Mozgásleírás különböző vonatkoztatási rendszerekből. Mozgásleírás egymáshoz képest mozgó inerciarendszerekből

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mozgásleírás különböző vonatkoztatási rendszerekből. Mozgásleírás egymáshoz képest mozgó inerciarendszerekből"

Átírás

1 TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 1 Mozgásleíás különböző ontkozttási endszeekből Egy test mozgásánk leíás áltlábn úgy töténik, hogy nnk mindenkoi helyzetét egy többé-keésbé önkényesen álsztott testhez, egy ún ontkozttási endszehez iszonyít djuk meg A helyzet meghtáozásához áltlábn ontkozttási endsze egy pontjához ögzített koodinátendszet eszünk fel, és test mozgását jellemző okt ebben koodinátendszeben djuk meg önnyen beláthtó, hogy h ugynzt testet két különböző, egymáshoz képest mozgó ontkozttási endszeből figyeljük meg, kko mozgását jellemző ok egy észét (pl helyzetekto, sebesség, lendület, enegi) eltéőnek tláljuk Felmeül kédés, hogy z ok közötti összefüggéseket megdó fiziki töények is különbözőek-e különböző ontkozttási endszeekben Leegyszeűsíte: kédés z, hogy hsználhtj-e obogó onton utzó megfigyelő ugynzokt fiziki töényeket, melyeket Földhöz képest nyugó lbotóiumbn éényesnek tlált A kédés izsgáltát édemes két észe bontni: előszö z egyszeűbb esetet nézzük meg, miko egymáshoz képest (állndó sebességgel) mozgó ineciendszeekkel fogllkozunk, mjd ezután téünk át egymáshoz képest gyosuló endszeek tágylásá Mozgásleíás egymáshoz képest mozgó ineciendszeekből Vizsgáljunk két olyn endszet, melyek egymáshoz képest állndó sebességgel mozognk, és mindkettőben éényes "tehetetlenség töénye" (Newton I xiómáj), gyis két ineciendszeől n szó Póbáljuk meg leíni ugynnnk tömegpontnk mozgását két endszeből néze, és keessük meg leíások közötti összefüggéseket Számos tpsztlt sugllj zt, hogy különböző ineciendszeekből néze mechniki jelenségek ugynúgy zjlnk le, és különböző endszeekben mechnik töényei zonos mtemtiki lkbn éényesek (temészetesen csk kko, h dott endszeben lklmz töényeket bennük szeeplő összes fiziki mennyiség helyébe ugynbbn endszeben mét okt helyettesítünk be) Ez tpsztltok lpján elfogdott lptétel klsszikus mechnik eltiitási ele A eltiitás elének fontos köetkezménye, hogy z ineciendszeek mechniki folymtok leíás szempontjából egyenétékűek, gyis mechniki kíséletek segítségéel nem lehet köztük különbséget tenni, így lmiféle "bszolút", kitüntetett ineciendszet sem lehet tlálni H egy test mozgását két egymáshoz képest mozgó és ineciendszeből izsgáljuk, kko test mozgását jellemző ok áltlábn eltéő étékeket kpunk, de két endszeben mét ok között összefüggések állnk fenn Ezek z összefüggések endszeek egymáshoz iszonyított mozgás áltl meghtáozott koodinát-tnszfomációk segítségéel kphtók meg, és ismeetükben egy fiziki töényt áttnszfomálhtunk egyik endszeből másikb z lábbi módon A endszeben felít fiziki töényben szeeplő fiziki mennyiségeket tnszfomációs összefüggések segítségéel kifejezzük endsze megfelelő mennyiségeiel, és így megkpjuk kédéses fiziki mennyiségek közötti összefüggést ( fiziki töényt) endszeben H ez z összefüggés mtemtiki lkját tekinte zonos endszeben felít összefüggéssel, kko zt mondhtjuk, hogy tnszfomáció összhngbn n eltiitás eléel H eltiitás elét, mint tpsztlti tényt elfogdjuk, kko csk ele összhngbn álló tnszfomációt hsználhtunk Elileg elképzelhető, hogy olyn fizikilg indokolhtó tnszfomációt fogdunk el, mely nincs összhngbn eltiitás eléel ( töények

2 TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) lkj tnszfomációnál megáltozik), ekko zonbn nem tthtjuk fenn eltiitás elét Nézzük meg most, hogy klsszikus mechnikábn hsznált ún Glilei 1 -féle tnszfomáció összhngbn n-e mechnikábn elfogdott eltiitási elel A Glilei-tnszfomáció és eltiitás ele klsszikus mechnikábn A Glilei-tnszfomáció összefüggései hétköznpi szemléleten lpulnk, és z lábbi egyszeű meggondolásokkl kphtók Az áb P pontjábn léő tömegpont mindenkoi helyzetét z koodinátendszeből mindenkoi (t) -, P (t) endszeből pedig mindenkoi (t) helyektol dhtjuk meg (t z idő) H két endsze eltí y x helyzetét megdó ekto (t), kko két endszeben éényes helyektook kpcsolt (t) ( t ) ( t ) ( t) (t) z H endsze hoz képest állndó w sebességgel y mozog (ineciendszeekől n szó), kko ( t ) wt 0, x hol 0 két endsze oigójánk eltí helyzetét megdó ekto t0 időpillntbn Ezzel fenti kifejezés így lkul ( t ) ( t ) wt 0, mi koodinátákkl kifejeze x x wxt x0 y y wyt y0 z z wzt z0 t t Ez klsszikus mechnik Glilei-féle tnszfomációj A fenti gondoltmenet fontos mozznt, hogy z időt nem tnszfomáltuk, zz temészetesnek ettük, hogy két endszeben z idő zonos: tt A sebességek közötti összefüggés helyektook kpcsoltát megdó egyenlet idő szeinti diffeenciálásál kphtó ( t ) ( t) w, hol izsgált tömegpont endszebeli sebessége, nnk endszebeli sebessége omponensekkel kifejeze: x x wx y y wy z z wz Vgyis hétköznpi tpsztlttl egyezésben zt kpjuk, hogy ugynzon test sebességét egymáshoz képest mozgó megfigyelők különbözőnek tlálják A gyosulások összefüggését sebessége ontkozó egyenlet idő szeinti diffeenciálásál kpjuk: ( t ) ( t) 1 Glileo GALILEI ( ) olsz fizikus, mtemtikus, csillgász

3 TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 3 A különböző ineciendszeekből mét gyosulások tehát zonosnk dódnk Ez zt jelenti, hogy egy ineciendszehez képest egyenletesen mozgó endsze szintén ineciendsze Ezek után nézzük meg, hogy Glilei-tnszfomáció összhngbn n-e eltiitás eléel mechniki töények esetében Előszö izsgáljuk meg tömegpont ontkozó közismet Newton-féle mozgástöényt A endszeben éényes F m töényben szeeplő mennyiségeket tnszfomáljuk át endszebe A klsszikus fizikábn feltételezett eőtöények esetén egy tömegpont htó eő csk nnk többi testhez iszonyított helyzetétől, zokhoz iszonyított eltí sebességétől és z időtől függhet Miel ezek mennyiségek fenti tnszfomáció szeint két endszeben zonosnk dódnk, így z eők is zonosk mdnk z egyik endszeből másikb ló átmenetnél: F F Másészt láttuk, hogy H iszont testek közötti kölcsönhtások és gyosulás két endszeben zonos, kko z F és közötti ányosság is éényben md, és tömeg is zonos Ez zt jelenti, hogy mozgástöénynek endszebe áttnszfomált lkj F m, mi zonos -beli lkkl (ádásul itt mguk mennyiségek is zonosk mdnk) Minthogy mechnik töényei lényegében kölcsönhtás töényéből és dinmik lpegyenletéből számztthtók, áltlánosn is kijelenthető, hogy Glilei-tnszfomáció mechnik töényeit áltoztlnul hgyj egyik ineciendszeből másikb töténő tnszfomáció soán Másként foglmz ez zt jelenti, hogy Glilei-tnszfomáció klsszikus mechnikábn összhngbn n eltiitás eléel Nem bizonyításként, csupán szemléltető példként nézzük meg, hogyn teljesül ez z állítás mechnik egy másik lpető töénye z lendület-megmdási töény esetén Vizsgáljunk két tömegpontot, melyek mozgásuk soán kölcsönhtásb lépnek, pl ütköznek egymássl A testek tömege m és M, ütközés előtti sebességeik egy endszeben és V, ütközés utáni sebességeik ugynitt u és U A hoz képest w sebességgel mozgó endszeben jelöljük ugynezeket sebességeket, V, u, U - el Tegyük fel, hogy lendület-megmdás tétele lklmzhtó folymt és íjuk fel zt endszeben: m MV mu MU Tnszfomáljuk át sebességeket Glilei-tnszfomáció segítségéel endszebe és íjuk be ebbe z egyenletbe Ekko z lábbi összefüggése jutunk m( w) M( V w) m( u w) M( U w), miből endezés után kpjuk m MV mu MU A tnszfomáció után tehát lendület-megmdás tételét endszeben lóbn ugynolyn lkbn kptuk meg, mint endszeben Hsonló módon lehetne demonstálni Glilei-tnszfomációnk eltiitás eléel ló összhngját más mechniki töények esetén is

4 TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 4 A Glilei tnszfomáció és eltiitás ele z elektomágnességtnbn, speciális eltiitáselmélet lpgondolt Az elektomágnességtn lpegyenletei, Mxwell 1 -egyenletek, fizikánk ugynolyn lpető töényei, mint Newton-töények E töények kidolgozás idején fiziki jelenségeket mechniki szemlélet lpján póbálták ételmezni, ezét semmi kétely nem meült fel bbn ontkozásbn, hogy mennyiségeket és töényeket fizikánk ezen teületén is Glilei-tnszfomáció segítségéel kell egyik endszeből másikb tnszfomálni Úgy gondolták, hogy létezik egy sjátos közeg, z ún éte, mely mindent kitölt, és z elektomágneses jelenségek ennek közegnek mechniki jellegű állpotáltozásil függnek össze Temészetesnek tűnt, hogy Mxwell-egyenletek z étehez ögzített koodinátendszeben éényesek, és hogy fény, mint elektomágneses hullám nem más, mint egy ebben közegben keltett z totejedése, mi teljesen nlóg mechniki hullámokkl Ennek megfelelően fény tejedési sebességét is z étehez iszonyított sebességnek tekintették A mechniki hullám-nlógi lpján z is temészetesnek látszott, hogy z étehez képest w sebességgel mozgó endszeben fény tejedési sebességét megfigyelő Glilei-tnszfomációnk megfelelő c c w étékűnek tlálj (c fény tejedési sebessége z étehez iszonyít) Ebből iszont z köetkezik, hogy z étehez képest mozgó endszeben fény tejedési sebessége függ fény hldási iányától A legngyobb sebességet kko méhetjük, h fény hldási iány ellentétes w sebesség iányál (ekko sebesség ngyság ccw), legkisebb éték iszont kko dódik, h fénytejedés iány megegyezik w sebességekto iányál (ekko sebesség ngyság c"c-w) H w iányát fénysebesség-méésekkel kíséletileg megkeessük, kko elileg meghtáozhtjuk ontkozttási endszeünknek z étehez iszonyított sebességét is (áb) A fenti gondoltmenet lpján múlt százd égén Michelson és Moley 3 égzett el egy kíséletsooztot bból célból, hogy meghtáozzák Földnek z étehez iszonyított sebességét ( w sebességgel mozgó endsze ekko mg Föld) A kísélet kiitelezése (minek észleteiel itt nem fogllkozunk) pktikus okokból más olt, mint fenti gondoltkíséleté, de elét tekinte két eljáás zonos A kísélet égeedménye úgy fogllhtó össze, hogy különböző iánybn hldó fénysugknál fénytejedési sebességek között nem sikeült különbséget kimuttni (így temészetesen w sebesség meghtáozás sem sikeült) Ezt z eedményt még lehetett oln úgy ételmezni, hogy kísélet idején Föld z étehez képest éppen 1 Jmes Clek MAXWELL ( ) skót fizikus és mtemtikus Albet Abhm MICHELSON ( ) Nobel-díjs (1907) német számzású meiki fizikus 3 Edwd Willims MORLEY ( ) meiki kémikus, fizikus

5 TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 5 nyuglombn olt, de kíséletet z é különböző időpontjibn (zz Föld különböző hldási iányi esetén) megismétele ugynezt z eedményt kpták Ez z eedmény zt klsszikus fizik lpján elképzelhetetlen köetkeztetést sugllt, hogy fény bámely ineciendszeben minden iánybn ugynolyn c sebességgel tejed H ez így n, kko iszont fény tejedésée nem lklmzhtó Glilei-tnszfomáció, mi komoly poblémákt sejtet z elektomágnességtn töényeit illetően A fény ugynis elektomágneses hullám, melynek tejedését Mxwell-egyenletek íják le H tejedésée nem lklmzhtó Glileitnszfomáció, kko áhtó, hogy ez tnszfomáció z elektomágnességtn töényeit sem iszi át áltoztln lkbn egyik ineciendszeből másikb A helyzet lóbn ez, gyis z elektomágnességtnbn Glilei-tnszfomáció nincs összhngbn eltiitás eléel A Loentz 1 -tnszfomáció A Mxwell-egyenletek mtemtiki elemzéséel temészetesen megtlálhtó z tnszfomáció, mely áltoztln lkbn iszi át zokt egyik endszeből másikb c c tény figyelembeételéel Ezt tnszfomációt Loentz tlált meg, és m Loentz-tnszfomáció néen ismejük A Loentz áltl megtlált tnszfomációs képleteket itt z egyszeűség kedéét két koodinátendsze speciális álsztás esetén djuk meg (áb) A speciális y w t y álsztás zt jelenti, hogy két endsze x y P y tengelye közös, és endsze hoz P képest w sebességgel mozog z x tengely P x x P x P x mentén nnk pozití iányábn, toábbá w z időt mindkét endszeben ttól z P z x P x P P pillnttól méik, miko két oigó (O és z z O) zonos helyen olt (ekko tt0) Előszö emlékeztetőül íjuk fel ee z esete Glilei-tnszfomációt: x x w t y y z z t t Az elektomágnességtn egyenleteit áltoztlnul hgyó mtemtiki úton megtlált Loentz-tnszfomáció képletei ezzel szemben w t x x wt x y y z z t c w w 1 1 c c A eltiitás elének teljesítése tehát megköeteli, hogy z időt is tnszfomáljuk, másészt tékoodináták közötti összefüggés Glilei-tnszfomáció megfelelő összefüggésétől egy w eltí sebességtől függő 1 κ w 1 c fktobn különbözik önnyen beláthtó (pl lendület-megmdási töénye ló lklmzás kpcsán), hogy Loentz-tnszfomáció mechnik töényeit nem iszi át áltoztlnul 1 Hendik Antoon LORENTZ ( ) Nobel-díjs (190) hollnd elméleti fizikus

6 TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 6 egyik ineciendszeből másikb: gyis ez tnszfomáció mechnikábn nincs összhngbn eltiitás eléel Az előzőekben ázolt helyzetet z lábbi táblázttl szemléltethetjük, hol fizik két ngy teületén két tnszfomációnk eltiitás eléhez ló iszonyát tüntettük fel ( "" jel zt jelenti, hogy tnszfomáció lklmzás soán eltiitás ele teljesül-, "-" jel pedig zt, hogy nem teljesül) GALILEItnszfomáció LORENTZtnszfomáció MECHANIA - ELETROMÁGNESSÉGTAN - Ezek után elileg z lábbi lehetőségek között álszthtunk: ) Beletöődünk bb, hogy különböző jellegű fiziki folymtokbn (mechniki, elektomágneses) ugynzok fiziki mennyiségek különbözőképpen tnszfomálódnk két endsze között, mi lényegében zt jelenti, hogy áltlános fomájábn feldjuk eltiitás elét b) Fennttjuk eltiitás elét, és elfogdjuk józn észnek" megfelelő Glileitnszfomációt, de ekko hibásnk kell minősítenünk Mxwell-egyenleteket Az elektomágnességtn töényeit tehát úgy kell átlkítnunk, hogy zokt Glileitnszfomáció áltoztlnul hgyj c) Fennttjuk eltiitás elét, és elfogdjuk Loentz-tnszfomációt, de ekko mechnik töényeit kell eletnünk, és úgy átlkítnunk, hogy Loentztnszfomáció áltoztlnul hgyj zokt Miután nincs olyn tpsztlt, mely utln, hogy eltiitás ele ne lenne éényes, z ) lehetőséget elethetjük A b) lehetőséget zét nem álszthtjuk, met ismeünk olyn jelenséget (fény tejedése), melye Glilei-tnszfomáció nem éényes Így md c) lehetőség A százd első éeiben ehhez köetkeztetéshez többen is eljutottk (Loentz, Poincé 1, Einstein ), de Einstein olt z ki áltlános fiziki elmélet fomájáb öntötte c) pontbn megfoglmzott köetelményeket Ő ette észe, hogy tpsztlti tényekkel egyező elmélet két lpető fiziki elből leezethető: A fiziki folymtokt leíó töények minden ineciendszeben zonos mtemtiki lkbn éényesek Más szól, minden fiziki folymt éényes eltiitás ele A ákuumbn tejedő fény sebessége minden ineciendszeben zonos, uniezális fiziki állndó Ebből két lpelből leezethető Loentz-tnszfomáció, és segítségükkel elégezhető mechnik töényeinek szükséges átlkítás Az így létejött, fenti két elel összhngbn álló fiziki elmélet speciális eltiitáselmélet Neében "speciális" jelző utl, hogy csk speciálisn álsztott koodinátendszeekben, neezetesen ineciendszeekben éényes A Loentz-tnszfomáció fontos tuljdonság, hogy fénysebességhez képest kis w eltí sebességeknél Glilei-tnszfomációb megy át, gyis nem túl ngy sebességeknél toább is éényesek klsszikus mechnik töényei 1 Jules Heni POINCARÉ ( ) fnci mtemtikus, elméleti fizikus Albet EINSTEIN ( ) Nobel-díjs (191) német számzású, 1933-bn Ameikáb emigált fizikus

7 TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 7 A fenti két lpel elfogdás egyben zt is jelenti, hogy z "étet" nem tekinthetjük fényhodozó közegnek, hiszen fénysebesség mozgásállpottól független, és nem tekinthetjük lmiféle kitüntetett ontkozttási endszenek sem, miel eltiitás ele éényes Ezzel iszont eleszítette ételmét z éte létének feltételezése is Mozgásleíás egymáshoz képest gyosuló endszeekből, tehetetlenségi eők Egymáshoz képest nem túl ngy sebességgel mozgó ineciendszeekben Newton töények áltoztln lkbn hsználhtók Mi helyzet egy ineciendszehez képest gyosuló endszeben? Tnszfomációs összefüggések egymáshoz képest gyosuló, tnszlációs mozgást égző endszeekben A legegyszeűbb eset z állndó gyosulású tnszlációs (hldó) mozgás Vegyük fel ineciendszeben (pl teem) koodináttengelyeket úgy, hogy hozzá képest tnszlációs mozgást égző endsze (pl egy kocsi) endsze x-tengelye mentén mozogjon, F0 x - 0 endszebeli x-tengely pedig essen z x-tengelye (áb) A endsze közös x,x-tengely mentén 0 0 állndó gyosulássl mozog -hoz képest Az áltlános Glilei-tnszfomáció szeint (most w x, x eltí sebesség nem állndó!): x( t ) x ( t ) x ( t ) x( t ) w( t ) x ( t ) O O x( t ) 0 x ( t ) Eszeint egy tömegpont gyosulás endszeben x x 0, gyis nem ineciendsze, hiszen -bn nem gyosuló tömegpont ( x 0 ) -ben gyosul ( x 0 0 ) A fenti egyenletből m-mel ló szozássl kpjuk, hogy mx mx m0 Fx m0, hol F x mx endszeben tömegpont htó eő Látszik, hogy -ben Newton II töénye nem éényes ( Fx 0 esetén x 0 0 ) Hsználhtóá álik töény, h feltételezzük, hogy -ben tömegpont Fx Fx m 0 eő ht, gyis -bn működő eőt ki kell egészíteni egy F tx m 0 ún tehetetlenségi eőel Ezzel z F x mx egyenletet kpjuk, miből z F x 0 esetben tényleges x 0 gyosulást kpjuk H koodinátendszeek nem tágylt speciális eltí mozgást égzik, kko fenti gondoltmenet mindegyik koodinátá lklmzhtó, és 0 eltí gyosulás és F eő esetén, kpott eedmények ektoi fomábn éényesek:

8 TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 8 0 F F m Ft m0 Tehetetlenségi eők fogó endszeben Egy ineciendszehez képest egyenletesen fogó endszeben szintén be kell ezetnünk tehetetlenségi eőket, hiszen z ineciendszeben nyugó tömegpont fogó endszeből néze köpályán mozog, tehát kko is gyosul, h nem ht á eő Ezt tehetetlenségi eőt legegyszeűbben úgy kphtjuk meg, h egy olyn tömegpontot izsgálunk, u mely fogó testhez ögzített koodinátendszeben N F t nyugszik (áb) Ennek tömegpontnk z cp m ineciendszeből néze cp m un gyosulás n, tehát F mcp m un eő ht á Miel fogó endszeben nyugszik, itt egy ezzel ellentétes, ugynilyen ngyságú Ft mcp m un tehetetlenségi eőt kell feltételeznünk A kíséletek zt muttják, hogy fogó endszeekben ilyen tehetetlenségi eő lóbn fellép, és centifugális eőnek neezik 0 ÍSÉRLETE: Rugó függesztett, ízszintes síkbn köbefogtott golyó tengelyt jól méhető eőel húzz (ugós eőméő) Ruglms lemezekből készített gömb lkú test fogtásko tengelye meőlegesen kidomboodik ( tengely mentén összelpul), ún geoid lkot esz fel (ilyen fogó Föld lkj is) Vízszintes úd mozgthtón felszeelt, cénál összekötött golyókt úd meőleges tengely köül szögsebességgel megfogt, golyók kko mdnk egyensúlybn, h tengelytől mét táolságik ( 1, ) és tömegeik (m 1, m ) között fennáll z m 11 m összefüggés Vízszintes tengely köül megfogtott keékpálánc mee keékként guul, gy megfogtott kö lkú ppílp olyn mee lesz, hogy ágni lehet ele A tpsztlt szeint fogó endszeben nem csk centifugális eő lép fel ÍSÉRLETE: Függőleges tengely köül fogthtó, ízszintes komozott lp tengelytől néhány centimétee egy golyót ögzítünk, mit egy szekezettel fogás közben szbddá teszünk A golyó lpon nem sugáiánybn kifelé mozog, hnem z áb szeinti göbe mentén, mit koométegbe be is jzol Itt oldliányú eőnek is fel kell lépni A fogó Földhöz ögzített hosszú ing lengési síkj lssn elfodul, mi ugynennek htásnk tuljdoníthtó

9 TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 9 Tnszfomációs összefüggések egymáshoz képest fogó endszeekben A fogó endszeben fellépő tehetetlenségi eők meghtáozásához meg kell keesni megfelelő tnszfomációs képleteket Ehhez előzetesen néhány új foglmt kell beezetnünk A szögelfodulás- és szögsebesség-ekto Előszö kömozgást égző tömegpont mozgásánk jellemzésée beezetjük pont helyektoánk egy elemi idő ltt beköetkező elfodulását jellemző elemi szögelfodulás-ektot (z ábán d φ ), melynek ngyság d ϕ szögelfodulássl d egyenlő gyis d ϕ dϕ A d φ ekto iányát úgy definiáljuk, hogy z meőleges köpály síkjá (tehát d φ és (tδt) d dφ d ), és z ábán láthtó iányb mutt (t) ( jobbkéz-szbály ) dϕ A fenti definíció lpján láthtó, hogy d dφ, hiszen d páhuzmos d φ ektol, ngyság pedig éppen d dϕ A tömegpont pály menti sebességét z elmozdulásnk z időttmml ló osztásál kpjuk: d dφ A koábbn skláként beezetett szögsebességet áltlánosít, definiáljuk szögsebesség-ektot z dφ dϕ összefüggéssel Az így kpott szögsebesség-ekto páhuzmos szögelfodulás-ektol, tehát szintén meőleges köpály síkjá, iány z ábán láthtó A szögsebesség-ekto segítségéel tömegpont pály menti sebességét összefüggés dj meg Ez ekto lóbn köpály éintőjének iányáb mutt, ngyság pedig lóbn kömozgásnál koábbn kpott étékkel egyenlő Hsonló meggondolássl kpjuk, hogy centipetális gyosulás N ( ) Ez ekto lóbn kö középpontj felé mutt, és ngyság is zonos kömozgásnál centipetális gyosulás kpott étékkel N Vekto megáltozás ineciendszeből és fogó endszeből néze Ahhoz, hogy tnszfomációs összefüggéseket megkpjuk, meg kell tlálnunk z áltlános összefüggést egy ektonk egy ineciendszeből és egy hozzá képest fogó endszeből észlelt megáltozás között

10 TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 10 A észletes számolás eedménye z, hogy egy b ektonk endszeben észlelt megáltozás és z szögsebességgel fogó endszeben tpsztlt megáltozás között db db b összefüggés áll fenn Vgyis tetszőleges b ekto áltozási sebessége endszeből néze úgy kphtó meg, hogy endszeből mét áltozási sebességéhez hozzádjuk fogásból számzó áltozási sebességet, mit z b ekto d meg ***************** **************** **************** A fenti összefüggés leezetése áltlános esetben kissé hosszdlms, ezét itt egy egyszeűsített esetet muttunk be, miko izsgált b ekto 1 kezdőpontj endsze O oigójábn n (áb) A számítást ennek b ektonk egy öid Δt idő ltt beköetkező b ( t ) b( t Δt ) megáltozásá égezzük el A áltozás soán ekto égpontj helyzetbe keül, tehát ekto tébeli helyzete és hossz is módosulht, de egyszeűsítő felteésünk mitt ekto 1 égpontj helyben md A Δt idő ltt endsze Δϕ szöggel elfodul, mit Δϕ szögelfodulás-ektol dhtunk meg Δb A endszebeli megfigyelő szeint b ekto * Δϕ égpontjánk elmozdulását mi esetünkben Δϕ Δb Δb ot ekto megáltozásál egyenlő z ábán bejzolt Δ b ekto dj meg b(tδt) A fogó endszebeli megfigyelő b(t) szempontjából pont, melyhez b ekto megáltozását iszonyítni tudj, fogás O 1 köetkeztében * helye keült (ez pont endszehez n ögzíte) Emitt fogó endszebeli megfigyelő b ekto égpontjink elmozdulását Δ b ektol dj meg A endsze pontjánk endsze fogás mitt beköetkező * elmozdulását z ábán Δ bot ekto muttj Az áb lpján b ekto égpontjánk elmozdulás gyis esetünkben b ekto megáltozás endszeből néze kifejezhető ekto endszebeli megáltozásál és egy endsze fogásából számzó jáulékkl: Δ b Δb Δb ot Most má csk fogásból dódó ektot kell kifejezni fogást jellemző szögsebességgel H Δt időttm kicsi, kko ennek ektonk ngyságá z áb lpján felíhtjuk, hogy Δb ot Δϕ A Δt időttmot egye öidíte, és diffeenciálisn kicsi mennyiségeke áttée z összefüggést Δb ot dϕ lkb íhtjuk, másészt zt is megállpíthtjuk, hogy Δ bot ekto Δt időttm öidítéséel z ábán fogástengelye meőleges síkbn bejzolt segédkö éintőjébe megy át Ennek lpján ezt ektot diffeenciális áltozás esetén z lábbi módon íhtjuk fel: db ot dφ Ezt z összefüggést felhsznál, b ekto megáltozásá felít kifejezés diffeenciális lkbn köetkezőképpen lkul d b db dφ b A ekto megáltozásánk sebességée ebből időttmml ló osztás után zt kpjuk, hogy

11 TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 11 db db dφ Itt ektook megáltozásánk sebességénél záójel mellett feltüntetett index muttj, hogy áltozást melyik endszeből izsgáljuk dφ H figyelembe esszük, hogy szögsebesség-ekto, kko égül zt kpjuk, hogy db db b A speciális eset kicsit hosszdlmsbb számolássl áltlánosíthtó, h fenti meggondolások lklmzásál b ekto 1 égpontjánk elmozdulását is figyelembe esszük Az áltlános számítás ugynezt z eedményt dj, tehát fenti összefüggés tetszőleges b ekto éényes ***************** **************** **************** A tnszfomációs összefüggések A észletes számolás eedményeként kpott db db b összefüggést felhsznál most megkeessük egy ineciendsze és hozzá képest fogó endsze mennyiségei közötti összefüggéseket A számolás soán speciális esetet izsgálunk: két koodinátendsze oigój mindégig egybeesik, gyis tnszlációt nem tételezünk fel z z (áb) Ebből köetkezik, hogy P pont helyektoá P fennáll, hogy d d O x O y Alklmzzuk tetszőleges ekto áltozásá kpott x kifejezést z ekto (ez z áltlános összefüggésben b helyettesítést jelenti): d d Itt felhsználtuk zt, hogy z ekto áltozási sebessége endszeből néze d Miel speciális esetünkben tömegpont endszebeli sebességée fennáll, hogy d d, - és endszebeli sebességek közötti összefüggése zt kpjuk, hogy A endszebeli gyosulást sebesség diffeenciálásál kpjuk meg: d d d( ) Ismét felhsznál ekto áltozásá kpott áltlános kifejezést, zt kpjuk, hogy b y

12 TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 1 d d d, illete d d A kifejezést toább lkít zt kpjuk, hogy [ ] ) ( d d H fogó endsze szögsebessége állndó, kko z utolsó, ún Eule 1 -féle gyosulás null, és z ( ) összefüggést kpjuk Az utolsó tg nem más, mint koábbn felít centipetális gyosulás, második tg nee pedig Coiolis -gyosulás: ) ( C cp Tehetetlenségi eők fogó endszeben, centifugális- és Coiolis-eő Láttuk, hogy egy tömegpont gyosulás egy ineciendszeben () és egy hozzá képest állndó szögsebességgel fogó endszeben () más A két mennyiség közötti összefüggést átendeze zt kpjuk, hogy ( ) ( ) Ennek megfelelően, h endszeben Newton-féle mozgásegyenletet hsználni kjuk, kko z ( ) ( ) ( ) ( ) F m m m m m m összefüggés lpján fogó endszeben be kell ezetnünk z ( ) ( ) F m m t tehetetlenségi eőt Ennek első tgj z ( ) F m C Coiolis-eő, mely meőleges mozgó tömegpont endszebeli sebességée, második tgj pedig z ( ) F m cf centifugális eő, mely sugáiánybn kifelé mutt A centifugális eőt hétköznpi tpsztltból is ismejük (knyodó jámű), de htását számos egyszeű kísélet és tudományos tpsztlt is muttj Néhány ilyen kísélet és ételmezése fogó endszeben köetkező: Rugó függesztett, ízszintes síkbn köbefogtott golyó áltl megnyújtott ugó centifugális eőt muttj A köbefogtott hjlékony boncs geoid lkját fogó endszeben úgy ételmezhetjük, hogy centifugális eő tengelytől kifelé iszi z boncs észecskéit, egészen ddig, míg defomációl nöekő uglms eők egyensúlyt nem ttnk ele 1 Leonhd EULER ( ) sájci mtemtikus, fizikus Guste CORIOLIS ( ) fnci gépészménök, mtemtikus

13 TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 13 A Földől néze centifugális eő z ok nnk, hogy Föld nem gömb lkú, hnem skokon kissé belpult, ún geoid A Földön mét g "nehézségi" gyosulás gitációs- és centifugális eő együttes fellépésének eedménye Miel zonos szögsebességnél keületi sebesség sugá függénye, centifugális eő fogástengelytől mét táolságtól, gyis z ábán ψ δ F szögtől függ: F cf m mr cosψ (R Föld sug) Fg cf G Emitt áltozik Földön mét g "nehézségi" gyosulás, h ψ G sinψ észk-déli iánybn hldunk: g g s, hol m sin( δ ψ ) Fg g s m A centifugális eő fellépéséel mgyázhtó centifug működése is (h benne ülünk) A centifugáb tett észecskéke fellép centifugális eő, mely ngy fodultszámnál nehézségi eőnél sokkl ngyobb Miel ez nehézségi eőhöz hsonlón tömeggel ányos eő, htás fogástengelye meőleges iánybn ugynz, mint nehézségi eőé függőlegesen Ezét ngyobb sűűségű nygok tengelytől táolbb, kisebb sűűségűek tengelyhez közelebb gyűlnek össze A fenti összefüggések segítségéel Coiolis-eőe ontkozó kíséleteink és tpsztltink fogó endszeből szintén ételmezhetők A függőleges tengely köül fogthtó, ízszintes komozott lpon sugáiánybn elinduló golyó mozgásiányánk megáltozását sebessége meőleges Coioliseő okozz Az ing lengési síkjánk elfodulás Földön szintén z ingsúly sebességée meőleges Coiolis-eőel ételmezhető ülönböző kezdeti feltételek mellett z ing mozgás eltéő (áb), de lengési sík minden esetben elfodul Ugynez z ok, hogy Földön kilőtt löedék eedeti iányától elté (pl Dél Észk iányú mozgásnál z észki féltekén jobb, délin bl; l z ábát) Hsonlón ételmezhető, hogy Föld felé szbdon eső test z eedeti mozgásiányától kelete té el Az eltéülés nem ngy: 100 m-ől eső test esetén kb 1,5 cm Ugyncsk Coiolis-eő okozz, hogy Földön elet Nyugt iánybn mozgó testeke lefelé htó ) b) F C -mx eő lép fel (súlyuk megnő), Nyugt elet iánybn mozgó testeke felfelé htó eő lép fel (súlyuk lecsökken) Ez z Eötös-effektus A látszólgos tömegáltozás ngyságendje: 1 m/s sebességű, 70 kg-os testnél kb 1 g A Coiolis-eőnek szeepe n légköi jelenségek lkulásábn is Egy lcsonybb nyomású helye minden oldlól beámló légtömegek eedetileg sugáiánybn hely felé mozognk, de Coiolis-eő eltéíti őket, így öénylő mozgás jön léte (áb) F C befelé F C kifelé

14 TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 14 Az Eötös-kísélet A tehetetlen- és súlyos tömeg zonosságánk kédése igen fontos eli poblém Az első igzán pontos izsgáltot ezzel kpcsoltbn Eötös Loánd 1 égezte el Az Eötös-féle kísélet zon lpult, hogy Földön testeke htó nehézségi eő (G) két olyn eő eedője, melyek közül z egyik test súlyos tömegéel- (tömegonzás: F g ), másik pedig test tehetetlen tömegéel (centifugális eő: F cf ) ányos: F m g g s s Fcf mt (itt g s z m s súlyos tömeggel ányos, tömegonzásból számzó eő ányossági tényezője, Föld fogásánk szögsebessége, pedig izsgált köpályán mozgó pont pályájánk sug) A Föld dott helyén, melyet z ábán láthtó ψ szöggel jellemezhetünk, centifugális eő és tömegonzásból számzó eő hánydos z lábbi összefüggéssel dhtó meg: δ F F Fg cf sinδ cf mt G sin( δ ψ ) Fg ms g s ψ Ebből köetkezik, hogy dott földjzi helyen G eedő eő iányát meghtáozó δ szög függ tehetetlen- és súlyos tömeg hánydosától Eötös készített egy igen ézékeny toziós méleget, melynek údját elet-nyugti iányb állított (áb) A úd egyik égée pltin súlyt, másik lehető legpontosbbn zonos tömegű, más nygú testet ögzített H két teste súlyos és tehetetlen tömeg hánydos nem zonos, kko két teste htó eedő eő (G 1 és G ) iány eltéő, ezét ezeknek z eőknek ízszintes komponense is különböző lesz Emitt toziós mélege egy fogtónyomték lép fel, mi zt ddig fogtj el, míg szálbn ébedő szögelfodulássl ányos ellenkező iányú uglms fogtónyomték ki nem kompenzálj H z elfodulást megméjük, kko ki tudjuk számítni fogtónyomtékot, bból pedig meghtáozhtjuk súlyos és tehetetlen tömeg hánydosánk eltéését két test esetén A méésnél temészetesen kiinduló egyensúlyi helyzetben nem ismejük z elfodulás szögét, hiszen csk z egyensúlyt tudjuk megállpítni Ezét z egyensúly beállt után z eszközt függőleges tengely köül 180 o -kl el kell fodítni, és ekko z ing údj fellépő ellenkező iányú fogtónyomték mitt z eszközhöz képest elfodul Ezt z elfodulást má észlelni tudjuk Eötös ezzel módszeel különböző nygú testeket hsonlított össze z etlonként hsznált pltin súllyl, z eszköz elfodításko zonbn egyetlen testnél sem észlelte z ing údjánk elfodulását Vgyis zt z eedményt kpt, hogy méési hib htáin belül különböző testeknél súlyos- és tehetetlen tömeg hánydos zonos A kíséleti eszköz egye tökéletesebb áltoztál égehjtott méései lpján Eötös égül (1908-bn) zt állpított meg, hogy z m m t s F g F g1 G G 1 F cf1 F cf É Ny hánydosok egymástól illete z 1 EÖTVÖS Loánd ( ) mgy fizikus

15 TÓTH A:Mechnik/3 (kibőített óázlt) 15 egységtől ló eltéése legfeljebb lehet (több, mint fél észázddl később koszeűbb eszközökkel, kissé eltéő módszeel méés pontosságát Dicke 1 megjított, és megállpított, hogy z eltéés mximális étéke kb lehet) A súlyos- és tehetetlen tömeg zonosság z áltlános eltiitáselmélet egyik lpető feltételezése 1 Robet Heny DICE ( ) meiki fizikus

HÁZI FELADAT megoldási segédlet Relatív kinematika. Két autó. 2. rész

HÁZI FELADAT megoldási segédlet Relatív kinematika. Két autó. 2. rész HÁZI FELDT megoldási segédlet Reltí kinemtik Két utó.. rész. Htározzuk meg, hogy milyennek észleli utóbn ülő megfigyelő z utó sebességét és gyorsulását bbn pillntbn, mikor z ábrán ázolt helyzetbe érnek..

Részletesebben

SCHWARTZ 2009 Emlékverseny A TRIÓDA díj-ért kitűzött feladat megoldása ADY Endre Líceum Nagyvárad, Románia 2009. november 7.

SCHWARTZ 2009 Emlékverseny A TRIÓDA díj-ért kitűzött feladat megoldása ADY Endre Líceum Nagyvárad, Románia 2009. november 7. SCHWARTZ 009 Emlékveseny A TRIÓA díj-ét kitűzött feldt megoldás AY Ende Líceum Ngyvád, Románi 009. novembe 7. Az elekton fjlgos töltésének meghtáozás mgneton módszeel A szező áltl jánlott teljes megoldás,

Részletesebben

Elektrokémia 04. Cellareakció potenciálja, elektródreakció potenciálja, termodinamikai paraméterek meghatározása példa. Láng Győző

Elektrokémia 04. Cellareakció potenciálja, elektródreakció potenciálja, termodinamikai paraméterek meghatározása példa. Láng Győző Elektokémi 04. Cellekció potenciálj, elektódekció potenciálj, temodinmiki pméteek meghtáozás péld Láng Győző Kémii Intézet, Fiziki Kémii Tnszék Eötvös Loánd Tudományegyetem Budpest Az elmélet lklmzás konkét

Részletesebben

Kinematikai alapfogalmak

Kinematikai alapfogalmak Kineatikai alapfogalak a ozgások leíásáal foglalkozik töegpont, onatkoztatási endsze, pálya, pályagöbe, elozdulás ekto a sebesség, a gyosulás Egyenes Vonalú Egyenletes Mozgás áll. 35 3 5 5 5 4 a s [] 5

Részletesebben

Merev testek kinematikája

Merev testek kinematikája Mechanka BL0E- 3. előadás 00. októbe 5. Meev testek knematkáa Egy pontendszet meev testnek tekntünk, ha bámely két pontának távolsága állandó. (f6, Eule) A meev test tetszőleges mozgása leíható elem tanszlácók

Részletesebben

Összetettebb feladatok

Összetettebb feladatok A szinusztétel és koszinusztétel lklmzás Összetettebb feldtok 055..,7 m háom kö közötti síkidom teülete. Kössük össze köök középpontjit, így kpunk egy háomszöget. Legyen m, b m, 5 m. Számítsuk ki koszinusztétellel

Részletesebben

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül.

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül. 01.03.16. RADNAY László Tnársegéd Debreceni Egyetem Műszki Kr Építőmérnöki Tnszék E-mil: rdnylszlo@gmil.com Mobil: +36 0 416 59 14 Definíciók: Kinemtik: A mechnikánk z része, mely testek mozgását vizsgálj

Részletesebben

Mozgás centrális erőtérben

Mozgás centrális erőtérben Mozgás centális eőtében 1. A centális eő Válasszunk egy olyan potenciális enegia függvényt, amely csak az oigótól való távolságtól függ: V = V(). A tömegponta ható eő a potenciális enegiája gaiensének

Részletesebben

Rugalmas hullámok terjedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai

Rugalmas hullámok terjedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai Rugalmas hullámok tejedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai Milyen hullámok alakulhatnak ki ugalmas közegben? Gázokban és folyadékokban csak longitudinális hullámok tejedhetnek. Szilád közegben

Részletesebben

Mozgásleírás különböző vonatkoztatási rendszerekből. Mozgásleírás egymáshoz képest mozgó inerciarendszerekből

Mozgásleírás különböző vonatkoztatási rendszerekből. Mozgásleírás egymáshoz képest mozgó inerciarendszerekből TÓTH A:Mechanika/3 (kibővített óravázlat) 1 Mozgásleírás különböző vonatkoztatási rendszerekből Egy test mozgásának leírása általában úgy történik, hogy annak mindenkori helyzetét egy többé-kevésbé önkényesen

Részletesebben

Készítette: Kecskés Bertalan 2012

Készítette: Kecskés Bertalan 2012 Készítette: Kecskés Betln 0 Atom foglm: Az tom z elemeknek zon legkisebb észe, mely még endelkezik z eleme jellemző tuljdonságokkl, és kémiilg tovább nem bonthtó. Az tom felépítése: Az tom áll tommgból

Részletesebben

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás

6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás SZÉHENYI ISTVÁN EGYETE GÉPSZERKEZETTN ÉS EHNIK TNSZÉK 6. EHNIK-STTIK GYKORLT Kidolgozta: Tiesz Péte egy. ts. Négy eő egyensúlya ulmann-szekesztés Ritte-számítás 6.. Példa Egy létát egy veembe letámasztunk

Részletesebben

Egy látószög - feladat

Egy látószög - feladat Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük

Részletesebben

Szervomotor pályakövetést megvalósító irányítása

Szervomotor pályakövetést megvalósító irányítása Szeromotor pályköetést meglósító irányítás. A gykorlt célj Szeromotor pozíciószbályozásánk megoldás előírt pály mentén. Időben optimális pály és pályköetést meglósító irányítási lgoritmus implementálás..

Részletesebben

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról. rész Bevezetés Az idő múlik, kívánlmk és lehetőségek változnk. Tegnp még logrléccel számoltunk, m már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

4. MECHANIKA-MECHANIZMUSOK ELŐADÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.)

4. MECHANIKA-MECHANIZMUSOK ELŐADÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) SZÉHNYI ISTVÁN YTM LKLMZOTT MHNIK TNSZÉK. MHNIK-MHNIZMUSOK LŐÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) yalugép sebességábrája: F. ábra: yalugép kulisszás mechanizmusának onalas ázlata dott: az ábrán látható

Részletesebben

A forgó fekete lyuk metrikáját Roy Kerr adta meg 1963-ban, amit Boyer és Lindquist hozott a. r r r r a 2 r r a ds 1 dt dr d r a s s d s d dt.

A forgó fekete lyuk metrikáját Roy Kerr adta meg 1963-ban, amit Boyer és Lindquist hozott a. r r r r a 2 r r a ds 1 dt dr d r a s s d s d dt. Fogó Fekete Lyuk Ke Bét Metikáj fogó fekete lyuk metikáját Roy Ke dt meg 963-bn, mit Boye és Lindquist hozott m ismet lk 967-ben Ez metik következ : ds dt d d s s d s d dt g g g Itt bevezettük következ

Részletesebben

3. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Három erő egyensúlya

3. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Három erő egyensúlya SZÉHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MEHNIK TNSZÉK Péld: MEHNIK STTIK GYKORLT (kidolgozt: Tisz Pét; Tni Gábo ménök tná) Háom ő gynsúly dott gy mlőszkzt méti és thlés: m b 5 m c 5 m kn ldt: y c Htáozz mg z

Részletesebben

Megoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra

Megoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra . Adott z =, =,3, + 3 soozt. Számíts ki lim 3 htáétéket. Megoldás: Előszö lkítsuk át z k kifejezést: k = + k 3 = k3 k 3 + = (k (k + k + (k + (k k + = k k + k + k + k k +, k =,3, Ez lpjá z szozt átíhtó

Részletesebben

Versenyautó futóművek. Járműdinamikai érdekességek a versenyautók világából

Versenyautó futóművek. Járműdinamikai érdekességek a versenyautók világából Versenyutó futóművek Járműdinmiki érdekességek versenyutók világából Trtlom Bevezetés Alpfoglmk A gumibroncs Futómű geometri Átterhelődések Futómű kinemtik 2 Trtlom 2 Bevezetés Bevezetés Alpfoglmk A gumibroncs

Részletesebben

Fizika A2E, 4. feladatsor

Fizika A2E, 4. feladatsor Fizik AE, 4. feltso Vi Gyögy József vigyogy@gmil.com. felt: Közös pontbn zonos hosszúságú szigetel fonlkon felfüggesztett egyfom, g s ség golyók függnek, minkett töltése q. A golyók közötti teet ε eltív

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

VI. A tömeg növekedése.

VI. A tömeg növekedése. VI A tömeg nöekedése Egyszerű tárgyalás A tehetetlenség a test egy tlajdonsága, egy adata A tömeg az adott test tehetetlenségének kantitatí mértéke A tömeg meghatározásának módszere: meg kell izsgálni,

Részletesebben

A Maxwell-féle villamos feszültségtenzor

A Maxwell-féle villamos feszültségtenzor A Maxwell-féle villamos feszültségtenzo Veszely Octobe, Rétegezett síkkondenzátoban fellépő (mechanikai) feszültségek Figue : Keesztiányban étegezett síkkondenzáto Tekintsük a. ábán látható keesztiányban

Részletesebben

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton 7. Szélsőéték-feldtok egoldás elei úton I. Eléleti összefoglló Függvény szélsőétéke Definíció: Az f: A B függvénynek x A helyen (bszolút) xiu vn, h inden x A esetén f(x) f(x ).A függvény (bszolút) xiu

Részletesebben

4. Hatványozás, gyökvonás

4. Hatványozás, gyökvonás I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel Els gykorlt Egyszer egyenletek, EHL PDE A gykorlt elején megismerkedünk prciális dierenciálegyenletek (mostntól: PDE-k) lpfoglmivl. A félév során sokt fog szerepelni z ún. multiindex jelöl, melynek lényege,

Részletesebben

Fizika és 6. Előadás

Fizika és 6. Előadás Fzka 5. és 6. Előadás Gejesztett, csllapított oszclláto: dőméés F s λv k F F s m F( t) Fo cos( ωt) v F (t) Mozgásegyenlet: F f o o m ma kx λ v + Fo cos( ωt) Megoldás: x( t) Acos ( ) ( ) β ωt ϕ + ae t sn

Részletesebben

A vasbeton vázszerkezet, mint a villámvédelmi rendszer része

A vasbeton vázszerkezet, mint a villámvédelmi rendszer része Vsbeton pillér vázs épületek villámvédelme I. Írt: Krupp Attil Az épületek jelentős rze vsbeton pillérvázs épület formájábn létesül, melyeknél vázszerkezetet rzben vgy egzben villámvédelmi célr is fel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

Numerikus módszerek 2.

Numerikus módszerek 2. Numerikus módszerek 2. 12. elődás: Numerikus integrálás I. Krebsz Ann ELTE IK 2015. május 5. Trtlomjegyzék 1 Numerikus integrálás 2 Newton Cotes típusú kvdrtúr formulák 3 Hibformulák 4 Összetett formulák

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

Néhány egyszerű tétel kontytetőre

Néhány egyszerű tétel kontytetőre Néhány egyszerű tétel kontytetőre ekintsük z ábr szerinti szimmeikus kontytetőt! ábr Az ABC Δ területe: ABC' m,v; ( ) z ABC Δ területe: ABC m ; ( ) z ABC* Δ területe: ABC* m ( 3 ) Az ábr szerint: m,v cos

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR

5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR A koábbikbn külön, egymásól függelenül izsgáluk nyugó ölések elekomos eé és z időben állndó ám elekomos és mágneses eé Az elekomágneses é ponosbb modelljé kpjuk, h

Részletesebben

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK Prof.Dr. Zobory István Budpest 04 Trtlomegyzék. Bevezetés... 3. A vsúti árművek teherviselő részeiről... 3. Alvázs (nem önhordó) kocsik... 3.. Kéttengelyes kocsik... 4..

Részletesebben

10. előadás: A nehézségi erőtér időbeli változása

10. előadás: A nehézségi erőtér időbeli változása 10. elődás: A nehézségi eőté időbeli változás 10. elődás: A nehézségi eőté időbeli változás Földünk nehézségi eőtee háom különböző eőhtás: tömegvonzási eő, fogási centifugális eő és z ápálykeltő eők eedője.

Részletesebben

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

A Hamilton-Jacobi-egyenlet A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P

Részletesebben

5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR

5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR A koábbiakban külön, egymástól függetlenül vizsgáltuk a nyugvó töltések elektomos teét és az időben állandó áam elektomos és mágneses teét Az elektomágneses té pontosabb

Részletesebben

Speciális relativitás

Speciális relativitás Fizika 1 előadás 2016. április 6. Speciális relativitás Relativisztikus kinematika Utolsó módosítás: 2016. április 4.. 1 Egy érdekesség: Fizeau-kísérlet A v sebességgel áramló n törésmutatójú folyadékban

Részletesebben

Felvonók méretezése. Üzemi viszonyok. (villamos felvonók) Hlatky Endre

Felvonók méretezése. Üzemi viszonyok. (villamos felvonók) Hlatky Endre Felvonók méretezése Üzemi viszonyok (villmos felvonók) Hltky Endre Trtlom A felvonó üzemviszonyi Cél: felvonó működése során előforduló üzemállpotokbn kilkuló erők és nyomtékok meghtározás, berendezés

Részletesebben

Ellenállás mérés hídmódszerrel

Ellenállás mérés hídmódszerrel 1. Lbortóriumi gykorlt Ellenállás mérés hídmódszerrel 1. A gykorlt célkitűzései A Whestone-híd felépítésének tnulmányozás, ellenállások mérése 10-10 5 trtománybn, híd érzékenységének meghtározás, vlmint

Részletesebben

Megint a szíjhajtásról

Megint a szíjhajtásról Megint szíjhjtásról Ezzel témávl már egy korábbi dolgoztunkbn is foglkoztunk ennek címe: Richrd - II. Most egy kicsit más lkú bár ugynrr vontkozó képleteket állítunk elő részben szkirodlom segítségével.

Részletesebben

t [s] 4 pont Az út a grafikon alapján: ρ 10 Pa 1000 Pa 1400 Pa 1, 024 10 Pa Voldat = = 8,373 10 m, r h Vösszfolyadék = 7,326 10 m

t [s] 4 pont Az út a grafikon alapján: ρ 10 Pa 1000 Pa 1400 Pa 1, 024 10 Pa Voldat = = 8,373 10 m, r h Vösszfolyadék = 7,326 10 m XVIII. TORNYAI SÁNDOR ORSZÁGOS FIZIAI FELADATMEGOLDÓ VERSENY Hódezőásáhely, 04. ácius 8-0. 9. éfolya 9/. feladat: Adatok: a /s, t 6 s, a 0, t 5 s, a - /s, édések: s?, t?, átl?, a átl? [/s] 0 0 0 40 Az

Részletesebben

A FÖLD PRECESSZIÓS MOZGÁSA

A FÖLD PRECESSZIÓS MOZGÁSA A ÖLD PRECEZIÓ MOZGÁA Völgyesi Lajos BME Általános- és elsőgeodézia Tanszék A öld bonyolult fogási jelenségeinek megismeéséhez pontos fizikai alapismeetek szükségesek. A fogalmak nem egységes és hibás

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

& 2r á 296, dm a csô átmérôje.

& 2r á 296, dm a csô átmérôje. 96 Henge 8 cm 5 cm 7 07cm csô 5 5 006 b 80 dm és b 80 b, 8 8 mgsság - - 007 m á 7, m á 96, dm csô átméôje 008 á 77, dm z lpkö sug, m á 8, dm z edény mgsság 009 t p m $ t p, vlmint t p m m m t p t p V m

Részletesebben

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

VI. Deriválható függvények tulajdonságai 1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn

Részletesebben

BIOKOMPATIBILIS ANYAGOK.

BIOKOMPATIBILIS ANYAGOK. 1 BIOKOMPATIBILIS ANYAGOK. 1Bevezetés. Biokomptbilis nygok különböző funkcionális testrészek pótlásár ill. plsztiki célokt szolgáló lkos, meghtározott méretű, nygok ill. eszközök, melyek trtósn vgy meghtározott

Részletesebben

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke ( 9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R

Részletesebben

4 A. FELÜLETI FESZÜLTSÉG MÉRÉSE BUBORÉKNYOMÁSOS MÓDSZERREL

4 A. FELÜLETI FESZÜLTSÉG MÉRÉSE BUBORÉKNYOMÁSOS MÓDSZERREL 4 A. FELÜLETI FESZÜLTSÉG MÉRÉSE BUBORÉKNYOMÁSOS MÓDSZERREL Az összefüggő anyagi endszeek (az ún. tömbfázisok, agy angol elneezéssel "bulk" fázisok) közötti atáfelületi étegek alkotóészei más enegetikai

Részletesebben

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása) Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei

Részletesebben

A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI, ÉS GYAKORLATI ALKALMAZÁSA I. BEVEZETÉS, MOTIVÁCIÓ, PROBLÉMAFELVETÉS

A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI, ÉS GYAKORLATI ALKALMAZÁSA I. BEVEZETÉS, MOTIVÁCIÓ, PROBLÉMAFELVETÉS Szolnoki Tuományos Közlemények XV. Szolnok, 011. Prof. Dr. Szolcsi Róert 1 A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI, ÉS GYAKORLATI ALKALMAZÁSA I. BEVEZETÉS, MOTIVÁCIÓ, PROBLÉMAFELVETÉS A szerző célj emuttni

Részletesebben

Hullámtan és optika. Rezgések és hullámok; hangtan Rezgéstan Hullámtan Optika Geometriai optika Hullámoptika

Hullámtan és optika. Rezgések és hullámok; hangtan Rezgéstan Hullámtan Optika Geometriai optika Hullámoptika Rezgések és hullámok; hngtn Rezgéstn Hullámtn Optik Geometrii optik Hullámoptik Hullámtn és optik Ajánlott irodlom Budó Á.: Kísérleti fizik I, III. (Tnkönyvkidó, 99) Demény-Erostyák-Szbó-Trócsányi: Fizik

Részletesebben

3. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Három erő egyensúlya

3. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Három erő egyensúlya SZÉHENYI ISTVÁN EGYETEM GÉPSZERKEZETTN ÉS MEHNIK TNSZÉK 3 MEHNIK STTIK GYKORLT Kdolgozt: Tsz Pét gy ts Háom ő gynsúly 3 Péld: dott gy mlőszkzt mét és thlés: m b 5 m c 5 m 0 kn ldt: y c Htáozz mg z és támsztóőkt

Részletesebben

Térbeli pont helyzetének és elmozdulásának meghatározásáról - I.

Térbeli pont helyzetének és elmozdulásának meghatározásáról - I. Térbeli pont helyzetének és elmozdulásánk meghtározásáról - I Egy korábbi dolgoztunkbn melynek címe: Hely és elmozdulás - meghtározás távolságméréssel már volt szó címbeli témáról Ott térbeli mozgást végző

Részletesebben

Kétváltozós vektor-skalár függvények

Kétváltozós vektor-skalár függvények Kétáltozós ekto-skalá függények Definíció: Az olyan függényt amely az ( endezett alós számpáokhoz ( R R ( ektot endel kétáltozós ekto-skalá függénynek neezzük. : ( ( ( x( i + y( j + z( k Az ektoal együtt

Részletesebben

Fogaskerekek III. Általános fogazat

Fogaskerekek III. Általános fogazat Fogskeekek III. Áltlános fogt Elei, kopenált fogtok esetén: vlint: ostóköök gödülőköökkel egybeesnek áltlános fogt főbb jelleői: A tengelytáv: -ól -enő, A kpcsolósög α-ólα -e nő, A ostókö dés gödülőkö

Részletesebben

Frissítve: Síkidomok másodrendű nyomatékai. Egy kis elmélet 1 / 21

Frissítve: Síkidomok másodrendű nyomatékai. Egy kis elmélet 1 / 21 Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki Eg kis elmélet 1 / 21 Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 1. péld: Számítsk ki súlponti és tengelekre számított másodrendű nomtékokt! Megjegzés:

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

1. Feladatok a dinamika tárgyköréből

1. Feladatok a dinamika tárgyköréből 1. Feladatok a dinamika tárgyköréből Newton három törvénye 1.1. Feladat: Három azonos m tömegű gyöngyszemet fonálra fűzünk, egymástól kis távolságokban a fonálhoz rögzítünk, és az elhanyagolható tömegű

Részletesebben

9. ábra. A 25B-7 feladathoz

9. ábra. A 25B-7 feladathoz . gyakolat.1. Feladat: (HN 5B-7) Egy d vastagságú lemezben egyenletes ρ téfogatmenti töltés van. A lemez a ±y és ±z iányokban gyakolatilag végtelen (9. ába); az x tengely zéuspontját úgy választottuk meg,

Részletesebben

VIII. Szélsőérték számítás

VIII. Szélsőérték számítás Foglmk VIII. Szélsőéték számítás Az elem úton meghtáozhtó függvények jellemző: () ételmezés ttomány és étékkészlet megdás (b) zéushelyek (hol y ) és y tengelypontok (hol ) meghtáozás (c) folytonosság vzsgált

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 2. FIZ2 modul. Fizika feladatgyűjtemény

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 2. FIZ2 modul. Fizika feladatgyűjtemény Nyugt-mgyrországi Egyetem Geoinformtiki Kr Csordásné Mrton Melind Fiziki példtár 2 FIZ2 modul Fizik feldtgyűjtemény SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény

Részletesebben

Numerikus módszerek. A. Egyenletek gyökeinek numerikus meghatározása

Numerikus módszerek. A. Egyenletek gyökeinek numerikus meghatározása Numeikus módszeek A. Egyenletek gyökeinek numeikus meghatáozása A1) Hatáozza meg az x 3 + x = egyenlet (egyik) gyökét éintı módszeel. Kezdje a számítást az x = helyen! Megoldás: x 1, Megoldás 3 A függvény

Részletesebben

A magnetosztatika törvényei anyag jelenlétében

A magnetosztatika törvényei anyag jelenlétében TÓTH A.: Mágnesség anyagban (kibővített óavázlat) 1 A magnetosztatika tövényei anyag jelenlétében Eddig: a mágneses jelenségeket levegőben vizsgáltuk. Kimutatható, hogy vákuumban gyakolatilag ugyanolyanok

Részletesebben

Térbeli polárkoordináták alkalmazása egy pont helyének, sebességének és gyorsulásának leírására

Térbeli polárkoordináták alkalmazása egy pont helyének, sebességének és gyorsulásának leírására Tébeli polákoodináták alkalmazása egy pont helyének sebességének és gyosulásának leíásáa A címbeli feladat a kinematikával foglalkozó tankönyvek egyik alapfeladata: elmagyaázni levezetni az idevágó összefüggéseket

Részletesebben

Síkbeli polárkoordináta-rendszerben a test helyvektora, sebessége és gyorsulása általános esetben: r = r er

Síkbeli polárkoordináta-rendszerben a test helyvektora, sebessége és gyorsulása általános esetben: r = r er Fizika Mechanika óai felaatok megolása 5. hét Síkbeli polákooináta-enszeben a test helyvektoa, sebessége és gyosulása általános esetben: = e Ha a test köpályán mozog, akko = konst., tehát sebessége : éintő

Részletesebben

A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN

A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN Egy testre ható erő, a más testekkel való kölcsönhatás mértékére jellemző fizikai mennyiség. A légkörben ható erők Külső erők: A Föld tömegéből következő

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

1. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Trigonometria, vektoralgebra

1. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Trigonometria, vektoralgebra SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozta: Tiesz Péte eg. ts.; Tanai Gábo ménök taná) Tigonometia vektoalgeba Tigonometiai összefoglaló c a b b a sin = cos = c

Részletesebben

4. előadás: A vetületek általános elmélete

4. előadás: A vetületek általános elmélete 4. elődás: A vetületek áltlános elmélete A vetítés mtemtiki elve Két mtemtikilg meghtározott felület prméteres egyenletei legyenek következők: x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), I. z = f 3 (u, v). ξ = g 1

Részletesebben

Fizika A2E, 10. feladatsor

Fizika A2E, 10. feladatsor Fizik AE, 10. feltsor Vi György József vigyorgy@gmil.com 1. felt: Niels ohr 1913-bn felállított moellje szerint hirogéntombn középpontbn lév proton ül egy elektron kering, ttól = 5,3 10 11 m távolságbn,

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN

A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN Egy testre ható erő, a más testekkel való kölcsönhatás mértékére jellemző fizikai mennyiség. A légkörben ható erők Külső erők: A Föld tömegéből következő

Részletesebben

ÜTKÖZÉSEK. v Ütközési normális:az ütközés

ÜTKÖZÉSEK. v Ütközési normális:az ütközés ÜTKÖZÉSK A egaadási tételek alkalazásának legjobb példái Definíciók ütközési sík n n Ütközési noális:az ütközés síkjáa eőleges Töegközépponti sebességek Centális ütközés: az ütközési noális átegy a két

Részletesebben

Dr. Geretovszky Zsolt október 12. impulzustétel és az impulzus megmaradásának tétele

Dr. Geretovszky Zsolt október 12. impulzustétel és az impulzus megmaradásának tétele zk é ökökek kek. D. Geeoszky Zsol. okóbe. Sulóás eők Megó eységek Töegpo eseé Ipulzus: I Isél lés pulzuséel és z pulzus egásák éele Ipulzusoeu: N I pulzusoeu éel és z pulzusoeu egásák éele Eeg ukéel, eegfják,

Részletesebben

AXIÁL VENTILÁTOROK MÉRETEZÉSI ELJÁRÁSÁNAK KORREKCIÓJA

AXIÁL VENTILÁTOROK MÉRETEZÉSI ELJÁRÁSÁNAK KORREKCIÓJA DEBECENI MŰSZAKI KÖZLEMÉNYEK 7/ AXIÁL VENTILÁTOOK MÉETEZÉSI ELJÁÁSÁNAK KOEKCIÓJA MOLNÁ Ildió*, SZLIVKA Feenc** Szent Istán Egyetem, Géészmén Ka Könyezetiai endszee Intézet Gödöllő Páte Káoly út. *Ph.D

Részletesebben

Szökőkút - feladat. 1. ábra. A fotók forrása:

Szökőkút - feladat. 1. ábra. A fotók forrása: Szökőkút - feladat Nemrégen Gyulán jártunk, ahol sok szép szökőkutat láttunk. Az egyik különösen megtetszett, ezért elhatároztam, hogy megpróbálom elemi módon leírni a ízsugarak, illete az általuk leírt

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a IV. éves vegyészhallgatók Poláris molekula dipólusmomentumának meghatározása című méréséhez

Elméleti összefoglaló a IV. éves vegyészhallgatók Poláris molekula dipólusmomentumának meghatározása című méréséhez lméleti összefoglaló a I. éves vegyészhallgatók oláis molekula dipólusmomentumának meghatáozása című mééséhez 1.1 ipólusmomentum Sok molekula endelkezik pemanens dipólus-momentummal, ugyanis ha a molekulát

Részletesebben

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett

Részletesebben

α v e φ e r Név: Pontszám: Számítási Módszerek a Fizikában ZH 1

α v e φ e r Név: Pontszám: Számítási Módszerek a Fizikában ZH 1 Név: Pontsám: Sámítási Módseek a Fiikában ZH 1 1. Feladat 2 pont A éjsakai pillangók a Hold fénye alapján tájékoódnak: úgy epülnek, ogy a Holdat állandó sög alatt lássák! A lepkétől a Hold felé mutató

Részletesebben

Tartalom Fogalmak Törvények Képletek Lexikon 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Tartalom Fogalmak Törvények Képletek Lexikon 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Fizikkönyv ifj Zátonyi Sándor, 16 Trtlom Foglmk Törvények Képletek Lexikon Mozgá lejtőn Láttuk, hogy tetek lejtőn gyoruló mozgát végeznek A következőkben vizgáljuk meg rézleteen ezt mozgát! Egyene lejtőre

Részletesebben

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória 1. ktegóri 1.1.1. Adtok: ) Cseh László átlgsebessége b) Chd le Clos átlgsebessége Ezzel z átlgsebességgel Cseh László ideje ( ) ltt megtett távolság Így -re volt céltól. Jn Switkowski átlgsebessége Ezzel

Részletesebben

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL HAJDER LEVENTE 1. Bevezetés A Lgrnge-féle multiplikátoros eljárást Joseph Louis Lgrnge (1736-1813) olsz csillgász-mtemtikus (eredeti nevén Giuseppe

Részletesebben

INDUKÁLT SEBESSÉGELOSZLÁS MEGHATÁROZÁSA ÉS ALKALMAZÁSA LÉGCSAVAROS REPÜLŐGÉP KÖRÜL KIALAKULT ÁRAMLÁS MODELLEZÉSÉRE 3

INDUKÁLT SEBESSÉGELOSZLÁS MEGHATÁROZÁSA ÉS ALKALMAZÁSA LÉGCSAVAROS REPÜLŐGÉP KÖRÜL KIALAKULT ÁRAMLÁS MODELLEZÉSÉRE 3 Ráz Gábo 1 Veess Ápád INUKÁLT SEBESSÉGELOSZLÁS MEGHATÁROZÁSA ÉS ALKALMAZÁSA LÉGCSAVAROS REPÜLŐGÉP KÖRÜL KIALAKULT ÁRAMLÁS MOELLEZÉSÉRE A BME 4 Vasúti Jáműek, Repülőgépek és Hajók Tanszék munkatásai számos

Részletesebben

HÁZI FELADAT megoldási segédlet. Relatív kinematika Két autó. 1. rész

HÁZI FELADAT megoldási segédlet. Relatív kinematika Két autó. 1. rész HÁZI FELDT egoldái egédlet Reltí kinetik Két utó.. ré. Htárouk eg, hogy ilyennek éleli utóbn ül egfigyel utó ebeégét é gyoruláát bbn pillntbn, ikor ábrán áolt helyetbe érnek.. lépé: ontkottái renderek

Részletesebben

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS

Részletesebben

Kerületi Közoktatási Esélyegyenlőségi Program Felülvizsgálata Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzata 2011.

Kerületi Közoktatási Esélyegyenlőségi Program Felülvizsgálata Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzata 2011. Kerületi Közokttási Esélyegyenlőségi Progrm Felülvizsgált Budpest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzt 2011. A felülvizsgált 2010-ben z OKM esélyegyenlőségi szkértője áltl ellenjegyzett és z önkormányzt

Részletesebben

Hatvani István Fizikaverseny forduló megoldások. 1. kategória

Hatvani István Fizikaverseny forduló megoldások. 1. kategória 1. kategória 1.2.1. 1. Newton 2. amplitúdó 3. Arkhimédész 4. Kepler 5. domború 6. áram A megfejtés: ATOMKI 7. emelő 8. hang 9. hősugárzás 10. túlhűtés 11. reerzibilis 1.2.2. Irányok: - x: ízszintes - y:

Részletesebben

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 izika ménm nök k infomatikusoknak 1. BNxE-1 Mechanika 6. előadás D. Geetovszky Zsolt 2010. októbe 13. Ismétl tlés Ütközések tágyalása Egymáshoz képest mozgó vonatkoztatási endszeek egymáshoz képest EVEM-t

Részletesebben

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel 1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel Munkavégzés, teljesítmény 1.1. Feladat: (HN 6B-8) Egy rúgót nyugalmi állapotból 4 J munka árán 10 cm-rel nyújthatunk meg. Mekkora

Részletesebben

Lencsék fókusztávolságának meghatározása

Lencsék fókusztávolságának meghatározása Lencsék fókusztávolságának meghatáozása Elméleti összefoglaló: Két szabályos, de legalább egy göbe felület által hatáolt fénytöő közeget optikai lencsének nevezünk. Ennek speciális esetei a két gömbi felület

Részletesebben