MODERN KÖNYVVITELTAN III.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MODERN KÖNYVVITELTAN III."

Átírás

1 Gulyás Istvá ODERN KÖNYVVITELTAN III. A moder speciális és az általáos -szeres ( 3) köyvvitelek, köztük az -szeres speciális vagyoköyvvitel elméletéek elemei és axiomatikus redszere (Az elméleti köyvvitel alapjai) 20 Kiadó: GIN Professioal Kft; 63-H. Budapest, Edit u. 5. Szerzı: Gulyás Istvá közgazdász. ; mailto:gulyas@giprofessioal.hu Budapest, 20. december 5.; második kiadás. Istvá Gulyás The axiomatic system of the N-fold (N>=3) bookkeepig by scietific work is licesed uder a Creative Commos Nevezd meg!-ne add el!-ne változtasd! 2.0 UK: Aglia és Wales Licec. Based o a work at Permissios beyod the scope of this licese may be available at

2 2 Gulyás Istvá közgazdász Született: é (A képe a szerzı látható 2009-be)

3 3 Gulyás Istvá ODERN KÖNYVVITELTAN III. A moder speciális és az általáos -szeres ( 3) köyvvitelek, köztük az -szeres speciális vagyoköyvvitel elméletéek elemei és axiomatikus redszere (Az elméleti köyvvitel alapjai) 20 ISBN yomtatott ISBN olie ISBN CD

4 4 A dolgok, új ézıpotból, meglepıe másak mutatkozhatak, mit amilyeek valaha megismertük ıket. S ez áll a köyvvitelre is. Gulyás Istvá

5 5 TARTALOJEGYZÉK ELİSZÓ... AZ ELÉLETI KÖNYVVITEL ALAPJAI... 6 AZ N-SZERES (N 3) KÖNYVVITEL ELÉLETÉNEK ELEEI ÉS AXIOATIKUS RENDSZERE A KÖNYVVITEL VAGYONELÉLETÉNEK ELEEI Pricípiumok Defiíciók Az általáos köyvvitel elméletéek fogalmai Az vagyoköyvvitel vagyoelméletéek fogalmai Axiómák A vagyo és más kroologikus halmazok axiómái Az adósság axiómái Gazdasági és általáos eseméy-axiómák A vagyoelmélet tételei és bizoyításuk Attribútum-osztályozások és az osztályaik tulajdosága Tétel: A t. idıpotba (,2,...) létezı bruttóvagyo, illetve aak bármely eszközaspektusú statikus vagyoosztályába lévı része meyiségét és pézértékét (vagy más jellemzıje mértékét) csak pozitív számmal fejezhetjük ki (formulával: V>0, avagy másképp jelölve: V BR = J i >0, ahol J i >0 a külöbözı fajta javak egy eszközaspektusú, statikus, em üres végsı osztályáak részösszege, mide i-re - a t idıpotba) (T ) Tétel: Ha a t. idıpotba (,2,...) a gazdálkodóak va adóssága (idege vagyoa), akkor aak a bruttóvagyo forrásaspektusú statikus relatív alaposztályába, az idegevagyo osztályba, illetve aak bármely alosztályába lévı meyiségét és pézértékét (vagy más jellemzıje mértékét) csak pozitív számmal fejezhetjük ki (A=A +A 2 + +Aj+ +A N >0, ahol A j >0, a külöbözı fajta adósságok egy végsı statikus osztályáak részösszege, mide j-re) (T 2 ) Tétel. Lemma: A gazdálkodó vagyoáak agyságát jelölje V, adósságáak elıbbivel azoos mértékegységbe kifejezett agyságát jelölje A. Ekkor a V-A külöbség a t. idıpotba (,2,...) lehet agyobb vagy kisebb, mit ulla, vagy egyelı ullával, azaz: V-A 0 (T 3 ) Tétel: A t. idıpotba (,2,...) adott ettó vagyo mértéke, mit a em egatív bruttóvagyo forrásaspektusú relatív alaposztályáak fıösszege bármilye elıjelő szám lehet (V NE 0) (T 4 ) Tétel: A t. idıpotba (,2,...) a em egatív bruttóvagyo forrásaspektusú felosztásával keletkezı két statikus alosztály közül a saját vagyoosztály fıösszege bármilye elıjelő szám lehet (V S 0) a bruttóvagyo és az idegevagyo agysága függvéyébe, az idege vagyoosztály fıösszege pedig csak em-egatív szám (V I 0) lehet, miközbe V S +V I 0 (T 5 ) Tétel: A t. idıpotba (,2, ) a ettó vagyo iduló, ill. jegyzett tıke evő forrásaspektusú statikus végsı osztályába tartozó tıke összege (T) csak pozitív szám lehet. (T>0) (T 6 ) Tétel: A t. idıpotba (,2,...) a ettó vagyo tıketartalék evő statikus osztályához tartozó részösszeg (T R ) csak ulla vagy ulláál agyobb szám lehet. (T R 0) (T 7 ) Corollárium: E tételbıl yilvávaló, hogy a T R >0 tıketartalékot tartalmazó forrás aspektusú statikus vagyoosztály közbülsı és végsı osztályaiak fı- illetve részösszegei is pozitív számok. Képlettel: T R =T R +T R2 + =(T R + +T Ri + )+(T R2 + +T R2j + )+ >0, ahol T Ri,T R2j >0 a külöbözı fajta tıketartalékok egy-egy végsı statikus osztályáak részösszegei, mide i-re és j-re Tétel: A t. idıpotba (,2,...) a ettó vagyo statikus halmozott eredméyosztályáak statikus halmozott hozamalosztályához tartozó részösszeget, mit a t. idıpotba létezı halmozott hozam meyiségét és pézértékét (vagy más jellemzıje mértékét) csak pozitív számmal fejezhetjük ki (H>0) (T 8 ) Corollárium: E tételbıl yilvávaló, hogy a H>0 hozamot tartalmazó forrás aspektusú em üres statikus vagyoosztály közbülsı és végsı osztályaiak fı- illetve részösszegei is pozitív számok. Képlettel: H=H +H 2 + =(H + +H i + )+(H 2 + +H 2j + )+ >0, ahol H i,h 2j >0 a külöbözı fajta hozamok egy-egy em üres végsı statikus osztályáak részösszegei Tétel: A t. idıpotba (,2,...) a ettó vagyo statikus eredméyosztályáak statikus ráfordítás (költség) evő alosztályához tartozó részösszeget, mit a t. idıpotba létezı ráfordítás (költség) meyiségét és pézértékét (vagy más jellemzıje mértékét) csak egatív számmal fejezhetjük ki (R<0) (T 9 ) Corollárium: E tételbıl yilvávaló, hogy a R<0 ráfordítást tartalmazó forrás aspektusú statikus em üres vagyoosztály közbülsı és végsı osztályaiak fı- illetve részösszegei is egatív számok. Képlettel: R=R +R 2 + =(R + +R i + )+(R 2 + +R 2j + )+ <0, ahol R i,r 2j <0 a külöbözı fajta ráfordítások egy-egy végsı statikus em üres osztályáak részösszegei, mide i-re és j-re (T 9 /C) Tétel: Ha a t. idıpotba (,2,...,) a halmozott ill. a folyóidıszaki hozam kisebb, mit a vele egyemő halmozott ill. folyóidıszaki ráfordítás abszolút értéke, akkor a t. idıpotba létezı halmozott ill. folyóidıszaki

6 6 bruttó eredméy eve veszteség (E<0), ha agyobb, akkor yereség (E>0) - értelemszerőe midkettı halmozott ill. folyóidıszaki (T 0 ) Corollárium: E tételbıl yilvávaló, hogy a t. idıpotba (,2,...,) a halmozott ill. a folyóidıszaki eredméy (E) bármely elıjelő szám lehet (E 0) (T 0 /C) Tétel: A bruttóvagyo vagy valamely része eszköz vagy forrás aspektus szeriti statikus vagyoosztályához a t. idıpotba (,2,...) tartozó fı- ill. részösszeg egyelı e vagyot (illetve vagyorészt) eredméyezı (0;t] idıitervallumbeli vagyováltozások idıosztályaihoz tartozó részösszegek összegével, amely csak em egatív szám lehet, kivéve a sajátvagyo- és az eredméyosztály részösszegét, mely bármilye elıjelő szám, valamit a ráfordításosztály részösszegét, amely csak em pozitív szám lehet (T ). 39 Corollárium : E tételbıl yilvávaló, hogy bármilye aspektusú statikus vagyoosztályozás valamely osztályáak fı- ill. részösszege bármilye elıjelő szám lehet, ha az elemei azoosak a sajátvagyo- vagy az eredméyosztály elemeivel, ha pedig a ráfordításosztály elemeivel azoosak, akkor csak em pozitív szám lehet. Ha viszot a statikus vagyoosztályozás eszközjellegő vagy forrásjellegő, de azo belül az idegevagyo osztály (vagy aak bármely alosztálya) elemeivel azoosak a vagyoosztály elemei, akkor aak fı- ill. részösszege csak em egatív szám lehet Corollárium 2: E tételbıl yilvávaló, hogy ha a (0;] idıitervallum V t idıosztályaihoz (,2,...,) tartozó I(t,V t ) részösszegekbıl egyértelmőe következik az -ik idıpothoz tartozó O statikus vagyoosztály V(t,O ) értéke, de V(t,O ) értékébıl em következik egyértelmőe az egyes I(t,V t )-k értéke. Ám ez az összefüggés igaz V(t,O )-ra és statikus alosztályaiak részösszegeire is Tétel. Lemma: Ha a idıpotba valamely statikus vagyoosztály fı- vagy részösszege em egatív (avagy em pozitív), akkor az osztályba tartozó vagyot (vagyohiáyt) eredméyezı (0,] idıitervallumbeli vagyováltozások elsı t (,2,..,) idıosztályához tartozó részösszegek összege is az (T 2.L.)... 4 Corollárium: E tételbıl yilvávaló, hogy ha valamely kumulált részösszegő vagyoosztályozás egyik részösszege em egatív (vagy em pozitív) akkor a többi részösszege is az (T 2 /C) Tétel: Ha a t. idıpotba (,2,..) valamely statikus vagyoosztály fı- illetve részösszege em ulla, akkor a statikus vagyoosztály em üres (T 3 ) Tétel: A idıpotba (t,=,2, ) létezı, em egatív agyságú bruttóvagyot, vagy aak valamely statikus osztályába lévı em egatív agyságú részét eredméyezı (0;] idıitervallumbeli vagyováltozások osztályozás bármely I(t) részösszege, ha t, lehet agyobb, mit ulla, vagy egyelı ullával. íg ha 2 t, akkor bármely I(t) részösszeg lehet kisebb ulláál, feltéve, hogy abszolút értéke em agyobb, mit az elsı t- részösszeg összege (T 4 ) Corollárium: E tételbıl yilvávaló, hogy ha a idıpotba em pozitív részösszegő statikus vagyoosztályt eredméyezı (0,] idıitervallumbeli vagyováltozások idıaspektusú vagyoosztályozásáak bármely I(t) részösszege ( t ) lehet kisebb, mit ulla, vagy egyelı ullával. íg ha 2 t, akkor bármely I(t) részösszeg lehet agyobb ulláál, feltéve, hogy értéke em agyobb, mit az elsı t- részösszeg összegéek abszolút értéke (T 4 /C) Tétel: A magára hagyott vagyoal vagy részével összefüggı saját vagyo(rész) meyisége/értéke az idı múlásával - mitegy automatikusa - tart a míusz végtelehez (T 5 ) Corollárium: A gazdálkodó ayagi helyzete és aak mide téyezıje a gazdálkodás abbahagyása eseté is idıbe változik (T 5 /C) A vagyo szerkezeti törvéyei és a vagyoosztályozási redszerek v 6. Tétel: S A z = x x= S A µ 2 = = y y= S A 0, azaz: ha a (0,t] idıitervallumbeli bruttóvagyováltozások alaposztályát és/vagy aak t. idıpotbeli (,2, ) egyelegosztályát -féleképpe ( 2), azaz ω ω= tetszıleges, de külöbözı A,A 2,..,A vagyoaspektus szerit osztályozzuk, vagy egy A + aspektusú vagyoosztályozásával kiegészítjük, akkor e vagyoosztályozási redszer osztályozásaiak szerkezete külöbözı, míg az egymással azoos dimeziójú fıösszegei mid egyelık (T 6 ) Corollárium : J i =V S +V I 0, vagyis: ha a (0,t] idıitervallumbeli bruttóvagyo-változások t. idıpotbeli egyelegeiek (azaz a vagyo tárgyaiak) halmazát eszköz- és forrás-, azaz két külöbözı aspektus szerit osztályozzuk, akkor e vagyoosztályozási redszer osztályozásaiak szerkezete eltérı, de az azoos mértékegységbe kifejezett két fıösszeg egyelı (T 6 /C ) Corollárium 2: I(t)= J i =V S +V I 0, vagyis: ha a (0,t] idıitervallumbeli bruttóvagyo-változások halmaza idı és a t. idıpotbeli egyelegeik (azaz a vagyo tárgyaiak) halmaza eszköz-forrás, azaz együtt három külöbözı aspektus szerit osztályozott, akkor e diamikus és statikus vagyoosztályozási redszer osztályozásaiak szerkezete eltérı, de az azoos mértékegységbe kifejezett három fıösszeg egyelı (T 6 /C 2 ) Corollárium 3: I =E =F = =X 0., azaz: ha a (0,] idıitervallumbeli bruttóvagyo-változások halmaza idı és a. idıpotbeli egyelegeik (azaz a vagyo tárgyaiak) halmaza eszköz- és forrásaspektust meghaladó, együtt N külöbözı (N 3 és egész) aspektus szerit osztályozott, akkor e diamikus és statikus

7 7 vagyoosztályozásokból álló vagyoosztályozási redszerhez N külöbözı osztályozási szerkezet tartozik, de az azoos mértékegységbe kifejezett fıösszegek mid egyelık (T 6 /C 3 ) Tétel: J i (t)= V S (t)+v I (t) 0, azaz a bruttóvagyo IE-IF-aspektusú diamikus vagyoosztályozási redszeréek a,2,, idıpotokhoz tartozó azoos dimeziójú E-F-aspektusú fıösszegei és ezek idıpotig számított összegei egyelık (T 7 ) Corollárium: A bruttóvagyo tetszıleges két külöbözı aspektusú diamikus vagyoosztályozásáak,2,.., idıpotjához tartozó azoos dimeziójú fıösszegei és ezek idıpotra számított összegei egyelık Tétel: I(t)= J i (t)= V S (t)+v I (t) 0, azaz a bruttóvagyo I-IE-IF aspektusú diamikus vagyoosztályozási redszeréek a,2,, idıpotokhoz tartozó azoos dimeziójú E-F aspektusú fıösszegei és az I(t) idıosztályok, valamit ezek idıpotra összesített összegei egyelık (T 8 ) Corollárium : A bruttóvagyo idıaspektusú vagyoosztályozásáak valamely t. idıpotjához (,2,..,) tartozó részösszege egyelı e vagyo bármely másik, idı- és valamely más aspektus szeriti vagyoosztályozásáak ugyaeze t. idıpothoz tartozó azoos dimeziójú fıösszegével (T 8 /C ) Corollárium 2: A bruttóvagyo bármely összetett diamikus vagyoosztályozási redszeréek mide t. idıosztályához (,2,..,) tartozó részösszege és ezek összegei egyelık (T 8 /C 2 ) A gazdasági eseméyek és a vagyoosztályozási redszerek kapcsolata Tétel: Bármely és bármeyi gazdálkodóspecifikus gazdasági eseméy bekövetkezte a bruttóvagyo I-E-F aspektusú diamikus és statikus szerkezeti törvéyéek érvéyességét em befolyásolja, oha ekkor a gazdasági eseméykoordiátákak megfelelı végsı vagyoosztályokhoz tartozó részösszegek, a gazdasági eseméy jellegéek megfelelıe, megváltozak Corollárium : Bármely vagyoosztályozás (abszolút vagy relatív) fıösszege kovariás (együttváltozó) részösszegéek gazdasági eseméy kapcsá bekövetkezı övekedésére vagy csökkeésére, míg ivariás (em együttváltozó) két részösszegéek kompezációs (elletétes elıjelő, de azoos agyságú) változására ézve (T 9 /C Corollárium 2: Bármely vagyoosztályozás részösszege ivariás (em együttváltozó) e vagyoosztályozás gazdasági eseméy kapcsá megváltozó részösszegére vagy részösszegeire ézve Tétel: Bármely és bármeyi gazdálkodóspecifikus gazdasági eseméy bekövetkezte a bruttóvagyo I-IE- IF aspektusú diamikus szerkezeti törvéyéek érvéyességét em befolyásolja, oha ekkor a gazdasági eseméykoordiátákak megfelelı végsı vagyoosztályokhoz tartozó részösszegek a gazdasági eseméy jellegéek megfelelıe megváltozak Corollárium : A gazdálkodó ayagi helyzete és aak mide téyezıje a gazdálkodóspecifikus gazdasági eseméyek kapcsá idıbe változik Corollárium 2: Az I=E=F 0 formulával reprezetált vagyoosztályozási redszer osztályozásai egymástól függetleek a csak szerkezeti vagyováltozások tekitetébe Corollárium 3: Az I=E=F 0 formulával reprezetált 3 aspektusú vagyoosztályozási redszerbe, karakterisztikájáak megfelelıe, vagyoövekedés vagy csökkeés eseté midig 3 az I és az E és az F aspektusú vagyoosztályozáshoz tartozó egy-egy, míg csak szerkezetváltozás eseté midig 2 vagy csak az I, vagy csak az E, vagy csak az F aspektusú osztályozáshoz tartozó részösszeg változik meg Corollárium 4: Az I=E=F= =X 0 formulával reprezetált N aspektusú (N 3 és egész) vagyoosztályozási redszerbe, karakterisztikájáak megfelelıe, vagyoövekedés vagy csökkeés eseté midig N de osztályozásokét csak egy, míg csak szerkezetváltozás eseté, ha midegyik osztályozás függetle a többitıl, midig csak az egyik osztályozáshoz tartozó 2 részösszeg változik meg. Ha a redszerbe va még em függetle K ( K N-3 és egész) vagyoosztályozás is, akkor összese legfeljebb 2K+2 részösszeg változik meg K+ osztályozásba Corollárium 5: Elvoatkoztatva az idıaspektustól, az E=F 0 formulával reprezetált vagyoosztályozási redszerbe, karakterisztikájáak megfelelıe, bármely gazdasági eseméy kapcsá midig csak 2, E és/vagy F vagyoosztályhoz tartozó részösszeg változik meg bárhogya is változik a vagyo Corollárium 6: Az I=E=F= =0 formulával reprezetált explicite N-szeres (N 3 és egész) vagy az IE=IF= =0 formulával reprezetált implicite N-szeres (N 2) vagyoosztályozási redszer szerkezeti törvéye érvéyes lesz a vagyo és adósság élkül kezdı (V BR =0 és V I =0), valamit a csak adóssággal redelkezı (V BR =0 és V I =A>0 és V S = -A<0, és F=V S +V I =0) gazdálkodó eseté, bármely és bármeyi gazdálkodóspecifikus gazdasági eseméy következik be A természetes vagyoosztályozás törvéye és a természetes vagyoosztályok Corollárium 7: A t. idıpotokba (,2,,) bekövetkezı g i (t) [,2,,] gazdálkodóspecifikus gazdasági eseméyek fokozatosa - természetes kroológia szerit felépítik és mide t. idıpotba egyértelmőe meghatározzák a gazdálkodó vagyoosztályozási redszerét. E természetes folyamat mide t. idıpotjába: a g i (t) eseméyek jellegéek és koordiátáiak megfelelı részösszegek megváltozak (ıek és/vagy csökkeek). Ez törtéik akkor is, ha e változások yilvátartottak és akkor is, ha em; és akkor is, ha e változások koordiátái még csak kikövetkeztethetık a g i (t) gazdasági eseméyek idıpotja és eve (leírása) adataiból Komplett és ikomplett vagyoosztályozási redszerek... 60

8 8 2. Tétel: A (0,] idıitervallumba változó bruttóvagyo I=E=F 0 formulával reprezetált explicite N- szeres (N=3) vagyoosztályozási redszere komplett redszer (T 2 ) Corollárium : A bruttóvagyo I=E=F= =X 0 formulával reprezetált explicite N-szeres (N 3) vagyoosztályozási redszere komplett Corollárium 2: A bruttóvagyo IE=IF= =IX 0 formulával reprezetált implicite N-szeres (N 2) vagyoosztályozási redszere komplett Corollárium 3: Ha a bruttóvagyo osztályozási redszere (esetleg más statikus vagyoosztályozások mellett) csak I, vagy E, vagy F, avagy E és F, vagy I és E, vagy I és F aspektusú vagyoosztályozásból áll, vagy ezek egyikét sem tartalmazza, akkor az ilye vagyoosztályozási redszer ikomplett, bár az E=F 0 vagyoosztályozási redszer zárt a gazdálkodóspecifikus gazdasági eseméyekre ézve... 6 Corollárium 4: A vagyo idı-, eszköz- és forrás-aspektusa és az I-E-F aspektus szeriti osztályozása a vagyoosztályozás immaes tulajdosága, azaz attribútuma Corollárium 5: A mérvadó vagyoaspektusok maximális száma, és 3<<X(t,E), ahol X ismeretle agyságú természetes szám és felsı korlátjáak értéke függ a t idıpottól (milye aptári évet íruk épp) és a gazdálkodó gazdálkodási profiljától, gazdasága agyságától és boyolultságától, melyeket az eszközök szerkezetével és fıösszegével (E= e i ) jellemezhetük Tétel: Az I P =E P =F P 0 vagy az E P =F P 0 formulával reprezetált, a bruttóvagyoból csak a pézvagyot mutató pézforgalmi szemlélető vagyoosztályozási redszer ikomplett Tétel: Ha a V BR 0 bruttóvagyo vagyoosztályozási redszere komplett, akkor va bee idı-, eszköz- és forrásosztályozás Tétel: Ha a gazdálkodó V BR 0 bruttóvagyoáak vagyoosztályozási redszere komplett, akkor zárt a gazdálkodóspecifikus gazdasági eseméyekre ézve Tétel: A bruttóvagyo N "serpeyıs" (N 2) mérlege komplett redszer Tétel: Ha egy vagyoosztályozási redszer komplett, akkor vagy explicit N-szeres (N 3) és osztályozásai között a diamikus I és a statikus E és F vagyoosztályozás szerepel, vagy implicit N-szeres (N 2) és osztályozásai között a diamikus I-E és I-F összetett vagyoosztályozás szerepel Tétel: A bruttóvagyo övekedését és/vagy csökkeését jeletı (0;] idıitervallumbeli gazdasági eseméyek azoos fajta mértékadataiak külöbsége (ha a csökkeések egatív elıjelőek, akkor algebrai összege) egyelı a bruttóvagyo idıpotbeli statikus osztályozásáak fıösszegével Tétel: A bruttóvagyo E=F 0 formulával reprezetált ikomplett vagyoosztályozási redszere (klasszikus mérlege) kompletté tehetı Az ayagi helyzet törvéye Tétel: A V BR ()= J i (t)= V S (t)+a(t) 0, (ahol V BR ()= J i (t) A(t) 0 és V S (t) 0; és,2,,;,2,,) formula az ayagi helyzet törvéye. Jeletése: Az emberek, és mide más gazdálkodóak születésétıl a haláláig tartó léte mide t. idıpillaatába () vagy va bruttóvagyoa [V BR (t)>0], de akkor va adóssága is [A(t)>0], (2) mely utóbbi, jó esetbe, jeletıse kisebb, rossz esetbe em, sıt agyobb, mit a bruttóvagyoa, (3) vagy ics sem vagyoa [V BR (t)=0], sem adóssága [A(t)=0] (ekkor icstele); (4) vagy eél is rosszabb a helyzete: csak adóssága va [V BR (t)=0, A(t)>0] (ekkor ı a icstele adós). (5) És más eset em lehetséges. (6) A gazdálkodó ayagi helyzete, aak valamelyik téyezıje idıbe midig változik, akár folytatja gazdálkodását, akár magára hagyja a vagyoát, ezért (7) vagyoa, mit ayagi helyzetéek egyik fı téyezıje ( 3), azaz legalább idı, eszköz és forrás aspektusból vizsgálható és vizsgáladó AZ ÁLTALÁNOS ÉS A VAGYONKÖNYVVITEL ELÉLETÉNEK ALAPELEEI Pricípiumok Vagyoköyvviteli defiíciók Az általáos köyvvitel fogalmai A vagyoköyvvitel fogalmai A vagyoköyvvitel axiómái A bizoylati elv A valódiság-valótlaság dilemma eldöthetetleségéek általáos köyvviteli alapelvei Az iadekvát elleırautomaták elve Az absztrakt eseméyek gazdálkodóspecifikusságáak elve Tételek és bizoyítások... 8 Ekvivalecia és izomorfia Tétel: A gazdasági és a eki megfelelı köyvviteli eseméy adatvektora, a gazdálkodó ayagi helyzetéek változását jellemzı adatai tekitetébe ekvivales (2./T ) Tétel: A vagyo köyvvitelébe a gazdasági eseméyekek és a gazdasági eseméyek kapcsá létrejött vagyoak és adósságak, illetve ezek osztályozási redszeréek a közvetett képe jeleik meg köyvviteli eseméyek formájába, illetve köyvviteli eseméyek által (2./T 2 ) Corollárium : A köyvviteli yilvátartás, mit az ayagi helyzet téyezıiek és változásaiak képe és e leképezés tárgya jellegét tekitve szükségszerőe ekvivales (2./T 2 /C ) Corollárium 2: A vagyoelmélet tételei (és törvéyei) azoos alakba és tartalommal érvéyesek a köyvvitelbe is (fordítva ez általába em igaz), mert a vagyoelméletbe adott redszer és a köyvviteli redszer izomorf (2./T 2 /C 2 )... 83

9 9 Az elleırizetle köyvvitel és leltár által ivolvált valóság-valótlaság dilemma és a égyszögelleırzés törvéye Tétel: Az elleırizetle vagyoköyvviteli yilvátartás adatait a bekövetkezett gazdasági eseméyek valóságbeli adataival egy adott t idıpotba em tekithetjük 00%-ba megegyezıek Tétel: A em elleırzött (azaz a megfelelı gazdasági eseméyek bizoylataival egybe em vetett) leltár em támasztja alá (azaz em bizoyítja) a em elleırzött köyvvitel és aak adataival készült mérleg valódiságát (2./T 4 ) Corollárium : A em elleırzött (azaz a megfelelı gazdasági eseméyek bizoylatával és az elleırzött leltár megfelelı adatával egybe em vetett) köyvviteli eseméyek (köyvelési tételek) em támasztják alá (azaz em bizoyítják) a köyvviteli yilvátartás és az aak adataival készült mérleg valódiságát (2./T 4 /C ) Corollárium 2: Egymagába, sem a leltár (V L ), sem a leltárral éritett idıszakba köyvelt bizoylat(ok) (V B ) adatai, de még e kettı együtt sem alapozza meg az éritett vagyoköyvvitel (V K ) és vagyomérleg valódiságát, haem csak a V E =V B és V B =V K és V K =V L és V E =V L egyezıség egyszerre ahol V E a gazdasági eseméy mutatta valóság. Ez a köyvviteli égyszögelleırzés törvéye (2./T 4 /C 2 ) Szabváyosítás és automatizálás Tétel: ide gazdálkodóhoz egyértelmőe hozzáredelhetük egy a tevékeységéek megfelelı szabváyos gazdasági eseméyekbıl álló véges halmazt (2./T 5 ) Corollárium : Az absztrakt gazdasági eseméyek száma és a szabváyos gazdasági eseméyek k száma viszoyára áll: k (=,2,...) [2./T 5 /C ] Corollárium 2: A szabváyos gazdasági eseméyek is jellemzıek a gazdálkodó tevékeységére, azaz: gazdálkodóspecifikusak [2./T 5 /C 2 ] Tétel: A (0;t] idıitervallumba (,2,,) szabváyos gazdasági eseméyekkel megevezett kokrét köyvviteli eseméyek kapcsá bekövetkezı bruttóvagyováltozások. idıpothoz tartozó algebrai összege egyelı e bruttóvagyováltozások szabváyos gazdasági eseméyek szeriti osztályozásáak fıösszegével (2./T 6 ) Tétel: ide szabváyos gazdasági eseméyhez egyértelmőe hozzáredelhetı a eki megfelelı kokrét köyvviteli eseméy koordiátáit adó osztálykoherecia (vagy kotírozási összefüggés) y * =o* adatvektora, mit metaadat (2./T 7 ) Corollárium: ide egyes szabváyos gazdasági eseméyhez egyértelmőe hozzáredelhetı a eki megfelelı kokrét bizoylatolt gazdasági eseméyek e szabváyos gazdasági eseméytıl függı mide kokrét adata is (2./T 7 /C) Tétel: A gazdálkodó bármely köyvviteli eseméyéek koordiátái a gazdálkodására jellemzı szabváyos gazdasági eseméyek függvéyekét automatikusa meghatározhatók (2./T 8 ) Corollárium: Ameyibe az e i y i * =[y,y 2,...y k ] i =o i * mide i-re elıre helyese meghatározott, úgy a kotírozó automatával bármeyi bizoylatolt gazdasági, illetve köyvviteli eseméy osztálykohereciájáak (kotírozási összefüggéséek) automatikus megadása is hibátla lesz, vagyis a kotírozó automata az e i -k hibátla kotírozása eseté kizárja a kotírozási hibákat azaz: ettıl a hibatípustól izolálja a köyvviteli redszert, bármely e i -re és akárháyszor ismételjük e mőveletet (2./T 8 /C) Tétel: A gazdálkodó bármelyik köyvviteli eseméyéek adatai a gazdálkodására jellemzı szabváyos gazdasági eseméyek és a kokrét bizoylatolt gazdasági eseméyek adatai függvéyekét köyvelıautomatával automatikusa meghatározhatók (2./T 9 ) Tétel: Az E és/vagy F aspektusú összes s i S={s,s 2,...,s i,...,s p } azoosítószámú vagyofajta (hagyomáyosa fıköyvi számlák ) összesítı (fıköyvi) kivoatáak adatai a köyvelı-automatával elıállított adatbázisból az összesítı kimutatást lekérdezı automatával meghatározhatók (2./T 0 ) Corollárium : Amit az összesítı kimutatás (fıköyvi kivoat), hasolóképp a mérleg is elıállítható a megfelelıe kiegészített lekérdezı automatával (2./T 0 /C ) Corollárium 2: Az összesítı kimutatás (fıköyvi kivoat) és a mérleg N aspektusú (N 2) vagyoosztályozási redszer eseté is elıállítható a megfelelıe kiegészített lekérdezı automatával (2./T 0 /C 2 ) Corollárium 3: A köyvelıautomata és a lekérdezıautomata haszálata szükségteleé teszi a hagyomáyos fıköyvi számlák vezetését, következésképp okafogyottá teszi a számlaelméleteket. Ez a számlaelméletek halála (2./T 0 /C 3 ) A TARTOZÁS - KÖRBETARTOZÁS ELÉLETÉNEK ALAPELEEI Pricípiumok Defiíciók Piaci axiómák A tartozás - körbetartozás tételei és bizoyításuk Tétel: ide hitelezı egybe adós is (3./T ) Tétel: A piac szereplıi mid vagyoos gazdálkodók (3./T 2 ) Corollárium: ide eladó vevı is és fordítva (3./T 2 /C) Tétel: Ha egy piaco csak két vagyoos gazdálkodó va, akkor ık csak egymásak tartozak. Ekkor ık kette - adóspárkét - a miimális tagszámú adóskört alkotják. (Ez a körbetartozás miimális esete.) [3./T 3 ] 93

10 0 4. Tétel: ide piaco va körbetartozás, vagyis a körbetartozás a piacok attribútuma, azaz élkülözhetetle tulajdosága (3./T 4 ) Corollárium : Ha az -szereplıs piaco (ahol 3) va olya adóskör, amely em adóspár, akkor az ilye kör bármelyik tagja em csak egyetle másik körtagak tartozhat. Tehát az ilye adóskör lehet összetett is (3./T 4 /C ) Corollárium 2: Az adóspárok számát jelölje P. Az szerepelıs piac (ahol >3) tartalmazhat több adóspárt is. Az adóspárok lehetséges maximális száma P max =[(-)*]/2, ami ekvivales pl. a kovex -szög oldal és átlójellegő éleiek együttes számával (mely utóbbi teljes idukcióval köye igazolható) [3./T 4 /C 2 ] Corollárium 3: Ha az szereplıs piac (ahol >3 és páros), mit halmaz, k piaci szegmesre (azaz részhalmazra) bomlik (ahol =2k), akkor k darab egymástól függetle adóspárt tartalmazhat (3./T 4 /C 3 ) Corollárium 4: Ha az szereplıs piac (ahol >2) piaci szegmesekre bomlik, akkor adóspár(oka)t és/vagy páratla tagszámú adóskör(öke)t tartalmaz (3./T 4 /C 3 ) ELİSZÓ A FÜGGELÉKEKHEZ FÜGGELÉK VAGYONKÖNYVVITEL ÉS ÉRLEGE FÜGGELÉK TUDÁSSZINT KÖNYVELÉSE ÉS A TUDÁSÉRLEG FÜGGELÉK HAVI TELEFONKÖLTSÉG KÖNYVELÉSE ÉS ANNAK HAVI KÖLTSÉGÉRLEGE FÜGGELÉK EGY AI KLASSZIKUS AGYAR, ANGOL ÉS NÉET VAGYONÉRLEG ALKALAZOTT FONTOSABB JELÖLÉSEK... 04

11 HARADIK RÉSZ ELİSZÓ Eme új Harmadik rész kiadására két okból kerül sor. Egyrészt azért, mert elkészítettem e harmadik rész agol fordítását és így szükségképpe és párhuzamosa át kellett tekiteem a magyar verziót is. Ezért elkerülhetetleé vált a magyar változat újbóli elleırzése. Az észlelt és zavaró matematikai elírásokat ebbıl akadt éháy kijavítottam. ásodszor azért is kerül sor egy év multá az új elsı kiadásra, mert az agol yelvre fordítás felkíálta a lehetıséget a meghatározások és bizoyítások alaposabb áttekitésére, a megfogalmazások helyekéti egyszerősítésére, potosítására. Ugyaakkor lehetıvé vált a corolláriumok számáak bıvítése is. Sıt, sor kerülhetett a defiíciók és az axiómák teré émi átcsoportosításra is, s ezzel lehetıség yílt arra, hogy az úgyevezett általáos köyvvitel és a speciális vagyoköyvvitel pricípiumai egyértelmőe kettéválhassaak. Így már értelme lett aak is, hogy a vagyotól külöbözı speciális köyvvitelekre illusztráló fiktív példákat illesszek be függelékkét. idazoáltal kijelethetem, hogy az -szeres köyvvitel axiomatikus redszere az alapvetı felépítését és tartalmát tekitve mit sem változott a évi kiadáshoz képest mert logikusa em is változhatott. *** Léyegébe a köyvem, melyek megírásához az 997. év végi tudomáyos problémafelvetést követıe a év elejé kezdtem e harmadik részét kivéve, és természetese magyar yelve a év végére elkészült. 2 Tartalmát, akkor, a középiskolai tudásszitél többet em igéylı és célzatosa épszerősítı jelleggel írt elsı és második rész, valamit a függelék képezte. Úgy tőt: mide fotosabb alapismeretet, amit a hagyomáyos köyvvitellel, illetve az általam leírt moder N-szeres (N 3) vagyoköyvvitellel kapcsolatba el lehetett modai, azt mid kifejtettem. egtekithetı a teljes köyv (438. p.) magyar yelve az Országos Széchéyi Köyvtárba (OSZK) ( a Budapesti Corvius Egyetem Közpoti Köyvtárába ( ) a Pécsi Tudomáyegyetem Egyetemi Köyvtárába ( a Debrecei Egyetem Egyetemi Nemzeti Köyvtárába ( ); a Közpoti Statisztikai Hivatal (KSH) köyvtárába ( a harmadik rész a agyar Elektroikus Köyvtár (OSZK) holapjá olie igye letölthetı ( 2 egtekithetı itt: ( és e harmadik rész igye le is tölthetı.

12 2 Ámde ekkor olvastam elıször Szász Gábor 972-be kiadott Az axiomatikus módszer címő köyvét. 3 Ebbe az I. fejezet 2. potja a matematika tudomáyá válásról szól. Szász kifejti: "Sem az egyiptomiak, sem a babiloiak em foglalták szabályokba matematikai ismereteiket. Vagyis, mai yelve szólva, em alkottak tételeket, haem csak mitapéldákat állítottak össze, s ezeke a kokrét számszerő példáko mutatták be a számítási módszereket. A mai matematikáak már a középiskolás foká általáosa haszált olya kifejezési formák, mit a defiíció, tétel, axióma és bizoyítás az ógörög kultúrába alakultak ki, s eközbe a matematika tapasztalati ismeretek győjteméye helyett deduktív tudomáyá vált." Azoal beláttam, hogy a tradicioális köyvviteltaak, sem Paccioli 4 elıtt sem Paccioli óta, máig ics szabatosa megfogalmazott, egyértelmő és egymásra épülı tudomáyos fogalmakból álló, elletmodástól metes fogalomredszere, icseek axiómái és ics egymásra épülı bizoyított tételredszere sem. Igaz ez az általam felvázolt már egzakt defiíciókat, axiómákat, tételeket, illetve ezek összefüggéseit is említı eddig elkészült moder N-szeres vagyoköyvviteltara is. Tehát a köyvvitelta, mit tudomáy, ebbe az állapotába, úgy, ahogy volt, em lépte túl a matematika tapasztalati ismeretek győjteméye 2500 évvel ezelıtti babiloi-egyiptomi szitjét. Pedig a lehetıség Euklidész óta, azaz legalább kétezer háromszáz éve adott volt. Lehetı volt, hogy moder módo írják le a köyvvitel taát is, hasolóa a már akkor fejlett tudomáyt jeletı matematikához, geometriához. De a köyvvitel N-szeres (N 3) voltát is felfedezhették vola, már az atikvitásba is, de Paccioli korába már mideképp. Ugyais bármely gazdasági eseméy következett be, már az ókorba is, az sohasem csak két, azaz eszköz és forrás (tıke) aspektusát mutatta a vagyo és/vagy az adósság változásáak, haem midig eleve legalább három aspektusét. Pl.: ha vettük valamely árut hitelre, akkor e gazdasági eseméyrıl legalább három paraméter adatát ismertük azoal: () a változás idıpotját, (2) a megvett vagyotárgy típusát (fajtáját) és (3) a vásárlás forrását, azaz azt, hogy idege tıkét (pl. hitelbıl) vagy saját tıkét fektettük-e be. És bármely más gazdasági eseméyél ugyaezt tapasztaljuk. E három paraméter adat-3-asa (mit az eseméy koordiáta-3-asa) pedig azoal, még mielıtt egyáltalá bármit is köyveltük, természetes módo kijelölte és így létrehozta, vagy megváltoztatta az idı-, eszköz- és forrásaspektusú, a változás által éritett természetes vagyoosztályokat, meghatározta természetes módo, az idı-eszköz-forrás aspektusú vagyoosztályozásokból 3 Szász Gábor: Az axiomatikus módszer (Taköyvkiadó, Budapest, 972), 20. oldal. 4 Luca Paccioli: Az Aritmetikáak, Geometriáak, értékekek és Aráylataikak foglalata (Velece, 494), magyar fordítása a harmadik fırész XI. traktátusáak; 24. oldala.

13 3 álló komplett diamikus és statikus vagyoosztályozási redszert, evezzük így, (most, e példa szerit) a háromserpeyıs mérleget (ld.: a köyv elsı borítójá is). De ezt a köyvelık és a köyvvitel professzorai több mit 2300 éve át em ismerték fel. Pedig ez az adat-3-as, amióta csak gazdálkodik az ember, attribútuma a gazdasági eseméyekek és bee va és volt midig is a köyvelés köyvelık által ismert adathalmazába, ha agyagtáblára köyveltek is. Csak ezt sem ismerték fel. A hagyomáyos köyvvitel és taa több mit 2300 éve át em fejlıdött kielégítıe. Paccioli 5 írta elıször le 494-be egy kezdetleges kettıs köyvvitel alkalmazását, egy egyszerő példá bemutatva azt. Shär 6 megalkotta 890-be a zárt számlaredszert (Németül: Das geschlossee Kotesystem. Schmalebach 7 és Kosiol 933-ba megálmodtak egy úgyevezett diamikus mérleget, amelyek voltaképp statikusak. A köyvvitelta eközbe, Pacciolitól Schmalebachig, eljutott a kettıs köyvvitel ú. egyszámlasoros számlaelméletétıl, a XX. század elejére, tehát 400 év alatt, a kettıs köyvvitel ú. égy számlasoros számlaelméletéig. Voltaképpe, a hagyomáyos köyvvitelta, 90-tıl apjaikig, azaz egy teljes évszázado át megvalósult apróbb változtatásaitól eltekitve fejlıdésképteleül stagált. Professzoraik máig leírják, hogy létezik és haszálható az ú. egyszeres köyvvitel, ami alapvetı tévedés. Ezt is bizoyítom ebbe a mukába. És a kettıs köyvvitel számlaelméleteitıl sem tudtak elszakadi még a személyi számítógépek megjeleése utá, a XX. század végé megkezdıdött PC korba sem. Sıt, a szoftverfejlesztık is, köyvelı programjaikkal, máig, egyszerőe utáozzák a mauális kettıs köyvvitelt, így azok is kozerválják az elavult köyvviteli ismereteket és gyakorlatot. E mőbe ezt is bizoyítom. A hagyomáyos köyvvitelek és taáak fejlıdése mára zsákutcába jutott, s e ta egyeese ortodoxszá vált. Ezért 2004 elejé elkerülhetetleek láttam a köyvviteli elemek felállítását megkíséreli és eze keresztül az - szeres ( 3) komplett (azaz kielégítıe iformatív és a gazdasági eseméyekre ézve zárt redszerő) köyvvitel létét, tulajdoságait és az általa yílt lehetıségek tág terét bemutati. Bizoyítom továbbá, egzakt módo, hogy mid az ú. egyszeres köyvvitel, mid az ú. kettıs köyvvitel ikomplett. Ezek oktatása és haszálata, legikább ma a PCk korába hátráltatja a gazdasági szereplık kielégítı iformációval való ellátását és ráadásul em egyszerősíti a köyvelési mukát sem. 5 Luca Paccioli: Az Aritmetikáak, Geometriáak, értékekek és Aráylataikak foglalata (Velece, 494), magyar fordítása a harmadik fırész XI. traktátusáak; 24. oldala. 6 Schär, Joha, Friedrich: Buchaltug ud Bilaz ; 69. oldal. (Köyvvitel és mérleg), Berli, 890, 94, Schmalabach, Euge: Dyamische Bilaz, 933, Leipzig; Kosiol, Erich: Pagatorische Bilaz, 976, Berli.

14 4 Dötöttem. Felfüggesztettem a köyvkiadás elıkészületeit, s hozzáfogtam a vagyoköyvviteli elemek összeállításához, Ez törtét egymásra épülı defiíciók, axiómák, tételek, sokszor új, addig fel sem merült tételek megfogalmazásával és bizoyításával. E tevékeység, a köyvviteli elemek koheres redszerbe foglalásával, kellemes meglepetéskét, további új ismereteket is hozott. Noha idıközbe betegség és mőtét miatti hosszas lábadozás valamit keresı foglalkozásom (outsider vagyok em fıfoglalkozású kutató) is akadályozott célom mielıbbi elérésbe, midazoáltal most, az eredméyt végre itt közreadhatom. Eze biztosa lehet csiszoli. Lehet ezt bıvítei is és javítai is. (E 2. kiadás is ezt tükrözi.) Sıt! ásképp is fel lehet ezt az axiomatikus redszert építei ez ma már egyrészt tudomáyos közhely, másrészt tapasztalható téy. Téy, ha öszszevetjük például az euklideszi és a Bolyai-Lobacsevszkij, valamit a Hilbert-féle geometriákat, mit axiomatikus redszereket. Téy viszot az is, hogy az általam leírt moder köyvviteltaak ez az axiomatikus redszere többé már em kerülhetı meg és em hagyható figyelme kívül, megítélésem szerit sem az oktatásba, sem a tudomáyos kutatásba. Tehát e pillaattal a köyvvitelta is átlépett az egzakt, egyértelmő és koheres termiusokkal, valamit alaptételekkel megalapozott ú. bizoyító és deduktív tudomáyok közé. Ha 2300 évet késve is, de át! Eek itt volt az ideje. A köyvvitelta az -szeres köyvvitelek axiomatikus redszeréek létrejöttével tehát egyfelıl csatlakozott a moder, egzakt tudomáyok sorába, másfelıl hasolóa például a fizikához, a kémiához, a pedagógiához, stb. tárgyáál fogva végleg két alapvetı tudomáyágra bomlott: az elméleti köyvvitel és az alkalmazott köyvvitel taára, melyek ugyaakkor kölcsööse össze is függek egymással. Az elméleti köyvvitel tárgya: a tapasztalatokból elvot alaptételek segítségével a valósággal egyezı általáos és speciális köyvviteli törvéyek feltárása. A vagyoköyvvitel elméleti ismereteit gyarapította például Paccioli (494) az elsı köyvviteli leírással, L. Flori (633) a perszoális számlaelmélet, Augspurg (852), Hügli (887), Shär (888), Kuter (908) Niklisch (9) a két-, Leiter (909) és Le Coutre (926) a három-, illetve Schmalebach ( Der Koterahme, 927) és Burri (940) a égy-számlasoros számlaelmélet, továbbá: Shär (890) a zárt számlaredszer ( Das geschlossee Kotesystem ), valamit Schmalebach és Kosiol (933) az úgyevezett diamikus köyvviteli mérleg megalkotásával. ide olya ismeret pedig, ami az elıbbieke kívül va az alkalmazott köyvvitel tárgyát képezi. Így az egyes emzeti és ágazati, stb. sajátosságokak, például a magyar számviteli törvéy, vagy az amerikai számviteli sztederdek szeriti köyvelés alapelveiek és szabályaiak, valamit egyes kok-

15 5 rét gyakorlati köyvelési és mérleg- stb. megoldásokak az ismertetése az alkalmazott köyvvitel tárgykörébe tartozik. Végül fotos azt is leszögezi: az -szeres köyvvitelek axiomatikus redszeréek elméletredszere em teszi haszálhatatlaá, érvéyteleé az eddigi köyvelési gyakorlatot. Ellebe a köyvvitel fejlıdésé kívül, mid a meedzsmet iformációigéyéek korszerő kielégítése, mid a köyvelıszoftverek ehhez igazodó érdemi továbbfejlesztése elıtt megyitja az utat. *** E mő az azoos címő köyv (438 oldal) harmadik fejezetekét (ez a köyv utolsó kb. 00 oldala) maga a töméy, bár középiskolás tudásszittel is megérhetı elméleti része a moder köyvviteltaak. Aki (épszerősítı jelleggel is írt) további részletes magyarázatokat kívá, aak javasolom elıször az említett köyv elsı két részéek az elolvasását mely már az OSZK- kívül a agyobb egyetemi köyvtárakba és a Fıvárosi Szabó Ervi Köyvtár fiókjaiba is magyar yelve hozzáférhetı. Budapest, 20. december 7. Gulyás Istvá közgazdász

16 6 Az elméleti köyvvitel alapjai Az -szeres ( 3) köyvvitel elméletéek elemei és axiomatikus redszere. A köyvvitel vagyoelméletéek elemei. Pricípiumok. Defiíciók. Az általáos köyvvitel elméletéek fogalmai. Az {O,O 2,..,O }=ƒ(o,r e )=O C függvéy által kifejezett mőveletet, amely a em üres O halmaz elemei között érvéyes R e ekvivaleciareláció szerit kölcsööse egyértelmőe egymáshoz redeli az (O,R e ) párt és az O halmaz O i (,2,...,) diszjukt részhalmazait, valamit az O C függvéy kimeetét osztályozásak, míg az O-t és aak mide R e szeriti O i részhalmazát ekvivaleciaosztályak, ill. rövide csak osztályak evezem. O-ra és az O i -kre ézve teljesülek a következı állítások: () O i O j =Ø, ahol i,j=,2,..., és i j; (2) O O 2... O =O; (3) az O halmaz két eleme akkor és csak akkor eleme ugyaazo O i osztályak, ha ekvivales egymással az R e szerit. Az R e ekvivaleciarelációt osztályozási aspektusak fogom evezi. 2. Ha egy osztályt em osztuk fel diszjukt részekre, akkor végsı, míg mide tovább osztott osztályát közbülsı osztályak evezzük. Az eredeti, még fel em osztott halmaz eve abszolút, míg a közbülsı osztályé egybe relatív alaposztály. 3. Valamely osztályozás osztályai értelmezett mértékfüggvéy (pl. mit az osztály elemeiek meyisége, pézbeli vagy más értéke, stb.) értékét, ha alap- vagy közbülsı (relatív alap) osztályhoz tartozik, fıösszegek, ha végsı osztályhoz tartozik, részösszegek evezzük. 4. Egy osztályozás szerkezete alatt azt értem, hogy az alaposztály meyi és milye osztályokra, fıösszege pedig milye részösszegekre bomlik. 5. Statikus osztályak evezem az olya osztályt, amely elemkét a (0;t] idıitervallum valamely p. (p t és p,,2,..) idıpotjába az alaposztály e részébe belévı vagy abból a p. idıpotba vagy elıbb elveszett elem(eke)t tartalmaz vagy tartalmazhata az osztályozási

17 aspektus szerit. Az ilye vagyoosztályokat eredméyezı osztályozás eve statikus osztályozás, mely midig egy p. idıpotra voatkozik. 6. Diamikus osztályak vagy másképp a (V) változások osztályáak evezem azt az osztályt, amely az (r;t] idıitervallumba (0 r<t és r,t egész szám) esı valamelyik idıpillaatba az alaposztályba (ill. aak egy adott részébe) be- és/vagy további elem(ek)két oa kikerült eleme(eke)t (elemadagokat) tartalmaz, avagy az osztályozási aspektus szerit tartalmazhata. Az ilye osztályokra vezetı osztályozás eve diamikus osztályozás, mely midig az elem(ek) [elemadag(ok)] alaposztályba való be- és/vagy kikerülése, másképp: a változások (az alaposztály elemösszességéek, vagy részéek övekedése és/vagy csökkeése), azaz az eseméyek kroológiája szerit alakul. 7. A C csökkeések osztálya az adott V változások osztályáak az a részosztálya (C V), amely tartalmazza az (r;t] idıitervallumba (0 r<t és r,t egész) vagy elıbb (pl. a (0;r] itervallumba) az alaposztályba bekerült és/vagy a V-be az (r;t] itervallumba az alaposztályból kikerült elemkét lévı tárgya(ka)t. Azoba az (r;t] itervallumba az alaposztályból kikerült x elem akkor és csak akkor lehet eleme a C-ek is, ha ugyaez az x elem be is került a V osztályba az (r;t] idıitervallumba vagy elıbb (pl. a (0;r] itervallumba). 8. Az E egyelegosztály az (r;t] idıitervallumba (0 r<t és r,t egész) adott azoos aspektusú V változások és C csökkeések osztályáak a V-C=E külöbségosztálya. Jellemzıje az E külöbségosztályak, hogy E C= és E C=V. Továbbá: ivel V-C=E, ezért E mide eleméek megva az a tulajdosága, hogy az a t. idıpotba belévı vagy hiáyzó eleme a V-ek, ezért ezt az (r;t] itervallumhoz tartozó E egyelegosztályt egybe a t. idıpothoz tartozó statikus osztálykét is értelmezzük, akkor és csak akkor, ha (a) r=0 azaz: ha a V-hez, C-hez és az E-hez tartozó idıitervallum a (0;t], vagy (b) ha r 0 akkor E egyelegosztálykét a (0;r] itervallum és az (r;t] itervallum egyelegosztályáak az uióját tekitjük. 9. Valamely O D diamikus osztályhoz illetve az O S statikus osztályhoz tartozó fı- vagy részösszeg egyelı az (r;t] idıitervallumba (0 r<t és r,t egész) az O D osztályba beés oa kikerült, illetve a t. idıpotba az O S osztályba belévı és az oa hiáyzó tárgyak meyiségéek vagy pézértékéek (vagy ezek pozitív együtthatós lieáris traszformáltja értékéek) a külöbségével (másképp: egyelegével). 0. Komplex vagy összetett diamikus osztályozás alatt azt a diamikus osztályozást értjük, amelybe az elemeket, az idıaspektus mellett, más aspektus szerit is osztályozzuk. Ha például A aspektus szerit is osztályozuk, akkor 7

18 8 A -jellegő, ha A 2 aspektus szerit is osztályozuk, akkor A 2 -jellegő összetett diamikus osztályozásról beszélük.. Traszformált (rész- és fıösszegő) osztályozásokak evezem azokat az osztályozásokat, amelyek csak az azoos osztályukhoz redelt egy vagy több részösszegükbe és a fıösszegbe, valamit ezek egyemő mértékegységébe, de legalább a mértékegységükbe valamely traszformáció szerit külöbözek, másba em. 2. Kumulált 8 részösszegő vagy kumulatív diamikus osztályozás 9 az olya traszformált (fı- és részösszegő) diamikus osztályozás, melyek mide -edik osztályához (=,2,..,) redelt részösszege egyelı az elsı osztály kumuláció élküli részösszegeiek összegével. Következésképp a fıösszege az -edik idıaspektusú osztályhoz tartozó kumulált részösszeggel s em az elsı kumulált részösszeg összegével azoos. 3. Attribútum 0 osztályozásak evezem a tisztá idıaspektusú, valamit a tisztá statikus attribútum-aspektusú osztályozásokat, továbbá bármely idı-attribútum-aspektusú komplex diamikus osztályozást fıösszege és részösszegei akár traszformáltak, akár em. Eme osztályozás attribútum-osztályokat eredméyez. ide más osztályozást opcioálisak evezek. 4. Természetes osztályozásak evezem azt a törtéést, amikor egy eseméy bekövetkezte meghatározza valamely osztály keletkezését vagy megváltozását. Az így létrejött vagy megváltozott osztályokat természetes osztályokak evezem. Az attribútum-osztályok természetes osztályok is egybe. 5. Osztályozási redszer alatt egy adott statikus alaposztály és/vagy ezt az alaposztályt eredméyezı változások egy vagy több osztályozása és osztályai, valamit az eze osztályokhoz tartozó fı- és részösszegek összességét értem. 6. érlegek evezzük azt az osztályozási redszert, mely az alaposztály két külöbözı attribútum-aspektusú statikus osztályozását vagy az elıbbiek mellett még az alaposztály diamikus osztályozását is, avagy az idı-attribútumaspektusú osztályozások midegyikét (is) tartalmazza. A csak statikus osztályozásokból álló mérleget statikus, a csak diamikus osztályozásokból állót diamikus, a többit vegyes, azaz diamikus és statikus mérlegek evezzük. 7. A mérlegbeli osztályozások fıösszegeit mérlegfıösszegekek, a végsı osztályok részösszegeit mérlegrészösszegekek evezzük. 8 Kumulált = halmozott, vagy másképp: gögyölített. 9 Ld. például az. függelékbe az y 3 táblázatot és a diagramjait. 0 Attribútum = valamely dologak vagy dolgok halmazáak, illetve valamely jeleségek az a tıle elválaszthatatla tulajdosága, amely élkül az em létezhet, ill. em godolható el.

19 9 8. Kielégítıe iformatív valamely osztályozási redszer, ha legalább az alaposztály statikus attribútum-aspektusú osztályozásait és a tiszta idıaspektusú diamikus osztályozását, vagy ha az összes idı-attribútum-aspektusú komplex diamikus osztályozásait tartalmazza. 9. Zártak evezem az osztályozási redszert az alaposztályába lehetséges változásokat hozó eseméyekre ézve akkor és csak akkor, ha e lehetséges eseméyek bármelyikéek bekövetkezésekor vaak az osztályozási redszerbe az eseméy jellegéek megfelelı olya részösszegek, amelyek az eseméy elıtti állapotukhoz képest, az eseméy tartalmáak megfelelıe, megváltozak. 20. Egy osztályozási redszert komplettek evezek, ha az kielégítıe iformatív és zárt az alaposztályába lehetséges változásokat hozó eseméyekre ézve. 2. Lehetetle eseméy az olya eseméy, melyek bekövetkezte kapcsá olya részösszegek kellee elıjelet váltai, amelyél az az éritett osztály avagy az eseméy jellege miatt em lehetséges. 22. Eseméykoordiáták alatt az osztályozási redszer (vagy részredszer) osztályozásaiak sorredjébe redezett olya adat--est vagy elemő sorvektort ( 2) részredszer eseté ( ) értek, amely az elemei révé mutatja, hogy az eseméy miatt a osztályozási redszerbe (vagy részredszerbe) mely végsı osztályok részösszege és hogya változik (ı vagy csökke). 2 A lehetetle eseméy emlegetése ugyaolya elvi megszorítás fukcióját tölt be, mit például amikor az /x mellé megszorításkét odaírjuk, hogy: x 0. Hisz yilvávaló, hogy a ullával való osztás emcsak értelmetle, de egyúttal lehetetle is - ha az osztás mőveletével szembe meg akarjuk követeli, hogy az a valóságra ézve is érvéyes, a valóságba is elvégezhetı legye. Ugyailye kijeletés tehetı a lehetetle eseméyel kapcsolatba is. Például ez: semmibıl em lehet valamit elvei, vagy: ha valami létezı dologak az az egyik jellemzıje, hogy egatív meyiségő, akkor em lehet belıle ála agyobb abszolút értékő egatív meyiséget elvei, mert akkor a meyisége pozitívvá válik, ami ugyebár elletétes a dolog feltett tulajdoságával. Voltaképpe mid az /x melletti x 0, mid a lehetetle eseméy említése pusztá a témakörbe elegedı ismerettel em redelkezı emberek szóló figyelmeztetés - külöbe akár ki sem kellee ezeket jeletei. 2 A hagyomáyos köyvvitelbe ezt kotírozási összefüggések, az -szeres köyvvitelbe osztálykohereciáak is evezzük. Eme adat--es, vagy másképp az eseméykoordiáta--es i-ik adata (,..,) modjuk potosvesszıvel elválasztva a többi adattól, jelzi azt, hogy az eszköz (ekkor ), a forrás (ekkor 2), illetve más, további (ekkor ) aspektusú vagyoosztályozáso belül volt-e és milye jellegő részösszegváltozás. (Az idıkoordiátát yilvá az eseméy idıpotadata adja meg az ezért ics itt külö is felsorolva.) Tehát vagy azt jelzi egy évvel és/vagy egy számmal, hogy az idı kívüli, i-ik aspektusú vagyoosztályozásba egyáltalá ics változás (pl.: a "ulla" évvel vagy a "0" számjeggyel, vagy azt, hogy va. Ha va, ekkor az adott vagyoosztályozáso belül megváltozó részösszegő vagyoosztály azoosítóadatát (evével vagy számával), és részösszege változásáak jellegét (övekedését vagy csökkeését, pl.: elıjellel vagy elıre rögzített sorreddel) is jelezie kell. (Pl.: legye övekedés a 38-es eszközosztály részösszegébe. Ekkor az sorszámú adat lehet: 38, pl. a péztári pézkészlet osztályáak azoosítószáma. Vagy csak csökkeés ugyaitt, ekkor lehet ez az adat: -38, avagy övekedés a 38-es eszközosztályba és csökkeés a 384-es (pl.: bak) eszközosztályba. Ekkor legye ez az -es adat: De természetese a megadás évvel is törtéhet. Például: az elıbbi eszközosztályba csak részösszeg övekedésekor az -es adat: péztár. Csak csökkeésekor -péztár. Vagy ugyaitt egy osztály részösszegéek övekedése, míg egy másik csökkeése eseté az -es adat legye pl.: péztár-bak.) Ha tehát egy gazdasági eseméy kapcsá pl. csak strukturális változás volt, akkor az eseméykoordiáta--es (N=3- mellet a létezı aspektusok és vagyoosztályozások ekkor idı-eszköz-forrás jellegőek) a következı lehet pl.: <38-384;0>

20 Értelmes (másképp: reális) az olya eseméykoordiáta-es, amely a lehetséges eseméy valamelyikéek bekövetkezése kapcsá, az osztályozási redszerbe azokat és csakis azokat a végsı vagyoosztályokat jelöli meg maradéktalaul, amelyekek az eseméy jellege és tartalma szerit meg kell változzo a részösszegők. 24. Az osztályozási redszer karakterisztikájáak evezem a redszer azo végsı osztályaiak számát, amelyekél egy eseméy kapcsá, megváltozik a részösszeg. 25. Valamely osztályozási redszer két osztályozása (egymástól) függetle a csak strukturális változással járó eseméyekre ézve azért mert, ha egy ilye eseméy bekövetkezik, akkor csak az egyik osztályozás két végsı osztályáak részösszege azoos abszolút értékbe, de ellekezı elıjellel változik. 26. N-aspektusú, avagy explicit N-szeres (N 3) osztályozási redszer alatt azt az osztályozási redszert értem, amely adott idıpotba legalább az alaposztály tiszta diamikus (azaz idı-aspektusú), valamit a statikus attribútumaspektusú osztályozásait együtt tartalmazza. 27. Implicit idıaspektusú, vagy rövide implicit N-szeres (N 2) osztályozási redszer alatt azt az osztályozási redszert értem, amely egy meghatározott idıpotba adott alaposztályak legalább az idı attribútum aspektusú komplex diamikus vagyoosztályozásait mid együtt tartalmazza. 28. N "serpeyıs", vagy másképp: N-szeres (N 2) mérlegek evezem az implicite N-szeres (N 2) vagy explicite N-szeres (N 3) osztályozási redszert. vagy <péztár-bak; ulla>. Vagyoövekedéskor az eseméykoordiáta pl. lehet: <38;9>, vagyocsökkeéskor pedig pl. lehet: <-38;-47 >. ideesetre: az adat--es a változás helyét (azaz: mely osztályozásba, melyik osztály részösszege változik) és jellegét (ı vagy csökke a részösszeg) kell mutassa - ezért is evezhetı aalógiával élve eseméykoordiátáak -, míg az adat--es téyleges kostrukciójáak kialakítása, fukciójáak aláredelve, szabado megválasztható. Azaz a formája változhat, a tartalma em, mert az utóbbi objektíve adott.

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje. 24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor

Részletesebben

MODERN KÖNYVVITELTAN

MODERN KÖNYVVITELTAN KÖNYVAJÁNLÓ: MODERN KÖNYVVITELTAN A modern n-szeres (n 3) vagyonkönyvvitel, mint az egyik speciális könyvvitel elméletének elemei és axiomatikus rendszere (a számlaelméletek halála) A szerzı: A dolgok,

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Lineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1

Lineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1 Lieáris kódok Defiíció. Legye SF q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. K lieáris kód, ha K az S k-dimeziós altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor.

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

1. elıadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínőségszámítás helye a tudományok között. Cél

1. elıadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínőségszámítás helye a tudományok között. Cél 1 Valószíőségszámítás 1 elıadás alk.mat és elemzı szakosokak 2013/2014 1. félév Zempléi Adrás zemplei@ludes.elte.hu http://www.cs.elte.hu/~zemplei/ 1. elıadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet (C http://kgt.be.hu/ 5. elıadás: Vétel és eladás idulókészlettel; Itetepoális választások uttó keeslet ettó keeslet ( uttó keeslet: ait a fogyasztó téylegese elfogyaszt (hazavisz a piacól ( ( Jele:, vagy,

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik. Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

1. A radioaktivitás statisztikus jellege

1. A radioaktivitás statisztikus jellege A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika

Részletesebben

Hiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai

Hiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai közzétéve a szerző egedélyével) Öfüggő szekuder-változó csoport keresése: egy bevezető példa Ez a módszer az állapothalmazo értelmezett partíció-párok elméleté alapul. E helye em lehet céluk az elmélet

Részletesebben

VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.

VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea. VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

Témakörök. Alapkoncepciók. Alapfogalmak. Egyed-kapcsolat modell. Alapfogalmak. Egyed-kapcsolat diagram

Témakörök. Alapkoncepciók. Alapfogalmak. Egyed-kapcsolat modell. Alapfogalmak. Egyed-kapcsolat diagram Témakörök Alapkocepciók Szoftvertechológia elıadás Egyed-kapcsolat modellek Osztálydiagramok Iterakciódiagramok Vezérlési struktúrák Dötési táblák és fák Állapotautomaták Petri hálók Egyed-kapcsolat modell

Részletesebben

Matematika B4 I. gyakorlat

Matematika B4 I. gyakorlat Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

14-469/2/2006. elıterjesztés 1. sz. melléklete. KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban

14-469/2/2006. elıterjesztés 1. sz. melléklete. KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban 2005 1 Tartalom 1. Bevezetés. 3 2. Iskolatípusok szerinti teljesítmények.... 6 2. 1 Szakiskolák 6 2. 2 Szakközépiskolák. 9 2. 3 Gimnáziumok 11 2. 4 Összehasonlítások... 12

Részletesebben

Eseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok

Eseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok Eseme yalgebra e s kombiatorika feladatok, megolda sok Szűk elméleti áttekitő Kombiatorika quick-guide: - db. elemből db. sorredjeire vagyuk kívácsiak: permutáció - db. elemből m < db. háyféleképp rakható

Részletesebben

BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika

BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA Leíró statisztika Első közelítésbe a statisztikai tevékeységeket égy csoportba sorolhatjuk, de ezek között ics éles határ:. adatgyűjtés, 2. az adatok áttekithetővé tétele,

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2.1. Az iformációs társadalom és gazdaság fogalmáak külöbözô értelmezései 2.1.1. Az iformációs társadalom Bármely iformációs

Részletesebben

A termıföld és mezıgazdasági területek értékelése

A termıföld és mezıgazdasági területek értékelése A termıföld és mezıgazdasági területek értékelése EUFIM minısítésre felkészítı továbbképzés elıadása Dr. Berdár Béla A termıföld jellemzıi A föld alapvetı funkciói: A nemzet létezésének alapja, benne ölt

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet.

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet. 2.5. A lieáris kogruecia egyelet. Defiíció: Kogruecia Az a és b egész számokat kogruesek modjuk az modulus szerit, ha az szeriti osztás utái maradékaik megegyezek, vagy ami ugyaaz: ha. Jelölésbe: a bmod.

Részletesebben

Feladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)

Feladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B) Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek

Részletesebben

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!! 4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

27.B 27.B. Alapfogalmak, logikai függvények és leírásmódjaik

27.B 27.B. Alapfogalmak, logikai függvények és leírásmódjaik 7.B 7.B 7.B Digitális alapáramkörök Logikai alapfogalmak Mutassa be a logikai függvéyek leírási módjait: a szövegeset, az igazság táblázatosat, a logikai vázlatosat és az algebrai alakkal törtéı leírást!

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Bevezetés az algebrába komplex számok

Bevezetés az algebrába komplex számok Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a x + b y c 5. Az egyeletredszer megoldása a Z halmazo (3. rész) a x + b y c A hivatkozások köyítése

Részletesebben

1. Sajátérték és sajátvektor

1. Sajátérték és sajátvektor 1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

A FUNDAMENTÁLIS EGYENLET KÉT REPREZENTÁCIÓBAN. A függvény teljes differenciálja, a differenciális fundamentális egyenlet: U V S U + dn 1

A FUNDAMENTÁLIS EGYENLET KÉT REPREZENTÁCIÓBAN. A függvény teljes differenciálja, a differenciális fundamentális egyenlet: U V S U + dn 1 A FUNDAMENÁLIS EGYENLE KÉ REPREZENÁCIÓBAN A differeciális fudametális egyelet A fudametális egyelet a belső eergiára: UU (S V K ) A függvéy teljes differeciálja a differeciális fudametális egyelet: U S

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Algoritmizálás Horváth Gyula Szegedi Tudomáyegyetem Természettudomáyi és Iformatikai Kar horvath@if.u-szeged.hu. Mohó algoritmusok A mohó stratégia elemi 1. Fogalmazzuk meg az optimalizációs feladatot

Részletesebben

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges. ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli

Részletesebben

Lineáris kódok. sorvektor. W q az n dimenziós s altere. 3. tétel. t tel. Legyen K [n,k,d] kód k d (k 1). Ekkor d(k)=w(k)

Lineáris kódok. sorvektor. W q az n dimenziós s altere. 3. tétel. t tel. Legyen K [n,k,d] kód k d (k 1). Ekkor d(k)=w(k) Defiíci ció. Legye S=F q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. r. K lieáris kód, k ha K az S k-dimeziós s altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor. W

Részletesebben

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai 6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

KÖRNYEZETI FENNTARTHATÓSÁGI SEGÉDLET. ÚMFT-s. építési beruházásokhoz. 1.0 változat. 2009. augusztus. Szerkesztette: Kovács Bence.

KÖRNYEZETI FENNTARTHATÓSÁGI SEGÉDLET. ÚMFT-s. építési beruházásokhoz. 1.0 változat. 2009. augusztus. Szerkesztette: Kovács Bence. KÖRNYEZETI FENNTARTHATÓSÁGI SEGÉDLET ÚMFT-s építési beruházásokhoz 1.0 változat 2009. augusztus Szerkesztette: Kovács Bence Írta: Kovács Bence, Kovács Ferenc, Mezı János és Pataki Zsolt Kiadja: Független

Részletesebben

Határértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12

Határértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12 Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma

Részletesebben

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK a FIZIKA kétszitű érettségire felkészítő tafolyamhoz A fizika mukaközösségi foglalkozásoko és a kétszitű érettségi való vizsgáztatásra felkészítő tafolyamoko 004-009-be elhagzottak

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

Finanszírozás, garanciák

Finanszírozás, garanciák 29..9. Fiaszíozás, gaaciák D. Fakas Szilvesze egyeemi doces SZE Gazdálkodásudomáyi Taszék fakassz@sze.hu hp://d.fakasszilvesze.hu/ Fiaszíozás émaköei. A péz idıééke, jövıéék és jeleéék, speciális pézáamlások

Részletesebben

Optika. sin. A beeső fénysugár, a beesési merőleges és a visszavert, illetve a megtört fénysugár egy síkban van.

Optika. sin. A beeső fénysugár, a beesési merőleges és a visszavert, illetve a megtört fénysugár egy síkban van. Optika Mi a féy? Látható elektromágeses sugárzás. Geometriai optika (modell) Féysugár: ige vékoy párhuzamos féyyaláb Ezt a modellt haszálva az optikai jeleségek széles köréek magyarázata egyszerű geometriai

Részletesebben

Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok

Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) Z(G), mert az egységelem yilvá felcserélhet mide G-beli elemmel. Továbbá Z(G) zárt a szorzásra, mert ha a, b Z(G), akkor tetsz leges g G-re (ab)g

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k. 8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA

9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA 9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA 9.. Legedre-éle traszormáció x x h x, p= p x x Milye x-él maximális? pl.= x alulról kovex h x =0: d p= dx x=x p a példába: p=x ; h= p x x Mekkora a maximuma? g p= p x p x p g=

Részletesebben