TDK dolgozat. Korlátosság vizsgálata irány-hossz vegyes gráfok esetén

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "TDK dolgozat. Korlátosság vizsgálata irány-hossz vegyes gráfok esetén"

Átírás

1 TDK dolgozat Korlátosság vizsgálata irány-hossz vegyes gráfok esetén Szabó Botond Alkalmazott matematikus szak Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2009 Témavezet : Jordán Tibor, egyetemi tanár ELTE TTK Matematikai Intézet Operációkutatási Tanszék

2 Contents 1 Bevezetés Általános bevezetés Jelölések Tételek az algoritmushoz 10 3 Az algoritmus Az algoritmus megadása Generikusan nem korlátos gráf tetsz legesen nagy realizációja Következmények, kapcsolatok A kétféle modell ekvivalenciája Gráfelméleti karakterizáció a korlátosságra

3 Absztrakt Irány-hossz rendszernek nevezzük azon (G, p) rendezett párokat, ahol a G = (V ; D, L) vegyes gráf, melyben V jelöli a csúcsok, D az "irány élek", L a "hossz élek" halmazát és p egy leképezés V -b l a d dimenziós Euklideszi térbe. Egy uv él címkéje egy hossz vagy irány korlátozást fog adni p(u) és p(v) között. A hossz korlátozás lehet fels határ vagy pontos távolság megadás és az így megadott két fajta deníció alapján lehet kötél illetve rúd modellr l beszélni. A dolgozat során a kötél modell korlátosságával foglalkoztam majd végül beláttam, hogy a kapott állítások rúd modellre is alkalmazhatóak. Els ként egy algoritmust adtam meg, mely eldönti, hogy egy (G, p) rendszer korlátos-e, majd nem korlátos esetben tetsz leges nagyságú gráf elkészítésére adtam egy eljárást. Az algoritmus felhasználásával beláttam, hogy a kötél és rúd modell korlátosságának feltétele megegyezik, azaz az algoritmus mindkét modellre alkalmazható. Végül igazoltam, hogy az algoritmus pontosan azon gráfokat adja korlátosnak, melyek Bill Jackson és Peter Keevash (2009a) cikkében szerepl korlátosság feltételeket is teljesítik, azaz az eljárásnak és a cikknek a (G, p) rendezett pár korlátosságára adott feltételrendszere megegyezik. A dolgozat során az általánosan használt rúd modell helyett bevezetett kötél modell segítségével egyszer síteni tudtam a problémát és a matroid elméletet kikerülve elemi operációkutatási módszereket alkalmazva sikerült a gráf korlátosságával ekvivalens feltételt megadni. A két modell korlátosságának ekvivalenciája miatt a kapott módszer segítséget nyújthat összetettebb problémák vizsgálatánál. 2

4 1 Bevezetés 1.1 Általános bevezetés A geometriai megkötésekkel megadott szerkezeteket gyakorlati problémák széles skálájának modellezésére alkalmazzák, mint például szenzor rendszereknél, molekulák rugalmasságánál és számítógépes formatervezésnél. A G gráf bizonyos éleire irány (D, irány-élek) illetve hossz (hossz-élek) megkötéseket tehetünk és az így keletkezett rendszerrel kapcsolatban számos érdekes kérdés merül fel. Vizsgálhatunk olyan rendszereket, melyekben csak az élek hosszára (Laman (1970)) vagy irányára van megkötés (Whiteley (1996)), illetve a vegyes gráfok esetét, melyben mindkett fajta megkötés el fordulhat (Servatius and Whiteley (1999)). A hossz-éleket kétféleképpen deniálhatjuk. Az általánosan bevett gyakorlat szerint rúdnak (L) nevezzük azon hossz-éleket, melyekben az él hossza x, míg a dolgozatban bevezetett deníció szerint kötélnek (K) nevezzük azon hossz-éleket, melyekben az él hosszára fels korlát van megadva. A dolgozat során belátjuk, hogy az általunk vizsgált tulajdonságok egybeesnek a különböz denícióval megadott modellekben. Az él korlátozásokkal megadott gráfok esetén természetesnek t nik annak a kérdése, hogy az adataink tartalmaznak-e ellentmondást vagy létezik a feltételeket kielégít realizációja a gráfnak. Létezés esetén továbbá felmerül az egyértelm ség kérdése. Jelentse a (G, p) rendezett pár a G = (V, E) gráf egy realizációját a d dimenziós Euklideszi térben, ahol p : V R d függvény a csúcsok helyét jelöli. A kizárólag csak élek hosszára vonatkozó megkötéseket tartalmazó G = (V ; L) rúd-gráf két (G, p) és (G, q) realizációját rúd-ekvivalensnek nevezzük, ha minden élük egyenl hosszú illetve rúd-kongruensnek nevezzük ket, ha tetsz leges u, v V csúcsra teljesül, hogy p(u) p(v) = q(u) q(v). Ezek segítségével deniálhatjuk a realizáció unicitásának különböz szintjeit. Egy (G, p) realizációt globálisan rúd-merevnek hívunk, ha bármely vele rúdekvivalens (G, q) realizáció egyúttal rúd-kongruens is lesz vele. Továbbá rúdmerevnek nevezzük (G, p)-t, ha létezik olyan ɛ > 0 környezet, hogy bármely vele rúd-ekvivalens (G, q) realizációra, melyre teljesül, hogy q(u) p(u) < ɛ minden u V csúcsra, a két realizáció egyúttal rúd-kongruens is lesz. Saxe (1979) bebizonyította, hogy a csak hossz megkötéseket tartalmazó gráfok esetén mind a létezés, mind a globális egyértelm ség eldöntése NP-nehéz feladat. Ennek oka, hogy bizonyos speciális esetek megnehezítik a probléma eldön- 3

5 tését. Ebb l kifolyólag a gráfnak csak a generikus (G, p) realizációit vizsgáljuk, melynek pontos denícióját a 1.2 alfejezetben adjuk meg. Egy G = (V ; L) rúdgráfot rúd-merevnek, illetve globálisan rúd-merevnek hívunk, ha minden generikus (G, p) realizációja rúd-merev, illetve globálisan rúd-merev. A speciális kétdimenziós esetben a G gráf rúd-merevségre (Laman (1970)) és a globális rúd-merevségére (Jackson és Jordán (2005)) adott kombinatorikus karakterizációt. Magasabb dimenzióban nem ismert kombinatorikai karakterizáció az unicitás kérdésére. A csak irány-élekkel deniált G = (V ; D) irány-gráfra egy (G, p) és egy (G, q) realizációt irány-ekvivalensnek mondunk, ha bármely e = uv D élhez tartozó p(u) p(v) és q(u) q(v) egymás konstansszorosai, valamint iránykongruensnek nevezzük ket, ha a fenti állítás tetsz leges u, v V csúcspárra teljesül. A (G, p) szerkezet irány-merev, ha tetsz leges vele irány-ekvivalens (G, q) szerkezet egyúttal irány-kongruens is lesz vele. A G irány-gráf iránymerev, ha tetsz leges generikus (G, p) realizációja irány-merev lesz. A generikusan merev G irány-gráfokra d-dimenzióban Whiteley (1996) adott kombinatorikus karakterizációt. A speciális kétdimenziós esetre az alábbi kapcsolat áll fent a rúd-merevséggel: Tétel 1.1. Kétdimenzióban a G = (V ; L) rúd-gráf pontosan akkor rúd-merev, ha a G = (V ; D) irány-gráf irány-merev. (A két gráfban a rúd illetve az irány-élek halmaza megegyezik). Laman (1970) speciális kétdimenziós esetre adott karakterizációja a merevségre: Tétel 1.2. Egy D = 2n 3 él csak irány-élekb l álló gráf akkor és csak akkor irány-merev, ha D 2 V (D ) 3 minden nemüres D részhalmazára D-nek. Ezzel ekvivalens leírást ad Lovász és Yemini (1982) tétele: Tétel 1.3. Egy G = (V, E), 2n 3 irány-élb l álló gráf akkor és csak akkor irány-merev, ha minden e E él esetén a G gráfból az e él megduplázásával készített új gráf élhalmaza felbomlik két éldiszjunkt feszít fa uniójára. Az irány-éleket és rudakat is tartalmazó G = (V ; D, L) vegyes gráf (G, p) és (G, q) realizációját irány-rúd ekvivalensnek nevezzük, ha bármely uv D irány-élre a p(u) p(v) és q(u) q(v) vektorok egymás konstansszorosai 4

6 valamint bármely zw L rúdra p(z) p(w) = q(z) q(w). A két szerkezetet továbbá irány-rúd kongruensnek hívjuk, ha (G, p)-b l csak eltolás és ±1-szeres nagyítás segítségével megkaphatjuk (G, q)-t, azaz G bármely két csúcsának távolsága megegyezik a két realizációban, illetve a csúcsok különbség vektorai egymás ±1-szeresei. Az irány-rúd merevség és globális irány-rúd merevségség deniálása a (G, p) rúd-szerkezet esetéhez hasonlóan történik. A következ ábrán egy olyan (G, p) szerkezetet láthatunk, mely irány-rúd merev, de nem globálisan irány-rúd merev (hiszen létezik olyan (G, q) vele irány-rúd ekvivalens realizáció, amely nem irány-rúd kongruens vele). Az ábrákon szaggatott piros szakaszok jelölik a rudakat és fekete folytonos szakaszok jelölik az irány-éleket. Figure 1: (G, p) realizációja G- nek Figure 2: (G, q) realizációja G-nek A G = (V ; D, L) gráfot irány-rúd merevnek, illetve globálisan irány-rúd merevnek nevezzük, ha tetsz leges generikus (G, p) realizációja irány-rúd merev illetve globálisan irány-rúd merev. Fontos és sokat vizsgált tulajdonsága a gráfnak a redundáns irány-rúd merevség. Egy G = (V ; D, L) vegyes gráfot redundánsan irány-rúd merevnek nevezünk, ha tetsz leges él elvétele után irányrúd merev marad a gráf. A G vegyes gráf kétdimenziós irány-rúd merevségére Servatius és Whiteley (1999) adott kombinatorikus karakterizációt. A globális irány-rúd merevség kérdése a mai napig nyitott. Egy (G, p) szerkezetet korlátosnak mondunk, ha létezik olyan K > 0 konstans, hogy bármely vele ekvivalens (G, q) szerkezet esetén tetsz leges u, v V csúcspárra q(u) q(v) K teljesül. Egy G = (V ; E) (ahol E-ben lehetnek irány- és/vagy hossz-élek) gráfot generikusan korlátosnak nevezünk, ha bármely generikus (G, p) realizációja korlátos. A szakirodalomban el forduló fontos kérdés a globális irány-rúd merevség és redundáns irány-rúd merevség kapcsolata, miután a kapcsolat leírása elvezethet a globális irány-rúd merevség jellemzéséhez. A fenti kérdés többek között felvet dött már Jackson és Jordán (2005)-ös cikkében is. Jackson és Keevash 5

7 (2009b) cikke a korlátosság segítségével ad kapcsolatot a két fogalomra a két dimenziós esetben. Az els tétel rúd, a második tétel irány-él elhagyása utáni irány-rúd merevséget vizsgálja. Tétel 1.4. Tegyük fel, hogy G = (V ; D, L) globálisan irány-rúd merev és L d, ekkor G\{e} irány-rúd merev lesz minden e L esetében. Tétel 1.5. Legyen G = (V ; D, L) globálisan irány-rúd merev gráf és tekintsük a d = 2 dimenziós esetet. Tegyük fel, hogy az e D élre G\{e}-nek van nem egy csúcsot tartalmazó irány-rúd merev részgráfja. Ekkor a G\{e} irány-rúd merev vagy generikusan nem korlátos. Mindkét tétel bizonyításához szükséges a generikus korlátosság jellemzése. Ez motiválta a dolgozatunkat, illetve Bill Jackson and Peter Keevash (2009a) cikkét is, melyek egymástól függetlenül, egyid ben, különböz technikák felhasználásával készültek. A dolgozat célja tehát egy algoritmus és ezáltal kombinatorikus karakterizáció megadása tetsz leges vegyes gráf generikus korlátosságának eldöntésére. Fontos, hogy generikus (G, p) realizációk korlátosságát vizsgáljuk csak, máskülönben nem tudnánk a G gráf korlátosságára kombinatorikus karakterizációt adni. Ezt egy rövid példán keresztül szemléltetjük: Figure 3: Nem korlátos (G, p) realizációja G-nek Figure 4: Korlátos (G, p) realizációja G-nek A G generikusan korlátos gráf 3. ábrán látható (G, p) realizációja nem generikus, mert az AB és DC élek párhuzamosak. Ebben az esetben a realizáció korlátos sem lesz az el bb említett élek párhuzamossága miatt. Ezzel ellentétben a 4. ábrán szerepl generikus (G, p) szerkezet már korlátos. A dolgozat a következ képpen épül fel. A bevezet második felében a dolgozat során felhasznált deníciókat és jelöléseket adjuk meg, majd a második fejezetben az algoritmus helyes m ködésének igazolásához szükséges állításokat látjuk be. A harmadik fejezet els részében megadjuk az algorimusunkat és felhasználva az el z fejezet eredényeit belátjuk helyességét. A fejezet második 6

8 részében megadunk egy eljárást, mely segítségével nem korlátos (G, p) realizáció esetén tetsz leges nagyságú, vele ekvivalens (G, q) realizációt tudunk készíteni. A harmadik fejezet els felében a tetsz leges nagyságú realizációt készít eljárás segítségével bebizonyítjuk, hogy a két különböz hossz-él denícióra felírt korlátossági probléma ekvivalens. A fejezet második felében belátjuk, hogy a kapott algoritmus ugyanazt a szükséges és elégséges feltételt generálja, mint ami Bill Jackson és Peter Keevash (2009a) cikkében is szerepel. 1.2 Jelölések A következ kben G = (V ; D, K) vegyes gráfokkal foglalkozunk, melyek olyan élcímkézett irányítatlan gráfok, ahol az élek irány-élek (D) és kötelek (K és számuk legyen m) lehetnek. A csak irány-éleket tartalmazó gráfot irány-gráfnak, míg a csak köteleket tartalmazó gráfot kötél-gráfnak nevezzük. Egy (G, p) szerkezetet triviális realizációnak hívunk, ha minden u, v V -re p(u) = p(v). Általában triviális realizáció alatt a (0,0,..,0)-ba eltolt változatot szoktuk érteni. A (G, p) szerkezetet generikusnak nevezzük, ha a realizáció tetsz leges csúcsát (0,0,...,0)- ba eltolva a többi csúcs koordinátáinak halmaza a racionális számtest fölött algebrailag független, azaz nem létezik olyan egész együtthatós, többváltozós, nem azonosan nulla polinom, melynek van a koordináták halmazából kikerül gyöke. A (G, p) és (G, q) szerkezetek irány-kötél ekvivalensek, ha minden uv D irány-élre teljesül q(u) q(v) = λ(p(u) p(v)) valamilyen λ skalárral és minden uv K kötélre fennáll p(u) p(v) c uv és q(u) q(v) c uv valamilyen el re megadott c uv konstanssal. A korlátosság vizsgálata szempontjából ez a feltétel lényegében egyenérték azzal, hogyha a kötél csúcsainál koordinátánként követeljük meg a korlátos távolságot, azaz c uv p i (u) minden uv K-ra és i {1,..., d}-re. Ennek oka, hogy ha p i (v) c uv p(u) p(v) 2 c 2 uv, akkor p i (u) p i (v) c uv, valamint ha p i (u) p i (v) c uv minden i {1,..., d}-re, akkor p(u) p(v) 2 dc 2 uv. Tehát megválaszthatóak a konstansok úgy, hogy az egyik féleképpen megadott kötél feltételt teljesít realizációk automatikusan teljesítsék a másik módon megadott kötél feltételt. Miután a korlátosság kérdése nem függ a konstansok pontos értékét l, ezért a kétfajta megadása a feltételnek ugyanazt a korlátossági kérdést adja. Vegyük a G = (V ; D) irány-gráf egy olyan (G, p) realizációját, melyben 7

9 p(1) = (0, 0,..., 0), azaz az 1-essel jelölt csúcs helye a d-dimenziós térben a (0,0,...,0) koordinátájú pont. Tekintsünk egy olyan (d 1) D (d V d)-es mátrixot, melyben minden egyes D-beli élhez d 1 sor és minden u V (u 1) csúcshoz d darab egymás melletti oszlop tartozik (az i + 1-edik (i>0) sorszámú csúcshoz a d(i 1) + 1,...,di-edik oszlop tartozik). Ezután vegyük minden e = uv D élhez tartozó p(u) p(v) tér egy B e = (p 1 (e) T, p 2 (e) T,..., p d 1 (e) T ) T bázisát (ahol B e (d 1) d-es mátrix), és az e élhez tartozó sor u csúcscsal címkézett d darab oszlopába írjuk be B e -t, míg a v csúccsal címkézett d oszlopába B e -t. Az u = 1 esetben B e, míg v = 1 esetén B e nem kerül bele a mátrixba. A maradék részét a mátrixnak töltsük fel 0-kal. Az így kapott mátrixot nevezzük a (G, p) realizáció irány-mátrixának és jelöljük D(G, p)-vel. Könnyen észrevehet, hogy a (G, p) realizáció csúcsaiból képzett x = ( p(2), p(3),..., p( V ) ) T oszlopvektor kielégíti a D(G, p)x = 0 egyenletrendszert. Továbbá elmondható, hogy egy (G, q) szerkezet, melynek egyes sorszámú csúcsa a (0, 0,..., 0)-ba van eltolva, pontosan akkor irány-ekvivalens (G, p)-vel, ha a (G, q) realizációból képzett y vektor kielégíti a D(G, p)y = 0 egyenletrendszert. Ezután vezessük be a váz denícióját. A (H, f) rendezett párt váznak nevezzük, ahol H = (V, E) gráf és f : E R d leképezés. A váz F (H, f) incidencia mátrixa egy E d( V 1) mátrix, ahol a sorokat a H gráf éleinek segítségével indexeljük, míg oszlopainak d méret csoportjait a csúcsok szerint (az egyes sorszámú csúcshoz tartozó oszlopokat kihagyjuk a mátrixból). Hasonlóan az irány-mátrixhoz, az e = uv E élhez tartozó sor u csúcshoz tartozó szakaszába f(e)-t, míg v-hez tartozó szakaszába f(e)-t írunk, végül a mátrixot 0-kal töltjük fel. Legyen H = (d 1)G = (V, (d 1)D) a G = (V, D) irány-gráf éleinek d 1-szerezésével gráf. Megjegyezzük, hogy a (G, p) szerkezet D(G, p) irány-mátrixa egyben a (H, f) váz (H = (d 1)G) egy F (H, f) incidencia mátrixa is, ahol az f : (d 1)D R d függvény értékeit a p(u) p(v) altér egy tetsz leges bázisa adja. A bázis megadható úgy, hogy minden bázisvektor koordinátája a p(u) p(v) vektor koordinátáinak ±1-szeresei és a 0 érték közül kerüljenek ki. Az F (H, f) mátrix sorai nem feltétlenül függetlenek, azaz tartalmazhatnak fölösleges információt. A Bill Jackson (2007) 1.4. tételéb l következ en független sorokból álló incidencia mátrixot hozhatunk létre, amelynek rangja megegyezik az irány-mátrix rangjával. Ezt a mátrixot nevezzük minimális incidencia mátrixnak. Jelöljük i E (X)-szel a G = (V, D) irány-gráf E D élhalmazából azon 8

10 irány-élek számát, melyek mindkét végpontja az X V csúcshalmazból kerül ki. Legyen H = (V, E) egy tetsz leges gráf és I(H) = {D E : i D (X) d X (d + 1) X V, ahol X 2} (1.1) élek egy halmazarendszere. Legyen B = arg max D (1.2) D I(H) és jelöljük H = (V, B)-vel az ezen élek által meghatározott gráfot. Ezentúl a (H, f ) váz alatt a (H, f) váz B-beli élek által meghatározott részét értjük. Tétel 1.6. A fenti jelöléseket használva teljesülni fog, hogy ahol r(a) az A mátrix rangját jelöli. r ( D(G, p) ) = r ( F (H, f ) ), (1.3) A fent megadott H gráf azért is érdekes, mert teljesíti Nash-Williams tételében (Nash-Williams (1964)) szerepl feltételt, azaz: Tétel 1.7. Egy G = (V, E) gráf, melyben E = d V d akkor és csak akkor bomlik fel d darab éldiszjunkt feszít fa uniójára, ha i E (X) d X d. Legyen G = (V, D) irány-gráf és (G, p) egy generikus realizációja. Azt mondjuk, hogy a (G, p) realizáció teljesíti a (H, f) vázban meghatározott feltételeket, ha a realizáció csúcsaiból készített d( V 1) dimenziós ( p(2), p(3),...., p( V ) ) T oszlopvektor megoldása az F (H, f)x = 0 egyenletrendszernek. Végül deniáljuk az összehúzás m veletét. Rendezzük tetszés szerint csoportokba a G = (V, D) gráf csúcsait, majd húzzuk össze a csoportok tagjait egy-egy új csúcsba. Az így kapott G + = (V +, D + ) gráf élei az eredeti G gráf azon élei lesznek, melyek a csoportok között vezettek. Ezt a m veletet nevezzük a G gráf összehúzásának. A (H, f) váz összehúzása is hasonlóan történik, annyi különbséggel, hogy itt egy új f + : D + R d függvényünk lesz, mely az eredeti f függvényünk D + D élhalmazra vett megszorítása. 9

11 2 Tételek az algoritmushoz Ebben a fejezetben el készületeket teszünk egy tetsz leges G = (V ; D, K) vegyes gráf generikus korlátosságát eldönt algoritmus megadására. Lemma 2.1. Legyen G = (V, D) tetsz leges irány-gráf és jelöljük H = (V, D )- vel a (d 1)G gráfot. Legyen B D a maximális nagyságú élhalmaz I(H)-ban és H = (V, B). Ekkor tetsz leges (H, f) vázhoz van olyan nemtriviális (G, p) realizációja a G gráfnak mely teljesíti a vázban foglalt feltételeket. Bizonyítás: A G irány-gráfhoz tartozó váz incidencia mátrixának d V d oszlopa és D d V d 1 sora van. Miután az F (H, f)x = 0 egyenletrendszer homogén ez maga után vonja, hogy végtelen sok megoldása lesz az egyenletrendszernek. Tetsz leges nem azonosan nulla megoldása pedig meghatározza egy nemtriviális, a (H, f) vázban szerepl megkötéseket teljesít (G, p) realizációját a G gráfnak. Állítás 2.2. Legyen (G, p) a G = (V, D) irány-gráf generikus realizációja, továbbá jelöljük (H, f)-fel a (G, p) által meghatározott minimális vázat és F (H, f)- fel a minimális incidencia mátrixot. Tekintsük a G gráf egy G = (V, D ) összehúzottját, amely egyben meghatározza a (H, f) váz egy (H, f ) összehúzását is, és tegyük fel, hogy a H = (V, E ) gráfra teljesül a következ két összefüggés: E d V d, (2.1) i E (X) d X d X V. (2.2) Ekkor a G gráfnak csak a triviális lesz az egyetlen olyan realizációja, mely teljesíti a (H, f ) vázban foglalt feltételeket. Bizonyítás: Tegyük fel indirekten, hogy létezik olyan nem triviális (G, p ) szerkezet, melyb l készült x = ( p 1(2),..., p d (2),..., p 1( V ),..., p d ( V ) ) T oszlopvektor kielégíti az F (H, f )x = 0 egyenletrendszert. Els lépésként belátjuk, hogy a H gráf tetsz leges összehúzottjára is teljesülni fog a (2.1) feltétel. Az 1.7. tételb l következ en H -ban van d éldiszjunkt feszít fa. Tetsz leges összehúzását véve a gráfnak, az összehúzott gráfban is lesz d éldiszjunkt feszít fa, így teljesülni fog rá a (2.1) feltétel. Csoportosítsuk ezután a G gráf csúcsait aszerint, hogy a (G, p ) realizációban egy pontba esnek-e. A H gráf csúcshalmaza megegyezik a G gráf 10

12 csúcshalmazával, így a H gráfban az el bb kapott csúcscsoportokat összehúzva a (2.1) feltételt teljesít gráfot kapunk. Ezentúl a G és H gráfokból a fenti csoportok összehúzásával kapott gráfokkal fogunk tovább dolgozni és az egyszer ség kedvéért ezen gráfokat fogjuk G -gal és H -gal jelölni. Tehát összefoglalva a G gráf olyan (G, p ) realizációjával dolgozunk ezentúl, melyre tetsz leges u, v V csúcspárra p (u ) p (v ) teljesül és a G -hoz tartozó H = (V, E ) gráfra teljesülni fog a (2.1) feltétel. A (2.1) feltételb l következik, hogy az F (H, f ) mátrix sorainak száma legalább akkora, mint oszlopainak száma. Az indirekt feltevés szerint az F (H, f )x = 0 egyenletrendszernek létezik nem triviális megoldása, így létezik olyan e = u v E éle a H gráfnak, melyhez tartozó F (H, f ) mátrixbeli sor benne van a többi sor által generált altérben. Jelöljük A V -val az u illetve B V -vel a v csúcshoz tartozó, G gráfbeli csúcshalmazokat. Különböztessünk meg két esetet az A és B csúcshalmazok között vezet irány-élek száma szerint. Az els esetben tegyük fel, hogy két vagy több irány-él vezet A és B között G-ben. A (G, p) realizáció generikuságából következik, hogy ezek páronként nem párhuzamosak. Minden ilyen élhez (H, f) egy d 1-dimenziós normálalteret határoz meg, amelyek így páronként különböznek. Összehúzás hatására az élekhez tartozó normálalterek nem változnak meg, így e élhez egy d dimenziós normálalteret fog a (H, f ) váz meghatározni, ami ellentmond a p (u) p (v) feltevésünknek. Második esetben tegyük fel, hogy az A és B csúcshalmazok között csak egy irány-él vezet a G gráfban és legyen ez uv D. Jelöljük Ĥ -gal a H gráfból az e él elhagyásával kapott gráfot, e E-vel az e él H gráfbeli megfelel jét és Ĥ-pal a H gráfból az e él elhagyásával nyert gráfot. A jelöléseket alkalmazva elmondható, hogy a (Ĥ, f) váz összehúzásával kapjuk a (Ĥ, f ) vázat, amelyhez tartozó F (Ĥ, f ) incidencia mátrix sorai meghatározzák az egész F (H, f ) mátrixot. A (H, f) minimális váz deníció szerint a G gráf minden g D irány-éléhez egy d 1 dimenziós normálalteret határoz meg, így a (H, f ) összehúzott váz is a G gráf minden g D éléhez egy d 1 dimenziós normálalteret határoz meg. A p (u ) p (v ) feltevésb l következik, hogy a (H, f ) váz az u v D élnek egy pontosan d 1 dimenziós alterét fogja meghatározni. A vázak összehúzása során az irányfeltételek nem változhatnak meg, így elmondhatjuk, hogy az uv D élnek a (H, f) váz által meghatározott d 1 dimenziós normálaltere megegyezik u v D él (H, f ) váz által 11

13 meghatározott pontosan d 1 dimenziós normálalterével. Összefoglalva az eddigieket a (Ĥ, f) váz egyértem en meghatározza az u v D élhez tartozó d 1 dimenziós normálalteret, ami megegyezik az uv D élhez tartozó d 1 dimenziós normálaltérrel, tehát a (Ĥ, f) váz meghatározza az uv D élhez tartozó d 1 dimenziós normálalteret. Különböztessünk meg két alesetet. Amennyiben f(e) benne van a (Ĥ, f) váz által meghatározott d 1 dimenziós alterében az uv D élnek, úgy ellentmondásra jutottunk azzal, hogy a (H, f) minimális váz F (H, f) minimális incidencia mátrixának sorai lineárisan függetlenek. A második esetben tegyük fel, hogy az f(e) vektor nincs benne a d 1 dimenziós normálaltérben. Ekkor azonban a (H, f ) váz az u v élre egy d dimenziós normálalteret határoz meg, ami azt jelenti, hogy az u és v csúcs minden realizációban egybe kell essen. Ez viszont ellentmond a (G, p ) realizációra tett feltevésünknek. Tehát csak triviális megoldása van a F (H, f )x = 0 egyenletrendszernek, azaz csak a triviális (G, p ) realizáció elégíti ki a (H, f ) vázban foglalt irány feltételeket. Frank András (2008)-as jegyzetének tétele kimondja, hogy: Tétel 2.3. Egy R = {x : Qx b} nemüres poliéderre a következ k ekvivalensek: (1) Q oszlopai lineárisan függetlenek. (2) R egyenes-mentes. A fenti tétel segítségével lássuk be a f tételünket. Tétel 2.4. A (G, p) irány-kötél szerkezet pontosan akkor nem korlátos, ha a G gráfnak van olyan G + összehúzottja, amelyben már csak irány-élek szerepelnek és létezik olyan (G +, q) nem triviális realizációja, amely teljesíti a (G, p) szerkezet által meghatározott (H, f) minimális váz összehúzásával kapott (H +, f + ) vázban meghatározott feltételeket, azaz a realizáció csúcsaiból képzett ( q(2),..., q( V + ) ) T d( V + 1) dimenziós oszlopvektor megoldása az F (H +, f + )x = 0 egyenletrendszernek. Bizonyítás: Könnyen látható, hogy egy (G, p) szerkezet pontosan akkor nem korlátos, ha tetsz leges w V csúcsot kiválasztva teljesül, hogy minden M természetes számhoz létezik olyan vele irány-kötél ekvivalens (G, q) realizáció, melyben van legalább egy z V csúcs és annak legalább egy i {1,..., d} koordinátája, melyre q i (w) q i (z) > M teljesül. Válasszuk ki így az egyes sorszámú csúcsot és legyen q(1) = (0, 0,..., 0) minden (G, p)-vel ekvivalens 12

14 realizáció esetén. Tehát a (G, p) szerkezet pontosan akkor nem korlátos, ha minden M természetes számhoz létezik olyan vele ekvivalens (G, q) szerkezet és a G vegyes gráfban olyan u V csúcs, hogy q i (u) > M teljesül valamely i {1,..., d} koordinátára. Készítsük el a (G, p) irány-kötél szerkezet által meghatározott irány-kötél mátrixot, mely az összes szükséges információt tartalmazza a (G, p) szerkezetr l. Els lépésben tekintsük az irány-élek által meghatározott részgráfot. A G = (V, D) G irány-élek alkotta részgráfnak egy (G, p) realizációja meghatároz egy F (H, f) minimális incidencia mátrixot. Legyen k a (H, f) minimális vázban az élek száma. Ez a mátrix alkotja az irány-kötél mátrix fels részét. Ezután a következ 2dm sorba a kötél feltételek szerepelnek, miszerint c uv p j (u) p j (v) c uv, ha uv K valamely el re adott c uv > 0 konstanssal. Így az irány-kötél mátrixunk az alábbi alakú lesz: f 1 (e 1 )... f d (e 1 ) f 1 (e 1 )... f d (e 1 ) f 1 (e k )... f d (e k ) A = Legyenek továbbá d( V 1) dimenziós oszlopvektorok, és x = (q(2), q(3),..., q(n)) T, (2.3) 0 = (0, 0,..., 0) T (2.4) b = (0, 0,..., 0, c 1,..., c 1, c 2,..., c 2,..., c m,..., c m ) T k + 2dm dimenziós oszlopvektorok. A G gráf (G, p)-vel ekvivalens (G, q) realizációiból képzett (2.3) alakú vektorok alkotják az Ax b egyenletrendszer megoldásainak halmazát, ahol az els k darab egyenl tlenség helyett egyenl ség áll fenn. A (G, q) realizációk 13

15 els csúcsát (0,0,...,0)-ba lerögzítettük, így pontosan akkor korlátos a (G, p) realizáció, ha a fenti Ax b egyenletrendszerrel meghatározott poliéder nem tartalmaz félegyenest. Az irány-kötél mátrix egy szimmetrikus poliédert határoz meg, így a (G, p) szerkezet korlátossága ekvivalens az {x : Ax b} poliéder egyenesmentességével. A 2.3 Tételb l következ en az egyenesmentesség ekvivalens az irány-kötél mátrix oszlopainak függetlenségével, azaz hogy az Ax = 0 egyenletrendszernek csak a triviális a jó megoldása. Próbáljuk gráfok segítségével megoldani az átfogalmazott problémát, azaz nézzük meg, hogy milyen esetben lesz végtelen sok megoldása az egyenletrendszernek. Tekintsük a z oszlopvektort (2.3) alakban, azaz mintha V 1 darab d dimenziós csúcsot egy vektorba tárolnánk egymás után. Az A mátrix els k sora a (G, p) realizáció irány-éleire vonatkozó megkötéseket tartalmazza, azaz olyan (G, q) realizációt keresünk, melyre az irány feltételek teljesülnek. Itt fontos megjegyeznünk, hogy két csúcs közötti irány-él feltétel nem sérül, ha a két csúcs a realizációban egy pontba esik. A következ dm sor pedig azt fejezi ki az Ax = 0 egyenletrendszerben, hogy a kötelek végpontjai egybeesnek. Azaz átfogalmazva a problémát olyan összehúzását keressük a gráfnak, melyben csak irány-élek szerepelnek (tehát a kötelek csúcsai össze vannak húzva) és van nem triviális realizációja az összehúzásnak. Amennyiben találunk ilyent, a (G, p) realizációnk nem korlátos, ellenkez esetben pedig korlátos. 14

16 3 Az algoritmus 3.1 Az algoritmus megadása Ebben a részfejezetben megadunk egy algoritmust, mely eldönti egy G vegyes gráfról, hogy generikusan korlátos-e. Az eljárás helyességének belátásához az el z fejezetben belátott állításokat fogjuk felhasználni. Az algoritmusunk célja, hogy találjon egy megfelel G + összehúzását a G gráfnak. Induljunk ki egy tetsz leges (G, p) generikus szerkezetb l és vegyük az irány-élei által meghatározott (H, f) minimális váz összehúzása után kapott (H, f ) vázat. Olyan G + összehúzott gráfot keresünk, melyhez létezik olyan nem triviális (G +, p + ) realizáció, amely teljesíti a (H, f ) vázban foglalt megkötéseket, azaz a (p + (2),..., p + ( V + )) T oszlopvektor nem triviális megoldása az F (H, f )x = 0 egyenletrendszernek. Amennyiben az algoritmusunk nem talál ilyen G + összehúzást, úgy a G gráfunk generikusan korlátos. Els lépésben a G gráf irány-élei helyett a (1.2)-ban meghatározott élhalmazt írjuk be, így megkapjuk a H gráfunkat. Ezután húzzuk össze a H gráfban a kötelek csúcsait egy-egy pontba. Az így kapott Ĥ gráfban az élek ezentúl az összehúzás után kapott új csúcsok között vezetnek majd. Azon éleket, melyek csúcsait összehúztuk, elhagyhatjuk a Ĥ gráfból, miután semmilyen plusz megkötést nem tartalmaznak. Ezután keressük meg a Ĥ gráf egy olyan H = (V, E ) részgráfját, melyre teljesül E d V d, i E (X) d X d X V, és amint találunk egyet, húzzuk össze egy pontba. (Nevezzük ezentúl ezen részgráfokat túlhatározottaknak.) Folytassuk az eljárásunkat, amíg már nem találunk több ilyen részgráfot. Amennyiben az eljárás végén egy pontot kapunk, úgy az algoritmus a G gráfot generikusan korlátosnak adja, míg ellenkez esetben a gráfot generikusan nem korlátosnak mondja. Az algoritmust röviden összefoglalva az alábbi diagrammot kapjuk: 1. Gráfban a kötelek által meghatározott részgráfok összehúzása 2. Ciklus kezd dik Amíg van túlhatározott részgráf tedd - Húzd össze egy pontba a csúcsait - A túlhatározott részgráfból kiinduló 15

17 élek ebb l a pontból indulnak ezentúl Ciklus vége 3. Ha az eredmény egy pont kiír: Korlátos Különben kiír: Nem korlátos. Tétel 3.1. A fent megadott algoritmusunk helyesen m ködik. Bizonyítás: Az algoritmus kétféle eredménnyel állhat le. Els esetben az algoritmus nem egy pontot ad vissza eredményként, hanem egy olyan H + = (V +, E + ) gráfot, melyre i E +(X) d X (d + 1) X V +. (3.1) Tetsz legesen megválasztva az f + : E + R d függvényt a 2.1 Lemmából következ en létezik olyan (G +, p + ) nem triviális realizáció, mely a (H +, f + ) generikus vázban meghatározott feltételeket teljesíti, azaz a (p + (2),..., p + ( V + )) T oszlopvektor megoldása lesz az F (H +, f + )x = 0 egyenletrendszernek. Így a 2.4. tételb l következ en tetsz leges generikus (G, p) szerkezet nem korlátos lesz, tehát a G gráfunk generikusan nem korlátos. A másik irányhoz be kell látnunk, hogy amennyiben az algoritmus egy pontban áll le, nem lesz olyan nem triviális realizációja az összehúzott G + gráfnak, mely teljesíti tetsz leges generikus (G, p) szerkezet által meghatározott (H +, f + ) vázban foglalt megkötéseket. Az algoritmus során csak olyan részgráfokat húzunk össze, amelyeknek a 2.2 Állításból következ en csak a triviális az egyetlen jó realizációja. Amennyiben ezen eljárás során egy pontot kapunk végeredményül, úgy elmondhatjuk, hogy nem létezik nem triviális realizációjú G + összehúzottja a G gráfnak, tehát a 2.4 Tételb l következ en a G + gráf generikusan korlátos lesz. A következ kben az algoritmus m ködését szemléltetjük egy rövid példán keresztül kétdimenzióban, generikusan nem korlátos G gráf esetén. Induljunk ki az 5. ábrán látható G vegyes gráfból (piros szaggatott élek a köteleket, a fekete élek az irány-éleket jelölik) és húzzuk össze els lépésként a kötelek alkotta részgráfokat. Így megkapjuk a 6. ábrán szerepl gráfot, melyben az {A, C}, {D, F } és {J, H} csúcsok túlhatározott részgráfokat határoznak meg. Ezen részgráfok összehúzása után megkapjuk a 7. ábrát, melyben {D, E} csúcsok által meghatározott részgráf túlhatározott lesz. Ezt összehúzva kapjuk 16

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Kombinatorikus módszerek gráfok és rúdszerkezetek merevségének vizsgálatában OTKA 49671 2005-2008 Témavezető: Jordán Tibor (ELTE)

Kombinatorikus módszerek gráfok és rúdszerkezetek merevségének vizsgálatában OTKA 49671 2005-2008 Témavezető: Jordán Tibor (ELTE) SZAKMAI ZÁRÓJELENTÉS Kombinatorikus módszerek gráfok és rúdszerkezetek merevségének vizsgálatában OTKA 49671 2005-2008 Témavezető: Jordán Tibor (ELTE) Rúdszerkezetek statikai tulajdonságainak matematikai

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12. Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN

PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN CSIKVÁRI PÉTER Kivonat. Ebben a jegyzetben bebizonyítjuk Bondy és Simonovits következő tételét. Ha egy n csúcsú egyszerű gráf nem tartalmaz C k kört akkor az éleinek száma

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

KONVEX HALMAZ, FARKAS TÉTEL, GORDAN TÉTEL, EXTREMÁLIS PONT, EXTREMÁLIS IRÁNY, LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELMÉLETE

KONVEX HALMAZ, FARKAS TÉTEL, GORDAN TÉTEL, EXTREMÁLIS PONT, EXTREMÁLIS IRÁNY, LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELMÉLETE KONVEX HALMAZ, FARKAS TÉTEL, GORDAN TÉTEL, EXTREMÁLIS PONT, EXTREMÁLIS IRÁNY, LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELMÉLETE DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott

Részletesebben

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék

DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék FELTÉTELES OPTIMALIZÁLÁS DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-4...B-0//KONV-00-000 jel½u projekt részeként az Európai Unió támogatásával,

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

Ramsey tétele(i) gráfokra

Ramsey tétele(i) gráfokra Ramsey tétele(i) gráfokra A témakör a szociológusok alábbi észrevételének általánosítása: legalább hat tagú társaságban vagy van háromfős klikk, vagy van háromfős antiklikk. Itt klikk olyan emberek halmazát

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function)

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) Genetikus algoritmusok globális optimalizálás sok lehetséges megoldás közül keressük a legjobbat értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) populáció kiválasztjuk a legrátermettebb egyedeket

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések 1 Diszkrét matematika II., 1. el adás Lineáris leképezések Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. február 6 Gyakorlati célok Ezen el adáson,

Részletesebben

A zsebrádiótól Turán tételéig

A zsebrádiótól Turán tételéig Jegyzetek egy matekóráról Lejegyezte és kiegészítésekkel ellátta: Meszéna Balázs A katedrán: Pataki János A gráfokat rengeteg életszagú példa megoldásában tudjuk segítségül hívni. Erre nézzünk egy példát:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Geometriai algoritmusok

Geometriai algoritmusok Geometriai algoritmusok Alapfogalmak Pont: (x,y) R R Szakasz: Legyen A,B két pont. Az A és B pontok által meghatározott szakasz: AB = {p = (x,y) : x = aa.x + (1 a)b.x,y = aa.y + (1 a)b.y),a R,0 a 1. Ha

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 063 MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

A Shapley-megoldás airport játékokon

A Shapley-megoldás airport játékokon A Shapley-megoldás airport játékokon Szakdolgozat Készítette: Márkus Judit Alkalmazott közgazdaságtan alapszak Közgazdaságtudományi Kar Szakszemináriumvezet : Pintér Miklós Péter, egyetemi docens Matematika

Részletesebben

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége LINEÁRIS VEKTORTÉR Kiegészítő anyag (Bércesné Noák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége Vektortér V 0 Halmaz T test : + ; + ; Abel csoport V elemeit ektoroknak neezzük. Abel - csoport Abel

Részletesebben

VRV Xpressz Használati Útmutató

VRV Xpressz Használati Útmutató VRV Xpressz Használati Útmutató A programmal néhány perc alatt nem csak 5-6 beltéri egységes munkákat, hanem komplett, 3-400 beltéri egységgel rendelkez irodaházakat, szállodákat is meg lehet tervezni.

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Alap fatranszformátorok I. Oyamaguchi [3], Dauchet és társai [1] és Engelfriet [2] bebizonyították hogy egy tetszőleges alap

Alap fatranszformátorok I. Oyamaguchi [3], Dauchet és társai [1] és Engelfriet [2] bebizonyították hogy egy tetszőleges alap Alap fatranszformátorok I Vágvölgyi Sándor Oyamaguchi [3], Dauchet és társai [1] és Engelfriet [2] bebizonyították hogy egy tetszőleges alap termátíró rendszerről eldönthető hogy összefolyó-e. Mindannyian

Részletesebben

OPERÁCIÓKUTATÁS. No. 2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZAS

OPERÁCIÓKUTATÁS. No. 2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZAS OPERÁCIÓKUTATÁS No. 2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZAS Budapest 2002 Komáromi Éva: LINEÁRIS PROGRAMOZÁS OPERÁCIÓKUTATÁS No.2 Megjelenik az FKFP 0231 Program támogatásával a Budapesti Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus.

5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus. 5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus. Optimalis feszítőfák Egy összefüggő, irányítatlan

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

Állandó együtthatós lineáris rekurziók

Állandó együtthatós lineáris rekurziók 1. fejezet Állandó együtthatós lineáris rekurziók 1.1. A megoldás menete. Mese. Idézzük fel a Fibonacci-számokat! Az F n sorozatot a következő módon definiáltuk: legyen F 0 = 0, F 1 = 1, és F n+2 = F n+1

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

1. Előadás: Az alapfeladat. 1. Az optimalizálás alapfeladata és alapfogalmai

1. Előadás: Az alapfeladat. 1. Az optimalizálás alapfeladata és alapfogalmai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 1. Előadás: Az alapfeladat Előadó: Hajnal Péter 2015. tavasz L.V. Kantorovics (1912-1986) Az optimalizálás a matematika legkülönfélébb területeinek találkozási

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Vizsga Lineáris algebra tárgyból. 2012/13 akadémiai év, I. félév

Vizsga Lineáris algebra tárgyból. 2012/13 akadémiai év, I. félév 1 Vizsga Lineáris algebra tárgyból 2012/13 akadémiai év, I. félév TARTALOM: 1. Elméleti anyag (melyet a vizsgára meg kell tanulni)...2. old. 2. A vizsga lebonyolítása, osztályozás...3. old. 2.1 Vizsga

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

38. A gráfalgoritmusok alkalmazása

38. A gráfalgoritmusok alkalmazása 38. A gráfalgoritmusok alkalmazása Állapotok és átmenetek A gráf adattípus nagyon sokféle feladat megoldásánál alkalmazható. Rejtvények, játékok, közlekedési és szállítási problémák, stratégiai feladatok

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 1 Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések A matematikában alapfogalmaknak tekintjük azokat a fogalmakat, amelyeket nem határozunk meg, nem definiálunk más fogalmak segítségével

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

Mikroökonómia II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 5. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 5. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

5. Lineáris rendszerek

5. Lineáris rendszerek 66 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 5 Lineáris rendszerek 5 Lineáris algebrai előismeretek Tekintsük az a x + a 2 x 2 = b 5 a 2 x + a 22 x 2 = b 2 52 lineáris egyenletrendszert Az egyenletben szereplő

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Ismétlés nélküli permutáció

Ismétlés nélküli permutáció Ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböz elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ezt n elem ismétlés nélküli permutációjának nevezzük.) Például hány féleképpen lehet sorba

Részletesebben

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók 5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 A kiterjesztési elv 2 Nyelvi változók A kiterjesztési elv 237 A KITERJESZTÉSI ELV A

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben