Pozitív egész kitevőjű hatványösszegekről Történeti és módszertani áttekintés

Átírás

1 Poztív gész tvőű htváyösszgrő Törtét és ószrt átttés Dotor értzés Moár Istvá Tévztő: Dr Kosztoáy Józsf gyt ocs Mtt- és záítástuoáyo Dotor Iso zg Tuoáygyt Trészttuoáy és Ifort Kr Boy Itézt zg

2 Ésá éér

3 Trtogyzé BEVEZETÉ TÉMAVÁLAZTÁ CÉLKITŰZÉ MÓDZEREK A DIZERTÁCIÓ ZERKEZETI FELÉPÍTÉE TUDOMÁNYTÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉ REKURZIÓ MÓDZEREK MÁTRIXO TÁBLÁZATO ELRENDEZÉŰ MÓDZER Rurzós összfüggés z ső ószr sgítségév cás st ott rurzós összfüggésr A átros ószr zás tráó összg stér 8 cás st z tráó összg sté ott összfüggésr Lécsős összgzés Trüts összgzés A REKURZIÓ ÖZEFÜGGÉ LEVEZETÉE EGY PECIÁLI AZONOÁG FELHAZNÁLÁÁVAL A ószr és z őáó rurzós összfüggés A ott összfüggés éháy orét stb Rurzós összfüggés őáítás áso ószr sgítségév 9 A BINOMIÁLI TÉTELEN ALAPULÓ MÓDZER Rurzós összfüggés boás tét sgítségév A ott összfüggés éháy scás st Átáosítás szát sorozto stér boás tét uó ószr sgítségév cás st szát soroztor votozó ott rurzós összfüggésr 8 A boás tét uó ószr zás tráó összg stér Az tráó összgr ott összfüggés scás st 7 Átáosítás boás tét uó ószr hszátáv szát sorozt tráó összgér 7 8 cás st szát sorozt tráó összg sté ott összfüggésr 9 REKURZIÓ ÖZEFÜGGÉ LEVEZETÉE A ZIMMETRIA FELHAZNÁLÁÁVAL A rurzós összfüggés őáítás A ott összfüggés éháy scás st 7 A B- és trg-száo gés 8 REKURZIÓ ÖZEFÜGGÉ FELÍRÁA DERIVÁLÁAL 8 Rurzós összfüggés őáítás ffrcászáítás sgítségév 8 Átáosítás ffrcászáításo uó ószr sgítségév szát sorozto sté 7 A ffrcászáítást fhszáó ószr zás z tráó összg stér 7 Átáosítás rváást zó ószr sgítségév szát sorozt tráó összgér 7

4 NEM REKURZIÓ MÓDZEREK 78 ÖZEFÜGGÉ LEVEZETÉE A DIFFERENCIAOROZATOK EGÍTÉGÉVEL 78 Bvztés ffrcsorozto vzsgátáb 78 A ószr sgítségév őáíthtó összfüggés 8 cás st ott összfüggésr 8 cás st ott összfüggésr szát sorozto sté 8 ÖZEFÜGGÉ LEVEZETÉE LINEÁRI ALGEBRAI EZKÖZÖKKEL 9 Összfüggés fírás árs gbr szözö sgítségév 9 cás st ott összfüggésr 9 A ószr átáosítás szát sorozto stér 97 A Brou-száo gés 99 A trg- és Brou-száo özött csot Kcsot z ső oztív gész szá - htváyá összg és Brou-száo özött ÖZEGZÉ A KUTATÓMUNKA EREDMÉNYEI BEVEZETÉ TUDOMÁNYTÖRTÉNETI VIZGÁLAT REKURZIÓ MÓDZEREK Eréy NEM REKURZIÓRA VEZETŐ MEGOLDÁI MÓDZEREK 8 Eréy 8 AJÁT KUTATÁI EREDMÉNYEK át uttás réy rurzós ószr öréb át uttás réy rurzós ószr sté ZÁRÓ GONDOLATOK KÖZÖNETNYILVÁNÍTÁ IRODALOMJEGYZÉK ÖZEFOGLALÁ UMMARY FÜGGELÉK: A TÉMAKÖRHÖZ KAPCOLÓDÓ FELADATOK

5 FEJEZET BEVEZETÉ Bvztés H gy vob átttü tt tuoáytörtét főését or ó áthtó rzoó szcí főéséb ét gyáss szoros összfüggésb évő tc Egyrészt z tuoáyág ogus goooás szgorú szbáy szrt gs foú bsztrcóv fogt fá óát ftt törvéyszrűségt áít g tétt bzoyít stést fogz g összfüggést ír zz foytos ú és ú orét tt réyt utt f övv zz z brség tt tuásygát Másrészt foyt sorá fthoz robéához gzoó srt és ú ószrt hszá f áó gúít rzésr áó to rátust s zz fooztos gzgít sát tuoáyos szöztárát Egy tt robé goás és z hhoz ötőő ószrhszát tuoé ugy tuoáyos ufoyt ét gyásb foóó gyást áthtó szíthtt o Tá tévü gyot h zt áítu hogy ószr fotosság tt tuoáyá űvés sorá gérőzhtő Hsz ttus száár ószr szésörű srt é oy gy tőségg bír t féb évő gszrztt tuásyg z éyüt goooás vgy éségg z stg fhszáhtó tt tuícó Péá soság gzo hogy céráyos és hys ószrhszát cs hogy fotos téyző ott stb ár gfotosbb záog ht tűzött ft srs goásá Tévásztás J ogozt tévásztás goásr váró ft fhszát ószr chotó gységé tv gá toá fotosság oá rüt ghtározásr Vzsgátut gy orét goásr váró ft z ho N htváyösszg száításá robtá roóá z ábbb fogzzu g: Muáb töör suáztát u ft robé törtét főés stusá s tt íru hogy z gys orob és Fö üöböző társb g utott goásb y részréyt ért or és hogy oott g ftot ts örű A tt üöböző trütrő szárzó hét ószr fhszáásáv tt osságg rr száítu z htváyösszgt stb buttv cs z réyt h ószr goooás ogáát s véggvztv z ovsót résztszáításoo és gv ott végréyt s Mgy ószré buttu ott átáos foru éháy orét stét több özött zz s széttv több özsrt özéso tt tygb s szrő összgzés étt

6 FEJEZET BEVEZETÉ Több ószr buttásáá átáosításot végzü szát sorozto tráó összg stér tv csoóás otot rsü tt ás trüt fé Közru oy tt ftot y sgítségév butthtu htváyösszg ét soszíű fhszáhtóságát ízítőt v z tt tuásyg rus hszosíthtóságáró s tr oráto oá z függéb rü Cétűzés A ft íttt goó fthoz és vzsgáó trüthz zz ószrt rátuso hszosíthtóságá vágához gzoó z értzés cétűzés z ább: Egy gfotosbb céu átfogó óo tárgy z száításá ószrtát részb tászov szroo réyr gys stb gészítv zot Másrészt buttu z átu futtott ú ószrt réyt A hét zott ószr htő gtsbb örű örüárásáv bzoyít íváu gyrészt trüt ószr gzg fhszáásá htőségét ásrészt zt hogy gy-gy robé goás sorá gyr gyo térő robégözítés s hyévó ht s z ffrcát goooás ut ösvéy végső soro ugyhhoz végréyhz vzt z gyütt gyútt úbb bzoyítéát s tt széségé Fősoás hgtó öréb végztt férés gzoá gy ott téörhöz trtozó tt robé üöböző ószr vó goásá hszosságát z gyb sgít gértést tt tuásyg gzgoását és rzésr áó ószr bővüését [] Részb uttás foytbó óó részb sszrtácó gírás sorá szrztt tsztto réyét részb g orább sz-ottás őétü tszttbó özéso és gyt ottó gyortubó tááozv röv értéését u z gys ószr őy és hátráy gyzvé értéítétüb értétrtó r fv zt hogy z z értéés tt gzságo h gyo s vtthtó hsz z br szubtutó függ Az gys ószr átttéséé ho rr ó yí összötttést ht száéozu tá tt ás trüt fé Brou- és trg-száo Dt votozásb g céu bhtároás hogy y ószr ért és ét hszáhtó f özéso tt vágáb és y zo y ább főso gyt tt ottás öréb vó

7 FEJEZET BEVEZETÉ Mószr A tt z tuoáy ho gy ott robéát sofé oyor gyo üöböző szétt ht gvzsgá s go Ez htőségt trt gyrészt üöböző trüt összcsoásár ásrészt z ott ft többfé úto vó goásáv htővé vá goás ószr ző összhsoítás s E oá értzésü bvott htártrüt u ívá tszt tt űvés és gy sszus tt ószrt u özött Hsz gyfő gyszü tt tuoáyos srtyghoz vyst hozzááru zz hogy gy orét robé csá ú ószrt zásot uttu b ho ht átáosításot tszü vt csotot rsü tt ás trüt fé Ugyor z értzés tős részb ószrt rtrű s hsz gy orét robé goás csá fhszát tt ószr zhtóságát őyt hátráyt z A ttá bü tgrácó tuoé otos z éyg hogy z ott robéát üöböző ráyobó vzsgáu róbáu go zát üöböző trütt csou össz Egy robé gy ft többfé úto törtéő goásá összvtés htővé tsz goás ószr ző összhsoítását s É zért érs gyft ószrt csstárt összgyűt és összhsoít z zott ószrt Közbbrő z értzés szés tt ószrt íátbó ét ószrftát vzsgá: gyrészt rurzós összfüggésr vztő toát utt b ásrészt rurzós étr vztő ószr orá Eőször rurzós ószr rü robé goásr Itt öt ószrt uttu b övtző szrt: z ső átros tábáztos rzésű ószr z bü hároféé összgzü ásoét gy scás zoosság fhszáásáv rurzós összfüggésr vztő ószr övtz hrszorr boás tét sgítségév vztü rurzót gy ószrt sztr fhszáásáv őáó rurzó féz z ötö toá g rvááss fírhtó rurzós foru gás A áso gy ószrcsoort rurzós foruár vztő áráso Ez özü ttőv fogozu ésg: őször ffrcsorozto sgítségév fírt összfüggést u g ásoár g árs gbr szözv vzttt foruát íru f A sszrtácó ószrt votozásá é g ég ít zt téyt s hogy értzésü tog szésbb trütt fog át t ttáb hszát ószr Ugys tsztá tt ószr tt fhszátu ás tuoáyágá szováyos ószrt s Így g uáb forrásfogozás és -úrértzés z zés-összhsoítás ószr üöböző ószr őy hátráy tgás vt z ábrázoástch ószr s Ez utóbb ószr üöös fotos száur ugys tttítás átáos éző cé özött oy fotos ésség fsztés g t éáu

8 FEJEZET BEVEZETÉ robégoó ésség z oás övtzttés bzoyítás ésség vgy tt csoto összfüggés fsrésé ésség E ésség fsztéséb gyo fotos szr v ht z srt é ous buttásá Ké rrztácó sgítségév tuó obb gért fogo z v robé éygét tőségét többségü obb ész z ott oog vzuás gésér t z tus stusor A ztöz tt t szroob rősö z ffogás hogy vzuás rrztácót özéso fsőbb osztáyb sőt fsőfoú ottásb s z zz s sgítv obb gértést E oá szüségs trtottu hogy több fztb s széts bzoyításo fűszrzzü z ott ygrészt A robégoó ésség fsztéséb tá gfotosbb rész ár goott ftt robéáv vó bíbőés H zzü tovább ár goott ftt or utu öy gsbb sztr Átttv ár goott ftot robéát és goás végső át sofé gfgyést thtü: futthtu goásb ötő gootot stg tutosíthtu hogy ú ószrt tátu yt orább írt zott összvthtü A ár goott ftoo robéáo vó tovább u goásb vó éyüés réyé ú és obb goásor buhtu érs téyt fzhtü f tv rztt zhtó tuásr tszü szrt É zért étb szrő ftgyűtéy száos ftáb gyztü átáosításot végz átáosbb áításot s gvzsgá A sszrtácó szrzt féítés A ogozt szrztg öt fztr tgoó Néy fzt tovább fztr tv sbb részfztr osz Az értzés ogg övtzőé éü f: bvztő fzt utá őször htváyösszg száítás robtáá gy átttő törté buttását z ovsó A hr fzt rurzós összfüggésr vztő toát tárgy Ezutá rurzós foruár vztő ószr övtz u záró fztéb z gys ószrt összhsoítv gvzsgáu zo őyt hátráyt vt összgzzü z értzés gfotosbb gáítást réyt s végztü szroobó átvtt srttő htárou sát réyt A u ét fő fztéb hr és gy fztb bső fzt bü og r övtzőé u: z gys ószr tárgyásáá őször g vztü z -t gó átáos foruát zutá buttu z összgzés ét éháy scás stét Egys ószré átáosítu szát sorozto tv z tráó összg str továbbá csotot rsü tt üöböző trüt fé M ószr tárgyás végé röv értéését u z ott ószr

9 FEJEZET TUDOMÁNYTÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉ Tuoáytörtét átttés A htváyösszg száításá robtá z óorg yú vssz A csgászt föérés és gotr trésztszrűg géyt tt srtt Az óor otus utúráb ttát z írosoáb títottá Azt hogy y foo zté títást és hogy y vot gy átgos íro tuás tuu go több bzoyítéot táu z óbbo és ógyto or íro ooy tt ártsságár Az gyto cs törtt hszát üö árásot zt szorzás és osztás űvtér yt ruszoo tábáo trtott yvá ás [] A bbo tábát hszát égyzt égyztgyö öb és öbgyö száításár tábáztot égyzt és öbö összg ghtározásár stb ás [] - o A uttó oy tábát s tát y ott száo gyás utá htváyt trtzzá sőt oyot s y égyztszáo összgév vgy szát sorozto fogoz Az ső gzá ooy réyt z óor görög tuóso érté PÜTHAGORAZ PITAGORAZ 9-7 tuoáyos réy vászthttu összvrt títváy uáv é zért gtöbbször özbb áru z gzsághoz h üthgorusor goou or s or Püthgorszt gtü Püthgorsz soááb szbtűő z hóság hogy száot gotráv összössé; g so szát robéát gotr ábrázoás sgítségév oott g így éáu szát sorozto összgé száítását Ig vószíű hogy z ú fgurás ogoás és rás száo fog ár bb z soáb gt A üthgoruso fgurás száo sgítségév üöböző összfüggést áított g Péáu: - z - hároszögszá z ső oztív gész szá összg ábr ábr Átáos:

10 FEJEZET TUDOMÁNYTÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉ - z - ú tégszá z ső oztív áros szá összg ábr 8 ábr Átáos: - z - égyztszá z ső oztív árt szá összg ábr Átáos: ábr A üthgoruso fgurás száo özött so ás érs csotot s ffzt Így éáu: - hároszögszá étszrs tégszá - ét gyás utá hároszögszá összg égyztszá - z gyt szá y hároszögszá és ú tégszá s - hároszögszá yocszorosá ggy övt összg égyztszá stb ARKHIMÉDÉZ 87- bztos srt égyztösszgr votozó étt hsz A oooró és szfrooró cíű öyvéb forgásszo térfogtá száításáá fhszát öés összfüggést Azob z összgétt t ár őtt s ó srt h ás utt vásztv bcsést ott rá gzoás éü ésg övtzőt: < < ás [9] 89-9 o Vószíű hogy z ét győtség vy gotr ggooásbó szárzott HÜPZIKLÉZ HYPZIKLÉZ IIsz gyfő szát sorozt összgé száításár összfüggést sorozt özéső tgá árt száú tg sté és ét özéső tg összgé áros száú tg sté sgítségév ásrészt g z szát sorozto összgét t ogoás száot g E buttásához tttt zo soroztot yé z ső :

11 FEJEZET TUDOMÁNYTÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉ - h z áó ffrc or z összg hároszögszá sz - h or égyztszá - h or ötszögszá stb - átáos g szög vt z o szá ttőv gyobb t üöbség Thát -gy zőő szát sorozt tgbó szbáyos soszögt otott z ább óo ábr: ábr NIKOMAKHOZ Isz gfotosbb űv ét öyvbő áó Bvztés z rttáb A II öyv fgurás száoró tsz ítést Ezt száot z -gy zőő szát sorozto összgzésér hszá f és így vzt gys tétt t éáu zt hogy - tő zőő ttszőgs száú gyás utá árt gész összg g ts égyztt A öbös száoró s vzts összfüggést áít g yt vószíűg ő g fztt f ésg hogy öbös száo g árt száo szoszéos tg összgébő szárz úgy hogy y tgot v t háy szá öbét ru Azz ; ; 7 9 ; 7 9 stb zté tős réyt öyvht bb téörb z ó- és özéor í tt E gsréséhz tuságos zu csg Mttöyv átozás ás [9] -7 o Ez öyv z örü évb tztt összfogó ű ybő gsrhtő Kí gész ttá Aíg öyv véggs trtát és át yrt z foyt több évszázo rsztü trtott g több átogoztá és gészíttté A öyv érés-ft foráb ftot trtz Mgy ft öz goás óát és gfogzz oyor átáos s z réyhz vztő utt s gyrázt és oás éü A VI fztb y cí Az ráyos osztás g szát sorozt átáos tgár votozó száítás ó s zob boyout ráyos osztáso uó ószrr törté JANG HUJ XIII sz űv sos cs részb rt f Ő több özött gsbb foú gytt oott g Horr-ószrr és gt árt száo összgét - tő -g Ná s gtáhtu égyztszáo és hároszögszáo összgét s Ez utóbb: CU I-CIE 7?-? gyb tt sot fogozott sorozto s ás [9] - o A z ü ü cs A égy áss tür cíű uááb szr z ső oztív gész szá vt övtző sorozt ső é z összgét: 8 8! 7

12 FEJEZET TUDOMÁNYTÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉ Köyvébő z s tű hogy özéor í ttuso srté z ső égyztszá összgétét s ábr: ábr Az óor és özéor hu ttáró fő gztsségét ohtó hogy or tuós z gbr ószrt tős értéb fszttté főg z gytgoás áráso Mttus tsztáb vot szát sorozt összgzésév g tutá htároz z ső oztív gész szá égyztösszgét és srté Psc-hároszögt s ÁRJABHATTA 7-? vs ttus és csgász Árbht cíű űvéb tér szát soroztor hoz éát z összg és z száá ghtározásár s Ezívü gtáhtó á z ső égyztszá tv öbszá összgzésér votozó összfüggés s ÁCÁRJA BHÁZKARA -8? gy gy összfogó űvt írt zhát ró A csgászt oroá cí y égy részbő á Az ső rész öáó ű s tthtő és Lávt Ebűvöő cí E ft fö értégység srttését z gész és törtszáo vó űvt szbáyot égyztgyövoásg bzáróg vt sorozto összgzését s A özéor rb-rzs tt sátos gbr rtrű vot E z gbrá tovább ző hogy gotr ószr bzoyít és urus éá szétt Az rb-rzs gbráb görög ét gotr és hu-í gyorts ráyzto összovását áthtu AL-KARADZI ABU-BAKR MUHAMMAD IBN AL-HAZAN 9-9 bg rzs ttus gy gy rtt tárgyú tuáy z Egy gfő öyv z rtt tuoáyáró Ebb uááb fogozott bzoyos sorozto ső é z összgzésév vzts égyzt- és öbszáo stév 8

13 FEJEZET TUDOMÁNYTÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉ Az ább égyzt ábr trütét ét óo száított így gzot hogy bbő átáosított ás [] o ábr ABU ALI AL-HAAN IBN AL-HAAN IBN AL-HAYTHAM ALHAZEN 9-9 orvostuoáy s fogozó ttus és fzus vot Ot cíű öyvéb gyb özött fogoz z ső oztív gész szá áso hr és gy htváy összgév A égyztösszg száításához gy grot hszát 7 ábr y z ább összfüggés írásár szogát: ás [] o 7 ábr A tég trütét étféé száov ut z ső égy oztív gész égyztösszgéhz A hyéb t írv gu zt z összfüggést v z -t fírhtu A-Hyth téygs -t hszát űvéb zutá g szv írt z átáos réyt Ez utá hsoó goottt ét hr és gy htváyo stér A özéor Euróábó ítést ér LEVI BEN GERON 88- z Ahzéhz hsoó áráss bzoyított z összfüggést 9

14 FEJEZET TUDOMÁNYTÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉ LUCA PACIOLI -7 fő űv u rthtc gotr roorto t roortot Az rtt gotr z ráyo és ráyosságo suázt 9- b t g Vcéb A öyv gbr részé v oy gytgoás y gívá öbszáo összgzését s ás [9] 79-8 o A goó gyt z ybő goás sorá z ább gythz utu: z 8 ásofoú gytt u I öt űvt végzés utá Az ső oztív gész szá - htváyösszg sot fogozttt -7 száz uttót s Az go THOMA HARRIOT - ét JOHANN FAULHABER 8- frc PIERRE DE FERMAT - és szté frc BLAIE PACAL - fotos szrt átszott uttás főéséb Hrrot sohs t tt tv tuoáyos uát frt utá több t ézrt üöböző téá csotb Ő vot z ső tt szbóuo írt f htváyösszgr votozó összfüggést zob ttt zt cs gy htváyg Fuhbr srüt sszbbr ut t őtt bár Egy -b gt űvéb ht htváyg z 7-b ottb g tztt htváyg írt f htváyösszgt Az -s Ac Agbr cíű űvéb gt z ső oztív gész htváyösszgt tzhrtó tzht htváyg z és z sgítségév Igz ugy hogy gt z ső 7 tvőr otos htváyösszgt srüt átáos foruát z száításár Aárcs Hrrot Frt s ubát tuoáyos réyt ás ttuso törtéő vzésbő tv sát fgyzésbő frt több értés tt észrvét Péáu bztos srt htváyösszgt gy htváyg hsz z gy y véb szr övtző ot: h ggyobb szá égyszrséhz ttőt v gszorozzu hároszögszá égyztét és szorztbó vou z gyé száo égyzt összgét gu gy htváyo összgé ötszörösét ás [] 9 o M öéss z Egy -os véb Frt htváyo összgzésér szogáó ét gtáásá robéáát tá rtt gszbb robéáá vzt és tát gy fgurás száot hszáó rurzív goást ás [7] o: Az utosó szá gszorozv övtző gyobb szá uá otrás hároszög; z utosó szá gszorozv övtző gyobb szához trtozó hároszögszá hároszoros otrás gúá; és így tovább végtü ugyígy Bár Psc összötttésb vot vztt Frt-v ét tuós vószíűg osztott g gyáss sát réyt htváyösszgr votozó Psc gözítés ghtős üöbözt Frt-étó A hírs Trté u Trg Artétqu Értzés z rtt hároszögrő -b ott űvéb Psc szvb írt átáos szbáyt gy szát sorozt ső tgá htváyösszgér y scás st z ső oztív gész szá htváyösszg

15 FEJEZET TUDOMÁNYTÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉ Psc srüt rurzós összfüggést fáít z z ább szrt: htváyösszg özött Ez rurzós összfüggés gsrtbb és ggyrbb hszát foru z száításár JOHN WALLI -7 z Arthc ftoru A végt rttá cíű -b gt űvéb 9 -g száított ráyt átáosságb s ot hogy z z ráy g gf ésőbb htározott tgrá értéé A svác JACOB BERNOULLI -7 szívs fogozott fgurás száo tv z rcro soroztv Fhszáv ftétzés szrt Frt- tuoított ószrt srüt gy rurzó uó összfüggést fír oztív gész htváyösszgr Az ő véhz fűző z fírás tvőr z ább óo: B ho z összfüggésb szrő B B B ostsot Abrh Movr vst yoá Brou-száo vzzü Brou réyét há utá ubátá z Ars Coct-b 7-b A Brou-fé összfüggés ghszáhtóbb és gátáosbb foru g s y htváyösszg száítás so gyszrűbbé vát Végréyb: htváyösszg robtá t ftbb írtu több száz év át fogozttt ttusot Az tvtás or ót z gyástó szgtt űöő üöböző hy és őb ét tuóso száos szób írást t z ső oztív gész szá összgér égyztösszgér és öb összgér A és száz ztér ár étzt átáos ószr z száításár Azob v z z srt cs szv vot írv és gsbb htváyohoz szüség vot gőző htváyo összg srtér gyortb észüt foruá gsbb tvő stér Thos Hrrot vot z ső tt szbóuo oráv gy htváyg foruát ott Joh Fuhbr szbous öést hszáv ár utott 7 htváyg Bs Psc srüt rurzós összfüggést fáít z htváyösszg özött Végü s törtétg Job Brou vot z ső átáos étt ott htváyösszg száításár

16 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Rurzós ószr Mtt robéá goás soszor vzt rurzór A rurzó sté őyös ht z hogy rurzós összfüggés fírásáv öy őáíthtó gy tg gőző tgo sgítségév É zért bzoyos stb z áráso vszoyg gyszrű rogrozhtó s száítógé űvt gyorsságá hszáásáv sszr uthtu orét száításob Ugyor otos bb á ószr hátráy s hsz gy ttszőgs tg száításához srü csuá rurzós foruát h z őt gőző tgot tgot s A htváyösszg száításához t bb fztb áthtó sz váó fhszáhtó rurzó Többfé goooás úto s rurzór vztő foruát tuu őáít Ez sorá üöböző óoo utu rurzós összfüggéshz vszot étb szrő gyütthtót ás-ás úto száo A fztb öt rurzós ószr rü buttásr Mátros tábáztos rzésű ószr Az ső ószr hszátáá gy öybbség hogy hhz szüségs s obtor srt s g obtor szözö A átrrtt srt sgítségt yút ugy t át fogu éygéb z srt s szüségszrű Oyyr hogy átr szó hytt tábázt gvzést s hszáhtu A srttő ószr éyg hogy gy ott átr t üöböző csoortosításob összgzzü és így utu ívát rurzóhoz Rurzós összfüggés z ső ószr sgítségév Az ább ftésr rüő ószr tárgyás őtt őször srü g éháy átrrtt fogo Egy -s égyzts vrtus átr sté z -t átr ré vzzü Az - rű A átr otá átr főátóát főgoását Azot scás égyzts átrot yb főátó ívü áó gy átós goás átro vzzü Hároszög- vgy trguárs átro vzzü z oy vrtus átrot yb vgy főátó ftt vgy főátó tt uá Az ső stb só hároszögátrró ásob g fső hároszögátrró bszéü Rátérv vzsgáó ószrr ívát rurzós összfüggés fírásához őtt vzssü b övtző öést: ; ho ;;;; és ;;;

17 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Az ; száításáv fogozu üö hsz öy báthtó hogy ; Vágos z s hogy ; Ttsü övtző -s égyzts átrot: M Ez utá octráu z htváyösszgt gó rurzós összfüggés ghtározásár! E cébó étféé íru f z M összgét Eőször soroét összgzzü z M t s or ó hogy: A ás összgzéshz ttsü övtző átrot: - gy M z M-hz rt fső hároszögátr - hsoóé gy M z M-hz rt só hároszögátr - íg M z M-hz rt goás átr Az M átr t oszooét összgzv u hogy: Az M átr t soroét összgzv: ; ; ; ; ; Végü z M átr z összg: Fhszáv hogy z M M M M - összfüggés á fírhtó: ; yt átrzv z ább összfüggést u: ; Báthtó hogy z száítás z réy fhszáásáv törté zz áry -r s ru ghtároz htváyösszgt sórohtó g z összg gőző -r törtéő száítás

18 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK cás st ott rurzós összfüggésr H or összfüggés á ; Ebbő u hogy ho Thát sté özéso tygb s szrő z ső oztív gész szá összgér votozó srt összfüggést u Jsü: H or összfüggést zv ; Ezt átrzv fhszáv z -r ott réyt ó hogy ho z győség b- és obboát - osztv A ott réy szté srős ht A étsztű érttségt gőző érttség sté z gy ét tét é z ső oztív gész szá égyztösszgér votozó összfüggés bzoyítás vot zz hogy tsü H or összfüggés szrt ;

19 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Átrzv fhszáv z és htváyösszgr ott réyt ho - véggosztv Thát: H or sétt összfüggés zásáv ; Átrzv fhszáv z és z htváyösszgr ott réyt [ ] ho ott győség b- és obboát - véggosztv u hogy Thát:

20 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK H or úbó összfüggést fhszáv ; Átrzv tv z és réy fhszáásáv u hogy [ ] ho - véggosztv Thát: Nyvávó hogy buttotthoz hsoó írhtó f gfő összfüggés stb s trészts fhszáv z ott -é sbb oztív gész száo sté ott réyt Mggyzés A tovább fztb buttásr rüő ószr sté z és összgt özsrtségü tt ár fogu fír össz z -r és z -r ott réyt fogu fhszá száításb

21 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Mggyzés zéts bzoyítás z száításár ábr: ábr zéts bzoyítás z száításár ábr: ábr 7

22 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 8 Az őzőb száított összg özött több üöböző érs csot trthtő Ez özü éháy éét: Nohosz Frt Az összfüggés bzoyítás gyszrű bhyttsítéss törté Fhszáv tovább stb száított réyt s yvávó úbb összfüggés észíthtő z sgítségév A átros ószr zás tráó összg stér Ugycs érs tt ft z ső oztív trészts szá - htváy vátozó őű összgé száítás E ghtározásár őször gy sszus árást srttü y z ső oztív gész szá - htváy összgér vó vsszvztés sz gy ás ószrt s buttu y goott hsoít fztb srtttté zz z száításáá gvósítottr A ftu thát hogy száítsu z tráó összgt ho trészts szá és oztív gész E végrhtásáá z száításáv üö fogozu v öy báthtó hogy: árt h áros h Másé fírv: Mt ítttü robé gy sszus goás ft vsszvztés z ső oztív gész szá - htváy összgé grsésér Itt ét stt vzsgáu z ább szrt: st: h áros zz ho oztív gész szá or [ ] [ ] ; ; ; ; ;

23 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 9 ho ; z ső oztív gész szá - htváy összgét ö st: h árt zz ú z stb [ ] [ ] ; ; ; ; ; ho ; z ső oztív gész szá - htváy összgét ö Összfogv ft réyt u hogy ; 7 ho A ftot g ht özít ás óo s A övtzőb gy oy ószrt uttu b yé szté gy rurzós összfüggést vztü zútt zob z sorozt tg özött Itt gy őy hogy z réyhz cs szüségü z htváyösszgr Ttsü thát övtző -s átrot: M 8 H soroét összgzzü z M átr t or z összg [ ] 9 sz Ezutá ttsü övtző átrot: - gy M z M -hz rt fső hároszögátr - z M z M -hz rt só hároszögátr - íg M z M -hz rt goás átr

24 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Az M átr t oszooét összgzv u hogy [ ] Az M átr t soroét összgzv: [ ] ; ; ; ; ho ; Végü z M átr összg: Fhszáv hogy M M M M 9- összfüggés á ó hogy ; yt átrzv z ább összfüggést u: ; Báthtó hogy z száítás z réy fhszáásáv törté A átros ószr thát ó hszáhtó z tráó összg száításár s őyév és hátráyáv gyütt cás st z tráó összg sté ott összfüggésr Az ábbb buttu éháy érs réyt ésg égy orét érté ;;; stér H or összfüggés á ; Thát: Másé fírv: áros h árt h

25 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK H or sét cs összfüggés á htu hogy 8 8 ; Thát: H or gt összfüggést fhszáv fírhtó hogy 8 8 ; Thát: 8 Trészts z átírhtó 8 r s H or ugycs összfüggés á ó hogy ;

26 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 8 8 Thát: Az yvávó fírhtó b s Mggyzés zéts bzoyítás z száításár ábr: ábr Mggyzés A tovább fztb tárgyó ószré z és összgt ár fogu fír zob z ott száításb f fogu hszá ráu votozó réyt Aárcs z összg sté z összgr s tuu gyszrű összfüggést fír sőt csotot tá bzoyos és összg özött Péáu: Az összfüggés bzoyítás tt s gyszrű bhyttsítéss törté Foyttv z összg fírását és fhszáv ft réyt s z sgítségév tovább összfüggés észíthtő

27 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Lécsős összgzés H gyátá ru átrrtt fogt hszá or z őző ószrhz ést szgfás ás úto z ú écsős ószr sgítségév s uthtu tábázt á összfüggéshz övtzőé: M Az - ;;; écső tábázt vgy ásé fogzv zo és yr H soroét összgzzü z M tábázt t or z összg H écsőzts száítást végzzü or z gy écső -o évő összg: ; ; Mv véggfut z száoo fírv gy -r écső évő összgét továbbá végzv szrt összgzést gu z M tábáztb szrő összgét r z ; ; vgys z ; összfüggés ó Ez utóbb győségt átrzv ár srt összfüggéshz utu Thát: ; Végü s écsős összgzés ószr gy szé és ó hszáhtó szöz y gy őy hogy t áttu cs tt srt orá hszá átrrtt fogt és szözöt Így öy títhtó ár özéso áo s gzgítv zz tt ószrt rátusut Mggyzés Az száítás écsős ószr zásáv ét orét érté és stéb gtáhtó [8]-b - o Mggyzés Aóg óo uthtu összfüggéshz h écsős ószr zásáv 8 átr gfő tábáztbó uu

28 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Trüts összgzés A összfüggés z ább ábr sgítségév s szétthtő ábr: ábr A tég trütét étféé száítv utu ívát rurzóhoz Egyfő T ásrészt g fhszáv hogy u hogy ; ; ; ; ; T I ; t átrzv ár srt összfüggéshz utu Thát: ; Végső övtzttését ohtó hogy hszos bzoyos rurzós összfüggés fírásár váó s toá bzoyu átros tábáztos ószr yé ráásu z összgzés étféé s végzhtő H f ru hszá átrrtt srtt s or z ott átr t soroét összgzv tv scás átro sgítségév utu ívát rurzós összfüggéshz z s rühtő z ú écsős összgzés zásáv A ft írt ószr srt zás gyo hszos ht oy orét száítás és bzoyításos ftoá s ho végréyhz végs összg száításá rsztü utu tv oy fto sté s zhtó ho cé bzoyos rurzós összfüggés fírás N N K

29 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK A rurzós összfüggés vztés gy scás zoosság fhszáásáv A foru vztéséhz áso ószré obtor szözö szüségs Itt gy vésbé srt összfüggést hszáu f rr hogy rurzós összfüggést áítsu g [9] A fírt zoosságb rr bhyttsítv z trészts száot ott réyt tgoét összgzv utu z htváyösszgt ghtározó rurzós éthz A ószr és z őáó rurzós összfüggés A ívát foru vztéséhz uu z ább összfüggésbő ho vós szá és oztív gész: Mv zért Eor [ ] A b oo gy tszóus összg táhtó y z összvoáso utá sz vgys

30 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Átrzv ho Láthtó hogy z száításához zútt s szüség v gőző összgr ott réyr A ott összfüggés éháy orét stb Fhszáv z és összgt övtzőb gáítu z és sté érvéys összfüggést H or fhszáv z és z sté ott réyt összfüggés á fírhtó hogy ho Thát: H or fhszáv z és réyt összfüggés fhszáásáv [ ] 9 9 ho

31 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 7 Thát: H or z -r ott réyt s fhszáv összfüggés á [ ] ho Thát: Láthtó z ószr s szé őáít fztb ár vzttt étt és hszát szrcsér géy tú éy obtor tuást É zért ószr ár gyft ttését zhtó özéso ottásb s rsz tuásszt függvéyéb 7 Mggyzés H összfüggést átíru r és rr bhyttsítü gfő értét -t fírhtu cs z és z sgítségév s zát éygs gyszrűbbé vá z oszthtóságr votozó bzoyítás s Így éáu: ; ; ; ;

32 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Az tt buttott összfüggés sgítségév sorr ghtó z csuá z és függvéyéb trészts szá sté Ezt szétt z ább éháy fírás: ; ; Mgítü hogy tttb tovább réy táhtó []-b 8 Mggyzés zéts bzoyítás z száításár ábr: zéts bzoyítás z ábr gzoásár ábr: K K ábr 8

33 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 9 Rurzós összfüggés őáítás áso ószr sgítségév Fvtő érés: tuá- ószr sgítségév s úbb összfüggést észít vgy ár gvőt bzoyít? Az ábbb át fogu hogy z htségs Err votozó továbbb ét árást uttu b z gyt árt ű íg ást áros ű - stér ás [7] 9-9 o Rurzó árt stér: Itt goott bb á hogy z ott áráss összfüggést áítu g árt ű htváyösszg özött tv fzzü zt cs z sgítségév Iuu övtző összfüggésbő Z R : [ ] [ ] [ ] zz [ ] [ ] ho obb o utosó tg vgy ttó függő hogy árt vgy áros szá Eor győség á [ ] [ ] { } A b oo gy tszóus összg táhtó y z összvoáso utá ás t [ ] vgys [ ] Fgyb vév hogy így összfüggés övtzőr óosu:

34 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK I -v törtéő osztáss u hogy ho obb oo z utosó tg árt vgy áros szá vgy ttó függő hogy A ott foru sgítségév úbb összfüggés írhtó f z htváyösszg özött tv fzhtü árt ű -t z sgítségév E széttését ássu z ább éát! H tv tv 7 tv tv Mggyzés A str ott réy zért s érs rt vfé hsoóságot utt stt Míg z utóbb szrt oztív gész száo öb összg g gy ts égyzt sz g z őbb á oztív gész száo ötö és ht htváy összgé f zz és 7 szát öz gy gész szá gy htváy sz stb vgys

35 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Rurzó áros stér: Ahogy z árt stéb törtét z ább vztésr rüő áráss összfüggést áítu f zútt áros ű htváyösszg özött tv fzzü zt z és sgítségév Ezútt uu övtző összfüggésbő Z R : [ ] [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] Fhszáv árt r votozó árás sorá ott részréyt: [ ] tv [ ] Mz á u: [ ] [ ] 7 ho obb o utosó tg vgy ttó függő hogy áros vgy árt szá Eor 7 összfüggés á [ ] [ ] { }

36 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK A b oo gy tszóus összg táhtó y réy z összvoáso utá [ ] vgys [ ] 8 Fgyb vév hogy tv 8 összfüggés átu: ybő -v törtéő osztás utá u hogy 9 ho obb o utosó tg vgy ttó függő hogy áros vgy árt szá A ott 9 győség sgítségév úbb összfüggés írhtó f z htváyösszg özött tv fzhtő áros ű htváyösszg z -gy és -v Lássu rr éháy éát! H tv 7 tv 7

37 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK tv tv Mggyzés Fgyb vév hogy ho és N 9 összfüggés átírhtó r s ho obb o utosó tg vgy ttó függő hogy áros vgy árt szá Végréyét ft ószrrő ohtó hogy rurzós összfüggés átáos gy vszoyg rtá zott üöbség obtorus ftésébő ó A ;; oztív gészr fírt orét st g gá z ső ószr sgítségév ár gsrt étt Ett több orét összg özött s gutttu szé összfüggést Ez özü s htő z hogy z ső oztív trészts szá összgé htváy őá száo htváy és 7 htváy összgé szát özét A boás tét uó ószr A boás tét sgítségév törtéő rurzó őáítás gsrtbb to A gtöbb öyv tuáy zz ószrr száo ás [7] 79-8 o vgy [7] Értszrű zásához s szüségtt obtor szözö obácó száításá ó Nwto boás tét A száítás goott övtző: Nwto boás tét á ftü z fzés - htváyát Az réyt átrzv gy oy zoossághoz utu yb rr bhyttsítü z trészts száot Az így ott összfüggést tgoét összv és z gyű tgot összvov gy rurzós

38 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK összfüggést u Ez rurzós ét g z htváyösszgt z őző összg vgys függvéyéb Rurzós összfüggés boás tét sgítségév Iuu thát z zoosságbó ho N és R yt átrzv u hogy Eor [ ] A boo gy tszóus összg táhtó y z összvoáso utá r óosu vgys Átrzés utá ó hogy ho fhszáv hogy és u hogy I vgy

39 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Az száítás áthtó z stb s z htváyösszgr ott réy fhszáásáv törté A ott összfüggés éháy scás st A övtzőb fhszáv z és összgr sté ott réyt gáítu z és összgr érvéys összfüggést H or z és réyt fhszáv összfüggés á ho Thát: H or z és réyt fhszáv összfüggés szrt Kv -t űvt végzés és z összvoáso utá u hogy 9 9 ho Thát:

40 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK H or z -t gőző hogy -t fhszáv összfüggésbő u 9 Ezútt -t v űvt végzés és z összvoáso utá u hogy ho Thát: A ószr gy őy hogy z és összg boyout és s hosszs száításo vszoyg öy őáíthtó Átáosítás szát sorozto stér boás tét uó ószr sgítségév A ft írt ószr sgítségév végzü gy átáosítást szát soroztor Ehhz ttsü gy oy { } szát soroztot y ső ffrcá g ho és vós száo Vzsgáu g hogy t ht o sorozt ső tg - htváyá összgérő! Lgy [ ] ho ;;; Az száításáv fogozu üö hsz öy báthtó hogy t hogy zz z stt s üö fogoz or zz sorozt áó hsz yor Lgy thát Az ább goott ggyz z száításár hszát ár gsrt áráss

41 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 7 Ebb z stb uu z zoosságbó ho N és R yt átrzv u hogy Eor [ ] A boo gy tszóus összg táhtó y z összvoáso utá sz ás t vgys Fgyb vév hogy és átrzv z győségt Fhszáv hogy u hogy ho Thát: vgy

42 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Végréyb sétt gy hszos foruát tutu htváyösszgr és z s báthtó hogy z száításához árcs z összg sté zútt s szüség v z őző zz z összgr votozó réyr A továbbb ássu foru zásár éháy érs éát cás st szát soroztor votozó ott rurzós összfüggésr A scás st vzsgátát ogg övtzőé végzzü: ;; -r törté fő fosztás z bü gézzü tvő ;; stt s hrét z utóbbo bü fíru z ;; stt Lgy thát őször or: Fgyü g hogy t u réyü éháy orét érté sté! H or zz Ez bü scás st: H or H or H or 8

43 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 9 Mggyzés zéts bzoyítás z száításár ábr: ábr H or [ ] zz [ ] Itt scás st övtző: H or H or 9 H or 7 9 H or

44 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK [ ] A záró fbotás és z összvoáso utá u hogy [ ] zz [ ] Ez fírás scás st: H or H or H or Lgy or z összfüggésü z ább ot öt: Ez stb s fgyü g hogy t u réyü éháy orét érté tt! H or zz Eor scás st z ább szrt övtz: H or H or H or

45 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Mggyzés zéts bzoyítás z száításár ábr: ábr Mggyzés Az réyé fhszáásáv oztív árt száohoz csoóó ét g érs tuoság bzoyíthtó gyszrű ésg: z ső rb oztív árt szá összgé és szá szté rb összgé ráy áó Azt bátu hogy z sté áó Mv így thát z áó érté -tő zőő áso tört érté oztív gész z ső rb oztív árt gész szá sté z ső rb szá összgé és z utosó rb szá összgé ráy áó Thát zt bátu hogy z gész sté áó Ez öy bzoyíthtó v zz rstt áó érté sz tört érté oztív A oztív árt száo z utóbb tuoságá széts bzoyítás ábr:

46 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK ábr H or [ ] 8 8 zz [ ] E vátozt scás st: H or H or H or H or [ ] N N

47 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK A záró fbotás és z összvoáso utá htváy szrt rzv u hogy [ ] zz [ ] Itt scás str votozó ágzáso z ább: H or H or H or Lgy Eé vátoztá z összfüggés z ább sz: Ebb z stb z ső háro oztív gész értér votozó övtző réyt u: H or 9 9 zz Az trtozó háro scás st: H or H or H or H or

48 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK [ ] zz [ ] E scás vátozt: H or H or H or 7 végü h or [ ] A űvt végzés és z összvoáso utá sét htváy szrt rzü Így [ ] zz [ ] Az hhz trtozó scás st övtző: H or H or H or 7 8

49 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Hbár cs gsbb oztív -r -r és háro -r írtu f összs 7 stt égs több vzts összgét öszöt vssz Péáu hogy z ső rb oztív árt szá összg ts égyzt z ső rb oztív áros szá öb összg gy ts égyzt étszrs stb Tovább -r -r és -r fírv z összgzés étt úbb szé összfüggést ht ghtároz A boás tét uó ószr zás tráó összg stér Az ső ószr írásáá fztb ár vot szó z ső oztív gész szá - htváy vátozó őű összgé száításáró vgys z összg ghtározásáró A göt fztb ét ószrt s butttu z z összg száításához szüségs rurzó fírásár A továbbb gy úbb ószrt uttu b z száításár y goott hsoít fztb srtttthz z száításáá buttottr Itt s gy rurzós összfüggést áítu f zútt z fzés özött Vgys z réyhz árcs fztb buttott gy ószr sté ost tárgyó toáá scs szüség z sorozt tgr Lgy N és R A vztéshz uu z zoosságbó és hyttsítsü b z hyér rr trészts száot -tő -g Eor ó hogy

50 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK zorozzu g fírt összfüggést fvátv -gy és -gy z sőt -gy szorozv összgzzü z így ottt Így boo gy tszóus összghz utu és z összvoáso utá övtző réyt u: H áros or yt átrzv és fhszáv győségt u hogy H árt or yt szté átrzv és tt s fhszáv győségt ó hogy Összgzv: [ ] ásé fírv [ ] győségb gy át Mt áthtó zútt s gy oy rurzós összfüggést tu ho z száítás z összgr votozó réy fhszáásáv törtéht A továbbb zv fztb vzttt z és összgr gott réyt összfüggés á száítu z és összgt Az tráó összgr ott összfüggés scás st E részfztb z tráó összgr vzttt rurzós ét sgítségév ét orét stt uttu b ésg és stt

51 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 7 H or [ ] A záró fbotás z összvoáso és gfő csoortosításo utá u hogy 8 Thát: 8 Eítsü g hogy z átírhtó 8 r s H or [ ] A űvt végzés és z összvoáso utá övtző összfüggéshz utu: Thát: Itt s gíthtü hogy z átírhtó r s 7 Átáosítás boás tét uó ószr hszátáv szát sorozt tráó összgér A övtzőb ötvözv szát soroztá és vátozó őű összgzésé írtt z fztrészé zotthoz hsoó goottt átáosítu s így utu szát sorozt tráó összgér ghtó rurzóhoz Mőtt ttsü gy szát soroztot és vzsgáu g hogy t tuu o sorozt ső tg - htváyá vátozó őű összgérő

52 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 8 Lgy { } gy szát sorozt y z ső és ffrcá ho R Lgy továbbá A tv trvás st üö fogozu hsz öy báthtó hogy árt h áros h tv árt h áros h Lgy thát Iuu z zoosságbó ho N és yt átrzv u hogy Hyttsítsü b z hyér rr trészts száot -tő -g Így b összfüggést u övtzőé: zorozzu g fírt győségt fvátv -gy és -gy z sőt -gy szorozv összgzzü ottt A boo így gy tszóus összghz utu Az összvoáso utá övtző réy htségs: H áros or

53 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 9 yt átrzv és győségt s fgyb vév u hogy H árt or yt átrzv és tt s fgyb vév győségt ó hogy Összgzv: [ ] 7 ho [ ] A ott foruáró áthtó hogy zútt s gy rurzós összfüggést tu zz száítás z összgr votozó réy fhszáásáv htségs 8 cás st szát sorozt tráó összg sté ott összfüggésr A továbbb szát sorozt tráó összgév csotb ássu éháy érs orét stt H or [ ] [ ] { } A űvt végzés és z összvoáso utá u hogy [ ]

54 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK ho A ott vátozt éháy scás st: sté: sté: sté: sté: H or [ ] [ ] { } A záró fbotás és z összvoáso utá [ ] ho fgyb vév hogy u hogy tv z htváy szrt rzv [ ] Az tt fírás égy scás st z ább: sté: sté: sté: 9

55 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK sté: 9 H or [ ] [ ] { } 8 8 A htségs gyszrűsítés végzés és záró fbotás utá [ ] ho 8 8 vgy z htváy szrt rzv [ ] 8 A ft összfüggés égy orét st: sté: 8 sté: 8 sté: sté: Mggyzés Mgítü hogy tzyoc htváyg bzáróg z scás st réy gtáhtó [8]-b

56 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Az fztb tárgyt röv összgzés z ább: z htváyösszg száításár votozó rurzót boás tét sgítségév áítottu ő buttv ét éháy scás stét A ószr zásáv rurzós foruát vzttü szát sorozto ső tgá zoos tvőű htváyösszgr továbbá fírtu 7 orét stb ott réyt A buttott ószr sgítségév rurzós összfüggést írtu f z ső oztív gész szá - htváy vátozó őű összgé száításához fzt végé szát soroztr buttott átáosítást végztü szát sorozt tráó htváyösszgr s özrv orét st foruát Mzbő gfotosbb szűrhtő tuság hogy rurzó átáos ét g scás st széts gzoá zt hogy boás tét uó rurzós árás szésörű és htéoy zhtó A ószr tűő htőségt bztosít bzoyos összgzés fto vszoyg gyszrű és gyors goásár tv z csá érs összfüggés ftárásár Rurzós összfüggés vztés sztr fhszáásáv A htváyösszg száításár s rurzó fírásár vztő gy ószr géy üöösbb srtt obtor trütérő rurzó és tszóus összg étébő g Eé robégözítésé goott övtző: őször gy ott sorozt tg özött áítu g rurzós csotot ott réyt fhszáv sorozt tgt összgzzü Így gy tszóus összghz utu A tszóus összg réyév és z száohoz rt sztrus összg sgítségév végü rurzós összfüggést áítu g z özött A rurzós összfüggés őáítás Mőtt gáv robéáv fogozá őször gy fícót gy tétt srttü: z szüségs é rurzós robé goásához g ésőbb bvztésr rüő ú trg- és B-száo tárgyásához Vzssü b övtző fogt és öést: Dfícó H és trészts száo or gy [ ] és [ ] úgy hogy fícó szrt [ ] [ ] Az [ ] szorztot ő ftorás íg [ ] [ ] Az értzés á báthtó hogy! -t süyő ftorás vzzü Mőtt rátéré rurzós összfüggés vztésér ássu gy fotos tuoságot z ő és süyő ftoráss csotb

57 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Tét Tsü övtző győség: [ ] [ ] [ ] y y b [ ] [ ] [ ] y y Bzoyítás: Az áítás gzoás ét stb ts ucó ószrév törté szrt H or [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] y y y y y y thát z győség gz Tgyü f hogy z összfüggés tsü stb ho Eor [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] y y y y y y y y y y y y y y y y y y y b H or [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] y y y y y y thát z győség gz Tgyü f hogy b összfüggés tsü stb ho Eor [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] y y y y y y y y y y

58 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] y y y y y y y y y Q Ez utá térü rá rurzós összfüggés vztésér! Lgy z [ ] A ho ;; ; és ;; H z or yvávó hogy [ ] Az A öybb száítás éréb vgyü észr z [ ] gfő tg özött z ább rurzót: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Thát: [ ] [ ] [ ] Ez á fírhtó hogy [ ] [ ] [ ] A A [ ] [ ] gy tszóus összg y z összvoáso utá [ ] [ ] sz és így [ ] [ ] [ ] [ ] A zz [ ] [ ] A ho ;; ; H or [ ] A A zért

59 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Mggyzés A st ét széts bzoyítás: - őször [ ] str ábr [ ] ábr - [ ] str ábr [ ] [ ] ábr

60 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Lgy gész és ö s s s z száohoz rt ább ú sztrus összgt: s s s Eor [ ] [ ] s s s s s s s s s s s s A I s A s s s s A vgys [ ] s s s A Összfogv rurzós összfüggés z ábbb á ő: [ ] s s ho z s s s sztrus összg összfüggés szrt Báthtó hogy z száítás z A tv z réy fhszáásáv törté Mggyzés Fhszáv hogy z zz győség átírhtó z ább r: s 7 Bbzoyíthtó éáu ts ucó ószrét fhszáv hogy z oztív trészts szá sté fzt 7 ggyzéséb ár fírtu gy ás összfüggést z oszthtóság bzoyításár;

61 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 7 b z gy -foú oo -b y főgyütthtó -foú tg gyütthtó és osts tg Ugycs ts ucóv bbzoyíthtó hogy h N és áros szá or Q ú ho Q gy -foú oo -b A ott összfüggés éháy scás st Az ábbb fhszáv z és összgt gáítu z és összgr érvéys foruát H or s s Fhszáv tt összfüggést és z réyt u hogy [ ] A Thát z ső oztív gész szá öb összg: H or s s s Isét cs fhszáv összfüggést és z réyt u hogy [ ] 9 A

62 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Thát ó hogy: H or s s s s A ott értét bhyttsítv összfüggésb és z réyt fhszáv [ ] A A űvt végzés és z összvoáso utá u hogy Thát: Ez ószr y t áthtó özéso tygo túyúó srtt s géy gy ssé hosszbb vztést vár szté szé őáít ívát rurzót A B- és trg-száo gés Az ő és süyő ftoráso cs z ső oztív gész szá zoos htváy száításához szüségs rurzób ht g Fotos szrt átsz éáu bb hogy hogy ht gy htváy szrt fírt ooot átít boás gyütthtó fírt ooá Az bb trszforácób szrő gyütthtót vz trg-száo

63 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Az ú sőfú és ásofú trg-száo értzését gőző bvztü éháy szüségs fogt Lgy A gy ttszőgs végs hz és gy B B B z A hz vy szut fbotás vgys A- gy oy fbotás yb z íttt oy ürs részhzo y gysítés z A hz és özüü báry ttő tszt z ürs hz ároét szut Ebb z stb zt ou hogy B B B hzo z A hz gy osztáyfbotását vgy rtícóát otá A B részhzot osztáyo vgy boo vzzü Lgy A gy ű végs hz Az A báry rutácó gy σ : A A bcó M -foú rutácó f hgyht gyst z özü íg ásot téygs áthyzht Cus vzü gy oy rutácót yt ég soszor gsétv z át téygs áthyztt gyét átvhtü z báryéb M -foú rutácó fbothtó cusor és z fbotás gyértű ttv cuso sorrétő és cuso zőétő Azt ou hogy σ -foú rutácó tíus h σ fbothtó rb hosszúságú rb hosszúságú rb hosszúságú szut cusr ho Tét Cuchy A tíusú -foú rutácó szá: T! 8!!! tét bzoyítás [] o Ez utá rátérü trg-száo értzésér ás [] - o Dfícó Lgy Esőfú trg-szá vzzü zo z -foú rutácó száát y rb cust trtz Jöés: s Dfícó Lgy és Másofú trg-szá vzzü gy -ű hz részhzr vó osztáyfbotás száát Jöés: Dfícó Az összs rtícó szá B - öt ú B-szá yr B B voté ás t gy ű hzo értzhtő vvcrácó szá A fícóbó zo övtz hogy s z tus rutácó yb hyé r 9

64 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Tsü továbbá gyfő hogy s! rt h gy cus v zz cus rutácóró v szó or tíus és Cuchy-tét á! T! Másrészt s hsz h cuso szá! T! Cuchy-tét á Mgáoás szrt s sté és s Az sőfú trg-szá értzésébő övtz hogy s! Mgáoás szrt sté és Az őbb á B or tíus és ho A ásofú trg-szá fícóábó zo övtz hogy h < or Fá továbbá z és győség h Mgítü hogy z sőfú trg-száo cusb vó rzhtőség száát á g íg ásofú trg-száo ürs részhzb törtéő rzés száát uttá Tét H or 9 b Bzoyítás: Az A hzt ét ürs vó részhzr botu Egy vó részhzt -féé ht vászt z ürs hz és z A ó or ás gészítő részhz ghtározott Azob ét részhz sorr éygs zért htőség szá f sz zz b Hsoó óo árv A osztáybó áó rtícó trtz gy étű és rb gyű osztáyt Fgyb vév hogy bő ét óo vászthtó gu bzoyító összfüggést Q Péá ét részhzr törtéő rtícoáásr: H A { b c} or rtícó { } { b c} { b } { c} { c } { b} z szá H A { b c } or rtícó { } { b c } { b } { c } { c } { b } { } { b c} { b} { c } { c} { b } { } { b c} z szá 7

65 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Tét H or Bzoyítás: H s s s or s s s hogy tsüö H or s thát gz H s!! s s gz Lgy or thát Ttsü cust trtzó -foú rutácót záou g zt z á hogy fot- zz cus- vgy s H cus or r y cust ot Az y rutácó szá s H cus or z tg gy gább hosszúságú cus Lgy σ gy cusú -foú rutácó Az yor bírhtó báry szá utá σ cusor vó fbotásáb és így gy -foú rutácót u yb z fot Iyor s htőség v σ vásztásár és htőség v z szá gvásztásár Az y rutácó szá thát s Összfogv thát cust trtzó -foú rutácó szá győ s s Q A tábáztb z sőfú trg-száo szr sté s 7 8 tábázt Esőfú trg-száo sté tv tábáztb ugycs z sőfú trg-száo z sté zútt uá hgyásáv

66 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK s s s s s s 7 8 tábázt Esőfú trg-száo sté uá hgyásáv 7 Mggyzés Az sőfú trg-száoá ott rurzív ét gyo hsoít boás gyütthtó ícós étéhz tt zob g gy -s szorzótéyző s A rurzív ét á s bső szá győ ftt áó szá -szrsé és bo szoszéáv vtt összgév A főátó íg főátó tt átó hároszögszáo Tét H or Bzoyítás: H or hogy tsüö H or thát gz H or thát gz Lgy Ttsü gy ű hz részhzr bor vó osztáyfbotást Az { } vgy gy bo vgy H { } gy bo or t ég bor oszt és z - féé htségs H { } bo or rtcoáu őször z { } hzt bor zt -féé ht gt Aztá bohoz vgyü hozzá z t zt g -féé tuu gt Összfogv rtícó szá Q

67 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK A tábáztb ásofú trg-száo szr stb 7 9 tábázt Másofú trg-száo sté tv tábáztb sét ásofú trg-száo táhtó z sté uá hgyásáv 7 9 tábázt Másofú trg-száo sté uá hgyásáv 8 Mggyzés Aárcs z sőfú trg-száoá ásofú trg-száo sté ott rurzív ét s gyo hsoít boás gyütthtó ícós étéhz tt zob gt gy szorzótéyző s A rurzív ét á bső szá ftt áó szá -szoros és bo szoszé összgév győ A főátó íg főátó tt átó hároszögszáo sz A foyttásb B-száor uttu b gy rurzót Tét H or Bzoyítás: B B Vzsgáu g z { } hz rtícót z á hogy z bo háy t s trtz! -

68 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK - boáb z szá ho Iyor bo több ét -féé ht vászt H z gtörtét or tovább t B -féé ht rtcoá h z or zért v szüség B -r Fgyb vév zt s hogy z ább hárs győségt u: Tgyü f hogy z B B B B ho z utosó csré gfő óott A tábázt z ső tíz B-szá értéét trtzz Q B tábázt Az ső tíz B-szá Tét H or [ ] s ho [ ] Bzoyítás: Az összfüggés gzoás ts ucó ószrév törté H [ ] s zz gz thát stb tsü H [ ] s s vgys zoosság thát stb szté gz gy Tgyü f hogy z összfüggés gz -r zz fá hogy [ ] s Igzou hogy hsoó tsü -r s Fhszáv összfüggést és zt s hogy s sté övtzőt u: s s s s [ s s ] s s s

69 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Fgyb vév hogy sté s s és összfüggésb győség szrt csrév: s s s [ ] [ ] s s s s s ho fhszátu zt s hogy z ucós ftét szrt [ ] s Q 9 Mggyzés Egys szrző s száot sőfú trg-száo íg z s száot sőfú bszoút trg-száo vz 7 Tét H or [ ] s ho [ ] Bzoyítás: A összfüggésb z hyér íru -t: [ ] s Azob [ ] [ ] tv s s s s Mz á [ ] [ ] [ ] s s s ho [ ] s Q

70 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 8 Tét H or [ ] 7 ho [ ] Bzoyítás: Az összfüggés gzoás ts ucó ószrév törté H [ ] vgys thát stb gz H [ ] [ ] vgys gy zoosság thát sté szté gz Tgyü f hogy z összfüggés gz -r thát [ ] Igzoó hogy hsoó tsü -r s Fhszáv összfüggést és zt hogy sté [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 8 Mv sté és [ ] [ ] zért 8 összfüggés átírhtó övtzőé: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 9 A 9 összfüggésb győség szrt csrév z ábbt u: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ho fhszátu zt téyt hogy z ucós ftét szrt [ ] Q

71 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 9 Tét H or H s! ho H ö z ú hrous száot Bzoyítás: Az összfüggés gzoás ts ucó ószrév törté H H s thát gz! H H s! thát gz Tgyü f hogy z összfüggés gz -r thát H s Bzoyító! hogy hsoó tsü -r s zz fá H s győség! Fírhtó hogy H s! H s!! Fhszáv zt hogy s! összfüggés á s! s s s H!!! és z z t bzoyít rtu Q Mggyzés A B- és trg-fé száo csotb tovább tuoságo és összfüggés táhtó []-b 9- o és -7 o vt []-b - o és 8- o Mggyzés H H ö z ső oztív gész szá rcro tráó összgét vgys H zz H or tsü z ú Ct-összfüggés: H H A Ct-összfüggés bzoyítás éháy zás és üöböző átáosításo gtáhtó []-b és []-b 7

72 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Ebb fztb őször bvzttü z ő és süyő ftoráso fogát Az ő ftorás vt sztrus összg sgítségév vzttü htváyösszg özött rurzót továbbá háro orét st vzsgátáv róbátu ott összfüggést Bvzttü B-száo és trg-fé sőfú és ásofú száot zr sét fírtu gy-gy rurzót Ezutá csotot trtttü trg-fé száo vt z ő/süyő ftoráso özött Az ő ftorás sgítségév gyrészt f tutu ír z összgt gó rurzós összfüggést ásrészt z ő és süyő ftorás fhszáásáv utottu trg- és Bszáohoz y tt gy ás résztrüté fotos otó végü ítsü g hogy részvzsgáto sbb fotos hozé hogy csotot trtttü tt ét üöböző trüt özött Az y ft összötttés h ffzés özéso g fsőfoú ttottásb fotos goooás- és szétforáó téyző Rurzós összfüggés fírás rvááss A övtzőb é obtor és függvéyt srt vt ffrcászáítás fhszáásáv ísérü g orábbb ár gsrt rurzós összfüggést ghtároz - rű rvátát yt szorztfüggvéyr votozó Lbz-fé összfüggéss íru f A htségs összvoáso utá ott összfüggésb z hyéb uát íru és boás gyütthtó özött zoosságot fhszáv utu ívát rurzóhoz A vztés goott övtző: gy scás szorztfüggvéy vsszü Rurzós összfüggés őáítás ffrcászáítás sgítségév Az srttésr rüő ószr vztés őtt ét tétt uttu b yr szüségü sz száításb Tét H c gy vós szá or z R- és f c c f : R R ho gy ttszőgs oztív gész f c függvéy -szr rváhtó z Tét Lbz Lgy g és h -szr rváhtó függvéy R- Aor g h : R R szorztfüggvéy szté -szr rváhtó z R- és tsü Lbz-fé összfüggés: báry g h N sté g h A tét bzoyítás y ts ucó ószrév törté gtáhtó [] o tv [] o Ez utá térü rá rurzós összfüggés vztésér 8

73 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 9 Lgy ott övtző függvéy: R R F : F ho Z Eor [ ] F A [ ] gy tszóus összg y z összvoáso utá és így F oztív gész szá sté H összfüggés ét oá szrő függvéy vsszü -rű rvátát ho N or fgybvétév fírhtó hogy [ ] F Egyfő h zz és h ásrészt g [ ] F Mz á és fgyb vév hogy összfüggés átu Thát: H összfüggésb z hyéb -t íru és fhszáv hogy u hogy zz

74 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK Mv és átrzés utá Fgyb vév hogy tv ho összfüggés átírhtó z ább r s: otos fzt összfüggés Átáosítás ffrcászáításo uó ószr sgítségév szát sorozto sté A ft írt ószr sgítségév övtzőb átáosítu szát sorozto stér Ehhz ttsü gy oy { } szát soroztot y z ső és ffrcá g ho R Vzsgáu g t tuu o sorozt ső tg - htváy összgérő vgys gy -rű szát sorozt gyást övtő tg összgérő! Lgy [ ] ho ;;; száításáv zútt s üö fogozu hsz öy báthtó hogy Az z st or thát or sorozt áó szté öy tézhtő hsz yor Lgy thát Az ább goott ggyz z száításár z őzőb ár részts buttott áráss Lgy ott övtző függvéy: F : R R F ho Eor F [ ] [ ] Z 7

75 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 7 A [ ] gy tszóus összg y z összvoáso utá ot öt és így F oztív gész szá sté H összfüggés ét oá szrő függvéy vsszü -rű rvátát ho N or fgyb vétév ó hogy [ ] F 7 Egyrészt h zz és h ásrészt g [ ] F Mzt és zt fgyb vév hogy 7 összfüggés átu övtző szrt: Thát fírhtó hogy 8 H 8 összfüggésb z hyéb -t íru és fhszáv hogy u hogy

76 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 7 zz Mv átrzés utá övtző győséghz utu: 9 Fhszáv hogy ho övtztéb 9 összfüggés átírhtó z ább r s: otos fzt összfüggés A ffrcászáítást fhszáó ószr zás z tráó összg stér M z sőét írt ószr sté fztb g hrét tárgyt ószré fztb ár vot szó z ső oztív gész szá - htváy vátozó őű összgé száításáró vgys z összg ghtározásáró Ezb fztb ár butttu oy ószrt y sgítségév z tráó összg száításához szüségs rurzót f tuu ír A továbbb gy úbb ószrt uttu b z száításár s goott s hsoít fztb ár srtttt z száításáá

77 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 7 buttottr Itt s gy rurzós összfüggést áítu f zútt s cs z fzés özött thát z réyhz sétt cs szüségü z sorozt tgr Lgy ott övtző függvéy: R R F : F ho Z Eor [ ] F A [ ] gy tszóus összg y z összvoáso utá sz és így F oztív gész szá sté H összfüggés ét oá szrő függvéy vsszü -rű rvátát ho N or fgyb vétév [ ] F Egyfő h zz és h ásrészt g [ ] [ ] F Mzr tttt és zt s fgyb vév hogy összfüggés átu és ó hogy

78 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 7 Thát fírhtó hogy H összfüggésb z hyéb -t íru és fhszáv hogy u hogy zz Mv és így Ftt fhszáv és fgyb vév hogy összfüggés átrzés utá átírhtó z ább r: [ ] y összfüggés z összvoáso utá és fhszáv hogy átu és övtző végső ívát ot öt: [ ] otos fzt összfüggés

79 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 7 Átáosítás rváást zó ószr sgítségév szát sorozt tráó összgér A övtzőb ötvözv szát soroztá és vátozó őű összgzésé ár írtt bb fztb orább sző részé gsrthz hsoó goottt átáosítu Kuásét ttsü gy szát soroztot és vzsgáu g hogy t tuu o sorozt ső tg - htváyá vátozó őű összgérő! Lgy { } gy szát sorozt y ső és ffrcá ho R Lgy továbbá A tv st üö fogozu hsz öy báthtó hogy árt h áros h tv árt h áros h Tgyü f thát hogy Az őző fzthz hsoó sét rssü gy gfő függvéyt y sgítségév őáíthtu ívát rurzós összfüggést Lgy ott övtző függvéy: R R F : F ho Z Eor [ ] [ ] [ ] F A [ ] gy tszóus összg y z összvoáso utá r írhtó és így F oztív gész szá sté H összfüggés ét oá szrő függvéy vsszü -rű rvátát ho N or fgyb vétév [ ] F Egyfő h zz és h ásrészt g [ ] [ ] F

80 FEJEZET REKURZIÓ MÓDZEREK 7 Mz á és fhszáv hogy összfüggés átu Thát: 7 H 7 összfüggésb z hyéb -t íru és fhszáv hogy u hogy zz 8 Mv és így