Kamatlábmodellek statisztikai vizsgálata

Átírás

1 DE TTK 949 Kamatlábmodelle statisztiai vizsgálata Dotori PhD) érteezés Fülöp Eria Témavezet : Dr. Pap Gyula Debreceni Egyetem Természettudományi Dotori Tanács Matematia- és Számítástudományo Dotori Isola Debrecen, 04.

2

3 Ezen érteezést a Debreceni Egyetem Természettudományi Dotori Tanács Matematia és Számítástudományo Dotori Isola Valószín ségelmélet, matematiai statisztia és alalmazott matematia programja eretében észítettem a Debreceni Egyetem természettudományi dotori PhD) foozatána elnyerése céljából. Debrecen, 04. június Fülöp Eria jelölt Tanúsítom, hogy Fülöp Eria dotorjelölt özött a fent megnevezett Dotori Isola Valószín ségelmélet, matematiai statisztia és alalmazott matematia programjána eretében irányításommal végezte munáját. Az érteezésben foglalt eredményehez a jelölt önálló alotó tevéenységével meghatározóan hozzájárult. Az érteezés elfogadását javasolom. Debrecen, 04. június Dr. Pap Gyula témavezet

4

5 Kamatlábmodelle statisztiai vizsgálata Érteezés a dotori Ph.D.) foozat megszerzése érdeében a matematia tudományágban. Írta: Fülöp Eria oleveles matematius, alalmazott matematius. Készült a Debreceni Egyetem Matematia- és Számítástudományo Dotori Isolája Valószín ségelmélet, matematiai statisztia és alalmazott matematia) programja eretében. A dotori szigorlati bizottság: Témavezet : Dr. Pap Gyula elnö: Dr tago: Dr Dr A dotori szigorlat id pontja: Az érteezés bírálói: A bírálóbizottság: Dr Dr Dr elnö: Dr tago: Dr Dr Dr Dr Az érteezés védéséne id pontja:

6

7 Köszönetnyilvánítás Ezúton is szeretné öszönetet mondani mindazona, ai segítette abban, hogy ez a disszertáció elészüljön. El ször is isamna Leventéne és férjemne Gergelyne az ezen id sza alatt nyújtott óriási szeretetüért és türelmüért. Témavezet mne, Dr. Pap Gyulána, ai elindított a tudományos pályán és omoly támogatást nyújtott a utatásaim során. Külön öszönöm a edvességét, segít észségét és a rám áldozott hétvégéit. Ugyancsa öszönettel tartozom munatársaimna, ai szamai érdéseim során észségesen állta rendelezésemre és igyeezte tehermentesíteni az utóbbi id ben. Végül, de nem utolsó sorban öszönöm szüleimne és barátaimna, hogy mellettem állta és biztatta. A utatás a TÁMOP-4..4.A/-/ azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói, illetve utatói személyi támogatást biztosító rendszer idolgozása és m ödtetése onvergencia program cím iemelt projet eretében zajlott. A projet az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társnanszírozásával valósul meg.

8

9 Tartalomjegyzé. Bevezetés. El zménye 3.. Kamatlábmodelle, történeti megjegyzése Diszrét idej HJM típusú amatlábmodelle Konzisztencia 3.. Az ML becslés onzisztenciája Er s onzisztencia függ minta esetén Er s onzisztencia a HJM-típusú modellben 4.. Er s onzisztencia n -tel arányos minta esetén Er s onzisztencia n-el arányos minta esetén Szimuláció Függelé A Függelé B Loális aszimptotius normalitás Loális aszimptotius normalitás LAN a amatlábmodellben Aszimptotiusan optimális próba Összefoglalás 87 Summary 90

10 Irodalomjegyzé 93 A jelölt publiációi 97

11 . fejezet Bevezetés A valószín ségszámítás és sztochasztius alulus egyi legnagyobb alalmazási területe a pénzügyi matematia. Mindhárom terület hatalmas fejl désen esett át az elmúlt évtizedeben. A határid s ügylete, opció a özgazdasági ismerete dinamiusan fejl d része és több, ezen eszözöet leíró, matematiai modellel találozhatun. A modellillesztésnél felmerül statisztiai érdése vizsgálata azonban nem túl gyaori. Így ezen dolgozatban ezzel a érdésörrel foglalozun. Egy általános, határid s amatlábfolyamatoat leíró modell a folytonos idej Heath- Jarrow-Morton HJM) modell. Ezen HJM modell diszrét idej verziójána véletlen folyamat helyett véletlen mez vel meghajtott általánosított esetét vizsgálju, melyet Gáll, Pap és Zuijlen javasolt diszrét id ben []. A véletlen mez bevezetésével rugalmasabb amatlábmodelle alotható, mint a lasszius modelle esetén, amelyeet egyetlen folyamat hajt meg. Továbbá a véletlen mez s amatlábmodelle ötlete a folytonos idej amatlábmodelle irodalmában merült fel el ször, azonban az ezehez tartozó pénzügyi alulussal apcsolatban jelentez bizonyos problémá azt sugalljá, hogy a diszrét idej megözelítés ezen problémában is segíthet és így aár a folytonos idej modelle fejl déséhez is hozzájárulhat. A dolgozatban paraméterbecslés aszimptotiáját tanulmányozzu ülönböz szituációban, statisztiai ísérletsorozat viseledését vizsgálju és statisztiai tesztelésr l is esi szó. A felépítés a övetez. Az. fejezetben összefoglalju a HJM-típusú amatlábmodelleet, a szüséges alapfogalmaat, illetve megadju az általun tanulmányozott, Gáll, Pap és Zuijlen

12 . FEJEZET. BEVEZETÉS által bevezetett, arbitrázsmentes lásd [6]), Gauss-típusú autoregresszív mez vel meghajtott diszrét idej határid s amatlábmodellt. A 3. fejezetben maximum lielihood becslése onzisztenciájával foglalozun függ minta esetén. Felelevenítjü Heijmans és Magnus [5] gyenge onzisztenciával apcsolatos eredményeit, ami arra sarallta minet, hogy hasonlóan jól használható feltételeet találjun er s onzisztenciára. Majd bemutatju az általun idolgozott feltételrendszert a maximum lielihood becslés er s onzisztenciájára szintén függ minta esetén. A 4. fejezetben leellen rizzü az er s onzisztencia el z fejezetbeli elégséges feltételét a amatlábmodellünben, és több esetben bizonyítju az autoregressziós paraméter maximum lielihood becsléséne er s onzisztenciáját. Továbbá összefoglalju az R [4] statisztiai programcsomag segítségével észített szimulációs eredményeinet, ahol az autoregressziós paraméter maximum lielihood becsléséne aszimptotius viseledését vizsgálju. Kísérletsorozato vizsgálatánál fontos érdés a loális aszimptotius normalitás vizsgálata és a ísérletsorozato onvergenciája egy határísérlethez. Az 5. fejezetben bizonyítju, hogy a amatlábmodellhez apcsolódó ísérletsorozat az autoregressziós paraméter több értée esetén is loálisan aszimptotiusan normális. Enne f el nye, hogy egyben aszimptotiusan optimális próbát is tudtun onstruálni van der Vaart [8] munája alapján. Az ebben a dotori érteezésben található eredménye alapját a [], [3], [4] és [5] munáim jelenti. Eze, a [] muna ivételével, özös publiáció témavezet mmel, Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem) professzorral.

13 . fejezet El zménye Ezen fejezetben egy átteintést adun a HJM modeller l, bevezetjü a szüséges alapvet pénzügyi matematiai fogalmaat és részletezzü az általun tanulmányozott modellt... Kamatlábmodelle, történeti megjegyzése Az irodalomban több megözelítést találhatun a amatlábstrutúrá formalizálására, és ebb l a ötvénye és más amatlábfügg pénzügyi eszözö származtatására. Egy ilyen átteintést találhatun []-ben. Az általun vizsgált modell Heath, Jarrow és Morton megözelítésén alapszi [4]. Az említett szerz hármas megadott egy határid s amatlábmodellt, majd ebb l származtattá a ötvényáraat. Kés bb so szerz vizsgált hasonló modelleet, ülönböz paraméterezéseel. Az alap Heath-Jarrow-Morton HJM) modellt a övetez éppen foglalhatju össze. Jelölje ft, x) a pillanatnyi amatlábat a t id pontban x lejáratig hátralév id vel, ahol t, x R +. Kiemelnén, hogy mi az úgynevezett Musiela paraméterezést övetjü b vebben lásd [0]), ahol x nem a lejárati id t, hanem a lejáratig hátralév id t jelöli. A HJM modellben a határid s amatlábaat leíró sztochasztius dierenciálegyenlet d t ft, x) = αt, x)dt+βt, x)dw t),.) 3

14 4. FEJEZET. ELŽZMÉNYEK ahol {W t)} t R standard Wiener folyamat mely lehet egy, illetve általánosabb esetben több véges) dimenziós). A amatlábfolyamat ismeretében megadható a ötvényár. Ha P t, s) jelöli a amatszelvény nélüli ötvényt a t id pontban s lejárati id vel, aor a Heath, Jarrow és Morton által javasolt ötvényár: { s t } P t, s) = exp ft, u)du, 0 t s. 0 A.) által megadott {ft, x)} t R+ határid s amatlábmodell minden x 0 esetén ugyanazzal a Wiener folyamattal van meghajtva. Ha például azt az esetet teintjü, mior βt, x) determinisztius, aor minden amatlábat ugyanaz a hatás éri, ami nem t ni túl valóságh ne. Emiatt természetes általánosítása a modellne, ha véletlen mez t vezetün be véletlen folyamat helyett. Egy ilyen modellben a ülönböz lejárati idej amatlába ülönböz folyamattal lehetne meghajtva. A folytonos idej modell ilyen általánosítását Kennedy [8] vezette be. Kés bb Goldstein [], továbbá Santa-Clara és Sornett [5] is vizsgálta ilyen modelleet. A f gondolatot a övetez éppen foglalhatju össze. Legyen {Zt, s)} t,s R+ egy véletlen mez, és minden rögzített x R + esetén legyen a határid s amatlábfolyamatot megadó dierenciálegyenlet d t ft, x) = αt, x)dt+βt, x)zdt, x),.) ahol minden s R + esetén {Zt, s)} t,s R+ egy alalmas szemimartingál, és α meg β eleget teszne a megfelel regularitási feltételene, hogy a fenti dierenciálegyenlethez tartozó integrálo létezzene. Egy ilyen véletlen mez által hajtott) általánosított.) modellt véletlen mez s modellne fogun nevezni szemben a szairodalom orábbi, a fenti értelemben egyszer bb nem véletlen mez s).) modelljeivel, amelyeet lassziusna fogun nevezni. A f feladat egy ilyen modell deniálásánál a megfelel meghajtó folyamat vagy mez iválasztása. Bár a leggyarabban alalmazott meghajtó folyamat a lasszius modelle esetén a Brown-mozgás ld. pl. [4]), ennél általánosabb modelle is ismerte a szairodalomban. Schmidt [6] például a Brown mozgás egy természetes alternatíváját, nevezetesen az Ornstein-Uhlenbec folyamatot javasolta, amelyet úgy is teinthetün, mint a diszrét idej AR) folyamat analógja. A HJM modell lásd [4]), továbbá a fent említett [8], [], [5] munában tanulmányozott modelle folytonos idej e. Találhatun azonban a lasszius HJM

15 .. KAMATLÁBMODELLEK, TÖRTÉNETI MEGJEGYZÉSEK 5 modell diszrét idej verziójával apcsolatos munáat is, lásd például Heath, Jarrow és Morton [3], Jarrow [6] vagy Plisa [3] munáit. A lasszius diszrét idej HJM-típusú modelleet a övetez éppen foglalhatju össze. Jelölje f,l a határid s amatlábat a id pontban l lejáratig hátralev id vel, azaz f,l a [+l, +l+) intervallumon érvényes, l Z + ). Feltesszü, hogy az f 0,l l Z + ) ezdeti értée ismerte. Eor a határid s amatlába a övetez éppen vanna megadva: f +,l = f,l +α,l +β,l S + S ),.3) ahol {S, α,l, β,l } Z+ adaptált egy adott {F } Z+ sz réshez minden l Z + esetén. Ha a [, +) periódusban értelmezett amatlábra bevezetjü az r := f,0 jelölést Z + ), aor a szoásos diszontáló tényez D := exp r j, Z +. j=0 A folytonos idej modellhez hasonlóan a amatlábfolyamat ismeretében megadható a ötvényár. Ha P,l jelöli a amatszelvény nélüli ötvényt a id pontban l lejárati id vel, aor a javasolt ötvényár: l P,l = exp f,j, 0 l, j=0 ahol P, :=. A folytonos esethez hasonlóan diszrét esetben is ésszer és pratius elvárás, hogy a határid s amatlába véletlen mez vel legyene meghajtva. Ilyen modellt vezetett be.) analógiájára Gáll, Pap és Zuijlen lásd []). Az általu javasolt határid s amatlábstrutúra az f +,l = f,l +α,l +β,l S +,l S,l ).4) dinamiát öveti, ahol {S,l },l Z+ egy véletlen mez és {S,l, α,l, β,l } Z+ adaptált egy adott {F } Z+ sz réshez minden l Z + esetén. Kutatásain során nagyrészt ezen Gáll, Pap és Zuijlen [] által javasolt modellt vizsgáltu, mior a határid s amatlábaat egy térbeli autoregressziós típusú Gauss véletlen mez hajtja meg részletesen lásd a.. alfejezetet). A Gauss

16 6. FEJEZET. ELŽZMÉNYEK jelz arra utal, hogy a mez véges dimenziós eloszlásai normálisa. A modell legf bb tulajdonsága az, hogy a ülönböz lejáratig hátralev id ülönböz értéeihez tartozó határid s amatlába ülönböz diszrét idej folyamatoal lehetne meghajtva, ennélfogva ülönböz piaci változáso lehetne hatással a ülönböz határid s amatlába folyamatára. Egy fontos elvárás a pénzügyi matematiában, hogy izárju az arbitrázs, ocázatmentes prot, lehet ségét. Felidézzü az ehhez apcsolódó denícióat b vebben lásd [7]). Legyen Ω, F, P) valószín ségi mez egy {F n } n Z+ ltrációval... Deníció. Jelölje βi n 0 i N, N Z + ) a ötvénye darabszámát az n-edi id pontban n+i lejárati id vel, σβi n) F n 0 i N). A piacon egy π pénzügyi stratégia alatt a π n = β0 n, β n,..., βn n ), n Z + portfólió sorozatát értjü. Egy ilyen stratégia portfóliójána értée az n id pontban Xn π = N βn i P n,n+i... Deníció. Egy π stratégiát önnanszírozóna nevezzü, ha el rejelezhet, azaz σβ n i ) F n, 0 i N) és X π n = N βn i P n,n+i. Ez azt jelenti, hogy az n )-edi id pontban iválasztott π n portfólió összeállításánál nincs se plusz befetetésün, se ivét, azaz csa az n )-edi id pontban rendelezésre álló Xn π = N βn i P n,n+i t ét használju fel..3. Deníció. Egy π önnanszírozó stratégiát arbitrázsna, vagy arbitrázsstratégiána nevezün, ha valamely rögzített K Z + esetén PX π 0 = 0) =, PX π n 0) =, n =,..., K, PXK π > 0) > 0. Az arbitrázsmentességgel evivalens tulajdonságént szotá emlegetni azt, hogy a piacon létezi egy evivalens martingálmérté..4. Deníció. Az Ω, F, P) valószín ségi mez n értelmezett P mértéet evivalens martingálmérténe nevezzü, ha P és P evivalense, azaz a nullmérté halmazo megegyezne mindét mérté szerint,

17 .. DISZKRÉT IDEJ HJM TÍPUSÚ KAMATLÁBMODELLEK 7 a {D P,l } 0 l diszontált ötvényár folyamat martingál a P mérté szerint az {F n } n Z+ ltrációra nézve minden l Z + esetén, azaz E D P,l F ) = D P,l 0 l). Könnyen megmutatható, hogy egy önnanszírozó stratégia {D n Xn π } n Z+ diszontált folyamata martingál egy P evivalens martingálmérté szerint. Így, X0 π = 0 feltétel mellett n Z + esetén E Xn π = 0, tehát nem övetezhet be egyszerre PXK π 0) = és PXK π > 0) > 0 valamely rögzített K-ra, azaz nincs arbitrázslehet ség. Gyaorta a modelle egy evivalens martingál mérté alatt vanna felírva. Így a modelle nyilván izárjá az arbitrázs lehet ségét. Megjegyezzü, hogy nem feltétlenül szüséges így megadnun a modellt ahhoz, hogy no-arbitrázs modellehez jussun. Mindamellett ezen megözelítés elég gyaori a ötvénye piacán, mivel önnyen ezelhet e. Viszont statisztiai érdése szempontjából ez a megözelítés nem önnyen ezelhet. Az arbitrázsmentességet viszont mi is szeretnén, hogy teljesüljön, ezért feltesszü az alábbi tulajdonság teljesülését..5. Tulajdonság. A {D P,l } 0 l diszontált ötvényár folyamat martingál a valódi P mérté szerint minden l N esetén. Ezen feltétel mellett a modell martingál modell, azaz teljesül az arbitrázsmentesség... Diszrét idej HJM típusú amatlábmodelle Az alábbiaban az általun vizsgált diszrét idej autoregressziós mez vel meghajtott HJM-modell részletes leírását adju meg. Legyen Ω, F, P) egy valószín ségi mez, és deniálju rajta az {F } Z+ sz rést a övetez épp: F 0 :={, Ω} a triviális σ-algebra és legyen N esetén F := ση i,j : i és j 0), ahol η i,j N 0,) független valószín ségi változó minden i, j Z + esetén. Teintsün minden ϱ R esetén egy {S ϱ),l },l Z + térbeli autoregressziós típusú Gauss véletlen mez t leped t) a övetez éppen megadva S ϱ),l = Sϱ),l +ϱsϱ),l ϱsϱ),l +η,l, N, l Z +. S ϱ) 0, := 0,, = Sϱ) 0,l = Sϱ)

18 8. FEJEZET. ELŽZMÉNYEK A S ϱ),l = Sϱ) +,l Sϱ),l dierenciaoperátor bevezetése mellett, l Z + ) S ϱ),l+ = ϱ S ϱ),l +η +,l+, azaz { S ϱ) },l l Z + egy AR) autoregressziós folyamat ϱ együtthatóval. Más alaban felírva a meghajtó mez t S ϱ),l = j=0 l ϱ l j η i,j, ahonnan látható, hogy {S ϱ),l } Z + adaptált az {F } Z+ ltrációra nézve minden l Z + esetén, és a mez véges dimenziós eloszlásai normálisa. Eor ϱ R esetén az {f ϱ),l },l Z + diszrét idej határid s amatlábmodellt leíró sztochasztius dierenciaegyenlet f ϱ) +,l = f ϱ),l +α,l +β,l S ϱ),l,, l Z +, ahol {α,l } l Z+ drift tag és {β,l } l Z+ volatilitás F mérhet valószín ségi változó minden Z + esetén, továbbá az {f ϱ) 0,l } l Z + ezdeti értée ismert valós számo. Egy ilyen modellre Gáll, Pap és Zuijlen [] olyan elégséges feltételt is levezetett, amely mellett a piaco izárjá az arbitrázs lehet ségét, azaz teljesül a.5 Tulajdonság. Az ilyen típusú feltételeet gyaran drift feltételene is nevezi a amatlábmodelle irodalmában, mert ilyen feltétele mellett a drift tag α,l,, l Z + ) meghatározható a modell egyéb tulajdonságai által. Továbbá, feltettü, hogy a volatilitás determinisztius, sem az id t l sem a lejáratig hátralev id t l nem függ, azaz β,l := β, l Z + ). Eor Gáll József disszertációja [6] alapján a.5. Tulajdonság által biztosított arbitrázsmentesség az {f ϱ),l :, l Z +} ϱ R) véletlen Gauss mez által meghajtott diszrét idej határid s amatlábmodellben a övetez re egyszer södi f ϱ),l fϱ) ϱ),l+ ϱf,l fϱ),l ) = βη,l +β G l ϱ),, l N,.5) f ϱ),0 fϱ), = βη,0 +β G 0 ϱ), N, ahol G l ϱ) := l j=0 ϱ j.

19 .. DISZKRÉT IDEJ HJM TÍPUSÚ KAMATLÁBMODELLEK 9 Használni fogju még az alábbi evivalens alaoat is N, l Z + ): f ϱ),l fϱ),l+ = l+ f ϱ),l fϱ) 0,l+ = i=l+ j=0 l ϱ l j βη,j +β G j ϱ) ),.6) j=0 i ϱ i j βη l+ i+,j +β G j ϱ) )..7) Bevezetve a ϱ és ϱ módosított dierencia operátor jelöléseet ϱ x,l := { x,l x,l+ ϱx,l x,l ), ha, l N, x,0 x,, ha N, l = 0,.8) ϱ x,l := x,l x 0,+l ϱx,l x 0,+l ), ha, l N,.9) a fenti.5) arbitrázsmentes modell felírható az alábbi rövidebb alaban is ϱ f ϱ),l = βη,l +β G l ϱ),.0) vagy a ezdeti értée segítségével az alábbi evivalens alaban l+ ϱ f ϱ),l = βηl+ j, j +β G j ϱ) )..) j=l Az {f ϱ),l :, l Z +} térbeli autoregressziós mez vel meghajtott amatlábfolyamatot stabilna, instabilna vagy felrobbanóna nevezzü, ha ϱ <, ϱ =, vagy ϱ >.

20 0. FEJEZET. ELŽZMÉNYEK

21 3. fejezet Konzisztencia Ezen fejezetben összefoglalju a maximum lielihood ML) becslés onzisztenciájával apcsolatos fogalmaat, felidézzü Heijmans és Magnus [5] munájából az ML becslés gyenge onzisztenciájára vonatozó feltételeet függ minta esetén, majd bemutatju az enne hatására általun idolgozott, ML becslés er s onzisztenciájára vonatozó feltételrendszert szintén függ minta esetén. 3.. Az ML becslés onzisztenciája El ször deniálju a statisztiai ísérlet fogalmát. 3.. Deníció. Statisztiai ísérlet alatt egy X, X, {P θ : θ Θ} ) hármast értün, ahol X, X ) mérhet tér, {P θ : θ Θ} valószín ségi mértée családja Θ paramétertér az R p nyílt részhalmaza. A Θ halmazt paramétertérne, egy x X elemet meggyelésne, egy T : X Θ mérhet függvényt statisztiána nevezün. Legyen Ω, A, P) egy valószín ségi mez és minden θ Θ esetén legyen ξ θ) : Ω R d egy olyan valószín ségi változó minta), hogy az R d, BR d ) ) -n

22 3. FEJEZET. KONZISZTENCIA értelmezett P θ eloszlása abszolút folytonos a Lebesgue mértére nézve. Jelölje L : R d [0, ), x Lx; θ) a ξ θ) s r ségfüggvényét lielihoodfüggvényét). Eor a loglielihood függvény Λx; θ) := log Lx; θ) [, ), x R d, ahol legyen log 0 :=. Teintsün egy R d, BR d ), {P θ : θ Θ} ) statisztiai ísérletet. Statisztiai ísérlet paraméterbecslésénél a f feladat egy T :R d Θ statisztia megtalálása a θ 0 Θ igazi de ismeretlen) paraméterérté becslésére a ξ θ0) minta alapján úgy, hogy T jó legyen abban az értelemben, hogy a T ξ θ0) ) := T ξ θ0) valószín ségi változó özel van θ 0 -hoz. 3.. Deníció. Az R d, BR d ), {P θ : θ Θ} ) statisztiai ísérletben a θ paraméter x R d mintán alapuló maximum lielihood becslése egy θx) Θ érté, melyre Lx; θx)) = sup Lx; θ). 3.) θ Θ Azt mondju, hogy létezi mérhet maximum lielihood becslése a paraméterne az R d, BR d ), {P θ : θ Θ} ) statisztiai ísérletben, ha létezi egy θ : R d Θ mérhet függvény statisztia) úgy, hogy 3.) teljesül minden x R d esetén. Egy statisztiai ísérletben nem feltétlenül létezi ML becslés, és ha létezi sem feltétlenül egyértelm. Ha θ : R d Θ egy mérhet függvény, aor θ ξ θ) : Ω Θ valószín ségi változó mérhet függvény) minden θ Θ esetén. A övetez lemma elégséges feltételt ad a mérhet ML becslés létezésére Lemma. Jennrich [7, Lemma ]) Ha minden x R d esetén a θ Lx; θ) függvény folytonos Θ-n, aor az x sup θ Θ Lx; θ) függvény mérhet R d -n. Ha ezen ívül Θ ompat, aor létezi mérhet maximum lielihood becslése a paraméterne a R d, BR d ), {P θ : θ Θ} ) statisztiai ísérletben. Legyen d n N n N), és minden n N és θ Θ esetén legyen ξ n θ) : Ω R dn egy valószín ségi változó, melyne P n,θ eloszlása abszolút folytonos a Lebesgue mértére nézve, a s r ségfüggvénye L n :R dn [0, ), x L n x; θ) és a loglielihood függvénye Λ n x; θ) := log L n x; θ), x R dn. Teintsü a statisztiai ísérlete R dn, BR dn ), {P n,θ : θ Θ} ) sorozatát. n N 3.4. Deníció. Legyen T n : R dn Θ egy mérhet függvény minden n N esetén.

23 3.. AZ ML BECSLÉS KONZISZTENCIÁJA 3 A T n ) n N sorozatot a θ 0 Θ igazi paraméterérté gyengén onzisztens becsléséne nevezzü, ha n esetén azaz bármely ε > 0 esetén T n ξ θ0) n ) P θ 0, lim P T n ξ n θ0) ) θ 0 > ε ) = 0; n illetve er sen onzisztens becslésne nevezzü, ha n esetén azaz T n ξ θ0) n ) θ 0 P-majdnem biztosan P-m.b. ) ) P lim T nξ n θ0) ) = θ 0 =. n Öonometriai vizsgálatoban az ML becsléseet gyaran teinti gyengén onzisztensne, ami indoolt, de egyáltalán nem triviális. A probléma f oa, hogy a meggyelése általában nem függetlene és nem azonos eloszlásúa. Sajnos a onzisztens ML becslése irodalmában csa is részt találhatun, ami függ meggyeléseel foglalozi. Heijmans és Magnus [5, 986)] adna egy összefoglalást arról, i foglalozta ezzel a érdéssel. Eszerint gyaorlatilag minden, az ML becslés onzisztenciájára feltételt adó ci, Cramer [, 946)] vagy Wald [9, 949)] megözelítésén alapul. Majd az említett szerz páros Wald független, azonos eloszlású eredményéne a függ mintára való általánosításaént a orábbianál gyengébb és önnyebben ellen rizhet feltételeet adna. Felidézzü ét fontosabb állításuat, melye a és bbie során motiváló hatással volta rán. A θ Θ pont N örnyezete alatt a Θ olyan nyílt részhalmazát értjü, mely tartalmazza θ-t Tétel. Heijmans és Magnus [5, Theorem ]) Tegyü fel, hogy i) a Θ R p paramétertér ompat, ii) minden rögzített) n N és x R dn esetén a θ L n x; θ) lielihood függvény folytonos Θ-n. Eor a θ 0 Θ igazi paraméterérténe létezi θ n mérhet ML becslése. Továbbá egy tetsz leges { θ n } n N becsléssorozat aor és csa aor gyengén onzisztens, ha

24 4 3. FEJEZET. KONZISZTENCIA iii) minden θ Θ\{θ 0 } esetén létezi egy Nθ, θ 0 ) örnyezete a θ-na, hogy [ ] ) lim P Λ n ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) < 0 =. n sup φ Nθ,θ 0) Heijmans és Magnus az er s onzisztenciára is imondana egy feltételt, de bizonyítás nélül. Ezt a hiányt pótolju a övetez alfejezetben lásd 3.7. Tétel ii) iii) ága). Mási tételüben egy n normalizáló függvényt vezetne be, mely nem csa n hatványa, hanem függhet θ-tól és issé szigorúbb, viszont önnyebben ellen rizhet bb feltételeet adna Tétel. Heijmans és Magnus [5, Theorem ]) Tegyü fel, hogy i) a Θ R p paramétertér ompat, ii) minden rögzített) n N és x R dn esetén a θ L n x; θ) lielihood függvény folytonos Θ-n, iii) minden θ Θ\{θ 0 } esetén létezi egy n θ, θ 0 ) nemnegatív, nem véletlen sorozat, mely függhet θ-tól és θ 0 -tól, lim inf nθ, θ 0 ) > 0 és teljesül, hogy n n θ, θ 0 ) Λ n ξ θ0) n ) ; θ) Λ n ξ n θ0) P ; θ 0 ), ha n, iv) minden θ Θ\{θ 0 } esetén létezi egy Nθ, θ 0 ) örnyezete a θ-na, hogy [ ] lim P ) sup Λ n ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ) < =. n n θ, θ 0 ) φ Nθ,θ 0) Eor a θ 0 Θ igazi paraméterérténe létezi θn mérhet ML becslése, és minden { θ n } n N becsléssorozat gyengén onzisztens. Míg a 3.5 tétel iii) feltétele a loglielihood hányados loális viseledésére oncentrál, addig a 3.6 tétel iv) része a normalizált loglielihood hányados viseledését vizsgálja. Heijmans és Magnus javaslata szerint a normalizáló tényez a Kullbac-Leibler információval áll apcsolatban, nevezetesen n θ, θ 0 ) = E Λ n ξ θ0) n ; θ) Λ n ξ θ0) n ; θ 0 ) ha a várható érté létezi. A standard független, azonos eloszlású esetben n θ, θ 0 ) az n pozitív itev j hatványa lesz, általános esetben azonban nem. ),

25 3.. ERŽS KONZISZTENCIA FÜGGŽ MINTA ESETÉN Er s onzisztencia függ minta esetén A 3. alfejezetben felidéztü Heijmans és Magnus [5] eredményeit a ML becslés gyenge onzisztenciájáról függ minta esetén, és említettü, hogy imondta egy er sebb feltételt az er s onzisztenciára is, azonban bizonyítás nélül. Ez az állítás megtalálható a övetez tételünben ii) iii) ág) Tétel. Fülöp, Pap [4, Theorem.4]) Tegyü fel, hogy a Θ R p paramétertér ompat, és minden n N és x R dn esetén a θ L n x; θ) lielihood függvény folytonos Θ-n. Legyen θ 0 Θ. Teintsü a övetez állításoat: i) létezi egy n ) n N pozitív valós számsorozat, melyre lim inf n > 0, és n minden θ Θ\{θ 0 } esetén létezi a θ-na Nθ, θ 0 ) örnyezete, továbbá Iθ, θ 0 ) mennyiség úgy, hogy inf φ Nθ,θ0) Iφ, θ 0 ) > 0, és lim sup n φ Nθ,θ 0) Λn ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) ) +Iφ, θ 0 ) n = 0 P-m.b. ii) minden θ Θ\{θ 0 } esetén létezi a θ-na Nθ, θ 0 ) örnyezete, melyre lim sup n sup φ Nθ,θ 0) 3.) Λn ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) ) < 0 P-m.b. 3.3) iii) a θ 0 Θ mérhet maximum lielihood becsléseine minden θ n ) n N sorozata er sen onzisztens; iv) a θ 0 minden N örnyezete esetén lim sup n [ sup φ Θ\N Λ n ξ n θ0) ; φ) sup Λ n ξ n θ0) ; φ) φ N ] 0 P-m.b. 3.4) Eor i) ii) iii) iv). A 3.3. Lemma alapján minden n N esetén létezi a paraméterne θ n : R dn Θ nem feltétlenül egyértelm ) mérhet ML becslése az R dn, BR dn ), {P n,θ :θ Θ} ) statisztiai ísérletben.

26 6 3. FEJEZET. KONZISZTENCIA Továbbá szintén a 3.3. Lemma alapján érté valószín ségi változó, és így valószín ségi változó. Továbbá sup φ Nθ,θ 0) sup φ Nθ,θ 0) Λn ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) ) = majdnem mindenütt értelmezett, mivel P és sup φ Nθ,θ 0) L n ξ n θ0) ; φ) egy [0, + ] Λ n ξ n θ0) ; φ) is egy [, + ] érté sup Λ n ξ n θ0) ; φ) φ Nθ,θ 0) Λ n ξ θ0) n ) Λ n ξ θ0) n ; θ 0 ) ) ; θ 0 ) = = 0, hiszen ) P L n ξ n θ0) ; θ 0 ) = 0 = L n x; θ 0 ) dx = 0. {x R dn : Lnx;θ0)=0} Megjegyezzü, hogy 3.3) és 3.4) a övetez alaba is írható lim sup n sup L L n ξ n θ0) n ξ n θ0) ; φ) < P-m.b. 3.5) ; θ 0 ) φ Nθ,θ 0) lim sup n sup φ Θ\N L n ξ θ0) n ; φ) sup φ N L n ξ θ0) n ; φ) Bizonyítás 3.7 tétel): i) ii) Vegyü észre, hogy n sup φ Nθ,θ 0) sup φ Nθ,θ 0) Λn ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) ) P-m.b. 3.6) Λn ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) ) +Iφ, θ 0 ) n inf Iφ, θ 0), φ Nθ,θ 0) így i)-b l övetezi, hogy valószín séggel lim sup n n sup φ Nθ,θ 0) Λn ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) ) inf Iφ, θ 0) < 0. φ Nθ,θ 0) Eor, azon valószín ség halmazon, ahol a fenti egyenl tlenség teljesül, δ >0 esetén n 0 N, hogy n > n 0 esetén n sup φ Nθ,θ 0) Λn ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) ) δ < 0,

27 3.. ERŽS KONZISZTENCIA FÜGGŽ MINTA ESETÉN 7 továbbá lim inf n n > 0 miatt δ > 0, hogy n > n 0 esetén n δ > 0, így n > n 0 esetén n n sup φ Nθ,θ 0) Λn ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) )) δ δ < 0. Ebb l övetezi ii). ii) iii) Egy H Θ részhalmaz esetén teintsü a majdnem biztosan deniált S n H) := L n ξ n θ0) ; θ 0 ) sup φ H L n ξ n θ0) ; φ), valószín ségi változót. ii) szerint minden θ Θ \ {θ 0 } esetén létezi a θ-na Nθ, θ 0 ) örnyezete, hogy lim sup S n Nθ, θ 0 )) < P-m.b. 3.7) n Meg ell mutatnun, hogy a θ 0 minden N örnyezete esetén elég nagy n-re a maximum lielihood becslés majdnem biztosan ezen örnyezetbe esi. Pontosabban, minden N örnyezet esetén létezi egy Ω 0 A egy valószín ség esemény PΩ 0 ) = ) úgy, hogy minden ω Ω 0 esetén létezi egy n 0 N, ω) N üszöbszám, hogy n n 0 N, ω) esetén θ θ n ξ 0) n ω) ) N. A Θ\N halmaz ompat mivel zárt és Θ ompat) és Nθ, θ 0 ) Θ\N θ Θ\N egy nyílt lefedése Θ\N-ne. Eor létezi véges részlefedés is, azaz létezi véges so θ,..., θ r Θ\N pont, melyere Eor r Nθ, θ 0 ) Θ\N. sup L n ξ n θ0) ; φ) sup φ Θ\N φ r = max r Nθ,θ 0) sup φ Nθ,θ 0) L n ξ θ0) n ; φ) L n ξ n θ0) ; φ).

28 8 3. FEJEZET. KONZISZTENCIA Idézzü fel, hogy P L n ξ n θ0) ; θ 0 )>0)=, így ezen egyenl tlenség mindét oldalát L n ξ n θ0) ; θ 0 ) -al osztva azon a halmazon, ahol ez nem nulla L n ξ θ0) n ; θ 0 ) sup φ Θ\N Követezéséppen 3.7) szerint lim sup n L n ξ θ0) n ; θ 0 ) L n ξ n θ0) ; φ) max S n Nθ, θ 0 )) r sup φ Θ\N L n ξ θ0) n esetén létezi egy n 0 N, ω) N üszöb- majdnem biztosan. Így minden ω Ω 0 szám, hogy n n 0 N, ω) esetén sup φ Θ\N ; φ) lim sup n max r P-m.b. S n Nθ, θ 0 )) = max lim sup S n Nθ, θ 0 )) < r n L n ξ n θ0) ω); φ) < L n ξ n θ0) ω); θ 0 ). Minden n N és x R d esetén a sup L n x; φ) < L n x; θ 0 ) egyenl tlenség φ Θ\N alapján θ n x) N, mivel θn maximum lielihood becslés. Követezéséppen θ n ξ θ0) n ω)) N minden ω Ω 0 és n n 0 N, ω) esetén, azaz megaptu iii)-t. iii) iv) Minden N örnyezet esetén iii) szerint létezi egy Ω 0 A egy valószín ség esemény PΩ 0 ) = ) úgy, hogy minden ω Ω 0 esetén létezi egy n 0 N, ω) N üszöbszám, hogy θ θ n ξ 0) n ω) ) N, ha n n 0 N, ω). Így sup φ Θ\N L n ξ n θ0) ω); φ) sup L n ξ n θ0) ω); φ), ha n n 0 N, ω). φ N Követezéséppen θ 0 minden N örnyezete esetén, melyre N N apju, hogy minden ω Ω 0 és n n 0 N, ω) esetén sup φ Θ\N L n ξ n θ0) ω); φ) sup L n ξ n θ0) ω); φ). φ N Az N örnyezet θ 0 pontra sz ítése által és gyelembe véve a θ L n x; θ) lielihood függvény folytonosságát Θ-n, minden ω Ω 0 és n n 0 N, ω) esetén sup φ Θ\N L n ξ n θ0) ω); φ) L n ξ n θ0) ω); θ 0 ),

29 3.. ERŽS KONZISZTENCIA FÜGGŽ MINTA ESETÉN 9 így minden ω Ω 0 esetén lim sup n Ezzel megaptu iv)-t. sup φ Θ\N Ln ξ n θ0) ω); φ) L n ξ n θ0) ω); θ 0 ) ) 0. Az i) feltétel a loglielihoodo ülönbségére ad egy majdnem biztos ifejtést φ-ben egyenletesen, azaz Λ n ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) = Iφ, θ 0 ) n +o n ) P-m.b. egyenletesen φ-ben az Nθ, θ 0 ) örnyezetben, ha n. A Heijmans és Magnus által javasolt normalizáló tényez analógiájaépp Iφ, θ 0 ) n -re a Kullbac-Leibler információ f tagja a természetes választás, azaz E Λ n ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) ) = Iφ, θ 0 ) n +o n ). A fenti tétel f el nye, hogy ezen i) feltétel so esetben ellen rizhet, és így egy hasznos eszözt apun az ML becslés er s onzisztenciájána ellen rzésére függ minta esetén.

30 0 3. FEJEZET. KONZISZTENCIA

31 4. fejezet Er s onzisztencia a HJM-típusú modellben Ezen fejezet f célja a. alfejezetben bemutatott.5) arbitrázsmentes, diszrét idej HJM-típusú véletlen autoregressziós mez vel meghajtott határid s amatlábfolyamat ϱ R autoregressziós paraméteréne statisztiai vizsgálata. Ehhez vegyün alapul egy mintát, majd vizsgálju meg, hogy a mintaelemszám növelésével mit mondhatun a becslés viseledésér l. Mivel az f,l határid s amatláb függ a id t l és az l lejáratig hátralev id t l, így a mintán is étdimenziós lesz. A mintaelemszám növelését viszont többféleéppen is érthetjü. Els vizsgálatain alalmával mindét id tényez vel tartottun a végtelenbe. Kés bb azonban a lejáratig hátralev id fels orlátját lerögzítettü, hisz természetesen felmerül aadály, hogy nem állna rendelezésünre adato tetsz legesen hosszú lejáratig hátralev id vel. Azaz a másodi esetben minden id pontban a határid s amatlába ugyanolyan lejáratig hátralev id el rendelezne. Legyene K, L és {K n, L n : n N} pozitív egésze. Az általun tanulmányozott esete i) f ϱ) nn := {f ϱ),l : K n, 0 l L n }, ahol K n = nk +on) és L n = nl+on) ha n, ii) f ϱ) n := {f ϱ),l : K n, 0 l L}, ahol K n = nk +on) ha n, L x.

32 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN Ezere a övetez fejezeteben úgy hivatozun, hogy n -tel illetve n-nel arányos mintá. A övetez alfejezeteben az autoregressziós paraméter ML becsléséne er s onzisztenciáját bizonyítju a 3.7. Tételre támaszodva. Mivel a bizonyítás menete nem függ a volatilitástól, a számításo egyszer sítése végett feltesszü, hogy β:= a 4.. és 4.. alfejezeteben. 4.. Er s onzisztencia n -tel arányos minta esetén Teintsü el bb azt az esetet, mior a mintát mindét irányban növeljü, azaz a mintaelemszám n -tel arányos. Eor bebizonyítju az ML becslés er s onzisztenciáját stabil és mindét instabil esetben is. 4.. Tétel. Fülöp, Pap [5, Theorem ]) Legyene K, L N és legyene {K n, L n N:n N}, ahol K n =nk+on) és L n =nl+on), ha n. Legyen ϱ 0 [, +], és válasszu úgy az a, b R határoat, hogy < a < b < + és ϱ 0 Θ, ahol [, b], ha ϱ 0 =, Θ := [a, b], ha ϱ 0 <, [a, +], ha ϱ 0 = +. Minden n N esetén legyen ϱ n egy az f ϱ0) nn := f ϱ0),l ) K n, 0 l L n mintán alapuló tetsz leges mérhet ML becslése az igazi ϱ 0 paraméterne. Eor a ϱ n ) n N sorozat egy er sen onzisztens becslése ϱ 0 -na. Bizonyítás. A 3.7. Tétel i) iii) részéb l és a 4.. Állításból övetezi. 4.. Állítás. Fülöp, Pap [5, Proposition ]) Legyen {K n, L n : n N}, a, b R, Θ és ϱ 0, mint a 4.. Tételben. Eor ) sup r n,ϱ0 Λ Kn,L n f n ϱ0) ; ϱ 0 Λ Kn,L n ϱ [a,b] f n ϱ0) )) ; ϱ Iϱ, ϱ 0 ) 0 P-m.b. 4.)

33 4.. ERŽS KONZISZTENCIA n -TEL ARÁNYOS MINTA ESETÉN 3 ha n, ahol n 3, ha ϱ 0 =, r n,ϱ0 := n, ha ϱ 0 <, n 6, ha ϱ 0 = +, és Iϱ, ϱ 0 ) := +ϱ) 4 KL, ha ϱ 0 =, ϱ 0 ϱ) ϱ 0 )KL+ ϱ0 ϱ) ϱ 0 ϱ) 8 ϱ 0) 4 ϱ) KL+ K ), ha ϱ 0 <, ϱ) 40 KL 5 + ϱ) 8 K L K3 L K4 L + 5 K5 L+ 54 K6 ), ha ϱ 0 = +. Továbbá minden ϱ [a, b] \ {ϱ 0 } és ϱ minden N örnyezete esetén, melyre ϱ 0 / N ahol N az N lezártját jelöli) teljesül, hogy inf φ N Iφ, ϱ 0 ) > 0. Bizonyítás. Teintsü az f ϱ) = f ϱ),l ) K, 0 l L mintát. Az.0) egyenlet alapján f ϱ) ϱ),l -t ifejezhetjü az f,,l f ϱ),,l f ϱ),l+ és η,l segítségével. Az f ϱ) ϱ),l esetben viszont nem használhatju ugyanezt az elvet, ugyanis f,l+ nem eleme a mintána, így eor a.) egyenletet alalmazzu, mely szerint f ϱ) ϱ),l ifejezhet az f,l orábbi mintaelem, az f ϱ), 0,+L f ϱ) ezdeti 0,+L értée valamint az η,l+, η,l+,..., η,l véletlene segítségével. Követve a [6, Lemma 3.] bizonyításában található gondolatmenetet, a mintára vonatozó loglielihood függvény Λ K,L x ; ϱ, β) = KL+) logπβ ) logk!) 4.) K L ϱ β x,l β G l ϱ) ) K L+ β ϱ x,l β G l ϱ)), ahol x:=x,l ) K, 0 l L R KL+), és x 0,l :=f 0,l ha l. Ebb l övetezi l=l

34 4 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN a β = feltevésün mellett, hogy Λ Kn,L n f ϱ 0) ) n ; ϱ 0 ΛKn,L n f ϱ 0) n ; ϱ ) = + K n K n L n [ ϱ f ϱ0),l G l ϱ) ) ϱ0 f ϱ0),l G l ϱ 0 )) ] [ L n+ ϱ f ϱ0),l n ) L n+ ) ] G l ϱ) ϱ0 f ϱ0),l n G l ϱ 0 ), ahol ϱ0 és ϱ0 a.8) és.9)-ben bevezetett rövidítése. Fejezzü i ezen mennyiségeet az {η,l : K n, 0 l L n + K n } valószín ségi változó segítségével..0) és.) alapján L n+ L n+ ϱ0 f ϱ0),l G l ϱ 0 ) = η,l, ϱ0 f ϱ0),l n G l ϱ 0 ) = η Ln+ j, j. j=l n Továbbá a ϱ f ϱ0),l G l ϱ) = ϱ0 f ϱ0),l G l ϱ 0 ) ) ϱ0 f ϱ0),l ϱ f ϱ0),l +G l ϱ) G l ϱ 0 ) ) felbontás alapján, felhasználva az összefüggést és.6)-t, apju a ϱ0 f ϱ0),l ϱ f ϱ0),l = ϱ ϱ 0 )f ϱ0),l f ϱ0),l ) l H l ϱ, ϱ 0 ) := G l ϱ) G l ϱ 0 )+ϱ ϱ 0 ) ϱ0 l i G i ϱ 0 ). determinisztius rész ülönválasztásával, hogy l ϱ f ϱ0),l G l ϱ) = η,l H l ϱ, ϱ 0 ) ϱ ϱ 0 ) ϱ0 l i η,i. Hasonlóan levezethet.7) segítségével, hogy L n+ L n+ ϱ f ϱ0),l n G l ϱ) = j=l n L n+ η Ln+ j, j l H l ϱ, ϱ 0 )+ϱ ϱ 0 ) ) ϱ0 l i η Ln+ l, i.

35 4.. ERŽS KONZISZTENCIA n -TEL ARÁNYOS MINTA ESETÉN 5 Eor a loglielihood-o ülönbségéne alábbi alaját apju ahol az M ϱ,ϱ0) n K n n := ϱ, ϱ0) M Λ Kn,L n f ϱ 0) ) n ; ϱ 0 ΛKn,L n f ϱ 0) n ; ϱ ) = M és A ϱ,ϱ0) n L n K n L n+ + K n n := ϱ, ϱ0) A j=l n K n + L n l η,l H l ϱ, ϱ 0 )+ϱ ϱ 0 ) η Ln+ j, j ϱ, ϱ0) n + valószín ségi változó a övetez e ) ϱ0 l i η,i L n+ l H l ϱ, ϱ 0 )+ϱ ϱ 0 ) Ln+ l H l ϱ, ϱ 0 )+ϱ ϱ 0 ) ) ϱ0 l i η,i l H l ϱ, ϱ 0 )+ϱ ϱ 0 ) Aϱ, ϱ0) n, ) ϱ0 l i η Ln+ l, i, ) ) ϱ0 l i η Ln+ l, i. Tehát 4.) igazolásához elegend megmutatnun, hogy M ϱ, ϱ sup r 0) n,ϱ0 n 0 P-m.b., 4.3) ϱ [a,b] A ϱ, ϱ sup r 0) ϱ, ϱ0) n,ϱ0 n EA n 0 P-m.b., 4.4) ϱ [a,b] ϱ, ϱ0) sup r n,ϱ0 EA n Iϱ, ϱ 0 ) 0 4.5) ϱ [a,b] ha n. ϱ, ϱ0) Vizsgálju el bb 4.5)-t. A n várható értée ϱ R esetén K n L n l ] ϱ, ϱ0) EA n := [H l ϱ, ϱ 0 ) +ϱ ϱ 0 ) K n + Mivel ϱ [a, b] esetén Ln+ ϱ l i ) 0 ) L n+ l H l ϱ, ϱ 0 ) +ϱ ϱ 0 ) G l ϱ) = l ϱ i = ϱl+ ϱ), ϱ l i ) 0.

36 6 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN és l ϱ l i 0 G i ϱ 0 ) = ) ϱ0) l ) 8, ha ϱ 0 =, i ϱ = l 0 ) ϱ 0), ha ϱ 0 <, l, ha ϱ 0 = +, l apju, hogy minden ϱ [a, b] esetén H l ϱ, ϱ 0 ) = ϱ l+ ϱ) +ϱ+) )l ) 8 = ϱ) + ϱ 4 ϱ+ 4 )l +O ϱ l ) = O), ha ϱ 0 =, ) +O ϱ 0 l ) ϱ) ϱ + ϱ ϱ0 0) ϱ 0) +O ϱ l+ ϱ = ϱ ϱ0) ϱ0 ϱ) ϱ 0) ϱ) +O ϱ l )+O ϱ 0 l ), ha ϱ 0 <, ϱ l+ ϱ) l+ ϱ) l = ϱ) l +Ol), ha ϱ 0 = +, 4.6) és L n+ O), ha ϱ 0 =, H l ϱ, ϱ 0 ) ϱ ϱ = 0) ϱ 0 ϱ) 4 ϱ 0) 4 ϱ) +O ϱ l )+O ϱ 0 l ), ha ϱ 0 <, ϱ) l4 4 +Ol3 ), ha ϱ 0 = +, O), ha ϱ 0 =, ϱ ϱ H l ϱ, ϱ 0 ) = 0) ϱ 0 ϱ) ϱ 0) ϱ) +O ϱ Ln )+O ϱ 0 Ln ), ha ϱ 0 <, Ln+ l +OL n +)), ha ϱ 0 = +, ϱ Ln+ ) O ), ha ϱ 0 =, H l ϱ, ϱ 0 ) = ϱ ϱ 0) ϱ 0 ϱ) 4 ϱ 0) 4 ϱ) +O ϱ Ln )+O ϱ 0 Ln ), ha ϱ 0 <, Ln+ ) l +O L n +) 3 ), ha ϱ 0 = +. ϱ) 4

37 4.. ERŽS KONZISZTENCIA n -TEL ARÁNYOS MINTA ESETÉN 7 Továbbá L n+ l ϱ l i ) 0 = l ϱ l i ) 0 = +O ϱ ϱ 0 l ), ha ϱ 0 <, 0 l, ha ϱ 0 =, +O ϱ ϱ 0 Ln ), ha ϱ 0 <, 0 L n+ ), ha ϱ 0 =, 4.7) így ϱ [a, b] esetén ϱ, ϱ0) EA n = +ϱ) Kn L n l+on ) = +ϱ) KL n3 +On ) = Iϱ, ϱ 0 )n 3 +On ), ha ϱ 0 =, ) KL+ K ϱ0 ϱ) ϱ 0 ϱ) 4 ϱ 0) 4 ϱ) n + KLϱ0 ϱ) n +On) ϱ 0 = Iϱ, ϱ 0 )n +On), ha ϱ 0 <, ) ϱ) K n L n 4 l 4 K n L n+ + ϱ) 4 l +On 5 ) = ϱ) KL n6 + ϱ) 4 K L 4 + K3 L K4 L + K5 L 5 + K6 54 )n6 +On 5 ) = Iϱ, ϱ 0 )n 6 +On 5 ), ha ϱ 0 = +, amib l övetezi 4.5). Folytassu 4.4) vizsgálatával. Teintsü az alábbi felbontást ϱ R esetén ) ϱ, ϱ0) ϱ, ϱ0) A n EA n =ϱ ϱ 0 ) a ) n ϱ, ϱ 0 )+a ) n ϱ, ϱ 0 ) +ϱ ϱ 0 ) ) a 3) n ϱ 0 )+a 4) n ϱ 0 ), ahol K n n ϱ, ϱ 0 ) := a ) K n n ϱ, ϱ 0 ) := a ) L n l H l ϱ, ϱ 0 ) L n+ H j ϱ, ϱ 0 ) j=l n ϱ l i 0 η,i, L n+ l ϱ l i 0 η Ln+ l,i

38 8 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN a 3) K n L n+ = H j ϱ, ϱ 0 ) j=l n K n n ϱ 0 ) := a 4) K n n ϱ 0 ) := L n l Ln+ l K n = l= l= L n+ l ϱ l i 0 η,i ) E E L n+ l E ϱ Ln+ l i 0 η l,i, l ϱ l i ϱ l i 0 η Ln+ l,i Ln+ l= l ) ) 0 η,i, ϱ l i 0 η Ln+ l,i ) ϱ Ln+ l i 0 η l,i L n+ l ϱ Ln+ l i ) ) 0 η l,i. Megvizsgálju az egyes tagoat egyenént. Kezdjü a ) n ϱ, ϱ 0 )-el. Bevezetjü a l ξ ),l,n := ϱ l i 0 η,i N l 0, ϱ i 0 ). valószín ségi változóat. A ϱ 0 = instabil eseteben a O), ha ϱ 0 =, H l ϱ, ϱ 0 ) = Ol ), ha ϱ 0 = + 4.8) aszimptotia szerint n ϱ, ϱ 0 ) = a ) Kn Ln O)ξ ) Kn,l,n, ha ϱ 0 =, Ln Ol )ξ ),l,n, ha ϱ 0 = +,

39 4.. ERŽS KONZISZTENCIA n -TEL ARÁNYOS MINTA ESETÉN 9 és a Cauchy-Schwarz egyenl tlenség alapján Kn Ln a ) O) K n n ϱ, ϱ 0 ) Kn Ln Ol 4 ) K n Ln Ln ξ ),,l,n) ha ϱ0 =,, ξ,l,n) ) ha ϱ0 = +. Alalmazva a 4.6. Lemmát, α = 3 és λ = 4 választással, ϱ 0 = esetén n 3 K n L n Mivel E ξ,l,n) ) = l, így és eor ) ) ) ξ ),l,n E ξ ),l,n 0 P-m.b. ha n. 4.9) n 3 K n n 3 K n Figyelembe véve, hogy L n L n E ξ ),l,n ) ξ ) KL,l,n ) KL, ha n. P-m.b. ha n. K n L n O) = On ) és K n L n Ol 4 ) = On 6 ), 4.0) apju, hogy ϱ 0 = instabil eseteben sup r n,ϱ0 a ) n ϱ, ϱ 0 ) 0 P-m.b. ha n. 4.) ϱ [a,b] A ϱ 0 < stabil esetben a Cauchy-Schwarz egyenl tlenség önmagában nem elegend. A H l ϱ, ϱ 0 ) 4.6) aszimptotiája alapján a ) n ϱ, ϱ 0 ) ϱ ϱ 0 ϱ 0 ϱ) ϱ 0 ) ϱ) K n L n ξ ),l,n + K n L n O ϱ l + ϱ 0 l )ξ ),l,n.

40 30 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN Alalmazva a 4.8. Lemmát α = és λ = 0 választással ϱ 0 < esetén n K n L n A Cauchy-Schwarz egyenl tlenség alapján K n L n O ϱ l + ϱ 0 l )ξ ),l,n Kn ξ ),l,n 0 P-m.b. ha n. L n K n O ϱ 4l + ϱ 0 l ) L n ξ ),l,n). Alalmazva a 4.6 Lemmát, α = és λ = 0 választással, a ϱ 0 < stabil esetben n K n Mivel E és ebb l Mivel L n ) ) ) ξ ),l,n E ξ ),l,n 0 P-m.b. ha n. 4.) ) ξ ) l,l,n = ϱl i ) 0, így 4.7) alapján n K n n K n L n L n ) E ξ ) KL,l,n ϱ 0 ) ξ ) KL,l,n ϱ 0 K n így a ϱ o < stabil esetben L n ha n, P-m.b. ha n. O ϱ 4l + ϱ 0 l ) = On), 4.3) sup r n,ϱ0 a ) n ϱ, ϱ 0 ) 0 P-m.b. ha n. 4.4) ϱ [a,b] Követezzen a ) n ϱ, ϱ 0 ) vizsgálata. Bevezetve a Ln+ l ξ ),l,n := ϱ Ln+ l i 0 η l,i N 0, L n+ l ϱ i 0 )

41 4.. ERŽS KONZISZTENCIA n -TEL ARÁNYOS MINTA ESETÉN 3 valószín ségi változóat a O), ha ϱ 0 =, L n+ H l ϱ, ϱ 0 ) = O), ha ϱ 0 <, OL n +) ), ha ϱ 0 = + 4.5) aszimptotia szerint n ϱ, ϱ 0 ) = a ) Kn O) Kn O) Kn A Cauchy-Schwarz egyenl tlenség alapján a ) n ϱ, ϱ 0 ) Kn Kn Kn l= ξ) l= ξ),l,n, ha ϱ 0 =,,l,n, ha ϱ 0 <, OL n +) ) l= ξ),l,n, ha ϱ 0 = +. O ) K n O ) K n l= ξ) l= ξ) O L n +) 4 ) K n,l,n), ha ϱ0 =,,,l,n) ha ϱ0 <,, l=,l,n) ξ) ha ϱ0 = +. A ϱ 0 < stabil esetben alalmazva a 4.9. Lemmát α = és λ = 0 választással K n ) n ξ ),l,n) E ξ ),l,n 0 P-m.b. ha n. l= ) Mivel Ln+ l E l= ξ),l,n = l= ϱ i 0, így 4.7) alapján l= 4.6) melyb l K n n E ξ,l,n) ) 0 ha n, l= K n n ξ ),l,n) 0 P-m.b. ha n. l=

42 3 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN Tehát a ϱ 0 < stabil esetben sup r n,ϱ0 a ) n ϱ, ϱ 0 ) 0 P-m.b. ha n. 4.7) ϱ [a,b] A ϱ 0 = instabil eseteben teintsü az alábbi átírást K n ξ ) l= K n,l,n) = n l= n ξ ),l,n). A 4.9. Lemmát n ξ ),l,n-re alalmazva α = és λ = 0 választással K n n l= ξ ) n,l,n) E l= ) ξ ) n,l,n 0 P-m.b. ha n. ) Mivel E l= n ξ ) Ln+ l,l,n = l= n = O), így melyb l K n n Figyelembe véve K n n l= E l= n ξ ),l,n) 0 ha n, n ξ ),l,n) 0 P-m.b. ha n. 4.8) K n O ) = On ) és övetezi, hogy ϱ 0 = esetben K n O L n +) 4 ) = On 6 ), 4.9) sup r n,ϱ0 a ) n ϱ, ϱ 0 ) 0 P-m.b. ha n. 4.0) ϱ [a,b] Instabil esetben 4.9), stabil esetben 4.) alapján r n,ϱ0 a 3) n ϱ 0 ) 0 P-m.b. ha n. 4.)

43 4.. ERŽS KONZISZTENCIA n -TEL ARÁNYOS MINTA ESETÉN 33 Instabil esetben 4.6), stabil esetben 4.8) alapján r n,ϱ0 a 4) n ϱ 0 ) 0 P-m.b. ha n. 4.) A 4.), 4.4), 4.7), 4.0), 4.) és 4.) eredményeet összegy jtve teljesül a 4.4)-beli onvergencia. ϱ, ϱ0) Követezzen 4.3) igazolása. Teintsü az M n -t alábbi felbontását ϱ R esetén ahol ϱ, ϱ0) M n = m ) n ϱ, ϱ 0 )+m ) n ϱ, ϱ 0 ) ) +ϱ ϱ 0 ) m 3) n ϱ 0 )+m 4) n ϱ 0 ) ), K n n ϱ, ϱ 0 ) := m ) m ) L n H l ϱ, ϱ 0 )η,l, K n L n+ L n+ n ϱ, ϱ 0 ) := H j ϱ, ϱ 0 ) j=l n m 3) K n L n+ = H j ϱ, ϱ 0 ) j=l n K n n ϱ 0 ) := m 4) L n η,l l K n L n+ n ϱ 0 ) := K n = j=l n j= l= ϱ l i 0 η,i, η Ln+ j,j η j,ln+ j l= η Ln+ l,l η l,ln+ l, L n+ l L n+ l ϱ l i 0 η Ln+ l,i ϱ Ln+ l i 0 η l,i. Megvizsgálju az egyes tagoat egyenént. Kezdjü m ) n ϱ, ϱ 0 )-al. A ϱ 0 = instabil esetben a H l ϱ, ϱ 0 ) 4.8)-as aszimptotiája szerint Kn Ln m ) O)η,l, ha ϱ 0 =, n ϱ, ϱ 0 ) = Kn Ln Ol )η,l, ha ϱ 0 = +.

44 34 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN A Cauchy-Schwarz egyenl tlenség alapján m ) n ϱ, ϱ 0 ) Kn Kn Ln O) K n Ln Ln Ol 4 ) K n Alalmazva a 4.6. Lemmát α = és λ = 0 választással Mivel így K n L n n n K n η,l, ha ϱ 0 =, Ln η,l, ha ϱ 0 = +. η,l Eη,l) 0 P-m.b. ha n. n K n L n L n Eη,l KL ha n, Figyelembe véve 4.0)-et a ϱ 0 = instabil eseteben η,l KL P-m.b. ha n. 4.3) sup r n,ϱ0 m ) n ϱ, ϱ 0 ) 0 P-m.b. ha n. 4.4) ϱ [a,b] A ϱ 0 < stabil esetben a H l ϱ, ϱ 0 ) 4.6)-os aszimptotiája szerint m ) n ϱ, ϱ 0 ) ϱ ϱ 0 ϱ 0 ϱ) ϱ 0 ) ϱ) K n L n K n η,l + Alalmazva a 4.8. Lemmát α = és λ = 0 választással n K n L n A Cauchy-Schwarz egyenl tlenség alapján K n L n O ϱ l + ϱ 0 l )η,l Kn L n η,l 0 P-m.b. ha n. L n K n O ϱ 4l + ϱ 0 l ) O ϱ l + ϱ 0 l )η,l. L n η,l.

45 4.. ERŽS KONZISZTENCIA n -TEL ARÁNYOS MINTA ESETÉN 35 Figyelembe véve a 4.3) és 4.3) eredményeet, a ϱ 0 < stabil esetben sup r n,ϱ0 m ) n ϱ, ϱ 0 ) 0 P-m.b. ha n. 4.5) ϱ [a,b] Követezzen m ) n ϱ, ϱ 0 ) vizsgálata. A 4.5) aszimptotia szerint Kn O) l= η l,l n+ l, ha ϱ 0 =, m ) n ϱ, ϱ 0 ) = Kn O) l= η l,l n+ l, ha ϱ 0 <, Kn OL n +) ) l= η l,l n+ l, ha ϱ 0 = +, melyb l a Cauchy-Schwarz egyenl tlenség alapján m ) n ϱ, ϱ 0 ) Kn Kn Kn O ) K n O ) K n O L n +) 4 ) K n l= η l,l n+ l), ha ϱ0 =,, l= η l,l n+ l) ha ϱ0 <,, l= η l,l n+ l) ha ϱ0 = +. Alalmazva a 4.9. Lemmát α = és λ = 0 választással K n ) n η l,ln+ l) E η l,ln+ l 0 P-m.b. ha n. l= l= Mivel E l= η l,l n+ l) =, így melyb l K n n E η l,ln+ l) K ha n, l= K n n η l,ln+ l) 0 P-m.b. ha n. l= Figyelembe véve 4.9)-et, mind a ϱ < stabil, mind a ϱ = instabil eseteben sup r n,ϱ0 m ) n ϱ, ϱ 0 ) 0 P-m.b. ha n. 4.6) ϱ [a,b]

46 36 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN Követezzen m 3) n ϱ 0 ) vizsgálata. Vezessü be a övetez valószín ségi változóat ) l ζ 3),l,n := ϱ l i 0 η,i N l 0, Alalmazva a 4.7. Követezményt a ϱ < stabil esetben α = és λ = 0 választással, és a ϱ = instabil eseteben α = 3 és λ = 4 választással n 3 K n L n Mivel η,l és ζ 3),l,n ) η,l ζ 3),l,n Eη,l ζ 3),l,n 0 P-m.b. ha n. ϱ i 0 függetlene minden N esetén, így K n L n Eη,l ζ 3),l,n = 0, amib l övetezi, hogy mind a ϱ < stabil, mind a ϱ = instabil eseteben r n,ϱ0 m 3) n ϱ 0 ) 0 P-m.b. ha n. 4.7) Végül övetezzen m 4) n ϱ 0 ) vizsgálata. Bevezetve a ξ 4),l,n := η l,l n+ l N 0,), Ln+ l ζ 4),l,n := valószín ségi változóat m 4) K n n ϱ 0 ) = ϱ Ln+ l i 0 η l,i N ξ 4),j,n j=. Ln+ l l= ζ 4),l,n Alalmazva a 4.0. Követezményt α = és λ = 0 választással a ϱ < stabil esetben r n,ϱ0 m 4) n ϱ 0 ) 0 P-m.b. ha n. 4.8) ). ϱ i 0 )

47 4.. ERŽS KONZISZTENCIA n-el ARÁNYOS MINTA ESETÉN 37 Instabil esetben a m 4) n ϱ 0 ) = K n n ξ 4),j,n j= l= ) ζ 4) n,l,n. átírás alapján, alalmazva a 4.0. Lemmát a ξ 4) és n,j,n ζ 4) valószín ségi,l,n változóra α = és λ = 0 választással a ϱ = instabil eseteben r n,ϱ0 m 4) n ϱ 0 ) 0 P-m.b. ha n. 4.9) A 4.4), 4.5), 4.6), 4.7), 4.8) és 4.9) eredményeet összegy jtve apju 4.3)-t. Ezzel igazoltu a 4.) állítást. 4.. Er s onzisztencia n-el arányos minta esetén Mint említettü, felmerült a érdés, vajon hogyan viseledi a ML becslés, ha a lejáratig hátralev maximális id t lerögzítjü, és csa a meggyelési id ponto számával tartun a végtelenbe. Eor az egyi instabil esetben, nevezetesen ϱ= esetén, nem sierült bizonyítanun az er s onzisztenciát az ellenez jét sem). De az is érdees eredmény, hogy ϱ=+ instabil esetben teljesül, mert instabil esetben általában csa gyenge onzisztencia várható. Meglep módon, azon eseteben, ahol sierült bizonyítanun az er s onzisztenciát, a sálázó tényez megegyezne az n -tel arányos mintánál apott sálázó tényez el, tehát nem csöente Tétel. Fülöp [, Theorem 4..]) Legyene K, L N és legyene {K n N : n N}, ahol K n = nk + on) ha n. Legyen ϱ 0, +], és válasszun úgy az a, b R határoat, hogy < a < b < + és ϱ 0 Θ, ahol { [a, b], ha ϱ0 <, Θ := [a, +], ha ϱ 0 = +. Minden n N esetén legyen ϱ n egy, az f ϱ0) n := f ϱ0),l ) K n, 0 l L mintán alapuló, tetsz leges mérhet ML becslése az igazi ϱ 0 paraméterne. Eor a ϱ n ) n N sorozat egy er sen onzisztens becslése ϱ 0 -na. Bizonyítás. A 3.7. Tétel i) iii) részéb l és a övetez állításból övetezi.

48 38 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN 4.4. Állítás. Fülöp [, Proposition 4..]) Legyene K, L, {K n : n N}, a, b, Θ és ϱ 0 mint a 4.3. Tételben. Eor sup )) r n,ϱ0 Λ Kn,L f n ϱ0) ; ϱ 0 ) Λ Kn,L f n ϱ0) ; ϱ Iϱ, ϱ 0 ) 0 P-m.b. 4.30) ϱ [a,b] ha n, ahol r n,ϱ0 := Iϱ, ϱ 0 ) := { n, ha ϱ 0 <, n 6, ha ϱ 0 = +, ϱ 0 ϱ) ϱ 0 ϱ) 6 ϱ 0) 4 ϱ) K, ha ϱ 0 <, ϱ) 43 K6, ha ϱ 0 = +. Továbbá minden ϱ [a, b] \ {ϱ 0 } és ϱ minden N örnyezete esetén, melyre ϱ 0 N ahol N az N lezártját jelöli) teljesül, hogy inf φ N Iφ, ϱ 0 ) > 0. Bizonyítás. A 4.. Állítás bizonyítása alapján 4.30) igazolásához elegend leellen riznün a 4.3), 4.4) és 4.5) onvergenciáat L n := L, n N esetén. Foglalozzun el ször 4.5) bizonyításával. A H l ϱ, ϱ 0 )-lal apcsolatos aszimptotiá megváltozna, nevezetesen tetsz leges ϱ [a, b] esetén és H l ϱ, ϱ 0 ) = { ϱ ϱ0) ϱ 0 ϱ) ϱ 0) ϱ) +O ϱ l )+O ϱ 0 l ) = O), ha ϱ 0 <, ϱ) l +Ol) = O), ha ϱ 0 =, ϱ ϱ 0) ϱ 0 ϱ) H l ϱ, ϱ 0 ) 4 ϱ 0) = 4 ϱ) +O ϱ l )+O ϱ 0 l ) = O), ha ϱ 0 <, ϱ) l4 4 +Ol3 ) = O), ha ϱ 0 =, L+ l=l ϱ ϱ 0) ϱ 0 ϱ) ϱ 0) ϱ) +O) = O), ha ϱ 0 <, ) H l ϱ, ϱ 0 ) = ϱ L+) 3 3 L3 3 +O ) = ϱ 6 3 +O ) = O 3 ), ha ϱ 0 =, H l ϱ, ϱ 0 )) ϱ ϱ 0) ϱ 0 ϱ) 4 ϱ 0) = 4 ϱ) +O), ha ϱ 0 <, l=l 6 ϱ) 36 +O 5 ), ha ϱ 0 =. L+ 4.3) 4.3)

49 4.. ERŽS KONZISZTENCIA n-el ARÁNYOS MINTA ESETÉN 39 Követezéséppen ϱ [a, b] esetén ϱ, ϱ0) EA n = K ϱ 0 ϱ) ϱ 0 ϱ) 4 ϱ 0) 4 ϱ) n +On) = Iϱ, ϱ 0 )n +On), ha ϱ 0 <, ϱ) 4 K 6 54 n6 +On 5 ) = Iϱ, ϱ 0 )n 6 +On 5 ), ha ϱ 0 =, ami maga után vonja 4.5)-t. Folytassu 4.4) igazolásával. Ehhez használju a orábbi ϱ, ϱ0) A ϱ, ϱ0) n EA n =ϱ ϱ 0 ) a ) n ϱ, ϱ 0 )+a ) n ϱ, ϱ 0 ) ) +ϱ ϱ 0 ) a 3) n ϱ 0 )+a 4) n ϱ 0 ) ) felbontást ϱ R), melyne tényez i a l ξ ),l,n := L+ l ξ ),l,n := ϱ l i 0 η,i N l 0, ϱ i 0 ϱ L+ l i 0 η l,i N ), 0, L+ l valószín ségi változó bevezetése után a övetez egyszer bb alaba írhatóa K n L n ϱ, ϱ 0 ) := H l ϱ, ϱ 0 )ξ ),l,n a ) a ) K n L+ n ϱ, ϱ 0 ) := H l ϱ, ϱ 0 ) a 3) l=l j= ξ ),j,n, K n L [ ) ) ] n ϱ 0 ) := ξ ),l,n E ξ ),l,n, K n n ϱ 0 ) := a 4) l= ξ ),l,n) E l= ξ ),l,n ϱ i 0 ) ). Kezdjü a ) n ϱ, ϱ 0 ) vizsgálatával. A H l ϱ, ϱ 0 ) 4.3)-beli aszimptotiája és a Cauchy-Schwarz egyenl tlenség alapján a ϱ 0 < stabil és a ϱ 0 = instabil

50 40 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN esetben egyaránt a ) n ϱ, ϱ 0 ) Kn L K n L O) ξ ),l,n). Alalmazva a 4.3. Lemmát α = mellett K n L ) ) ) n ξ ),l,n E ξ ),l,n 0 P-m.b. ha n. 4.33) Mivel és így K n L n ϱ E ξ,l,n) l ) 0, ha ϱ = ϱ 0 <, 0 l, ha ϱ 0 =, E ξ ) n esetén, 4.33) alapján K n L n ξ,l,n) ) K Kn Mivel instabil esetben,l,n) L ϱ 0 K L ϱ 0 ϱl 0 ), ha ϱ ϱ 0 <, 0 ) KL, ha ϱ 0 =, + ϱl 0 ), ha ϱ ϱ 0 <, 0 ) KL, ha ϱ 0 =, P-m.b. ha n. L O) = On), így mind a ϱ 0 < stabil, mind a ϱ 0 = sup r n,ϱ0 a ) n ϱ, ϱ 0 ) 0 P-m.b. ha n. 4.34) ϱ [a,b] Követezzen a ) n ϱ, ϱ 0 ) vizsgálata. Teintve a 4.3)-beli aszimptotiát Kn a ) n ϱ, ϱ 0 ) = O) j= ξ),j,n, ha ϱ 0 <, Kn O3 ) j= ξ),j,n, ha ϱ 0 =, melyb l a Cauchy-Schwarz egyenl tlenség alapján Kn a ) n ϱ, ϱ 0 ) O ) K n Kn O6 ) K n j= ξ),,j,n) ha ϱ0 <,, j=,j,n) ξ) ha ϱ0 =.

51 4.. ERŽS KONZISZTENCIA n-el ARÁNYOS MINTA ESETÉN 4 A 4.5. Lemma alalmazása el tt le ell ellen riznün a feltételt. Eξ ),j,n )8 = 05 L+ j ϱ i 0 )4 sup Eξ ),j,n )8 < j K n ) 4 ϱ 05 L+ j) 0, ha ϱ ϱ = 0 <, 0 05L+ j) 4, ha ϱ 0 =. Eze szerint a stabil esetben teljesül a feltétel, az instabil esetben azonban más módszerhez ell folyamodnun. Teintsü el bb a ϱ 0 < stabil esetet. A 4.5. Lemma alapján α = mellett K n n ξ ),j,n E ξ ),j,n 0 P-m.b. 4.35) ha n. Mivel E ξ ) = így j=,j,n j= j= amib l 4.35) alapján Figyelembe véve E ξ ),j,n K n n E K n n ) = j= ξ ),j,n j= ξ ),j,n j= j= L+ j ϱ i 0 = j= 0, ha n, ϱ L+ j) 0 ϱ 0 0 P-m.b. ha n. = O), K n O ) = On ), 4.36) apju, hogy a ϱ 0 < esetben sup r n,ϱ0 a ) n ϱ, ϱ 0 ) 0 P-m.b. ha n. 4.37) ϱ [a,b]

52 4 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN A ϱ 0 = instabil esetben a övetez átalaítást hajtsu végre Eor teljesül a K n ξ ),j,n j= K n = n j= n ξ ),j,n 8 sup E n ξ,j,n) ) L+ j)4 = sup 05,j,n N j K n N n 4 < feltétel és alalmazhatju a 4.5. Lemmát a n ξ ),j,n α = választása mellett: K n n j= n ξ ),j,n E j= n ξ ),j,n. valószín ségi változóra 0 P-m.b. 4.38) ) ha n. Mivel E j= n ξ ) L+ j,j,n = j= n = n O ), így K n n E j= ha n, és 4.38) alapján Figyelembe véve K n n j= n ξ ) n ξ ),j,n,j,n K n ) = n O 0, n 0 P-m.b. ha n. K n O 6 ) = On 6 ), 4.39) apju, hogy a ϱ 0 = + instabil esetben sup r n,ϱ0 a ) n ϱ, ϱ 0 ) 0 P-m.b. ha n. 4.40) ϱ [a,b]