DENSITY OF 2-SAFE MATRICES

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "DENSITY OF 2-SAFE MATRICES"

Átírás

1 STUDIA UNIV. BABEŞ BOLYAI, INFORMATICA, Volue?, Nuber?,???? DENSITY OF 2-SAFE MATRICES ANTAL IVÁNYI AND PÉTER SIMON Abstract. Egy n éretű bináris átrix r-jó, ha inden oszlopában legfeljebb r egyes van; r-üteezhető, ha nulla eleek törlésével jó átrixszá alakítható; r-biztos, ha tetszőleges k-ra igaz, hogy a átrix első k oszlopában legfeljebb kr darab egyes van. Legyen Z = [z ij ] n olyan átrix, elynek eleei egyástól független valószínűségi változók, és indegyik valószínűségi változó p valószínűséggel az 1 és 1 p valószínűséggel a 0 értéket veszi fel. Az 1 esetben a jó átrixok segítségével alsó, a biztos átrixok segítségével felső korlátokat adunk annak asziptotikus valószínűségére, hogy a Z átrix egy konkrét realizációja 2-üteezhető, és egadjuk azt a kritikus valószínűséget, aelynél kisebb p-re a Z átrix pozitív valószínűséggel 2-biztos. 1. Introduction A kobinatorikusok [3,?, 6, 7, 16, 17] és a fizikusok [1, 4, 12, 14] egyik népszerű kutatási téája a különböző gráfokon való bolyongás. Ebben a cikkben egy olyan a perkoláció [6, 7, 12, 14] vizsgálatából szárazó feladatot elezünk, aely a kölcsönös kizárást igénylő erőforrásokat használó párhuzaos folyaatok üteezésénél is érdekes. A folyaatok üteezhetőségi valószínűségének becslését egyenes entén történő aszietrikus bolyongás vizsgálatára vezetjük vissza. 2. Forulation of the proble Let and n be positive integers, let r (0 r ) be a real nuber and let z 11 z z 1n (1) Z = z 21 z z 2n... z 1 z 2... z n Received by the editors: July Matheatics Subject Classification. 05A16, 60C05, 68Q25, 82B CR Categories and Descriptors. G.3 [Probability and statistics]: Queueing theory; F2.2 [Analysis of algoriths and proble coplexity]: Nonnuerical algoriths and probles Coputations on discrete structures. 1

2 2 ANTAL IVÁNYI AND PÉTER SIMON be a atrix of independent rando variables with the coon distribution { p, if k = 1 and 1 i, 1 j n, (2) P (z ij = k) = q = 1 p, if k = 0 and 1 i, 1 j n. Let (3) A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a 1 a 2... a n be a concrete realization of Z. The good, safe and schedulable atrices are defined as follows. Matrix A is called r-good, if the nuber of the 1 s is at ost r/2 in all coluns. The nuber of different r-good atrices of size n is denoted by G(, n, r) and the probability that Z is good is denoted by g(, n, p, r). Matrix A is called r-safe (0 b 2), if (4) i=1 j=1 k a ij kr (k = 1, 2,..., n). The nuber of different r-safe atrices of size n is denoted by S r (, n) and the probability that Z is safe, is denoted by s r (, n, p). If a ij = 0, then it can be deleted fro A. Deletion of a ij eans that we decrease the second indices of a i,j+1,..., a i and add a i = 0 to the i-th row of A. Matrix A is called Winkler r-schedulable (shortly r-schedulable or r- copatible) if it can be transfored into a r-good atrix B using deletions. The nuber of different r-schedulable atrices of size n is denoted by W (, n, r) and the probability that Z is r-schedulable is denoted by w(, n, p, r). The function w(, n, p, r) is called r-schedulability function. The functions g b (, n, r), w b (, n, r) and s b (, n, r) are called the density functions of the corresponding atrices. The asyptotic density of the good, safe and schedulable atrices are defined as (5) g r (, p) = li n g r(, n, p), (6) s r (, p) = li n s r(, n, p), (7) w r (, p) = li n w r(, n, p). The critical probabilities defined as (8) w crit,r () = sup{p w r (, p) > 0}, (9) g crit,r () = sup{p g r (, p) > 0},

3 and DENSITY OF SAFE MATRICES 3 (10) s crit,r () = sup{p s r (, p) > 0} represent special interest for soe applications. The ai of this paper is to characterize the density, asyptotic density and critical probability of good, schedulable and safe atrices. Starting point of our research is due to Péter Gács [7] proving that w 1 (2, p) is positive for p sall enough. His proof iplies that w crit,1 (2) We reark that soe recent papers are closely connected with our efforts: [?] enuerates soe r-safe atrices, [?] presents density of 2- and ((/2)-safe atrices and [9] investigates algoriths generating all schedulable atrices Interpretation of the proble. Bár a Winkler-odellt a perkoláció leírására javasolták, a probléák egy-egy lehetséges inforatikai értelezését utatjuk be. folyaatnak időnként ugyanarra az erőforrásra van szüksége, aelyből r/2 egység van. Az i-edik folyaat erőforrásigényét az a i1, a i2,..., a i sorozattal adjuk eg. Ha ennek a sorozatnak az a ij elee egyes, akkor az i-edik folyaat a [j 1, j) intervalluban igényli az erőforrást. Ha a ij = 0, akkor ugyanabban az intervalluban a folyaat ne igényli az erőforrást, ert későbbre halasztható háttérunkát végez ez agyarázza, hogy az üteezhetőség érdekében a nullák törölhetők. Az = 1, r = 1 speciális eset az isert jegyváltási probléa [13, 16] és szavazási probléa [5], az = 2, r = 2 speciális eset pedig a Winkler-féle perkolációs odell [7, 17]. A jó átrixok törlés nélkül üteezhetők. A ne jó átrixok egy része törlés(ek) segítségével jóvá alakítható, azaz üteezhető. A biztosság az üteezhetőség szükséges feltétele. Ezért a jó átrixok száa alsó korlát, a biztos átrixok száa pedig felső korlát az üteezhető átrixok száára. Mivel a probléát inforatikai probléaként kezeljük, ezért a továbbiakban elsősorban Feller [5] inforatikai (töegkiszolgálási) terinológiáját használjuk. 3. Analysis Ebben a részben elsősorban azt vizsgáljuk különböző ódszerekkel hogyan függ a biztos átrixok asziptotikus sűrűsége az egyesek előfordulásának p valószínűségétől és a sorok száától. A vizsgált g r (, n, p), w r (, n, p) és s r (, n, p) függvények tulajdonságai: n N +, n N +, r R a ndr [0, ], p R a ndp [0, 1]; n szerint onoton csökkenők; p szerint onoton növekvők; szerint onoton csökkenők; r szerint onoton növekvők.

4 4 ANTAL IVÁNYI AND PÉTER SIMON A továbbiakban indenütt feltesszük, hogy r = 2, azaz a jó átrixok oszlopaiban legfeljebb egy egyes, a biztos átrixok k hosszúságú prefixeiben pedig legfeljebb k egyes lehet. Mivel r értéke indenütt ugyanaz, a továbbiakban elhagyjuk az r indexet Preliinary results. A későbbiekben felhasználjuk az alábbi állításokat. Jelöljük C n -nel (n N + azon a 1, a 2,..., a 2n bináris sorozatok száát, aelyekben n darab egyes és n darab nulla van úgy, hogy inden a 1, a 2,..., a k (1 k 2n) kezdősorozatban legfeljebb annyi egyes van, int nulla. Lea 1. Ha n 0, akkor C n = 1 ( ) 2n. n + 1 n Megjegyezzük, hogy C n az n-edik Catalan-szá, elynek explicit alakja száos tankönyvben és cikkben [2, 11, 13, 16] egtalálható. Isert [2, 15], hogy egy Descartes-féle koordinátarendszer origójából C n különböző úton juthatunk el az (n, n) pontba úgy, hogy közben összesen n-szer lépünk jobbra és n-szer lépünk felfelé úgy, hogy közben soha ne kerülünk az y = x egyenes fölé. Ennek analógiájára S(2, n) azt adja eg, hány olyan n-lépéses út van, aelyben inden lépésben jobbra vagy felfelé léphetünk vagy helyben aradhatunk, és az útnak nincs pontja az y = x egyenes felett. Az s(2, p), illetve 1 s(2, p) valószínűségértékek a szögfelező alatt aradó és a szögfelezőt átlépő utak valószínűségét jellezik. Lea 2. Ha 0 x 1, akkor ( 1 2k (11) f(x) = x k + 1 k k=0 ) (x(1 x)) k = { x 1 x, ha 0 x < 1 2, 1, ha 1 2 x 1. Proof. Isert [2, 15], hogy egy Descartes-féle koordinátarendszer origójából C n különböző úton juthatunk el az (n, n) pontba úgy, hogy közben összesen n-szer lépünk jobbra és n-szer lépünk felfelé, és közben soha ne kerülünk az y = x egyenes fölé. Ennek analógiájára az s(1, n, p) valószínűség az olyan az origóból induló n lépéses utak valószínűségét adja eg, aelyekben jobbra vagy felfelé léphetünk és az útnak nincs pontja az y = x egyenes felett. s(1, p, 1) annak a valószínűségét adja eg, hogy van tetszőleges hosszúságú út a y = x tengely alatt Two rows in the atrix. If 2, then the coluns containing less 0 s than 1 s are called white (W), the coluns containing ore 1 s than 0 s are called black (B) and the coluns containing the sae nuber of 0 s and 1 s are called grey (G).

5 DENSITY OF SAFE MATRICES 5 Ha 2, akkor az A átrix inden oszlopa q + q valószínűséggel lehet fehér vagy szürke, ezért g(, n, p) = ((q + q)) n. Ha p > 0, akkor (12) g(, p) = li n (q + q) n = 0, tehát az oszlopok száának növekedtével a jó átrixok sűrűsége tart a nullához. Ha az = 2 esetben egy jó átrixból töröljük a fehér oszlopokat, akkor csak szürke oszlopok aradnak, azaz a átrix két sora egyásnak a kopleentere. Vizsgálataink szepontjából fontos szerepet játszik a következő egyszerű állítás. Lea 3. Ha 2, akkor a jó átrixok üteezhetők, az üteezhető átrixok pedig biztosak. Proof. Ha az A átrix inden oszlopában legfeljebb egy egyes van, akkor a átrix első k oszlopában összesen legfeljebb k egyes van. Ha van olyan k (1 k n), aelyre az A átrix első k oszlopában több egyes van, int k, akkor a skatulyaelv szerint az első k oszlop között van olyan, aelyikben legalább két egyes van. Ha az A átrixból törlünk egy nullát, ezzel az első k oszlopban lévő nullák száa ne csökken tehát A ne üteezhető. Ennek az állításnak hasznos következénye az alábbi. Corollary 4. Ha 2, akkor (13) g(, n, p) w(, n, p) s(, n, p), (14) g(, p) w(, p) s(, p), (15) g crit () w crit () s crit () Two rows in the atrix. Az egyszerűség kedvéért az s(2, n, p) függvény helyett az u(2, n, p) = 1 s(2, n, p) függvényt eleezzük. Először egadunk egy zárt képletet u(2, n, p) eghatározására. Lea 5. If n 1, then (16) u(2, n, p) = n i=1 (i 1)/2 j=0 ( ) i 1 2 i 1 2j C j 4 n i. 2j Proof. A lehetséges 2 n éretű, ne biztos átrixokat osztályozzuk azon oszlopuk szerint, aelyben az egyesek száa először haladta eg a nullák száát (ezt az oszlopot döntő oszlopnak nevezzük). A két egyest tartalazó oszlopokat feketének nevezzük és B-vel jelöljük, a két nullát tartalazó oszlopokat fehérnek nevezzük és W-vel jelöljük, az 1-1 nullát és egyest tartalazó oszlopokat pedig szürkének nevezzük és G-vel jelöljük. A döntő oszlop indexe 0, 1,..., n 1 vagy n. Az egy osztályba került átrixokat pedig osztályozzuk aszerint, hogy a döntő oszlop előtt hány fekete oszlopuk volt: ez a szá 0, 1,..., (n 1)/2 lehet.

6 6 ANTAL IVÁNYI AND PÉTER SIMON A külső összegzés a döntő oszlopokat veszi figyelebe, a belső pedig a döntő oszlop előtti fekete oszlopokat. Az összegben a binoiális együttható azt veszi szába, hányféleképpen helyezhető el a döntő oszlop előtti i 1 oszlopban az összesen 2j fekete és fehér oszlop. A C j Catalán-szá azt adja eg, hány egfelelő sorrendje van a fekete és fehér oszlopoknak. A 2 alapú hatvány azt ondja eg, hogy hányféleképpen választhatók eg a szürke oszlopok. Végül a 4 alapú hatványtényező azt veszi figyelebe, hogy a döntő oszlop utáni oszlopok tetszés szerint kitölthetők a átrix indenképpen bizonytalan lesz. Az u(2, n, p)-re kapott (16) képlet nehezen kezelhetőnek látszik. Ezért beutatunk egy kobinatorikus és két bolyongásos ódszert s(2, p) explicit alakjának levezetésére. Theore 6. If 0 p 1, then { (17) u(2, p) = p 2 q 2, if 0 p < 1 2, 1, if 1 2 p 1. Proof. A bizonytalan átrixok egy részét az első fekete oszlop teszi bizonytalanná. Ezek általános alakja G a BA b, ahol a + b + 1 = n, továbbá G szürke, B fekete és A tetszőleges oszlopot jelent. Az ilyen oszlopok asziptotikus részaránya C 0 (2pq) a p 2 = p2 1 2pq C 0. a=0 A bizonytalan átrixok következő csoportjának általános alakja G a BG b W G c BA d, ahol a + b + c + d + 3 = n. Az ilyen átrixok asziptotikus részaránya (2pq) a p 2 (2pq) b q 2 (2pq) c p 2 = p2 1 2pq C p 2 q pq 1 2pq. a=0 b=0 c=0 Általában, ha az (i + 1)-edik fekete oszlop a döntő, akkor az ilyen átrixok asziptotikus hozzájárulása a bizonytalan átrixok valószínűségéhez p 2 ( p 2 1 2pq C q 2 ) 2 i, 1 2pq 1 2pq és így u(2, p) = i=0 p 2 ( p 2 1 2pq C q 2 ) 2 i. 1 2pq 1 2pq A p 2 /(p 2 + q 2 ) = x és q 2 /(p 2 + q 2 ) = 1 x helyettesítéssel alkalazva a 2. leát egkapjuk a kívánt képletet. Mátrixaink vizsgálatának hasznos ódszere, ha inden átrixhoz hozzárendelünk egy az x-tengelyen való bolyongást. A bolyongó pont a k-adik időpontban a P k (x k, 0) pontban van, ahol x k a átrix első k oszlopában előfordult nullák és egyesek száának különbségét jellezi.

7 DENSITY OF SAFE MATRICES 7 Ha a bolyongás az origóból indul, akkor { 1, if k with k < k x k = i=1 (a i1 + a i2 ), k k i=1 (a i1 + a i2 ) otherwise. Ebben az esetben is alkalazható a feladat bolyongásos egoldása. Theore 7. Ha 0 p 1, akkor { ( ) 2 (18) s(2, p) = 1 p 1 p, ha 0 p < 1 2, 0, ha 1 2 p 1. Proof. Azt akarjuk eghatározni, hogy az origóból induló pont ilyen valószínűséggel nyelődik el a 1 pontban lévő nyelőben. Bár a fehér, illetve fekete oszlop után kettővel változik az addig előfordult nullák és egyesek száának különbsége, az egyszerűség kedvéért azt tételezzük fel, hogy fekete oszlop után p 2 valószínűséggel lépünk egyet balra, fehér oszlop után q 2 valószínűséggel lépünk egyet jobbra, és szürke oszlop után 2pq valószínűséggel helyben aradunk. Az u(2, p) = x jelöléssel a teljes valószínűség tétele alapján azt kapjuk, hogy (19) x = p 2 + 2pqx + q 2 x 2. Ennek az egyenletnek a gyökei (20) x 1,2 = 1 2pq ± (1 2pq) 2 4p 2 q 2 2q 2 = p2 + q 2 ± (p2 q 2 ) 2 2q 2, ahonnan (21) x 1 = p2 q 2, and x 2 = 1. Innen s(2, p) = 1 u(2, p) alapján egkapjuk a bizonyítandó képletet. Mivel bennünket elsősorban az elnyelődés valószínűsége érdekel, egy ásik bolyongást is hozzárendelhetünk az Z átrixhoz úgy, hogy a szürke oszlopoktól eltekintünk azok ugyanis az elnyelődés határvalószínűségét ne befolyásolják, csak lassítják a konvergenciát. A szürke oszlopok valószínűségét a fekete és fehér oszlopok között a egfelelő arányban elosztva a balra lépés a és a jobbra lépés b valószínűségére azt kapjuk, hogy (22) a = p2 p 2 + q 2 és b = q2 p 2 + q 2. Ezekkel a valószínűségekkel a (??) egyenletet kapjuk. A (??) egyenlet egoldásaiba (22) szerint visszahelyettesítve a és b helyére a p és q valószínűségeket, itt is egkapjuk a (21) képlet szerinti gyököket. Végül egy olyan ódszert is beutatunk, aelyet a későbbiekben tetszőleges 2 értékre alkalazni tudunk.

8 8 ANTAL IVÁNYI AND PÉTER SIMON Jelöljük x k -val (k = 1, 0, 1, 2,...) annak valószínűségét, hogy a k pontból induló bolyongó pont elnyelődik az x = 1 helyen. A két egyest tartalazó, p 2 valószínűséggel előforduló oszlopnak feleltessünk eg balra lépést, a 2pq valószínűséggel előforduló vegyes oszlopkhoz tartozzon helybenaradás és a két nullát tartalazó, q 2 valószínűséggel előforduló oszlopoknak feleljen eg jobbra lépés. Ekkor a következő egyenleteket írhatjuk fel. (23) Legyen (24) G(z) = x 0 = q 2 x 1 + 2qpx 0 + p 2, x 1 = q 2 x 2 + 2qpx 1 + p 2 x 0, x 2 = q 2 x 3 + 2qpx 2 + p 2 x 1, x 3 = q 2 x 4 + 2qpx 3 + p 2 x 2, x i z i az x 0, x 1, x 2,... sorozat generárorfüggvénye. A 32. egyenlet x i -vel kezdődő egyenleteket rendre z i -vel beszorozva és az egyenleteket összeadva a (25) G(z) = q G(z) x 0 z Innen G(z) kifejezhető i=1 (26) G(z) = P (z) Q(z) alakban, ahol (27) P (z) = q 2 p 2 z és + 2pqG(z) + p 2 (1 + zg(z)). (28) Q(z) = p 2 z 2 + 2pq + p 3 z. A Q(z) polino legfeljebb egy abszolut értékű zérushelyein a P (z) polinonak a nulla értéket kell felvennie. A Q(z) = 0 egyenletet (29) (pz + q) 2 = 1 alakban felírva közvetlenül adódik, hogy z = 1 gyöke a Q(z) polinonak. P (1) = 0 egyenletből azt kapjuk, hogy (30) x 0 = p2 q 2. A 1. ábra utatja a [0, 1] intervalluban értelezett S(2, p) függvény görbéjének a [0, 1/2] intervalluhoz tartozó részét. Összefoglalhatjuk a kritikus valószínűségekre vonatkozó isereteinket. A

9 DENSITY OF SAFE MATRICES x Figure 1. Az s(2, p, 1) üteezhetőségi függvény görbéje. Corollary 8. (31) 0 = g crit (2) w crit (2) s crit (2) = 1 2. Elékeztetünk Gács eredényére, aely szerint w crit (2, 1) A 2. táblázatban egadjuk a jó, üteezhető és biztos átrixok száát és részarányát ai egfelel a p = 0.5 értéknek. Az oszlopok száa a táblázatban 1, 2,..., 15 vagy 16. Jelöljük a n éretű bináris átrixok száát T (, n)-nel. Ekkot T (, n) = 2 n. Az eddigi eredények alapján ind a G(, n)/t (, n), ind pedig a W (, n)/t (, n) és S(, n)/t (, n) értékeknek nullához kell tartani n növekedtével. Nyitott kérdés a W (2, n)/s(2, n) hányados viselkedése. A 3. táblázat s(2, n, 0.4) oszlopában a száoknak az 5/9 határértékhez kell tartaniuk ai ég essze van. A 6. táblázatban a s(2, n, 0.35) oszlop száainak a 120/ határértékhez kell tartaniuk Three rows in the atrix. Az = 3 esetben 3:0, 2:1, 1:2 és 0:3 lehet a nullák és egyesek aránya. A vizsgált átrixhoz olyan bolyongást rendelünk, aelyikben a csupa egyes oszlop p 3 valószínűségével ugrunk balra kettővel, a két egyest

10 10 ANTAL IVÁNYI AND PÉTER SIMON G(2,n) W (2,n) S(2,n) T (2,n) W (2,n) S(2,n) n T (2, n) G(2, n) T (2,n) W (2, n) T (2,n) S(2, n) Figure 2. A p = 1/2 valószínűséghez tartozó kerekített adatok. n T (2, n) g(2,n,0.4) w(2, n, 0.4) s(2, n, 0.4) w(2,n,0.4) s(2,n,0.4) ???? Figure 3. A p = 0.4 valószínűséghez tartozó kerekített adatok.

11 DENSITY OF SAFE MATRICES 11 n Mátrixok Jó Üteezhető s(2, n, 0.35) Üteezhető/ száa átrixok átrixok átrixok biztos valószínűsége valószínűsége valószínűsége hányados ???? Figure 4. A p = 0.35 valószínűséghez tartozó kerekített adatok. tartalazó oszlop 3p 2 q valószínűségével lépünk balra, az egy egyest tartalazó oszlopok 3p 2 valószínűségével aradunk helyben és a háro nullát tartalazó oszlop q 3 valószínűségével lépünk jobbra. A korábban is használt x k jelölést bevezetve a következő egyenleteket írhatjuk fel: (32) x 0 = q 3 x 1 + 3q 2 px 0 + 3qp 2 + p 3, x 1 = q 3 x 2 + 3q 2 px 1 + 3qp 2 x 0 + p 3, x 2 = q 3 x 3 + 3q 2 px 2 + 3qp 2 x 1 + p 3 x 0, x 3 = q 3 x 4 + 3q 2 px 3 + 3qp 2 x 2 + p 3 x 1, Legyen (33) G(z) = x n z n i=0

12 12 ANTAL IVÁNYI AND PÉTER SIMON n Mátrixok Jó Üteezhető s(2, n, 0.35) Üteezhető/ száa átrixok átrixok átrixok biztos valószínűsége valószínűsége valószínűsége hányados ???? Figure 5. A p = 0.5 valószínűséghez tartozó kerekített adatok. az x 0, x 1, x 2,... sorozat generátorfüggvénye. Akkor a (32) egyenleteket rendre beszorozva z egfelelő hatványával és összeadva őket azt kapjuk, hogy (34) G(z) = q 3 G(z) x 0 + 3q 2 p G(z) + 3qp 2 (1 + zg(z)) + p 3 ( 1 + z + z 2 G(z) ), z z ahonnan G(z) kifejezhető két polino hányadosaként: (35) G(z) = P (z) Q(z), ahol (36) P (z) = q 3 x 0 3qp 2 z p 3 (z + z 2 ) és (37) Q(z) = p 3 z 3 + 3p 2 qz 2 + 3pq 2 z + q 3 1. A Q(z) = 0 egyenletet (38) (q + pz) 3 = 1 alakra hozhatjuk, ahonnan a z 1 = 1 gyököt kapjuk. A P (1) = 0 egyenletet q 3 -nel osztva és a p/q = t helyettesítést bevezetve az (39) x 0 = 3t 2 + 2t 3 egyenletet kapjuk. Az x 0 = x 0 (t) függvény értéke a t = 0 helyen nulla, és pozitív t- re onoton nő. A t = p/(1 p) értéket visszahelyettesítve és (1 p) 3 -nel beszorozva a 3p 2 (40) 1 p + 2p3 1 p = 1 egyenletet kapjuk, aelyből rendezés után a p = 1/3 értéket kapjuk, azaz s crit (3) = 1/3.

13 DENSITY OF SAFE MATRICES 13 n Mátrixok Jó Üteezhető s(2, n, 0.35) Üteezhető/ száa átrixok átrixok átrixok biztos valószínűsége valószínűsége valószínűsége hányados ???? Figure 6. A p = 0.25 valószínűséghez tartozó kerekített adatok Four or ore rows in the atrix. Az n éretű biztos átrixok elezését az 4 esetben az = 3 esethez hasonló ódon végezhetjük el. A bolyongó pont a legalább b 3 egyest tartalazó oszlop esetén (b 2)-t ugrik balra, két egyest tartalazó oszlop esetén egyet lép balra, egy egyest tartalazó oszlop esetén helyben arad és az nullát tartalazó oszlop esetén egyet lép jobbra. A (b 2)-vel balra ugrás valószínűsége ( ) b p b 2 q n b+2, a balra lépésé ( ) 2 p 2 q 2, a helyben aradásé ( ) 1 pq 1 és a jobbra lépésé ( ) 0 q, ezért a következő egyenleteket írhatjuk fel. Legyen ( x 0 = ) 0 q x 1 + ( ) 1 pq 1 x 0 + ( ) 2 p 2 q 2 + ( ) ( 3 p 3 q ) ( p, x 1 = ) 0 q x 2 + ( ) 1 pq 1 x 1 + ( ) 2 p 2 q 2 x 0 + ( ) ( 3 p 3 q ) p, x 2 = ( ) 0 q x 3 x 3 + ( ) 1 pq 1 x 2 + ( ) 2 p 2 q 2 x 1 + ( ) ( 3 p 3 q 3 x ) p, (41) G(z) = x n z n i=0 az x 0, x 1, x 2,... sorozat generátorfüggvénye. Akkor a (3.5) egyenleteket rendre beszorozva z egfelelő hatványával és összeadva őket azt kapjuk, hogy ( ) G(z) = q G(z) x ( ) ( ) 0 + pq 1 G(z) + + p 2 q 2 (1 + zg(z)) 0 z 1 2 ( ) ( ) + p 3 q 3 (1+zG(z)+z 2 G(z))+...+ q ( 1 + z z 2 + z 1 G(z) ), 3

14 14 ANTAL IVÁNYI AND PÉTER SIMON ahonnan G(z) kifejezhető két polino hányadosaként: (42) G(z) = P (z) Q(z), ahol (43) P (z) = i = 0 ( i és (44) Q(z) = i=0 ( ) q x 0 0 ) p i q i z i z. ( ) ( ) p 2 q 2 p i q i z. 2 i Ahol a nevezőnek legfeljebb 1 abszolut értékű gyöke van, ott a szálálónak a nulla értéket kell felvennie. A Q(z) = 0 egyenletet (45) (q + pz) = 1 alakra hozhatjuk, ahonnan a z 1 = 1 gyököt kapjuk. A P (1) = 0 egyenletet q -nel osztva és a p/q = t helyettesítést bevezetve az (46) x 0 = 3t 2 + 2t 3 egyenletet kapjuk. Az x 0 = x 0 (t) függvény értéke a t = 0 helyen nulla, és pozitív t-re onoton nő. A t = p/(1 p) értéket visszahelyettesítve a (47) 3p 1 p + 2p 1 p = 1 egyenletből az p = 1/ értéket kapjuk, azaz s crit () = 1/. 4. Suary Az 2 sort tartalazó átrixokra egadtuk az üteezhetőségi függvény explicit alakját és eghatároztuk az s crit () kritikus valószínűségeket. s crit (2) értéke a több perkolációs odellre jellező 1/2, a további kritikus valószínűségek értéke növekedtével csökken. A sziulációs vizsgálatok szerint a kritikus üteezhetőségi valószínűségek közel vannak a kapott felső korlátokhoz: a 2. táblázat a p = 0.5, a 3. táblázat a p = 0.4, a 6. táblázat pedig a p = 0.35 valószínűséghez tartozó adatokat utatja. A táblázatok adatai azt utatják, hogy a [7] cikkben szereplő korlátnál jobb is adható: ha p < 0.4, akkor w(2, p) > 0. A 6 táblázat tizenötödik sorának kiszáítása 201 percig tartott. A cikkben szereplő alsó korlátoknál nagyobbakat is eg tudunk adni, de azokból is csak a terészetes nulla alsó korlát adódik.

15 DENSITY OF SAFE MATRICES 15 Acknowledgeent. The authors thank Péter Gács (Boston University) for proposing the proble, further János Gonda, Lajos László, Taás Móri (all of Eötvös Loránd University), Zoltán Kása and József Kolubán (both Babeş-Bolyai University) for their useful rearks and Rudolf Szendrei (Eötvös Loránd University) for the coputer experients. References [1] P. Balister, B. Bollobás, M. Walters (2004), Continuu percolation with steps in an annulus. Ann. Appl. Probab. 14/ [2] A. Bege and Z. Kása (2001), Coding objects related to Catalan nubers, Studia Univ. Babeş-Bolyai, Inforatica, Volue XLVI (1), studiai/contents.php. [3] B. Bollobas, O. Riordan (2005), A short proof of the Harris-Kesten theore. Electronic anuscript, [4] I. Derényi, G. Palla, T. Vicsek (2005), Clique percolation in rando networks. Phys. Rev. Lett [5] W. Feller, (1968), An Introduction to Probability Theory and its Applications. John Wiley and Sons, New York. [6] P. Gács (2002), Clairvoyant scheduling of rando walks (subitted to Electronic Journal of Probability). Short version: Clairvoyant scheduling of rando walks. In: Proc. of the Thirty- Fourth Annual ACM Syposiu on Theory of Coputing, (electronic), ACM, New York, [7] P. Gács (2004), Copatible sequences and a slow Winkler percolation. Cobin. Probab. Coput. 13/6, [8] T. E. Harris (1960), A lower bound for the critical probability in a certain percolation process. Proc. of the Cabridge Phil. Soc [9] A. Iványi, R. Szendrei (1985), Párhuzaos folyaatok üteezése (Scheduling of parallel processes) (subitted). [10] Z. Kása (2003), Cobinatorică cu aplicaţii. Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca. [11] Z. Kása (2004), Rekurzív egyenletek (Recurrences). In: Inforatikai algoritusok. 1 (Algoriths of Inforatics 1.) (Ed. A. Iványi). ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, [12] H. Kesten (1982), Percolation Theory for Matheaticians. Birkhäuser, Boston. [13] Cs. Láng (1994), Bevezető fejezetek a ateatikába 1. (Introduction to Matheatics 1.) ELTE Eötvös Kiadó, Budapest. [14] D. Schauffer (1985), Introduction to Percolation Theory. Taylor & and Francis, London, [15] R. P. Stanley (1999), Enuerative Cobinatorics, Volue 2. Cabridge Studies in Advanced Matheatics, 62. Cabridge University Press, Cabridge. [16] N. J. Vilenkin (1972), Cobinatorial Matheatics for Recreation. Mir Publisher, Moscow. [17] P. Winkler (2000), Dependent percolation and colliding rando walks, Rando Structures & Algoriths 16/ pw/papers/pubs.htl. Budapest, július 9.

16 16 ANTAL IVÁNYI AND PÉTER SIMON Departent of Coputer Algebra and Departent of Nuerical Analysis, Eötvös Loránd University, Faculty of Inforatics, 1117 Budapest, Pázány Péter sétány 1/C., Hungary E-ail address: and

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIENSIS

ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIENSIS Separatum ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIESIS OVA SERIES TOM. XXII. SECTIO MATEMATICAE TÓMÁCS TIBOR Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról EGER, 994 Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról TÓMÁCS TIBOR

Részletesebben

1. Az adott kifejezést egyszerűsítse és rajzolja le a lehető legkevesebb elemmel, a legegyszerűbben.

1. Az adott kifejezést egyszerűsítse és rajzolja le a lehető legkevesebb elemmel, a legegyszerűbben. 1 1. z adott kifejezést egyszerűsítse és rajzolja le a lehető legkevesebb eleel, a legegyszerűbben. F függvény 4 változós. MEGOLÁS: legegyszerűbb alak egtalálása valailyen egyszerűsítéssel lehetséges algebrai,

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015

7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015 7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015 Évi óraszá: 108 óra Heti óraszá: 3 óra 1. téa: Racionális száok, hatványozás 11 óra 2. téa: Algebrai kifejezések 12 óra 1. téazáró dolgozat 3. téa: Egyenletek,

Részletesebben

1.1. Alapfeladatok. hogy F 1 = 1, F 2 = 1 és általában F n+2 = F n+1 + F n (mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb van, mint a baloldali).

1.1. Alapfeladatok. hogy F 1 = 1, F 2 = 1 és általában F n+2 = F n+1 + F n (mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb van, mint a baloldali). 1.1. Alapfeladatok 1.1.1. Megoldás. Jelöljük F n -el az n-ed rendű nagyapák számát. Az ábra alapján látható, hogy F 1 = 1, F = 1 és általában F n+ = F n+1 + F n mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

A multikollinearitás vizsgálata lineáris regressziós modellekben A PETRES-féle Red-mutató vizsgálata

A multikollinearitás vizsgálata lineáris regressziós modellekben A PETRES-féle Red-mutató vizsgálata Szegedi Tudoányegyete Gazdaságtudoányi Kar Közgazdaságtudoányi Doktori Iskola A ultikollinearitás vizsgálata lineáris regressziós odellekben A PETRES-féle Red-utató vizsgálata Doktori értekezés tézisei

Részletesebben

Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz

Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz Kvantumkapuk, áramkörök 2016. március 3. A kvantummechanika posztulátumai (1-2) 1. Állapotleírás Zárt fizikai rendszer aktuális állapota

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

13. Román-Magyar Előolimpiai Fizika Verseny Pécs Kísérleti forduló május 21. péntek MÉRÉS NAPELEMMEL (Szász János, PTE TTK Fizikai Intézet)

13. Román-Magyar Előolimpiai Fizika Verseny Pécs Kísérleti forduló május 21. péntek MÉRÉS NAPELEMMEL (Szász János, PTE TTK Fizikai Intézet) 3. oán-magyar Előolipiai Fizika Verseny Pécs Kísérleti forduló 2. ájus 2. péntek MÉÉ NAPELEMMEL (zász János, PE K Fizikai ntézet) Ha egy félvezető határrétegében nok nyelődnek el, akkor a keletkező elektron-lyuk

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary)

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary) Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 9 (00) 07 4 PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL Orosz Gyuláné (Eger, Hungary) Kiss Péter professzor emlékére Abstract. In this article, we characterize the odd-summing

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN

SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN Almási Béla, almasi@math.klte.hu Sztrik János, jsztrik@math.klte.hu KLTE Matematikai és Informatikai Intézet Abstract This paper gives a short review on software

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Algoritmus a csigahajtások f7paramétereinek meghatározására. Dr. Antal Tibor Sándor, Dr. Antal Béla. Kolozsvári Mszaki Egyetem.

Algoritmus a csigahajtások f7paramétereinek meghatározására. Dr. Antal Tibor Sándor, Dr. Antal Béla. Kolozsvári Mszaki Egyetem. Algoritus a csigahajtások f7paraétereinek eghatározására Dr. Antal ibor Sánor, Dr. Antal Béla Kolozsvári Mszaki Egyete Abstract he gear esign can be achieve in several ways accoring to the publishe ethos

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

A TANTÁRGY ADATLAPJA

A TANTÁRGY ADATLAPJA A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény Babeș-Bolyai Tudományegyetem 1.2 Kar Matematika és Informatika 1.3 Intézet Magyar Matematika és Informatika 1.4 Szakterület

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Véletlen gráfok. Példák: Kávéra vizet öntünk és alul kifolyik a víz: Olaj vagy víz átszívárgása egy kőzetrétegen:

Véletlen gráfok. Példák: Kávéra vizet öntünk és alul kifolyik a víz: Olaj vagy víz átszívárgása egy kőzetrétegen: Virág Bálint Véletlen Gráfok/1 Véletlen gráfok Példák: Kávéra vizet öntünk és alul kifolyik a víz: Olaj vagy víz átszívárgása egy kőzetrétegen: Mind az olaj, mind a víz bekerül egy rendszerbe, mely makroszinten

Részletesebben

Ujfalussy Balázs Idegsejtek biofizikája

Ujfalussy Balázs Idegsejtek biofizikája M A TTA? Ujfalussy Balázs degsejtek biofizikája Második rész A nyugali potenciál A sorozat előző cikkében nekiláttunk egfejteni az idegrendszer alapjelenségeit. Az otivált bennünket, hogy a száítógépeink

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

- III. 1- Az energiakarakterisztikájú gépek őse a kalapács, melynek elve a 3.1 ábrán látható. A kalapácsot egy m tömegű, v

- III. 1- Az energiakarakterisztikájú gépek őse a kalapács, melynek elve a 3.1 ábrán látható. A kalapácsot egy m tömegű, v - III. 1- ALAKÍTÁSTECHNIKA Előadásjegyzet Prof Ziaja György III.rész. ALAKÍTÓ GÉPEK Az alakítási folyaatokhoz szükséges erőt és energiát az alakító gépek szolgáltatják. Az alakképzés többnyire az alakító

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

ÜZEMELTETÉSI FOLYAMAT GRÁFMODELLEZÉSE 2 1. BEVEZETÉS

ÜZEMELTETÉSI FOLYAMAT GRÁFMODELLEZÉSE 2 1. BEVEZETÉS okorádi László ÜZEMELTETÉSI FOLYAMAT GRÁFMODELLEZÉSE 2 Technikai eszközök üzeeltetési rendszerei, folyaatai ateatikai szepontból irányított gráfokkal írhatóak le. A űszaki tudoányokban a hálózatokat, gráfokat

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

A résztartományok módszere bonyolult csőtápvonalak analízisére

A résztartományok módszere bonyolult csőtápvonalak analízisére VESZÉLY GYULA BME Eléleti Villaosságtan Tanszék A résztartoányok ódszere bonyolult csőtápvonalak analízisére BTO 62.372.8.00 l.st A résztartoányok ódszerénél a bonyolult keresztetszetű és kitöltésű csőtápvonalat

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Véges szavak általánosított részszó-bonyolultsága

Véges szavak általánosított részszó-bonyolultsága Véges szavak általánosított részszó-bonyolultsága KÁSA Zoltán Sapientia Erdélyi Magyar Tudományegyetem Kolozsvár Marosvásárhely Csíkszereda Matematika-Informatika Tanszék, Marosvásárhely Budapest, 2010.

Részletesebben

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet. Hypothesis Testing. Petra Petrovics.

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet. Hypothesis Testing. Petra Petrovics. Hypothesis Testing Petra Petrovics PhD Student Inference from the Sample to the Population Estimation Hypothesis Testing Estimation: how can we determine the value of an unknown parameter of a population

Részletesebben

Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1

Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1 Elekes Gyuri és az illeszkedések Simonovits M. Elekes Gyuri és az illeszkedések p. 1 On the number of high multiplicity points for 1-parameter families of curves György Elekes, Miklós Simonovits and Endre

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

A rosszindulatú daganatos halálozás változása 1975 és 2001 között Magyarországon

A rosszindulatú daganatos halálozás változása 1975 és 2001 között Magyarországon A rosszindulatú daganatos halálozás változása és között Eredeti közlemény Gaudi István 1,2, Kásler Miklós 2 1 MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézete, Budapest 2 Országos Onkológiai Intézet,

Részletesebben

A multikollinearitás vizsgálata lineáris regressziós modellekben

A multikollinearitás vizsgálata lineáris regressziós modellekben A ultikollinearitás vizsgálata lineáris regressziós odellekben Kovács Péter, a Szegedi Tudoányegyete egyetei adjunktusa E-ail: pepe@eco.u-szeged.hu Epirikus elezéseknél gyakori eset, hogy a vizsgálat szepontjából

Részletesebben

AKADÉMIAI LEVELEZŐ TAGSÁGRA TÖRTÉNŐ AJÁNLÁS

AKADÉMIAI LEVELEZŐ TAGSÁGRA TÖRTÉNŐ AJÁNLÁS AKADÉMIAI LEVELEZŐ TAGSÁGRA TÖRTÉNŐ AJÁNLÁS I. ADATLAP Név: CSÁKI ENDRE Születési hely, év, hó, nap: Budapest, 1935 január 7 Tudomány doktora fokozat megszerzésének éve: 1989 Szűkebb szakterülete: valószínűségszámítás

Részletesebben

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

A szállítócsigák néhány elméleti kérdése

A szállítócsigák néhány elméleti kérdése A szállítócsigák néhány eléleti kédése DR BEKŐJÁOS GATE Géptani Intézet Bevezetés A szállítócsigák néhány eléleti kédése A tanulány tágya az egyik legégebben alkalazott folyaatos üzeűanyagozgató gép a

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012

MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012 MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 0 KONFERENCIA ELŐADÁSAI Szolnok 0. május 0. Szerkesztette: Edited by Pokorádi László Kiadja: Debreceni Akadémiai Bizottság Műszaki Szakbizottsága

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Szittyai István december 8. SZTE Bolyai Intézet. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 1 / 24

Szittyai István december 8. SZTE Bolyai Intézet. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 1 / 24 Hányféleképpen válthatom föl a pénzemet? Szittyai István Németh László Gimnázium, Hódmezővásárhely 2012. december 8. SZTE Bolyai Intézet Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók 2012.12.08, Bolyai, Szeged

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Dr. Sasvári Péter Egyetemi docens

Dr. Sasvári Péter Egyetemi docens A KKV-k Informatikai Infrastruktúrájának vizsgálata a Visegrádi országokban The Analysis Of The IT Infrastructure Among SMEs In The Visegrád Group Of Countries Dr. Sasvári Péter Egyetemi docens MultiScience

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Klasszikus Fizika Laboratórium V.mérés. Fajhő mérése. Mérést végezte: Vanó Lilla VALTAAT.ELTE. Mérés időpontja:

Klasszikus Fizika Laboratórium V.mérés. Fajhő mérése. Mérést végezte: Vanó Lilla VALTAAT.ELTE. Mérés időpontja: Klasszikus Fizika Laboratóriu V.érés Fajhő érése Mérést égezte: Vanó Lilla VALTAAT.ELTE Mérés időpontja: 2012.10.11. 1. Mérés röid leírása A érés során egy inta fajhőjét kellett eghatározno. Ezt legkönnyebben

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

TERMIKUS NEUTRONFLUXUS MEGHATÁROZÁSA AKTIVÁCIÓS MÓDSZERREL

TERMIKUS NEUTRONFLUXUS MEGHATÁROZÁSA AKTIVÁCIÓS MÓDSZERREL TERMIKUS NEUTRONFLUXUS MEGHATÁROZÁSA AKTIVÁCIÓS MÓDSZERREL 1. BEVEZETÉS Neutronsugárzás hatására bizonyos stabil eleekben agátalakulás egy végbe, és a keletkezett radioaktív terék aktivitása egfelelő szálálórendszer

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

Ujfalussy Balázs Idegsejtek biofizikája Első rész

Ujfalussy Balázs Idegsejtek biofizikája Első rész Ujfalussy Balázs Idegsejtek biofizikája Első rész MI A TITA? Ez a négyrészes sorozat azt a célt szolgálja, hogy az idegsejtek űködéséről ateatikai, fizikai odellekkel alkossunk képet középiskolás iseretekre

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Változó tömegű test dinamikája

Változó tömegű test dinamikája Dr. Cvetityanin Lívia Változó töegű test inaikája Bevezetés Az iőben változó paraéteres rezgésék eghatározásával sok tuós foglalkozott lás pl. Meshchersky Bessonov Cveticanin 34. A változó paraéteres rezgésék

Részletesebben

REÁLIS GÁZOK ÁLLAPOTEGYENLETEI FENOMENOLOGIKUS KÖZELÍTÉS

REÁLIS GÁZOK ÁLLAPOTEGYENLETEI FENOMENOLOGIKUS KÖZELÍTÉS REÁLIS GÁZOK ÁLLAPOEGYENLEEI FENOMENOLOGIKUS KÖZELÍÉS Száos odell gondoljunk potenciálo! F eltérés z ideális gáz odelljétl: éret és kölcsönhtás Moszkópikus következény: száos állpotegyenlet (ld. RM-jegyzet

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Hullámtan. A hullám fogalma. A hullámok osztályozása.

Hullámtan. A hullám fogalma. A hullámok osztályozása. Hullátan A hullá fogala. A hulláok osztályozása. Kísérletek Kis súlyokkal összekötött ingasor elején keltett rezgés átterjed a többi ingára is [0:6] Kifeszített guikötélen keltett zavar végig fut a kötélen

Részletesebben

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.

Részletesebben

A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal

A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal Tasnádi Attila Kivonat Mikroökonómia tankönyvekből és példatárakból ismert, hogy egy homogén termékű Cournot-oligopol piacon a termelők

Részletesebben