A centrális határeloszlás tétel problémaköre Lie csoportokon

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A centrális határeloszlás tétel problémaköre Lie csoportokon"

Átírás

1 A centrális határeloszlás tétel problémaköre Lie csoportokon Pap yula Doktori értekezés tézisei Debrecen 1997

2 1 Az értekezés tárgya, előzmények Dolgozatomban Lie csoportbeli valószínűségi változókra vonatkozó centrális határeloszlás tételekkel kapcsolatos problémákkal foglalkozok. A témakör fejlődésében az első fontos mérföldkő.a. Hunt [39] 1956 os cikke, melyben Lie csoportokon értelmezett valószínűségi mértékekből álló konvolúciós félcsoportokat vizsgált. Egy ilyen konvolúciós félcsoport úgy is tekinthető, mint egy Lie csoportbeli értékeket felvevő független, stacionárius növekményű sztochasztikus folyamat egy dimenziós eloszlás serege. Sikerült karakterizálnia az infinitézimális generátorukat a klasszikus Lévy Hincsin formula analógjával. Erre támaszkodva D. Wehn [63], [64] 1959 ben adott elégséges feltételeket a centrális határeloszlás tételre kommutatív háromszögrendszer esetén azaz amikor az egy sorban álló mértékek a konvolúciószorzásra nézve felcserélhetőek. Egy korai áttekintés található U. renander [30] 1963 as könyvében. Az eredményeket H. Heyer [35], [36], [37], W. Hazod [31] és E. Siebert [49], [50], [51], [52], [53], [54], [55], [56] általánosította különböző topológikus csoportokra, és a vizsgálatokat kiterjesztették egyéb valószínűségszámítási kérdésekre is. Az 1976 ig elért eredményeket tárgyalja H. Heyer [38] 1977 es monográfiája. A kutatásokban tevékenyen részt vettek magyar matematikusok is; lásd például Prékopa, Rényi és Urbanik [44], Csiszár [21], [22], [23], [24], Major és Shlosman [41] cikkeit, de érdemes megemlíteni Haar Alfréd nevét is, ugyanis a Haar mérték igen fontos szerepet játszik ezeken a csoportokon. A legújabb kutatások kiterjednek félcsoportokra is; ezekről szól Ruzsa és Székely [47] könyve. Egy másik fontos mérföldkő D.W. Stroock és S.R.S. Varadhan [60] 1973 as munkája, melyben funkcionális centrális határeloszlás tételt bizonyítottak Lie csoportokon. Náluk a határfolyamat egy független növekményű auss folyamat volt, melyet a martingál problémával karakterizáltak. Ph. Feinsilver [25] 1978 ban karakterizálta az összes független növekményű folyamatot a martingál problémával, és funkcionális centrális határeloszlás tételt is bizonyított ilyen határfolyamatokkal. Új lendületet adott a kutatásoknak W. Hazod [32] 1984 es cikke, melyben általánosította a stabilis eloszlások fogalmát topológikus csoportokra. Később W. Hazod és E. Siebert [33], [59] 1986 ban megmutatták, hogy a centrális határeloszlás tétel topológikus csoportokon történő vizsgálatában kiemelt szerepet játszanak a nilpotens Lie csoportok, ugyanis ha tekintjük lokálisan kompakt topológikus csoportbeli független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozatát, akkor az automorfizmusokkal alkalmasan normalizált részletszorzatok lehetséges határeloszlásai olyan részcsoportra koncentrálódnak, mely izomorf egy egyszerűen összefüggő nilpotens Lie csoporttal. Érdemes megemlíteni D. Neuenschwander [42] 1996 os könyvét, melyben a legegyszerűbb nem kommutatív nilpotens Lie csoporttal, a Heisenberg csoporttal kapcsolatos eredményeket foglalja össze. Nilpotens Lie csoportokon már V.N. Tutubalin [61] 1964-ben és A.D. Virtser [62] 1974 ben, valamint P. Crépel és A. Raugi [19] 1978 ban bizonyítottak centrális határeloszlás tételeket konvolúcióhatványokra vonatkozóan azaz független, azonos eloszlású valószínűségi változókra, de ezekben a munkákban magas momentumok végességét tételezték fel. Végül A. Raugi [45] adott 1978 ban egy bonyolult, hosszú bizonyítást csak a második homogén 1

3 momentum végességét feltételezve. A konvergenciasebesség vizsgálatával kapcsolatos első lépést P. Crépel és B. Roynette [20] tette meg 1977 ben, de nekik a Heisenberg csoport esetén On 1/3 nál lassabb konvergenciát sikerült bizonyítaniuk az optimális On 1/2 helyett. Az is kiderült, hogy a stabilis eloszlások vonzási tartományának meghatározásánál igen fontos szerepet játszik a következő beágyazási probléma: vajon ha egy valószínűségi mérték beágyazható egy konvolúciós félcsoportba, akkor ez a konvolúciós félcsoport egyértelműen meghatározott? Lásd W. Hazod [32], S. Nobel [43] és H.P. Scheffler [48]. P. Baldi [15] 1985 ben megmutatta, hogy 2 lépéses nilpotens Lie csoportok esetén a auss mértékek egyértelműen ágyazhatók be auss félcsoportba. Kutatásaimra nagy hatással volt E. Siebert [58] 1982 es cikke is, melyben Lie csoportokon értelmezett valószínűségi mértékekből álló konvolúciós hemicsoportokat vizsgált, melyek úgy is tekinthetők, mint egy független növekményű folyamat növekményei eloszlásainak két paraméteres serege. A kiinduló ötlet az volt, hogy ezeket próbáljuk meg infinitézimális generátoroknak egy időparamétertől függő seregével karakterizálni, mely a megfelelő konvolúciós operátor sereg deriváltja. E. Siebert megmutatta, hogy ennek a kapcsolatnak az integrál alakja, az úgynevezett evolúciós integrál egyenletek valóban alkalmasak gyengén Lipschitz folytonos konvolúciós hemicsoportok karakterizálására. Később Born [17] 1990 ben karakterizálta az erősen korlátos változású konvolúciós hemicsoportokat tetszőleges lokálisan kompakt csoport esetén. Ez a munka J.U. Herod és R.W. McKelvey [34] 1980 as cikkére támaszkodott, melyben a Hille Yosida elméletet általánosították olyan evolúciós operátor családokra, melyek Banach terek egymásba ágyazott láncolatán vannak értelmezve, kontraktív operátorokból állnak, és korlátos változásúak a láncra nézve. 2 Az értekezés felépítése és főbb eredményei Az értekezés nyolc fejezetből áll, ezek közül az első a bevezetés, a másodikban pedig a gyakrabban használatos fogalmak és jelölések találhatók. A harmadik fejezetben, mely a [2] és [3] cikkek eredményein alapul, kommutatív háromszögrendszerekkel foglalkozunk. Először Raugi [45] centrális határeloszlás tételére adunk egy egyszerű, rövid bizonyítást lépcsős Lie csoport esetén Tétel. Legyen egy lépcsős Lie csoport. Jelölje δ t t>0 a természetes dilatációiból álló egy paraméteres automorfizmus csoportot. Legyen µ egy centrált valószínűségi mérték n véges második homogén momentummal. Ekkor ahol ν = aussµ. δ 1/ n µ n ν, aussµ azt az egyértelműen meghatározott auss mértéket jelöli, melynek első és másodfokú homogén momentumai ugyanazok, mint a µ mértéknek. A következő cél Lindeberg Feller típusú centrális határeloszlás tétel bizonyítása, azaz szükséges és elégséges feltétel keresése háromszögrendszerek konvergenciájára. Ehhez először 2

4 a korlátlanul osztható eloszlások konvergenciájáról szóló klasszikus tétel lásd nedenko és Kolmogorov [28, 19, Theorem 1, Theorem 2] analógját kell megtalálni lásd Tétel, mely konvolúciós félcsoportok konvergenciájára ad szükséges és elegendő feltételt ami a Lévy Hincsin formulában szereplő mennyiségek megfelelő értelemben vett konvergenciája. Ennek segítségével a kísérő Poisson-sorozatot használva és Fourier-transzformáltakat alkalmazva sikerült szükséges és elégséges feltételt kapni szimmetrikus mértékek esetén. Legyen egy Lie csoport L Lie algebrával. Jelölje M 1 a valószínűségi mértékek halmazát. Jelölje Ue az e egységelem mérhető környezeteinek rendszerét. Egy X L elem tekinthető például bal invariáns differenciáloperátornak is a csoporton: 1 Xfx := lim fx exptx fx. t 0 t Legyen {X 1,..., X d } egy bázis L ben. Legyen x 1,..., x d D egy olyan elsőfajú kanonikus koordináta rendszer ben, mely adaptált az {X 1,..., X d } bázishoz és érvényes az egységelem valamely U 0 kompakt környezetben, azaz y = exp d x iyx i ha y U0, továbbá legyen ϕ : [0, 1] egy Hunt függvény a csoporton, azaz 1 ϕ D, és ϕy = d x iy 2 ha y U 0. Jelölje M + d a d d valós, szimmetrikus, pozitív szemidefinit mátrixok halmazát Tétel. Legyen I = µ nl,...,kn;n 1 egy szimmetrikus mértékekből álló kommutatív háromszögrendszer n. Legyen b ij i,j=1,...,d M + d. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i a lim b lim k n k n µ nl \ U = 0 ha U Ue, ii a I infinitézimális, k n b sup ϕy µ nl dy <, n 1 x i yx j y µ nl dy = b ij ha i, j = 1,..., d. c lim µ n1 µ nkn = ν ahol ν = ν 1, ν t t 0 az a auss félcsoport, melynek infinitézimális generátora 1 d b ij Xi Xj. 2 i,j=1 A szimmetrizáció módszerével ezt sikerült általánosítani normális háromszögrendszerekre is Tétel. Lépcsős Lie csoportokon a Lindeberg Feller tétel szokásos alakját kapjuk Tétel. Ezután levezetünk egy Lindeberg tételt abban az esetben, amikor a határeloszlás olyan auss mérték, mely stabilis a δ t t>0 természetes dilatációra nézve Tétel. Ebből egyrészt könnyen származtatható a Tétel, másrészt egy Lindeberg tétel a H Heisenberg csoporton adott valószínűségi mértékek µ 1 µ n n szeres konvolúciószorzatának alkalmas automorfizmusokkal standardizált sorozatának auss mértékhez való konvergenciájáról Tétel. 3

5 A negyedik fejezetben, mely az [1], [9] és [10] cikkek eredményein alapul, auss mértékekkel való közelítés pontosságával foglalkozunk lépcsős nilpotens Lie csoportokon, mégpedig a centrális határeloszlás tételbeli konvergencia sebességével. Először a standard esetben homogén gömbökön, azaz Ba, r := {x : a 1 x < r}, a, r > 0 alakú halmazokon bizonyítunk On 1/2 konvergencia sebességet bizonyos analitikus feltételeket kielégítő homogén normák esetén Tétel: egy s lépcsős nilpotens Lie csoport esetén δ1/ n µ n Ba, r νba, r Cκa, rβ3 µ, ν + β 3s µ, νn 1/2, ahol κa, r := 1 + a s a /r} 3s 1 és β k µ, ν := x k µ ν dx, ahol µ ν a µ ν előjeles mérték totális variációját jelöli. Ezután sima függvények integráljaira vonatkozó Berry Esseen egyenlőtlenséget bizonyítunk, amelyben csak a szokásos momentumfeltétel szerepel, és az alakja is optimális Tétel. A legfontosabb következmény az, hogy ha m 3 µ <, akkor fxδ 1/ n µ n dx fx νdx C f 3s,hom1 + m 3s 1 νm 3 µn 1/2, ahol egy γ mérték esetén m k γ := x k γdx. Valószínűségi mértékek konvolúció hatványainak auss mértékekkel történő közelítésének pontosságáról ad még több információt az Edgeworth sorfejtés. A Tétel a rövid alakot írja le, azaz amikor a sorfejtés csak egy tagot tartalmaz a auss mérték után. Egy I Z d + multiindex esetén használni fogjuk az S I := 1 I! [j 1 ]+ +[j I ]=I X j1... X j I jobb invariáns differenciáloperátort, mely tekinthető X I szimmetrizáltjának. Itt [j] azt a multiindexet jelöli, melynek a j edik koordinátája 1, és a többi 0. Az Edgeworth sorfejtés legegyszerűbb alakja m 4 µ < esetén fxδ 1/ n µ n dx = fxνdx + αn 1/2 + On 1, ahol α := 1 di=3 0 S I g x,z eν t dxν 1 t dzdt y I µ νdy, ν t t 0 az a auss félcsoport, melyre ν 1 = ν, és g x,z : R, g x,z y := fxyz, y. Érdemes megemlíteni azt is, hogy S I g x,z e = PJ I x, z J fxz, ahol P I J dj di, J I olyan homogén polinom, melynek homogén foka dj di. A Tételben megadjuk a tetszőleges hosszúságú Edgeworth sorfejtést, melynek bizonyítása az Euler Maclaurin féle összegzési formulának bizonyos többdimenziós szimplexekre 4

6 történő általánosítását használja lásd Tétel, mely önmagában is érdeklődésre tarthat számot. Az ötödik fejezet, mely a [4], [5] és [11] cikkek eredményein alapul, az előzményekben megfogalmazott beágyazási problémával kapcsolatos. Egy lehetőség a beágyazási probléma megközelítésére a konvolúciós félcsoportok struktúrájának felderítése. Ezzel függ össze az a kérdés, melyet Ph. Feinsilver és R. Schott [26], [27] vetettek fel: hogy néz ki egy független, stacionárius növekményű sztochasztikus folyamat, mely értékeit egy Lie csoportban veszi fel? Az Tétel válasza az, hogy egy d dimenziós exponenciális Lie csoport esetén azaz amikor az exponenciális leképezés egy analitikus diffeomorfizmus ha veszünk egy független, stacionárius növekményű folyamatot, és úgy tekintjük, mint egy R d beli értékű folyamatot, akkor az egy idő homogén diffúzió ugrásokkal J. Jacod és A.N. Shiryayev [40, p. 142] értelmében, azaz egy olyan általánosított sztochasztikus differenciál egyenlet egyértelmű, erős megoldása, melyet egy Wiener folyamat és egy véletlen stacionárius Poisson mérték hajt meg; az egyenletet a folyamat infinitézimális generátorával explicit módon megadjuk. Ennek segítségével az Tételben explicit konstrukciót adunk tetszőleges nilpotens Lie csoportbeli értékeket felvevő független, stacionárius növekményű folyamatra, mellyel általánosítjuk B. Roynette [46] rekurzív formuláját, mely a Brown mozgás esetére érvényes. P. Baldi [15] tételét sikerült 2 lépéses nilpotens Lie csoportról tetszőleges nilpotens Lie csoportra általánosítani: Tétel. Legyenek µ t t 0 és ν t t 0 olyan auss félcsoportok egy egyszeresen összefüggő, nilpotens Lie csoporton, hogy µ 1 = ν 1. Ekkor µ t = ν t minden t 0 esetén. Megpróbáltam a beágyazási problémát úgy is megközelíteni, hogy karakterizációs tulajdonságokat kerestem auss mértékekre. Carnal [18] bizonyított ilyet kompakt Lie csoportokon. Ennek az eredménynek adjuk meg az analógját tetszőleges Lie csoporton az Tételben, de ez auss félcsoportokat karakterizál. A disszertáció utolsó három fejezete a funkcionális centrális határeloszlás tétel problémakörével foglalkozik, mely egy topológikus csoporton a következő módon fogalmazható meg. Legyenek {ξ nl : n, l N 2 } beli értéket felvevő, soronként független valószínűségi változók, és legyenek {k n : n N} olyan növekvő, jobbról folytonos k n : R + Z + függvények, hogy k n 0 = 0, és minden t R + és minden U Ue esetén teljesül a lim infinitézimalitási feltétel. Képezzük a ξ n t := max P ξ nl U = 0 1 l k n t k n t ξ nl := ξ n1 ξ n2 ξ n,knt szorzatokat, és tekintsük a ξ n = ξ n t t 0, n = 1, 2,... sztochasztikus folyamatokat, melyeknek a trajektóriái nyilván a DR +, Szkorohod térbe esnek. Feltételeket keresünk a háromszögrendszerre ahhoz, hogy teljesüljön a véges dimenziós eloszlások ξ n ξ L konvergenciája, vagy a Szkorohod térben indukált eloszlások ξ n ξ konvergenciája, ahol ξ = ξt t 0 egy olyan beli értéket felvevő folyamat, melynek trajektóriái majd- 5 L f

7 nem biztosan a Szkorohod térbe esnek. Szükségképpen a ξ = ξt t 0 folyamat független bal növekményű, azaz ξ0 = e és tetszőleges 0 t 1 t 2... t n időpontokra a ξt 1, ξt 1 1 ξt 2,..., ξt n 1 1 ξt n bal növekmények függetlenek. Csak olyan limesz folyamatok érdekelnek bennünket, melyek sztochasztikusan folytonosak ami most azzal ekvivalens, hogy nincsenek rögzített idejű szakadási pontjai. A feladatok pontosabban megfogalmazva a következők: parametrizáljuk a beli értékű, független bal növekményű, sztochasztikusan folytonos folyamatok által a DR +, Szkorohod téren indukált valószínűségi mértékek PII c halmazát, azaz adjunk meg egy bijekciót PII c és valamely alkalmas PR +, paramétertér között; feleltessünk meg alkalmas K n mennyiségeket a {ξ nl : 1 l k n t}, t R +, n N, sorokhoz úgy, hogy L? ξ K n K, ξ n ahol K PR +, az a paraméter, ami a ξ limesz folyamathoz tartozik, és a K n K konvergencia megfelelően van értelmezve. A hatodik fejezetben, mely a [12] cikken alapul, először megfogalmazzuk a fenti kérdésekre a = R d, + csoport esetén a jól ismert válaszokat. Ekkor ugyanis a karakterisztikus függvények segítségével belátható, hogy a PR +, R d paramétertér választható a következő módon: azon a, B, η hármasok halmaza, ahol a : R + R d folytonos és a0 = 0, B : R + M + d monoton növekvő, folytonos és B0 = 0, valamint η LR +, R d ahol LR +, R d olyan η M + R d R + mértékek halmaza, melyekre η{0} R + = 0 és a t y 2 1 ηdy [0, t] leképezés folytonos. Egy a, B, η PR +, R d hármashoz az a mérték tartozik a DR +, R d Szkorohod téren, mely szerint az xt xs növekmény eloszlása egy olyan korlátlanul osztható eloszlás R d n, melynek a Lévy Hincsin reprezentációjában az at as, Bt Bs, η ]s, t] mennyiségek szerepelnek. A második kérdésre pedig az a válasz = R d, + esetén, hogy a konvergencia ekvivalens azzal, hogy k n ξ nl L ξ a b c k nt k nt k nt Ehξ nl at egyenletesen t [0, T ] ben minden T > 0 esetén, Covhξ nl Bt ha t D, Efξ nl fy ηdy [0, t] ha t D, f C 0 R d, 6

8 ahol egy topológikus csoport esetén C e a C b térnek azt az alterét jelöli, mely az egységelem valamely környezetében eltűnő függvényekből áll, h : R d R d egy nyírófüggvény, azaz folytonos, kompakt tartójú és hx = x teljesül a 0 R d valamely környezetében, továbbá Bt = bi, jt i,j=1,...,d, bi, jt := bi, jt + h i yh j y ηdy [0, t]. Az a célunk, hogy megkeressük ezen tételek általánosítását Lie csoportokra. A PII c halmaz parametrizálása reménytelennek tűnik Fourier transzformáltak segítségével, ezért inkább a konvolúciós operátorokat fogjuk használni. Egy µ mérték konvolúciós operátora az a T µ operátor, mely a n értelmezett valós, korlátos, folytonos, végtelenben eltűnő függvények szuprémum normával ellátott C 0 Banach terén van értelmezve a következő módon: T µ fx := fxy µdy ha x. Először is rávilágítunk a konvolúciós hemicsoportokkal való kapcsolatra. Vezessük be az S := {s, t R 2 : 0 s t} jelölést. Valószínűségi mértékeknek egy µs, t s,t S családját folytonos konvolúciós hemicsoportnak nevezünk, ha µs, r µr, t = µs, t teljesül minden s, r, r, t S esetén, µt, t = ε e minden t R esetén, és az s, t µs, t leképezés folytonos. Ha ξt t 0 egy beli értékeket felvevő független bal növekményű sztochasztikusan folytonos folyamat, akkor a ξs 1 ξt, s, t S bal növekmények eloszlásai egy konvolúciós hemicsoportot alkotnak. Fordítva: ha µs, t s,t S egy konvolúciós hemicsoport, akkor létezik olyan ξt t 0 beli értékeket felvevő független bal növekményű, sztochasztikusan folytonos, DR +, beli trajektóriájú folyamat, hogy minden s, t S esetén a ξs 1 ξt bal növekmény eloszlása µs, t. A konvolúciós operátorokkal létesített µ T µ reláció pedig létrehoz egy bijekciót a µs, t s,t S konvolúciós hemicsoportok és azon T s, t s,t S evolúciós operátor családok között, melyek a C 0 Banach téren értelmezett pozitív, balinvariáns, 1 normájú korlátos, lineáris operátorokból állnak. Egy E Banach tér korlátos, lineáris operátoraiból álló T s, t s,t S halmazt evolúciós operátor családnak nevezzük, ha T s, rt r, t = T s, t teljesül minden s, r, r, t S esetén, T t, t = I minden t R + esetén, és az s, t T s, t leképezés erősen folytonos. A Hille Yosida elmélet alapján tudjuk, hogy kölcsönösen egyértelmű kapcsolat van egy E Banach téren értelmezett T t t 0 erősen folytonos egy paraméteres operátor félcsoport és annak N, DomN infinitézimális generátora között, ahol T hf f Nf := lim, f DomN. h 0 h Ez alapján azt várnánk, hogy egy T s, t s,t S evolúciós operátor család leírható infinitézimális generátoroknak valamely Ñt t 0 seregével, ahol Ñt az evolúciós család deriváltja t ben. Többféle kapcsolat lehetséges egy T s, t s,t S evolúciós operátor család és infinitézimális generátorok valamely Ñt t 0 serege között lásd Heyer [38], Born [17]. A hatodik fejezetben az derül ki, hogy a gyengén korlátos változású konvolúciós 7

9 hemicsoportok paraméterezésére az a kapcsolat alkalmas, melyet a gyenge evolúciós integrálegyenletek létesítenek. Ezek azért gyengék, mert csak pontonként kell teljesülniük. Jelölje P bv R +, azon a, B, η hármasok halmazát, ahol a : R + R d folytonos, korlátos változású és a0 = 0, B : R + M + d monoton növekvő, folytonos és B0 = 0, valamint η LR +,, ahol LR +, azon η M + R + mértékek halmazát jelöli, melyekre η{e} R + = 0 és a t ϕy ηdy [0, t] leképezés folytonos. Jelölje A az összes µ t t 0 konvolúciós félcsoport generáló funkcionáljából álló halmazt. Egy A : R + A leképezés akkor és csak akkor monoton növekvő, folytonos és korlátos változású, ha létezik olyan a, B, η P bv R +, hármas, hogy at, Bt, ηt az At generáló funkcionál kanonikus dekompozíciójában szereplő mennyiségek, ahol ηtdy := ηdy [0, t]. Ekkor g τ C 2, τ R +, és s, t S esetén legyen ]s,t] Adτg := + d ]s,t] ]s,t] X i g τ e aidτ g τ y g τ e d d i,j=1 ]s,t] X i X j g τ e bi, jdτ X i g τ ex i y ηdy dτ, amennyiben a jobboldalon álló integrálok léteznek. Azt mondjuk, hogy egy µs, t s,t S hemicsoport és egy a, B, η P bv R +, hármas kapcsolatosak egymással a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint, ha minden s, t S és f D esetén T µs,t Ife = AdτT µτ,t f, ahol A : R + A az a monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés, melynek kanonikus dekompozíciója at, Bt, ηt t 0. A és Tételek szerint a µs, t s,t S folytonosan gyengén korlátos változású konvolúciós hemicsoportok és az a, B, η P bv R +, paraméterek között bijekciót hoz létre a gyenge backward evolúciós egyenlet. A µs, t s,t S hemicsoport a hozzá tartozó A leképezést a következő explicit módon határozza meg: minden f X 2 és t R + esetén [nt] Atf = lim f fe dµ l 1, l n n. Az az érdekesség, hogy először a konvergencia tételt bizonyítjuk be, melyben elegendő feltételeket adunk beli háromszögrendszerből konstruált véletlen lépcsősfüggvények növekményeinek valamely gyengén korlátos változású konvolúciós hemicsoporthoz való konvergenciájára. Azt is érdemes megemlíteni, hogy a gyenge forward evolúciós egyenlet is teljesül ugyanis a Tételt ugyanúgy lehet bizonyítani ebben az esetben is, de a gyenge backward evolúciós egyenletnek meg van az az előnye, ami a unicitási tételből derül ki: közvetlenül, azaz a konvergencia tétel felhasználása nélkül belátható, hogy egy adott paraméterhez a gyenge backward evolúciós egyenlettel legfeljebb egy konvolúciós hemicsoportot lehet megfeleltetni. ]s,t] 8

10 A hetedik fejezetben, mely a [13] cikk eredményeit tartalmazza, egy kis kitérőt teszünk: megmutatjuk, hogy a hatodik fejezet eredményei átvihetők Lie projektív csoportokra is. Ez azért jelentős, mert így többek között az összes nem feltétlenül kommutatív kompakt topológikus csoport le van fedve. Végül a nyolcadik fejezetben, mely a [14] kéziraton alapul, a hatodik fejezet eredményeire támaszkodva választ adunk a fent megfogalmazott két kérdésre tetszőleges Lie csoport esetén. A és Tételekben parametrizáljuk az összes beli értékű, független bal növekményű, sztochasztikusan folytonos folyamatot, azaz az összes konvolúciós hemicsoportot azzal a PR +, paraméterhalmazzal, mely olyan m, B, η hármasokból áll, ahol m : R + folytonos és m0 = e, B : R + M + d monoton növekvő, folytonos és B0 = 0, valamint η LR +,. A bijekciót az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet teremti meg: minden s, t S és f D esetén T µ s,t Ife = Ãdτg τ,t, ]s,t] ahol µs, t := ε ms µs, t ε mt 1, g τ,t y := T µ τ,t fmτymτ 1, és à : R + A az a monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés, melynek kanonikus dekompozíciója 0, Bt, ηt t 0. Ennek az eltolásnak az a szerepe, hogy ki kell operálni azt a részt, amely nem feltétlenül korlátos változású. Ugyanúgy, ahogy a hatodik és hetedik fejezetben, most is először egy konvergenciatételt bizonyítunk: elegendő feltételeket adunk tetszőleges hemicsoporthoz való konvergenciára. Az alapötlet az, hogy a µ nl mértékeket a lokális várhatóértékükkel toljuk el. Azt mondjuk, hogy a µ M 1 mértéknek az m U 0 pont lokális várhatóértéke, amennyiben x i m = x i y µdy ha i {1,..., d}. Ha a µ M 1 mértéknek létezik m lokális várhatóértéke, akkor definiálhatjuk a lokális kovariancia mátrixát is a következő módon: B = b ij i,j=1,...,d, b ij := x i y x i mx j y x j m µdy Tétel. Legyenek {µ nl : n, l N 2 } valószínűségi mértékek egy Lie csoporton. Minden n N esetén legyen k n : R + Z + egy olyan monoton növekvő, balról folytonos függvény, melyre k n 0 = 0 és k n R + = Z +. Jelölje m nl és B nl a µ nl mérték lokális várhatóértékét, illetve lokális kovarianciamátrixát. Vezessük be az m n : R + és B n : R + M + d, B nt = b n i, jt i,j=1,...,d függvényeket: m n t := k n t m nl, B n t := Legyen D egy sűrű halmaz R + ban. Tegyük fel, hogy k n t B nl. 9

11 i létezik olyan η 0 LR +, mérték, hogy minden t D és f C e esetén k n t lim fy µ nl dy = fy η 0 dy [0, t], ii létezik olyan B 0 : R + M d, B 0 t = b 0 i, jt i,j=1,...,d, folytonos függvény, hogy minden t D és i, j {1,..., d} esetén lim b ni, jt = b 0 i, jt + x i yx j y η 0 dy [0, t]. Ekkor 0, B 0, η 0 P bv R +, és *knt l=k n s+1 µ nl ε m 1 nl νs, t ha s, t S, ahol νs, t s,t S egy olyan folytonosan gyengén korlátos változású hemicsoport M 1 ben, mely a 0, B 0, η 0 P bv R +, paraméternek felel meg a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Továbbá a νs, t s,t S hemicsoport megfelel az e, B 0, η 0 PR +, paraméternek az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Ha még azt is feltesszük, hogy iii létezik olyan m 0 : R + folytonos függvény, hogy minden t D esetén iv minden T > 0 és i {1,..., d} esetén akkor lim lim sup δ 0 lim m nt = m 0 t, sup t s δ 0 s t T xi mn s 1 m n t = 0, *knt µ nl µs, t ha s, t S l=k n s+1 ahol µs, t s,t S egy olyan hemicsoport, mely az m 0, B 0, η 0 PR +, paraméternek felel meg az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Megjegyezzük, hogy az i feltétel teljesülése esetén minden T > 0, minden elegendően nagy n N és minden l {1,..., k n T } esetén a µ nl mértéknek létezik lokális várhatóértéke. A 8.6 paragrafusban azt is belátjuk, hogy a gyenge backward evolúciós egyenlettel létesített reláció ekvivalens azzal, hogy a folyamat által a DR +, Szkorohod téren indukált mérték az illető paraméterhez tartozó eltolt martingálprobléma megoldása lásd D.W. Stroock és S.R.S. Varadhan [60], valamint Ph. Feinsilver [25]: azt modjuk, hogy egy ξt t 0 folyamat által a DR +, Szkorohod téren indukált mérték az m, B, η 10

12 PR +, hármashoz tartozó eltolt martingálprobléma megoldása, ha minden f D függvény esetén az fξtmt 1 ÃdτL ξτ R mτ 1f [0,t] folyamat martingál a természetes filtrációval, ahol à : R + A az a monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés, melynek kanonikus dekompozíciója 0, Bt, ηt t 0. Ha f : R és y, akkor L y f és R y f a következő függvényeket jelöli: L y fx := fyx, R y fx := fxy, x. A 8.7 paragrafusban kiderül, hogy a Tételben megadott feltételek szükségesek is. Először tekintsük a globális centrálást. Legyenek {ξ nl : n, l N 2 } soronként független valószínűségi változók. Minden n N esetén legyen k n : R + Z + olyan monoton növekvő, balról folytonos függvény, hogy k n 0 = 0, k n R + = Z +, és teljesüljön a lim max P ξ nl U = 0 1 l k n t infinitézimalitási feltétel minden U Ue és t R + ξ n = ξ n t t 0, ξ n t := k nt ξ nl esetén. Tekintsük n N esetén a sztochasztikus folyamatot. Jelölje µ nl a ξ nl eloszlását. Definiáljuk az m n : R + és B n : R + M + d függvényeket úgy, mint a Tételben. Egy m, B, η PR +, hármas esetén legyen B : R + M + d, Bt = bi, jti,j=1,...,d, bi, jt := bi, jt + x i yx j y ηdy [0, t] Tétel. Legyen ξ = ξt t 0 egy olyan beli értékű, sztochasztikusan folytonos, független bal növekményű folyamat, mely az m, B, η PR +, hármassal kapcsolatos az eltolt gyenge evolúciós egyenlet szerint. Legyen D egy sűrű halmaz R + ban. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i a m n t mt egyenletesen t [0, T ] ben minden T > 0 esetén, b B n t Bt ha t D, k n t c fy µ nl dy fy ηdy [0, t] ha t D, f C e. ii ξ n L ξ. Hasonló határeloszlás tétel érvényes lokális centrálással. Definiáljuk n N esetén a következő ξ n = ξ n t t 0 sztochasztikus folyamatokat: ξ n t := k nt 11 ξnl m 1 nl.

13 8.7.3 Tétel. Legyen ξ = ξt t 0 egy olyan beli értékű, sztochasztikusan folytonos, független bal növekményű folyamat, mely a 0, B, η P bv R +, hármassal kapcsolatos a gyenge evolúciós egyenlet szerint. Legyen D egy sűrű halmaz R + ben. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i a B n t Bt ha t D, k n t b fy µ nl dy fy ηdy [0, t] ha t D, f C e. ii ξn L ξ. A Tétel szükséges és elégséges feltételt ad független növekményű folyamatok sorozatának konvergenciájára. A Tételben {ξ nl : n, l N 2 } soronként független, azonos eloszlású valószínűségi változók, és a limesz folyamat független, stacionárius növekményű. Végül a Tétel szükséges és elégséges feltételt ad független, stacionárius növekményű folyamatok sorozatának konvergenciájára. Irodalomjegyzék Az értekezés eredményeit a szerző alábbi cikkei tartalamazzák: [1] Pap, Rate of convergence in CLT on stratified groups. J. Multivariate Anal. 38, [2] Pap, A new proof of the central limit theorem on stratified Lie groups. In: Heyer, H. ed. Probability Measures on roups X. Proceedings, Oberwolfach 1990, pp Plenum Press, New York. [3] Pap, Central limit theorems on nilpotent Lie groups. Probab. Math. Stat. 14, [4] Pap, Characterization of aussian semigroups on a Lie group. Publ. Math. 42, [5] Pap, Uniqueness of embedding into a aussian semigroup on a nilpotent Lie group. Arch. Math. 62, [6] Pap, Central limit theorems on some topological groups. A survey. In: New Trends in Probability Theory and Mathematical Statistics II. Proceedings of the Second Ukrainian-Hungarian Conference, Munkachevo, 1992, pp [7] Pap, Central limit theorems on stratified Lie groups. In: VI International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Proceedings, Vilnius,

14 [8] Pap, Processes with stationary independent increments on nilpotent Lie groups. In: Balakrishnan, A.V. ed. 4th International Conference on Advances in Communication & Control. Proceedings, Rhodes, 1993, pp University of Nevada, Las Vegas. [9] Pap, Edgeworth expansions in nilpotent Lie groups. In: Heyer, H.eds. Probability Theory on Vector Spaces XI. Proceedings, Oberwolfach 1995, pp World Scientific, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong. [10] Bentkus, V. and Pap, The accuracy of aussian approximations in nilpotent Lie groups. J. Theor. Probab. 9, [11] Pap, Construction of processes with stationary independent increments on nilpotent Lie groups. Arch. Math. 69, [12] Heyer, H. and Pap, Convergence of noncommutative triangular arrays of probability measures on a Lie group. J. Theor. Probab. 10, [13] Heyer, H. and Pap,. to appear in Convolution hemigroups of bounded variation on a Lie projective group. J. London Math. Soc. [14] Pap, Functional central limit theorems and hemigroups of probability measures on a Lie group. Preprint. A tézisekben még az alábbi munkákra történik hivatkozás: [15] Baldi, P Unicité du plongement d une mesure de probabilité dans un semigroupe de convolution gaussien. Cas non-abélien. Math. Z. 188, [16] Born, E An explicit Lévy Hinčin formula for convolution semigroups on locally compact groups. J. Theor. Probab. 2, [17] Born, E Hemigroups of probability measures on a locally compact group. Math. Ann. 287, [18] Carnal, H Unendlich oft teilbare Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf kompakten ruppen. Math. Ann. 153, [19] Crépel, P. and Raugi, A Théorème central limite sur les groupes nilpotents. Ann. Inst. Henri Poincaré, Probab. Stat. 14, [20] Crépel, P. and Roynette, B Une loi du logarithme itéré pour le groupe d Heisenberg. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 39, [21] Csiszár, I A note on limiting distributions on topological groups. Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. 9,

15 [22] Csiszár, I On infinite products of random elements and infinite convolutions of probability distributions on locally compact groups. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 5, [23] Csiszár, I Some problems concernings measures on topological spaces and convolutions of measures on topological groups. In: Les Probabilités sur les Structures Algébraiques, pp , Paris. [24] Csiszár, I On the weak continuity of convolution in a convolution algebra over an arbitrary topological group. Stud. Sci. Math. Hung. 6, [25] Feinsilver, Ph Processes with independent increments on a Lie group. Trans. Am. Math. Soc. 242, [26] Feinsilver, Ph. and Schott, R Operators, stochastic processes, and Lie groups. In: Heyer, H. ed. Probability Measures on roups IX. Proceedings, Oberwolfach, Lect. Notes Math., vol. 1379, pp Springer, Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo. [27] Feinsilver, Ph. and Schott, R An operator approach to processes on Lie groups. In: Probability Theory on Vector Spaces IV. Proceedings, Łancut, Lect. Notes Math., vol. 1391, pp Springer, Berlin Heidelberg New York Tokyo. [28] nedenko, B.V. and Kolmogorov, A.N Limit distributions for sums of independent random variables. ostekhizdat. English translation Addison Wesley, Cambridge, 1954 [29] ötze, F On Edgeworth expansions in Banach spaces. Ann. Probab. 9, [30] renander, U Probabilities on algebraic structures. Almquist & Wilksells, Stockholm. [31] Hazod, W Stetige Halbgruppen von Wahrscheinlichkeitsmaßen und erzeugende Distributionen. Lect. Notes Math. Vol. 595, Springer, Berlin öttingen Heidelberg New York. [32] Hazod, W Stable and semistable probabilities on groups and on vector spaces. In: Szynal, D., Weron, A. eds. Probability Theory on Vector Spaces III. Proceedings, Lublin Lect. Notes Math., vol. 1080, pp Springer, Berlin Heidelberg New York Tokyo. [33] Hazod, W. and Siebert, E Continuous automorphism groups on a locally compact group contracting modulo a compact subgroup and applications to stable convolution semigroups. Semigroup Forum 33, [34] Herod, J.U. and McKelvey, R.W A Hille Yosida theory for evolutions, Isr. J. Math. 36,

16 [35] Heyer, H Fourier transforms and probabilities on locally compact groups. Jahresber. Dtsch. Math. Ver. 70, [36] Heyer, H L analyse de Fourier non commutative et applications à la théorie des probabilités. Ann. Inst. Henri Poincaré, Sect. B. 4, [37] Heyer, H Dualität lokalkompakter ruppen. Lect. Notes Math. vol. 150, Springer, Berlin Heidelberg New York. [38] Heyer, H Probability Measures on Locally Compact roups. Springer, Berlin Heidelberg New York. [39] Hunt,.A Semi-groups of measures on Lie groups. Trans. Am. Math. Soc. 81, [40] Jacod, J. and Shiryaev, A.N Limit Theorems for Stochastic Processes. Springer, Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo. [41] Major, P. and Shlosman, S.B A local limit theorem for the convolution of probability measures on a compact connected group. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 50, [42] Neuenschwander, D Probabilities on the Heisenberg roup. Lect. Notes Math. Vol. 1630, Springer, Berlin Heidelberg. [43] Nobel, S Limit theorems for probability measures on simply connected nilpotent Lie groups, J. Theor. Probab. 4, [44] Prékopa, A., Rényi, A. and Urbanik, K On the limit distribution of sums of independent random variables in commutative compact topological groups. Acta Math. Hung. 7, [45] Raugi, A Théorème de la limite centrale sur les groupes nilpotents. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 43, [46] Roynette, B Croissance et mouvements browniens d un groupe de Lie nilpotent et simplement connexe. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 32, [47] Ruzsa, I.Z. and Székely,.J Algebraic Probability Theory, Wiley, New York. [48] Scheffler, H.P D Domains of attraction of stable measures on stratified Lie groups, J. Theor. Probab. 7, [49] Siebert, E Wahrscheinlichkeitsmaße auf lokalkompakten maximal fastperiodischen ruppen. Dissertation, Universität Tübingen. [50] Siebert, E Stetige Halbgruppen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf lokalkompakten maximal fastperiodischen ruppen. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 25,

17 [51] Siebert, E Über die Erzeugung von Faltungshalbgruppen auf beiebigen lokalkompakten ruppen. Math. Z. 131, [52] Siebert, E Einige Bemerkungen zu den auß Verteilungen auf lokalkompakten ruppen. Manuscr. Math. 14, [53] Siebert, E Absolut Stetigkeit und Träger von auß Verteilungen auf lokalkompakten ruppen. Math. Ann. 210, [54] Siebert, E Convergence and convolutions of probability measures on a topological group. Ann. Probab. 4, [55] Siebert, E On the generation of convolution semigroups on arbitrary locally compact groups II. Arch. Math [56] Siebert, E On the Lévy-Chintschin formula on locally compact maximally almost periodic groups. Math. Scand [57] Siebert, E Fourier analysis and limit theorems for convolution semigroups on a locally compact group. Adv. Math. 39, [58] Siebert, E Continuous hemigroups of probability measures on a Lie group. In: Heyer, H. ed. Probability Measures on roups. Proceedings, Oberwolfach Lect. Notes Math. vol. 1080, pp Springer, Berlin Heidelberg New York. [59] Siebert, E Contractive automorphisms on locally compact groups. Math. Z. 191, [60] Stroock, D.W. and Varadhan, S.R.S Limit theorems for random walks on Lie groups. Sankhyā Ser. A 35, [61] Tutubalin, V.N Compositions of measures on the simplest nilpotent group. Theory Probab. Appl. 9, [62] Virtser, A.D Limit theorems for compositions of distribution on certain nilpotent Lie groups. Theory Probab. Appl. 19, [63] Wehn, D Limit distributions on Lie groups. Thesis, Yale. [64] Wehn, D Probabilities on Lie groups. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 48,

18 A centrális határeloszlás tétel problémaköre Lie csoportokon Pap yula Doktori értekezés Debrecen 1997

19

20 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 5 2. Jelölések, alapfogalmak Lie csoportok Konvolúciós félcsoportok Nilpotens Lie csoportok Lépcsős Lie csoportok Fourier transzformáció Háromszögrendszerek Kommutatív háromszögrendszerek Konvolúcióhatványok Konvolúciós félcsoportok konvergenciája Lindeberg Feller tétel Lie csoportokon Lindeberg Feller tétel lépcsős Lie csoportokon Konvergencia sebesség Konvergencia sebesség homogén gömbökön Berry Esseen egyenlőtlenség Rövid Edgeworth sorfejtés Teljes Edgeworth sorfejtés Konvolúciós félcsoportok Konvolúciós félcsoportok előállítása Beágyazási probléma

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok.

Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok. Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok. Láttuk, hogy a Wiener-folyamat teljesíti az úgynevezett funkcionális centrális határeloszlástételt. Ez az eredmény durván szólva azt fejezi

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek.

hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek. A Valószínűségszámítás II. előadássorozat második témája. A CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁSTÉTEL A valószínűségszámítás legfontosabb eredménye a centrális határeloszlástétel. Ez azt mondja ki, hogy független valószínűségi

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Barczy Mátyás és Pap Gyula. Sztochasztikus folyamatok. (Gauss-folyamatok, Poisson-folyamat)

Barczy Mátyás és Pap Gyula. Sztochasztikus folyamatok. (Gauss-folyamatok, Poisson-folyamat) Barczy Mátyás és Pap Gyula Sztochasztikus folyamatok Példatár és elméleti kiegészítések I. Rész (Gauss-folyamatok, Poisson-folyamat mobidiák könyvtár Barczy Mátyás és Pap Gyula Sztochasztikus folyamatok

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

n = 1,2,..., a belőlük készített részletösszegek sorozata. Tekintsük az S n A n

n = 1,2,..., a belőlük készített részletösszegek sorozata. Tekintsük az S n A n Határeloszlástételek és korlátlanul osztható eloszlások. I. rész Az alapvető problémák megfogalmazása. A valószínűségszámítás egyik alapvető feladata a következő kérdés vizsgálata: Legyen ξ 1,ξ 2,... független

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók 5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 A kiterjesztési elv 2 Nyelvi változók A kiterjesztési elv 237 A KITERJESZTÉSI ELV A

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió

A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió Bevezetés Pímszámok A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió prímszám. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. április 8. Néhány definíció. 1 A klasszikus számelméleti. p N prím, ha a p a = ±1,

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok.

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. ZÁRÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK egyetemi szintű közgazdasági programozó matematikus szakon A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. 2. Függvények, függvények folytonossága.

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április Hány osztója van egy adott számnak? Hány osztója van egy adott számnak? Dr. Tóth László http://www.ttk.pte.hu/matek/ltoth előadásanyag, Pécsi Tudományegyetem, TTK 2008. április. Bevezetés Lehetséges válaszok:

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János

Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Debreceni Egyetem Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Nemzeti Fejlesztési Ügynökség

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Első rész 1. Bevezetés Tekintsük az ak + b számtani sorozatot, ahol a > 0. Ha a és b nem relatív prímek, akkor (a,b) > 1 osztója

Részletesebben

Késleltetett differenciálegyenletek periodikus pályái és globális dinamikája

Késleltetett differenciálegyenletek periodikus pályái és globális dinamikája Késleltetett differenciálegyenletek periodikus pályái és globális dinamikája Doktori értekezés tézisei Vas Gabriella Témavezető: Dr. Krisztin Tibor egyetemi tanár Matematika- és Számítástudományok Doktori

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...

Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak... Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...) Története Az ókortól kezdve rengeteg feltört titkosírás létezik. Monoalfabetikus

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

véletlen vektorokból álló sorozatok, amelyeknek a kovariancia mátrixai

véletlen vektorokból álló sorozatok, amelyeknek a kovariancia mátrixai 1. A probléma megfogalmazása. KÁLMÁN-FÉLE SZŰRŐK E jegyzet témája az úgynevezett Kálmán-féle szűrők vizsgálata. A feladat a következő. Adott egy x(0),x(1),..., több változós (együttesen) normális, más

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

Elliptikus eloszlások, kopuláik. 7. előadás, 2015. március 25. Elliptikusság tesztelése. Arkhimédeszi kopulák

Elliptikus eloszlások, kopuláik. 7. előadás, 2015. március 25. Elliptikusság tesztelése. Arkhimédeszi kopulák Elliptiks eloszlások, kopláik 7. előadás, 215. márcis 25. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettdományi Kar Eötös Loránd Tdományegyetem Áringadozások előadás Sűrűségfüggényük

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Alap fatranszformátorok I. Oyamaguchi [3], Dauchet és társai [1] és Engelfriet [2] bebizonyították hogy egy tetszőleges alap

Alap fatranszformátorok I. Oyamaguchi [3], Dauchet és társai [1] és Engelfriet [2] bebizonyították hogy egy tetszőleges alap Alap fatranszformátorok I Vágvölgyi Sándor Oyamaguchi [3], Dauchet és társai [1] és Engelfriet [2] bebizonyították hogy egy tetszőleges alap termátíró rendszerről eldönthető hogy összefolyó-e. Mindannyian

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz 1. Feladat 1. Milyen egységeket rendelhetünk az egyedi információhoz? Mekkora az átváltás közöttük? Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

Programozási Módszertan definíciók, stb.

Programozási Módszertan definíciók, stb. Programozási Módszertan definíciók, stb. 1. Bevezetés Egy adat típusát az adat által felvehető lehetséges értékek halmaza (típusérték halmaz, TÉH), és az ezen értelmezett műveletek (típusműveletek) együttesen

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Sz cs Gábor. Szeged, 2011. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Pénzügyi matematika. Sz cs Gábor. Szeged, 2011. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Pénzügyi matematika Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2011. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika 2011. szi félév 1 / 79 Értékpapírpiacok Bevezetés

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

k=1 k=1 találhatjuk meg, hogy az adott feltétel mellett az empirikus eloszlás ennek az eloszlásnak

k=1 k=1 találhatjuk meg, hogy az adott feltétel mellett az empirikus eloszlás ennek az eloszlásnak Nagy eltérések elmélete. A Szanov tétel. Egy előző feladatsorban, a Nagy eltérések elmélete; Független valós értékű valószínűségi változók feladatsorban annak az eseménynek a valószínűségét vizsgáltuk,

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

NP-teljesség röviden

NP-teljesség röviden NP-teljesség röviden Bucsay Balázs earthquake[at]rycon[dot]hu http://rycon.hu 1 Turing gépek 1/3 Mi a turing gép? 1. Definíció. [Turing gép] Egy Turing-gép formálisan egy M = (K, Σ, δ, s) rendezett négyessel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Analízis. 11 12. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László. 2015. július 5.

Analízis. 11 12. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László. 2015. július 5. Analízis 11 12. évfolyam Szerkesztette: Surányi László 2015. július 5. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó András, Kalló

Részletesebben

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között A különböző időpontokban, különböző körülmények között rögzített pontok földi koordinátái különböző alapfelületekre (ellipszoidokra geodéziai dátumokra)

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Ökonometria. Logisztikus regresszió. Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu. Nyolcadik fejezet. Budapesti Corvinus Egyetem. 1 Statisztika Tanszék

Ökonometria. Logisztikus regresszió. Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu. Nyolcadik fejezet. Budapesti Corvinus Egyetem. 1 Statisztika Tanszék Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Nyolcadik fejezet Tartalom V. esettanulmány 1 V. esettanulmány Csődelőrejelzés 2 Általános gondolatok 3 becslése

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához

Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához A. Grama, A. Gupta, G. Karypis és V. Kumar: Introduction to Parallel Computing, Addison Wesley, 2003. könyv anyaga alapján A kereső eljárások

Részletesebben

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5. Fejezet Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5.. Iránymező Látattuk, ogy az explicit differenciálegyenletek rendelkeznek azzal az érdekes és kivételes tulajdonsággal, ogy bár esetenként

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések 1 Diszkrét matematika II., 1. el adás Lineáris leképezések Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. február 6 Gyakorlati célok Ezen el adáson,

Részletesebben

A BSc-képzés szakdolgozati témái

A BSc-képzés szakdolgozati témái A BSc-képzés szakdolgozati témái ELTE TTK, Matematikai Intézet 2010/2011 Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék 1. Szabadon választható téma. Témavezet : A tanszék bármelyik oktatója, vagy (a tanszékvezet

Részletesebben

Információ-visszakeresı módszerek egységes keretrendszere és alkalmazásai. Kiezer Tamás

Információ-visszakeresı módszerek egységes keretrendszere és alkalmazásai. Kiezer Tamás Információ-visszakeresı módszerek egységes keretrendszere és alkalmazásai Doktori (PhD) értekezés tézise Kiezer Tamás Témavezetı: Dr. Dominich Sándor (1954-2008) Pannon Egyetem Mőszaki Informatikai Kar

Részletesebben

5. Lineáris rendszerek

5. Lineáris rendszerek 66 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 5 Lineáris rendszerek 5 Lineáris algebrai előismeretek Tekintsük az a x + a 2 x 2 = b 5 a 2 x + a 22 x 2 = b 2 52 lineáris egyenletrendszert Az egyenletben szereplő

Részletesebben