Az optimális önrész a bonus-malus rendszerben

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Az optimális önrész a bonus-malus rendszerben"

Átírás

1 Az optimális önrész a bonus-malus rendszerben Diplomamunka Írta: Retteghy Orsolya Alkalmazott matematikus szak Témavezet : Arató Miklós, egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 009

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezet 1. Bonus-malus rendszer 3.1. Kármentességi díjengedmény Károkozás miatti pótdíj Új belép k Módszer A bonus-malus kiskapui Stratégia A lejt módszer Lépések A biztosító által kizetett károk számának valószín sége Kizetett károk számának várható értéke Várható kárnagyság Az alapdíj meghatározása Eredmények Az optimális eredmények Exponenciális kárnagyság esetén Az optimális eredmények Pareto kárnagyság esetén Új tényez k Új kárszám eloszlás Az id Összefoglalás 8 II

3 Ábrák jegyzéke 4.1. d1 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye d alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye d3 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye d4 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye Exponenciális és Pareto eloszlás feltételezése melletti összeghatárok A d 1 értékei különböz kárszámok függvényében, Exponenciális és Pareto eloszlás feltételzése mellett III

4 1. fejezet Bevezet Minden autó tulajdonosa találkozott már a kötelez gépjárm -felel sségbiztosítással. A KGFB-t ahogy a nevében is benne van kötelez minden gépkocsi üzembentartójának igénybe venni a törvény szerint. Egy baleset okozása nagyon megviseli az embereket, mégha csak egy kis koccanásról is van szó. De az els nagy megrázkodtatás után, érdemes elgondolkodnunk rajta, hogy mekkora kárt okoztunk. Természetesen kár mértékénél kizárólag vagyoni kárról beszélünk. El fordulhat ugyanis, hogy a kár összege nem haladja meg az éves díjunk felét se. Természetesen a biztosító a kár méretétül függetlenül büntet minket a kiszabott díjpótlékkal. Ebben az esetben felmerül egy olyan lehet ség, hogy mi zessük ki az okozott kárt a biztosító helyett. Cserébe a bíztosító nem terhel ránk magasabb díjat, hanem továbbra is kármentesnek tekint minket. Csakhogy megtörténhet, hogy az év további szakaszában szerencsétlenségünkre újabb kárt okozunk. Ekkor a biztosító mégiscsak sújt minket díjpótlékkal, Ugyan nem akkorával, mintha kárt okoztunk volna, de talán jobban jártunk volna, ha az els kárt mégsem mi zetjük ki. Persze el fordulhat az is, hogy mindkét kárunk olyan csekély, hogy a legjobb ha mindet kizetjük. Másrészt viszont a gyakori károkozók esetében el fordulhat, hogy a következ évben a legalacsonyabb bónusz-osztályban kezdhetjük az évet, ami azt jelenti, hogy magasabb díjat már nem szabhat ki ránk a bíztosító. Ilyenkor nyilvánvalósan, egy 0 Ft érték kárt se érdemes kizetnünk. Ezzel szemben, egy "jó vezet " esetében talán mindegyiket ki kéne zetnünk. Az lenne a cél, hogy megel legezzünk egy olyan stratégiát, amelyel vélhet en a legjobban járunk. Azt szeretnénk kideríteni, hogy egy adott bónusz-osztályba egy adott kárszám után, mekkora az az összeg kár maximuma, amit még nekünk kellene kizetnünk, ahhoz, 1

5 hogy várhatóan a legtöbb pénzt spóroljuk meg hosszútávon. Ehhez rengeteg számolásra lesz majd szükség. Egyrészt meg kell állapítani, hogy milyen valószín ségekkel mozgunk majd ezzel a stratégiával a bonus-malus rendszerben, ami a biztosítási díj meghatározására szolgál. Másrészt meg kell tudnunk jósolni, hogy várhatóan mennyit költünk majd a károk kizetésére. Ehhez szükségünk lesz a kárszám illetve a kárnagyság eloszlására [1]. Ebb l a összetev b l próbáljuk meg kitalálni az optimális stratégiát. Els lépésben megismerkedünk a magyar bonus-malus rendszer szabályaival és lehet ségeivel [1], []. Bemutatjuk a károk száma és a bonus-fokozatok közti kapcsolatot. Azután, felírjuk a stratégiát általánosan, ismeretlen összegekkel. Végül kiszámítva a várható költséget a változók segítségével, megpróbáljuk az optimalizálni [3], hogy végül megkapjuk a kívánt értékeket. Sajnos el fordulhat, hogy a stratégiánk nem válik be, közbe szól a balsors, és minden óvatosságunk ellenére a vártnál több vagy nagyobb balesetet okozunk, amivel tönkretehetjük a szépen felépített pénzmegatakarítási szándékunkat. Mindenkinek kellemes és balesetmentes vezetést kívánok!

6 . fejezet Bonus-malus rendszer Minden magyarországi telephely gépjárm üzemben tartója köteles az e rendeletben és mellékleteiben foglalt feltételek szerinti felel sségbiztosítási szerz dést kötni, és azt folyamatos díjzetéssel hatályban tartani. Gépjárm a Magyar Köztársaság területén kizárólag e feltételek fennállása esetén üzemeltethet.190/004. VI. 8. Korm. rendelet.ÿ 1.bek. Az üzemben tartó jogosult arra, hogy a biztosítónak a teljes kárkizetés összegér l szóló írásbeli értesítését követ hat héten belül a teljes kárösszeget a biztosítónak megzesse, és így a bonus-malus osztályba sorolását ne rontsa.190/004. VI. 8. Korm. rendelet III.szám melléklet 9. Európában általánosan elterjedt, hogy a gépjárm -üzembentartókat un. bonusmalus osztályba kell sorolni.1, és az abban elért fokozatuk alapján kerül sor a biztosítási díj megállapítására. A bonus-malus fokozatba történ besorolást a biztosítók nyilvántartják, így ha valaki másik biztosítót választ, bónusz fokozatát viszi magával az új biztosítóhoz. Magyarországon 008. január 1-t l a meggyelési id szakok a naptári évhez igazodnak. Tehát 009-ben a meggyelési id szak: Továbbiakban a magyar bonus-malus rendszerrel foglalkozunk..1. Kármentességi díjengedmény Ha a gépjárm vel kapcsolatban a meggyelési id szakban kárkizetés nem történt, vagy a károsulttaknak kizetett teljes kártérítési összeget a károkozó gépjárm üzembentartója biztosított az err l szóló értesítést követ hatvan napon belül saját elhatározásából visszazette a biztosító társaságnak, akkor az üzembentartó kármentességi díjengedményre jogosult, amely az jelenti, hogy besorolási fokozata 1 fokozattal javul a meggyelési id szakot követ év január 1-jével. Kivételt képeznek azok, akik már elérték a legmagasabb, a B10-es fokozatot. Ebben az esetben nincs több díjengedmény. 3

7 fokozat díjszorzó M4 M M 1.35 M A0 1 B B 0.9 B B4 0.8 B B6 0.7 B B8 0.6 B B táblázat. Bonus-malus fokozatok.. Károkozás miatti pótdíj Ha a meggyelési id szakban a gépjárm vel bármikor okozott kárral kapcsolatban els kárkizetés történt, a meggyelési id szakot követ naptári évben az üzembentartó az els kárkizetések számától függ en pótdíjat köteles zetni, egy gyelembe vett kár esetén két fokozatot, két gyelembe vett kár esetén négy fokozatot, három gyelembe vett kár esetén hat fokozatot romlik a szerz d bonus-malus besorolása a tárgyévihez képest. Ha a szerz d négy gyelembe vett kárt okozott, akkor az M4-es bonus-malus osztályba kerül..3. Új belép k A bonus-malus rendszer az üzembentartó személyéhez köt dik, és nem a gépjárm hez. Ennek megfelel en a gépjárm eladása, cseréje stb. esetén amelyek a kötelez felel sségbiztosítási szerz dés megsz nését eredményezik, az új üzembentartóra "nem száll át" a korábbi kötelez gépjárm -felel sségbiztosítási szerz dés alapján elért bonus-malus fokozat. Új belép nek min sül az, aki két éven belül nem volt azonos gépjárm kategóriába tartozó kötelez gépjárm -felel sségbiztosítás szerz d je. Új belép esetén a szerz dés 4

8 bonus-malus besorolása csak A0 lehet. Jelöljük Z n -nel egy biztosítás n-edik évi díjfokozatát. Feltesszük, hogy P Zn i Z0, Z1,, Zn 1 P Zn i Zn 1, tehát Zn Markov-lánc. A magyar rendszer esetén bármely i I állapotból bármely j I állapotba pozitív valószín séggel eljuthatunk, és lnko{n : P Zn i Z0 i} 1. Ebben az esetben Z n egy irreducibilis, aperiodikus, véges állapotter Markovlánc. Feltesszük, hogy a kárszám eloszlása λ paraméter Poisson-eloszlás. p i : i darab kár okozásának valószín sége λi i! e λ Az átmenetvalószín ségek mátrixát a.-es táblázatban mutatjuk be. M4 M3 M M1 A0 B1 B B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 M4 1 p 0 p M3 1 p 0 0 p M 1 p p M1 1 p 0 p 1 p p A0 1 p 0 p 1 0 p p B1 1 p 0 p 1 p p 0 p p B 1 p 0 p 1 p 0 p 0 p p B3 1 p 0 p 1 p p 3 p 3 0 p 0 p p B4 1 p 0 p 1 p p 3 0 p 3 0 p 0 p p B5 1 p 0 p 1 p p p 3 0 p 0 p p B6 1 p 0 p 1 p p p 3 0 p 0 p p B7 1 p 0 p 1 p p p 3 0 p 0 p p B8 1 p 0 p 1 p p p 3 0 p 0 p p 0 0 B9 1 p 0 p 1 p p p 3 0 p 0 p p 0 B10 1 p 0 p 1 p p p 3 0 p 0 p 1 0 p 0.. táblázat. Átmenetvalószín ségmátrix 5

9 3. fejezet Módszer 3.1. A bonus-malus kiskapui Mivel a cél az, hogy a költségeket minimálisra csökkentsük, igénybe vehetjük a nem tökéletes rendszer által adta lehet ségeket. Ha málusz osztályba jutnánk, akkor van mód arra, hogy helyette A0 fokozatba kerüljünk. Például: Új belép knek álcázhatjuk magunkat, átíratjuk az autót másra. Ezért a 15 bónusz-málusz fokozat helyett a továbbiakban csak 11-gyel számolunk 3.1. fokozat díjszorzó A0 1 B B 0.9 B B4 0.8 B B6 0.7 B B8 0.6 B B táblázat. Bonus fokozatok 6

10 3.. Stratégia Amint azt a bevezet ben említettük, a célunk az, hogy a költségeket minimalizáljuk. Tegyük fel, hogy egy X nagyságú kárt okozunk. Ha X < b ij akkor kizetjük a kárt, ha nagyobb, akkor a biztosítóra hagyjuk, és vállaljuk a bonus fokozatunk csökkenését. A cél az, hogy meghatározzuk, azokat az összeghatárokat, ami alatt magunkra vállaljuk a károk kizetését. i: aktuális bonus fokozatunk, j: az eddig okozott károk száma az adott biztosítási id szakban. A b ij -ket úgy kellene meghatározni, hogy a kárkizetések és KGFB díjak összege minimális legyen. Új belép ként 11 évre el re tervezünk. A belépésünk éve a 0. év, és további 10 évet vizsgálunk, mert ez alatt az id alatt, minden fokozatot lehet ségünk van megjárni. λ: az átlagos éves kárszám. Ezzel az új módszerrel az átmenetvalószín ségek módosulnak, mert akkor is feljebb lépünk, ha az összes kárt amit okozunk kizetjük. Tehát akkor lesz 0 db kárunk, ha vagy nem okozunk kárt, vagy az összes kár amit okozunk olyan kicsi, hogy érdemes inkább nekünk kizetni. Az összes többi kárszám valószín sége is módosul, mert azoknál is el fordulhatnak olyan károk, amelyeket nem a biztosítóval zettetünk ki. Ha kiszámoljuk ezeknek a valószín ségét, akkor kicserélve a régi értékeket az átmenetvalószín ség mátrixban követni tudjuk bonus fokozatunk változását a 10 év alatt. Az új kárszámeloszlások a továbbiakban a bonus fokozattól is függnek, mivel minden osztályban más-más lehet az optimális összeg ami alatt a kárt kizetjük. Továbbá meg kell határoznunk, hogy várhatóan hány kárt fogunk kizetni bizonyos összeghatárok alatt, mert ezentúl a díjakon kívül ezek is a mi költségeinket terhelik. Ezek az összeghatárok egy bonus osztályon belül is változhatnak, attól függ en, hogy hány kárt okoztunk, amit nem zettünk ki. Végül meg kell határoznunk, hogy az összeghatár alatti károk amit mi térítünk meg, várhatóan mekkorák. Két különböz káreloszlást is összehasonlítunk: Exponenciális és Pareto A lejt módszer A számolások elvégzése után egy 44 ismeretlenb l álló egyenletrendszerhez jutunk, ahol a változók a különböz összeghatárokhoz tartozó valószín ségek. Azaz, azok a d i,j értékek amik megegyeznek a py < d i,j valószín ségekkel, ahol y a kárnagyság 7

11 valószín ségi változója, az i és a j paraméterek pedig azt jelölik, hogy az i-edik bonus fokozatban járunk, j1 db kárszámmal. Ennek a 44 ismeretlenes egyenletrendszernek a kiszámításához egy numerikus eszközhöz fogunk folyamodni, amellyel, reményeink szerint, jól meg tudjuk közelíteni az optimális értékeket [3]. A szakdolgozatnak nem témája a lejt módszer részletes ismertetése, és célravezet ségének bizonyítása, ezért csak nagy vonalakban mutatjuk be, mir l is van tulajdonképpen szó. Adott gx : D R folytonos függvény, ahol D korlátos és zárt halmaz R n -ben. Keresend lokális vagy totális x minimumhely, vagyis olyan x D amelyre teljesül az x valamely környezetében. gx gx Deníció. Egy p 0 vektort a gx függvény lejt jének nevezzünk valamely x helyen, ha megadható olyan δ > 0, hogy minden 0 < h < δ-ra gx hp < gx, vagyis gx lokálisan csökken a p irányában. Tétel. Tegyük fel, hogy gx parciálisan deriválható az x helyen. Ekkor, ha grad gx T p < 0 akkor p lejt x-ben. A minimum keresésére az alábbi iterációt értelmezzük, amely az optimális lejt módszerek általános alakja: adott x 0 D kezd közelítés esetén legyen x m1 : x m α m grad gx m m 0, 1, ahol λ α m -et abból a feltételb l határozzuk meg, hogy gx m1 min λ>0 gx m λ grad gx m Az utóbbi ún. vonalmenti minimum biztosan létezik és gx m1 < gx m m 0, 1, Esetünkben x m a valószín ségek 11 4-es mátrixa. A g függvény pedig a költségünk függvénye lesz. Tehát ezzel az eljárással fogunk közelíteni a függvény minimumához. 8

12 4. fejezet Lépések 4.1. A biztosító által kizetett károk számának valószín sége 0 kár valószín sége. 0 kárunk úgy lehet, hogy egyáltalán nem okoztunk kárt, vagy az összes kár amit okoztunk d i1 alatt volt. Egyel re nem teszünk különbséget az osztályok között: d ij helyett d j -t használunk, ahol j 1 az eddig okozott, biztosító által megtérített károk száma. η: az eredeti kárszám, feltételezésünk szerint Poisson eloszlású valószín ség változó. ξ: az új kárszám valószín ségi változója. pξ 0 pξ 0 η k pη k k0 Ebb l Tehát k0 pη k λk k! eλ pξ 0 η k py < d 1 k pξ 0 k0 py < d 1 k λk k! eλ py < d 1 λ k e py< d 1 λ e 1py< d 1 λ k! e 1py< d 1 λ pξ 0 e 1d 1λ 9

13 Bevezetünk egy új jelölést: d j py < d j 1 kár valószín sége. 1 kárunk úgy lehet, hogy van d 1 feletti kár, utána már csak d alatti károkat okozunk. pξ 1 pξ 1 η k pη k k1 k1 k1 Összegezzük a mértani sort k1 k l1 k l1 d1 d l1 1 1 d 1 d kl λk k! eλ d d 1 d k 1 d 1 d 1 1 d 1 λd 1 k d 1 d k! k1 l1 1 d 1 d k1 λk k! eλ 1 d 1 d k1 λk k! eλ λd k e λ k! k1 Tehát 1 d 1 d 1 d 1 e λd 1 e λ1d 1 1 e λd e λ1d pξ 1 pξ 1 η k pη k k1 1 d 1 d 1 d e λ1d 1 e λ1d kár valószín sége. kárunk úgy lehet, hogy van d 1 feletti kár, utána van d feletti kár, utána már csak d 3 alatti károkat okozunk. k1 k k1 k l1 l1 pξ pξ η k pη k k d l1 1 1 d 1 d l1 1 1 d 1 Összegezzük az utolsó -mát! k ml1 d k ml1 d 3 d m1l 1 d d km 3 λk k! eλ 10 m1l 1 d d kl1 3 λk k! eλ

14 k1 k l1 k1 k l1 d 1 d l1 k1 k l1 d l1 1 1 d 1 d l1 1 d 1 1 d d d 3 Összegezzük a mértani sorokat! k 1 d 1 1 d d d 3 1 d 1 1 d d d 3 Tehát d kl d d d kl 3 λk d d 3 k! eλ 1 1 d 1 dkl d kl 3 d d 3 1 d 1 1 d λ k d d 3 k! eλ d k1 λk k! eλ 1 d λk k! eλ k1 k1 d k1 1 d k1 d 1 d l1 l1 d 1 d 3 1 d 1 1 d d d 3 d dk1 1 d k1 3 d 3 d 1 d 3 d k1 3 λk k! eλ 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 d d 1 e λ1d 1 1 e λd λd e λd e λ1d d 1 d 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 d3 d 1 e λ1d 1 1 e λd 3 λd 3 e λd 3 e λ1d 3 d 1 d 3 1 d 1 1 d e λ1d1 e λ d d 1 e λ1d e λ d d 3 d 1 d e λ1d 1 e λ d3 d 1 e λ1d 3 e λ d 1 d d 1 1 d e λ1d1 e λ d e λ1d e λ d 1 d 1 d d 3 d 1 d eλ1d 1 e λ d 3 e λ1d 3 e λ d 1 d 1 d d 1 1 d e λ1d1 d e λ1d d 1 d 1 d d 3 d 1 d eλ1d 1 d 3 e λ1d 3 d 1 d 1 d 3 pξ pξ η k pη k k e λ1d 1 1 d 1 1 d d 1 d d 1 d 3 e λ1d e λ1d 3 d d 1 d d 3 d 3 d d 3 d 1 11

15 3 kár valószín sége. 3 kárunk úgy lehet, hogy van d 1 feletti kár, utána van d feletti kár, utána van d 3 feletti kár, utána már csak d 4 alatti károkat okozunk. k d l1 1 1 d 1 k3 l1 pξ 3 k1 ml1 Összegezzük az utolsó -mát! k d l1 1 1 d 1 k3 l1 k k3 l1 Újabb összegzés k3 l1 d l1 1 1d 1 k d l1 1 1d 1 k3 k1 ml1 d k 1 d k d 1 d pξ 3 η k pη k k3 d m1l 1 d k1 ml1 d d 3 d m1l k nm1 1 d dkm 3 d km 4 d 3 d 4 m1l d k1l d k1l 3 d d 3 d d 3 dk 3 d 1 d 3 d 3 d d 3 1 d k d kl1 3 d m1l d4 kl1 d 4 d 3 dk1l d k1l 4 d 4 d d 4 d k 1 d k d 1 d d nm1 3 1 d 3 d kn 4 λk k! eλ 1 d 3 λk k! eλ 1 d 1 d 3 λk d 3 d 4 k! eλ 1 d 1 d 3 λk d 3 d 4 k! eλ d d 4 dk 1 d k 4 d 1 d 4 d 4 d d 4 Ebb l 1 d 1 1 d 1 d 3 d 3 d 4 λk k! eλ 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 3 d d 1 d 1 d d d 3 1 eλd λd e λd λd e λd e λ1d d 3 d d 1 d d d 3 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 3 d 1 d 1 d 3 d d 3 λd 3 1 eλd 3 λd 3 e λd 3 e λd 3 e λ1d 3 d 1 d 3 d d 3 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 4 d d 1 d 1 d d d 4 1 eλd λd e λd λd e λd e λ1d d 4 d d 1 d d d 4 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 4 d 1 d 1 d 4 d d 4 1 eλd 4 λd 4 e λd 4 λd4 e λd 4 e λ1d 4 d 1 d 4 d d 4 1

16 1 d 1 1 d 1 d 3 d 3 d 4 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d d 3 d 1 d 1 d d d 3 1 e λd λd e λd e λ1d d 3 d 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 3 1 e λd 3 λd d 3 e λd 3 e λ1d 3 1 d 1 d 3 d d 3 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d d 4 1 e λd λd d e λd e λ1d d 4 d 1 d 1 d d d 4 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 4 1 e λd 4 λd d 4 e λd 4 e λ1d 4 1 d 1 d 4 d d 4 1 d 1 1 d 1 d 3 d 3 d 4 e λ1d 1 e λ λd 1 e λ d d 3 d 1 e λ1d e λ λd e λ d3 d d 1 d d d 3 e λ1d1 e λ λd 1 e λ d 3 e λ1d3 e λ λd d 3 e λ 1 d 1 d 3 d d 3 e λ1d1 e λ λd 1 e λ d d 4 e λ1d e λ λd d e λ d4 d 1 d 1 d d d 4 e λ1d1 e λ λd 1 e λ d 4 e λ1d4 e λ λd d 4 e λ 1 d 1 d 4 d d 4 1 d 1 1 d 1 d 3 d 3 d 4 Az e λ1d 1 együtthatói összegezve: d d 3 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 1 1 d d 3d 4 d 1 d d 3d 4 d 1 d d 3d 4 d d 3 d 3d 4 d 1 1 d d 3d 4 d 1 1 d 3d 4 d 1 1 d d 3 d 1 1 d d 3d 4 d 1 d d 3d 4 d 1 d d 3d 4 d d 4 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3d 4 d 1 1 d d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 d d 3 d 4 d 1 d d 3d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 1 d 3d 4 d 1 1 d d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 d d 3 d 4 d 1 d d 3d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d d 4 d d 3 d 3d 4 d 3 d 4 1 e λ1d 1 d d 3 d d 3 d 4 d d 3 d 3d 4 d d 4 d d 3 d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d d 4 d d 3 d 3d 4 d 3 d 4 1 e λ1d 1 13

17 A többi tag kiesik Az e λ1d együtthatói összegezve: d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 1 e λ1d 1 d 1d 3 d 1d 1 d 3d 4 d 1 d 3 d 4 d 1 d 1 d 3d 4 d 1 d 3 d 1 d 1 d 3d 4 d 3d 4 d 1 d 3d 4 d 1d 4 d 1d 1 d 3d 4 d 1 d 3 d 4 d 1 d 1 d 3d 4 d 1 d 4 d 1 d 1 d 3d 4 d 3 d 4 d 1 d 3d 4 d 1 d d d 3 d d 4 d 1d 3 d 1d 4 d 1 d 4 d 1 d 3 d 3d 4 d 3 d 4 1 e λ1d d 1d 3 d 1 d 3 d 3d 4 d 1d 4 d 1 d 4 d 3 d 4 d 1 d d d 3 d d 4 d 1d 3 d 1d 4 d 1 d 4 d 1 d 3 d 3d 4 d 3 d 4 1 e λ1d A többi tag kiesik Tehát d d 1 d d 3 d d 4 1 e λ1d pξ 3 pξ 3 η k pη k k3 e λ1d 1 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 e λ1d d d 1 d d 3 d d 4 1 d 1 1 d 1 d 3 e λ1d 3 d 3 d d 3 d 1 d 3 d 4 e λ1d4 d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 1 d 1 1 d 1 d 3 Legalább 4 kár valószín sége. Legalább 4 kárunk úgy lehet, hogy van d 1 feletti kár, utána van d feletti kár, utána van d 3 feletti kár, és utána van egy d 4 feletti kár, és utána már mindegy milyen károkat okozunk, mert úgyis M4-be kerülünk. A korábbi egyenletek szabályszer ségéb l következtethetünk a következ re: k3 k4 l1 Tehát d l1 1 1d 1 pξ 4 k ml1 pξ 4 η k pη k k4 d m1l 1d k1 nm1 e λ1d 1 d 1 1d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 e λ1d d 1d d 1 d d 3 d d 4 e λ1d 3 d 3 1d 3 d d 3 d 1 d 3 d 4 e λ1d 4 d 4 1d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 d nm1 3 1d 3 k on1 d on1 4 1d 4 λk k! eλ 1 d 1 1 d 1 d 3 1 d 4 1d 1 1d 1d 3 1d 4 1 A biztosító által kizett károk számának valószín ségei könnyen ellen rizhet k, mert az összegük 1. 14

18 Az új átmenetvalószín ségmátrixot bonyolultsága miatt külön-külön mutatjuk be.. q 10,10 e 1d 10,1λ q i,i1 e 1d i,1λ i q i,i 1d 1 d 1 d e λ1d1 e λ1d i e q i,i4 1d i,1 1d i, λ1d i,1 d i,1 d i, d i,1 d i,3 e λ1d i, d i, d i,1 d i, d i,3 e λ1d i,3 d i,3 d i, d i,3 d i,1 i q i,i6 e λ1d i,1 d i,1 d i, d i,1 d i,3 d i,1 d i,4 e λ1d i, d i, d i,1 d i, d i,3 d i, d i,4 e λ1d i,3 d i,3 d i, d i,3 d i,1 d i,3 d i,4 e λ1d i,4 d i,4 d i, d i,4 d i,3 d i,4 d i,1 i q i, j q i,j A többi elem 0. 1 d i,1 1 d i, 1 d i,3 1 d i,1 1 d i, 1 d i,3 Ha a mátrixot n-edik hatványra emeljük, és vesszük az els sorát, akkor megkapjuk, hogy A0-ból indulva n év után az egyes osztályokban milyen valószín séggel fordulhatunk meg. Ezt szorozva a díjszorzók vektorával megkapjuk, hogy várhatóan mennyi díjat fogunk zetni a 10 év alatt. A díjak költségéhez még hozzá kell számolni azokat a károkat, amelyeket ki fogunk zetni. Ehhez szükségünk lesz a várható kárszámra és a várható kárnagyságra. 4.. Kizetett károk számának várható értéke A továbbiakban el sz r meghatározzuk az általunk kizetett károk számának várható értékét. A számolások helyességét szimulációval ellen rizzük, amit mintán futtatunk le.. d 1 alatti károk számának várható értéke. Legyen ψ i a d i alatti károk számának valószín ségi változója. k k1 l1 E d1 d l 1 λk k! eλ pψ 1 l l1 k1 l1 kl A szimulációs ellen rzést a 4.1-es ábrán mutatjuk be. d l 1 λk k! eλ d k1 1 d 1 λk d 1 1 k! eλ d 1 d 1 1 eλ1d 1 d 1 d

19 átlagos kárszám számolt szimuláció ábra. d 1 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye d alatti károk számának várható értéke. E d pψ l l1 Mértani sor összegzés l1 kl1 l1 kl1 m0 l1 kl1 kl1 d m 1 1 d 1 d l λk k! eλ 1 d kl 1 d l λk k! eλ d kl 1 d l λk k! eλ 16 kl1 d l λk k! eλ

20 átlagos kárszám számolt szimuláció ábra. d alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye Újabb összegzés Ebb l k1 d l λd 1 k k! k l1 k d 1 d e λ1d 1 d 1 d d 1 d e λ d l λk k! eλ d k d 1 d k 1 d dk d λk d 1 d d 1 k! eλ d 1e λ1d d e λ1d 1 eλ1d d d 1 d d 1 e λ1d A szimulációs ellen rzést a 4.-es ábrán mutatjuk be. d 1 d 1 1 d d 1 d 17

21 d 3 alatti károk számának várható értéke. k3 l1 kl kl l1 kl m0 1 d kl1 1 d 1 d 1 d d 1 d d k1 3 d 3 d 3 1 e λ1d 1 k k3 l1 d3 d 1 1 d d 1 d 1 d E d3 pψ 3 l l1 d m1 1 d m1 1 d 1 1 d d l 3 λk d 1 d k! eλ d 1 1 d 1 dkl1 d 1 d 1 d 1 d d 1 d 1 d d d 1 d d l 3 λk d 1 d l λd 1 k k! e λ 1 d 1 d 1 d d3 d l 3 λk k! eλ k! eλ l λd k e λ k! d dk1 3 d 1 d k1 1 d 3 d 3 d 1 1 d 1d d 1 d dk1 3 d d k1 d 3 d 3 d λk k! eλ d k 3 d 3 d k3 3 d 1 d d 1 dk 3 d 1 dk 1 d 3 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d 1 d 1d dk 3 d dk d 3 3 d 1 d d 3 d d d 3 d 3 e λ1d d d 1 1 d 3 d 3 d 3 d 1 d d 3 d 3 d 1 1 d 1 d d 1 d d 3 d 3 d 1 d d 3 e λ1d 1 d 1 d 3 1 d e λ 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d d 3 d d 3 d 3 λk k! eλ e λ 1 d d 1 d 1 d d 3 d 3 d 1 1 d 1 d d 1 d d 3 d 3 d 1 d d 3 d 1 d d 3 d 1 1 d 1 d 3 d 1 d d 3 d λ e λ 1 1 d 1d 1 d d 1 d 1 d d 3 e λ1d d 3 d 3 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 1 d d 3 d 1 3 d 1 d d 3 d 3 d 1 d 3 d e λ1d 1 d 1 d 3 e λ1d 1 d 1 d 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d d 3 d 1 d e λ 3 d 3 d 1 d d 1 d 3 1 d 1d d 3 3 d 1 d d 3 d 1 d d 3 d 3 e λ1d d 3 d 3 d d 1 d 3 d 1 d d 1 d d 3 d 1 d d d 3 d d 1 d d 1d 3 d 1 d 3 d 1 d d 3 d 3 d 1 d 3 d e λ1d 1 1 d d 3 e λ1d 1 d 1 d 3 1 d e λ 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d d 3 d d 3 d 1 d 3 3 d 3 d 3 d 1 d d 3 d 1 d 3 d d 1 d d 3 d 1d d 3 d 1 d d 3 d 1 d d 3 d 1 d d 1 d d 3 e λ1d 3 d 3 1d 3 d 3 d 1 d 3 d d 3 e λ1d 1 1 d d 3 e λ1d 1 d 1 d 3 e λ 1 d 3 d d 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d d 3 d d 3 d 3 e λ1d d d 1 1 d 1 d 3 d 1 d 3 d d 3 d 3 e λ1d 1 1 d 3 1 d d 3 d 1 d d 1 d 3 A szimulációs ellen rzést a 4.3-es ábrán mutatjuk be. 18 e λ1d 1 d 1 d 3 d 1 d d d 3

22 átlagos kárszám számolt szimuláció ábra. d 3 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye d 4 alatti károk számának várható értéke. kl3 l1 kl3 m0 E d4 pψ 4 l l1 d m 1 d 1 d d 1 d 3 d m d d 1 d d 3 d m 3 d 3 d 1 d 3 d l1 kl3 1 d 1 1 d 1 d 3 d l 4 λk k! eλ d 1 dkl 1 1 d 1 d 3 d 1 d d 1 d 3 d dkl 1 d 1 1 d 3 d d 1 d d 3 d 3 dkl 3 1 d 1 1 d d 3 d 1 d 3 d d l 4 λk k! eλ 19

23 k3 k4 l1 1 d 11 d 3 d 1 d d d 3 k4 d l 4 λk k! eλ 1 d 1 d 3 d 1 d d 1 d 3 d4 d l λd k k! d4 d 1 e λ 1 d 11 d d 1 d 3 d d 3 d k 4 d 4 λk d 4 1 k! eλ d 1 1 d 1 d 3 l λd 1 k e λ k! d4 d 3 d 1 d d 1 d 3 dk 4 d 1 d k 1 d 4 d 4 d 1 l λd 3 k e λ k! λk k! eλ d 1 d 11 d 3 dk 4 d d k d 4 λk d 1 d d d 3 d 4 d k! eλ d 3 1 d 11 d dk 4 d 3 d k 3 d 4 λk d 1 d 3 d d 3 d 4 d 3 k! eλ λ d 1 1 d 1 d 3 d d 3 d eλ 1 d 11 d 3 d 1 d 3 d 3 1 d 11 d d 1 d d 1 d d 1 d 3 d d 3 λ eλ λ e λ d 4 1 d 1d 4 d 1 1 d 1 d 3 d d 3 d 4 d 4 d 1 d d 1 d 3 d d 3 d d 4 d 1 d 1 1 d 3 d 1 d 3 d 3 d 4 d 3 1 d 1 1 d d 1 d d 4 d 1 d d 1 d 3 d d 3 e λ d 4 d 4 1 d 4 d 4 d 4d 1 d 1 1 d 1 d 3 d d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d d 3 d 4 d 4d d 1 d 11 d 3 d 1 d 3 d 4 d 4d 3 d 3 1 d 11 d d 1 d d 4 d 1 d d 1 d 3 d d 3 e λ1d 1 1 d 1 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 eλ1d 1 d 1 1 d 3 d 4 d 1 d d d 3 d d 4 e λ1d 3 1 d 1 1 d d 4 d 1 d 3 d d 3 d 3 d 4 d 4 1 d 4 e λ1d d d d 1 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d 4 d 3 1 d 11 d 3 d 3 3 d 1 d d d 3 d d 4 d 1 d 11 d 4 d 1 d 3 d d 3 d 3 d 4 d 4 1 d 3 1 d d 1 d 3 d d 3 d d 4 d 3 d 4 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d 3 d 4 d 4 d 3 1 d 11 d 3 d 1 d 3 d 1 d 4 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d 3 d 4 d 4 d d 11 d d 1 d d 1 d 4 d d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d 3 d 4 d 4 e λ1d 4 d 4 1 d 1 1 d 1 d 3 e λ1d 1 1 d 1 d 3 d 4 E d4 1 d 4 d 1 d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 e λ1d e λ1d 3 1 d 1 1 d 3 d 4 d 1 d d d 3 d d 4 A szimulációs ellen rzést a 4.4-es ábrán mutatjuk be. 1 d 1 1 d d 4 d 1 d 3 d d 3 d 3 d 4 d 4 1 d 4 0

24 átlagos kárszám számolt szimuláció ábra. d 4 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye 4.3. Várható kárnagyság Az általunk kizett károk nagyságának várható értékére is szükségünk lesz. A várható kárnagyság meghatározásánál gyelembe kell vennünk, hogy csak egy bizonyos összeg alatt mozoghat. EX X < d i EX EX X < d i P X < d i EX X > d i P X > d i EX X < d i EX EX X > d i P X > d i P X < d i 1

25 Exponenciális káreloszlás. Az örökifjú tulajdonság miatt: EX X > d i 1 µ d i d i P X < d i 1 e µ d i ebb l: d i ln1d i µ EX X < d i Pareto káreloszlás. d i EX β α1 és d i feletti rész valószín sége: 1 µ 1 µ d i 1 d i d i P X < d i 1 P X < x X > d i az új eloszlás α, β d i paraméter Pareto. β 1 µ 1ln1d i µ 1 d i d i β β d i α ebb l: di α β d i α β β d i α β βx d i β 1d i α β és EX X > d i β d i α1 d i βα d i α1 EX X < d i βα β α1 β 1d i α β α1 1 d i d i β 1 α1 1 α1d i α α1 1 d i d i 4.4. Az alapdíj meghatározása A kezdeti díj összegét, azaz az alapdíjat a várható károk összegéb l fogjuk meghatározni. Amikor a biztosító meghatározza a díjakat, valószínüleg nem feltételezi, hogy az átlag ember eéle stratégiákhoz folyamodna, ezért csak az eredeti kárszám, illetve kárnagyság játszik szerepet az összeg meghatározásában. S t még a 15 bonus fokozatú rendszert fogjuk használni a számoláshoz. Tehát abból indulunk ki, hogy az egy f re jutó átlagos díjnak fedeznie kell az egy f re jutó átlagos kár összegét. Az átlagos kárösszeget pedig úgy kapjuk, hogy az átlagos kárszámot szorozzuk az átlagos kárnagysággal. Már csak az hiányzik, hogy megtudjuk, vajon hányszorosa az átlagos díj az alapdíjnak. A stacionárius eloszlás közelíti legjobban, hogy az emberek hány százaléka tartózkodik az egyes osztályokban. A stacionárius eloszlást az átmenetvalószín ség mátrix λ 1 sajátértékéhez tartozó baloldali sajátvektora adja. ππ λi 0 egyenletb l könnyen számolható pl. a MAPLE-lel, ahol Π-vel az átmenetvalószín ség mátrixot, I-vel az egységmátrixot, λ-val az 1 érték sajátértéket, π-vel meg a keresett sajátvektort jelöltük. A kapott vektort skalárisan szorozva a díjszorzók vektorával megkapjuk a kívánt összeget.

26 5. fejezet Eredmények A számoláshoz szükség van bizonyos adatokra. A KSH Központi Statisztikai Hivatal adatai alapján adjuk meg a kezdeti értékeket. Az átlagos kárszám: λ 0, 14. Az átlagos kárnagyság m Ft. Feltételezzük, hogy a biztosító a díj 5%-át egyéb költségekre fordítja, 75%-át meg a károk kizetésére. λ 0, 14-gyel számolva az átlagos díj az alapdíj 54%-a lesz. Ebb l megkapható az alapdíj, ami Ft. Az átmenetvalószín ség mátrix n-edik hatványának els sora adja, hogy az n. évben milyen valószín séggel melyik osztályban leszünk. Ezt a sort skalárisan szorozva a díjszorzók vektorával, és a kapott eredményt az alapdíj összegével, megkapjuk, hogy az n. évben várhatóan mennyi díjat fogunk zetni. Ezt n 1... n-re összeadva kapjuk a 11 év alatt ezetend díj várható értékét. Ehhez jön még a 11 év alatt zetend károk összege. Ha nem használunk semmilyen stratégiát, akkor Ft-ot zethetünk a biztosítónak 11 év alatt. Az Exponenciális káreloszlást feltételez eloszlással, ez az összeg Ft-ra csökkent, Pareto eloszlást feltételezve pedig Ft. Látható, hogy mindkét eloszlásnál a stratégia eredményre vezet. A pareto eloszlásnál az eredményessége nem jelent s. Hosszabb id szak vizsgálatánál esetleg komolyabb összegre is számíthatunk Az optimális eredmények Exponenciális kárnagyság esetén Az Exponenciális eloszlás paraméterét a várható értékb l határozzuk meg. Ex µ 3 µ

27 Az 5.1-es mátrixban a 0-kat önkényesen beírtuk. Hiszen ha a kárszám alapján már úgyis a legkisebb osztályban kerültünk, akkor attól kezdve okozott károkat biztosan nem érdemes kizetnünk. bonus fokozat 1.kár.kár 3.kár 4.kár A B B B B B B B B B B táblázat. Az Exponenciális eloszlás eredményei 5.. Az optimális eredmények Pareto kárnagyság esetén Pareto eloszlásnál meg kell adni a paramétereket. A várható értékb l Ft kapunk összefüggést közöttük. α-t 4-nek választva: Ex β α 1 β Ex α

28 bonus fokozat 1.kár.kár 3.kár 4.kár A B B B B B B B B B B táblázat. A Pareto eloszlás eredményei 5.1. ábra. Exponenciális és Pareto eloszlás feltételezése melletti összeghatárok 5

29 6. fejezet Új tényez k 6.1. Új kárszám eloszlás Tudni szeretnénk, hogy jobb illetve rosszabb vezet k esetében, hogyan változnak az összeghatárok. Tehát az egészet újra számoljuk λ 0, 04, illetve λ 3 0, 54 paraméterekre. A változások leginkább az els kárnál gyelhet k meg. Grakonon mutatjuk be, a különböz paraméter kárszám eloszlások, hogyan változtatják a d 1 értékeit ábra. A d 1 értékei különböz kárszámok függvényében, Exponenciális és Pareto eloszlás feltételzése mellett 6.. Az id Látható, hogy a stratégiánk ugyan eredményre vezet, de ahhoz, hogy jelent sebb összeget takarítsunk meg legalább hosszú évekig kellene vezetnünk. Bevezetünk egy új változót a képletünkbe, amivel nomíthatunk egy kicsit a stratégián. Nem árt gyelembe venni, hogy mennyi id telt el az évb l, amikor a balesetet okozzuk. Az új stratégia, hogy akkor zetjük ki a kárt, ha 1 t λ µ X < b i,j 6

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

1. (1) A bonus-malus rendszer a személygépkocsira, motorkerékpárra, autóbuszra, tehergépkocsira, vontatóra, mezőgazdasági vontatóra terjed ki.

1. (1) A bonus-malus rendszer a személygépkocsira, motorkerékpárra, autóbuszra, tehergépkocsira, vontatóra, mezőgazdasági vontatóra terjed ki. Bonus-malus rendelet 19/2009. (X.9.) PM rendelet a bonus-malus rendszer, az abba való besorolás, illetve a kártörténeti igazolások kiadásának szabályairól A kötelező gépjármű-felelősségbiztosításról szóló

Részletesebben

Szakdolgozat. Flották a gépjárm biztosításban

Szakdolgozat. Flották a gépjárm biztosításban Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Szakdolgozat Flották a gépjárm biztosításban Szalai Gábor Biztosítási és pénzügyi matematika, MSC aktuárius szakirány Témavezet : Kelemen Erika, vezet

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

GYAKRAN FELTETT KÉRDÉSEK MOTORKERÉKPÁR BIZTOSÍTÁS TÉMÁBAN Az alábbi összefoglaló, tájékoztató jellegű, Biztosítótól függően egyéni eltérések lehetnek.

GYAKRAN FELTETT KÉRDÉSEK MOTORKERÉKPÁR BIZTOSÍTÁS TÉMÁBAN Az alábbi összefoglaló, tájékoztató jellegű, Biztosítótól függően egyéni eltérések lehetnek. GYAKRAN FELTETT KÉRDÉSEK MOTORKERÉKPÁR BIZTOSÍTÁS TÉMÁBAN Az alábbi összefoglaló, tájékoztató jellegű, Biztosítótól függően egyéni eltérések lehetnek. 1. Mi a különbség a szerződéses kötelező gépjármű-felelősségbiztosítás

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egy bútorgyár polcot, asztalt és szekrényt gyárt faforgácslapból. A kereskedelemben

Részletesebben

Atomi er mikroszkópia jegyz könyv

Atomi er mikroszkópia jegyz könyv Atomi er mikroszkópia jegyz könyv Zsigmond Anna Julia Fizika MSc III. Mérés vezet je: Szabó Bálint Mérés dátuma: 2010. október 7. Leadás dátuma: 2010. október 20. 1. Mérés leírása A laboratóriumi mérés

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Dr Lakatos Mária BME Pénzügyek Tanszék. Lakatos Mária

Dr Lakatos Mária BME Pénzügyek Tanszék. Lakatos Mária Dr BME Pénzügyek Tanszék Általában az adó- illetve társadalombiztosítási elvonási rendszer két külön, egymástól független rendszerként jelenik meg, kettőjük kölcsönhatását alig, vagy nem elemezték eddig

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Pszichometria Szemináriumi dolgozat

Pszichometria Szemináriumi dolgozat Pszichometria Szemináriumi dolgozat 2007-2008. tanév szi félév Temperamentum and Personality Questionnaire pszichometriai mutatóinak vizsgálata Készítette: XXX 1 Reliabilitás és validitás A kérd ívek vizsgálatának

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

8. A Kkt. 21. (1) bekezdés g) pontjához kapcsolódóan a gépjárm üzemeltet je a 7. mellékletben meghatározott összeg bírságot

8. A Kkt. 21. (1) bekezdés g) pontjához kapcsolódóan a gépjárm üzemeltet je a 7. mellékletben meghatározott összeg bírságot 410/2007. (XII. 29.) Korm. rendelet a közigazgatási bírsággal sújtandó közlekedési szabályszegések körér l, az e tevékenységekre vonatkozó rendelkezések megsértése esetén kiszabható bírságok összegér l,

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása Szakdolgozat Soós Ivett Matematika B.Sc., Matematikai elemz szakirány Témavezet : Mincsovics Miklós

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

... függetlenül attól, hogy jelenleg milyen az anyagi helyzete.

... függetlenül attól, hogy jelenleg milyen az anyagi helyzete. Bérelj Magadtól! A következő oldalakon bemutatjuk Önnek, hogyan juthat lakáshoz, házhoz, tengerparti apartmanhoz, üzlethelyiséghez, autóhoz...... függetlenül attól, hogy jelenleg milyen az anyagi helyzete.

Részletesebben

Mikroökonómia II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 5. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 5. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika

Valószínűségszámítás és statisztika Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

AEGON TREND, TREND Basic Vállalati vagyon- és felel sségbiztosítási záradékok

AEGON TREND, TREND Basic Vállalati vagyon- és felel sségbiztosítási záradékok AEGON TREND, TREND Basic Vállalati vagyon- és felel sségbiztosítási záradékok AEGON TREND, TREND Basic Vállalati vagyon- és felel sségbiztosítási záradékok 1 V-1. sz. Záradék: Merevlemez- és flash memória

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

I. ANALITIKAI ADATOK MEGADÁSA, KONVERZIÓK

I. ANALITIKAI ADATOK MEGADÁSA, KONVERZIÓK I. ANALITIKAI ADATOK MEGADÁSA, KONVERZIÓK I.2. Konverziók Geokémiai vizsgálatok során gyakran kényszerülünk arra, hogy különböző kémiai koncentrációegységben megadott adatokat hasonlítsunk össze vagy alakítsuk

Részletesebben

Gépjárműve biztosításáról. Közúti balesetet bárki szenvedhet. Számtalan helyen érhet minket szerencsétlenség, akár útközben is.

Gépjárműve biztosításáról. Közúti balesetet bárki szenvedhet. Számtalan helyen érhet minket szerencsétlenség, akár útközben is. Gépjárműve biztosításáról Közúti balesetet bárki szenvedhet. Számtalan helyen érhet minket szerencsétlenség, akár útközben is. A kötelező gépjármű-felelősségbiztosítást minden gépjármű üzembentartónak

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

A kötelező gépjármű-felelősségbiztosítás (KGFB) rendszere 2010. január 1-től

A kötelező gépjármű-felelősségbiztosítás (KGFB) rendszere 2010. január 1-től A kötelező gépjármű-felelősségbiztosítás () rendszere január 1-től Az alapvető szabályokat a évi LXII. törvény, egyes részletszabályokat pedig külön rendeletek tartalmazzák, így egyebek mellett a kártörténeti

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

OsztalékÞ zetési politika a különböz méret mez gazdasági vállalkozásoknál

OsztalékÞ zetési politika a különböz méret mez gazdasági vállalkozásoknál 42 GAZDÁLKODÁS 57. ÉVFOLYAM 1. SZÁM, 2013 OsztalékÞ zetési politika a különböz méret mez gazdasági vállalkozásoknál BELOVECZ MÁRIA BORSZÉKI ÉVA Kulcsszavak: adózott eredmény, Þ zetett osztalék, mez gazdaság,

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 13. KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 13. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok

Sztochasztikus folyamatok Sztochasztikus folyamatok Pap Gyula, Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet, Sztochasztika Tanszék Utolsó frissítés: 2014. február 8. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 2 1. Sztochasztikus folyamatok

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Ökonometria. Logisztikus regresszió. Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu. Nyolcadik fejezet. Budapesti Corvinus Egyetem. 1 Statisztika Tanszék

Ökonometria. Logisztikus regresszió. Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu. Nyolcadik fejezet. Budapesti Corvinus Egyetem. 1 Statisztika Tanszék Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Nyolcadik fejezet Tartalom V. esettanulmány 1 V. esettanulmány Csődelőrejelzés 2 Általános gondolatok 3 becslése

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

1998-ban az Eötvös Loránd Tudományegyetemen. pszichológus diplomáját, Program on Gender

1998-ban az Eötvös Loránd Tudományegyetemen. pszichológus diplomáját, Program on Gender K A A óv m m v m y ü b * m y y b m j bb A ybó m. M m ó mb j b ( v ó : u ó, ü, ó u, y ó m, v - m y mó ó : v ó mu, y ó, ü b -, ü j, m b ó, b.). Em b ü b, ü b u,, - m ü, v y y m y. M u ó m m y v u m y b v

Részletesebben

Societatea Comerciala de Asigurare-Reasigurare Astra S.A. Biztosító Magyarországi Fióktelepe

Societatea Comerciala de Asigurare-Reasigurare Astra S.A. Biztosító Magyarországi Fióktelepe Societatea omerciala de sigurare-reasigurare stra S.. iztosító Magyarországi Fióktelepe kötelező gépjármű-felelősségbiztosítás 2012-es naptári évre vonatkozó díjtarifája Felhívjuk szíves figyelmét, hogy

Részletesebben

Iceberg ajánlatok a BÉT-en Összefoglalás

Iceberg ajánlatok a BÉT-en Összefoglalás Iceberg ajánlatok a BÉT-en Összefoglalás A Xetra kereskedési rendszer bevezetésével a Budapesti Értéktőzsdén is elérhetővé váltak az iceberg ajánlatok. Az új ajánlattípus bevezetésekor a Kereskedési Bizottságon

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

R6107. Aktív MAX befektetési egységekhez kötött nyugdíjbiztosítás. 2014. január 14. Czene Árpád

R6107. Aktív MAX befektetési egységekhez kötött nyugdíjbiztosítás. 2014. január 14. Czene Árpád R6107 Aktív MAX befektetési egységekhez kötött nyugdíjbiztosítás 2014. január 14. Czene Árpád 1 Adójóváírás a nyugdíjbiztosításokra 2014. január 1-t l 2013. december 31-ét követ en kötött szerz désekre

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

19/2009. (X. 9.) PM rendelet a bonus-malus rendszer, az abba való besorolás, illetve a kártörténeti igazolások kiadásának szabályairól

19/2009. (X. 9.) PM rendelet a bonus-malus rendszer, az abba való besorolás, illetve a kártörténeti igazolások kiadásának szabályairól 19/2009. (X. 9.) PM rendelet a bonus-malus rendszer, az abba való besorolás, illetve a kártörténeti igazolások kiadásának szabályairól A kötelező gépjármű-felelősségbiztosításról szóló 2009. évi LXII.

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

11/2012. számú Vezetői körlevél. a kötelező gépjármű-felelősségbiztosítási díjtarifa-hirdetéssel kapcsolatos felügyeleti elvárásokról

11/2012. számú Vezetői körlevél. a kötelező gépjármű-felelősségbiztosítási díjtarifa-hirdetéssel kapcsolatos felügyeleti elvárásokról 11/2012. számú Vezetői körlevél a kötelező gépjármű-felelősségbiztosítási díjtarifa-hirdetéssel kapcsolatos felügyeleti elvárásokról A Felügyelet jelen körlevélben foglalja össze azokat az elvárásokat,

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Peltier-elemek vizsgálata

Peltier-elemek vizsgálata Peltier-elemek vizsgálata Mérés helyszíne: Vegyész labor Mérés időpontja: 2012.02.20. 17:00-20:00 Mérés végrehatói: Budai Csaba Sánta Botond I. Seebeck együttható közvetlen kimérése Az adott P-N átmenetre

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Az Allianz Hungária Zrt. 2012. évi kötelező gépjármű-felelősségbiztosítási tarifája

Az Allianz Hungária Zrt. 2012. évi kötelező gépjármű-felelősségbiztosítási tarifája z llianz Hungária Zrt. 2012. évi kötelező gépjármű-felelősségbiztosítási tarifája Felhívjuk szíves figyelmét, hogy amennyiben a korábban kötött kötelező gépjármű-felelősségbiztosítási szerződését határidőre

Részletesebben

P (ξ < 490) = F ξ (490) = Φ( 490 m ) = 0.03 10

P (ξ < 490) = F ξ (490) = Φ( 490 m ) = 0.03 10 Valszám-megoldások. Feladat. Legyen P (A =, 3 és P (B =, 6... Kérdés. Mennyi P (A + B, P (AB, ill. P (A B, ha A és B függetlenek?... Megoldás. Ha A és B függetlenek, akkor A és B, valamint B és A, valamint

Részletesebben

Az UNIQA Biztosító Zrt. 2015. január 1-től alkalmazandó kötelező gépjármű-felelősségbiztosítási (kgfb) díjtarifája

Az UNIQA Biztosító Zrt. 2015. január 1-től alkalmazandó kötelező gépjármű-felelősségbiztosítási (kgfb) díjtarifája UNIQA Biztosító Zrt. 1134 Budapest, Róbert Károly krt. 70 74. Tel.: +36 1/20/30/70 5445-555 Rövid hívószám: 1418 Fax: +36 1 238-6060 E-mail: info@uniqa.hu www.uniqa.hu www.uniqa.hu Az UNIQA Biztosító Zrt.

Részletesebben

Az UNIQA Biztosító Zrt. 2014. július 1-től alkalmazandó kötelező gépjármű-felelősségbiztosítási (kgfb) díjtarifája

Az UNIQA Biztosító Zrt. 2014. július 1-től alkalmazandó kötelező gépjármű-felelősségbiztosítási (kgfb) díjtarifája UNIQA Biztosító Zrt. 1134 Budapest, Róbert Károly krt. 70 74. Tel.: +36 1/20/30/70 5445-555 Rövid hívószám: 1418 Fax: +36 1 238-6060 E-mail: info@uniqa.hu www.uniqa.hu www.uniqa.hu Az UNIQA Biztosító Zrt.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

VERESEGYHÁZ AUTÓ BIZTOSÍTÁS - CASCO STATISZTIKAI ADATAI 2012

VERESEGYHÁZ AUTÓ BIZTOSÍTÁS - CASCO STATISZTIKAI ADATAI 2012 VERESEGYHÁZ BIZTOSÍTÁSI STATISZTIKAI ADATAI TOVÁBBI VÁROSOK Biztosítást kötő ügyfeleink nemenkénti megoszlása - Veresegyház VERESEGYHÁZ AUTÓ BIZTOSÍTÁS - CASCO STATISZTIKAI ADATAI 2012 A diagram azon veresegyházi

Részletesebben

A technológia és költség dualitása: termelési függvény és költségfüggvények. A vállalat optimális döntése

A technológia és költség dualitása: termelési függvény és költségfüggvények. A vállalat optimális döntése 1 /11 (C) http://kgt.bme.hu/ A technológia és költség dualitása: termelési függvény és költségfüggvények. A vállalat optimális döntése Varian 20.3-6. 21. fejezet Termelési és hasznossági függvény (ismétlés

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

5. Lineáris rendszerek

5. Lineáris rendszerek 66 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 5 Lineáris rendszerek 5 Lineáris algebrai előismeretek Tekintsük az a x + a 2 x 2 = b 5 a 2 x + a 22 x 2 = b 2 52 lineáris egyenletrendszert Az egyenletben szereplő

Részletesebben

Bírálat Do Van Tien Multi-Server Markov Queueing Models: Computational Algorithms and ICT Applications cím MTA doktori disszertációjáról.

Bírálat Do Van Tien Multi-Server Markov Queueing Models: Computational Algorithms and ICT Applications cím MTA doktori disszertációjáról. Bírálat Do Van Tien Multi-Server Markov Queueing Models: Computational Algorithms and ICT Applications cím MTA doktori disszertációjáról. Témaválasztás Do Van Tien MTA doktori fokozat megszerzéséhez a

Részletesebben

ALAPSZABÁLY III. AZ EGYESÜLET TAGSÁGA

ALAPSZABÁLY III. AZ EGYESÜLET TAGSÁGA SALGÓTARJÁNI FORGÁCS FÉNY EGYESÜLET ALAPSZABÁLY I AZ EGYESÜLET NEVE, SZÉKHELYE ÉS JOGÁLLÁSA 1.) Az Egyesület neve: Forgács - Fény Egyesület 2.) Székhelye: 3100 Salgótarján, Forgách Antal út 1. 3.) Levelezési

Részletesebben

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok.

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. ZÁRÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK egyetemi szintű közgazdasági programozó matematikus szakon A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. 2. Függvények, függvények folytonossága.

Részletesebben

Kárszámeloszlások modellezése

Kárszámeloszlások modellezése Kárszámeloszlások modellezése DIPLOMAMUNKA Írta: Talabér Dóra Edit Biztosítási és pénzügyi matematika MSc Aktuárius szakirány Témavezető: Prokaj Vilmos egyetemi docens ELTE TTK Valószínűségelméleti és

Részletesebben

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÉZI CSABA GÁBOR 5. Taylor-polinom 5.. Feladat. Írjuk fel az f(x) = e x függvény x 0 = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki e közelítő értékét!

Részletesebben

Határid s szolgáltatások teljesítményének mérése A dinamikus "SPAN" modell

Határid s szolgáltatások teljesítményének mérése A dinamikus SPAN modell A dolgozat szerkesztett formában megjelent a Magyar Min ség XVI. évfolyam 2. szám, 2007. februári számában Határid s szolgáltatások teljesítményének mérése A dinamikus "SPAN" modell Tóth Csaba László Kaizen

Részletesebben