TDK dolgozat. Korlátosság vizsgálata irány-hossz vegyes gráfok esetén

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "TDK dolgozat. Korlátosság vizsgálata irány-hossz vegyes gráfok esetén"

Átírás

1 TDK dolgozat Korlátosság vizsgálata irány-hossz vegyes gráfok esetén Szabó Botond Alkalmazott matematikus szak Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2009 Témavezet : Jordán Tibor, egyetemi tanár ELTE TTK Matematikai Intézet Operációkutatási Tanszék

2 Contents 1 Bevezetés Általános bevezetés Jelölések Tételek az algoritmushoz 10 3 Az algoritmus Az algoritmus megadása Generikusan nem korlátos gráf tetsz legesen nagy realizációja Következmények, kapcsolatok A kétféle modell ekvivalenciája Gráfelméleti karakterizáció a korlátosságra

3 Absztrakt Irány-hossz rendszernek nevezzük azon (G, p) rendezett párokat, ahol a G = (V ; D, L) vegyes gráf, melyben V jelöli a csúcsok, D az "irány élek", L a "hossz élek" halmazát és p egy leképezés V -b l a d dimenziós Euklideszi térbe. Egy uv él címkéje egy hossz vagy irány korlátozást fog adni p(u) és p(v) között. A hossz korlátozás lehet fels határ vagy pontos távolság megadás és az így megadott két fajta deníció alapján lehet kötél illetve rúd modellr l beszélni. A dolgozat során a kötél modell korlátosságával foglalkoztam majd végül beláttam, hogy a kapott állítások rúd modellre is alkalmazhatóak. Els ként egy algoritmust adtam meg, mely eldönti, hogy egy (G, p) rendszer korlátos-e, majd nem korlátos esetben tetsz leges nagyságú gráf elkészítésére adtam egy eljárást. Az algoritmus felhasználásával beláttam, hogy a kötél és rúd modell korlátosságának feltétele megegyezik, azaz az algoritmus mindkét modellre alkalmazható. Végül igazoltam, hogy az algoritmus pontosan azon gráfokat adja korlátosnak, melyek Bill Jackson és Peter Keevash (2009a) cikkében szerepl korlátosság feltételeket is teljesítik, azaz az eljárásnak és a cikknek a (G, p) rendezett pár korlátosságára adott feltételrendszere megegyezik. A dolgozat során az általánosan használt rúd modell helyett bevezetett kötél modell segítségével egyszer síteni tudtam a problémát és a matroid elméletet kikerülve elemi operációkutatási módszereket alkalmazva sikerült a gráf korlátosságával ekvivalens feltételt megadni. A két modell korlátosságának ekvivalenciája miatt a kapott módszer segítséget nyújthat összetettebb problémák vizsgálatánál. 2

4 1 Bevezetés 1.1 Általános bevezetés A geometriai megkötésekkel megadott szerkezeteket gyakorlati problémák széles skálájának modellezésére alkalmazzák, mint például szenzor rendszereknél, molekulák rugalmasságánál és számítógépes formatervezésnél. A G gráf bizonyos éleire irány (D, irány-élek) illetve hossz (hossz-élek) megkötéseket tehetünk és az így keletkezett rendszerrel kapcsolatban számos érdekes kérdés merül fel. Vizsgálhatunk olyan rendszereket, melyekben csak az élek hosszára (Laman (1970)) vagy irányára van megkötés (Whiteley (1996)), illetve a vegyes gráfok esetét, melyben mindkett fajta megkötés el fordulhat (Servatius and Whiteley (1999)). A hossz-éleket kétféleképpen deniálhatjuk. Az általánosan bevett gyakorlat szerint rúdnak (L) nevezzük azon hossz-éleket, melyekben az él hossza x, míg a dolgozatban bevezetett deníció szerint kötélnek (K) nevezzük azon hossz-éleket, melyekben az él hosszára fels korlát van megadva. A dolgozat során belátjuk, hogy az általunk vizsgált tulajdonságok egybeesnek a különböz denícióval megadott modellekben. Az él korlátozásokkal megadott gráfok esetén természetesnek t nik annak a kérdése, hogy az adataink tartalmaznak-e ellentmondást vagy létezik a feltételeket kielégít realizációja a gráfnak. Létezés esetén továbbá felmerül az egyértelm ség kérdése. Jelentse a (G, p) rendezett pár a G = (V, E) gráf egy realizációját a d dimenziós Euklideszi térben, ahol p : V R d függvény a csúcsok helyét jelöli. A kizárólag csak élek hosszára vonatkozó megkötéseket tartalmazó G = (V ; L) rúd-gráf két (G, p) és (G, q) realizációját rúd-ekvivalensnek nevezzük, ha minden élük egyenl hosszú illetve rúd-kongruensnek nevezzük ket, ha tetsz leges u, v V csúcsra teljesül, hogy p(u) p(v) = q(u) q(v). Ezek segítségével deniálhatjuk a realizáció unicitásának különböz szintjeit. Egy (G, p) realizációt globálisan rúd-merevnek hívunk, ha bármely vele rúdekvivalens (G, q) realizáció egyúttal rúd-kongruens is lesz vele. Továbbá rúdmerevnek nevezzük (G, p)-t, ha létezik olyan ɛ > 0 környezet, hogy bármely vele rúd-ekvivalens (G, q) realizációra, melyre teljesül, hogy q(u) p(u) < ɛ minden u V csúcsra, a két realizáció egyúttal rúd-kongruens is lesz. Saxe (1979) bebizonyította, hogy a csak hossz megkötéseket tartalmazó gráfok esetén mind a létezés, mind a globális egyértelm ség eldöntése NP-nehéz feladat. Ennek oka, hogy bizonyos speciális esetek megnehezítik a probléma eldön- 3

5 tését. Ebb l kifolyólag a gráfnak csak a generikus (G, p) realizációit vizsgáljuk, melynek pontos denícióját a 1.2 alfejezetben adjuk meg. Egy G = (V ; L) rúdgráfot rúd-merevnek, illetve globálisan rúd-merevnek hívunk, ha minden generikus (G, p) realizációja rúd-merev, illetve globálisan rúd-merev. A speciális kétdimenziós esetben a G gráf rúd-merevségre (Laman (1970)) és a globális rúd-merevségére (Jackson és Jordán (2005)) adott kombinatorikus karakterizációt. Magasabb dimenzióban nem ismert kombinatorikai karakterizáció az unicitás kérdésére. A csak irány-élekkel deniált G = (V ; D) irány-gráfra egy (G, p) és egy (G, q) realizációt irány-ekvivalensnek mondunk, ha bármely e = uv D élhez tartozó p(u) p(v) és q(u) q(v) egymás konstansszorosai, valamint iránykongruensnek nevezzük ket, ha a fenti állítás tetsz leges u, v V csúcspárra teljesül. A (G, p) szerkezet irány-merev, ha tetsz leges vele irány-ekvivalens (G, q) szerkezet egyúttal irány-kongruens is lesz vele. A G irány-gráf iránymerev, ha tetsz leges generikus (G, p) realizációja irány-merev lesz. A generikusan merev G irány-gráfokra d-dimenzióban Whiteley (1996) adott kombinatorikus karakterizációt. A speciális kétdimenziós esetre az alábbi kapcsolat áll fent a rúd-merevséggel: Tétel 1.1. Kétdimenzióban a G = (V ; L) rúd-gráf pontosan akkor rúd-merev, ha a G = (V ; D) irány-gráf irány-merev. (A két gráfban a rúd illetve az irány-élek halmaza megegyezik). Laman (1970) speciális kétdimenziós esetre adott karakterizációja a merevségre: Tétel 1.2. Egy D = 2n 3 él csak irány-élekb l álló gráf akkor és csak akkor irány-merev, ha D 2 V (D ) 3 minden nemüres D részhalmazára D-nek. Ezzel ekvivalens leírást ad Lovász és Yemini (1982) tétele: Tétel 1.3. Egy G = (V, E), 2n 3 irány-élb l álló gráf akkor és csak akkor irány-merev, ha minden e E él esetén a G gráfból az e él megduplázásával készített új gráf élhalmaza felbomlik két éldiszjunkt feszít fa uniójára. Az irány-éleket és rudakat is tartalmazó G = (V ; D, L) vegyes gráf (G, p) és (G, q) realizációját irány-rúd ekvivalensnek nevezzük, ha bármely uv D irány-élre a p(u) p(v) és q(u) q(v) vektorok egymás konstansszorosai 4

6 valamint bármely zw L rúdra p(z) p(w) = q(z) q(w). A két szerkezetet továbbá irány-rúd kongruensnek hívjuk, ha (G, p)-b l csak eltolás és ±1-szeres nagyítás segítségével megkaphatjuk (G, q)-t, azaz G bármely két csúcsának távolsága megegyezik a két realizációban, illetve a csúcsok különbség vektorai egymás ±1-szeresei. Az irány-rúd merevség és globális irány-rúd merevségség deniálása a (G, p) rúd-szerkezet esetéhez hasonlóan történik. A következ ábrán egy olyan (G, p) szerkezetet láthatunk, mely irány-rúd merev, de nem globálisan irány-rúd merev (hiszen létezik olyan (G, q) vele irány-rúd ekvivalens realizáció, amely nem irány-rúd kongruens vele). Az ábrákon szaggatott piros szakaszok jelölik a rudakat és fekete folytonos szakaszok jelölik az irány-éleket. Figure 1: (G, p) realizációja G- nek Figure 2: (G, q) realizációja G-nek A G = (V ; D, L) gráfot irány-rúd merevnek, illetve globálisan irány-rúd merevnek nevezzük, ha tetsz leges generikus (G, p) realizációja irány-rúd merev illetve globálisan irány-rúd merev. Fontos és sokat vizsgált tulajdonsága a gráfnak a redundáns irány-rúd merevség. Egy G = (V ; D, L) vegyes gráfot redundánsan irány-rúd merevnek nevezünk, ha tetsz leges él elvétele után irányrúd merev marad a gráf. A G vegyes gráf kétdimenziós irány-rúd merevségére Servatius és Whiteley (1999) adott kombinatorikus karakterizációt. A globális irány-rúd merevség kérdése a mai napig nyitott. Egy (G, p) szerkezetet korlátosnak mondunk, ha létezik olyan K > 0 konstans, hogy bármely vele ekvivalens (G, q) szerkezet esetén tetsz leges u, v V csúcspárra q(u) q(v) K teljesül. Egy G = (V ; E) (ahol E-ben lehetnek irány- és/vagy hossz-élek) gráfot generikusan korlátosnak nevezünk, ha bármely generikus (G, p) realizációja korlátos. A szakirodalomban el forduló fontos kérdés a globális irány-rúd merevség és redundáns irány-rúd merevség kapcsolata, miután a kapcsolat leírása elvezethet a globális irány-rúd merevség jellemzéséhez. A fenti kérdés többek között felvet dött már Jackson és Jordán (2005)-ös cikkében is. Jackson és Keevash 5

7 (2009b) cikke a korlátosság segítségével ad kapcsolatot a két fogalomra a két dimenziós esetben. Az els tétel rúd, a második tétel irány-él elhagyása utáni irány-rúd merevséget vizsgálja. Tétel 1.4. Tegyük fel, hogy G = (V ; D, L) globálisan irány-rúd merev és L d, ekkor G\{e} irány-rúd merev lesz minden e L esetében. Tétel 1.5. Legyen G = (V ; D, L) globálisan irány-rúd merev gráf és tekintsük a d = 2 dimenziós esetet. Tegyük fel, hogy az e D élre G\{e}-nek van nem egy csúcsot tartalmazó irány-rúd merev részgráfja. Ekkor a G\{e} irány-rúd merev vagy generikusan nem korlátos. Mindkét tétel bizonyításához szükséges a generikus korlátosság jellemzése. Ez motiválta a dolgozatunkat, illetve Bill Jackson and Peter Keevash (2009a) cikkét is, melyek egymástól függetlenül, egyid ben, különböz technikák felhasználásával készültek. A dolgozat célja tehát egy algoritmus és ezáltal kombinatorikus karakterizáció megadása tetsz leges vegyes gráf generikus korlátosságának eldöntésére. Fontos, hogy generikus (G, p) realizációk korlátosságát vizsgáljuk csak, máskülönben nem tudnánk a G gráf korlátosságára kombinatorikus karakterizációt adni. Ezt egy rövid példán keresztül szemléltetjük: Figure 3: Nem korlátos (G, p) realizációja G-nek Figure 4: Korlátos (G, p) realizációja G-nek A G generikusan korlátos gráf 3. ábrán látható (G, p) realizációja nem generikus, mert az AB és DC élek párhuzamosak. Ebben az esetben a realizáció korlátos sem lesz az el bb említett élek párhuzamossága miatt. Ezzel ellentétben a 4. ábrán szerepl generikus (G, p) szerkezet már korlátos. A dolgozat a következ képpen épül fel. A bevezet második felében a dolgozat során felhasznált deníciókat és jelöléseket adjuk meg, majd a második fejezetben az algoritmus helyes m ködésének igazolásához szükséges állításokat látjuk be. A harmadik fejezet els részében megadjuk az algorimusunkat és felhasználva az el z fejezet eredényeit belátjuk helyességét. A fejezet második 6

8 részében megadunk egy eljárást, mely segítségével nem korlátos (G, p) realizáció esetén tetsz leges nagyságú, vele ekvivalens (G, q) realizációt tudunk készíteni. A harmadik fejezet els felében a tetsz leges nagyságú realizációt készít eljárás segítségével bebizonyítjuk, hogy a két különböz hossz-él denícióra felírt korlátossági probléma ekvivalens. A fejezet második felében belátjuk, hogy a kapott algoritmus ugyanazt a szükséges és elégséges feltételt generálja, mint ami Bill Jackson és Peter Keevash (2009a) cikkében is szerepel. 1.2 Jelölések A következ kben G = (V ; D, K) vegyes gráfokkal foglalkozunk, melyek olyan élcímkézett irányítatlan gráfok, ahol az élek irány-élek (D) és kötelek (K és számuk legyen m) lehetnek. A csak irány-éleket tartalmazó gráfot irány-gráfnak, míg a csak köteleket tartalmazó gráfot kötél-gráfnak nevezzük. Egy (G, p) szerkezetet triviális realizációnak hívunk, ha minden u, v V -re p(u) = p(v). Általában triviális realizáció alatt a (0,0,..,0)-ba eltolt változatot szoktuk érteni. A (G, p) szerkezetet generikusnak nevezzük, ha a realizáció tetsz leges csúcsát (0,0,...,0)- ba eltolva a többi csúcs koordinátáinak halmaza a racionális számtest fölött algebrailag független, azaz nem létezik olyan egész együtthatós, többváltozós, nem azonosan nulla polinom, melynek van a koordináták halmazából kikerül gyöke. A (G, p) és (G, q) szerkezetek irány-kötél ekvivalensek, ha minden uv D irány-élre teljesül q(u) q(v) = λ(p(u) p(v)) valamilyen λ skalárral és minden uv K kötélre fennáll p(u) p(v) c uv és q(u) q(v) c uv valamilyen el re megadott c uv konstanssal. A korlátosság vizsgálata szempontjából ez a feltétel lényegében egyenérték azzal, hogyha a kötél csúcsainál koordinátánként követeljük meg a korlátos távolságot, azaz c uv p i (u) minden uv K-ra és i {1,..., d}-re. Ennek oka, hogy ha p i (v) c uv p(u) p(v) 2 c 2 uv, akkor p i (u) p i (v) c uv, valamint ha p i (u) p i (v) c uv minden i {1,..., d}-re, akkor p(u) p(v) 2 dc 2 uv. Tehát megválaszthatóak a konstansok úgy, hogy az egyik féleképpen megadott kötél feltételt teljesít realizációk automatikusan teljesítsék a másik módon megadott kötél feltételt. Miután a korlátosság kérdése nem függ a konstansok pontos értékét l, ezért a kétfajta megadása a feltételnek ugyanazt a korlátossági kérdést adja. Vegyük a G = (V ; D) irány-gráf egy olyan (G, p) realizációját, melyben 7

9 p(1) = (0, 0,..., 0), azaz az 1-essel jelölt csúcs helye a d-dimenziós térben a (0,0,...,0) koordinátájú pont. Tekintsünk egy olyan (d 1) D (d V d)-es mátrixot, melyben minden egyes D-beli élhez d 1 sor és minden u V (u 1) csúcshoz d darab egymás melletti oszlop tartozik (az i + 1-edik (i>0) sorszámú csúcshoz a d(i 1) + 1,...,di-edik oszlop tartozik). Ezután vegyük minden e = uv D élhez tartozó p(u) p(v) tér egy B e = (p 1 (e) T, p 2 (e) T,..., p d 1 (e) T ) T bázisát (ahol B e (d 1) d-es mátrix), és az e élhez tartozó sor u csúcscsal címkézett d darab oszlopába írjuk be B e -t, míg a v csúccsal címkézett d oszlopába B e -t. Az u = 1 esetben B e, míg v = 1 esetén B e nem kerül bele a mátrixba. A maradék részét a mátrixnak töltsük fel 0-kal. Az így kapott mátrixot nevezzük a (G, p) realizáció irány-mátrixának és jelöljük D(G, p)-vel. Könnyen észrevehet, hogy a (G, p) realizáció csúcsaiból képzett x = ( p(2), p(3),..., p( V ) ) T oszlopvektor kielégíti a D(G, p)x = 0 egyenletrendszert. Továbbá elmondható, hogy egy (G, q) szerkezet, melynek egyes sorszámú csúcsa a (0, 0,..., 0)-ba van eltolva, pontosan akkor irány-ekvivalens (G, p)-vel, ha a (G, q) realizációból képzett y vektor kielégíti a D(G, p)y = 0 egyenletrendszert. Ezután vezessük be a váz denícióját. A (H, f) rendezett párt váznak nevezzük, ahol H = (V, E) gráf és f : E R d leképezés. A váz F (H, f) incidencia mátrixa egy E d( V 1) mátrix, ahol a sorokat a H gráf éleinek segítségével indexeljük, míg oszlopainak d méret csoportjait a csúcsok szerint (az egyes sorszámú csúcshoz tartozó oszlopokat kihagyjuk a mátrixból). Hasonlóan az irány-mátrixhoz, az e = uv E élhez tartozó sor u csúcshoz tartozó szakaszába f(e)-t, míg v-hez tartozó szakaszába f(e)-t írunk, végül a mátrixot 0-kal töltjük fel. Legyen H = (d 1)G = (V, (d 1)D) a G = (V, D) irány-gráf éleinek d 1-szerezésével gráf. Megjegyezzük, hogy a (G, p) szerkezet D(G, p) irány-mátrixa egyben a (H, f) váz (H = (d 1)G) egy F (H, f) incidencia mátrixa is, ahol az f : (d 1)D R d függvény értékeit a p(u) p(v) altér egy tetsz leges bázisa adja. A bázis megadható úgy, hogy minden bázisvektor koordinátája a p(u) p(v) vektor koordinátáinak ±1-szeresei és a 0 érték közül kerüljenek ki. Az F (H, f) mátrix sorai nem feltétlenül függetlenek, azaz tartalmazhatnak fölösleges információt. A Bill Jackson (2007) 1.4. tételéb l következ en független sorokból álló incidencia mátrixot hozhatunk létre, amelynek rangja megegyezik az irány-mátrix rangjával. Ezt a mátrixot nevezzük minimális incidencia mátrixnak. Jelöljük i E (X)-szel a G = (V, D) irány-gráf E D élhalmazából azon 8

10 irány-élek számát, melyek mindkét végpontja az X V csúcshalmazból kerül ki. Legyen H = (V, E) egy tetsz leges gráf és I(H) = {D E : i D (X) d X (d + 1) X V, ahol X 2} (1.1) élek egy halmazarendszere. Legyen B = arg max D (1.2) D I(H) és jelöljük H = (V, B)-vel az ezen élek által meghatározott gráfot. Ezentúl a (H, f ) váz alatt a (H, f) váz B-beli élek által meghatározott részét értjük. Tétel 1.6. A fenti jelöléseket használva teljesülni fog, hogy ahol r(a) az A mátrix rangját jelöli. r ( D(G, p) ) = r ( F (H, f ) ), (1.3) A fent megadott H gráf azért is érdekes, mert teljesíti Nash-Williams tételében (Nash-Williams (1964)) szerepl feltételt, azaz: Tétel 1.7. Egy G = (V, E) gráf, melyben E = d V d akkor és csak akkor bomlik fel d darab éldiszjunkt feszít fa uniójára, ha i E (X) d X d. Legyen G = (V, D) irány-gráf és (G, p) egy generikus realizációja. Azt mondjuk, hogy a (G, p) realizáció teljesíti a (H, f) vázban meghatározott feltételeket, ha a realizáció csúcsaiból készített d( V 1) dimenziós ( p(2), p(3),...., p( V ) ) T oszlopvektor megoldása az F (H, f)x = 0 egyenletrendszernek. Végül deniáljuk az összehúzás m veletét. Rendezzük tetszés szerint csoportokba a G = (V, D) gráf csúcsait, majd húzzuk össze a csoportok tagjait egy-egy új csúcsba. Az így kapott G + = (V +, D + ) gráf élei az eredeti G gráf azon élei lesznek, melyek a csoportok között vezettek. Ezt a m veletet nevezzük a G gráf összehúzásának. A (H, f) váz összehúzása is hasonlóan történik, annyi különbséggel, hogy itt egy új f + : D + R d függvényünk lesz, mely az eredeti f függvényünk D + D élhalmazra vett megszorítása. 9

11 2 Tételek az algoritmushoz Ebben a fejezetben el készületeket teszünk egy tetsz leges G = (V ; D, K) vegyes gráf generikus korlátosságát eldönt algoritmus megadására. Lemma 2.1. Legyen G = (V, D) tetsz leges irány-gráf és jelöljük H = (V, D )- vel a (d 1)G gráfot. Legyen B D a maximális nagyságú élhalmaz I(H)-ban és H = (V, B). Ekkor tetsz leges (H, f) vázhoz van olyan nemtriviális (G, p) realizációja a G gráfnak mely teljesíti a vázban foglalt feltételeket. Bizonyítás: A G irány-gráfhoz tartozó váz incidencia mátrixának d V d oszlopa és D d V d 1 sora van. Miután az F (H, f)x = 0 egyenletrendszer homogén ez maga után vonja, hogy végtelen sok megoldása lesz az egyenletrendszernek. Tetsz leges nem azonosan nulla megoldása pedig meghatározza egy nemtriviális, a (H, f) vázban szerepl megkötéseket teljesít (G, p) realizációját a G gráfnak. Állítás 2.2. Legyen (G, p) a G = (V, D) irány-gráf generikus realizációja, továbbá jelöljük (H, f)-fel a (G, p) által meghatározott minimális vázat és F (H, f)- fel a minimális incidencia mátrixot. Tekintsük a G gráf egy G = (V, D ) összehúzottját, amely egyben meghatározza a (H, f) váz egy (H, f ) összehúzását is, és tegyük fel, hogy a H = (V, E ) gráfra teljesül a következ két összefüggés: E d V d, (2.1) i E (X) d X d X V. (2.2) Ekkor a G gráfnak csak a triviális lesz az egyetlen olyan realizációja, mely teljesíti a (H, f ) vázban foglalt feltételeket. Bizonyítás: Tegyük fel indirekten, hogy létezik olyan nem triviális (G, p ) szerkezet, melyb l készült x = ( p 1(2),..., p d (2),..., p 1( V ),..., p d ( V ) ) T oszlopvektor kielégíti az F (H, f )x = 0 egyenletrendszert. Els lépésként belátjuk, hogy a H gráf tetsz leges összehúzottjára is teljesülni fog a (2.1) feltétel. Az 1.7. tételb l következ en H -ban van d éldiszjunkt feszít fa. Tetsz leges összehúzását véve a gráfnak, az összehúzott gráfban is lesz d éldiszjunkt feszít fa, így teljesülni fog rá a (2.1) feltétel. Csoportosítsuk ezután a G gráf csúcsait aszerint, hogy a (G, p ) realizációban egy pontba esnek-e. A H gráf csúcshalmaza megegyezik a G gráf 10

12 csúcshalmazával, így a H gráfban az el bb kapott csúcscsoportokat összehúzva a (2.1) feltételt teljesít gráfot kapunk. Ezentúl a G és H gráfokból a fenti csoportok összehúzásával kapott gráfokkal fogunk tovább dolgozni és az egyszer ség kedvéért ezen gráfokat fogjuk G -gal és H -gal jelölni. Tehát összefoglalva a G gráf olyan (G, p ) realizációjával dolgozunk ezentúl, melyre tetsz leges u, v V csúcspárra p (u ) p (v ) teljesül és a G -hoz tartozó H = (V, E ) gráfra teljesülni fog a (2.1) feltétel. A (2.1) feltételb l következik, hogy az F (H, f ) mátrix sorainak száma legalább akkora, mint oszlopainak száma. Az indirekt feltevés szerint az F (H, f )x = 0 egyenletrendszernek létezik nem triviális megoldása, így létezik olyan e = u v E éle a H gráfnak, melyhez tartozó F (H, f ) mátrixbeli sor benne van a többi sor által generált altérben. Jelöljük A V -val az u illetve B V -vel a v csúcshoz tartozó, G gráfbeli csúcshalmazokat. Különböztessünk meg két esetet az A és B csúcshalmazok között vezet irány-élek száma szerint. Az els esetben tegyük fel, hogy két vagy több irány-él vezet A és B között G-ben. A (G, p) realizáció generikuságából következik, hogy ezek páronként nem párhuzamosak. Minden ilyen élhez (H, f) egy d 1-dimenziós normálalteret határoz meg, amelyek így páronként különböznek. Összehúzás hatására az élekhez tartozó normálalterek nem változnak meg, így e élhez egy d dimenziós normálalteret fog a (H, f ) váz meghatározni, ami ellentmond a p (u) p (v) feltevésünknek. Második esetben tegyük fel, hogy az A és B csúcshalmazok között csak egy irány-él vezet a G gráfban és legyen ez uv D. Jelöljük Ĥ -gal a H gráfból az e él elhagyásával kapott gráfot, e E-vel az e él H gráfbeli megfelel jét és Ĥ-pal a H gráfból az e él elhagyásával nyert gráfot. A jelöléseket alkalmazva elmondható, hogy a (Ĥ, f) váz összehúzásával kapjuk a (Ĥ, f ) vázat, amelyhez tartozó F (Ĥ, f ) incidencia mátrix sorai meghatározzák az egész F (H, f ) mátrixot. A (H, f) minimális váz deníció szerint a G gráf minden g D irány-éléhez egy d 1 dimenziós normálalteret határoz meg, így a (H, f ) összehúzott váz is a G gráf minden g D éléhez egy d 1 dimenziós normálalteret határoz meg. A p (u ) p (v ) feltevésb l következik, hogy a (H, f ) váz az u v D élnek egy pontosan d 1 dimenziós alterét fogja meghatározni. A vázak összehúzása során az irányfeltételek nem változhatnak meg, így elmondhatjuk, hogy az uv D élnek a (H, f) váz által meghatározott d 1 dimenziós normálaltere megegyezik u v D él (H, f ) váz által 11

13 meghatározott pontosan d 1 dimenziós normálalterével. Összefoglalva az eddigieket a (Ĥ, f) váz egyértem en meghatározza az u v D élhez tartozó d 1 dimenziós normálalteret, ami megegyezik az uv D élhez tartozó d 1 dimenziós normálaltérrel, tehát a (Ĥ, f) váz meghatározza az uv D élhez tartozó d 1 dimenziós normálalteret. Különböztessünk meg két alesetet. Amennyiben f(e) benne van a (Ĥ, f) váz által meghatározott d 1 dimenziós alterében az uv D élnek, úgy ellentmondásra jutottunk azzal, hogy a (H, f) minimális váz F (H, f) minimális incidencia mátrixának sorai lineárisan függetlenek. A második esetben tegyük fel, hogy az f(e) vektor nincs benne a d 1 dimenziós normálaltérben. Ekkor azonban a (H, f ) váz az u v élre egy d dimenziós normálalteret határoz meg, ami azt jelenti, hogy az u és v csúcs minden realizációban egybe kell essen. Ez viszont ellentmond a (G, p ) realizációra tett feltevésünknek. Tehát csak triviális megoldása van a F (H, f )x = 0 egyenletrendszernek, azaz csak a triviális (G, p ) realizáció elégíti ki a (H, f ) vázban foglalt irány feltételeket. Frank András (2008)-as jegyzetének tétele kimondja, hogy: Tétel 2.3. Egy R = {x : Qx b} nemüres poliéderre a következ k ekvivalensek: (1) Q oszlopai lineárisan függetlenek. (2) R egyenes-mentes. A fenti tétel segítségével lássuk be a f tételünket. Tétel 2.4. A (G, p) irány-kötél szerkezet pontosan akkor nem korlátos, ha a G gráfnak van olyan G + összehúzottja, amelyben már csak irány-élek szerepelnek és létezik olyan (G +, q) nem triviális realizációja, amely teljesíti a (G, p) szerkezet által meghatározott (H, f) minimális váz összehúzásával kapott (H +, f + ) vázban meghatározott feltételeket, azaz a realizáció csúcsaiból képzett ( q(2),..., q( V + ) ) T d( V + 1) dimenziós oszlopvektor megoldása az F (H +, f + )x = 0 egyenletrendszernek. Bizonyítás: Könnyen látható, hogy egy (G, p) szerkezet pontosan akkor nem korlátos, ha tetsz leges w V csúcsot kiválasztva teljesül, hogy minden M természetes számhoz létezik olyan vele irány-kötél ekvivalens (G, q) realizáció, melyben van legalább egy z V csúcs és annak legalább egy i {1,..., d} koordinátája, melyre q i (w) q i (z) > M teljesül. Válasszuk ki így az egyes sorszámú csúcsot és legyen q(1) = (0, 0,..., 0) minden (G, p)-vel ekvivalens 12

14 realizáció esetén. Tehát a (G, p) szerkezet pontosan akkor nem korlátos, ha minden M természetes számhoz létezik olyan vele ekvivalens (G, q) szerkezet és a G vegyes gráfban olyan u V csúcs, hogy q i (u) > M teljesül valamely i {1,..., d} koordinátára. Készítsük el a (G, p) irány-kötél szerkezet által meghatározott irány-kötél mátrixot, mely az összes szükséges információt tartalmazza a (G, p) szerkezetr l. Els lépésben tekintsük az irány-élek által meghatározott részgráfot. A G = (V, D) G irány-élek alkotta részgráfnak egy (G, p) realizációja meghatároz egy F (H, f) minimális incidencia mátrixot. Legyen k a (H, f) minimális vázban az élek száma. Ez a mátrix alkotja az irány-kötél mátrix fels részét. Ezután a következ 2dm sorba a kötél feltételek szerepelnek, miszerint c uv p j (u) p j (v) c uv, ha uv K valamely el re adott c uv > 0 konstanssal. Így az irány-kötél mátrixunk az alábbi alakú lesz: f 1 (e 1 )... f d (e 1 ) f 1 (e 1 )... f d (e 1 ) f 1 (e k )... f d (e k ) A = Legyenek továbbá d( V 1) dimenziós oszlopvektorok, és x = (q(2), q(3),..., q(n)) T, (2.3) 0 = (0, 0,..., 0) T (2.4) b = (0, 0,..., 0, c 1,..., c 1, c 2,..., c 2,..., c m,..., c m ) T k + 2dm dimenziós oszlopvektorok. A G gráf (G, p)-vel ekvivalens (G, q) realizációiból képzett (2.3) alakú vektorok alkotják az Ax b egyenletrendszer megoldásainak halmazát, ahol az els k darab egyenl tlenség helyett egyenl ség áll fenn. A (G, q) realizációk 13

15 els csúcsát (0,0,...,0)-ba lerögzítettük, így pontosan akkor korlátos a (G, p) realizáció, ha a fenti Ax b egyenletrendszerrel meghatározott poliéder nem tartalmaz félegyenest. Az irány-kötél mátrix egy szimmetrikus poliédert határoz meg, így a (G, p) szerkezet korlátossága ekvivalens az {x : Ax b} poliéder egyenesmentességével. A 2.3 Tételb l következ en az egyenesmentesség ekvivalens az irány-kötél mátrix oszlopainak függetlenségével, azaz hogy az Ax = 0 egyenletrendszernek csak a triviális a jó megoldása. Próbáljuk gráfok segítségével megoldani az átfogalmazott problémát, azaz nézzük meg, hogy milyen esetben lesz végtelen sok megoldása az egyenletrendszernek. Tekintsük a z oszlopvektort (2.3) alakban, azaz mintha V 1 darab d dimenziós csúcsot egy vektorba tárolnánk egymás után. Az A mátrix els k sora a (G, p) realizáció irány-éleire vonatkozó megkötéseket tartalmazza, azaz olyan (G, q) realizációt keresünk, melyre az irány feltételek teljesülnek. Itt fontos megjegyeznünk, hogy két csúcs közötti irány-él feltétel nem sérül, ha a két csúcs a realizációban egy pontba esik. A következ dm sor pedig azt fejezi ki az Ax = 0 egyenletrendszerben, hogy a kötelek végpontjai egybeesnek. Azaz átfogalmazva a problémát olyan összehúzását keressük a gráfnak, melyben csak irány-élek szerepelnek (tehát a kötelek csúcsai össze vannak húzva) és van nem triviális realizációja az összehúzásnak. Amennyiben találunk ilyent, a (G, p) realizációnk nem korlátos, ellenkez esetben pedig korlátos. 14

16 3 Az algoritmus 3.1 Az algoritmus megadása Ebben a részfejezetben megadunk egy algoritmust, mely eldönti egy G vegyes gráfról, hogy generikusan korlátos-e. Az eljárás helyességének belátásához az el z fejezetben belátott állításokat fogjuk felhasználni. Az algoritmusunk célja, hogy találjon egy megfelel G + összehúzását a G gráfnak. Induljunk ki egy tetsz leges (G, p) generikus szerkezetb l és vegyük az irány-élei által meghatározott (H, f) minimális váz összehúzása után kapott (H, f ) vázat. Olyan G + összehúzott gráfot keresünk, melyhez létezik olyan nem triviális (G +, p + ) realizáció, amely teljesíti a (H, f ) vázban foglalt megkötéseket, azaz a (p + (2),..., p + ( V + )) T oszlopvektor nem triviális megoldása az F (H, f )x = 0 egyenletrendszernek. Amennyiben az algoritmusunk nem talál ilyen G + összehúzást, úgy a G gráfunk generikusan korlátos. Els lépésben a G gráf irány-élei helyett a (1.2)-ban meghatározott élhalmazt írjuk be, így megkapjuk a H gráfunkat. Ezután húzzuk össze a H gráfban a kötelek csúcsait egy-egy pontba. Az így kapott Ĥ gráfban az élek ezentúl az összehúzás után kapott új csúcsok között vezetnek majd. Azon éleket, melyek csúcsait összehúztuk, elhagyhatjuk a Ĥ gráfból, miután semmilyen plusz megkötést nem tartalmaznak. Ezután keressük meg a Ĥ gráf egy olyan H = (V, E ) részgráfját, melyre teljesül E d V d, i E (X) d X d X V, és amint találunk egyet, húzzuk össze egy pontba. (Nevezzük ezentúl ezen részgráfokat túlhatározottaknak.) Folytassuk az eljárásunkat, amíg már nem találunk több ilyen részgráfot. Amennyiben az eljárás végén egy pontot kapunk, úgy az algoritmus a G gráfot generikusan korlátosnak adja, míg ellenkez esetben a gráfot generikusan nem korlátosnak mondja. Az algoritmust röviden összefoglalva az alábbi diagrammot kapjuk: 1. Gráfban a kötelek által meghatározott részgráfok összehúzása 2. Ciklus kezd dik Amíg van túlhatározott részgráf tedd - Húzd össze egy pontba a csúcsait - A túlhatározott részgráfból kiinduló 15

17 élek ebb l a pontból indulnak ezentúl Ciklus vége 3. Ha az eredmény egy pont kiír: Korlátos Különben kiír: Nem korlátos. Tétel 3.1. A fent megadott algoritmusunk helyesen m ködik. Bizonyítás: Az algoritmus kétféle eredménnyel állhat le. Els esetben az algoritmus nem egy pontot ad vissza eredményként, hanem egy olyan H + = (V +, E + ) gráfot, melyre i E +(X) d X (d + 1) X V +. (3.1) Tetsz legesen megválasztva az f + : E + R d függvényt a 2.1 Lemmából következ en létezik olyan (G +, p + ) nem triviális realizáció, mely a (H +, f + ) generikus vázban meghatározott feltételeket teljesíti, azaz a (p + (2),..., p + ( V + )) T oszlopvektor megoldása lesz az F (H +, f + )x = 0 egyenletrendszernek. Így a 2.4. tételb l következ en tetsz leges generikus (G, p) szerkezet nem korlátos lesz, tehát a G gráfunk generikusan nem korlátos. A másik irányhoz be kell látnunk, hogy amennyiben az algoritmus egy pontban áll le, nem lesz olyan nem triviális realizációja az összehúzott G + gráfnak, mely teljesíti tetsz leges generikus (G, p) szerkezet által meghatározott (H +, f + ) vázban foglalt megkötéseket. Az algoritmus során csak olyan részgráfokat húzunk össze, amelyeknek a 2.2 Állításból következ en csak a triviális az egyetlen jó realizációja. Amennyiben ezen eljárás során egy pontot kapunk végeredményül, úgy elmondhatjuk, hogy nem létezik nem triviális realizációjú G + összehúzottja a G gráfnak, tehát a 2.4 Tételb l következ en a G + gráf generikusan korlátos lesz. A következ kben az algoritmus m ködését szemléltetjük egy rövid példán keresztül kétdimenzióban, generikusan nem korlátos G gráf esetén. Induljunk ki az 5. ábrán látható G vegyes gráfból (piros szaggatott élek a köteleket, a fekete élek az irány-éleket jelölik) és húzzuk össze els lépésként a kötelek alkotta részgráfokat. Így megkapjuk a 6. ábrán szerepl gráfot, melyben az {A, C}, {D, F } és {J, H} csúcsok túlhatározott részgráfokat határoznak meg. Ezen részgráfok összehúzása után megkapjuk a 7. ábrát, melyben {D, E} csúcsok által meghatározott részgráf túlhatározott lesz. Ezt összehúzva kapjuk 16

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Gáspár Merse El d. Egy kis rugalmasság a merevségelméletben. Jubileumi Fazekas nap 2012. március 12.

Gáspár Merse El d. Egy kis rugalmasság a merevségelméletben. Jubileumi Fazekas nap 2012. március 12. Egy kis rugalmasság a merevségelméletben Gáspár Merse El d Jubileumi Fazekas nap 2012. március 12. Mottó Az élet er i állandó mozgásban vannak, jaj annak, aki merev és nem enged. [ Eric Van Lustbader ]

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Kombinatorikus módszerek gráfok és rúdszerkezetek merevségének vizsgálatában OTKA 49671 2005-2008 Témavezető: Jordán Tibor (ELTE)

Kombinatorikus módszerek gráfok és rúdszerkezetek merevségének vizsgálatában OTKA 49671 2005-2008 Témavezető: Jordán Tibor (ELTE) SZAKMAI ZÁRÓJELENTÉS Kombinatorikus módszerek gráfok és rúdszerkezetek merevségének vizsgálatában OTKA 49671 2005-2008 Témavezető: Jordán Tibor (ELTE) Rúdszerkezetek statikai tulajdonságainak matematikai

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt kis kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum 12

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12. Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával

Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával * Pannon Egyetem, M szaki Informatikai Kar, Számítástudomány

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM aipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I Sopron 9 javított kiadás TARTALOMJEGYZÉK I Bevezetés a mőszaki mechanika

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

8. előadás EGYÉNI KERESLET

8. előadás EGYÉNI KERESLET 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

Kis-Benedek Ágnes Szimmetrikus és periodikus szerkezetek merevsége

Kis-Benedek Ágnes Szimmetrikus és periodikus szerkezetek merevsége Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kis-Benedek Ágnes Szimmetrikus és periodikus szerkezetek merevsége Alkalmazott matematikus MSc Operációkutatás szakirány Szakdolgozat Témavezető: Jordán

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Matematikai logika. Nagy Károly 2009

Matematikai logika. Nagy Károly 2009 Matematikai logika előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2009 1 1. Elsőrendű nyelvek 1.1. Definíció. Az Ω =< Srt, Cnst, F n, P r > komponensekből álló rendezett négyest elsőrendű

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG MÁTRIX DEFINITSÉGÉNEK FOGALMA ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG ELDÖNTÉSÉRE DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-..1.B-10//KONV-010-0001

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Párosítások 2012. november 19. Előadó: Hajnal Péter 1. Alapfogalmak Emlékeztető. Legyen G egy gráf, E(G) a G élhalmaza, V (G) gráfunk csúcshalmaza.

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Online jegyzet az Egészérték Programozás I. és II. tárgyhoz

Online jegyzet az Egészérték Programozás I. és II. tárgyhoz Online jegyzet az Egészérték Programozás I. és II. tárgyhoz Király Tamás, Kis Tamás és Szeg László October 25, 2013 Egészérték programozás I. vizsgatematika 2013. tavasz 1. Az egészérték lineáris programozási

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:

Részletesebben

Online jegyzet az Egészérték Programozás I. és II. tárgyhoz

Online jegyzet az Egészérték Programozás I. és II. tárgyhoz Online jegyzet az Egészérték Programozás I. és II. tárgyhoz Király Tamás, Kis Tamás és Szeg László May 19, 2015 Egészérték programozás I. vizsgatematika 2014. tavasz 1. Az egészérték lineáris programozási

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az

Részletesebben

A matematika alapjai. Nagy Károly 2014

A matematika alapjai. Nagy Károly 2014 A matematika alapjai előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2014 1 1. Kijelentés logika, ítéletkalkulus 1.1. Definíció. Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről egyértelműen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék

DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék FELTÉTELES OPTIMALIZÁLÁS DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-4...B-0//KONV-00-000 jel½u projekt részeként az Európai Unió támogatásával,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Kártyajátékok és bűvésztrükkök

Kártyajátékok és bűvésztrükkök Szalkai Balázs, Szalkai István : Kártyajátékok és bűvésztrükkök Közismert, hogy nagyon sok bűvésztrükk matematikai alapokon nyugszik, a kártyaés egyéb játékok matematikai elemzéséről nem is szólva. Nem

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1 2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz

Részletesebben

COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET

COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET 5. osztály 2015/2016. tanév Készítette: Tóth Mária 1 Tananyagbeosztás Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Témakörök:

Részletesebben

3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, RC és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió)

3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, RC és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió) 3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, R és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió Zoli 2009. október 28. 1 Tartalomjegyzék 1. Frekvenciafüggő elemek, kondenzátorok és tekercsek:

Részletesebben

Játékelmélet és pénzügyek

Játékelmélet és pénzügyek Játékelmélet és pénzügyek Czigány Gábor 2013. május 30. Eötvös Lóránd Tudományegyetem - Budapesti Corvinus Egyetem Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Témavezet : Dr. Csóka Péter Tartalomjegyzék

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

KONVEX HALMAZ, FARKAS TÉTEL, GORDAN TÉTEL, EXTREMÁLIS PONT, EXTREMÁLIS IRÁNY, LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELMÉLETE

KONVEX HALMAZ, FARKAS TÉTEL, GORDAN TÉTEL, EXTREMÁLIS PONT, EXTREMÁLIS IRÁNY, LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELMÉLETE KONVEX HALMAZ, FARKAS TÉTEL, GORDAN TÉTEL, EXTREMÁLIS PONT, EXTREMÁLIS IRÁNY, LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELMÉLETE DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben