Az optimális önrész a bonus-malus rendszerben

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Az optimális önrész a bonus-malus rendszerben"

Átírás

1 Az optimális önrész a bonus-malus rendszerben Diplomamunka Írta: Retteghy Orsolya Alkalmazott matematikus szak Témavezet : Arató Miklós, egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 009

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezet 1. Bonus-malus rendszer 3.1. Kármentességi díjengedmény Károkozás miatti pótdíj Új belép k Módszer A bonus-malus kiskapui Stratégia A lejt módszer Lépések A biztosító által kizetett károk számának valószín sége Kizetett károk számának várható értéke Várható kárnagyság Az alapdíj meghatározása Eredmények Az optimális eredmények Exponenciális kárnagyság esetén Az optimális eredmények Pareto kárnagyság esetén Új tényez k Új kárszám eloszlás Az id Összefoglalás 8 II

3 Ábrák jegyzéke 4.1. d1 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye d alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye d3 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye d4 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye Exponenciális és Pareto eloszlás feltételezése melletti összeghatárok A d 1 értékei különböz kárszámok függvényében, Exponenciális és Pareto eloszlás feltételzése mellett III

4 1. fejezet Bevezet Minden autó tulajdonosa találkozott már a kötelez gépjárm -felel sségbiztosítással. A KGFB-t ahogy a nevében is benne van kötelez minden gépkocsi üzembentartójának igénybe venni a törvény szerint. Egy baleset okozása nagyon megviseli az embereket, mégha csak egy kis koccanásról is van szó. De az els nagy megrázkodtatás után, érdemes elgondolkodnunk rajta, hogy mekkora kárt okoztunk. Természetesen kár mértékénél kizárólag vagyoni kárról beszélünk. El fordulhat ugyanis, hogy a kár összege nem haladja meg az éves díjunk felét se. Természetesen a biztosító a kár méretétül függetlenül büntet minket a kiszabott díjpótlékkal. Ebben az esetben felmerül egy olyan lehet ség, hogy mi zessük ki az okozott kárt a biztosító helyett. Cserébe a bíztosító nem terhel ránk magasabb díjat, hanem továbbra is kármentesnek tekint minket. Csakhogy megtörténhet, hogy az év további szakaszában szerencsétlenségünkre újabb kárt okozunk. Ekkor a biztosító mégiscsak sújt minket díjpótlékkal, Ugyan nem akkorával, mintha kárt okoztunk volna, de talán jobban jártunk volna, ha az els kárt mégsem mi zetjük ki. Persze el fordulhat az is, hogy mindkét kárunk olyan csekély, hogy a legjobb ha mindet kizetjük. Másrészt viszont a gyakori károkozók esetében el fordulhat, hogy a következ évben a legalacsonyabb bónusz-osztályban kezdhetjük az évet, ami azt jelenti, hogy magasabb díjat már nem szabhat ki ránk a bíztosító. Ilyenkor nyilvánvalósan, egy 0 Ft érték kárt se érdemes kizetnünk. Ezzel szemben, egy "jó vezet " esetében talán mindegyiket ki kéne zetnünk. Az lenne a cél, hogy megel legezzünk egy olyan stratégiát, amelyel vélhet en a legjobban járunk. Azt szeretnénk kideríteni, hogy egy adott bónusz-osztályba egy adott kárszám után, mekkora az az összeg kár maximuma, amit még nekünk kellene kizetnünk, ahhoz, 1

5 hogy várhatóan a legtöbb pénzt spóroljuk meg hosszútávon. Ehhez rengeteg számolásra lesz majd szükség. Egyrészt meg kell állapítani, hogy milyen valószín ségekkel mozgunk majd ezzel a stratégiával a bonus-malus rendszerben, ami a biztosítási díj meghatározására szolgál. Másrészt meg kell tudnunk jósolni, hogy várhatóan mennyit költünk majd a károk kizetésére. Ehhez szükségünk lesz a kárszám illetve a kárnagyság eloszlására [1]. Ebb l a összetev b l próbáljuk meg kitalálni az optimális stratégiát. Els lépésben megismerkedünk a magyar bonus-malus rendszer szabályaival és lehet ségeivel [1], []. Bemutatjuk a károk száma és a bonus-fokozatok közti kapcsolatot. Azután, felírjuk a stratégiát általánosan, ismeretlen összegekkel. Végül kiszámítva a várható költséget a változók segítségével, megpróbáljuk az optimalizálni [3], hogy végül megkapjuk a kívánt értékeket. Sajnos el fordulhat, hogy a stratégiánk nem válik be, közbe szól a balsors, és minden óvatosságunk ellenére a vártnál több vagy nagyobb balesetet okozunk, amivel tönkretehetjük a szépen felépített pénzmegatakarítási szándékunkat. Mindenkinek kellemes és balesetmentes vezetést kívánok!

6 . fejezet Bonus-malus rendszer Minden magyarországi telephely gépjárm üzemben tartója köteles az e rendeletben és mellékleteiben foglalt feltételek szerinti felel sségbiztosítási szerz dést kötni, és azt folyamatos díjzetéssel hatályban tartani. Gépjárm a Magyar Köztársaság területén kizárólag e feltételek fennállása esetén üzemeltethet.190/004. VI. 8. Korm. rendelet.ÿ 1.bek. Az üzemben tartó jogosult arra, hogy a biztosítónak a teljes kárkizetés összegér l szóló írásbeli értesítését követ hat héten belül a teljes kárösszeget a biztosítónak megzesse, és így a bonus-malus osztályba sorolását ne rontsa.190/004. VI. 8. Korm. rendelet III.szám melléklet 9. Európában általánosan elterjedt, hogy a gépjárm -üzembentartókat un. bonusmalus osztályba kell sorolni.1, és az abban elért fokozatuk alapján kerül sor a biztosítási díj megállapítására. A bonus-malus fokozatba történ besorolást a biztosítók nyilvántartják, így ha valaki másik biztosítót választ, bónusz fokozatát viszi magával az új biztosítóhoz. Magyarországon 008. január 1-t l a meggyelési id szakok a naptári évhez igazodnak. Tehát 009-ben a meggyelési id szak: Továbbiakban a magyar bonus-malus rendszerrel foglalkozunk..1. Kármentességi díjengedmény Ha a gépjárm vel kapcsolatban a meggyelési id szakban kárkizetés nem történt, vagy a károsulttaknak kizetett teljes kártérítési összeget a károkozó gépjárm üzembentartója biztosított az err l szóló értesítést követ hatvan napon belül saját elhatározásából visszazette a biztosító társaságnak, akkor az üzembentartó kármentességi díjengedményre jogosult, amely az jelenti, hogy besorolási fokozata 1 fokozattal javul a meggyelési id szakot követ év január 1-jével. Kivételt képeznek azok, akik már elérték a legmagasabb, a B10-es fokozatot. Ebben az esetben nincs több díjengedmény. 3

7 fokozat díjszorzó M4 M M 1.35 M A0 1 B B 0.9 B B4 0.8 B B6 0.7 B B8 0.6 B B táblázat. Bonus-malus fokozatok.. Károkozás miatti pótdíj Ha a meggyelési id szakban a gépjárm vel bármikor okozott kárral kapcsolatban els kárkizetés történt, a meggyelési id szakot követ naptári évben az üzembentartó az els kárkizetések számától függ en pótdíjat köteles zetni, egy gyelembe vett kár esetén két fokozatot, két gyelembe vett kár esetén négy fokozatot, három gyelembe vett kár esetén hat fokozatot romlik a szerz d bonus-malus besorolása a tárgyévihez képest. Ha a szerz d négy gyelembe vett kárt okozott, akkor az M4-es bonus-malus osztályba kerül..3. Új belép k A bonus-malus rendszer az üzembentartó személyéhez köt dik, és nem a gépjárm hez. Ennek megfelel en a gépjárm eladása, cseréje stb. esetén amelyek a kötelez felel sségbiztosítási szerz dés megsz nését eredményezik, az új üzembentartóra "nem száll át" a korábbi kötelez gépjárm -felel sségbiztosítási szerz dés alapján elért bonus-malus fokozat. Új belép nek min sül az, aki két éven belül nem volt azonos gépjárm kategóriába tartozó kötelez gépjárm -felel sségbiztosítás szerz d je. Új belép esetén a szerz dés 4

8 bonus-malus besorolása csak A0 lehet. Jelöljük Z n -nel egy biztosítás n-edik évi díjfokozatát. Feltesszük, hogy P Zn i Z0, Z1,, Zn 1 P Zn i Zn 1, tehát Zn Markov-lánc. A magyar rendszer esetén bármely i I állapotból bármely j I állapotba pozitív valószín séggel eljuthatunk, és lnko{n : P Zn i Z0 i} 1. Ebben az esetben Z n egy irreducibilis, aperiodikus, véges állapotter Markovlánc. Feltesszük, hogy a kárszám eloszlása λ paraméter Poisson-eloszlás. p i : i darab kár okozásának valószín sége λi i! e λ Az átmenetvalószín ségek mátrixát a.-es táblázatban mutatjuk be. M4 M3 M M1 A0 B1 B B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 M4 1 p 0 p M3 1 p 0 0 p M 1 p p M1 1 p 0 p 1 p p A0 1 p 0 p 1 0 p p B1 1 p 0 p 1 p p 0 p p B 1 p 0 p 1 p 0 p 0 p p B3 1 p 0 p 1 p p 3 p 3 0 p 0 p p B4 1 p 0 p 1 p p 3 0 p 3 0 p 0 p p B5 1 p 0 p 1 p p p 3 0 p 0 p p B6 1 p 0 p 1 p p p 3 0 p 0 p p B7 1 p 0 p 1 p p p 3 0 p 0 p p B8 1 p 0 p 1 p p p 3 0 p 0 p p 0 0 B9 1 p 0 p 1 p p p 3 0 p 0 p p 0 B10 1 p 0 p 1 p p p 3 0 p 0 p 1 0 p 0.. táblázat. Átmenetvalószín ségmátrix 5

9 3. fejezet Módszer 3.1. A bonus-malus kiskapui Mivel a cél az, hogy a költségeket minimálisra csökkentsük, igénybe vehetjük a nem tökéletes rendszer által adta lehet ségeket. Ha málusz osztályba jutnánk, akkor van mód arra, hogy helyette A0 fokozatba kerüljünk. Például: Új belép knek álcázhatjuk magunkat, átíratjuk az autót másra. Ezért a 15 bónusz-málusz fokozat helyett a továbbiakban csak 11-gyel számolunk 3.1. fokozat díjszorzó A0 1 B B 0.9 B B4 0.8 B B6 0.7 B B8 0.6 B B táblázat. Bonus fokozatok 6

10 3.. Stratégia Amint azt a bevezet ben említettük, a célunk az, hogy a költségeket minimalizáljuk. Tegyük fel, hogy egy X nagyságú kárt okozunk. Ha X < b ij akkor kizetjük a kárt, ha nagyobb, akkor a biztosítóra hagyjuk, és vállaljuk a bonus fokozatunk csökkenését. A cél az, hogy meghatározzuk, azokat az összeghatárokat, ami alatt magunkra vállaljuk a károk kizetését. i: aktuális bonus fokozatunk, j: az eddig okozott károk száma az adott biztosítási id szakban. A b ij -ket úgy kellene meghatározni, hogy a kárkizetések és KGFB díjak összege minimális legyen. Új belép ként 11 évre el re tervezünk. A belépésünk éve a 0. év, és további 10 évet vizsgálunk, mert ez alatt az id alatt, minden fokozatot lehet ségünk van megjárni. λ: az átlagos éves kárszám. Ezzel az új módszerrel az átmenetvalószín ségek módosulnak, mert akkor is feljebb lépünk, ha az összes kárt amit okozunk kizetjük. Tehát akkor lesz 0 db kárunk, ha vagy nem okozunk kárt, vagy az összes kár amit okozunk olyan kicsi, hogy érdemes inkább nekünk kizetni. Az összes többi kárszám valószín sége is módosul, mert azoknál is el fordulhatnak olyan károk, amelyeket nem a biztosítóval zettetünk ki. Ha kiszámoljuk ezeknek a valószín ségét, akkor kicserélve a régi értékeket az átmenetvalószín ség mátrixban követni tudjuk bonus fokozatunk változását a 10 év alatt. Az új kárszámeloszlások a továbbiakban a bonus fokozattól is függnek, mivel minden osztályban más-más lehet az optimális összeg ami alatt a kárt kizetjük. Továbbá meg kell határoznunk, hogy várhatóan hány kárt fogunk kizetni bizonyos összeghatárok alatt, mert ezentúl a díjakon kívül ezek is a mi költségeinket terhelik. Ezek az összeghatárok egy bonus osztályon belül is változhatnak, attól függ en, hogy hány kárt okoztunk, amit nem zettünk ki. Végül meg kell határoznunk, hogy az összeghatár alatti károk amit mi térítünk meg, várhatóan mekkorák. Két különböz káreloszlást is összehasonlítunk: Exponenciális és Pareto A lejt módszer A számolások elvégzése után egy 44 ismeretlenb l álló egyenletrendszerhez jutunk, ahol a változók a különböz összeghatárokhoz tartozó valószín ségek. Azaz, azok a d i,j értékek amik megegyeznek a py < d i,j valószín ségekkel, ahol y a kárnagyság 7

11 valószín ségi változója, az i és a j paraméterek pedig azt jelölik, hogy az i-edik bonus fokozatban járunk, j1 db kárszámmal. Ennek a 44 ismeretlenes egyenletrendszernek a kiszámításához egy numerikus eszközhöz fogunk folyamodni, amellyel, reményeink szerint, jól meg tudjuk közelíteni az optimális értékeket [3]. A szakdolgozatnak nem témája a lejt módszer részletes ismertetése, és célravezet ségének bizonyítása, ezért csak nagy vonalakban mutatjuk be, mir l is van tulajdonképpen szó. Adott gx : D R folytonos függvény, ahol D korlátos és zárt halmaz R n -ben. Keresend lokális vagy totális x minimumhely, vagyis olyan x D amelyre teljesül az x valamely környezetében. gx gx Deníció. Egy p 0 vektort a gx függvény lejt jének nevezzünk valamely x helyen, ha megadható olyan δ > 0, hogy minden 0 < h < δ-ra gx hp < gx, vagyis gx lokálisan csökken a p irányában. Tétel. Tegyük fel, hogy gx parciálisan deriválható az x helyen. Ekkor, ha grad gx T p < 0 akkor p lejt x-ben. A minimum keresésére az alábbi iterációt értelmezzük, amely az optimális lejt módszerek általános alakja: adott x 0 D kezd közelítés esetén legyen x m1 : x m α m grad gx m m 0, 1, ahol λ α m -et abból a feltételb l határozzuk meg, hogy gx m1 min λ>0 gx m λ grad gx m Az utóbbi ún. vonalmenti minimum biztosan létezik és gx m1 < gx m m 0, 1, Esetünkben x m a valószín ségek 11 4-es mátrixa. A g függvény pedig a költségünk függvénye lesz. Tehát ezzel az eljárással fogunk közelíteni a függvény minimumához. 8

12 4. fejezet Lépések 4.1. A biztosító által kizetett károk számának valószín sége 0 kár valószín sége. 0 kárunk úgy lehet, hogy egyáltalán nem okoztunk kárt, vagy az összes kár amit okoztunk d i1 alatt volt. Egyel re nem teszünk különbséget az osztályok között: d ij helyett d j -t használunk, ahol j 1 az eddig okozott, biztosító által megtérített károk száma. η: az eredeti kárszám, feltételezésünk szerint Poisson eloszlású valószín ség változó. ξ: az új kárszám valószín ségi változója. pξ 0 pξ 0 η k pη k k0 Ebb l Tehát k0 pη k λk k! eλ pξ 0 η k py < d 1 k pξ 0 k0 py < d 1 k λk k! eλ py < d 1 λ k e py< d 1 λ e 1py< d 1 λ k! e 1py< d 1 λ pξ 0 e 1d 1λ 9

13 Bevezetünk egy új jelölést: d j py < d j 1 kár valószín sége. 1 kárunk úgy lehet, hogy van d 1 feletti kár, utána már csak d alatti károkat okozunk. pξ 1 pξ 1 η k pη k k1 k1 k1 Összegezzük a mértani sort k1 k l1 k l1 d1 d l1 1 1 d 1 d kl λk k! eλ d d 1 d k 1 d 1 d 1 1 d 1 λd 1 k d 1 d k! k1 l1 1 d 1 d k1 λk k! eλ 1 d 1 d k1 λk k! eλ λd k e λ k! k1 Tehát 1 d 1 d 1 d 1 e λd 1 e λ1d 1 1 e λd e λ1d pξ 1 pξ 1 η k pη k k1 1 d 1 d 1 d e λ1d 1 e λ1d kár valószín sége. kárunk úgy lehet, hogy van d 1 feletti kár, utána van d feletti kár, utána már csak d 3 alatti károkat okozunk. k1 k k1 k l1 l1 pξ pξ η k pη k k d l1 1 1 d 1 d l1 1 1 d 1 Összegezzük az utolsó -mát! k ml1 d k ml1 d 3 d m1l 1 d d km 3 λk k! eλ 10 m1l 1 d d kl1 3 λk k! eλ

14 k1 k l1 k1 k l1 d 1 d l1 k1 k l1 d l1 1 1 d 1 d l1 1 d 1 1 d d d 3 Összegezzük a mértani sorokat! k 1 d 1 1 d d d 3 1 d 1 1 d d d 3 Tehát d kl d d d kl 3 λk d d 3 k! eλ 1 1 d 1 dkl d kl 3 d d 3 1 d 1 1 d λ k d d 3 k! eλ d k1 λk k! eλ 1 d λk k! eλ k1 k1 d k1 1 d k1 d 1 d l1 l1 d 1 d 3 1 d 1 1 d d d 3 d dk1 1 d k1 3 d 3 d 1 d 3 d k1 3 λk k! eλ 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 d d 1 e λ1d 1 1 e λd λd e λd e λ1d d 1 d 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 d3 d 1 e λ1d 1 1 e λd 3 λd 3 e λd 3 e λ1d 3 d 1 d 3 1 d 1 1 d e λ1d1 e λ d d 1 e λ1d e λ d d 3 d 1 d e λ1d 1 e λ d3 d 1 e λ1d 3 e λ d 1 d d 1 1 d e λ1d1 e λ d e λ1d e λ d 1 d 1 d d 3 d 1 d eλ1d 1 e λ d 3 e λ1d 3 e λ d 1 d 1 d d 1 1 d e λ1d1 d e λ1d d 1 d 1 d d 3 d 1 d eλ1d 1 d 3 e λ1d 3 d 1 d 1 d 3 pξ pξ η k pη k k e λ1d 1 1 d 1 1 d d 1 d d 1 d 3 e λ1d e λ1d 3 d d 1 d d 3 d 3 d d 3 d 1 11

15 3 kár valószín sége. 3 kárunk úgy lehet, hogy van d 1 feletti kár, utána van d feletti kár, utána van d 3 feletti kár, utána már csak d 4 alatti károkat okozunk. k d l1 1 1 d 1 k3 l1 pξ 3 k1 ml1 Összegezzük az utolsó -mát! k d l1 1 1 d 1 k3 l1 k k3 l1 Újabb összegzés k3 l1 d l1 1 1d 1 k d l1 1 1d 1 k3 k1 ml1 d k 1 d k d 1 d pξ 3 η k pη k k3 d m1l 1 d k1 ml1 d d 3 d m1l k nm1 1 d dkm 3 d km 4 d 3 d 4 m1l d k1l d k1l 3 d d 3 d d 3 dk 3 d 1 d 3 d 3 d d 3 1 d k d kl1 3 d m1l d4 kl1 d 4 d 3 dk1l d k1l 4 d 4 d d 4 d k 1 d k d 1 d d nm1 3 1 d 3 d kn 4 λk k! eλ 1 d 3 λk k! eλ 1 d 1 d 3 λk d 3 d 4 k! eλ 1 d 1 d 3 λk d 3 d 4 k! eλ d d 4 dk 1 d k 4 d 1 d 4 d 4 d d 4 Ebb l 1 d 1 1 d 1 d 3 d 3 d 4 λk k! eλ 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 3 d d 1 d 1 d d d 3 1 eλd λd e λd λd e λd e λ1d d 3 d d 1 d d d 3 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 3 d 1 d 1 d 3 d d 3 λd 3 1 eλd 3 λd 3 e λd 3 e λd 3 e λ1d 3 d 1 d 3 d d 3 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 4 d d 1 d 1 d d d 4 1 eλd λd e λd λd e λd e λ1d d 4 d d 1 d d d 4 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 4 d 1 d 1 d 4 d d 4 1 eλd 4 λd 4 e λd 4 λd4 e λd 4 e λ1d 4 d 1 d 4 d d 4 1

16 1 d 1 1 d 1 d 3 d 3 d 4 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d d 3 d 1 d 1 d d d 3 1 e λd λd e λd e λ1d d 3 d 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 3 1 e λd 3 λd d 3 e λd 3 e λ1d 3 1 d 1 d 3 d d 3 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d d 4 1 e λd λd d e λd e λ1d d 4 d 1 d 1 d d d 4 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 4 1 e λd 4 λd d 4 e λd 4 e λ1d 4 1 d 1 d 4 d d 4 1 d 1 1 d 1 d 3 d 3 d 4 e λ1d 1 e λ λd 1 e λ d d 3 d 1 e λ1d e λ λd e λ d3 d d 1 d d d 3 e λ1d1 e λ λd 1 e λ d 3 e λ1d3 e λ λd d 3 e λ 1 d 1 d 3 d d 3 e λ1d1 e λ λd 1 e λ d d 4 e λ1d e λ λd d e λ d4 d 1 d 1 d d d 4 e λ1d1 e λ λd 1 e λ d 4 e λ1d4 e λ λd d 4 e λ 1 d 1 d 4 d d 4 1 d 1 1 d 1 d 3 d 3 d 4 Az e λ1d 1 együtthatói összegezve: d d 3 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 1 1 d d 3d 4 d 1 d d 3d 4 d 1 d d 3d 4 d d 3 d 3d 4 d 1 1 d d 3d 4 d 1 1 d 3d 4 d 1 1 d d 3 d 1 1 d d 3d 4 d 1 d d 3d 4 d 1 d d 3d 4 d d 4 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3d 4 d 1 1 d d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 d d 3 d 4 d 1 d d 3d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 1 d 3d 4 d 1 1 d d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 d d 3 d 4 d 1 d d 3d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d d 4 d d 3 d 3d 4 d 3 d 4 1 e λ1d 1 d d 3 d d 3 d 4 d d 3 d 3d 4 d d 4 d d 3 d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d d 4 d d 3 d 3d 4 d 3 d 4 1 e λ1d 1 13

17 A többi tag kiesik Az e λ1d együtthatói összegezve: d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 1 e λ1d 1 d 1d 3 d 1d 1 d 3d 4 d 1 d 3 d 4 d 1 d 1 d 3d 4 d 1 d 3 d 1 d 1 d 3d 4 d 3d 4 d 1 d 3d 4 d 1d 4 d 1d 1 d 3d 4 d 1 d 3 d 4 d 1 d 1 d 3d 4 d 1 d 4 d 1 d 1 d 3d 4 d 3 d 4 d 1 d 3d 4 d 1 d d d 3 d d 4 d 1d 3 d 1d 4 d 1 d 4 d 1 d 3 d 3d 4 d 3 d 4 1 e λ1d d 1d 3 d 1 d 3 d 3d 4 d 1d 4 d 1 d 4 d 3 d 4 d 1 d d d 3 d d 4 d 1d 3 d 1d 4 d 1 d 4 d 1 d 3 d 3d 4 d 3 d 4 1 e λ1d A többi tag kiesik Tehát d d 1 d d 3 d d 4 1 e λ1d pξ 3 pξ 3 η k pη k k3 e λ1d 1 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 e λ1d d d 1 d d 3 d d 4 1 d 1 1 d 1 d 3 e λ1d 3 d 3 d d 3 d 1 d 3 d 4 e λ1d4 d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 1 d 1 1 d 1 d 3 Legalább 4 kár valószín sége. Legalább 4 kárunk úgy lehet, hogy van d 1 feletti kár, utána van d feletti kár, utána van d 3 feletti kár, és utána van egy d 4 feletti kár, és utána már mindegy milyen károkat okozunk, mert úgyis M4-be kerülünk. A korábbi egyenletek szabályszer ségéb l következtethetünk a következ re: k3 k4 l1 Tehát d l1 1 1d 1 pξ 4 k ml1 pξ 4 η k pη k k4 d m1l 1d k1 nm1 e λ1d 1 d 1 1d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 e λ1d d 1d d 1 d d 3 d d 4 e λ1d 3 d 3 1d 3 d d 3 d 1 d 3 d 4 e λ1d 4 d 4 1d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 d nm1 3 1d 3 k on1 d on1 4 1d 4 λk k! eλ 1 d 1 1 d 1 d 3 1 d 4 1d 1 1d 1d 3 1d 4 1 A biztosító által kizett károk számának valószín ségei könnyen ellen rizhet k, mert az összegük 1. 14

18 Az új átmenetvalószín ségmátrixot bonyolultsága miatt külön-külön mutatjuk be.. q 10,10 e 1d 10,1λ q i,i1 e 1d i,1λ i q i,i 1d 1 d 1 d e λ1d1 e λ1d i e q i,i4 1d i,1 1d i, λ1d i,1 d i,1 d i, d i,1 d i,3 e λ1d i, d i, d i,1 d i, d i,3 e λ1d i,3 d i,3 d i, d i,3 d i,1 i q i,i6 e λ1d i,1 d i,1 d i, d i,1 d i,3 d i,1 d i,4 e λ1d i, d i, d i,1 d i, d i,3 d i, d i,4 e λ1d i,3 d i,3 d i, d i,3 d i,1 d i,3 d i,4 e λ1d i,4 d i,4 d i, d i,4 d i,3 d i,4 d i,1 i q i, j q i,j A többi elem 0. 1 d i,1 1 d i, 1 d i,3 1 d i,1 1 d i, 1 d i,3 Ha a mátrixot n-edik hatványra emeljük, és vesszük az els sorát, akkor megkapjuk, hogy A0-ból indulva n év után az egyes osztályokban milyen valószín séggel fordulhatunk meg. Ezt szorozva a díjszorzók vektorával megkapjuk, hogy várhatóan mennyi díjat fogunk zetni a 10 év alatt. A díjak költségéhez még hozzá kell számolni azokat a károkat, amelyeket ki fogunk zetni. Ehhez szükségünk lesz a várható kárszámra és a várható kárnagyságra. 4.. Kizetett károk számának várható értéke A továbbiakban el sz r meghatározzuk az általunk kizetett károk számának várható értékét. A számolások helyességét szimulációval ellen rizzük, amit mintán futtatunk le.. d 1 alatti károk számának várható értéke. Legyen ψ i a d i alatti károk számának valószín ségi változója. k k1 l1 E d1 d l 1 λk k! eλ pψ 1 l l1 k1 l1 kl A szimulációs ellen rzést a 4.1-es ábrán mutatjuk be. d l 1 λk k! eλ d k1 1 d 1 λk d 1 1 k! eλ d 1 d 1 1 eλ1d 1 d 1 d

19 átlagos kárszám számolt szimuláció ábra. d 1 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye d alatti károk számának várható értéke. E d pψ l l1 Mértani sor összegzés l1 kl1 l1 kl1 m0 l1 kl1 kl1 d m 1 1 d 1 d l λk k! eλ 1 d kl 1 d l λk k! eλ d kl 1 d l λk k! eλ 16 kl1 d l λk k! eλ

20 átlagos kárszám számolt szimuláció ábra. d alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye Újabb összegzés Ebb l k1 d l λd 1 k k! k l1 k d 1 d e λ1d 1 d 1 d d 1 d e λ d l λk k! eλ d k d 1 d k 1 d dk d λk d 1 d d 1 k! eλ d 1e λ1d d e λ1d 1 eλ1d d d 1 d d 1 e λ1d A szimulációs ellen rzést a 4.-es ábrán mutatjuk be. d 1 d 1 1 d d 1 d 17

21 d 3 alatti károk számának várható értéke. k3 l1 kl kl l1 kl m0 1 d kl1 1 d 1 d 1 d d 1 d d k1 3 d 3 d 3 1 e λ1d 1 k k3 l1 d3 d 1 1 d d 1 d 1 d E d3 pψ 3 l l1 d m1 1 d m1 1 d 1 1 d d l 3 λk d 1 d k! eλ d 1 1 d 1 dkl1 d 1 d 1 d 1 d d 1 d 1 d d d 1 d d l 3 λk d 1 d l λd 1 k k! e λ 1 d 1 d 1 d d3 d l 3 λk k! eλ k! eλ l λd k e λ k! d dk1 3 d 1 d k1 1 d 3 d 3 d 1 1 d 1d d 1 d dk1 3 d d k1 d 3 d 3 d λk k! eλ d k 3 d 3 d k3 3 d 1 d d 1 dk 3 d 1 dk 1 d 3 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d 1 d 1d dk 3 d dk d 3 3 d 1 d d 3 d d d 3 d 3 e λ1d d d 1 1 d 3 d 3 d 3 d 1 d d 3 d 3 d 1 1 d 1 d d 1 d d 3 d 3 d 1 d d 3 e λ1d 1 d 1 d 3 1 d e λ 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d d 3 d d 3 d 3 λk k! eλ e λ 1 d d 1 d 1 d d 3 d 3 d 1 1 d 1 d d 1 d d 3 d 3 d 1 d d 3 d 1 d d 3 d 1 1 d 1 d 3 d 1 d d 3 d λ e λ 1 1 d 1d 1 d d 1 d 1 d d 3 e λ1d d 3 d 3 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 1 d d 3 d 1 3 d 1 d d 3 d 3 d 1 d 3 d e λ1d 1 d 1 d 3 e λ1d 1 d 1 d 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d d 3 d 1 d e λ 3 d 3 d 1 d d 1 d 3 1 d 1d d 3 3 d 1 d d 3 d 1 d d 3 d 3 e λ1d d 3 d 3 d d 1 d 3 d 1 d d 1 d d 3 d 1 d d d 3 d d 1 d d 1d 3 d 1 d 3 d 1 d d 3 d 3 d 1 d 3 d e λ1d 1 1 d d 3 e λ1d 1 d 1 d 3 1 d e λ 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d d 3 d d 3 d 1 d 3 3 d 3 d 3 d 1 d d 3 d 1 d 3 d d 1 d d 3 d 1d d 3 d 1 d d 3 d 1 d d 3 d 1 d d 1 d d 3 e λ1d 3 d 3 1d 3 d 3 d 1 d 3 d d 3 e λ1d 1 1 d d 3 e λ1d 1 d 1 d 3 e λ 1 d 3 d d 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d d 3 d d 3 d 3 e λ1d d d 1 1 d 1 d 3 d 1 d 3 d d 3 d 3 e λ1d 1 1 d 3 1 d d 3 d 1 d d 1 d 3 A szimulációs ellen rzést a 4.3-es ábrán mutatjuk be. 18 e λ1d 1 d 1 d 3 d 1 d d d 3

22 átlagos kárszám számolt szimuláció ábra. d 3 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye d 4 alatti károk számának várható értéke. kl3 l1 kl3 m0 E d4 pψ 4 l l1 d m 1 d 1 d d 1 d 3 d m d d 1 d d 3 d m 3 d 3 d 1 d 3 d l1 kl3 1 d 1 1 d 1 d 3 d l 4 λk k! eλ d 1 dkl 1 1 d 1 d 3 d 1 d d 1 d 3 d dkl 1 d 1 1 d 3 d d 1 d d 3 d 3 dkl 3 1 d 1 1 d d 3 d 1 d 3 d d l 4 λk k! eλ 19

23 k3 k4 l1 1 d 11 d 3 d 1 d d d 3 k4 d l 4 λk k! eλ 1 d 1 d 3 d 1 d d 1 d 3 d4 d l λd k k! d4 d 1 e λ 1 d 11 d d 1 d 3 d d 3 d k 4 d 4 λk d 4 1 k! eλ d 1 1 d 1 d 3 l λd 1 k e λ k! d4 d 3 d 1 d d 1 d 3 dk 4 d 1 d k 1 d 4 d 4 d 1 l λd 3 k e λ k! λk k! eλ d 1 d 11 d 3 dk 4 d d k d 4 λk d 1 d d d 3 d 4 d k! eλ d 3 1 d 11 d dk 4 d 3 d k 3 d 4 λk d 1 d 3 d d 3 d 4 d 3 k! eλ λ d 1 1 d 1 d 3 d d 3 d eλ 1 d 11 d 3 d 1 d 3 d 3 1 d 11 d d 1 d d 1 d d 1 d 3 d d 3 λ eλ λ e λ d 4 1 d 1d 4 d 1 1 d 1 d 3 d d 3 d 4 d 4 d 1 d d 1 d 3 d d 3 d d 4 d 1 d 1 1 d 3 d 1 d 3 d 3 d 4 d 3 1 d 1 1 d d 1 d d 4 d 1 d d 1 d 3 d d 3 e λ d 4 d 4 1 d 4 d 4 d 4d 1 d 1 1 d 1 d 3 d d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d d 3 d 4 d 4d d 1 d 11 d 3 d 1 d 3 d 4 d 4d 3 d 3 1 d 11 d d 1 d d 4 d 1 d d 1 d 3 d d 3 e λ1d 1 1 d 1 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 eλ1d 1 d 1 1 d 3 d 4 d 1 d d d 3 d d 4 e λ1d 3 1 d 1 1 d d 4 d 1 d 3 d d 3 d 3 d 4 d 4 1 d 4 e λ1d d d d 1 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d 4 d 3 1 d 11 d 3 d 3 3 d 1 d d d 3 d d 4 d 1 d 11 d 4 d 1 d 3 d d 3 d 3 d 4 d 4 1 d 3 1 d d 1 d 3 d d 3 d d 4 d 3 d 4 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d 3 d 4 d 4 d 3 1 d 11 d 3 d 1 d 3 d 1 d 4 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d 3 d 4 d 4 d d 11 d d 1 d d 1 d 4 d d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d 3 d 4 d 4 e λ1d 4 d 4 1 d 1 1 d 1 d 3 e λ1d 1 1 d 1 d 3 d 4 E d4 1 d 4 d 1 d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 e λ1d e λ1d 3 1 d 1 1 d 3 d 4 d 1 d d d 3 d d 4 A szimulációs ellen rzést a 4.4-es ábrán mutatjuk be. 1 d 1 1 d d 4 d 1 d 3 d d 3 d 3 d 4 d 4 1 d 4 0

24 átlagos kárszám számolt szimuláció ábra. d 4 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye 4.3. Várható kárnagyság Az általunk kizett károk nagyságának várható értékére is szükségünk lesz. A várható kárnagyság meghatározásánál gyelembe kell vennünk, hogy csak egy bizonyos összeg alatt mozoghat. EX X < d i EX EX X < d i P X < d i EX X > d i P X > d i EX X < d i EX EX X > d i P X > d i P X < d i 1

25 Exponenciális káreloszlás. Az örökifjú tulajdonság miatt: EX X > d i 1 µ d i d i P X < d i 1 e µ d i ebb l: d i ln1d i µ EX X < d i Pareto káreloszlás. d i EX β α1 és d i feletti rész valószín sége: 1 µ 1 µ d i 1 d i d i P X < d i 1 P X < x X > d i az új eloszlás α, β d i paraméter Pareto. β 1 µ 1ln1d i µ 1 d i d i β β d i α ebb l: di α β d i α β β d i α β βx d i β 1d i α β és EX X > d i β d i α1 d i βα d i α1 EX X < d i βα β α1 β 1d i α β α1 1 d i d i β 1 α1 1 α1d i α α1 1 d i d i 4.4. Az alapdíj meghatározása A kezdeti díj összegét, azaz az alapdíjat a várható károk összegéb l fogjuk meghatározni. Amikor a biztosító meghatározza a díjakat, valószínüleg nem feltételezi, hogy az átlag ember eéle stratégiákhoz folyamodna, ezért csak az eredeti kárszám, illetve kárnagyság játszik szerepet az összeg meghatározásában. S t még a 15 bonus fokozatú rendszert fogjuk használni a számoláshoz. Tehát abból indulunk ki, hogy az egy f re jutó átlagos díjnak fedeznie kell az egy f re jutó átlagos kár összegét. Az átlagos kárösszeget pedig úgy kapjuk, hogy az átlagos kárszámot szorozzuk az átlagos kárnagysággal. Már csak az hiányzik, hogy megtudjuk, vajon hányszorosa az átlagos díj az alapdíjnak. A stacionárius eloszlás közelíti legjobban, hogy az emberek hány százaléka tartózkodik az egyes osztályokban. A stacionárius eloszlást az átmenetvalószín ség mátrix λ 1 sajátértékéhez tartozó baloldali sajátvektora adja. ππ λi 0 egyenletb l könnyen számolható pl. a MAPLE-lel, ahol Π-vel az átmenetvalószín ség mátrixot, I-vel az egységmátrixot, λ-val az 1 érték sajátértéket, π-vel meg a keresett sajátvektort jelöltük. A kapott vektort skalárisan szorozva a díjszorzók vektorával megkapjuk a kívánt összeget.

26 5. fejezet Eredmények A számoláshoz szükség van bizonyos adatokra. A KSH Központi Statisztikai Hivatal adatai alapján adjuk meg a kezdeti értékeket. Az átlagos kárszám: λ 0, 14. Az átlagos kárnagyság m Ft. Feltételezzük, hogy a biztosító a díj 5%-át egyéb költségekre fordítja, 75%-át meg a károk kizetésére. λ 0, 14-gyel számolva az átlagos díj az alapdíj 54%-a lesz. Ebb l megkapható az alapdíj, ami Ft. Az átmenetvalószín ség mátrix n-edik hatványának els sora adja, hogy az n. évben milyen valószín séggel melyik osztályban leszünk. Ezt a sort skalárisan szorozva a díjszorzók vektorával, és a kapott eredményt az alapdíj összegével, megkapjuk, hogy az n. évben várhatóan mennyi díjat fogunk zetni. Ezt n 1... n-re összeadva kapjuk a 11 év alatt ezetend díj várható értékét. Ehhez jön még a 11 év alatt zetend károk összege. Ha nem használunk semmilyen stratégiát, akkor Ft-ot zethetünk a biztosítónak 11 év alatt. Az Exponenciális káreloszlást feltételez eloszlással, ez az összeg Ft-ra csökkent, Pareto eloszlást feltételezve pedig Ft. Látható, hogy mindkét eloszlásnál a stratégia eredményre vezet. A pareto eloszlásnál az eredményessége nem jelent s. Hosszabb id szak vizsgálatánál esetleg komolyabb összegre is számíthatunk Az optimális eredmények Exponenciális kárnagyság esetén Az Exponenciális eloszlás paraméterét a várható értékb l határozzuk meg. Ex µ 3 µ

27 Az 5.1-es mátrixban a 0-kat önkényesen beírtuk. Hiszen ha a kárszám alapján már úgyis a legkisebb osztályban kerültünk, akkor attól kezdve okozott károkat biztosan nem érdemes kizetnünk. bonus fokozat 1.kár.kár 3.kár 4.kár A B B B B B B B B B B táblázat. Az Exponenciális eloszlás eredményei 5.. Az optimális eredmények Pareto kárnagyság esetén Pareto eloszlásnál meg kell adni a paramétereket. A várható értékb l Ft kapunk összefüggést közöttük. α-t 4-nek választva: Ex β α 1 β Ex α

28 bonus fokozat 1.kár.kár 3.kár 4.kár A B B B B B B B B B B táblázat. A Pareto eloszlás eredményei 5.1. ábra. Exponenciális és Pareto eloszlás feltételezése melletti összeghatárok 5

29 6. fejezet Új tényez k 6.1. Új kárszám eloszlás Tudni szeretnénk, hogy jobb illetve rosszabb vezet k esetében, hogyan változnak az összeghatárok. Tehát az egészet újra számoljuk λ 0, 04, illetve λ 3 0, 54 paraméterekre. A változások leginkább az els kárnál gyelhet k meg. Grakonon mutatjuk be, a különböz paraméter kárszám eloszlások, hogyan változtatják a d 1 értékeit ábra. A d 1 értékei különböz kárszámok függvényében, Exponenciális és Pareto eloszlás feltételzése mellett 6.. Az id Látható, hogy a stratégiánk ugyan eredményre vezet, de ahhoz, hogy jelent sebb összeget takarítsunk meg legalább hosszú évekig kellene vezetnünk. Bevezetünk egy új változót a képletünkbe, amivel nomíthatunk egy kicsit a stratégián. Nem árt gyelembe venni, hogy mennyi id telt el az évb l, amikor a balesetet okozzuk. Az új stratégia, hogy akkor zetjük ki a kárt, ha 1 t λ µ X < b i,j 6

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Bevezetés: Tekintsük az alábbi -es mátrixot: A. Szorozzuk meg ezt jobbról egy alkalmas méretű (azaz -es) oszlopvektorral, amely az R tér kanonikus bázisának

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2.

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2. Pénzügyi számítások 2015. december 2. 1. ÁFA Nettó ár= Tiszta ár, adót nem tartalmaz, Bruttó ár=fogyasztói ár=adóval terhelt érték= Nettó ár+ ÁFA A jelenlegi ÁFA a nettó ár 27%-a. Összefüggések: bruttó

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack Hirshleifer, Amihai

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

BONUS-MALUS tájékoztató a kötelező gépjármű-felelősségbiztosításhoz

BONUS-MALUS tájékoztató a kötelező gépjármű-felelősségbiztosításhoz BONUS-MALUS tájékoztató a kötelező gépjármű-felelősségbiztosításhoz Tisztelt Ügyfelünk! A kötelező gépjármű-felelősségbiztosítással és a hozzá kötődő bonus-malus rendszer működésével kapcsolatban az elmúlt

Részletesebben

Biztosítási kárszámok becslése

Biztosítási kárszámok becslése Biztosítási kárszámok becslése Diplomamunka Írta: Martinek László alkalmazott matematikus szak Témavezet : Dr. Arató Miklós, egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

1. (1) A bonus-malus rendszer a személygépkocsira, motorkerékpárra, autóbuszra, tehergépkocsira, vontatóra, mezőgazdasági vontatóra terjed ki.

1. (1) A bonus-malus rendszer a személygépkocsira, motorkerékpárra, autóbuszra, tehergépkocsira, vontatóra, mezőgazdasági vontatóra terjed ki. Bonus-malus rendelet 19/2009. (X.9.) PM rendelet a bonus-malus rendszer, az abba való besorolás, illetve a kártörténeti igazolások kiadásának szabályairól A kötelező gépjármű-felelősségbiztosításról szóló

Részletesebben

Kötelező gépjármű-felelősségbiztosítási díjtarifakönyv. Hatályos: 2015. február 1. Nysz.: 17423

Kötelező gépjármű-felelősségbiztosítási díjtarifakönyv. Hatályos: 2015. február 1. Nysz.: 17423 Kötelező gépjármű-felelősségbiztosítási díjtarifakönyv atályos: 2015. február 1. Nysz.: 17423 Tartalomjegyzék enerali iztosító Zrt. 2015. február 1-jétől alkalmazandó kötelező gépjármű-felelősségbiztosítási

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

PÁLYÁZATI FELHÍVÁS. I. Pályázat tárgya

PÁLYÁZATI FELHÍVÁS. I. Pályázat tárgya PÁLYÁZATI FELHÍVÁS Budapest Főváros Vagyonkezelő Központ Zártkörűen Működő Részvénytársaság (1013 Budapest, Attila út 13/A., a továbbiakban: BFVK Zrt.) mint ajánlatkérő a Budapest Főváros Önkormányzata

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február

MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február MIKROÖKONÓMIA II. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

4. sz. melléklet. Tisztelt Képviselő-testület! Tisztelt Bizottság!

4. sz. melléklet. Tisztelt Képviselő-testület! Tisztelt Bizottság! 4. sz. melléklet Tisztelt Képviselő-testület! Tisztelt Bizottság! A Képviselő-testület 439/2010. (XII.15) ÖKT sz. határozatának 12) pontja szerint a Képviselő-testület úgy döntött, hogy az önként vállalt

Részletesebben

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 2. hét KERESLET, KÍNÁLAT, EGYENSÚLY

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 2. hét KERESLET, KÍNÁLAT, EGYENSÚLY KÖZGAZDASÁGTAN I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Közgazdaságtan 1. KERESLET, KÍNÁLAT, EGYENSÚLY Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június Vázlat 1

Részletesebben

Statisztikai tájékoztató Somogy megye, 2011/1

Statisztikai tájékoztató Somogy megye, 2011/1 Statisztikai tájékoztató Somogy megye, 2011/1 Központi Statisztikai Hivatal 2011. június Tartalom Bevezetés...2 Ipar...2 Építőipar...3 Lakásépítés...3 Idegenforgalom...4 Beruházás...5 Népesség, népmozgalom...6

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Az önkormányzati intézmények részére integrált szélessávú távközlési szolgáltatás biztosítása

Az önkormányzati intézmények részére integrált szélessávú távközlési szolgáltatás biztosítása AJÁNLATTÉTELI DOKUMENTÁCIÓ Az önkormányzati intézmények részére integrált szélessávú távközlési szolgáltatás biztosítása 2010. november 1 TARTALOMJEGYZÉK I. ÚTMUTATÓ AZ AJÁNLATTEVİKNEK 1. A dokumentációban

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

A változó költségek azon folyó költségek, amelyek nagysága a termelés méretétől függ.

A változó költségek azon folyó költségek, amelyek nagysága a termelés méretétől függ. Termelői magatartás II. A költségfüggvények: A költségek és a termelés kapcsolatát mutatja, hogyan változnak a költségek a termelés változásával. A termelési függvényből vezethető le, megkülönböztetünk

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

AJÁNLATTÉTELI DOKUMENTÁCIÓ. Óbudai Egészség Olimpia Szűrőnapok megszervezése

AJÁNLATTÉTELI DOKUMENTÁCIÓ. Óbudai Egészség Olimpia Szűrőnapok megszervezése AJÁNLATTÉTELI DOKUMENTÁCIÓ Óbudai Egészség Olimpia Szűrőnapok megszervezése TARTALOMJEGYZÉK I. ÚTMUTATÓ AZ AJÁNLATTEVŐKNEK 1. A dokumentációban előforduló kifejezések 2. A közbeszerzési eljárás lebonyolításának

Részletesebben

Szakdolgozat. Flották a gépjárm biztosításban

Szakdolgozat. Flották a gépjárm biztosításban Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Szakdolgozat Flották a gépjárm biztosításban Szalai Gábor Biztosítási és pénzügyi matematika, MSC aktuárius szakirány Témavezet : Kelemen Erika, vezet

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

A megváltozott munkaképességű személyek foglalkoztatási helyzete

A megváltozott munkaképességű személyek foglalkoztatási helyzete VÉDETT SZERVEZETEK ORSZÁGOS SZÖVETSÉGE A megváltozott munkaképességű személyek foglalkoztatási helyzete Felmérés az Országos Foglalkoztatási Közalapítvány támogatásával Készítette: Balogh Zoltán, Dr. Czeglédi

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Pályázati Felhívás. Ajánlatkérő: BFVK Zrt. a Fővárosi Önkormányzat megbízásából.

Pályázati Felhívás. Ajánlatkérő: BFVK Zrt. a Fővárosi Önkormányzat megbízásából. Pályázati Felhívás Ajánlatkérő: BFVK Zrt. a Fővárosi Önkormányzat megbízásából. Pályázat célja: Budapest Főváros Önkormányzatával kötött közszolgáltatási szerződés alapján, a 29391 hrsz-ú, VI. ker. Hegedű

Részletesebben

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 3. hét A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 3. hét A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK KÖZGAZDASÁGTAN I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Közgazdaságtan 1. A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

Pszichometria Szemináriumi dolgozat

Pszichometria Szemináriumi dolgozat Pszichometria Szemináriumi dolgozat 2007-2008. tanév szi félév Temperamentum and Personality Questionnaire pszichometriai mutatóinak vizsgálata Készítette: XXX 1 Reliabilitás és validitás A kérd ívek vizsgálatának

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egy bútorgyár polcot, asztalt és szekrényt gyárt faforgácslapból. A kereskedelemben

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Koronikáné Pécsinger Judit

Koronikáné Pécsinger Judit Koronikáné Pécsinger Judit AZ ÚTKÖRNYEZET HATÁSTERJEDÉST BEFOLYÁSOLÓ SZEREPE TERMÉSZETI TERÜLETEKEN Doktori (PhD) értekezés Témavezető: Dr. Pájer József egyetemi docens Nyugat-magyarországi Egyetem Kitaibel

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

PÁLYÁZATI FELHÍVÁS. I. Pályázat tárgya

PÁLYÁZATI FELHÍVÁS. I. Pályázat tárgya PÁLYÁZATI FELHÍVÁS Budapest Főváros Vagyonkezelő Központ Zártkörűen Működő Részvénytársaság (1013 Budapest, Attila út 13/A., a továbbiakban: BFVK Zrt.) mint ajánlatkérő részéről a Budapest Főváros Önkormányzata

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Szakdolgozat Írta: Balogh Teréz Biztosítási és

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

5/2004. (I. 28.) GKM rendelet. a helyi közutak kezelésének szakmai szabályairól

5/2004. (I. 28.) GKM rendelet. a helyi közutak kezelésének szakmai szabályairól 5/2004. (I. 28.) GKM rendelet a helyi közutak kezelésének szakmai szabályairól A közúti közlekedésr l szóló 1988. évi I. törvény 48. -a (3) bekezdése b) pontjának 4. alpontjában kapott felhatalmazás alapján

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Általános Szerződési Feltételek

Általános Szerződési Feltételek 1. A szolgáltatás Általános Szerződési Feltételek Az utazási szerződés alapján az International Language Travel Kft. Utazási Iroda (székhelye: 2000 Szentendre, Pomázi út 34. cégjegyzékszáma: Cg. 13-09-141478,,

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

Közúti helyzetkép Észak-Magyarországon

Közúti helyzetkép Észak-Magyarországon Közúti helyzetkép Észak-Magyarországon Központi Statisztikai Hivatal 2011. április Tartalom Összefoglaló...2 A közúthálózat útkategóriánkénti összetétele...2 Gépjárműállomány alakulása...4 Közúti közlekedési

Részletesebben

EGYENÁRAMÚ TÁPEGYSÉGEK

EGYENÁRAMÚ TÁPEGYSÉGEK dátum:... a mérést végezte:... EGYENÁRAMÚ TÁPEGYSÉGEK m é r é s i j e g y z k ö n y v 1/A. Mérje meg az adott hálózati szabályozható (toroid) transzformátor szekunder tekercsének minimálisan és maximálisan

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Hermán Dániel Nyugdíjváromány el rejelzése egyéni paraméterek alapján MSc. szakdolgozat Témavezet

Részletesebben

Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS

Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS 1. Kihasználva a hosszasan elhúzódó jó időt, kirándulást szeretnénk tenni az ország tíz legmagasabb csúcsa közül háromra az elkövetkezendő

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Markov modellek 2015.03.19.

Markov modellek 2015.03.19. Markov modellek 2015.03.19. Markov-láncok Markov-tulajdonság: egy folyamat korábbi állapotai a későbbiekre csak a jelen állapoton keresztül gyakorolnak befolyást. Semmi, ami a múltban történt, nem ad előrejelzést

Részletesebben

A szántóföldi növények költség- és jövedelemhelyzete

A szántóföldi növények költség- és jövedelemhelyzete A szántóföldi növények költség- és jövedelemhelyzete A hazai szántóföldi növénytermelés vetésszerkezete viszonylag egységes képet mutat az elmúlt években. A KSH 2 adatai szerint a vetésterület több mint

Részletesebben

Generali-Providencia Biztosító Zrt.

Generali-Providencia Biztosító Zrt. enerali-providencia iztosító Zrt. 2013. január 1-jétõl érvényes kötelezõ gépjármû-felelõsségbiztosítási díjai elhívjuk tisztelt ügyfeleink figyelmét, hogy a kötelezõ gépjármû-felelõsségbiztosítással kapcsolatos

Részletesebben

I. Bevezetés. II. Közbiztonsági helyzet értékelése

I. Bevezetés. II. Közbiztonsági helyzet értékelése I. Bevezetés A Várpalotai Rendőrkapitányság az Országos Rendőr-főkapitányság és a Veszprém Megyei Rendőrfőkapitányság célkitűzéseinek, útmutatásainak, továbbá a saját munkatervében meghatározottaknak megfelelően

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

JELENTÉS. Balmazújváros Város Önkormányzata pénzügyi helyzetének ellenőrzéséről (43/4) 1214 2012. április

JELENTÉS. Balmazújváros Város Önkormányzata pénzügyi helyzetének ellenőrzéséről (43/4) 1214 2012. április JELENTÉS Balmazújváros Város Önkormányzata pénzügyi helyzetének ellenőrzéséről (43/4) 1214 2012. április Állami Számvevőszék Iktatószám: V-3093-025/2012. Témaszám: 1015 Vizsgálat-azonosító szám: V0560124

Részletesebben

Garancia Nyitány II. Életbiztosítás Szerződési Feltételei ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK

Garancia Nyitány II. Életbiztosítás Szerződési Feltételei ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK Garancia Nyitány II. Életbiztosítás Szerződési Feltételei ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK 1. A Garancia Nyitány II. életbiztosítási szerződés jelen feltételek alapján jön létre az OTP-Garancia Biztosító Rt. (1051

Részletesebben

ELŐTERJESZTÉS a KÉPVISELŐ-TESTÜLET 2016. május 19-i ülésére

ELŐTERJESZTÉS a KÉPVISELŐ-TESTÜLET 2016. május 19-i ülésére Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzata Iktató szám: 106/2016. ELŐTERJESZTÉS a KÉPVISELŐ-TESTÜLET 2016. május 19-i ülésére Tárgy: Előterjesztő: Készítette: Értékelés Budapest Főváros IX.

Részletesebben

Tájékoztató Nógrád Megye Közgyőlése számára. Nógrád megye egészségi helyzetérıl

Tájékoztató Nógrád Megye Közgyőlése számára. Nógrád megye egészségi helyzetérıl Tájékoztató Nógrád Megye Közgyőlése számára Nógrád megye egészségi helyzetérıl Készült: 2013. május Összeállította: Dr. Surján Orsolya megyei tisztifıorvos Feketéné Dr. Zeke Ildikó megyei tisztiorvos Bertókné

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben