Valószínűségszámítás és statisztika, évfolyam

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Valószínűségszámítás és statisztika, 9 10. évfolyam"

Átírás

1 Valószíűségszámítás és statisztika, 9 0. évfolyam Hraskó Adrás 04. júius 8.

2 4 TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Feladatok. A statisztika alapjai Kísérletek Statisztikák Esélyek Hipergeometrikus eloszlás Biomiális eloszlás Geometriai eloszlás Geetika A várható érték Feltételes valószíűség Játékok Markov lácok A szórás Vegyes feladatok Hézag Nagyságredi sorred Permutációk Idege yelve Paradoxook Valószíűség és geometria Nehéz verseypéldák Geometriai eloszlás Geetika A várható érték Feltételes valószíűség Játékok Markov lácok A szórás Vegyes feladatok Segítő lökések. A statisztika alapjai Kísérletek Statisztikák Esélyek Hipergeometrikus eloszlás Biomiális eloszlás Geometriai eloszlás Geetika A várható érték Feltételes valószíűség Játékok Markov lácok A szórás Vegyes feladatok Irodalomjegyzék Megoldások. A statisztika alapjai Kísérletek Statisztikák Esélyek Hipergeometrikus eloszlás Biomiális eloszlás

3 . FEJEZET. A STATISZTIKA ALAPJAI. FEJEZET A statisztika alapjai A témához tartozó legfotosabb defiíciók az.. feladat megoldásába olvashatók... (M a Mejük az ablakhoz és becsüljük meg a templom (vagy a szemközti ház, vagy egy agy fa stb. magasságát! b Adjuk a magasságak egy értéket az összes diák becslése alapjá! (Képzeljük el, hogy a vizsgáladó épület többé em érhető el a számukra, és a diákok becslésé kívül más iformációhoz em juthatuk hozzá!.. (M Adott az {; ; 8} számsokaság. Határozzuk meg azt az x számot, amelyek a számsokaságtól való a átlagos égyzetes eltérése; b átlagos abszolút eltérése miimális!.. (M Adott az {; ; 8; }, {x ; x ; x ;... ; x } számsokaság. Határozzuk meg azt az x számot, amelyek a számsokaságtól való a átlagos égyzetes eltérése; b átlagos abszolút eltérése miimális!.4. (M Adjuk meg olya számsokaságot, amelyek a átlaga, mediája ; b átlaga, mediája, szórása ; c átlaga, mediája, módusza!.. (M [] Egy osztályba láy és 9 fiú jár. A láyok átlagmagassága 7 cm, a fiúké 8 cm. Mekkora az egész osztályra voatkozó átlagmagasság?.. (M [] Egy 7 megfigyelés eredméyét rögzítő számsokaság módusza 4, mediája 4,, átlaga,7. A 7. megfigyelés eredméye. a Megadható-e az új, 7 egyedből álló számsokaság módusza, mediája és átlaga? b Godoljuk végig a feladatot abba az esetbe is, amikor feltételezzük, hogy a számsokaság elemei egész számok!.7. [] Adjuk meg darab pozitív egész számot úgy, hogy a mediája, az átlaga 999 legye! Létezik-e ilye sokaság, ha azt is megköveteljük, hogy egyetle módusza legye, és aak értéke a, b, c 000, d 000 legye? emeyi lehet maximum a módusz?.8. [] Egy fős csoportba a kémia átlag,8 volt. (Két tizedesre kerekítve. Tudjuk, hogy seki sem bukott meg. a Legfeljebb háya kaphattak kettest? b Biztos-e, hogy volt valakiek ötöse? c* Igaz-e, hogy ha a módusz 4, akkor a mediá is 4?.9. [] Egy yolc elemű számsokaság mediája M,8. Mi modható a mediáról, ha kilecedik számelemkét hozzávesszük a 4-et?.0. (M a Adottak a síko az A(;, B(7; 0, C(4; potok. Határozzuk meg a sík azo P potjáak koordiátáit, amelyre a P A + P B + P C kifejezés értéke miimális! b Oldjuk meg a feladatot az A(a ; a, B(b ; b, C(c ; c általáos pothármassal is!.. Határozzuk meg ebbe a taévbe a matematikából kapott jegyeik átlagát, móduszát, mediáját és szórását!.. (M Egy H számsokaság átlaga x, szórása D. Meghatározható-e ezekből az adatokból az y számak a H sokaságtól való átlagos égyzetes eltérése?.. (M Tekitsük egy számsokaságot! Hogya változik a számsokaság mediája, módusza, átlaga, terjedelme és szórása, ha a számsokaság mide elemét a -mal megöveljük? b -mal megszorozzuk?.4. (M Mit modhatuk arról a számsokaságról, amelyek szórása 0?

4 7 8. FEJEZET. A STATISZTIKA ALAPJAI.. (M [] A megadott osztályzatok alapjá számítsuk ki az alábbi három tauló jegyeiek átlagát, móduszát, mediáját és szórását!. tauló,,,,,,,,,,. tauló,,,,,,,, 4, 4, 4. tauló,,,,,,, 4, 4,,.. (M a Határozzuk meg a {; 7} számsokaság szórását! b Az elemeket ötször vesszük, így kapjuk a {; ; ; ; ; 7; 7; 7; 7; 7} számsokaságot. Hogya változik a szórás? c Veszük még két hetest: {; ; ; ; ; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7}. Hogya változik a szórás? Nő, csökke vagy változatla marad? Előbb tippeljük, azutá számoljuk!.7. (M [] Azt modjuk, hogy az a sárajobb b-él (jelbe: a s b, ha a számsokaságba a és b átlagától a felé több elem va, mit b felé. Azt modjuk, hogy az a szám a {x ; x ; x ;... x } számsokaságra voatkozóa sáralegjobb, ha em létezik olya b a szám, amelyre b s a. Va-e sáralegjobb elem az.-.. feladatok számsokaságaihoz?

5 0. FEJEZET. KÍSÉRLETEK. FEJEZET Kísérletek.. Három kockát dobuk fel. Mideki 0-szor dob, összese tehát 0-szer, ahol a csoport létszáma. Alább -tel számoluk, tehát összese 00 dobással. a A kísérlet elvégzése előtt tippeli kell, hogy az alábbi eseméyek háyszor fogak bekövetkezi: eseméy 0 00-ból háyszor. Midhárom egyforma. Mid külöböző. Két egyforma, a harmadik külöböző 4. Va köztük hatos. Se ötös, se hatos ics köztük. A három szám összege legalább 7. A három közül a legkisebb(ek egyes(ek 8. A három közül a legkisebb(ek kettes(ek 9. A három közül a legkisebb(ek hármas(ok 0. A három közül a legkisebb(ek égyes(ek. A három közül a legkisebb(ek ötös(ök. A három közül a legkisebb(ek hatos(ok b Hogya dötsük el a végé, hogy ki tippelt a legjobba? c Kezdjük el a kockadobást, töltsük ki az alábbi adatlapot! kockák:.. kül ,. 7. mi 8. mi 9. mi 0. mi 4. mi. mi összese kockák:.. kül ,. 7. mi 8. mi 9. mi 0. mi 4. mi. mi A fölső üres sorba kell beíri a három kocká látható számot, a többi rubrikába íradó, ha az az eseméy bekövetkezett, ürese hagyadó, ha em következett be. A legutolsó oszlopba a megfelelő sorba található ek számát kell íri. Az utolsó oszlopba írt számokat a táblá összesíthetjük hogy megkapjuk a teljes, 0, azaz 00 elemből álló mita adatait. d Számoljuk ki az egyes eseméyek matematikai esélyét!.. Feldobuk öt pézérmét és felírjuk a fejek számát. Végezze el mide diák a kísérletet 0-szor, összese tehát 0-szer, ahol a csoport létszáma! Tippeljük meg előre a a kapott számok (0 db szám átlagát és b szórását, valamit c redre azt is, hogy háyszor kaptuk a 0-ből 0,,,, 4 ill. fejet! 9

6 a 0 szám a fejek számáak eloszlása átlaga szórása 0 fej fej fej fej 4 fej fej d Most végezzük is el a kísérletet! sorszám: fejek száma: e Számítsuk ki adatsoruk átlagát és szórását! f Összesítsük saját eredméyeiket! Fejek száma: 0 4 Σ Gyakoriság: 0 g Készítsük egy agy táblázatot a táblára, amelybe mideki beírja saját eredméyeit! Összesítsük a csoport eredméyét! Diák fejek száma a 0 szám 0 4 Σ átlaga szórása. (gyakoriságok: 0. (gyakoriságok: 0. (gyakoriságok: 0.. (gyakoriságok: 0 Összese: 0 h Határozzuk meg a 0 szám átlagát és szórását, valamit az egyes kimeetelek 0 fej, fej,... fej relatív gyakoriságait! i Igaz-e, hogy az egyes diákok által kapott átlagok átlaga megegyezik a csoport által kapott 0 szám átlagával? j Igaz-e, hogy az egyes diákok által kapott szórások átlaga vagy összege megegyezik a csoport által kapott 0 szám szórásáak átlagával vagy összegével? k Hogya lehetett vola hatékoya előzetese megtippeli az egyes kimeetelek relatív gyakoriságait? l Hogya lehetett vola hatékoya előzetese megtippeli a 0 szám átlagát és szórását?.. Egy pézérmét addig dobuk fel, amíg fejet em dobuk és felírjuk az ehhez szükséges dobások számát. A kísérletet mide diák 0-szor végzi el, összese tehát 0-szer, ahol a csoport létszáma. Alább egy fős csoportlétszámmal dolgozuk, tehát összese 40 kísérlettel. a A kísérlet elvégzése előtt tippeli kell, hogy az alábbi eseméyek háyszor fogak bekövetkezi a 0 40 kísérlet közül (töltsük ki az alábbi táblázat harmadik első üres oszlopát!. FEJEZET. KÍSÉRLETEK eseméy 0-ből háyszor 0-ból é háyszor. -szer kellett dobi. -szer kellett dobi. -szor kellett dobi 4. 4-szer kellett dobi. -ször kellett dobi. -szor kellett dobi 7. 7-szer kellett dobi 8. 8-szor kellett dobi 9. 9-szer kellett dobi 0. legalább 0-szer b Arra is tippeljük, hogy átlagosa háyadikra jö ki az első fej! c Végezzük el a kísérletet (töltsük ki a feti táblázat egyedik oszlopát!, majd a táblá készítsük összesítést a 0 kísérletről! d Számoljuk ki az egyes eseméyek matematikai esélyét! e Számoljuk ki, hogy a valószíűségek alapját átlagosa háyadikra jö ki az első fej (az első fejig tartó dobássorozat hosszáak várható értéke!.4. [9] Egy kétlépéses kísérlet első lépésekét egy játékvezető három megadott kísérlet egyikét választja ki, mégpedig bármelyiket azoos valószíűséggel. A kiválasztott kísérletet ezutá hússzor végrehajtja, és a kísérlet kimeeteit leírja. Ezekből az adatokból kell arra következteti, hogy a három kísérlet közül melyiket hajtotta végre a játékvezető. A három kísérlet a következő: A változat: Feldob egy kockát, és 0-t ír le, ha a dobott szám vagy ; -et, ha vagy 4; és -t, ha vagy. B változat: Feldob egy kockát, és 0-t ír le, ha a dobott szám, vagy ; -et, ha 4 vagy ; és -t, ha a dobott szám. C változat: Feldob két szabályos érmét, és a dobott fejek számát írja le. A kísérlet egyik elvégzése sorá a következő sorozat adódott:,,,,0,0,0,,0,,,,,,,,,,0,0. Melyik változat eredméyezte a sorozatot?.. [9] Ez is egy melyik az igazi típusú feladat, mit a.4. Most midhárom változatba egy olya dobozból húzuk golyót, amelybe 7 fehér és piros golyó va. A változat: Háromszor húzuk egy golyót úgy, hogy mide húzás utá visszatesszük a kihúzott golyót. B változat: Háromszor húzuk egy golyót úgy, hogy a kihúzott golyót em tesszük vissza. C változat: Midaddig húzuk golyókat egymás utá visszatevés élkül, amíg az első fehér golyót ki em húzzuk.

7 4. FEJEZET. KÍSÉRLETEK Midhárom változatba a kísérlet kimeetele a kihúzott piros golyók száma. A választott változat 0 egymás utái végrehajtása utá a következő mita adódott:,0,,0,,,0,,,0,0,,0,,0,,,,,0. Melyik változat eredméyezte a sorozatot?

8 . FEJEZET. STATISZTIKÁK FVQXWDÜQYDGXVQYFBZQCBFVŐMBQDVQFQWDBYFBZHAAQ CBFVŐMBHEQDBZCEDQÉXBKDÖCBQFVXŰÜQÉDŰÜQGFQUFWN AFYQADWMÜÜSEQFEEHŰQÉMŰ. FEJEZET Statisztikák.. (M Készítsük el Aray Jáos Toldi című művéek betűstatisztikáját a a magyar karakterek szerit (a ty -be t és y külö karakter; b a magyar hagok szerit (az sz, ty stb öálló hagok; c az agol karakterek szerit ( é -t e -vel, ó -t, ö -t, ő -t o -val helyettesítjük! A Toldi szövegét tartalmazó fájlok: (M Készítsük el Ottlik Géza Iskola a határo című művéek betűstatisztikáját a a magyar karakterek szerit (a ty -be t és y külö karakter; b a magyar hagok szerit (az sz, ty stb öálló hagok; c az agol karakterek szerit ( é -t e -vel, ó -t, ö -t, ő -t o -val helyettesítjük! Az Iskola a határo megtalálható a weboldalo illetve letölthető a fájlokba. fájlokból... (MS Betűhelyettesítéses titkosírás dekódolása Dekódoljuk a (M Fejtsük meg a külöböző yelveke írt, majd titkosított szövegeket! A hu/matkoyv/public/haladzsamelyyelve0titkos.doc, http: ://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/haladzsamelyyelve0titkos.doc illetve hu/matkoyv/public/haladzsamelyyelve0titkos.txt, http: ://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/haladzsamelyyelve0titkos.txt fájlokba egy-egy vers található titkosítva. Vagy az -es vagy a -es végű fájlba egy magyar, a másikba pedig egy agol yelvű irodalmi mű va kódolva egyszerű betűhelyettesítéses titkosírással. Tehát vettük egy-egy magyar és egy agol yelvű verset, az ékezetekes betűket az ugyaolya ékezet élküli betűkkel helyettesítettük, a vesszőket, potokat, kérdőés felkiáltójeleket, aposztrófokat, godolatjeleket egyszerűe töröltük, a kötőjeleket szóközre cseréltük egésze addig míg a szövegbe már csak az A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z karakterek és szóköz szerepelt. A versszak szeriti tagolást meghagytuk. Ezutá a karaktereket és a szóközt más karakterekkel (agybetűkkel helyettesítettük a két külöböző szövegbe külöböző módo. Az első versszakok: Az. titkosított szöveg (az elválasztás em követi a yelvtai szabályt: WQFGOQDNZWDMXBSDNZWDWBSHXUZDMXBSDORQWDRBDGD QGLLHWDSOWJDVZGOSWODXDFXUZDNRDMBRFDNZWDFRONZ DUGXQDZWDRCDYJDFWHUZDHGBQUDRTWODNZWDAROQWO A. titkosított szöveg (az elválasztás em követi a yelvtai szabályt: LJFRWFLCDLFDAMRUVACKRFGBLSNWELUFBJRCFKLYLVKFYRW ORVXWFURYFWEAUWRFJASAWAKKFLFKRUWRTFQLUESAVAFQ NCCLYLFLFJNWAFZRTWRKRWFSATHLGBACLBLTL Melyik a magyar és melyik az agol yelvű titkosított szöveg? Dekódoljuk a titkosírásokat! fájlokba megadott titkosított szöveget, amelyet egy magyar yelvű köyvből vettük, de karaktereit (a betűket, az ékezetes betűket és a szóközt összekevertük. A titkosított szöveg így kezdődik:

9 8 4. FEJEZET. ESÉLYEK 4.4. (M Három érmét feldobuk. Meyi a valószíűsége, hogy a három dobás közül potosa az egyik fej? 4. FEJEZET Esélyek 4.. (M Érettségi, 00 május, emelt szit Felmérések szerit az iteretes kapcsolattal redelkezők 7%-a vásárol az iterete, %-a tölt le szoftvert az iteretről. A statisztika szerit az iteretezők 4%-a midkét szolgáltatást igéybe veszi. Meyi a valószíűsége az alábbi eseméyekek? a Egy véletleszerűe kiválasztott iteretes kapcsolattal redelkező személy em vásárol az iterete. b Egy véletleszerűe kiválasztott iteretes kapcsolattal redelkező személy vásárol az iterete, vagy szoftvert tölt le. (Megegedve, hogy esetleg midkét szolgáltatást igéybe veszi. c Egy véletleszerűe kiválasztott iteretes kapcsolattal redelkező személy em vásárol az iterete és szoftvert sem tölt le az iteretről. d Három véletleszerűe kiválasztott iteretes kapcsolattal redelkező személy közül egyik sem vásárol az iterete. (A kiválasztást visszatevéses módszerrel végzik el. 4.. (M Érettségi, 00 május, emelt szit A.a osztály öt belépőjegyet kapott a vízilabda bajokság dötőjére. Az osztály mid a harmic taulója szívese mee, bár közülük taulóak akkor külöórája lee. A választást a véletlere bízzák: felírják a 0 evet egy-egy cédulára, és ötöt kihúzak közülük. a Meyi a valószíűsége aak, hogy a kisorsolt taulók közül potosa olya lesz, akiek külöórája lee? Az eredméyt tizedestört alakba adja meg! b Tudjuk, hogy a kiválasztott öt tauló között biztosa va olya, akiek va külöórája. Meyi ekkor a valószíűsége aak, hogy potosa két kisorsolt taulóak va külöórája? 4.. (M Két érmét feldobuk. Meyi a valószíűsége, hogy a két dobás közül a potosa az egyik fej? b legalább az egyik fej? c midegyik fej? 4.. (M Öt érmét feldobuk. Meyi a valószíűsége, hogy közülük potosa kettő fej? 4.. (M Két kockával dobuk. Két dologra lehet fogadi. A: Midkét dobás páros lesz. B : Az egyik dobás -es. Melyikek agyobb a valószíűsége? 4.7. (M Két kockával dobuk. Két dologra lehet fogadi a két dobott számmal kapcsolatba. Melyikre fogadál ikább? a A: Összegük legalább 0. B : Midkette kisebbek 4-él. b A: Midkette párosak. B : Midkette kisebbek 4-él (M Valaki azt állítja, hogy a kártyák szíét tapitással felismeri. Állításáak igazát próbáak vetettük alá. Egy, csak a babás (alsó, felső, király és ász lapokat tartalmazó, jól megkevert magyar kártya csomagból (összese lap bekötött szemmel kellett eki a égy pirosat kiválasztaia. Ezzel szembe a égy kiválasztott kártya között csak két piros volt. Számítsuk ki aak a valószíűségét, hogy egy külöleges képességekkel em redelkező személy, aki véletleszerűe választja ki a égy lapot, ugyailye jól választ! 4.9. (M Egy kockával éháyszor dobuk. Melyikek agyobb a valószíűsége, aak, hogy az első dobás lesz az első hatos, vagy aak, hogy a második dobásál dobuk először hatost? 4.0. (M Véletleszerűe kiválasztuk egy hatjegyű számot. Miek agyobb a valószíűsége, aak, hogy a szám előállítható két háromjegyű szám szorzatakét, vagy aak, hogy em állítható elő? 4.. (M Háy dobókocka eseté a legagyobb a valószíűsége aak, hogy azokkal egyszerre dobva potosa egy hatost dobuk? 4.. (M Egy fiút akkor egedek el játszai, ha három egymás utái sakkparti közül legalább két egymás utáit megyer. Parterei: Apa és Papa, mégpedig vagy Apa-Papa-Apa, vagy Papa-Apa-Papa sorredbe. Apa jobba játszik, mit Papa. Melyik sorred kedvezőbb a fiú számára? a Legye pld. Apa yerési esélye a fiú elle, míg Papáé csak. b Oldjuk meg a feladatot az általáos esetbe is. 7

10 FEJEZET. ESÉLYEK 4.. (M [] Egy sötét helyiségbe 4 a egyforma; b külöböző pár cipő össze va keverve. Kiválasztuk ezekből égy darab cipőt. Mi a valószíűsége aak, hogy legalább egy összetartozó pár lesz a kivettek között? 4.4. (M [4] Egy vizsgá az A és B tételek elméleti, a C tételek gyakorlati jellegűek. Midhárom tételsor 0 feladatból áll, s a vizsgázóak midegyik sorból egy-egy tételt kell húzia. Ha a vizsgázó bármelyik tételét em tudja, akkor megbukik. Mekkora aak a valószíűsége, hogy egy diákak 80%-os felkészültséggel em sikerül a vizsgája? (A 80%-os felkészültség ez esetbe azt jeleti, hogy mide tételsorból yolc tételt tault meg, kettőt em. 4.. (M Az eredeti lottó 90 számból húzak ki -öt, és két találatért már yereméy jár. Mi az esélyük arra, hogy egy számötössel yerjük valamit? 4.. (M Egy kockával a kétszer; b háromszor dobuk. Meyi aak a valószíűsége, hogy a dobott számok között lesz hatos? 4.7. (M A számegyees origójába leteszük egy korogot, majd egy szabályos dobókockát feldobuk yolcszor. Mide alkalommal, ha összetett számot dobtuk, akkor a korogot eggyel balra mozdítjuk, ha em összetett számot (prímet vagy -et, akkor jobbra. Mekkora valószíűséggel lesz a korog a 8. dobás utá ismét az origóba? 4.8. (M A Skadiáv lottó 7 számot húzak ki -ből és egy héte (tehát egy szelvéyre voatkozólag két húzás is va (egy kézi és egy gépi. Mi az esélye, hogy a 8-as yerő szám lesz egy adott héte (tehát az egyik vagy a másik vagy midkét húzásál? 4.9. (M [9] Az ötös lottó mide héte egyetle szelvéyel megjátsszuk az,,, 4 és számokat. a Mekkora aak a valószíűsége, hogy az első héte yerük? b Mekkora aak a valószíűsége, hogy egy év alatt ( hét egyszer sem yerük? c Mekkora aak a valószíűsége, hogy egy év alatt ( hét alatt egyszer sem lesz hármas találatuk? d Melyikek agyobb a valószíűsége: az első héte lesz ötösük, vagy aak, hogy 00 év alatt egyszer sem lesz ötösük?

11 . FEJEZET. HIPERGEOMETRIKUS ELOSZLÁS. FEJEZET Hipergeometrikus eloszlás.. (M Az lapos kártyacsomagból kiválasztuk -at. Adjuk meg a köztük levő a ászok, b kárók számáak eloszlását!.. (M A lapos magyar kártyából egyszerre három lapot húzuk. Mi a valószíűsége aak, hogy a kihúzott lapok között va legalább egy zöld?.. (M Egy ládába 90 jó és 0 selejtes alkatrész va. Véletleszerűe kiválasztuk 0 alkatrészt. Jelölje χ a kiválasztott alkatrészek között a selejtesek számát (χ {0,,,,4,,,7,8,9,0}. Adjuk meg χ valószíűségeloszlását! Haszálhatuk matematikai programot (pl Axiom, Derive, Maple, Mathematica vagy táblázatkezelőt (pl Excel, OpeOffice.org Calc.4. [] Egy tóból kifogak 000 halat, midegyiket megjelölik piros pottal, majd visszadobják a tóba. Bizoyos idő elteltével ismét kifogak a tóból 000 halat, és közülük 00-o piros potot találak. Milye következtetés voható le ebből? Eek a reális és gyakra haszált eljárásak az egyik elemző módszere az úgyevezett maximum likelyhood-becslés. Ez a következőt jeleti: tegyük fel, hogy a tóba hal va (midkét halászat idejé ugyaaz az hal és számítsuk ki erre az -re alapozva az első bekezdésbe megfogalmazott jeleség valószíűségét. Határozzuk meg, hogy mely eseté lesz a legagyobb a valószíűség, és becsüljük a halak számát ezzel az értékkel!

12 4. FEJEZET. BINOMIÁLIS ELOSZLÁS b hely eseté mekkora túlfoglalást tartuk ésszerűek? c Hasoló adatok mellett egy másik repülőtársaság fős várólistát fogad el. Mekkora aak a valószíűsége, hogy a teljes várólista az utaslistára kerül?. FEJEZET Biomiális eloszlás.. Legye A egy véletle kísérlet p valószíűségű eseméye. Ha a kísérletet végrehajtjuk -szer, meyi az esélye, hogy az A eseméy potosa k-szor következik be?.. Összefüggések a Pascal háromszögbe a Igazoljuk, hogy k ( ( k k. Adjuk meg zárt alakba az alábbi összegeket! b A Pascal háromszög -edik sorába az elemek összege: p ( k0 k. Pl 7-re: c e k0 k( k. Pl 7-re: ? d d k0 k( k. Pl 7-re: ?.. [] Adjuk meg a következő összeget explicit alakba! ( ( ( (MS [9] Egy repülőgéptársaság yilvátartásába szereplő utolsó helyfoglalásból 7-et lemodtak. Ezért a társaság kis rátartással több helyet eged lefoglali, mit aháy elfoglalható hely va. a Mekkora aak a valószíűsége, hogy ülőhelyre helyfoglalás mellett lesz valaki, akiek em jut hely?.. [] Oltóayag vizsgálata Ha egészséges szarvasmarhákat valamely betegségek teszük ki, akkor az állatok %-a betegszik meg. Egy újoa felfedezett oltóayag vizsgálata céljából egészséges állatak védőoltást adak, majd fertőzések teszik ki őket. Hogya lehet értékeli a kísérlet eredméyét? Az alábbi három eset közül melyik mutatja legikább a vakcia hatékoyságát? a 0 beoltott állatból egy sem fertőződött meg; b 7 beoltott állatból egy fertőzödött meg; c beoltott állatból kettő fertőzödött meg... Eergiaellátási feladat Tegyük fel, hogy 0 mukás időről időre valamilye villamos készüléket haszál. Meg akarjuk becsüli meyi a teljes terhelés. Első közelítéskét tegyük fel, hogy egymástól függetleül dolgozak és midegyikük bármely időpillaatba egyforma p valószíűséggel igéyel egységyi villamos teljesítméyt. Ha egy mukás órákét átlagosa perce át haszál áramot, akkor p. Ha a redszer hat egységyi eergiát szolgáltat, akkor mekkora valószíűséggel lép fel túlterhelés?.7. (M [9] USA érettségi, 984 Egy dobozba golyó va, -től -ig megszámozva. Kihúzuk közülük visszatevés élkül hatot. Mekkora aak a valószíűsége, hogy a kihúzott számok összege páratla?.8. Az 7, p /, q / paraméterű biomiális eloszlás tagjai: P (X P (X P (X P (X P (X P (X P (X P (X Tehát a legutóbbi szám aak valószíűségét adja meg, hogy hét kísérletből mid a hétszer a p valószíűségű eseméy következik be. Adjuk meg az 8, p /, q / paraméterű biomiális eloszlást ( tizedesjegy potossággal!.9. Legye 0 p tetszőleges rögzített szám és q p. Határozzuk meg az alábbi kifejezések értékét! a P,p ( k0 k p k q k ; b E,p k0 k( k p k q k. c D,p k0 k( k p k q k..0. Határozzuk meg az (, p, q paraméterű biomiális eloszlás a mediáját; b móduszát; c várható értékét; d szórását!

13 7. FEJEZET. GEOMETRIAI ELOSZLÁS b várható értéke? 7. FEJEZET Geometriai eloszlás 7.0. (M [8] Emma, Fai, Gitta és Haa társasjátékhoz készülődik. Sorba egymás utá dobak egyet egy szabályos dobókockával akár több körbe is, mert az lesz közülük a kezdő, aki elsőkét dob hatost. a Mekkora valószíűséggel leszek kezdők egy-egy kockadobás utá az egyes résztvevők? b Mekkora aak a valószíűsége, hogy em tudják elkezdei a játékot egy kör utá? c Számítsuk ki mid a égy résztvevő esetébe aak a valószíűségét, hogy égyük közül éppe ő kezdhet! 7.. (M Egy motor bekapcsoláskor 0,0 valószíűséggel kiég. a Mi a valószíűsége, hogy 0-él kevesebb bekapcsolás utá kiég? b Mi a valószíűsége, hogy épp a 0. bekapcsoláskor ég ki? c Átlagosa háy bekapcsolás utá ég ki? 7.. Egy kockával dobuk. Háy dobás utá lesz agyobb a valószíűsége aak, hogy már dobtuk hatost, mit aak, hogy még em dobtuk? 7.. Egy pézdarabot addig dobáluk, ameddig másodszorra kapuk fejet. a Meyi a valószíűsége aak, hogy csak égy vagy több dobásból álló sorozattal érjük ezt el? b Adjuk meg a dobások számáak valószíűség-eloszlását! 7.4. Egy kockát addig dobuk fel, amíg másodszorra is hatost dobuk. Adjuk meg a szükséges dobások számáak várható értékét! 7.. Egy dobozba p piros és k kék, összese p + k golyó va. Kezdő és Második felváltva húzak, az yer, aki előbb húz pirosat. Határozzuk meg Kezdő yerési esélyét! 7.. Módosítuk a 7.. feladato. Kezdőek két piros húzás kell a győzelemhez (Másodikak elég. Így kidek kedvező a játék? 7.7. Egy kockával dobuk, amíg sikerül hatost dobuk. Meyi az esélye, hogy dobtuk ötöst? 7.8. (M Egy kockával addig dobuk, míg egymás utá 0-szer hatost dobuk. Meyi az esélye, hogy ez sohasem következik be? 7.9. (M [0] Egy szabályos érmét addig dobáluk, amíg legalább egyszer kapuk fejet is és írást is. Meyi a dobások számáak a legvalószíűbb értéke?

14 8 8. FEJEZET. GENETIKA 8. FEJEZET Geetika Először kissé rövidítve idézük Feller: Bevezetés a valószíűségszámításba és alkalmazásaiba című köyvéek. oldaláról: Az ember és általába az élőléyek örökölhető tulajdoságai a géektől függek. Az emberi test mide sejtjébe, a reprodukáló sejtek (gaméták kivételével, ugyaazo géstruktúra potos mása jeleik meg. Alapvető, hogy a géek párokba jeleek meg. Valójába a kromoszómák jeleek meg párokba, és az egy párt alkotó géek egy kromoszómapár azoos pozícióit foglalják el. Mide gépár egy öröklődő téyezőt határoz meg, de valamely szervezet megfigyelhető tulajdoságaiak agy része több tulajdoságtól függ. Egyes tulajdoságokra azoba (mit pl. a szem szíe vagy a balkezesség egy bizoyos gépár hatása a dötő. Más tulajdoságot, mit pl. a magasságot is, ige sok gé együttes hatása határozza meg. A legegyszerűbb esetbe a gépár midkét géje két külöböző formát ölthet. Ha ezeket A és a jelöli, akkor a szervezet az AA, Aa, aa geotípusok valamelyikéhez tartozik (Aa és aa között ics külöbség. Mi csak ezt az esetet vizsgáljuk. Vaak olya gépárok, amelyekre a külöböző geotípusok midegyike külöböző megjeleési formát ölthet, tehát így köye megkülöböztethetők. Például a borsóak va egy olya gépárja, hogy A hatására a borsóvirág piros elszíeződést kap, a hatására fehéret. A három geotípus ebbe az esetbe megkülöböztethető: a virág szíe lehet piros (AA, fehér (aa és rózsaszí (Aa. Vaak azoba olya gépárok is, amelyekbe A domiás, a recesszív. Ez azt jeleti, hogy az Aa egyedekek ugyaaz a megjeleési formája, mit az AA egyedekek és így csak a tiszta aa típus külöíthető el a közvetle megfigyelés alapjá. A természetbe a részleges domiacia mide áryalata előfordul. Tipikus részlegese recesszív tulajdoság a kékszeműség, ill. a balkezesség stb. A reprodukáló sejtek vagy gaméták osztódási folyamat sorá képződek, és csak egyetle géjük va. A tiszta AA, ill. aa geotípusú orgaizmusok (ú. homozygóták ezért csak egyfajta gamétákat hozak létre, míg az Aa típusú orgaizmusok (ú. hibridek vagy heterozygóták egyelő számú A, ill. a gamétát hozak létre. Az új orgaizmusok két szülői gamétából származak, és ezekből kapják géjeiket. Ezért mide gépár egy apai és egy ayai gét tartalmaz, és mide gé 7 mide előző geerációba akárháy geerációig visszameőleg egy bizoyos őstől származik. Az utód (vagy ivadék geotípusa véletle eredméye: a szülő gépárjáak midkét géje valószíűséggel adódik át, és az egymást követő utódokra ezek kiválasztása függetle. Más szóval ivadék geotípusa egy elemű függetle kísérletsorozat eredméye; a kísérletek midegyike két érme feldobásáak felel meg. Például az Aa, Aa geotípusú szülői pár ivadékaiak geotípusa AA, Aa és aa lehet redre 4, és 4 valószíűséggel. Az AA, aa geotípusú szülői pár utóda csak Aa geotípusú lehet stb. Ha egy populációt teljes egészébe vizsgáluk, akkor a szülők kereszteződése egy második véletle folyamat eredméyéek tekithető. Mi elsősorba eek az ú. véletle kereszteződések a vizsgálatára foguk szorítkozi, melyet az alábbi feltétel defiiál. Ha az első leszármazott geerációba r ivadékot véletleszerűe kiválasztuk, akkor ezek szülei a lehetséges szülői párok összességéből vett r elemű véletle mitát alkotak, ahol esetleges ismétlődések is előfordulhatak. Más szóval, mide ivadékról feltételezzük, hogy a szülők véletleül és egymástól függetleül, és a külöböző utódok szülei teljese függetleül lettek kiválasztva. A véletle kereszteződések modellje kielégítő idealizált modell a természetbe előforduló ige sok populációra, és a mezőgazdasági kísérletek sorá gyakra érvéyesülő feltételekre. Ha azoba pl. a szátóföld egyik sarkába piros virágú, másik sarkába fehér virágú borsót vetük, akkor az azoos szíű virágot hordozó egyedek gyakrabba kereszteződek, mit véletle kereszteződés esetébe. Az előybe részesítő kiválasztás (mit pl. a szőkék előybe részesítik a szőkéket szité em tesz eleget a véletle kereszteződés feltételéek. A szélsőségese em véletle kereszteződést jól példázzák az ömegtermékeyítő övéyek ill. a mesterséges megtermékeyítés... Az ivadék geotípusa eszerit égy függetle véletle kiválasztás eredméye (külö-külö a szülők, majd külö-külö a szülői géek kiválasztása. Szerecsére ez a égy kiválasztás Hardy alább ismertetett elmélete szerit helyettesíthető egyetle kettős kiválasztással: az apai és az ayai gét egymástól függetleül és véletleszerűe választjuk ki a szülői geeráció teljes géállomáyából. Jelöljük a szülőgeeráció geotipikus összetételét a következőképpe: geotípus: AA aa aa egyedek aráya: u v w ahol tehát u + v + w. Ha a szülői geerációba az A és az a allél aráya p/q, akkor: azaz p/q (u + v/(v + w (u + v/(v + w, p u + v, q v + w. Az első utódemzedékbe AA geotípusú ivadék két AA geotípusú szülő találkozásából (u esélyű radevú vagy egy AA típusú és egy aa típusú szülő

15 FEJEZET. GENETIKA találkozásakor (4uv esélyű radevú, mert AA az apa és az aya is lehet a születések felébe vagy két aa típusú szülő találkozásakor (4v esély az esetek egyedébe fordul elő. Hasoló okoskodással az első utódemzedék geotipikus összetételére véletle kereszteződési modell eseté az alábbi értékeket kapjuk: geotípus: AA aa aa egyedek aráya: u + uv + v uv + uw + vw + v w + wv + v egyszerűbbe: (u + v (u + v(v + w (v + w tömöre: p pq q Tehát az első utódgeeráció geotipikus összetételét már meghatározza a szülői geeráció géösszetétele, a szülői geeráció geotipikus összetételéek ismeretére ics szükség. Az utódemzedékbe az A és az a allél előfordulásáak aráya: p + pq p(p + q q + pq q(p + q p q, azaz a géösszetétel em változik. A következő utódemzedék géjeiek és geotípusaiak összetételét a megelőző emzedék adataiból midig úgy számíthatjuk ki, mit ahogy előbb kiszámoltuk az első utódemzedék eloszlását a szülői geerációéból. Eek alapjá kimodhatjuk a Hardy-Weiberg szabályt: a véletle kereszteződési modellbe a második emzedéktől (az első utódemzedéktől kezdve mide emzedék geotipikus összetétele ugyaaz (p, pq, q és egyértelműe meghatározható az első emzedék géösszetételéből (p, q. A (p, pq, q alakba írható eloszlásokat stacioárius eloszlásokak is evezzük, mert álladóa átörökítik magukat. 8.. [9] Ha a csodatölcsér evű virág szíéért felelős gé midkét allélje azoos, akkor ettől az alléltől függőe a virág vagy piros lesz, vagy fehér. Ha a két allél külöböző, akkor a virág rózsaszíű lsez. Két rózsaszíű virág keresztezéséből 0 palátát evelük. a Adjuk meg a keletkező piros szíű virágok eloszlását! b Mekkora valószíűséggel lesz több piros virág, mit fehér? c Mekkora valószíűséggel lesz több rózsaszíű virág, mit piros és fehér együtt? 8.. [9] Egy házaspár midkét tagja AB vércsoportú. Adjuk meg aak valószíűségét, hogy gyermekük között a potosa kette leszek A vércsoportúak! b potosa hárma leszek AB vércsoportúak! c potosa kette leszek A és potosa hárma leszek AB vércsoportúak! d potosa kette leszek A és potosa kette leszek AB vércsoportúak!

16 9. FEJEZET. A VÁRHATÓ ÉRTÉK 9. FEJEZET A várható érték 9.. (M Képezzük az elemből álló X {x, x,..., x }, Y {y, y,..., y } számsokaságokból a szité elemből álló valamit az elemből álló X + Y {(x + y, (x + y,..., (x + y }, X Y {(x y, (x y,..., (x y }, 9.. (M [4] IMO 98 Belgium feladatjavaslat A Híres Matematikusok Csokoládé csomagolásába található egy kis kép, 0 híres matematikus portréja közül az egyik. Midegyik híresség képe egyelő, tehát 0 eséllyel található midegyik csokiba. Átlagosa háy csokoládé vásárlásával gyűjthető össze mid a 0 kép? 9.. (M [9] Egymillió szám közül egyeletes eloszlással, egymástól függetleül választuk ki számokat egésze addig, amíg N külöbözőt ki em húzuk. Az i-edik külöböző számot jelöljük X(i-vel. Ezt rekordak evezzük, ha mide eddigiél agyobb. Határozzuk meg az X(, X(,..., X(N sorozatba található rekordok számáak a várható értékét! 9.7. (M [] Az osztály taulóiból -e hét láy és yolc fiú szíházba meek. A jegyek egy sorba, egymás mellé szólak. Ha a taárő véletleszerűe osztja ki a jegyeket, akkor átlagosa háy vegyes (tehát fiú-láy szomszédos pár lesz a diákok között? (Tehát meghatározadó az ilye párok számáak várható értéke. Pl. a FFLLLFLFFFLLFFL elredezésbe (F fiút, L láyt jelöl a vegyes párok száma 7. X Y {(x + y, (x + y,..., (x + y, (x + y, (x + y,... (x + y }, X Y {(x y, (x y,..., (x y, (x y, (x y,... (x y }, számsokaságokat! Kifejezhetőek-e ezek átlagai az X, Y sokaságok átlagai M X és M Y segítségével? 9.. (M Egy kockát addig dobuk fel, amíg a dobott számok mid külöbözőek, tehát akkor álluk meg, amikor olyat dobtuk, amilyet már egyszer dobtuk. a Adjuk meg a szükséges dobások számáak eloszlását b és várható értékét! c Melyik dobásszám a legvalószíűbb? 9.. (S Szabályos dobókockával dobhatuk. Előre el kell döteük, hogy háyszor dobuk. Ha -osál kisebbet dobuk, akkor ayiszor 000 Ft-ot kapuk, ameyit dobtuk és yereméyük a dobásokál összeadódik. Ha viszot -ost dobuk, akkor mide addigi yereméyüket elveszítjük, és em is dobhatuk többször. Háy dobást érdemes vállali? 9.4. (M Egy fős osztályba a karácsoyi ajádékozáshoz mideki felírja a evét egy cédulára, egy sapkába teszi, összerázzuk, majd mideki húz egy evet. Határozzuk meg azok számáak a várható értékét, akik a saját evüket húzták!

17 4 0. FEJEZET. FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG másikat választ, vagy elviszi a látható kis ajádékot. Mit csiáljo a győztes, ha a Porschéra hajt? 0. FEJEZET Feltételes valószíűség 0.. (M Tíz azoos alakú doboz közül az első 9-be 4-4 golyó va, mégpedig fehér és kék. A tizedik dobozba fehér és kék golyó va. Az egyik találomra választott dobozból véletleszerűe kiveszük egy golyót. a Meyi a valószíűsége, hogy fehér lesz? b A kivett golyó fehér lett. Meyi a valószíűsége, hogy a tizedik dobozból való? 0.. (M Va egy-egy szabályos dobótetraéderük, dobókockák és dobóoktaéderük. Midegyik test lapjaira egytől kezdve felírtuk az első éháy pozitív egészt, tehát a tetraéderre -től 4-ig, a kockára -től -ig, az oktaéderre -től 8-ig. Feldobuk két szabályos érmét. Ha midkettő fej, akkor a kockával, ha potosa egyikük fej, akkor a tetraéderrel, ha midkettő írás, akkor az oktaéderrel dobuk. a Meyi az esélye, hogy -est dobuk? b -est dobtuk. Meyi az esélye, hogy potosa egy fejet dobtuk? 0.. Tegyük fel, hogy a férfiak %-a és a ők 0,%-a szívak. Egy 0 őből és férfiból álló csoportból személyt találomra kiválasztuk. Megállapítjuk, hogy szívak. Meyi a valószíűsége, hogy őt választottuk ki? 0.4. a Azokba a kétgyermekes családokba, ahol az egyik gyermek fiú, miek agyobb a valószíűsége, aak, hogy a másik is fiú, vagy hogy a másik láy? Esetleg egyformá valószíű? (Feltételezzük, hogy fiú és láy születéséek azoos a valószíűsége. b Azokba a kétgyermekes családokba, ahol a kisebb gyermek fiú, miek agyobb a valószíűsége hogy a másik is fiú, vagy hogy a másik láy? Esetleg egyformá gyakori? 0.. Vetélkedő végé a győztes három ajtó közül választhat, az egyik mögött ott a Porsche, a másik kettő mögött apró ajádék va. A győztes választ egy ajtót. Ezek utá a em választott ajtók közül kiyitják eki az egyiket (vagy az egyetlet, ami mögött em a Porsche va, és választást ajálaak eki. Marad az ajtóál, 0.. (M [9] (Török érettségi, 997 Az A dobozba fehér és 4 piros, a B dobozba fehér és piros golyó va. Véletleszerűe (egyelő valószíűséggel kiválasztjuk az egyik dobozt, és abból visszatevés élkül kihúzuk két golyót. Mi a valószíűsége, hogy az egyik fehér, a másik piros lesz? 0.7. (M [] A tébécé korai felismerésére alkalmazott rötgeszűrésél a tapasztalatok szerit hibák is előfordulak. A kezdeti állapotba a betegek körülbelül 0%-át em veszi észre a teszt, míg körülbelül 0%-ba egyébkét egészséges emberél is pozitív eredméy (azaz valami gyaús folt a tüdő adódik. Tudjuk, hogy hazákba a tébécé előfordulása 0,%. a Egy pozitív teszteredméy utá mi az esélye, hogy téyleg tébécés az illető? b Ha egatív az eredméy, akkor mi az esélye, hogy tébécés? c Midezek féyébe vajo mire való ez a teszt? 0.8. (M [] Tudjuk, hogy egy gyakorlatba résztevevő 8 lövész égy csoportba sorolható úgy, hogy közülük öte 0,8, hete 0,7, égye 0,, kette 0, valószíűséggel találak a céltáblára. Véletleül meglátuk közülük egy lövészt, aki egy lövést ad le, de ez em talál a céltáblára. Melyik csoporthoz tartozik a legagyobb valószíűséggel ez a lövész és meyi ez a valószíűség? 0.9. [] Két város közötti távíróösszeköttetés olya, hogy a leadott távírójelek közül a potok /-e voallá torzul, a voalak /-a pedig pottá. A leadott jelek közül a potok és a voalak aráya :. Számítsuk ki aak a valószíűségét, hogy ha a vevőoldalo potot kapak, akkor az adó potot továbbított! 0.0. (M [8] Tételezzük fel, hogy egy gyermek születésekor ugyaakkora a valószíűsége aak, hogy az újszülött fiú vagy láy! Tudjuk, hogy egy háromgyermekes családba va leáy. Meyi aak a valószíűsége, hogy valamelyik testvére fiú? 0.. [] Miőségelleőrzés sorá sorba egymás utá több terméket vizsgálak meg. Ha egy megvizsgált termék jó, akkor +-et, ha selejtes, akkor --et írak le, és ezeket a számokat midig összeadják. (Feltesszük, hogy a megvizsgált termékek egymástól függetleül lehetek jók vagy selejtesek. Midaddig új terméket vizsgálak meg, amíg a részletösszegek - és + között maradak. Ha a részletösszeg eléri a +-öt, akkor befejezik a vizsgálatot és átveszik a tételt, ha a --at, akkor visszautasítják a tételt. Mekkora az átvétel valószíűsége, ha a termékekek 80%-a jó?

18 . FEJEZET. JÁTÉKOK. FEJEZET Játékok.. (M Egy társaság tagjai saját szórakozásukra helyi lottót szervezek. szám közül húzak ki kettőt, és ezekre lehet fogadi. Tippeli 00 foritért lehet. Ha valaki midkét számot eltalálja, 000 foritot kap, ha csak az egyik számot találja el, akkor 00 foritot kap. a Vajo ha sokáig játszom eze a lottó, akkor mi a valószíűbb, az, hogy összességébe yereségem lesz, vagy az, hogy vesztek? b Legfeljebb háy szám ( helyett eseté érdemes játszai ezt a játékot ugyaezekkel a szabályokkal?.. (M [8] Aa és Balázs felváltva dob egy szabályos dobókockával. Megegyezek, hogy az yer, aki agyobbat dob. Ha egyelőt dobak, akkor Aa yer, Balázs viszot újra dobhat, ha egyest dob, ha ekkor is egyest, akkor ismét, egésze addig, amíg egyestől külöbözőt em dob. Ez az érték számít az ő dobásáak. Kiek agyobb a yerési esélye?.. (M [8] Egy szerecsejáték-automata három hegeré 0-0 kép va:.4. Adrás és Béla a következő kockajátékot játsszák. Adrás dobókockájá a 4,, 0, 8, 0, ; Béla kockájá a, 9,,, 7, számok vaak. Midkét játékos feldobja saját kockáját, s az yer, aki agyobbat dobott. Kiek előyös a játék?.. Adrás és Béla kockajátékot játszaak. Midkettejük dobókockájáak oldalai egy pozitív egész szám olvaható. Midkét játékos feldobja saját kockáját, s az yer, aki agyobbat dobott. Igaz-e, hogy ha Adrás kockájá agyobb a hat szám átlaga, mit Béla kockájá, akkor agyobb Adrás yerési esélye, mit Béláé?.. (MS Adrás és Béla kockajátékot játszaak. Az asztalo va három csupasz dobókocka. Adrás felírja a számokat -től 8-ig a kockákra úgy, hogy midegyik számot potosa egyszer írja fel. Ezutá Béla megvizsgálja a kockákat és választ közülük egyet. A maradék két kocka közül Adrás választhat magáak egyet. Midkét játékos feldobja saját kockáját, s az yer, aki agyobbat dob (a harmadik kocka már em kap szerepet. Kiek kedvezőbb a játék, Adrásak, vagy Béláak?.7. Kette az alábbi táblá játszaak autóverseyt. Kockával dobak. Az egyik autó vezetője midig ayit lép előre, aháyast dob; a másik pedig - ot lép, ha páros számot dob, és em lép, ha páratla számot dob. Az yer, aki előbb ér célba. Te melyik verseyző szeretél lei? Miért?.8. (M Kette (A és B a következő játékot játsszák. Egy kalapból, melybe tapitásra egyforma piros és fehér golyók vaak, kihúzak két golyót. Ha a két golyó egyforma szíű, akkor A yer, ha külöbözőek, akkor pedig B. Tudjuk, hogy a kalapba 0 piros golyó va. Háy fehér golyóak kell ott leie ahhoz, hogy igazságos legye a játék? I.heger II.heger III.heger szív csillag 0 4 háromszög 4 kör 4 4 égyzet lóhere 7 Egy zseto bedobása utá az automata megpörgeti, majd megállítja a hegereket úgy, hogy midegyike egy egy kép válik láthatóvá. 00 yereméyzsetot ad ki a gép, ha három szív látható. 8 zseto a yereméy bármely másik három egyforma kép eseté. a Meyi a főyereméy eléréséek valószíűsége egy-egy játékba? b Mekkora aak a valószíűsége, hogy a yereméy 8 zseto?.7.. ábra.

19 .9. (M Általáosítsuk a.8. feladatot! Adjuk meg az összes olya emegatív egészekből álló p, f párt, amelyre igazságos az ott leírt játék p piros és f fehér golyóval!.0. (M [] Kette (A és B a következő játékot játsszák. Egy kalapból, melybe tapitásra egyforma piros és fehér golyók vaak, kihúzak két golyót. Ha midkét golyó piros, akkor A yer, mide más esetbe pedig B. a Legkevesebb háy golyó eseté lehet igazságos a játék? b Legkevesebb háy golyó eseté lehet igazságos a játék, ha a fehér golyók száma páros?.. (M Póker esélyek lapos fracia kártyával játszuk. Határozzuk meg a kézbe kapott a pár két egyforma alakzat, pl. két -as vagy két király és három külöböző lap b két pár c drill három egyforma alakzat, pl. három -as vagy három király és még két külöböző lap d sor pl. 4,,, 7, 8 e flush öt egyforma szíű lap, pl. K, A,, 8, 0 f full három + kettő egyforma alakzat, pl. K, K, K,, g póker égy egyforma alakzat pl. K, K, K, K, h straight flush égy egyforma szíű lap sorba, pl. 4,,, 7, 8 esélyét! 7 8. FEJEZET. JÁTÉKOK b Mely x eseté igazságos a játék?.. (MS [4] IMO, 98 Ausztrália, javaslat Aa -szer, Balázs csak ( -szer dob fel egy (szabályos pézérmét. Meyi az esélye, hogy Aa többször dobott fejet, mit Balázs?.. (M [9] A Mote-Belloi kaszióba belépőkek először egy fura játékba kell kipróbáli szerecséjüket. Ez a játék a következő: egy dobozba két yerő és három vesztő golyót teszek, amelyek külső formájukba teljese megegyezek. Ebből a dobozból visszatevés élkül húzak ki golyókat. Nyerő golyó húzása utá a kaszió fizet a játékosak 0 pézt, vesztő golyó húzása eseté pedig a játékos fizet a kaszióak 0 pézt. A játékosak joga va bármelyik húzás előtt a játékot abbahagyi, akár már az első húzás előtt is. Kiek kedvez ez a játék? Érdemes-e kéri egyáltalá húzást? Hogya érdemes játszai?.. (M A kockapókerbe dobókockával dob a játékos. Határozzuk meg az alábbi dobások esélyét! a drill (pl. három -es, egy-egy -ös és -os b sor (öt egymást követő szám.. (M [] Első dobozába piros, fehér, zöld golyó va, Másodikéba piros, fehér és 4 zöld. Midkét játékos addig húz a saját dobozából visszatevés élkül, amíg zöldet em húz. Piros húzásért Első 0, Második 4 potot kap, fehérért Első 4, Második potot kap (zöld: 0 pot. Potjaikat összegyűjtik, és ha elsőek va több potja, akkor ő yer Másodiktól 00 Ft-ot, külöbe ő fizet Másodikak x egységet. Melyik x-re igazságos a játék?.4. (M Kette A és B a következő játékot játsszák. Egy dobozba piros, fehér és 4 zöld golyó va. Az A játékos addig húzhat a dobozból visszatevéssel, amíg zöldet em húz. Piros húzásért 0, fehérért 0 Ft-ot kap B-től, de a játék elkezdésekor egy x összeget kell adia B-ek. a Átlagosa háy húzásból áll a játék?

20 40. FEJEZET. MARKOV LÁNCOK. FEJEZET Markov lácok Orosz Gyula Markov lácok című írása alaposabba tárgyalja ezt a témát és a ete szabado elérhető[]..4. (M Egy bolyogó pot kezdetbe a -as kocka középső egységkockájába va. Mide lépésébe a hat lehetséges oldallap közül véletleszerűe választ egyet, s a lapo keresztül átmegy a szomszéd egységkockába vagy kijut a kocka felszíére. a Meyi az esélye, hogy kijut a kocka felszíére? b Meyi az esélye, hogy mielőtt kijuta a felszíre, előbb még visszajut a középső kiskockába?.. (M Egy bolha a drótból készült ABCDA B C D kocka élei mozog. Mide csúcsból egyelő azaz valószíűséggel megy át valamelyik szomszédos csúcsba. a Meyi az esélye, hogy em jut el sem a B sem a C potba? b Meyi az esélye, hogy előbb jut el B -be, mit C -be?.. (M A juhászfiúból lett mesebeli vitézek három próbát kell kiállia. Az egyes próbáko a többitől függetleül / valószíűséggel jut túl. A falujából idul és ha egy próbát teljesít, mehet a következőre. Ha az em sikerül, akkor vissza kell fordulia, és újra eki kell vágia az előző, korábba már teljesített próbáak. Ha bármikor befuccsol a legelső próbá, akkor vége a meséek, kulloghat haza. Meyi az esélye, hogy a vitéz teljesíti mid a három próbát?.. (M Ferde foci Két játékos A és B a [0; ] itervallumo focizik, a 0 az A játékos kapuja, míg a a B játékosé. A labda kezdetbe a - áll. Egy lépés abból áll, hogy feldobak egy szabályos érmét, és ha Fej lesz, akkor eggyel jobbra (agyobb számra, ha Írás. akkor eggyel balra (kisebb számra teszik a labdát. A yer, ha B kapujába azaz -ra ér a labda, míg B yer, ha A kapujába, a 0-ba kerül a labda. a Melyik játékosak meyi a yerési esélye? b Meyi a dötetle esélye, tehát meyi a valószíűsége, hogy sose kerül egyik kapuba se a labda? c Hogya változik a válasz az a, b kérdésekre, ha em pézérmével, haem szabályos dobókockával dobak, és valamit eseté balra,, 4, és eseté jobbra tolják a labdát?.. (M Eufrozia és Fülöpke a büfébe kártyázak: a játék a hagyomáyos Fekete Leves. A ravasz Fülöpkéél három lap maradt, egy kőr, egy káró és egy treff, Eufroziáak még égy lapja va, mide szíből egy-egy. Fülöpke következik, húz egy lapot Eufroziától és ha ezzel lesz két egyfoma szíű (a fracia kártyába égy szí va lapja, azokat lerakhatja, ha em, akkor a kezébe lévő égy lappal játszik tovább. Most Eufrozia jö, aki Fülöpke lapjai közül húz egyet hasoló feltételekkel és így tovább. A játékot az yeri, aki valameyi lapját le tudja raki. Háy százalék a valószíűsége, hogy Fülöpke yer? 9

21 4. FEJEZET. A SZÓRÁS. FEJEZET A szórás.. (M Egy H számsokaság átlaga x, szórása D. A számsokaság elemeiek legfeljebb háy százaléka lehet az [x D; x + D] itervallumo kívül?.. (M Egy H számsokaság átlaga x, szórása D. A számsokaság elemeiek legfeljebb háy százaléka lehet az [x D; x + D] itervallumo kívül?.. (M Általáosítsuk a.-.. feladatok eredméyét!.4. (M Adott a H {x ; x ;... ; x } számsokaság, amelyek átlaga x, szórása D. Határozzuk meg a { x x D számsokaság átlagát és szórását! ; x x D ;... ; x x D } H x D.. Adott a {; 7} számsokaság. Bővítsük ki egy elemmel, hogy e változzo a szórása!.. Határozzuk meg a H {0; ; ;... ; ; } halmaz szórását és a szórás határértékét, ha tart a végtelehez (az egyeletes eloszlás szórása!.7. [9] a Bizoyítsuk be, hogy ha szám összege 0, abszolút értékeik összege a, akkor a legagyobb és a legkisebb szám külöbsége legalább a. b Az A A... A kovex -szög belsejébe úgy választottuk ki az O potot, hogy az OA + OA OA vektorösszeg a ullvektor, míg a vektorok hosszáak összege d. Igazoljuk, hogy az -szög kerülete legalább 4d/. c Éles-e ez a korlát mide eseté? 4

22 44 4. FEJEZET. VEGYES FELADATOK 4. FEJEZET Vegyes feladatok 4.. (M [8] Nyolc egyforma bábut találomra elhelyezük egy sakktáblá. Meyyi aak a valószíűsége, hogy mid a yolc sorba és mid a yolc oszlopba potosa egy-egy bábu lesz? 4.. Legalább háy pézdarab kell ahhoz, hogy 90%-ál agyobb esélye legye aak, hogy feldobva va köztük fej? 4.. (M A köyvespolc alsó polcáról a kétéves Pisti leszedte a köyveket, majd saját ízlése szerit visszarakta mid a -öt. Meyi a valószíűsége aak, hogy a köztük levő három idege yelvű köyv egymás mellé került? 4.4. Egy halálraítéltek émi esélyt kíváak adi az életbe maradásra. Adak eki 0 fehér és 0 fekete golyót és két urát. A golyókat eloszthatja a két urába. A hóhér másap reggel találomra kiválaszt egyet a két ura közül, majd a kiválasztottból kihúz egy golyót. Ha az fekete, akkor kivégzik az elítéltet, ha fehér, akkor szabado egedik. Hogya célszerű elosztai golyókat, hogy a legagyobb valószíűséggel életbe maradjo? 4.7. [] Bejut-e a második a dötőbe? A yolc résztvevős kieséses teiszbajokságot az alábbi ábrá látható redszerbe boyolítják le. Ehhez a játékosok között véletleszerűe osztják ki az,,..., 8 sorszámokat. Tegyük fel, hogy a játékosok képességük szerit egyértelműe rakhatók sorredbe és a jobb midig legyőzi a kevésbé jót! a Meyi az esélye a második legjobb játékosak, hogy bejusso a dötőbe? b Meyi aak az esélye, hogy a második és a harmadik legjobb játékos összeméri tudását eze a verseye? c Válaszoljuk az előző kérdésekre a résztvevős feti redszerű kieséses bajokság eseté is! 4.8. (M [4] Három herceg, A, B és C egyarát szerelmes Bergegócia királyláyába. Elhatározzák, hogy egyetle pisztolypárbajba eldötik, melyikük legye a kérő. Egyszerre körbeállak és bármelyikük lőhet bármelyikükre. Tudják egymásról, hogy ha lő, A, B 0,8 és C 0, valószíűséggel talál, ezért abba állapodak meg, hogy először lő C, utáa (ha életbe va B, végül A. Ha ics vége a párbajak, akkor még egy kört lőek azoos sorredbe. Mikor a királyláy meghallotta a feltételeket, a párbaj előtti este titokba kicse- E M 4.. (M [4] Egy 4 4-es égyzetrács alakú labiritus két átellees csúcsába a kijáratokál egy egér és egy macska va. Midkette adott jelre, ugyaakkora sebességgel elidulak a szemköztes kijárat felé úgy, hogy mide lépésbe közeledek céljukhoz (lásd az. ábrát. Egymást em látják, útválasztásuk az elágazásokba véletleszerű. (Ez azt jeleti, hogy amikor elágazáshoz érek, a lehetséges két iráy közül egyforma valószíűséggel választaak. a Mekkora aak a valószíűsége, hogy találkozak? b Általáosítsuk a feladatot! 4.. (M [] Egy futballklub edzéséek megkezdése előtt az edzése résztvevő játékost két csoportba osztják. Mi a valószíűsége aak, hogy ha találomra törtéik a szétosztás két -es csoportba, a két legjobb játékos egymás elle játszik? 4 8. forduló elődötő ábra ábra. dötő győztes

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Valószínűségszámítás statisztika

Valószínűségszámítás statisztika Valószínűségszámítás statisztika és 9 0. évfolyam Szerkesztette: Hraskó András 08. december. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel,

Részletesebben

Eseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok

Eseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok Eseme yalgebra e s kombiatorika feladatok, megolda sok Szűk elméleti áttekitő Kombiatorika quick-guide: - db. elemből db. sorredjeire vagyuk kívácsiak: permutáció - db. elemből m < db. háyféleképp rakható

Részletesebben

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje. 24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor

Részletesebben

Klasszikus valószínűségszámítás

Klasszikus valószínűségszámítás Klasszikus valószínűségi mező 1) Egy építőanyag raktárba vasúton és teherautón szállítanak árut. Legyen az A esemény az, amikor egy napon vasúti szállítás van, B esemény jelentse azt, hogy teherautón van

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

Valószínűségszámítás statisztika

Valószínűségszámítás statisztika Valószínűségszámítás statisztika és 9 0. évfolyam Szerkesztette: Hraskó András 05. augusztus 4. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel,

Részletesebben

Matematika B4 I. gyakorlat

Matematika B4 I. gyakorlat Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a

Részletesebben

Valószínűség számítás

Valószínűség számítás Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

Pl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.?

Pl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.? Dr. Vicze Szilvia A kombiatorika a véges halmazokkal foglalkozik. A véges halmazokkal kapcsolatba számos olya probléma vethető fel, amely függetle a halmazok elemeitől. Pl.: háyféleképpe lehet egy elemű

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika

BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA Leíró statisztika Első közelítésbe a statisztikai tevékeységeket égy csoportba sorolhatjuk, de ezek között ics éles határ:. adatgyűjtés, 2. az adatok áttekithetővé tétele,

Részletesebben

Klasszikus valószínűségi mező megoldás

Klasszikus valószínűségi mező megoldás Klasszikus valószínűségi mező megoldás Ha egy Kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek, vagyis az elemi eseményeknek azonos a valószínűségük, akkor a kísérelttel kapcsolatos

Részletesebben

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum) Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa

Részletesebben

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6 Néhány kockadobással kapcsolatos feladat Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: ; 2; ; ; ; Az összes esetek száma:. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost dobunk? A kedvező esetek száma: (hatost

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika

Részletesebben

(6/1) Valószínűségszámítás

(6/1) Valószínűségszámítás (6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be.

1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be. IX. ESEMÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉG IX.1. Események, a valószínűség bevezetése 1. A kísérlet naiv fogalma. Kísérlet nek nevezzük egy olyan jelenség előidézését vagy megfigyelését, amelynek kimenetelét az általunk

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

1. A radioaktivitás statisztikus jellege

1. A radioaktivitás statisztikus jellege A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen

Részletesebben

Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1

Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, FÜGGETLENSÉG 1. Legyen P (A) = 0, 7; P (B) = 0, 6 és P (A B) = 0, 5. Határozza meg a következő valószínűségeket! (a) B,V P (A B) 0, 8333 (b) B,V P

Részletesebben

Eredmények, megoldások

Eredmények, megoldások Eredmények, megoldások 1. Eldobjuk egyszer a dobókockát. Mennyi a valószín½usége annak, hogy: (a) 4-est dobunk; (b) páratlan számot dobunk; (c) 4-nél nem dobunk nagyobbat; (d) legfeljebb 5-öst dobunk;

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.

VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea. VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Számelmélet Megoldások

Számelmélet Megoldások Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,

Részletesebben

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat

Részletesebben

Azaz 56 7 = 49 darab 8 jegyű szám készíthető a megadott számjegyekből.

Azaz 56 7 = 49 darab 8 jegyű szám készíthető a megadott számjegyekből. 1 Kombináció, variáció, permutáció 1. Hányféleképpen rakhatunk be 6 levelet 1 rekeszbe, ha a levelek között nem teszünk különbséget és egy rekeszbe maximum egy levelet teszünk? Mivel egy rekeszbe legfeljebb

Részletesebben

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen, KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját!

2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját! 1. Egy 27 fős osztályban mindenki tesz érettségi vizsgát angolból vagy németből. 23 diák vizsgázik angolból, 12 diák pedig németből. Hány olyan diák van az osztályban, aki angolból és németből is tesz

Részletesebben

Gyakorlat. Szokol Patricia. September 24, 2018

Gyakorlat. Szokol Patricia. September 24, 2018 Gyakorlat (Geometriai valószínűség, feltételes valószínűség) September 24, 2018 Geometriai valószínűség 1 Az A és B helységet 5 km hosszú telefonvezeték köti össze. A vezeték valahol meghibásodik. A meghibásodás

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

Ismétlés nélküli kombináció

Ismétlés nélküli kombináció Ismétlés nélküli kombináció Hányféleképpen lehet n különböz elembl kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít, és minden elemet csak egyszer választhatunk? 0. Egy 1 fs csoportban hányféleképpen

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos?

1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos? Valószínűségszámítás, földtudomány alapszak, 2015/2016. őszi félév 1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos? 2. Két tizenhárom fős vízilabdacsapat mérkőzik

Részletesebben

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás Matematika A I. gyakorlat megoldás 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció n! n! k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen állíthatunk sorba, ha k

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás

Részletesebben

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük. Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

3. gyakorlat. 1. Független események. Matematika A4 Vetier András kurzusa február 27.

3. gyakorlat. 1. Független események. Matematika A4 Vetier András kurzusa február 27. 3. gyakorlat Matematika A4 Vetier András kurzusa 2009. február 27. 1. Független események Az A és B események akkor és csak akkor függetlenek,ha az alábbbi négy egyenlőség teljesül: P(A B) = P(A)P(B) P(A

Részletesebben

Biomatematika 2 Orvosi biometria

Biomatematika 2 Orvosi biometria Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)

Részletesebben

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Bizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl).

Bizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl). ) a) Értelmezzük a valós számok halmazá az f függvéyt az f x = x + kx + 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl) ( ) Számítsa ki, hogy k mely értéke eseté lesz x = a függvéyek lokális szélsőértékhelye

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben 1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Populáció. Történet. Adatok. Minta. A matematikai statisztika tárgya. Valószínűségszámítás és statisztika előadás info. BSC/B-C szakosoknak

Populáció. Történet. Adatok. Minta. A matematikai statisztika tárgya. Valószínűségszámítás és statisztika előadás info. BSC/B-C szakosoknak Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 16. A matematikai statisztika tárgya Következtetések levoása adatok alapjá Ipari termelés Mezőgazdaság Szociológia

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof Dr Závoti József Matematika III 3 MA3-3 modul A valószínűségszámítás elemei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. : A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatok

Valószínűségszámítás feladatok Valószínűségszámítás feladatok Klasszikus valószínűség./ Eg csomag magar kártát jól összekeverünk. Menni annak a valószínűsége, hog a ász egmás után helezkedik el?./ 00 alma közül 0 férges. Menni a valószínűsége,

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus

Részletesebben

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8. . feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége

Részletesebben

1. elıadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínőségszámítás helye a tudományok között. Cél

1. elıadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínőségszámítás helye a tudományok között. Cél 1 Valószíőségszámítás 1 elıadás alk.mat és elemzı szakosokak 2013/2014 1. félév Zempléi Adrás zemplei@ludes.elte.hu http://www.cs.elte.hu/~zemplei/ 1. elıadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév

Részletesebben