Hamilton-körök és DNS molekulák
|
|
- Márton Bodnár
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 GoBack
2 Hamilton-körök és DNS Tengely Szabolcs november 4 tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 1
3 Gráfok Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása G = (V,E) egyszerű gráf, ha V egy véges halmaz és E ( V 2), V elemei a G gráf csúcsai, E elemei a G gráf élei, (a,b)-út: a = x 0,e 1,x 1,...,e n,x n = b sorozat, ahol x i x j,i j esetén, kör: a = x 0,e 1,x 1,...,e n,x 0 = a sorozat, ahol az x 0,x 1,...,x n 1 csúcsok és az e 1,e 2,...,e n élek páronként különbözőek, Hamilton-út: olyan G-beli út, amely G minden pontját tartalmazza, Hamilton-kör: olyan G-beli kör, amely G minden pontját tartalmazza. tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 2
4 Példa Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 3
5 Példa Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása csúcsok halmaza: {0, 1,...,11} tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 3
6 Példa Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása csúcsok halmaza: {0, 1,...,11} élek halmaza: {(0, 1), (0, 2),..., (10, 11)} tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 3
7 Példa Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása csúcsok halmaza: {0, 1,...,11} élek halmaza: {(0, 1), (0, 2),..., (10, 11)} (0, 11)-út: tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 3
8 Példa Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása csúcsok halmaza: {0, 1,...,11} élek halmaza: {(0, 1), (0, 2),..., (10, 11)} (0, 11)-út: kör: tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 3
9 Példa Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása csúcsok halmaza: {0, 1,...,11} élek halmaza: {(0, 1), (0, 2),..., (10, 11)} (0, 11)-út: kör: Hamilton-út: tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 3
10 Példa Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása csúcsok halmaza: {0, 1,...,11} élek halmaza: {(0, 1), (0, 2),..., (10, 11)} (0, 11)-út: kör: Hamilton-út: Hamilton-kör: Tétel.(Dirac, 1952) Legyen G n-pontú egyszerű gráf, ahol n 3. Ha G-ben minden pont foka legalább n/2, akkor G-ben van Hamilton-kör. tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 3
11 Nehéz dió Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Nem létezik effektív algoritmus Hamilton-út keresésére. Adott egy G gráf n csúccsal. tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 4
12 Nehéz dió Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Nem létezik effektív algoritmus Hamilton-út keresésére. Adott egy G gráf n csúccsal. 1. Generáljunk utakat G-ben, tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 4
13 Nehéz dió Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Nem létezik effektív algoritmus Hamilton-út keresésére. Adott egy G gráf n csúccsal. 1. Generáljunk utakat G-ben, 2. minden út esetében vizsgáljuk meg: tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 4
14 Nehéz dió Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Nem létezik effektív algoritmus Hamilton-út keresésére. Adott egy G gráf n csúccsal. 1. Generáljunk utakat G-ben, 2. minden út esetében vizsgáljuk meg: a az út a megfelelő ponttal kezdődik és a megfelelő pontban végződik, ha nem, hagyjuk ki az utat a halmazból, tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 4
15 Nehéz dió Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Nem létezik effektív algoritmus Hamilton-út keresésére. Adott egy G gráf n csúccsal. 1. Generáljunk utakat G-ben, 2. minden út esetében vizsgáljuk meg: a az út a megfelelő ponttal kezdődik és a megfelelő pontban végződik, ha nem, hagyjuk ki az utat a halmazból, b az út pontosan n csúcson megy át, ha nem, hagyjuk ki az utat a halmazból, tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 4
16 Nehéz dió Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Nem létezik effektív algoritmus Hamilton-út keresésére. Adott egy G gráf n csúccsal. 1. Generáljunk utakat G-ben, 2. minden út esetében vizsgáljuk meg: a az út a megfelelő ponttal kezdődik és a megfelelő pontban végződik, ha nem, hagyjuk ki az utat a halmazból, b c az út pontosan n csúcson megy át, ha nem, hagyjuk ki az utat a halmazból, minden csúcson átmegy, ha nem, hagyjuk ki az utat a halmazból, tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 4
17 Nehéz dió Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Nem létezik effektív algoritmus Hamilton-út keresésére. Adott egy G gráf n csúccsal. 1. Generáljunk utakat G-ben, 2. minden út esetében vizsgáljuk meg: a az út a megfelelő ponttal kezdődik és a megfelelő pontban végződik, ha nem, hagyjuk ki az utat a halmazból, b c az út pontosan n csúcson megy át, ha nem, hagyjuk ki az utat a halmazból, minden csúcson átmegy, ha nem, hagyjuk ki az utat a halmazból, 3. ha maradt út, akkor létezik Hamilton-út G-ben. tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 4
18 DNS Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 5
19 DNS Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Adenine(A), Cytosine(C), Guanine(G), Thymine(T) csak A-T, C-G kapcsolódások fordulnak elő tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 5
20 Kódolás Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Adleman, 1994: 7 csúcs, 14 él, 20 hosszú DNS láncok. tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 6
21 Kódolás Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Adleman, 1994: 7 csúcs, 14 él, 20 hosszú DNS láncok. A mi leegyszerűsített példánkban: Miskolc: AAAAGGGG Budapest: CCCCTTTT Szeged: AGAGCTCT Debrecen: GAGATCTC tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 6
22 Kódolás Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Adleman, 1994: 7 csúcs, 14 él, 20 hosszú DNS láncok. A mi leegyszerűsített példánkban: Miskolc: AAAAGGGG Budapest: CCCCTTTT Szeged: AGAGCTCT Debrecen: GAGATCTC Miskolc-Budapest él: CCCCGGGG Miskolc-Szeged él: CCCCTCTC Miskolc-Debrecen él: CCCCCTCT tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 6
23 Megoldás Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Miskolcról kiindulva keresünk Hamilton-kört, minden kódoló molekula hossza 8, így 40 hosszú at keresünk. tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 7
24 Megoldás Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Miskolcról kiindulva keresünk Hamilton-kört, minden kódoló molekula hossza 8, így 40 hosszú at keresünk. Egy megoldást meghatározó molekula: CCCC CTCT AGAG TTTT CCCC CTCT AGAG TTTT AAAA GGGG GAGA TCTC AAAA GGGG GAGA TCTC AAAA GGGG Miskolc-Debrecen-Budapest-Szeged-Miskolc. tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 7
25 Megoldás Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Miskolcról kiindulva keresünk Hamilton-kört, minden kódoló molekula hossza 8, így 40 hosszú at keresünk. Egy megoldást meghatározó molekula: CCCC CTCT AGAG TTTT CCCC CTCT AGAG TTTT AAAA GGGG GAGA TCTC AAAA GGGG GAGA TCTC AAAA GGGG Miskolc-Debrecen-Budapest-Szeged-Miskolc. Nem megoldás, de megfelelő hosszúságú: CCCC CTCT AGAG GGGG AAAA TCTC GAGA TTTT AAAA GGGG GAGA TCTC CCCC TTTT AGAG CTCT AAAA GGGG Miskolc-Debrecen-Miskolc-Debrecen-Miskolc tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 7
26 Hossz - Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Adlemannak meg kellett határoznia a sorozatokat, hogy eldöntse a Hamilton-út létezésének kérdését. (Időigényes) Viszont pozitív válasz esetén konstruktív eljárás! tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 8
27 Hossz - Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Adlemannak meg kellett határoznia a sorozatokat, hogy eldöntse a Hamilton-út létezésének kérdését. (Időigényes) Viszont pozitív válasz esetén konstruktív eljárás! Frisco, Henkel, Tengely (2004): Hamilton-út létezésének eldöntése megfelelő hosszúságú DNS lánc jelenléte alapján. tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 8
28 Hossz - Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Adlemannak meg kellett határoznia a sorozatokat, hogy eldöntse a Hamilton-út létezésének kérdését. (Időigényes) Viszont pozitív válasz esetén konstruktív eljárás! Frisco, Henkel, Tengely (2004): Hamilton-út létezésének eldöntése megfelelő hosszúságú DNS lánc jelenléte alapján. Kódolás megváltoztatása, azonos hosszúságú helyett speciálisan megválasztott DNS láncok. tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 8
29 S 1 n halmazok Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Az S 1 n halmaz olyan {a 1,...,a n } halmazokból áll, amelyekre teljesül, hogy az a 1 x 1 + a 2 x a n x n = a 1 + a a n egyenletnek csak a triviális x i = 1 megoldása van, ahol x i 0 egész. tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 9
30 S 1 n halmazok Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Az S 1 n halmaz olyan {a 1,...,a n } halmazokból áll, amelyekre teljesül, hogy az a 1 x 1 + a 2 x a n x n = a 1 + a a n egyenletnek csak a triviális x i = 1 megoldása van, ahol x i 0 egész. {4, 6, 7} S 1 3, mert a 4x 1 + 6x 2 + 7x 3 = 17 egyenlet egyetlen megoldása az x 1 = x 2 = x 3 = 1, tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 9
31 S 1 n halmazok Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Az S 1 n halmaz olyan {a 1,...,a n } halmazokból áll, amelyekre teljesül, hogy az a 1 x 1 + a 2 x a n x n = a 1 + a a n egyenletnek csak a triviális x i = 1 megoldása van, ahol x i 0 egész. {4, 6, 7} S 1 3, mert a 4x 1 + 6x 2 + 7x 3 = 17 egyenlet egyetlen megoldása az x 1 = x 2 = x 3 = 1, {3, 5, 7} / S 1 3, mert x 1 = 0,x 2 = 3,x 3 = 0 is megoldás. tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 9
32 S 1 n Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Tétel. Ha h H Sn 1, akkor n h/ tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 10
33 S 1 n Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Tétel. Ha h H Sn 1, akkor n h/ Bizonyítás. Tegyük fel, hogy n > h/ Ekkor a skatulyaelv miatt léteznek h i,h j H,h i h j, amelyekre h i + h j 0 mod h. Ellentmondás. tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 10
34 S 1 n Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Tétel. Ha h H Sn 1, akkor n h/ Bizonyítás. Tegyük fel, hogy n > h/ Ekkor a skatulyaelv miatt léteznek h i,h j H,h i h j, amelyekre h i + h j 0 mod h. Ellentmondás. Legyen G n = n i=1 {2n 2 n i }. tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 10
35 S 1 n Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Tétel. Ha h H Sn 1, akkor n h/ Bizonyítás. Tegyük fel, hogy n > h/ Ekkor a skatulyaelv miatt léteznek h i,h j H,h i h j, amelyekre h i + h j 0 mod h. Ellentmondás. Legyen G n = n i=1 {2n 2 n i }. G 1 = {1} tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 10
36 S 1 n Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Tétel. Ha h H Sn 1, akkor n h/ Bizonyítás. Tegyük fel, hogy n > h/ Ekkor a skatulyaelv miatt léteznek h i,h j H,h i h j, amelyekre h i + h j 0 mod h. Ellentmondás. Legyen G n = n i=1 {2n 2 n i }. G 1 = {1} G 2 = {2, 3} tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 10
37 S 1 n Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Tétel. Ha h H Sn 1, akkor n h/ Bizonyítás. Tegyük fel, hogy n > h/ Ekkor a skatulyaelv miatt léteznek h i,h j H,h i h j, amelyekre h i + h j 0 mod h. Ellentmondás. Legyen G n = n i=1 {2n 2 n i }. G 1 = {1} G 2 = {2, 3} G 3 = {4, 6, 7} tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 10
38 S 1 n Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Tétel. Ha h H Sn 1, akkor n h/ Bizonyítás. Tegyük fel, hogy n > h/ Ekkor a skatulyaelv miatt léteznek h i,h j H,h i h j, amelyekre h i + h j 0 mod h. Ellentmondás. Legyen G n = n i=1 {2n 2 n i }. G 1 = {1} G 2 = {2, 3} G 3 = {4, 6, 7} G 4 = {8, 12, 14, 15} tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 10
39 S 1 n Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Tétel. Ha h H Sn 1, akkor n h/ Bizonyítás. Tegyük fel, hogy n > h/ Ekkor a skatulyaelv miatt léteznek h i,h j H,h i h j, amelyekre h i + h j 0 mod h. Ellentmondás. Legyen G n = n i=1 {2n 2 n i }. G 1 = {1} G 2 = {2, 3} G 3 = {4, 6, 7} G 4 = {8, 12, 14, 15} Tétel. Minden pozitív egész n-re G n S 1 n. tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 10
40 G n alkalmazása Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Az egyszerű Budapest-Debrecen-Miskolc-Szeged példánkban Debrecen-Szeged Hamilton-út létezésének kérdése esetén használhatjuk G n elemeit, mint a csúcsok kódjait: tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 11
41 G n alkalmazása Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Az egyszerű Budapest-Debrecen-Miskolc-Szeged példánkban Debrecen-Szeged Hamilton-út létezésének kérdése esetén használhatjuk G n elemeit, mint a csúcsok kódjait: Budapest - 8 Debrecen - 12 Miskolc - 14 Szeged - 15 Egy Hamilton-utat reprezentáló molekula hossza 49 lenne, ha létezik ilyen hosszú molekula, akkor létezik Debrecen-Szeged Hamilton-út és nem szükséges "dekódolni" a DNS láncokat. tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 11
42 Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása Köszönöm a figyelmet! tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 12
Hamilton-körök és DNS molekulák
GoBack Hamilton-körök és DNS Tengely Szabolcs 2005. november 4 tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 1 Gráfok G = (V,E) egyszerű gráf, ha V egy véges halmaz és E ( V 2), V elemei a G gráf
RészletesebbenTÖRTénet EGÉSZ pontokról
TÖRTénet EGÉSZ pontokról Tengely Szabolcs 2008. március 21. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Algebrai Algebrai Elliptikus Legyen f É [X, Y ], C(R) = {(x, y) R 2 : f(x, y) = 0}. génusz
RészletesebbenEgész pontokról racionálisan
Egész pontokról racionálisan Tengely Szabolcs 2008. április 16. Intézeti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Algebrai görbék Algebrai görbék Legyen f Q[X, Y ], C(R) = {(x, y) R 2 : f(x, y) = 0}. génusz
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenMagyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás
Magyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás Tengely Szabolcs 2007. november 9. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Eredmények Eredmények Chabauty (T.Sz.): On the Diophantine equation
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. előadás Gráfok halmaza, gráf, ahol a csúcsok halmaza, az élek illesztkedés reláció: illesztkedik az élre, ha ( -él illesztkedik
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenFeladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a
Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. tétel - Gráfok alapfogalmai
1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 18. előadás
Algoritmuselmélet 18. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Május 7. ALGORITMUSELMÉLET 18. ELŐADÁS 1 Közelítő algoritmusok
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Bonyolultságelmélet Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz. Diszkrét matematika 2.C szakirány 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 207.
Részletesebben25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel
5. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel Axióma: Bizonyítás: olyan állítás, amelynek igazságát bizonyítás nélkül elfogadjuk.
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenDNS-számítógép. Balló Gábor
DNS-számítógép Balló Gábor Bevezetés A nukleinsavak az élő szervezetek egyik legfontosabb alkotórészei. Ezekben tárolódnak ugyanis az öröklődéshez, és a fehérjeszintézishez szükséges információk. Bár a
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára 7. Előadás Párosítási tételek Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Kovácsházi Anna
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 7. Előadás Párosítási tételek Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Kovácsházi Anna 2010. 10. 18. 2 7. Párosítási tételek.nb 7. Előadás Emlékeztető: Javító út, Javító
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 4. előadás Eulerséta: Olyan séta, mely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza. Tétel: egy összefüggő gráf. Ha minden
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. május 5. KÖZÉPSZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. május 5. KÖZÉPSZINT I. 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x 1x 4 0 Az egyenlet gyökei 1, 5 és 8. ) Számítsa ki a 1 és 75 számok mértani közepét! A mértani
RészletesebbenAlgoritmizálás, adatmodellezés tanítása 7. előadás
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 7. előadás Oszd meg és uralkodj! Több részfeladatra bontás, amelyek hasonlóan oldhatók meg, lépései: a triviális eset (amikor nincs rekurzív hívás) felosztás (megadjuk
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
RészletesebbenProgramozási módszertan. Dinamikus programozás: Nyomtatási feladat A leghosszabb közös részsorozat
PM-04 p. 1/18 Programozási módszertan Dinamikus programozás: Nyomtatási feladat A leghosszabb közös részsorozat Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu
RészletesebbenKiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése
Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Az Ordó jelölés Azt mondjuk, hogy az f(n) függvény eleme az Ordó(g(n)) halmaznak, ha van olyan c konstans (c
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenProgramozási módszertan. Dinamikus programozás: A leghosszabb közös részsorozat
PM-07 p. 1/13 Programozási módszertan Dinamikus programozás: A leghosszabb közös részsorozat Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu PM-07
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
RészletesebbenELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom
Diszkrét Matematika 2 vizsgaanyag ELTE IK Esti képzés 2017. tavaszi félév Tartalom 1. Számfogalom bővítése, homomorfizmusok... 2 2. Csoportok... 9 3. Részcsoport... 11 4. Generátum... 14 5. Mellékosztály,
RészletesebbenHalmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,
RészletesebbenA továbbiakban Y = {0, 1}, azaz minden szóhoz egy bináris sorozatot rendelünk
1. Kódelmélet Legyen X = {x 1,..., x n } egy véges, nemüres halmaz. X-et ábécének, elemeit betűknek hívjuk. Az X elemeiből képzett v = y 1... y m sorozatokat X feletti szavaknak nevezzük; egy szó hosszán
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Részletesebben(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak
(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak osztályozása) March 21, 2019 Markov-láncok A Markov-láncok anaĺızise főként a folyamat lehetséges realizációi valószínűségeinek kiszámolásával foglalkozik. Ezekben
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 7. előadás
Algoritmuselmélet 7. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Március 11. ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 1 Múltkori
Részletesebben1372 Miskolc Polgár Debrecen Hajdúszoboszló
1372 Miskolc Polgár Debrecen Hajdúszoboszló Km BORSOD VOLÁN Zrt. 321 1371 311 1373 103 113 203 243 213 133 223 0,0 0,0 Miskolc,aut.áll. k 5 30 5 50 6 00 6 20 7 00 M 8 00 14 8 20 8 45 D 9 00 9 30 X10 20
RészletesebbenMATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
RészletesebbenAz osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból
Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.
RészletesebbenGráfok csúcsszínezései
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Gráfok csúcsszínezései 2012. október 1. Előadó: Hajnal Péter 1. (Csúcs)színezések alapfogalmai Emlékeztetőként idézzünk fel néhány korábban tanult
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat
NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin
RészletesebbenHAMILTON ÚT: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó út
SÍKBA RAJZOLHATÓ GRÁFOK ld. előadás diasorozat SZÍNEZÉS: ld. előadás diasorozat PÉLDA: Reguláris 5 gráf színezése 4 színnel Juhász, PPKE ITK, 007: http://users.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/juhasz_5_foku_graf.bmp
Részletesebbendefiniálunk. Legyen egy konfiguráció, ahol és. A következő három esetet különböztetjük meg. 1. Ha, akkor 2. Ha, akkor, ahol, ha, és egyébként.
Számításelmélet Kiszámítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést, amire számítógéppel szeretnénk megadni a választ. (A matematika nyelvén precízen megfogalmazott
RészletesebbenKÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint
RészletesebbenMATEMATIKA A és B variáció
MATEMATIKA A és B variáció A Híd 2. programban olyan fiatalok vesznek részt, akik legalább elégséges érdemjegyet kaptak matematikából a hatodik évfolyam végén. Ezzel együtt az adatok azt mutatják, hogy
RészletesebbenAdatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter
Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter 1 Fák Fákat akkor használunk, ha az adatok között valamilyen alá- és fölérendeltség van. Pl. könyvtárszerkezet gyökér (root) Nincsennek hurkok!!! 2 Bináris fák Azokat
RészletesebbenBevezetés az algebrába az egész számok
Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók
RészletesebbenGráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma
Készítette: Laczik Sándor János Gráfelmélet I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Definíció: a G=(V,E) párt egyszerű gráfnak nevezzük, (V elemeit a gráf csúcsainak/pontjainak,e elemeit
RészletesebbenMATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a
RészletesebbenHAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör. Forrás: (
HAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör Teljes gráf: Páros gráf, teljes páros gráf és Hamilton kör/út Hamilton kör: Minden csúcson áthaladó kör Hamilton kör Forrás: (http://www.math.klte.hur/~tujanyi/komb_j/k_win_doc/g0603.doc
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára
ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára 7. Előadás: Hálózatok, P- és N P-teljes problémák Előadó: Hajnal Péter 2015. tavasz 1. Hálózatok és egy P-teljes probléma Emlékeztető.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenKövetkezik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
RészletesebbenGRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus
GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,
Részletesebben2. Visszalépéses keresés
2. Visszalépéses keresés Visszalépéses keresés A visszalépéses keresés egy olyan KR, amely globális munkaterülete: egy út a startcsúcsból az aktuális csúcsba (az útról leágazó még ki nem próbált élekkel
Részletesebben11. előadás. Konvex poliéderek
11. előadás Konvex poliéderek Konvex poliéder 1. definíció: Konvex poliédernek nevezzük a térben véges sok, nem egysíkú pont konvex burkát. 2. definíció: Konvex poliédernek nevezzük azokat a térbeli korlátos
RészletesebbenMATEMATIKA tankönyvcsaládunkat
Bemutatjuk a NAT 01 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat 9 10 1 MATEMATIKA A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenMatematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára
Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási
RészletesebbenOsztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 10 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
RészletesebbenKosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési
RészletesebbenFonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein
A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás (infinite descent) egy indirekt bizonyítási módszer, ami azon alapul, hogy a természetes számok minden
RészletesebbenMATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok
MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve
RészletesebbenDiszkrét matematika II. gyakorlat
Név: EHA-kód: 1. 2. 3. 4. 5. Diszkrét matematika II. gyakorlat 1. ZH 2014. március 19. Uruk-hai csoport 1. Feladat. 4 pont) Oldja meg az 5 122 x mod 72) kongruenciát? Érdekesség: az 5 122 szám 86 számjegyű.)
RészletesebbenCOMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET
COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET 5. osztály 2015/2016. tanév Készítette: Tóth Mária 1 Tananyagbeosztás Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Témakörök:
RészletesebbenIII. Gráfok. 1. Irányítatlan gráfok:
III. Gráfok 1. Irányítatlan gráfok: Jelölés: G=(X,U), X a csomópontok halmaza, U az élek halmaza X={1,2,3,4,5,6}, U={[1,2], [1,4], [1,6], [2,3], [2,5], [3,4], [3,5], [4,5],[5,6]} Értelmezések: 1. Fokszám:
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
RészletesebbenAlapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból
Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból (A szakirány, 2015-2016 tavaszi félév) A számonkérés során ezeknek a definícióknak, tételkimondásoknak az alapos megértését is számon kérjük. A példakérdések
RészletesebbenRamsey tétele(i) gráfokra
Ramsey tétele(i) gráfokra A témakör a szociológusok alábbi észrevételének általánosítása: legalább hat tagú társaságban vagy van háromfős klikk, vagy van háromfős antiklikk. Itt klikk olyan emberek halmazát
RészletesebbenRSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
Részletesebben13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste
13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a
RészletesebbenGráfelméleti alapfogalmak-1
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára Gráfelméleti alapfogalmak Előadó: Hajnal Péter 2015 1. Egyszerű gráfok Nagyon sok helyzetben egy alaphalmaz elemei között kitűntetett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI
A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja
RészletesebbenAz áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!
Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április
RészletesebbenNagyordó, Omega, Theta, Kisordó
A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,
RészletesebbenMás szavakkal formálisan:, ahol olyan egész szám, hogy. Más szavakkal formálisan:, ahol olyan egész szám, hogy.
Bevezetés 1. Definíció. Az alsó egészrész függvény minden valós számhoz egy egész számot rendel hozzá, éppen azt, amely a tőle nem nagyobb egészek közül a legnagyobb. Az alsó egészrész függvény jele:,
RészletesebbenDOMSZKY ZOLTÁN. Rendhagyó matek II.
DOMSZKY ZOLTÁN Rendhagyó matek II. Ajánlom ezt a könyvet illetve sorozatot mind közül is legkedvesebb tanáraimnak, Molnár Györgynének, aki korrekt szigorúságával a középiskolában alapozta meg szeretetemet
RészletesebbenRend, rendezetlenség, szimmetriák (rövidített változat)
Rend, rendezetlenség, szimmetriák (rövidített változat) dr. Tasnádi Tamás 1 2018. február 16. 1 BME, Matematikai Intézet Tartalom Mi a rend? Érdekes grafikáktól a periodikus rácsokig Nem periodikus parkettázások
RészletesebbenGráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 13. Előadás
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 13. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2009. december 7. Gráfok sajátértékei Definíció. Egy G egyszerű gráf sajátértékei az A G
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenAlgoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 11. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm () 1 / 1 NP-telesség Egy L nyelv NP-teles, ha L NP és minden L NP-re L L. Egy Π döntési feladat NP-teles, ha Π NP és
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 1 / 24 3.1 Differenciaegyenlet fogalma, egzisztencia- és unicitástétel
Részletesebben2018, Diszkre t matematika. 8. elo ada s
Diszkre t matematika 8. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,
RészletesebbenSali Attila Budapest Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. I. B. 137/b március 16.
Bevezetés a Számításelméletbe II. 6. előadás Sali Attila Budapest Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi és Információelméleti Tsz. I. B. 7/b sali@cs.bme.hu 004 március 6. A kritikus út
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. március 9. 1. Diszkrét matematika 2. 4. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. március 9. Gráfelmélet Diszkrét
RészletesebbenMatematika. Specializáció. 11 12. évfolyam
Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes
Részletesebben