Kockázati mértékek összehasonlítása. BSc Szakdolgozat

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kockázati mértékek összehasonlítása. BSc Szakdolgozat"

Átírás

1 Kockázati mértékek összehasonlítása BSc Szakdolgozat Írta: Kertész Mónika Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Zempléni András egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2015

2 1 Köszönetnyilvánítás Szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Zempléni Andrásnak, hogy figyelemmel kísérte szakdolgozatom készülését, és hasznos tanácsaival nagyban hozzájárult dolgozatom elkészítéséhez. Köszönettel tartozom szüleimnek és barátaimnak, hogy támogattak, szeretettel és türelemmel segítettek tanulmányaim során.

3 TARTALOMJEGYZÉK 2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Koherens kockázatmérés 5 3. Kockázati mértékek Szórásnégyzet Szemivariancia Átlagos abszolút eltérés Szórásszabály VaR Maximális veszteség Várható veszteség ES és VaR összevetése CVaR Alkalmazások 23

4 1 BEVEZETÉS 3 1. Bevezetés Kockázattal az élet minden területén találkozhatunk. Azonban a kockázat fogalmának meghatározása nem könnyű feladat, hiszen nem mindig lehet egyértelműen elválasztani a kockázatot a bizonytalanságtól. Különböző szerzők más és más meghatározásokat adnak a kockázatra. Például vannak, akik úgy látják a kockázatot, mint egy lehetséges problémát vagy helyzetet, amely ha megvalósul, kedvezőtlenül érinthet egy projektet [A-Moneim 2005: 1]. Mások a kockázatot egy eseményhez kapcsolódó valószínűség és következmény kombinációjaként definiálják [Aven és Vinnen 2007]. Van, aki a kockázatot a lehetséges kimenetek varianciájának tartja [Shapira 1995]. Van, aki a kockázatot és a bizonytalanságot úgy különbözteti meg, hogy a kockázat a bizonytalanságon kívül tartalmaz valamilyen kárt vagy veszteséget is [Kaplan és Garrick 1981]. Mi most kockázaton egy véletlen változó jövőbeli időpontra vonatkozó ismert eloszlásfüggvényének funkcionálját értjük. Azaz csak a jövőbeli értékek eloszlása a fontos számunkra. A kockázatot egyetlen számmal is mérhetjük, amely a veszteség eloszlására jellemző. A kockázat mérése azért fontos, hogy keretek között tarthassuk azt. Ha ez a szám a kritikus értéknél nagyobb, akkor nagy a kockázat, ha kisebb annál, akkor túlbiztosítottuk magunkat. A kockázatméréshez kapcsolódó fontosabb kifejezések: kockázati optimum, kockázatkerülés, diverzifikáció, kockázatcsökkentés. Lássuk ezek heurisztikus meghatározásait: Kockázati optimumban vagyunk, ha nem túl nagy a kockázatunk, de nem is biztosítottuk túl magunkat, azaz ha a kockázat mértéke a kritikus értékkel egyenlő. Kockázatkerülésről van szó, ha a konkrét gazdasági szereplő nem kedveli a kockázatot, illetve ha egy felügyelő megtiltja a túlzott kockázatvállalást, meghatározva egy kockázatszintet. Ebben az esetben az illető személy biztos hozamú bankbetétbe, vagy állampapírba fektetheti pénzét, melynek hozama eléggé alacsony. Ilyen felügyelő lehet egy tőzsdei elszámolóház, nemzeti, nemzetközi szabályozó, vagy egy befektetési menedzser. Fontos nemzetgazdasági szempont a bankok, biztosítók, nagyvállalatok stabilitása, hiszen csődbemenésük hatalmas veszteségeket okozhat. Nemzetközi szinten pedig a Nemzetközi Aktuárius Szövetség és a Nemzetközi Számviteli

5 1 BEVEZETÉS 4 Szabványok Bizottsága együttműködve határozza meg a biztosítótársaságok tőkekövetelményeit. A diverzifikáció kockázatmegosztást jelent, amikor egyszerre több értékpapírba fektetjük be a pénzünket, és nem csak egybe. Eszközei lehetnek például, ha több iparágba, több pénznemben, különböző futamidőre, illetve ha biztos hozamú értékpapírba fektetünk be. A diverzifikáció a kockázat csökkentésében játszik nagy szerepet. Ugyanis a diverzifikációs hatásoknak köszönhetően egy portfólió teljes kockázata általában kisebb, mint a portfóliót alkotó alportfóliók kockázatának összege. A dolgozat 2. fejezetében a koherens kockázatmérést tárgyaljuk, bevezetve a koherens kockázati mérték négy tulajdonságát, amelyeket természetes, hogy elvárunk egy koherens kockázati mértéktől, és karakterizációs tételt is adunk rájuk, azonban látni fogjuk (3.fejezet), hogy vannak olyan mértékek, amelyekre nem teljesülnek, mégis népszerű a használatuk. Számtalan koherens kockázati mérték létezik. Ezekre láthatunk példákat a 3. fejezetben. Azt, hogy melyiket használjuk adott esetben, a költség-haszon megfontolások döntik el. A 4. fejezetben valódi részvényadatokra számoljuk ki a kockázati mértékeket az R program segítségével. Az adatokat megvizsgáljuk a gazdasági világválság (2008) előtt, és után, majd összevetjük a kapott értékeket.

6 2 KOHERENS KOCKÁZATMÉRÉS 5 2. Koherens kockázatmérés A vállalatok, biztosítók nem foglalkozhatnak csak az üzlettel, mert pénzügyi (hitel-, piaci, egyéb) kockázatokkal is szembesülnek, amelyeket mérni és fedezni kell. Azonban a teljes fedezés lehetetlen, ezért minden gazdálkodó egységnek fel kell készülnie a csőd elkerülésére, és félretenni valamennyi kockázatmentes, likvid tőkét erre az esetre. Ilyenkor koherens kockázatmérésre van szükség. A tőkeallokáció során azzal kell foglalkozni, hogy az alportfóliókra mennyi tőkét osszunk szét. Így megkapjuk az eszközök kockázathoz való hozzájárulását. A különböző portfóliók kockázatát a jövőbeli veszteségük eloszlásából határozzuk meg. A dolgozat során az X valószínűségi változó általában a veszteséget jelöli (az ettől eltérő értelmezést külön definiálom) Definíció: A ρ kockázati mérték egy olyan függvény, amely az adott kockázathoz egy valós számot rendel Definíció: Ha egy X valószínűségi változóra a ρ(x) : X R kockázati mérték pozitív, akkor ρ(x) az a minimális pótlólagos kockázatmentes, likvid tőke, amelyet a szabályozott félnek hozzá kell vennie a pozíciójához; negatív, akkor ρ(x) nagyságú pénzmennyiség lehívható a pozícióból, vagy kárpótlásként megkapható; nulla, akkor a kockázat pontosan a kívánatos mértékben van fedezve, azaz a befektetés egy része kockázatmentesnek tekintett betétekben van Definíció: ρ(x) koherens kockázati mérték, ha minden X és Y valószínűségi változóra teljesül a következő négy tulajdonság: Szubadditivitás: Monotonitás: ρ(x + Y ) ρ(x) + ρ(y ) ha X Y m.m., akkor ρ(x) ρ(y )

7 2 KOHERENS KOCKÁZATMÉRÉS 6 Pozitív homogenitás: λ 0 valós számra: ρ(λx) = λρ(x) Eltolás invariancia: α konstansra: ρ(x + α) = ρ(x) + α A szubadditivitás azt fejezi ki, hogy két portfólió egyesítésének van kockázatdiverzifikációs hatása. Az összeg kockázata nem lehet nagyobb, mint a kockázatok összege. Ha valamelyik kockázati mértékre ez nem teljesül, akkor előfordulhat olyan eset, amikor egy adott vállalat két egységének együttes portfóliójának kockázata nagyobb, mint a portfóliók kockázatának összege, ami ellentmondana az elvárt diverzifikációs hatásnak. A monotonitás szerint, ha X esetén legalább annyit veszítünk, mint Y esetén, akkor X legalább annyira kockázatos, mint Y. A pozitív homogenitás azt jelenti, hogy a pozíció mérete egyenes arányban befolyásolja a kockázatot, azaz ha egy értékpapírba α-szor annyi pénzt fektetünk, akkor a kockázat is α-szorosára nő. Az eltolás invariancia azt írja le, hogy ha mindig egy konstanssal nagyobb a veszteség, akkor ugyanazzal konstanssal nagyobb a kockázat. Ha az eredeti pozíciónkhoz hozzáveszünk egy kockázatmentes eszközt, akkor az összes kockázatunk a kockázatmentes eszköz értékével csökkenni fog. Ahhoz, hogy belássuk egy kockázati mértékről, hogy nem koherens, elég egy ellenpéldát adni, ami nem teljesíti legalább az egyik tulajdonságot. Ha azt szeretnénk belátni, hogy egy kockázati mérték mindig koherens, nagy segítséget jelent a következő tétel Tétel: (Reprezentációs tétel) Egy kockázati mérték pontosan akkor koherens, ha létezik egy Π valószínűségi mértékcsalád, amelyre teljesül, hogy a kockázati mérték értéke megegyezik a veszteség P Π valószínűségeloszlások szerint számított diszkontált várható értékeinek szuprémumával, azaz: { ( ) } X P ρ(x) = sup E P Π d

8 2 KOHERENS KOCKÁZATMÉRÉS 7 Bizonyítás: A tétel teljes bizonyítása megtalálható a [9]-es könyvben Következmény: Minden koherens kockázati mérőszám a legrosszabb esetben bekövetkező veszteséget méri, pontosabban a legrosszabb esetek veszteségének súlyozott átlaga. Minél több forgatókönyvet veszünk, annál nagyobb a kockázati mérték.

9 3 KOCKÁZATI MÉRTÉKEK 8 3. Kockázati mértékek A pénzügyi befektetések értékelésében döntő jelentőségű a kockázat megfelelő felmérése. Ezt a célt szolgálják a különböző kockázati mutatók, amelyek lehetővé teszik egy portfólió kockázatának egyetlen mérőszámmal történő kifejezését. A kockázati mértékeket többféleképpen lehet csoportosítani. Az eddigiek alapján megadhatók koherens és nem koherens mérőszámok. Ezt minden mérőszámra külön meg fogjuk vizsgálni. Másik besorolási lehetőség, a relatív illetve abszolút mérőszámok. A relatív kockázati mérőszámok csoportjába tartozik a variancia, a szemivariancia és a MAD. Ez azt jelenti, hogy egy adott célértéktől való eltérés nagyságaként értelmezik a kockázatot. Ez esetben nem a célérték vagy önmagukban a megfigyelési értékek elhelyezkedése, hanem az utóbbiaknak az előbbihez viszonyított helyzete játszik szerepet a kockázat nagyságának meghatározásában. A relatív mérőszámokat helytől független kockázati mutatókként is szokták nevezni. Abszolút mérőszámoknak nevezzük azokat, amelyek egy adott befektetés megvalósításához vagy adott pénzügyi pozíció megteremtéséhez szükséges tőkenagysággal mérik a kockázatot. Ebben az esetben a kockázat mértékének meghatározásában döntő szerepet játszik a megfigyelési értékek abszolút nagysága, illetve helyzete, ezért azt mondhatjuk, hogy a mutatók helyfüggők. Ide tartozik a VaR és a CVaR. A csoportosításuk történhet az alapján is, hogy egy adott célértéknél (amely speciális esetben a várható érték) csak nagyobb értékeket vesz-e figyelembe a kockázat kiszámításánál. Eszerint beszélhetünk egyoldali és kétoldali kockázati mutatókról. Az egyoldali csak az eloszlásfüggvény kedvezőtlen részét veszi figyelembe a mutató kiszámításánál. A szemivariancia, a VaR és a CVaR az egyoldali, míg a variancia és a MAD a kétoldali mutatók csoportjába tartozik. Először lássuk a fontosabb és ismertebb nem koherens kockázati mértékeket:

10 3 KOCKÁZATI MÉRTÉKEK Szórásnégyzet A legalapvetőbb kockázati mérték ben Markowitz javasolta először a szórásnégyzetet, V (Variancia) a kockázat mérésére. V (X) = E((X E(X)) 2 ) Előnye, hogy egyszerűen kiszámítható, (normális eloszlású hozamok mellett) jól méri a bizonytalanságot és ösztönzi a diverzifikációt. Segítségével a különböző portfóliók kockázata visszavezethető az egyedi befektetések kockázatára. Teljesíti a szubadditivitási feltételt, hiszen a szorásnégyzettel mért kockázata egy portfóliónak nem lehet nagyobb az alportfóliók kockázatának összegénél. Azonban sajnos a kockázatmérés szempontjából nem kielégítő, számos hátránya van. Csak normális eloszlás esetén használható jól. Szimmetrikus mérték, ezért ugyanúgy bünteti a veszteséget, mint a nyereséget, tehát az átlagtól számított pozitív eltéréseket ugyanolyan hátrányosnak tekinti, mint a várható értéknél alacsonyabb hozamokat. Nem megfelelő az alacsony valószínűségű események kockázatának meghatározásához. A szélsőséges értékekre nagyon érzékeny, mert az átlagtól való eltérés négyzetével számol. A szórásnégyzetet széles körben alkalmazzák, de sajnos nem koherens, hiszen nem teljesíti az eltolás invariancia tulajdonságot, ugyanis a determinisztikus tag nem változtat az értékén, és nem monoton, mert a szórásnégyzet nem érzékeny a változó nagyságára, csak annak változékonyságára. A szórás: átlagos négyzetes eltérés, a szórásnégyzet négyzetgyöke, azonban a kockázatmérés szempontjából azonosnak tekintjük a kettőt. A szórás esetében is igaz, hogy egyetlen szélsőséges érték is képes számottevően megnövelni a kockázatot, tehát ugyanolyan érzékeny Szemivariancia A szemivariancia, SV a szórásnégyzet azon problémájára nyújt megoldást, miszerint ugyanúgy bünteti a veszteséget, mint a nyereséget, ugyanis a szemivariancia a várható érték alatti értékeket figyelmen kívül hagyja. Hátrányként itt is elmondható, hogy nagyon érzékeny a szélsőséges értékekre, és a szórásnégyzethez hasonlóan nem koherens.

11 3 KOCKÁZATI MÉRTÉKEK 10 Kiszámítása: SV(X) = E [ (X SV ) 2] ahol X SV a következő: { X E(X) ha E(X) X X SV = 0 ha E(X) > X A szemiszórás a szemivariancia négyzetgyöke, amit a szemivarianciával azonos kockázati mutatónak tekintünk Átlagos abszolút eltérés Az átlagos abszolút eltérés, MAD (Mean Absolute Deviation) a szóráshoz hasonló mérték, mert mindkettő az átlagtól való várható eltérést méri: Kiszámítása diszkrét esetben: MAD(X) = E( X E(X) ) n i=1 MAD(X) = ( X i X ) n A szórás egyik hátrányát hivatott kiküszöbölni, miszerint az eloszlás szélére eléggé érzékeny. Ennélfogva a MAD egyik előnye, hogy a vastag szélű eloszlások esetében kevésbé érzékeny az extrém értékekre. Azonban bizonyos helyzetekben ez a tulajdonság inkább tekinthető hátránynak, mint előnynek, ugyanis válsághelyzetekben teljesen használhatatlan, mert alábecsüli a rendkívüli veszteségek bekövetkezésének valószínűségét. Az MAD nem koherens kockázati mérték. Mivel a MAD az átlagtól való eltérés abszolút értékét veszi, így a befektető számára kedvező és kedvezőtlen értékeket egyaránt magában foglalja, azaz a varianciához hasonlóan szimmetrikus.

12 3 KOCKÁZATI MÉRTÉKEK Szórásszabály A szórásszabály (Standard Deviation Rule) a jövőbeli veszteségeloszlás várhatóértékének és a szórás többszörösének összege: E(X) + c σ(x), ahol c konstans Példa: A következő példából jól látható, hogy nem monoton, ugyanis X 1 X 2 esetén: ahol minden eset egyforma valószínűségű: 1. táblázat. Szórásszabály vizsgálata Lehetséges esetek X 1 X E(X i ) 3 5 σ(x i ) 1,41 0 E(X i ) + 2σ(X i ) 5,82 5 Forrás: Meyers [2000] Table 3. ρ(x 1 ) = E(X 1 ) + 2σ(X 1 ) = 5, 82 ρ(x 2 ) = E(X 2 ) + 2σ(X 2 ) = 5 ρ(x 1 ) ρ(x 2 ) Tehát nem koherens.

13 3 KOCKÁZATI MÉRTÉKEK VaR Az α kvantilishez tartozó, adott jövőbeli időpontra vonatkozó kockáztatott érték, VaR (Value at Risk) definíciója: VaR α (X) = inf {x P (X x) α} Azt mutatja meg, hogy adott időintervallum alatt, adott konfidenciaszinten maximum mekkora a veszteség nagysága. A kockáztatott érték fogalmának megalkotása [10] Philippe Jorion nevéhez fűződik. Bevezetése nagymértékben hozzájárult a kockázati mutatók fejlődéséhez, egyben új irányt mutatva a kutatásoknak. A gyakorlatban α 1-hez közeli, azaz kicsi a VaR-nál nagyobb veszteség bekövetkezésének valószínűsége Definíció: Adott X valószínűségi változó α (0, 1) alsó és felső kvantilisei: q α = inf {x P (X x) α} = VaR α (X) q α = inf {x P (X x) > α} = VaR α (X) 3.3. Megjegyzés: Mivel az {x P (X x) α} {x P (X x) > α} tartalmazás teljesül, ezért q α q α. Továbbá egy adott α-ra q α = q α pontosan akkor teljesül, ha a P (X x) = α egyenlőséget legfeljesebb egy x érték teljesíti Következmény: Folytonos eloszlásokra az alsó és a felső kvantilis megegyezik minden α (0, 1)-re. A kockáztatott érték kiszámítására többféle módszer is létezik. Például a történeti szimulációs és Monte-Carlo-szimulációs módszer. Diszkrét esetekben mindkét módszer jól alkalmazható. A történeti szimuláció során a különböző X i értékek egyszerű múltbeli idősorok (minták) elemei. A módszer nem támaszkodik az X eloszlásával kapcsolatos feltételezésre, mivel empirikus eloszlást használ. Ez előnyös lehet nagyobb mintánál, vagy kisebb α-hoz tartozó VaR becslésénél, de a magas kvantilisek becslése ezzel a módszerrel nagyon bizonytalanná válik. A Monte-Carlo-szimuláció esetében X eloszlásfüggvényét szimulált X i értékek empirikus eloszlásaként kapjuk meg.

14 3 KOCKÁZATI MÉRTÉKEK táblázat. VaR vizsgálata Lehetséges esetek X 1 X 2 X 1 + X VaR 85% Forrás: Meyers [2000] Table Példa: A következő példa jól mutatja, hogy a VaR nem szubadditív, azaz két portfólió egyesítésekor az egyesített portfólió kockázata lehet nagyobb, mint a külön-külön vett kockázatok összege, tehát nem koherens. A VaR 85% (X 1 ) = VaR 85% (X 2 ) = 0, hiszen akár 90%-os eséllyel is állíthatnánk, hogy 0-nál nem lesz több a veszteségünk, mivel csak 10% a valószínűsége annak, hogy 1-et vesztünk. Viszont VaR 85% (X 1 + X 2 ) = 1, ami azt jelenti, hogy nem jelentkezik diverzifikációs hatás, tehát nem koherens, mert nem teljesül a szubadditivitás. Annak ellenére, hogy nem koherens, elég széles körben alkalmazzák. A bankok is általában ezzel a mértékkel számítják a piaci kockázatot. A Bázeli Bizottság 1993-ban kifejezetten ajánlotta bankok kockázatvállalásának mérésére. Előnyei, hogy a veszteségekre koncentrál; tetszőleges eloszlásra egyszerűen kiszámítható; a kockázatot pénzveszteségben fejezi ki; a gyakorlatban általában tekintetbe veszi a diverzifikációs előnyöket; könnyen szabályozható; és legfőbb előnye, hogy eredménye közérthető, ugyanis a kockázat mértékegysége a befektetés pénzneme, ezért kedvelik a szabályozók. Hátrányai, hogy nem késztet diverzifikációra; diszkrét, azaz nem sima eloszlásoknál körültekintőbben kell alkalmazni; nem mond semmit a vártnál nagyobb

15 3 KOCKÁZATI MÉRTÉKEK 14 veszteségek nagyságáról, ami vastag szélű eloszlásoknál jelentős hiba; és a veszteségeloszlásból csak egy pontot ragad ki. Mivel a VaR nem szubadditív, megakadályozza, hogy a VaR-limitek bevezetésével a teljes pozíció kockázatosságára felső korlátot adjunk. A kockáztatott értékkel mért portfóliókockázat magasabb lehet, mint a portfóliót alkotó értékpapírok kockázatának összege. Normális eloszlás esetén a VaR is koherens. Ezt a következő tétel mondja ki Tétel: Normális együttes eloszlás feltevésével X és Y valószínűségi változókra teljesül a szubadditivitás: ha 0, 5 α 1, akkor VaR α (X + Y ) VaR α (X) + VaR α (Y ) Bizonyítás: Legyen X N(µ X, σ X ) és Y N(µ Y, σ Y ). Ekkor X eloszlásfüggvénye: F X (x) = P (X x) = Φ( x µ X σ X ), ahol Φ(x) a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye. Ezért a Φ( x µ X σ X ) α egyenlőtlenséget kell megoldanunk a legkisebb x-re. Azaz VaR α (X) = σ X Φ 1 (α) + µ X, hasonlóan VaR α (Y ) = σ Y Φ 1 (α) + µ Y. Ekkor X + Y N(µ X + µ Y, σ 2 X + σ2 Y + 2 corr(x, Y )σ Xσ Y ). Amiből azt kapjuk, hogy VaR α (X + Y ) = σ 2 X + σ2 Y + 2 corr(x, Y )σ Xσ Y Φ 1 (α) + µ X + µ Y Mivel a corr(x, Y ) 1, Φ 1 (α) 0 és σ 2 X + σ2 Y + 2corr(X, Y )σ Xσ Y σ X + σ Y ezért teljesül, hogy Ezzel az tétel állítását beláttuk. VaR α (X + Y ) VaR α (X) + VaR α (Y ) 3.7. Megjegyzés: Ha α < 0, 5, akkor fordított irányú egyenlőtlenség teljesülne Következmény: Normális eloszlású veszteség esetén a VaR a szórásszabályra egyszerűsödik: VaR α (X) = E p (X) + Φ 1 (α) σ p (X)

16 3 KOCKÁZATI MÉRTÉKEK 15 Elliptikus együttes eloszlásokra is szubadditív a VaR, melyet a [11]-es jegyzet 1. tétele mond ki, és be is bizonyítja. Nézzünk néhány példát, ami a VaR alkalmazásainak hibáira hívja fel a figyelmet. A következő példák az [1]-ben találhatóak meg bővebben Példa: Hitelkockázat: Vegyünk egy nem diverzifikált vállalati kötvényportfóliót, azaz csak egyetlen vállalat kötvényébe fektetünk be. Tegyük fel, hogy a kockázatmentes kamatláb 0, és felvettünk 1 M forint hitelt. Minden vállalati kötvény kamatfelára 2 százalék, és a vállalatok 1 százalék eséllyel csődbe mennek, ilyenkor nem fizetnek vissza semmit. Ha nem megy csődbe az a cég, amibe befektettünk, akkor 20 E forintot nyerünk, ez legalább 95% biztonsággal teljesül. A VaR 95% tehát negatív, ami nyereséget jelent. Most osszuk szét a tőkénket, és 100 különböző vállalat kötvényeibe fektessünk be 10 E forintot. Ekkor: P (legalább kettő csődbe megy) = 1 P (0 vagy 1 megy csődbe) = = , 01 0, , , 2642 Ilyenkor már a V ar 75% is pozitív, nemhogy a VaR 95%. Tehát annak ellenére, hogy diverzifikáltunk, nagyobb lett a kockázatunk Példa: VaR-limitek kijátszása: A VaR használata rossz kockázatelosztásra is öszötönözhet. 3. táblázat. VaR alkalmazása Valószínűségek Lehetséges esetek A B C 0, , , Forrás: Artzner és szerzőtársai [1999] Két kereskedő közül mindkettő az A kifizetéssel szembesül. Ekkor mindkettőjüknek a VaR 95% = 100, mert biztosan állítható, hogy nem vesztenek 100-nál többet.

17 3 KOCKÁZATI MÉRTÉKEK 16 Ha viszont megállapodnak egymással a B és C eset között, akkor mindkettejüknek a VaR 95% = 80 lesz, tehát csökkentik a kockázatot. Ezzel csak az a probléma, hogy ha kockázatkerülők, akkor így csökkent a várható hasznosságuk is, mivel a biztos 100-as veszteséget lecserélték a várható értékben 100-as nagyságra: 0, 5( ) = 100. Most nézzük a népszerűbb koherens kockázati mértékeket: 3.6. Maximális veszteség Minden ω i Ω elemi eseményhez tartozik egy X i veszteség. Legyen a P i (ω) valószínűségi mértékcsalád a következő: 1 ω ω i P i (ω) = 0 ω / ω i Ekkor a maximális veszteség a P i (ω)-n vett várható értékek felső határa: { ( ) } X Pi max(x i ) = sup E Pi Π d ahol d = 1. Tehát a 2.4. tételből következik, hogy a maximális veszteség koherens kockázati mérték Példa: Nézzük a következő példát: A következő táblázatból egyszerű számolással következik, hogy a tulajdonságok teljesülnek: Szubadditivitás: max(x 1 + X 2 ) max(x 1 ) + max(x 2 ) pl.: 5 = max(x 1 + X 2 ) max(x 1 ) + max(x 2 ) = 8 Monotonitás: X 1 X 2 m.m.: max(x 1 ) max(x 2 ) triviális Pozitív homogenitás: λ 0 : max(λx 1 ) = λ max(x 1 ) pl.: 8 = max(2x 1 ) = 2 max(x 1 ) = 2 4 = 8 Eltolás invariancia: α : max(x 1 + α) = max(x) + α pl.: 5 = max(x 1 + 1) = max(x 1 ) + 1 = = 5

18 3 KOCKÁZATI MÉRTÉKEK táblázat. Maximális veszteség vizsgálata Lehetséges esetek X 1 X 2 X 1 + X 2 X 3 = 2X 1 X 4 = X max(x i ) Forrás: Meyers [2000] Table Várható veszteség A várható veszteség, ES (Expected Shortfall) a VaR egy természetes koherens alternatívája, ami érzékenyebb a farok eloszlásokra és a konkrét veszteség értékre is. ES α (X) = 1 α α 0 VaR γ (X)dγ Az α értékhez tartozó ES azt mutatja meg, hogy mennyi a portfólió várható hozama az esetek legrosszabb α%-ában. Az α általában 0-hoz közeli és a veszteség negatív. Ekvivalens átírás: ES α (X) = 1 ( E ( ) ( X 1 {X>xα} + xα α P (X > xα ) )) α ahol x α = inf{x P (X x) α} = VaR α (X). ES konzervatív módon értékeli a befektetések értékét és kockázatát, különös tekintettel a kevésbé nyereséges eredményekre. Magas α értékekre figyelmen kívül hagyja a legjövedelmezőbb, de valószínűtlen lehetőségeket, alacsony értékekre viszont a legrosszabb veszteségekre összpontosít. Még alacsonyabb α értékekre ES csak az egyetlen katasztrófális eredményt veszi figyelembe. Az α értéket általában 5%-nak szokták választani. Mivel kevés adatból nagyon bizonytalan a becslése, főleg viszontbiztosítók használják ezt a mértéket, akiknek

19 3 KOCKÁZATI MÉRTÉKEK 18 több adatuk, tapasztalatuk van, így jobban meg tudják becsülni az eloszlás szélét. Ahhoz, hogy belássuk, hogy koherens, vizsgáljuk meg a 4 tulajdonságot: Monotonitás: ha X Y m.m., akkor ES α (X) ES α (Y ) ES α (X) = 1 α α 0 VaR γ (X)dγ 1 α α 0 VaR γ (Y )dγ = ES α (Y ) Pozitív homogenitás: λ 0 valós számra: ES α (λx) = λ ES α (X) ES α (λx) = 1 α Eltolás invariancia: α 0 VaR γ (λx)dγ = λ α α 0 VaR γ (X)dγ = λ ES α (X) β konstansra: ES α (X + β) = ES α (X) + β ES α (X + β) = 1 α VaR γ (X + β)dγ = 1 ( α ( VaRγ (X) + β ) ) dγ = α 0 α 0 = 1 ( α ) VaR γ (X)dγ + βα = ES α (X) + β α 0 Szubadditivitás: ES α (X + Y ) ES α (X) + ES α (Y ) Bizonyítás: Legyen Ekkor 1 (α) {X>x α} = { 1{X>x} ha P (X = x) = 0 1 {X>x} + E [ 1 (α) ] (α) {X>x α} = α és 1 {X>x α} [0, 1]. α P (X x) P (X=x) 1 {X=x} ha P (X = x) > 0 Legyen ES α (X) = 1 α E[ X 1 (α) ] {X>x α} és X + Y = Z.

20 3 KOCKÁZATI MÉRTÉKEK 19 Ekkor ( ) α ES α (X) + ES α (Y ) ES α (Z) = [ ] = E Z 1 (α) {Z>z X α} 1(α) {X>x Y α} 1(α) {Y >y α} = [ ( ) ( )] = E X 1 (α) {Z>z α} 1(α) {X>x α} + Y 1 (α) {Z>z α} 1(α) {Y >y α} [ ] [ ] x α E 1 (α) {Z>z α} 1(α) {X>x α} + y α E 1 (α) {Z>z α} 1(α) {Y >y α} = = x α (α α) y α (α α) = 0. Felhasználva, hogy { (α) 1 {Z>z α} 1(α) {X>x 0 α} 1 (α) {Z>z α} 1(α) {X>x 0 α} ha X x α ha X > x α Ezzel bizonyítottuk, hogy az ES szubadditív ES és VaR összevetése Példa: Tegyük fel, hogy az időtartam elején 100 -t fizettünk a következő portfólióra. A profit minden esetben a (végérték 100), a táblázatból kiolvasható. Erre a portfólióra fogjuk megvizsgálni az ES és VaR értékeket. 5. táblázat. Várható veszteség vizsgálata Események valószínűsége portfólió végső értéke -ban profit -ban 10% % % % Forrás: wikipedia.org/wiki/expected_shortfall ES néhány α értékre kiszámolva: Elvárás a legrosszabb esetek 5%-ában: ezek az esetek a profit táblázat 1. sorában vannak, ahol -100 a profitunk, tehát az ES 0,05 = 100. A 20%-hoz tartozó várható veszteség: mivel ekkor 10 eset esik az 1. oszlopba és 10 eset a 2. oszlopba, így ES 0,2 = 0,1( 100)+0,1( 20) 0,2 = 0, 6. Hasonlóan bármilyen α-ra

21 3 KOCKÁZATI MÉRTÉKEK 20 kiszámolható. A 40%-os ES: ES 0,4 = 0,1( 100)+0,3( 20) 0,4 = 40. Végül az ES 1 = 0, 1( 100) + 0, 3( 20) + 0, , 2 50 = 6. A többi a következő táblázatból kiolvasható: 6. táblázat. α ES α 5% % % % -46,7 40% % % -26,7 80% % % -6 Ehhez képest a VaR értékei: 7. táblázat. α VaR α 0% α < 10% % α < 40% % α < 80% 0 80% α < 100% CVaR A feltételes kockáztatott érték, CVaR (Conditional VaR) is a VaR-ra épül, de az azzal kapcsolatban felmerült problémákat kiküszöbölő kockázatmérő módszer. A bevezetése Rockafellar és Uryasev nevéhez kötődik. Az α kvantilishez tartozó feltételes kockáztatott érték: CVaR(X) = E[X X > VaR α (X)]

22 3 KOCKÁZATI MÉRTÉKEK 21 Legyen A = { A i } m i=1 Ω, amelyre teljesül, hogy m i=1 A i = Ω. Legyen A i elemszáma n i, és tegyük fel, hogy Ω minden eleme egyformán valószínű. Ekkor a P i (ω), ahol ω Ω a következő: 1 n P i (ω) = i ω A i 0 ω / A i Az így vett várható értékek szuprémuma a legrosszabb esetek átlaga lesz. A CVaR a szubadditivitás és a vastagszélű eloszlások problémáját is megoldja. Folytonos eloszlás esetén a CVaR egy adott konfidenciaszinten egybeesik az ES ( 1)-szeresével (mert az ES-nél a veszteségek negatívak voltak), feltéve, ha a veszteség nem kisebb a VaR értékénél. Így a CVaR is koherens kockázati mérték. Diszkrét esetben két csoportra osztják a CVaR-hez hasonló kockázatmérő módszereket: CVaR + és CVaR, amelyek csak diszkrét eloszlásra különböznek egymástól. Kiszámításuk: CVaR + (X) = E[X X > VaR α (X)] CVaR (X) = E[X X VaR α (X)] Ebben az esetben a CVaR értékének kiszámítása: CVaR(X) = λ VaR α (X) + (1 λ) CVaR + (X) ahol λ = F (VaRα(X)) α 1 α, ahol F az X eloszlásfüggvénye, és F (VaR α (X)) = P (X < VaR α (X)). λ-ra teljesül, hogy 0 λ 1. Ahogy a konfidenciaszint változik a CVaR + és a CVaR értékek ugrásszerűen változhatnak, míg a CVaR folytonos. A mutatók között a következő összefüggés áll fenn: Érvényes a következő: VaR α CVaR CVaR CVaR + ES α = CVaR +(λ 1)(CVaR VaR α ) ahol λ = P (X xα) α 1, amiből az következik általánosságban, hogy ES α CVaR (X)

23 3 KOCKÁZATI MÉRTÉKEK 22 A CVaR (X)-et szokták TCE α (X)-nek is hívni (Tail Conditional Expectation). Igaz rá, hogy a kimenetelek legrosszabb α százalékának a várható értékét veszi. A TCE az α kvantilis mellett figyelembe veszi az eloszlás farkát, a VaRral ellentétben.

24 4 ALKALMAZÁSOK Alkalmazások Ebben a fejezetben valódi részvényadatokra (amelyek a Yahoo oldalról letölthetőek) számoljuk ki a kockázati mértékek viselkedését. Megvizsgálom 100 részvény árfolyamát ig, kiszámolom a hozamaikat, és az R program segítségével számolom ki a kockázati mértékeket. Ezután megnézem külön ig, illetve ig ugyanezeket az értékeket, majd összevetem a különkülön kapott értékeket. Névszerint a következő részvényekkel foglalkoztam: 1. ábra.

25 4 ALKALMAZÁSOK 24 Az alap Excel-beli csv fájl egy részlete: 2. ábra. Ez a fájl egyszerűen beolvasható az R programba a következő kóddal: > data <- read.csv("minta1.csv", + header=t, sep=";", dec=",") Szükségünk lesz néhány csomag függvényeire, ezért betöltjük ezeket is: > library(fextremes) Mivel ezek az adatok napi értékek, ezért ki kell számolni a napi hozamokat: > ho <- data[,1] > for (i in 1:(length(ho)-1)){ + ho[i] <- (data[i+1,2]-data[i,2])/data[i,2]} > ho <- ho[1:length(ho)-1] > M <- ho > for(j in 3:51){ + h1 <- data[,1]

26 4 ALKALMAZÁSOK 25 + for (i in 1:(length(h1)-1)) + {h1[i] <- (data[i+1,j]-data[i,j])/data[i,j]} + h1 <- h1[1:length(h1)-1] + M <- data.frame(m,h1)} > names(m) <- names(data[2:51]) A ciklusban mindig létrehozunk egy új vektort, aminek az elemei lesznek a napi hozamok, majd az M adattáblához hozzáfűzzük új oszlopként. A kód utolsó sorával biztosítjuk, hogy az M oszlopainak is meglegyenek a pontos nevei. Ezt az új adattáblát az R meg is tudja mutatni nekünk, ha a fix(m) kódot beírjuk: 3. ábra. Hozamok adattáblája Ezekre az adatokra már könnyen kiszámolható a szórásnégyzet, a MAD és az ES minden oszlopra. Az expected shortfall-hoz még külön be kell tölteni egy új csomagot!

27 4 ALKALMAZÁSOK 26 Szórásnégyzetek értékek Agilient Alcoa Apple Abbot Adobe Autodesk Altera Alcatel Amazon Apollo Avon AmExp Boeing BankOfAm Baxter Biogen BMC Bristol Broadcom Citigroup CA Caterpillar Colgate Clorox Campbell Cisco Citrix Chevron DuPont Dell Disney ebay EsteeLau Ford FedEx Flextronics GE Garmin Goldman Goodyear Halliburton HomeDepot Honda HarleyDav Honeywell HP IBM Infosys Intel Johnson 4. ábra. Szórásnégyzetek grafikonja 1 50-ig > SzN <- apply(m,2,var) > MAD <- apply(m,2,mad) > library(performanceanalytics) > ES=rep(0,50) > for(i in 1:50){ES[i]=ES(M[,i], p=0.01)} Az ES hozamokat számol, ezért ennek a 1-szeresét kell vennünk. Arra kell még odafigyelnünk, hogy miután kiszámoltuk az ES értékét, távolítsuk el a PerformanceAnalytics nevű csomagot a programból, mert ha ebben a csomagban számolnánk a VaR és CVaR mértékeket, akkor az extrém értékekre NA értékeket kapnánk. > ES=-ES > detach(package:performanceanalytics) A VaR, a maximális veszteség és a CVaR számolásánál veszteségekre lesz szükségünk, ezért a hozamaink ( 1)-szeresét kell vennünk. A veszteségekre már használhatjuk a VaR() és CVaR() függvényeket. > M <- -M > MAX <- apply(m,2,max) > VAR <- rep(0,50) > CVAR <- rep(0,50)

28 4 ALKALMAZÁSOK 27 Szórásnégyzetek értékek JPMorgan Kellog Kraft Kimberly CocaCola Eli Lockheed LSI Lexmark Mariott McDonalds Moodys Metlife McGraw X3M Altria Merck MorganSt Microsoft Motorola Nike Nvidia Oracle O_Reilly Pepsi Pfizer Procter Reynolds RedHat SAP SaraLee Sandisk Sony Staples Symantec AT_T Tiffany Toyota Travelers Texas UPS UnTechn Verizon WesternD WellsFargo Whirlpool WalMart Exxon Xerox Yahoo 5. ábra. Szórásnégyzetek grafikonja ig > for(i in 1:50){ VAR[i] <- VaR(M[,i], alpha=0.95)} > for(i in 1:50){CVAR[i] <- CVaR(M[,i],alpha=0.95)} > names(var) <- names(m) > names(cvar) <- names(m) Az oszlopdiagramos kirajzolásukhoz a barplot() függvényt használtam: > barplot(szn, main="szórásnégyzet", + ylab="értékek", names.arg=names(szn), las=3) Azt látjuk, hogy a CityGroup illetve a Motorola részvényekre a szórásnégyzet sokkal nagyobb értéket adott a többihez képest. A megfelelő olvashatóság érdekében ezeket a magas értékeket nem ábrázoltam. Ehhez nézzük meg a CityGroup árfolyam grafikonját! A grafikonon azt látjuk, hogy 2008-ban mekkora visszaesése volt, tehát emiatt kaphattunk ekkora szórásnégyzetet. (A grafikon x-tengelyén az 1220-as érték felel meg ának, az 1500 pedig ének.) Ha megnézzük az összes részvény árfolyam grafikonját, akkor azt látjuk, hogy majdnem mindegyiknél jelentős zuhanás látható 2008-ban. Példának beraktam még hat részvény árfolyamának grafikonját.

29 4 ALKALMAZÁSOK 28 CityGroup értékek Index 6. ábra. CityGroup árfolyama ig 7. ábra. Árfolyamok ig

30 4 ALKALMAZÁSOK 29 MAD Agilient Alcoa Apple Abbot Adobe Autodesk Altera Alcatel Amazon Apollo Avon AmExp Boeing BankOfAm Baxter Biogen BMC Bristol Broadcom Citigroup CA Caterpillar Colgate Clorox Campbell Cisco Citrix Chevron DuPont Dell Disney ebay EsteeLau Ford FedEx Flextronics GE Garmin Goldman Goodyear Halliburton HomeDepot Honda HarleyDav Honeywell HP IBM Infosys Intel Johnson értékek ábra. MAD értékek grafikonja 1 50-ig MAD JPMorgan Kellog Kraft Kimberly CocaCola Eli Lockheed LSI Lexmark Mariott McDonalds Moodys Metlife McGraw X3M Altria Merck MorganSt Microsoft Motorola Nike Nvidia Oracle O_Reilly Pepsi Pfizer Procter Reynolds RedHat SAP SaraLee Sandisk Sony Staples Symantec AT_T Tiffany Toyota Travelers Texas UPS UnTechn Verizon WesternD WellsFargo Whirlpool WalMart Exxon Xerox Yahoo értékek ábra. MAD értékek grafikonja ig

31 4 ALKALMAZÁSOK 30 Várható veszteség Agilient Alcoa Apple Abbot Adobe Autodesk Altera Alcatel Amazon Apollo Avon AmExp Boeing BankOfAm Baxter Biogen BMC Bristol Broadcom Citigroup CA Caterpillar Colgate Clorox Campbell Cisco Citrix Chevron DuPont Dell Disney ebay EsteeLau Ford FedEx Flextronics GE Garmin Goldman Goodyear Halliburton HomeDepot Honda HarleyDav Honeywell HP IBM Infosys Intel Johnson veszteségek ábra. Várható veszteség grafikonja 1 50-ig Várható veszteség JPMorgan Kellog Kraft Kimberly CocaCola Eli Lockheed LSI Lexmark Mariott McDonalds Moodys Metlife McGraw X3M Altria Merck MorganSt Microsoft Motorola Nike Nvidia Oracle O_Reilly Pepsi Pfizer Procter Reynolds RedHat SAP SaraLee Sandisk Sony Staples Symantec AT_T Tiffany Toyota Travelers Texas UPS UnTechn Verizon WesternD WellsFargo Whirlpool WalMart Exxon Xerox Yahoo veszteségek ábra. Várható veszteség grafikonja ig

32 4 ALKALMAZÁSOK 31 VaR értékek Agilient Alcoa Apple Abbot Adobe Autodesk Altera Alcatel Amazon Apollo Avon AmExp Boeing BankOfAm Baxter Biogen BMC Bristol Broadcom Citigroup CA Caterpillar Colgate Clorox Campbell Cisco Citrix Chevron DuPont Dell Disney ebay EsteeLau Ford FedEx Flextronics GE Garmin Goldman Goodyear Halliburton HomeDepot Honda HarleyDav Honeywell HP IBM Infosys Intel Johnson értékek ábra. VaR grafikonja 1 50-ig VaR értékek JPMorgan Kellog Kraft Kimberly CocaCola Eli Lockheed LSI Lexmark Mariott McDonalds Moodys Metlife McGraw X3M Altria Merck MorganSt Microsoft Motorola Nike Nvidia Oracle O_Reilly Pepsi Pfizer Procter Reynolds RedHat SAP SaraLee Sandisk Sony Staples Symantec AT_T Tiffany Toyota Travelers Texas UPS UnTechn Verizon WesternD WellsFargo Whirlpool WalMart Exxon Xerox Yahoo értékek ábra. VaR grafikonja ig

33 4 ALKALMAZÁSOK 32 Érdemes lehet megvizsgálnunk ezeket az értékeket úgy is, ha felosztjuk a ig terjedő időtartamot a gazdasági világválság szerint két részre. Azaz számoljuk ki külön-külön a 2008 előtti és utáni időszakra is, hogy lássuk, hogy a mértékek mennyire tudták előre jelezni a közelgő válságot. Tehát számoljuk ki először a VaR értékeket! Mindkét grafikonon jól látható, hogy a 2008 előtti időszakban határozottan kevesebb volt a VaR értéke minden részvényre, mint 2008 után. Ez azt jelenti, hogy a 2008 előtti adatok sajnos nem jelzik a válságot. VaR veszteségek elott 2008 után Agilient Alcoa Apple Abbot Adobe Autodesk Altera Alcatel Amazon Apollo Avon AmExp Boeing BankOfAm Baxter Biogen BMC Bristol Broadcom Citigroup CA Caterpillar Colgate Clorox Campbell Cisco Citrix Chevron DuPont Dell Disney ebay EsteeLau Ford FedEx Flextronics GE Garmin Goldman Goodyear Halliburton HomeDepot Honda HarleyDav Honeywell HP IBM Infosys Intel Johnson 14. ábra. 95% VaR értékek 1 50-ig VaR veszteségek elott 2008 után JPMorgan Kellog Kraft Kimberly CocaCola Eli Lockheed LSI Lexmark Mariott McDonalds Moodys Metlife McGraw X3M Altria Merck MorganSt Microsoft Motorola Nike Nvidia Oracle O_Reilly Pepsi Pfizer Procter Reynolds RedHat SAP SaraLee Sandisk Sony Staples Symantec AT_T Tiffany Toyota Travelers Texas UPS UnTechn Verizon WesternD WellsFargo Whirlpool WalMart Exxon Xerox Yahoo 15. ábra. 95% VaR értékek ig

34 4 ALKALMAZÁSOK 33 Nézzük a szórásnégyzet vizsgálatát is az első illetve a második időszakra, a különbség itt is szembetűnő. Azt látjuk, hogy a CityGroup és Motorola értéke 2008-előtt még alacsony volt, majd 2008 után nagy mértékben megugrik. Tehát a szórásnégyzet sem tudja előre megjósolni a közelgő válságot. Szórásnégyzetek értékek elott 2008 után Agilient Alcoa Apple Abbot Adobe Autodesk Altera Alcatel Amazon Apollo Avon AmExp Boeing BankOfAm Baxter Biogen BMC Bristol Broadcom Citigroup CA Caterpillar Colgate Clorox Campbell Cisco Citrix Chevron DuPont Dell Disney ebay EsteeLau Ford FedEx Flextronics GE Garmin Goldman Goodyear Halliburton HomeDepot Honda HarleyDav Honeywell HP IBM Infosys Intel Johnson 16. ábra. Szórásnégyzetek ábrázolása 1 50-ig Szórásnégyzetek értékek elott 2008 után JPMorgan Kellog Kraft Kimberly CocaCola Eli Lockheed LSI Lexmark Mariott McDonalds Moodys Metlife McGraw X3M Altria Merck MorganSt Microsoft Motorola Nike Nvidia Oracle O_Reilly Pepsi Pfizer Procter Reynolds RedHat SAP SaraLee Sandisk Sony Staples Symantec AT_T Tiffany Toyota Travelers Texas UPS UnTechn Verizon WesternD WellsFargo Whirlpool WalMart Exxon Xerox Yahoo 17. ábra. Szórásnégyzetek ábrázolása ig

35 4 ALKALMAZÁSOK 34 Most nézzük meg egy konkrét részvényre, hogy a kockázati mértékek hogyan viszonyulnak egymáshoz. Lássuk például a Boeing cég részvényárfolyamát: Szépen egységesen nőtt a nyeresége egészen 2008-ig, ahonnan folyamatosan egyre nagyobb lett a vesztesége, majd 2009-től kezdett újból nőni a bevétele. Boeing data[, 13] Index 18. ábra. Boeing árfolyama ig 8. táblázat. Kockázati mérték neve értéke ig értéke ig Szórásnégyzet 0, ,00058 Átlagos abszolút eltérés 0, , % VaR érték 0, , % VaR érték 0, ,06438 Várható veszteség (ES 1% ) 0, ,10984 Maximális veszteség 0, ,07908 A kapott értékekről azt látjuk, hogy az első időszakban sokkal kisebbek voltak, mint a másodikban. Sőt némelyik közel kétszeresére változott. Egyik sem tudta megbecsülni a közelgő világválságot. Látjuk, hogy az ES és a Maximális veszteség a többi mértékhez képest konzervatívabb.

36 HIVATKOZÁSOK 35 Hivatkozások [1] Csóka Péter: Koherens Kockázatmérés és tőkeallokáció, Közgazdasági Szemle, október ( ) [2] Enrico De Giorgi: A Note on Portfolio Selection under Various Risk Measures, 19th August 2002 [3] Philippe Artzner Freddy Delbaen Jean-Marc Eber David Heath: Coherent Measures of Risk, Mathematical Finance, July 1999 Vol.9, No.3. ( ) [4] Glenn Meyers: Coherent Measures of Risk, 16th March 2000 [5] Carlo Acerbi Dirk Tasche: On the Coherence of Expected Shortfall, April 19, 2002 [6] Bugár Gyöngyi Uzsoki Máté: Befektetések kockázatának mérése, Statisztikai Szemle, szeptember ( ) [7] Varga-Haszonits István: Kockázati Mértékek Instabilitása, ELTE [8] Regős Gábor: A kockázatok mérése és értékelése, Köz-gazdaság, 2014/1 [9] Peter J. Huber: Robust Statistics, [10] Philippe Jorion: Value at Risk, The New Benchmark for Managing Financial Risk 2007 [11] Risk Measures, Risk Aggregation and Capital Allocation, Spring 2010 [12] wikipedia.org/wiki/expected_shortfall

Diverzifikáció Markowitz-modell MAD modell CAPM modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Diverzifikáció Markowitz-modell MAD modell CAPM modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 11. Előadás Portfólió probléma Portfólió probléma Portfólió probléma Adott részvények (kötvények,tevékenységek,

Részletesebben

A pénzügyi kockázat mérése és kezelése

A pénzügyi kockázat mérése és kezelése A pénzügyi kockázat mérése és kezelése Varga-Haszonits István Gazdasági Fizika Téli Iskola, 2009. január 31. Áttekintés 1 Bevezetés 2 A portfólióválasztási probléma 3 Kockázati mértékek 4 A hatékony portfóliók

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

Kockázatos pénzügyi eszközök

Kockázatos pénzügyi eszközök Kockázatos pénzügyi eszközök Tulassay Zsolt zsolt.tulassay@uni-corvinus.hu Tőkepiaci és vállalati pénzügyek 2006. tavasz Budapesti Corvinus Egyetem 2006. március 1. Motiváció Mi a fő különbség (pénzügyi

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, II. félév Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév,

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

A portfólió elmélet általánosításai és következményei

A portfólió elmélet általánosításai és következményei A portfólió elmélet általánosításai és következményei Általánosan: n kockázatos eszköz allokációja HOZAM: KOCKÁZAT: variancia-kovariancia mátrix segítségével! ) ( ) ( ) / ( ) ( 1 1 1 n s s s p t t t s

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

Féléves jelentés GENERALI MUSTANG AMERIKAI RÉSZVÉNY ALAP

Féléves jelentés GENERALI MUSTANG AMERIKAI RÉSZVÉNY ALAP Féléves jelentés 2013. GENERALI MUSTANG AMERIKAI RÉSZVÉNY ALAP 2 Generali Mustang Amerikai Részvény Alap I. Alapadatok Nyilvántartásba vétel (PSZÁF) 2007. július 23. Lajstromszáma 1111-234 Típusa Alapkezelő

Részletesebben

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Kettőnél több csoport vizsgálata Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Gyógytápszerek (kilokalória/adag) Három gyógytápszer A B C 30 5 00 10 05 08 40 45 03 50 35 190 Kérdések: 1. Van-e

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Elemi statisztika fizikusoknak

Elemi statisztika fizikusoknak 1. oldal Elemi statisztika fizikusoknak Pollner Péter Biológiai Fizika Tanszék pollner@elte.hu Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása 2-1 Áttekintés 2-2 Gyakoriság eloszlások 2-3 Az adatok

Részletesebben

Volatilitási tőkepuffer a szolvencia IIes tőkekövetelmények megsértésének kivédésére

Volatilitási tőkepuffer a szolvencia IIes tőkekövetelmények megsértésének kivédésére Volatilitási tőkepuffer a szolvencia IIes tőkekövetelmények megsértésének kivédésére Zubor Zoltán MNB - Biztosításfelügyeleti főosztály MAT Tavaszi Szimpózium 2016. május 7. 1 Háttér Bit. 99. : folyamatos

Részletesebben

Befektetések kockázatának mérése*

Befektetések kockázatának mérése* Befektetések kockázatának mérése* Bugár Gyöngyi PhD, a Pécsi Tudományegyetem egyetemi docense E-mail: bugar@ktk.pte.hu Uzsoki Máté, a Budapesti Műszaki Egyetem hallgatója E-mail: uzsoki.mate@gmail.com

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 6. MGS6 modul Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi

Részletesebben

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel

Részletesebben

Kockázati Mértékek Instabilitása

Kockázati Mértékek Instabilitása Kockázati Mértékek Instabilitása Doktori értekezés Varga-Haszonits István Témavezető: Dr. Kondor Imre DSc, egyetemi tanár ELTE TTK Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék ELTE TTK Fizika Doktori Iskola Iskolavezető:

Részletesebben

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor Kettőnél több csoport vizsgálata Makara B. Gábor Három gyógytápszer elemzéséből az alábbi energia tartalom adatok származtak (kilokalória/adag egységben) Három gyógytápszer elemzésébô A B C 30 5 00 10

Részletesebben

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 47 55 pont jeles 38 46 pont jó 29 37 pont közepes 20 28

Részletesebben

A kockázat fogalma. A kockázat fogalma. Fejezetek a környezeti kockázatok menedzsmentjéből 2 Bezegh András

A kockázat fogalma. A kockázat fogalma. Fejezetek a környezeti kockázatok menedzsmentjéből 2 Bezegh András Fejezetek a környezeti kockázatok menedzsmentjéből 2 Bezegh András A kockázat fogalma A kockázat (def:) annak kifejezése, hogy valami nem kívánt hatással lesz a valaki/k értékeire, célkitűzésekre. A kockázat

Részletesebben

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.

Részletesebben

STATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba

STATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba Egymintás u-próba STATISZTIKA 2. Előadás Középérték-összehasonlító tesztek Tesztelhetjük, hogy a valószínűségi változónk értéke megegyezik-e egy konkrét értékkel. Megválaszthatjuk a konfidencia intervallum

Részletesebben

Féléves jelentés GENERALI MUSTANG AMERIKAI RÉSZVÉNY ALAP

Féléves jelentés GENERALI MUSTANG AMERIKAI RÉSZVÉNY ALAP Féléves jelentés 2014. GENERALI MUSTANG AMERIKAI RÉSZVÉNY ALAP 2 Generali Mustang Amerikai Részvény Alap I. Alapadatok Nyilvántartásba vétel (PSZÁF) 2007. július 23. Lajstromszáma 1111-234 Típusa Alapkezelő

Részletesebben

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai Változékonyság (szóródás) STATISZTIKA I. 5. Előadás Szóródási mutatók A középértékek a sokaság elemeinek értéknagyságbeli különbségeit eltakarhatják. A változékonyság az azonos tulajdonságú, de eltérő

Részletesebben

(tudás és tapasztalat) Kérdőív. Lépést tart Ön azzal, hogy mi történik a gazdaságban (az üzleti életben) és a pénzügyi piacokon?

(tudás és tapasztalat) Kérdőív. Lépést tart Ön azzal, hogy mi történik a gazdaságban (az üzleti életben) és a pénzügyi piacokon? Név: Cím: Ügyfélszám: Megfelelési teszt (tudás és tapasztalat) Kérdőív Lépést tart Ön azzal, hogy mi történik a gazdaságban (az üzleti életben) és a pénzügyi piacokon? 1) Egyáltalán nem érdekel. Ritkán

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium E Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 43 50 pont jeles 35 42 pont jó 27 34 pont közepes 19 26

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 013/14. tavaszi félév 1. Folytonos eloszlások Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény Egy valószínűségi változó, illetve egy eloszlás eloszlásfüggvényének egy

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 47 55 pont jeles 38 46 pont jó 29 37 pont közepes 20 28

Részletesebben

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 14 A Black-choles-Merton modell Copyright John C. Hull 01 1 Részvényárak viselkedése (feltevés!) Részvényár: μ: elvárt hozam : volatilitás Egy rövid Δt idő alatt a hozam normális eloszlású véletlen változó:

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Társaságok pénzügyei kollokvium

Társaságok pénzügyei kollokvium udapesti Gazdasági Főiskola Pénzügyi és Számviteli Főiskolai Kar udapesti Intézet Továbbképzési Osztály Társaságok pénzügyei kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 55 60 pont

Részletesebben

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011.

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011. BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011. 1 Mérési hibák súlya és szerepe a mérési eredményben A mérési hibák csoportosítása A hiba rendűsége Mérési bizonytalanság Standard és kiterjesztett

Részletesebben

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba 11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez

Részletesebben

(Independence, dependence, random variables)

(Independence, dependence, random variables) Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

A leíró statisztikák

A leíró statisztikák A leíró statisztikák A leíró statisztikák fogalma, haszna Gyakori igény az, hogy egy adathalmazt elemei egyenkénti felsorolása helyett néhány jellemző tulajdonságának megadásával jellemezzünk. Ezeket az

Részletesebben

A vállalati pénzügyi döntések fajtái

A vállalati pénzügyi döntések fajtái A vállalati pénzügyi döntések fajtái Hosszú távú finanszírozási döntések Befektetett eszközök Forgóeszközök Törzsrészvények Elsőbbségi részvények Hosszú lejáratú kötelezettségek Rövid lejáratú kötelezettségek

Részletesebben

Statisztikai módszerek 7. gyakorlat

Statisztikai módszerek 7. gyakorlat Statisztikai módszerek 7. gyakorlat A tanult nem paraméteres próbák: PRÓBA NEVE Illeszkedés-vizsgálat Χ 2 próbával Homogenitás-vizsgálat Χ 2 próbával Normalitás-vizsgálataΧ 2 próbával MIRE SZOLGÁL? A val.-i

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek

Részletesebben

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak Vállalkozási VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Tantárgyfelelős: Prof. Dr. Illés B. Csaba Előadó: Dr. Gyenge Balázs Az ökonómiai döntés fogalma Vállalat Környezet Döntések sorozata Jövő jövőre vonatkozik törekszik

Részletesebben

Loss Distribution Approach

Loss Distribution Approach Modeling operational risk using the Loss Distribution Approach Tartalom»Szabályozói környezet»modellezési struktúra»eseményszám eloszlás»káreloszlás»aggregált veszteségek»további problémák 2 Szabályozói

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok

Hipotézis vizsgálatok Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével

Részletesebben

A befektetési eszközalap portfolió teljesítményét bemutató grafikonok

A befektetési eszközalap portfolió teljesítményét bemutató grafikonok PÉNZPIACI befektetési eszközalap portfólió Benchmark: RMAX Típus: Rövid lejáratú állampapír Árfolyam 1,638 HUF/egység Valuta HUF Portfolió nagysága 8 180 498 608 HUF Kockázati besorolás: alacsony A bemutatott

Részletesebben

Az eszközalap tervezett befektetési korlátai: Eszközcsoport Minimális arány Maximális arány Megcélzott arány. Mögöttes befektetési alap 90% 100% 100%

Az eszközalap tervezett befektetési korlátai: Eszközcsoport Minimális arány Maximális arány Megcélzott arány. Mögöttes befektetési alap 90% 100% 100% AEGON TEMPÓ ALLEGRO 10 Az eszközalap kizárólag az Aegon Magyarország Befektetési Alapkezelő Zrt. által kezelt, forintban denominált Aegon Tempó Allegro 10 Alapokba Aegon Tempó Allegro 10 Alapok Alapja

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Döntéselmélet KOCKÁZAT ÉS BIZONYTALANSÁG

Döntéselmélet KOCKÁZAT ÉS BIZONYTALANSÁG Döntéselmélet KOCKÁZAT ÉS BIZONYTALANSÁG Bizonytalanság A bizonytalanság egy olyan állapot, amely a döntéshozó és annak környezete között alakul ki és nem szüntethető meg, csupán csökkenthető különböző

Részletesebben

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t

Részletesebben

Basel II, avagy a tőkekövetelmények és azok számítása a pénz- és tőkepiaci szervezeteknél - számítás gyakorlati

Basel II, avagy a tőkekövetelmények és azok számítása a pénz- és tőkepiaci szervezeteknél - számítás gyakorlati Basel II, avagy a tőkekövetelmények és azok számítása a pénz- és tőkepiaci szervezeteknél - számítás gyakorlati példákon Dr. Pálosi-Németh Balázs, Tamás Sándor Budapest, 18 November 2010 A Bank tőkemegfelelésének

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Normál eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Normál eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Normál eloszlás A normál eloszlás Folytonos változók esetén az eloszlás meghatározása nehezebb, mint diszkrét változók esetén. A változó értékei nem sorolhatóak

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 9. Együttes eloszlás, kovarianca, nevezetes eloszlások Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, definíciók Együttes eloszlás Függetlenség

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

Hírlevél ERGO Befektetési egységekhez kötött életbiztosítás eszközalapjainak teljesítményéről

Hírlevél ERGO Befektetési egységekhez kötött életbiztosítás eszközalapjainak teljesítményéről Hírlevél ERGO Befektetési egységekhez kötött életbiztosítás eszközalapjainak teljesítményéről 2016.07.29 Smart Child Befektetési egységekhez kötött életbiztosítás Smart Senior Befektetési egységekhez kötött

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

DE! Hol van az optimális tőkeszerkezet???

DE! Hol van az optimális tőkeszerkezet??? DE! Hol van az optimális tőkeszerkezet??? Adósság és/vagy saját tőke A tulajdonosi érték maximalizálása miatt elemezni kell: 1. A pénzügyi tőkeáttétel hatását a részvények hozamára és kockázatára; 2. A

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 11. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Összefüggés vizsgálatok A társadalmi gazdasági élet jelenségei kölcsönhatásban állnak, összefüggnek egymással. Statisztika alapvető feladata: - tényszerűségek

Részletesebben

A befektetési eszközalap portfolió teljesítményét bemutató grafikonok

A befektetési eszközalap portfolió teljesítményét bemutató grafikonok PÉNZPIACI befektetési eszközalap portfólió Benchmark: RMAX Típus: Rövid lejáratú állampapír Árfolyam 1,657HUF/egység Valuta HUF Portfolió nagysága 7 625 768 268 HUF Kockázati besorolás: alacsony A bemutatott

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdálkodási és Menedzsment Intézet Vállalkozási finanszírozás kollokvium G Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 43 50 pont jeles 35 42 pont jó 27 34 pont közepes

Részletesebben

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA)

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Változatos Véletlen Árazási Problémák. Bihary Zsolt AtomCsill 2014

Változatos Véletlen Árazási Problémák. Bihary Zsolt AtomCsill 2014 Változatos Véletlen Árazási Problémák Bihary Zsolt AtomCsill 2014 Fizikus a befektetési bankban Remek társaság Releváns matematikai műveltség Számítástechnikai affinitás Intuitív gondolkodás Modellezési

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Függvények növekedési korlátainak jellemzése

Függvények növekedési korlátainak jellemzése 17 Függvények növekedési korlátainak jellemzése A jellemzés jól bevált eszközei az Ω, O, Θ, o és ω jelölések. Mivel az igények általában nemnegatívak, ezért az alábbi meghatározásokban mindenütt feltesszük,

Részletesebben

Vizsgáljuk elôször, hogy egy embernek mekkora esélye van, hogy a saját

Vizsgáljuk elôször, hogy egy embernek mekkora esélye van, hogy a saját 376 Statisztika, valószínûség-számítás 1500. Az elsô kérdésre egyszerû válaszolni, elég egy ellenpélda, és biztosan nem lehet akkor így kiszámolni. Pl. legyen a három szám a 3; 5;. A két kisebb szám átlaga

Részletesebben

Játékelmélet és pénzügyek

Játékelmélet és pénzügyek Játékelmélet és pénzügyek Czigány Gábor 2013. május 30. Eötvös Lóránd Tudományegyetem - Budapesti Corvinus Egyetem Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Témavezet : Dr. Csóka Péter Tartalomjegyzék

Részletesebben

Társaságok pénzügyei kollokvium

Társaságok pénzügyei kollokvium udapesti Gazdasági Főiskola Pénzügyi és Számviteli Főiskolai Kar udapesti Intézet Továbbképzési Osztály Társaságok pénzügyei kollokvium F Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 55 60 pont

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége

Részletesebben

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris

Részletesebben

Tőkeköltség (Cost of Capital)

Tőkeköltség (Cost of Capital) Vállalati pénzügyek 1 9. előadás A tőkeköltség szerepe Tőkeköltség (Cost of Capital) Tőkeköltség 1 2 A tőkeköltség értelmezése TŐKEKÖLTSÉG A finanszírozási források ára (költsége), A befektetők által elvárt

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

MELLÉKLETEK. a következőhöz: A BIZOTTSÁG (EU).../... FELHATALMAZÁSON ALAPULÓ RENDELETE

MELLÉKLETEK. a következőhöz: A BIZOTTSÁG (EU).../... FELHATALMAZÁSON ALAPULÓ RENDELETE EURÓPAI BIZOTTSÁG Brüsszel, 2016.10.4. C(2016) 6329 final ANNEXES 1 to 4 MELLÉKLETEK a következőhöz: A BIZOTTSÁG (EU).../... FELHATALMAZÁSON ALAPULÓ RENDELETE a tőzsdén kívüli származtatott ügyletekről,

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

ALLIANZ BÓNUSZ ÉLETPROGRAM NYUGDÍJBIZTOSÍTÁSI ZÁRADÉKKAL

ALLIANZ BÓNUSZ ÉLETPROGRAM NYUGDÍJBIZTOSÍTÁSI ZÁRADÉKKAL ÉLET- ÉS SZEMÉLYBIZTOSÍTÁS ALLIANZ.HU ALLIANZ BÓNUSZ ÉLETPROGRAM NYUGDÍJBIZTOSÍTÁSI ZÁRADÉKKAL Az eszközalapokra vonatkozó konkrét információk 1/37 PÉNZPIACI FORINT (PPA) ESZKÖZALAPRA VONATKOZÓ KONKRÉT

Részletesebben

Beruházási és finanszírozási döntések

Beruházási és finanszírozási döntések Beruházási és finanszírozási döntések Dr. Farkas Szilveszter PhD, egyetemi docens BGF, PSZK, Pénzügy Intézeti Tanszék farkas.szilveszter@pszfb.bgf.hu, http://dr.farkasszilveszter.hu Tematika és tananyag

Részletesebben