Pilóta nélküli légi járművek navigációs berendezései BEVEZETÉS

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Pilóta nélküli légi járművek navigációs berendezései BEVEZETÉS"

Átírás

1 Turóczi Antal Pilóta nélküli légi járművek navigációs berendezései Ahhoz, hogy feladatukat kellő pontossággal el tudják látni, a pilótanélküli légi járművek automatikus repülésszabályozó berendezéseinek megfelelő mennyiségű és minőségű információval kell rendelkezniük az általuk irányított gép pillanatnyi mozgásállapotáról. Ezeket a visszacsatoló jeleket navigációs eszközök biztosítják, amelyekből bár léteznek igen nagy pontosságúak is, a kis méretű, mini és mikro UAV alkalmazásokban támasztott egyéb kritériumainak sok esetben nem felelnek meg. Ezért többnyire kénytelenek vagyunk kisebb, olcsóbb, pontatlanabb szenzorokat választani, különböző navigációs módszereket együtt alkalmazni annak érdekében, hogy megfelelő repülésirányító rendszert kapjunk. BEVEZETÉS A tudományok és a technika fejlődésével az ember egyre kifinomultabb és pontosabb módszereket dolgozott ki a térbeli tájékozódás megkönnyítésére. Ezeket a módszereket öt csoportra lehet osztani [1][]: Az első és egyben a legrégebben alkalmazott módszernél ismert helyzetű tereptárgyakhoz viszonyítjuk helyzetünket. Ezek általában jellegzetes, könnyen felismerhető tájékozódási pontok (sziklák, magasabb fák, folyómedrek,). A következő módszernél ismert kiindulási pontból állandó irányszöget tartva haladunk a célállomás felé. Az állandó irányszöget, például iránytű segítségével tarthatjuk. Égitestek, a nap, a hold vagy kitüntetett csillagok és a horizont által bezárt szög, valamint a pontos idő ismeretében is navigálhatunk. Ezt a módszert használták a hajósok az as évektől, szeksztáns, kronométer, táblázatok és akkoriban elég bonyolultnak mondható számítások segítségével határozták meg földrajzi szélességüket és hosszúságukat a tengeren. Az égitestek segítségével való navigálásnak egyébként még ma is igen fontos szerepe ugyanis a távoli űrben vizsgálódó űrszondák is referenciapontként szolgáló csillagok segítségével határozzák meg helyzetüket és orientációjukat. A következő módszer ismert helyzetű rádióadást sugárzó forrásokra támaszkodik. A legelterjedtebb rádió-navigációs rendszer a GPS 1, de a légi rádiónavigációban egyéb eszközöket is használnak (ILS, VOR, ADF ). Az inerciális navigáció a szögsebesség és a gyorsulás mérésén alapul. A mért gyorsulás és szögsebesség értékekből egyszeri integrálással megkapjuk sebességünket illetve orientációnkat, a kapott sebességből pedig a pozíció számolható integrálással. A pozíció, sebesség, orientáció, szögsebesség, vagyis azok a fizikai mennyiségek, amelyeket a különböző navigációs módszerek segítségével meg akarunk határozni, a tér-időben vannak definiálva. Ahhoz tehát hogy egyértelmű megállapításokat tehessünk, definiálnunk kell egy vonatkoztatási rendszert, amiben ezeket a mennyiségeket mérjük. Az olyan vonatkoztatási rendszereket, amelyekben a testek megőrzik nyugalmi állapotukat vagy egyenes vonalú egyenletes mozgásukat, amíg valamilyen erő nem hat rájuk, inercia-rendszereknek nevezzük. 1 GPS: Global Positionig System ILS: Instrumental Landing System, VOR: VHF Omni Range, ADF: Automatic Direction Finder

2 Ezek azért fontosak számunkra, mert az ilyen koordináta-rendszerekben érvényesek a repülőgépeink térbeli mozgását leíró klasszikus mechanika törvényei. A különféle repülő eszközeink a föld légkörében mozognak, azonban a nap körül keringő és a tengelye körül forgó földhöz rögzített vonatkoztatási rendszer a definíció értelmében nem tekinthető inercia rendszernek. Ha koordináta-rendszerünket állócsillagokhoz rögzítjük jó közelítéssel inercia rendszert kapunk, de ez a megoldás a nagy távolságok miatt kényelmetlen. Szerencsére a földi navigációs problémák döntő többségében elegendő, ha koordináta rendszerünk origója a föld tömegközéppontjában van, és csak állását rögzítjük távoli álló csillagokhoz. Ezt a koordináta rendszert föld középpontú inercia rendszernek nevezzük, vagy az angolszász elnevezés kezdőbetűiből ECI. Kis navigációs távolságok esetén további egyszerűsítéseket is alkalmazhatunk. Az 1. ábra a repüléstechnikában használatos vonatkoztatási rendszereket szemlélteti. Kvázi inercia rendszert kapunk, ha a föld felszínét síknak tekintjük, és koordináta rendszerünk tengelyei rendre az Északi, Keleti és a helyi gravitációs vektor irányába mutatnak. Ezt a rendszert NED koordináta rendszernek nevezzük. Nagyobb távolságú repülőutak esetén azonban figyelembe kell vennünk, hogy a föld nem sík, hanem forgásellipszoid. A föld középpontú és távoli csillagokhoz rögzített tengelyű ECI rendszer mellett létezik egy egyszerűsített, a földel együtt forgó ECEF rendszer is. A földi navigációban ugyancsak gyakran alkalmazott WGS-84 rendszerben az objektumok pozíciója a hagyományos földrajzi szélesség, földrajzi hosszúság valamint magasság adatokkal van definiálva [3]. NED (North-East-Down) Origó: Föld felszínén X: Eszak (N) Y: Kelet (E) Z: Helyi g irányába mutat(d) ECEF (Earth- Centered-Earth- Fixed) Origó: Föld középpont X: Greenwich-i délkör és az egyenlítő metszéspontjába mutat Y: X-Z-t jobbsodrásúvá egészíti ki Z: Északi sark irányába mutat ECI (Earth-Centered-Inertial) Origó: Föld középpont X: Távoli csillag irányába mutat Y: X-Z-t jobbsodrásúvá egészíti ki Z: Északi sark irányába mutat WGS-84 (World- Geodetic-System- 1984) Földrajzi hosszúság (l) Földrajzi szélesség (f) Magasság (h) 1. ábra. A repülésben használt fontosabb vonatkoztatási rendszerek [4]

3 Mivel a navigáció során a választott inerciarendszer és a vizsgált test, jelen esetben egy pilóta nélküli repülőgép egymáshoz viszonyított helyzetét és állását határozzuk meg, definiálnunk kell egy a repülőgéphez rögzített koordináta rendszert is. Ez a test koordináta rendszer (/a. ábra). A repülésirányító automatikának az a feladata, hogy a test koordináta rendszer origójának sebessége valamint a tengelyek szögsebessége a repülési feladatnak megfelelően változzon a választott navigációs koordináta rendszerhez képest. Ha útvonalrepülésről van szó, ez azt jelenti, hogy a repülőgép az előre definiált térbeli pontokon keresztül halad. Ebben a koordináta rendszerben az x tengely a haladási irány szerint előre, az y jobb oldalra, a z tengely pedig a kettőt jobbsodrású rendszerré kiegészítve lefelé mutat. Az origó a tömegközéppontban van. Ebben a rendszerben írjuk fel repülőgépünk mozgásegyenleteit és a navigációs szenzoraink is ehhez a koordináta rendszerhez vannak rögzítve [3][4]. A rádiónavigációnak, ezen belül a globális helyzetmeghatározásnak, valamint az inerciális navigációnak a légi járművek automatikus üzemeltetésénél igen fontos szerepe van, mivel a robotpilótánál hasonló funkciót töltenek be, mint az embernél az érzékszervei. Amikor az ember repülőgépet vezet, érzékszervei szolgáltatják a visszacsatoló jelet a repülőgép pillanatnyi állapotáról, segítségükkel határozzuk meg, hogyan kell mozgatnunk a gép kormányszerveit, ahhoz hogy az a repülési feladatnak megfelelően mozogjon. A robotpilóta érzékszervei tehát a navigációs berendezések. RÁDIÓNAVIGÁCIÓ A jól ismert GPS és GLONASS 3 műholdas rádiónavigációs rendszerekben a vevőberendezés ismert helyzetű föld körüli pályákon keringő műholdak adása alapján határozza meg pozícióját. Ennek a pozícióadatnak a pontosságát több tényező is befolyásolja: Nem mindegy hogy a vevő által látott műholdak az égbolton hol helyezkednek el, ahogy az sem hogy milyen pontossággal ismerjük a műholdak pályáját. Ezen kívül a légkör állapota is befolyásolja a mérés pontosságát, mivel a légkörben lévő töltött részecskék sűrűsége, a nyomás, a hőmérséklet, a páratartalom és egyéb tényezők hatással vannak a fény terjedési sebességére [1][]. Összességben elmondható hogy a legkorszerűbb vevőberendezésekkel 4-5Hz-es frissítési frekvencia mellett néhányszor 10m-es pontosság érhető el. A térbeli felbontás növelésének egyik eszköze lehet a differenciális GPS (DGPS) alkalmazása, amelynél egy ismert ponton elhelyezett vevő mérései alapján meghatározzák és korrigálják a GPS rendszer bizonyos mérési hibáit. A referenciaállomás által szolgáltatott adatokat azonban valamilyen a, b, v(t) x(t) (t) a(t)dt a(t)dt ω(t)dt. ábra. a) A test koordináta-rendszer [4], b) a mért gyorsulásból és szögsebességből számított v(t), x(t) és (t) 3 GLONASS: Global Orbiting Navigation Satellite System

4 infrastruktúra segítségével el kell juttatni az adott felhasználói vevőhöz. Ez történhet földi vagy műholdas sugárzású korrekciós adatokat szolgáltató rádióadás segítségével. Az egyik ilyen Európai műholdas alapú rendszer az EGNOS 4, amely távközlési műholdak, és jeleik fogadására képes vevőberendezés segítségével közvetíti a felhasználókhoz a földi állomások mérései alapján számított korrekciós adatokat. Bár DGPS alkalmazásával akár centiméteres pontosság is elérhető, a repülésirányító automatika számára a néhány Hz-es frissítési periódus legtöbbször nem elegendő, és a repülőgép orientációjáról sincs semmilyen információ. A GPS tehát önmagában nem szolgáltat megfelelő visszacsatoló jeleket a robotpilóta számára. a) b) 3. ábra. Himbás inerciális rendszer, a) működési elv, b) valóságos eszköz [5] INERCIÁLIS NAVIGÁCIÓ Az inerciális navigációs berendezéseknél a pillanatnyi pozíciót, sebességet, és szögsebességet giroszkópok és gyorsulásmérők kimeneti jelének idő szerinti integrálásával kapjuk. Az első INS berendezések himbás rendszerűek voltak. Ezekben bonyolult mechanikai rendszer gondoskodik arról, hogy a szenzorok és a NED koordináta rendszer tengelyei párhuzamosak maradjanak. Így a szenzorok mérőirányai mindig a NED koordináta rendszer forgatás nélküli párhuzamos eltoltját reprezentálják a test koordináta rendszerben. A repülőgép orientációját, tehát a himba állásszögei szolgáltatják, a pillanatnyi relatív pozíciót a gyorsulásmérők kimeneti jelének kétszeri integrálásával számíthatjuk. Az 3/a. ábra a működési elvet szemlélteti a 3/b. ábrán pedig egy valós mechanikus szerkezet látható. Ezeket az eszközöket pontosságuk miatt még mai is sok helyen használják, de a bonyolult mechanikai rendszer ára magas és karbantartásuk is körülményes. Megbízhatóságuk miatt a lézer és szilárdtest giroszkópok megjelenése óta a modern repülő eszközökben szinte kizárólag strapdown (leszíjazott) INS rendszereket alkalmaznak. Ezekben a strapdown rendszerekben a szenzorok rögzített helyzetűek, vagyis együtt forognak a test koordináta rendszerrel. Valójában a mechanikus himbát itt matematikai számítások helyettesítik, vagyis a giroszkópok nem a mérőtengelyek stabilizálására szolgálnak, hanem a test- koordinátarendszer szögelfordulásának mérésére. A szögelfordulásból a rendszer minden pillanatban tudja a mérőtengelyek orientációját. A robosztusság ára, hogy a gyorsulásmérő szenzoroknak néhányszor, a giroszkópoknak nagyságrendekkel nagyobb mérési dinamika tartománnyal és linearitással kell rendelkezniük ahhoz, hogy elérjék a himbás rendszerek pontosságát. A strapdown inerciális rendszereket az alkalmazott giroszkóp működési elve szerint érdemes megkülönböztetni. Mivel a gyakorlatban ma elsősorban lézergiriszkópokat, ezen belül is a z 4 EGNOS: European Geostationary Navigation Overlay Service

5 RLG 5 és az üvegszál optikás FOG 6 giroszkópokat, valamint újabban mikro-elektromechanikai giroszkópokat alkalmaznak, ejtsünk néhány szót minőségi jellemzőikről és a lehetséges felhasználási területeikről [5][6]. A lézer giroszkópok mérési elve az úgynevezett Sagnac effektuson alapul. Az RLG-nál a háromszög alakú rezonátorban az óramutató járásával megegyező és ellentétes irányban két lézernyaláb kering (4. ábra). A háromszög sarkaiban tükrök vannak, kerülete pedig a lézer hullámhosszának egész számú többszöröse. Álló helyzetben a két nyaláb frekvenciája megegyezik. Ha azonban a rendszer forog, pl. az óramutató járásával megegyező irányban, az ugyanebben az irányban keringő fotonoktól a tükrök távolodnak, vagyis valamivel hosszabb utat kell megtenniük mint az álló helyzetű rezonátorban, a hullámhosszuk tehát megnő. Az óramutató járásával ellentétesen keringő fotonok viszont közeledő tükrökkel találkoznak, vagyis rövidebb utat tesznek meg egy kör alatt, tehát a hullámhosszuk rövidebb lesz. A két ellentétes irányban keringő lézersugár hullámhossz, és ebből kifolyólag frekvencia különbsége a szögsebességgel arányos. Tehát az egyik, részben áteresztő tükrön keresztül kicsatolva a nyalábok interferencia képe alapján a szögsebesség mérhető. Érdemes megjegyezni hogy nem csak fotonokkal, hanem atomi részecske-hullámokkal is létrehozható hasonló rendszer. Mivel a hullámhossz atomok esetén kisebb, ugyan akkora térfogatban nagyobb érzékenységű giroszkóp építhető, az optikai elemek (tükrök, osztók) létrehozása azonban bonyolultabb. A száloptikás giroszkópokban az ellentétes irányban terjedő fényhullámok egy feltekercselt optikai szálban terjednek. A félvezető lézerből egy osztó segítségével jut a fény az optikai szál két végébe (5/a. ábra). Nyugvó helyzetben a nyalábok azonos fázisban érkeznek a szál ellentétes végeire. Forgás esetén azonban a forgás irányában haladó hullámnak hosszabb, a vele szemben haladónak rövidebb utat kell megtennie, aminek következtében fáziskülönbség adódik. Ez a fáziskülönbség arányos a szögsebességgel és az interferencia képből detektálható. Az RLG-hez képest ennek a megoldásnak az előnye, hogy nincsenek tükrök, nem igényel precíziós mechanikai szerkezetet és szinte az egész elektrooptikai rendszer egyetlen hordozóra integrálható, amely az optikai szál két végére csatlakozik (5/b. ábra). Egy másik előnyös tulajdonság, hogy nincs az RLG-nél jelentkező un. lock-in jelenség, amikor is a kis szögsebesség tartományokban a nagy jósági tényezőjű rezonátorban a két fénysugár frekvenciája hajlamos úgymond összeragadni, ami 5 RLG: Ring Laser Gyroscope 6 FOG: Fiber Optic Gyroscope 4. ábra. RLG giroszkóp [5]

6 érzéketlenségi sávként jelentkezik [5][6]. Tehát mindent összevetve mechanikailag robosztusabb ár tekintetében olcsóbb a száloptikás rendszer, a pontosság viszont egyelőre a rezonátoros rendszer mellett szól. a) b) 5. ábra. FOG a) működési elv, b) valós eszköz Az utóbbi időben egyre nagyobb teret hódítanak maguknak az inerciális szenzortechnikában a mikro-elektromechanikai MEMS7 szenzorok. A fejlesztéseknek köszönhetően egyre pontosabb giroszkópok és gyorsulásmérők jelennek meg a piacon, bár egyelőre ez a pontosság nem versenyképes az előbb említett himbás és lézergiroszkópokéval. Az extrém kis méret, az alacsony ár, és az hogy egyszerű alkatrészként beforraszthatók a feldolgozó elektronika mellé, lehetővé teszi alkalmazásukat az olcsóbb, kisebb pontosságot igénylő navigációs alkalmazásokban. A mikromechanikai giroszkópok működési elve azon a dinamikai törvényszerűségen alapszik, hogy egy forgó koordináta rendszerben mozgó testre a szögsebességgel arányos Coriolis erő hat. Egy MEMS giroszkóp esetén a mozgó test egy mikroelektronikai technológiával szilíciumhordozón kialakított rezgő tömeg. Amikor a hordozó és a hozzá rögzített rezgő mechanikai rendszer forog arra a szögsebességgel arányos a rezgés irányára merőleges erő hat így a tömeg a rezgés irányára merőlegesen elmozdul. Ez az elmozdulás kapacitív módon mérhető [7]. A működési elvet a 6/a. ábrák szemléltetik, a 6/b. ábrán pedig egy kisméretű, a kereskedelmi forgalomban kapható, 3 giroszkópból és 3 gyorsulásmérő szenzorból felépített inerciális mérőegység látható [8]. a) 7 MEMS: Micro Electro Mechanical System b)

7 6. ábra. MEMS giroszkóp a) működési elv [7], b) MEMS INS [8] 7. ábra Különböző inerciális szenzorok minőségi jellemzői Az inerciális szenzorokról elmondottak összefoglalása képen, a 7. ábrán a különböző giroszkópok és gyorsulásmérők legfontosabb minőségi jellemzőit láthatjuk. A függőleges tengelyen a mérési bizonytalanság, a vízszintes tengelyeken a szögsebességtől ill. a gyorsulástól független mérési hiba látható. Ez utóbbit a giroszkópoknál fok/órában adják meg, amely megmondja, hogy egy óra alatt mekkora hibát kapunk az állásszögben a szögsebesség jel integrálásával. Láthatjuk, hogy míg a legjobb mechanikus giroszkópokkal egy év alatt sem tévedünk 1 tized foknál többet, a mikromechanikai giroszkópoknál több fok eltérés is adódhat egyetlen perc alatt. Ezek a pontatlanabb szenzorok tehát önmagukban nem alkalmasak navigációs vagy repülésstabilizáló feladatokra. Csakhogy a kisebb méretű, mini vagy mikro UAV-k esetén, ahol igen fontos tényező a beépítési méret, a súly, az áramfelvétel, és nem utolsó sorban az ár, sokszor nincs lehetőség lézergiroszkóp vagy akár mechanikus giroszkóp beépítésére. További szenzorokkal és különböző algoritmusokkal azonban javítani lehet a pontatlanabb inerciális szenzorokból felépített navigációs berendezések pontosságát is, így az eredő rendszer az UAV-k automatikus repülésszabályozó rendszere számára is megfelelő adatokat szolgáltathat. Néhány, a gyakorlatban alkalmazott módszerek közül a következő: A helyi gravitációs vektor mérése a vízszintes helyzet meghatározásához Mágneses szenzorokkal az északi irány meghatározása Magasságmérés abszolút nyomásmérővel Ultrahangos magasságmérés kis magasságokban Szélsebesség mérés differenciális nyomásmérővel A horizont optikai érzékelése Globális helyzet-meghatározás A felsorolt módszerek és az inerciális szenzorok együttes alkalmazása, megfelelő szenzorfúziós algoritmussal, lényegesen jobb és pontosabb mérési eredményeket szolgáltat, mint az egyes módszerek önmagukban. Példaként vessük össze az inerciális mérőegységek és a Globális helyzet-meghatározás jellegzetességeit, előnyeit és hátrányait (8. ábra). Láthatjuk, hogy a két módszer egymást kiegészítő tulajdonságokkal rendelkezik. Nyilvánvalóan egy

8 olyan navigációs rendszer, amiben az általuk szolgáltatott mérési eredményeket valamilyen módszerrel egyesítjük, sokkal kisebb eredő hibával fog rendelkezni [9]. INS Pozíció, sebesség, orientáció o Nagy pontosság kis időintervallumban o Pontos orientáció kis időintervallumban o Idővel arányosan növekvő hiba Függ a gravitációtól Nagy mintavételi frekvencia (5-50Hz) Nincs jelkiesés GPS Pozíció, sebesség, orientáció o Pontatlanság kis időintervallumban o Pontatlan orientáció bonyolult antennarendszerrel o Időtől független hiba Nem függ a gravitációtól Kis mintavételi frekvencia (<4Hz) Gyakori jelkiesés rossz vételi viszonyok esetén 8. ábra. Az inercális navigáció és a GPS összehasonlítása 9. ábra. A test pozíciójának feltételes eloszlás sűrűségfüggvénye z 1 és z mérés alapján [10] KÁLMÁN SZŰRŐ Általánosságban elmondható, hogy valós fizikai rendszereink sokszor zajos szenzorokkal, bizonytalan dinamikai modellekkel, közvetlenül nem mérhető paraméterekkel rendelkeznek. Egyes problémákat ezért célszerű olyan statisztikai módszerekkel megközelíteni, amelyek mindezeket a bizonytalanságokat figyelembe veszik. Egy ilyen algoritmus a Kálmán szűrő, amely lineáris rendszerek esetén, biztosítja az adott változó optimális becslését úgy, hogy figyelembe veszi a rendszer és a szenzorok dinamikai tulajdonságait, a zajok, mérési hibák és bizonytalanságok statisztikai jellemzőit, valamint a kezdeti feltételeket. Működésének lényegét egy egyszerű egy dimenziós helyzet-meghatározási példával szemléltethetjük. Tételezzük fel, hogy rendelkezésünkre áll két különböző szenzor, amelyekkel eltérő pontossággal mérni tudjuk egy, az x tengely mentén mozgó test helyzetét. A test kezdetben nyugalomban van. Az első szenzorral t 1 időpontban z 1 pozíciót mérjük. Mivel a szenzorunk nem tökéletes, a mérési eredményünk valamilyen bizonytalansággal rendelkezik. Ha ezt a mérési bizonytalanságot z1 szórású z 1 várható értékű normális (Gauss) eloszlással jellemezzük, a 9. ábra, bal oldali szaggatott vonallal ábrázolt sűrűség-függvényét kapjuk. Minél bizonytalanabb a mérésünk, annál nagyobb a szórás, annál kevésbé vagyunk biztosak abban, hogy a vizsgált test z 1 pontban van. A t időpontban a második szenzorral z pozíciót mérjük z szórással. A jobb oldali szaggatott vonallal ábrázolt görbéből láthatjuk, hogy ez a szenzor kisebb szórással rendelkezik, vagyis az általa mért értékben jobban

9 megbízhatunk. A két mérés kombinációjából egy olyan feltételes eloszlást kapunk, amelynek a várható értéke és szórással rendelkezik: z z z1 z z1 z 1 z1 z1 z z (1) () Látható hogy az eredő szórás kisebb z1 és z -nél is, a várható érték pedig egyfajta súlyozott átlag, ahol a nagyobb szórású, tehát megbízhatatlanabb mérési eredmény kisebb súllyal szerepel (ha azonos szórású méréseink lennének az eredő várható érték a két mérés egyszerű átlaga lenne, ahogy azt egyébként várnánk). Az eredő szórás akkor is kisebb, ha az egyik mérésünk sokkal megbízhatatlanabb, vagyis szórása viszonylag nagy a hozzá tartozó sűrűségfüggvény pedig sokkal laposabb. Bármennyire is rossz minőségű tehát az adott szenzor által szolgáltatott információ, az eredő pontosságot mégis kedvezően befolyásolja. Az (1-) egyenletek szokványos alakja a következő: ahol xˆ ( t) xˆ( t1 ) K( t ) [ z xˆ( t1)] (3) t ) ( t ) K( t ) ( t ) (4) x ( x 1 x 1 K( t ) /( ) (5) z1 z1 z és xˆ ( ) 1 1 (6) x ( t ) (7) ˆ a pozíció legjobb becslése, vagyis várható értéke, valamint x ( t ) (8) a pozíció feltételes eloszlásának szórása az adott pillanatban. Most tételezzük fel, hogy a test mozog a t és a t 3 mérési időpontok között, valamint hogy a dx u w (9) dt egyenlet, ezt a mozgást megfelelően modellezi (u az aktuális sebességet, w pedig a zajt reprezentálja). A zaj a rendszerről rendelkezésre álló információk bizonytalanságából adódik és nulla várható értékű, w szórású normális eloszlással közelíthető. A pozíció feltételes eloszlás sűrűségfüggvénye az idő múlásával az x tengely mentén eltolódik, és ezzel egyidejűleg ellaposodik, mivel az akkumulálódó bizonytalanságok miatt egyre kevésbé

10 vagyunk biztosak a becsült pozícióban (10. ábra). Az eloszlás várható értéke és szórása a dinamikai modell alapján a t 3 időpontban, közvetlenül a harmadik mérést megelőző pillanatban: xˆ ( t3 ) xˆ( t) v [ t3 t] (10) x ( 3 x w 3 t ) ( t ) [ t t ] (11) 10. ábra. A pozíció feltételes eloszlás sűrűségfüggvényének változása az idő függvényében [10] A t 3 időpontban z 3 pozíciót mérünk z3 szórással. Ahogy a t időpontban, most is két normális eloszlásunk van. Az egyik maga a mérés, a másik pedig a t 3 időpontban számolt eloszlás (10-11), amely tartalmazza a mérés előtt rendelkezésre álló összes információt a rendszerről. A két eloszlás eredője a (3-5) egyenletek alapján szintén előállítható: x ( t ) xˆ( t ) K( t ) [ z xˆ( t )] (1) ˆ ( x 3 x 3 3 x 3 t ) ( t ) K( t ) ( t ) (13) K( t 3) x ( t3 ) /[ x ( t3 ) z3 ˆ 3 Az (1-14) egyenletek szerint a pozíció x( t ) optimális becslése a t 3 időpillanatban egyenlő, a pozíció optimális becslése a z 3 mérés előtt, plusz a mérés és ezen becslés optimálisan súlyozott különbsége [10]. FELHASZNÁLT IRODALOM [1] Grewal, Weill, Andrews: Global Positioning Systems, Inertial, Navigation, and Integration, John Wiley & Sons Inc., 001. [] Pap László: A technika új csodája: A Globális helymeghatározás, elymeghatarozas.rtf [3] S. Rönback: Development of a INS/GPS navigation loop, Master s thesis, Lulea University of technology, 000 [4] S. H. Stovall: Basic Inertial Navigation, Naval Air Warfare Center Weapons Division, 1997 [5] A. D. King: Iertial Navigation Forty Years of Evolution, Marconi Electronic Systems Ltd [6] J. H. Sharp: Laser Gyroscopes, ] (14)

11 [7] Analog Devices Inc., [8] Cloud Cap Technology, [9] Sultan Kocaman: GPS and INS Integration with Kalman Filtering for Direct Georeferencing of Airborn Imagery, ETH Hönggerberg, Zürich Institute of Geodesy and Photogammetry, 003 [10] P. S. Maybeck: Stochastic Models, Estimation,and Control Volume 1, Academic Press, London, 1979

Robotika. Relatív helymeghatározás Odometria

Robotika. Relatív helymeghatározás Odometria Robotika Relatív helymeghatározás Odometria Differenciális hajtás c m =πd n /nc e c m D n C e n = hány mm-t tesz meg a robot egy jeladó impulzusra = névleges kerék átmérő = jeladó fölbontása (impulzus/ford.)

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk

Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk meg, ahhoz viszonyítjuk. pl. A vonatban utazó ember

Részletesebben

Pálya : Az a vonal, amelyen a mozgó test végighalad. Út: A pályának az a része, amelyet adott idő alatt a mozgó tárgy megtesz.

Pálya : Az a vonal, amelyen a mozgó test végighalad. Út: A pályának az a része, amelyet adott idő alatt a mozgó tárgy megtesz. Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk meg, ahhoz viszonyítjuk. pl. A vonatban utazó ember

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton

Részletesebben

Pálya : Az a vonal, amelyen a mozgó test végighalad. Út: A pályának az a része, amelyet adott idő alatt a mozgó tárgy megtesz.

Pálya : Az a vonal, amelyen a mozgó test végighalad. Út: A pályának az a része, amelyet adott idő alatt a mozgó tárgy megtesz. Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk meg, ahhoz viszonyítjuk. pl. A vonatban utazó ember

Részletesebben

VTOL UAV. Inerciális mérőrendszer kiválasztása vezetőnélküli repülőeszközök számára. Árvai László, Doktorandusz, ZMNE

VTOL UAV. Inerciális mérőrendszer kiválasztása vezetőnélküli repülőeszközök számára. Árvai László, Doktorandusz, ZMNE Inerciális mérőrendszer kiválasztása vezetőnélküli repülőeszközök számára Árvai László, Doktorandusz, ZMNE Tartalom Fejezet Témakör 1. Vezető nélküli repülőeszközök 2. Inerciális mérőrendszerek feladata

Részletesebben

Automatikus Fedélzeti Irányító Rendszerek. Navigációs rendszerek a pilóta szemszögéből Tóth Gábor

Automatikus Fedélzeti Irányító Rendszerek. Navigációs rendszerek a pilóta szemszögéből Tóth Gábor Automatikus Fedélzeti Irányító Rendszerek Navigációs rendszerek a pilóta szemszögéből Tóth Gábor VFR Visual Flight Rules A navigáció folyamatos földlátást igényel Minimálisan 5 km látástávolság szükséges

Részletesebben

Pálya : Az a vonal, amelyen a mozgó tárgy, test végighalad. Út: A pályának az a része, amelyet adott idő alatt a mozgó tárgy megtesz.

Pálya : Az a vonal, amelyen a mozgó tárgy, test végighalad. Út: A pályának az a része, amelyet adott idő alatt a mozgó tárgy megtesz. Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk meg, ahhoz viszonyítjuk. pl. A vonatban utazó ember

Részletesebben

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel

Részletesebben

Mechanika. Kinematika

Mechanika. Kinematika Mechanika Kinematika Alapfogalmak Anyagi pont Vonatkoztatási és koordináta rendszer Pálya, út, elmozdulás, Vektormennyiségek: elmozdulásvektor Helyvektor fogalma Sebesség Mozgások csoportosítása A mozgásokat

Részletesebben

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből

Részletesebben

Fizika alapok. Az előadás témája

Fizika alapok. Az előadás témája Az előadás témája Körmozgás jellemzőinek értelmezése Általános megoldási módszer egyenletes körmozgásnál egy feladaton keresztül Testek mozgásának vizsgálata nem inerciarendszerhez képest Centripetális

Részletesebben

Mozgásmodellezés. Lukovszki Csaba. Navigációs és helyalapú szolgáltatások és alkalmazások (VITMMA07)

Mozgásmodellezés. Lukovszki Csaba. Navigációs és helyalapú szolgáltatások és alkalmazások (VITMMA07) TÁVKÖZLÉSI ÉS MÉDIAINFORMATIKAI TANSZÉK () BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM (BME) Mozgásmodellezés Lukovszki Csaba Áttekintés» Probléma felvázolása» Szabadsági fokok» Diszkretizált» Hibát

Részletesebben

Mozgó jármű helyzetének és tájolásának meghatározása alacsony árú GNSS és inerciális érzékelők szoros csatolású integrációjával

Mozgó jármű helyzetének és tájolásának meghatározása alacsony árú GNSS és inerciális érzékelők szoros csatolású integrációjával Mozgó jármű helyzetének és tájolásának meghatározása alacsony árú GNSS és inerciális érzékelők szoros csatolású integrációjával Farkas Márton Rédey István Geodéziai Szeminárium 2019. április 2. Áttekintés

Részletesebben

INFORMATIKA ÁGAZATI ALKALMAZÁSAI. Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010

INFORMATIKA ÁGAZATI ALKALMAZÁSAI. Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010 INFORMATIKA ÁGAZATI ALKALMAZÁSAI Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010 10. GPS, GPRS (mobilkommunikációs) ismeretek Helymeghatározás GPS rendszer alapelve GNSS rendszerek

Részletesebben

Markerek jól felismerhetőek, elkülöníthetők a környezettől Korlátos hiba

Markerek jól felismerhetőek, elkülöníthetők a környezettől Korlátos hiba 1. Ismertesse a relatív és abszolút pozíciómegatározás tulajdonságait, és lehetőségeit. Mit jelent a dead reckoning, és mi az odometria? Milyen hibalehetőségekre kell számítanunk odometria alkalmazásakor?

Részletesebben

Rezgés, Hullámok. Rezgés, oszcilláció. Harmonikus rezgő mozgás jellemzői

Rezgés, Hullámok. Rezgés, oszcilláció. Harmonikus rezgő mozgás jellemzői Rezgés, oszcilláció Rezgés, Hullámok Fogorvos képzés 2016/17 Szatmári Dávid (david.szatmari@aok.pte.hu) 2016.09.26. Bármilyen azonos időközönként ismétlődő mozgást, periodikus mozgásnak nevezünk. A rezgési

Részletesebben

9. Laboratóriumi gyakorlat NYOMÁSÉRZÉKELŐK

9. Laboratóriumi gyakorlat NYOMÁSÉRZÉKELŐK 9. Laboratóriumi gyakorlat NYOMÁSÉRZÉKELŐK 1.A gyakorlat célja Az MPX12DP piezorezisztiv differenciális nyomásérzékelő tanulmányozása. A nyomás feszültség p=f(u) karakterisztika megrajzolása. 2. Elméleti

Részletesebben

Mozgáselemzés MEMS alapúgyorsulás mérőadatai alapján

Mozgáselemzés MEMS alapúgyorsulás mérőadatai alapján Mozgáselemzés MEMS alapúgyorsulás mérőadatai alapján Nyers Szabina Konzulens: Tihanyi Attila Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológia Kar Feladatok: Végezzen irodalom kutatást, mely tartalmazza

Részletesebben

TestLine - nummulites_gnss Minta feladatsor

TestLine - nummulites_gnss Minta feladatsor 1.* Egy műholdas helymeghatározás lehet egyszerre abszolút és kinematikus. 2.* műholdak pillanatnyi helyzetéből és a megmért távolságokból számítható a vevő pozíciója. 3.* 0:55 Nehéz kinai BEIDOU, az amerikai

Részletesebben

Alapok GPS előzmnyei Navstar How the GPS locate the position Tények Q/A GPS. Varsányi Péter

Alapok GPS előzmnyei Navstar How the GPS locate the position Tények Q/A GPS. Varsányi Péter Alapok előzmnyei Navstar How the locate the position Tények Q/A Óbudai Egyetem Alba Regia Egyetemi Központ (AREK) Székesfehérvár 2011. december 8. Alapok előzmnyei Navstar How the locate the position Tények

Részletesebben

Osztályozó, javító vizsga 9. évfolyam gimnázium. Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ

Osztályozó, javító vizsga 9. évfolyam gimnázium. Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ 1. Egy téglalap alakú háztömb egyik sarkából elindulva 80 m, 150 m, 80 m utat tettünk meg az egyes házoldalak mentén, míg a szomszédos sarokig értünk. Mekkora az elmozdulásunk?

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN

A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN Egy testre ható erő, a más testekkel való kölcsönhatás mértékére jellemző fizikai mennyiség. A légkörben ható erők Külső erők: A Föld tömegéből következő

Részletesebben

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

A Hamilton-Jacobi-egyenlet A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P

Részletesebben

Rezgés tesztek. 8. Egy rugó által létrehozott harmonikus rezgés esetén melyik állítás nem igaz?

Rezgés tesztek. 8. Egy rugó által létrehozott harmonikus rezgés esetén melyik állítás nem igaz? Rezgés tesztek 1. Egy rezgés kitérés-idő függvénye a következő: y = 0,42m. sin(15,7/s. t + 4,71) Mekkora a rezgés frekvenciája? a) 2,5 Hz b) 5 Hz c) 1,5 Hz d) 15,7 Hz 2. Egy rezgés sebesség-idő függvénye

Részletesebben

SZENZORFÚZIÓS ELJÁRÁSOK KIDOLGOZÁSA AUTONÓM JÁRMŰVEK PÁLYAKÖVETÉSÉRE ÉS IRÁNYÍTÁSÁRA

SZENZORFÚZIÓS ELJÁRÁSOK KIDOLGOZÁSA AUTONÓM JÁRMŰVEK PÁLYAKÖVETÉSÉRE ÉS IRÁNYÍTÁSÁRA infokommunikációs technológiák SZENZORFÚZIÓS ELJÁRÁSOK KIDOLGOZÁSA AUTONÓM JÁRMŰVEK PÁLYAKÖVETÉSÉRE ÉS IRÁNYÍTÁSÁRA BEVEZETŐ A KUTATÁS CÉLJA Autonóm járművek és robotok esetén elsődleges feladat a robotok

Részletesebben

Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény

Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér

Részletesebben

Ütközések vizsgálatához alkalmazható számítási eljárások

Ütközések vizsgálatához alkalmazható számítási eljárások Ütközések vizsgálatához alkalmazható számítási eljárások Az eljárások a kiindulási adatoktól és a számítás menetétől függően két csoportba sorolhatók. Az egyik a visszafelé történő számítások csoportja,

Részletesebben

Dinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása.

Dinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Dinamika A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Newton törvényei: I. Newton I. axiómája: Minden nyugalomban lévő test megtartja nyugalmi állapotát, minden mozgó test

Részletesebben

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás 3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás 15. Digitális Alakzatrekonstrukció Méréstechnológia, Ponthalmazok regisztrációja http://cg.iit.bme.hu/portal/node/312 https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/viiiav54

Részletesebben

A csillagképek története és látnivalói február 14. Bevezetés: Az alapvető égi mozgások

A csillagképek története és látnivalói február 14. Bevezetés: Az alapvető égi mozgások A csillagképek története és látnivalói 2018. február 14. Bevezetés: Az alapvető égi mozgások A csillagok látszólagos mozgása A Föld kb. 24 óra alatt megfordul a tengelye körül a földi megfigyelő számára

Részletesebben

205 00 00 00 Mûszertan

205 00 00 00 Mûszertan 1. oldal 1. 100710 205 00 00 00 Mûszertan A sebességmérõ olyan szelencés mûszer, mely nyitott Vidi szelence segítségével méri a repülõgép levegõhöz viszonyított sebességét olyan szelencés mûszer, mely

Részletesebben

A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN

A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN Egy testre ható erő, a más testekkel való kölcsönhatás mértékére jellemző fizikai mennyiség. A légkörben ható erők Külső erők: A Föld tömegéből következő

Részletesebben

Hely, idő, haladó mozgások (sebesség, gyorsulás)

Hely, idő, haladó mozgások (sebesség, gyorsulás) Hely, idő, haladó mozgások (sebesség, gyorsulás) Térben és időben élünk. A tér és idő végtelen, nincs kezdete és vége. Minden tárgy, esemény, vagy jelenség helyét és idejét a térben és időben valamihez

Részletesebben

Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport

Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport Elméleti kérdések 11. osztály érettségire el ı készít ı csoport MECHANIKA I. 1. Definiálja a helyvektort! 2. Mondja meg mit értünk vonatkoztatási rendszeren! 3. Fogalmazza meg kinematikailag, hogy mikor

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek.

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek. Mozgások dinamikai leírása A dinamika azzal foglalkozik, hogy mi a testek mozgásának oka, mitől mozognak úgy, ahogy mozognak? Ennek a kérdésnek a megválaszolása Isaac NEWTON (1642 1727) nevéhez fűződik.

Részletesebben

Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében

Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció 3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció 15. Digitális Alakzatrekonstrukció Méréstechnológia, Ponthalmazok regisztrációja http://cg.iit.bme.hu/portal/node/312 https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/viiima01

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS

Részletesebben

Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)

Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1. 2. 3. Mondat E1 E2 Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, 2017. október 10.. CHFMAX NÉV: Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 Előadó: Márkus / Varga Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1) Az l hosszúságú

Részletesebben

Rezgések és hullámok

Rezgések és hullámok Rezgések és hullámok A rezgőmozgás és jellemzői Tapasztalatok: Felfüggesztett rugóra nehezéket akasztunk és kitérítjük egyensúlyi helyzetéből. Satuba fogott vaslemezt megpendítjük. Ingaóra ingáján lévő

Részletesebben

1. Gauss-eloszlás, természetes szórás

1. Gauss-eloszlás, természetes szórás 1. Gauss-eloszlás, természetes szórás A Gauss-eloszlásnak megfelelő függvény: amely egy σ szélességű, µ középpontú, 1-re normált (azaz a teljes görbe alatti terület 1) görbét ír le. A természetben a centrális

Részletesebben

A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN

A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN Egy testre ható erő a más testekkel való kölcsönhatás mértékére jellemző fizikai mennyiség. A légkörben ható erők Külső erők: A Föld tömegéből következő

Részletesebben

Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések

Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések 1. Melyek a rezgőmozgást jellemző fizikai mennyiségek?. Egy rezgés során mely helyzetekben maximális a sebesség, és mikor a gyorsulás? 3. Milyen

Részletesebben

-2σ. 1. A végtelen kiterjedésű +σ és 2σ felületi töltéssűrűségű síklapok terében az ábrának megfelelően egy dipól helyezkedik el.

-2σ. 1. A végtelen kiterjedésű +σ és 2σ felületi töltéssűrűségű síklapok terében az ábrának megfelelően egy dipól helyezkedik el. 1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Energetikai mérnöki alapszak Mérnöki fizika 2. ZH NÉV:.. 2018. május 15. Neptun kód:... g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika Fizika mérnm rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Mechanika. előadás Dr. Geretovszky Zsolt 1. szeptember 15. Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika

Részletesebben

Speciális relativitás

Speciális relativitás Fizika 1 előadás 2016. április 6. Speciális relativitás Relativisztikus kinematika Utolsó módosítás: 2016. április 4.. 1 Egy érdekesség: Fizeau-kísérlet A v sebességgel áramló n törésmutatójú folyadékban

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29. A mechanika alapjai A pontszerű testek kinematikája Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29. 2 / 35 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? 3 /

Részletesebben

KÖZEG. dv dt. q v. dm q m. = dt GÁZOK, GŐZÖK ÉS FOLYADÉKOK ÁRAMLÓ MENNYISÉGÉNEK MÉRÉSE MÉRNI LEHET:

KÖZEG. dv dt. q v. dm q m. = dt GÁZOK, GŐZÖK ÉS FOLYADÉKOK ÁRAMLÓ MENNYISÉGÉNEK MÉRÉSE MÉRNI LEHET: GÁZOK, GŐZÖK ÉS FOLYADÉKOK ÁRAMLÓ MENNYISÉGÉNEK MÉRÉSE MÉRNI LEHET: AZ IDŐEGYSÉG ALATT ÁTÁRAMLÓ MENNYISÉG TÉRFOGATÁT TÉRFOGATÁRAM MÉRÉS q v = dv dt ( m 3 / s) AZ IDŐEGYSÉG ALATT ÁTÁRAMLÓ MENNYISÉG TÖMEGÉT

Részletesebben

PÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE

PÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE PÉLÁ ERŐTÖRVÉNYERE Szabad erők: erőtörvénnyel megadhatók, általában nem függenek a test mozgásállapotától (sebességtől, gyorsulástól) Példák: nehézségi erő, súrlódási erők, rugalmas erők, felhajtóerők,

Részletesebben

A klasszikus mechanika alapjai

A klasszikus mechanika alapjai A klasszikus mechanika alapjai FIZIKA 9. Mozgások, állapotváltozások 2017. október 27. Tartalomjegyzék 1 Az SI egységek Az SI alapegységei Az SI előtagok Az SI származtatott mennyiségei 2 i alapfogalmak

Részletesebben

GPS mérési jegyz könyv

GPS mérési jegyz könyv GPS mérési jegyz könyv Mérést végezte: Csutak Balázs, Laczkó Hunor Mérés helye: ITK 320. terem és az egyetem környéke Mérés ideje: 2016.03.16 A mérés célja: Ismerkedés a globális helymeghatározó rendszerrel,

Részletesebben

Kozmikus geodézia MSc

Kozmikus geodézia MSc Kozmikus geodézia MSc 1-4 előadás: Tóth Gy. 5-13 előadás: Ádám J. 2 ZH: 6/7. és 12/13. héten (max. 30 pont) alapismeretek, csillagkatalógusok, koordináta- és időrendszerek, függővonal iránymeghatározása

Részletesebben

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18. Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 28. március 18. A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia Értékelés: A beadás dátuma: 28. március 26. A mérést végezte: 1/7 A mérés leírása:

Részletesebben

HÍRADÁSTECHNIKA I. Dr.Varga Péter János

HÍRADÁSTECHNIKA I. Dr.Varga Péter János 6. HÍRADÁSTECHNIKA I. Dr.Varga Péter János 2 Műholdas kommunikáció 3 4 Helymeghatározás 5 Alkalmazott műholdpályák, tulajdonságaik 6 Alkalmazott műholdpályák, tulajdonságaik A LEO [Low Earth Orbiter ]

Részletesebben

NGB_IN040_1 SZIMULÁCIÓS TECHNIKÁK dr. Pozna Claudio Radu, Horváth Ernő

NGB_IN040_1 SZIMULÁCIÓS TECHNIKÁK dr. Pozna Claudio Radu, Horváth Ernő SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM Műszaki Tudományi Kar Informatika Tanszék BSC FOKOZATÚ MÉRNÖK INFORMATIKUS SZAK NGB_IN040_1 SZIMULÁCIÓS TECHNIKÁK dr. Pozna Claudio Radu, Horváth Ernő Fejlesztői dokumentáció GROUP#6

Részletesebben

GPS szótár. A legfontosabb 25 kifejezés a GPS világából. Készítette: Gere Tamás A GPSArena.hu alapítója

GPS szótár. A legfontosabb 25 kifejezés a GPS világából. Készítette: Gere Tamás A GPSArena.hu alapítója A legfontosabb 25 kifejezés a GPS világából Készítette: Gere Tamás A GPSArena.hu alapítója 2D/3D vétel Megadja, hogy a GPS vétel síkbeli (2D) vagy térbeli (3D). Utóbbi esetben magassági adat is rendelkezésre

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1) . Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol

Részletesebben

Speciális mozgásfajták

Speciális mozgásfajták DINAMIKA Klasszikus mechanika: a mozgások leírása I. Kinematika: hogyan mozog egy test út-idő függvény sebesség-idő függvény s f (t) v f (t) s Példa: a 2 2 t v a t gyorsulások a f (t) a állandó Speciális

Részletesebben

Transzformátor rezgés mérés. A BME Villamos Energetika Tanszéken

Transzformátor rezgés mérés. A BME Villamos Energetika Tanszéken Transzformátor rezgés mérés A BME Villamos Energetika Tanszéken A valóság egyszerűsítése, modellezés. A mérés tervszerűen végrehajtott tevékenység, ezért a bonyolult valóságos rendszert először egyszerűsítik.

Részletesebben

Hegyi Ádám István ELTE, április 25.

Hegyi Ádám István ELTE, április 25. Hegyi Ádám István ELTE, 2012. április 25. GPS = Global Positioning System Department of Defense = Amerikai Egyesült Államok Védelmi Minisztériuma 1973 DNSS = Defense Navigation Satellite System vagy Navstar-GPS

Részletesebben

A távérzékelés és fizikai alapjai 4. Technikai alapok

A távérzékelés és fizikai alapjai 4. Technikai alapok A távérzékelés és fizikai alapjai 4. Technikai alapok Csornai Gábor László István Budapest Főváros Kormányhivatala Mezőgazdasági Távérzékelési és Helyszíni Ellenőrzési Osztály Az előadás 2011-es átdolgozott

Részletesebben

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása Nyomaték (x 0 Nm) O k t a t á si Hivatal A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása./ A mágnes-gyűrűket a feladatban meghatározott sorrendbe és helyre rögzítve az alábbi táblázatban feltüntetett

Részletesebben

Híradástechnika I. 5.ea

Híradástechnika I. 5.ea } Híradástechnika I. 5.ea Dr.Varga Péter János 2 Műholdas kommunikáció 3 4 Alkalmazott műholdpályák, tulajdonságaik 5 Alkalmazott műholdpályák, tulajdonságaik A LEO [Low Earth Orbiter ] magába foglalja

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma

Részletesebben

Elektromágneses hullámok

Elektromágneses hullámok Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (a) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: 2015. október 3. 1 A Maxwell-egyenletek (1) (2) (3) (4) E: elektromos térerősség D: elektromos eltolás H: mágneses

Részletesebben

Mechanika - Versenyfeladatok

Mechanika - Versenyfeladatok Mechanika - Versenyfeladatok 1. A mellékelt ábrán látható egy jobbmenetű csavar és egy villáskulcs. A kulcsra ható F erővektor nyomatékot fejt ki a csavar forgatása céljából. Az erő támadópontja és az

Részletesebben

KUTATÁSI JELENTÉS. Multilaterációs radarrendszer kutatása. Szüllő Ádám

KUTATÁSI JELENTÉS. Multilaterációs radarrendszer kutatása. Szüllő Ádám KUTATÁSI JELENTÉS Multilaterációs radarrendszer kutatása Szüllő Ádám 212 Bevezetés A Mikrohullámú Távérzékelés Laboratórium jelenlegi K+F tevékenységei közül ezen jelentés a multilaterációs radarrendszerek

Részletesebben

Newton törvények és a gravitációs kölcsönhatás (Vázlat)

Newton törvények és a gravitációs kölcsönhatás (Vázlat) Newton törvények és a gravitációs kölcsönhatás (Vázlat) 1. Az inerciarendszer fogalma. Newton I. törvénye 3. Newton II. törvénye 4. Newton III. törvénye 5. Erők szuperpozíciójának elve 6. Különböző mozgások

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Folyadékok és gázok áramlása

Folyadékok és gázok áramlása Folyadékok és gázok áramlása Hőkerék készítése házilag Gázok és folyadékok áramlása A meleg fűtőtest vagy rezsó felett a levegő felmelegszik és kitágul, sűrűsége kisebb lesz, mint a környezetéé, ezért

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések

2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések . REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós

Részletesebben

Tárgy. Forgóasztal. Lézer. Kamera 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL

Tárgy. Forgóasztal. Lézer. Kamera 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL. Bevezetés A lézeres letapogatás a ma elérhet legpontosabb 3D-s rekonstrukciót teszi lehet vé. Alapelve roppant egyszer : egy lézeres csíkkal megvilágítjuk a tárgyat.

Részletesebben

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:

Részletesebben

Kérdések Fizika112. Mozgás leírása gyorsuló koordinátarendszerben, folyadékok mechanikája, hullámok, termodinamika, elektrosztatika

Kérdések Fizika112. Mozgás leírása gyorsuló koordinátarendszerben, folyadékok mechanikája, hullámok, termodinamika, elektrosztatika Kérdések Fizika112 Mozgás leírása gyorsuló koordinátarendszerben, folyadékok mechanikája, hullámok, termodinamika, elektrosztatika 1. Adjuk meg egy tömegpontra ható centrifugális erő nagyságát és irányát!

Részletesebben

4. Lokalizáció Magyar Attila

4. Lokalizáció Magyar Attila 4. Lokalizáció Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék magyar.attila@virt.uni-pannon.hu 2011. szeptember 23. 4. Lokalizáció 2 4. Tartalom

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

Takács Bence GPS: pontosság és megbízhatóság. Földmérők Világnapja és Európai Földmérők és Geoinformatikusok Napja Budapest, március 21.

Takács Bence GPS: pontosság és megbízhatóság. Földmérők Világnapja és Európai Földmérők és Geoinformatikusok Napja Budapest, március 21. Takács Bence GPS: pontosság és megbízhatóság Földmérők Világnapja és Európai Földmérők és Geoinformatikusok Napja Budapest, 2018. március 21. AIRBUS A320 LOW VISIBILITY ILS CAT III AUTOLAND APPROACH IN

Részletesebben

Mechanika, dinamika. p = m = F t vagy. m t

Mechanika, dinamika. p = m = F t vagy. m t Mechanika, dinamika Mozgás, alakváltozás és ennek háttere Newton: a mozgás természetes állapot. A témakör egyik kulcsfontosságú fizikai mennyisége az impulzus (p), vagy lendület, vagy mozgásmennyiség.

Részletesebben

1. ábra. 24B-19 feladat

1. ábra. 24B-19 feladat . gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,

Részletesebben

A SZÉL ENERGIÁJÁNAK HASZNOSÍTÁSA Háztartási Méretű Kiserőművek (HMKE)

A SZÉL ENERGIÁJÁNAK HASZNOSÍTÁSA Háztartási Méretű Kiserőművek (HMKE) A SZÉL ENERGIÁJÁNAK HASZNOSÍTÁSA Háztartási Méretű Kiserőművek (HMKE) A szél mechanikai energiáját szélgenerátorok segítségével tudjuk elektromos energiává alakítani. Természetesen a szél energiáját mechanikus

Részletesebben

VTOL UAV. Moduláris fedélzeti elektronika fejlesztése pilóta nélküli repülőgépek számára. Árvai László, Doktorandusz, ZMNE ÁRVAI LÁSZLÓ, ZMNE

VTOL UAV. Moduláris fedélzeti elektronika fejlesztése pilóta nélküli repülőgépek számára. Árvai László, Doktorandusz, ZMNE ÁRVAI LÁSZLÓ, ZMNE Moduláris fedélzeti elektronika fejlesztése pilóta nélküli repülőgépek számára Árvai László, Doktorandusz, ZMNE Tartalom Fejezet Témakör 1. Fedélzeti elektronika tulajdonságai 2. Modularitás 3. Funkcionális

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

17. Diffúzió vizsgálata

17. Diffúzió vizsgálata Modern Fizika Labor Fizika BSC A mérés dátuma: 2011.11.24. A beadás dátuma: 2011.12.04. A mérés száma és címe: 17. Diffúzió vizsgálata A mérést végezte: Németh Gergely Értékelés: Elméleti háttér Mi is

Részletesebben

19. A fényelektromos jelenségek vizsgálata

19. A fényelektromos jelenségek vizsgálata 19. A fényelektromos jelenségek vizsgálata PÁPICS PÉTER ISTVÁN csillagász, 3. évfolyam Mérőpár: Balázs Miklós 2006.04.19. Beadva: 2006.05.15. Értékelés: A MÉRÉS LEÍRÁSA Fontos megállapítás, hogy a fénysugárzásban

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. Feladatok a dinamika tárgyköréből

1. Feladatok a dinamika tárgyköréből 1. Feladatok a dinamika tárgyköréből Newton három törvénye 1.1. Feladat: Három azonos m tömegű gyöngyszemet fonálra fűzünk, egymástól kis távolságokban a fonálhoz rögzítünk, és az elhanyagolható tömegű

Részletesebben

9. évfolyam. Osztályozóvizsga tananyaga FIZIKA

9. évfolyam. Osztályozóvizsga tananyaga FIZIKA 9. évfolyam Osztályozóvizsga tananyaga A testek mozgása 1. Egyenes vonalú egyenletes mozgás 2. Változó mozgás: gyorsulás fogalma, szabadon eső test mozgása 3. Bolygók mozgása: Kepler törvények A Newtoni

Részletesebben

Alapfokú barlangjáró tanfolyam

Alapfokú barlangjáró tanfolyam Tájékozódási ismeretek, barlangtérképezés Ország János Szegedi Karszt- és Barlangkutató Egyesület Alapfokú barlangjáró tanfolyam Orfű Tájékozódás felszínen: Térképek segítségével GPS koordinátákkal

Részletesebben