Bevezetés a kísérletmódszertanba. Johanyák Zsolt Csaba

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Bevezetés a kísérletmódszertanba. Johanyák Zsolt Csaba"

Átírás

1 evezetés a kísérletmódszertanba Johanyák Zsolt Csaba 009

2 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba artalomjegyzék. evezetés kísérletmódszertan léései Hibatényezık csökkentése Kísérlettervezés elıkészítése Faktor Faktorok osztályozása Példák a faktorok kiválasztására Szint Jelölésmód Otimalizációs araméter (minıségi jellemzı) Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek Faktorszint váltás egyesével (one-by-one módszer) Egyfaktoros módszer Regresszió elemzés Csoortfaktoros kísérletterv Kiértékelés eljes faktoriális kísérletterv Kísérletek kiértékelése Egyszerő hatásvizsgálat Részleges faktoriális kísérletterv ráteleítés kockázata ervkészítés az identitás oszlo segítségével Shainin kísérletmódszertana Elsıdleges kiválasztás öbbváltozós kártyák lkatrész keresés Páros összehasonlítás Változók keresése /C elemzés aguchi kísérletmódszertana Veszteségfüggvény Számítások aguchi veszteség függvényével Kölcsönhatás nélküli homogén terv Kölcsönhatásokat tartalmazó homogén terv Szabadon maradó oszlook Vegyes kísérletek tervezése Szintnövelés Szintcsökkentés Szintnövelés és szintcsökkentés kombinált alkalmazása Robusztus tervezés Standard elemzés... 4

3 . evezetés Hatásvizsgálat Variancia elemzés (NOV) Ismétléses kísérletek kiértékelése Standard elemzés Jel/zaj viszony elemzés Minıségi változóval jellemezhetı gyártási folyamatok elemzése Válaszfelület módszerek Válaszfelület Léegetések elve Léegetések elvén alauló módszerek Matematikai modell Gradiens módszer modell felállítása gradiens módszer alkalmazása Szimlex módszer Kezdı szimlex z új szimlex csúcsa szimlex módszer elınyös tulajdonságai Példa a szimlex módszer alkalmazására... 6 Irodalomjegyzék Mellékletek t -α értékek táblázata F értékek táblázata 95%-os szintre z F értékek táblázata 99%-os szintre aguchi által javasolt kísérlettervek Háromszög táblázatok... 7 Háromszög táblázat kétszintes oszlookhoz... 7 Háromszög táblázat háromszintes oszlookhoz Háromszög táblázat négyszintes oszlookhoz

4 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba. evezetés legtöbb technológiánál a sorozatgyártás beállítása bonyolult folyamat. gékezelı a feladatot sokéves taasztalata és beállítási utasítások alaján hajtja végre, amihez támontot nyújthatnak a katalógusok és az átlagérték táblázatok. kezdeti beállításokkal róbadarabokat készítenek, méréseket végeznek, módosítgatják a beállításokat mindaddig, míg el nem érik a megkívánt eredményt. Ezt az eljárási módot róbálgatásos módszernek nevezik. lkalmazása különösen új feladatoknál kritikus, ugyanis ilyenkor nem áll rendelkezésre taasztalati ismeretanyag. Egy jól megtervezett módszer lényeges eleme a visszavezethetıség, ami különösen fontos az orvosi és gyógyszerészeti területeken. Ma már az iari gyakorlatban is jellemzı, hogy a megrendelık szállítóiktól nemcsak minıséget követelnek meg, hanem annak bizonyítását is, hogy ezen minıség állandóságát megfelelı intézkedésekkel biztosítják. Így éldául a Ford a minıségauditok során ellenırzi, hogy a szállítók alkalmazzák-e a kísérlettervezés módszereit a folyamatok beállítása során. géiaron kívül más iarágakban is megfigyelhetjük, hogy rendszerezett módszereket használnak a folyamatok vizsgálatára. Ennek oka a vizsgálat idıtartamában rejlik. Míg egy esztergagé beállításának megváltoztatása egy gyorsan ellenırizhetı eredményt ad, addig a mezıgazdaságban egy kísérlet több évre is kinyúlhat. Éen ezért ezeken a területeken kénytelenek a tervezésre helyezni a hangsúlyt. mai kísérlettervezés alajait Ronald Fischer statisztikai vizsgálatai teremtették meg. jelenleg elterjedt módszereket alavetıen három csoortba oszthatjuk (.. táblázat). faktoriális tervek lehetıvé teszik több faktor egyidejő vizsgálatát. kísérletek számának elfogadható keretek között tartása érdekében a megvizsgálni kívánt beállítások számát faktoronként legtöbbször kettıre szokták korlátozni. Ez elegendı a faktorok jelentıségének kimutatásához, és sok esetben az otimális beállítási tartomány meghatározásához is. Logikus feléítésük és egyszerő kezelésük következtében ezek a tervek az iari gyakorlatban jól alkalmazhatóak. z utóbbi idıben egyre nészerőbbek az egyszerősítı módszerek, mint a aguchi és Shainin által leírt technikák, amelyek a faktoriális vizsgálatok családjába tartoznak. táblázatban szerelı válaszfelület módszereket az összefüggések részletekbe menı vizsgálatára és a jelleggörbe mezık modellezésére használják. z elıre meghatározott és az iteratív kísérleti utasításokon alauló módszereket.. táblázat statisztikai kísérlettervezés módszerei különböztetjük meg. z elıre Faktoriális tervek Válaszfelület tervek meghatározott kísérleti utasítások lehetıvé teszik a jelleggörbe mezık matematikai modelljének feléítését. Itt olyan magasabb szintő kísérleti terveket alkalmaznak, melyek bizonyos ráfordításokat feltételeznek. léegetéses módszerek olyan stratégiákat alkalmaznak, melyek lehetıvé teszik a folyamat léésenkénti Faktorszint váltás egyesével Egyfaktoros Csoortfaktoros eljes faktoriális X k Részleges faktoriális X k- Shainin aguchi Négyzetes tervek Latin négyzet Görög-Latin négyzet Hier Görög-Latin négyzet Gauss-Seidel Gradiens (ox-wilson) Szimlex Sztochasztikus közelítések módszere Youden négyzet Lattice négyzet 4

5 . evezetés otimalizálását. Ezen csoort legfontosabb kéviselıi az evolúciós (fejlıdésen alauló) módszerek, melyek megróbálják a természet viselkedését lekéezni az iari folyamatokra. négyzetes terveket, kettınél több beállítási lehetıséggel rendelkezı faktor (a folyamat valamely állítható aramétere) egyidejő vizsgálatára használják. faktorok száma korlátozott kell legyen a kezelhetıség érdekében. végrehajtott kísérletek variancia elemzése (változékonyság elemzése) tájékoztatást ad a faktorok szignifikanciájáról (jelentıségérıl). 5

6 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba. kísérletmódszertan léései statisztikailag tervezett vizsgálatok alkalmazásának léései az.. táblázatban szereelnek. lavetı jelentıségő, hogy a lehetı legtöbb szakmai tudás éüljön be a vizsgálatba a hibás tervezés és értelmezés megelızése érdekében. Itt nagy segítséget jelenthet a korábbi folyamat-megfigyelésekbıl nyert ismeretanyag. vizsgálatot egy részlegközi csoort hajtja végre, amelyben a kísérlettervezés és a statisztika területének szakértıi mellett olyanok is részt vesznek, akik jól ismerik az adott folyamat technológiáját. Különös figyelmet kell fordítani arra, hogy a vizsgálat sikeressége nagymértékben függ a gékezelık együttmőködésétıl. különbözı részlegek dolgozói közti együttmőködés megleı hatásokat eredményezhet. Gyakran már azáltal is javulás érhetı el, hogy a tervezés szakemberei taasztalatot cserélnek a gyártás szakembereivel. Minél ügyesebben terveznek meg egy kísérletet, annál kisebb a végrehajtáshoz.. táblázat kísérletmódszertan léései Elıkészítés faktorok meghatározása kiválasztás mértékegység mérési ontosság mérési mód faktor szintek otimalizációs araméter ervezés kölcsönhatások becslése kísérlettervezési technika kiválasztása kísérletterv elkészítése Végrehajtás Paraméterek beállítása Minıségi jellemzı meghatározása Elemzés grafikus módszer statisztikai módszer otimális faktorszintek meghatározása vagy visszatérés az elıkészítéshez vagy a tervezéshez Igazoló kísérletek tervezés végrehajtás kiértékelés szükséges ráfordítás, és annál megbízhatóbb a kísérlet kiértékelésébıl levont következtetés. Ennek következtében a tervezés bír a legnagyobb jelentıséggel. legtöbb ráfordítás a megvizsgálni kívánt faktorok összeállításához és kiválasztásához, valamint a kölcsönhatások becsléséhez szükséges. Ezek lényeges elıfeltételei a végrehajtási költségek csökkentésének... Hibatényezık csökkentéserandomizálás ismétlés o egy beállítással o beállítások váltogatásával kísérleteket recízen kell végrehajtani. változó folyamataraméterek ontos beállítása mellett figyelmet kell szentelni a mértékegységek megállaítására és az elıállított termékek jelölésére is. İrizkedni kell attól, hogy a kísérleti tervet odaadjuk a gékezelınek, és az eredményekben vakon megbízzunk. Különöskéen nagyobb kísérleti terveknél könnyen hiba csúszhat a végrehajtásba. Emiatt a kísérleteket több szakértı személy jelenlétében kell végrehajtani. Ha a gékezelıt magára hagyják, akkor ı önhatalmúlag eltérhet a tervtıl, és ezt nem dokumentálja. Egy ilyen vizsgálat eredményei semmitmondóak, sıt félrevezetıek lehetnek. 6

7 . kísérletmódszertan léései hibás értelmezés megelızése érdekében elfogadhatósági szemontból a kísérletek eredményét ellenıriztetik technológiai szakértıkkel. kiértékelés során jó szolgálatot tehetnek a grafikus eljárások, mint l. a hatásdiagramok. kísérleti eredményeket feldolgozás után továbbítják a vezetés felé. Erre jó megoldást jelenthet az elért javítás olyan ábrázolása, mely kiemeli a régi és az új állaot közötti különbséget. mennyiben lehetséges, a javítást énzügyi egységben (l. költségek) fejezik ki. Hatásosan alkalmazható aguchi veszteségfüggvénye is. 7

8 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba 3. Kísérlettervezés elıkészítése 3.. Faktor faktor egy mérhetı vagy minısíthetı változó mennyiség, amely adott idıontban meghatározott jellemzıkkel bír, és hatást gyakorol a folyamatot jellemzı mennyiségre (otimalizációs araméter). Faktor figyelmen kívül hagyásának kockázata: Növekszik a kísérleti hiba Nem a valódi otimális beállítást találjuk meg Lényegtelen faktorok kiszőrése: rostáló módszerek (ha a faktorszám>5) Véletlen kiegyenlítés módszere Plackett-urman tervek Shainin technikák NOV Feladatok: Faktor megválasztása Mértékegység megválasztása Mérési ontosság megválasztása Mérési mód megválasztása Faktorokkal szembeni követelmények: közvetlenül az objektumra irányuljon a hatása (egyértelmő) függetlenség, l. termodinamikus rendszer, faktorok: nyomás, hımérséklet, térfogat VnR összeegyeztethetıség (veszélytelenség) 3... Faktorok osztályozása Kezelhetıség szemontjából: Kézben tartható (irányítható): a faktor bármely értelmezési tartományon belüli értéke beállítható különösebb anyagi vagy mőszaki jellegő nehézség nélkül, és a kísérlet során állandó értéken tartható aktív kísérletek Nem kézben tartható (aguchi zajfaktor): a faktor értelmezési tartományon belüli bármely értékeinek beállítása gazdasági, mőszaki vagy más jellegő nehézségbe ütközik vagy megoldhatatlan asszív kísérletek Összetettség szemontjából: egyedi összetett, l. két komonens hányadosa Értékelés szemontjából: mennyiségi: idı, hımérséklet, tömeg, darabszám, reakcióidı, koncentráció, adagolási sebesség, PH érték minıségi: anyagtíus, minıség, technológiai eljárás tíusa, készülék, dolgozó személye Értékkészlet szemontjából: folytonos: idı, hımérséklet 8

9 3. Kísérlettervezés elıkészítése diszkrét értékekkel rendelkezı: darabszám 3... Példák a faktorok kiválasztására. utadién-sztirol-kaucsuk telítetlen savak sóival történı vulkanizálása [dler 977] Faktorok: vulkanizálási hımérséklet, vulkanizálási idı, iniciátor mennyisége, vulkanizáló hatóanyag mennyisége, oxid mennyisége oxid tíusa (cink oxid, magnézium oxid), savmaradék tíusa (metakrilát, maleát), sókation tíusa (Na, Mg ).. z alumínium elektrolízises elıállítási folyamatának vizsgálata [dler 977]. Faktorok: az elektrolizáló kád feszültsége; az elektrolízis üzemeltetési szakaszai közötti idı; C a magnézium-fluorid koncentrációja az elektrolitben; C a kalcium-fluorid koncentrációja az elektrolitben; D a kriolit hányados; E az elektrolit szintje a kádban; F a szénhabelvétel oerációi közötti idı. 3. rezisztorgyártás otimalizálása [dler 977]. Faktorok: a sajtolás során felléı nyomás; a sajtolás során felléı hımérséklet; C a nyomás alatt tartás ideje; D a muffolában levı hımérséklet a sajtolás során; E a hıntartás ideje; F a töltıanyag diszergáltsága; G az adalékanyag és töltıanyag aránya; H a samottozás során fennálló nyomás; I a korom diszergáltsága; J a samottozás ideje; K a talazat kerámiájának minısége; L az adalékanyag diszergáltsága. 4. szulfátcellulóz fızési folyamatának vizsgálata [dler 977]. Faktorok: az aktív lúg koncentrációja a fızıoldatban (Na O egységekben); az oldat szulfittartalma; C a fızés véghımérséklete; D a hımérsékletnövekedés idıtartama a véghımérséklet eléréséig; E a fızés idıtartama a véghımérsékleten. 5. molibdénérc dúsítási folyamatának vizsgálata [dler 977]. Faktorok: az érc arítási ideje; a szükséges nátriumoleát mennyisége; C a szükséges alkáliszulfát mennyisége; D a szükséges szóda mennyisége; E a szükséges etróleum mennyisége. 6. cirkónium és hafnium sósavlodatból való extrakciós folyamatának otimalizálása [dler 977]. Faktorok: a fém koncentrációja; a sav koncentrációja; C az alkohol koncentrációja; D a fázisok térfogatainak aránya. 7. Gékocsi-iari beszállítónál csövet réselnek egy furatba, és ragasztóval megerısítik. z illeszkedés vizsgálata a kiszakítási nyomaték mérésével [Kemény 999]. Faktorok: 9

10 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba a furat átmérıje; a ragasztó tíusa; C a ragasztó mennyisége. 8. Gékocsi-iari beszállítónál furatba réselnek egy tengelyt, a cél a kiszakítási nyomaték elıírt minimális értékének elérése [Kemény 999]. Faktorok: - ragasztó tíusa; - ragasztó tömege; C - tengely-tisztítás; D - ház-tisztítás; E - beréselési nyomás; F - állási idı; G - ragasztó alkalmazási módja. 3.. Szint faktorok kiválasztását követı léés a a szintek számának és értékeinek meghatározása. szintek azon faktorértékek, amiket kiróbálunk a kísérletek során. Elsıként tisztáznunk kell, hogy milyen értékhatárok között változtathatjuk a kísérletek során az egyes befolyásoló tényezık értékeit. taasztalatok alaján a gyakorlatban használt értékek határozzák meg legtöbbször az intervallumot. költségek mértékét általában alacsony szinten szeretnénk tartani, ezért legtöbbször két értéket jelölünk meg feltételezve, hogy közöttük lineárisan viselkedik a folyamat. y otvalódi y y y otfeltételezet t y x 3.. ábra Hibás szintválasztás kockázata mennyiben nem lehetünk biztosak a lineáris viselkedésben, három vagy több szint kijelölése szükséges, különben könnyen átléhetünk a számunkra fontos értékek felett (3.. ábra). Ha a folyamat robusztus tervezése a cél, semmiké ne válasszunk háromnál kevesebb szintet. kiróbálásra kerülı értékeket úgy határozzuk meg, hogy az alkalmazásukkal elıállított termék jó legyen, azaz semmiké ne válasszunk olyan értéket, amelyrıl elıre tudjuk, hogy a vele elıállított termék biztosan nem felel meg (l. tőrésmezın kívülre esik). Részesítsük elınyben az olyan értékeket, amelyek közül egynél várhatóan nagyon jó, míg másoknál nem olyan jó lesz a termék. Kísérletezésre kutatási, folyamatvizsgálati célból is sor kerülhet, ilyenkor a fenti javaslatok nem érvényesek, sıt a szélsıséges faktorértékek betervezése kifejezetten kívánatos. Mindkét esetben fontos megkötés, hogy csak összeférhetı szinteket válasszunk Jelölésmód x otvalódi valódi viselkedés feltételezett viselkedés x x x otfeltételez elıjellel (kétszintes eset): l., - betőjellel (kétszintes eset): l. J, R (J-feltételezhetıen jó eredményhez vezetı szint, R- feltételezhetıen gyengébb eredményhez vezetı szint) betőjellel (háromszintes eset): l., K, F (-alsó szint, K-közésı szint, F-felsı szint) számmal (háromszintes eset) l.,, 3 0

11 3. Kísérlettervezés elıkészítése 3.3. Otimalizációs araméter (minıségi jellemzı) folyamat eredményének mértéke, idális esetben numerikus mennyiség. Ha a folyamatot több mennyiség együttesen jellemzi, akkor mesterséges otimalizációs aramétert ún. általános értékelési kritériumot (ÁÉK) állítunk fel. íusai: kisebb a jobb nagyobb a jobb célérték a jobb z otimalizációs araméterrel szemben támasztott elvárások: lehetıleg számmal kifejezhetı legyen, ha nem mérhetı, akkor rangsorolás bármely faktorszint kombináció eredménye mérhetı legyen értékkészlet egyetlen szám vagy ÁÉK egyértelmőség, azaz egy faktorszint kombinációhoz egy eredmény véletlen változékonyság kielégítı ontossággal lehessen mérni Legyen univerzális (teljes) segítségével a folyamat sokoldalúan jellemezhetı l. ÁÉK Legyen egyszerően és könnyen kiszámítható Legyen fizikailag értelmezhetı Pl.: cetil aceton elıállítása [dler 977]. folyamat léései (3.. ábra): Etilacetát, aceton és nátrium kondenzálása lkohol-éter keverék leárlása C D E F cetil aceton kivonása az acetilaceton-nátriumból nyers acetil aceton nátrium leárlása G H I J K L M N O 3.. ábra cetil aceton elıállítási folyamatának léései Faktorok: a kondenzálás reakcióhıje (), az aceton hozzáöntésének idıtartama (), a kondenzálás idıtartama (C), a komonensek aránya (D), keverési sebesség (E), a száraz maradék véghımérséklete (F), H érték (G), a sósav adagolási sebessége (H), a kiválasztódás hımérséklete(i), az alkohol-éter keverék desztilációs hımérséklete az elsı frakcióban (J), az alkohol-éter keverék desztilációs hımérséklete a második frakcióban (K), az alkohol-éter keverék desztilációs hımérséklete a harmadik frakcióban (L), az elsı frakció desztillációs idıtartama (M), a második desztillációs idıtartama (N), a harmadik desztillációs idıtartama (O). Végezzük-e el az otimalizálást a teljes folyamatra egyszerre vagy az egyes szakaszokra külön-külön? Ha az egyes szakaszok kimenete jellemezhetı egyetlen mennyiséggel, ami

12 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba magában foglal minden olyan információt, ami a következı szakasz bemenetének jellemzéséhez szükséges, akkor szakaszként otimalizáljunk, mert az sokkal kevesebb kísérletet (kiadást) igényel, mint a teljes folyamatra egyszerre végrehajtott otimalizáció.

13 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek 4.. Faktorszint váltás egyesével (one-by-one módszer) öbb faktor hatásának vizsgálatára a C legegyszerőbb eljárás az one-by-one módszer. Itt egyszerre mindig csak egy faktort változtatnak, a többi változatlan marad. Mivel 4 ez egy könnyen ismételhetı eljárás, ezért nagyfokú egyszerősége ellenére jelentıs javulást eredményez bármely tervezetlen 3 eljárással szemben. Kétszintes esetben a kísérletek száma faktorszám. együk fel, hogy három kétszintes faktorunk van. kísérlettervet a táblázat tartalmazza. 4.. táblázat C 3 4 múltban számos jelentıs tudós (Galilei, Newton) ezt a 4.. ábra Kísérletek a faktortérben módszert alkalmazta. z egyfaktoros módszernek hátrányai is vannak más kísérlettervezési módszerekkel szemben: nehéz felismerni a faktorok közötti kölcsönhatást, mivel mindig csak egy faktor változik; a vizsgálat során nem lehet figyelembe venni az egyéb zavaró hatásokat. Ezen okok miatt fejlesztették ki a továbbiakban ismertetésre kerülı kísérleti terveket, melyek lehetıvé teszik egyszerre több faktor vizsgálatát. 4.. Egyfaktoros módszer Egyetlen faktorral és több szinttel dolgozó terv. z eredmények kiértéklésére interolációt vagy regressziót alkalmazunk.4... Regresszió elemzés regresszió elemzés lehetıvé teszi a vizsgált faktor hatásának modellezését a vizsgált értéktartományon belül. Általában akkor alkalmazzák, ha az egyes faktorszintekhez számszerősíthetı, mérhetı értékek társíthatók. ovábbi elıfeltétel az is, hogy minden faktorszint esetén a kísérlet eredményeként mért érték normál eloszlású legyen, és varianciája ne függjön az adott kísérletet jellemzı aramétertıl (homogén variancia). z elemzés során abból indulunk ki, hogy a faktor és a minıségi jellemzı egy kétdimenziós teret (síkot) alkotnak, ahol minden egyes sor a kísérlettervbıl egy síkbeli ontnak felel meg. z elemzés során megróbálunk egy szabályos görbét illeszteni erre a onthalmazra úgy, hogy az egyes ontok görbétıl mért y irányú távolságainak négyzetösszege minimális legyen. görbe matematikai leírásának ismeretében megkeressük azt a araméterértéket, amely a számunkra otimális minıségi jellemzıt nyújtja. meghatározott függvénykacsolat csak a faktor kísérletekben kiróbált szélsıértékei által behatárolt intervallumban érvényes. z extraoláció nem lehetséges. 3

14 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba Kövessük végig az eljárást lineáris regresszió esetén. kkor tekintjük lineárisnak a regressziót, ha a faktor értékváltozása és a kísérlet eredményének változása között egy egyenessel ábrázolható a kacsolat. együk fel, hogy egy kísérlet eredménye kéen a 4.. táblázatban szerelı értékeket katuk. ontok grafikus ábrázolása a 4.. ábrán szereel. Ránézésre feltételezhetı, hogy kacsolat van az x (faktorérték) és az y (mért eredmény) között, és elkézelhetı, hogy ez a kacsolat lineáris. hhoz, hogy megbizonyosodjunk elsı benyomásunk helyességén, ki kell számolnunk a korrelációs együtthatót (4..). sxy r s s x y (4..) ahol: s xy - xy közös korrigált taasztalati szórásnégyzete S x - x korrigált taasztalati szórása - y korrigált taasztalati szórása _ x k S y k x i i 34, ábra 4.. táblázat kísérlet eredményei x (faktorérték) y (mért érték) (4..) _ y k k y i i 09,857 (4.3.) k xi x yi y i s xy 33,90 (4.4.) k s x k i x i _ x k 7, 43 (4.5.) s y k i r0,9399 y i _ y k 4, 7409 (4.6.) fenti kéletekben k a mérések számát jelölte (k7). kiszámított értékeket behelyettesítve a (4..)-ba megkajuk r értékét. korrelációs együttható értelmezése az emirikus módszerrel és a t-róbával lehetséges. 4

15 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek 4... Emirikus módszer Ha r x és y között lineáris kacsolat van, 0,7< r < egyértelmő (ozitív/negatív) korreláció áll fenn, 0,3< r <0,7 bizonytalan (ozitív/negatív) korreláció áll fenn, r <0,3 x és y nem korrelált. mi esetünkben egyértelmően megállaítható a ozitív korreláció, és mivel az érték -hez közeli, valószínő a lineáris kacsolat t-róba z adott feltételekre kiszámítunk egy t sz értéket (4.7.), és ezt összehasonlítjuk a szabadságfok (υ) és a választott szignifikancia szint (α) által meghatározott táblázatbeli kritikus értékkel. mennyiben t sz < t krit akkor (-α) 00 % valószínőséggel állíthatjuk, hogy nincs lineáris kacsolat x és y között. t sz > t krit akkor (-α) 00 % valószínőséggel állíthatjuk, hogy lineáris kacsolat van x és y között. becslés szabadságfoka υk-5, mivel a lineáris regresszió által meghatározott egyenes kéletében két aramétert kell majd megbecsülnünk. Ha 99%-os biztonsági szinten akarunk nyilatkozni, a szignifikancia szint α0,0 lesz. t sz értékét meghatározó kélet: t sz r υ r k r r 6,55 Kétoldali esettel számolva a táblázatból kivett kritikus érték: t krit t υ,-α/ t 5; 0,995 4,03 (4.7.) számított érték ennél nagyobb, így 99%-os biztonsággal állíthatjuk, hogy x és y között lineáris kacsolat áll fenn z egyenes egyenlete Grafikusan ábrázolva a ontokat láthatjuk, hogy nem egy egyenesen helyezkednek el. z elméleti egyenestıl való eltéréseket a véletlen szórás okozza. ontok elhelyezkedését az y i a.x i b ε i (4.8.) egyenlettel modellezhetjük. z a.x i b rész fejezi ki a lineáris összefüggést, míg az ε i -k egymástól független normális eloszlású véletlenszámok, melyeknek várható értéke 0. Célunk az egyenes egyenletének meghatározása oly módon, hogy a mért értékeket ábrázoló ontok függıleges irányban a lehetı legkisebb távolságra legyenek az egyenestıl. z a és b aramétereket a legkisebb négyzetek elvének alkalmazásával becsüljük meg. z eltérések négyzetösszege: k ( i i ) Q y a x b i (4.9.) Olyan egyenest keresünk, amelynél ez az érték minimális. Itt (4.9.)-t egy kétváltozós (a és b) függvénynek tekintjük, mely ott vesz fel szélsıértéket, ahol az a illetve b szerinti elsırendő 5

16 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba arciális deriváltak (4.0.)(4..) nulla értékőek lesznek. mennyiben a másodrendő deriváltak (4..)(4.3.) ozitívak, ez a szélsıérték egy minimum ont. k Q xi yi a xi b a i ( ) Q b k ( yi a xi b) i (4.0.) (4..) Q a k x i (4..) i Q k (4.3.) b z elsırendő deriváltakat egyenlıvé téve nullával egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerhez (6) jutunk a-ban és b-ben. k k a xi b k yi i i k k k a xi b xi xi y i i i z egyenletet megoldva az i (4.4.) s a r s xy y (4.5.) s s x x _ s _ xy b y x (4.6.) s x kéletekhez jutunk. ehelyettesítve az aktuális értékeket: a 0,60 b 89,04 keresett egyenes egyenlete : y 0, 60 x 89, Csoortfaktoros kísérletterv Gyakran elıfordul, hogy a robléma megoldásához elegendı a rendelkezésre álló feltevések igazolása (igazoló kísérletek). Pl. a futó folyamatokra vonatkozó adatelemzés vagy korábbi kísérletek eredményei arra engednek következtetni, hogy egy bizonyos folyamat-beállítás jelentıs javuláshoz vezet. Ilyen helyzetben a kísérletekhez kacsolódó ráfordítások szintjének alacsonyan tartása érdekében a következı stratégia követése ajánlott: az egyes faktorok összefoglalása egyetlen csoortfaktorba, a csoortfaktor vizsgálata egy egyfaktoros kísérlettel, 6

17 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek megfelelı kiértékelési módszerek alkalmazása táblázat Csoortfaktor Faktor/szint Kenhetıség Kalóriatartalom Ár - alacsony magas magas magas alacsony alacsony Kövessük végig az eljárást egy egyszerő éldán keresztül. Növelni kell az eladott csomagok számát egy margarinfajta esetében. Minıségi jellemzınek az eladott csomagok számát tekintjük egy rerezentatívnak minısülı áruházban. efolyásoló tényezı a kenhetıség, az ár, az eltarthatóság és a kalóriatartalom. szakértık arra számítanak, hogy a kenhetıség növelése, valamint a kalóriatartalom és az ár csökkentése az eladások mértékének növekedéséhez vezet. z eltarthatóságot nem tekintik lényeges tényezınek az eladott darabszám szemontjából. z eljárás célja az, hogy ezeket a feltevéseket megvizsgáljuk, és nem az, hogy az egyes hatásokat részleteikben megállaítsuk. Elsı léésként a fentiek szerint kialakítjuk a 4.3. táblázatban szerelı csoortfaktort. Ennek (- ) szintre állítása esetén a kenhetıség alacsony, a kalóriatartalom magas, az ár magas. csoortfaktorok alkalmazásának elınye abban áll, hogy a szükséges ráfordítás egy egyfaktoros kísérlettel megegyezı. z egyes befolyásoló tényezık hatásaira vonatkozóan azonban nem jutunk információkhoz Kiértékelés z alkalmazható módszerek sorából kettıt ismertetünk az alábbiakban. z egyik a hagyományos t-róba, míg a másik ubey araméter nélküli End-Count tesztje, melyet a különösen alacsony mintaszám jellemez t-róba t-róba két minta átlagainak összehasonlítására szolgál. teszt eljárásmódja attól függ, hogy ismert-e a két eloszlás szórása, és hogy azonos mérető-e a két minta. z alábbiakban ismeretlen szórás és különbözı mintanagyság esetére ismertetjük a módszert táblázat Kísérleti eredmények Faktor Eladott darabszám y átl (ár.) (jan.) (jún.) (dec.) (szet.) (aug.) 8000 (febr.) 8500 (márc.) 800 (okt.) 6500 (máj.) 7800 (júl.) 850 (nov.) 7858 Lehetıség szerint törekedni kell a kísérletek véletlen sorrendben történı végrehajtására. Mindig egy hónaig (-) vagy () jelzető termékeket adnak el. zt, hogy mikor melyiket dobják iacra sorshúzással döntik el. Minden hónaban megállaítják az eladott darabszámot. Mindkét beállítást egy n n - 6 hónaos idıtartamon tesztelik. vizsgálat eredményeit a 4.4. táblázat tartalmazza. Kiértékelés céljára kiszámítják a két folyamat-beállításhoz kacsolódó átlagértékeket. csoortfaktor (-) szintre állítása mellett átlagosan 579 csomagot, míg a () szint beállítása esetén átlagosan 7858 csomagot adtak el. Felvetıdik azonban a kérdés, hogy az eladásokban megfigyelt különbség véletlen természető-e vagy a megváltoztatott beállítási szintre vezethetı-e vissza. Elsı léésként kiszámítjuk a két mintából nyert szórásbecslést: 7

18 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba s n j n ( y y ) ( y y ) j j n n j 597 (4.7.) t sz tesztstatisztika értéke: y y t sz 5,99 (4.8.) s n n Esetünkben s597 és t sz 5,99. t érték υ(n n - -)(66-)0 szabadságfokkal rendelkezik. esztelni kell a folyamatok azonos közéértékének feltételezését (H 0 :µ µ - ) szembeállítva a különbözı közéértékek feltételezésével (H :µ >µ - ). Példánkban ezt a tesztet 5%-os szignifikancia (α-0,950,05) szinten kell végrehajtani. υ0 és α 0,05 értékároshoz a t υ;-α/ t 0;-0,05 t 0;0,975,88 tartozik (kétoldali eset) a t-eloszlás táblázatban. H 0 nullhiotézist t sz >t υ;-α/ egyenlıtlenség fennállása esetén vetjük el. Mivel 5,99>,88, elvethetjük a mullhiotézist. Így 95%-os biztonsággal kijelenthetjük, hogy a () beállításnál több darabot tudunk eladni, mint a (-) szint esetén. Általánosan megfigyelhetı, hogy a t-róba érzékenysége növekszik a mintanagysággal. z itt alkalmazott mintanagyság mellett csak az erıs hatások mutathatók ki. róba az egyes beállításokon belül a normális eloszlás feltételezésén alaul, azonban mégis viszonylagosan érzéketlen az ezen feltevéstıl való eltérések iránt End-Count teszt kísérletekkel kacsolatos ráfordítások csökkentése érdekében gyakran ajánlják az ún. araméter nélküli eljárásokat. Ezek egyike a ubey által kifejlesztett End-Count teszt, melyet Shainin vs. C (etter Versus Current) névvel jelöl. Ennek segítségével lehetıvé válik az összehasonlítás elemi valószínőségszámításra történı visszavezetése táblázat Kísérlet végrehajtása csoortfaktoros vizsgálatnál Hóna Csoortfaktor Eladott darabszám (/- szintek véletlen sora) január február 8000 március 8500 árilis május 6500 június július 7800 augusztus szetember október 800 november 850 december

19 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek 4.6. táblázat Sorba rendezett kísérleti eredmények Eladott darabszám Faktorbeállítás z eljárást a margarin eladási esetre ismertetjük. faktort (csoortfaktor) hatszor kell beállítani úgy a (), mint a (-) szintre. kísérletek eredménye kéen a 4.5. táblázatban látható eredménysor állt elı. Nagyság szerint sorbarendezve az adatokat a 4.6. táblázatot! kajuk. izenkét érték ismétlıdés nélküli elrendezésére 94 ( ) különbözı lehetıség van. 6!6! /94 azaz 0,% annak a valószínősége, hogy egy ilyen elrendezés véletlenszerően bekövetkezik. ehát kiindulhatunk abból, hogy éldánkban 99,9%-os valószínőséggel a () beállítási szinttel jobb eredményeket érünk el, mint a (-) szint esetén. Ezzel igazoltuk a szakértık feltevését. z eljárás különösen alacsony mintanagysággal dolgozik, és ezért a kísérletek véletlenszerő végrehajtását igényli. Óvakodni kell attól, hogy l. hat régebbi eredményt hat új, egymás után végrehajtott kísérlet eredményével hasonlítsunk össze. 9

20 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba 4.4. eljes faktoriális kísérletterv teljes faktoriális kísérlet egy olyan módszer, amely lehetıvé teszi az egyes faktorok és ezek együttes hatásának vizsgálatát a minıségi jellemzıre vonatkozóan. z egyfaktoros módszerrel szemben itt egyszerre több faktort változtatnak. Ezáltal lehetıvé válik a beállításokhoz kacsolódó közéértékek és az ún. hatások számítása. Megkülönböztetjük a fıhatásokat, amelyek az egyes faktorok beállításából erednek, és a kölcsönhatásokat, amelyek több faktor egyidejő beállításának eredményekéen keletkeznek. Így jobban megfigyelhetık a valós folyamat tulajdonságai, mint az one-by-one módszernél. teljes faktoriális terv alkalmazását egy egyszerő éldán keresztül (4.7. táblázat) mutatjuk be. kísérlet célja az, hogy megvizsgáljuk az esztergálás során a fordulatszám () és az elıtolás () hatását a felületi érdességre. tervet egy táblázat (tervmátrix) segítségével írjuk le. Elıször meghatározzuk a szükséges kísérletek számát a X n kélet segítségével, ahol n a faktorok, míg X a szintek számát jelöli. Két kétszintes faktor vizsgálata ennek megfelelıen azaz 4 kísérletet igényel. z elıjelek megállaítása a következı szabályok alaján történik. (-) -al kezdve az elsı faktor két soronként váltja az elıjelét. második faktor szintén (-) -al kezd, és soronként váltja az elıjelét. Elsı léésként a kísérleti tervben az egyes faktorokhoz egy-egy oszloot rendelünk. z elsı oszloban az faktor (fordulatszám), míg a másodikban faktor (elıtolás) fog szereelni. Ezután meghatározzuk a két beállítást (szintet) az egyes faktorok számára, és ezeket "" és "-"-al jelöljük. vizsgálatra kerülı faktorszinteket úgy kell kiválasztani, hogy azok a lehetı legtöbb információt nyújtsák számunkra. fordulatszám esetében a "-" 500 ford/erc-nek, míg a "" 000 ford/erc-nek felel meg. z elıtolásnál a "-" 30 cm/erc-et, a "" 40 cm/erc-et jelöl (4.8. táblázat). C 4.7. táblázat eljes faktoriális kísérleti terv R t táblázat Faktor értékek Szint [ford/erc] [cm/erc] z elsı vizsgálatnál -t és -t is "-" szintre állítjuk. mért érdesség mélységét (R t ), azaz a 5 µm -t bevezetjük a táblázatba. második vizsgálatnál -t "-"-ra és -t ""-ra állítjuk, és így az 5 µm-es R t érték keletkezik. Ezzel a módszerrel végrehajtjuk a kísérlettervet. Miután rendelkezésre áll mind a négy eredmény, elkezdıdhet a kiértékelés ábra teljes faktoriális kísérletterv a faktortérben három faktor esetén 0

21 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek 4.4. Kísérletek kiértékelése kiértékelés megkönnyítése érdekében egy ún. kiértékelı mátrixot állítunk össze (4.9. táblázat). Ez tartalmazza a faktorok és a kölcsönhatások oszloát valamint az eredményeket. kölcsönhatások oszloát az érintett faktoroszlook összeszorzásával kéezzük. Hasonló módon több (három, négy, stb.) faktor kölcsönhatását is meghatározhatjuk. Kiértékelési módszerek: egyszerő hatásvizsgálat variancia elemzés függvénykacsolat meghatározása z alábbiakban a hatásvizsgálatot tekintjük át. variancia elemzés ismertetésére a aguchi féle kísérlettervek kiértékelésénél kerül sor. függvénykacsolat meghatározása nem része a jelen jegyzetnek Egyszerő hatásvizsgálat z egyszerő hatásvizsgálat során kiértékeljük az egyes faktorok változtatásának átlagos hatását és a kölcsönhatás átlagos befolyását a kísérletek eredményeire. Fıhatásnak tekintjük a minıségi jellemzı közees változását egy faktor beállításának változtatása esetén. Például a fordulatszám fıhatását az alábbi két érték különbségének kézésével állaítjuk meg: táblázat Kiértékelı mátrix R t ábra z faktor, faktor és az kölcsönhatás átlagos hatása az összes olyan eredmény átlaga, amelynél a fordulatszám ""-ra volt beállítva: µm az összes olyan eredmény átlaga, amelynél a fordulatszám "-"-ra volt beállítva: 5 5 0µm 0 35 Ily módon a fordulatszám fıhatásaként a 35µm -0µm 5µm -es értéket kajuk. Ez az eredmény azt jelenti, hogy a fordulatszám "-"-ról ""-ra váltása átlagosan 5µm -el növeli az R t értékét (érdességmélység). Ezért a lehetı legkisebb érdességmélység elérése érdekében a fordulatszám "-"-ra állítása ajánlott. kiértékelés során feltételezzük, hogy a faktor értékváltozása és az érdességmélység változása között a két kiróbált érték által meghatározott intervallumban lineáris kacsolat áll fenn (4.5. ábra). 7,5 7,5,5, átlagos hatása átlagos hatása kölcsönhatás

22 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba z elıtolás fıhatását az alábbi két érték különbségeként állaítjuk meg: azon eredmények átlaga, amelyeknél az elıtolás ""-ra volt állítva: ,5µm azon eredmények átlaga, amelyeknél az elıtolás "-"-ra volt állítva: ,5µm Ily módon az elıtolás fıhatásának a -7,5 µm 7,5 µm -0 µm-es értéket kajuk. Ez azt jelenti, hogy az elıtolás "-" -ról "" -ra váltása átlagosan 0 µm-el csökkenti az érdességmélységet. Ezért az elıtolás esetében a "" beállítást kell választani. Kiegészítve a fıhatások vizsgálatát, a teljes faktoriális terv lehetıvé teszi a kölcsönhatások megfigyelését is. Kölcsönhatásról akkor beszélünk, ha egy bizonyos jelenség (hatás) csak a faktorbeállítások egy bizonyos kombinációja esetén figyelhetı meg (l. egy motor égési folyamatának otimalizálásánál csak egy bizonyos levegı-üzemanyag mennyiség aránynál érhetı el az otimális teljesítmény). Ennek alaján két faktor kölcsönhatását úgy határozzuk meg, mint a két faktornak a minıségi jellemzıre gyakorolt együttes hatásának mértékét. Mivel ez a fogalom a gyakorlatban sokszor félreértéshez vezet, ezért az alábbiakban egy hétköznai éldán keresztül mutatjuk be. Egy beteg meghőlés ellen bevesz egy tablettát, ami kis mértékben rontja reakciókéességét. aasztalatból tudja, hogy egy ohár sör elfogyasztása egészen kis mértékben rontja a reakcióidejét. zonban ha a gyógyszer után alkoholt fogyaszt, akkor az a reakciókéességének drasztikus romlását vonja maga után. Mindkét tényezınek önmagában csekély hatása van, azonban kombinációjuk egy erıs kölcsönhatást eredményez. kölcsönhatás nagyságát a kiértékelı mátrix oszloa segítségével az alábbi két érték különbségeként számoljuk ki. azon eredmények átlaga, amelyeknél az oszloban "" szereel: 5 30,5µm azon eredmények átlaga, amelyeknél az oszloban "-" szereel: 5 40,5µm kölcsönhatás értéke 0µ m. jelen esetben nem lé fel kölcsönhatás, így a folyamat otimális beállításához a fıhatásokból indulunk ki. z otimális faktorértékek: - ovábbi kísérletek segítségével tisztázhatnánk, hogy még jobb eredményekhez vezet-e a fordulatszám további csökkentése. Ezáltal kísérletünk nemcsak egy beállítási javaslatot nyújt számunkra, hanem kijelöli a további otimumkeresés irányát is.

23 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek 4.5. Részleges faktoriális kísérletterv Kiegyensúlyozott vagy ortogonális terveknek nevezzük azokat, amelyekben egy faktor minden beállítása (szintje) azonos mértékben fordul elı egy oszloon belül, és két tetszılegesen kiválasztott oszlo elıjeleit összeszorozva a kétfajta lehetséges eredmény ( és -) szintén azonos számban fordul elı. Egy ilyen elrendezés lehetıvé teszi az értékek átlagolását és az eredmények nagyobb információtartalmát táblázat Kísérletek száma a teljes faktoriális tervben Faktorszám ( szint) Kísérletszám ( n ) táblázat Két faktoros teljes faktoriális kísérleti terv ervmátrix Kiértékelési mátrix Ssz Ssz sok faktorral rendelkezı 4 4 kísérleti tervek nagy ráfordítást 4.. táblázat Három faktoros részleges kísérleti terv igényelnek (4.0. táblázat), ezért Ssz C C C gyakran alkalmaznak ún. csökkentett terveket (részleges vagy frakcionális kísérleti tervek). 4.. táblázatban egy kétfaktoros teljes faktoriális kísérlettervet és kiértékelési mátrixát 4 láthatjuk. z és beállítások elrendezése kielégíti az ún. ortogonalitási feltételt. kombinatorika törvényei alaján kell létezzen még egy oszlo, amely az, oszlookra ortogonális. z összes lehetséges beállítás kombináció váltogatásával, megkajuk a (; -; -; ) - oszloot, mely alkalmazható egy újabb C faktor vizsgálatához. Így lehetségessé válik három faktor vizsgálata összesen 4 beállítással. teljes faktoriális kísérleti terv alaosabb vizsgálata során megfigyelhetı, hogy az alábbiakban említett C faktor C oszloa azonos az kölcsönhatás 4 oszloával. Egy ilyen oszlo kiértékelése a C hatást adja meg, ami egy fıhatás és egy kölcsönhatás keveréke. 3 C faktor vizsgálata csak abban az esetben vezet értelmezhetı eredményhez, ha az kölcsönhatás elhanyagolható. - kölcsönhatásokra teleített újabb faktorokkal elıállított részleges - terveket részleges (frakcionális) faktoriális terveknek nevezzük ábra Háromfaktoros részleges faktoriális 4.. táblázatban szereel egy kísérletterv a faktortérben 3

24 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba három faktoros és négy kísérletes részleges terv. kísérletek elhelyezkedését a faktortérben a 4.6. ábra jeleníti meg. megfelelı oszlook összeszorzásával elıállítva az C és C kölcsönhatások oszloait, láthatjuk, hogy ezek azonosak lesznek a illetve oszloal. Ezt a jelenséget átfedésnek (alias) nevezik ráteleítés kockázata z alábbi élda bemutatja, hogy milyen kockázatot vállalunk, amikor a fıhatások átfedésének módszerét használjuk részleges faktoriális kísérleti tervek elıállításához. Egy tortát kell sütni, amelynek magassága (y) a lehetı legnagyobb legyen. Ehhez a sütıor ( faktor) mennyiségének alsó szintjét 5 g-ra(-), míg felsı szintjét 0 g-ra () állítjuk be. vízmennyiség ( faktor) alsó szintje 0 ml (-), míg felsı szintje 40 ml () lesz. négy kísérlet során megvizsgáljuk a fı- és kölcsönhatásokat. z eredmény az, hogy a fıhatások gyengék. Csak amikor mindkét faktor a felsı szintre van állítva, akkor kées a sütıor megfelelıen reagálni, és a tortamagasságra a kívánt hatást kifejteni. Egy erıs kölcsönhatás áll elı, amelyet a teljes faktoriális kísérlet megfelelı kiértékelési oszloa segítségével értékelhetünk ki. mennyiben ezen négy kísérlet során egy újabb faktor, l. a szakács öltözékének (C faktor) hatását akarjuk megvizsgálni, akkor a részleges faktoriális tervek elmélete alaján erre a célra a kölcsönhatások oszloát használjuk fel. z öltözéket a nyakkendı () és csokornyakkendı (-) állaotok között váltogatjuk. Ezt az esetet láthatjuk a 4.3. táblázatban. z egyszerő hatásvizsgálat az öltözékhez kacsolódó oszlo magas szignifikanciáját mutatja ki (4.7. ábra). 0 6cm 0 5 7, 5cm 5 5 0cm 5 8, 5cm cm 7,5 8,5 7,5 cm 4.3. táblázat Ss C y z - - 0cm - - 5cm cm 4 5cm 8,5 3,5 - - C- C 4.7. ábra z, és C faktorok fıhatása,5 5 C 3, 5cm 0 5 C, 5cm C,5 3,5 9cm Ennek alaján a maximális tortamagasság eléréséhez szükséges intézkedés a szakács nyakkendı viselete lenne. Valójában ez az eredmény a víz és sütıor kölcsönhatásán alaszik. z öltözéknek semmilyen hatása nincs. Ha nem tudatosul bennünk ez az átfedés, akkor a részleges faktoriális tervek alkalmazása az eredmények hibás értelmezéséhez vezethet. 4

25 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek ervkészítés az identitás oszlo segítségével részleges faktoriális tervek módszere nagymértékő figyelmet és szakismeretet igényel a kölcsönhatások felismerése érdekében. Ennek ellenére lehetıség van arra, hogy az átfedéseket olymértékben bevezessük a kísérleti tervbe, hogy a kísérletek számának csökkenése ellenére értékelhetı eredményhez jussunk táblázatban látható, 4.4. táblázat negyedik faktor beéítése hogy hogyan lehet egy I C C C C D D C háromfaktoros kísérleti tervbe egy további D faktort beéíteni. Ez a faktor az C hármas kölcsönhatás * oszloát fogja átfedni, mivel a gyakorlati taasztalatok szerint a hármas vagy magasabb 8 rendő kölcsönhatások D fakt. átfedés meghatározása nagyon ritkán fordulnak elı. végleges kísérleti mátrix jelzi, hogy a kölcsönhatásoknak egy újabb faktorral történı átfedése mellett további átfedések lének fel az újonnan bevezetett D faktor és a többi (,,C) faktorok közti kölcsönhatások megállaítása során táblázat Átfedések meghatározása C C C D Meghatározó kacsolat: CD D D C I C * D * mennyiben a faktoriális kísérleti tervek kézési szabálya szerint elıállítjuk a D kölcsönhatás elıjeloszloát, akkor megmutatkozik, hogy az azonos a C oszloal. Mivel az átfedések számítása az egyes faktorok oszloelıjeleinek szorzása által eléggé fárasztó, egy egyszerő számítási módszert alkalmazunk, amely az ún. azonosságot (identitást) használja fel. z identitás az egységvektornak felel meg, mely csak () jelekbıl áll. éldának megfelelıen az C oszloba bevezetjük a D faktort, így az C és D oszlook azonosak lesznek. Ezek formális összeszorzása azonosságot mutat (C x D I). Így megkajuk az ún. meghatározó kacsolatot: I CD. Ezzel a kacsolattal egy algebrai egyenlethez hasonlóan számolhatunk, amennyiben figyelembe vesszük a következı szabályokat: egy faktor szorzása az identitással magát a faktort eredményezi ( az -el történı algebrai szorzásnak felel meg), egy faktort megszorozva saját magával az identitást kajuk eredményül. Például: I I

26 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba Mivel * * I C D * C C * I CD C C C D C I I D C D Hasonlóan: C D és C D. hhoz, hogy kiszámítsuk azt, hogy a C kölcsönhatás mely hatással keveredik, a meghatározó egyenletet megszorozzuk C-vel. bal oldal C szorzata az identitással, azaz maga C. jobb oldalon az CDC kifejezést kajuk. és C kiesik, mivel saját magával szorozzuk meg mindkettıt ( x I ; C x C I). Így azt kajuk, hogy C azonos D-vel. Hasonló módon kajuk meg az és CD, valamint C és D átfedését is. élda a számítási módszer bemutatása mellett láthatóvá teszi, hogy egy újabb faktor bevezetése ellenére nem keverednek a fıhatások a kétfaktoros kölcsönhatásokkal. átfedési struktúra teljesen máskéen alakult volna, ha a D faktort l. -ként vezettük volna be táblázat Részleges tervtíusok Részleges faktoriális tervek Megold Hatások Kísérletek száma Megjegyzés tíus szétvá- átfedett elhanya lasztva (ráteleített) golt Faktorok száma III FH FH KH-val KH és a hibás értelmezés veszélye magasabb rendőek nagymértékő IV FH KH-tól V VI VII KH KHtól KH 3 KHtól 3 KH 3 KHtól FH 3 KH-val KH KHval FH 4 KH-val KH 3 KHval FH 5 KH-val KH 4 KHval 3 KH 3 KHval FH 6 KH-val KH 5 KHval 3 KH 4 KHval 3 KH és a magasabb rendőek 3 KH és a magasabb rendőek 4 KH és a magasabb rendőek 4 KH és a magasabb rendőek magas hatékonyság az összes FH elválasztvaszámítható KH elválasztható 5 8 jelentısen kisebb ráfordítás 6 magasfokú kölcsönhatások vizsgálhatók FH - fıhatás KH - kölcsönhatás KH - kettıs kölcsönhatás faktorok utólagos bevitele a kísérleti tervbe nagy figyelmet igényel. z átfedési lehetıség azt eredményezheti, hogy a tervezı gondolkodás nélkül ótlólagos faktorokat vesz fel a kísérleti tervbe, anélkül, hogy információval rendelkezne az esetleges kölcsönhatásokra vonatkozóan. ráteleítéses technika megfontolt használata fontos segédeszköz lehet. 7 6

27 4. Hagyományos faktoriális kísérlettervezési módszerek Például a nyolcnál több kísérletbıl álló terveknél lehetıség van további faktorok olymódon történı beéítésére, hogy a fontos kettıs kölcsönhatások ne keveredjenek. ráteleítés eddig bemutatott fokozatai ún. megoldástíusokként írhatók le (4.6. táblázat). III-as megoldási tíusok teszik lehetıvé a legtöbb faktor beéítését a tervbe. Mivel nem lehetséges a fıhatások és a kölcsönhatások elválasztása egymástól, a legnagyobb óvatossággal kell kezelni ezeket a terveket. Csak akkor szabad ıket használni, ha már elıre be tudjuk határolni a kölcsönhatásokat vagy, ha arra számíthatunk, hogy a faktorok sorából csak néhány rendelkezik erıs hatással. nagymértékben átfedett tervek eredményeit mindenké további kísérletekkel kell ellenırizni. IV-es megoldástíus lehetıvé teszi, hogy a fıhatásokat a kettıs kölcsönhatásokkal való keveredés nélkül vizsgáljuk meg. Megfelelı összeállítás esetén akár még a kettıs kölcsönhatások vizsgálata is megoldható. Ezek a tervek egy jó haszon/ráfordítás arányt valósítanak meg. magasabb rendő megoldástíusok, egészen a teljes faktoriális kísérletig, lehetıvé teszik többszörös kölcsönhatások vizsgálatát, de ezért a kísérletek számának jelentıs növekedésével kell fizetnünk. 7

28 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba 5. Shainin kísérletmódszertana Shainin kísérlettechnikája egy többlécsıs eljárásmódot kévisel, melynél a lényeges mennyiségeket léésrıl-léésre kell behatárolni. Filozófiájának mottója: ne a mérnököktıl kérj tanácsot, beszéljen maga a munkadarab. Eltérıen a többi módszertıl, ahol a taasztalatokra alaozva választják ki a lényegesnek tartott faktorokat a folyamatot/terméket befolyásoló araméterek sokaságából, a Shainin technika kezdetben minden tényezıt bevon a vizsgálatba majd fokozatosan haladva választja ki a lényeges faktorokat. Shainin eljárása a Pareto elv alkalmazására éül. Ez azt mondja ki, hogy a befolyásoló mennyiségek sokasága között csak néhány rendelkezik domináns hatással ( he vital few - the trivial many ). z elv nem általános érvényő, azonban sok esetben alkalmazható munkahiotézist kévisel. folyamatotimalizálási eljárás négy lécsıbıl áll: elsıdleges kiválasztás, változók keresése (Variables Search), teljes faktoriális terv (Full Factorial Design), /C összehasonlítás (etter versus Current). 5.. Elsıdleges kiválasztás statisztikai kísérletmódszertan egy sor eljárást ismer arra az esetre, ha nagyszámú otenciális befolyásoló tényezı közül kell kiválasztani a jelentıs faktorokat. Shainin hármat emel ki ezek közül az elsıdleges kiválasztás céljára. Mindegyiket nagymértékő egyszerőség jellemzi. három eljárás a következı: többváltozós kártyák (Multi-Chart), alkatrész keresés (Comonent Search), áros összehasonlítás (Paired Comarison) öbbváltozós kártyák z 950-ben L. Seder által kifejlesztett többváltozós kártyák módszere lehetıvé teszi a folyamatban jelen lévı ingadozások okainak tiizálását (hely-, idı szerintiek, ciklikus természetőek, stb.). Hasonlóan a minıségszabályozási kártyákhoz, meghatározott idıközönként mintát vesznek a folyamatból, és az eredményeket grafikusan ábrázolják. Míg a szabályozókártya a minta darabjai között mért véletlen szórás és a minták közötti szórás viszonyát teszteli, addig a többváltozós kártya a szórást három részre osztja: a darabon belüli szórás (ehhez megállaítják darabonként a jellemzı legkisebb és legnagyobb értéket), a minta darabjai közötti szórás, és a minták közti szórás. Ezeket a szórásrészeket egymással összehasonlítják, annak érdekében, hogy megtalálják a legerısebb hatást, és ezáltal behatárolják a fı okot. módszer egy grafikus variancia elemzésnek felel meg lkatrész keresés z alkatrész keresés során arra a kérdésre keresnek választ, hogy mely alkatrészek meghibásodása játszik jelentıs szereet a termék meghibásodásában. lkalmazásának 8

29 5. Shainin kísérletmódszertana feltétele, hogy rendelkezzünk jó és rossz termékekkel, ezek szétszerelhetıek és újból összerakhatóak legyenek, valamint az újból összeszerelt termék minıségi jellemzıje mérhetı legyen. Elsı léésként kiválasztunk egy jó és egy rossz terméket. Megmérjük mindkettı minıségi jellemzıjét (J, R ), ezután szétszedjük és változatlanul összeszereljük ıket, majd újból megmérjük a minıségi jellemzıt (J, R ). jó és rossz termék közötti átlagos különbség (D) ekkor: J J R R D (5..) jó és rossz termékeken belüli átlagos különbség (d): J J R R d (5..) Ha a két érték aránya (D/d) nagyobb mint öt, akkor a két termék közti különbséget jelentısnek tekintik. Ezután egyenként kicserélik a jó és a rossz termék éítıelemeit. cserék után felléı minıségi jellemzı változásból megállaíthatók azok az alkotó elemek, amelyek lényeges hatást (Shainin ezeket vörös-x-nek nevezi) vagy csak kisebb hatást (Shainin ezeket rózsaszínés halvány rózsaszín-x-nek nevezi) gyakorolnak az eredményre. mennyiben a termék n alkatrészbıl áll, *n darab szétszerelési és ugyanannyi összeszerelési mőveletre van szükség a vizsgálat során. Ezt az eljárásmódot hosszú évek során kiróbálták a gyakorlatban, és manaság sok helyen alkalmazzák a hibás televíziók moduláris hibakeresésétıl kezdve a sérült személygékocsik diagnosztizálásáig Páros összehasonlítás áros összehasonlítás alkalmazására akkor kerül sor, ha nem lehet a termékeket szétszerelni és újból összerakni. Végrehajtása során mőködı folyamatból azonos számú jó és rossz darabot emelnek ki. Egy részletes elemzés során megállaítják a jó és rossz darabok között a különbséget. Ezután megvizsgálják, hogy melyik jellemzı különbözteti meg a leggyakrabban a két kategóriát. Pl. egy csavarkötés megfigyelése kimutathatja, hogy a hibás darabok egy bizonyos helyen korrodálódtak. Ezután további elemzéseknek vetik alá a lényeges (kiemelt) jellemzıket. áros elemzés valójában a hiba adatok Pareto elemzését jelenti. 5.. Változók keresése z elsıdleges kiválasztás után Shainin egy általa kifejlesztett módszert javasol a további szelekcióhoz. Ez az ún. változók-keresése, amit Shainin a kísérletmódszertan Rolls-Royceának nevez, és amit a részleges faktoriális kísérleti tervek alternatívájaként mutat be. z eljárás bizonyos mértékben egy one-by-one vizsgálatnak felel meg. z eddigi ismeretek alaján sorba rendezik a megvizsgálni kivánt faktorokat. Ezután megállaítják a faktorok szintjeit: egy rossz szintet, ami valószínőleg rossz eredményt hoz; 9

Bevezetés a kísérletmódszertanba. Johanyák Zsolt Csaba

Bevezetés a kísérletmódszertanba. Johanyák Zsolt Csaba evezetés a kísérletmódszertanba Johanyák Zsolt Csaba 00 Johanyák Zsolt Csaba: evezetés a kísérletmódszertanba artalomjegyzék. evezetés...4. kísérletmódszertan léései...6.. Hibatényezõk csökkentése...6

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus

Részletesebben

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij

y ij = µ + α i + e ij Elmélet STATISZTIKA 3. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek A magyarázat a függő változó teljes heterogenitásának két részre bontását jelenti. A teljes heterogenitás egyik része az, amelynek okai

Részletesebben

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom Statisztika I., 5. alkalom Számos t-próba versus variancia analízis Kreativitás vizsgálata -nık -férfiak ->kétmintás t-próba I. Fajú hiba=α Kreativitás vizsgálata -informatikusok -építészek -színészek

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

4/24/12. Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve. Regresszióanalízis

4/24/12. Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve. Regresszióanalízis 1. feladat Regresszióanalízis. Legkisebb négyzetek elve 2. feladat Az iskola egy évfolyamába tartozó diákok átlagéletkora 15,8 év, standard deviációja 0,6 év. A 625 fős évfolyamból hány diák fiatalabb

Részletesebben

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára 1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı: Norma teljesítmény % Dolgozók száma 60-80 30 81-90 70 91-100 90

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.

Részletesebben

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris

Részletesebben

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision

Részletesebben

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 11. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Összefüggés vizsgálatok A társadalmi gazdasági élet jelenségei kölcsönhatásban állnak, összefüggnek egymással. Statisztika alapvető feladata: - tényszerűségek

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

Többváltozós Regresszió-számítás

Többváltozós Regresszió-számítás Töváltozós Regresszió-számítás 3. előadás Döntéselőkészítés módszertana Dr. Szilágyi Roland Korreláció Célja a kacsolat szorosságának mérése. Regresszió Célja a kacsolatan megfigyelhető törvényszerűség

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Normál eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Normál eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Normál eloszlás A normál eloszlás Folytonos változók esetén az eloszlás meghatározása nehezebb, mint diszkrét változók esetén. A változó értékei nem sorolhatóak

Részletesebben

Attól, hogy nem inog horizontális irányban a szélességi- és hosszúsági tengelye körül sem.

Attól, hogy nem inog horizontális irányban a szélességi- és hosszúsági tengelye körül sem. Konkrét tanácsok a Salgó-dexion polcrendszer összeszereléséhez Vásárlásunk során a Salgó-dexion polcokat, polcrendszereket sokféle módon állíthatjuk össze az igénybe vételnek, felhasználásnak, valamint

Részletesebben

Kalibrálás és mérési bizonytalanság. Drégelyi-Kiss Ágota I

Kalibrálás és mérési bizonytalanság. Drégelyi-Kiss Ágota I Kalibrálás és mérési bizonytalanság Drégelyi-Kiss Ágota I. 120. dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu Kalibrálás Azoknak a mőveleteknek az összessége, amelyekkel meghatározott feltételek mellett megállapítható

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria Bódis Emőke 2016. 04. 25. J J 9 Korrelációanalízis Regresszióanalízis: hogyan változik egy vizsgált változó értéke egy másik változó változásának függvényében. Korrelációs

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Kettőnél több csoport vizsgálata Makara B. Gábor MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Gyógytápszerek (kilokalória/adag) Három gyógytápszer A B C 30 5 00 10 05 08 40 45 03 50 35 190 Kérdések: 1. Van-e

Részletesebben

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás (7-8. lecke) Illeszkedés-vizsgálat 7. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok elemzésére Illeszkedés-vizsgálat Gyakorisági sorok

Részletesebben

Statisztika I. 12. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 12. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 1. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Regresszió analízis A korrelációs együttható megmutatja a kapcsolat irányát és szorosságát. A kapcsolat vizsgálata során a gyakorlatban ennél messzebb

Részletesebben

A ÉVI KOMPETENCIAMÉRÉS FIT- JELENTÉSEINEK ÚJ ELEMEI

A ÉVI KOMPETENCIAMÉRÉS FIT- JELENTÉSEINEK ÚJ ELEMEI A 2010. ÉVI KOMPETENCIAMÉRÉS FIT- JELENTÉSEINEK ÚJ ELEMEI Balázsi Ildikó ÚJDONSÁGOK A FIT-JELENTÉSEKBEN Új, évfolyamfüggetlen skálák matematikából és szövegértésbıl egyaránt Új ábrák: a két év alatti fejlıdés

Részletesebben

Tartalomjegyzék I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE

Tartalomjegyzék I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE Tartalomjegyzék 5 Tartalomjegyzék Előszó I. RÉSZ: KÍSÉRLETEK MEGTERVEZÉSE 1. fejezet: Kontrollált kísérletek 21 1. A Salk-oltás kipróbálása 21 2. A porta-cava sönt 25 3. Történeti kontrollok 27 4. Összefoglalás

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai változók Adatok megtekintése

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai változók Adatok megtekintése Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai változók Adatok megtekintése Statisztikai változók A statisztikai elemzések során a vizsgálati, vagy megfigyelési egységeket különbözı jellemzık

Részletesebben

4. A méréses ellenırzı kártyák szerkesztése

4. A méréses ellenırzı kártyák szerkesztése 4. A méréses ellenırzı kártyák szerkesztése A kártyákat háromféle módon alkalmazhatjuk. Az elızetes adatfelvétel során a fı feladat az eloszlás paramétereinek (µ és σ ) becslése a további ellenırzésekhez.

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika

Részletesebben

Nemparaméteres próbák

Nemparaméteres próbák Nemparaméteres próbák Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Mőegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu

Részletesebben

STATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba

STATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba Egymintás u-próba STATISZTIKA 2. Előadás Középérték-összehasonlító tesztek Tesztelhetjük, hogy a valószínűségi változónk értéke megegyezik-e egy konkrét értékkel. Megválaszthatjuk a konfidencia intervallum

Részletesebben

Az SPC (statisztikai folyamatszabályozás) ingadozásai

Az SPC (statisztikai folyamatszabályozás) ingadozásai A TERMELÉSI FOLYAMAT MINÕSÉGKÉRDÉSEI, VIZSGÁLATOK 2.3 Az SPC (statisztikai folyamatszabályozás) ingadozásai Tárgyszavak: statisztikai folyamatszabályozás; Shewhart-féle szabályozókártya; többváltozós szabályozás.

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011.

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011. BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011. 1 Mérési hibák súlya és szerepe a mérési eredményben A mérési hibák csoportosítása A hiba rendűsége Mérési bizonytalanság Standard és kiterjesztett

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok

Hipotézis vizsgálatok Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

TERMÉKEK MŐSZAKI TERVEZÉSE Megbízhatóságra, élettartamra tervezés I.

TERMÉKEK MŐSZAKI TERVEZÉSE Megbízhatóságra, élettartamra tervezés I. TERMÉKEK MŐSZAKI TERVEZÉSE Megbízhatóságra, élettartamra tervezés I. Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár Megbízhatóság-elméleti alapok A megbízhatóságelmélet az a komplex tudományág, amely a meghibásodási

Részletesebben

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák Populációbecslés és monitoring Eloszlások és alapstatisztikák Eloszlások Az eloszlás megadja, hogy milyen valószínűséggel kapunk egy adott intervallumba tartozó értéket, ha egy olyan populációból veszünk

Részletesebben

Egyedi cölöp függőleges teherbírásának számítása

Egyedi cölöp függőleges teherbírásának számítása 13. számú mérnöki kézikönyv Frissítve: 2013. árilis Egyedi cölö függőleges teherbírásának számítása Program: Fájl: Cölö Demo_manual_13.gi Ennek a mérnöki kézikönyvnek a célja, egy egyedi cölö függőleges

Részletesebben

ANOVA összefoglaló. Min múlik?

ANOVA összefoglaló. Min múlik? ANOVA összefoglaló Min múlik? Kereszt vagy beágyazott? Rögzített vagy véletlen? BIOMETRIA_ANOVA5 1 I. Kereszt vagy beágyazott Két faktor viszonyát mondja meg. Ha több, mint két faktor van, akkor bármely

Részletesebben

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12. 6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás

Részletesebben

Kísérlettervezés alapfogalmak

Kísérlettervezés alapfogalmak Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Kísérlettervezés Cél: a modell paraméterezése a valóság alapján

Részletesebben

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor

Kettőnél több csoport vizsgálata. Makara B. Gábor Kettőnél több csoport vizsgálata Makara B. Gábor Három gyógytápszer elemzéséből az alábbi energia tartalom adatok származtak (kilokalória/adag egységben) Három gyógytápszer elemzésébô A B C 30 5 00 10

Részletesebben

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Kvantitatív statisztikai módszerek Petrovics Petra Többváltozós lineáris regressziós

Részletesebben

Mintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás

Mintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás STATISZTIKA, BIOMETRIA. Előadás Mintavétel, mintavételi technikák, adatbázis Mintavétel fogalmai A mintavételt meg kell tervezni A sokaság elemei: X, X X N, lehet véges és végtelen Mintaelemek: x, x x

Részletesebben

LABMASTER anyagvizsgáló program

LABMASTER anyagvizsgáló program LABMASTER anyagvizsgáló program A LABMASTER anyagvizsgáló szabványok szerinti vizsgálatok kialakítására és végzésére lett kifejlesztve. Szabványos vizsgálatok széles skálája érhetı el a mérések végrehajtásához

Részletesebben

V átlag = (V 1 + V 2 +V 3 )/3. A szórás V = ((V átlag -V 1 ) 2 + ((V átlag -V 2 ) 2 ((V átlag -V 3 ) 2 ) 0,5 / 3

V átlag = (V 1 + V 2 +V 3 )/3. A szórás V = ((V átlag -V 1 ) 2 + ((V átlag -V 2 ) 2 ((V átlag -V 3 ) 2 ) 0,5 / 3 5. gyakorlat. Tömegmérés, térfogatmérés, pipettázás gyakorlása tömegméréssel kombinálva. A mérési eredmények megadása. Sóoldat sőrőségének meghatározása, koncentrációjának megadása a mért sőrőség alapján.

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

Biomatematika 2 Orvosi biometria

Biomatematika 2 Orvosi biometria Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.05. Orvosi biometria (orvosi biostatisztika) Statisztika: tömegjelenségeket számadatokkal leíró tudomány. A statisztika elkészítésének menete: tanulmányok (kísérletek)

Részletesebben

10. Mintavételi tervek minısítéses ellenırzéshez

10. Mintavételi tervek minısítéses ellenırzéshez 10. Mintavételi tervek minısítéses ellenırzéshez Az átvételi ellenırzés akkor minısítéses, ha a mintában a selejtes elemek számát ill. a hibák számát vizsgáljuk, és ebbıl vonunk le következtetést a tételbeli

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás STATISZTIKA Hipotézis, sejtés 11. Előadás Hipotézisvizsgálatok, nem paraméteres próbák Tudományos hipotézis Nullhipotézis felállítása (H 0 ): Kétmintás hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Variancia-analízis (folytatás)

Variancia-analízis (folytatás) Variancia-analízis (folytatás) 7. elıadás (13-14. lecke) Egytényezıs VA blokk-képzés nélkül és blokk-képzéssel 13. lecke Egytényezıs variancia-analízis blokkképzés nélkül Az átlagok páronkénti összehasonlítása(1)

Részletesebben

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai Változékonyság (szóródás) STATISZTIKA I. 5. Előadás Szóródási mutatók A középértékek a sokaság elemeinek értéknagyságbeli különbségeit eltakarhatják. A változékonyság az azonos tulajdonságú, de eltérő

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 6. MGS6 modul Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi

Részletesebben

Regressziós vizsgálatok

Regressziós vizsgálatok Regressziós vizsgálatok Regresszió (regression) Általános jelentése: visszaesés, hanyatlás, visszafelé mozgás, visszavezetés. Orvosi területen: visszafejlődés, involúció. A betegség tünetei, vagy maga

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.08. Orvosi biometria (orvosi biostatisztika) Statisztika: tömegjelenségeket számadatokkal leíró tudomány. A statisztika elkészítésének menete: tanulmányok (kísérletek)

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

Eloszlás-független módszerek 13. elıadás ( lecke)

Eloszlás-független módszerek 13. elıadás ( lecke) Eloszlás-független módszerek 13. elıadás (25-26. lecke) Rangszámokon alapuló korrelációs együttható A t-próbák és a VA eloszlásmentes megfelelıi 25. lecke A Spearman-féle rangkorrelációs együttható A Kendall-féle

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

Kísérlettervezés alapfogalmak

Kísérlettervezés alapfogalmak Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapest University of Technology and Economics Fault Tolerant Systems Research Group Budapest University of Technology and Economics Department of Measurement

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

Statisztika elméleti összefoglaló

Statisztika elméleti összefoglaló 1 Statisztika elméleti összefoglaló Tel.: 0/453-91-78 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék.... Becsléselmélet... 3 3. Intervallumbecslések... 5 4. Hipotézisvizsgálat... 8 5. Regresszió-számítás... 11

Részletesebben

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása Nyomaték (x 0 Nm) O k t a t á si Hivatal A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása./ A mágnes-gyűrűket a feladatban meghatározott sorrendbe és helyre rögzítve az alábbi táblázatban feltüntetett

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia I.

Mesterséges Intelligencia I. Mesterséges Intelligencia I. 10. elıadás (2008. november 10.) Készítette: Romhányi Anita (ROANAAT.SZE) - 1 - Statisztikai tanulás (Megfigyelések alapján történı bizonytalan következetésnek tekintjük a

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl Statisztika Elıadások letölthetık a http://www.cs.elte.hu/~arato/stat*.pdf címrıl Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább 1-α valószínőséggel

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

Méréselmélet MI BSc 1

Méréselmélet MI BSc 1 Mérés és s modellezés 2008.02.15. 1 Méréselmélet - bevezetés a mérnöki problémamegoldás menete 1. A probléma kitűzése 2. A hipotézis felállítása 3. Kísérlettervezés 4. Megfigyelések elvégzése 5. Adatok

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

23. Indikátorok disszociációs állandójának meghatározása spektrofotometriásan

23. Indikátorok disszociációs állandójának meghatározása spektrofotometriásan 23. Indikátorok disszociációs állandójának meghatározása spektrofotometriásan 1. Bevezetés Sav-bázis titrálások végpontjelzésére (a mőszeres indikáció mellett) ma is gyakran alkalmazunk festék indikátorokat.

Részletesebben

A termelés technológiai feltételei rövid és hosszú távon

A termelés technológiai feltételei rövid és hosszú távon 1 /12 A termelés technológiai feltételei rövid és hosszú távon Varian 18. Rgisztrált gazdasági szervezetek száma 2009.12.31 (SH) Társas vállalkozás 579 821 Ebbıl: gazdasági társaság: 533 232 Egyéni vállalkozás

Részletesebben

Mérés és modellezés Méréstechnika VM, GM, MM 1

Mérés és modellezés Méréstechnika VM, GM, MM 1 Mérés és modellezés 2008.02.04. 1 Mérés és modellezés A mérnöki tevékenység alapeleme a mérés. A mérés célja valamely jelenség megismerése, vizsgálata. A mérés tervszerűen végzett tevékenység: azaz rögzíteni

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Korreláció és Regresszió

Korreláció és Regresszió Korreláció és Regresszió 9. elıadás (17-18. lecke) Korrelációs együtthatók 17. lecke Áttekintés (korreláció és regresszió) A Pearson-féle korrelációs együttható Korreláció és Regresszió (témakörök) Kapcsolat

Részletesebben

( X ) 2 összefüggés tartalmazza az induktív és a kapacitív reaktanciát, amelyek értéke a frekvenciától is függ.

( X ) 2 összefüggés tartalmazza az induktív és a kapacitív reaktanciát, amelyek értéke a frekvenciától is függ. 5.A 5.A 5.A Szinszos mennyiségek ezgıköök Ételmezze a ezgıköök ogalmát! ajzolja el a soos és a páhzamos ezgıköök ezonanciagöbéit! Deiniálja a ezgıköök hatáekvenciáit, a ezonanciaekvenciát, és a jósági

Részletesebben

Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása. Anyagvizsgálati módszerek

Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása. Anyagvizsgálati módszerek Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása Anyagvizsgálati módszerek Pannon Egyetem Mérnöki Kar Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 1/ 22 Mérési eredmények felhasználása Tulajdonságok hierarchikus

Részletesebben

A tartalomelemzés szőkebb értelemben olyan szisztematikus kvalitatív eljárás, amely segítségével bármely szöveget értelmezni tudunk, és

A tartalomelemzés szőkebb értelemben olyan szisztematikus kvalitatív eljárás, amely segítségével bármely szöveget értelmezni tudunk, és Tartalomelemzés A tartalomelemzés szőkebb értelemben olyan szisztematikus kvalitatív eljárás, amely segítségével bármely szöveget értelmezni tudunk, és végeredményben a szöveg írójáról vonhatunk le következtetéseket.

Részletesebben

Radioaktív bomlási sor szimulációja

Radioaktív bomlási sor szimulációja Radioaktív bomlási sor szimulációja A radioaktív bomlásra képes atomok nem öregszenek, azaz nem lehet sem azt megmondani, hogy egy kiszemelt atom mennyi idıs (azaz mikor keletkezett), sem azt, hogy pontosan

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Minőségmenedzsment (módszerek) BEDZSULA BÁLINT

Minőségmenedzsment (módszerek) BEDZSULA BÁLINT Minőségmenedzsment (módszerek) BEDZSULA BÁLINT Bedzsula Bálint gyakornok Menedzsment és Vállalatgazdaságtan Tanszék Q. épület A.314. bedzsula@mvt.bme.hu http://doodle.com/bedzsula.mvt Az előző előadás

Részletesebben

CAD-CAM-CAE Példatár

CAD-CAM-CAE Példatár CAD-CAM-CAE Példatár A példa megnevezése: A példa száma: A példa szintje: CAx rendszer: Kapcsolódó TÁMOP tananyag rész: A feladat rövid leírása: VEM Rúdszerkezet sajátfrekvenciája ÓE-A05 alap közepes haladó

Részletesebben

Biomatematika 2 Orvosi biometria

Biomatematika 2 Orvosi biometria Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben