A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából FIZIKA II.

Átírás

1 Oktatási Hivatal 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából FIZIK II. KTEGÓRI Javítási-értékelési útmutató 1.) ízszintes, egyenes sínpáron fékezés nélkül halad egy 00 méter hosszú, mozdony nélküli vasúti szerelvény, ami nagyszámú egyforma vasúti kocsiból áll. szerelvény rövid, törésmentes szakasz megtétele után 10-os hajlásszögű emelkedőn folytatja az útját. (Felülnézetből a vízszintes rész, az átmeneti szakasz és az emelkedő egy egyenesbe esik.) a) Mekkora sebességgel érkezik a szerelvény az emelkedőhöz, ha akkor áll meg, amikor a legutolsó kocsija éppen feljut az emelkedőre? b) szerelvény megállását követően mennyi idővel gurul vissza teljes mértékben a szerelvény a vízszintes szakaszra? ( súrlódást, közegellenállást, gördülési ellenállást hanyagoljuk el. számolás során tekintsünk el a kerekek forgási tehetetlenségétől.) Megoldás. a) szerelvény vízszintes szakaszbeli mozgási energiája az emelkedőn helyzeti energiává alakul: 1 mv = mgh = mg L sin α, ahol L = 00 m a szerelvény hossza és α = 10 az emelkedő hajlásszöge. Ebből a szerelvény kezdeti sebessége: v = gl sin α 19 m s. b) zt kell észrevennünk, hogy a szerelvényre ható visszatérítő eredő erő egyenesen arányos a szerelvénynek az emelkedőn tartózkodó részével. Ebből következik, hogy a megállás után a szerelvény éppen egy negyedperiódusú harmonikus rezgés után jut vissza a vízszintes szakaszra. rezgés maximális sebessége éppen a fenti v, amplitúdója pedig L. Ennek megfelelően: amiből v = Lω = L π T, t = T πl 4 = v 4 = πl v = π L g sin 17s. Tehát nagyjából 17 másodperc alatt gurul le a szerelvény az emelkedőről. 016/017 1 OKT 1. forduló

2 .) Hőszigetelő hengerben, könnyen mozgó dugattyúval elzárt hélium- és nitrogéngáz keverékében, 5-ször annyi hélium atom van, mint nitrogén molekula. a) Mennyi hőt közöltünk állandó nyomáson a gázkeverékkel, ha a folyamatban a gáz W = 3000 J munkát végzett? b) z eredeti állapotot visszaállítjuk, és most rögzítve a dugattyút, állandó térfogaton ugyanannyi hőt közlünk a gázkeverékkel, mint az a) esetben. Ebben az esetben hányszorosa lesz a hőmérsékletváltozás az a) feladatbeli hőmérsékletváltozásnak? I. megoldás az a) részre. Izobár állapotváltozásra érvényes: Wgáz p E. (1) f Wgáz = W jelöléssel az egy részecske szabadsági fokainak száma az I. főtétel felhasználásával: E QW f. () W W gázkeverékben az egy részecske átlagos szabadsági fokszáma (halmazátlag): f1n1 fn f. N1 N Esetünkben ennek nagysága: 3NHe 5NN 35N N 5N 0 10 N f. (3) N N 5N N 6 3 He N N N (3)-az ()-be írva: 10 QW. 3 W Innen a közölt hő nagysága: W Q W Q W 3000 J 8000 J II. megoldás. z N molekulák mólszáma legyen n, ekkor a hélium atomoké 5n. Ha a nyomás állandó, akkor a gáz által végzett munka a p nrt összefüggés és a feladat szerint: W p 6nRT 3000 J. (1) gáz által felvett hő azok állandó nyomásra értelmezett hőkapacitásaival kifejezve: f Cp Rn, amivel a rendszerünk által felvett hő (Q = C p T = f+ 7 5 Q QN Q He RnT R 5nT 16 Rn T. () (1)-ből RnT-t kifejezve 3000 J RnT 500 J, 6 (3) amit ()-be írva kapjuk a keresett gázzal közölt hőt: Q J 8000 J. b) Most állandó térfogaton zajlik a folyamat, s mivel a közölt hő azonos az a) kérdésbeli értékkel, a hőmérsékletváltozás könnyen kifejezhető az állandó térfogathoz tartozó hőkapacitásokkal 016/017 OKT 1. forduló

3 f C nr : 5 3 Q QN Q He RnT R 5nT 10Rn T ()-vel egyenlővé téve: 10RnT 16 RnT azaz T 1,6 ΔT. II. megoldás a b) részre. Számolhatunk az átlag-hőkapacitásokkal is, amelyeket a következőképpen értelmezhetünk: f1 f f1 f n1r nr n1r nr C átlag ill. C p átlag. n1 n n1 n Ezzel az első és a második folyamatra 7 5 nr 5 nr 16 8 Cátlag p = R R, n 5n 6 3 és 5 3 nr 5 nr 5 Cátlag R. n 5n 3 Ezekkel a két folyamatban közölt azonos nagyságú hő miatt érvényes: Q C T C T átlag p átlag, azaz 8 Cátlag T R p 3 8 T T T 1,6ΔT. C 5 átlag 5 R 3 III. megoldás a b) részre. z első folyamatban a hőközlés 8000 J, a munkavégzés pedig 3000 J volt. Ez azt jelenti, hogy a gázelegy belső energiának növelésére Ea) = Q Wgáz = 8000 J 3000 J = 5000 J energia fordítódik. második folyamatban nem volt munkavégzés, tehát az összes közölt hő a gázelegy belső energiáját növelte, azaz Eb) = Q = 8000 J. Mivel a gázelegy belső energiájának megváltozása az átlagos fátl szabadsági fokszámmal kifejezve f E nátl R T, ezért a kapcsolat a két hőmérsékletváltozás között: E E b) a) f n átl R T T ,6. f n T 5000 átlrt 016/017 3 OKT 1. forduló

4 3.) ízszintes felületre egy m tömegű, derékszögű éket teszünk, melynek hajlásszöge α. z ékre helyezünk egy szintén m tömegű, téglatest alakú hasábot, melyet az ábrán látható módon vékony, vízszintes fonál és az ékhez rögzített könnyű, kisméretű csiga segítségével a függőleges falhoz kötünk. Ezután a nyugalmi helyzetben lévő rendszert magára hagyjuk. súrlódás mindenhol elhanyagolható. a) Határozzuk meg az ék gyorsulását az α szög függvényében azokban az esetekben, amikor a mozgás közben a hasáb, az ábrán látható módon, az éken csúszik! b) Milyen szögtartományban teljesül ez a feltétel I. megoldás. a) fonálerőt jelöljük K-val, az ék és a hasáb közötti merőleges kényszererőt pedig N- nel. hasáb gyorsulását bontsuk fel vízszintes és függőleges összetevőkre (a kitűzési ábrán balra és lefelé mutatnak a hasáb gyorsulás komponensei, ezeket az irányokat tekintsük pozitívnak). izsgáljuk először a hasáb gyorsulását, az 1. ábra csak a hasábot és a rá ható erőket mutatja: K cos α N sin α = ma x mg K sin α N cos α = ma y. 1. ábra. ábra z ékre ható erőket a. ábra mutatja. Mivel az ék gyorsulása vízszintes, így elegendő csak a vízszintes erőösszetevőkkel foglalkoznunk: K(1 cos α) + N sin α = m, ahol az ék vízszintes irányú (balra mutató) gyorsulása. Hátra van még a kényszerfeltétel, vagyis annak kihasználása, hogy a hasáb az éken csúszva mozog. Ez úgy teljesül, hogy a fonál hossza állandó marad. z ábrán az x + L fonálhosszúságot kétféleképpen tüntettük fel (egy korábbi és egy későbbi időpillanatban). z ábrán látható három szaggatott elmozdulás egybevágó: a jobb oldali mutatja a hasáb tömegközéppontjának elmozdulását, a középső a fonál rögzítési helyének elmozdulását a hasábon, míg a bal oldali szaggatott vonal egyenlőszárú háromszöget zár le. Ebből az utóbbiból olvashatók le a kényszerfeltételek, hiszen az ék gyorsulása x-szel arányos: a x = (1 cos α) a y = sin α. 016/017 4 OKT 1. forduló

5 Öt lineáris egyenletünk van öt ismeretlennel. Mivel ax és ay már úgyis ki van fejezve, ezért ezeket beírhatjuk az első két egyenletbe, így már csak három ismeretlenünk marad. Ezek után (mondjuk) N-et fejezzük ki az első egyenletből, és ezt be kell írnunk a másik két egyenletbe (ekkor már csak két ismeretlen marad), majd K kifejezése következik, amit az utolsó egyenletbe beírva végül a kérdéses gyorsulásra sin α = 3 cos α g adódik végeredményként (ez például α = 30 esetén 3,9 m/s numerikus értéknek felel meg). z egyenletrendszerben szereplő négy további ismeretlenre a következő kifejezéseket kapjuk: a x = sin α (1 cos α) g 3 cos α K = sin α ( cos α) mg 3 cos α a y = sin α 3 cos α g N = 3 cos α cos α 1 mg. 3 cos α b) z ék felületére merőleges kényszererő csak pozitív értékeket vehet fel, azonban az N nyomóerő kifejezésében a számláló csak akkor pozitív, ha cos α > 3 5, vagyis α < 67,5. Ez tehát azt jelenti, hogy a rendszer elengedése után a hasáb akkor csúszik az éken, ha 0 < α < 67, 5. II. megoldás: feladat a) része megoldható a munkatétellel is. z elengedés után t idővel az ék sebessége: = t. hasáb sebességét így írhatjuk fel: v = v x + v y = (a x t) + (a y t) = [{(1 cos α)} + ( sin α) ]t = t ( cos α). gyorsulás-összetevők felírásakor kihasználtuk az előző megoldásban szereplő kényszerfeltételt (ez nem kerülhető ki). munkatételt így alkalmazhatjuk: mgh = mg ( 1 t sin α) = 1 m + 1 mv = 1 m( + v ), majd ebbe egyszerűsítések után beírhatjuk a fenti sebesség-négyzeteket: gt sin α = [ t + t ( cos α)], végül mindkét oldalt t -tel elosztva megkapjuk az ék gyorsulását: = sin α 3 cos α g. 016/017 5 OKT 1. forduló

6 4.) Két telep, egy voltmérő és egy ampermérő segítségével öt különböző áramkört állítunk össze: a) b) c) d) e) két telep teljesen egyforma, elektromotoros erejük 1, belső ellenállásuk 1. voltmérő és az ampermérő digitális, kijelzőjük három digites, tizedes vessző nélküliek, eszerint csak 1 és 999 közötti egész számok jelenhetnek meg rajtuk. Mind a voltmérő, mind az ampermérő automatikusan vált méréshatárt, és egész számra kerekítenek. voltmérő belső ellenállása minden méréshatáron 1 M, három méréshatára alapján mutathat -ot, m-ot és -ot. z ampermérő belső ellenállása -es méréshatáron 0,5 M, m-es méréshatáron 0,5 k, -es méréshatáron 0,5. z automati-kus méréshatár-váltás azt jelenti, hogy a műszer arra törekszik, hogy a kijelzőjén 1 és 999 közötti szám jelenjen meg, miközben a műszer a lehető legkisebb mértékben avatkozik be az áramkörbe. Mit mutatnak a digitális műszerek az egyes esetekben? Megoldás. a) Mivel a voltmérő belső ellenállása igen nagy, ebben a körben csak igen kicsi áram folyhat, tehát az ampermérő -es méréshatárra vált. voltmérő és az ampermérő belső ellenállása összesen 1,5 M (ehhez képest a telepek 1-1 -os ellenállása elhanyagolható), tehát az ampermérő I = 4 = 16 1,5 M értéket mutat. Ennek az áramnak megfelelően a voltmérőn U = (1 M) (16 ) = 16 feszültség jelenik meg, míg az ampermérőre ennek a fele, vagyis 8 jut. Megjegyzés: Elhanyagolás nélkül az áramerősség 15, , a voltmérőre jutó feszültség pedig 15, b) Ebben az esetben a két telep helyettesíthető egyetlen teleppel, melynek elektromotoros ereje ugyancsak 1, azonban belső ellenállása csak 0,5. voltmérőn gyakorlatilag nem folyik áram, tehát az ampermérő áramát a telepek belső ellenállása (0,5 ) és az -es méréshatárra beálló ampermérő belső ellenállása (0,5 ) határozza meg: I = 1 = 1. 1 Ennek az áramnak megfelelően az ampermérőn U = (0,5 ) (1 ) = 6 feszültség jelenik meg, és ugyancsak ezt mutatja a voltmérő, sőt ez a telepek kapocsfeszültsége is. Megjegyzés: Elhanyagolás nélkül az ampermérőn 11, áram folyik, és a voltmérőre eső feszültség 5, c) Ezt az áramkört két részre választhatjuk szét. z egyikben egy telepre van kötve egy voltmérő, ami természetesen 1 -ot mutat, míg a másik körben az ampermérő a másik telep rövidzárási áramát mutatja: 016/017 6 OKT 1. forduló

7 I = 1 = ,5 Megjegyzés: Elhanyagolás nélkül a voltmérő feszültsége 11,999988, illetve az ampermérő árama 8, (vagyis ebben az esetben a közelítő számolás egzakt eredményre vezet). d) Újra azt használhatjuk ki, hogy a voltmérőn átfolyó áram igen csekély, tehát az ampermérőn lényegében az előző esettel megegyezően I = 1 = ,5 erősségű áram folyik. Ezt az áramot a jobb oldali telep hajtja lefelé, ami éppen ellentétes azzal, ahogy a bal oldali telep hajtaná. 0,5 belső ellenállású ampermérőre 4 feszültség esik, amit hozzá kell adnunk a bal oldali telep elektromotoros erejéhez, hogy megkapjuk a voltmérőn megjelenő (1 + 4 ) = 16 értéket. Megjegyzés: közelítés nélküli számítás az ampermérőre 7, es értéket ad, míg a voltmérőn megjelelő érték az egzakt számítás szerint is 16. e) voltmérő nagy belső ellenállása miatt első közelítésben a voltmérőt szakadásnak tekinthetjük. Ezért az ampermérő árama úgy kapható meg, hogy a két telep elektromotoros erejét összeadjuk (4 ), és ezt elosztjuk a soros kör eredő ellenállásával ( ,5) =,5 ): I = 4 = 9, 6.,5 voltmérőre visszatérve azt állapíthatjuk meg, hogy két hurkot látunk, és így kétféleképpen is kiszámíthatjuk, hogy mekkora feszültséget mutat. jobb oldali hurok esetében a telep kapocsfeszültsége: és ugyanennyit mutat a voltmérő is. U k = 1 1 9,6 =, 4, bal oldali hurok egy kissé bonyolultabb. bal oldali telep kapocsfeszültsége is,4, továbbá az árammérőre (0,5 9,6 ) = 4,8 feszültség esik. Ha azonosnak választjuk a körüljárási irányt mindkét hurokban (óramutatóval ellentétesnek), akkor a bal oldali hurok esetében a voltmérőre eső feszültség: U =,4 4,8 =,4, ami ugyanaz, mint az előző esetben, a negatív előjel csak a voltmérőn történő ellentétes haladás miatt jelenik meg. (Egyenáramú műszereknél, ha a pozitív és a negatív bemeneti csatlakozókat felcseréljük, akkor ellentétes előjellel jelenik meg a mért érték.) Megjegyzés: Ebben az esetben a közelítés nélküli számítás szerint az ampermérő árama 9, , míg a feszültségmérőre, jut. Jól láthatjuk, hogy a közelítő számítások minden esetben milyen nagy pontossággal egyeznek meg a közelítés nélküli számolással. 016/017 7 OKT 1. forduló

8 1. feladat Pontozási útmutató a) Energia-megmaradás felírása: 6 pont kérdéses sebesség meghatározása: pont b) harmonikus rezgőmozgás felismerése: 6 pont kérdéses idő helyes értékének kiszámítása: 6 pont Összesen: 0 pont. feladat a) közölt hő bármely módszerrel való helyes meghatározása 10 pont b) hőmérsékletváltozások arányának helyes meghatározása 10 pont Összesen: 0 pont 3. feladat a) Dinamikai egyenletek (vagy a munkatétel) felírása: 6 pont Kényszerfeltételek megadása: 6 pont kérdéses gyorsulás kiszámítása: pont b) z éken való mozgás feltételének elvi meghatározása: 4 pont kérdéses szögtartomány kiszámítása: pont Összesen: 0 pont 4. feladat feladatban 5 áramértéket és 5 feszültségértéket kellett meghatározni. Mindegyik helyes kiszámítása pontot ér. Összesen: 0 pont Javítási-értékelési útmutatóban vázoltaktól eltérő számításokra, amelyek elvileg helyesek és a helyes végeredményre vezetnek, az alkérdésekre adható teljes pontszám jár. nehézségi gyorsulás értékére 9,81 m/s, vagy 10 m/s egyaránt elfogadható, hacsak a feladat máshogy nem rendelkezik. 016/017 8 OKT 1. forduló