Az optimális önrész a bonus-malus rendszerben
|
|
- Nándor Budai
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Az optimális önrész a bonus-malus rendszerben Diplomamunka Írta: Retteghy Orsolya Alkalmazott matematikus szak Témavezet : Arató Miklós, egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 009
2 Tartalomjegyzék 1. Bevezet 1. Bonus-malus rendszer 3.1. Kármentességi díjengedmény Károkozás miatti pótdíj Új belép k Módszer A bonus-malus kiskapui Stratégia A lejt módszer Lépések A biztosító által kizetett károk számának valószín sége Kizetett károk számának várható értéke Várható kárnagyság Az alapdíj meghatározása Eredmények Az optimális eredmények Exponenciális kárnagyság esetén Az optimális eredmények Pareto kárnagyság esetén Új tényez k Új kárszám eloszlás Az id Összefoglalás 8 II
3 Ábrák jegyzéke 4.1. d1 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye d alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye d3 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye d4 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye Exponenciális és Pareto eloszlás feltételezése melletti összeghatárok A d 1 értékei különböz kárszámok függvényében, Exponenciális és Pareto eloszlás feltételzése mellett III
4 1. fejezet Bevezet Minden autó tulajdonosa találkozott már a kötelez gépjárm -felel sségbiztosítással. A KGFB-t ahogy a nevében is benne van kötelez minden gépkocsi üzembentartójának igénybe venni a törvény szerint. Egy baleset okozása nagyon megviseli az embereket, mégha csak egy kis koccanásról is van szó. De az els nagy megrázkodtatás után, érdemes elgondolkodnunk rajta, hogy mekkora kárt okoztunk. Természetesen kár mértékénél kizárólag vagyoni kárról beszélünk. El fordulhat ugyanis, hogy a kár összege nem haladja meg az éves díjunk felét se. Természetesen a biztosító a kár méretétül függetlenül büntet minket a kiszabott díjpótlékkal. Ebben az esetben felmerül egy olyan lehet ség, hogy mi zessük ki az okozott kárt a biztosító helyett. Cserébe a bíztosító nem terhel ránk magasabb díjat, hanem továbbra is kármentesnek tekint minket. Csakhogy megtörténhet, hogy az év további szakaszában szerencsétlenségünkre újabb kárt okozunk. Ekkor a biztosító mégiscsak sújt minket díjpótlékkal, Ugyan nem akkorával, mintha kárt okoztunk volna, de talán jobban jártunk volna, ha az els kárt mégsem mi zetjük ki. Persze el fordulhat az is, hogy mindkét kárunk olyan csekély, hogy a legjobb ha mindet kizetjük. Másrészt viszont a gyakori károkozók esetében el fordulhat, hogy a következ évben a legalacsonyabb bónusz-osztályban kezdhetjük az évet, ami azt jelenti, hogy magasabb díjat már nem szabhat ki ránk a bíztosító. Ilyenkor nyilvánvalósan, egy 0 Ft érték kárt se érdemes kizetnünk. Ezzel szemben, egy "jó vezet " esetében talán mindegyiket ki kéne zetnünk. Az lenne a cél, hogy megel legezzünk egy olyan stratégiát, amelyel vélhet en a legjobban járunk. Azt szeretnénk kideríteni, hogy egy adott bónusz-osztályba egy adott kárszám után, mekkora az az összeg kár maximuma, amit még nekünk kellene kizetnünk, ahhoz, 1
5 hogy várhatóan a legtöbb pénzt spóroljuk meg hosszútávon. Ehhez rengeteg számolásra lesz majd szükség. Egyrészt meg kell állapítani, hogy milyen valószín ségekkel mozgunk majd ezzel a stratégiával a bonus-malus rendszerben, ami a biztosítási díj meghatározására szolgál. Másrészt meg kell tudnunk jósolni, hogy várhatóan mennyit költünk majd a károk kizetésére. Ehhez szükségünk lesz a kárszám illetve a kárnagyság eloszlására [1]. Ebb l a összetev b l próbáljuk meg kitalálni az optimális stratégiát. Els lépésben megismerkedünk a magyar bonus-malus rendszer szabályaival és lehet ségeivel [1], []. Bemutatjuk a károk száma és a bonus-fokozatok közti kapcsolatot. Azután, felírjuk a stratégiát általánosan, ismeretlen összegekkel. Végül kiszámítva a várható költséget a változók segítségével, megpróbáljuk az optimalizálni [3], hogy végül megkapjuk a kívánt értékeket. Sajnos el fordulhat, hogy a stratégiánk nem válik be, közbe szól a balsors, és minden óvatosságunk ellenére a vártnál több vagy nagyobb balesetet okozunk, amivel tönkretehetjük a szépen felépített pénzmegatakarítási szándékunkat. Mindenkinek kellemes és balesetmentes vezetést kívánok!
6 . fejezet Bonus-malus rendszer Minden magyarországi telephely gépjárm üzemben tartója köteles az e rendeletben és mellékleteiben foglalt feltételek szerinti felel sségbiztosítási szerz dést kötni, és azt folyamatos díjzetéssel hatályban tartani. Gépjárm a Magyar Köztársaság területén kizárólag e feltételek fennállása esetén üzemeltethet.190/004. VI. 8. Korm. rendelet.ÿ 1.bek. Az üzemben tartó jogosult arra, hogy a biztosítónak a teljes kárkizetés összegér l szóló írásbeli értesítését követ hat héten belül a teljes kárösszeget a biztosítónak megzesse, és így a bonus-malus osztályba sorolását ne rontsa.190/004. VI. 8. Korm. rendelet III.szám melléklet 9. Európában általánosan elterjedt, hogy a gépjárm -üzembentartókat un. bonusmalus osztályba kell sorolni.1, és az abban elért fokozatuk alapján kerül sor a biztosítási díj megállapítására. A bonus-malus fokozatba történ besorolást a biztosítók nyilvántartják, így ha valaki másik biztosítót választ, bónusz fokozatát viszi magával az új biztosítóhoz. Magyarországon 008. január 1-t l a meggyelési id szakok a naptári évhez igazodnak. Tehát 009-ben a meggyelési id szak: Továbbiakban a magyar bonus-malus rendszerrel foglalkozunk..1. Kármentességi díjengedmény Ha a gépjárm vel kapcsolatban a meggyelési id szakban kárkizetés nem történt, vagy a károsulttaknak kizetett teljes kártérítési összeget a károkozó gépjárm üzembentartója biztosított az err l szóló értesítést követ hatvan napon belül saját elhatározásából visszazette a biztosító társaságnak, akkor az üzembentartó kármentességi díjengedményre jogosult, amely az jelenti, hogy besorolási fokozata 1 fokozattal javul a meggyelési id szakot követ év január 1-jével. Kivételt képeznek azok, akik már elérték a legmagasabb, a B10-es fokozatot. Ebben az esetben nincs több díjengedmény. 3
7 fokozat díjszorzó M4 M M 1.35 M A0 1 B B 0.9 B B4 0.8 B B6 0.7 B B8 0.6 B B táblázat. Bonus-malus fokozatok.. Károkozás miatti pótdíj Ha a meggyelési id szakban a gépjárm vel bármikor okozott kárral kapcsolatban els kárkizetés történt, a meggyelési id szakot követ naptári évben az üzembentartó az els kárkizetések számától függ en pótdíjat köteles zetni, egy gyelembe vett kár esetén két fokozatot, két gyelembe vett kár esetén négy fokozatot, három gyelembe vett kár esetén hat fokozatot romlik a szerz d bonus-malus besorolása a tárgyévihez képest. Ha a szerz d négy gyelembe vett kárt okozott, akkor az M4-es bonus-malus osztályba kerül..3. Új belép k A bonus-malus rendszer az üzembentartó személyéhez köt dik, és nem a gépjárm hez. Ennek megfelel en a gépjárm eladása, cseréje stb. esetén amelyek a kötelez felel sségbiztosítási szerz dés megsz nését eredményezik, az új üzembentartóra "nem száll át" a korábbi kötelez gépjárm -felel sségbiztosítási szerz dés alapján elért bonus-malus fokozat. Új belép nek min sül az, aki két éven belül nem volt azonos gépjárm kategóriába tartozó kötelez gépjárm -felel sségbiztosítás szerz d je. Új belép esetén a szerz dés 4
8 bonus-malus besorolása csak A0 lehet. Jelöljük Z n -nel egy biztosítás n-edik évi díjfokozatát. Feltesszük, hogy P Zn i Z0, Z1,, Zn 1 P Zn i Zn 1, tehát Zn Markov-lánc. A magyar rendszer esetén bármely i I állapotból bármely j I állapotba pozitív valószín séggel eljuthatunk, és lnko{n : P Zn i Z0 i} 1. Ebben az esetben Z n egy irreducibilis, aperiodikus, véges állapotter Markovlánc. Feltesszük, hogy a kárszám eloszlása λ paraméter Poisson-eloszlás. p i : i darab kár okozásának valószín sége λi i! e λ Az átmenetvalószín ségek mátrixát a.-es táblázatban mutatjuk be. M4 M3 M M1 A0 B1 B B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 M4 1 p 0 p M3 1 p 0 0 p M 1 p p M1 1 p 0 p 1 p p A0 1 p 0 p 1 0 p p B1 1 p 0 p 1 p p 0 p p B 1 p 0 p 1 p 0 p 0 p p B3 1 p 0 p 1 p p 3 p 3 0 p 0 p p B4 1 p 0 p 1 p p 3 0 p 3 0 p 0 p p B5 1 p 0 p 1 p p p 3 0 p 0 p p B6 1 p 0 p 1 p p p 3 0 p 0 p p B7 1 p 0 p 1 p p p 3 0 p 0 p p B8 1 p 0 p 1 p p p 3 0 p 0 p p 0 0 B9 1 p 0 p 1 p p p 3 0 p 0 p p 0 B10 1 p 0 p 1 p p p 3 0 p 0 p 1 0 p 0.. táblázat. Átmenetvalószín ségmátrix 5
9 3. fejezet Módszer 3.1. A bonus-malus kiskapui Mivel a cél az, hogy a költségeket minimálisra csökkentsük, igénybe vehetjük a nem tökéletes rendszer által adta lehet ségeket. Ha málusz osztályba jutnánk, akkor van mód arra, hogy helyette A0 fokozatba kerüljünk. Például: Új belép knek álcázhatjuk magunkat, átíratjuk az autót másra. Ezért a 15 bónusz-málusz fokozat helyett a továbbiakban csak 11-gyel számolunk 3.1. fokozat díjszorzó A0 1 B B 0.9 B B4 0.8 B B6 0.7 B B8 0.6 B B táblázat. Bonus fokozatok 6
10 3.. Stratégia Amint azt a bevezet ben említettük, a célunk az, hogy a költségeket minimalizáljuk. Tegyük fel, hogy egy X nagyságú kárt okozunk. Ha X < b ij akkor kizetjük a kárt, ha nagyobb, akkor a biztosítóra hagyjuk, és vállaljuk a bonus fokozatunk csökkenését. A cél az, hogy meghatározzuk, azokat az összeghatárokat, ami alatt magunkra vállaljuk a károk kizetését. i: aktuális bonus fokozatunk, j: az eddig okozott károk száma az adott biztosítási id szakban. A b ij -ket úgy kellene meghatározni, hogy a kárkizetések és KGFB díjak összege minimális legyen. Új belép ként 11 évre el re tervezünk. A belépésünk éve a 0. év, és további 10 évet vizsgálunk, mert ez alatt az id alatt, minden fokozatot lehet ségünk van megjárni. λ: az átlagos éves kárszám. Ezzel az új módszerrel az átmenetvalószín ségek módosulnak, mert akkor is feljebb lépünk, ha az összes kárt amit okozunk kizetjük. Tehát akkor lesz 0 db kárunk, ha vagy nem okozunk kárt, vagy az összes kár amit okozunk olyan kicsi, hogy érdemes inkább nekünk kizetni. Az összes többi kárszám valószín sége is módosul, mert azoknál is el fordulhatnak olyan károk, amelyeket nem a biztosítóval zettetünk ki. Ha kiszámoljuk ezeknek a valószín ségét, akkor kicserélve a régi értékeket az átmenetvalószín ség mátrixban követni tudjuk bonus fokozatunk változását a 10 év alatt. Az új kárszámeloszlások a továbbiakban a bonus fokozattól is függnek, mivel minden osztályban más-más lehet az optimális összeg ami alatt a kárt kizetjük. Továbbá meg kell határoznunk, hogy várhatóan hány kárt fogunk kizetni bizonyos összeghatárok alatt, mert ezentúl a díjakon kívül ezek is a mi költségeinket terhelik. Ezek az összeghatárok egy bonus osztályon belül is változhatnak, attól függ en, hogy hány kárt okoztunk, amit nem zettünk ki. Végül meg kell határoznunk, hogy az összeghatár alatti károk amit mi térítünk meg, várhatóan mekkorák. Két különböz káreloszlást is összehasonlítunk: Exponenciális és Pareto A lejt módszer A számolások elvégzése után egy 44 ismeretlenb l álló egyenletrendszerhez jutunk, ahol a változók a különböz összeghatárokhoz tartozó valószín ségek. Azaz, azok a d i,j értékek amik megegyeznek a py < d i,j valószín ségekkel, ahol y a kárnagyság 7
11 valószín ségi változója, az i és a j paraméterek pedig azt jelölik, hogy az i-edik bonus fokozatban járunk, j1 db kárszámmal. Ennek a 44 ismeretlenes egyenletrendszernek a kiszámításához egy numerikus eszközhöz fogunk folyamodni, amellyel, reményeink szerint, jól meg tudjuk közelíteni az optimális értékeket [3]. A szakdolgozatnak nem témája a lejt módszer részletes ismertetése, és célravezet ségének bizonyítása, ezért csak nagy vonalakban mutatjuk be, mir l is van tulajdonképpen szó. Adott gx : D R folytonos függvény, ahol D korlátos és zárt halmaz R n -ben. Keresend lokális vagy totális x minimumhely, vagyis olyan x D amelyre teljesül az x valamely környezetében. gx gx Deníció. Egy p 0 vektort a gx függvény lejt jének nevezzünk valamely x helyen, ha megadható olyan δ > 0, hogy minden 0 < h < δ-ra gx hp < gx, vagyis gx lokálisan csökken a p irányában. Tétel. Tegyük fel, hogy gx parciálisan deriválható az x helyen. Ekkor, ha grad gx T p < 0 akkor p lejt x-ben. A minimum keresésére az alábbi iterációt értelmezzük, amely az optimális lejt módszerek általános alakja: adott x 0 D kezd közelítés esetén legyen x m1 : x m α m grad gx m m 0, 1, ahol λ α m -et abból a feltételb l határozzuk meg, hogy gx m1 min λ>0 gx m λ grad gx m Az utóbbi ún. vonalmenti minimum biztosan létezik és gx m1 < gx m m 0, 1, Esetünkben x m a valószín ségek 11 4-es mátrixa. A g függvény pedig a költségünk függvénye lesz. Tehát ezzel az eljárással fogunk közelíteni a függvény minimumához. 8
12 4. fejezet Lépések 4.1. A biztosító által kizetett károk számának valószín sége 0 kár valószín sége. 0 kárunk úgy lehet, hogy egyáltalán nem okoztunk kárt, vagy az összes kár amit okoztunk d i1 alatt volt. Egyel re nem teszünk különbséget az osztályok között: d ij helyett d j -t használunk, ahol j 1 az eddig okozott, biztosító által megtérített károk száma. η: az eredeti kárszám, feltételezésünk szerint Poisson eloszlású valószín ség változó. ξ: az új kárszám valószín ségi változója. pξ 0 pξ 0 η k pη k k0 Ebb l Tehát k0 pη k λk k! eλ pξ 0 η k py < d 1 k pξ 0 k0 py < d 1 k λk k! eλ py < d 1 λ k e py< d 1 λ e 1py< d 1 λ k! e 1py< d 1 λ pξ 0 e 1d 1λ 9
13 Bevezetünk egy új jelölést: d j py < d j 1 kár valószín sége. 1 kárunk úgy lehet, hogy van d 1 feletti kár, utána már csak d alatti károkat okozunk. pξ 1 pξ 1 η k pη k k1 k1 k1 Összegezzük a mértani sort k1 k l1 k l1 d1 d l1 1 1 d 1 d kl λk k! eλ d d 1 d k 1 d 1 d 1 1 d 1 λd 1 k d 1 d k! k1 l1 1 d 1 d k1 λk k! eλ 1 d 1 d k1 λk k! eλ λd k e λ k! k1 Tehát 1 d 1 d 1 d 1 e λd 1 e λ1d 1 1 e λd e λ1d pξ 1 pξ 1 η k pη k k1 1 d 1 d 1 d e λ1d 1 e λ1d kár valószín sége. kárunk úgy lehet, hogy van d 1 feletti kár, utána van d feletti kár, utána már csak d 3 alatti károkat okozunk. k1 k k1 k l1 l1 pξ pξ η k pη k k d l1 1 1 d 1 d l1 1 1 d 1 Összegezzük az utolsó -mát! k ml1 d k ml1 d 3 d m1l 1 d d km 3 λk k! eλ 10 m1l 1 d d kl1 3 λk k! eλ
14 k1 k l1 k1 k l1 d 1 d l1 k1 k l1 d l1 1 1 d 1 d l1 1 d 1 1 d d d 3 Összegezzük a mértani sorokat! k 1 d 1 1 d d d 3 1 d 1 1 d d d 3 Tehát d kl d d d kl 3 λk d d 3 k! eλ 1 1 d 1 dkl d kl 3 d d 3 1 d 1 1 d λ k d d 3 k! eλ d k1 λk k! eλ 1 d λk k! eλ k1 k1 d k1 1 d k1 d 1 d l1 l1 d 1 d 3 1 d 1 1 d d d 3 d dk1 1 d k1 3 d 3 d 1 d 3 d k1 3 λk k! eλ 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 d d 1 e λ1d 1 1 e λd λd e λd e λ1d d 1 d 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 d3 d 1 e λ1d 1 1 e λd 3 λd 3 e λd 3 e λ1d 3 d 1 d 3 1 d 1 1 d e λ1d1 e λ d d 1 e λ1d e λ d d 3 d 1 d e λ1d 1 e λ d3 d 1 e λ1d 3 e λ d 1 d d 1 1 d e λ1d1 e λ d e λ1d e λ d 1 d 1 d d 3 d 1 d eλ1d 1 e λ d 3 e λ1d 3 e λ d 1 d 1 d d 1 1 d e λ1d1 d e λ1d d 1 d 1 d d 3 d 1 d eλ1d 1 d 3 e λ1d 3 d 1 d 1 d 3 pξ pξ η k pη k k e λ1d 1 1 d 1 1 d d 1 d d 1 d 3 e λ1d e λ1d 3 d d 1 d d 3 d 3 d d 3 d 1 11
15 3 kár valószín sége. 3 kárunk úgy lehet, hogy van d 1 feletti kár, utána van d feletti kár, utána van d 3 feletti kár, utána már csak d 4 alatti károkat okozunk. k d l1 1 1 d 1 k3 l1 pξ 3 k1 ml1 Összegezzük az utolsó -mát! k d l1 1 1 d 1 k3 l1 k k3 l1 Újabb összegzés k3 l1 d l1 1 1d 1 k d l1 1 1d 1 k3 k1 ml1 d k 1 d k d 1 d pξ 3 η k pη k k3 d m1l 1 d k1 ml1 d d 3 d m1l k nm1 1 d dkm 3 d km 4 d 3 d 4 m1l d k1l d k1l 3 d d 3 d d 3 dk 3 d 1 d 3 d 3 d d 3 1 d k d kl1 3 d m1l d4 kl1 d 4 d 3 dk1l d k1l 4 d 4 d d 4 d k 1 d k d 1 d d nm1 3 1 d 3 d kn 4 λk k! eλ 1 d 3 λk k! eλ 1 d 1 d 3 λk d 3 d 4 k! eλ 1 d 1 d 3 λk d 3 d 4 k! eλ d d 4 dk 1 d k 4 d 1 d 4 d 4 d d 4 Ebb l 1 d 1 1 d 1 d 3 d 3 d 4 λk k! eλ 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 3 d d 1 d 1 d d d 3 1 eλd λd e λd λd e λd e λ1d d 3 d d 1 d d d 3 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 3 d 1 d 1 d 3 d d 3 λd 3 1 eλd 3 λd 3 e λd 3 e λd 3 e λ1d 3 d 1 d 3 d d 3 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 4 d d 1 d 1 d d d 4 1 eλd λd e λd λd e λd e λ1d d 4 d d 1 d d d 4 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 4 d 1 d 1 d 4 d d 4 1 eλd 4 λd 4 e λd 4 λd4 e λd 4 e λ1d 4 d 1 d 4 d d 4 1
16 1 d 1 1 d 1 d 3 d 3 d 4 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d d 3 d 1 d 1 d d d 3 1 e λd λd e λd e λ1d d 3 d 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 3 1 e λd 3 λd d 3 e λd 3 e λ1d 3 1 d 1 d 3 d d 3 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d d 4 1 e λd λd d e λd e λ1d d 4 d 1 d 1 d d d 4 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 4 1 e λd 4 λd d 4 e λd 4 e λ1d 4 1 d 1 d 4 d d 4 1 d 1 1 d 1 d 3 d 3 d 4 e λ1d 1 e λ λd 1 e λ d d 3 d 1 e λ1d e λ λd e λ d3 d d 1 d d d 3 e λ1d1 e λ λd 1 e λ d 3 e λ1d3 e λ λd d 3 e λ 1 d 1 d 3 d d 3 e λ1d1 e λ λd 1 e λ d d 4 e λ1d e λ λd d e λ d4 d 1 d 1 d d d 4 e λ1d1 e λ λd 1 e λ d 4 e λ1d4 e λ λd d 4 e λ 1 d 1 d 4 d d 4 1 d 1 1 d 1 d 3 d 3 d 4 Az e λ1d 1 együtthatói összegezve: d d 3 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 1 1 d d 3d 4 d 1 d d 3d 4 d 1 d d 3d 4 d d 3 d 3d 4 d 1 1 d d 3d 4 d 1 1 d 3d 4 d 1 1 d d 3 d 1 1 d d 3d 4 d 1 d d 3d 4 d 1 d d 3d 4 d d 4 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3d 4 d 1 1 d d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 d d 3 d 4 d 1 d d 3d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 1 d 3d 4 d 1 1 d d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 d d 3 d 4 d 1 d d 3d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d d 4 d d 3 d 3d 4 d 3 d 4 1 e λ1d 1 d d 3 d d 3 d 4 d d 3 d 3d 4 d d 4 d d 3 d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d d 4 d d 3 d 3d 4 d 3 d 4 1 e λ1d 1 13
17 A többi tag kiesik Az e λ1d együtthatói összegezve: d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 1 e λ1d 1 d 1d 3 d 1d 1 d 3d 4 d 1 d 3 d 4 d 1 d 1 d 3d 4 d 1 d 3 d 1 d 1 d 3d 4 d 3d 4 d 1 d 3d 4 d 1d 4 d 1d 1 d 3d 4 d 1 d 3 d 4 d 1 d 1 d 3d 4 d 1 d 4 d 1 d 1 d 3d 4 d 3 d 4 d 1 d 3d 4 d 1 d d d 3 d d 4 d 1d 3 d 1d 4 d 1 d 4 d 1 d 3 d 3d 4 d 3 d 4 1 e λ1d d 1d 3 d 1 d 3 d 3d 4 d 1d 4 d 1 d 4 d 3 d 4 d 1 d d d 3 d d 4 d 1d 3 d 1d 4 d 1 d 4 d 1 d 3 d 3d 4 d 3 d 4 1 e λ1d A többi tag kiesik Tehát d d 1 d d 3 d d 4 1 e λ1d pξ 3 pξ 3 η k pη k k3 e λ1d 1 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 e λ1d d d 1 d d 3 d d 4 1 d 1 1 d 1 d 3 e λ1d 3 d 3 d d 3 d 1 d 3 d 4 e λ1d4 d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 1 d 1 1 d 1 d 3 Legalább 4 kár valószín sége. Legalább 4 kárunk úgy lehet, hogy van d 1 feletti kár, utána van d feletti kár, utána van d 3 feletti kár, és utána van egy d 4 feletti kár, és utána már mindegy milyen károkat okozunk, mert úgyis M4-be kerülünk. A korábbi egyenletek szabályszer ségéb l következtethetünk a következ re: k3 k4 l1 Tehát d l1 1 1d 1 pξ 4 k ml1 pξ 4 η k pη k k4 d m1l 1d k1 nm1 e λ1d 1 d 1 1d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 e λ1d d 1d d 1 d d 3 d d 4 e λ1d 3 d 3 1d 3 d d 3 d 1 d 3 d 4 e λ1d 4 d 4 1d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 d nm1 3 1d 3 k on1 d on1 4 1d 4 λk k! eλ 1 d 1 1 d 1 d 3 1 d 4 1d 1 1d 1d 3 1d 4 1 A biztosító által kizett károk számának valószín ségei könnyen ellen rizhet k, mert az összegük 1. 14
18 Az új átmenetvalószín ségmátrixot bonyolultsága miatt külön-külön mutatjuk be.. q 10,10 e 1d 10,1λ q i,i1 e 1d i,1λ i q i,i 1d 1 d 1 d e λ1d1 e λ1d i e q i,i4 1d i,1 1d i, λ1d i,1 d i,1 d i, d i,1 d i,3 e λ1d i, d i, d i,1 d i, d i,3 e λ1d i,3 d i,3 d i, d i,3 d i,1 i q i,i6 e λ1d i,1 d i,1 d i, d i,1 d i,3 d i,1 d i,4 e λ1d i, d i, d i,1 d i, d i,3 d i, d i,4 e λ1d i,3 d i,3 d i, d i,3 d i,1 d i,3 d i,4 e λ1d i,4 d i,4 d i, d i,4 d i,3 d i,4 d i,1 i q i, j q i,j A többi elem 0. 1 d i,1 1 d i, 1 d i,3 1 d i,1 1 d i, 1 d i,3 Ha a mátrixot n-edik hatványra emeljük, és vesszük az els sorát, akkor megkapjuk, hogy A0-ból indulva n év után az egyes osztályokban milyen valószín séggel fordulhatunk meg. Ezt szorozva a díjszorzók vektorával megkapjuk, hogy várhatóan mennyi díjat fogunk zetni a 10 év alatt. A díjak költségéhez még hozzá kell számolni azokat a károkat, amelyeket ki fogunk zetni. Ehhez szükségünk lesz a várható kárszámra és a várható kárnagyságra. 4.. Kizetett károk számának várható értéke A továbbiakban el sz r meghatározzuk az általunk kizetett károk számának várható értékét. A számolások helyességét szimulációval ellen rizzük, amit mintán futtatunk le.. d 1 alatti károk számának várható értéke. Legyen ψ i a d i alatti károk számának valószín ségi változója. k k1 l1 E d1 d l 1 λk k! eλ pψ 1 l l1 k1 l1 kl A szimulációs ellen rzést a 4.1-es ábrán mutatjuk be. d l 1 λk k! eλ d k1 1 d 1 λk d 1 1 k! eλ d 1 d 1 1 eλ1d 1 d 1 d
19 átlagos kárszám számolt szimuláció ábra. d 1 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye d alatti károk számának várható értéke. E d pψ l l1 Mértani sor összegzés l1 kl1 l1 kl1 m0 l1 kl1 kl1 d m 1 1 d 1 d l λk k! eλ 1 d kl 1 d l λk k! eλ d kl 1 d l λk k! eλ 16 kl1 d l λk k! eλ
20 átlagos kárszám számolt szimuláció ábra. d alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye Újabb összegzés Ebb l k1 d l λd 1 k k! k l1 k d 1 d e λ1d 1 d 1 d d 1 d e λ d l λk k! eλ d k d 1 d k 1 d dk d λk d 1 d d 1 k! eλ d 1e λ1d d e λ1d 1 eλ1d d d 1 d d 1 e λ1d A szimulációs ellen rzést a 4.-es ábrán mutatjuk be. d 1 d 1 1 d d 1 d 17
21 d 3 alatti károk számának várható értéke. k3 l1 kl kl l1 kl m0 1 d kl1 1 d 1 d 1 d d 1 d d k1 3 d 3 d 3 1 e λ1d 1 k k3 l1 d3 d 1 1 d d 1 d 1 d E d3 pψ 3 l l1 d m1 1 d m1 1 d 1 1 d d l 3 λk d 1 d k! eλ d 1 1 d 1 dkl1 d 1 d 1 d 1 d d 1 d 1 d d d 1 d d l 3 λk d 1 d l λd 1 k k! e λ 1 d 1 d 1 d d3 d l 3 λk k! eλ k! eλ l λd k e λ k! d dk1 3 d 1 d k1 1 d 3 d 3 d 1 1 d 1d d 1 d dk1 3 d d k1 d 3 d 3 d λk k! eλ d k 3 d 3 d k3 3 d 1 d d 1 dk 3 d 1 dk 1 d 3 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d 1 d 1d dk 3 d dk d 3 3 d 1 d d 3 d d d 3 d 3 e λ1d d d 1 1 d 3 d 3 d 3 d 1 d d 3 d 3 d 1 1 d 1 d d 1 d d 3 d 3 d 1 d d 3 e λ1d 1 d 1 d 3 1 d e λ 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d d 3 d d 3 d 3 λk k! eλ e λ 1 d d 1 d 1 d d 3 d 3 d 1 1 d 1 d d 1 d d 3 d 3 d 1 d d 3 d 1 d d 3 d 1 1 d 1 d 3 d 1 d d 3 d λ e λ 1 1 d 1d 1 d d 1 d 1 d d 3 e λ1d d 3 d 3 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 1 d d 3 d 1 3 d 1 d d 3 d 3 d 1 d 3 d e λ1d 1 d 1 d 3 e λ1d 1 d 1 d 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d d 3 d 1 d e λ 3 d 3 d 1 d d 1 d 3 1 d 1d d 3 3 d 1 d d 3 d 1 d d 3 d 3 e λ1d d 3 d 3 d d 1 d 3 d 1 d d 1 d d 3 d 1 d d d 3 d d 1 d d 1d 3 d 1 d 3 d 1 d d 3 d 3 d 1 d 3 d e λ1d 1 1 d d 3 e λ1d 1 d 1 d 3 1 d e λ 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d d 3 d d 3 d 1 d 3 3 d 3 d 3 d 1 d d 3 d 1 d 3 d d 1 d d 3 d 1d d 3 d 1 d d 3 d 1 d d 3 d 1 d d 1 d d 3 e λ1d 3 d 3 1d 3 d 3 d 1 d 3 d d 3 e λ1d 1 1 d d 3 e λ1d 1 d 1 d 3 e λ 1 d 3 d d 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d d 3 d d 3 d 3 e λ1d d d 1 1 d 1 d 3 d 1 d 3 d d 3 d 3 e λ1d 1 1 d 3 1 d d 3 d 1 d d 1 d 3 A szimulációs ellen rzést a 4.3-es ábrán mutatjuk be. 18 e λ1d 1 d 1 d 3 d 1 d d d 3
22 átlagos kárszám számolt szimuláció ábra. d 3 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye d 4 alatti károk számának várható értéke. kl3 l1 kl3 m0 E d4 pψ 4 l l1 d m 1 d 1 d d 1 d 3 d m d d 1 d d 3 d m 3 d 3 d 1 d 3 d l1 kl3 1 d 1 1 d 1 d 3 d l 4 λk k! eλ d 1 dkl 1 1 d 1 d 3 d 1 d d 1 d 3 d dkl 1 d 1 1 d 3 d d 1 d d 3 d 3 dkl 3 1 d 1 1 d d 3 d 1 d 3 d d l 4 λk k! eλ 19
23 k3 k4 l1 1 d 11 d 3 d 1 d d d 3 k4 d l 4 λk k! eλ 1 d 1 d 3 d 1 d d 1 d 3 d4 d l λd k k! d4 d 1 e λ 1 d 11 d d 1 d 3 d d 3 d k 4 d 4 λk d 4 1 k! eλ d 1 1 d 1 d 3 l λd 1 k e λ k! d4 d 3 d 1 d d 1 d 3 dk 4 d 1 d k 1 d 4 d 4 d 1 l λd 3 k e λ k! λk k! eλ d 1 d 11 d 3 dk 4 d d k d 4 λk d 1 d d d 3 d 4 d k! eλ d 3 1 d 11 d dk 4 d 3 d k 3 d 4 λk d 1 d 3 d d 3 d 4 d 3 k! eλ λ d 1 1 d 1 d 3 d d 3 d eλ 1 d 11 d 3 d 1 d 3 d 3 1 d 11 d d 1 d d 1 d d 1 d 3 d d 3 λ eλ λ e λ d 4 1 d 1d 4 d 1 1 d 1 d 3 d d 3 d 4 d 4 d 1 d d 1 d 3 d d 3 d d 4 d 1 d 1 1 d 3 d 1 d 3 d 3 d 4 d 3 1 d 1 1 d d 1 d d 4 d 1 d d 1 d 3 d d 3 e λ d 4 d 4 1 d 4 d 4 d 4d 1 d 1 1 d 1 d 3 d d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d d 3 d 4 d 4d d 1 d 11 d 3 d 1 d 3 d 4 d 4d 3 d 3 1 d 11 d d 1 d d 4 d 1 d d 1 d 3 d d 3 e λ1d 1 1 d 1 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 eλ1d 1 d 1 1 d 3 d 4 d 1 d d d 3 d d 4 e λ1d 3 1 d 1 1 d d 4 d 1 d 3 d d 3 d 3 d 4 d 4 1 d 4 e λ1d d d d 1 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d 4 d 3 1 d 11 d 3 d 3 3 d 1 d d d 3 d d 4 d 1 d 11 d 4 d 1 d 3 d d 3 d 3 d 4 d 4 1 d 3 1 d d 1 d 3 d d 3 d d 4 d 3 d 4 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d 3 d 4 d 4 d 3 1 d 11 d 3 d 1 d 3 d 1 d 4 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d 3 d 4 d 4 d d 11 d d 1 d d 1 d 4 d d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d 3 d 4 d 4 e λ1d 4 d 4 1 d 1 1 d 1 d 3 e λ1d 1 1 d 1 d 3 d 4 E d4 1 d 4 d 1 d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 e λ1d e λ1d 3 1 d 1 1 d 3 d 4 d 1 d d d 3 d d 4 A szimulációs ellen rzést a 4.4-es ábrán mutatjuk be. 1 d 1 1 d d 4 d 1 d 3 d d 3 d 3 d 4 d 4 1 d 4 0
24 átlagos kárszám számolt szimuláció ábra. d 4 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye 4.3. Várható kárnagyság Az általunk kizett károk nagyságának várható értékére is szükségünk lesz. A várható kárnagyság meghatározásánál gyelembe kell vennünk, hogy csak egy bizonyos összeg alatt mozoghat. EX X < d i EX EX X < d i P X < d i EX X > d i P X > d i EX X < d i EX EX X > d i P X > d i P X < d i 1
25 Exponenciális káreloszlás. Az örökifjú tulajdonság miatt: EX X > d i 1 µ d i d i P X < d i 1 e µ d i ebb l: d i ln1d i µ EX X < d i Pareto káreloszlás. d i EX β α1 és d i feletti rész valószín sége: 1 µ 1 µ d i 1 d i d i P X < d i 1 P X < x X > d i az új eloszlás α, β d i paraméter Pareto. β 1 µ 1ln1d i µ 1 d i d i β β d i α ebb l: di α β d i α β β d i α β βx d i β 1d i α β és EX X > d i β d i α1 d i βα d i α1 EX X < d i βα β α1 β 1d i α β α1 1 d i d i β 1 α1 1 α1d i α α1 1 d i d i 4.4. Az alapdíj meghatározása A kezdeti díj összegét, azaz az alapdíjat a várható károk összegéb l fogjuk meghatározni. Amikor a biztosító meghatározza a díjakat, valószínüleg nem feltételezi, hogy az átlag ember eéle stratégiákhoz folyamodna, ezért csak az eredeti kárszám, illetve kárnagyság játszik szerepet az összeg meghatározásában. S t még a 15 bonus fokozatú rendszert fogjuk használni a számoláshoz. Tehát abból indulunk ki, hogy az egy f re jutó átlagos díjnak fedeznie kell az egy f re jutó átlagos kár összegét. Az átlagos kárösszeget pedig úgy kapjuk, hogy az átlagos kárszámot szorozzuk az átlagos kárnagysággal. Már csak az hiányzik, hogy megtudjuk, vajon hányszorosa az átlagos díj az alapdíjnak. A stacionárius eloszlás közelíti legjobban, hogy az emberek hány százaléka tartózkodik az egyes osztályokban. A stacionárius eloszlást az átmenetvalószín ség mátrix λ 1 sajátértékéhez tartozó baloldali sajátvektora adja. ππ λi 0 egyenletb l könnyen számolható pl. a MAPLE-lel, ahol Π-vel az átmenetvalószín ség mátrixot, I-vel az egységmátrixot, λ-val az 1 érték sajátértéket, π-vel meg a keresett sajátvektort jelöltük. A kapott vektort skalárisan szorozva a díjszorzók vektorával megkapjuk a kívánt összeget.
26 5. fejezet Eredmények A számoláshoz szükség van bizonyos adatokra. A KSH Központi Statisztikai Hivatal adatai alapján adjuk meg a kezdeti értékeket. Az átlagos kárszám: λ 0, 14. Az átlagos kárnagyság m Ft. Feltételezzük, hogy a biztosító a díj 5%-át egyéb költségekre fordítja, 75%-át meg a károk kizetésére. λ 0, 14-gyel számolva az átlagos díj az alapdíj 54%-a lesz. Ebb l megkapható az alapdíj, ami Ft. Az átmenetvalószín ség mátrix n-edik hatványának els sora adja, hogy az n. évben milyen valószín séggel melyik osztályban leszünk. Ezt a sort skalárisan szorozva a díjszorzók vektorával, és a kapott eredményt az alapdíj összegével, megkapjuk, hogy az n. évben várhatóan mennyi díjat fogunk zetni. Ezt n 1... n-re összeadva kapjuk a 11 év alatt ezetend díj várható értékét. Ehhez jön még a 11 év alatt zetend károk összege. Ha nem használunk semmilyen stratégiát, akkor Ft-ot zethetünk a biztosítónak 11 év alatt. Az Exponenciális káreloszlást feltételez eloszlással, ez az összeg Ft-ra csökkent, Pareto eloszlást feltételezve pedig Ft. Látható, hogy mindkét eloszlásnál a stratégia eredményre vezet. A pareto eloszlásnál az eredményessége nem jelent s. Hosszabb id szak vizsgálatánál esetleg komolyabb összegre is számíthatunk Az optimális eredmények Exponenciális kárnagyság esetén Az Exponenciális eloszlás paraméterét a várható értékb l határozzuk meg. Ex µ 3 µ
27 Az 5.1-es mátrixban a 0-kat önkényesen beírtuk. Hiszen ha a kárszám alapján már úgyis a legkisebb osztályban kerültünk, akkor attól kezdve okozott károkat biztosan nem érdemes kizetnünk. bonus fokozat 1.kár.kár 3.kár 4.kár A B B B B B B B B B B táblázat. Az Exponenciális eloszlás eredményei 5.. Az optimális eredmények Pareto kárnagyság esetén Pareto eloszlásnál meg kell adni a paramétereket. A várható értékb l Ft kapunk összefüggést közöttük. α-t 4-nek választva: Ex β α 1 β Ex α
28 bonus fokozat 1.kár.kár 3.kár 4.kár A B B B B B B B B B B táblázat. A Pareto eloszlás eredményei 5.1. ábra. Exponenciális és Pareto eloszlás feltételezése melletti összeghatárok 5
29 6. fejezet Új tényez k 6.1. Új kárszám eloszlás Tudni szeretnénk, hogy jobb illetve rosszabb vezet k esetében, hogyan változnak az összeghatárok. Tehát az egészet újra számoljuk λ 0, 04, illetve λ 3 0, 54 paraméterekre. A változások leginkább az els kárnál gyelhet k meg. Grakonon mutatjuk be, a különböz paraméter kárszám eloszlások, hogyan változtatják a d 1 értékeit ábra. A d 1 értékei különböz kárszámok függvényében, Exponenciális és Pareto eloszlás feltételzése mellett 6.. Az id Látható, hogy a stratégiánk ugyan eredményre vezet, de ahhoz, hogy jelent sebb összeget takarítsunk meg legalább hosszú évekig kellene vezetnünk. Bevezetünk egy új változót a képletünkbe, amivel nomíthatunk egy kicsit a stratégián. Nem árt gyelembe venni, hogy mennyi id telt el az évb l, amikor a balesetet okozzuk. Az új stratégia, hogy akkor zetjük ki a kárt, ha 1 t λ µ X < b i,j 6
0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenÁltalános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László
Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenA Markowitz modell: kvadratikus programozás
A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenMátrixjátékok tiszta nyeregponttal
1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenKötelező gépjármű-felelősségbiztosítás röviden: KGFB
Kötelező gépjármű-felelősségbiztosítás röviden: KGFB Minden magyarországi telephelyű gépjármű üzembentartója köteles biztosítójával a gépjármű üzemeltetése során okozott károk fedezetére felelősségbiztosítási
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenLagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,
RészletesebbenOnline algoritmusok. Algoritmusok és bonyolultságuk. Horváth Bálint március 30. Horváth Bálint Online algoritmusok március 30.
Online algoritmusok Algoritmusok és bonyolultságuk Horváth Bálint 2018. március 30. Horváth Bálint Online algoritmusok 2018. március 30. 1 / 28 Motiváció Gyakran el fordul, hogy a bemenetet csak részenként
RészletesebbenSzöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására
Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Bevezetés: Tekintsük az alábbi -es mátrixot: A. Szorozzuk meg ezt jobbról egy alkalmas méretű (azaz -es) oszlopvektorral, amely az R tér kanonikus bázisának
RészletesebbenPénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2.
Pénzügyi számítások 2015. december 2. 1. ÁFA Nettó ár= Tiszta ár, adót nem tartalmaz, Bruttó ár=fogyasztói ár=adóval terhelt érték= Nettó ár+ ÁFA A jelenlegi ÁFA a nettó ár 27%-a. Összefüggések: bruttó
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
Részletesebben12. előadás - Markov-láncok I.
12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R
RészletesebbenKÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
Részletesebben: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenBináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenKötelező gépjármű-felelősségbiztosítási díjtarifakönyv. Hatályos: 2015. február 1. Nysz.: 17423
Kötelező gépjármű-felelősségbiztosítási díjtarifakönyv atályos: 2015. február 1. Nysz.: 17423 Tartalomjegyzék enerali iztosító Zrt. 2015. február 1-jétől alkalmazandó kötelező gépjármű-felelősségbiztosítási
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenPermutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenOpkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
Részletesebben2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
RészletesebbenA megváltozott munkaképességű személyek foglalkoztatási helyzete
VÉDETT SZERVEZETEK ORSZÁGOS SZÖVETSÉGE A megváltozott munkaképességű személyek foglalkoztatási helyzete Felmérés az Országos Foglalkoztatási Közalapítvány támogatásával Készítette: Balogh Zoltán, Dr. Czeglédi
RészletesebbenMikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész
MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack Hirshleifer, Amihai
RészletesebbenPÁLYÁZATI FELHÍVÁS. I. Pályázat tárgya
PÁLYÁZATI FELHÍVÁS Budapest Főváros Vagyonkezelő Központ Zártkörűen Működő Részvénytársaság (1013 Budapest, Attila út 13/A., a továbbiakban: BFVK Zrt.) mint ajánlatkérő a Budapest Főváros Önkormányzata
Részletesebbenösszeadjuk 0-t kapunk. Képletben:
814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha
RészletesebbenBONUS-MALUS tájékoztató a kötelező gépjármű-felelősségbiztosításhoz
BONUS-MALUS tájékoztató a kötelező gépjármű-felelősségbiztosításhoz Tisztelt Ügyfelünk! A kötelező gépjármű-felelősségbiztosítással és a hozzá kötődő bonus-malus rendszer működésével kapcsolatban az elmúlt
RészletesebbenÜGYVEZETŐK I. BIZTOSÍTÁSI JOGVISZONY. 1. jogviszony-történet
ÜGYVEZETŐK I. BIZTOSÍTÁSI JOGVISZONY 1. jogviszony-történet Azért tartottam indokoltnak, hogy az ügyvezetők biztosítási kötelezettségéről készítsek egy összefoglaló anyagot, mert egyrészt az ügyfelek levelei
RészletesebbenGyakorló feladatok a 2. zh-ra MM hallgatók számára
Gyakorló feladatok a. zh-ra MM hallgatók számára 1. Egy vállalat termelésének technológiai feltételeit a Q L K függvény írja le. Rövid távon a vállalat 8 egységnyi tőkét használ fel. A tőke ára 000, a
RészletesebbenStatisztika I. 12. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 1. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Regresszió analízis A korrelációs együttható megmutatja a kapcsolat irányát és szorosságát. A kapcsolat vizsgálata során a gyakorlatban ennél messzebb
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 9. Együttes eloszlás, kovarianca, nevezetes eloszlások Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, definíciók Együttes eloszlás Függetlenség
RészletesebbenMikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész
MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack
RészletesebbenStatisztikai tájékoztató Somogy megye, 2011/1
Statisztikai tájékoztató Somogy megye, 2011/1 Központi Statisztikai Hivatal 2011. június Tartalom Bevezetés...2 Ipar...2 Építőipar...3 Lakásépítés...3 Idegenforgalom...4 Beruházás...5 Népesség, népmozgalom...6
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenKomplex számok algebrai alakja
Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z
RészletesebbenAz önkormányzati intézmények részére integrált szélessávú távközlési szolgáltatás biztosítása
AJÁNLATTÉTELI DOKUMENTÁCIÓ Az önkormányzati intézmények részére integrált szélessávú távközlési szolgáltatás biztosítása 2010. november 1 TARTALOMJEGYZÉK I. ÚTMUTATÓ AZ AJÁNLATTEVİKNEK 1. A dokumentációban
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.
Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenJ/9457. B E S Z Á M O L Ó
KÖZBESZERZÉSEK TANÁCSA J/9457. B E S Z Á M O L Ó az Országgyűlés részére a Közbeszerzések Tanácsának a közbeszerzések tisztaságával és átláthatóságával kapcsolatos tapasztalatairól, valamint a 2008. január
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
Részletesebben5 = hiszen és az utóbbi mátrix determinánsa a középs½o oszlop szerint kifejtve: 3 7 ( 2) = (példa vége). 7 5 = 8. det 6.
A pivotálás hasznáról és hatékony módjáról Adott M mátrixra pivotálás alatt a következ½ot értjük: Kijelölünk a mátrixban egy nemnulla elemet, melynek neve pivotelem, aztán az egész sort leosztjuk a pivotelemmel.
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenMakroökonómia. 7. szeminárium
Makroökonómia 7. szeminárium Az előző részek tartalmából Népességnövekedés L Y t = ak t α L t 1 α Konstans, (1+n) ütemben növekszik Egy főre jutó értékek Egyensúlyi növekedési pálya Összes változó konstans
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
RészletesebbenEllátási lánc optimalizálás P-gráf módszertan alkalmazásával mennyiségi és min ségi paraméterek gyelembevételével
Ellátási lánc optimalizálás P-gráf módszertan alkalmazásával mennyiségi és min ségi paraméterek gyelembevételével Pekárdy Milán, Baumgartner János, Süle Zoltán Pannon Egyetem, Veszprém XXXII. Magyar Operációkutatási
RészletesebbenTantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2
Tantárgy neve Alkalmazott matematika II. Tantárgy kódja MT003 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) MT002 Tantárgyfelelős
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
RészletesebbenMegoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!
MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
RészletesebbenBiztosítási kárszámok becslése
Biztosítási kárszámok becslése Diplomamunka Írta: Martinek László alkalmazott matematikus szak Témavezet : Dr. Arató Miklós, egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenBiztosítási ügynökök teljesítményének modellezése
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Szakdolgozat Írta: Balogh Teréz Biztosítási és
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
RészletesebbenAJÁNLATTÉTELI DOKUMENTÁCIÓ. Óbudai Egészség Olimpia Szűrőnapok megszervezése
AJÁNLATTÉTELI DOKUMENTÁCIÓ Óbudai Egészség Olimpia Szűrőnapok megszervezése TARTALOMJEGYZÉK I. ÚTMUTATÓ AZ AJÁNLATTEVŐKNEK 1. A dokumentációban előforduló kifejezések 2. A közbeszerzési eljárás lebonyolításának
RészletesebbenKözúti helyzetkép Észak-Magyarországon
Közúti helyzetkép Észak-Magyarországon Központi Statisztikai Hivatal 2011. április Tartalom Összefoglaló...2 A közúthálózat útkategóriánkénti összetétele...2 Gépjárműállomány alakulása...4 Közúti közlekedési
RészletesebbenKözgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 4. hét A KERESLETELMÉLET ALKALMAZÁSAI
KÖZGAZDASÁGTAN I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Közgazdaságtan 1. A KERESLETELMÉLET ALKALMAZÁSAI Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június Vázlat
Részletesebben10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál
RészletesebbenPolinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
RészletesebbenMakroökonómia. 6. szeminárium
Makroökonómia 6. szeminárium Ismétlés: egy főre jutó makromutatók Népességnövekedés L Y t = ak t α L t 1 α Konstans, (1+n) ütemben növekszik Egy főre jutó értékek Egyensúlyi növekedési pálya Összes változó
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenE.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével.
E.4 Markov-láncok Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével. Egy Markov-láncot (MC) meghatároznak az alapját adó sorbanállási hálózat állapotai és az ezek
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az
RészletesebbenMikroökonómia I. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 12. hét STRATÉGIAI VISELKEDÉS ELEMZÉSE JÁTÉKELMÉLET
MIKROÖKONÓMIA I. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia I. B STRATÉGIAI VISELKEDÉS ELEMZÉSE JÁTÉKELMÉLET K hegyi Gergely, Horn Dániel, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010.
RészletesebbenA szántóföldi növények költség- és jövedelemhelyzete
A szántóföldi növények költség- és jövedelemhelyzete A hazai szántóföldi növénytermelés vetésszerkezete viszonylag egységes képet mutat az elmúlt években. A KSH 2 adatai szerint a vetésterület több mint
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/
Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
RészletesebbenPályázati Felhívás. Ajánlatkérő: BFVK Zrt. a Fővárosi Önkormányzat megbízásából.
Pályázati Felhívás Ajánlatkérő: BFVK Zrt. a Fővárosi Önkormányzat megbízásából. Pályázat célja: Budapest Főváros Önkormányzatával kötött közszolgáltatási szerződés alapján, a 29391 hrsz-ú, VI. ker. Hegedű
RészletesebbenMBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
Részletesebben1. (1) A bonus-malus rendszer a személygépkocsira, motorkerékpárra, autóbuszra, tehergépkocsira, vontatóra, mezőgazdasági vontatóra terjed ki.
Bonus-malus rendelet 19/2009. (X.9.) PM rendelet a bonus-malus rendszer, az abba való besorolás, illetve a kártörténeti igazolások kiadásának szabályairól A kötelező gépjármű-felelősségbiztosításról szóló
RészletesebbenVektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
Részletesebben4. sz. melléklet. Tisztelt Képviselő-testület! Tisztelt Bizottság!
4. sz. melléklet Tisztelt Képviselő-testület! Tisztelt Bizottság! A Képviselő-testület 439/2010. (XII.15) ÖKT sz. határozatának 12) pontja szerint a Képviselő-testület úgy döntött, hogy az önként vállalt
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február
MIKROÖKONÓMIA II. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
RészletesebbenKomplex számok trigonometrikus alakja
Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =
RészletesebbenBánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK?
Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK? A BGF KKFK Nemzetközi gazdálkodás és Kereskedelem és marketing szakjain a hallgatók tanrendjében statisztikai és matematikai
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA - konzultáció - Termelés és piaci szerkezetek
MIKROÖKONÓMIA - konzultáció - Termelés és piaci szerkezetek Révész Sándor reveszsandor.wordpress.com 2011. december 17. Elmélet Termelési függvény Feladatok Parciális termelési függvény Adott a következ
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
Részletesebben