Szakdolgozat. Fegyveres György

Átírás

1 Szakdolgozat Fegyveres György 204

2 Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar A hozamgörbe modellezésének módszertani bemutatása a spline és a Nelson-Siegel típusú modellek összehasonlításán keresztül Készítette: Fegyveres György Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Kvantitatív pénzügyek szakirány 204 Témavezet : Dr. Száz János, Vidovics-Dancs Ágnes

3 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretném megköszönni Dr. Száz Jánosnak és Vidovics-Dancs Ágnesnek, hogy észrevételeikkel és tanácsaikkal segítették munkámat. Továbbá hálás vagyok munkatársaimnak, Mohai Ádámnak, Reguly Ágostonnak és Bebes Andrásnak segít észrevételeikért.

4 Tartalomjegyzék. Bevezetés 2. A hozamgörbe és a kötvényárazás A kamatlábak lejárati szerkezete Kötvényárfolyam Benchmark kötvények Az átlagid és a módosított átlagid Az kötvényárazás hibája Az árazó függvény A hiba mérése A hibatagokra vonatkozó vizsgálatok A hozamgörbe közelítése Interpoláció Spline illesztés Függvény alapú módszerek A Nelson-Siegel modellcsalád A Nelson-Siegel modell A Nelson-Siegel modell kiterjesztései A paraméterek becslése Empirikus vizsgálat Statikus vizsgálat Spline alapú modellek Nelson-Siegel alapú modellek Dinamikus vizsgálat Befejezés 53 A. Programkódok 56 ii

5 Táblázatok jegyzéke 2.. A diszkontfüggvény, a hozamgörbe és a forwardgörbe elemi összefüggései A benchmark kötvények szórása A harmadfokú spline bázisfüggvényei τ = k t,m+ és τ = k + t,m+ esetén A Nelson-Siegel típusú modellek becsülend paraméterei A vizsgált hibafüggvények A bázisfüggvény súlyok szórása A becsült árfolyamok eltérése (RMSE) a valós meggyelésekt l Csomópontok harmadfokú spline becslés esetén Hibák különböz lambdák mellett a NS modell esetén A Nelson-Siegel típusú modellek hibája A kapott faktorok és lambdák különböz modellek esetén A külföldi jegybankok gyakorlata iii

6 Ábrák jegyzéke 2.. A ei hozamgörbe, diszkontfüggvény és forwardgörbe A napi DKJ adatok lejárat szerinti megoszlása A napi államkötvény adatok lejárat szerinti megoszlása A benchmark hozamok alakulása A benchmark hozamok korrelációja Az árfolyamváltozás közelítése módosított átlagid vel Az árfolyamváltozás közelítésének hibája A harmadfokú spline módszer lehetséges bázisfüggvényei Bázisfüggvények a Merrill Lynch exponenciális spline modell esetén Bázisfüggvények a Fourier-sorfejtés alapján A faktorsúlyok a Nelson-Siegel modell esetén A Nelson-Siegel modellel kapható különböz hozamgörbe alakok A kapott hozamgörbe a vizsgált hibafüggvények mellett A bázisfüggvények súlyai spline illesztés esetén A bázisfüggvények súlyainak kezd pont függése A spline közelítés relatív hibája három hibafüggvény esetén A spline közelítés relatív hibája különböz értékpapírok esetén Hozamgörbék spline módszerek esetén A zérókupon hozamok és a f komponensek korrelációja Hozamgörbék a Nelson-Siegel modell esetén Faktorok különböz lambdák mellett a NS modell esetén A faktorok és a lambda kezd pont függése a Nelson-Siegel modell esetén Hozamgörbék a Nelson-Siegel típusú modellek esetén Súlyok a harmadfokú spline modell esetén Diszkontfaktorok a harmadfokú spline modell esetén Faktorsúlyok a Nelson-Siegel modell esetén Hozamgörbék a Nelson-Siegel modell esetén Faktorsúlyok a dinamikus Diebold-Li modell esetén iv

7 5.7. Hozamgörbék a dinamikus Diebold-Li modell esetén

8 . fejezet Bevezetés Egy pénzáramlás jöv beli és mai értéke nem egyezik meg, a kapcsolatot közöttük a hozamgörbe jelenti. E görbe ismerete, vagy legalábbis becslése, a piaci szerepl k számára létszükséglet különböz derivatívák árazásához és fedezéséhez, míg az adósságkezel k, mint szuverén piaci szerepl k esetén az adósságportfólió menedzselése szempontjából lényeges. Így dolgozatomban különböz módszereket mutatok be, amellyel keresztmetszeti kötvényárfolyamokra tudunk hozamgörbét illeszteni, illetve utóbbi id beli fejl dését lehet meghatározni. A magyar adatok vizsgálatával pedig rávilágítok a bemutatott modellek gyakorlati nehézségeire. A magyar adósságkezel, az Államadósság Kezel Központ Zrt. (ÁKK) adósságkezelési stratégiája alapján az ÁKK feladata az, hogy a központi költségvetés nanszírozási szükségletét hosszú távon minimális költséggel, elfogadható kockázatok vállalása mellett, egységes szemléletben nanszírozza (ÁKK Zrt., 202). A legnagyobb költség és kockázati tényez k, azaz a kamatkiadások és a kamatláb kockázat a hozamgörbéhez kapcsolódnak, ezért kockázatkezelési szempontból fontos a hozamgörbe vizsgálata és becslése egyaránt. A hozamgörbe vizsgálata történhet statikusan vagy dinamikusan. El bbi keresztmetszeti becslést jelent, azaz egy adott id pontra határozzák meg a hozamgörbét. Legegyszer bb eljárás a bootstrap módszer, melyet Fama és Bliss (Fama és Bliss, 987) publikált el ször. Az összetettebb görbeillesztési technikákon belül két fontos módszercsalád különíthet el, a spline és a függvény alapú modellek. El bbiek a hozamgörbét szakaszonként építik fel, a szakirodalomban a f bb módszerek az alkotó függvényekben térnek el. Ezek többek között lehetnek harmadfokú (McCulloch, 975), exponenciális (Vasicek és Fong, 98), simító (Fischer, Nychka és Zervos, 995) vagy B-spline-ok (Bolder és Gusba, 2002). A függvény alapú modellek esetén a teljes intervallumra illesztenek, a legnagyobb hatású a Nelson-Siegel (Nelson és Siegel, 987) és a Svensson modell (Svensson, 994). A megfelel statikus módszertan

9 . FEJEZET. BEVEZETÉS 2 kiválasztásához nyújtanak segítséget Bliss (996) és Bolder és Gusba (2002) összehasonlító tanulmányai. A dinamikus becslés a hozamok id soros jellegét ragadja meg a görbe fejl désének leírásával. Az alkalmazandó hozammodell kiválasztásakor különböz elvárások képzelhet k el (Bolder, 200). A hozamgörbe alakjából következtetni lehet a piaci szerepl k várakozására és annak bekövetkezésének sebességére. Így például emelked hozamgörbe a gazdaság és az ináció növekedését, míg meredeksége a változás gyorsaságát jelzi. A magyar adatok alapján elvárható, hogy a modell képes legyen reprodukálni különböz hozamgörbe alakokat is. Ezenkívül a historikus adatok alapján meggyelhet további jellemz kkel, stilizált tényekkel is összhangban kell lennie a kapott eredményeknek. További elvárt követelmények a modell matematikai alakjával, valamint a paraméterek megszorításával érhet k el. Ilyen az arbitrázsmentesség, a negatív és nem korlátos hozamok tiltása, illetve, hogy a modell az egész görbét modellezze, ne csak egy pontjának dinamikájából vezesse le a többi alakulását. A modell ellen rzése során szükséges a paramétereit többször újrabecsülni, ugyanis els dleges vizsgálati elem a modell eredményeinek paraméterekt l való függése, érzékenységvizsgálata. Minél könnyebben végezhet eló a becslés, akár a paraméterek száma, akár az alkalmazott módszertan miatt, annál könnyebben ellen rizhet a hozamgörbe stabilitása. A könny becsülhet ség mellett a paraméterek közgazdasági értelmezése és ezáltal egyes értékek kizárása is lehetséges szempont az empirikus vizsgálat során. Végül a görbe id beli fejl désének pontos modellezése és a függvényszer kapcsolat egyes faktorok és a hozamok között a szimuláció helyességének és sebességének lehetséges elemi kritériumai. Szimulációs szempontból további követelmény, hogy a különböz lejáratra kapott kamatlábak közti korrelációk a meggyelt mintát tükrözzék (Danmarks Nationalbank, 200). Természetesen nem teljesíthet egyidej leg az összes lehetséges elvárás, így szükséges jellemz ik alapján csoportosítani a szakirodalomban fellelhet modelleket. Kopányi (2009) alapján a rendszerezés a modell id belisége (diszkrét vagy folytonos), célja (árazás vagy kockázatkezelés), faktorainak száma (egy vagy több) és az azok közti függvénykapcsolat alapján végezhet el. Az id beliség alapján megkülönböztethet ek diszkrét és folytonos idej modellek. Utóbbiak el nye a jóval b vebb szakirodalom és elméleti háttér, továbbá az egyszer bb modellek esetén zárt képlettel számolhatók a kötvényárfolyamok, illetve meghatározható a kamatlábak eloszlása. Hátrányuk, hogy ezzel szemben a valós kereskedés diszkrét idej és az árfolyamok mozgása is diszkrét nagyságú, így gyakorlati szemszögb l a folytonos folyamatokat diszkretizálni kell. A nagyfrekvenciájú kereskedés (HFT, High Frequency Trading) megjelenésével azonban a diszkrét lépésközök

10 . FEJEZET. BEVEZETÉS 3 egyre kisebbek, így a folyamatok egyre jobban közelítenek a folytonoshoz. A diszkrét modellek hátránya, hogy az id közök megválasztása önkényes, ami befolyásolhatja a modell eredményeit, el nye viszont a könny interpretálhatóság és érthet ség. Jelen dolgozatban a komplexebb, folytonos modellekkel foglalkozom els dlegesen. A hozamgörbe felhasználásának két területét említi Bolder (Bolder, 2006): a kamatláb derivatívák árazását és a kockázatkezelést. Az el bbi esetén a görbe dinamikájának leírása a rizikósemleges, vagy martingál mérték szerint történik, így arra nincsenek hatással a befektet k kockázati preferenciái. Kockázatkezelésnél ez nem lenne járható út, így ott a dinamika felírása a valós mérték szerint történik. A két lehetséges cél szerint megkülönböztethet k arbitrázsmentes és egyensúlyi hozamgörbe modellek. Az arbitrázsmentes családba tartozó módszerek az egy adott id pontra való tökéletes illeszkedésre összpontosítanak, ezáltal kizárva az arbitrázs lehet ségét, ami elengedhetetlen árazási szempontból. Ebbe a csoportba tartozik többek között a diszkrét Ho-Lee (Ho és Lee, 986), a Heath-Jarrow-Morton (Heath, Jarrow és Morton, 992) és a Hull-White (Hull és White 994a, illetve Hull és White 994b) modell. Az egyensúlyi modellek a pillanatnyi kamatláb dinamikája alapján a hozamgörbe többi pontját a kockázati prémiumra vonatkozó feltételezések alapján határozzák meg. Idetartozik például a Merton (Merton, 973) és a két legismertebb an modell, a Vasicek (Vasicek, 977) és a CIR (Cox, Ingersoll és Ross, 985). Az arbitrázsmentes és az egyensúlyi modellek el nye az analitikus számolhatóság és az elméleti megalapozottság, az el rejelzésben azonban gyengén teljesítenek (Duee, 2002). Az eddig említett elméleti modellekr l Yu (Yu, 202) ad részletes összefoglalót. Kockázatkezelési szempontból a jöv beli hozamok becslése kiemelt jelent ség, ezért a dolgozatban els dlegesen az emprikus modelleket mutatom be részletesen. Egyszer sége és értelmezhet sége miatt alapvet a dinamikus Nelson-Siegel modell (Diebold és Li, 2006), mely a korábban említett Nelson-Siegel modell id függ változata. De Pooter (De Pooter, 2007) összefoglalja a Nelson-Siegel modellcsalád egyes tagjait, míg Bolder (Bolder, 2006) elméleti és empirikus modelleket hasonlít össze egy általa választott szempontrendszer alapján, például egy egyszer portfólió optimalizálási feladat alapján. A Nelson-Siegel modell közvetlenül nem illeszthet be a korábban említett, Dai és Singleton (2000) által rendszerezett an modellek közé (Diebold, Ji és Li, 2006a), az eredeti modell módosításával azonban megtehet (Christensen, Diebold és Rudebusch, 20). Az így kapott an arbitrázsmentes NelsonSiegel modellt általánosítja Yu (202) két deviza esetére. A hozamgörbe volatilitását három látens faktor szinte teljesen magyarázza (Litterman és Scheinkman, 99), így a három faktoros modellek a leggyakrabban el-

11 . FEJEZET. BEVEZETÉS 4 terjedtek, ráadásul a faktoroknak közgazdasági értelmet is lehet adni (szint, meredekség, görbület). Eltérés, hogy míg az an modellek esetén a faktorok a rövid kamatot határozzák meg, addig a Nelson-Siegel típusú modelleknél a teljes hozamgörbét. Empirikus tapasztalatok azt mutatják, hogy az el bb említett nem meggyelhet változók mellett meggyelhet makrováltozók (például ináció, alapkamat) használata javítja a modell eredményeit. Ezért a 2000-es években mind az elméleti modellek (Ang és Piazzesi, 2003), mind az empirikus modellek esetén (Diebold, Rudebusch és Aruoba, 2006b) születtek a makrogazdaság alakulását gyelembe vev modellek. Bolder és Liu (2007) összehasonlító elemzésében elméleti és empirikus makro-hozam modellek teljesítményét hasonlítja össze. Dolgozatomban áttekintem a külföldi adósságkezel k és nemzeti bankok gyakorlatát (Bank for International Settlements (BIS), 2005) és a szakirodalomban korábban megjelent hazai (Reppa, 2009, illetve Kopányi, 2009) és regionális ( opov és Seidler, 20) empirikus eredményeket is. Dolgozatom felépítése a következ. A második fejezetben összefoglalom a kötvényekkel és azok árazásával kapcsolatos elemi ismereteket. A következ két fejezetben bemutatom a becsült és elméleti árfolyamok eltérését számszer sít mutatószámokat, illetve különböz görbeillesztési technikákat. Két csoporttal foglalkozom, a spline illesztésekkel és a Nelson-Siegel típusú modellekkel. Az ötödik fejezetben a magyar adatok alapján ére illesztek hozamgörbét Excel segítségével, illetve az R statisztikai programmal dinamikusan a és közti id szakra. Dolgozatom ábráit az ÁKK honlapján elérhet adatokra támaszkodva, saját számítások alapján, Matlabbal készítettem.

12 2. fejezet A hozamgörbe és a kötvényárazás A kamatlábmodellek egy adott id pontra a különböz lejáratokhoz tartozó hozamokat ábrázolják, valamint azok id beni fejl dését írják le. Egy id pillanatra többféle görbe is meghatározható, melyek ugyanazt az információt hordozzák, a következ kben röviden a diszkontfüggvényt, a hozamgörbét és a forwardgörbét tekintem át. 2.. A kamatlábak lejárati szerkezete A kötvénypiacok legegyszer bb épít elemei a kockázatmentes diszkontpapírok, vagy elemi kötvények. Ezek árfolyama a jöv beli kockázatmentes egység kizetés jelenlegi értékét mutatják. Jelölje p(t, T ) a T id pillanatban egységet zet elemi kötvény árfolyamát t-ben, a d(t, ) : s p(t, t + s) hozzárendelés az árfolyam- vagy diszkontfüggvény. Az arbitrázsmentességhez szükségesek a függvényre vonatkozó kikötések (Makara, 998), azaz d(t, 0) = d(t, ) monoton csökken d(t, ) > 0. Az elemi kötvény deníciója alapján p(t, T ) =, így folytonos kamatozással számolva, a T t futamidej elemi kötvény r(t, T ) azonnali hozamára t-ben: p(t, T )e r(t,t )(T t) =, r(t, T ) = log p(t, T ). T t A magyar terminológiában használatos az Y (t, T ) kamattömeg fogalma (Medvegyev és Száz, 200), mely az Y (t, T ) = r(t, T )(T t) mennyiséggel egyezik meg, és 5

13 2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS 6 ezzel a kötvény Y (t,t ) p(t, T ) = e árfolyama könnyebben értelmezhet vé válik. A kés bbi egységes jelölés miatt azonban a kamattömeg tényez it a dolgozatban mindig kiírom. A továbbiakban hozam alatt, ha külön nem említem, loghozamot értek. Az R(t, ) : s r(t, t + s) függvényt nevezzük hozamgörbének, ez a piacon közvetlenül nem gyelhet meg. Ha a T t hátralév lejárat 0-hoz tart, akkor az r(t) pillanatnyi kamatot kapjuk, mely egy t-ben megkötött, azonnal megtérül befektetés hozama. Ez matematikailag a kötvényárfolyam logaritmusának lejárat szerinti deriváltjának értéke t-ben, így a L'Hospital szabály felhasználásával (Bolder, 200): r(t) = lim T t r(t, T ) = lim T t log p(t, T ) T t p(t, T ) = lim T t p(t, T ) T = log p(t, t). t Jelölje f(t, S, T ) azt az [S, T ] id szaki határid s kamatlábat, melyet a t id pontban kötnek, majd tegyük fel, hogy t-ben befektetünk p(t, S) egységet. Ez S-ben -et, míg T-ben e f(t,s,t )(T S) f(t,s,t )(T S) -et fog érni. A T-beli pénzáramlás megegyezik e darab t-beli, T-ben lejáró elemi kötvény pénzáramlásával, így a t id pontra vonatkozóan: p(t, S) = e f(t,s,t )(T S) p(t, T ), log p(t, T ) log p(t, S) f(t, S, T ) = T S = (T t)r(t, T ) (S t)r(t, S). T S Az S T határátmenettel kapott mennyiséget f(t, T ) pillanatnyi határid s kamatlábnak nevezzük, és a következ alapján kapható az F (t, ) : s f(t, t + s) forwardgörbe: f(t, T ) = lim S T f(t, S, T ) = log p(t, T ). T A deníciók alapján látható, hogy r(t) = f(t, t). A d(t, ) diszkontfüggvény, az R(t, ) hozamgörbe és az F (t, ) forwardgörbe közti ekvivalenciát a 2. táblázat tartalmazza, becslési szempontból azonban nem mindegy a választás. Ránézve az összefüggésekre látható, hogy a határid s kamatláb és az azonnali hozam mikroökonomiai megfeleltetése a termelés marginális- és átlagköltsége (Svensson, 994). log p(t,t ) r(t, T ) = r(t, T ) = T t p(t, T ) = e r(t,t )(T t) p(t, T t T t T ) = e T t f(t, u) du f(t,u) du log p(t,t ) f(t, T ) = f(t, T ) = r(t, T ) + (T t) r(t,t ) T T 2.. táblázat. A diszkontfüggvény, a hozamgörbe és a forwardgörbe elemi összefüggései

14 2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS 7 A 2. ábrán látható az Államadósság Kezel Központ által közölt, ei hozamgörbe és az ebb l számított diszkontfüggvény, illetve forward görbe. Az adósságkezel eektív hozamokkal számol, így szükséges az adatokat az r log (t, T ) = log( + r eff (t, T )) képlet alapján átszámítani. Az adatok a T,... T n diszkrét id pontokban adottak, így a diszkontfüggvény a p(t, T i ) = e r(t,t i)(t i t) képlettel számolható, míg a forwardgörbét numerikus deriválással határoztam meg. A kezd pontban haladó, a közbens pontokban központi, a végpontban retrogád dierenciával, sorrendben: f(t, T i ) r(t, T i ) + (T i t) f(t, T ) r(t, T ) + (T t) r(t, T 2) r(t, T ) T 2 T, r(t,t i+ ) r(t,t i ) T i+ T i + r(t,t i) r(t,t i ) T i T i f(t, T n ) r(t, T n ) + (T n t) r(t, T n) r(t, T n ) T n T n. 2, ahol i = 2,... n és 00 Diszkontfüggvény Hozamgörbe Forwardgörbe 20 Diszkontfüggvény (%) Hozam és forwardgörbe (%) Lejárat (év) 2.. ábra. A ei hozamgörbe, diszkontfüggvény és forwardgörbe A 2. ábra alapján a március végi hozamgörbe emelked volt, illetve a diszkontfüggvény megfelel az arbitrázsmentességhez szükséges függvényalaknak. Ha minden lejáratra van elemi kötvény, akkor azok árfolyamaiból megkapható a diszkontfüggvény és így a hozamgörbe. A feltevés azonban nem igaz, egyrészt az elemi kötvények futamideje általában éven belüli, másrészt a lejárat összessége diszkrét halmaz. A magyar kötvénypiacon kockázatmentes elemi kötvénynek a diszkont kincstárjegy tekinthet. Ezek a Magyar Állam által kibocsátott névre szóló, dematerializált, nem kamatozó értékpapírok, melyek alapvet en 3 és 2 hónapos futamid vel, névérték alatt kerülnek kibocsátásra. Ahogy a 2.2 ábra mutatja, az ltergroup=user3 (letöltve én)

15 2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS Lejárat (hónap) Dátum (nap) 2.2. ábra. A napi DKJ adatok lejárat szerinti megoszlása Els dleges forgalmazók árjegyzése alapján jellemz en naponta 5 diszkont kincstárjegy árfolyama áll rendelkezése, a legrövidebb futamid 3 hónapos. Az elemi kötvények alacsony száma miatt ezért numerikus módszereket alkalmaznak a zérókupon hozamok meghatározására, ezt nevezik összefoglalóan a hozamgörbe becslésének. Ezen eljárások a kockázatmentesnek tekinthet állampapírok diszkontkincstárjegy és államkötvény árfolyamaiból határozzák meg a hozamgörbét. Jelenleg 3, 5, 0 és 5 éves futamidej államkötvények kerülnek kibocsátásra. A 2.3 ábra alapján egy adott napon jelenleg általában 5 x kamatozású kötvényre jegyeznek árfolyamot Lejárat (év) Dátum (nap) 2.3. ábra. A napi államkötvény adatok lejárat szerinti megoszlása A következ kben áttekintem a kamatozó kötvényekkell kapcsolatos elemi számításokat Kötvényárfolyam A kamatozó kötvényeket megkülönböztethetjük a kamatzetés típusa, gyakorisága és konvenciója szerint. Típusa lehet x vagy változó kamatozású, el bbi esetben

16 2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS 9 minden kizetéskor a névérték egy el re meghatározott százaléka (kuponráta) kerül kizetésre. A magyar államkötvények esetén a változó kamatot a három hónapos diszkontkincstárjegy hozamából, a fogyasztói árindex változásából, vagy a BUBORból származtatják. A kamatzetés jellemz en félévente vagy évente történhet, Magyaroszágon 2003 óta csak éves kamatperiódusú államkötvényeket bocsátanak ki. A kamatkonvenció a két kizetés között eltelt id számításának módszertanát határozza meg. A következ jelölésekkel ACT: tényleges napok száma 360: az évet 360 naposnak tekinti 365: az évet 365 naposnak tekinti a magyar diszkontkincstárjegyek esetén a konvenció ACT/360, míg az államkötvényeknél ACT/ACT (a lakossági állampapírok, például a kamatozó kincstárjegy esetén jellemz az ACT/365 is). A kamatkonvenció mind a kötvények felhalmozott kamatára, mind árfolyamára hatással van. A kamatozó kötvények esetén a rendszeres kuponzetés miatt az árfolyam az egyes diszkontált pénzáramlások összege. Tegyük fel, hogy az i. kötvény pénzáramlásait (kamat és t kezetés) a t = {t i,, t i,2,... t i,ni } (t t i, t i,ni = T) id pontok és a c = {c i,, c i,2,... c i,ni } kizetés nagyságok írják le. Ekkor ezen pénzáramlásokat tekinthetjük elemi kötvények portfóliójának, ahol a kizetés nagysága a darabszám. Így az i. kötvény árfolyamára: n i n i P i (t, r) = P i (t, T, t, c, r(t, )) = c i,j p(t, t i,j ) = j= j= c i,j e r(t,t i,j)(t i,j t). (2.) Természetesen diszkont kincstárjegyek esetén is igaz a képlet, ott egy pénzáramlás van, a lejáratkori t ke visszazetés. Adott napra vonatkozóan az Els dleges forgalmazók árjegyzése alapján az Államadósság Kezel Központ két árfolyamot közöl, egy Pi bid (t, r) vételi és egy Pi ask (t, r) eladási árfolyamot, a kett közti sávot nevezzzük az s i = Pi ask (t, r) Pi bid (t, r) bid-ask spreadnek. Az elméleti kötvényárfolyamra teljesülnie kell, hogy P bid i (t, r) P i (t, r) P ask (t, r), ezt több hozamgörbe is kielégítheti. A továbbiakban egy kötvény árfolyamán a Pi mid (t, r) = (Pi bid (t, r) + Pi ask (t, r))/2 középárfolyamot értem. Tegyük fel, hogy N kötvényünk van és fel szeretnénk írni mátrixos formában ezek árfolyamát t-ben. Ehhez létre kell hozni egy {C i,j } i=(,...,k),j=(,...,n) kizetés mátrixot, melynek sorai az összes lehetséges t, t 2,... t K id pont és az oszlopai az i

17 2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS 0 értékpapírok. Azaz a mátrix i. sorának j. eleme megmutatja, hogy a j. kötvényhez mekkora pénzáramlás tartozik a t i id pontban: { ci,k ha t i = t j,k valamilyen k-ra, C i,j = 0 különben. A C mátrix ritka, ugyanis az oszlopokban körülbelül a kötvény hátralév futamidejével (évben) egyez elem nem nulla (éves kamatzetés esetén), míg a kamatzetések idejének nem kell egybeesni, így a sorok száma nagy is lehet. Például ére vonatkozóan a cash-ow mátrix 69 sorból és 9 oszlopból állt 2, az 3 eleméb l pedig csupán 89 nem volt nulla. Legyen továbbá p = (P, P 2,... P N ) T az egyes kötvények árfolyamának oszlopvektora, és d = (d, d 2,... d K ) T a diszkonttényez k oszlopvektora, azaz d i = p(t, t i ). Ezekkel a jelölésekkel P P 2. P N C, C,2 C,N C 2, C 2,2 C,N = C K, C K,2 C K,N T d d 2. d K, p = C T d. (2.2) A kés bbi fejezetekben az R statisztikai program termstrc csomagját is használom (Ferstl és Hayden, 200), így megemlítem, hogy ott hogyan számítják a p vektort. Meghatároznak egy Ĉ cash-ow mátrixot, mely oszlopaiban az egyes kötvények pénzáramlásai szerepelnek egymás után, és az ezekhez tartozó diszkontfaktorok ˆD mátrixát. Így legyen L = max i N n i, azaz a legtöbb kamat- és t kezetéssel rendelkez kötvény cash ow-inak száma, továbbá { cj,i ha i n i, Ĉ i,j = 0 különben. Ekkor p p 2. p N T =. Ĉ, Ĉ,2 Ĉ,N d, d,2 d,n Ĉ 2, Ĉ 2,2 Ĉ 2,N d 2, d 2,2 d 2,N, Ĉ L, Ĉ L,2 Ĉ L,N d L, d L,2 d L,N T p T = T Ĉ ˆD, (2.3) 2 Csak a diszkont kincstárjegy és a x kamatozású államkötvény adatokat gyelembe véve.

18 2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS ahol elemenkénti szorzást jelent és d i,j = p(t, t j,i, ha i n i ét tekintve Ĉ és ˆD mérete így 5-ször 9-es, és az 585 elemb l 89 nem nulla. Összefoglalva, a p kiszámításához a 2.2 képlet használatával (K K + K) N m veletre (szorzás és összeadás) van szükség, míg a 2.3 esetén L N +(L L+L) Nre. Egy tipikus napra ( ) vonatkozóan ez azt jelenti, hogy az els esetben ( ) 9 = 9770, míg a második esetben ( ) 9 = 4845 m veletre van szükség, így a második módszer gyorsíthatja a becslést Benchmark kötvények A kötvények árfolyamával ekvivalens módon megadható az y i (t) lejáratig számított hozama, vagy másnéven bels megtérülési rátája. Ez az a konstans kamatláb, amely mellett a pénzáramlások jelenértéke éppen az árfolyammal egyezik meg. n i P i (t, y i ) = P i (t, T, t, c, y i (t)) = j= c i,j e y i(t)(t i,j t). (2.4) A legtöbb esetben a lejáratig számított hozamot analitikusan nem lehet meghatározni, csak numerikusan, például a NewtonRaphson módszerrel. A lejáratig számított hozamok a kötvények közti összehasonlítást segítik, a hozamgörbét azonban nem határozzák meg. Egyrészt a 2. és a 2.4 egyenletekb l látszik, hogy a lejáratig számított hozam az azonnali hozamok súlyozott átlaga, másrészt az értéke a kuponráta függvénye. Ez utóbbit nevezik kuponhatásnak, azaz az azonos lejáratú kamatozó kötvények bels megtérülési rátája a kuponráta nemlineáris függvénye. Effektív hozam (százalékpont) hónap 6 hónap 2 hónap 3 év 5 év 0 év 5 év Dátum (nap) 2.4. ábra. A benchmark hozamok alakulása A referencia hozamgörbe, melyet az Államadósság Kezel Központ minden napra közöl, kitüntetett lejáratokhoz tartozó kötvények lejáratig számított hozamát

19 2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS 2 szemlélteti. Így a 3, 6, 2 hónapos és a 3, 5, 0, 5 éves benchmark kötvények árfolyamának alakulását láthatjuk a 2.4 ábrán és között. Meggyelhet ek hozamemelkedéssel járó állampapírpiaci zavarok, melyek a forint gyengülésének és a külföldiek állampapír eladásának (2003), a likviditás kiapadásának (2008), illetve a hitelmin sít k általi bóvli kategóriába sorolás (20) következményei voltak. Látható a különböz lejáratú benchmark hozamok együttmozgása, különösen a diszkont kincstárjegyek esetén. Az összes hozam szétválása (2004 eleje és 203 végét l) emelked, míg a rövid és hosszú lejáratok kettéválása meredek hozamgörbére utal ábra. A benchmark hozamok korrelációja A rövid hozamok közti er s, pozitív kapcsolatot jelzi számszer leg a 2.5 ábra, melyen az egyes lejáratok benchmark hozamai közti korrelációk szerepelnek. Habár itt külön nem szerepel, de a zérókupon hozamok vizsgálatával is hasonló eredményeketre juthatunk. A korrelációk magas szintje mutatja, hogy a benchmark, illetve zérókupon hozamokat kevesebb faktorral is le lehet írni, a hozamgörbét leíró faktorokról a 4.4 részben lesz szó Az átlagid és a módosított átlagid Az árfolyam és a lejáratig számított hozam megváltozása közti kapcsolat számszer sítéséhez határozzuk meg el ször P i (t, y i ) y i (t) szerinti félrugalmasságát loghozamokra: P i (t, y i ) y i (t) n i /P i (t, y i ) = j= (t i,j t) c i,je y i(t)(t i,j t) P i (t, y i ) n i = (t i,j t) P V (c i,j) j= P i (t, y i ), (2.5) ahol P V ( ) a jelenértéket jelöli. Eektív hozamok esetén a következ képpen módosul az összefüggés: P i (t, y i ) /P i (t, y i ) = y i (t) = n i (t i,j t) + y i j= c i,j ( + y i ) t i,j t P i (t, y i ) = + y i n i j= (t i,j t) P V (c i,j) P i (t, y i ).

20 2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS 3 A n i j= (t i,j t) P V (c i,j) P i (t,y i összeget nevezzük Macaulay-féle D ) i átlagid nek és a félrugalmasság ellentettjét Di módosított átlagid nek. Az átlagid a két esetben megegyezik, a módosított átlagid loghozamok esetén D i = D i, míg eektív hozamokra D i = + y i D i. 2.5 Változás (százalékpont) Árváltozás Becsült árváltozás Dátum (nap) 2.6. ábra. Az árfolyamváltozás közelítése módosított átlagid vel A deníció alapján az átlagid a jöv beli pénzáramlások hátralév idejének súlyozott átlaga, ahol a súlyozás a pénzáramlások jelenértékének árfolyamhoz viszonyított aránya alapján történik. A félrugalmasság, és így a módosítot átlagid azt mutatja meg, hogy mekkora a kötvény árfolyamában történ változás (százalékban) a lejáratig számított hozam egységnyi változása esetén. Ez alapján a módosított átlagid az árfolyam hozamérzékenységét mutatja, minél nagyobb, annál nagyobb a kötvény kamatlábkockázata. Az el bbi jelölésekkel így az els rend Taylor-sorfejtés alapján P i (t, y i ) D i P i (t, y i ) y i. A 2.6 ábrán a 2028/A államkötvény 204 márciusi bruttó vételi árváltozásai szerepelnek az el z közelítéssel. Látható, hogy az approximáció viszonylag közeli eredményeket ad, de a hibák természetér l még nem árul el sokat. A 2.7 pontdiagramon már meggyelhet, hogy az árfolyamváltozás nagyságával n a hiba abszolútértéke is (igazából minden esetben alulbecsüljük az árfolyam változását). Az árfolyamváltozás és a hibák között másodrend kapcsolat van, ami legalább másodrend Taylor-sor használatának (a második deriváltat konvexitásnak nevezzük) szükségességét jelzi. A magasabb hibanagyságok csütörtöki napokhoz tartoznak, a

21 2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS 4 két munkanappal kés bbi elszámolás miatt így igazából a többivel ellentétben nem egynapos, hanem háromnapos az árfolyamváltozás. Az ábrán azért maradtak mégis rajta, mert az el bbi meggyelések ezekre is igazak Hiba (százalékpont) Az árváltozás nagysága (százalékpont) 2.7. ábra. Az árfolyamváltozás közelítésének hibája Az el bbiek alapján az átlagid a vízszintes hozamgörbe kismérték, párhuzamos eltolódása esetén méri jól a kockázatot. Ha a zérókupon hozamgörbét használjuk a diszkontáláshoz, akkor a Fischer-Weil átlagid t kapjuk, melyre loghozamok esetén n i D i,f W = (t i,j t) P i (t, y i ) c i,je r(t,t i,j)(t i,j t). j= Ebben a fejezetben áttekintettem a kötvények árazásához kapcsolodó alapfogalmakat, úgymint az árfolyam, a hozam- és forwardgörbe. Bemutattam a magyar államkötvények referencia hozamgörbéjéhez kapcsolódóan a benchmark kötvényeket és a lejáratig számított hozamot, majd a kamatlábkockázathoz tartozó legegyszer bb mutatószámot, az átlagid t. Ezek ismeretében a következ fejezetben már választ adhatok arra a kérdésre, hogy egy adott nap kötvényárfolyam adataiból hogyan lehet meghatározni a hozamgörbét.

22 3. fejezet Az kötvényárazás hibája A görbeillesztés során diszkrét id pontok meggyeléseihez keressük a pontokat minél jobban leíró folytonos függvényt. Adott napra vonatkozó illesztés esetén azonban több probléma is adódik. A korábban említettek alapján egyrészt kamatozó kötvény adatokat is fel kell használni a görbe meghatározásához, de a 2.2 és a 2.3 ábrák alapján csupán közel 20 futamid re tudunk valós adatot meggyelni. A másik, hogy két, egymást kiszorító cél van, a minél pontosabb illeszkedés és a simaság. Utóbbi a hozamgörbénél lényeges szempont, ugyanis nem kívánatosak az ugrások a görbében, két közeli lejárat között nem változik szignikánsan a hozam. Túl sima függvény esetén azonban nem elég pontos a kötvényárfolyamok becslése, míg túl jó illeszkedés mellett, empirikus tapasztalatok alapján romlik a mintán kívüli becslés. A hozamgörbe becslésénél el zetesen három kérdésben kell dönteni (Bliss, 996): az árazó függvény alakja, a közelít függvény típusa, a paraméterek becslésének módszertana. A választás a végs eredményeket is befolyásolja, ezért a következ kben ezeket részletesen is bemutatom, a fejezet további részében kalappal jelzem a becsült, elméleti mennyiségeket, míg a valós, meggyelt árfolyamok kalap nélküliek. 3.. Az árazó függvény A meggyelt árfolyamok a becsült árfolyamok és egy hibatag összegei, azaz P i (t, r) = ˆP i (t, r) + ɛ it Ha nem vesszük gyelembe az adókat és az esetleges beágyazott opciókat (például visszaváltható és visszahívható kötvények), akkor a ˆP i (t, r) meghatározására a 5

23 3. FEJEZET. AZ KÖTVÉNYÁRAZÁS HIBÁJA 6 legegyszer bb árazó függvény a 2. képlettel adható meg. A piacok tökéletlensége miatt azonban a gyakorlatban ez nem teljesül, általánosan a meggyelt árfolyamokat a P i (t, r) = g(c i,j, r(t, t j )) + ɛ it (3.) összefüggéssel írhatjuk le. Ebben feltesszük, hogy g( )-n keresztül a kötvény árfolyama az összes lényeges információt tartalmazza, így az elméleti és valós ár eltérése csupán zaj. Az r( ) illesztése úgy történik, hogy az ɛ it véletlen zaj valamilyen, el re meghatározott függvénye minimális legyen. A dolgozatban felteszem, hogy a kötvények árfolyamát az egyes pénzáramlások jelenértéke határozza meg (2. képlet), azaz n i ˆP i (t, r) = j= c i,j e r(t,t i,j)(t i,j t) + ɛ it. (3.2) Ez egyrészr l megtehet, ugyanis az állampapírok nem tartalmaznak semmilyen bels opciót. Másrészr l viszont így nem veszünk gyelembe olyan, az árfolyamra ható faktorokat, mint a likviditási prémium vagy akár az adatok min sége. El bbit a hibák likviditás szerinti súlyozásán keresztül beépíthetjük a modellbe, err l kés bb még lesz szó. Lényegesen egyszer sítjük továbbá az állampapírpiacot az adózási hatások kihagyásával. Meggyelhet ugyanis, hogy a befektet k adózási szempontokhoz igazíthatják tranzakcióik idejét (tax-timing option) vagy a keresett termékek körét (tax-clientele). Érdemes lehet ugyanis az árfolyamnyereség elhalasztásával és a veszteségek el rehozatalával csökkenteni a zetened adó mértékét (Makara, 203). Magyarországon a kamatjövedelmeket terhel egészségügyi hozzájárulás (EHO) 203. augusztusi bevezetése megváltoztatta a befektet k szokásait, ugyanis az az állampapírokat nem terheli, míg a bankbetéteket és a befektetési jegyeket igen. Az emiatti kereslet növekedés az állampapír piacon befolyásolta azok árfolyamát is. A külföldi szakirodalomban kiemelt szereppel bír McCulloch (975) cikke, melyben a kötvény árfolyamokat korrigálta az adózással. Vizsgálatai során azt kapta, hogy az adózás gyelembe vétele csökkenti az illesztés által nem megmagyarázott varianciát, illetve meghatározta azt az adókulcsot, ami a modell keretei között legjobban magyarázza a meggyeléseket (ebb l kapva az adózás el tti hozamgörbét) A hiba mérése A hozamgörbe illesztésekor, ahogy el bb említettem, minimalizálnak egy el re deniált h( ) hibafüggvényt. Ez lehet például az árfolyamok vagy az azokból számított

24 3. FEJEZET. AZ KÖTVÉNYÁRAZÁS HIBÁJA 7 bels megtérülési ráták különbségének függvénye, azaz a feladat a következ : min r(t, ) N i= h(p i (t, r) ˆP i (t, r)) vagy min r(t, ) N h(y i ŷ i ), ahol N az árfolyamadatok száma a t id pillanatban. 3. alapján ɛ it = P i (t, r) ˆP i (t, r), míg az y i ŷ i már ennek függvénye. A következ kben említett mér számok analóg módon átvihet k a lejáratig számított hozamok különbségére is, így külön nem írom le. Az egyik legegyszer bb függvényalak az abszolútérték függvény, ezzel az MAE t = MAE(t, P, r) = N i= N P i (t, r) ˆP i (t, r) átlagos abszolút eltérést kapjuk. Ahogy a neve is mutatja, ez átlagolja a meggyelt és becsült értékek közti abszolút távolságokat. Ha a valós adatok között nagy volt az eltérés, akkor nehezen értelmezhet az értéke. Az illeszkedés leggyakrabban használt mér száma az átlagos négyzetes eltérés, melyre RMSE t = RMSE(t, P, r) = N i= N (P i (t, r) ˆP i (t, r)) 2. Tehát az RMSE t négyzetre emeli a valós és elméleti árak közti távolságot, így nagyobb hatással vannak rá az extrém meggyelések. A kett közti relációra teljesül a következ egyenl tlenség (Bolder és Gusba, 2002): i= N RMSE t MAE t. A magyar adatok száma alapján így RMSE t 20MAE t, ezáltal valamelyest összehasonlíthatóvá válik a két mér szám. Egy hiba lehet abszolút értelemben nagy, de relatíve kicsi a kötvény árfolyamához képest. Ezért jobban értelmezhet és stabilabb eredményeket ad, ha normalizáljuk a hibákat (Bolder és Rubin, 2007). Természetesen adódik normalizáló tényez nek a kötvények meggyelt árfolyama, azaz smae t = N srmse t = N N i= P i (t, r) ˆP i (t, r) P i (t, r) N (P i (t, r) ˆP i (t, r)) 2. P i (t, r) i= Ezzel az smae már értelmezhet százalékos formában, minél kisebb ez az érték annál jobb az illeszkedés a meggyelt és becsült árfolyamadatok között. Azaz, ha

25 3. FEJEZET. AZ KÖTVÉNYÁRAZÁS HIBÁJA 8 3 hónap 6 hónap 2 hónap 3 év 5 év 0 év 5 év Szórás (árfolyam) 6,66 6,37 6,34 7,5 8,38 0,77 2,7 Szórás (YTM) 2,2 2,09 2,04,79,52,2 0, táblázat. A benchmark kötvények árfolyamának és lejáratig számított hozamának (YTM) szórása százalékpontban az smae értéke %, akkor átlagosan a becsült kötvényárfolyamok %-kal térnek el a piaci árfolyamoktól. Az MAE t és az RMSE t egyenl en súlyozza az egyes hibákat, azonban a becsl preferenciái alapján elképzelhet ek más súlyozások is. Rövid távon sokkal több meggyelés áll rendelkezésre (ahogy a 2.3 ábrán is látható), mint hosszú távon. Másrészt, ahogy a 3. táblázat mutatja, a és közötti adatok alapján a hosszú lejáratú benchmark kötvények árfolyama jobban szóródik, mint a rövid lejáratúaké. Ezek miatt a termék lejáratát tükröz mér számmal szükséges az egyes hibák közti fontosságot meghatározni. Legegyszer bb ilyen a hátralév futamid reciproka, ezzel nagyobb súlyt helyezve az éven belüli meggyelésekre, míg kisebbet az 5 éven túli, ritkább, volatilisebb adatokra. A korábbi jelöléseket használva, azaz t i,ni jelöli az utolsó kizetést (így az i. kötvény lejáratát), a súlyozott átlagos abszolút és négyzetes eltérés a következ képpen kapható: W MAE tn t = W RMSE tn t = N i= N i= t i,ni t i,ni N i= N i= P i (t, r) ˆP i (t, r) t i,ni, (P i (t, r) ˆP i (t, r)) 2 t i,ni. Az illesztési hibák heteroszkedaszticitását, illetve az árfolyamok és lejáratig számított hozamok közti elméleti kapcsolatot azonban a Di Macaulay-féle módosított átlagid vel való súlyozás ragadja meg a legjobban (Bliss, 996). Ekkor W MAE D t = W RMSE D t = N i= N i= D i D i N i= P i (t, r) ˆP i (t, r), Di N (P i (t, r) ˆP i (t, r)) 2. Szükséges lehet, hogy a likvid papírok árfolyamát jobban közelítsük, mint a nem likvidekét. A piaci likvidást méri a bid-ask spread, minél sz kebb a sáv, annál pontosabb becslés szükséges. Ezért a hibákat súlyozhatjuk az s i bid-ask spread i= D i

26 3. FEJEZET. AZ KÖTVÉNYÁRAZÁS HIBÁJA 9 reciprokával is, azaz W MAE s t = N i= W RMSEt s = N i= s i s i N i= N i= P i (t, r) ˆP i (t, r) s i, (P i (t, r) ˆP i (t, r)) 2 s i. A benchmark kötvények tekinthet k az állampapírpiacon a leglikvidebb termékeknek, így azok meggyelt árfolyamáról feltételezhet, hogy legpontosabban jelzik az elméleti árfolyamot. Ahhoz, hogy az ezekhez tartozó hibatagok minél kisebbek legyenek, beszorozhatjuk ezek súlyait egy olyan K konstanssal, amely mellett a benchmark kötvények közelítése már megfelel pontosságú (Bolder és Gusba, 2002). A négyzetes hibákat felírhatjuk mátrixos formában is, mellyel jobban értelmezhet vé válik. Például a módosított átlagid vel súlyozott négyzetes átlagos eltérésre W RMSE D t = P (t, r) ˆP 2 (t, r) =. P N (t, r) ˆP N (t, r) T D N i= D i D N N i= D i P (t, r) ˆP 2 (t, r).. P N (t, r) ˆP N (t, r) Eddig mindig olyan hozamgörbét kerestünk, mellyel a legjobban közelítjük a meggyelt középárfolyamokat. Egyfel l a középárfolyam használatával elveszítjük a felhasználható adatok egy részét, a vételi és eladási árfolyamokat (bid-ask spread súlyozás esetén egy részét meg rizzük viszont). Másfel l félreárazást csak akkor lehet kihasználni, ha a számított árra ˆP i (t, r) P bid i (t, r) vagy P ask i (t, r) ˆP i (t, r). Tehát becslés esetén lényegében tekinthetjük csupán azt is hibának, ha ˆP i (t, r) nem esik a vételi és eladási árfolyam közé (Bliss, 996), így nem a P i (t, r) ˆP i (t, r) (vagy y i ŷ i ) függvényét minimalizáljuk, hanem a következ kifejezését (ami már maga is ɛ it függvénye): ɛ it P ask i (t, r) ˆP i (t, r) ha Pi ask P bid (t, r) ˆP i (t, r), i (t, r) ˆP i (t, r) ha ˆP i (t, r) Pi bid 0 különben. (t, r), (3.3) Egy illesztés sikerességét mérhetjük azzal is, hogy a meggyelések hanyadrészénél 0 a hiba az el z denícióval, Bliss (Bliss, 996) ezt nevezi találati aránynak. Lehetséges további mér szám az olcsó arány (felülbecsüljük az eladási árat) és a drága arány (alulbecsüljük a vételi árfolyamot).

27 3. FEJEZET. AZ KÖTVÉNYÁRAZÁS HIBÁJA A hibatagokra vonatkozó vizsgálatok Ha élünk az árazófüggvényre vonatkozó egyszer sít feltételezéssel, akkor szükséges megvizsgálni, hogy a reziduálisok valóban véletlen zajok-e és korrelálatlanok-e más faktorokkal. Ehhez kapcsolódóan Bliss (Bliss, 996) három lehet séget javasol, ezeket mutatom be röviden a következ kben. Ha az árazó egyenletet helyesen határoztuk meg és az árazási hibák valóban véletlen zajok, akkor egy kötvény egymást követ id szaki becslése során kapott hibák között nincs kapcsolat. Az ɛ it illeszkedési hibákat három kategóriába sorolhatjuk el jelük szerint. Ha véletlenek voltak, akkor ezeknek a kategorizált változóknak is annak kell lenniük. Az els módszer szerint megnézzük az egymást követ id szakok kategorizált hibáinak átmenetmátrixát, melynek sorai a t., míg oszlopai a t. id szaki hibák el jelei. A mátrix egyes elemei pedig a feltételes valószín ségek, azaz például, hogyha a t. id szakban pozitív volt a hiba, mekkora eséllyel lesz a következ ben negatív. Ha a mátrix oszlopösszegei nem egyeznek meg annak a feltétel nélküli valószín ségével, hogy a hiba negatív, nulla, vagy pozitív, akkor azok nem véletlenek. Ez pedig azt jelenti, hogy vannak olyan tartósan fennálló faktorok, melyeket az árazó egyenlet nem ragad meg. Ha több módszerrel is elvégezzük a becslést, akkor az árazó egyenlet helyessége esetén a hibák el jelének a módszert l függetlennek kell lenniük. A vizsgálatot az el z módszerhez hasonlóan egy feltételes valószín ségeket tartalmazó mátrix alapján végezhetjük. Ha a módszerek hibáinak el jele között nincs kapcsolat, akkor arra következtethetünk, hogy a meggyelt eltérések más okból származnak az egyes módszerek esetén, például a következ részben említend közelít függvény helytelen megválasztásából. Ha magas az egyik módszer magyarázó hatása, akkor a hibák adat-, és nem módszerspecikus faktorokból származnak. A harmadik módszer a hibák regressziójára épül, azaz különböz faktorokkal próbáljuk azokat magyarázni. Magyarázó változó lehet péládul a kibocsátás óta eltelt vagy lejáratig hátralév id (lejárati prémium), a fennálló állomány vagy a bid-ask spread (likviditási prémium). A regresszió R-négyzet értéke alapján következtethetünk a faktor szükségességére, azonban nem várható el nagy magyarázó er, ugyanis ezen faktorok általában nem lineárisan hatnak a kötvény árfolyamára.

28 4. fejezet A hozamgörbe közelítése A következ kben a közelít függvény lehetséges alakjait tekintem át. El ször felteszem, hogy adottak egyes lejáratokra a diszkontfaktorok (és így hozamok) és ezekre szeretnénk diszkontfüggvényt illeszteni. Ha ez sikerül, akkor abból már rögtön adódik a hozamgörbe is. A korábbi jelöléssel ellentétesen a továbbiakban legyen egy adott id pont becsült diszkontfüggvénye d(t, τ). 4.. Interpoláció A görbeillesztés matematikailag egy interpoláció, tegyük fel, hogy ismerjük a diszkontfüggvény (de lehet a forward- vagy hozamgörbe is) értékeit a különböz {D t,0, D t,,..., D t,n } {τ t,0, τ t,,..., τ t,n } lejáratokra. Általánosan a feladat ekkor lehet például a többi pontbeli érték, a függvény deriváltjának vagy integráljának meghatározása, így biztosítva átjárást a hozamgörbe különböz alakjai között (Faragó és Horváth, 203). Ezek megoldásához általában olyan, a [τ t,0, τ t,n ] intervallumon folytonos d függvényeket keresünk, melyekre d(t, τ t,i ) = D t,i, és ezekre végezzük el a kívánt m veletet. Ilyen lehet például a lépcs s, a szakaszonként lineáris, a polinomiális, a szakaszonként polinomiális (spline) és az exponenciális függvény. Lineáris illesztés esetén egyszer en d(t, τ) = D t,i + D t,i+ D t,i τ t,i+ τ t,i (τ τ t,i ), ha τ t,i τ < τ t,i+. Az így kapott diszkontfüggvény azonban nem sima, az adott τ t,i pontokban általában nem is deriválható, ami a forward görbe meghatározásához szükséges volna. 2

29 4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE 22 Jobb megoldás, ha a keresett d(t, τ) függvény formája polinom, azaz d(t, τ) = N a t,k τ k. k=0 Ekkor minden i-re teljesülnie kell, hogy d(t, τ t,i ) = D t,i, azaz mátrixos formában τ t,0 τt,0 2 τt,0 N a t,0 τ t, τt, 2 τt, N a t, = τ t,n τt,n 2 τ t,n N a t,n D t,0 D t,. D t,n. (4.) Az egyenlet könnyen megoldható az együttható mátrix invertálásával. Mivel a mátrix Vandermonde-mátrix, illetve az id pontok különböz ek, így az invertálás mindig elvégezhet. Ez alapján N + meggyelésre mindig illeszthet egy N-ed fokú polinom. A gyakorlatban az együtthatók ilyen módon való meghatározása a Vandermonde-mátrix gyenge kondícionáltságából következ nagy approximációs hiba miatt nem javasolt (Bolder és Gusba, 2002). Az N + dimenziós polinomok terében természetes bázis az el bbi, τ,..., τ N. Ennek használatával jutottunk a mátrix invertálási problémához, ami a gyakorlatban nem használható. Jobb választás a Lagrange-polinomokból álló bázis, melyet a következ N + függvény alkot (k {0,... N}): l k (t, τ) = (τ τ t,0 )... (τ τ t,k )(τ τ t,k+ )... (t τ t,n ) (τ t,k τ t,0 )... (τ t,k τ t,k )(τ t,k τ t,k+ )... (τ t,k τ t,n ). Ezek lineáris kombinációjaként adódik az interpolációs polinom, azaz a becsült diszkontfüggvény: d(t, τ) = N D t,k l k (t, τ) k=0 Ezen módszerek hátránya, hogy a meggyelések számával közel azonos fokú polinommal közelítjük a diszkontfüggvényt, ami 20 pont esetén már a görbe ingadozását is eredményezheti. Ennek következménye egymáshoz közeli lokális széls értékek, ami irreális forwardgörbéhez vezet (Makara, 203). Természetes ötlet, hogy szakaszonként kisebb fokú polinommal közelítsünk, például spline módszerrel Spline illesztés Legyenek a szakaszhatárok (csomópontok) {k t,0, k t,,..., k t,l }, ezek nem feltétlenül esnek egybe a τ t,i id pontokkal, s t a számuknak sem kell megegyezniük. Legyen Azaz determinánsára det(v ) = i<j N (τ j τ i ).

30 4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE 23 S(t, τ) szakaszonként harmadfokú polinomokból álló függvény, azaz S (t, τ) = a t, + b t, (τ k t,0 ) + + d t, (τ k t,0 ) 3 ha k t,0 τ k t,, S 2 (t, τ) = a t,2 + b t,2 (τ k t, ) + + d t,2 (τ k t, ) 3 ha k t, τ k t,2,. S l (t, τ) = a t,l + b t,l (τ k t,l ) + + d t,l (τ k t,l ) 3 ha k t,l τ k t,l. (4.2) S(t, τ)-t akkor nevezzük spline függvénynek, ha az egyes szakaszok illeszkednek a csomópontokban (folytonosság) és kell en simák (els és második deriváltja folytonos). Továbbá, mivel interpolációról van szó, így a τ t,i id pontokban felvett értékeknek D t,i -vel kell megegyezniük. Formálisan, ha kielégíti a következ feltételeket: - S(t, τ t,i ) = D t,i, i {0,... N} S i (t, k t,i ) = S i+ (t, k t,i ), i {,... l } S i(t, k t,i ) = S i+(t, k t,i ) és S i (t, k t,i ) = S i+(t, k t,i ), i {,... l }. Látható 4.2 alapján, hogy 4l paramétert kell meghatározni. alapján N + egyenletet írhatunk fel a következ képpen Az els feltétel a t,j + b t,j (τ t,0 k t,j ) + + d t,j (τ t,0 k t,j ) 3 =. D t,0 ahol k t,j τ t,0 k t,j a t,j + b t,j (τ t,n k t,j ) + + d t,j (τ t,n k t,j ) 3 = D t,n ahol k t,j τ t,n k t,j. A folytonossági követelmény a következ l egyenletet határozza meg: a t, + b t, (k t, k t,0 ) + c t, (k t, k t,0 ) 2 + d t, (k t, k t,0 ) 3 = a t,2. a t,l + b t,l (k t,l k t,l 2 ) + + d t,l (k t,l k t,l 2 ) 3 = a t,l. Végül a simaságra vonatkozó feltételek alapján az els deriváltakra b t, + 2c t, (k t, k t,0 ) + 3d t, (k t, k t,0 ) 2 = b t,2, b t,l + 2c t,l (k t,l k t,l 2 ) + 3d t,l (k t,l k t,l 2 ) 2 = b t,l, míg a második deriváltakra 2c t, + 6d t, (k t, k t,0 ) = 2c t,2, 2c t,l + 6d t,l (k t,l k t,l 2 ) = 2c t,l...

31 4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE 24 Az el bbiek alapján így 4l változó és (N +)+(l )+(l )+(l ) = N +3l 2 egyenlet van, így az osztópontok számától is függ, hogy megoldható-e az egyenlet rendszer. Ha az osztópontok megegyeznek az alappontokkal, akkor a rendszer alulhatározott (4N változó és 4N 2 egyenlet). Ezért két további feltételt is meg kell határozni, általános választás (Bolder és Gusba, 2002), hogy a kezd, illetve végpontban 0 legyen a második derivált 2, azaz 2c t, = 0, 2c t,l + 6d t,l (k t,l k t,l ) = 0). Így már általában megoldható a lineáris egyenletrendszer, az alappontok és így a csomópontok növekedésével ezt a megközelítést nehéz implementálni és numerikusan instabil (Bolder és Gusba, 2002). Az el z részhez hasonlóan most is egy alkalmas bázis felírása jelent megoldást. Makara (203) a következ bázisfüggvényeket említi a {k t,0, k t,,..., k t,l } csomópontok által meghatározott harmadfokó spline-ok terében: f j (τ) = f l (τ) = τ, f l (τ) = τ 2, f l+ (τ) =. 0 ha τ k t,j, (τ k t,j ) 3 6(k t,j+ k t,j ) ha k t,j < τ k t,j+, (k t,j+ k t,j ) (τ k t,j)(τ k t,j+ ) 2 ha k t,j+ < τ k t,l, (4.3) A 4. ábrán 5 csomópont ({0; 2, 5; 5; 7, 5; 0}) mellett ábrázoltam a bázisfüggvényeket, ez és a deníció alapján látható, hogy nagyobb lejáratok esetén rugalmasabb lesz a kapott diszkontfüggvény, ugyanis több bázisfüggvény vesz fel nullától különböz értéket. Az empirikus vizsgálatok során a szükséges csomópontok számának megtalálása id igényes feladat. Fontossága viszont megkérd jelezhetetlen, ugyanis ha túl kicsi, akkor nem biztos, hogy megfelel en illeszkedik a görbe. Túl sok szakasz esetén a túlzott pontosság a probléma, ugyanis ekkor a kiugró meggyelések elhúzzák a görbét. McCulloch (97) ezért azt a hüvelykujj szabályt javasolta, hogy a csomópontok száma a meggyelések négyzetgyökéhez legközelebb es egész szám legyen. A keresett diszkontfüggvény ezután ezen bázisfüggvények súlyozott összegeként adódik, a becslés ezen w t,i súlyok megtalálását jelenti. l+ d(t, τ) = 2 Ezeket nevezzük a természetes spline-nak. j=0 w t,j f j (τ). (4.4)