0. BEVEZETÉS. Decision theory: web Google keresés= 27 millió találat Döntéselmélet: web Google keresés= 12 ezer találat

Átírás

1 A-PDF Merger DEMO : Purchase from to remove the watermark 0. BEVEZETÉS Decision theory: web Google keresés= 27 millió találat Döntéselmélet: web Google keresés= 12 ezer találat Döntéselmélet néhány területe: orvosi, jogi, bírói, közgazdasági, műszaki, egyéb. Módszerek és a kapcsolódó fontosabb szoftverek AHP analytic hierarchy process (Saaty, 1980, EC expert choice) PROMETHEE preference ranking organization method for enrichment evaluation (Brans, 1982, Decision Lab) GAIA geometric analysis for interactive assistance (Marechal, Brans, 1988,Decision Lab) WINGDSS, Sztaki WinQSB (Quantitative System for Business) decision analysis (Yih-Long Chang, Georgia Institute of Technology) 1

2 2 1. ALAPFOGALMAK (ld. Temesvári J.: A döntéselmélet alapjai, 11-13) 1.1 Néhány jellemző döntési probléma Cselekvéseinket döntések irányítják. Nagyon gyakran kerülünk döntési (kényszer)helyzetbe. Néha azonnal kell dönteni, máskor lehetőségünk van (sőt kényszerítve vagyunk) átgondolt, indokolt döntéseket hozni. 1. Termelési feladat: többféle termék előállításának mennyiségéről döntünk. Cél a maximális profit, vagy maximális profit minimális környezeti károsítással, vagy maximális profit minimális munkaerő felhasználásával. 2. Befektetési feladat: maximális hozamot biztosító portfolio kiválasztása. Korlátok: pénzügyi, szempontok: óvatosság vagy kockázat, befektetés időtartama. 3. Iskola választási probléma: új lakóhelyre költözünk és keressük a legjobb iskolát. Szempontok: lakástól való távolság, iskola színvonala, tandíj, zsúfoltság, iskola felszereltsége: sport, számítógépes hálózat. 4. Szemétégető telepítése. Szempontok: technológia, helyi munkaerő, költségek, környezeti feltételek, lakossági hozzáállás. 5. Közbeszerzési pályázat kiértékelése. Pl. banki számítógépes tender értékelése. Szempontok: ár, hardver minősége, szolgáltatási feltételek, garanciális feltételek, betanítás.

3 Minden esetben a cél egyetlen cselekvés (a legjobb termelési terv, legjobb befektetés, iskola stb.) kiválasztása Matematikai programozás, feltételes szélsőértékszámítás Döntési változók: x = (x 1,..., x n ) R n egy n-dimenziós vektorba foglalva, Feltételek leírása: adott g i : R n R i = 1,..., k + l függvények segítségével g i (x) = 0 g j (x) 0 (i = 1,..., k); k < n egyenlőség típusú feltételek (j = k + 1,..., k + l); egyenlőtlenség típusú feltételek Döntési halmaz: alternatívák halmaza X = { x R n : g i (x) = 0, i = 1,..., k, g j (x) 0 j = k + 1,..., k + l. } Egyetlen célfüggvény: f(x) = max ha, x X Mivel f(x) = min f(x) = max, ha, x X, ezért elegendő csak max keresésével foglalkozni. Megoldás: lineáris vagy egész programozás, feltételes szélsőértékszámítás. Példa lineáris programozásra (két változó, grafikus megoldás):(eload1.lpp)

4 4 x 1, x 2 0, x 1 + 2x 2 6 x 2 x 1 3 x 1 + x x 1 3x 2 = z max vagy min Megoldás: Az egyenlőtlenségrendszernek elegettevő pontok halmaza egy sokszög mely az ábrán színezve van. A 2x 1 3x 2 = z egyeneseket valamely z = konstans esetén ábrázolva párhuzamos egyeneseket kapunk (ábránkon a z = 20, 6, 12, 5 egyeneseket rajzoltuk be. z maximális értékét akkor kapjuk, ha az egyenes átmegy a (10, 0) csúcsponton,

5 minimális értékét pedig akkor kapjuk, ha az egyenes átmegy a (3, 5, 6, 5) csúcsponton, z max = 20, z min = 12, 5. Több változó (szimplex módszer, megoldás komputerrel, szoftver pl WinQSB) (ld. Varga J.: Gyakorlati programozás, Tankönyvkiadó, Bp. 1985, ) 1. Döntés előkészítése m 3 tölgyrönköt kell fűrészáruvá feldolgozni 4 üzemben, melyek közel azonos technikai felszereltségűek. Mindegyikben 6 féle terméket tudnal előállítani: I, II, III-adosztályú szelvényárut, dongát, parkettalécet, bányaszéldeszkát és közben fürészpor és darabos hulladék keletkezik. 2. Technológiák számszerűsítése. E termékek előállítására öt technológia van. E technológiák kihozatali mutatói próbavágások alapján az alábbiak, 1m 3 rönkre vonatkozóan, %-ban Technológiák I II III IV V I. o. szelv.áru II. o. szelv.áru III. o. szelv.áru Donga Parkettaléc Bányaszéldeszka Darabos hulladék Fürészpor Technikai korlátok. Az üzemek kapacitása messzemeghaladja a feldolgozandó mennyiséget, csupán a parkettagyártó gépsor kapacitása korlátozott évi 10000m 3 -re. 5

6 6 4. Keresleti korlátok. Az egyes termékekből az évi kereslet/terv I.o legalább 1000m 3, II. o. legalább 5000m 3, donga legfeljebb 20000m 3, parkettaléc legalább 5000m 3 -t kell előállítani, és a hulladék (fürészpor és darabos hulladék) nem haladhatja meg a 45%-ot. 5. A célt befolyásoló adatok, a késztermékek árai: Késztermék Ft/m3 I. o. szelv.áru 3000 II. o. szelv.áru 2400 III. o. szelv.áru 1400 Donga 3500 Parkettaléc 3100 Bányaszéldeszka 1000 Darabos hulladék 500 Fürészpor 100 Így 1m 3 rönk feldolgozásával az árbevétel: Techn. Árbevételek (Ft) Össz.(Ft) I. 0, , , , , II. 0, , , , III. 0, , , IV. 0, , , , , , V. 0, , , , , , Matematikai modell. Legyen x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 az egyes technológiák szerint felvágandó rönk mennyisége m 3 -ben, akkor

7 7 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 nemnegativitás 0, 1x 1 + 0, 1x 4 + 0, 05x I.oszt. terv 0, 3x 1 + 0, 3x 4 + 0, 25x II.oszt. terv 0, 4x 2 + 0, 15x donga tervkorl. 0, 1x 2 + 0, 5x 3 + 0, 15x 4 + 0, 12x park.léc terv 0, 1x 2 + 0, 5x 3 + 0, 15x 4 + 0, 12x park.léc kapac. 0, 4x 1 + 0, 5x 2 + 0, 5x 3 + 0, 41x 4 + 0, 43x hulladék x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = teljes készlet Az árbevétel maximalizálása a cél, azaz a célfüggvény: 1440x x x x x 5 = z max Megoldás: Bevitel a WinQSB programba:(fauzem.lpp)

8 8 A megoldás a program segítségével:

9 9 Combined Report for fauzem5 13:40:22 Sunday February Decision Solution Unit Cost or Variable Value Profit c(j) Total Reduced Basis Allowable Allowable Contribution Cost Status Min. c(j) Max. c(j) 1 X1 12, , ,454, basic -M 1, X2 27, , ,363, basic 1, , X3 0 1, at bound -M 2, X4 0 1, at bound -M 1, X5 60, , ,212, basic 1, , Objective Function (Max.) = 179,030,300. Left Hand Right Hand Slack Shadow Allowable Allowable Constraint Side Direction Side or Price Min. RHS Max. Surplus RHS 1 C1 4, >= 1,000. 3, M 4, C2 18, >= 5, , M 18, C3 20, <= 20, , , C4 10, >= 5,000. 5, M 10, C5 10, <= 10, , , , C6 44, <= 45, , M 7 C7 100, = 100, , , ,136.4

10 10 A megoldás táblázatában a redukált költség nulla értékű célváltozóknál szerepel, és azt mutatja, hogy hogyan változik a célfüggvény értéke, ha az illető célváltozóra pozitív értéket követelünk meg. Például, x 3 = 0- nál a redukált költség 823, 03, ami azt jelenti, hogy ha x 3 0 helyett x 3 a 3 (> 0)-t követeljük meg, akkor az célfüggvény értéke (közelítőleg) 823, 03a 3 -mal változik. Egy feltételnél szereplő árnyékár azt mutatja meg, hogy a feltétel jobboldalán álló konstans változása hogyan hat a célfüggvény értékére. Például, a C 3 feltételnél az árnyékár 648, 48, ami azt jelenti, hogy ha C 3 jobboldalát b 3 -mal megnöveljük, (esetünkben b 3 -ra) akkor az célfüggvény értéke (közelítőleg) 648, 48b 3 -mal nő. Az utolsó két oszlop 1-5 sorai azt mutatják, hogy a célfüggvényben az illető célváltozó együtthatója milyen határok között változhat ahhoz, hogy még létezzen optimális megoldás. Az utolsó két oszlop utolsó 7 sora azt mutatja, hogy a korlátozó feltétel jobboldala milyen határok között változhat, ahhoz, hogy még létezzen optimális megoldás. A megoldás értelmezése: x 1 = első technológiával felvágandó x 2 = második technológiával felvágandó x 3 = 0 harmadik technológiával felvágandó x 4 = 0 negyedik technológiával felvágandó x 5 = ötödik technológiával felvágandó Árbevétel Ft Gyártott termékek: I.oszt. 0, , , = 4242 = 1000+többlet, II.oszt. 0, , , = 18787, 8 = többlet, III.oszt. 0, = 2424, 2, Donga 0, , = 20000,

11 Parkettaléc 0, , 5 0+0, , = = többlet, Bányaszéldeszka 0, 04 0 = 0, Hulladék 0, , , , , = 44545, 48 = hiány. Túlteljesítések: I.oszt II. oszt Dongából a megengedett t termeljük Parkettalécből 5000-rel túlteljesítjük a tervet, és a teljes kapacitást kihasználjuk. A hulladék 45% alatt van. 1m 3 rönköt 1790,30 Ft áron értéksítjük. 11 A modell módosításai: 1. Ha a II. oszt. árúból 13788m 3 eladhatatlan, csak adható el, akkor módosítani kell a problémát, egy új feltétel közbeiktatásával: 0, 3x 1 + 0, 3x 4 + 0, 25x Az új probléma lehet megoldhatatlan, kaphatunk új optimumot. 2. Ha pl. bányaszéldeszkából 1000m 3 -re van igény, akkor az új feltétel 0, 04x Ha a hulladékra nem teszünk kikötést akkor eggyel kevesebb feltételünk lesz, az optimális megoldás magasabb célértéket eredményezhet. 4. Az is előfordulhat, hogy az egyes fűrészüzemek technikai színvonala különböző, ekkor szét kell osztanunk a gyártandó termékeket az üzemek között, feltéve, hogy az összkapacitásuk meghaladja a feldolgozandó nyersanyagot.

12 12 További megjegyzések: Előfordulhat az, hogy a lineáris programozási feladatnak több megoldása van. Példaként tekintsük a (ELOAD2.LPP) x 1, x 2, x 3, x 4 0 x 1 x 2 + x 3 8 x 2 + x 3 x 4 11 x 1 + 2x 2 x 3 + x 4 10 z = 6x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 7x 4 max feladatot. Ennek két bázismegoldása van (0, 0, 8, 18) és (0, 7, 15, 11) és nyilván ezek konvex kombinációja, azaz λ(0, 0, 8, 18) + (1 λ)(0, 7, 15, 11) bármely λ [0, 1] mellett is megoldás. Megtőrténhet az is, hogy nincs megoldás, erre példa a (ELOAD3.LPP) x 1, x 2 0 x 1 + x x x x z = 14x 1 + 6x 2 max feladat. Így előfordulhat, hogy a döntési probléma megoldáshoz pótlólagos információra van szükségünk, vagy pedig a feltételeinken kell enyhítenünk. Ez vezetett el a célprogramozáshoz, ahol a célokat ket részre osztjuk, egy részük szigorúan betartandó, a másik részü csak egy bizonyos szinten tartandó be.

13 Egy másik lehetőség a többcélú programozás. Ha több célfüggvényünk van, melyeket egy vektorba foglalunk akkor a f(x) = (f 1 (x), )f 2 (x),..., f k (x)) max x X f(x) maximumprobléma megoldása egy un. Pareto-optimális megoldás ez olyan x vektort (vagy vektorokat) jelent melyekhez nem tudunk megadni (nem létezik) olyan ˆx X, hogy f(ˆx) f(x ) és f(ˆx) f(x ) teljesül. Mivel a Pareto optimális megoldások halmaza gyakran végtelen, így annak megkeresése nem adja meg a döntési probléma megoldását. Ezért egy un. kompromisszumos megoldást keresünk súlyozásos módszerrel, lexikográfikus módszerrel, korlátok módszerével, kompromisszumprogramozás elvével. Súlyozásnál az egyes célfüggvényeket fontossági súlyokkal látjuk el, és pl. súlyozott átlagként vagy összegként egyetlen célfüggvényt alkotunk. Lexikográfikus módszernél először a legfontosabb cél szerint értékelünk, ha egy megoldás van akkor készen is vagyunk, ha több akkor ezeket a fontosságban következő szempont szerint értékeljük, és így tovább. A korlátok módszerénél egy kivételével az összes többi célt valamely kívánatos korlát segítségével beépítjük a feltételi rendszerbe. A kompromisszumprogramozásban olyan döntést választunk, mely az ideális (minden cél szerint a legjobb, és általában nem létező) változathoz legközelebb esik. 1.3 Alapfogalmak (ld. Temesvári J.: A döntéselmélet alapjai, 18-20) 13

14 14 Alternatívák: a különböző döntési lehetőségek, ezek halmaza a döntési tér. Leírásuk: explicit (pl. felsorolás), vagy implicit. Jellemzőik: számosság, számszerűsíthetőség, kölcsönkapcsolatok (függetlenség), bizonytalanság (véletlentől való függés). Célok (kritériumok,értékelési tényezők): azok az irányok, amerre a rendszert vinni szeretnénk. Ezek sok esetben nem feltétlenül elérhető, vagy számszerűsíthető kívánságokat jelentenek. Hierarchikusan elrendezve őket, a legmagasabb szinten levők általában kevésbé operácionálisak, az alacsonyabban lévő kritériumok már kezelhetők, míg a legalacsonyabb szinten lévők, mint számszerű értékelési tényezők jelennek meg. Az értékelési tényezőknek rendelkezniük kell az alábbi tulajdonságokkal: teljesség (egyetlen fontos tényező se maradjon ki), operácionalizálhatóság (elemzésre alkalmas legyen), felbonthatóság (az alternatívákat az adott tényező szerint külön is vizsgálhassuk), redundancia kiszűrése (felesleges, ismétlődő szempont elhagyása), minimalitás (ne legyen ugyanolyan jó, de kisebb elemszámú tényezőhalmaz), Döntéshozók: azok a személyek, akik felelősek az információk megadásáért, az alternatívák meghatározásáért, kiértékeléséért, a megoldás realizálásáért.

15 Döntéshozó magatartása: racionális (optimalizálásra törekszik), vagy irracionális. A döntéshozó a problémák egy részét objektíven látja (együtthatók, mérések eredményei, számított értékek), másik részét preferenciák adják. Magatartástudomány: a döntéshozókra a korlátozott racionalitás elve érvényesül. Döntési folyamat: döntési szituáció keletkezése (konfliktus feloldása), döntési probléma megfogalmazása, döntési probléma formalizálása (pl. matematikailag), döntési probléma módszerének megválasztása, megoldás: egyetlen cselekvés kiválasztása, adaptálás, értékelés, elemzés: helyes volt-e a döntés, vagy újra kell kezdeni. 15

16 16 2. Néhány elemi döntési módszer (ld. Temesvári J.: A döntéselmélet alapjai, 23-30) Szakértők szempontjai: 2.1 Harci repülőgép vásárlása X 1 = max. sebesség km /ó, X 2 = rakfelület m 2, X 3 = max. terhelhetőség kg, X 4 = beszerzési költség millió dollár, X 5 = megbízhatóság, X 6 = manőverezési képesség. X 5, X 6 -ot egy ötfokozatú skálán értékeljük: na=nagyon alacsony, a=alacsony, á=átlagos, j=jó, nj=nagyon jó.

17 Az ajánlatok táblázata: 17 A 1 A 2 A 3 A 4 X X X X 4 5, 5 6, 5 4, 5 5, 0 X 5 á a j j X 6 nj á j á 2.2 Kvalitatív szempontok számszerűsítése na=nagyon alacsony =1 pont a=alacsony =3 pont á=átlagos =5 pont j=jó =7 pont nj=nagyon jó =9 pont 2.3 Mértékegységtől független adatok előállítása Ideális érték meghatározása: szakértők adják meg, vagy táblázatból vesszük Táblázat eredeti adatai: x ij az i-edik sor, j-edik oszlop adata (egy 6 4 típusú mátrix elemei)

18 18 Ideális érték a i-edik sorban: max j x ij, (ahol a maximumot minden j indexre vesszük) ha a legnagyobb érték az ideális, és ha a legkisebb érték az ideális. A transzformált érték r ij = ha a legnagyobb érték az ideális, és ha a legkisebb érték az ideális.. Igy, ha i = 1 akkor max j i = 2 akkor max j i = 3 akkor max j r ij = min j x ij, x ij max j x ij, min x ij j, x ij x 1j = 1250, r 1j = x 1j 1250 x 2j = 270, r 2j = x 2j 270 x 3j = 21000, r 3j = x 3j (j = 1, 2, 3, 4) (j = 1, 2, 3, 4) (j = 1, 2, 3, 4) i = 4 akkor min j x 4j = 4, 5,!!! r 4j = 4, 5 x 4j (j = 1, 2, 3, 4) i = 5 akkor max j i = 6 akkor max j Az új táblázat: x 5j = 7, x 6j = 9, r 5j = x 5j 7 r 6j = x 6j 9 (j = 1, 2, 3, 4) (j = 1, 2, 3, 4)

19 19 A 1 A 2 A 3 A 4 X 1 0, , 72 0, 88 X 2 0, , 74 0, 67 X 3 0, 95 0, , 95 X 4 0, 82 0, , 90 X 5 0, 71 0, , 71 X 6 1 0, 56 0, 78 0, 56 Az oszloponkénti minimumokat vastagon írtuk ki. A mátrix minden eleme 0 és 1 között van, és minden sorban lesz 1-es (ti. a legjobb ajánlati érték(ek). Az ajánlati oszlopokban a legjobb az 1, és a legkisebb érték a legrosszabb. Másik lehetőség a transzformációra,az, hogy a minimális és maximális értékek közé szorítjuk be az adatokat, az alábbi módon: r ij = max j ha a legnagyobb érték az ideális, és r ij = max j x ij min j max j x ij x ij min j x ij, x ij x ij, x ij min x ij j ha a legkisebb érték az ideális. Ennél a transzformációnál táblázatunk az alábbi alakú

20 20 A 1 A 2 A 3 A 4 X 1 0, , 572 X , 417 0, 250 X 3 0, , 667 X 4 0, , 500 X 5 0, , 500 X , Minden sorban van 0 és 1, a többi érték 0 és 1 közötti. Ezt a transzformációt használja az ELECTRE módszer.

21 2.4 Eliminációs eljárások: az alternatívák leszűkítése 21 (a) Kielégítésre törekvő módszer: minden szemponthoz tartozik egy kielégítési szint, mely alatt (fölött) az alternatíva már nem elfogadható. Ez gyakran életszerű, pl. egyetemen 2 jegy a minimális Ha példánkban ez a szint (1000, 150, 20000, 6,0, á, á), akkor a vastagon szedettek elfogadhatatlanok, és csak két alternatívánk marad: A 1, A 4. A 1 A 2 A 3 A 4 X X X X 4 5, 5 6, 5 4, 5 5, 0 X 5 á a j j X 6 nj á j á (b) Diszjunktív módszer: a kiválóságot jutalmazza (pl. sport, tudomány, művészet). Ha egy szempont szerint az alternatíva egy szintnél jobb (nem rosszabb) akkor már elfogadható. Ha ez a szint (1200, 250, 21000, 4,5, j, nj) akkor csak A 4 esik ki, mert az első szempont szerint A 2 kiváló, így marad, a második szempont szerint A 2 kiváló, így marad, a harmadik szempont szerint A 3 kiváló, így marad,

22 22 a negyedik szempont szerint A 3 kiváló, így marad, az ötödik szempont szerint A 3 kiváló, így marad, a hatodik szempont szerint A 1 kiváló, így marad. (c) Dominancia. Dominált alternatíva az, mely minden szempontból alatta marad (esetleg azonos) egy másikkal. Racionális döntéshozó nem választ dominált alternatívát. 2.5 Lexikográfikus módszer Ez a módszer fontossági sorrendbe állítja az alternatívákat adott szempontok szerint. Például ha az ár a legfontosabb, akkor A 3 -t választjuk, ha az megbízhatóság a legfontosabb, akkor ismét A 3 -t válaszjuk, ha az sebesség a legfontosabb, akkor A 4 -t válaszjuk, stb.

23 2.6 Pesszimista és optimista döntéshozó 23 A pesszimista döntéshozó úgy választ, hogy az A 1 A 2 A 3 A 4 X 1 0, , 72 0, 88 X 2 0, , 74 0, 67 X 3 0, 95 0, , 95 X 4 0, 82 0, , 90 X 5 0, 71 0, , 71 X 6 1 0, 56 0, 78 0, 56 táblázat minden oszlopában a legrosszabb értéket kiválasztja, és ezekből a legjobbat választva kapja a döntési alternatívát, (a rossz elkerülése) : maximin módszer, a max j ( ) min x ij i = 0, 72 értékhez tartozó döntés, ami éppen A 3. Az optimista döntéshozó úgy választ, hogy az

24 24 A 1 A 2 A 3 A 4 X 1 0, , 72 0, 88 X 2 0, , 74 0, 67 X 3 0, 95 0, , 95 X 4 0, 82 0, , 90 X 5 0, 71 0, , 71 X 6 1 0, 56 0, 78 0, 56 táblázat minden oszlopában a legjobb értéket kiválasztja, és ezekből a legjobbhoz tartozó alternatíva a döntése : ez a maximax módszer, a max j ( max i x ij ) = 1 érték(ek)hez tartozó döntés: az A 1, A 2, A 3 alternatívák, melyek egyenértékűek.

25 3. Döntések bizonytalanság mellett (ld. Temesvári J.: A döntéselmélet alapjai, 31-46) 3.1 Vállalkozás bővítése Előző fejezetben bizonytalan események nem befolyásolják a döntést, ez a determinisztikus modell. A sztochasztikus modellben a döntést bizonytalan kimenetelű események befolyásolják, melyek kimenetele a véletlentől függ. Vállakozásunk bővítésére 3 lehetőség van: A 1 = új fióküzlet, A 2 = új szolgáltatás, A 3 = új termék. Befolyásoló tényezők: a következő év keresleti viszonyai, melyekre a vállalkozónak becslést kell megadni. jövő évi kereslet becsült szubj. valószínűségek S 1 nagyon jó P (S 1 ) = 0, 4 S 2 jó P (S 2 ) = 0, 3 S 3 közepes P (S 3 ) = 0, 2 S 4 gyenge P (S 4 ) = 0, 1 4 P (S i ) = 1 i=1 1

26 2 Az egyes tevékenységek jövő évi tiszta nyeresége a keresleti viszonyoktól függ. A tiszta nyereségek táblázata millió Ft-ban: A 1 A 2 A 3 A mátrix elemei Döntési lehetőségek. S S S S v ij = v(s i, A j ). 1. A vállalkozó függetleníti magát a valószínűségektől, és kizárólag az előbbi táblázatban szereplő nyereségek alapján dönt (azaz egyenlő esélyt ad S 1, S 2, S 3, S 4 -nek). (a) Pesszimista és optimista döntés ( ) pesszimista max min v ij = max{4, 4, 5} = 5, A 3 -at választjuk j i optimista max j ( max i Van nem szélsőséges forma is: együttható: v ij ) = max{20, 26, 10} = 26, A 2 -at választjuk Hurwicz féle optimizmus H j (α) = αm j + (1 α)m j (α [0, 1])

27 ahol 3 m j = min v ij, M j = max i i v ij. Például α = 0, 8 mellett H 1 = 20 0, , 2 = 16, 8 H 2 = 26 0, 8 + ( 4) 0, 2 = 20 H 3 = 10 0, , 2 = 9 Mivel max{16, 8, 20, 9} = 20 igy a döntés A 2. (b) Elmulasztott nyereség alapján történő döntés. Mi az elmulasztott nyereség? Ha pl.s 1 következik be, de nem A 2 -t választottuk, hanem A 1, vagy A 3 -at, akkor az elmulasztott nyereség A 1 A 2 A Minden sor maximális eleméből kivonjuk a sor minden elemét:

28 4 A 1 A 2 A 3 S S S S oszlopmaximum Az oszlopmaximumok minimuma =6, a döntés A A vállalkozó figyelembeveszi a valószínűségeket. (a) Legnagyobb valószínűség melletti maximális nyereség. (maximum likelihood módszer) P (S 1 ) = 0, 4 a legnagyobb, ezért a döntés A 2. (b) Várható nyereség alapján történő döntés. A nyereségek várható értékei: E(A 1 ) = 20 0, , , , 1 = 13, 6 E(A 2 ) = = 13, 8 E(A 3 ) = = 8, 3 Döntésünk: A 2.

29 (c) Várható elmulasztott nyereség alapján történő döntés. Az elmulasztott nyereségek várható értékei: 5 Ẽ(A 1 ) = 6 0, , , , 1 = 2, 5 Ẽ(A 2 ) = = 2, 3 Ẽ(A 3 ) = = 7, 8 Döntésünk ismét A 2.

30 6 3.2 Befektetési döntés 14 millió Ft befektetésére két lehetőségünk van: A 1 = telekvásárlás, a telek értéke a következő évben valószínűleg 1%-kal csökken, ha viszont az önkormányzat a közelben bevásárlóközpontot épít, akkor 10%-kal nőhet a telek értéke A 2 = bankbetét, a kamatláb 5%, ha megépül a bevásárlóközpont, akkor a kamatláb 5,5%-ra nőhet A bevásárlóközpont megépítésének valószínűsége 0,75. S 1 az az esemény, hogy megépül a bevásárlóközpont, S 2 az az esemény, hogy nem épül meg a bevásárlóközpont, P (S 1 ) = 0, 75, P (S 2 ) = 1 0, 75 = 0, 25. A nyereségek értékei, mérve): és táblázatuk (1000 Ft-ban v 11 = v(s 1, A 1 ) = , 1 = 1400 v 12 = v(s 1, A 2 ) = , 055 = 770 v 21 = v(s 2, A 1 ) = , 01 = 140 v 22 = v(s 2, A 2 ) = , 05 = 700

31 7 A 1 A 2 P = valószínűség S , 75 S , 25 Várható nyereség alapján történő döntés. A nyereségek várható értékei: Döntésünk: A 1. E(A 1 ) = , , 25 = 1015 E(A 2 ) = 770 0, , 25 = 752, 5 (a) Tökéletes információ várható pénzértéke. Van egy jós (pl. önkormányzati képviselő) aki biztos tippet ad. Mennyi lenne a várható nyereség, és mennyit érdemes a jósnak fizetni? Fontos megjegyzés: a megépülés valószínűsége továbbra is 0,75, de pl. 40 éven át ismételve a befektetést, mindig van biztos tippünk. esemény opt. altern. nyereség valószínűség várható Ft összeg S 1 A , S 2 A ,

32 8 A várható nyereség kiszámításához gondolatban 40 éven át ismételjük a befektetést: 30-szor S 1 10-szer S 2 következik be, az összprofit várható értéke = 0, , = 1225 ezer Ft. A jós információjának értéke: maximum = 210 ezer Ft. (a) Nem tökéletes információn alapuló döntés. Egy előrejelzéssel foglalkozó cég 115 ezer Ft-ért megmondja, hogy megépül-e a bevásárlóközpont. Legyen Z 1 esemény: a cég azt jelzi, hogy megépül, Z 2 esemény: a cég azt jelzi, hogy nem épül meg (nyilván a kettő közül csak az egyiket mondja a cég) Szükségünk van a feltételes valószínűség fogalmára. Ha A, B események, akkor P (A B) annak a valószínűsége hogy A bekövetkezik, feltéve, hogy tudjuk azt, hogy B bekövetkezett. Ismert, hogy P (B) 0 esetén P (A B) = P (AB) P (B) = A és B együttes bekövetkezésének valószínűsége B valószínűsége amiből P (AB) = P (A B)P (B). Legyen S 1, S 2,..., S n egy teljes eseményrendszer, azaz S 1 + S S n = I,

33 a biztos esemény, és S i S j = O (i j, i, j = 1, 2,..., n) a lehetetlen esemény. Akkor tetszőleges Z eseményre 9 Z = Z I = Z(S 1 + S S n ) = Z S 1 + Z S Z S n P (Z) = P (Z S 1 ) + P (Z S 2 ) + + P (Z S n ). Mivel P (Z S k ) = P (Z S k ) P (S k ), ezért P (Z) = P (Z S 1 ) P (S 1 ) + P (Z S 2 ) P (S 2 ) + + P (Z S n ) P (S n ) = n P (Z S k ) P (S k ). k=1 Ez a teljes valószínűség tétele. Mivel ezért P (S k Z)P (Z) = P (S k Z) = P (Z S k ) = P (Z S k ) P (S k ) P (S k Z) = P (Z S k) P (S k ) P (Z) = P (Z S k) P (S k ) n. P (Z S k ) P (S k ) Utóbbi állítás Bayes tétele. Visszatérve példánkhoz P (S 1 Z 1 ) annak a valószínűsége, hogy felépül a bevásárlóközpont, azon feltétel mellett, hogy a cég is azt jelezte, hogy felépül, P (Z 1 S 1 ) annak a valószínűsége, hogy a cég is azt jelezte, hogy felépül a bevásárlóközpont, azon feltétel mellett, hogy az valóban felépül. Ez a beválási valószínűség, mely azt mutatja, mennyire jó, megbízható a cég. k=1

34 10 Hosszú évek tapasztalata alapján a cégről tudjuk, hogy P (Z 1 S 1 ) = 0, 8 P (Z 2 S 1 ) = 1 0, 8 = 0, 2 P (Z 2 S 2 ) = 0, 9 P (Z 1 S 2 ) = 1 0, 9 = 0, 1 Ez mutatja, hogy a cég jó, 0,8 és 0,9 valószínűséggel ad helyes előrejelzést. P (S i ) P (Z 1 S i ) P (Z 1 S i ) P (S i Z 1 ) S 1 0, 75 0, 8 0, 75 0, 8 = 0, 6 0,6 0,625 = 0, 96 S 2 0, 25 0, 1 0, 25 0, 1 = 0, 025 0,25 0,625 = 0, 04 P (S i ) P (Z 2 S i ) P (Z 2 S i ) P (S i Z 2 ) S 1 0, 75 0, 2 0, 75 0, 2 = 0, 15 0,15 0,375 = 0, 4 S 2 0, 25 0, 9 0, 25 0, 9 = 0, 225 0,225 0,375 = 0, 6

35 A táblázat kitöltésénél az alábbi módon számoltunk: P (S 1 ) = adott, P (S 2 ) = adott 11 P (Z 1 S i ) = adott P (Z 2 S i ) = adott P (Z 1 ) = P (Z 1 S 1 ) + P (Z 1 S 2 ), P (Z 2 ) = P (Z 2 S 1 ) + P (Z 2 S 2 ) P (Z 1 S i ) = P (Z 1 S i ) P (S i ), P (Z 2 S i ) = P (Z 2 S i ) P (S i ) P (S i Z 1 ) = P (Z 1 S i ) P (S i ), P (S i Z 2 ) = P (Z 2 S i ) P (S i ) P (Z 1 ) P (Z 2 ) Várható pénzértékek: E(A 1 Z 1 ) = P (S 1 Z 1 )v 11 + P (S 2 Z 1 )v 21 = 0, , 04 ( 140) = 1338, 4 E(A 2 Z 1 ) = P (S 1 Z 1 )v 12 + P (S 2 Z 1 )v 22 = 0, , = 767, 2 Ha Z 1 bekövetkezett, azaz, ha az volt az előrejelzés, hogy megépül a bevásárlóközpont, akkor döntésünk A 1. Hasonlóan E(A 1 Z 2 ) = P (S 1 Z 2 )v 11 + P (S 2 Z 2 )v 21 = 0, , 6 ( 140) = 476 E(A 2 Z 2 ) = P (S 1 Z 2 )v 12 + P (S 2 Z 2 )v 22 = 0, , = 728

36 12 Ha Z 2 bekövetkezett, azaz, ha az volt az előrejelzés, hogy nem épül meg a bevásárlóközpont, akkor döntésünk A 2. Mennyit ér az előrejelzés? előrejelz. opt.alt. opt.alt. nyeresége P (Z i ) várható Ft nyereség Z 1 A , 4 0, , 5 Z 2 A , Teljes nyereség: 836,5+273=1109,5, ezért maximum 1109,5-1015=94,5 ezer Ft fizethető az előrejelzésért, a cég által kért 115 ezer Ft túl sok, nem érdemes az előrejelzést igénybe venni!

37 3.3 Döntési fák Döntési fák segítségével egy grafikus kiértékelési eljárást kaphatunk. Kiindulásképpen tekintsük a következő döntési problémát. Egy vállalat kétféle új termék kifejlesztésén gondolkodik. Az első alternatíva A 1 egy füst és tűzérzékelő, melynek becsült feljesztési költsége Ft, siker esetén a várható bevételnövekedés Ft és a siker valószínűsége 0,5. A második alternatíva A 2 egy mozgásérzékelő, melynek becsült fejlesztési költsége 10000Ft, siker esetén a várható bevételnövekedés Ft és de most a siker valószínűsége 0,8. Természetesen a vállalat dönthet úgy, (harmadik alternatíva A 3 ) hogy egyik terméket sem fejleszti ki. A döntési fákban háromféle csomópont van: 13 (1) döntési csomópont (jele négyzet) (2) esély csomópont, melyhez valószínűségek tartoznak (jele kör) (3) végpont (jele fekete pont vagy háromszög) A kiindulási csomópontot szokás gyökérnek is nevezni. Innen indulva, és jobbfelé haladva elágazásokat rajzolunk melyek egy körbe vagy négyzetbe futnak be. A körökből kiinduló elágazásokra ráírjuk a megfelelő valószínűségeket, sit. míg el nem jutunk a végpontokhoz. Az előbbi probléma döntési fáját az alábbi ábra mutatja.

38 14 A decision analysis programba a következő adatokat írtuk be:

39 A megoldás menete: először kézzel megrajzoljuk a döntési fát, megszámozzuk a csomópontokat, beírjuk a megfelelő valószínűségeket és kifizetési adatokat. Ezután megnyitjuk a WinQSB Decision Analysis modulját, majd File/ New Problem /Decision Tree Analysis klikkelés után a megnyíló ablakban beírjuk a probléma nevét, és megadjuk a csomópontok számát, majd OK. A megnyíló táblázatba a már megrajzolt döntési fa segítségével bevisszük a csomópontok neveit, elágazásokat beírjuk hogy a csomópont döntési (decision) vagy esély (chance) csomópont, és beírjuk a kifizetési adatokat. Ezután a Solve and Analyse, Draw Decision Tree ablakokra való klikkelés után megnyílik egy ujabb ablak, ahol megadhatjuk a kép nagyságát, a csomópontok nagyságát és a kiírandó adatokat, majd OK-ra klikkelve a program megrajzolja a döntési fát (melyet még csinosíthatunk a display adatok módosításával). Az előző probléma módosítása. Kiderűlt, hogy a füst és tűzérzékelőt csak egy minőségvizsgálat után lehet forgalomba hozni. A minősítés költsége 5000Ft. A minősítés során a termék kaphat kereskedelmi vagy lakossági minősítést, vagy nem felelt meg minősítést. A kereskedelmi minősítés valószínűsége 0,3 és ilyen minősítés esetén Ft bevételnövekedésre számíthat a vállalat. A lakossági minősítés valószínűsége 0,6 és ilyen minősítés esetén Ft bevételnövekedésre számíthat a vállalat, a sikertelen minősítés valószínűsége 1-0,3-0,6=0,1. Az új feladat adatai és a döntési fa: 15

40 16 Az új döntés a mozgásérzékelő kifejlesztése.

41 17 DA uujterm DT 13 Node/Event Node Name or Number Description Node Type (enter D or C) Immediate Following Node (numbers separated by ',') Node Payoff (+ profit, - cost) 1 gyökér d 2,10,13 2 füst és tűzj c 3,4 3 siker d 5, bukás minősítés c 7,8,9 6 nincs minősités kereskedelmi lakossági nem kap min mozgásérzékelő c 11,12 11 siker bukás egyik sem 0 Probability (if available)

42 18 A 3.1 ben tárgyalt befektetés döntési fája:

43 19 Node/Event Number Node Name or Description Node Type (enter D or C) Immediate Following Node (numbers separated by ',') Node Payoff (+ profit, - cost) 1 gyökér d 2,3,4 2 új fióküzlet c 5,6,7,8 3 új szolgáltatás c 9,10,11,12 4 új termék c 13,14,15,16 5 nagyon jó jó közepes rossz nagyon jó jó közepes rossz nagyon jó jó közepes rossz 5.1 Probability (if available)

44 20

45 4. Fogyasztói preferenciák elmélete (ld. Temesvári J.: A döntéselmélet alapjai, 47-63) 4.1 Preferencia relációk Mit jelent a fogyasztó választása? Legyen X egy olyan halmaz amelynek az elemei azok a lehetőségek (javak, szolgáltatások, stb.) amelyekből a fogyasztó választhat. Ha az egyed választani akar, akkor rendelkeznie kell valamiféle olyan véleménnyel az X halmaz elemeiről, amelynek alapján eldöntheti azt, hogy két x, y X elem közül melyiket értékeli többre, magasabbra. Ha pl. x a jobb y-nál, akkor ezt megfelelő sorrendbe írással adhatjuk meg (x, y), x, y X (azaz x legalább úgy értékelt mint y, vagy x is preferred to y). Ennek matematikai megközelítése a relációkhoz vezet el. Az A és B halmazok Descartes -féle A B szorzathalmazán az (a, b), a A, b B rendezett párok halmazát értjük. (a rendezés azt jelenti, hogy az elemek sorrendje lényeges, első az A-beli elem). Az A B szorzathalmaz egy R A B részhalmazát (binér) relációnak nevezzük, jelölése (a, b) R vagy arb, esetleg R helyett valamilyen szimbólumot használunk, pl. a jelet, ami emlékeztet a nagyobb vagy egyenlő jelre, így szuggesztív. Egy R A B reláció értelmezési tartományán és értékkészletén az alábbi halmazokat értjük: D R : = { a A : van olyan b B melyre (a, b) R } R R : = { b B : van olyan a A melyre (a, b) R } Ha A = B = X, és R X X akkor azt mondjuk, hogy R egy reláció X-en. A nálunk fellépő relációknál 1

46 2 D R = D R = X is teljesül. x Ry azt jelenti, hogy x nincs R relációban y-nal. Relációk tulajdonságai. Definíciók. Legyen R egy reláció X-en. Azt mondjuk, hogy R reflexív, ha bármely x X esetén xrx, szimmetrikus, ha bármely x, y X, xry esetén yrx, tranzitív, ha bármely x, y, z X, xry és yrz esetén xrz, teljes, ha bármely x, y X, esetén xry vagy yrx, irreflexív, ha bármely x X esetén x Rx, aszimmetrikus, ha bármely x, y X, xry esetén y Rx, antiszimmetrikus, ha bármely x, y X, xry és yrx esetén x = y. Relációk osztályai. Definíciók. Legyen R egy reláció X-en. A R relációt félig rendezésnek nevezzük, ha reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív, (lineáris) rendezésnek nevezzük, ha félig rendezés és teljes, gyenge rendezésnek (preferenciának) nevezzük, ha reflexív, tranzitív, és teljes, ekvivalencia relációnak nevezzük, ha reflexív, szimmetrikus és tranzitív.

47 Ha R egy ekvivalencia reláció X-en, akkor R az X halmaz egy osztályozását (vagyis X felbontását páronként idegen halmazok egyesítésére) adja meg oz módon, hogy az egymással relációban álló elemek egy osztályba kerülnek. Ez fordítva is igaz, minden osztályozás egy ekvivalencia relációt határoz meg (úgy, hogy az egy osztályban levő elemek állnak relációban egymással). A R reláció által meghatározott osztályok halmazát X/R-vel szokás jelölni. X/R tehát X olyan, páronként idegen részhalmazainak összességét jelöli, melyek egyesítése éppen az X halmaz. Induljunk ki egy tetszőleges relációból X-en. Ennek segítségével négy egymást kizáró eset fogalmazható meg: x y (x y és y x), ekkor x es y-t ekvivalenseknek (indifferenseknek, közömböseknek) nevezzük, másik jelölés xiy, x?y (x y és y x), ekkor x es y-t nem összehasonlíthatóknak nevezzük, másik jelölés xjy, x y (x y és y x), ekkor x szigorúan (erősen) preferált y-hoz képest, másik jelölés xsy. y x (y x és x y), ekkor y szigorúan (erősen) preferált x-hez képest, ez ugyanaz az eset mint az előző, másik jelöléssel ysx. Megjegyezzük, hogy az I relációt szokás szimmetrikus részének is nevezni, S-t pedig aszimmetrikus részének. Így, I és S mindig egy kiinduló relációtól függ, annak függvénye (az esetek többségében ez a függés nem okoz félreértést). A most bevezetett relációkra a tulajdonságok definíciói alapján igazolható, hogy 3

48 4 I (vagy ) reflexív és szimmetrikus, J (vagy?) irreflexív és szimmetrikus, S (vagy ) irreflexív és aszimmetrikus. Érvényes a következő Tétel. Ha gyenge preferencia (rendezés) X-en, akkor I (vagy ) ekvivalencia reláció X-en, nincs indifferencia, azaz a J (vagy?) reláció értelmezési tartománya üres halmaz az S (vagy ) szigorú (erős) preferencia irreflexív, aszimmetrikus, és tranzitív. Racionális viselkedést (döntést) gyenge preferencia határozza meg. Ennek három axiómája közül a reflexivitás természetes (és különben is következik a másik kettőből), ezért a tranzitivitás és teljesség az melyekkel empirikus szempontból foglalkozni kell. Hozható érv mindkét feltételezés mellett és ellenük is. 1. A teljesség azzal kritizálható, hogy túl erős feltevés: nem biztos, hogy a fogyasztó bármely két fogyasztási kosarat össze tud hasonlítani. 2. Marshak (1950) szerint a preferencia tulajdonságait olyan axiómáknak foghatjuk fel, mint a számolás axiómáit. Okfejtése szerint több-kevesebb ember vét a számolási szabályok ellen, de ez nem jelenti azt, hogy az emberek nem fogadják el azokat. Ha figyelmeztetik őket az elkövetett hibára, akkor igyekeznek kijavítani azt. Ugyanez a helyzet a döntéshozatalban is: előfordulhat, hogy a döntéshozók nem tranzitív döntést hoznak. Ha figyelmeztetik őket a

49 tranzitivitás azaz következetességük hiányára, akkor törekednek a döntés megváltoztatására. Ellenvetés: ha az egyedek egy része a tapasztala szerint nem tranzitívan dönt, akkor ezt tényként kell elfogadni, és ennek megfelelően kell a keresletükre számítani. 3. Az emberi viselkedést a tanultság erősen befolyásolja. Ha valaki megtanulja a mikroökonómia alapelveit, akkor öntudatlanul is követni igyekszik azokat, hiszen azok racionalitásáról magyarázatot kapott. 4. A tranzitivitás ellen a legfőbb érv Arrow nevezetes lehetetlenségi tétele röviden szólva azt mondja ki, hogy tranzitív egyedi döntések ésszerű feltételek kikötése mellett nem aggregálhatók tranzitív kollektív döntéssé. Az egyedi fogyasztó, akivel a mikroökonómia számol, valójában nem egy egyed, hanem az egyedek aggregációjának képzelt absztrakt társadalmi fogyasztó. Arrow tétele szerint hiába racionálisak az egyedek, a társadalom, ill. annak kollektív egységei család, rétegek, csoportok stb. nem racionálisak. 5. Az emberi érzékelés tulajdonságai is érveket adhatnak a tranzitivitás ellen. Például képzeljük el, hogy valaki nem tud különbséget tenni (közömbös) lakása fűtésénél a 19 és 20 fok és a 20 és 21 fok között, de jobbnak találja a 21 fokot a 19-nél. Ez azt jelenti, hogy 21 20, 20 19, de 21 19, ami ellentmond a tranzitivitásnak. Ezt a jelenséget küszöb effektusnak (threshold effect) szokás nevezni. 6. Egy érdekes eset melyet Pearce ír le. Képzeljük el, hgy X úr vendégségben vacsorázik, és a végén, a gyümölcs fogásnál az első lépésben egy kis és egy nagy alma közül a kisebbiket választja (mert éhes ugyan, de jólnevelt). A 5

50 6 második kínálásnál egy nagy körte és egy kis alma közül a körtét választja (mert éhes). A harmadik kínálásnál egy nagy alma és nagy körte közül az almát választja (mert azt jobban szereti). Matematikailag: kis alma nagy alma, nagy körte kis alma, nagy alma nagy körte amiből, tranzitivitást feltételezve kis alma nagy alma nagy körte kis alma adódna ami ellentmondás. Itt, különböző körülmények között a döntés különböző motívációja erősödik meg. 4.2 Értékelő függvények Definíció. Legyen egy gyenge preferencia (rendezés) X-en és R legyen a valós számok halmaza. Az u : X R függvényt a reláció értékelő függvényének (a közgazdaságtanban a hasznossági függvény elnevezés hsználatos) nevezzük, ha a következő állítások valamelyike teljesül: x y u(x) u(y), (1) x y u(x) > u(y), x y u(x) = u(y). (2) Belátjuk, hogy (1) és (2) ekvivalensek. (1) (2). A következő ekvivalenciák alapján adódik (2) első fele: x y (x y és y x) (u(x) u(y) és u(y) u(x)) u(x) u(y).

51 (2) második fele hasonlóan jön: x y (x y és y x) (u(x) u(y) és u(y) u(x)) u(x) = u(y). 7 (2) (1). A következő ekvivalenciasorozat adja az (1) állítást: x y (x y és x y) (u(x) > u(y) és u(x) = u(y)) u(x) u(y). Nyilvánvalóan igaz a következő Tétel. (értékelő függvények monoton transzformációi) Legyen egy gyenge preferencia (rendezés) X-en, u : X R legyen egy értékelő függvénye és φ : R R egy szigorúan monoton növekedő függvény. Akkor is egy értékelő függvény. v(x) := φ(u(x)) (x X) Ez a tétel lehetőséget ad az értékelő függvény kalibrálására, arra hogy olyan értékelő függvényt adjunk meg melynek értékei egy adott intervallumba pl. a [0, 1]-be esnek. 4.3 Egzisztencia tételek értékelő függvényekre Példa gyenge preferenciára melynek nincs értékelő függvénye. Vegyük az X = R 2 síkon az alábbi relációt (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (x 1 > x 2 vagy x 1 = x 2 es y 1 y 2 ).

52 8 Ez az un. lexikográfikus rendezés gyenge preferencia, melynek nincs értékelő függvénye. Bizonyítás. Egyszerűen belátható, hogy gyenge preferencia. Indirekt úton igazoljuk, hogy nincs értékelő függvény. Tegyük fel, hogy van egy u : R 2 R értékelő függvény, és vegyünk két síkbeli (x, 2), (x, 1) elemet. Ekkor (x, 2) (x, 1), mert (x, 2) (x, 1) (x, 1) (x, 2), így u(x, 2) > u(x, 1). Rendeljük hozzá minden valós x számhoz az [u(x, 1), u(x, 2)] zárt intervallumot, azaz legyen f(x) = [u(x, 1), u(x, 2)] Ha x 1 > x 2 akkor u(x 1, 1) > u(x 2, 2), így (x R). u(x 2, 1) < u(x 2, 2) < u(x 1, 1) < u(x 1, 2) miatt, az f(x 1 ) es f(x 2 ) intervallumok idegenek. Ezért f egy kölcsönösen egyértelmű leképezése a valós számok halmazának diszjunkt, valósi zárt intervallumok egy rendszerére. Mivel az ilyen intervallumok halmaza megszámlálhatóan végtelen, a valós számok halmaza pedig kontinuum számosságú, így ellentmondást kaptunk, ami bizonyítja állításunkat. Tétel. (értékelő függvény létezése) Legyen egy gyenge preferencia (rendezés) X-en, és tegyük fel, hogy az X/ indifferencia osztályok halmaza megszámlálható. Akkor van -nek értékelő függvénye. Tétel. (értékelő függvény létezése) Legyen egy folytonos gyenge preferencia (rendezés) az X topológikus

53 téren (mely eleget tesz a második megszámlálhatósági axiómának: van megszámlálható bázisa a térnek), akkor -nek létezik értékelő függvénye. 9 Megjegyzés. Az relációt folytonosnak nevezzük az X topológikus téren, ha bármely x X esetén a { y X : x y }, { y X : y x } halmazok zártak. Tétel. (értékelő függvény létezése) Legyen egy folytonos gyenge preferencia (rendezés) az X összefüggő és szeparábilis topológikus téren, akkor -nek létezik értékelő függvénye. Megjegyzés. Az X topológikus teret összefüggőnek nevezzük ha X nem bontható fel két diszjunkt, nyílt, nemüres halmaz uniójára. Az X topológikus teret szeparábilisnek nevezzük ha van megszámlálhtó mindenütt sűrű részhalmaza. Példa értékelő függvényre. Az X = R 2 síkon legyen (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) 0, 4x 1 + 0, 6y 1 0, 4x 2 + 0, 6y 2. Ez egy gyenge preferencia, melynél a közömbösségi osztályok { (x 1, y 1 ) R 2 : 0, 4x 1 + 0, 6y 1 = x } (x R) alakúak ahol x R tetszőleges valós szám. Ezek halmaza most kontinuum, de van értékelő függvény, mert mindkét

54 10 előző tétel feltételei teljesülnek. Egy értékelő függvény a következőé u(x 1, y 1 ) = 0, 4x 1 + 0, 6y 1. Jóval nehezebb igazolni folytonos értékelő függvény létezését. Erre vonatkozóan hasonló eredmény igaz. Tétel. (Debreu tétele) Második megszámlálhatósági axiómának elegettevő topológikus téren tetszőleges folytonos preferenciának van folytonos értékelő függvénye. Megjegyzés. Egy u : X R függvényt folytonosnak nevezünk az X topológikus téren, ha bármely R-beli G nyílt halmaz inverz képe nyílt. u 1 (G) := { x X : u(x) G } Tétel. (Eilenberg-Debreu tétele) Összefüggő, szeparábilis topológikus téren tetszőleges folytonos preferenciának van folytonos értékelő függvénye.

55 5. Analytic Hierarchy Process (AHP) (ld. Temesvári J.: A döntéselmélet alapjai, ) (Rapcsák T.: Többszempontú döntési problémák I. ld. I.Tobbsz-dont-modsz.pdf) 5.1 Bevezetés Az AHP-t Thomas Saaty fejlesztette ki 1980-ban. Az erre épülő szoftver az Expert Choice, melynek jelenleg az EC 11.5-ös változata a legfrissebb. A szoftver letölthető a honlapról a 15 napig működő demo változathoz is ott lehet kódot kérni. Az AHP többszempontú döntési problémák megoldására alkalmas eljárás, ami lehetővé teszi a döntési feladatok logikus rendszerbe foglalását. A döntési feladatok megoldásának első lépése a döntési feladat felépítése, ami a cél megfogalmazásából, az alternatívák kiválasztásából és a szempontok meghatározásából áll. Az AHP-ben a döntési probléma az áttekinthetőség érdekében egy többszintű fastruktúraként van ábrázolva, amelynek legfelső szintjén a cél, az alatta levő szinteken a szempontok, az alszempontok stb., a legalsó szinten pedig az alternatívák helyezkednek el. A legalacsonyabb szinten levő szempontokat levélszempontoknak nevezzük. Az AHP döntési modellek szerkezetét mutatja az alábbi ábra. 1

56 2 Látható, hogy az EC modellekben a grafikus ábrázolásában az alternatívák nincsenek megkülönböztetve a szempontoktól. Az egyedüli különbség az, hogy az alternatívák helyezkednek el a szempontfa legalsó szintjén. Az EC által kezelt fák legfeljebb 5 szint mélységűek, és egy szempontnak legfeljebb 9 alszempontja lehet, így - mivel az utolsó szinten az alternatívák vannak - elvileg 7380 = ( ) szempont kezelhető; ezekből 9 4 = 6561 levélszempont. Az ARP döntési modellekben a cél mindig az adott alternatívák rangsorának a meghatározása. Mivel az értékelési szempontok fastrukúrába vannak rendezve, ezért a szempontok közötti összefüggéseket is figyelembe lehet venni. Az alternatívák szempontok szerinti értékelése alapulhat névleges, rangsor, intervallum és arányossági (hányados) skálán megadott értékeken.

57 A döntési feladat megoldása a különböző AHP modellekben a következő lépésekből áll: 1. a szempontok súlyainak a meghatározása; 2. az alternatívák kiértékelése a megadott szempontok szerint; 3. a súlyozás és az értékelések összegzése. 5.2 Páros összehasonlítás Az AHP döntési problémák megoldásának az egyik alapeszköze a páros (páronkénti) összehasonlítás, amit a szempontok súlyozására és az alternatívák egyes szempontok szerinti értékelésére egyaránt alkalmaznak. A páros összehasonlítás mátrix általános esetben a következő, ahol a p i (i = 1,..., n) súlyok tetszőleges, pozitív valós számok. Itt a páros összehasonlítás mátrixát az A 1, A 2,..., A n alternatívákra írjuk fel. A 1 A 2 A n A 1 p 1 /p 1 p 1 /p 2 p 1 /p n A 2. p 2 /p 1. p 2 /p 2.. p 2 /p n. A n p n /p 1 p n /p 2 p n /p n Itt az a ij = p i /p j hányados azt mutatja, hogy az A i alternatíva hányszor jobb, előnyösebb az A j alternatívánál. Azt is mondhatjuk, hogy a p i > 0 szám az A i alternatíva súlya. Ha 3 p 1 /p 1 p 1 /p 2 p 1 /p n A = p 2 /p 1 p 2 /p 2 p 2 /p n.... p n /p 1 p n /p 2 p n /p n Rn n, p = p 1 p 2. p n Rn

58 4 az összehasonlítás mátrixa és a súlyok vektora, akkor látható, hogy Ap = np vagyis n az A mátrix sajátértéke és a hozzá tartozó sajátvektor éppen a súlyvektor. Az A mátrix rangja 1, ennek segítségével igazolható, hogy A-nak csak egy nemzérus sajátértéke van. Igazolható, hogy minden páros összehasonlítási mátrixnak két sajátértéke van, n, melynek multiplicitása 1 és a hozzá tartozó sajátvektor a p súlyvektor, a másik sajátérték 0, melynek multiplicitása n 1 és a hozzá tartozó lineárisan független sajátvektorok (p 1, 0, 0,..., 0), (0, p 2, 0,..., 0),..., (0, 0, 0,..., p n 1, 0). A páros összehasonlítási mátrixok a ij elemeire teljesül az, hogy a ij = 1 a ji mivel a ij = a ik a kj mivel p i p j = 1 p j p i p i p j = p i p k p k p j Definició. Az A = (a ij ) R n n pozitív elemű a ij > 0 mátrixot reciprok mátrixnak nevezzük, ha a ij = 1 a ji (i, j = 1,..., n). (1) Definició. Az A = (a ij ) R n n mátrixot konzisztens mátrixnak nevezzük, ha a ij = a ik a kj (i, k, j = 1,..., n). (2) A (2) egyenlet azt jelenti, hogy bármely rögzített i, k indexekre egy konzisztens A mátrix i-edik sorának elemei a k-adik sor elemeinek konstansszorosai (a konstans a ik függ az i, k indexektől). Világos, hogy minden páros összehasonlítási mátrix

59 pozitív (elemű) és konzisztens, és fordítva, minden pozitív (elemű) konzisztens mátrix páros összehasonlítási mátrix. A megfordítás igazolásához legyen A = (a ij ) pozitív (elemű) konzisztens, akkor (2)-ből j = k = i-vel következik, hogy a ii = a ii a ii, azaz a ii (1 a ii ) = 0 azaz a ii = 1 vagy [a ii = 0]. (3) Továbbá j = i-vel 1 = a ii = a ik a ki, azaz a ik = 1 a ki (4) azaz pozitív konzisztens mátrix reciprok. Átjelölve A első oszlopának elemeit 1, P 2, P 3,..., P n -nel (4) miatt az első sor elemei rendre 1, 1/P 2, 1/P 3,..., 1/P n amiből a (3) tulajdonság miatt az első, második, harmadik, stb. n-edik sor elemei úgy kaphatók, hogy az első sor minden elemét rendre megszorozzuk az 1, P 2, P 3,..., P n számokkal így az A mátrix 1 1/P 2 1/P 3 1/P n P 2 1 P 2 /P 3 P 2 /P n P 3 P 3 /P 2 1 P 3 /P n..... P n P n /P 2 P n /P 3 1 végül P i = p i /p 1 (i = 1,..., n)-nel kapjuk hogy A elemei a ij = p i /p j alakúak, amint azt állítottuk. Láttuk, hogy ha egy pozitív mátrix konzisztens, akkor bármely sora egy tetszőleges másik sorának pozitív konstansszorosa. Egyuttal az is adódik, hogy konzisztens mátrix rangja 1. 5

60 6 De abból, hogy egy mátrix rangja 1 következik az, hogy a mátrix konzisztens. Ellenpélda a ( ) melynek rangja 1, de nem konzisztens mivel a 22 = 4 1. Igazolhatók a következő tételek. Tétel. Egy pozitív reciprok mátrix akkor és csak akkor konzisztens, ha λ max = n. Tétel. Ha egy pozitív mátrix konzisztens, akkor bármely sora egy tetszőleges másik sorának pozitív konstansszorosa. 5.3 Példa a páros összehasonlításra A páros összehasonlítás mátrixból az egyes alternatívák fontosságát úgy kapjuk, hogy meghatározzuk a sajátvektort. Ha mért értékek vannak, akkor a páros összehasonlítás mátrix és a legnagyobb sajátértékhez tartozó sajátvektor természetesen adódik. Ennek illusztrálására tegyük fel, hogy 5 ezüst tömb ünk van, amiből az első, A 1 súlya p 1 = 5kg, a második, A 2 súlya p 2 = 1kg, a harmadik, A 3 súlya p 3 = 10kg, a negyedik, A 4 súlya p 4 = 2kg, és az ötödik, A 5 súlya p 5 = 15kg. Az összsúly 33 kg, ami az egyes darabok között a következőképpen oszlik el: A 1 : 5/33 = 0.15; A 2 : 1/33 = 0.03; A 3 : 10/33 = 0.30; A 4 : 2/33 = 0.06; A 5 : 15/33 = A vizsgált példában a páros összehasonlítás mátrix a következő: Ezüst tömbök páros összehasonlítás mátrixa

61 7 A sajátértékegyenlet A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 1 5/5 5/1 5/10 5/2 5/15 A 2 1/5 1/1 1/10 1/2 1/15 A 3 10/5 10/1 10/10 10/2 10/15 A 4 2/5 2/1 2/10 2/2 2/15 A 5 15/5 15/1 15/10 15/2 15/15 A λe = λ λ λ λ λ = 0 Az utolsó oszlopot az összes előzőből kivonva, kiemelve a sorokból öt kapjuk, hogy A λe = = 5λ λ λ λ 2 15λ 15λ 15λ 15λ 15 15λ λ λ λ λ 1 λ λ λ λ 1 λ.

62 8 Az első, második, harmadik, negyedik sort az utolsóhoz hozzáadva kapjuk, hogy egyenletünk λ λ λ 0 1 = λ λ A determinánst kifejtve kapjuk, hogy λ 4 (5 λ) = 0 amiből λ = 0 vagy λ = 5 a két sajátérték (λ = 0 multiplicitása 4, λ = 5 multiplicitása 1). A λ = 5 sajátértékhez tartozó sajátvektorok egyenlete (A 5E)x = 0, Ax = 5x (x R 5 ) vagy részletesen, az egyenleteket az együtthatók legkisebb közös többszörösével, 30-cal megszorozva 30x x 2 +15x 3 +75x 4 +10x 5 = 150x 1 6x 1 +30x 2 +3x 3 +15x 4 +2x 5 = 150x 2 60x x 2 +30x x 4 +20x 5 = 150x 3 12x 1 +60x 2 +6x 3 +30x 4 +4x 5 = 150x 4 90x x 2 +45x x 4 +30x 5 = 150x 5 Mivel a baloldalak mindegyike a második egyenlet baloldalának többszörösei (az arányossági tényezők, 5, 10, 2, 15 így a jobboldali kifejezések is arányosak, innen x 1 = 5x 2, x 3 = 10x 2, x 4 = 2x 2, x 5 = 15x 2

63 azaz a sajátvektorok x 1 x 2 x = x 3 x 4 = x 5 5x 2 x 2 10x 2 2x 2 15x 2 = x Ha x 2 = 1 akkor a sajátvektor koordinátái éppen a súlyokat adják, más x 2 0 mellett a sajátvektor koordinátái a súlyarányokat adják. 5.4 Az AHP módszer A döntéshozatal során a döntéshozó a döntési feladat szempont súlyainak meghatározására és az alternatívák minden egyes levélszempont szerinti kiértékelésére megadja a páros összehasonlítás mátrixokat. A páros összehasonlítás intervallum-skálája az AHP módszertanban a következő: 1. egyformán fontos / előnyös; 3. mérsékelten fontosabb / előnyösebb; 5. sokkal fontosabb / előnyösebb; 7. nagyon sokkal fontosabb / előnyösebb; 9. rendkívüli mértékben fontosabb / előnyösebb. A páros összehasonlításnál felhasználhatjuk a 2, 4, 6, 8 közbenső értékeket is. A döntési feladatok megoldása során keletkező tapasztalati páros összehasonlítás mátrixok sok esetben nem konzisztensek, ezért erre a mátrix osztályra is ki kell terjeszteni a páros összehasonlítás módszert. A páros összehasonlítás mátrixok elemei pozitívak, így ez a mátrixosztály részosztálya a pozitív elemű mátrixoknak. Perron 1907-ben az alábbi alapvető állítást bizonyította.