TDK dolgozat. Korlátosság vizsgálata irány-hossz vegyes gráfok esetén

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "TDK dolgozat. Korlátosság vizsgálata irány-hossz vegyes gráfok esetén"

Átírás

1 TDK dolgozat Korlátosság vizsgálata irány-hossz vegyes gráfok esetén Szabó Botond Alkalmazott matematikus szak Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2009 Témavezet : Jordán Tibor, egyetemi tanár ELTE TTK Matematikai Intézet Operációkutatási Tanszék

2 Contents 1 Bevezetés Általános bevezetés Jelölések Tételek az algoritmushoz 10 3 Az algoritmus Az algoritmus megadása Generikusan nem korlátos gráf tetsz legesen nagy realizációja Következmények, kapcsolatok A kétféle modell ekvivalenciája Gráfelméleti karakterizáció a korlátosságra

3 Absztrakt Irány-hossz rendszernek nevezzük azon (G, p) rendezett párokat, ahol a G = (V ; D, L) vegyes gráf, melyben V jelöli a csúcsok, D az "irány élek", L a "hossz élek" halmazát és p egy leképezés V -b l a d dimenziós Euklideszi térbe. Egy uv él címkéje egy hossz vagy irány korlátozást fog adni p(u) és p(v) között. A hossz korlátozás lehet fels határ vagy pontos távolság megadás és az így megadott két fajta deníció alapján lehet kötél illetve rúd modellr l beszélni. A dolgozat során a kötél modell korlátosságával foglalkoztam majd végül beláttam, hogy a kapott állítások rúd modellre is alkalmazhatóak. Els ként egy algoritmust adtam meg, mely eldönti, hogy egy (G, p) rendszer korlátos-e, majd nem korlátos esetben tetsz leges nagyságú gráf elkészítésére adtam egy eljárást. Az algoritmus felhasználásával beláttam, hogy a kötél és rúd modell korlátosságának feltétele megegyezik, azaz az algoritmus mindkét modellre alkalmazható. Végül igazoltam, hogy az algoritmus pontosan azon gráfokat adja korlátosnak, melyek Bill Jackson és Peter Keevash (2009a) cikkében szerepl korlátosság feltételeket is teljesítik, azaz az eljárásnak és a cikknek a (G, p) rendezett pár korlátosságára adott feltételrendszere megegyezik. A dolgozat során az általánosan használt rúd modell helyett bevezetett kötél modell segítségével egyszer síteni tudtam a problémát és a matroid elméletet kikerülve elemi operációkutatási módszereket alkalmazva sikerült a gráf korlátosságával ekvivalens feltételt megadni. A két modell korlátosságának ekvivalenciája miatt a kapott módszer segítséget nyújthat összetettebb problémák vizsgálatánál. 2

4 1 Bevezetés 1.1 Általános bevezetés A geometriai megkötésekkel megadott szerkezeteket gyakorlati problémák széles skálájának modellezésére alkalmazzák, mint például szenzor rendszereknél, molekulák rugalmasságánál és számítógépes formatervezésnél. A G gráf bizonyos éleire irány (D, irány-élek) illetve hossz (hossz-élek) megkötéseket tehetünk és az így keletkezett rendszerrel kapcsolatban számos érdekes kérdés merül fel. Vizsgálhatunk olyan rendszereket, melyekben csak az élek hosszára (Laman (1970)) vagy irányára van megkötés (Whiteley (1996)), illetve a vegyes gráfok esetét, melyben mindkett fajta megkötés el fordulhat (Servatius and Whiteley (1999)). A hossz-éleket kétféleképpen deniálhatjuk. Az általánosan bevett gyakorlat szerint rúdnak (L) nevezzük azon hossz-éleket, melyekben az él hossza x, míg a dolgozatban bevezetett deníció szerint kötélnek (K) nevezzük azon hossz-éleket, melyekben az él hosszára fels korlát van megadva. A dolgozat során belátjuk, hogy az általunk vizsgált tulajdonságok egybeesnek a különböz denícióval megadott modellekben. Az él korlátozásokkal megadott gráfok esetén természetesnek t nik annak a kérdése, hogy az adataink tartalmaznak-e ellentmondást vagy létezik a feltételeket kielégít realizációja a gráfnak. Létezés esetén továbbá felmerül az egyértelm ség kérdése. Jelentse a (G, p) rendezett pár a G = (V, E) gráf egy realizációját a d dimenziós Euklideszi térben, ahol p : V R d függvény a csúcsok helyét jelöli. A kizárólag csak élek hosszára vonatkozó megkötéseket tartalmazó G = (V ; L) rúd-gráf két (G, p) és (G, q) realizációját rúd-ekvivalensnek nevezzük, ha minden élük egyenl hosszú illetve rúd-kongruensnek nevezzük ket, ha tetsz leges u, v V csúcsra teljesül, hogy p(u) p(v) = q(u) q(v). Ezek segítségével deniálhatjuk a realizáció unicitásának különböz szintjeit. Egy (G, p) realizációt globálisan rúd-merevnek hívunk, ha bármely vele rúdekvivalens (G, q) realizáció egyúttal rúd-kongruens is lesz vele. Továbbá rúdmerevnek nevezzük (G, p)-t, ha létezik olyan ɛ > 0 környezet, hogy bármely vele rúd-ekvivalens (G, q) realizációra, melyre teljesül, hogy q(u) p(u) < ɛ minden u V csúcsra, a két realizáció egyúttal rúd-kongruens is lesz. Saxe (1979) bebizonyította, hogy a csak hossz megkötéseket tartalmazó gráfok esetén mind a létezés, mind a globális egyértelm ség eldöntése NP-nehéz feladat. Ennek oka, hogy bizonyos speciális esetek megnehezítik a probléma eldön- 3

5 tését. Ebb l kifolyólag a gráfnak csak a generikus (G, p) realizációit vizsgáljuk, melynek pontos denícióját a 1.2 alfejezetben adjuk meg. Egy G = (V ; L) rúdgráfot rúd-merevnek, illetve globálisan rúd-merevnek hívunk, ha minden generikus (G, p) realizációja rúd-merev, illetve globálisan rúd-merev. A speciális kétdimenziós esetben a G gráf rúd-merevségre (Laman (1970)) és a globális rúd-merevségére (Jackson és Jordán (2005)) adott kombinatorikus karakterizációt. Magasabb dimenzióban nem ismert kombinatorikai karakterizáció az unicitás kérdésére. A csak irány-élekkel deniált G = (V ; D) irány-gráfra egy (G, p) és egy (G, q) realizációt irány-ekvivalensnek mondunk, ha bármely e = uv D élhez tartozó p(u) p(v) és q(u) q(v) egymás konstansszorosai, valamint iránykongruensnek nevezzük ket, ha a fenti állítás tetsz leges u, v V csúcspárra teljesül. A (G, p) szerkezet irány-merev, ha tetsz leges vele irány-ekvivalens (G, q) szerkezet egyúttal irány-kongruens is lesz vele. A G irány-gráf iránymerev, ha tetsz leges generikus (G, p) realizációja irány-merev lesz. A generikusan merev G irány-gráfokra d-dimenzióban Whiteley (1996) adott kombinatorikus karakterizációt. A speciális kétdimenziós esetre az alábbi kapcsolat áll fent a rúd-merevséggel: Tétel 1.1. Kétdimenzióban a G = (V ; L) rúd-gráf pontosan akkor rúd-merev, ha a G = (V ; D) irány-gráf irány-merev. (A két gráfban a rúd illetve az irány-élek halmaza megegyezik). Laman (1970) speciális kétdimenziós esetre adott karakterizációja a merevségre: Tétel 1.2. Egy D = 2n 3 él csak irány-élekb l álló gráf akkor és csak akkor irány-merev, ha D 2 V (D ) 3 minden nemüres D részhalmazára D-nek. Ezzel ekvivalens leírást ad Lovász és Yemini (1982) tétele: Tétel 1.3. Egy G = (V, E), 2n 3 irány-élb l álló gráf akkor és csak akkor irány-merev, ha minden e E él esetén a G gráfból az e él megduplázásával készített új gráf élhalmaza felbomlik két éldiszjunkt feszít fa uniójára. Az irány-éleket és rudakat is tartalmazó G = (V ; D, L) vegyes gráf (G, p) és (G, q) realizációját irány-rúd ekvivalensnek nevezzük, ha bármely uv D irány-élre a p(u) p(v) és q(u) q(v) vektorok egymás konstansszorosai 4

6 valamint bármely zw L rúdra p(z) p(w) = q(z) q(w). A két szerkezetet továbbá irány-rúd kongruensnek hívjuk, ha (G, p)-b l csak eltolás és ±1-szeres nagyítás segítségével megkaphatjuk (G, q)-t, azaz G bármely két csúcsának távolsága megegyezik a két realizációban, illetve a csúcsok különbség vektorai egymás ±1-szeresei. Az irány-rúd merevség és globális irány-rúd merevségség deniálása a (G, p) rúd-szerkezet esetéhez hasonlóan történik. A következ ábrán egy olyan (G, p) szerkezetet láthatunk, mely irány-rúd merev, de nem globálisan irány-rúd merev (hiszen létezik olyan (G, q) vele irány-rúd ekvivalens realizáció, amely nem irány-rúd kongruens vele). Az ábrákon szaggatott piros szakaszok jelölik a rudakat és fekete folytonos szakaszok jelölik az irány-éleket. Figure 1: (G, p) realizációja G- nek Figure 2: (G, q) realizációja G-nek A G = (V ; D, L) gráfot irány-rúd merevnek, illetve globálisan irány-rúd merevnek nevezzük, ha tetsz leges generikus (G, p) realizációja irány-rúd merev illetve globálisan irány-rúd merev. Fontos és sokat vizsgált tulajdonsága a gráfnak a redundáns irány-rúd merevség. Egy G = (V ; D, L) vegyes gráfot redundánsan irány-rúd merevnek nevezünk, ha tetsz leges él elvétele után irányrúd merev marad a gráf. A G vegyes gráf kétdimenziós irány-rúd merevségére Servatius és Whiteley (1999) adott kombinatorikus karakterizációt. A globális irány-rúd merevség kérdése a mai napig nyitott. Egy (G, p) szerkezetet korlátosnak mondunk, ha létezik olyan K > 0 konstans, hogy bármely vele ekvivalens (G, q) szerkezet esetén tetsz leges u, v V csúcspárra q(u) q(v) K teljesül. Egy G = (V ; E) (ahol E-ben lehetnek irány- és/vagy hossz-élek) gráfot generikusan korlátosnak nevezünk, ha bármely generikus (G, p) realizációja korlátos. A szakirodalomban el forduló fontos kérdés a globális irány-rúd merevség és redundáns irány-rúd merevség kapcsolata, miután a kapcsolat leírása elvezethet a globális irány-rúd merevség jellemzéséhez. A fenti kérdés többek között felvet dött már Jackson és Jordán (2005)-ös cikkében is. Jackson és Keevash 5

7 (2009b) cikke a korlátosság segítségével ad kapcsolatot a két fogalomra a két dimenziós esetben. Az els tétel rúd, a második tétel irány-él elhagyása utáni irány-rúd merevséget vizsgálja. Tétel 1.4. Tegyük fel, hogy G = (V ; D, L) globálisan irány-rúd merev és L d, ekkor G\{e} irány-rúd merev lesz minden e L esetében. Tétel 1.5. Legyen G = (V ; D, L) globálisan irány-rúd merev gráf és tekintsük a d = 2 dimenziós esetet. Tegyük fel, hogy az e D élre G\{e}-nek van nem egy csúcsot tartalmazó irány-rúd merev részgráfja. Ekkor a G\{e} irány-rúd merev vagy generikusan nem korlátos. Mindkét tétel bizonyításához szükséges a generikus korlátosság jellemzése. Ez motiválta a dolgozatunkat, illetve Bill Jackson and Peter Keevash (2009a) cikkét is, melyek egymástól függetlenül, egyid ben, különböz technikák felhasználásával készültek. A dolgozat célja tehát egy algoritmus és ezáltal kombinatorikus karakterizáció megadása tetsz leges vegyes gráf generikus korlátosságának eldöntésére. Fontos, hogy generikus (G, p) realizációk korlátosságát vizsgáljuk csak, máskülönben nem tudnánk a G gráf korlátosságára kombinatorikus karakterizációt adni. Ezt egy rövid példán keresztül szemléltetjük: Figure 3: Nem korlátos (G, p) realizációja G-nek Figure 4: Korlátos (G, p) realizációja G-nek A G generikusan korlátos gráf 3. ábrán látható (G, p) realizációja nem generikus, mert az AB és DC élek párhuzamosak. Ebben az esetben a realizáció korlátos sem lesz az el bb említett élek párhuzamossága miatt. Ezzel ellentétben a 4. ábrán szerepl generikus (G, p) szerkezet már korlátos. A dolgozat a következ képpen épül fel. A bevezet második felében a dolgozat során felhasznált deníciókat és jelöléseket adjuk meg, majd a második fejezetben az algoritmus helyes m ködésének igazolásához szükséges állításokat látjuk be. A harmadik fejezet els részében megadjuk az algorimusunkat és felhasználva az el z fejezet eredényeit belátjuk helyességét. A fejezet második 6

8 részében megadunk egy eljárást, mely segítségével nem korlátos (G, p) realizáció esetén tetsz leges nagyságú, vele ekvivalens (G, q) realizációt tudunk készíteni. A harmadik fejezet els felében a tetsz leges nagyságú realizációt készít eljárás segítségével bebizonyítjuk, hogy a két különböz hossz-él denícióra felírt korlátossági probléma ekvivalens. A fejezet második felében belátjuk, hogy a kapott algoritmus ugyanazt a szükséges és elégséges feltételt generálja, mint ami Bill Jackson és Peter Keevash (2009a) cikkében is szerepel. 1.2 Jelölések A következ kben G = (V ; D, K) vegyes gráfokkal foglalkozunk, melyek olyan élcímkézett irányítatlan gráfok, ahol az élek irány-élek (D) és kötelek (K és számuk legyen m) lehetnek. A csak irány-éleket tartalmazó gráfot irány-gráfnak, míg a csak köteleket tartalmazó gráfot kötél-gráfnak nevezzük. Egy (G, p) szerkezetet triviális realizációnak hívunk, ha minden u, v V -re p(u) = p(v). Általában triviális realizáció alatt a (0,0,..,0)-ba eltolt változatot szoktuk érteni. A (G, p) szerkezetet generikusnak nevezzük, ha a realizáció tetsz leges csúcsát (0,0,...,0)- ba eltolva a többi csúcs koordinátáinak halmaza a racionális számtest fölött algebrailag független, azaz nem létezik olyan egész együtthatós, többváltozós, nem azonosan nulla polinom, melynek van a koordináták halmazából kikerül gyöke. A (G, p) és (G, q) szerkezetek irány-kötél ekvivalensek, ha minden uv D irány-élre teljesül q(u) q(v) = λ(p(u) p(v)) valamilyen λ skalárral és minden uv K kötélre fennáll p(u) p(v) c uv és q(u) q(v) c uv valamilyen el re megadott c uv konstanssal. A korlátosság vizsgálata szempontjából ez a feltétel lényegében egyenérték azzal, hogyha a kötél csúcsainál koordinátánként követeljük meg a korlátos távolságot, azaz c uv p i (u) minden uv K-ra és i {1,..., d}-re. Ennek oka, hogy ha p i (v) c uv p(u) p(v) 2 c 2 uv, akkor p i (u) p i (v) c uv, valamint ha p i (u) p i (v) c uv minden i {1,..., d}-re, akkor p(u) p(v) 2 dc 2 uv. Tehát megválaszthatóak a konstansok úgy, hogy az egyik féleképpen megadott kötél feltételt teljesít realizációk automatikusan teljesítsék a másik módon megadott kötél feltételt. Miután a korlátosság kérdése nem függ a konstansok pontos értékét l, ezért a kétfajta megadása a feltételnek ugyanazt a korlátossági kérdést adja. Vegyük a G = (V ; D) irány-gráf egy olyan (G, p) realizációját, melyben 7

9 p(1) = (0, 0,..., 0), azaz az 1-essel jelölt csúcs helye a d-dimenziós térben a (0,0,...,0) koordinátájú pont. Tekintsünk egy olyan (d 1) D (d V d)-es mátrixot, melyben minden egyes D-beli élhez d 1 sor és minden u V (u 1) csúcshoz d darab egymás melletti oszlop tartozik (az i + 1-edik (i>0) sorszámú csúcshoz a d(i 1) + 1,...,di-edik oszlop tartozik). Ezután vegyük minden e = uv D élhez tartozó p(u) p(v) tér egy B e = (p 1 (e) T, p 2 (e) T,..., p d 1 (e) T ) T bázisát (ahol B e (d 1) d-es mátrix), és az e élhez tartozó sor u csúcscsal címkézett d darab oszlopába írjuk be B e -t, míg a v csúccsal címkézett d oszlopába B e -t. Az u = 1 esetben B e, míg v = 1 esetén B e nem kerül bele a mátrixba. A maradék részét a mátrixnak töltsük fel 0-kal. Az így kapott mátrixot nevezzük a (G, p) realizáció irány-mátrixának és jelöljük D(G, p)-vel. Könnyen észrevehet, hogy a (G, p) realizáció csúcsaiból képzett x = ( p(2), p(3),..., p( V ) ) T oszlopvektor kielégíti a D(G, p)x = 0 egyenletrendszert. Továbbá elmondható, hogy egy (G, q) szerkezet, melynek egyes sorszámú csúcsa a (0, 0,..., 0)-ba van eltolva, pontosan akkor irány-ekvivalens (G, p)-vel, ha a (G, q) realizációból képzett y vektor kielégíti a D(G, p)y = 0 egyenletrendszert. Ezután vezessük be a váz denícióját. A (H, f) rendezett párt váznak nevezzük, ahol H = (V, E) gráf és f : E R d leképezés. A váz F (H, f) incidencia mátrixa egy E d( V 1) mátrix, ahol a sorokat a H gráf éleinek segítségével indexeljük, míg oszlopainak d méret csoportjait a csúcsok szerint (az egyes sorszámú csúcshoz tartozó oszlopokat kihagyjuk a mátrixból). Hasonlóan az irány-mátrixhoz, az e = uv E élhez tartozó sor u csúcshoz tartozó szakaszába f(e)-t, míg v-hez tartozó szakaszába f(e)-t írunk, végül a mátrixot 0-kal töltjük fel. Legyen H = (d 1)G = (V, (d 1)D) a G = (V, D) irány-gráf éleinek d 1-szerezésével gráf. Megjegyezzük, hogy a (G, p) szerkezet D(G, p) irány-mátrixa egyben a (H, f) váz (H = (d 1)G) egy F (H, f) incidencia mátrixa is, ahol az f : (d 1)D R d függvény értékeit a p(u) p(v) altér egy tetsz leges bázisa adja. A bázis megadható úgy, hogy minden bázisvektor koordinátája a p(u) p(v) vektor koordinátáinak ±1-szeresei és a 0 érték közül kerüljenek ki. Az F (H, f) mátrix sorai nem feltétlenül függetlenek, azaz tartalmazhatnak fölösleges információt. A Bill Jackson (2007) 1.4. tételéb l következ en független sorokból álló incidencia mátrixot hozhatunk létre, amelynek rangja megegyezik az irány-mátrix rangjával. Ezt a mátrixot nevezzük minimális incidencia mátrixnak. Jelöljük i E (X)-szel a G = (V, D) irány-gráf E D élhalmazából azon 8

10 irány-élek számát, melyek mindkét végpontja az X V csúcshalmazból kerül ki. Legyen H = (V, E) egy tetsz leges gráf és I(H) = {D E : i D (X) d X (d + 1) X V, ahol X 2} (1.1) élek egy halmazarendszere. Legyen B = arg max D (1.2) D I(H) és jelöljük H = (V, B)-vel az ezen élek által meghatározott gráfot. Ezentúl a (H, f ) váz alatt a (H, f) váz B-beli élek által meghatározott részét értjük. Tétel 1.6. A fenti jelöléseket használva teljesülni fog, hogy ahol r(a) az A mátrix rangját jelöli. r ( D(G, p) ) = r ( F (H, f ) ), (1.3) A fent megadott H gráf azért is érdekes, mert teljesíti Nash-Williams tételében (Nash-Williams (1964)) szerepl feltételt, azaz: Tétel 1.7. Egy G = (V, E) gráf, melyben E = d V d akkor és csak akkor bomlik fel d darab éldiszjunkt feszít fa uniójára, ha i E (X) d X d. Legyen G = (V, D) irány-gráf és (G, p) egy generikus realizációja. Azt mondjuk, hogy a (G, p) realizáció teljesíti a (H, f) vázban meghatározott feltételeket, ha a realizáció csúcsaiból készített d( V 1) dimenziós ( p(2), p(3),...., p( V ) ) T oszlopvektor megoldása az F (H, f)x = 0 egyenletrendszernek. Végül deniáljuk az összehúzás m veletét. Rendezzük tetszés szerint csoportokba a G = (V, D) gráf csúcsait, majd húzzuk össze a csoportok tagjait egy-egy új csúcsba. Az így kapott G + = (V +, D + ) gráf élei az eredeti G gráf azon élei lesznek, melyek a csoportok között vezettek. Ezt a m veletet nevezzük a G gráf összehúzásának. A (H, f) váz összehúzása is hasonlóan történik, annyi különbséggel, hogy itt egy új f + : D + R d függvényünk lesz, mely az eredeti f függvényünk D + D élhalmazra vett megszorítása. 9

11 2 Tételek az algoritmushoz Ebben a fejezetben el készületeket teszünk egy tetsz leges G = (V ; D, K) vegyes gráf generikus korlátosságát eldönt algoritmus megadására. Lemma 2.1. Legyen G = (V, D) tetsz leges irány-gráf és jelöljük H = (V, D )- vel a (d 1)G gráfot. Legyen B D a maximális nagyságú élhalmaz I(H)-ban és H = (V, B). Ekkor tetsz leges (H, f) vázhoz van olyan nemtriviális (G, p) realizációja a G gráfnak mely teljesíti a vázban foglalt feltételeket. Bizonyítás: A G irány-gráfhoz tartozó váz incidencia mátrixának d V d oszlopa és D d V d 1 sora van. Miután az F (H, f)x = 0 egyenletrendszer homogén ez maga után vonja, hogy végtelen sok megoldása lesz az egyenletrendszernek. Tetsz leges nem azonosan nulla megoldása pedig meghatározza egy nemtriviális, a (H, f) vázban szerepl megkötéseket teljesít (G, p) realizációját a G gráfnak. Állítás 2.2. Legyen (G, p) a G = (V, D) irány-gráf generikus realizációja, továbbá jelöljük (H, f)-fel a (G, p) által meghatározott minimális vázat és F (H, f)- fel a minimális incidencia mátrixot. Tekintsük a G gráf egy G = (V, D ) összehúzottját, amely egyben meghatározza a (H, f) váz egy (H, f ) összehúzását is, és tegyük fel, hogy a H = (V, E ) gráfra teljesül a következ két összefüggés: E d V d, (2.1) i E (X) d X d X V. (2.2) Ekkor a G gráfnak csak a triviális lesz az egyetlen olyan realizációja, mely teljesíti a (H, f ) vázban foglalt feltételeket. Bizonyítás: Tegyük fel indirekten, hogy létezik olyan nem triviális (G, p ) szerkezet, melyb l készült x = ( p 1(2),..., p d (2),..., p 1( V ),..., p d ( V ) ) T oszlopvektor kielégíti az F (H, f )x = 0 egyenletrendszert. Els lépésként belátjuk, hogy a H gráf tetsz leges összehúzottjára is teljesülni fog a (2.1) feltétel. Az 1.7. tételb l következ en H -ban van d éldiszjunkt feszít fa. Tetsz leges összehúzását véve a gráfnak, az összehúzott gráfban is lesz d éldiszjunkt feszít fa, így teljesülni fog rá a (2.1) feltétel. Csoportosítsuk ezután a G gráf csúcsait aszerint, hogy a (G, p ) realizációban egy pontba esnek-e. A H gráf csúcshalmaza megegyezik a G gráf 10

12 csúcshalmazával, így a H gráfban az el bb kapott csúcscsoportokat összehúzva a (2.1) feltételt teljesít gráfot kapunk. Ezentúl a G és H gráfokból a fenti csoportok összehúzásával kapott gráfokkal fogunk tovább dolgozni és az egyszer ség kedvéért ezen gráfokat fogjuk G -gal és H -gal jelölni. Tehát összefoglalva a G gráf olyan (G, p ) realizációjával dolgozunk ezentúl, melyre tetsz leges u, v V csúcspárra p (u ) p (v ) teljesül és a G -hoz tartozó H = (V, E ) gráfra teljesülni fog a (2.1) feltétel. A (2.1) feltételb l következik, hogy az F (H, f ) mátrix sorainak száma legalább akkora, mint oszlopainak száma. Az indirekt feltevés szerint az F (H, f )x = 0 egyenletrendszernek létezik nem triviális megoldása, így létezik olyan e = u v E éle a H gráfnak, melyhez tartozó F (H, f ) mátrixbeli sor benne van a többi sor által generált altérben. Jelöljük A V -val az u illetve B V -vel a v csúcshoz tartozó, G gráfbeli csúcshalmazokat. Különböztessünk meg két esetet az A és B csúcshalmazok között vezet irány-élek száma szerint. Az els esetben tegyük fel, hogy két vagy több irány-él vezet A és B között G-ben. A (G, p) realizáció generikuságából következik, hogy ezek páronként nem párhuzamosak. Minden ilyen élhez (H, f) egy d 1-dimenziós normálalteret határoz meg, amelyek így páronként különböznek. Összehúzás hatására az élekhez tartozó normálalterek nem változnak meg, így e élhez egy d dimenziós normálalteret fog a (H, f ) váz meghatározni, ami ellentmond a p (u) p (v) feltevésünknek. Második esetben tegyük fel, hogy az A és B csúcshalmazok között csak egy irány-él vezet a G gráfban és legyen ez uv D. Jelöljük Ĥ -gal a H gráfból az e él elhagyásával kapott gráfot, e E-vel az e él H gráfbeli megfelel jét és Ĥ-pal a H gráfból az e él elhagyásával nyert gráfot. A jelöléseket alkalmazva elmondható, hogy a (Ĥ, f) váz összehúzásával kapjuk a (Ĥ, f ) vázat, amelyhez tartozó F (Ĥ, f ) incidencia mátrix sorai meghatározzák az egész F (H, f ) mátrixot. A (H, f) minimális váz deníció szerint a G gráf minden g D irány-éléhez egy d 1 dimenziós normálalteret határoz meg, így a (H, f ) összehúzott váz is a G gráf minden g D éléhez egy d 1 dimenziós normálalteret határoz meg. A p (u ) p (v ) feltevésb l következik, hogy a (H, f ) váz az u v D élnek egy pontosan d 1 dimenziós alterét fogja meghatározni. A vázak összehúzása során az irányfeltételek nem változhatnak meg, így elmondhatjuk, hogy az uv D élnek a (H, f) váz által meghatározott d 1 dimenziós normálaltere megegyezik u v D él (H, f ) váz által 11

13 meghatározott pontosan d 1 dimenziós normálalterével. Összefoglalva az eddigieket a (Ĥ, f) váz egyértem en meghatározza az u v D élhez tartozó d 1 dimenziós normálalteret, ami megegyezik az uv D élhez tartozó d 1 dimenziós normálaltérrel, tehát a (Ĥ, f) váz meghatározza az uv D élhez tartozó d 1 dimenziós normálalteret. Különböztessünk meg két alesetet. Amennyiben f(e) benne van a (Ĥ, f) váz által meghatározott d 1 dimenziós alterében az uv D élnek, úgy ellentmondásra jutottunk azzal, hogy a (H, f) minimális váz F (H, f) minimális incidencia mátrixának sorai lineárisan függetlenek. A második esetben tegyük fel, hogy az f(e) vektor nincs benne a d 1 dimenziós normálaltérben. Ekkor azonban a (H, f ) váz az u v élre egy d dimenziós normálalteret határoz meg, ami azt jelenti, hogy az u és v csúcs minden realizációban egybe kell essen. Ez viszont ellentmond a (G, p ) realizációra tett feltevésünknek. Tehát csak triviális megoldása van a F (H, f )x = 0 egyenletrendszernek, azaz csak a triviális (G, p ) realizáció elégíti ki a (H, f ) vázban foglalt irány feltételeket. Frank András (2008)-as jegyzetének tétele kimondja, hogy: Tétel 2.3. Egy R = {x : Qx b} nemüres poliéderre a következ k ekvivalensek: (1) Q oszlopai lineárisan függetlenek. (2) R egyenes-mentes. A fenti tétel segítségével lássuk be a f tételünket. Tétel 2.4. A (G, p) irány-kötél szerkezet pontosan akkor nem korlátos, ha a G gráfnak van olyan G + összehúzottja, amelyben már csak irány-élek szerepelnek és létezik olyan (G +, q) nem triviális realizációja, amely teljesíti a (G, p) szerkezet által meghatározott (H, f) minimális váz összehúzásával kapott (H +, f + ) vázban meghatározott feltételeket, azaz a realizáció csúcsaiból képzett ( q(2),..., q( V + ) ) T d( V + 1) dimenziós oszlopvektor megoldása az F (H +, f + )x = 0 egyenletrendszernek. Bizonyítás: Könnyen látható, hogy egy (G, p) szerkezet pontosan akkor nem korlátos, ha tetsz leges w V csúcsot kiválasztva teljesül, hogy minden M természetes számhoz létezik olyan vele irány-kötél ekvivalens (G, q) realizáció, melyben van legalább egy z V csúcs és annak legalább egy i {1,..., d} koordinátája, melyre q i (w) q i (z) > M teljesül. Válasszuk ki így az egyes sorszámú csúcsot és legyen q(1) = (0, 0,..., 0) minden (G, p)-vel ekvivalens 12

14 realizáció esetén. Tehát a (G, p) szerkezet pontosan akkor nem korlátos, ha minden M természetes számhoz létezik olyan vele ekvivalens (G, q) szerkezet és a G vegyes gráfban olyan u V csúcs, hogy q i (u) > M teljesül valamely i {1,..., d} koordinátára. Készítsük el a (G, p) irány-kötél szerkezet által meghatározott irány-kötél mátrixot, mely az összes szükséges információt tartalmazza a (G, p) szerkezetr l. Els lépésben tekintsük az irány-élek által meghatározott részgráfot. A G = (V, D) G irány-élek alkotta részgráfnak egy (G, p) realizációja meghatároz egy F (H, f) minimális incidencia mátrixot. Legyen k a (H, f) minimális vázban az élek száma. Ez a mátrix alkotja az irány-kötél mátrix fels részét. Ezután a következ 2dm sorba a kötél feltételek szerepelnek, miszerint c uv p j (u) p j (v) c uv, ha uv K valamely el re adott c uv > 0 konstanssal. Így az irány-kötél mátrixunk az alábbi alakú lesz: f 1 (e 1 )... f d (e 1 ) f 1 (e 1 )... f d (e 1 ) f 1 (e k )... f d (e k ) A = Legyenek továbbá d( V 1) dimenziós oszlopvektorok, és x = (q(2), q(3),..., q(n)) T, (2.3) 0 = (0, 0,..., 0) T (2.4) b = (0, 0,..., 0, c 1,..., c 1, c 2,..., c 2,..., c m,..., c m ) T k + 2dm dimenziós oszlopvektorok. A G gráf (G, p)-vel ekvivalens (G, q) realizációiból képzett (2.3) alakú vektorok alkotják az Ax b egyenletrendszer megoldásainak halmazát, ahol az els k darab egyenl tlenség helyett egyenl ség áll fenn. A (G, q) realizációk 13

15 els csúcsát (0,0,...,0)-ba lerögzítettük, így pontosan akkor korlátos a (G, p) realizáció, ha a fenti Ax b egyenletrendszerrel meghatározott poliéder nem tartalmaz félegyenest. Az irány-kötél mátrix egy szimmetrikus poliédert határoz meg, így a (G, p) szerkezet korlátossága ekvivalens az {x : Ax b} poliéder egyenesmentességével. A 2.3 Tételb l következ en az egyenesmentesség ekvivalens az irány-kötél mátrix oszlopainak függetlenségével, azaz hogy az Ax = 0 egyenletrendszernek csak a triviális a jó megoldása. Próbáljuk gráfok segítségével megoldani az átfogalmazott problémát, azaz nézzük meg, hogy milyen esetben lesz végtelen sok megoldása az egyenletrendszernek. Tekintsük a z oszlopvektort (2.3) alakban, azaz mintha V 1 darab d dimenziós csúcsot egy vektorba tárolnánk egymás után. Az A mátrix els k sora a (G, p) realizáció irány-éleire vonatkozó megkötéseket tartalmazza, azaz olyan (G, q) realizációt keresünk, melyre az irány feltételek teljesülnek. Itt fontos megjegyeznünk, hogy két csúcs közötti irány-él feltétel nem sérül, ha a két csúcs a realizációban egy pontba esik. A következ dm sor pedig azt fejezi ki az Ax = 0 egyenletrendszerben, hogy a kötelek végpontjai egybeesnek. Azaz átfogalmazva a problémát olyan összehúzását keressük a gráfnak, melyben csak irány-élek szerepelnek (tehát a kötelek csúcsai össze vannak húzva) és van nem triviális realizációja az összehúzásnak. Amennyiben találunk ilyent, a (G, p) realizációnk nem korlátos, ellenkez esetben pedig korlátos. 14

16 3 Az algoritmus 3.1 Az algoritmus megadása Ebben a részfejezetben megadunk egy algoritmust, mely eldönti egy G vegyes gráfról, hogy generikusan korlátos-e. Az eljárás helyességének belátásához az el z fejezetben belátott állításokat fogjuk felhasználni. Az algoritmusunk célja, hogy találjon egy megfelel G + összehúzását a G gráfnak. Induljunk ki egy tetsz leges (G, p) generikus szerkezetb l és vegyük az irány-élei által meghatározott (H, f) minimális váz összehúzása után kapott (H, f ) vázat. Olyan G + összehúzott gráfot keresünk, melyhez létezik olyan nem triviális (G +, p + ) realizáció, amely teljesíti a (H, f ) vázban foglalt megkötéseket, azaz a (p + (2),..., p + ( V + )) T oszlopvektor nem triviális megoldása az F (H, f )x = 0 egyenletrendszernek. Amennyiben az algoritmusunk nem talál ilyen G + összehúzást, úgy a G gráfunk generikusan korlátos. Els lépésben a G gráf irány-élei helyett a (1.2)-ban meghatározott élhalmazt írjuk be, így megkapjuk a H gráfunkat. Ezután húzzuk össze a H gráfban a kötelek csúcsait egy-egy pontba. Az így kapott Ĥ gráfban az élek ezentúl az összehúzás után kapott új csúcsok között vezetnek majd. Azon éleket, melyek csúcsait összehúztuk, elhagyhatjuk a Ĥ gráfból, miután semmilyen plusz megkötést nem tartalmaznak. Ezután keressük meg a Ĥ gráf egy olyan H = (V, E ) részgráfját, melyre teljesül E d V d, i E (X) d X d X V, és amint találunk egyet, húzzuk össze egy pontba. (Nevezzük ezentúl ezen részgráfokat túlhatározottaknak.) Folytassuk az eljárásunkat, amíg már nem találunk több ilyen részgráfot. Amennyiben az eljárás végén egy pontot kapunk, úgy az algoritmus a G gráfot generikusan korlátosnak adja, míg ellenkez esetben a gráfot generikusan nem korlátosnak mondja. Az algoritmust röviden összefoglalva az alábbi diagrammot kapjuk: 1. Gráfban a kötelek által meghatározott részgráfok összehúzása 2. Ciklus kezd dik Amíg van túlhatározott részgráf tedd - Húzd össze egy pontba a csúcsait - A túlhatározott részgráfból kiinduló 15

17 élek ebb l a pontból indulnak ezentúl Ciklus vége 3. Ha az eredmény egy pont kiír: Korlátos Különben kiír: Nem korlátos. Tétel 3.1. A fent megadott algoritmusunk helyesen m ködik. Bizonyítás: Az algoritmus kétféle eredménnyel állhat le. Els esetben az algoritmus nem egy pontot ad vissza eredményként, hanem egy olyan H + = (V +, E + ) gráfot, melyre i E +(X) d X (d + 1) X V +. (3.1) Tetsz legesen megválasztva az f + : E + R d függvényt a 2.1 Lemmából következ en létezik olyan (G +, p + ) nem triviális realizáció, mely a (H +, f + ) generikus vázban meghatározott feltételeket teljesíti, azaz a (p + (2),..., p + ( V + )) T oszlopvektor megoldása lesz az F (H +, f + )x = 0 egyenletrendszernek. Így a 2.4. tételb l következ en tetsz leges generikus (G, p) szerkezet nem korlátos lesz, tehát a G gráfunk generikusan nem korlátos. A másik irányhoz be kell látnunk, hogy amennyiben az algoritmus egy pontban áll le, nem lesz olyan nem triviális realizációja az összehúzott G + gráfnak, mely teljesíti tetsz leges generikus (G, p) szerkezet által meghatározott (H +, f + ) vázban foglalt megkötéseket. Az algoritmus során csak olyan részgráfokat húzunk össze, amelyeknek a 2.2 Állításból következ en csak a triviális az egyetlen jó realizációja. Amennyiben ezen eljárás során egy pontot kapunk végeredményül, úgy elmondhatjuk, hogy nem létezik nem triviális realizációjú G + összehúzottja a G gráfnak, tehát a 2.4 Tételb l következ en a G + gráf generikusan korlátos lesz. A következ kben az algoritmus m ködését szemléltetjük egy rövid példán keresztül kétdimenzióban, generikusan nem korlátos G gráf esetén. Induljunk ki az 5. ábrán látható G vegyes gráfból (piros szaggatott élek a köteleket, a fekete élek az irány-éleket jelölik) és húzzuk össze els lépésként a kötelek alkotta részgráfokat. Így megkapjuk a 6. ábrán szerepl gráfot, melyben az {A, C}, {D, F } és {J, H} csúcsok túlhatározott részgráfokat határoznak meg. Ezen részgráfok összehúzása után megkapjuk a 7. ábrát, melyben {D, E} csúcsok által meghatározott részgráf túlhatározott lesz. Ezt összehúzva kapjuk 16

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési

Részletesebben

Gáspár Merse El d. Egy kis rugalmasság a merevségelméletben. Jubileumi Fazekas nap 2012. március 12.

Gáspár Merse El d. Egy kis rugalmasság a merevségelméletben. Jubileumi Fazekas nap 2012. március 12. Egy kis rugalmasság a merevségelméletben Gáspár Merse El d Jubileumi Fazekas nap 2012. március 12. Mottó Az élet er i állandó mozgásban vannak, jaj annak, aki merev és nem enged. [ Eric Van Lustbader ]

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

30. ERŐSEN ÜSSZEFÜGGŐ KOMPONENSEK

30. ERŐSEN ÜSSZEFÜGGŐ KOMPONENSEK 30. ERŐSEN ÜSSZEFÜGGŐ KOMPONENSEK A gráfos alkalmazások között is találkozunk olyan problémákkal, amelyeket megoldását a részekre bontott gráfon határozzuk meg, majd ezeket alkalmas módon teljes megoldássá

Részletesebben

Kombinatorikus módszerek gráfok és rúdszerkezetek merevségének vizsgálatában OTKA 49671 2005-2008 Témavezető: Jordán Tibor (ELTE)

Kombinatorikus módszerek gráfok és rúdszerkezetek merevségének vizsgálatában OTKA 49671 2005-2008 Témavezető: Jordán Tibor (ELTE) SZAKMAI ZÁRÓJELENTÉS Kombinatorikus módszerek gráfok és rúdszerkezetek merevségének vizsgálatában OTKA 49671 2005-2008 Témavezető: Jordán Tibor (ELTE) Rúdszerkezetek statikai tulajdonságainak matematikai

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt kis kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum 12

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Kódelméleti és kriptográai alkalmazások

Kódelméleti és kriptográai alkalmazások Kódelméleti és kriptográai alkalmazások Wettl Ferenc 2015. május 14. Wettl Ferenc Kódelméleti és kriptográai alkalmazások 2015. május 14. 1 / 11 1 Hibajavító kódok 2 Általánosított ReedSolomon-kód Wettl

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai

Bázistranszformáció és alkalmazásai Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste

13.1.Állítás. Legyen  2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre  =2 K, ekkor K() az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste 13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

1. A k-szerver probléma

1. A k-szerver probléma 1. A k-szerver probléma Az egyik legismertebb on-line probléma a k-szerver probléma. A probléma általános deníciójának megadásához szükség van a metrikus tér fogalmára. Egy (M, d) párost, ahol M a metrikus

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12. Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak

Gráfelméleti alapfogalmak 1 Gráfelméleti alapfogalmak Gráf (angol graph= rajz): pontokból és vonalakból álló alakzat. pontok a gráf csúcsai, a vonalak a gráf élei. GRÁ Irányítatlan gráf Vegyes gráf Irányított gráf G H Izolált pont

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával

Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával * Pannon Egyetem, M szaki Informatikai Kar, Számítástudomány

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM aipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I Sopron 9 javított kiadás TARTALOMJEGYZÉK I Bevezetés a mőszaki mechanika

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Megoldások 9. osztály

Megoldások 9. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA

26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA 26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA Az előző két fejezetben tárgyalt feladat általánosításaként a gráfban található összes csúcspárra szeretnénk meghatározni a legkisebb költségű utat. A probléma

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

8. előadás EGYÉNI KERESLET

8. előadás EGYÉNI KERESLET 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép

Részletesebben

A matematika nyelvér l bevezetés

A matematika nyelvér l bevezetés A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel

25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel 5. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel Axióma: Bizonyítás: olyan állítás, amelynek igazságát bizonyítás nélkül elfogadjuk.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Kis-Benedek Ágnes Szimmetrikus és periodikus szerkezetek merevsége

Kis-Benedek Ágnes Szimmetrikus és periodikus szerkezetek merevsége Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kis-Benedek Ágnes Szimmetrikus és periodikus szerkezetek merevsége Alkalmazott matematikus MSc Operációkutatás szakirány Szakdolgozat Témavezető: Jordán

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)

Részletesebben

Síkba rajzolható gráfok

Síkba rajzolható gráfok Síkba rajzolható gráfok Elmélet Definíció: egy G gráfot síkba rajzolható gráfnak nevezünk, ha az felrajzolható a síkra anélkül, hogy az élei metsszék egymást. Egy ilyen felrajzolását a G gráf síkbeli reprezentációjának

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

A relációelmélet alapjai

A relációelmélet alapjai A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Vizsgadolgozat I. RÉSZ. 1. Deniálja pontosan, mit értünk amerikai vételi opció alatt!

Pénzügyi matematika. Vizsgadolgozat I. RÉSZ. 1. Deniálja pontosan, mit értünk amerikai vételi opció alatt! NÉV: NEPTUN KÓD: Pénzügyi matematika Vizsgadolgozat I. RÉSZ Az ebben a részben feltett 4 kérdés közül legalább 3-ra kell hibátlan választ adni ahhoz, hogy a vizsga sikeres lehessen. Kett vagy kevesebb

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Matematikai logika. Nagy Károly 2009

Matematikai logika. Nagy Károly 2009 Matematikai logika előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2009 1 1. Elsőrendű nyelvek 1.1. Definíció. Az Ω =< Srt, Cnst, F n, P r > komponensekből álló rendezett négyest elsőrendű

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 0/03-as tanév. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató. Egy kör kerületére felírjuk -től 3-ig az egészeket

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG MÁTRIX DEFINITSÉGÉNEK FOGALMA ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG ELDÖNTÉSÉRE DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-..1.B-10//KONV-010-0001

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben