Kamatlábmodellek statisztikai vizsgálata

Átírás

1 DE TTK 949 Kamatlábmodelle statisztiai vizsgálata Dotori PhD) érteezés Fülöp Eria Témavezet : Dr. Pap Gyula Debreceni Egyetem Természettudományi Dotori Tanács Matematia- és Számítástudományo Dotori Isola Debrecen, 04.

2

3 Ezen érteezést a Debreceni Egyetem Természettudományi Dotori Tanács Matematia és Számítástudományo Dotori Isola Valószín ségelmélet, matematiai statisztia és alalmazott matematia programja eretében észítettem a Debreceni Egyetem természettudományi dotori PhD) foozatána elnyerése céljából. Debrecen, 04. április Fülöp Eria jelölt Tanúsítom, hogy Fülöp Eria dotorjelölt özött a fent megnevezett Dotori Isola Valószín ségelmélet, matematiai statisztia és alalmazott matematia programjána eretében irányításommal végezte munáját. Az érteezésben foglalt eredményehez a jelölt önálló alotó tevéenységével meghatározóan hozzájárult. Az érteezés elfogadását javasolom. Debrecen, 04. április Dr. Pap Gyula témavezet

4

5 Kamatlábmodelle statisztiai vizsgálata Érteezés a dotori Ph.D.) foozat megszerzése érdeében a matematia tudományágban. Írta: Fülöp Eria oleveles matematius, alalmazott matematius. Készült a Debreceni Egyetem Matematia- és Számítástudományo Dotori Isolája Valószín ségelmélet, matematiai statisztia és alalmazott matematia) programja eretében. A dotori szigorlati bizottság: Témavezet : Dr. Pap Gyula elnö: Dr tago: Dr Dr A dotori szigorlat id pontja: Az érteezés bírálói: A bírálóbizottság: Dr Dr Dr elnö: Dr tago: Dr Dr Dr Dr Az érteezés védéséne id pontja:

6

7 Tartalomjegyzé. Bevezetés. Techniai el zménye 3.. A ML becslés onzisztenciája Kamatlábmodelle, történelmi megjegyzése Diszrét idej HJM típusú amatlábmodelle A ML becslés er s onzisztenciája függ minta esetén 5 4. Er s onzisztencia a HJM-típusú modellben 4.. Er s onzisztencia n -tel arányos minta esetén Er s onzisztencia n-el arányos minta esetén Szimuláció Függelé A Függelé B Loális aszimptotius normalitás Local asymptotic normality Asymptotically optimal tests Összefoglalás 7 Summary 73 Irodalomjegyzé 75

8 A jelölt publiációi 79

9 . fejezet Bevezetés Motiváció, háttér, téma fontossága, el zménye, problémafelvetés, elért eredménye tömören, fejezetenénti összefoglalás. Több amatlábmodell is van, de eddig nem nagyon vizsgáltá a modellillesztésnél felmerül statisztiai érdéseet. Általun vizsgált új dolgo: statisztiai tesztelés, paraméterbecslés aszimptotiája ülönböz szituációban, statisztiai ísérletsorozat viseledését vizsgálju.

10 . FEJEZET. BEVEZETÉS

11 . fejezet Techniai el zménye Fogalma, ami nem standard egyetemi anyag, folytonos idej modell, Santa- Clara-Sornett, Józsi eredményei, Jennrich eredménye. Konzisztencia fogalma, ML pontos megfogalmazása, Heijmann-Magnus eredmény gyenge)... A ML becslés onzisztenciája Irodalom Van der Waart. Teintsün egy X, X, {P θ :θ Θ} ) statisztiai ísérletet, ahol X, X ) mérhet tér, {P θ : θ Θ} ezen értelmezett valószín ségi mértée családja és Θ R p egy nemüres halmaz. A Θ halmazt paramétertérne, egy x X elemet meggyelésne, egy T : X Θ mérhet függvényt statisztiána nevezün. Legyen Ω, A, P) egy valószín ségi mez és minden θ Θ esetén legyen ξ θ) :Ω R d egy olyan véletlen vetor minta), hogy az R d, BR d ) ) -n értelmezett P θ eloszlása abszolút folytonos, R d -b l [0, )-be épez x Lx; θ) s r - ségfüggvénnyel lielihoodfüggvénnyel). Eor a loglielihood függvény Λx; θ) := = log Lx; θ) [, ), x R d, ahol legyen log 0 :=. Teintsün egy R d, BR d ), {P θ : θ Θ} ) statisztiai ísérletet. Statisztiai ísérlet paraméterbecslésénél a f feladat egy T : R d Θ statisztia megtalálása a θ 0 Θ igazi de ismeretlen) paraméterérté becslésére a ξ θ0) minta alapján úgy, hogy T jó legyen abban az értelemben, hogy a T ξ θ0) ) := T ξ θ0) véletlen vetor özel van θ 0 -hoz. 3

12 4. FEJEZET. TECHNIKAI ELŽZMÉNYEK.. Deníció. Az R d, BR d ), {P θ : θ Θ} ) statisztiai ísérletben a θ paraméter x R d mintán alapuló maximum lielihood becslése egy θx) Θ érté, melyre Lx; θx)) = sup Lx; θ)..) θ Θ Azt mondju, hogy létezi mérhet maximum lielihood becslése a paraméterne az R d, BR d ), {P θ : θ Θ} ) statisztiai ísérletsorozatban, ha létezi egy θ : R d Θ mérhet függvény statisztia) úgy, hogy.) teljesül minden x R d esetén. Maximum lielihood becslés egy statisztiai ísérletben nem feltétlenül létezi, és még ha létezi is, nem feltétlenül egyértelm. Ha θ : R d Θ egy mérhet függvény, aor θ ξ θ) : Ω Θ valószín ségi változó mérhet függvény) minden θ Θ esetén. A övetez lemma elégséges feltételt ad a mérhet maximum lielihood becslés létezésére. A bizonyítást megtalálhatju pl. Jennrich [7, Lemma ] ciében... Lemma. Ha minden x R d esetén a θ Lx; θ) függvény folytonos Θ-n, aor az x sup θ Θ Lx; θ) függvény mérhet R d -n. Ha, ezen ívül, Θ ompat, aor létezi egy mérhet maximum lielihood becslése a paraméterne a R d, BR d ), {P θ : θ Θ} ) statisztiai ísérletben. Most legyene d n -e pozitív egésze n N), és minden n N és θ Θ esetén legyen ξ n θ) : Ω R dn egy véletlen vetor, melyne eloszlása abszolút folytonos R dn -b l [0, )-be épez x L n x; θ) s r ségfüggvénnyel. Teintsü a statisztiai ísérlete R dn, BR dn ), {P θ : θ Θ} ) sorozatát. n N.3. Deníció. Legyen T n : R dn Θ egy mérhet függvény minden n N esetén. A T n ) n N sorozatot a θ 0 Θ igazi paraméterérté er sen onzisztens becsléséne nevezzü, ha T n ξ θ0) n ) θ 0 m.b. majdnem biztosan) ha n, azaz P { lim n T nξ θ0) n ) = θ 0 } =.

13 .. A ML BECSLÉS KONZISZTENCIÁJA 5 Úgy t ni, egy általános megállapodás az öonometriában, hogy a maximum lielihood ML) módszerrel apott becslése, gyenge feltétele mellett, onziszense. Ez indoolt, de egyáltalán nem triviális. A probléma f oa, hogy az öonometriai modelleben a meggyelése nem függetlene és nem azonos eloszlásúa. Sajnos a onzisztens ML becslése irodalmában csa egy is rész foglalozi általánosan a függ meggyeléseel. Heijmans és Magnus a [5, 986)] ciüben adna egy összefoglalást arról, i foglalozta ezzel a érdéssel. Eszerint gyaorlatilag minden, a ML becslés onzisztenciájára feltételt próbálni adó ci Cramer [, 946)] vagy Wald [7, 949)] megözelítésén alapul, és az általános függ meggyeléseel foglalozó hatalmas irodalom átteintéséne igénye nélül megadjá a f irányvonala épvisel it lásd [5, 54. old.]). Ezután az említett szerz páros további ísérletet tesz Wald független, azonos eloszlású eredményéne a függ mintára való általánosítására, s az általu adott feltétele gyengébbe és önnyebben ellen rizhet e, mint a orábbia..4. Tétel [5], Theorem ). Tegyü fel, hogy i) a Θ R p paramétertér ompat, ii) minden rögzített) n N és x R dn esetén a θ L n x; θ) lielihood függvény folytonos Θ-n. Eor a θ 0 Θ igazi paraméterérténe létezi θn mérhet ) ML becslése. Továbbá egy tetsz leges { θ n } n N becsléssorozat gyengén onzisztens aor és csa aor, ha iii) minden θ Θ\{θ 0 } esetén létezi egy Nθ, θ 0 ) örnyezete a θ-na, hogy [ ] ) lim P Λ n ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) < 0 =. n sup φ Nθ,θ 0) Kimondjá bizonyítás nélül), hogy bizonyos er sebb feltétel mellett az er s onzisztencia is teljesül. Ezt a 4. fejezetben részletezzü, és bizonyítju. Egy mási tételüben bevezette egy n normalizáló függvényt, mely nem n hanem függhet θ-tól és issé szigorúbb feltételeet adta, melye viszont önnyebben ellen rizhet e..5. Tétel [5], Theorem ). Tegyü fel, hogy

14 6. FEJEZET. TECHNIKAI ELŽZMÉNYEK i) a Θ R p paramétertér ompat, ii) minden rögzített) n N és x R dn esetén a θ L n x; θ) lielihood függvény folytonos Θ-n, iii) minden θ Θ\{θ 0 } esetén létezi egy n θ, θ 0 ) nemnegatív, nem véletlen sorozat, mely függhet θ-tól és θ 0 -tól és n θ, θ 0 ) Λ n ξ θ0) n lim inf n nθ, θ 0 ) > 0, ) ; θ) Λ n ξ n θ0) P ; θ 0 ), ha n, iv) minden θ Θ\{θ 0 } esetén létezi egy Nθ, θ 0 ) örnyezete a θ-na, hogy [ ] lim P ) sup Λ n ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) < =. n n θ, θ 0 ) φ Nθ,θ 0) Eor a θ 0 Θ igazi paraméterérténe biztosan létezi θn mérhet ) ML becslése, és minden { θ n } n N becsléssorozat gyengén onzisztens. Míg a.4 tétel iii) feltétele a loglielihood hányados loális viseledésére oncentrál, addig a.5 tétel iv) része a normalizált loglielihood hányados viseledését vizsgálja, egyfajta gyenge loális egyenl mértében folytonossági feltétel a normalizált loglielihoodo sorozatára. Egy ézenfev választás n -re a Kullbac-Leibler információ abszolútértée n θ, θ 0 ) = E Λ n ξ θ0) n ) ; θ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ), ha a várható érté létezi. A standard független, azonos eloszlású esetben n n pozitív itev j hatványa lesz, de általános esetben nem. az.. Kamatlábmodelle, történelmi megjegyzése Az irodalomban több megözelítést találhatun a amatlábstrutúrá formalizálására, és ebb l a ötvénye és más amatlábfügg pénzügyi eszözö származtatására. Egy ilyen átteintést találhatun []-ben.

15 .. KAMATLÁBMODELLEK, TÖRTÉNELMI MEGJEGYZÉSEK 7 Az általun vizsgált modell Heath, Jarrow és Morton megözelítésén alapszi [4]. Az említett szerz hármas megadott egy határid s amatlábmodellt, majd ebb l származtattá a ötvényáraat. Kés bb so szerz vizsgált hasonló modelleet, ülönböz parametrizációal. Az alap HJM modellt a övetez éppen foglalhatju össze. Jelölje ft, x) a pillanatnyi amatlábat a t id pontban x lejáratig hátralév id vel, ahol t, x R +. Kiemelnén, hogy mi az úgynevezett Musiela paraméterezést övetjü b vebben lásd [0]), ahol x nem a lejárati id t, hanem a lejáratig hátralév id t jelöli. A HJM modellben a határid s amatlábaat leíró sztochasztius dierenciálegyenlet d t ft, x) = αt, x)dt+βt, x)dw t),.) ahol {W t)} t R standard Wiener folyamat mely lehet egy, illetve általánosabb esetben több véges) dimenziós). A amatlábfolyamat ismeretében megadható a ötvényár. Ha P t, s) jelöli a amatszelvény nélüli ötvényt a t id pontban s lejárati id vel, aor a Heath, Jarrow és Morton által javasolt ötvényár: { s t } P t, s) = exp ft, u)du, 0 t s. 0 A.) által megadott {ft, x)} t R+ határid s amatlábmodell minden x 0 esetén ugyanazzal a Wiener folyamattal van meghajtva. Ha például azt az esetet teintjü, mior βt, x) determinisztius, aor minden amatlábat ugyanaz a "so" éri, ami nem t ni túl valóságh ne. Emiatt természetes általánosítása a modellne, ha véletlen mez t vezetün be véletlen folyamat helyett. Egy ilyen modellben a ülönböz lejárati idej amatlába ülönböz folyamattal lehetne meghajtva. A folytonos idej modell ilyen általánosítását Kennedy [8] vezette be. Kés bb Goldstein [], továbbá Santa-Clara és Sornett [4] is vizsgálta ilyen modelleet. A f gondolatot a övetez éppen foglalhatju össze. Legyen {Zt, s)} t,s R+ egy véletlen mez, és minden rögzített x R + esetén legyen a határid s amatlábfolyamatot megadó dierenciálegyenlet d t ft, x) = αt, x)dt+βt, x)zdt, x),.3) ahol minden s 0 esetén {Zt, s)} t,s R+ egy alalmas szemimartingál, és α meg β eleget teszne a megfelel regularitási feltételene, hogy a fenti dierenciálegyenlethez tartozó integrálo létezzene.

16 8. FEJEZET. TECHNIKAI ELŽZMÉNYEK Egy ilyen véletlen mez által hajtott) általánosított.3) modellt véletlen mez s modellne fogun nevezni szemben a szairodalom orábbi, a fenti értelemben egyszer bb nem véletlen mez s).) modelljeivel, amelyeet lassziusna fogun nevezni. A f feladat egy ilyen modell deniálásánál a megfelel meghajtó folyamat vagy mez iválasztása. Bár a leggyarabban alalmazott meghajtó folyamat a lasszius modelle esetén a Brown-mozgás ld. pl. [4]), ennél általánosabb modelle is ismerte a szairodalomban. Schmidt [5] például a Brown mozgás egy természetes alternatíváját, nevezetesen az Ornstein-Uhlenbec folyamatot javasolta, amelyet úgy is teinthetün, mint a diszrét idej AR) folyamat analógja. A HJM modell lásd [4]), továbbá a fent említett [8], [], [4] munában tanulmányozott modelle folytonos idej e. Találhatun azonban a lasszius HJM modell diszrét idej verziójával apcsolatos munáat is, lásd például Heath, Jarrow és Morton [3], Jarrow [6] vagy Plisa [] munáit. A lasszius diszrét idej HJM-típusú modelleet a övetez éppen foglalhatju össze. Jelölje f,l a határid s amatlábat a id pontban l lejáratig hátralev id vel, azaz f,l a [+l, +l+) intervallumon érvényes, l Z + ). Feltesszü, hogy az f 0,l l Z + ) ezdeti értée ismerte. Eor a határid s amatlába a övetez éppen vanna megadva: f +,l = f,l +α,l +β,l S + S ),.4) ahol {S, α,l, β,l } Z+ adaptált egy adott {F } Z+ sz réshez minden l Z + esetén. Ha a [, +) periódusban értelmezett amatlábra bevezetjü az r := f,0 jelölést Z + ), aor a szoásos diszontáló tényez D := exp r j, Z +. j=0 A folytonos idej modellhez hasonlóan a amatlábfolyamat ismeretében megadható a ötvényár. Ha P,l jelöli a amatszelvény nélüli ötvényt a id pontban l lejárati id vel, aor a javasolt ötvényár: l P,l = exp f,j, 0 l, ahol P, :=. j=0

17 .. KAMATLÁBMODELLEK, TÖRTÉNELMI MEGJEGYZÉSEK 9 A folytonos esethez hasonlóan diszrét esetben is ésszer és pratius elvárás, hogy a határid s amatlába véletlen mez vel legyene meghajtva. Ilyen modellt vezetett be.3) analógiájára Gáll, Pap és Zuijlen lásd []). Az általu javasolt határid s amatlábstrutúra az f +,l = f,l +α,l +β,l S +,l S,l ).5) dinamiát öveti, ahol {S,l },l Z+ egy véletlen mez és {S,l, α,l, β,l } Z+ adaptált egy adott {F } Z+ sz réshez minden l Z + esetén. Kutatásain során nagyrészt ezen Gáll, Pap és Zuijlen [] által javasolt modellt vizsgáltu, mior a határid s amatlábaat egy AR) térbeli autoregressziós típusú Gauss véletlen mez hajtja meg. A Gauss jelz arra utal, hogy a mez véges dimenziós eloszlásai normálisa. A modell legf bb tulajdonsága az, hogy a ülönböz lejáratig hátralev id ülönböz értéeihez tartozó határid s amatlába ülönböz diszrét idej folyamatoal lehetne meghajtva, ennélfogva ülönböz piaci változáso lehetne hatással a ülönböz határid s amatlába folyamatára. Egy fontos elvárás a pénzügyi matematiában, hogy izárju az arbitrázs, ocázatmentes hozam, lehet ségét. Felidézzü az ehhez apcsolódó denícióat b vebben lásd [7]). Legyen Ω, F, P) valószín ségi mez egy {F n } n Z+ ltrációval..6. Deníció. Legyen N Z + és jelölje βi n 0 i N) a ötvénye darabszámát az n-edi id pontban n+i lejárati id vel, σβi n) F n 0 i N). A piacon egy π pénzügyi stratégia alatt a π n =β0 n, β n,..., βn n ), n Z + portfólió sorozatát értjü. Egy ilyen stratégia portfóliójána értée az n id pontban Xn π = N βn i P n,n+i..7. Deníció. Egy π stratégiát önnanszírozóna nevezzü, ha el rejelezhet, azaz σβ n i ) F n, 0 i N) és X π n = N βn i P n,n+i. Ez azt jelenti, hogy az n )-edi id pontban iválasztott π n portfólió összeállításánál nincs se plusz befetetésün, se ivét, azaz csa az n )-edi id pontban rendelezésre álló Xn π = N βn i P n,n+i t ét használju fel..8. Deníció. Egy π önnanszírozó stratégiát arbitrázsna, vagy arbitrázsstratégiána nevezün, ha valamely rögzített K Z esetén X π 0 = 0 m.b. X π n 0 m.b., n =,..., K,

18 0. FEJEZET. TECHNIKAI ELŽZMÉNYEK P XK π > 0) > 0, tehát létezi ω Ω, melyre Xπ K ω) > 0. Az arbitrázsmentességgel evivalens tulajdonságént szotá emlegetni azt, hogy a piacon létezi egy evivalens martingálmérté..9. Deníció. Az Ω, F, P) valószín ségi mez n értelmezett P mértéet evivalens martingálmérténe nevezzü, ha P és P evivalense, azaz a nullmérté halmazo megegyezne mindét mérté szerint, a {D P,l } 0 l diszontált ötvényár folyamat martingál a P mérté szerint az {F n } n Z+ ltrációra nézve minden l 0 esetén, azaz E D P,l F ) = D P,l 0 l). Könnyen megmutatható, hogy egy önnanszírozó stratégia {D n Xn π } n Z+ diszontált folyamata martingál egy P evivalens martingálmérté szerint. Így, X0 π = 0 feltétel mellett n Z + esetén E Xn π = 0, tehát nem övetezhet be egyszerre P XK π 0) = és P XK π > 0) > 0 valamely rögzített K-ra, azaz nincs arbitrázslehet ség. A ötvényárazáso irodalmában a HJM-típusu modeller l általában felteszi, hogy martingál modelle, azaz a modelle egy evivalens martingál mérté alatt vanna felírva. Így a modelle nyilván izárjá az arbitrázs lehet ségét. Megjegyezzü, hogy nem feltétlenül szüséges így megadnun a modellt ahhoz, hogy no-arbitrázs modellehez jussun. Mindamellett ezen megözelítés elég gyaori a ötvénye piacán, mivel önnyen ezelhet e. Viszont statisztiai érdése szempontjából ez a megözelítés nem önnyen ezelhet, így mi a valódi P mérté szerint dolgozun. Az arbitrázsmentességet viszont mi is szeretnén, hogy teljesüljön, ezért feltesszü az alábbi tulajdonság teljesülését..0. Tulajdonság. A {D P,l } 0 l diszontált ötvényár folyamat martingál a valódi P mérté szerint minden l N esetén..3. Diszrét idej HJM típusú amatlábmodelle Az általun tanulmányozott diszrét idej HJM-típusú határid s amatlábmodellt Gáll, Pap és Zuijlen [] vezette be, melyben a ülönböz lejáratig hátralev

19 .3. DISZKRÉT IDEJ HJM TÍPUSÚ KAMATLÁBMODELLEK id ülönböz értéeihez tartozó határid s amatlábaat egy véletlen mez hajtja meg. Ebben a övetez megfontoláso jelentette motivációt számura. Ezen az úton általánosabb és így rugalmasabb amatlábmodelle alotható, mint a lasszius modelle esetén amelyeet egyetlen folyamat hajt meg). Másrészt így lehet vé válhat, hogy a amatlába leírására alalmas modelleet találjun úgy, hogy azo ne legyene túlparaméterezve, vagy túlillesztve, ahogy az számos pénzügyi alalmazás esetén meggyelhet. Továbbá a véletlen mez s amatlábmodelle ötlete a folytonos idej amatlábmodelle irodalmában merült fel el ször, azonban az ezehez tartozó pénzügyi alulussal apcsolatban jelentez bizonyos problémá azt sugalljá, hogy a diszrét idej megözelítés ezen problémában is segíthet és így aár a folytonos idej modelle fejl déséhez is hozzájárulhat. Legyen Ω, F, P) egy valószín ségi mez, és deniálju rajta az {F } Z+ sz rést a övetez épp: F 0 :={, Ω} a triviális σ-algebra és legyen esetén F := ση i,j : i és j 0), ahol η i,j N 0,) független valószín ségi változó minden i, j Z + esetén. Teintsün minden ϱ R esetén egy {S ϱ),l },l Z + térbeli autoregressziós típusú Gauss véletlen mez t leped t) a övetez éppen megadva S ϱ),l = Sϱ),l +ϱsϱ),l ϱsϱ),l +η,l, S ϱ), = Sϱ) 0,l = Sϱ) 0, := 0, Z ++, l Z +. A S ϱ),l = Sϱ) +,l Sϱ),l dierenciaoperátor bevezetése mellett, l Z + ) S ϱ),l+ = ϱ S ϱ),l +η +,l+, azaz { S ϱ) },l l Z + egy AR) autoregressziós folyamat ϱ együtthatóval. Más alaban felírva a meghajtó mez t S ϱ),l = j=0 l ϱ l j η i,j, ahonnan látható, hogy {S ϱ),l } Z + adaptált az {F } Z+ ltrációra nézve minden l Z + esetén, és a mez véges dimenziós eloszlásai normálisa.

20 . FEJEZET. TECHNIKAI ELŽZMÉNYEK Eor deniálju ϱ R esetén az {f ϱ),l },l Z + diszrét idej határid s amatlábmodellt a övetez sztochasztius dierenciaegyenlettel f ϱ) +,l = f ϱ),l +α,l +β,l S ϱ),l,, l Z +, ahol {α,l } l Z+ drift tag és {β,l } l Z+ volatilitás F mérhet valószín ségi változó minden Z + esetén, továbbá az {f ϱ) 0,l } l Z + ezdeti értée ismert valós számo. Egy ilyen modellre Gáll, Pap és Zuijlen olyan elégséges feltételeet is levezetett [], amelye mellett a piaco izárjá az arbitrázs lehet ségét, azaz teljesül a.0 Tulajdonság. Ezeet a feltételeet gyaran drift vagy arbitrázsmentességi) feltételene is nevezi a amatlábmodelle irodalmában, mert ilyen feltétele mellett a drift tag α,l,, l Z + ) meghatározható a modell egyéb tulajdonságai által. Továbbá, feltettü, hogy a volatilitás determinisztius, sem az id t l sem a lejáratig hátralev id t l nem függ, azaz β,l := β, l Z + ). Eor az általun tanulmányozott {f ϱ),l :, l Z +} véletlen Gauss mez által meghajtott arbitrázsmentes diszrét idej határid s amatlábmodell minden ϱ R autoregressziós paraméter esetén Gáll, Pap és Zuijlen [0] munája alapján: f ϱ),l fϱ) ϱ),l+ ϱf,l fϱ),l ) = βη,l +β G l ϱ),, l,.6) f ϱ),0 fϱ), = βη,0 +β G 0 ϱ),, ahol G l ϱ) := l j=0 ϱ j. Bevezetve a ϱ és ϱ módosított dierencia operátoro jelöléseet ϱ x,l := { x,l x,l+ ϱx,l x,l ) for, l, x,0 x, for, l = 0, ϱ x,l := x,l x 0,+l ϱx,l x 0,+l ) for, l. a fenti.6) modell felírható az alábbi rövidebb alaban ϱ f ϱ),l = βη,l +β G l ϱ),.7)

21 .3. DISZKRÉT IDEJ HJM TÍPUSÚ KAMATLÁBMODELLEK 3 vagy a ezdeti értée segítségével az alábbi evivalens alaban l+ ϱ f ϱ),l = βηl+ j, j +β G j ϱ) )..8) j=l Ezene az alaona aor vesszü hasznát, ha téglalap alaú mintából végzün becsléseet. Illetve használni fogju még az alábbi evivalens alaoat is, l 0): f ϱ),l fϱ),l+ = l+ f ϱ),l fϱ) 0,l+ = i=l+ j=0 l ϱ l j βη,j +β G j ϱ) ),.9) j=0 i ϱ i j βη l+ i+,j +β G j ϱ) )..0) Az {f ϱ),l :, l Z +} térbeli autoregressziós mez vel meghajtott amatlábfolyamatot stabilna, instabilna vagy felrobbanóna nevezzü, ha ϱ <, ϱ =, vagy ϱ > megfelel en).

22 4. FEJEZET. TECHNIKAI ELŽZMÉNYEK

23 3. fejezet A ML becslés er s onzisztenciája függ minta esetén Heijmans-Magnust megemlíteni hogy is imondtá az er st. Bizonyítás. Összehasonlításo. A. fejezetben felidéztü Heijmans és Magnus [5] eredményeit a ML becslés gyenge onzisztenciájáról függ minta esetén, és említettü, hogy imondta egy er sebb feltételt az er s onzisztenciára is, azonban bizonyítás nélül. Ez az állítás megtalálható a övetez tételünben ii) iii) ág). Tegyü fel, hogy a Θ R p paramétertér ompat és minden n N és x R dn esetén a θ L n x; θ) lielihood függvény folytonos Θ-n. Eor a. Lemma alapján minden n N esetén létezi θ n : R dn Θ nem feltétlenül egyértelm ) mérhet maximum lielihood becslése a paraméterne az R dn, BR dn ), {P n,θ : θ Θ} ) statisztiai ísérletben. A θ Θ pont N örnyezete a Θ olyan nyílt részhalmaza, mely tartalmazza θ-t. 3.. Tétel. Legyen θ 0 Θ. Teintsü a övetez állításoat: i) létezi pozitív valós számona egy n ) n N sorozata, melyre lim inf n > 0, n és minden θ Θ \ {θ 0 } esetén létezi a θ-na Nθ, θ 0 ) örnyezete, és 5

24 6 3. FEJEZET. A ML BECSLÉS ERŽS KONZISZTENCIÁJA FÜGGŽ MINTA ESETÉN Iθ, θ 0 ) mennyiség úgy, hogy inf φ Nθ,θ0) Iφ, θ 0 ) > 0, és lim sup n φ Nθ,θ 0) Λn ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) ) +Iφ, θ 0 ) n = 0 m.b. 3.) ii) minden θ Θ\{θ 0 } esetén létezi a θ-na Nθ, θ 0 ) örnyezete, melyre lim sup n sup φ Nθ,θ 0) Λn ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) ) < 0 m.b. 3.) iii) a θ 0 Θ mérhet maximum lielihood becsléseine minden θ n ) n N sorozata er sen onzisztens; iv) a θ 0 minden N örnyezete esetén [ lim sup n sup φ Θ\N Λ n ξ n θ0) ; φ) sup Λ n ξ n θ0) ; φ) φ N ] 0 m.b. 3.3) Eor i) ii) iii) iv). A. Lemma szerint sup φ Nθ,θ 0) L n ξ n θ0) ; φ) egy [0, + ] érté valószín ségi változó, és így sup Λ n ξ n θ0) ; φ) is egy [, + ] érté valószín ségi φ Nθ,θ 0) változó. Továbbá sup φ Nθ,θ 0) Λn ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) ) = majdnem mindenütt értelmezett, mivel hiszen sup Λ n ξ n θ0) ; φ) φ Nθ,θ 0) ) Λ n ξ θ0) n ; θ 0 ) P{Λ n ξ θ0) n ; θ 0 ) = } = 0. Valóban, P{L n ξ n θ0) ; θ 0 ) = 0} = L n x; θ 0 ) dx = 0. {x R dn : Lnx;θ0)=0} Megjegyezzü, hogy 3.), 3.) és 3.3) a övetez alaba is írhatóa lim n sup L L n ξ n θ0) n ξ n θ0) ; φ) ; θ 0 ) φ Nθ,θ 0) ) /nθ,θ 0) = e m.b. 3.4)

25 7 és lim sup n lim sup n sup L L n ξ n θ0) n ξ n θ0) ; φ) < m.b. 3.5) ; θ 0 ) φ Nθ,θ 0) sup L L n ξ n θ0) n ξ n θ0) ; φ) m.b. 3.6) ; θ 0 ) φ Θ\N Bizonyítás 3. tétel): i) ii) Vegyü észre, hogy n sup φ Nθ,θ 0) sup φ Nθ,θ 0) Λn ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) ) Λn ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) ) +Iφ, θ 0 ) n inf Iφ, θ 0), φ Nθ,θ 0) így i)-b l övetezi, hogy valószín séggel lim sup n n sup φ Nθ,θ 0) Λn ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) ) inf Iφ, θ 0) < 0 φ Nθ,θ 0) Eor azon valószín ség halmazon, ahol a fenti egyenl tlenség teljesül, δ > 0 esetén n 0 N, hogy n > n 0 esetén n sup φ Nθ,θ 0) Λn ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) ) δ < 0, továbbá lim inf n n > 0 miatt δ > 0, hogy n > n 0 esetén n δ > 0, így n > n 0 esetén n n sup φ Nθ,θ 0) Λn ξ n θ0) ; φ) Λ n ξ n θ0) ; θ 0 ) )) δ δ < 0. Ebb l övetezi ii). ii) iii) Egy H Θ részhalmaz esetén teintsü a majdnem biztosan deniált S n H) := L n ξ n θ0) ; θ 0 ) sup φ H L n ξ n θ0) ; φ), valószín ségi változót. ii) szerint minden θ Θ \ {θ 0 } esetén létezi a θ-na Nθ, θ 0 ) örnyezete, hogy lim sup S n Nθ, θ 0 )) < m.b. 3.7) n

26 8 3. FEJEZET. A ML BECSLÉS ERŽS KONZISZTENCIÁJA FÜGGŽ MINTA ESETÉN Meg ell mutatnun, hogy a θ 0 minden N örnyezete esetén elég nagy n-re a maximum lielihood becslés majdnem biztosan ezen örnyezetbe esi. Pontosabban, minden N örnyezet esetén létezi egy Ω 0 A egy valószín ség esemény PΩ 0 ) = ) úgy, hogy minden ω Ω 0 esetén létezi egy n 0 N, ω) N üszöbszám, hogy n n 0 N, ω) esetén θ θ n ξ 0) n ω) ) N. A Θ\N halmaz ompat mivel zárt és Θ ompat) és Nθ, θ 0 ) Θ\N θ Θ\N egy nyílt lefedése Θ\N-ne. Eor létezi véges részlefedés is, azaz létezi véges so θ,..., θ r Θ\N pont, melyere Eor r Nθ, θ 0 ) Θ\N. sup L n ξ n θ0) ; φ) sup φ Θ\N φ r = max r Nθ,θ 0) sup φ Nθ,θ 0) L n ξ θ0) n ; φ) L n ξ n θ0) ; φ). Idézzü fel, hogy P L n ξ n θ0) ; θ 0 )>0)=, így ezen egyenl tlenség mindét oldalát L n ξ n θ0) ; θ 0 ) -al osztva azon a halmazon, ahol ez nem nulla L n ξ θ0) n ; θ 0 ) sup φ Θ\N Követezéséppen 3.7) szerint lim sup n L n ξ θ0) n ; θ 0 ) sup φ Θ\N L n ξ n θ0) ; φ) max S n Nθ, θ 0 )) r L n ξ θ0) n esetén létezi egy n 0 N, ω) N üszöb- majdnem biztosan. Így minden ω Ω 0 szám, hogy n n 0 N, ω) esetén sup φ Θ\N ; φ) lim sup n max r m.b. S n Nθ, θ 0 )) = max lim sup S n Nθ, θ 0 )) < r n L n ξ n θ0) ω); φ) < L n ξ n θ0) ω); θ 0 ).

27 9 Minden n N és x R d esetén a sup L n x; φ) < L n x; θ 0 ) egyenl tlenség φ Θ\N alapján θ n x) N, mivel θn maximum lielihood becslés. Követezéséppen θ n ξ θ0) n ω)) N minden ω Ω 0 és n n 0 N, ω) esetén, azaz megaptu iii)-t. iii) iv) Minden N örnyezet esetén iii) szerint létezi egy Ω 0 A egy valószín ség esemény PΩ 0 ) = ) úgy, hogy minden ω Ω 0 esetén létezi egy n 0 N, ω) N üszöbszám, hogy θ θ n ξ 0) n ω) ) N ha n n 0 N, ω). Így sup φ Θ\N L n ξ n θ0) ω); φ) sup L n ξ n θ0) ω); φ), ha n n 0 N, ω). φ N Követezéséppen θ 0 minden N örnyezete esetén, melyre N N apju, hogy minden ω Ω 0 és n n 0 N, ω) esetén sup φ Θ\N L n ξ n θ0) ω); φ) sup L n ξ n θ0) ω); φ). φ N Az N örnyezet θ 0 pontra sz ítése által és gyelembe véve a θ L n x; θ) lielihood függvény folytonosságát Θ-n, minden ω Ω 0 és n n 0 N, ω) esetén sup φ Θ\N L n ξ n θ0) ω); φ) L n ξ n θ0) ω); θ 0 ), így minden ω Ω 0 esetén lim sup n Ezzel megaptu iv)-t. sup φ Θ\N Ln ξ n θ0) ω); φ) L n ξ n θ0) ω); θ 0 ) ) 0.

28 0 3. FEJEZET. A ML BECSLÉS ERŽS KONZISZTENCIÁJA FÜGGŽ MINTA ESETÉN

29 4. fejezet Er s onzisztencia a HJM-típusú modellben Ezen fejezet f célja a.3 alfejezetben bemutatott diszrét idej HJM-típusú véletlen autoregressziós mez vel meghajtott.6) határid s amatlábfolyamat ϱ R autoregressziós paraméteréne statisztiai vizsgálata. Ehhez vegyün alapul egy mintát, majd vizsgálju meg, hogy a mintaelemszám növelésével mit mondhatun a becslés viseledésér l. Mivel az f,l határid s amatláb függ a id t l és a lejáratig hátralev l lejáratig hátralev id t l, így a mintán is étdimenziós lesz. A mintaelemszám növelését viszont többféleéppen is érthetjü. Els vizsgálatain alalmával mindét id tényez vel tartottun a végtelenbe. Kés bb azonban a lejáratig hátralev id fels orlátját lerögzítettü, hisz természetesen felmerül aadály, hogy nem állna rendelezésünre adato tetsz legesen hosszú lejáratig hátralev id vel. Azaz s másodi esetben minden id pontban a határid s amatlába ugyanolyan lejáratig hátralev id el rendelezne. Legyene K, L és {K n, L n : n N} pozitív egésze. Az általun tanulmányozott esete i) f ϱ) nn := {f ϱ),l : K n, 0 l L n }, ahol K n = nk +on) és L n = nl+on) ha n, ii) f ϱ) n := {f ϱ),l : K n, 0 l L}, ahol K n = nk +on) ha n, L x.

30 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN A övetez alfejezeteben az autoregressziós paraméter ML becsléséne er s onzisztenciáját bizonyítju, támaszodva a 3. fejezet 3. Tételére. Mivel a bizonyítási módszer nem függ a volatilitástól, a számításo egyszer sítése végett ezen fejezetben feltesszü, hogy β :=. 4.. Er s onzisztencia n -tel arányos minta esetén Teintsü el bb azt az esetet, mior a mintát mindét irányban növeljü, azaz a mintaelemszám n -tel arányos. Ez a fent említett i) eset. Eor sierült bizonyítanun a ML becslés er s onzisztenciáját stabil és mindét instabil esetben is. 4.. Tétel. Fülöp, Pap [5, Theorem ]) Legyene {K n, L n Z ++ : n N} úgy, hogy K n = nk + on) és L n = nl + on), ha n valamely K > 0 és L > 0 esetén. Legyen ϱ 0 [, +], és válasszu úgy a, b R határoat, hogy < a < b < + és ϱ 0 Θ, ahol [, b], ha ϱ 0 =, Θ := [a, b], ha ϱ 0 <, [a, +], ha ϱ 0 = +. Minden n N esetén legyen ϱ n egy az f nn ϱ0) := f ϱ0),l ) K n, 0 l L n mintán alapuló tetsz leges mérhet maximum lielihood becslése az igazi ϱ 0 paraméterne a lielihood függvény maximum helye Θ-n). Eor a ϱ n ) n N sorozat egy er sen onzisztens becslése ϱ 0 -na. Bizonyítás. A 3.. Tétel i) iii) részéb l és a övetez állításból övetezi. 4.. Állítás. Fülöp, Pap [5, Proposition ]) Legyen {K n, L n : n N}, a, b R, Θ és ϱ 0, mint a 4.. Tételben. Eor ) sup r n,ϱ0 Λ Kn,L n f n ϱ0) ; ϱ 0 Λ Kn,L n ϱ [a,b] f n ϱ0) )) ; ϱ Iϱ, ϱ 0 ) 0 P-m.b. 4.)

31 4.. ERŽS KONZISZTENCIA N -TEL ARÁNYOS MINTA ESETÉN 3 ha n, ahol n 3, ha ϱ 0 =, r n,ϱ0 := n, ha ϱ 0 <, n 6, ha ϱ 0 = +, Iϱ, ϱ 0 ) := +ϱ) K 0 L 0 t dt ) ds, ha ϱ 0 =, KLϱ 0 ϱ) ϱ 0 ) + KK+L)ϱ0 ϱ) ϱ 0 ϱ) ϱ) 8 K 0 L 0 6 ϱ 0) 4 ϱ), ha ϱ 0 <, ) K t 4 L+s dt ds+ s t dt) ds, ha ϱ 0 = +. 0 L Továbbá minden ϱ [a, b] \ {ϱ 0 } és ϱ minden N örnyezete esetén, melyre ϱ 0 / N ahol N az N lezártját jelöli) teljesül, hogy inf φ N Iφ, ϱ 0 ) > 0. Bizonyítás. Teintsü az f ϱ) = f ϱ),l ) K, 0 l L mintát. Az.7) egyenlet alapján f ϱ) ϱ),l -t ifejezhetjü az f,,l f ϱ),,l f ϱ),l+ és η,l segítségével. Az f ϱ) ϱ),l esetben viszont nem használhatju ugyanezt az elvet, ugyanis f,l+ nem eleme a mintána, így eor a.8) egyenletet alalmazzu, mely szerint f ϱ) ϱ),l ifejezhet az f,l orábbi mintaelem, az f ϱ), 0,+L f ϱ) ezdeti 0,+L értée valamint az η,l+, η,l+,..., η,l véletlene segítségével. Követve a [6, Lemma 3.] bizonyításában található gondolatmenetet, a mintára vonatozó loglielihood függvény Λ K,L x ; ϱ, β) = KL+) logπβ ) logk!) 4.) K L ϱ β x,l β G l ϱ) ) K L+ β ϱ x,l β G l ϱ)), ahol x:=x,l ) K, 0 l L R KL+), és x 0,l :=f 0,l ha l. Ebb l övetezi l=l

32 4 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN a β = feltevésün mellett, hogy Λ Kn,L n f ϱ 0) n ; ϱ 0 ) ΛKn,L n f ϱ 0) n ; ϱ ) = + K n K n L n [ ϱ f ϱ0),l G l ϱ) ) ϱ0 f ϱ0),l G l ϱ 0 )) ] [ L n+ ϱ f ϱ0),l n ) L n+ ) ] G l ϱ) ϱ0 f ϱ0),l n G l ϱ 0 ). Fejezzü i ezen mennyiségeet az {η,l : K n, 0 l L n + K n } valószín ségi változó segítségével..7) és.8) alapján L n+ L n+ ϱ0 f ϱ0),l G l ϱ 0 ) = η,l, ϱ0 f ϱ0),l n G l ϱ 0 ) = η Ln+ j, j. j=l n Továbbá a ϱ f ϱ0),l G l ϱ) = ϱ0 f ϱ0),l G l ϱ 0 ) ) ϱ0 f ϱ0),l ϱ f ϱ0),l +G l ϱ) G l ϱ 0 ) ). felbontás alapján, felhasználva az összefüggést és.9)-t, apju a ϱ0 f ϱ0),l ϱ f ϱ0),l = ϱ ϱ 0 )f ϱ0),l f ϱ0),l ) l H l ϱ, ϱ 0 ) := G l ϱ) G l ϱ 0 )+ϱ ϱ 0 ) ϱ l i 0 G i ϱ 0 ). determinisztius rész ülönválasztásával, hogy l ϱ f ϱ0),l G l ϱ) = η,l H l ϱ, ϱ 0 ) ϱ ϱ 0 ) ϱ0 l i η,i. Hasonlóan levezethet.0) segítségével, hogy L n+ L n+ ϱ f ϱ0),l n G l ϱ) = j=l n L n+ η Ln+ j, j l H l ϱ, ϱ 0 )+ϱ ϱ 0 ) ) ϱ0 l i η Ln+ l, i.

33 4.. ERŽS KONZISZTENCIA N -TEL ARÁNYOS MINTA ESETÉN 5 Eor apju a loglielihood-o ülönbségéne alábbi alaját ahol az M ϱ,ϱ0) n K n n := ϱ, ϱ0) M Λ Kn,L n f ϱ 0) ) n ; ϱ 0 ΛKn,L n f ϱ 0) n ; ϱ ) = M és A ϱ,ϱ0) n L n K n L n+ + K n n := ϱ, ϱ0) A j=l n K n + L n valószín ségi változó l η,l H l ϱ, ϱ 0 )+ϱ ϱ 0 ) η Ln+ j, j L n+ l H l ϱ, ϱ 0 )+ϱ ϱ 0 ) Ln+ ϱ, ϱ0) n + ) ϱ0 l i η,i l H l ϱ, ϱ 0 )+ϱ ϱ 0 ) ) ϱ0 l i η,i l H l ϱ, ϱ 0 )+ϱ ϱ 0 ) Aϱ, ϱ0) n, ) ϱ0 l i η Ln+ l, i, ) ) ϱ0 l i η Ln+ l, i. Tehát 4.) igazolásához elegend megmutatnun, hogy M ϱ, ϱ sup r 0) n,ϱ0 n 0 m.b., 4.3) ϱ [a,b] A ϱ, ϱ sup r 0) ϱ, ϱ0) n,ϱ0 n EA n 0 m.b., 4.4) ϱ [a,b] ϱ, ϱ0) sup r n,ϱ0 EA n Iϱ, ϱ 0 ) 0 4.5) ϱ [a,b] ha n. ϱ, ϱ0) El ször teintsü 4.5)-t. A n várható értée minden ϱ R esetén K n L n l ] ϱ, ϱ0) EA n := [H l ϱ, ϱ 0 ) +ϱ ϱ 0 ) K n + Mivel ϱ [a, b] esetén Ln+ ϱ l i ) 0 ) L n+ l H l ϱ, ϱ 0 ) +ϱ ϱ 0 ) G l ϱ) = l ϱ i = ϱl+ ϱ), ϱ l i ) 0.

34 6 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN és l ϱ l i 0 G i ϱ 0 ) = ) ϱ0) l ) 8, ha ϱ 0 =, i ϱ = l 0 ) ϱ 0), ha ϱ 0 <, l, ha ϱ 0 = +, l apju, hogy minden ϱ [a, b] esetén H l ϱ, ϱ 0 ) = ϱ l+ ϱ) +ϱ+) )l ) 8 = ϱ) + ϱ 4 ϱ+ 4 )l +O ϱ l ) = O), ha ϱ 0 =, ) +O ϱ 0 l ) ϱ) ϱ + ϱ ϱ0 0) ϱ 0) +O ϱ l+ ϱ = ϱ ϱ0) ϱ0 ϱ) ϱ 0) ϱ) +O ϱ l )+O ϱ 0 l ), ha ϱ 0 <, ϱ l+ ϱ) l+ ϱ) l = ϱ) l +Ol), ha ϱ 0 = +, 4.6) és L n+ O), ha ϱ 0 =, H l ϱ, ϱ 0 ) ϱ ϱ = 0) ϱ 0 ϱ) 4 ϱ 0) 4 ϱ) +O ϱ l )+O ϱ 0 l ), ha ϱ 0 <, ϱ) l4 4 +Ol3 ), ha ϱ 0 = +, O), ha ϱ 0 =, ϱ ϱ H l ϱ, ϱ 0 ) = 0) ϱ 0 ϱ) ϱ 0) ϱ) +O ϱ Ln )+O ϱ 0 Ln ), ha ϱ 0 <, Ln+ l +On), ha ϱ 0 = +, ϱ Ln+ ) O ), ha ϱ 0 =, H l ϱ, ϱ 0 ) = ϱ ϱ 0) ϱ 0 ϱ) 4 ϱ 0) 4 ϱ) +O ϱ Ln )+O ϱ 0 Ln ), ha ϱ 0 <, Ln+ ) l +O n 3 ), ha ϱ 0 = +. ϱ) 4

35 4.. ERŽS KONZISZTENCIA N -TEL ARÁNYOS MINTA ESETÉN 7 Továbbá, L n+ l ϱ l i ) 0 = így ϱ [a, b] esetén ϱ+) Kn l ϱ l i ) 0 = L n +O ϱ ϱ 0 l ), ha ϱ 0 <, 0 l, ha ϱ 0 =, +O ϱ ϱ 0 Ln ), ha ϱ 0 <, 0 L n+ ), ha ϱ 0 =, l+on ) 4.7) = Iϱ, ϱ 0 )n 3 +On ), ha ϱ 0 =, ) KL+ K ϱ0 ϱ) ϱ 0 ϱ) ϱ, ϱ0) 4 ϱ 0) EA n = 4 ϱ) n + KLϱ0 ϱ) n +On) ϱ 0 = Iϱ, ϱ 0 )n +On), ha ϱ 0 <, ϱ) 4 K n L n K n L n+ l ) +On 5 ) l 4 + ϱ) 4 = Iϱ, ϱ 0 )n 6 +On 5 ), ha ϱ 0 = +, amib l övetezi 4.5). Most vizsgálju 4.4)-t. Minden ϱ R esetén ) ϱ, ϱ0) ϱ, ϱ0) A n EA n =ϱ ϱ 0 ) a ) n ϱ, ϱ 0 )+a ) n ϱ, ϱ 0 ) +ϱ ϱ 0 ) ) a 3) n ϱ 0 )+a 4) n ϱ 0 ) ahol K n n ϱ, ϱ 0 ) := a ) a ) K n n ϱ, ϱ 0 ) := L n l H l ϱ, ϱ 0 ) L n+ H j ϱ, ϱ 0 ) j=l n K n L n+ = H j ϱ, ϱ 0 ) j=l n ϱ l i 0 η,i, L n+ l= l L n+ l ϱ l i 0 η Ln+ l,i ϱ Ln+ l i 0 η l,i,

36 8 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN K n n ϱ 0 ) := a 3) a 4) K n n ϱ 0 ) := L n l Ln+ l K n = l= ϱ l i 0 η,i ) E E L n+ l E l ϱ l i ϱ l i 0 η Ln+ l,i Ln+ l= l ) ) 0 η,i, ϱ l i 0 η Ln+ l,i ) ϱ Ln+ l i 0 η l,i L n+ l ϱ Ln+ l i ) ) 0 η l,i. Teintsü el bb a ) n ϱ, ϱ 0 )-et az instabil eseteben. A O), ha ϱ 0 =, H l ϱ, ϱ 0 ) = Ol ), ha ϱ 0 = +, 4.8) aszimptotia szerint a ) n ϱ, ϱ 0 ) = ahol l ξ ),l,n := Kn Ln O)ξ ) Kn,l,n, ha ϱ 0 =, Ln Ol )ξ ),l,n, ha ϱ 0 = +, ϱ l i 0 η,i N A Cauchy-Schwarz egyenl tlenség alapján Kn Ln a ) O) K n n ϱ, ϱ 0 ) Kn Ln Ol 4 ) K n l 0, Ln Ln ϱ i 0 ξ ) ).,,l,n) ha ϱ0 =,, ξ,l,n) ) ha ϱ0 = +.

37 4.. ERŽS KONZISZTENCIA N -TEL ARÁNYOS MINTA ESETÉN 9 A 4.5. Lemma alapján α = 3 és λ = 4 választással ϱ 0 = esetén Mivel E és eor n 3 K n L n ξ ),l,n) = l, így ) ) ) ξ ),l,n E ξ ),l,n 0 m.b. ha n. 4.9) n 3 K n n 3 K n Figyelembe féve, hogy apju, hogy K n L n L n L n E ξ ),l,n ) ξ ) KL,l,n O) = On ) ) KL, ha n. és K n m.b. ha n. L n Ol 4 ) = On 6 ), 4.0) sup r n,ϱ0 a ) n ϱ, ϱ 0 ) 0 m.b. ha n, ha ϱ 0 =. 4.) ϱ [a,b] A ϱ 0 < stabil esetben csa a Cauchy-Schwarz egyenl tlenség nem elegend, szüségün van a H l ϱ, ϱ 0 ) 4.6) aszimptotiájára a ) n ϱ, ϱ 0 ) ϱ ϱ 0 ϱ 0 ϱ) K n L n ϱ 0 ) ξ ) ϱ),l,n + K n L n O ϱ l + ϱ 0 l )ξ ),l,n. A 4.7. Lemma alalmazásával α = és λ = 0 választással apju n K n L n ξ ),l,n 0 m.b. ha n, ha ϱ 0 <. A Cauchy-Schwarz egyenl tlenség alalmazásával K n L n O ϱ l + ϱ 0 l )ξ ),l,n Kn L n K n O ϱ 4l + ϱ 0 l ) L n ξ ),l,n).

38 30 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN A 4.5 Lemma alapján α = és λ = 0 választással n K n L n ) ) ) ξ ),l,n E ξ ),l,n 0 m.b. ha n. 4.) ) Nyilván E ξ ) l,l,n = ϱl i ) 0, így 4.7) alapján és azt apju, hogy n K n L n ) E ξ ) KL,l,n ϱ 0 ha n, Mivel így n K n L n K n ) ξ ) KL,l,n ϱ 0 L n m.b. ha n. O ϱ 4l + ϱ 0 l ) = On), 4.3) sup r n,ϱ0 a ) n ϱ, ϱ 0 ) 0 m.b. ha n, ha ϱ o <. 4.4) ϱ [a,b] Követezzé a ) n ϱ, ϱ 0 ). A O), ha ϱ 0 =, H l ϱ, ϱ 0 ) = O), ha ϱ 0 <, On ), ha ϱ 0 = +, L n+ 4.5) aszimptotia szerint n ϱ, ϱ 0 ) = a ) Kn O) Kn O) Kn l= ξ) l= ξ),l,n, ha ϱ 0 =,,l,n, ha ϱ 0 <, On ) l= ξ),l,n, ha ϱ 0 = +,

39 4.. ERŽS KONZISZTENCIA N -TEL ARÁNYOS MINTA ESETÉN 3 ahol Ln+ l ξ ),l,n := ϱ Ln+ l i 0 η l,i N A Cauchy-Schwarz egyenl tlenség alapján a ) n ϱ, ϱ 0 ) Kn Kn Kn O ) K n O ) K n O n 4 ) K n 0, l= ξ) l= ξ) L n+ l ϱ i 0 ),l,n), ha ϱ0 =,,,l,n) ha ϱ0 <,, l=,l,n) ξ) ha ϱ0 = +. A ϱ 0 < stabil esetben a 4.8. Lemma alapján α = és λ = 0 választással K n n ξ ),l,n) E l= l= ξ ),l,n ) 0 m.b. ha n. 4.6) ) Mivel Ln+ l E l= ξ),l,n = l= ϱ i 0, így 4.7) alapján és eor így apju, hogy K n n E ξ,l,n) ) 0 ha n, l= K n n ξ ),l,n) 0 m.b. ha n, l= sup r n,ϱ0 a ) n ϱ, ϱ 0 ) 0 m.b. ha n, ha ϱ 0 <. 4.7) ϱ [a,b] A ϱ 0 = instabil esetben teintsü az alábbi átírást K n ξ ) l= K n,l,n) = n l= n ξ ),l,n)..

40 3 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN A 4.8. Lemma alapján α = és λ = 0 választással n ξ ),l,n K n n l= ξ ) n,l,n) E l= -re alalmazva ) ξ ) n,l,n 0 m.b. ha n. ) Mivel E l= n ξ ) Ln+ l,l,n = l= n = O), így és eor K n n K n n Figyelembe véve, hogy E l= l= K n O ) = On ) övetezi n ξ ),l,n) 0 ha n, n ξ ),l,n) 0 m.b. ha n. és 4.8) K n O n 4 ) = On 6 ), 4.9) sup r n,ϱ0 a ) n ϱ, ϱ 0 ) 0 m.b. ha n, ha ϱ 0 =. 4.0) ϱ [a,b] 4.9), 4.), 4.6) és 4.8) alapján r n,ϱ0 a 3) n ϱ 0 ) 0 m.b. ha n, 4.) r n,ϱ0 a 4) n ϱ 0 ) 0 m.b. ha n. 4.) Összegy jtve a 4.), 4.4), 4.7), 4.0), 4.) és 4.) eredményeet, apju 4.4)-t. ϱ, ϱ0) Végül megvizsgálju 4.3)-t. M n -t felírhatju a övetez alaban ϱ, ϱ0) M n = m ) n ϱ, ϱ 0 )+m ) n ϱ, ϱ 0 ) ) +ϱ ϱ 0 ) m 3) n ϱ 0 )+m 4) n ϱ 0 ) ) minden ϱ R esetén, ahol K n n ϱ, ϱ 0 ) := m ) L n H l ϱ, ϱ 0 )η,l,

41 4.. ERŽS KONZISZTENCIA N -TEL ARÁNYOS MINTA ESETÉN 33 K n L n+ L n+ n ϱ, ϱ 0 ) := H j ϱ, ϱ 0 ) j=l n m ) m 3) K n L n+ = H j ϱ, ϱ 0 ) j=l n K n n ϱ 0 ) := m 4) L n η,l l K n L n+ n ϱ 0 ) := K n = j=l n j= l= ϱ l i 0 η,i, η Ln+ j,j η j,ln+ j l= η Ln+ l,l η l,ln+ l, L n+ l L n+ l ϱ l i 0 η Ln+ l,i ϱ Ln+ l i 0 η l,i. Teintsü el bb m ) n ϱ, ϱ 0 )-t a ϱ 0 = instabil esetben. A H l ϱ, ϱ 0 ) 4.8) aszimtotiája szerint Kn Ln m ) O)η,l, ha ϱ 0 =, n ϱ, ϱ 0 ) = Kn Ln Ol )η,l ha ϱ 0 = +. A Cauchy-Schwarz egyenl tlenség alapján Kn m ) n ϱ, ϱ 0 ) Kn Ln O) K n Ln Ol 4 ) K n A 4.5. Lemma alapján α = és λ = 0 választással Mivel így K n L n n Ln η,l, ha ϱ 0 =, Ln η,l, ha ϱ 0 = +. η,l Eη,l) 0 m.b. ha n. n K n n K n L n L n Eη,l KL ha n, η,l KL m.b. ha n. 4.3)

42 34 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN Valójában ez is a nagy számo er s törvényéne egyszer övetezménye. Figyelembe véve 4.0)-et, apju sup r n,ϱ0 m ) n ϱ, ϱ 0 ) 0 m.b. ha n, ha ϱ 0 =. 4.4) ϱ [a,b] A ϱ 0 < stabil esetben a H l ϱ, ϱ 0 ) 4.6)-s aszimptotiája szerint m ) n ϱ, ϱ 0 ) ϱ ϱ 0 ϱ 0 ϱ) K n L n K n L n ϱ 0 ) η,l + O ϱ l + ϱ 0 l )η,l. ϱ) A 4.7. Lemmát alalmazva α = és λ = 0 választással n K n L n A Cauchy-Schwarz egyenl tlenség alapján K n L n O ϱ l + ϱ 0 l )η,l Kn η,l 0 m.b. ha n. L n K n O ϱ 4l + ϱ 0 l ) Figyelembe véve 4.3) és 4.3) eredményeet apju, hogy L n η,l. sup r n,ϱ0 m ) n ϱ, ϱ 0 ) 0 m.b. ha n, ha ϱ 0 <. 4.5) ϱ [a,b] Ezután övetezzen m ) n ϱ, ϱ 0 ). A 4.5) aszimptotia szerint Kn O) l= η l,l n+ l, ha ϱ 0 =, m ) n ϱ, ϱ 0 ) = Kn O) l= η l,l n+ l, ha ϱ 0 <, Kn On ) l= η l,l n+ l, ha ϱ 0 = +. Ismét a Cauchy-Schwarz egyenl tlenség alapján m ) n ϱ, ϱ 0 ) Kn Kn Kn O ) K n O ) K n O n 4 ) K n l= η l,l n+ l), ha ϱ0 =,, l= η l,l n+ l) ha ϱ0 <,, l= η l,l n+ l) ha ϱ0 = +.

43 4.. ERŽS KONZISZTENCIA N -TEL ARÁNYOS MINTA ESETÉN 35 A 4.8. Lemma alapján α = és λ = 0 választással K n ) n η l,ln+ l) E η l,ln+ l 0 m.b. ha n. l= l= Mivel E l= η l,l n+ l) =, így és eor K n n E η l,ln+ l) K ha n, l= K n n η l,ln+ l) 0 m.b. ha n. l= Figyelembe véve 4.9)-t sup r n,ϱ0 m ) n ϱ, ϱ 0 ) 0 m.b. ha n. 4.6) ϱ [a,b] Követezzen m 3) n ϱ 0 ) vizsgálata. Vezessü be a övetez jelölést l ζ 3),l,n := ϱ l i 0 η,i N l 0, A 4.6. Lemma alapján α = és λ = 0 választással a stabil esetben ϱ 0 < ) meg α = 3 és λ = 4 választással az instabil esetben ϱ 0 = ) n α K n L n Mivel η,l és ζ 3),l,n ϱ i 0 ) η,l ζ 3),l,n Eη,l ζ 3),l,n 0 m.b. ha n. függetlene minden N esetén K n L n Eη,l ζ 3),l,n = 0, ).

44 36 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN amib l övetezi, hogy r n,ϱ0 m 3) n ϱ 0 ) 0 m.b. ha n. 4.7) Végül övetezzen m 4) n ϱ 0 ) vizsgálata. Bevezetve a jelöléseet ξ 4),l,n := η l,l n+ l N 0,), Ln+ l ζ 4),l,n := m 4) K n n ϱ 0 ) = ϱ Ln+ l i 0 η l,i N ξ 4),j,n j= Ln+ l l= ζ 4),l,n Instabil esetben a 4.9 Lemma alapján α = és λ = 0 választással r n,ϱ0 m 4) n ϱ 0 ) 0 m.b. ha n, ha ϱ 0 <. 4.8) Instabil esetben a m 4) n ϱ 0 ) = K n n ξ 4),j,n j= l= ). ϱ i 0 ) ) ζ 4) n,l,n. átírás szerint a 4.9. Lemmát alalmazva α = és λ = 0 választással ξ 4) n ζ 4),l,n valószín ségi változóra,j,n r n,ϱ0 m 4) n ϱ 0 ) 0 m.b. ha n, ha ϱ 0 =. 4.9) Összegy jtve a 4.4), 4.5), 4.6), 4.7), 4.8) és 4.9) eredményeet, apju 4.3)-t, azaz igazoltu 4.)-t. 4.. Er s onzisztencia n-el arányos minta esetén Mint említettü, felmerült a érdés, vajon hogyan viseledi a ML becslés, ha a lejáratig hátralev maximális id t lerögzítjü, és csa a ötési id vel tartun a végtelenbe. Eor az egyi instabil esetben, nevezetesen ϱ = esetén, már nem sierült bizonyítanun az er s onzisztenciát az ellenez jét sem). De már az is érdees eredmény, hogy ϱ = + esetén teljesül, mert instabil esetben általában csa gyenge onzisztencia várható. és

45 4.. ERŽS KONZISZTENCIA N-EL ARÁNYOS MINTA ESETÉN Tétel. Legyene {K n Z + : n N} úgy, hogy K n = nk +on) ha n valamely K Z ++ esetén, és legyen L Z ++. Legyen ϱ 0, +], és válasszun úgy a, b R határoat, hogy < a < b < + és ϱ 0 Θ, ahol Θ := { [a, b], ha ϱ0 <, [a, +], ha ϱ 0 = +. Minden n N esetén legyen ϱ n egy az f n ϱ0) := f ϱ0),l ) K n, 0 l L mintán alapuló tetsz leges mérhet maximum lielihood becslése az igazi ϱ 0 paraméterne a lielihood függvény maximumhelye Θ-n). Eor a ϱ n ) n N sorozat egy er sen onzisztens becslése ϱ 0 -na. Bizonyítás. A 3.. Tétel i) iii) részéb l és a övetez állításból övetezi. Meglep, hogy azon eseteben, ahol sierült bizonyítanun az er s onzisztenciát, a sálázó tényez megegyezne az n -tel arányos mintánál apott sálázó tényez el, azaz nem csöente Állítás. Legyen {K n : n N}, K, L Z ++, a, b, Θ és ϱ 0 mint a 4.3. Tételben. Eor sup ϱ [a,b] r n,ϱ0 Λ Kn,L ha n, ahol f n ϱ0) ; ϱ 0 ) Λ Kn,L r n,ϱ0 := Iϱ, ϱ 0 ) := f ϱ0) n )) ; ϱ { n, ha ϱ 0 <, n 6, ha ϱ 0 = +, ϱ ϱ 0) ϱ ϱ 0) 4 ϱ) ϱ 0) 4 K ha ϱ 0 <, ϱ) 08 K6 ha ϱ 0 = +. Iϱ, ϱ 0 ) 0 m.b. 4.30) Továbbá minden ϱ [a, b] \ {ϱ 0 } és ϱ minden N örnyezete esetén, melyre ϱ 0 N ahol N az N lezártját jelöli) teljesül, hogy inf φ N Iφ, ϱ 0 ) > 0.

46 38 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN 4.3. Szimuláció Ebben az alfejezetben a ϱ paraméter becsléséne empirius viseledését vizsgálju szimuláció segítségével. Megvizsgálju a becslése onvergenciáját és normalitásást, bár utóbbira nincsene elméleti eredményein. A szimulációat és becsléseet az R [3] statisztiai programcsomag segítségével végeztü. Becsléseinet egy K L méret f n ϱ) = {f,l : K, l L} minta alapján végezzü, melyet az arbitrázsmentes modellün lásd.7),.8)) alapján generáltun adott β volatilitás és {f 0,l : l 0} ezdeti értée esetén. A.7) egyenlet alapján az f,l határid s amatláb 3 orábbi id ponttól függ, plusz egy véletlen változótól lásd. ábra). A téglalap tetején azonban ezt az összefüggést nem használhatju, mivel az f,l+ nincs benne a mintában, így ebben az esetben a.8) egyenlet alapján egy orábbi mintaelem, ét ezdeti érté és véletlen változó segítségével tudju f,l -et generálni lásd 3. ábra). L+ L+- L L l+ l l- L L- - K -. ábra. ábra 3. ábra A határid s amatlába ezd értéeire f ϱ),0 := K +L), a volatilitásra β = 0. rögzített értéet vettün. A maximum lielihood becslése a 4.) loglielihood függvény maximumhelyei, mely az ismeretlen ϱ paraméter magas foú polinomja. Emiatt nem tudun explicit megoldást adni ϱ-ra, csa numerius eljárással tudju megapni a becsléseinet. Ehhez az R beépített optim függvényét használtu, mely a Broyden- Fletcher-Goldfarb-Shanno BFGS) módszeren alapul. El ször a stabil esetet teszteltü ϱ = 0.6 valódi paraméterértéel. Generáltun egy 00 0 méret mintát és a enne egyre növev részmintáiból K K

47 4.3. SZIMULÁCIÓK 39 számoltattu a ML becslést. A 4. ábrán a ML becslés változása látható miözben a becsléshez használt részminta mérete 5 L, 6 L,..., 00 L és L = 0. 0 ilyen számolást lefuttatva láthatju, hogy a ML becslése sorozata a valódi paraméterértéhez tart. A. ábrán egyetlen sorozatot látun egy nagyobb minta, K = 5,...,50 és L = 30 esetén. Ez már soal id t igényl számolás, egy átlagos laptopon Intel CoreDuo T9400 processzor, xgb DDR3 memória) több óráig tart. rho = rho = ρ^n ρ^n K = 5,..., 00, L = 0, Sample size: 5 x 0, 6 x 0,..., 00 x K = 5,..., 50, L = 30, Sample size: 5 x 30, 6 x 30,..., 50 x ábra 5.ábra rho = -0.6 Density ρ^80 sample size 80 x ábra

48 40 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN Ezután 00-szor generáltun es mintát és ebb l becsültü a ML becslést. Minden becslésb l levontu a valódi paraméterértéet és osztottu a becslése mintából számolt szórásával. A 3. ábrán ezen standardizált becslése hisztogramját láthatju, és a standard normális eloszlás haranggörbéjét. Az ábra alapján a hisztogram jól illeszeedi a standard normális eloszlás s r ségfüggvényére. Teszteltü a normalitást Kolmogorov-Szmirnov és Shapiro-Wil próbával is: Kolmogorov-Smirnov normality test: D = 0.057, p-value = Shapiro-Wil normality test: W = , p-value = A nagy p-érté tisztán jelzi a becslése normalitását. Így mondhatju, hogy a stabil esetben a ML becslése az elméleti eredményene megfelel en viseledne, onzisztense és aszimptotiusan normálisa. A ϱ = + instabil esetben az ábrá és eredménye az alábbia: rho = rho = ρ^n Density K = 5,..., 00, L = 0, Sample size: 5 x 0, 6 x 0,..., 00 x ρ^80 sample size 80 x ábra. 8. ábra Kolmogorov-Smirnov normality test: D = 0.04, p-value = Shapiro-Wil normality test: W = 0.996, p-value = Illetve a ϱ = instabil esetben az ábrá és eredménye az alábbia:

49 4.4. FÜGGELÉK A 4 rho = - rho = - ρ^n Density K = 5,..., 00, L = 0, Sample size: 5 x 0, 6 x 0,..., 00 x 0 ρ^80 sample size 80 x ábra. 9. ábra. Kolmogorov-Smirnov normality test: D = 0.059, p-value = Shapiro-Wil normality test: W = 0.973, p-value = Mivel az a valóságh bb eset, mior a lejáratig hátralev id t nem tudju tetsz legesen nagyra választani, arra töreedtün, hogy az n-nel arányos mintanöveedést szimulálju az n helyett. Azt mondhatju, hogy az ϱ = + esetben a ML becslés az elméleti eredményene megfelel en viseledi, azaz onzisztens, és a 8. ábra azt sugallja, hogy a ϱ = esetben is teljesül a onzisztencia, habár ezt elméleti eredménnyel még nem tudju alátámasztani. Úgy t ni, hogy a ϱ = + esetben mindét próba alapján) a ML becslés aszimptotiusan normális szemben a ϱ = esettel, ahol a Shapiro-Wil próba alapján elvetjü a normalitást Függelé A Az er s onzisztencia esetén a 4.. Követezmény bizonyításánál nagy számo er s törvényei típusú állításoat használtun nem független minta esetén. Hasonló állításoat találhatun [0] and [6] munában, azonban ezenél issé általánosabb esetere volt szüségün. A Függelé A-ban található lemmá az n -tel arányos mintára vonatozna, míg a Függelé B az n-nel arányos mintára vonatozó állításoat foglalja össze.

50 4 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN 4.5. Lemma. Legyene K, L Z ++, és legyene {K n, L n Z ++ } n N, ahol K n =nk +on) és L n =nl+on), ha n. Legyene továbbá {ξ,l,n :, l, n N} olyan valószín ségi változó, hogy minden n N esetén a {ξ,l,n : l N} halmazo ülönböz N esetén függetlene azaz a σξ,l,n : l N), N σ-algebrá függetlene), és Eξ,l,n 8 = Olλ ) valamely λ 0 esetén azaz sup,l,n N l λ Eξ,l,n 8 < ). Eor minden α > 7+λ)/4 esetén L n ξ,l,n Eξ,l,n ) 0 m.b. ha n. n α K n l= Bizonyítás. Elegend megmutatnun, hogy minden ε > 0 esetén ahol P ζ n > εn α ) <, n= K n L n ζ n := ξ,l,n Eξ,l,n ). l= A Marov-egyenl tlenség alapján P ζ n >εn α ) ε 4 n 4α Eζ 4 n, így elegend megmutatnun, hogy Eζ 4 n = On 4α δ ) valamely δ > 0 esetén. Eζ 4 n = K n L n,, 3, 4 = l, l, l 3, l 4 = Eζ,l,nζ,l,nζ 3,l 3,nζ 4,l 4,n, ahol ζ,l,n := ξ,l,n Eξ,l,n. A Cauchy-Schwarz egyenl tlenség alapján Továbbá Eζ,l,nζ,l,nζ 3,l 3,nζ 4,l 4,n Eζ 4,l,nEζ 4,l,nEζ 4 3,l 3,nEζ 4 4,l 4,n) /4. Eζ 4,l,n = Eξ,l,n Eξ,l,n) 4 3 Eξ 8,l,n +Eξ,l,n) 4) 6Eξ 8,l,n = Ol λ ). Így apju, hogy Eζ,l,nζ,l,nζ 3,l 3,nζ 4,l 4,n = O l l l 3 l 4 ) λ/4).

51 4.4. FÜGGELÉK A 43 Mivel a feltétel szerint a {ζ,l,n : l N}, N, halmazo függetlene minden n N esetén, és Eζ,l,n = 0 minden, l, n N esetén, így Eζ 4 n = = L n l, l, l 3, l 4 = L n l, l, l 3, l 4 = K n Ln = Kn Eζ,l,nζ,l,nζ,l3,nζ,l4,n K n ) 4 l λ/4 + l= = On 6+λ ). +6 Eζ,l,nζ,l,nζ,l 3,nζ,l 4,n < K n O l l l 3 l 4 ) λ/4) < K n O l l l 3 l 4 ) λ/4) + < K n Ln ) 4 l λ/4 l= Követezéséppen Eζn 4 = On 4α δ ) ha δ := 7+λ 4 α > Követezmény. Legyene K, L Z ++, és legyene {K n, L n Z ++ } n N, ahol K n =nk+on) és L n =nl+on), ha n. Legyene továbbá {ξ,l,n, ζ,l,n :, l, n N} olyan valószín ségi változó, hogy minden n N esetén a {ξ,l,n, ζ,l,n : l N} halmazo ülönböz N esetén függetlene azaz a σξ,l,n, ζ,l,n :l N), N, σ-algebrá függetlene), és Eξ,l,n 8 +ζ8,l,n )=Olλ ) valamely λ 0 esetén azaz sup,l,n N l λ Eξ,l,n 8 +ζ8,l,n ) < ). Eor minden α > 7+λ)/4 esetén n α K n L n ξ,l,n ζ,l,n Eξ,l,n ζ,l,n ) 0 m.b. ha n. l= Bizonyítás. Mivel [ { ξ,l,n +ζ,l,n) Eξ,l,n +ζ,l,n) } ξ,l,n ζ,l,n Eξ,l,n ζ,l,n = 4 { ξ,l,n ζ,l,n ) Eξ,l,n ζ,l,n ) }], így a {ξ,l,n + ζ,l,n :, l, n N} és {ξ,l,n ζ,l,n :, l, n N} valószín ségi változóra alalmazva a 4.5. Lemmát, apju az állítást.

52 44 4. FEJEZET. ERŽS KONZISZTENCIA A HJM-TÍPUSÚ MODELLBEN 4.7. Lemma. Legyene K, L Z ++, és legyene {K n, L n Z ++ } n N, ahol K n =nk +on) és L n =nl+on), ha n. Legyene továbbá {ξ,l,n :, l, n N} olyan valószín ségi változó, hogy minden n N esetén a {ξ,l,n : l N} halmazo ülönböz N esetén függetlene azaz a σξ,l,n : l N), N σ-algebrá függetlene), és Eξ,l,n 4 = Olλ ) valamely λ 0 esetén azaz sup,l,n N l λ Eξ,l,n 4 < ). Eor minden α > 7+λ)/4 esetén n α K n L n ξ,l,n Eξ,l,n ) 0 m.b. ha n. l= Bizonyítás. Hasonló a 4.5. Lemma bizonyításához Lemma. Legyen K Z ++, és legyene {K n Z ++ } n N, ahol K n = nk + + on) ha n. Legyene továbbá {ξ,j,n :, j, n N} olyan valószín ségi változó, hogy minden n N esetén a {ξ,j,n : N} halmazo ülönböz j N esetén függetlene azaz a σξ,j,n : N), j N σ-algebrá függetlene), és Eξ,j,n 8 = Ojλ ) valamely λ 0 esetén azaz sup,j,n N j λ Eξ,j,n 8 < ). Eor minden α > 7+3λ)/4 esetén K n n α j= Bizonyítás. Nyilván j= ξ,j,n ξ,j,n E j= E ξ,j,n j= = ξ,j,n j = j = 0 m.b. ha n. ξ,j,nξ,j,n Eξ,j,nξ,j,n). Mint a 4.5. Lemma bizonyításában, elegend megmutatnun, hogy n= n 4α Eζn< 4 <, ahol K n ζ n := és j = j = ζ,j,j,n ζ,j,j,n := ξ,j,nξ,j,n Eξ,j,nξ,j,n.