = α=0 határozott itegrál adja, ami egybe megegyezik a keresett valószíűség értékével is, hisze a teljes eseméytér mértéke területe..7. Feladat Buffo-féle tűprobléma. Osszuk fel a síkot egymástól d > 0 távolságra levő párhuzamos egyeesekkel, és az így kapott felosztásra véletleszerűe ejtsük le egy 0 < l < d hosszúságú tűt! Milye valószíűséggel metszi a felosztás valamely egyeesét az ily módo leejtett tű? Megoldás. Tekitsük a haszált tű vastagságát elhayagolhatóak, valamit kövessük az.7.a ábra jelöléseit! Legye e a ledobott tű középpotjához legközelebb eső felosztásbeli egyees! Jelölje m a leejtett tű középpotját, az x felelje meg az m középpot és az e egyees közti távolságak, valamit jelölje α a tű tartóegyeese és az e egyees által bezárt szöget. Az x távolság és az α szög értékei egymástól függetleek és teljesítik a 4 0 x d, 0 α π

22 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 5 #.. A VALÓSZíNŰSÉG KLASSZIKUS ÉS AXIOMATIKUS ÉRTELMEZÉSE.7. ábra. a A sík felosztása egymástól d távolságra eső párhuzamos egyeesekkel és a véletleszerűe leejtett l hosszúságú tűek egy lehetséges helyzete. b A teljes eseméytér az Ω = [ ] 0, d [0, π] téglalapak, a kedvező potok halmaza pedig az x α = l si α, α [0, π] függvéy és a 0α abcisszategely által határolt tartomáyak felel meg. egyelőtleségeket. Ezért a teljes eseméytér az Ω = [ ] 0, d [0, π] téglalapak felel meg. A feladatbeli metszési eseméy bekövetkezését az A = {x, α Ω : x l } si α síktartomáyal azoosíthatjuk. Az Ω és A tartomáyokat az.7.b ábra szemlélteti. A geometriai valószíűség értelmezése alapjá a keresett valószíűségre az értéket kapjuk. m A m Ω = l π 0 si α dα d π = α=π l cos α α=0 dπ = l dπ... Feltételes valószíűség Ha egy eseméy bekövetkezéséek valószíűségét egy másik eseméy függvéyébe vizsgáljuk, akkor feltételes valószíűséget kapuk..8. Értelmezés Feltételes valószíűség. Legye Ω, A, P valószíűségi mező és B A egy eseméy, melyre P B 0. A P B : A [0,], P A B.4 P B A = P B leképezést az A A eseméy B-re voatkozó feltételes valószíűségéek evezzük, amit még a P A B alakba is jelölük..4. Tétel Feltételes valószíűség értelmezéséek helyessége. Az.8. értelmezésbe bevezetett.4-es függvéy valóba valószíűséget ír le, vagyis teljesülek az alábbi feltételek: 5

23 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 6 #. A VALÓSZíNŰSÉG-SZÁMíTÁS ALAPJAI. P B A 0, A A;. P B Ω = ; 3. bármely J legfeljebb megszámlálható idexhalmaz és bármely {A j } j J párokét kölcsöese kizáró eseméyekből álló redszer eseté teljesül a P B j J A j = j J P B A j azoosság. Bizoyítás. Az első két tulajdoság azoali az.8. értelmezés alapjá. A harmadik tulajdoság igazolásához a P B j J A j = P j JA j B P B = P j j A j B P B j J = P A j B P B = j J P B A j egyelőségeket alkalmazzuk, ahol felhaszáltuk, hogy az {A j B} j J eseméyredszer párokét kizáró eseméyekből áll..5. Tétel Feltételes valószíűség tulajdoságai. Az.4-es függvéyel értelmezett feltételes valószíűség teljesíti az alábbi tulajdoságokat:. P A B = P B A P B, A A;. valószíűségek szorzási szabálya: ha az {A j } j= A véges eseméyredszer eseté P j= A j 0, akkor igaz a képlet; P j=a j = P A P A A... P j= Aj A.5 3. teljes valószíűség tétele: ha az {A j } j J A olya teljes eseméyredszer, amely eseté mide A j eseméy bekövetkezési valószíűsége szigorúa pozitív, akkor bármely A A eseméyre teljesül a P A = P A j P Aj A.6 j J azoosság; 4. Bayes-képlete: ameyibe az {A j } j J A teljes eseméyredszert alkot és az A A eseméy bekövetkezési valószíűsége szigorúa pozitív, akkor mide i J idex eseté igaz a képlet. P A A i = P A i P Ai A j J P A j P Aj A.7 6

24 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 7 #3.. A VALÓSZíNŰSÉG KLASSZIKUS ÉS AXIOMATIKUS ÉRTELMEZÉSE Bizoyítás. Az. tulajdoság a feltételes valószíűség.8. értelmezése alapjá azoal következik. Az.5-ös képlet jobb oldalát a feltételes valószíűség értelmezése miatt a P A P A A... P j= Aj A = P A P A A P A = P j=a j P A A A 3 P A A... P j= A j P j= A j módo alakíthatjuk, amivel a. tulajdoságot is beláttuk. A 3. tulajdoság igazolásakor a következőképpe godolkodhatuk. Mivel az {A j } j J A egy teljes eseméyredszert alkot, igazak a A i A j =, i j, i, j J, j J A j = Ω egyelőségek. Ekkor tetszőleges A A eseméyre az A = A Ω = A j J A j = j J A A j azoosságot kapjuk, ahol az {A A j } j J eseméyek párokét kizáróak. Midezek függvéyébe P A = P j J A A j = j J P A A j = j J P A j P Aj A, amit éppe igazoli kellett. A 4. tulajdoság most már egyszerűe adódik a 3. tulajdoság és a feltételes valószíűség értelmezéséek együttes alkalmazásából, hisze P A A i = P A i A P A = P A i P Ai A j J P A, i J, j P Aj A ami befejezi a tétel bizoyítását. Az alább megoldott feladatok a valószíűségek.5-ös szorzási szabályára, a teljes valószíűség.6-os tételére, illetve az.7-es Bayes-féle képletre épülek..8. Feladat Példa valószíűségek szorzási szabályáak alkalmazására. Egy dobozba darab golyó va, -től -ig sorszámozva. Visszatevés élkül kivesszük az összes golyót. Mi aak a valószíűsége, hogy az első k golyót ayiadik húzásra húzzuk ki, ameyi a sorszáma? Megoldás. Jelölje A a feladat szövegébe megfogalmazott eseméyt, és legye A j az az eseméy, mely szerit a j-edik golyót a j-edik húzás sorá vettük ki a dobozból! Ekkor az A eseméy az A = A A... A k alakot ölti. Az A eseméy P A valószíűségéek meghatározására az.5-ös képletet haszálhatjuk, ami a kifejezést adja a keresett valószíűségre. P k j=a j = P A P A A... P A k k j= Aj =... k + k! =! 7

25 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 8 #4. A VALÓSZíNŰSÉG-SZÁMíTÁS ALAPJAI.9. Feladat Példa a teljes valószíűség tételéek és Bayes-képletéek haszálatára. Egy dobozba összese fehér és fekete golyó va ismeretle aráyú összetételbe. Visszatevéssel k golyót húzuk. Milye valószíűséggel tartalmaz a doboz csak fehér szíű golyókat, ha mid a k darab kihúzott golyó fehér volt? Megoldás. A megoldás sorá az.4-es feltételes valószíűséget, az.6-os teljes valószíűséget, és az.7-es Bayes-féle képletet alkamazzuk. Tekitsük az A = mid a k darab kihúzott golyó fehér és az A i = a dobozba i darab fehér golyó va, i =,,..., eseméyeket a dobozba legalább egy darab fehér golyó biztos va, mert tudjuk, hogy k alkalommal fehéret húztuk. Az A i eseméyek egymástól függetleek és egyforma eséllyel fordulhatak elő. Tehát P A i =. Ekkor az A A i eseméy valószíűségét a feltételes valószíűség képletével határozhatjuk meg: P A A i = P Ai A = P A A i P A i A teljes valószíűség képlete alapjá míg Bayes-képlete alapjá P A A i = P A = = i k P A j P Aj A = j= = j= k i, i =,,.... k j, P A i P Ai A i k j= P A j P Aj A = i k j k = k + k, i =,,..., k j= ahoa azoal adódik a keresett valószíűség is. P A A = k k + k k..3. Eseméyek függetlesége.9. Értelmezés Két eseméy függetlesége. Az Ω, A, P valószíűségi mező két A, B A eseméyét függetleek evezzük, ha teljesül a P A B = P A P B egyelőség..5. Megjegyzés. Ha az Ω, A, P valószíűségi mezőbeli A, B A eseméyek függetleek, akkor a P B A feltételes valószíűség megegyezik a feltétel élküli P A valószíűséggel. Hasolóképpe: P A B = P B..6. Megjegyzés. Az.9. értelmezésből azoal következik, hogy ha az Ω, A, P valószíűségi mező eseté A = vagy A = Ω és B A egy tetszőleges eseméy, akkor az A és B eseméyek függetleek. Több eseméy függetleségével kapcsolatba beszélhetük az eseméyek párokéti függetleségéről és az eseméyek teljes függetleségéről. 8

26 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 9 #5.. A VALÓSZíNŰSÉG KLASSZIKUS ÉS AXIOMATIKUS ÉRTELMEZÉSE.0. Értelmezés Eseméyredszerek teljes függetlesége. Az Ω, A, P valószíűségi mezőbeli legfeljebb megszámlálható {A i } i I A eseméyredszert teljese függetleek evezzük, ha bármely {i, i,..., i k } I véges idexhalmaz eseté teljesül a azoosság. P A i A i... A ik = P A i P A i... P A ik.7. Megjegyzés. Egy eseméyredszer teljes függetlesége jóval szigorúbb feltételek teljesülését követeli, mit a párokéti függetleség. A teljes függetleségből következik a párokéti függetleség is, viszot a fordított állítás em igaz! Midezt egy ellepéldával szereték bemutati. Tegyük fel, hogy az eseméytér egy egyelő oldalú háromszög belsejéek felel meg, és az A, A, A 3 eseméyek akkor következek be, ha az egyelő oldalú háromszög belső potjaiból találomra kiválasztott pot redre az.8. ábrá látható az oldalak felezőpotjai által meghatározott szíes tartomáyokba esik..8. ábra. Példa párokét függetle, de em teljese függetle eseméyekből álló redszerre. Geometriai valószíűséggel köye belátható, hogy P A = P A = P A 3 =, P A A = P A A 3 = P A A 3 = 4, vagyis a három eseméy párokét függetle. Azoba P A A A 3 = 0, ami folytá az {A, A, A 3 } eseméyredszer em teljese függetle..6. Tétel. Ha az Ω, A, P valószíűségi mezőbeli A, B A eseméyek függetleek, akkor az A és a B elletett eseméy is függetle. Bizoyítás. Tudjuk, hogy A = A B A B, ahol az A B és A B eseméyek egymást kizárják. Így P A B = P A P A B = P A P A P B = P A P B = P A P B, vagyis az A és a B elletett eseméy is függetle. 9

27 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 0 #6. A VALÓSZíNŰSÉG-SZÁMíTÁS ALAPJAI.4. Következméy. Az.6. állítás azoali következméyei:. ha az Ω, A, P valószíűségi mezőbeli A, B A eseméyek függetleek, akkor az { A, B } és a { A, B } eseméypárok is függetleek;. még általáosabba, ha az {A i } i= A eseméyredszer teljese függetle, akkor az { A i } i= A eseméyredszer is az..3. Valószíűségi modellek A valószíűség-számításba sokszor tapasztaljuk majd, hogy egyes kísérletek és azok kimeetelei ugyaazt a mitát követik, így viselkedésük alapjá osztályozhatjuk is őket. Mide ilye osztályt valószíűségi modellek evezük, és közülük csak a legfotosabbakat soroljuk fel ebbe a szakaszba. Ahhoz, hogy egy kísérlet lehetséges kimeeteleit taulmáyozhassuk, az adott kísérletet többször is el kell végezzük, mitha a kísérletet egy dobozak fogák fel, amelybe egyforma méretű, de külöböző szíű és számú golyók csoportosításai feleléek meg a lehetséges kimeetelekek. Ezért a kísérlet elvégzését mitavételezési folyamatak is elképzelhetjük, és aak függvéyébe, hogy hogya járuk el a golyók egymástól függetle és véletleszerű kiválasztásakor, beszélhetük visszatevéses, illetve visszatevés élküli valószíűségi modellekről..3.. Beroulli-modell Akkor haszáljuk ezt a valószíűségi modellt, ha a kísérlet végrehajtásai teljesítik az alábbi feltételeket: egymástól függetleek; a kísérlethez tartozó eseméy csak a bekövetkezik, illetve a em valósul meg lehetséges kimeetelekkel redelkezik; mide egyes kísérlet végrehajtásakor a taulmáyozott eseméy álladó p 0, valószíűséggel következik be. Az ilye feltételű végrehajtásokat másképpe próbálkozásokat Beroulli-típusúakak evezzük..3.. Visszatevéses biomiális modell Ha egy kísérlet sorá azt taulmáyozzuk, hogy darab Beroulli-típusú próbálkozás sorá egy álladó p 0, valószíűségi eseméy milye valószíűséggel következik be potosa k {0,,..., } alkalommal, akkor egyállapotú visszatevéses biomiális modellről vagy rövide biomiális modellről beszélük..7. Tétel Biomiális modell. Az, p-paraméterezésű biomiális modellbe tesztelt eseméy az kísérlet sorá k {0,,..., } alkalommal valószíűséggel következik be. 0 P, k = p k p k k.8

28 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page #7.3. VALÓSZíNŰSÉGI MODELLEK Bizoyítás. Tekitsük mide kísérlet eseté az A i = a vizsgált eseméy bekövetkezett, és A i = a vizsgált eseméy em valósult meg elletett eseméyeket, ahol i =,,...,. Ekkor a biomiális modellbeli feltételt a B,k = i<i <...<i k Ai A i... A ik A A ik+ i... A k+ i alakba írhatjuk, ahol mide pillaatyilag rögzített i, i,..., i k idexre teljesül az i k+, i k+,..., i {,,..., } \ {i, i,..., i k } feltétel. Vegyük észre, hogy a B,k eseméyt egymást kölcsöese kizáró eseméyek egyesítésekét írtuk fel! Figyelembe véve az {A j } j= eseméyek függetleeségét is, következik, hogy P, k = P B,k = = = i <i <...<i k i <i <...<i k p k p k, k ami befejezi a tétel bizoyítását. P A i A i... A ik A ik+ A ik+... A i p k p k.8. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy az.8-as valószíűség a px + p = P, k x k biomiális kifejtésbe az x k moom együtthatójával egyezik meg! Következésképpe, az x = értékre a P, k azoosságot kapjuk. k=0 k= Többállapotú biomiális modell Az egyállapotú visszatevéses biomiális modellt általáosíthatjuk is. Eek érdekébe tekitsük egy adott kísérletek darab egymástól függetle elvégzését úgy, hogy mide egyes kísérlet sorá a vizsgált eseméyek r darab a teljes eseméytérek egy felbotását meghatározó álladó valószíűségű lehetséges kimeetele va. Jelölje p, p,..., p r a lehetséges K, K,..., K r kimeetelek bekövetkezési valószíűségét! A feltételeik alapjá ekkor r i= p i. Ha azt vizsgáljuk, hogy az darab kísérlet elvégzése sorá milye valószíűséggel következett be az i-edik lehetséges kimeetel potosa i -szer ahol i 0 és r i= i, akkor a többállapotú visszatevéses biomiális modellhez jutuk.

29 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page #8. A VALÓSZíNŰSÉG-SZÁMíTÁS ALAPJAI.8. Tétel Többállapotú biomiális modell. Az, p, p,..., p r -paraméterezésű többállapotú biomiális modellbe vizsgált r darab lehetséges {K i } r i= kimeetel az kísérlet sorá P,,,..., r =!!!... r! p p... pr r valószíűséggel következik be redre,,..., r -szer, feltéve, hogy i 0 és r i= i..9 Bizoyítás. A tétel bizoyítása aalóg az.7. tétel igazolásával, ezért eek elvégzését kitűzött feladatkét az olvasóra bízzuk..9. Megjegyzés. Az.9-es képletbeli valószíűséget a p x + p x p r x r = P,,,..., r x x... xr r,,..., r I multiomiális kifejtésbe az x x... xr r poliom együtthatójával azoosíthatjuk, ahol { } r I = 0 i, i =,,..., r : i =. Ezért az x = x =... = x r = behelyettesítési értékekre a P,,,..., r összefüggést kapjuk.,,..., r I.3.4. Hipergeometrikus modell Az egyállapotú biomiális modell visszatevés élküli változatát hipergeometrikus modellek evezzük. Ezek szerit egy kísérletet -szer hajtuk végre egymástól függetleül, viszot mide egyes kísérlet sorá a vizsgált eseméy bekövetkezési valószíűsége már em álladó. A modell megértéséhez tegyük fel, hogy egy N elemű halmazba M N darab kitütetett elemük va. Ekkor a hipergeometrikus valószíűségi modell szemléletese a következő kérdésre ad választ: mi aak a valószíűsége, hogy visszatevés élkül elemet kiválasztva potosa k darab kitütetett elem jeleik meg? Például milye valószíűséggel lesz ötös találatuk a lottó, tudva, hogy 90 lehetséges számból számukra csak 5 kitütetett/kedvező va? Nyilvá a kérdés érvéyességéhez a feltételek kell teljesülie. i= max {0, N + M} k mi {, M}.9. Tétel Hipergeometrikus modell. Az N, M, -paraméterezésű hipergeometrikus valószíűségi modellbe megfogalmazott kérdésre a választ a M N M k k P N, M,, k = N.0 valószíűség adja. Bizoyítás. Tekitsük mide kísérlet eseté az A i = kitütetett elemet választottuk ki,

30 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 3 #9.3. VALÓSZíNŰSÉGI MODELLEK és A i = számukra érdektele elemet választottuk elletett eseméyeket, ahol i =,,...,. Ekkor a hipergeometrikus modellbeli feltételt a B,k = i<i <...<i k Ai A i... A ik A A ik+ i... A k+ i alakba írhatjuk, ahol mide pillaatyilag rögzített i, i,..., i k idexre teljesül az i k+, i k+,..., i {,,..., } \ {i, i,..., i k } feltétel. Vegyük észre, hogy a B,k eseméyt egymást kölcsöese kizáró eseméyek egyesítésekét írtuk fel, viszot a visszatevéses biomiális modellel szembe itt az {A i } i= eseméyek már em függetleek. Ez em jelet godot, hisze midegyik eseméy valószíűsége az A i A i... A ik A ik+ A ik+... A i eseméyével egyezik meg. Így A A... A k A k+ A k+... A P N, M,, k = P B,k = P A A... A k A k+ A k+... A, k ahol a feltételes valószíűség képletét haszálhatjuk a továbbiakba: P A A... A k A k+ A k+... A = P A P A A... P A k k i= A i P A k+ k i= A i P Ak+ k i= A i A k+... P A k i= A i j=k+ A j = M N = M N... M k + N k + N M N M N k N k... N M + k + N + M! M k! N M! N M +k! N! N!. Végezetül pedig a P N, M,, k = k M! M k!! = k! k! M N M k k = N N M! N M +k! N! N! M! M k! N M! N M +k! N! N! képletet kapjuk, amit igazoli kellett..0. Megjegyzés. Az.9. tétel igazolásához a valószíűség axiomatikus értelmezését haszáltuk fel. Megjegyezzük, hogy a valószíűség klasszikus értelmezését haszálva sokkal egyszerűbb úto lehetett vola az.0-es eredméyre juti. Eek megvalósítását az olvasóra bízzuk! 3

31 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 4 #30. A VALÓSZíNŰSÉG-SZÁMíTÁS ALAPJAI.. Megjegyzés. Mivel az.9. tétel bizoyításába megszerkesztett {B,k } k=0 eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, következik, hogy M N M k k P N, M,, k = N =, k=0 k=0 vagy másképpe k=0 M k N M = k N Többállapotú hipergeometrikus modell Az egyszerű hipergeometrikus valószíűségi modellt a következőképpe általáosíthatjuk. Egy N elemű halmazba r {,,..., N} darab kitütetett részhalmaz va. Ha M i az i-edik részhalmaz i =,,..., r számosságát jelöli, akkor N = r i= M i. Egyekét, visszatevés élkül és egymástól függetleül {0,,..., N} darab elemet választuk ki. Ha arra vagyuk kívácsiak, hogy az darab mita kiválasztása sorá milye valószíűséggel kaptuk k, k,..., k r darab reprezetást az {M i } r i= kitütetett halmazokból 0 k i M i, i =,,..., r, r i= k i, akkor az általáos, többállapotú hipergeometrikus valószíűségi modellhez jutuk..0. Tétel Többállapotú hipergeometrikus modell. A többállapotú hipergeometrikus modellbe megfogalmazott eseméy valószíűségét a képlet adja. P N, {M i } r i=,, {k i} r i= = N Bizoyítás. A kijeletést az.9. tétel bizoyításához hasolóa igazolhatjuk. E feladat elvégzését szité az olvasóra bízzuk. r i= Mi k i.. Megjegyzés. Ha { K N,{Mi} r i=, = {k i } r i= : 0 k i M i, i =,,..., r; r k i = ; i= } r M i = N, i= akkor a teljes valószíűség tétele alapjá a azoosságot kapjuk. {k i} r i= K N,{M i } r i=, P N, {M i } r i=,, {k i} r i=.3.6. Poisso-féle valószíűségi modell A Poisso valószíűségi modell úgy általáosítja a visszatevéses biomiális modellt, hogy a kísérletek sorá tesztelt eseméy bekövetkezési valószíűségét em tekiti álladó paraméterek. Tegyük fel, hogy függetle kísérlet elvégzése sorá egy adott eseméy valószíűsége kísérletről kísérletre a p, p,..., p 0, értékeket veszi fel. Ha a visszatevéses biomiális modellhez hasolóa most is arra vagyuk kívácsiak, hogy az kísérlet sorá az adott eseméy milye valószíűséggel következett be potosa k {0,,..., } alkalommal, akkor a Poisso-féle valószíűségi modellről beszélük. 4

32 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 5 #3.3. VALÓSZíNŰSÉGI MODELLEK.. Tétel Poisso-féle valószíűségi modell. Az, {p i } i= -paraméterezésű Poisso valószíűségi modellt jellemző valószíűségi értékeket a P, {p i } i=, k = k p ij {i r} r= I k j= l=k+ p il, k = 0,,...,. képletek adják, ahol I k = {{i r } r= : i < i <... < i k ; i k+, i k+,..., i {,,..., } \ {i, i,..., i k }}. Bizoyítás. Tekitsük mide kísérlet eseté az A i = a vizsgált eseméy bekövetkezett, és A i = a vizsgált eseméy em valósult meg elletett eseméyeket, ahol i =,,...,. Ekkor a Poisso-féle modellek megfelelő eseméyt a B,k = {ir} r= I k Ai A i... A ik A ik+ A i k+... A i alakba írhatjuk. Vegyük észre, hogy a B,k eseméyt egymást kölcsöese kizáró eseméyek egyesítésekét állítottuk elő, valamit, hogy az {A i } i= eseméyek függetleek! Így a P, {p i } i=, k = P B,k = P A i A i... A ik A ik+ A ik+... A i = {i r} r= I k {i r} r= I k p i p i... p ik p ik+ pik+... pi igazoladó kifejezést kapjuk mide k = 0,,..., értékre..3. Megjegyzés. Az.-es valószíűségeket előállíthatjuk a p i x + q i = i= k=0 P, {p i } i=, k xk poliomba szereplő x k moomok együtthatójakét is, ahol a q i = p i jelölést haszáltuk. Következésképpe az x = behelyettesítési értékre a P, {p i } i=, k k=0 azoosságot kapjuk, amit beláthatuk az.. tétel bizoyításába megszerkesztett {B,k } k=0 teljes eseméyredszer alapjá is..4. Megjegyzés. Ha az, {p i } i= -paraméterezésű Poisso valószíűségi modellbe p i = p bármely i =,,..., eseté, akkor a klasszikus visszatevéses, egyállapotú biomiális modellt kapjuk vissza. 5

33 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 6 #3. A VALÓSZíNŰSÉG-SZÁMíTÁS ALAPJAI.3.7. Pascal-féle vagy egatív biomiális modell Ez a modell két dologba is eltér az eddig bemutatott valószíűségi modellektől. Először is emcsak a kísérletsorozatba tesztelt eseméy bekövetkezéseiek és meghiúsulásaiak számára vagyuk kívácsiak, haem ezek sorrediségére is, másrészt pedig ez a modell megszámlálhatóa végtele kísérletsorozatot feltételez az eddigi végesekkel szembe. Egy megszámlálhatóa végetele kísérletsorozat mide egyes lépésébe függetleül vizsgált eseméy álladó p 0, valószíűséggel következik be. Ameyibe arra vagyuk kívácsiak, hogy milye valószíűséggel törtéik az adott eseméy -edik bekövetkezése csak a k-adik meghiúsulás utá, akkor Pascal-féle vagy egatív biomiális modellről beszélük, k N... Tétel Pascal-féle vagy egatív biomiális modell. Az, k, p-paraméterezésű Pascalféle valószíűségi modellek megfelelő valószíűségeket a + k P, k = p p k, k 0 k. képletek adják. Bizoyítás. Tekitsük az és a A,k = a vizsgált eseméy alkalommal következett be + k kísérlet alatt, B,k = a vizsgált eseméy az + k -adik kísérlet elvégzésekor bekövetkezik C,k = a vizsgált eseméy -edik alkalommal az + k -adik kísérlet sorá következik be eseméyeket. Ekkor C,k = A,k B,k jelöli a Pascal-féle modellek megfelelő eseméyt. Az A,k és B,k eseméyek függetlesége folytá a P, k = P C,k = P A,k P B,k egyelőséget kapjuk, ahol a P A,k valószíűség kiszámítására az + k, -paraméterezésű visszatevéses biomiális modellt alkalmazhatjuk, és P B,k = p a tétel feltétele alapjá. Így a keresett valószíűségre a + k P, k = p p k p = + k k p p k, k 0 igazoladó kifejezést kapjuk, ahol felhaszáltuk a biomiális együtthatók szimmetriatulajdoságát is..5. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy az.-es valószíűségek a p = p qx = qx P, k x k, qx < sorbafejtésbe szereplő x k moomok együtthatójával egyezek meg, ahol q = p. Ezért hivatkozuk a Pascal-féle modellre úgy is, mit a egatív biomiális valószíűségi modellre. Sajátosa, az x = behelyettesítésre az elvárt P, k azoosságot kapjuk. k=0 k=0 6

34 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 7 #33.4. KITŰZÖTT FELADATOK.3.8. Geometriai modell Ha az, k, p-paraméterezésű Pascal-féle modellbe az = sajátságos beállítással élük, akkor az úgyevezett geometriai valószíűségi modellhez jutuk. Ezért ezt a modellt akkor alkalmazzuk, amikor megszámlálhatóa végtele és függetle kísérletsorozat eseté arra vagyuk kívácsiak, hogy adott p 0, álladó valószíűségű eseméy első bekövetkezése csak a k + -edik kísérletbe törtéje meg k Kitűzött feladatok Az alábbi feladatokat egyrészt elméleti úto, másrészt valamilye programozási yelvbe, vagy matematikai szoftvercsomagba írt a teljes eseméyteret meghatározó elemek agyszámú mitavételezésé alapuló szimulációval is kötelező megoldai! Nyilvá a szimuláció alapuló megoldások csak közelítei fogják az elméleti úto meghatározott valószíűségi értékeket. Ahol csak lehetséges, ábrázoljátok grafikusa a vizsgált eseméyhez tartozó teljes eseméyteret, illetve a kedvező elemi eseméyek halmazát! Ugyaakkor aimáljátok is a szimuláció egyes lépéseihez tartozó jeleségeket, valamit a közelített számértékeket! Ha egy feladat több paramétertől is függ, akkor ezeket soroljátok fel a szimulációt meghívó függvéyek paraméterlistájába!.0. Feladat. Írjatok egy-egy szimulációt a megoldott.4. feladatba tárgyalt Bertrad-féle paradoxo midhárom esetére!.. Feladat. A megoldott.7. feladat alapjá tervezzetek egy véletleszerű mitavételezése alapuló algoritmust a π számjegyeiek megközelítésére!.. Feladat. Írjatok egy szimulációt a megoldott.5. feladatbeli eseméy valószíűségéek meghatározására!.3. Feladat. Két személy találkát beszél meg a [0, T ] időitervallumba, ahol T > 0. Milye valószíűséggel vár legfeljebb t 0, T ] ideig az egyik személy a másikra?.4. Feladat. Egy egységyi hosszúságú szakaszt két kisebbre osztuk egy találomra választott pottal. Milye valószíűséggel lesz a keletkezett szakaszok egyike egy egyelőszárú háromszög alapja, míg a másik az alaphoz tartozó szög szögfelezője?.5. Feladat. Egy d > 0 oldalhosszúságú égyzet belsejébe találomra felvesszük az M potot. Ha a égyzet sarkait összekötjük ezzel a pottal, akkor égy M-csúcspotú szöget alkothatuk. Milye valószíűséggel lesz e égy szög közül csak az egyik tompaszög? Azt is kérdezheték, hogy milye valószíűséggel ézük az M potból csak az egyik oldalra tompaszög alatt..6. Feladat. Egy d > 0 oldalhosszúságú, órajárással megegyező iráyba iráyított égyzet belsejébe találomra felvesszük az M potot. Ha az M potot összekötjük az egyik oldalél, illetve az azt követő oldalél végpotjaival, akkor két M-csúcspotú szöget alkothatuk. Milye valószíűséggel lesz midkét szög hegyesszög?azt is kérdezheték, hogy milye valószíűséggel ézük az M potból midkét rögzített oldalra hegyesszög alatt..7. Feladat. Mi aak a valószíűsége, hogy egy szabályos háromszög belsejébe felvett véletleszerű pot és az alap hegyesszögű háromszöget határoz meg?.8. Feladat. Egy dobozba darab, -től -ig sorszámozott golyó va. Visszatevés élkül kivesszük az összes golyót. Milye valószíűséggel vesszük ki legalább az egyik golyót ayiadik húzásra, mit ameyi a sorszáma?.9. Feladat. Egy dobozba darab, -től -ig sorszámozott golyó va. Visszatevés élkül egyekét vesszük ki a golyókat. Milye valószíűséggel egyezik meg az első k {,,..., } darab kihúzott golyó sorszáma a húzásáak sorszámával? 7

35 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 8 #34. A VALÓSZíNŰSÉG-SZÁMíTÁS ALAPJAI.0. Feladat. Egy kétszemélyes dobókockás játékba az a fél yer, aki elsőkét dob hatost. Számítsátok ki a játékosok yerési valószíűségeit. Átlagosa háy dobásig tart a játék?.. Feladat. Adott egy doboz p darab piros és k darab kék golyóval. Egy kétszemélyes játék sorá a játékosok felváltva, visszatevéssel húzak. Az a játékos yer, aki először húz piros szíű golyót. Határozzátok meg midkét játékos yerési valószíűségét! Várhatóa háy lépésig tart egy-egy játszma? Mi törtéik akkor, ha a játszmát kezdő félek a győzelméhez kétszer kell húzia piros golyót, míg az őt követő játékosak továbbra is elég egyetle piros golyó a yeréshez?.. Feladat. Egy kétszemélyes játszma sorá egy szabályos érmét felváltva dobak fel úgy, hogy az aktuális dobássorozatak midig csak az utolsó három értékét veszik figyelembe. Az első játékos akkor yer, ha az utolsó három dobás írás, írás, írás, a második játékos pedig akkor győz, ha az utolsó három dobás írás, fej, írás volt. Például az írás, fej, fej, írás, írás, írás játékot az első játékos yeri a hatodik dobás sorá, míg a fej, fej, fej, írás, írás, fej, írás dobássorozatot a második játékos yeri a hetedik lépésbe. Melyik fél számára kedvezőbb a játszma, és várhatóa háy lépésbe fejeződik be egy játék?.3. Feladat. Egy szabályos pézérmét alkalommal feldobva, mi aak a valószíűsége, hogy a fej megjeleéseiek száma 3-ak többszöröse?.4. Feladat. Milye valószíűséggel végződik egy találomra választott természetes szám köbe -re?.5. Feladat. Mekkora valószíűséggel egyezik meg egy [0,] itervallumból véletleszerűe kiragadott valós szám égyzetgyökéek második tizedese a rögzített k {0,,...,9} számmal?.6. Feladat. Egy 00 alkatrészt tartalmazó mitából 6 javítható, 4 selejtes, a többi jó. Ha 0 darabot találomra kiválasztuk, milye valószíűséggel kaptuk 7 jó, javítható és selejtes alaktrészt?.7. Feladat. Négy céllövő közül az első 3, a második 3 4, a harmadik 4 5 és a egyedik 5 6 valószíűséggel találja el a céltáblát. Ha mid a égye próbálkozak, milye valószíűséggel éri a céltáblát csak három találat?.8. Feladat. Egy 8 tagú céllövő csapatból, öte 4 5, hete 7 0, égye 3 5, és kette valószíűséggel találják el a céltáblát. Csak ayit tuduk, hogy az egyik céllövő em találta el a céltáblát. Melyik alcsoportba tartozik a legagyobb valószíűséggel ez a céllövő?.9. Feladat. Egy üzembe égy külöböző típusú automata gép gyártja ugyaazt a terméket. Az első a termelés 0%-át, a második a 5%-át, a harmadik ugyacsak a 5%-át, és a egyedik a 30%-át adja. Az első gép selejtszázaléka %, a másodiké,5%, a harmadiké,5%, a egyediké pedig %. Mekkora a valószíűsége aak, hogy a api termelésből találomra kivett termék selejtes lesz?.30. Feladat. Az.9. feladat feltételei mellett a api termelésből találomra kiválasztuk egy terméket, és azt tapasztaljuk, hogy az selejtes. Milye valószíűséggel gyártotta a megvizsgált terméket a egyedik gép?.3. Feladat. Egy szabályos dobókockát 5 alkalommal gurítuk el. Milye valószíűséggel kapuk három alkalommal 6-ost? Mekkora valószíűséggel kapuk legalább két páros értéket a dobások sorá?.3. Feladat. Egy szabályos dobókockát 5 alkalommal gurítuk el. Milye valószíűséggel alakul úgy a dobássorozat, hogy a 6-os érték 3 alkalommal, a {,3,5} értékek valamelyike pedig 8 alkalommal jeleik meg? 8

36 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 9 #35.4. KITŰZÖTT FELADATOK.33. Feladat. A valószíűség-számítás előadást látogató hallgatók csoportjába összese 5 fiú és 0 láy va. Az előadást vezető taár 0 diákot választ ki véletleszerűe egy feladat megoldására. Milye valószíűséggel lesz az így kialakult alcsoportba ugyaayi fiú, mit láy? Ugyailye feltételek mellett mekkora valószíűséggel kerül legalább egy láy a 0 fős alcsoportba?.34. Feladat. A valószíűség-számítás szóbeli vizsgá lehetséges tételt állítaak ki, mert eyi a vizsgára jogosult hallgató száma. Az tétel közül csak m darab kedvez a k-adik diákak. Milye valószíűséggel vizsgázik sikerese a k-adik diák, ha az előtte kihúzott tételeket em teszik vissza?.35. Feladat. Egy kísérlet ismétlése sorá egy bizoyos eseméy midig p > 0 valószíűséggel fordul elő. Milye valószíűséggel lesz kísérlet sorá az adott eseméy előfordulásaiak száma páros?.36. Feladat. Egy szegéy és egy módosabb diák a következőképpe készül valószíűség-számítás vizsgára. A szegéy diákak kezdetbe k = 0, míg a gazdagabbak l k = 80 tallérja va tehát összese l = 00 tallérjuk va. Egy végtele sok feladatot tartalmazó példatár feladataiak megoldását tűzik ki maguk elé, majd sorra veszik a feladatokat és egymástól függetleül, egyszerre próbálják megoldai azokat. Egy adott feladat megoldása sorá valamelyik diák midig veszít, vagy yer egy tallért aak függvéyébe, hogy kiek sikerült a feladatot hamarabb megoldaia. A taulást yilvá addig folytatják, amíg valamelyik diák mide pézét elveszíti. Milye valószíűséggel veszíti el az összes pézét a szegéyebb diák, ha p = 3 valószíűséggel hamarabb támad ötlete egy-egy feladat megoldására, mit vetélytársáak?.37. Feladat. A számegyees origójából kiidulva egy részecske mide lépésél egyelő valószíűséggel haladhat egy egységyi távolságra akár balra, akár jobbra. Mekkora a valószíűsége aak, hogy lépés utá 0 k egységyi távolságra lesz az origótól? Mi törtéik, ha a részecske em a számegyeese, haem az egész koordiátájú rácshálóval lefedett számsíko bolyog úgy, hogy mide lépéséél egyelő eséllyel mehet bármelyik szomszédos rácspotba? Potosabba fogalmazva, milye valószíűséggel érkezik a bolyogó részecske az origóból kiidulva lépés utá a k, l Z Z koordiátájú rácspotba, ahol k + l? 9

37 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 30 #36

38 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 3 #37. Valószíűségi változók és vektorok Ebbe a fejezetbe olya kísérleteket taulmáyozuk, amelyek elemi eseméyeit lehetséges kimeeteleit számszerűe jellemezhetjük. Szabályos dobókockával játszva például az elemi eseméyek az,,3,4,5,6 számokak felelek meg, ha pedig céltáblára lövük, a lehetséges becsapódási potok olya elemi eseméyeket reprezetálak, amelyeket szité számokkal írhatuk le: az egyes találatokat értékelhetjük aszerit, hogy a becsapódási pot a céltábla közepé levő kis körbe, vagy redre a körülötte levő egyes körgyűrűkbe, illetve a legkülső körö kívűl esik. Továbbá, ha egy bizoyos terméket valamely automatizált gép sorozatba gyárt, a termék szabváy szerit előírt mérete az előírt tűréshatárok között azaz egy adott itervallumba tetszőlegese változhat, ezért egy többtételes gyártási folyamatot kísérletek foghatuk fel, amely lehetséges eredméyeit számszerűe jellemezhetük a gyártási folyamat sorá létrejött termékek méretével. Általába elmodhatjuk tehát, hogy lehetőségük va bármely véletle kísérlet elemi eseméyeihez bizoyos számértékeket redeli, azaz bármely véletle kísérlet eseméyteré értelmezhetük egy vagy több valós függvéyt. Az így értelmezett függvéyek értékei az őket meghatározó elemi eseméyeke keresztül a véletletől függek, ezért ezeket a függvéyeket valószíűségi változókak is evezzük. Potos értelmezésükhöz viszot szükségük va az előző fejezetbe ismertetett eseméyalgebra, eseméymező és valószíűség-számítás alapvető fogalmaira... Valószíűségi változók és vektorok tulajdoságai Az itt ismertetedő tulajdoságok, összefüggések és tételek elegedhetetleek leszek a következő fejezetbe tárgyaladó külöböző típusú véletleszám-geerátorok megtervezéséhez, illetve a kitűzött laborfeladatok megoldásához... Értelmezés Valószíűségi változó. Az Ω, A eseméymező értelmezett X : Ω R leképezést valószíűségi változóak evezzük, ha x R eseté teljesül az tulajdoság. X x = {ω Ω : Xω = x} A.. Értelmezés Valószíűségi vektor. Az Ω, A eseméymező értelmezett X X, X,..., X : Ω R 3

39 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 3 #38. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK leképezést valószíűségi vektorak evezzük, ha x, x,..., x R eseté teljesül az X x, x,..., x A tulajdoság. Az természetes számot pedig a valószíűségi vektor dimeziójáak evezzük..3. Értelmezés Valószíűségi változó eloszlásfüggvéye. Tekitsük az Ω, A, P valószíűségi mező értelmezett X : Ω R valószíűségi változót! Ekkor az { FX : R R, F X x = P X < x leképezést az X valószíűségi változó eloszlásfüggvéyéek evezzük.... Tétel Eloszlásfüggvéyek tulajdoságai. Az Ω, A, P valószíűségi mező értelmezett X : Ω R valószíűségi változóhoz tartozó F X : R R eloszlásfüggvéyre teljesülek az alábbi tulajdoságok:. mide a < b valós számra teljesül a P a X < b = F X b F X a egyelőség;. az F X mooto övekvő, azaz mide a < b valós számra teljesül az F X a F X b egyelőtleség; 3. az F X függvéy balról folytoos, azaz mide x R érték eseté igaz a határérték; lim F X y = F X x 0 = F X x y x 4. teljesülek a lim x F X x = 0 és a lim x F X x = egyelőségek; 5. mide x R eseté igazak a egyelőségek; P X x = F X x + 0 = lim y x F X y, P X = x = F X x + 0 F X x 6. az F X függvéy szakadáspotjaiak halmaza legfeljebb megszámlálhatóa végtele. Bizoyítás. Az. állítás igazolásához vegyük észre, hogy mide a < b valós számra az X < a eseméy implikálja az X < b eseméyt. Ezért a keresett valószíűségre a P a X < b = P X < b X < a = P X < b X < a = P X < b P X < a = F X b F X a bizoyítadó kifejezést kapjuk. Ha a < b, akkor az. pot alapjá F X b F X a = P a X < b 0, ami miatt F X a F X b, azaz a. állításba megfogalmazott mooto övekedést is beláttuk. A 3. kijeletés eseté rögzítsük egy x R potot, majd tekitsük olya {x } 0 R mooto övekvő sorozatot, amely alulról kovergál az előbb választott x értékhez, azaz x x, amikor. Az így megszerkesztett sorozat alapjá az A + A, 0 implikációt teljesítő 3 {A } 0 = {x X < x} 0

40 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 33 #39.. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK TULAJDONSÁGAI eseméysorozatot is felépíthetjük, amelyre egyrészt a másrészt a lim P A = P 0 A = P = 0, lim P A = lim P x X < x = lim F X x F X x = F X x F X x 0 egyelőség is teljesül. Tehát a 3. állítást is igazoltuk. A 4. kijeletés bizoyításához tekitsük egy övekvő és diverges {x } 0 R sorozatot, azaz x x + és lim x =. Eek a sorozatak a segítségével az A A +, 0 implikációt teljesítő {A } 0 = {X < x } 0 eseméysorozatot származtathatjuk. Ekkor egyrészt a másrészt a lim P A = P 0 A = P Ω =, lim P A = lim P X < x = lim F X x = lim F X x x határértéket kapjuk. A lim F X x = 0 határértéket egy alkalmasa megszerkesztett csökkeő x diverges sorozat segítségével láthatjuk be. Összegezve a fetieket, a 4. állítás igazolását befejeztük. Az 5. kijeletés bizoyításához rögzítsük egy tetszőleges x R valós számot, majd eek segítségével szerkesszük meg az A + A, 0 implikációt teljesítő { {A } 0 = X < x + } eseméysorozatot. Ekkor az X x eseméy valószíűségére a P X x = P 0 A = lim P A = lim P X < x + = lim F X igazoladó kifejezést kapjuk. Az állítás második részét az eseméyel láthatjuk be, hisze erre a 0 X = x = X x X < x x + = F X x + 0 P X = x = P X x P X < x = F X x + 0 F X x valószíűséget kapjuk. A végső állítás bizoyításához előbb vegyük figyelembe az eddig igazolt., 3. és 4. tulajdoságok alapjá, hogy F X x [0,], x R és F X mooto övekvő, majd taulmáyozzuk az F X eloszlásfüggvéy szakadáspotjai közti függőleges távolság lehetséges agyságát. Azt tapasztaljuk, hogy az F X leképezések legtöbb = darab -él agyobb szakadása, legfeljebb 3 = darab -él agyobb szakadása, és általába maximálisa darab -él hosszabb szakadása lehet csak, máskülöbe az F X x függvéyérték kilépe a [0,] itervallumból, ahogy x. Mivel az F X bármilye agyságú szakadása a felsorolt lehetőségek közül kerülhet ki, következik, hogy az F X szakadásaiak száma legfeljebb lehet, ami megszámlálhatóa végtele. 0 Nyilvá a.3. értelmezésbeli eloszlásfüggvéy fogalmát általáosíthatjuk valószíűségi vektorokra is. 33

41 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 34 #40. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK.4. Értelmezés Valószíűségi vektor együttes eloszlásfüggvéye. Ha X X, X,..., X : Ω R az Ω, A, P valószíűségi mező értelmezett valószíűségi vektor, akkor az { FX : R R, F X x, x,..., x = P X < x, X < x,..., X < x. többváltozós leképezést az X valószíűségi vektor együttes eloszlásfüggvéyéek evezzük. A továbbiakba külöbséget teszük a valószíűségi változók/vektorok között aszerit, hogy értékeiket egy legfeljebb megszámlálható, vagy kotiuum számosságú halmazból veszik fel. Ezek alapjá a valószíűségi változókat/vektorokat diszkrét, illetve folytoos csoportokba sorolhatjuk.... Diszkrét valószíűségi változók és vektorok Ebbe a potba a véges, vagy megszámlálhatóa végtele értékkészletű valószíűségi változók és vektorok legfotosabb tulajdoságait soroljuk fel..5. Értelmezés Diszkrét valószíűségi változó. Az Ω, A eseméymező értelmezett o- lya X valószíűségi változót, amely legfeljebb megszámlálhatóa végtele értéket vesz fel, diszkrét valószíűségi változóak evezük..6. Értelmezés Diszkrét valószíűségi változó eloszlása és relatív gyakoriság függvéye. Az Ω, A, P valószíűségi mező értelmezett X diszkrét valószíűségi változó eloszlásá az xi X p i.3 táblázatot értjük, ahol: I vagy véges, vagy megszámlálhatóa végtele idexhalmaz utóbbi esetbe I = N; az {x i } i I halmaz az X valószíűségi változó értékkészletéek felel meg; a p i = P X = x i valószíűség az x i érték relatív gyakoriságát megjeleési valószíűségét i I jelöli és az { fx : {x i : i I} {p i : i I}, f X x i = p i leképezést az X változó relatív gyakoriság függvéyéek evezzük..4.. Következméy. A teljes eseméyredszer fogalma alapjá vegyük észre, hogy a.6. értelmezésbe megjeleő.3-as diszkrét valószíűségi változó eseté p i = f X x i. i I i I.7. Értelmezés Diszkrét valószíűségi változó eloszlásfüggvéye. A.3-as diszkrét valószíűségi változóhoz társított F X x = P X < x [0,], x {x i } i I leképezést eloszlásfüggvéyek, vagy relatív kumulatív összegzett gyakoriság függvéyek evezzük. 34

42 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 35 #4.. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK TULAJDONSÁGAI.. Következméy. Figyelembe véve, hogy a.3-as diszkrét valószíűségi változó eseté az {X = x i } i I eseméyek egy teljes eseméyredszert határozak meg azaz az X = x i eseméyek i I párokét kizáróak és egyesítésük a biztos eseméyt eredméyezi, következik, hogy F X x i = P X < x i = P j Ji X = x j = j J i P X = x j = j J i f X x j, ahol J i = {j I : x j < x i }. Ameyibe az {x i } i I halmaz elemei övekvőe redezettek is, az eloszlásfüggvéyre az F X x i = j I: j<i P X = x j = j I: j<i f X x j egyszerűbb kifejezést kapjuk. A továbbiakba bármely diszkrét valószíűségi változó értékkészletét övekvőe redezettek tekitjük... Megjegyzés MATLAB R. A Matlab R számos beépített diszkrét eloszlásfüggvéyel redelkezik, viszot ezek implemetációja a.7. értelmezés helyett az F X x = P X x, x {x i } i I képletre épül: azaz a < összehasolító műveletet a logikai operátorra cserélték le. Mivel az a céluk, hogy a saját függvéyeik által adott eredméyeket összehasolíthassuk a beépített függvéyek által geeráltakkal, a saját diszkrét eloszlásfüggvéyeik implemetációja sorá az utóbbi értelmezést haszáljuk majd mi is. A diszkrét valószíűségi változókhoz hasolóa értelmezhetjük a diszkrét valószíűségi vektorok együttes relatív gyakoriság függvéyét is..8. Értelmezés Diszkrét valószíűségi vektorok együttes relatív gyakoriság függvéye. Az xi,ji X i, i =,,...,, p i,ji j i J i diszkrét valószíűségi változókból képezett -dimeziós X X, X,..., X valószíűségi vektorhoz társított { fx : {x,j } j J {x,j } j J... {x,j } j J R, f X ξ, ξ,..., ξ = P X = ξ, X = ξ,..., X = ξ leképezést az X vektor együttes relatív gyakoriság függvéyéek evezzük. xi.9. Értelmezés Diszkrét valószíűségi változók függetlesége. Az X és az p i i I yj Y eloszlású valószíűségi változókat függetleekek evezzük, ha mide i, j I J q j j J számpár eseté teljesül az f X,Y x i, y j = f X x i f Y y j, egyelőség, ahol f X,Y az X, Y diszkrét valószíűségi vektor együttes relatív gyakoriság függvéyét jelöli. 35

43 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 36 #4. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK.0. Értelmezés Diszkrét valószíűségi változók teljes függetlesége. Az -dimeziós X X, X,..., X diszkrét valószíűségi vektor X i xi,ji p i,ji j i J i, i =,,..., eloszlású kompoeseit teljese függetleek evezzük, ha a közülük tetszőlegese kiválasztott r- elemű {X ik } r k= részhalmazra i < i <... < i r, r, teljesül az f Xi,X i,...,x ir xi,j i, x i,j i,..., x i r,j ir = r k= f Xik x ik,j ik.5 egyelőség mide {j i, j i,..., j ir } J i J i... J ir idexcsoportosításra... Tétel Diszkrét valószíűségi változók teljes függetleségéek jellemzése. A.0. értelmezésbeli -dimeziós X X, X,..., X diszkrét valószíűségi vektor akkor és csakis akkor teljese függetle, ha f X,X,...,X x,j, x,j,..., x,j = f Xk x k,jk k=.6 mide idexcsoportosításra. {j, j,..., j } J J... J Bizoyítás. A direkt állítás azoali, hisze, ha az -dimeziós X diszkrét valószíűségi vektor kompoesei teljese függetleek, akkor a.5-ös képletből az r = megválasztással az igazoladó.6-os összefüggést kapjuk. A fordított állítás eseté egyrészt a.6-os egyelőséget igazak feltételezzük, másrészt mide r-elemű {X ik } r k= részhalmaz eseté i < i <... < i r a femaradt {i r+, i r+,..., i } {,,..., } \ {i, i,..., i r } idexű kompoesek összes lehetséges értékét figyelembe kell veük. Ezért az = = = f Xi,X i,...,x ir xi,j, x i i,j,..., x i i r,j ir... f X,X,...,X x,j, x,j,..., x,j j ir+ J ir+ j i J i j ir+ J ir+ j ir+ J ir+ r k= egyelőséget kapjuk mide j ir+ J ir+... f Xik x ik,j ik j i J i k= f Xk x k,jk 36 {j i, j i,..., j ir } J i J i... J ir

44 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 37 #43.. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK TULAJDONSÁGAI idexcsoportosításra, ahol felhaszáltuk a teljes valószíűség tételéből adódó x ir+l,j ir+l, l =,,..., r j ir+l J ir+l f Xir+l azoosságokat. Tehát a.0. értelmezés alapjá az X X, X,..., X diszkrét valószíűségi vektor kompoesei teljese függetleek..3. Tétel Függetle diszkrét valószíűségi változók mérhető függvéyek általi traszformációja. Ha az {X i } i= diszkrét valószíűségi változók függetleek és a {g i : R R} i= függvéyek Borel-mérhetőek, akkor az {Y i = g i X i } i= valószíűségi változók szité függetleek. Bizoyítás. Jelölje valamit X i xi,ji p i,ji Y i yi,ki q i,ki j i J i, i =,,...,, k i K i, i =,,..., az adott diszkrét valószíűségi változók eloszlásait vegyük észre, hogy az alkalmazott traszformációk em feltétleül kölcsöese egyértelműek! Ekkor valamely i {,,..., } és k i K i idexekre az Y i = y i,ki eseméyt a g i X i = y i,ki = X i = x i,ji j i J i : g ix i,ji =y i,ki alakba írhatjuk. Figyelembe véve az {X i } i= valószíűségi vektorok függetleségét, a feti egyesített eseméyek is függetleek leszek. Diszkrét valószíűségi változókkal műveleteket is végezhetük. Érvéyes az alábbi egyszerű tulajdoság. xi.4. Tétel Műveletek diszkrét valószíűségi változókkal. Tekitsük az X és az p i i I yj Y eloszlású diszkrét valószíűségi változókat, valamit egy Borel-mérhető g : R R q j j J függvéyt. Ha a p ij = f X,Y x i, y j jelölést haszáljuk, akkor érvéyesek az alábbi kijeletések: zk. a g X traszformált valószíűségi változó eloszlású, ahol. az X + Y összeg xi + y j p ij xi y 3. az X Y szorzat j 4. az X/Y háyados idex eseté. p ij xi /y j p ij r k r k = f gx z k = i,j I J i,j I J i,j I J eloszlású; eloszlást követ; k K i I:gx i=z k p i ; eloszlású, ahol feltételeztük, hogy y j 0 bármely j J 37

45 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 38 #44. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK Ha az X és Y valószíűségi változók függetleek is, akkor a feti eloszlásokba a p ij valószíűséget a p i q j szorzatra cserélhetjük le mide i, j I J eseté. együttes Példák végett az olvasót a.. szakaszhoz iráyítjuk, ahol a legfotosabb diszkrét valószíűségi változókat és azok tulajdoságait soroltuk fel.... Folytoos valószíűségi változók és vektorok Ebbe a szakaszba olya valószíűségi változókat, illetve azokból képezett valószíűségi vektorokat taulmáyozuk, amelyek értékkészléte már kotiuum számosságú... Értelmezés Folytoos valószíűségi változó. Tekitsük az Ω, A, P valószíűségi mező értelmezett F X : R R eloszlásfüggvéyű X : Ω R valószíűségi változót! Azt modjuk, hogy az X valószíűségi változó folytoos, ha az F X eloszlásfüggvéy abszolút folytoos, azaz ha létezik egy olya f X : R R valós függvéy, amelyre feáll az egyelőség mide x R valós számra. F X x = x f X t dt.7.. Értelmezés Folytoos valószíűségi változó sűrűségfüggvéye. Ha az X valószíűségi változó folytoos, akkor a.. értelmezésbeli f X leképezést az X valószíűségi változó sűrűségfüggvéyéek evezzük..5. Tétel Sűrűségfüggvéy tulajdoságai. Adott f X sűrűségfüggvéyű és F X eloszlásfüggvéyű folytoos X valószíűségi változóra teljesülek az alábbi kijeletések:. mide x R valós számra feáll a d dx F X x = f X x azoosság;. bármely x R értékre teljesül az f X x 0 egyelőtleség; 3. érvéyes az f X t dt összefüggés; R 4. mide x R eseté P X = x = 0, másrészt tetszőleges a < b valós számokra pedig igaz a P a < X < b = P a X < b = P a X b = P a < X b = egyelőséglác. b a f X t dt Bizoyítás. Az. állítást azoal beláthatjuk a.. értelmezésbeli.7-es képletet x-szeriti differeciálásával. A. kijeletés belátásához emlékezzük a.. tétel. tulajdoságára, miszerit az F X eloszlásfüggvéy mooto övekvő, ezért deriváltja vagyis az f X sűrűségfüggvéy emegatív mide x R értékre. A 3. tulajdoság igazolásához a.. tétel 4. állítását haszálhatjuk fel: 38 R f X t dt = lim x x f X t dt = lim x F X x =. A 4. állítás első feléek bizoyításához a.. tétel 5. állítására hagyatkozuk. Ekkor ugyais P X = x = F X x + 0 F X x = F X x F X x = 0,

46 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 39 #45.. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK TULAJDONSÁGAI ahol felhaszáltuk, hogy ha az F X függvéy abszolút folytoos, akkor mide potba folytoos és ezért F X x 0 = F X x = F X x + 0. Ugyaebből az okból kifolyólag P a < X < b = P a X < b = P a X b = P a < X b, az igazoladó állítás második felére pedig a.. tétel. tulajdoságát haszálhatjuk fel, a P a X < b = F X b F X a = egyelőséget kapva. b a f X t dt f X t dt = b a f X t dt.. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy bármilye f : R R valós függvéyt, amelyre teljesülek a.5. tétel. és 3. tulajdoságai, egy folytoos valószíűségi változó sűrűségfüggvéyéek foghatjuk fel! Nyilvá az itt bevezetett fogalmakat és tulajdoságokat kiterjeszthetjük valószíűségi vektorokra is..3. Értelmezés Folytoos valószíűségi vektorok. Tekitsük az Ω, A, P valószíűségi mező értelmezett F X : R R együttes eloszlásfüggvéyű X X, X,..., X : Ω R valószíűségi vektort! Azt modjuk, hogy az X valószíűségi vektor folytoos, ha az együttes eloszlásfüggvéye abszolút folytoos, vagyis ha létezik olya f X : R R többváltozós valós értékű függvéy, amely teljesíti az F X x, x,..., x = x x x f X t, t,..., t dt dt... dt.8 egyelőséget mide x, x,..., x R potra. Ugyaekkor az f X leképezést az X vektor együttes sűrűségfüggvéyéek evezzük. Az alábbi egyszerűe igazolható tulajdoságok belátását kitűzött feladatkét az olvasóra hagyjuk..6. Tétel Együttes sűrűségfüggvéy tulajdoságai. Adott f X együttes sűrűségfüggvéyű és F X együttes eloszlásfüggvéyű X X, X,..., X valószíűségi vektorra teljesülek az alábbi kijeletések:. mide x, x,..., x R potra feáll a összefüggés; x x... x F X x, x,..., x = f X x, x,..., x. bármely x, x,..., x R potra teljesül az egyelőtleség; 3. érvéyes az azoosság; R R f X x, x,..., x 0... f X t, t,..., t dt dt... dt R 39

47 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 40 #46. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK 4. tetszőleges T R tartomáyra az X = X, X,..., X T eseméy valószíűségét a P X T =... f X t, t,..., t dt dt... dt képlettel határozhatjuk meg; T 5. az X i kompoes valószíűségi változó perem-sűrűségfüggvéyét az f Xi t =... f X t, t,..., t i, t, t i+, t dt dt... dt i dt i+... dt, t R R } R {{ R } alakba írhatjuk mide i =,,..., idex eseté. Az alábbiakba folytoos valószíűségi változók teljes függetleségét értelmezzük, illetve erre a fogalomra aduk jellemzési feltételeket..4. Értelmezés Folytoos valószíűségi változók függetlesége. Az F X és F Y eloszlásfüggvéyű X, illetve Y folytoos valószíűségi változókat függetleekek evezzük, ha bármely x, y R pot eseté teljesül az F X,Y x, y = F X x F Y y azoosság, ahol F X,Y az X, Y folytoos valószíűségi vektor együttes eloszlásfüggvéyét jelöli..5. Értelmezés Folytoos valószíűségi változók teljes függetlesége. Az {F Xi } i= eloszlásfüggvéyű {X i } i= folytoos valószíűségi változókat teljese függetleekek evezzük, ha a közülük tetszőlegese kiválasztott k-elemű { } k X részhalmazra i ij j= < i <... < i k, mide x i, x i,..., x ik R k potra feáll az F Xi,X i,...,x ik x i, x i,..., x ik = k F Xij xij összefüggés, ahol F Xi,X i,...,x ik az X i, X i,..., X ik folytoos k-dimeziós vektor együttes eloszlásfüggvéyét jelöli. Folytoos valószíűségi változók teljes függetleségét jellemezhetjük azok sűrűségfüggvéyével is. Ezzel kapcsolatosak az alábbi tulajdoságok..7. Tétel Folytoos valószíűségi változók függetleségéek jellemzése sűrűségfüggvéyekkel. Az f X és f Y sűrűségfüggvéyű X, illetve Y folytoos valószíűségi változók potosa akkor függetleek, ha az X, Y folytoos valószíűségi vektor együttes sűrűségfüggvéye a kompoesváltozók sűrűségfüggvéyeiek szorzatával egyelő, vagyis, ha majdem mide x, y R potra feáll az f X,Y x, y = f X x f Y y egyelőség. Bizoyítás. A feltétel szükségessége az 40 j= F X,Y x, y = F X x F Y y, x, y R

48 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 4 #47.. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK TULAJDONSÁGAI függetleségi feltételek az x- és y-szeriti parciális deriválásából következik: f X,Y x, y = x y F X,Y x, y = x F X x y F Y y = f X x f Y y, majdem mide x, y R potra. A feltétel elégséges is, mert a fordított állítást feltételezve, az x y x y F X,Y x, y = f X,Y x, y dxdy = f X x dx f Y y dy = F X x F Y y egyelőséget kapjuk mide x, y R potra. Folytoos valószíűségi változók teljes függetleségéek jellemzésére a.7. tételt a következőképpe általáosíthatjuk..8. Tétel Folytoos valószíűségi változók teljes függetleségéek jellemzése sűrűségfüggvéyekkel. Az {f Xi } i= sűrűségfüggvéyű {X i} i= folytoos valószíűségi változók akkor és csakis akkor teljese függetleek, ha akárhogya választuk is ki egy k-elemű { } k X ij j= részhalmazt közülük i < i <... < i k, majdem mide x i, x i,..., x ik R k potra teljesül az azoosság. f Xi,X i,...,x ik x i, x i,..., x ik = k f Xij xij Folytoos valószíűségi változók teljes függetleségére egy egyszerűbb jellemzési feltételt is kaphatuk, ha figyelembe vesszük az alábbi tulajdoságot..9. Tétel Folytoos valószíűségi változók teljes függetleségéek jellemzése sűrűségfüggvéyekkel egyszerűbb változat. Az {f Xi } i= sűrűségfüggvéyű {X i} i= folytoos valószíűségi változók potosa akkor teljese függetleek, ha majdem mide x, x,..., x R potra teljesül az f X,X,...,X x, x,..., x = f Xi x i egyelőség. Bizoyítás. A direkt állítás a teljes függetleség.5. értelmezéséből következik. Valóba, a k = értékre az F X,X,...,X x, x,..., x = F Xi x i, x, x,..., x R feltételt kapjuk, amelyből -edredű parciális deriválással az igazoladó i= f X,X,...,X x, x,..., x = F X,X x x... x,...,x x, x,..., x = F Xi x i x i = i= f Xi x i kifejezést kapjuk majdem mide x, x,..., x R behelyettesítésére. i= j= i= 4

49 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 4 #48. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK A fordított állítás igazolásához tekitsük az adott folytoos valószíűségi változókak egy k- elemű { X ij } k j= részhalmazát, ahol i < i <... < i k! Ekkor a majdem mide x, x,..., x R potra teljesülő f X,X,...,X x, x,..., x = f Xi x i feltételből kell kiiduluk. A továbbiakba a.8. tételt haszálhatjuk fel, szité a k = beállítással, amiből az F X,X,...,X x, x,..., x = i= F Xi x i, x, x,..., x R i= azoosságot kapjuk. Ne felejtsük el, hogy céluk egy ehhez hasoló tulajdoság belátása a fet rögzített k-elemű részhalmazra! A következőket írhatjuk: ahol a jelöléseket haszáltuk fel. F Xi,X i,...,x ik x i, x i,..., x ik = F X,X,...,X t, t,..., t t i = = = F Xi t i i= k F Xij xij, j= { xi, i {i, i,..., i k }, +, i {,,..., } \ {i, i,..., i k }.3. Megjegyzés. A.9. tétel bizoyításából kitűik, hogy az {F Xi } i= eloszlásfüggvéyű {X i} i= folytoos valószíűségi változók potosa akkor teljese függetleek, ha mide x, x,..., x R potra teljesül az F X,X,...,X x, x,..., x = F Xi x i összefüggés..0. Tétel Függetle folytoos valószíűségi változók mérhető függvéyek általi traszformációja. Ha az {X i } i= folytoos valószíűségi változók függetleek és a {g i : R R} i= függvéyek Borel-mérhetőek, akkor az {Y i = g X i } i= valószíűségi változók szité függetleek. i= Bizoyítás. A.3. megjegyzés értelmébe az {Y i } i= szükséges és elégséges kimutatuk az változók függetleségéek belátása végett F Y,Y,...,Y y, y,..., y = F Yi y i egyelőséget mide y, y,..., y R potra, ahol az F Yi leképezés az Y i változó eloszlásfüggvéyét jelöli mide i {,,..., } idex esté. Rögzítsük egy tetszőleges y, y,..., y R vektort és szerkesszük meg a i= 4 {B i = {x R : g i x < y i }} i=

50 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 43 #49.. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK TULAJDONSÁGAI halmazokat! Ekkor az F Y,Y,...,Y y, y,..., y = P Y < y, Y < y,..., Y < y = P g X < y, g X < y,..., g X < y = P X B, X B,..., X B = P X i B i = = i= P Y i < y i i= F Yi y i i= igazoladó egyelőséget kapjuk, ahol felhaszáltuk az {X i } i= változók függetleségét. Diszkrét valószíűségi változókhoz hasolóa folytoos valószíűségi változókkal is végezhetük műveleteket. Mit láti fogjuk, ezek végrehajtása általába változócsere elvégzését jeleti olya egy, vagy többváltozós itegrálok kiértékelésébe, amelyekbe a műveletbe résztvevő valószíűségi változókból képezett vektor együttes sűrűségfüggvéye szerepel. Ezért midig ügyelük kell arra, hogy a szokásos határmódosítások mellett, a változócserét leíró traszformációs függvéyekhez tartozó Jacobi-mátrix determiásáak abszolút értékét is bevojuk a számításaikba. Csak így tudjuk biztosítai, hogy a változócsere elvégzése sorá kapott itegrál értéke e változzo meg. Megjegyezzük, hogy a 3. fejezet emegyeletes eloszlású véletleszám-geerátorai sokszor olya elméleti eredméyekre épülek, amelyek ismert eloszlású és köye geerálható valószíűségi változók/vektorok em feltétleül lieáris kombiációjával alakítják ki a kívát eloszlású, de eheze mitavételezhető valószíűségi változót/vektort. Emiatt a következő tulajdoság külööse kiemelt jeletőségű... Tétel Műveletek folytoos valószíűségi változókkal. Tekitsük az f X és f Y sűrűségfüggvéyű X, illetve Y folytoos és em feltétleül függetle valószíűségi változókat, továbbá jelölje f X,Y az X, Y valószíűségi vektor együttes sűrűségfüggvéyét! Ekkor az R = X + Y összegzésből, az S = XY szorzatból, illetve a T = X/Y háyadosból származó valószíűségi változók sűrűségfüggvéyeit az f R r = f X,Y u, r u du, r R, f S s = f T t = R R R f X,Y u, s du, s R, u u f X,Y ut, u u du, t R kifejezések adják. Ameyibe az X és Y valószíűségi változók függetleek, az előbbi sűrűségfüggvéyek az f R r = f X u f Y r u du, r R, R s f S s = f X u f Y du, s R, R u u f T t = f X ut f Y u u du, t R alakra hozhatóak. R 43

51 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 44 #50. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK Bizoyítás. Tekitsük először az R = X + Y valószíűségi változót! Eek eloszlásfüggvéyére értelmezés szerit az F R r = P R < r = P X + Y < r = f X,Y x, y dxdy, r R összefüggést kapjuk, ahol a D r D r = { x, y R : x + y < r } tartomáy a tetszőlegese rögzített r R valós szám eseté az X + Y < r eseméyre kedvező síkbeli potokat tartalmazza. Az változócserét végrehajtva, a D r síktartomáy a { x u, v = u, y u, v = v u D r = { u, v R : v < r } halmazba traszformálódik, ezért az F R eloszlásfüggvéyt az F R r = f X,Y u, v u det J u, v dudv.9 alakra hozhatjuk, ahol J u, v = D r x u, v u y u, v u x u, v v y u, v v [ = 0 a.9-es traszformáció Jacobi-mátrixa. Ezért a keresett eloszlásfüggvéyre az r F R r = f X,Y u, v u dudv R r = f X,Y u, v u du dv R alakot kapjuk, melyet az r paraméter szerit deriválva, megkaphatjuk az R változó f R r = d dr F R r = f X,Y u, r u du, r R R sűrűségfüggvéyét is. Az S = XY változó esetébe is a feti módszert követjük: először eek eloszlásfüggvéyét határozzuk meg, majd azt deriválva, megkapjuk a keresett sűrűségfüggvéyt is. Értelmezés szerit az eloszlásfüggvéyre az F S s = P S < s = P XY < s = f X,Y x, y dxdy, s R ] D s kifejezést kapjuk, ahol a D s = { x, y R : xy < s } 44

52 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 45 #5.. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK TULAJDONSÁGAI síktartomáy a pillaatyilag rögzített s R értékhez tartozó XY < s eseméyt implikáló potokból áll. Az { x u, v = u, y u, v = v u.0 változócserét alkalmazva, a D s síktartomáy a D s = { u, v R : v < s } halmazba traszformálódik, ezért az F S eloszlásfüggvéyt az F S s = u, v det J u, v dudv u D s f X,Y alakra hozhatjuk, ahol J u, v = x u, v u y u, v u x u, v v y u, v v [ = 0 v u u ] a.0-es traszformáció Jacobi-mátrixa. Így az S változó eloszlásfüggvéye az F S s = = s R s alakot ölti, amely s-szeriti deriválásával az f S s = d ds F S s = f X,Y u, v u f X,Y u, v R u R u dudv u du dv f X,Y u, s u u du, s R sűrűségfüggvéyt kapjuk. Értelmezés alapjá a T = X/Y háyados eloszlásfüggéye az F T t = P T < t = P X Y < t = D t f X,Y x, y dxdy, t R alakra hozható, ahol a D t = {x, y R : xy } < t síktartomáy a t R paraméterértékhez tartozó X Y < t eseméyt realizáló potokból áll. Az { x u, v = uv, y u, v = u változócserét haszálva, a D t halmaz a D t = { u, v R : v < t }. 45

53 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 46 #5. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK síktartomáyba traszformálódik, amely folytá az F T eloszlásfüggvéy az F T t = f X,Y uv, u det J u, v dudv alakot ölti, ahol J u, v = D t x u, v u y u, v u x u, v v y u, v v = [ v u 0 a.-es traszformáció Jacobi-mátrixa. Tehát a T változó eloszlásfüggvéyére az t F T t = f X,Y uv, u u dudv = R t f X,Y uv, u u du R dv kifejezést kapjuk, amely t-szeriti deriválásával az f T t = d dt F T t = f X,Y ut, u u du, t R R sűrűségfüggvéy adódik. A tétel femaradt része azoali a valószíűségi változók függetleségét jellemző.9. tétel alapjá. A.. tétel bizoyításába bemutatott módszerrel olya valószíűségi változók eloszlás- és sűrűségfüggvéyei is meghatározhatóak, amelyek több, mit két valószíűségi változó em feltétleül lieáris kombiációjából származak. Magasabb dimezióra térve, a feladatukat sokszor megköyíti, ha a változócsere sorá polár-, heger-, vagy gömbi koordiátákat alkalmazuk, amelyre a 3.7. és 3.3. tételek bizoyításába láthatuk példákat. Ameyibe a kombiációt előállító változók függetleek is, akkor más módszereket, például teljes idukciót, is haszálhatuk, ahogy azt a 3.5. tétel igazolásába is tesszük. A legfotosabb folytoos valószíűségi változókra és vektorokra, illetve ezek tulajdoságaikra a.3. szakaszba adtuk példákat...3. Feltételes valószíűség-eloszlások A feltételes eseméyekhez hasolóa értelmezhetjük a feltételes valószíűségi változók fogalmát is..6. Értelmezés Valószíűségi változó feltételes eloszlásfüggvéye. Tekitsük az Ω, A, P valószíűségi mező értelmezett X : Ω R valószíűségi változót, valamit a B A eseméyt, amelyre P B > 0! Az { F X B : R R, F X B x B = P X < x B ]. feltételes valószíűséggel értelmezett leképezést az X valószíűségi változóak a B eseméyre voatkozó feltételes eloszlásfüggvéyéyéek evezzük. Ha X és Y diszkrét valószíűségi változók úgy, hogy valamely y R értékre P Y = y > 0, akkor az X változóak az Y = y eseméyre voatkozó feltételes eloszlásfüggvéye 46 F X Y x y = P X < x Y = y = P X < x, Y = y P Y = y

54 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 47 #53.. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK TULAJDONSÁGAI alakra hozható. Tekitsük most az f X és f Y sűrűségfüggvéyű X, illetve Y folytoos valószíűségi változókat! Ha valamely y R értékre f Y y > 0, akkor az X változóak az Y = y eseméyre voatkozó feltételes eloszlásfüggvéyére az F X Y x y = f Y y x f X,Y u, y du kifejezést kapjuk, ahol f X,Y az X, Y valószíűségi vektor együttes sűrűségfüggvéyét jelöli. A teljes valószíűség tételéek alkalmazásával köye belátható az alábbi tulajdoság... Tétel. Legye I legfeljebb megszámlálhatóa végtele idexhalmaz! Ha az Ω, A, P valószíűségi mezőbe a {B i } i I eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, akkor az X : Ω R valószíűségi változó F X eloszlásfüggvéyét az X változóak a B i eseméyekre voatkozó feltételes eloszlásfüggvéyeiek súlyozott összegekét is kifejezhetjük, vagyis teljesül az F X x = i I P B i F X Bi x B i, x R egyelőség..7. Értelmezés Diszkrét valószíűségi változó feltételes relatív gyakoriság függvéye. Tekitsük az Ω, A, P valószíűségi mező értelmezett X diszkrét xi valószíűségi változóak a B A em ulla valószíűségű eseméyre voatkozó F X B : {x i } i I [0,] feltételes eloszlásfüggvéyét. Ha létezik olya f X B : {x i } i I R függvéy, amelyre teljesül az F X B x = i I:x i<x p i f X B x i B, x {x i } i I i I.3 egyelőség, akkor az f X B leképezést az X diszkrét változóak a B eseméyre voatkozó feltételes relatív gyakoriság függvéyéek evezzük..8. Értelmezés Folytoos valószíűségi változó feltételes sűrűségfüggvéye. Tekitsük az Ω, A, P valószíűségi mező értelmezett X : Ω R folytoos valószíűségi változóak a B A em ulla valószíűségű eseméyre voatkozó F X B : R [0,] feltételes eloszlásfüggvéyét! Ha létezik olya f X B : R R függvéy, amelyre teljesül az F X B x = x f X B u B du, x R.4 egyelőség, akkor az f X B leképezést az X folytoos változóak a B eseméyre voatkozó feltételes sűrűségfüggvéyéek evezzük. Ha X és Y ugyaazo valószíűségi mező értelmezett folytoos valószíűségi változó, valamit valamely y R értékre az Y = y eseméy valószíűsége em ulla, akkor az X változóak az Y = y eseméyre voatkozó feltételes sűrűségfüggvéyét az f X Y x, y = f X,Y x, y, x R f Y y kifejezés adja, ahol az f X, f Y és f X,Y leképezések redre az X és Y változók sűrűségfüggvéyét, illetve az X, Y vektor együttes sűrűségfüggvéyét jelölik. Folytoos valószíűségi változók feltételes eloszlás- és sűrűségfüggvéyei között a következő, egyszerűe igazolható tételbe felsorolt kapcsolatok állak fe. 47

55 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 48 #54. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK.3. Tétel Folytoos valószíűségi változók feltételes eloszlásfüggvéyei és sűrűségfüggvéyei közti kapcsolatok. Ha X és Y ugyaazo valószíűségi mező értelmezett folytoos valószíűségi változók, valamit bármely y R értékre f Y y > 0, akkor az X változóak az Y = y eseméyre voatkozó feltételes eloszlásfüggvéyére, illetve feltételes sűrűségfüggvéyére teljesülek az alábbi tulajdoságok:. F X Y x y =. F X x = R 3. f X Y x y = x f X Y u y du, x R; f Y y F X Y x y dy, x R; R f Y X y x f X x, x, y R, amit még feltételes sűrűségfüggvéyekre f Y X y u f X u du voatkozó Bayes-féle képletek is evezük...4. Valószíűségi változók umerikus jellemzői A gyakorlati alkalmazások sorá általába em vagyuk kívácsiak a vizsgált valószíűségi változó összes értékére, ikább éháy az adott változó viselkedéséről szemléletes képet yújtó számadat érdekel miket. Például fotos tuduk, hogy hol va a változót jellemző valószíűség-eloszlás súlypotja, mert ekörül tömörülek az adott változó értékei, vagy az is léyeges lehet számukra, hogy meyire szoros ez a tömörülési viselkedés, vagy szereték meghatározi az adott változó legvalószíűbb értékeit, vagy éppe a lehetséges értékek szimmetrikus, vagy esetlegese a- szimmetrikus elhelyezkedését taulmáyozák a valószíűség-eloszlás súlypotja körül. Ezért a továbbiakba ezekhez hasoló umerikus jellemzőket értelmezük. Mometumok Kezdetbe a külöböző típusú valószíűségi változók valószíűség-eloszlásáak súlypotját másképpe elsőredű mometumát értelmezzük, majd ezt a fogalmat általáosítva magasabb redű kezdeti, abszolút és cetrált mometumokra, valamit az ezekből képezett egyéb umerikus jellemzőkre például kovariaciára, és korrelációs együtthatóra is kitérük..9. Értelmezés Diszkrét valószíűségi változó várható értéke. Ameyibe az xi X p i i I diszkrét valószíűségi változó eseté a x i p i i I.5 sor abszolút koverges tehát x i p i <, akkor a.5-ös sor összegét az X valószíűségi i I változó várható értékéek evezzük és az E X kifejezéssel jelöljük, máskülöbe az X változóak ics várható értéke..0. Értelmezés Folytoos valószíűségi változó várható értéke. Ha az F X : R [0,] eloszlásfüggvéyű folytoos X valószíűségi változó eseté az x df X x.6 48 R

56 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 49 #55.. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK TULAJDONSÁGAI Lebesgue Stieltjes-itegrál abszolút koverges tehát R x df X x <, akkor a.6-os itegrált az X változó várható értékéek evezzük és az E X kifejezéssel jelöljük. Ellekező esetbe az X változóak ics várható értéke..4. Megjegyzés. Figyelembe véve az X folytoos valószíűségi változó sűrűség- és eloszlásfüggvéye közti kapcsolatot, a.6-os itegrált az xf X x dx alakra hozhatjuk. R Az alábbi egyszerű tulajdoságok igazolását kitűzött feladatkét az olvasóra bízzuk. Megjegyezzük, hogy a felsorolt tulajdoságok hacsak em specifikáljuk máskét mid diszkrét, mid folytoos valószíűségi változókra/vektorokra érvéyesek..4. Tétel Valószíűségi változó lieáris traszformáltjáak várható értéke. Ha az X valószíűségi változóak létezik a várható értéke, akkor bármely a, b R valós számra teljesül az egyelőség. E ax + b = ae X + b.5. Tétel A várható érték additív tulajdosága. Ha az {X i } i= valószíűségi változókak va várható értékük, akkor az összegük várható értéke is létezik és teljesül az E X i = E X i additív tulajdoság. i=.6. Tétel Függetle valószíűségi változók szorzatáak várható értéke. Ameyibe az {X i } i= függetle valószíűségi változókak va várható értékük, akkor a szorzatuk várható értéke is létezik és teljesül az E X i = E X i egyelőség. i=.7. Tétel Valószíűségi változó traszformáltjáak várható értéke. Legye g : R R mérhető függvéy és tekitsük az X valószíűségi változót, amelyet diszkrét és folytoos esetekbe az eloszlással, illetve az f X sűrűségfüggvéyel jellemzük! Ameyibe a g xi X p i i I traszformált valószíűségi változó várható értéke létezik, akkor azt diszkrét esetbe az E g X = i I i= i= g x i p i, folytoos esetbe pedig az képlettel számolhatjuk ki. E g X = g x f X x dx R 49

57 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 50 #56. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK.5. Megjegyzés. A.7. tétel általáosítása a következőképpe szól. Jelölje X X, X,..., X az {x i,ji } ji J i értékkészletű {X i } i= diszkrét valószíűségi változókból képezett vektort! Ha g : R R mérhető függvéy, akkor a g X traszformált valószíűségi vektor várható értékét az E g X = j,j,...,j J J... J g x,j, x,j,..., x,j f X,X,...,X x,j, x,j,..., x,j, kifejezés adja, feltéve, hogy a jobb oldalo álló sor abszolút koverges és f X,X,...,X az X diszkrét valószíűségi vektor együttes relatív gyakoriság függvéyét jelöli. Továbbá, ha az {X i } i= változók folytoosak az f X,X,...,X együttes sűrűségfüggvéyel, akkor E g X = R R g x, x,..., x f X,X,...,X x, x,..., x dx dx... dx, R feltéve, hogy a jobb oldalo álló itegrál abszolút koverges. E pot bevezető részébe már említettük, hogy egy valószíűségi változó/vektor várható értékét az adott változót/vektort jellemző valószíűség-eloszlás súlypotjakét is felfoghatjuk. Az adott valószíűségi változó/vektor értékeiek e súlypothoz viszoyított tömörülési viselkedését az alább értelmezett umerikus jellemző segítségével taulmáyozhatjuk... Értelmezés Valószíűségi változók szóráségyzete és szórása. Tekitsük az X valószíűségi változót. Ameyibe létezik a D X = E X E X meyiség, akkor azt az X változó szóráségyzetéek evezzük. Ugyaekkor a D X = E X E X számot az X változó szórásáak hívjuk..6. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy az X valószíűségi változó szóráségyzete csak akkor létezik, ha az E X várható érték is létezik! Ugyaakkor az is yilvávaló, hogy kostas valószíűségi változó szórása ulla, míg valamely em álladó értékű valószíűségi változó szórása feltéve, hogy létezik szigorúa pozitív szám. A várható érték eddigi tulajdoságai alapjá köye igazolhatóak a szóráségyzet alábbi tulajdoságai..8. Tétel Szóráségyzet tulajdoságai. Ha az ugyaazo valószíűségi mező értelmezett X és Y valószíűségi változók eseté létezek az E X és E Y várható értékek, akkor igazak az alábbi állítások:. D X = E X [E X] ;. bármely a, b R valós számra létezik az ax +b lieáris traszformációval kapott valószíűségi változó szóráségyzete is, és feáll a 50 D ax + b = a D X egyelőség azaz kostas szóráségyzete ulla, és a szóráségyzet egy égyzetese homogé operátorak tekithető;

58 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 5 #57.. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK TULAJDONSÁGAI 3. ameyibe az X és Y változók függetleek is, akkor létezik az X + Y összetételből származó valószíűségi változó szóráségyzete is, továbbá érvéyes a additív tulajdoság; D X + Y = D X + D Y 4. ha az X és Y változók függetleek is, akkor létezik az X Y szorzatból származó valószíűségi változó szóráségyzete is, valamit igaz a D X Y = E X E Y [E X] [E Y ] egyelőség. xi A.8. tétel. állítása alapjá, ha az X diszkrét valószíűségi változó eseté létezik p i i I az E X várható érték, akkor létezik az X változó szóráségyzete is, amit a D X = x i p i i I x i p i i I.7 alakba fejezhetük ki. Ugyailye feltételek mellett, de diszkrét valószíűségi változó helyett az f X sűrűségfüggvéyű X folytoos valószíűségi változót tekitve, az X változó szóráségyzete szité létezik és a D X = x f X x dx xf X x dx.8 R R képlettel értékelhető ki..7. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy a.7-es és a.8-as képleteket köyűszerrel általáosíthatjuk valószíűségi vektorokra is! A valószíűségi változók várható értékét elsőredű mometumak is evezzük. A fogalom általáosításával magasabb redű kezdeti, abszolút, cetrált mometumokról is beszélhetük... Értelmezés Valószíűségi változók magasabb redű kezdeti, abszolút, és cetrált mometumai. Tekitsük az X valószíűségi változót, valamit legye k egy természetes szám, amelyre létezik az E X k várható érték. Ekkor a µ k = E X k, µ a k = E X k és a µ c k = E X E X k meyiségeket redre k-adredű kezdeti, abszolút, illetve cetrált mometumokak evezzük..8. Megjegyzés. A.. értelmezés alapjá az X valószíűségi változó szóráségyzete feltéve, hogy létezik valójába egy másodredű cetrált mometumak felel meg. xi.9. Megjegyzés. Ha a k természetes számra és az X diszkrét valószíűségi p i i I változóra teljesülek a.. értelmezés feltételei, akkor az X változó k-adredű kezdeti, abszolút 5

59 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 5 #58. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK és cetrált mometumait a µ k = i I x k i p i, µ a k = i I x i k p i, µ c k = i I x i µ k p i kifejezésekkel határozhatjuk meg..0. Megjegyzés. Ha a k természetes számra és az f X sűrűségfüggvéyű X folytoos valószíűségi változóra teljesülek a.. értelmezés feltételei, akkor az X változó k-adredű kezdeti, abszolút és cetrált mometumait a µ k = x k f X x dx, R µ a k = x k f X x dx, R µ c k = x µ k f X x dx képletekkel értékelhetjük ki. R A.. és a.3. szakaszokba számos evezetes diszkrét, illetve folytoos valószíűségi változó várható értékét és szóráségyzetét is kiszámoltuk megoldott feladatok formájába. A geerátor- és karakterisztikus függvéy Diszkrét és folytoos valószíűségi változók várható értékeivel, szóráségyzeteivel, vagy akár magasabb redű mometumaival kapcsolatos feladatokba és gyakorlati alkalmazásokba sokszor olya sorokhoz, illetve itegrálokhoz jutuk, amelyek abszolút koverges voltát ehéz bizoyítai, és ha etá ezt az akadályt sikerese le is küzdjük, akkor ugyailye boyolult feladatak bizoyulhat a szóba forgó mometumok számértékeiek meghatározása. Az alább értelmezett geerátor- és karakterisztikus függvéyek segítségével ezt a folyamatot szereték léyegese leegyszerűsítei..3. Értelmezés Geerátorfüggvéy. A emegatív egész értékeket felvevő k X pk valószíűségi változóhoz k=0 p k a γ X x = k 0 p k x k sort társíthatjuk, amelyet az X valószíűségi változó geerátorfüggvéyéek evezük. k=0.9.0 A hatváysorok tulajdoságai alapjá kimodhatjuk, hogy a.0-as geerátorfüggvéy értelmezésébe szereplő sor bármely x érték eseté koverges. Ugyaakkor az összeget adó γ X függvéy mide x < potba akárháyszor differeciálható, és a sor p k együtthatói, valamit a γ X geerátorfüggvéy x = 0 potbeli differeciálháyadosai között feállak a 5 p k = k! γk X 0, k 0.

60 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 53 #59.. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK TULAJDONSÁGAI összefüggések, ahol a γ k dk X x = γ dx k X x jelöléssel éltük. A.3. értelmezésből az is yilvávaló, hogy γ X = k 0 p k. A.9-es valószíűségi változó mometumaiak meghatározása céljából léyeges szerepet kapak a γ X geerátorfüggvéy γ X x = k k... k + x k p k k=. -edredű differeciálháyadosai, amelyek bármely x < paraméter eseté biztosa létezek..4. Értelmezés Faktoriális mometumok. Ameyibe a.-es sor az x = értékre is koverges, akkor a γ X = k k... k + p k.3 k= összeget a.9-es valószíűségi változó -edredű faktoriális mometumáak evezzük. A.3-as -edredű faktoriális mometumok segítségével a.9-es valószíűségi változó kezdeti -edredű mometumai már agyo köye meghatározhatóak. Valóba, ha például figyelembe vesszük, hogy akkor az γ X = kp k = E X, k=0 γ X = k k p k = k p k kp k = E X E X, k=0 k=0 k=0 γ 3 X = k k k p k = k 3 p k 3 k p k + kp k k=0 = E X 3 3E X + E X,. E X = γ X, E X = γ X E X 3 = γ X. k=0 + γ X, k=0 + 3γ X + γ3 X, egyeleteket kapjuk a klasszikus magasabb redű mometumokra. A szóráségyzetet is kifejezhetjük faktoriális mometumok segítségével a D X = E X [E X] = γ X + γ X γ X alakba. A geerátorfüggvéyek másik jeletős hasza az alábbi tételre épül. k=0 53

61 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 54 #60. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK.9. Tétel Függetle, emegatív egész értékű valószíűségi változók összegéek geerátorfüggvéye. Tekitsük a γ Xi geerátorfüggvéyű függetle, emegatív egész értékeket felvevő {X i } i= valószíűségi változókat! Ekkor az Y = i= változó geerátorfüggvéyét az {X i } i= változók geerátorfüggvéyeiek szorzatakét fejezhetjük ki, azaz γ Y x = γ Xi x, x <. i= Bizoyítás. A bizoyítás agyo egyszerű, ha észrevesszük, hogy a ξ < tetszőleges rögzített paraméterből és a.9-es valószíűségi változóból alkotott ξ X ξ k p k változó várható értéke éppe E ξ X = k=0 ξk p k = γ X ξ. Visszatérve az állítás igazolásához, az Y változó geerátorfüggvéyére a γ Y ξ = E ξ Y X i = E ξi= = E ξ Xi = γ Xi ξ kifejezést kapjuk mide ξ < eseté, ahol felhaszáltuk a {X i } i= változók függetleségét. Amit láttuk, a geerátorfüggvéy csak emegatív, egész értékeket felvevő valószíűségi változók eseté értelmezett. Tetszőleges valószíűségi változók esetére egy másik haszos segédeszközt, az úgyevezett karakterisztikus függvéyt vezetjük be..5. Értelmezés Valószíűségi változó karakterisztikus függvéye. Bármely X valószíűségi változóhoz társíthatuk egy X i k 0 i= e itx = cos tx + i si tx komplex értékű valószíűségi változót, ahol i =, t pedig tetszőleges valós szám. Az e itx valószíűségi változó várható értékét az X valószíűségi változó karakterisztikus függvéyéek evezzük, és a ϕ X t = E e itx, t R.4 kifejezéssel jelöljük. A.5. értelmezésből következik, hogy az X diszkrét valószíűségi változó karakterisztikus függvéye a ϕ X t = k K e itx k p k = k K xk p k k K i= p k cos tx k + i k K p k si tx k, t R.5 alakot ölti, ha pedig X folytoos valószíűségi változó az f X sűrűségfüggvéyel, akkor a hozzá tartozó karakterisztikus függvéyre a ϕ X t = e itx f X x dx = cos tx f X x dx + i si tx f X x dx.6 R R R kifejezést kapjuk. 54

62 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 55 #6.. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK TULAJDONSÁGAI e itx k pk = p k és k K e itx fx x dx = f X x dx, következik, hogy Mithogy k K R R a.5-ös és a.6-os egyeletek jobb oldalá szereplő sor, illetve itegrál abszolút koverges. A fetieket összegezve tehát kijelethetjük, hogy a.5. értelmezésbe bevezetett ϕ X t karakterisztikus függvéy bármilye típusú X valószíűségi változó eseté létezik és folytoos mide t valós paraméterre. A most értelmezett karakterisztikus függvéy legfotosabb tulajdoságait az alábbi tételbe soroltuk fel..0. Tétel Valószíűségi változók karakterisztikus függvéyéek tulajdoságai. Az X valószíűségi változóhoz tartozó ϕ X karakterisztikus függvéyére teljesülek az alábbi állítások:. ϕ X t, t R;. ϕ X t = ϕ X t, t R, ahol a komplex számok kojugáltjára voatkozó jelölést haszáltuk; 3. ha {X k } k= függetle valószíűségi változók karakterisztikus függvéyei {ϕ X k } k=, akkor az Y = X k valószíűségi változó karakterisztikus függvéye alakú; k= ϕ Y t = ϕ Xk t, t R k= 4. ha az X valószíűségi változóak létezik a k-adredű mometuma, akkor az kifejezhető a karakterisztikus függvéy k-adredű differeciálháyadosáak a t = 0 potba vett értékével: E X k = µ k = i k ϕk 0 ; 5. az Y = ax+b lieáris traszformációval a, b R yert valószíűségi változó karakterisztikus függvéyére teljesül a ϕ Y t = e ibt ϕ X at, t R egyelőség; 6. a karakterisztikus függvéy a valószíűség-eloszlást egyértelműe meghatározza. Bizoyítás. Az. állítás igazolásához az [E X] E X egyelőtleséget haszáljuk fel: A. kijeletés azoal adódik a átalakítások utá. ϕ X t = [E cos tx] + [E si tx] E cos tx + E si tx = E cos tx + si tx = E =. ϕ X t = E cos tx + i si tx = E cos tx i si tx = E cos tx ie si tx = ϕ X t, t R 55

63 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 56 #6. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK A 3. tulajdoság igazolásához az értelmezésből kiidulva az ϕ Y t = E e ity = E = k= E e itx k = e it X k k= k= = E k= ϕ Xk t, t R igazoladó kifejezést kapjuk, ahol felhaszáltuk az {X k } k= valószíűségi változók függetleségét is. A 4. állítást csak folytoos valószíűségi változó eseté bizoyítjuk, mert a godolatmeet diszkrét esetbe is ugyaaz. Jelölje f X az X valószíűségi változó sűrűségfüggvéyét! Ekkor a.6-os karakterisztikus függvéyek t-szeriti k-adredű deriváltjára a ϕ k X dk t = dt k ϕ X t = i k kifejezést kapjuk, amiből a t = 0 helyettesítéssel a R e itx k x k e itx f X x dx, t R ϕ k X 0 = ik x k f X x dx = i k E X k = i k µ k R igazoladó képletet kapjuk. A bizoyított tulajdoság következméye, hogy ameyibe az X valószíűségi változóak mide mometuma létezik, akkor a ϕ X karakterisztikus függvéyéek t = 0 potbeli Taylor-sorbafejtése a ϕ X t = k 0 t k k! ϕk X 0 = it k µ k k!.7 k 0 alakra hozható, ahol µ 0 = ϕ X 0 =. Az 5. állítás is azoali az értelmezés alapjá: ϕ Y t = E e ity = E e itax+b = E e iatx e ibt = e ibt E e iatx = e ibt ϕ X at, t R. Az utolsó állítás eseté, Fourier-aalízisbeli meggodolások miatt, ayit jegyzük meg, hogy xk ameyibe az X diszkrét és csak egész értékeket felvevő valószíűségi változóval dolgozuk, akkor a ϕ X karakterisztikus függvéy ismeretébe a valószíűség-eloszlást p k k 0 a p k = π e itk ϕ X t dt, k 0 π π képletek határozzák meg, folytoos X valószíűségi változóhoz tartozó f X sűrűségfüggvéyt pedig az f X x = e itx ϕ X t dt π R kifejezés adja meg, feltéve, hogy ϕ X t dt <. R A karakterisztikus függvéy fogalmát kiterjeszthetjük valószíűségi vektorokra is, ahogy azt az alábbi értelmezés mutatja. 56

64 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 57 #63.. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK TULAJDONSÁGAI.6. Értelmezés Valószíűségi vektor karakterisztikus függvéye. Mide diszkrét, vagy folytoos X X, X,..., X valószíűségi vektorhoz társíthatuk egy e i t k X k k= = cos t k X k + i si t k X k k= komplex értékű valószíűségi változót, ahol i =, t, t,..., t R pedig tetszőleges valós számokból álló vektor. Az e i t k X k k= valószíűségi változó várható értékét az X valószíűségi vektor karakterisztikus függvéyéek evezzük, és a ϕ X t, t,..., t = E e i t k X k k= k=, t, t,..., t R kifejezéssel jelöljük. A.6. értelmezésből következik, hogy az xk,jk X k p k,jk j k J k, k =,,..., kompoesekkel leírt X X, X,..., X diszkrét valószíűségi vektor karakterisztikus függvéye a ϕ X t, t,..., t = i t k x k,jk... f X x,j, x,j,..., x,j e k= j J j J j J alakra hozható bármely t, t,..., t R eseté, ahol f X az X vektor együttes relatív gyakoriság függvéyét jelöli. Ameyibe az X X, X,..., X valószíűségi vektor folytoos és f X : R R az együttes sűrűségfüggvéyét jelöli, akkor karakterisztikus függvéyére a ϕ X t, t,..., t = R R R f X x, x,..., x e i k= t k x k dx dx... dx kifejezést kapjuk mide t, t,..., t R eseté. A.0. tételbe a valószíűségi változók karakterisztikus függvéyéek tulajdoságait ismertettük. Az ott felsorolt tulajdoságok általáosíthatóak valószíűségi vektorok esetére is, ezeket viszot bizoyítás élkül jeletjük ki az alábbi tételbe... Tétel Valószíűségi vektorok karakterisztikus függvéyéek tulajdoságai. Az X X, X,..., X valószíűségi vektor ϕ X karakterisztikus függvéyére teljesülek az alábbi állítások:. ϕ X 0 = ϕ X 0,0,...,0 = ;. ϕ X t, t,..., t, t, t,..., t R ; 3. ϕ X egyeletese folytoos az R tartomáyo; 4. ha az X valószíűségi vektor {X k } k= kompoesei függetle valószíűségi változók, akkor ϕ X t, t,..., t = ϕ Xk t k, t, t,..., t R ; k= 57

65 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 58 #64. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK 5. ha az X valószíűségi vektorak létezik a k + k k -edredű µ k+k +...+k mometuma, akkor feáll a egyelőség; k+k+...+k t k tk... tk ϕ X 0,0,...,0 = i k+k+...+k µ k+k +...+k 6. az Y k = a k X k + b k lieáris traszformációk a k, b k R, k =,,..., által meghatározott Y Y, Y,..., Y valószíűségi vektor karakterisztikus függvéyére teljesül a egyelőség; ϕ Y t, t,..., t = ϕ X a t, a t,..., a t e i b k t k k=, t, t,..., t R 7. a ϕ X karakterisztikus függvéy az X vektor valószíűség-eloszlását egyértelműe meghatározza. A geerátor- és karakterisztikus függvéy alkalmazására ugyacsak a.. és a.3. szakaszokba találuk megoldott példákat. Valószíűségi változók kovariaciája és korrelációja Ebbe a szakaszba arra a kérdésre igyekszük választ adi, hogy milye módo következtethetük két, vagy akár több valószíűségi változó függvéykapcsolatára, de legalábbis sztochasztikus kapcsolatára ez utóbbi esetbe a két változó között ics szigorú függvéykapcsolat, de felvett értékeik közös tedeciát mutatak. Vegyük észre, hogy ha X és Y két függetle valószíűségi változó létező E X, illetve E Y várható értékekkel, akkor az X E X és az Y E Y eltérés-változók szorzatáak várható értéke ulla: E X E X Y E Y = E X E X E Y E Y = 0. Ha a két valószíűségi változó között bizoyos kapcsolat áll fe, akkor az előbbi várható érték általába ullától külöböző valós szám, amit a két valószíűségi változó kovariaciájáak evezük..7. Értelmezés Két valószíűségi változó kovariaciája. Az X és Y valószíűségi változó kovariacia-együtthatójá vagy rövide kovariaciájá a valós számot értjük, feltéve, hogy létezik. cov X, Y = E X E X Y E Y.. Megjegyzés. Abból, hogy X és Y valószíűségi változók kovariaciája ulla, em következik, hogy a két valószíűségi változó függetle is. Eek belátására tekitsük a következő egyszerű ellepéldát! Adott az x = x X = 0 x 3 = p = 4 p = p 3 = 4 diszkrét valószíűségi változó, és tekitsük az Y = X függvéykapcsolattal származtatott Y = X y = 0 y = q = q = valószíűségi változót. A megadott függvéykapcsolat miatt az X és Y változók yilvá összefüggők, viszot egyszerű számításokkal belátható, hogy cov X, Y = 0. 58

66 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 59 #65.. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK TULAJDONSÁGAI Legye most X és Y két tetszőleges valószíűségi változó, amelyek másodredű mometumai létezek, valamit tetszőleges λ R paramétert rögzítve iduljuk ki az E X λy 0 egyelőtleségből! Az egyelőtleség bal oldalát kibotva, a λ E X λe XY + E Y 0, λ R feltételt kapjuk, amely bal oldalá a λ paraméterbe másodfokú kifejezést láthatuk. Mivel az egyelőtleségek tetszőleges λ valós paraméterre teljesülie kell, következik, hogy a másodfokú kifejezés diszkrimása em lehet pozitív, amiből az [E XY ] E X E Y.8 feltételt kapjuk. Aak érdekébe, hogy az X és Y változók kovariaciájára tudjuk alkalmazi a.8-as e- gyelőtleséget, végezzük el az X X E X és az Y Y E Y helyettesítéseket. Ekkor a [cov X, Y ] E X E X E Y E Y = D X D Y egyelőtleséget kapjuk, amely lehetővé teszi, hogy a kovariacia helyett olya mérőszámot vezessük be a valószíűségi változók közötti kapcsolat kifejezésére, amely csak a és + rögzített határok között vehet fel értékeket..8. Értelmezés Korrelációs együttható. Az X és Y valószíűségi változók korrelációs e- gyütthatójá a cov X, Y ρ X, Y = D X D Y [,], számot értjük, feltéve, hogy az létezik... Megjegyzés Lieáris kapcsolat. Köyű kimutati, hogy ha az X és Y valószíűségi változók között lieáris kapcsolat áll fe, például Y = ax + b, akkor ρ X, Y = +, vagy ρ X, Y =, attól függőe, hogy a > 0, vagy a < 0. Potosabba fogalmazva: aak szükséges és elégséges feltétele, hogy az X és Y valószíűségi változók között lieáris kapcsolat álljo fe az, hogy korrelációs együtthatójuk abszolút értéke legye. A 3. fejezetbe korrelált valószíűségi változókkal kapcsolatos számgeerátorokat is taulmáyozi foguk. Az itt leírt jeleséget szemléletese például a 3.6. ábrá követhetjük yomo..9. Értelmezés Kovariacia- és korrelációmátrix. Tekitsük az {X i } i= valószíűségi változókat. Ekkor a [c ij ], i=,j= = [cov X i, X j ], i=,j= M, R mátrixot kovariaciamátrixak, a [ρ ij ], i=,j= = [ρ X i, X j ], i=,j= M, [, +] mátrixot pedig korrelációmátrixak evezzük, feltéve, hogy az azokat meghatározó kovariacia- és korrelációs-együtthatók létezek. Vegyük észre, hogy értelmezés alapjá midkét mátrix szimmetrikus, valamit c ii = D X i és ρ ii =, i =,,...,! A kovariaciával kapcsolatos legfotosabb tulajdoságokat az alábbi egyszerűe igazolható tételbe foglaltuk össze. 59

67 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 60 #66. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK.. Tétel Kovariacia tulajdoságai. Igazak az alábbi kijeletések:. bármely X valószíűségi változóra feáll a cov X, X = D X egyelőség;. az X és Y valószíűségi változók kovariacia-együtthatóját a cov X, Y = E XY E X E Y egyszerűbb alakra hozhatjuk; 3. az X, Y és Z valószíűségi változók eseté teljesül a cov X + Y, Z = cov X, Z + cov Y, Z azoosság; 4. az {X i } i= valószíűségi változók i= λ i X i, {λ i } i= R lieáris kombiációjából alkotott valószíűségi változó szóráségyzetét a D λ i X i = λ i D X i + λ i λ j cov X i, X j alakra hozhatjuk. i= i= i= j=i+ Feltételes mometumok A feltételes valószíűség-eloszlásokkal kapcsolatba bevezethetjük a feltételes várható érték és szórás fogalmát, valamit ezek általáosításával a magasabb redű feltételes kezdeti, abszolút és cetrált mometumokat is..30. Értelmezés Diszkrét valószíűségi változó feltételes k-adredű mometumai. xi, Tekitsük az Ω A, P valószíűségi mező értelmezett X diszkrét valószíűségi változót p i i I és a B A szigorúa pozitív valószíűségű eseméyt! Az X valószíűségi változóak a B eseméyre voatkozó k-adredű feltételes kezdeti, abszolút és cetrált mometumai redre a µ k,b = E X k B = x k i P X = x i B, i I µ a k,b = E X k B = x i k P X = x i B, i I µ c k,b = E X E X k B = x i µ,b k P X = x i B i I.9 meyiségeket értjük, feltéve, hogy az egyelőségek jobb oldalá szereplő sorok abszolút kovergesek..3. Értelmezés Folytoos valószíűségi változó feltételes k-adredű mometumai. Tekitsük az Ω A, P valószíűségi mező értelmezett X folytoos valószíűségi változót és a B A em ulla valószíűségű eseméyt, valamit jelölje F X B és f X B az X valószíűségi változóak a 60

68 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 6 #67.. NEVEZETES DISZKRÉT VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK B eseméyre voatkozó feltételes eloszlás-, illetve sűrűségfüggvéyét! Ekkor az X változóak a B eseméyre voatkozó k-adredű feltételes kezdeti, abszolút és cetrált mometumai redre a µ k,b = E X k B µ a k,b = E X k B µ c k,b = E X E X k B = = = = = = R R R R R R x k df X B x B x k f X B x B dx, x k df X B x B x k f X B x B dx, x µ,b k df X B x B x µ,b k f X B x B dx.30 meyiségeket értjük, feltéve, hogy az egyelőségek jobb oldalá szereplő itegrálok abszolút kovergesek..3. Megjegyzés. A.30. és.3. értelmezésekbe leírt µ,b és µ c,b meyiségeket az X valószíűségi változóak a B eseméyre voakozó feltételes várható értékéek, illetve feltételes szóráségyzetéek evezzük, ameyibe azok létezek. A.. tétel alapjá az alábbi tulajdoság azoal belátható..3. Tétel. Legye I legfeljebb megszámlálhatóa végtele idexhalmaz! Ha az Ω, A, P valószíűségi mezőbe a {B i } i I eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, akkor az X : Ω R valószíűségi változó E X várható értékét az X változóak a {B i } i I eseméyekre voatkozó feltételes várható értékeiek súlyozott összegekét is kifejezhetjük, vagyis teljesül az E X = i I P B i E X B i azoosság... Nevezetes diszkrét valószíűségi változók és vektorok Az alábbiakba valószíűségi modellekből származó diszkrét valószíűségi változókra tekitük példákat.... Egyeletes eloszlás Ha egy eseméytér véges és mide elemi eseméye azoos eséllyel következhet be, akkor az eseméytér lehetséges kimeeteleit egy véges, egyeletes eloszlásúak evezett, diszkrét valószíűségi változóval írhatjuk le. Nyilvávaló, hogy megszámlálhatóa végtele sok értékkel redelkező valószíűségi változó em lehet egyeletes eloszlású. 6

69 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 6 #68. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK.3. Értelmezés Diszkrét egyeletes eloszlás. Az természetes szám által meghatározott X véges diszkrét valószíűségi változót -edredű egyeletes eloszlásúak evezzük és az U kifejezéssel jelöljük. A.. ábrá az U 6-eloszlású valószíűségi változóval leírt szabályos dobókocka relatív gyakoriság és eloszlásfüggvéyét láthatjuk... ábra. A dobókocka oldalait jellemző diszkrét egyeletes eloszlású valószíűségi változó relatív gyakoriság és eloszlásfüggvéye. Ha X U, akkor első- és másodredű mometumára az illetve az E X = E X = i = i= i = i= = +, = meyiségeket kapjuk, amelyeket felhaszálva, az X valószíűségi változó szóráségyzete a alakra hozható.... Beroulli-eloszlás D X = E X [E X] = Ez a legegyszerűbb diszkrét valószíűség-eloszlás, amelyet dötési alteratívakét haszálhatuk egy adott eseméy bekövetkezésére, vagy meghiúsulására..33. Értelmezés Beroulli-eloszlás. A p 0, valószíűséggel leírt 0 X p p valószíűségi változót p-paraméterű Beroulli-eloszlásúak evezzük és a Ber p módo jelöljük. 6

70 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 63 #69.. NEVEZETES DISZKRÉT VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK Ber p-eloszlású valószíűségi változókkal például em feltétleül szabályos érmefeldobást szimulálhatuk. Egyszerű számításokkal gyorsa belátható, hogy ha X Ber p, akkor E X = p és D X = p p. A műveletek elvégzését feladatkét az olvasóra bízzuk...3. Biomiális eloszlás Az alábbiakba értelmezett eloszlás a már ismert.3.. potba bemutatott visszatevéses biomiális valószíűségi modellből származik..34. Értelmezés Biomiális eloszlás. Az természetes számtól és p 0, valószíűségtől függő k X p k p k k k {0,,...,} valószíűségi változót, p-paraméterezésű biomiális eloszlásúak evezzük és Bio, p módo jelöljük. Vegyük észre, hogy a Ber p-eloszlású valószíűségi változó valójába a speciális Bio, p- eloszlást követi! A.. ábrá a Bio8, 3 0 -eloszlású valószíűségi változó relatív gyakoriság és eloszlásfüggvéyét láthatjuk... ábra. Bio8, 3 -eloszlású valószíűségi változó relatív gyakoriság és eloszlásfüggvéye Megjegyzés Függetle és azoos paraméterű Beroulli-eloszlású valószíűségi változók összege. Vegyük észre, hogy a Bio, p-eloszlású valószíűségi változót darab függetle Ber p-eloszlású változó összegekét is előállíthatjuk! Az értelmezéseket haszálva, direkt úto is meghatározhatjuk az X Bio, p valószíűségi változó várható értékét és szóráségyzetet, viszot a.4. megjegyzés egy sokkal egyszerűbb lehetőséget biztosít az említett umerikus jellemzők meghatározására. Tekitsük a függetle és a- zoos eloszlású X i Ber p valószíűségi változókat és értelmezzük az adott Bio, p-eloszlású változót X = i= X i 63

71 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 64 #70. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK alakba! Ekkor felhaszálva a várható érték és a szóráségyzet additív tulajdoságait az E X = E X i = E X = p, illetve a i= D X = D X i = D X = p p i= kifejezéseket kapjuk. Gyakorlati alkalmazások szempotjából sokszor fotos tuduk, hogy milye k {0,,..., } értékre lesz az f X k valószíűség maximális, ahol f X az X Bio, p valószíűségi változó relatív gyakoriság függvéyét jelöli. A kérdéses érték meghatározása visszavezethető az f X k f X k egyelőtleség taulmáyozására. A lehetséges egyszerűsítések elvégzése utá az k + k p p alakot kapjuk, vagyis k + p. Tehát, amíg a k értéke em agyobb az + p számál, az f X k valószíűségek övekedek. Ha + p egész szám, akkor az f X függvéy a legagyobb értékét a k = + p potra veszi fel, de ebbe az esetbe az f X k értéke is egyelő ezzel a maximummal. Ha + p em egész szám, akkor f X a legagyobb értékét a k = [ + p] kerekítés utá kapott egész számra veszi fel, és ekkor egyetle maximális valószíűség va...4. Hipergeometrikus eloszlás Az itt leírt eloszlás szité a már ismert.3.4. potba bemutatott hipergeometrikus valószíűségi modellből származik..35. Értelmezés Hipergeometrikus eloszlás. Az N, 0 M N, 0 N természetes számokkal értelmezett k M N M X k k N max{0, N+M} k mi{,m} diszkrét valószíűségi változót N, M, -paraméterezésű hipergeometrikus eloszlásúak evezzük és H N, M, módo jelöljük. Kitűzött feladatkét az olvasóra bízzuk az X H N, M, valószíűségi változó várható értékéek és szóráségyzetéek meghatározását. Helyese godolkodva, az E X = M N, illetve a D X = M N N M N N N umerikus jellemzőket kellee kapuk. Ugyaakkor az f X relatív gyakoriság függvéy segítségével meghatározhatjuk azt a max {0, N + M} k mi {, M} értéket, amelyre az f X k valószíűség maximális. Az f X k f X k 64

72 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 65 #7.. NEVEZETES DISZKRÉT VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK egyelőtleségből egyszerű számításokkal az feltételt kapjuk, ahoa M k + k + k N M + k k M + +. N +.3 Ha tehát a.3-es egyelőtleség jobb oldalá szereplő kifejezés egész szám, akkor az ezzel egyelő k értékhez és az -gyel kisebb k értékhez tartozó valószíűségek egyelőek és maximálisak. Ha viszot a.3-es egyelőtleség jobb oldalá álló meyiség em egész szám, akkor csak a M + + k = N + lefelé kerekített értékre kapott valószíűség lesz maximális. Példakét a H 0,3,4-eloszlású valószíűségi változó relatív gyakoriság és eloszlásfüggvéyét tütettük fel a.3. ábrá..3. ábra. H 0,3,4-eloszlású valószíűségi változó relatív gyakoriság és eloszlásfüggvéye...5. Geometriai eloszlás Az itt bemutatott eloszlás szité a már ismert.3.8. potba leírt geometriai valószíűségi modellből ered..36. Értelmezés Geometriai eloszlás. A p 0, valószíűség által meghatározott X k p k p megszámlálhatóa végtele diszkrét valószíűségi változót p-paraméterű geometriai eloszlásúak evezzük és a Geo p kifejezéssel jelöljük. Az X Geo p valószíűségi változó várható értékét és szóráségyzetét a mometumok klasszikus értelmezése alapjá is meghatározhatjuk, de sokkal egyszerűbb számításokhoz jutuk, ha ikább k 65

73 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 66 #7. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK a γ X x = p p k x k+ = px p x k px = <, x p x k=0 geerátorfüggvéyt haszáljuk fel. Az első- és másodredű mometumokra az E X = γ X = d px p dx p x = x= p x = p, x= illetve az E X = γ X = p + d dx k=0 + γ X px p x = x= p + p p p x 3 = p x= kifejezéseket kapjuk, amelyekből a szóráségyzet a D X = E X [E X] = p + p p p = p p + p p, alakra hozható. A.4. ábrá p = 3 geometriai eloszlású valószíűségi változó relatív gyakoriság és eloszlásfüggvéyét láthatjuk..4. ábra. Geo 3 -eloszlású valószíűségi változó relatív gyakoriság és eloszlásfüggvéye...6. Pascal-féle vagy egatív biomiális eloszlás Az ebbe a potba ismertett eloszlás szité a már ismert.3.7. potba jellemzett Pascal-féle vagy egatív biomiális valószíűségi modellből ered..37. Értelmezés Pascal-féle vagy egatív biomiális eloszlás. Az természetes számmal és a p 0, valószíűséggel leírt + k X + k p p k k 66 k 0

74 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 67 #73.. NEVEZETES DISZKRÉT VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK megszámlálhatóa végtele valószíűségi változót -edredű p-paraméterű Pascal-féle vagy egatív biomiális eloszlásúak evezzük és a Pascal, p szimbólummal jelöljük..5. Megjegyzés Függetle és azoos Geo p-eloszlású valószíűségi változók összege. Vegyük észre, hogy a Pascal, p-eloszlású valószíűségi változó valójába Geo p-eloszlást követ, valamit, hogy az általáos Pascal, p-eloszlást darab függetle és azoos Geo p-eloszlású valószíűségi változó összetételéből yerhetjük! A.5. megjegyzés alapjá az X Pascal, p valószíűségi változó várható értékére és szóráségyzetére azoal az illetve a E X = p, D X = p p kifejezéseket kapjuk. A.5. ábra a Pascal 3, -eloszlású valószíűségi változó relatív gyakoriság és eloszlásfüggvéyét illusztrálja..5. ábra. Pascal 3, -eloszlású valószíűségi változó relatív gyakoriság és eloszlásfüggvéye...7. Poisso-eloszlás A valószíűség-számítás gyakorlati alkalmazásaiba az egyik legfotosabb szerepet a let értelmezett Poisso-eloszlás tölti be..38. Értelmezés Poisso-eloszlás. A λ > 0 álladó segítségével megszerkesztett X k λ k k! e λ diszkrét valószíűségi változót λ-paraméterű Poisso-eloszlásúak evezzük és Poisso λ alakba hivatkozuk rá. k 0 67

75 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 68 #74. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK Az X Poisso λ-eloszlású valószíűségi változó első- és másodredű mometumait közvetleül is köye meghatározhatjuk, ha figyelembe vesszük a jól ismert azoosságot. Ekkor a várható értékre az E X = k=0 k λk k! e λ = k= a másodredű mometumra pedig az E X = = = k=0 k= k= = λ + e λ = k=0 λ k k! k λk k! e λ = λe λ k λk k! e λ k λk k! e λ k λk k! e λ + k= = λ + λ e λ = λ + λ e λ = λ + λ kifejezéseket kapjuk, amelyekből a k= k k λk k! e λ k= k=0 λ k k! λ k k! k= k λk k! e λ λ k k! = λe λ k= D X = E X [E X] = λ k λk k! e λ k=0 λ k k! = λ, szóráségyzet adódik. A.6. ábrá a Poisso 5-eloszlású valószíűségi változó relatív gyakoriság és eloszlásfüggvéyét szemléltetjük..6. Megjegyzés A Poisso-eloszlású változó szemléletes jeletése. A Poisso λ-eloszlású valószíűségi változó kifejezi egy adott idő alatt ismert valószíűséggel megtörtéő eseméyek bekövetkezéséek például egy telefoközpotba adott időszakba és időtartamba beérkezett telefohívások, vagy egy radioaktív ayag adott idő alatt elbomló atomjaiak számát. Az alábbi tételbe a Poisso λ-eloszlású valószíűségi változó éháy fotosabb tulajdoságát foglaltuk össze..4. Tétel Poisso-eloszlás tulajdoságai. Igazak az alábbi kijeletések:. Poisso λ Bio, p = λ, amikor, azaz a Poisso-féle eloszlás a biomiális eloszlás aszimptotikus közelítéséek tekithető, ha, p 0, de p = λ > 0 álladó;. függetle Poisso-eloszlású valószíűségi változók összege ugyacsak Poisso-eloszlást eredméyez. 68

76 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 69 #75.. NEVEZETES DISZKRÉT VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK.6. ábra. Poisso 5-eloszlású valószíűségi változó relatív gyakoriság és eloszlásfüggvéye. Bizoyítás. Az. kijeletés igazolásához iduljuk ki a Bio, p-eloszlás f,p k = p k p k, k {0,,..., } k relatív gyakoriság függvéyéből. Elvégezve a p = λ helyettesítést, az... k + f, k = λ k! = alakot kapjuk. Felhaszálva a lim... k + λ... k + λk k! lim λ = e λ, lim λ k = k λ k λ λ k = lim... k =, határértékeket, végül a lim f λk, k = λ k! eλ, k 0 aszimptotikus egyelőséget kapjuk, ami igazolja az. kijeletésüket. A. állítás bizoyítását elégséges két függetle Poisso-eloszlású valószíűségi változóra elvégezük! Tekitsük az X Poisso λ és az Y Poisso µ függetle valószíűségi változókat, majd képezzük ezek Z = X + Y összegét. Ekkor a Z valószíűségi változó relatív gyakoriság 69

77 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 70 #76. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK függvéye az f Z z = z f X k f Y z k k=0 = z! e λ+µ z = k=0 λ + µz e λ+µ z! z! k! z k! λk µ z k alakra hozható bármely z 0 eseté, ami igazolja, hogy az összetétel is Poisso-eloszlású, paramétere pedig a kompoeseloszlások paramétereiek összege..39. Értelmezés Többdimeziós Poisso-eloszlás. A λ = [λ i ] d i= szigorúa pozitív kompoesű paramétervektor által meghatározott [k i ] d i= X [X, X,..., X d ] e d d λ ki i= λi i k i! i= k 0,k 0,...,k d 0 diszkrét valószíűségi vektort d-dimeziós λ-paramétervektorú Poisso-eloszlásúak evezzük és a Poisso d λ kifejezéssel jelöljük. Köyű beláti, hogy a.39. értelmezésbeli X Poisso d λ valószíűségi vektor peremeloszlásai is Poisso-eloszlások. Valóba, például az X kompoesre az f X k =... k =0 k 3=0 = λk k! e λ = λk k! e λ relatív gyakoriság függvéyt kapjuk. k =0 k d =0 e d i= λi λ k k! e λ k 3=0 d i= λ ki i k i! λ k3 3 k 3! e λ3... k d =0 λ k d d k d! e λ d.3. Nevezetes folytoos valószíűségi változók Ez a rész a legfotosabb folytoos valószíűségi változókat és vektorokat, illetve azok umerikus jellemzőit ismerteti. Az alábbi értelmezésekbe egy-egy leképezésről azt állítjuk, hogy sűrűségfüggvéykét haszálható. Az olvasóra bízzuk, hogy ezt a téyt elleőrizze!.3.. Egyeletes eloszlás Az alábbi értelmezés a lehető legegyszerűbb folytoos eloszlást ismerteti..40. Értelmezés Folytoos egyeletes eloszlás. Az [a, b] itervallumo a < b értelmezett,, x [a, b], f U[a,b] x = b a 0, x / [a, b] 70

78 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 7 #77.3. NEVEZETES FOLYTONOS VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK sűrűségfüggvéyű folytoos valószíűségi változót egyeletes eloszlásúak evezzük és az U [a, b] kifejezéssel jelöljük. Egyszerű számításokkal elleőrizhető, hogy az U [a, b]-eloszlású változó eloszlásfüggvéyét az 0, x < a, x a F U[a,b] x =, x [a, b], b a, x > b kifejezés adja. Ugyaakkor, ha X U [a, b], akkor első- és másodredű mometumát az b x E X = xf U[a,b] x dx = b a dx = x x=b b a = a + b <, illetve az E X = R R x f U[a,b] x dx = b meyiség határozza meg. Ekkor az X változó a a x b a dx = x 3 3 b a x=b x=a x=a = a + ab + b 3 < értékű szóráségyzete is létezik. D X = E X [E X] = b a > Expoeciális eloszlás A let értelmezett expoeciális eloszláshoz vezetek a véletle időtartamokat jelölő valószíűségi változók mit például az emberek, illetve beredezések élettartamával kapcsolatos valószíűségi változók..4. Értelmezés Expoeciális eloszlás. A λ > 0 valós számtól függő { λe f Expλ x = λx, x > 0, 0, x 0.3 sűrűségfüggvéyű folytoos valószíűségi váltózót λ-paraméterű expoeciális eloszlásúak evezzük és az Exp λ szimbólummal jelöljük. Itegrálással azoal megkaphatjuk az Exp λ-eloszlás { e F Expλ x = λx, x > 0, 0, x 0 eloszlásfüggvéyét. A.7. ábrá külöböző paraméterezésű expoeciális eloszlások sűrűség- és eloszlásfüggvéyét láthatjuk. Parciális itegrálást alkalmazva, egy X Exp λ valószíűségi változó első- és másodredű mometumára az E X = xf Expλ x dx = λ xe λx dx = λ λ xe λx x= x=0 + e λx dx λ = R 0 e λx dx = λ e λx x= x=0 = λ <, 0 0 7

79 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 7 #78. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK.7. ábra. Az Exp λ-eloszlás sűrűség- és eloszlásfüggvéye a λ =,, paraméterek eseté. illetve az E X = R x f Expλ x dx = λ = λ E X = λ < kifejezéseket kapjuk, ahoa a 0 x e λx dx = λ λ x e λx x= + x=0 λ 0 xe λx dx D X = E X [E X] = λ szóráségyzet is adódik. Ugyaeze meyiségeket kapjuk, ha az X változó ϕ Expλ t = E e itx = λ karakterisztikus függvéyét haszáljuk: 0 e itx e λx dx = λ = λ λ it x= e xλ it = λ x=0 λ it, t R E X = i ϕ Expλ 0 = i E X = i ϕ Expλ 0 = i λi λ it = λ, t=0 λi λ it 3 = λ. t=0 0 e xλ it dx Megfigyelhető, hogy a karakterisztikus függvéy haszálatával egyszerűbb a magasabbredű cetrált mometumok kiszámítása. A továbbiakba gyakra foguk haszáli két segédfüggvéyt, ezért célszerűek tartjuk már most bevezeti ezeket..4. Értelmezés Euler-féle gamma-függvéy. Mide szigorúa pozitív valós részű z C komplex számra a Γ z = t z e t dt

80 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 73 #79.3. NEVEZETES FOLYTONOS VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK itegrál abszolút koverges. Az így értelmezett leképezést Euler-féle gamma-függvéyek evezzük. Parciális itegrálással kimutatható a Γ z + = zγ z, z C : Re z > 0.34 rekurzió is. Mivel mide N természetes számra Γ =!, az Euler-féle gammafüggvéyt a természetes számok faktoriális műveletéek kiterjesztésekét foghatjuk fel. Érdekességképpe megemlítjük, hogy Γ = π ez a speciális érték időkét előfordul majd a számításaik sorá..43. Értelmezés Euler-féle béta-függvéy. Bármely szigorúa pozitív valós részű x, y C komplex számpárra a B x, y = t x t y dt.35 0 itegrál abszolút koverges és Euler-féle béta-függvéyek evezzük. A most értelmezett függvéy kapcsolatba áll az Euler-féle gamma-függvéyel a összefüggése keresztül. B x, y = Γ x Γ y, x, y C : Re x > 0, Re y > 0 Γ x + y Normális eloszlás Mid a valószíűségelmélet, mid pedig a későbbi alkalmazások szempotjából az egyik legevezetesebb eloszlás az alább értelmezett ormális, vagy Gauss-féle eloszlás..44. Értelmezés Normális eloszlás. A µ R és σ > 0 paraméterekkel értelmezett f N µ,σ x = e x µ σ, x R π σ.37 sűrűségfüggvéyű folytoos valószíűségi változót ormális eloszlásúak hívjuk és az N µ, σ kifejezéssel jelöljük. A µ = 0 és σ = sajátságos esetbe stadard ormális eloszlású változóról beszélük. A.8. ábrá külöböző paraméterezésű ormális eloszlások sűrűség- és eloszlásfüggvéyeit tütettük fel. Vegyük észre, hogy stadard ormális eloszlású valószíűségi változó lieáris traszformációjával tetszőleges ormális eloszlású valószíűségi változót előállíthatuk!.5. Tétel Stadard ormális eloszlású valószíűségi változó lieáris traszformációja. Ha az X valószíűségi változó stadard ormális eloszlású, akkor az Y = σx + µ változó N µ, σ ormális eloszlást követ mide µ R és σ > 0 paraméter eseté. Bizoyítás. Tekitsük a stadard ormális eloszlás f N 0, x = π e x, x R sűrűségfüggvéyét és F N 0, x = x f N 0, t dt = π x e t dt, x R 73

81 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 74 #80. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK.8. ábra. Az N µ, σ-eloszlás sűrűség- és eloszlásfüggvéye a µ = 0, σ =, µ = 3, σ = 3 beállítások eseté. µ =, σ = és eloszlásfüggvéyét, továbbá jelölje F Y Ekkor az Y sűrűségfüggvéyére az f Y x = d dx F Y x = d d P Y < x = dx dx P = d x µ dx F N 0, = σ σ f N 0, az Y = σx + µ valószíűségi változó eloszlásfüggvéyét! X < x µ σ x µ σ = e x µ σ, x R π σ kifejezést kapjuk, ami befejezi a kijeletés igazolását. Az X N µ, σ valószíűségi változó várható értékét, szóráségyzetét, illetve magasabb redű cetrált mometumjait kiértékelhetjük a klasszikus értelmezésekből adódó képletek, illetve parciális itegrálás alkalmazásával is. Mi itt újból az egyszerűbb utat, a karakterisztikus függvéy haszálatát, ajáljuk. A.4-es képlet alapjá, a stadard ormális eloszlás karakterisztikus függvéyére a ϕ N 0, t = π R = π e t = e itx e x dx = π R e x it dx = π e π t = e t, t R R e x itx t t dx π e t 0 e x it dx kifejezést kapjuk. Ha a.0. tétel 5. tulajdoságát a.5. tétel állításával ötvözzük, akkor az N µ, σ általáos ormális eloszlás karakterisztikus függvéyét a ϕ N µ,σ t = e iµt ϕ N 0, σt = e iµt σ t, t R alakra hozhatjuk. Legye X N 0, egy stadard ormális eloszlású valószíűségi változó! Ekkor a.0. tétel 4. tulajdosága miatt az első- és másodredű mometumjai azoal meghatározhatóak. Valóba, az 74 E X = i ϕ N 0, 0 = i te t t=0 = 0,

82 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 75 #8.3. NEVEZETES FOLYTONOS VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK illetve az E X = i ϕ N 0, 0 = i t e t t=0 = = D X meyiségeket azaz éppe a stadard ormális eloszlás két paraméterértékét kapjuk. Az Y = σx+µ N µ, σ változóra alkalmazva a várható érték és szóráségyzet tulajdoságait, szité egyszerűe meghatározhatóak az általáos ormális eloszlást jellemző umerikus értékek. E Y = σe X + E µ = 0 + µ = µ, D Y = σ D X + D µ = σ + 0 = σ.3.4. Többdimeziós ormális eloszlás A ormális eloszlású valószíűségi változók külöös fotossága miatt a többdimeziós ormális eloszlású valószíűségi vektort is értelmezzük..45. Értelmezés Többváltozós ormális eloszlású valószíűségi vektor. Az általáos d-dimeziós d ormális eloszlású X = t [X i ] d i= valószíűségi vektort az f Nd µ,σ x = e π d x µt Σ x µ, x = t [x i ] R d det Σ.38 sűrűségfüggvéyel jellemezzük és az N d µ, Σ szimbólummal jelöljük, ahol a em feltétleül függetle X i kompoesek N µ i, σ i paraméterű µ i R, σ i > 0 ormális eloszlású valószíűségi változók, µ = t [E X i ] d i= = t [µ i ] d i= Rd az egyes kompoesek várható értékeit tartalmazó vektor, Σ = [cov X i, X j ] d,d i=,j= = [E X i µ i X j µ j ] d,d i=,j= = [ρ ijσ i σ j ] d,d i=,j= M d,d R a kompoesek közti kovariacia-együtthatókból képezett pozitív defiit szimmetrikus mátrix, és [ρ ij ] d,d i=,j= M d,d [,] a kompoesek közti korrelációs együtthatók szimmetrikus mátrixa. A most bevezetett jelölés értelmébe a d-dimeziós függetle kompoesű stadard ormális eloszlású valószíűségi vektorra N d 0 d, d alakba hivatkozhatuk, ahol 0 d az R d tér origóját, d pedig a d-dimeziós egységmátrixot jelöli. Kétdimeziós esetbe, a µ = t [µ, µ ] és a [ Σ = σ ρσ σ ρσ σ σ megválasztással, a ρ [, +] korrelációs együtthatójú t [X N µ, σ, X N µ, σ ] ] biormális eloszlású valószíűségi vektor sűrűségfüggvéye az f Nµ,Σ x, x = [ x µ x πσ σ ρ e ρ σ ρ µ σ x µ x µ σ + σ ], x, x R 75

83 prob ad stat Agosto Roth 03 0/3/5 0: page 76 #8. VALÓSZíNŰSÉGI VÁLTOZÓK ÉS VEKTOROK alakot ölti, amely valójába egy kétváltozós valós értékű függvéy, azaz egy domborzatjellegű felület. A.9. ábrá külöböző paraméterezésű kétdimeziós ormális eloszláshoz tartozó sűrűség- és eloszlásfüggvéyeket láthatuk. Az együttes sűrűségfüggvéyek tulajdoságait részletező.6. tétel alapjá kijelethetjük, hogy a.38-as többváltozós függvéyek az R d tartomáyo vett itegrálja és ezért sajátosa a bal oldali ábrá látható midegyik felület, valamit az 0x x koordiátasík közötti térfogatelem egységyi agyságú!.9. ábra. Külöböző paraméterezésű kétdimeziós ormális eloszlások sűrűség- és eloszlásfüggvéyeit láthatjuk: a µ = [µ, µ ] = [ 3,3], σ = 7, 4 σ = 3, ρ = 0,8 a kompoesek külüböző szórásúak és 4 korelláltak; b µ = [µ, µ ] = [0,0], σ = σ =, ρ = 0 stadard ormális eloszlás; c µ = [µ, µ ] = [4, ], σ = 3, 4 σ =, ρ = 0 a kompoesek függetleek, de külöböző szórásúak Pearso-féle χ -eloszlás Gyakorlati alkalmazásokba, a megfigyelési adatok statisztikai feldolgozásakor, gyakra szembesülük az alább értelmezett Pearso-féle χ -eloszlással. Később, a emegyeletes eloszlású véletleszám-geerátorokat bemutató 3. fejezetbe, kimutatjuk, hogy ez az eloszlás a ormális eloszlásból származtatható. Türelmetleebb olvasóikat a 3.3. tétel taulmáyozására kérjük..46. Értelmezés Pearso-féle χ, σ-eloszlás. Az x e x σ f χ,σ x = σ Γ, x > 0, 0, x 0.39 sűrűségfüggvéyel adott σ > 0 skálázási téyezőjű és szabadságfokú/alakparaméterű N folytoos valószíűségi változót χ, σ-eloszlásúak evezzük. Amit hamarosa láti fogjuk, a λ > 0 paraméterű expoeciális, illetve az szabadságfokú és σ > 0 skálázási téyezőjű χ, σ-eloszlású folytoos valószíűségi változókat egy speciális, úgyevezett gamma-eloszlás sajátságos paraméterezésű eseteikét kaphatjuk vissza. Ezért a χ, σ- eloszlású valószíűségi változót jellemző umerikus értékek kiszámítását a későbbiekre hagyjuk Gamma-eloszlás A véletleszám-geerátorokkal kapcsolatos 3. fejezetbe számos, gamma-eloszlású valószíűségi változót mitavételező algoritmust ismertetük majd, mert ez az eloszlás szoros összefüggésbe 76