Matematika 5. Gondolkodni jó! feladatainak megoldása

Átírás

1 Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Zankó Istvánné tanár Matematika 5. Gondolkodni jó! feladatainak megoldása általános iskola 5. osztály nyolcosztályos gimnázium 1. osztály Mûszaki Kiadó, Budapest

2 Alkotó szerkesztô: DR. HAJDU SÁNDOR fôiskolai docens Az elôzô kiadásokat bírálták: DR. MAROSVÁRI MIKLÓSNÉ vezetôtanár DR. SÜMEGI LÁSZLÓ egyetemi adjunktus TÜSKÉS GABRIELLA matematika szaktárgyi szakértô Dr. Czeglédy István, Dr. Czeglédy Istvánné, Dr. Hajdu Sándor, Zankó Istvánné, 2010 Mûszaki Könyvkiadó Kft., 2010 ISBN Azonosító szám: MK /UJ Kiadja a Mûszaki Könyvkiadó Kft. Felelôs kiadó: Orgován Katalin ügyvezetô igazgató Szerkesztôségvezetô: Hedvig Olga Felelôs szerkesztô: Bosznai Gábor Mûszaki szerkesztô: Csukás Márta Borítóterv: H-moll Grafika Tördelôszerkesztés és számítógépes grafika: Garay Ferenc Terjedelem: 16,45 (A/5) ív 1. kiadás vevoszolg@muszakikiado.hu

3 Tartalom MÉRTÉKEGYSÉGEK A TERMÉSZETES SZÁMOK... 7 A tízes számrendszer... 7 A római számírás... 9 Továbblépünk a tízes számrendszerben... 9 Tájékozódás a számegyenesen Kisebb, nem kisebb; nagyobb, nem nagyobb Szorzás és osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel, A természetes számok kerekítése Hosszúságmérés Tömegmérés A természetes számok összeadása A természetes számok kivonása A természetes számok szorzása Írásbeli szorzás többjegyû szorzóval Az idõ mérése Osztó, többszörös A természetes számok osztása Osztás egyjegyû osztóval Az összeg és a különbség osztása Osztás többjegyû osztóval A mûveletek sorrendje Gyakorlófeladatok Nem tízes alapú számrendszerek Törd a fejed! Tudáspróba GEOMETRIAI ALAKZATOK Ismerkedés testekkel, felületekkel, vonalakkal Egyenesek kölcsönös helyzete Síkidomok, sokszögek Egybevágó síkidomok Téglalap, négyzet A terület mérése, mértékegységei A téglalap területe Téglatest, kocka Síkok és egyenesek, síkok és síkok kölcsönös helyzete a térben A téglatest hálója, felszíne A téglatest térfogata Az ûrtartalom mérése

4 Gyakorlófeladatok Törd a fejed! Képességpróba Tudáspróba A TÖRTEK A törtek értelmezése Törtek bõvítése, egyszerûsítése Törtek összehasonlítása Egyenlõ nevezõjû törtek összeadása, kivonása Különbözõ nevezõjû törtek összeadása, kivonása Törtek szorzása természetes számmal Törtek osztása természetes számmal Mi a valószínûbb? Gyakorlófeladatok Törd a fejed Tudáspróba GEOMETRIAI VIZSGÁLATOK, SZERKESZTÉSEK Ponthalmazok, a kör és a gömb Háromszög szerkesztése Szakaszfelezõ merõleges Téglalap szerkesztése Testek ábrázolása A szögtartomány A szögek mérése szögmérõvel A szögek fajtái Tájékozódás a terepen és a térképen Tájékozódás iránytûvel, tájolóval Gyakorlófeladatok Törd a fejed! Tudáspróba A TIZEDESTÖRTEK A tizedestörtek értelmezése A tizedestörtek ábrázolása számegyenesen A tizedestörtek egyszerûsítése, bõvítése, összehasonlítása A tizedestörtek kerekítése A mérés pontosságának jelzése Euróval fizetünk A tizedestörtek összeadása, kivonása Az összeadás és a kivonás tulajdonságai A tizedestörtek szorzása, osztása 10-zel, 100-zal, 1000-rel, A tizedestörtek szorzása természetes számmal

5 A tizedestörtek osztása természetes számmal Az átlag kiszámítása Törtalakban írt szám tizedestört alakja Gyakorlófeladatok Tudáspróba ÖSSZEFÜGGÉSEK, NYITOTT MONDATOK Táblázatok, grafikonok Összefüggések, sorozatok Arányos következtetések Egyenlet, egyenlõtlenség Gyakorló- és fejtörõ feladatok Tudáspróba AZ EGÉSZ SZÁMOK Nem elég a természetes szám Az egész számok összehasonlítása Az egész számok abszolútértéke Az egész számok összeadása, kivonása A derékszögû koordináta-rendszer Gyakorlófeladatok Törd a fejed! Tudáspróba ÖSSZEFOGLALÓ Számok és mûveletek Mérések, mértékegységek, geometria Képességpróbák A KIEGÉSZÍTÕ FELADATOK MEGOLDÁSA A természetes számok Geometriai alakzatok A törtek Geometriai vizsgálatok, szerkesztések A tizedestörtek Összefüggések, nyitott mondatok Az egész számok Összefoglaló

6 MÉRTÉKEGYSÉGEK Hosszúságmérés: alapegység az 1 méter (jele: m). A Párizson átmenõ délkör hossza körülbelül m = km. Tömegmérés: alapegysége az 1 gramm (jele: g), SI-ben az 1 kilogramm (kg) g = 1 kg, az 1 l tiszta 4 C-os víz tömege. Nagyobb tömeg mérésére használják a tonnát (jele: t). 1 t = 1000 kg Ûrtartalommérés: alapmértékegysége az 1 liter (jele: l). 1 l 1 dm 3 (nagyon kicsi az eltérés) l 1 m 3 Az egység ezerszeresét a kilo-, százszorosát a hekto-, tízszeresét a deka-, tizedrészét a deci-, századrészét a centi-, ezredrészét a milli- elõtagok jelentik. Az alapegység hányszorosa (mekkora része) A hosszúság mértékegységei méter Jelölés km m dm cm mm A tömeg mértékegységei gramm Jelölés kg dkg, dag g dg cg mg Az ûrtartalom mértékegységei liter Jelölés hl l dl cl ml kilométer deciméter centiméter milliméter kilogramm dekagramm decigramm centigramm milligramm hektoliter deciliter centiliter milliliter Idõmérés mértékegységei: óra (= hora; jele: h); 1 nap = 24 h; perc (= minutum; jele: min); 1 h = 60 min; másodperc (= secundum; jele: s); 1 min = 60 s Nagyobb idõhossz mérésére használjuk az évet: 1 év 365 nap 6

7 1. A TERMÉSZETES SZÁMOK A tízes számrendszer Helyiértékes írásmód a tízes számrendszerben 1. a) Ft; b) Ft; c) 7953 Ft; d) Ft 7953 Ft < Ft < Ft < Ft 2. a) Sok megoldás van. Például: = = = = = b) Visszaadás nélkül: c) 2 db százassal fizetünk, és visszakapunk 32 Ft-ot. 3. Sz T E sz t e a) Az 5 tényleges értéke: ötvenezer ötven ötszáz öt ötezer b) Rendre: 9, egyes; 9, ezres; 5, százas; 8, ezres; 9, tízes c) Rendre: tízezres, 5; tízezres, 4; százas, 5; tízezres, 4; ezres, 5 4. a) ; ; 3456; b) 5 480; ; c) ; ; ; ; ; a) 10; 100; 1000; b) 10; 100; a) 50-et; b) 30-at; c) 20-at 7

8 7. a) 135 = ; 306 = ; 2345 = ; 5008 = ; = ; = a) A legkisebb háromjegyû szám: 100; a legnagyobb: 999 b) A kétjegyû természetes számok száma: 99 9 = 90 (10; 11;...; 99); a háromjegyûeké: = 900 (100; 101;...; 999); a négyjegyûeké: = 9000 (1000; 1001;...; 9999) c) Az ötjegyû kerek tízesek: ; ; ;...; ; tól ig db kerek tízes van. 0-tól ig db kerek tízes van tõl ig = 9000 kerek tízes van, ezek az ötjegyû kerek tízesek. Az ötjegyû kerek százasok: ; ; ;...; ; tõl ig = 900 kerek százas van tõl ig = 90 kerek ezres van. 9. a) 60 Ft; 600 Ft; Ft; Ft b) 100 Ft; Ft; Ft; Ft c) 80 Ft; 800 Ft; Ft; Ft d) 100 Ft; Ft; Ft; Ft e) Ft; Ft; Ft; Ft f) Ft; Ft; Ft; Ft 10. a) , ; b) , ; c) , a) , ; b) , ; c) , a) ; b) ; c) a) , , ,..., , b) , , ,..., , c) , , d) Nincs ilyen szám. 8 e) , , ,..., ,

9 A római számírás 14. XVIII; XXXI; XLV; XCIV; CCXLVIII; CDV; DCCCXXXIX; MCMXCIX; MMDCCCII; MMM ; 44; 298; 609; 911; 3999 Továbblépünk a tízes számrendszerben 16. a) Háromszázhuszonnégy; ezerkétszáznegyven (csekken: egyezerkettõszáznegyven); ezerhét; kétezer; kétezer-egy; huszonötezer; ötezer-háromszáznegyven; huszonnégyezer-három. b) Növekvõ sorrendben: ; ; ; ; ; ; Csökkenõ sorrendben: ; ; ; ; 5405; 5004; a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) a) 1234; 1243; 1324; 1342; 1423; 1432; 2134; 2143; 2314; 2341; 2413; 2431; 3124; 3142; 3214; 3241; 3412; 3421; 4123; 4132; 4213; 4231; 4312; 4321 A számokat növekvõ sorrendben írtuk fel. b) Hat számban áll a százasok helyén 4. c) Hat számban áll az ezresek helyén A kirakható négyjegyû számok növekvõ sorrendben: 2059; 2095; 2509; 2590; 2905; 2950; 5029; 5092; 5209; 5290; 5902; 5920; 9025; 9052; 9205; 9250; 9502; 9520 a) A legkisebb: 2059, mert 0-val négyjegyû szám nem kezdõdik; a legnagyobb: 9520 b) 18-at; c) 6; d) 4; e) 10-et 21. a) ; b)

10 22. a) ; ; ; ; b) ; ; ; ; c) ; ; ; ; d) ; ; ; ; e) ; ; ; ; f) ; ; ; ; a) ; ; ; ; b) ; ; ; ; c) ; ; ; ; d) ; ; ; ; e) ; ; ; ; f) ; ; ; ; a) ; ; ; ; ; b) ; ; ; ; ; c) ; ; ; ; ; d) ; ; ; ; ; e) ; ; ; ; ; a) 4000-rel csökken; b) 400-zal nõ; c) rel nõ; d) 3-mal csökken; e) rel nõ; f) 30-cal csökken 26. a) Shreket. b) Macskafogó. c) A 3. héten, 4586-tal. d) Lecsó. e) Shrek. 27. a) 167 b) Margó: 10

11 Tájékozódás a számegyenesen 28. a) b) c) 29. a) x = 200; y = 350; z = 620; u = 770; v = 1000; w = 1100 b) Az a) feladatban adott számok 10-szeresei. Például: x = 2000 c) Az a) feladatban adott számok 100-szorosai. Például: x = d) Az a) feladatban adott számok 1000-szeresei. Például: x = a) x = 700; y = 3000; z = 5400; u = 7500; v = 8800; w = b) Minden szám rel nagyobb, mint az a) feladatban: x = ; y = ; z = ;...; w = c) x = ; y = ;...; w = d) x = ; y = ;...; w = a) a = 65; b = 400; c = 525; d = 810; e = 1150 b) a = 6518; b = ; c = ; d = ; e = a) b) c) d) 11

12 e) A növekvõ sorrend leolvasható a számegyenesrõl. Kisebb, nem kisebb; nagyobb, nem nagyobb 33. a) ; ; ; ; ; ; ; ; ; b) ; ; ; ; ; ; c) ; ; ; ; ; ; ; ; d) ; ; ; ; ; ; a) x > 5 b) x < 5 c) x ³ 5; h) x ³ 5; i) x ³ 5; ugyanaz az igazsághalmazuk. d) x 5; e) x 5; g) x 5; ugyanaz az igazsághalmazuk. f) 5 x 10 j) 5 < x < 10 12

13 a < b < < c a) 6080 < a 6310 b) 4400 b < < u < 1050 Szorzás és osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel, a) Az egyforintosok száma: 450; 1250; 3200; ; ; b) A tízforintosok száma: 54; 540; 5400; c) A százforintosok száma: 63; 35; 543; 49 d) Az egyforintosok száma: 150; ; b) Tízzel szorozva: 580; 6040; 730; 8300; 5640; 70; 700 stb. Százzal szorozva: 5800; ; 7300; ; ; 700; 7000 stb. c) Ezerrel szorozva: ; ; ; ; ; 0; Tízezerrel szorozva: ; ; ; ; ; 0; (A 0-t bármivel szorozva 0-t kapunk.) 40. Százezres Tízezres Ezres Százas Tízes Egyes a) b)

14 41. a) A 0-ra végzõdõ számok oszthatók 10-zel. Pirossal például: : 10 = 5800; : 10 = ; : 10 = ; : 10 = ; : 10 = 7000; : 10 = 7007; : 10 = ; : 10 = 6600; : 10 = 6006; : 10 = A szám osztható 100-zal, ha két utolsó számjegye 0. Kékkel például: : 100 = 580; : 100 = 6040; 7800 : 100 = 78; : 100 = 5640; : 100 = ; : 100 = 700; : 100 = 7007; : 100 = 660; : 100 = 6006 A szám osztható 1000-rel, ha három utolsó számjegye 0. Feketével: : 1000 = 58; : 1000 = 604; : 1000 = 564; : 1000 = 3500; : 1000 = 70; 7000 : 1000 = 7; 6000 : 1000 = 6; : 1000 = 66 b) Igaz állítások például: Minden 1000-rel osztható szám osztható 100-zal is és 10-zel is. Minden 100-zal osztható szám osztható 10-zel is. c) Hamis állítások: Amelyik szám osztható 10-zel, az osztható 100-zal is. Minden 100-zal osztható szám 1000-rel is osztható. 42. Például: a) ; b) ; c) ; d) Ilyen szám nincs. e) ;

15 A természetes számok kerekítése kisebb szomszédok nagyobb szomszédok egyes tízes százas ezres tízezres Hasonlóan a kisebb szomszédai: , , , , ; nagyobb szomszédai: , , , , A kisebb szomszédai: , , , , ; nagyobb szomszédai: , , , , A 317 kisebb szomszédai: 316, 310, 300, 0, 0; nagyobb szomszédai: 318, 320, 400, 1000, Az 1988 kisebb szomszédai: 1987, 1980, 1900, 1000, 0; nagyobb szomszédai: 1989, 1990, 2000, 2000, A kisebb szomszédai: 9 999, 9 990, 9 900, 9 000, 0; nagyobb szomszédai: , , , , Pontos érték: Ft Közelítõ érték: Ft 45. a) Pontos: 3 (testvér) c) Kicsi a valószínûsége, hogy pontosan Ft-ba került. e) A futópálya hosszát nagy pontossággal mérik, de a mérésnek mindig van valamekkora hibája. 46. Ezresre úgy kerekítünk, hogy a szám helyett a legközelebbi 1000-rel osztható számot vesszük. Ha a szám ezerrel osztható, akkor ez maga a szám, ellenkezõ esetben a közelebbi 1000-es szomszéd. Ha 500-ra végzõdik a szám, akkor fölfelé kerekítünk. Ha x 4000, akkor 3500 x <

16 47. a) Legalább 65, legfeljebb 74 kiránduló volt. 65 x 74 b) Az iskolába legalább 695 tanuló, legfeljebb 704 tanuló jár. 695 tanuló létszám < 705 tanuló c) Máténak legalább 650 Ft-ja, de 750 Ft-nál kevesebb pénze van. Legfeljebb 745 Ft-ja lehet. 650 Ft Máté pénze 745 Ft d) Encsen legalább 6500 ember, legfeljebb 7499 ember él ember a lakosok száma < 7500 ember e) A pénztárgép legalább 6995 Ft-ot, de legfeljebb 7005 Ft-ot mutatott Ft összeg < 7005 Ft f) A kardszárnyú delfin tömege: 6950 kg tömeg < 7050 kg 48. a) x ; y ; z ; u ; v b) x ; y ; z ; u ; v

17 c) x ; y ; z ; u ; v d) x ; y ; z ; u ; v Hosszúságmérés 49. c) Ha a tanár araszának a hosszúsága más, mint a tanulóé, akkor az eredmény is más lesz. 53. Egy bekötõút hossza: 3 km Egy radír szélessége: 30 mm Egy szoba magassága: 300 cm 54. a) 6 m 10 cm = 61 dm = 610 cm = 6100 mm b) 3500 cm = mm = 350 dm = 35 m c) 5060 m = 5 km 60 m = dm = cm Egy papírlap hossza: 3 dm 55. a) A 37 és fél dm-es és a 367 cm-es darabokból vágható le cm b) Ha a 367 cm-es darabból vágjuk le, akkor kevesebb lesz a hulladék. Tömegmérés 57. a) A matematikakönyv tömege nagyobb, mint a matematikafüzet tömege. c) Egy tál konyhasó tömege nagyobb, mint az ugyanakkora tál daráé. 59. a) 4000 g = 400 dkg (dag) = 4 kg; b) 16 kg = 1600 dkg = g; c) 2500 dag = g = 25 kg; d) 40 t = kg = dkg; e) kg = 20 t 60 kg = dkg 17

18 60. A tanuló tömege: 30 kg A csecsemõ tömege: 3000 g A C vitamin tömege: 30 mg A homok tömege: 3 t A tea tömege: 3 dkg (dag) 61. Ásványtartalom: ( ) mg = 3000 mg = 3 g 1000 g 3 g = 997 g víz van 1 kg ásványvízben. 62. A 2600 kg tömegû gránittömb nem szállítható el ezzel a gépkocsival. A többi anyag tömege összesen 2400 kg. Egyszerre elszállítható. A természetes számok összeadása 64. a) = 974; b) = A tagok megfelelõ csoportosításával ésszerûsíthetõ a számítás: a) 4000; b) 590; c) 2100; d) ; e) 7000; f) a) Becslés: = ; a kiszámított összeg: ; b) 4708; c) ; d) ; e) a) 2146; b) 7672; c) ; d) ; e) ; f) = hétszázhetvenkilencezer-ötszázhetvenkilenc = 65 A zárójelekbe írt kifejezések értékének kiszámítása nélkül is meghatározhatjuk az eredményeket a komponensek változásából. a) ( ) + 17 = = 117 b) 48 + (17 10) = = 55 c) (48 20) + ( ) = Például: a) A 100-at adhatom az egyik taghoz: ( ) = A 100 egy részét adhatom az egyik taghoz, a fennmaradó részt a másik taghoz: ( ) + ( ) =

19 b) A 75-öt elvehetem az elsõ tagból: (143 75) + 72 = A 75 egy részét az egyik tagból veszem el, a fennmaradó részt a másik tagból: (143 3) + (72 72) = Az egyik tagból elveszünk 100-at, a másikhoz hozzáadunk 25-öt: ( ) + ( ) = c) Amennyit az egyik tagból elvettem, ugyanannyit kell a másikhoz adnom. 71. a) = ( ) + (202 2) = = 400 b) = (150 1) = = = 299 c) = = = 1519 d) = (627 2) + ( ) = = 1625 A természetes számok kivonása = 75. Jutkának 75 forintja marad. a) 235 (160 25) = = 100 b) 235 ( ) = = a) A különbség rendre: 5; 10; 0; 11 b) Ha a kisebbítendõt 1-gyel, 2-vel, 3-mal... stb. növeled, a különbség ugyanannyival nõ (ha közben a kivonandót nem változtatod). Ha a kisebbítendõt csökkented, a különbség ugyanannyival csökken. c) Ha a kivonandót 1-gyel, 2-vel, 3-mal... növeled, a különbség ugyanannyival csökken (ha közben a kisebbítendõ nem változik). Ha a kivonandót csökkented, a különbség ugyanannyival nõ. d) Ha a kisebbítendõt és a kivonandót egyidejûleg ugyanannyival csökkented vagy növeled, a különbség nem változik. 74. a) = 15; b) (60 + 5) 45 = = 20; c) 60 (45 + 5) = 15 5 = 10; d) (60 + 5) (45 + 5) = 15; e) (60 10) 45 = = 5; f) 60 (45 10) = = 25; g) (60 10) (45 10) = a) 700; b) 1970; c) 1470; d) 300; e) 2300; f) 3300; g) 1300; h) 1300; i)

20 76. a) Becslés: = 1100; a kiszámított különbség: 1112; b) 3744; c) ; d) ; e) a) 3227; b) 1323; c) 6400; d) 1327; e) 5184; f) 3345; g) 7050; h) 1999; i) a) 5219; b) ; c) ; d) 1032; e) 9304; f) 7944; g) a) 26 tanuló; b) 750 m-t; c) 760 Ft-ja; d) 273 mm; e) Éva 88 cm f) Csak a változásokból nem lehet megállapítani a város lakóinak a számát, mert hiányzik a lakosok egy évvel ezelõtti száma. Annyit tudunk, hogy 350-nel többen élnek a városban, mint egy éve. 80. a) A = 138; b) A = 100; c) nincs természetes szám megoldása; d) A < 8; e) A ³ 10; f) minden természetes szám megoldás; g) A = 47; h) A = 5000; i) A = 5500; j) A 56; k) A > 1995; l) A > a) Szükséges adatok Felesleges adatok 328 Ft; 428 Ft; 1200 Ft 3 nap; 5 óra 1200 ( ) = Ft-ot kell kérnie. b) Szükséges adatok: 35 kg; 75 kg; 58 kg. A lift terhelhetõsége: 300 kg Az adatokból kikövetkeztethetõ újabb szükséges adat: a két vendég tömege több 150 kg-nál. Felesleges adatok: 138 cm; 37 év; 162 cm Az öt személy több mint 318 kg, nem szállhatnak be egyszerre. c) Felesleges minden idõvel kapcsolatos adat. s = ( m m) 2 = cm = 183 km d) Bélának ( =) 5120 Ft-ja van. A két fiúnak együtt ( =) 8970 Ft-ja. Felesleges adat: Kati pénze 820 Ft. e) Szükséges adatok: a fiúk száma 413, a lányok száma ennél 28-cal kevesebb. Felesleges adat: tavaly 50 fiúval kevesebb volt. A kislányok száma a) 8000 ( ) + ( ) = 6000 (Ft) 20 b) ( ) = 1000 (Ft)

21 A természetes számok szorzása 83. A-ból B-be B-bõl C-be A-ból C-be B-n keresztül a) = 2 b) = 3 c) = 6 d) = a) A babára 3-féle szoknyát adhat. Így a 4 blúzzal 3 4 = 12-féleképpen öltöztethetõ. b) Az állomástól a kilátóig vezetõ 3 út mindegyike 4-féleképpen folytatható a múzeumig, így az állomástól a múzeumig 3 4 = 12-féleképpen juthatunk el a kilátó érintésével. c) A kétjegyû szám háromféleképpen kezdõdhet, és mindegyik kezdés négyféleképpen folytatódhat, így a megoldások száma: 3 4 = a) 280; 300; 600; b) 820; 410; 4100; c) 6800; 6732; ; d) 200; 2000; a) = 13 (4 25) = 1300; b) = (25 4) (30 15) = = ; c) (2 50) (34 20) = ; d) = (5 20) 63 = 6300; e) (2 5) = ; f) (8 125) (5 7) = = ; g) 0 van a tényezõk között, ezért a szorzat 0; h) 7 ( ) = 7000; i) (8 125) (4 5) 3 = ; j) 195 (5 20) = ; k) (4 2) (8 125) = 8000; l) (11 7) (4 250) =

22 87. a) 85 8 = 680 (Ft) b) = 6200 (Ft) c) = 400 (kézfogás) d) = (szõlõtõke) e) = 1500 (dkg), (azaz kb. 15 kg) f) = 200 (Ft) g) ( ) 20 = (Ft) 88. a) 2-szeresére nõ; b) ötödére csökken; c) felére csökken; d) 3-szorosára nõ; e) nem változik; f) nem változik; g) 4-szeresére nõ. 89. a) Pontatlan. b) Igaz. c) Igaz. d) Hamis. e) Hamis (pontatlan). f) Hamis (pontatlan). g) Igaz. Írásbeli szorzás többjegyû szorzóval 90. a) 3766; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; b) 3388; ; ; ; ; ; ; c) 3648; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; a) = 2100; = 2200; = (84 + 4) 25 = b) = 2730; = 2800; = 70 (39 + 1) = c) = ; = ; = 921 (39 10) = d) = ; = ; = (333 20) 75 = e) = 9197; = ; 541 (17 100) = (541 17)

23 f) = 4200; = 4200; = (84 2) (50 : 2) = g) = ; 7 39 = 273; (700 39) : 100 = 7 39 h) = ; = 9210; = i) = 8325; = 8325; (333 : 3) (25 3) = j) = ; = ; 541 (117 2) = ( ) a) = (Ft) b) = (Ft) c) 1200 : 6 = 200 (Ft) d) Akkor is 3 perc alatt. e) Valószínûleg hamarabb; ha õk is ugyanolyan tempóban dolgoznak: 2 óra f) 250 g 52 = g = 13 kg g) m x Ft x h) = 275 (km); vagy: (110 85) 11 = = 275 (km) i) = = 7405 (Ft) Az idõ mérése 94. b) Egy szökõév elsõ 5 hónapja 152 napból áll. (Január 31 napos, február 29 napos, március 31 napos, április 30 napos, május 31 napos.) c) A leghosszabb ideig 80 percig Cili dolgozott. A három gyerek összesen 185 percig, azaz 3 óra 5 percig dolgozott. d) 9 óra 30 perctõl 13 óra 15 percig 3 óra 45 perc = 225 perc telik el. A hasonló feladatok megoldásában segíthet az idõegyenes. 23

24 e) 15 perc = 900 másodperc. f) Október 9-bõl még hátra van: 12 óra október 10-tõl 21-ig óra: 264 óra október 21-én eltelik: + 4 óra Ez összesen: 280 óra g) 10 nap = 240 óra = perc = másodperc, és ez kevesebb másodpercnél. 95. a) 8 óra 30 percet biztosítanak alvásra. b) 35 perc + 2 óra 30 perc + 25 perc + 10 perc = 3 óra 40 perc 3 óra 40 percet fordítanak egészségük megóvására. c) 2 óra 30 perc + 3 óra 25 perc + 1 óra 30 perc = 7 óra 25 perc 7 óra 25 percet fordítanak munkára. d) 15 perc = 900 másodperc 7800 m m = 7000 km e) 250 ml + 3 és fél dl = 6 dl, több mint fél liter. f) 67, 72, 71 átlaga perc alatt körülbelül = 700-at verhetett a szíve. 96. a) Az elsõ hat hónap 181 napból áll, szökõévben 182 napból. b) 1 hét = 168 óra; 1 nap = 1440 perc c) Aladár a házi feladatra 1 órát fordított = 270; 270 perc = 4 és fél óra d) Szükséges adatok: egy és fél óra, 12 perc, 65 perc Felesleges adatok: 127 km, 102 km Az út 167 perc = 2 óra 47 percig tartott. e) Szükséges adatok: 1 óra 25 perc, 2 óra 40 perc, 65 perc Felesleges adatok: 515 m tengerszint feletti magasság, 5 km hosszú út. A túra 5 óra 10 percig tartott. f) 6 és háromnegyed óra 2 óra 50 perc = 405 perc 170 perc 405 perc 170 perc = 235 perc = 3 óra 55 perc Legkésõbb 3 óra 55 perc múlva kell indulniuk. g) = 9360; 9360 (perc) = 9360 : 60 = 156 (óra) Másképp számolva: 4 45 perc = 180 perc = 3 óra; 3 52 = 156 (óra) Flóra egy év alatt 156 órát (= 6 nap 12 órát) edz. 24

25 Osztó, többszörös 97. a) 1, 20; 2, 10; 4, 5; b) 1, 36; 2, 18; 3, 12; 4, 9; 6; c) 1, 48; 2, 24; 3, 16; 4, 12; 6, 8; d) 1, 47; e) 1, 49; 7; f) 1, 50; 2, 25; 5, a) 1 b) 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37 c) A többi egész szám 39-ig. 99. a) b) A szám többszörösére mutat a nyíl a), b), c) 2, 5, 10 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft; 3200 Ft; 2850 Ft; 5840 Ft Csak 5 Ft-osra váltható 2645 Ft. d) 20 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft; 3200 Ft; 5840 Ft e) 50 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft; 3200 Ft; 2850 Ft f) 100 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft; 3200 Ft g) 200 Ft-osra váltható: 4000 Ft; 3200 Ft h) 500 Ft-osra váltható: 2500 Ft; 4000 Ft 101. a) 0, 20, 40, 60, 80, 100,..., 500, 520, 540, 560, 580, 600 b) 0, 25, 50, 75, 100, 125,..., 500, 525, 550, 575, 600 c) 0, 30, 60, 90, 120, 150,..., 480, 510, 540, 570,

26 102. a) Sárga: 0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30 Zöld: 0; 9; 18; 27 Csak sárga: 3; 6; 12; 15; 21; 24; 30 Csak zöld nincs, hiszen amelyik szám 9-cel osztható, az osztható 3-mal is. Mindkét színnel: ami zöld. Egy színnel sem: 1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 16; 17; 19; 20;... b) A = {A 3 többszörösei}; B = {A 9 többszörösei} 103. a) A 10 többszöröseit. b) C = páratlan; D = nem osztható 5-tel c) Az ábrán megszámoztuk a mezõket. Így a megoldásban a római számok jelentik a beszínezett halmazokat. X = {2-nek többszöröse, de 5-nek nem többszöröse}: II. Y = {2-nek és 5-nek többszöröse}: III. W = {5-nek többszöröse, de 2-nek nem többszöröse}: IV. Z = {2-nek vagy 5-nek többszöröse}: II., III., IV Csak sárga: 4; 8; 16; 20; 28; 26 csak kék: 6; 18; 30; mindkettõ: 0; 12; 24; egyik sem: 1; 2; 3; 5; 7; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 19; 21; 22; 23; 25; 26; 27; 29

27 A természetes számok osztása 105. a) 3 x = 21; x = 7; b) 8 x = 96; x = 12; c) x 6 = 150; x = 25 (dm); d) x = 11 3; x = 33; e) x 7 = 56; x = a) a = 8; b) b = 5; c) c = 3; d) d = 13; e) e = 25; f) f = 16; g) g = 136; h) h = 150; i) i = 2300; j) j = 100; k) k = 400; l) x = 40; m) nincs megoldás; n) n = 0; o) nincs megoldás; p) nincs megoldás 107. a) 3 többszörösei: 0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 3-mal osztva 0 maradékot adnak. b) A 4; 7; 10; 13; 16; 19 lesz kék. c) Nincs. d) 3-mal osztva 2-t adnak maradékul A hányados a) a kétszeresére nõ; b), c) a harmadára csökken; d) a négyszeresére nõ; e), f) nem változik. Osztás egyjegyû osztóval 109. A hányadosok után ( )-ben a maradék van. a) 163 (0); 63 (1); 1203 (0); 700 (5); 1006 (2) b) 159 (0); 128 (0); 60 (4); 1016 (0); 1561 (4) c) 56 (0); 115 (2); 105 (0); 147 (6); 655 (4) d) 63 (0); 111 (0); 500 (3); 677 (0); 111 (1) e) 71 (4); 71 (7); 57 (4); 921 (4); 125 (0) 110. a) 125 Ft; b) 745 Ft-ja van; c) nem, 143 nem osztható 5-tel; d) 3570 : 7 = 510 (0); e) =

28 Az összeg és a különbség osztása 111. a) (36 16) : 4 = 36 : 4 16 : 4 = 5 b) ( ) : 7 = : : 7 = 3000 (Ft) c) ( ) : 8 = 5720 : : 8 = 1000 (Ft) 112. a) ( ) : 6 = 360 : 6 = 60; 156 : : 6 = = 60 b) ( ) : 5 = 2425 : 5 = 485; 2015 : : 5 = = 485 c) A természetes számok körében csak a következõ terv szerint végezhetjük el a számítást: ( ) : 8 = 9824 : 8 = 1228 d) ( ) : 3 = 222 : 3 = 74; 456 : : 3 = = 74 e) ( ) : 9 = 3267 : 9 = 363; 4185 : : 9 = = 363 f) A természetes számok körében csak egy terv szerint számítható ki: ( ) : 5 = 1575 : 5 = 315 A következõ három feladatban csak egyféle terv szerint számolhatunk: g) 4536 : (6 + 2) = 4536 : 8 = 567 h) 225 : ( ) = 225 : 5 = 45 i) Nem értelmezhetõ a nullával való osztás a) = (150 2) 4 = = 592; 96 : 4 = (100 4) : 4 = 25 1 = 24; 2985 : 5 = ( ) : 5 = = 597 b) = = 8100; 68 : 4 28 : 4 = 40 : 4 = 10; 1896 : 8 16 : : 8 = 2000 : 8 = a) 32; 64; 80; 88; 92; 94;... b), c) 32; 40; 44; 46; 47; 47 és

29 Osztás többjegyû osztóval : 3 = 150 : 30 = 1500 : 300 (= : ) = : 3 = 270 : 30 = 2700 : 300 = : 3000 = 9 (a maradék 0) 29 : 3 = 9; 290 : 30 = 9; 294 : 30 = 9; 2900 : 300 = 9; 2940 : 300 = a) 96'7 : 23 = 4.; becslés: 40 < hányados < 50, maradék < 23; hányados (h) = 42, maradék (m) = 1; 568 : 41, h = 13, m = 35; 745 : 25, h = 29, m = 20; 630 : 15, h = 42, m = 0; 632 : 28, h = 22, m = 16 b) 745 : 68, h = 10, m = 65; 808 : 39, h = 20, m = 28; 560 : 28, h = 20, m = 0; 984 : 48, h = 20, m = 24; 635 : 27, h = 23, m = 14 c) 456 : 63, h = 7, m = 15; 2368 : 45, h = 52, m = 28; 6052 : 79, h = 76, m = 48; 6409 : 52, h = 123, m = 13; 7000 : 63, h = 111, m = 7 d) 46'52 : 18 = 2..; becslés: 200 < h < 300, m < 18; h = 258, m = 8; 2328 : 76, h = 30, m = 48; 8200 : 39, h = 210, m = 10; 6784 : 48, h = 141, m = 16; 3565 : 71, h = 50, m = a) 207 Ft-ba. b) 365 Ft-ot (és megmaradt 15 Ft); felesleges adat: 11-es találat. c) 750 : 25 = 30 (db-ot). d) 58 Ft-ja. e) ( ) : 425 = 150 (Ft) és maradt 50 Ft. f) : ( ) = 200 (db-ot) a) Becslés: : 80 = 1500 (zsák) zsákot teletölthettek és az zsákba 72 kg jut. A további feladatokban is becsüld meg az eredményt! Itt csak a kiszámított értékeket adjuk meg. b) perc = 168 óra = 7 nap. c) Csaba 3 km 450 m hosszú utat 6273 lépéssel tesz meg. ( : 55 = 6272) lépést másodperc = 4182 másodperc 70 perc alatt tesz meg. 29

30 d) A csõ átmérõje felesleges adat. 275 csõre van szükség. A 275. csõbõl csak 12 m-es darab kell. e) 17 és fél percig esett az esõ. A fél perc a 60-nal való osztás maradékából, a 30 másodpercbõl adódik a) Becslés: = 4800 < 6480 < = 7200; 20 < h < 30 A vég 27 méter hosszú. b) Egy lap szélességû járdához lap, két lap szélességû járdához lap kell. Megvizsgálhatjuk, hogy ha a lapok között fél centiméteres rést hagynak ki, akkor kb. hány lappal kell kevesebb. (Körülbelül 200 lappal.) c) Egy hét alatt Ft-ot keresett. d) 696 Ft az órabér. e) Egy-egy rész 506 kg. A maradék 32 kg = g g : g f) x 57 < ; : 57 = 309; x = g) x 87 < < x 88; : 87 = 420; x = 420; 10-zel több. 10 A mûveletek sorrendje 121. a) ( ) : 30 = 700 (Ft) b) = (Ft-ot) Ha nem volt szökõév, mert akkor még 645-tel (vagy 680-nal) többet I. II. III. Összehasonlítás a) I. = III. > II. b) I. = II. > III. c) III. < I. < II. d) I. > II. > III. e) I. > III. > II. f) I. > III. > II a) 970; 890; b) 81; 6; 30 c) 983; 5285; d) 1315; 1770; e) 752; ; f) ; 905; 768; 976; 1489; 921

31 Gyakorlófeladatok 124. a) Ötezer-háromszázhetvenhét; százötvenhat; háromszázötvenhatezer- -nyolcszázkilencvenhárom; százhetven; huszonháromezer-kilencszázöt; tízezer-nyolcszázhárom; ezerkilencszázkilencvenöt. b) 4030; ; 2002; ; < 4030 < < < c) Legnagyobb: 964; legkisebb: a) ; ; ; b) 460; 500; 0; 0 c) ; ; ; , 314; , ; 0, 49; , Az 1, 0, 9, 6 számkártyákból 18 négyjegyû szám rakható ki. Ezek: 1069; 1096; 1609; 1690; 1906; 1960; 6019; 6091; 6109; 6190; 6901; 6910; 9016; 9061; 9106; 9160; 9601; 9610 A legkisebb páros szám közülük: 1096 A legnagyobb páratlan szám: a) b) a) b) 129. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f)

32 130. a) 3222; b) ; c) 6111; d) 3554; e) 8848; f) ; g) 2912; h) ; i) a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) ; l) ; m) ; n) ; o) ; p) Hányados: h; maradék: m a) h = 8, m = 26; b) h = 117, m = 57; c) h = 60, m = 25; d) h = 37, m = 26; e) h = 67, m = 29; f) h = 14, m = 32; g) h = 14, m = 83; h) h = 864, m = 44; i) h = 4, m = 29; j) h = 67, m = 2; k) h = 31, m = 30; l) h = 2561, m = 4; m) h = 15, m = 37; n) h = 2099, m = 63; o) h = 29, m = 618; p) h = 52, m = a) 7780; b) ; 4740; ; c) ; d) ; ; ; e) h = 400, m = 2; f) h = 520, m = 0; h = 311, m = 0; h = 100, m = 5; g) h = 140, m = 0; h) h = 300, m = 400; h = 40, m = 0; h = 140, m = 0 32 Milliós 134. Százmilliós Tízmilliós Százezres Tízezres Ezres Százas Tízes Egyes a)

33 Milliós Százmilliós Tízmilliós Százezres Tízezres Ezres Százas Tízes Egyes b) a) ; b) 34 28; c) 28 13; d) 32 28; e) 34 29; f) 18 x a) (190 35) = 345 (Ft) b) A nyitott mondat lehet: 145+ x = Ft-ot kell még gyûjteni. c) Szükséges adatok: Katinak van 3100 forintja; a labda ára 650 Ft; a társasjáték 1970 Ft. Felesleges adat nincs > , ezért Katinak nem kell pénzt kérnie a szüleitõl. d) x = ; x = Ft-ot kaptak. e) ( ) : 2 = 150 Az 500 Ft-ból az egyik gyerek 150, a másik 350 Ft-ot kapott a) Ha a résztvevõk száma százas pontosságú, akkor a tanulók számát is százasokra kerekítjük = 1700 a felnõttek száma. b) A liftbe hatan szállhatnak be ; 500 : 80 6 c) ( Ft Ft) 12 = Ft Az évi jövedelem: Ft 138. a) 15 m 8 cm = 1508 cm; mm = 30 m 40 cm b) 40 dm 50 mm = 4 m 5 cm; 605 cm = 6 m 50 mm c) 7 km 50 m = 7050 m; 4360 m = 4 km 360 m 139. a) 35 kg 4 dkg = 3504 dkg; g = 25 kg 30 dkg b) 450 dkg = 4 kg 500 g; 1508 dkg = 15 kg 80 g 33

34 140. a) 5 nap 6 óra = 126 óra; 50 óra = 2 nap 2 óra = 3000 perc b) Fél óra = 30 perc = 1800 másodperc c) 1év 52 hét; 3 (normál) év 100 nap = 1195 nap Nem tízes alapú számrendszerek B1. a) A babszemek száma a leltár alapján: = = 148 b) 148 hatosával csoportosítva: = 404 ➅ B2. a = 5; b = 54; c = 109; d = 64; e = 33; f = 31; g = 127 B B4. a) 0 = 0 ➂ ; 1 = 1 ➂ ; 2 = 2 ➂ ; 3 = 10 ➂ ; 4 = 11 ➂ ; 5 = 12 ➂ ; 6 = 20 ➂ ; 7 = 21 ➂ ; 8 = 22 ➂ ; 9 = 100 ➂ ; 10 = 101 ➂ ; 11 = 102 ➂ ; 12 = 110 ➂ ; 13 = 111 ➂ ; 14 = 112 ➂ ; 15 = 120 ➂ ; 16 = 121 ➂ ; 17 = 122 ➂ ; 18 = 200 ➂ ; 19 = 201 ➂ ; 20 = 202 ➂ b) Egy, három, kilenc, huszonhét, nyolcvanegy c) 0; 1; 2; 3; 4; 5 d) 322 ➄ ; ➂ ; 223 ➅ B5. a) 73 = = ➁ ; 73 = = 1021 ➃ b) ➁ ; 157 ➇ Összehasonlítás: Összehasonlítás: 34

35 c) 1A9 ; 11C ; ahol A = 11, C = 13 d) g = 26; h = 396; i = 133; j = Törd a fejed! B6. A = {3 többszörösei} B = {5 többszörösei} K: 0; 15; 30 L: 3; 6; 9; 12; 18; 21; 24; 27; 33; 36; 39 M: 5; 10; 20; 25; 35; 40 N: 1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14; 16; 17; 19; 22; 23; 26; 28; 29; 31; 32; 34; 37; 38 B7. a) b) B8. A: hamis B: hamis 35

36 B9. A = {Páratlan számok} B = {10-zel osztható számok} C = {Páros számok} D = {10-zel nem osztható számok} B10. 9; b) ; c) ; 108; ; ; 1107; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; B11. a) x = = ; x = 10062; = ; = b) y = = 5000; y = 5062; = ; = ; = 5062; = 5062; = B12. Becslés: = = = = : 10; = ; = B '50 : 25 = 6..; 600 < h < 700 B14. a = : 25 = 6300 b = : 75 = 630 : 3 = 210 c = : 250 =

37 B15. a) 5300 ( ) = 1200; b) ( ) = 4800; c) ( ) = 5800 B = 42; 9 3 = 27; 32 : 4 = 8; 96 : 8 = 12 a) = A; = A; : 8 = A; : 4 = A b) = B; : 4 = B; : 8 = B; = B c) 32 : 4 5 = C; 96 : 8 9 = C; = C; = C A = 53; B = 25; C = 3 B17. a) = 70; = 60; b) (2 + 5) = 70; = 10 c) ( + 2) 5 = 70; = 12; d) = 70; = 32 és fél B18. a) ( ) : 2 = ( ) : 2 = 700 b) ( ) 2 : 2 = : 2 = 750 c) (650 : ) 2 = ( ) 2 = 850 B19. Mindketten ugyanannyit költöttünk. ( ) + ( ) = = = (Ft-ért vásároltam.) ( ) + ( ) = = = (Ft-ért vásárolt Pista.) (Az összeg tagjai tetszés szerint csoportosíthatók.) B20. a) d = 0; b) e bármely természetes szám lehet; c) f = 34 B21. a) 0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48 b) 1; 7; 13; 19; 25; 31; 37; 43; 49 c) 2; 8; 14; 20; 26; 32; 38; 44; 50 d) 3; 9; 15; 21; 27; 33; 39; 45 e) 4; 10; 16; 22; 28; 34; 40; 46 f) 5; 11; 17; 23; 29; 35; 41; 47 g), h) 6-tal osztva 6, illetve 7 maradék nem lehet, mert abban még egyszer megvan a 6. A maradéknak kisebbnek kell lenni az osztónál. B22. a) 5 t = 5000 kg; 7 t 25 kg = 7025 kg; 13 t 13 kg= kg; 5 tized t = 500 kg (1 tized t = 1000 kg : 10) b) 20 kg = 2000 dkg; 3 t 2 kg = 3002 kg = dkg; negyed kg = 100 dkg : 4 = 25 dkg; 3 negyed kg = 75 dkg 37

38 c) 300 cm = 3 m; 300 dm = 30 m; 2000 mm = 2 m; 6000 cm = 60 m; 250 dm = 25 m; 250 cm = 2 és fél m d) 1000 dkg = 10 kg; 2000 g = 2 kg; 3400 dkg = 34 kg; 3500 g = 3 és fél kg B23. a) Az adatok mindegyike szükséges és a megoldáshoz elégséges. Az ismert adatok segítségével a mennyiségeket szakaszokkal ábrázolhatjuk. Az ismert és az ismeretlen adatokat táblázatba foglalhatjuk: A megoldás lépései lehetnek: Csomag Doboz Rendeltek 35? Leszállítottak? 1344 Késõbb szállítják 7? (1) Leszállítottak (35 7 =) 28 csomagot, ez 1344 doboz. (2) Egy csomagban (1344 : 28 =) 48 doboz van. (3) A rendelt mennyiség (35 48 =) 1680 doboz. (4) Ellenõrzés például: késõbb szállítanak 48 7 = 366 dobozt, = 1680 doboz. b) Az adatok mindegyike szükséges és a megoldáshoz elégséges. Most is segíthet a rajz, a mennyiségek szakaszokkal való ábrázolása. 38 A megoldás lépései lehetnek: (1) 3 autóra fér (8 + 1 =) 9 t burgonya. (2) 1 autóra 3 t fér. (3) Az elszállított burgonya ( =) 23 tonna. (4) Ellenõrzés: = 23 c) Hiányzik a lánc hossza, nem oldható meg a feladat. d) A gyerekek életkora felesleges adat. Mivel nem tudjuk, hogy a harmadik gyerek milyen munkatempóval ás, ezért csak azt mondhatjuk, hogy 4 óránál kevesebb idõ szükséges a kert felásásához. e) 1 km-t körülbelül 50 másodperc alatt teszünk meg. A 102 km-t 5100 másodperc = 85 perc alatt tesszük meg.

39 Tudáspróba ; pont ; ; pont 3. 0 < x 9 2 pont 4. a) 7 m 8 cm = 708 cm = 7080 mm; mm = 34 m 5 dm 3 pont b) 4 t 5 kg = 4005 kg = dkg; 405 dkg = 4 kg 50 g 3 pont c) 1 nap 12 óra = 36 óra = 2160 perc; 75 óra = 3 nap 3 óra 3 pont 5. x = = 3400 x = 3486 y = = y = z = ( ) 18 ( ) 20 = z = Ellenõrzéssel: 3 pont Rövidített szorzás esetén: 3 pont Mûveleti sorrend: 1 pont Becslés: 2 pont Számítás: 2 pont w = 5648 : 27; becslés: 200 < w < pont w = 209; maradék 5 Számítás: 2 pont Ellenõrzés: 2 pont 6. 2 pont 7. a) 1 fõ 585 Ft 18 fõ x Ft x = = ; x < ; x = pont Az eredmény összhangban van a becsült értékkel Ft-ot kaptak összesen. 5 pont b) 570 : 45 = 12; 12 pogácsát vehet, és marad 30 Ft-ja. Ellenõrzéssel: 5 pont 39

40 2. GEOMETRIAI ALAKZATOK Ismerkedés testekkel, felületekkel, vonalakkal 1. a) Test. b) Test (esetleg gömbtest). c) Vonal, ha eltekintünk a vastagságától, ellenkezõ esetben test. d) Felület (sík). e) Test (téglatest). f) Felület (gömbfelület). g) Vonal. Ha végesnek gondoljuk, akkor szakasz, ha végtelennek, akkor egyenes. h) Vonal, ha a vastagságától eltekintünk. 2. Szakasz AB CD EF GH MN EP PF GP PH Mérés (mm) mm-es eltérés nem számít hibának. 3. a) A Q pont mindkét félegyeneshez hozzá tartozik. b) Lásd a tankönyv 76. oldalának utolsó három ábráját. Egyenesek kölcsönös helyzete 6. A pontok az adott egyenestõl 2 cm távolságra lévõ párhuzamos egyenespáron vannak. 7. a) A két szívószál párhuzamos egymással. Kétféleképpen helyezhetõ el a második szívószál. 40 b) A térben végtelen sokféleképpen helyezhetõ el a második szívószál úgy, hogy párhuzamos legyen a padra letett szívószállal.

41 8. 9. a) s párhuzamos p-vel (s p) b) f merõleges p-re (f p) c) k párhuzamos f-fel (k f ) k merõleges s-re (k s) k merõleges p-re (k p) Síkidomok, sokszögek 10. Csoportosítási szempontok lehetnek például: Egy határvonala van (1., 4., 5., 6., 7., 8.). A végtelenbe nyúlik, nem korlátos (4., 8.). Csak egyenes szakaszok határolják (1., 2., 4., 6., 7.). Félegyenesekbõl áll a határvonala (8.). Tengelyesen tükrös (1., 3., 5., 8.). 11. a) Az a oldallal szemközti oldal a c. b) Az a oldallal szomszédos oldalak a b és a d oldal. c) Az A csúccsal szemközt a C csúcs van. A két csúcsot átló köti össze. d) K = a + b + c + d = 27 mm + 24 mm + 30 mm + 35 mm = 116 mm = = 11 cm 6 mm = 1 dm 16 mm 12. A: 1., 4., 6., 7; B: 1., 2., 4., 6., 8., 10.; C: 6., 10.; D: 4., 6., 10.; E: 4., 6., 10.; F: 4., 6 41

42 Egybevágó síkidomok 13. Egybevágó sokszögek: az 1. és a 2., a 4. és a 9., a 5. és a b) Elkezdtük a kétszeresre nagyított kép megrajzolását: c) Elkezdtük a tükörkép megrajzolását. Egybevágó síkidomokat kapunk: d) A tükörkép egybevágó az eredeti képpel: 15. A két négyszög nem egybevágó egymással. Az oldalaik egyenlõk, de az egyikben merõlegesek a szomszédos oldalak, a másikban nem. Téglalap, négyzet 16. a) 148 m; 140 m; 112 m b) 74 db; 70 db; 56 db c) ; 280; lépéssel 42

43 17. A méréssel közelítõ értékeket kapunk, ezért az eredmények mellé odaírtuk, hogy milyen hibahatáron belül elfogadható a kerületre kapott érték. Például, ha K = 65 ± 3 mm, akkor a kerületet 62 mm és 68 mm közötti értéknek mérhetjük. (1) 79 ± 3 mm; (2) 69 ± 3 mm; (3) 70 ± 4 mm; (4) 56 ± 4 mm; (5) 65 ± 4 mm; (6) 81 ± 5 mm; (7) 68 ± 5 mm; (8) 47 ± 6 mm; (9) 66 ± 6 mm; (10) 48 ± 6 mm 18. a) 80 cm; b) 6 m = 60 dm = 600 cm; c) 252 dm = 2520 cm; d) 92 cm, ez a téglalap négyzet. 19. a) b 2 = 350; b 2 = 210; b = 105 cm b) Nincs ilyen téglalap, mert 2 65 mm = 130 mm. A másik két oldalnak 0 cm-nek kellene lennie. c) 15 dm, ez a téglalap négyzet; 4 15 dm = 60 dm = 6 m d) 6 cm, 11 cm; e) 8 cm, 16 cm 20. a) 4 a = 360 cm; a = 90 cm; b) 1 m 40 mm = 104 cm; a = 26 cm A terület mérése, mértékegységei 21. Ha a területegység 1 rácsnégyzet területe, akkor a téglalapok területe növekvõ sorrendben: (2) 10 egység; (4) 12 egység; (1) 15 egység; (3) 16 egység Észrevehetõ, hogy a (2) téglalap kerülete a legnagyobb (22 hosszúságegység), ugyanakkor ennek a téglalapnak a területe a legkisebb. A másik három téglalap kerülete egyenlõ, 16 hosszúságegység, a területük mégis különbözõ. Az egyenlõ kerületû téglalapok közül a négyzet területe a legnagyobb. 43

44 22. a) T = 32 területegység. b) A területegységet négyszeresére növeltük, a mérõszám egynegyed részére csökken. T = 8 területegység. 23. A téglalap oldalai (hosszúságegység): 1 és 7; 2 és 6; 3 és 5; 4 és 4 A téglalapok területe (területegység): 7; 12; 15; 16 Az egyenlõ kerületû téglalapok közül a négyzet területe a legnagyobb. 24. Az oldalak növekedése: A terület növekedése: 2-szeres 3-szoros 4-szeres (2 2 =) 4-szeres (3 3 =) 9-szeres (4 4 =) 16-szoros stb. 25. a) b) c) d) K (hosszúságegység) T (területegység) a) 1 dm 2 = 100 cm 2 = mm 2 ; 1 m 2 = cm 2 b) 6 dm 2 = 600 cm 2 = mm 2 ; 16 m 2 = cm 2 c) 1 ha = m 2 ; 9 ha = m 2 ; 15 ha = m 2 d) 4 ha 45 m 2 = m 2 ; m 2 = 20 ha e) 1 km 2 = 100 ha = m 2 f) 6 km 2 20 ha = 620 ha = m 2 A téglalap területe 27. a) T = 6 cm 2 = 600 mm 2 b) T = 1200 mm 2 = 12 cm Figyeljük meg a szorzatok változását: a) 315 cm 2 ; b) 630 cm 2 ; c) 945 cm 2 ; d) 1260 cm 2 44

45 29. a) mm 2 = 162 cm 2 b) cm 2 = 150 dm 2 = 1 m 2 50 dm 2 c) 1500 mm 2 = 15 cm 2 d) cm 2 = 210 dm 2 (= 2 m 2 10 dm 2 ) e) m 2 = 35 ha f) mm 2 = 200 cm 2 = 2 dm 2 g) m 2 = 300 ha = 3 km a) 50 cm; b) 120 mm; c) 205 m 31. c) T = m 2 = 756 m 2 ; marad: 756 m m 2 52 m 2 = 564 m 2 Téglatest, kocka 33. a) Az a négy él merõleges a kiválasztott lapra, amelyek egy pontban döfik a lap síkját. A többi nyolc él párhuzamos a kiválasztott lappal (azok is amelyek rajta vannak a lapon). b) Négy lap párhuzamos a kiválasztott éllel (két ilyen lapnak metszésvonala ez az él). c) A kiválasztott két él nem metszi egymást, és nem párhuzamos egymással. 45

46 Síkok és egyenesek, síkok és síkok kölcsönös helyzete a térben B1. a) A papírlap síkja párhuzamos az asztallap síkjával. (Igaz.) b) A lila rudak hossza 6 cm. A rájuk fektetett papírlap pontjai 6 cm távolságra vannak az asztallap síkjától. Néhány 3 cm hosszú világoskék rúdra ráhelyezünk egy lapot. Erre a lapra ráállítunk néhány világoskék rudat, majd rájuk is fektetünk egy lapot. A két papírlap síkja és az asztallap síkja párhuzamos egymással. A felül lévõ papírlap pontjai 6 cm távolságra vannak az asztallap síkjától. Az alatta lévõ lap pontjai 3 cm-re vannak a felsõ papírlap, illetve az asztallap síkjától is. c) A negyedik emelet padlósíkján. B2. Tekintsük a következõ feladatnál látható ábrát. a) Például az AB élre merõleges a BC, a BF, az AD és az AE él; az AB éllel párhuzamos az AB, az EF, a GH és a CD él; az AB éllel kitérõ élpárt alkot az EH, a DH, az FG és a CG él. b) Például az ABCD lappal párhuzamos az ABCD és az EFGH lap. c) Például az ABCD lappal párhuzamos az AB, a BC, a CD, a DA, az EF, az FG, a GH és a HE él. d) Például az AB éllel párhuzamos az ABCD, az ABFE, az EFGH és a CGHD lap. B3. a) A B csúcsban találkozó három él mindegyike merõleges a másik két élre. b) Az ABFE lapra merõleges az ABCD lap, az ADHE lap, a BCGF lap és az EFGH lap. c) Az ABFE lapra merõleges az AD él, az EH él, az FG él és a BC él. d) Az AB élre merõleges a BCGF és az ADHE lap. 46

47 A téglatest hálója, felszíne 34. Az a) és a c) kockaháló. 35. Az összeállítható téglatestek élei és felszíne: (1) 2 cm, 2 cm, 2 cm, A = 24 cm 2 ; (2) 2 cm, 2 cm, 3 cm, A = 32 cm 2 ; (3) 2 cm, 2 cm, 4 cm, A = 40 cm 2 ; (4) 2 cm, 3 cm, 4 cm, A = 52 cm a) 500 mm 2 ; 2500 mm 2 ; 250 mm 2 ; b) 15 cm 2 ; 205 cm 2 ; c) 300 cm 2 = mm 2 ; 3200 cm 2 = mm a) A = 112 egység; b) A = 192 egység; c) A = 136 egység 1 területegység egy rácsnégyzet területe. 38. a) 62 cm 2 ; b) 248 cm 2 = 2 dm 2 48 cm 2 ; c) 558 cm 2 = 5 dm 2 58 cm 2 ; d) 90 dm 2 ; e) 5400 dm 2 = 54 m 2 ; f) 142 m 2 ; g) 7636 mm 2 = 76 cm 2 36 mm 2 ; h) 1090 dm 2 = 10 m 2 90 dm a) 7462 mm 2 = 74 cm 2 62 mm 2 b) cm 2 = 11 m 2 17 dm 2 60 cm 2 c) 994 dm 2 = 9 m 2 94 dm a) 24 cm 2 ; b) 96 cm 2 ; c) 2400 cm 2 = 24 dm 2 ; d) mm 2 = 4 dm 2 13 cm 2 34 mm 2 ; e) mm 2 = 1 m 2 52 dm 2 40 cm 2 96 mm 2 ; f) mm 2 = 1 dm 2 81 cm 2 50 mm db 4 3 cm-es lappal kiegészítve cm-es téglatestet kapunk; A = 52 cm 2. A téglatest térfogata 42. Rózsaszín rúdból 4 db 8 fehér kocka. Világoskék rúdból 9 db 27 fehér kocka. Piros rúdból 16 db 64 fehér kocka. Lila rúdból 36 db 216 fehér kocka. 47

48 43. a) 5 4 egységkockából épül fel egy réteg. 3 rétegbõl épül fel a téglatest = 60 egységkocka szükséges. b) Az alaplapjára (4 3 =) 12 egységkocka fér. (72 : 12 =) 6 egység magas lesz a téglatest. c) A felépíthetõ téglatestek éleinek a hosszúsága: egység; egység; egység; egység; egység; egység; egység, ez kocka 44. a) A felépíthetõ téglatestek térfogata minden esetben 8 cm 3. b) Éleinek a hosszúsága, illetve felszíne: cm; A = 34 cm 2 ; cm; A = 28 cm 2 ; cm; A = 24 cm 2 A felépíthetõ, egyenlõ térfogatú téglatestek közül a kocka felszíne a legkisebb. 45. a) 27-et; (hat vágással darabolható fel). b) 1-szerese; a darabolás során a térfogat nem változik. 1 c) része; minden vágással még két lapnyi új felület képzõdik. Így a kocka 3 felszínéhez még hozzáadódik a kétszerese, ezért az eredeti felszín megháromszorozódik. 46. a) 30 cm 3 ; b) 240 cm 3 ; c) 250 dm 3 ; d) 50 dm 3 ; e) dm 3 = 27 m 3 ; f) 105 m 3 ; g) mm 3 = 43 cm mm 3 ; h) 2100 dm 3 = 2 m dm 3 ; i) cm 3 = 35 dm cm 3 ; j) cm 3 = 8000 dm 3 = 8 m a) a b c = 3600 cm 3 ; c = 3600 : (a b); c = 18 cm; b) 8 dm; c) 10 cm = 1 dm; d) 12 cm; e) 25 dm = 2 m 5 dm 48