A centrális határeloszlás tétel problémaköre Lie csoportokon

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A centrális határeloszlás tétel problémaköre Lie csoportokon"

Átírás

1 A centrális határeloszlás tétel problémaköre Lie csoportokon Pap yula Doktori értekezés tézisei Debrecen 1997

2 1 Az értekezés tárgya, előzmények Dolgozatomban Lie csoportbeli valószínűségi változókra vonatkozó centrális határeloszlás tételekkel kapcsolatos problémákkal foglalkozok. A témakör fejlődésében az első fontos mérföldkő.a. Hunt [39] 1956 os cikke, melyben Lie csoportokon értelmezett valószínűségi mértékekből álló konvolúciós félcsoportokat vizsgált. Egy ilyen konvolúciós félcsoport úgy is tekinthető, mint egy Lie csoportbeli értékeket felvevő független, stacionárius növekményű sztochasztikus folyamat egy dimenziós eloszlás serege. Sikerült karakterizálnia az infinitézimális generátorukat a klasszikus Lévy Hincsin formula analógjával. Erre támaszkodva D. Wehn [63], [64] 1959 ben adott elégséges feltételeket a centrális határeloszlás tételre kommutatív háromszögrendszer esetén azaz amikor az egy sorban álló mértékek a konvolúciószorzásra nézve felcserélhetőek. Egy korai áttekintés található U. renander [30] 1963 as könyvében. Az eredményeket H. Heyer [35], [36], [37], W. Hazod [31] és E. Siebert [49], [50], [51], [52], [53], [54], [55], [56] általánosította különböző topológikus csoportokra, és a vizsgálatokat kiterjesztették egyéb valószínűségszámítási kérdésekre is. Az 1976 ig elért eredményeket tárgyalja H. Heyer [38] 1977 es monográfiája. A kutatásokban tevékenyen részt vettek magyar matematikusok is; lásd például Prékopa, Rényi és Urbanik [44], Csiszár [21], [22], [23], [24], Major és Shlosman [41] cikkeit, de érdemes megemlíteni Haar Alfréd nevét is, ugyanis a Haar mérték igen fontos szerepet játszik ezeken a csoportokon. A legújabb kutatások kiterjednek félcsoportokra is; ezekről szól Ruzsa és Székely [47] könyve. Egy másik fontos mérföldkő D.W. Stroock és S.R.S. Varadhan [60] 1973 as munkája, melyben funkcionális centrális határeloszlás tételt bizonyítottak Lie csoportokon. Náluk a határfolyamat egy független növekményű auss folyamat volt, melyet a martingál problémával karakterizáltak. Ph. Feinsilver [25] 1978 ban karakterizálta az összes független növekményű folyamatot a martingál problémával, és funkcionális centrális határeloszlás tételt is bizonyított ilyen határfolyamatokkal. Új lendületet adott a kutatásoknak W. Hazod [32] 1984 es cikke, melyben általánosította a stabilis eloszlások fogalmát topológikus csoportokra. Később W. Hazod és E. Siebert [33], [59] 1986 ban megmutatták, hogy a centrális határeloszlás tétel topológikus csoportokon történő vizsgálatában kiemelt szerepet játszanak a nilpotens Lie csoportok, ugyanis ha tekintjük lokálisan kompakt topológikus csoportbeli független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozatát, akkor az automorfizmusokkal alkalmasan normalizált részletszorzatok lehetséges határeloszlásai olyan részcsoportra koncentrálódnak, mely izomorf egy egyszerűen összefüggő nilpotens Lie csoporttal. Érdemes megemlíteni D. Neuenschwander [42] 1996 os könyvét, melyben a legegyszerűbb nem kommutatív nilpotens Lie csoporttal, a Heisenberg csoporttal kapcsolatos eredményeket foglalja össze. Nilpotens Lie csoportokon már V.N. Tutubalin [61] 1964-ben és A.D. Virtser [62] 1974 ben, valamint P. Crépel és A. Raugi [19] 1978 ban bizonyítottak centrális határeloszlás tételeket konvolúcióhatványokra vonatkozóan azaz független, azonos eloszlású valószínűségi változókra, de ezekben a munkákban magas momentumok végességét tételezték fel. Végül A. Raugi [45] adott 1978 ban egy bonyolult, hosszú bizonyítást csak a második homogén 1

3 momentum végességét feltételezve. A konvergenciasebesség vizsgálatával kapcsolatos első lépést P. Crépel és B. Roynette [20] tette meg 1977 ben, de nekik a Heisenberg csoport esetén On 1/3 nál lassabb konvergenciát sikerült bizonyítaniuk az optimális On 1/2 helyett. Az is kiderült, hogy a stabilis eloszlások vonzási tartományának meghatározásánál igen fontos szerepet játszik a következő beágyazási probléma: vajon ha egy valószínűségi mérték beágyazható egy konvolúciós félcsoportba, akkor ez a konvolúciós félcsoport egyértelműen meghatározott? Lásd W. Hazod [32], S. Nobel [43] és H.P. Scheffler [48]. P. Baldi [15] 1985 ben megmutatta, hogy 2 lépéses nilpotens Lie csoportok esetén a auss mértékek egyértelműen ágyazhatók be auss félcsoportba. Kutatásaimra nagy hatással volt E. Siebert [58] 1982 es cikke is, melyben Lie csoportokon értelmezett valószínűségi mértékekből álló konvolúciós hemicsoportokat vizsgált, melyek úgy is tekinthetők, mint egy független növekményű folyamat növekményei eloszlásainak két paraméteres serege. A kiinduló ötlet az volt, hogy ezeket próbáljuk meg infinitézimális generátoroknak egy időparamétertől függő seregével karakterizálni, mely a megfelelő konvolúciós operátor sereg deriváltja. E. Siebert megmutatta, hogy ennek a kapcsolatnak az integrál alakja, az úgynevezett evolúciós integrál egyenletek valóban alkalmasak gyengén Lipschitz folytonos konvolúciós hemicsoportok karakterizálására. Később Born [17] 1990 ben karakterizálta az erősen korlátos változású konvolúciós hemicsoportokat tetszőleges lokálisan kompakt csoport esetén. Ez a munka J.U. Herod és R.W. McKelvey [34] 1980 as cikkére támaszkodott, melyben a Hille Yosida elméletet általánosították olyan evolúciós operátor családokra, melyek Banach terek egymásba ágyazott láncolatán vannak értelmezve, kontraktív operátorokból állnak, és korlátos változásúak a láncra nézve. 2 Az értekezés felépítése és főbb eredményei Az értekezés nyolc fejezetből áll, ezek közül az első a bevezetés, a másodikban pedig a gyakrabban használatos fogalmak és jelölések találhatók. A harmadik fejezetben, mely a [2] és [3] cikkek eredményein alapul, kommutatív háromszögrendszerekkel foglalkozunk. Először Raugi [45] centrális határeloszlás tételére adunk egy egyszerű, rövid bizonyítást lépcsős Lie csoport esetén Tétel. Legyen egy lépcsős Lie csoport. Jelölje δ t t>0 a természetes dilatációiból álló egy paraméteres automorfizmus csoportot. Legyen µ egy centrált valószínűségi mérték n véges második homogén momentummal. Ekkor ahol ν = aussµ. δ 1/ n µ n ν, aussµ azt az egyértelműen meghatározott auss mértéket jelöli, melynek első és másodfokú homogén momentumai ugyanazok, mint a µ mértéknek. A következő cél Lindeberg Feller típusú centrális határeloszlás tétel bizonyítása, azaz szükséges és elégséges feltétel keresése háromszögrendszerek konvergenciájára. Ehhez először 2

4 a korlátlanul osztható eloszlások konvergenciájáról szóló klasszikus tétel lásd nedenko és Kolmogorov [28, 19, Theorem 1, Theorem 2] analógját kell megtalálni lásd Tétel, mely konvolúciós félcsoportok konvergenciájára ad szükséges és elegendő feltételt ami a Lévy Hincsin formulában szereplő mennyiségek megfelelő értelemben vett konvergenciája. Ennek segítségével a kísérő Poisson-sorozatot használva és Fourier-transzformáltakat alkalmazva sikerült szükséges és elégséges feltételt kapni szimmetrikus mértékek esetén. Legyen egy Lie csoport L Lie algebrával. Jelölje M 1 a valószínűségi mértékek halmazát. Jelölje Ue az e egységelem mérhető környezeteinek rendszerét. Egy X L elem tekinthető például bal invariáns differenciáloperátornak is a csoporton: 1 Xfx := lim fx exptx fx. t 0 t Legyen {X 1,..., X d } egy bázis L ben. Legyen x 1,..., x d D egy olyan elsőfajú kanonikus koordináta rendszer ben, mely adaptált az {X 1,..., X d } bázishoz és érvényes az egységelem valamely U 0 kompakt környezetben, azaz y = exp d x iyx i ha y U0, továbbá legyen ϕ : [0, 1] egy Hunt függvény a csoporton, azaz 1 ϕ D, és ϕy = d x iy 2 ha y U 0. Jelölje M + d a d d valós, szimmetrikus, pozitív szemidefinit mátrixok halmazát Tétel. Legyen I = µ nl,...,kn;n 1 egy szimmetrikus mértékekből álló kommutatív háromszögrendszer n. Legyen b ij i,j=1,...,d M + d. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i a lim b lim k n k n µ nl \ U = 0 ha U Ue, ii a I infinitézimális, k n b sup ϕy µ nl dy <, n 1 x i yx j y µ nl dy = b ij ha i, j = 1,..., d. c lim µ n1 µ nkn = ν ahol ν = ν 1, ν t t 0 az a auss félcsoport, melynek infinitézimális generátora 1 d b ij Xi Xj. 2 i,j=1 A szimmetrizáció módszerével ezt sikerült általánosítani normális háromszögrendszerekre is Tétel. Lépcsős Lie csoportokon a Lindeberg Feller tétel szokásos alakját kapjuk Tétel. Ezután levezetünk egy Lindeberg tételt abban az esetben, amikor a határeloszlás olyan auss mérték, mely stabilis a δ t t>0 természetes dilatációra nézve Tétel. Ebből egyrészt könnyen származtatható a Tétel, másrészt egy Lindeberg tétel a H Heisenberg csoporton adott valószínűségi mértékek µ 1 µ n n szeres konvolúciószorzatának alkalmas automorfizmusokkal standardizált sorozatának auss mértékhez való konvergenciájáról Tétel. 3

5 A negyedik fejezetben, mely az [1], [9] és [10] cikkek eredményein alapul, auss mértékekkel való közelítés pontosságával foglalkozunk lépcsős nilpotens Lie csoportokon, mégpedig a centrális határeloszlás tételbeli konvergencia sebességével. Először a standard esetben homogén gömbökön, azaz Ba, r := {x : a 1 x < r}, a, r > 0 alakú halmazokon bizonyítunk On 1/2 konvergencia sebességet bizonyos analitikus feltételeket kielégítő homogén normák esetén Tétel: egy s lépcsős nilpotens Lie csoport esetén δ1/ n µ n Ba, r νba, r Cκa, rβ3 µ, ν + β 3s µ, νn 1/2, ahol κa, r := 1 + a s a /r} 3s 1 és β k µ, ν := x k µ ν dx, ahol µ ν a µ ν előjeles mérték totális variációját jelöli. Ezután sima függvények integráljaira vonatkozó Berry Esseen egyenlőtlenséget bizonyítunk, amelyben csak a szokásos momentumfeltétel szerepel, és az alakja is optimális Tétel. A legfontosabb következmény az, hogy ha m 3 µ <, akkor fxδ 1/ n µ n dx fx νdx C f 3s,hom1 + m 3s 1 νm 3 µn 1/2, ahol egy γ mérték esetén m k γ := x k γdx. Valószínűségi mértékek konvolúció hatványainak auss mértékekkel történő közelítésének pontosságáról ad még több információt az Edgeworth sorfejtés. A Tétel a rövid alakot írja le, azaz amikor a sorfejtés csak egy tagot tartalmaz a auss mérték után. Egy I Z d + multiindex esetén használni fogjuk az S I := 1 I! [j 1 ]+ +[j I ]=I X j1... X j I jobb invariáns differenciáloperátort, mely tekinthető X I szimmetrizáltjának. Itt [j] azt a multiindexet jelöli, melynek a j edik koordinátája 1, és a többi 0. Az Edgeworth sorfejtés legegyszerűbb alakja m 4 µ < esetén fxδ 1/ n µ n dx = fxνdx + αn 1/2 + On 1, ahol α := 1 di=3 0 S I g x,z eν t dxν 1 t dzdt y I µ νdy, ν t t 0 az a auss félcsoport, melyre ν 1 = ν, és g x,z : R, g x,z y := fxyz, y. Érdemes megemlíteni azt is, hogy S I g x,z e = PJ I x, z J fxz, ahol P I J dj di, J I olyan homogén polinom, melynek homogén foka dj di. A Tételben megadjuk a tetszőleges hosszúságú Edgeworth sorfejtést, melynek bizonyítása az Euler Maclaurin féle összegzési formulának bizonyos többdimenziós szimplexekre 4

6 történő általánosítását használja lásd Tétel, mely önmagában is érdeklődésre tarthat számot. Az ötödik fejezet, mely a [4], [5] és [11] cikkek eredményein alapul, az előzményekben megfogalmazott beágyazási problémával kapcsolatos. Egy lehetőség a beágyazási probléma megközelítésére a konvolúciós félcsoportok struktúrájának felderítése. Ezzel függ össze az a kérdés, melyet Ph. Feinsilver és R. Schott [26], [27] vetettek fel: hogy néz ki egy független, stacionárius növekményű sztochasztikus folyamat, mely értékeit egy Lie csoportban veszi fel? Az Tétel válasza az, hogy egy d dimenziós exponenciális Lie csoport esetén azaz amikor az exponenciális leképezés egy analitikus diffeomorfizmus ha veszünk egy független, stacionárius növekményű folyamatot, és úgy tekintjük, mint egy R d beli értékű folyamatot, akkor az egy idő homogén diffúzió ugrásokkal J. Jacod és A.N. Shiryayev [40, p. 142] értelmében, azaz egy olyan általánosított sztochasztikus differenciál egyenlet egyértelmű, erős megoldása, melyet egy Wiener folyamat és egy véletlen stacionárius Poisson mérték hajt meg; az egyenletet a folyamat infinitézimális generátorával explicit módon megadjuk. Ennek segítségével az Tételben explicit konstrukciót adunk tetszőleges nilpotens Lie csoportbeli értékeket felvevő független, stacionárius növekményű folyamatra, mellyel általánosítjuk B. Roynette [46] rekurzív formuláját, mely a Brown mozgás esetére érvényes. P. Baldi [15] tételét sikerült 2 lépéses nilpotens Lie csoportról tetszőleges nilpotens Lie csoportra általánosítani: Tétel. Legyenek µ t t 0 és ν t t 0 olyan auss félcsoportok egy egyszeresen összefüggő, nilpotens Lie csoporton, hogy µ 1 = ν 1. Ekkor µ t = ν t minden t 0 esetén. Megpróbáltam a beágyazási problémát úgy is megközelíteni, hogy karakterizációs tulajdonságokat kerestem auss mértékekre. Carnal [18] bizonyított ilyet kompakt Lie csoportokon. Ennek az eredménynek adjuk meg az analógját tetszőleges Lie csoporton az Tételben, de ez auss félcsoportokat karakterizál. A disszertáció utolsó három fejezete a funkcionális centrális határeloszlás tétel problémakörével foglalkozik, mely egy topológikus csoporton a következő módon fogalmazható meg. Legyenek {ξ nl : n, l N 2 } beli értéket felvevő, soronként független valószínűségi változók, és legyenek {k n : n N} olyan növekvő, jobbról folytonos k n : R + Z + függvények, hogy k n 0 = 0, és minden t R + és minden U Ue esetén teljesül a lim infinitézimalitási feltétel. Képezzük a ξ n t := max P ξ nl U = 0 1 l k n t k n t ξ nl := ξ n1 ξ n2 ξ n,knt szorzatokat, és tekintsük a ξ n = ξ n t t 0, n = 1, 2,... sztochasztikus folyamatokat, melyeknek a trajektóriái nyilván a DR +, Szkorohod térbe esnek. Feltételeket keresünk a háromszögrendszerre ahhoz, hogy teljesüljön a véges dimenziós eloszlások ξ n ξ L konvergenciája, vagy a Szkorohod térben indukált eloszlások ξ n ξ konvergenciája, ahol ξ = ξt t 0 egy olyan beli értéket felvevő folyamat, melynek trajektóriái majd- 5 L f

7 nem biztosan a Szkorohod térbe esnek. Szükségképpen a ξ = ξt t 0 folyamat független bal növekményű, azaz ξ0 = e és tetszőleges 0 t 1 t 2... t n időpontokra a ξt 1, ξt 1 1 ξt 2,..., ξt n 1 1 ξt n bal növekmények függetlenek. Csak olyan limesz folyamatok érdekelnek bennünket, melyek sztochasztikusan folytonosak ami most azzal ekvivalens, hogy nincsenek rögzített idejű szakadási pontjai. A feladatok pontosabban megfogalmazva a következők: parametrizáljuk a beli értékű, független bal növekményű, sztochasztikusan folytonos folyamatok által a DR +, Szkorohod téren indukált valószínűségi mértékek PII c halmazát, azaz adjunk meg egy bijekciót PII c és valamely alkalmas PR +, paramétertér között; feleltessünk meg alkalmas K n mennyiségeket a {ξ nl : 1 l k n t}, t R +, n N, sorokhoz úgy, hogy L? ξ K n K, ξ n ahol K PR +, az a paraméter, ami a ξ limesz folyamathoz tartozik, és a K n K konvergencia megfelelően van értelmezve. A hatodik fejezetben, mely a [12] cikken alapul, először megfogalmazzuk a fenti kérdésekre a = R d, + csoport esetén a jól ismert válaszokat. Ekkor ugyanis a karakterisztikus függvények segítségével belátható, hogy a PR +, R d paramétertér választható a következő módon: azon a, B, η hármasok halmaza, ahol a : R + R d folytonos és a0 = 0, B : R + M + d monoton növekvő, folytonos és B0 = 0, valamint η LR +, R d ahol LR +, R d olyan η M + R d R + mértékek halmaza, melyekre η{0} R + = 0 és a t y 2 1 ηdy [0, t] leképezés folytonos. Egy a, B, η PR +, R d hármashoz az a mérték tartozik a DR +, R d Szkorohod téren, mely szerint az xt xs növekmény eloszlása egy olyan korlátlanul osztható eloszlás R d n, melynek a Lévy Hincsin reprezentációjában az at as, Bt Bs, η ]s, t] mennyiségek szerepelnek. A második kérdésre pedig az a válasz = R d, + esetén, hogy a konvergencia ekvivalens azzal, hogy k n ξ nl L ξ a b c k nt k nt k nt Ehξ nl at egyenletesen t [0, T ] ben minden T > 0 esetén, Covhξ nl Bt ha t D, Efξ nl fy ηdy [0, t] ha t D, f C 0 R d, 6

8 ahol egy topológikus csoport esetén C e a C b térnek azt az alterét jelöli, mely az egységelem valamely környezetében eltűnő függvényekből áll, h : R d R d egy nyírófüggvény, azaz folytonos, kompakt tartójú és hx = x teljesül a 0 R d valamely környezetében, továbbá Bt = bi, jt i,j=1,...,d, bi, jt := bi, jt + h i yh j y ηdy [0, t]. Az a célunk, hogy megkeressük ezen tételek általánosítását Lie csoportokra. A PII c halmaz parametrizálása reménytelennek tűnik Fourier transzformáltak segítségével, ezért inkább a konvolúciós operátorokat fogjuk használni. Egy µ mérték konvolúciós operátora az a T µ operátor, mely a n értelmezett valós, korlátos, folytonos, végtelenben eltűnő függvények szuprémum normával ellátott C 0 Banach terén van értelmezve a következő módon: T µ fx := fxy µdy ha x. Először is rávilágítunk a konvolúciós hemicsoportokkal való kapcsolatra. Vezessük be az S := {s, t R 2 : 0 s t} jelölést. Valószínűségi mértékeknek egy µs, t s,t S családját folytonos konvolúciós hemicsoportnak nevezünk, ha µs, r µr, t = µs, t teljesül minden s, r, r, t S esetén, µt, t = ε e minden t R esetén, és az s, t µs, t leképezés folytonos. Ha ξt t 0 egy beli értékeket felvevő független bal növekményű sztochasztikusan folytonos folyamat, akkor a ξs 1 ξt, s, t S bal növekmények eloszlásai egy konvolúciós hemicsoportot alkotnak. Fordítva: ha µs, t s,t S egy konvolúciós hemicsoport, akkor létezik olyan ξt t 0 beli értékeket felvevő független bal növekményű, sztochasztikusan folytonos, DR +, beli trajektóriájú folyamat, hogy minden s, t S esetén a ξs 1 ξt bal növekmény eloszlása µs, t. A konvolúciós operátorokkal létesített µ T µ reláció pedig létrehoz egy bijekciót a µs, t s,t S konvolúciós hemicsoportok és azon T s, t s,t S evolúciós operátor családok között, melyek a C 0 Banach téren értelmezett pozitív, balinvariáns, 1 normájú korlátos, lineáris operátorokból állnak. Egy E Banach tér korlátos, lineáris operátoraiból álló T s, t s,t S halmazt evolúciós operátor családnak nevezzük, ha T s, rt r, t = T s, t teljesül minden s, r, r, t S esetén, T t, t = I minden t R + esetén, és az s, t T s, t leképezés erősen folytonos. A Hille Yosida elmélet alapján tudjuk, hogy kölcsönösen egyértelmű kapcsolat van egy E Banach téren értelmezett T t t 0 erősen folytonos egy paraméteres operátor félcsoport és annak N, DomN infinitézimális generátora között, ahol T hf f Nf := lim, f DomN. h 0 h Ez alapján azt várnánk, hogy egy T s, t s,t S evolúciós operátor család leírható infinitézimális generátoroknak valamely Ñt t 0 seregével, ahol Ñt az evolúciós család deriváltja t ben. Többféle kapcsolat lehetséges egy T s, t s,t S evolúciós operátor család és infinitézimális generátorok valamely Ñt t 0 serege között lásd Heyer [38], Born [17]. A hatodik fejezetben az derül ki, hogy a gyengén korlátos változású konvolúciós 7

9 hemicsoportok paraméterezésére az a kapcsolat alkalmas, melyet a gyenge evolúciós integrálegyenletek létesítenek. Ezek azért gyengék, mert csak pontonként kell teljesülniük. Jelölje P bv R +, azon a, B, η hármasok halmazát, ahol a : R + R d folytonos, korlátos változású és a0 = 0, B : R + M + d monoton növekvő, folytonos és B0 = 0, valamint η LR +,, ahol LR +, azon η M + R + mértékek halmazát jelöli, melyekre η{e} R + = 0 és a t ϕy ηdy [0, t] leképezés folytonos. Jelölje A az összes µ t t 0 konvolúciós félcsoport generáló funkcionáljából álló halmazt. Egy A : R + A leképezés akkor és csak akkor monoton növekvő, folytonos és korlátos változású, ha létezik olyan a, B, η P bv R +, hármas, hogy at, Bt, ηt az At generáló funkcionál kanonikus dekompozíciójában szereplő mennyiségek, ahol ηtdy := ηdy [0, t]. Ekkor g τ C 2, τ R +, és s, t S esetén legyen ]s,t] Adτg := + d ]s,t] ]s,t] X i g τ e aidτ g τ y g τ e d d i,j=1 ]s,t] X i X j g τ e bi, jdτ X i g τ ex i y ηdy dτ, amennyiben a jobboldalon álló integrálok léteznek. Azt mondjuk, hogy egy µs, t s,t S hemicsoport és egy a, B, η P bv R +, hármas kapcsolatosak egymással a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint, ha minden s, t S és f D esetén T µs,t Ife = AdτT µτ,t f, ahol A : R + A az a monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés, melynek kanonikus dekompozíciója at, Bt, ηt t 0. A és Tételek szerint a µs, t s,t S folytonosan gyengén korlátos változású konvolúciós hemicsoportok és az a, B, η P bv R +, paraméterek között bijekciót hoz létre a gyenge backward evolúciós egyenlet. A µs, t s,t S hemicsoport a hozzá tartozó A leképezést a következő explicit módon határozza meg: minden f X 2 és t R + esetén [nt] Atf = lim f fe dµ l 1, l n n. Az az érdekesség, hogy először a konvergencia tételt bizonyítjuk be, melyben elegendő feltételeket adunk beli háromszögrendszerből konstruált véletlen lépcsősfüggvények növekményeinek valamely gyengén korlátos változású konvolúciós hemicsoporthoz való konvergenciájára. Azt is érdemes megemlíteni, hogy a gyenge forward evolúciós egyenlet is teljesül ugyanis a Tételt ugyanúgy lehet bizonyítani ebben az esetben is, de a gyenge backward evolúciós egyenletnek meg van az az előnye, ami a unicitási tételből derül ki: közvetlenül, azaz a konvergencia tétel felhasználása nélkül belátható, hogy egy adott paraméterhez a gyenge backward evolúciós egyenlettel legfeljebb egy konvolúciós hemicsoportot lehet megfeleltetni. ]s,t] 8

10 A hetedik fejezetben, mely a [13] cikk eredményeit tartalmazza, egy kis kitérőt teszünk: megmutatjuk, hogy a hatodik fejezet eredményei átvihetők Lie projektív csoportokra is. Ez azért jelentős, mert így többek között az összes nem feltétlenül kommutatív kompakt topológikus csoport le van fedve. Végül a nyolcadik fejezetben, mely a [14] kéziraton alapul, a hatodik fejezet eredményeire támaszkodva választ adunk a fent megfogalmazott két kérdésre tetszőleges Lie csoport esetén. A és Tételekben parametrizáljuk az összes beli értékű, független bal növekményű, sztochasztikusan folytonos folyamatot, azaz az összes konvolúciós hemicsoportot azzal a PR +, paraméterhalmazzal, mely olyan m, B, η hármasokból áll, ahol m : R + folytonos és m0 = e, B : R + M + d monoton növekvő, folytonos és B0 = 0, valamint η LR +,. A bijekciót az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet teremti meg: minden s, t S és f D esetén T µ s,t Ife = Ãdτg τ,t, ]s,t] ahol µs, t := ε ms µs, t ε mt 1, g τ,t y := T µ τ,t fmτymτ 1, és à : R + A az a monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés, melynek kanonikus dekompozíciója 0, Bt, ηt t 0. Ennek az eltolásnak az a szerepe, hogy ki kell operálni azt a részt, amely nem feltétlenül korlátos változású. Ugyanúgy, ahogy a hatodik és hetedik fejezetben, most is először egy konvergenciatételt bizonyítunk: elegendő feltételeket adunk tetszőleges hemicsoporthoz való konvergenciára. Az alapötlet az, hogy a µ nl mértékeket a lokális várhatóértékükkel toljuk el. Azt mondjuk, hogy a µ M 1 mértéknek az m U 0 pont lokális várhatóértéke, amennyiben x i m = x i y µdy ha i {1,..., d}. Ha a µ M 1 mértéknek létezik m lokális várhatóértéke, akkor definiálhatjuk a lokális kovariancia mátrixát is a következő módon: B = b ij i,j=1,...,d, b ij := x i y x i mx j y x j m µdy Tétel. Legyenek {µ nl : n, l N 2 } valószínűségi mértékek egy Lie csoporton. Minden n N esetén legyen k n : R + Z + egy olyan monoton növekvő, balról folytonos függvény, melyre k n 0 = 0 és k n R + = Z +. Jelölje m nl és B nl a µ nl mérték lokális várhatóértékét, illetve lokális kovarianciamátrixát. Vezessük be az m n : R + és B n : R + M + d, B nt = b n i, jt i,j=1,...,d függvényeket: m n t := k n t m nl, B n t := Legyen D egy sűrű halmaz R + ban. Tegyük fel, hogy k n t B nl. 9

11 i létezik olyan η 0 LR +, mérték, hogy minden t D és f C e esetén k n t lim fy µ nl dy = fy η 0 dy [0, t], ii létezik olyan B 0 : R + M d, B 0 t = b 0 i, jt i,j=1,...,d, folytonos függvény, hogy minden t D és i, j {1,..., d} esetén lim b ni, jt = b 0 i, jt + x i yx j y η 0 dy [0, t]. Ekkor 0, B 0, η 0 P bv R +, és *knt l=k n s+1 µ nl ε m 1 nl νs, t ha s, t S, ahol νs, t s,t S egy olyan folytonosan gyengén korlátos változású hemicsoport M 1 ben, mely a 0, B 0, η 0 P bv R +, paraméternek felel meg a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Továbbá a νs, t s,t S hemicsoport megfelel az e, B 0, η 0 PR +, paraméternek az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Ha még azt is feltesszük, hogy iii létezik olyan m 0 : R + folytonos függvény, hogy minden t D esetén iv minden T > 0 és i {1,..., d} esetén akkor lim lim sup δ 0 lim m nt = m 0 t, sup t s δ 0 s t T xi mn s 1 m n t = 0, *knt µ nl µs, t ha s, t S l=k n s+1 ahol µs, t s,t S egy olyan hemicsoport, mely az m 0, B 0, η 0 PR +, paraméternek felel meg az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Megjegyezzük, hogy az i feltétel teljesülése esetén minden T > 0, minden elegendően nagy n N és minden l {1,..., k n T } esetén a µ nl mértéknek létezik lokális várhatóértéke. A 8.6 paragrafusban azt is belátjuk, hogy a gyenge backward evolúciós egyenlettel létesített reláció ekvivalens azzal, hogy a folyamat által a DR +, Szkorohod téren indukált mérték az illető paraméterhez tartozó eltolt martingálprobléma megoldása lásd D.W. Stroock és S.R.S. Varadhan [60], valamint Ph. Feinsilver [25]: azt modjuk, hogy egy ξt t 0 folyamat által a DR +, Szkorohod téren indukált mérték az m, B, η 10

12 PR +, hármashoz tartozó eltolt martingálprobléma megoldása, ha minden f D függvény esetén az fξtmt 1 ÃdτL ξτ R mτ 1f [0,t] folyamat martingál a természetes filtrációval, ahol à : R + A az a monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés, melynek kanonikus dekompozíciója 0, Bt, ηt t 0. Ha f : R és y, akkor L y f és R y f a következő függvényeket jelöli: L y fx := fyx, R y fx := fxy, x. A 8.7 paragrafusban kiderül, hogy a Tételben megadott feltételek szükségesek is. Először tekintsük a globális centrálást. Legyenek {ξ nl : n, l N 2 } soronként független valószínűségi változók. Minden n N esetén legyen k n : R + Z + olyan monoton növekvő, balról folytonos függvény, hogy k n 0 = 0, k n R + = Z +, és teljesüljön a lim max P ξ nl U = 0 1 l k n t infinitézimalitási feltétel minden U Ue és t R + ξ n = ξ n t t 0, ξ n t := k nt ξ nl esetén. Tekintsük n N esetén a sztochasztikus folyamatot. Jelölje µ nl a ξ nl eloszlását. Definiáljuk az m n : R + és B n : R + M + d függvényeket úgy, mint a Tételben. Egy m, B, η PR +, hármas esetén legyen B : R + M + d, Bt = bi, jti,j=1,...,d, bi, jt := bi, jt + x i yx j y ηdy [0, t] Tétel. Legyen ξ = ξt t 0 egy olyan beli értékű, sztochasztikusan folytonos, független bal növekményű folyamat, mely az m, B, η PR +, hármassal kapcsolatos az eltolt gyenge evolúciós egyenlet szerint. Legyen D egy sűrű halmaz R + ban. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i a m n t mt egyenletesen t [0, T ] ben minden T > 0 esetén, b B n t Bt ha t D, k n t c fy µ nl dy fy ηdy [0, t] ha t D, f C e. ii ξ n L ξ. Hasonló határeloszlás tétel érvényes lokális centrálással. Definiáljuk n N esetén a következő ξ n = ξ n t t 0 sztochasztikus folyamatokat: ξ n t := k nt 11 ξnl m 1 nl.

13 8.7.3 Tétel. Legyen ξ = ξt t 0 egy olyan beli értékű, sztochasztikusan folytonos, független bal növekményű folyamat, mely a 0, B, η P bv R +, hármassal kapcsolatos a gyenge evolúciós egyenlet szerint. Legyen D egy sűrű halmaz R + ben. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i a B n t Bt ha t D, k n t b fy µ nl dy fy ηdy [0, t] ha t D, f C e. ii ξn L ξ. A Tétel szükséges és elégséges feltételt ad független növekményű folyamatok sorozatának konvergenciájára. A Tételben {ξ nl : n, l N 2 } soronként független, azonos eloszlású valószínűségi változók, és a limesz folyamat független, stacionárius növekményű. Végül a Tétel szükséges és elégséges feltételt ad független, stacionárius növekményű folyamatok sorozatának konvergenciájára. Irodalomjegyzék Az értekezés eredményeit a szerző alábbi cikkei tartalamazzák: [1] Pap, Rate of convergence in CLT on stratified groups. J. Multivariate Anal. 38, [2] Pap, A new proof of the central limit theorem on stratified Lie groups. In: Heyer, H. ed. Probability Measures on roups X. Proceedings, Oberwolfach 1990, pp Plenum Press, New York. [3] Pap, Central limit theorems on nilpotent Lie groups. Probab. Math. Stat. 14, [4] Pap, Characterization of aussian semigroups on a Lie group. Publ. Math. 42, [5] Pap, Uniqueness of embedding into a aussian semigroup on a nilpotent Lie group. Arch. Math. 62, [6] Pap, Central limit theorems on some topological groups. A survey. In: New Trends in Probability Theory and Mathematical Statistics II. Proceedings of the Second Ukrainian-Hungarian Conference, Munkachevo, 1992, pp [7] Pap, Central limit theorems on stratified Lie groups. In: VI International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Proceedings, Vilnius,

14 [8] Pap, Processes with stationary independent increments on nilpotent Lie groups. In: Balakrishnan, A.V. ed. 4th International Conference on Advances in Communication & Control. Proceedings, Rhodes, 1993, pp University of Nevada, Las Vegas. [9] Pap, Edgeworth expansions in nilpotent Lie groups. In: Heyer, H.eds. Probability Theory on Vector Spaces XI. Proceedings, Oberwolfach 1995, pp World Scientific, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong. [10] Bentkus, V. and Pap, The accuracy of aussian approximations in nilpotent Lie groups. J. Theor. Probab. 9, [11] Pap, Construction of processes with stationary independent increments on nilpotent Lie groups. Arch. Math. 69, [12] Heyer, H. and Pap, Convergence of noncommutative triangular arrays of probability measures on a Lie group. J. Theor. Probab. 10, [13] Heyer, H. and Pap,. to appear in Convolution hemigroups of bounded variation on a Lie projective group. J. London Math. Soc. [14] Pap, Functional central limit theorems and hemigroups of probability measures on a Lie group. Preprint. A tézisekben még az alábbi munkákra történik hivatkozás: [15] Baldi, P Unicité du plongement d une mesure de probabilité dans un semigroupe de convolution gaussien. Cas non-abélien. Math. Z. 188, [16] Born, E An explicit Lévy Hinčin formula for convolution semigroups on locally compact groups. J. Theor. Probab. 2, [17] Born, E Hemigroups of probability measures on a locally compact group. Math. Ann. 287, [18] Carnal, H Unendlich oft teilbare Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf kompakten ruppen. Math. Ann. 153, [19] Crépel, P. and Raugi, A Théorème central limite sur les groupes nilpotents. Ann. Inst. Henri Poincaré, Probab. Stat. 14, [20] Crépel, P. and Roynette, B Une loi du logarithme itéré pour le groupe d Heisenberg. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 39, [21] Csiszár, I A note on limiting distributions on topological groups. Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. 9,

15 [22] Csiszár, I On infinite products of random elements and infinite convolutions of probability distributions on locally compact groups. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 5, [23] Csiszár, I Some problems concernings measures on topological spaces and convolutions of measures on topological groups. In: Les Probabilités sur les Structures Algébraiques, pp , Paris. [24] Csiszár, I On the weak continuity of convolution in a convolution algebra over an arbitrary topological group. Stud. Sci. Math. Hung. 6, [25] Feinsilver, Ph Processes with independent increments on a Lie group. Trans. Am. Math. Soc. 242, [26] Feinsilver, Ph. and Schott, R Operators, stochastic processes, and Lie groups. In: Heyer, H. ed. Probability Measures on roups IX. Proceedings, Oberwolfach, Lect. Notes Math., vol. 1379, pp Springer, Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo. [27] Feinsilver, Ph. and Schott, R An operator approach to processes on Lie groups. In: Probability Theory on Vector Spaces IV. Proceedings, Łancut, Lect. Notes Math., vol. 1391, pp Springer, Berlin Heidelberg New York Tokyo. [28] nedenko, B.V. and Kolmogorov, A.N Limit distributions for sums of independent random variables. ostekhizdat. English translation Addison Wesley, Cambridge, 1954 [29] ötze, F On Edgeworth expansions in Banach spaces. Ann. Probab. 9, [30] renander, U Probabilities on algebraic structures. Almquist & Wilksells, Stockholm. [31] Hazod, W Stetige Halbgruppen von Wahrscheinlichkeitsmaßen und erzeugende Distributionen. Lect. Notes Math. Vol. 595, Springer, Berlin öttingen Heidelberg New York. [32] Hazod, W Stable and semistable probabilities on groups and on vector spaces. In: Szynal, D., Weron, A. eds. Probability Theory on Vector Spaces III. Proceedings, Lublin Lect. Notes Math., vol. 1080, pp Springer, Berlin Heidelberg New York Tokyo. [33] Hazod, W. and Siebert, E Continuous automorphism groups on a locally compact group contracting modulo a compact subgroup and applications to stable convolution semigroups. Semigroup Forum 33, [34] Herod, J.U. and McKelvey, R.W A Hille Yosida theory for evolutions, Isr. J. Math. 36,

16 [35] Heyer, H Fourier transforms and probabilities on locally compact groups. Jahresber. Dtsch. Math. Ver. 70, [36] Heyer, H L analyse de Fourier non commutative et applications à la théorie des probabilités. Ann. Inst. Henri Poincaré, Sect. B. 4, [37] Heyer, H Dualität lokalkompakter ruppen. Lect. Notes Math. vol. 150, Springer, Berlin Heidelberg New York. [38] Heyer, H Probability Measures on Locally Compact roups. Springer, Berlin Heidelberg New York. [39] Hunt,.A Semi-groups of measures on Lie groups. Trans. Am. Math. Soc. 81, [40] Jacod, J. and Shiryaev, A.N Limit Theorems for Stochastic Processes. Springer, Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo. [41] Major, P. and Shlosman, S.B A local limit theorem for the convolution of probability measures on a compact connected group. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 50, [42] Neuenschwander, D Probabilities on the Heisenberg roup. Lect. Notes Math. Vol. 1630, Springer, Berlin Heidelberg. [43] Nobel, S Limit theorems for probability measures on simply connected nilpotent Lie groups, J. Theor. Probab. 4, [44] Prékopa, A., Rényi, A. and Urbanik, K On the limit distribution of sums of independent random variables in commutative compact topological groups. Acta Math. Hung. 7, [45] Raugi, A Théorème de la limite centrale sur les groupes nilpotents. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 43, [46] Roynette, B Croissance et mouvements browniens d un groupe de Lie nilpotent et simplement connexe. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 32, [47] Ruzsa, I.Z. and Székely,.J Algebraic Probability Theory, Wiley, New York. [48] Scheffler, H.P D Domains of attraction of stable measures on stratified Lie groups, J. Theor. Probab. 7, [49] Siebert, E Wahrscheinlichkeitsmaße auf lokalkompakten maximal fastperiodischen ruppen. Dissertation, Universität Tübingen. [50] Siebert, E Stetige Halbgruppen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf lokalkompakten maximal fastperiodischen ruppen. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 25,

17 [51] Siebert, E Über die Erzeugung von Faltungshalbgruppen auf beiebigen lokalkompakten ruppen. Math. Z. 131, [52] Siebert, E Einige Bemerkungen zu den auß Verteilungen auf lokalkompakten ruppen. Manuscr. Math. 14, [53] Siebert, E Absolut Stetigkeit und Träger von auß Verteilungen auf lokalkompakten ruppen. Math. Ann. 210, [54] Siebert, E Convergence and convolutions of probability measures on a topological group. Ann. Probab. 4, [55] Siebert, E On the generation of convolution semigroups on arbitrary locally compact groups II. Arch. Math [56] Siebert, E On the Lévy-Chintschin formula on locally compact maximally almost periodic groups. Math. Scand [57] Siebert, E Fourier analysis and limit theorems for convolution semigroups on a locally compact group. Adv. Math. 39, [58] Siebert, E Continuous hemigroups of probability measures on a Lie group. In: Heyer, H. ed. Probability Measures on roups. Proceedings, Oberwolfach Lect. Notes Math. vol. 1080, pp Springer, Berlin Heidelberg New York. [59] Siebert, E Contractive automorphisms on locally compact groups. Math. Z. 191, [60] Stroock, D.W. and Varadhan, S.R.S Limit theorems for random walks on Lie groups. Sankhyā Ser. A 35, [61] Tutubalin, V.N Compositions of measures on the simplest nilpotent group. Theory Probab. Appl. 9, [62] Virtser, A.D Limit theorems for compositions of distribution on certain nilpotent Lie groups. Theory Probab. Appl. 19, [63] Wehn, D Limit distributions on Lie groups. Thesis, Yale. [64] Wehn, D Probabilities on Lie groups. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 48,

18 A centrális határeloszlás tétel problémaköre Lie csoportokon Pap yula Doktori értekezés Debrecen 1997

19

20 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 5 2. Jelölések, alapfogalmak Lie csoportok Konvolúciós félcsoportok Nilpotens Lie csoportok Lépcsős Lie csoportok Fourier transzformáció Háromszögrendszerek Kommutatív háromszögrendszerek Konvolúcióhatványok Konvolúciós félcsoportok konvergenciája Lindeberg Feller tétel Lie csoportokon Lindeberg Feller tétel lépcsős Lie csoportokon Konvergencia sebesség Konvergencia sebesség homogén gömbökön Berry Esseen egyenlőtlenség Rövid Edgeworth sorfejtés Teljes Edgeworth sorfejtés Konvolúciós félcsoportok Konvolúciós félcsoportok előállítása Beágyazási probléma

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

AKADÉMIAI LEVELEZŐ TAGSÁGRA TÖRTÉNŐ AJÁNLÁS

AKADÉMIAI LEVELEZŐ TAGSÁGRA TÖRTÉNŐ AJÁNLÁS AKADÉMIAI LEVELEZŐ TAGSÁGRA TÖRTÉNŐ AJÁNLÁS I. ADATLAP Név: CSÁKI ENDRE Születési hely, év, hó, nap: Budapest, 1935 január 7 Tudomány doktora fokozat megszerzésének éve: 1989 Szűkebb szakterülete: valószínűségszámítás

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál 9 2.1. Lebesgue-integrál, L p terek................... 9

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

DIPLOMAMUNKA TÉMAVEZETŐ: DR. PAP GYULA MATEMATIKAI ÉS INFORMATIKAI INTÉZET DEBRECENI EGYETEM

DIPLOMAMUNKA TÉMAVEZETŐ: DR. PAP GYULA MATEMATIKAI ÉS INFORMATIKAI INTÉZET DEBRECENI EGYETEM DIPLOMAMUNKA BARCZY MÁTYÁS VALÓSZÍNŰSÉGI MÉRTÉKEK LOKÁLISAN KOMPAKT ABEL-CSOPORTOKON TÉMAVEZETŐ: DR. PAP GYULA MATEMATIKAI ÉS INFORMATIKAI INTÉZET DEBRECENI EGYETEM 2001 1 I. Bevezetés. Diplomamunkám a

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

12. előadás - Markov-láncok I.

12. előadás - Markov-láncok I. 12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Feleségem Hizsnyik Mária, gyermekeim Gyula (1979) és Júlia (1981), unokáim Lola (2007), Kende (2010) és Márkó (2010)

Feleségem Hizsnyik Mária, gyermekeim Gyula (1979) és Júlia (1981), unokáim Lola (2007), Kende (2010) és Márkó (2010) Pap Gyula Születési hely és idő: Debrecen, 1954 Feleségem Hizsnyik Mária, gyermekeim Gyula (1979) és Júlia (1981), unokáim Lola (2007), Kende (2010) és Márkó (2010) TANULMÁNYOK, TUDOMÁNYOS FOKOZATOK Gimnáziumi

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03 Jelek és rendszerek MEMO_03 Belépő jelek Jelek deriváltja MEMO_03 1 Jelek és rendszerek MEMO_03 8.ábra. MEMO_03 2 Jelek és rendszerek MEMO_03 9.ábra. MEMO_03 3 Ha a jelet méréssel kapjuk, akkor a jel következő

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0, 1, 2,..., N}, {0, 1, 2,... }.

Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0, 1, 2,..., N}, {0, 1, 2,... }. . Markov-láncok. Definíció és alapvető tulajdonságok Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0,,,..., N}, {0,,,... }.. definíció. S értékű valószínűségi

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. A valószínűségszámítás egyik nagyon fontos fogalma a Wiener-folyamat, amelyet Brownmozgásnak is hívnak. Az első elnevezés e fogalom

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

Some questions of probability theory on special topological groups. Outline of Ph.D. Thesis

Some questions of probability theory on special topological groups. Outline of Ph.D. Thesis Some questions of probability theory on special topological groups Outline of Ph.D. Thesis Mátyás Barczy University of Debrecen Faculty of Informatics Debrecen, 2006 1. Introduction In the present thesis

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Jelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék

Jelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék Jelek és rendszerek 1 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék 1 Ajánlott irodalom: FODOR GYÖRGY : JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2006

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok.

Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok. Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok. Láttuk, hogy a Wiener-folyamat teljesíti az úgynevezett funkcionális centrális határeloszlástételt. Ez az eredmény durván szólva azt fejezi

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis. 1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek 1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és

Részletesebben

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek.

hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek. A Valószínűségszámítás II. előadássorozat második témája. A CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁSTÉTEL A valószínűségszámítás legfontosabb eredménye a centrális határeloszlástétel. Ez azt mondja ki, hogy független valószínűségi

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Itô-formula. A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája. Medvegyev Péter Matematika tanszék

Itô-formula. A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája. Medvegyev Péter Matematika tanszék Itô-formula A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája Medvegyev Péter Matematika tanszék 2008 Medvegyev (Corvinus Egyetem) Itô-formula 2008 1 / 39 Az Itô-formula Theorem Ha F kétszer folytonosan

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

Véletlen szám generálás

Véletlen szám generálás 2. elıadás Véletlen szám generálás LCG: (0 < m, 0

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste

13.1.Állítás. Legyen  2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre  =2 K, ekkor K() az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste 13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális

Részletesebben

Barczy Mátyás és Pap Gyula. Sztochasztikus folyamatok. (Gauss-folyamatok, Poisson-folyamat)

Barczy Mátyás és Pap Gyula. Sztochasztikus folyamatok. (Gauss-folyamatok, Poisson-folyamat) Barczy Mátyás és Pap Gyula Sztochasztikus folyamatok Példatár és elméleti kiegészítések I. Rész (Gauss-folyamatok, Poisson-folyamat mobidiák könyvtár Barczy Mátyás és Pap Gyula Sztochasztikus folyamatok

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben