Szavazási eljárások Fejezetek a döntéselméletből
|
|
- Diána Kovácsné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Szavazási eljárások Fejezetek a döntéselméletből Rebák Örs november Bevezetés A bevezetésben tárgyaltakat ismertnek teszem fel, közlésük csupán a teljesség kedvéért történik, illetve mert az irodalomban sokszor elveszhetünk a különböző elnevezések miatt, így legalább érthető az olvasó számára, hogy a fogalmakat milyen értelemben használom. Az előkerülő fogalmak kapcsán próbáltam azokat a tulajdonságokat kiemelni, illetve azokat az újabb fogalmakat bevezetni, amiket a szavazási eljárások tárgyalásakor használunk is. Binér relációk és a preferenciarendezés Binér relációk. Egy halmazt binér relációnak vagy kétváltozós relációnak nevezünk, ha minden eleme rendezett pár. Ha R egy binér reláció, akkor az (x, y) R helyett gyakran xry jelölést írunk, és azt mondjuk, hogy x és y között fennáll az R reláció. Ha valamely X és Y halmazokra R X Y, akkor azt mondjuk, hogy R reláció X és Y között. Ha X = Y, akkor azt mondjuk, hogy R egy X-beli binér reláció. Legyen R egy X-beli binér reláció. Azt mondjuk, hogy R reflexív, ha minden x X esetén (x, x) R; tranzitív, ha minden x, y, z X-re (x, y) R és (y, z) R esetén (x, z) R; dichotom vagy teljes, másoknál univerzális, ha minden x, y X esetén (x, y) R vagy (y, x) R (esetleg mindkettő) teljesül, azaz bármely két elem összehasonlítható. Preferenciarendezés. Egy X halmazbeli preferenciarendezés egy reflexív, tranzitív és teljes X-beli binér reláció. A preferenciarendezést P szimbólummal fogjuk jelölni, és ezután a könnyebb olvashatóság kedvéért az (x, y) P helyett az xp y írásmódot alkalmazzuk. Az xp y reláció esetében azt mondjuk, hogy x preferált y-hoz képest, vagy x legalább olyan jó mint y. Azt is mondjuk, hogy xp y az {x, y} (P szerinti) preferenciasorrendje vagy sorrendje. Szintén a könnyebb olvashatóság miatt azt, hogy xp y és yp z teljesül, az xp yp z írásmóddal jelöljük, és ekkor az xp yp z sorrendről beszélünk. Ilyenkor 1
2 nyilván a tranzitivitás miatt xp z is teljesül. Van aki P helyett R, vagy valamilyen más betűt, illetve a szimbólumot, vagy valamelyik nyomdai szempontból közeli rokonát használja. Relációk elméletét kellő matematikai egzaktsággal tárgyalja Járai [8] könyvének 1. fejezete. Közgazdasági szempontból fontos dolgokat emel ki Temesi [12] könyvének 4. fejezete. Az Arrow-féle lehetetlenségi tétel Most inkább az érthetőséget szem előtt tartva idézzük fel kevésbé formálisan mit állít az Arrow-féle lehetetlenségi tétel. Tétel: Arrow-féle lehetetlenségi tétel. Tegyük fel, hogy adott V véges halmaz a döntéshozók halmaza (V számosságát jelölje V = k < ); adott X halmaz az alternatívák halmaza (X számosságát jelölje X = n); minden döntéshozóhoz tartozik egy P i, i = 1,..., k reflexív, tranzitív és teljes reláció az X alternatívahalmazon, azaz egy X-beli preferenciarendezés, tehát V (illetve az (X, V ) pár) egy (P 1, P 2,..., P k ) preferenciaprofillal jellemezhető; bármely döntéshozóhoz bármilyen preferenciarendezés tartozhat (korlátozás nélküli értelmezési tartomány vagy univerzalitási feltétel); n 3, azaz legalább három alternatíva van. Ekkor nem létezik olyan társadalmi választási függvény amivel az egyéni preferenciarendezéseket egy lehetséges társadalmi preferenciarendezésbe visszük át, ami egyszerre elégíti ki az alábbi három kritériumot. Legyenek adottak x, y X alternatívák, és minden szóbajövő döntéshozó V -beli. Ekkor ha minden döntéshozó x-et preferálja y-hoz képest, akkor a csoport is x-et preferálja y-hoz képest (Pareto-elv); ha egyik döntéshozónak sem változik meg a preferenciája x és y között, akkor a csoport preferenciája sem változik meg x és y között, még akkor sem, ha a döntéshozók bármely más preferenciája megváltozik (irreleváns alternatíváktól való függetlenség); a csoportban nincs olyan döntéshozó, akinek a preferenciái a többiek preferenciájának figyelembe vétele nélkül, mindig meghatározná a csoport preferenciarendezését (diktátormentesség). A tételről részletesebben a tudománytörténetileg is jelentős Arrow [2] művében olvashatunk, illetve ajánljuk még Arrow [1] cikkét. Geanakoplos [7] rövid írásában három bizonyítást is találunk. Bizonyítások magyar nyelven is több helyen fellelhetőek, például Zalai [14] könyvében. 2
3 2. Szavazási eljárások A döntéshozók véges halmazát ebben a fejezetben is V jelöli, számosságát pedig V = k <. Most is jelölje X az alternatívák halmazát, számosságát pedig X = n. Az egyéni illetve a csoportos preferenciarendezéseket is P fogja jelölni, az indexet elhagytam, mert a szövegkörnyezetből kiderül mikor, mire vonatkozik a sorrend. Az itt tárgyalt eljárásokkal számos írás foglalkozik. Magyar nyelven például Temesi [12] 9. fejezetében találhatunk kiegészítéseket. A továbbiakban tegyük fel, hogy minden döntéshozó a saját preferenciarendezése alapján sorbarendezte az alternatívákat, azaz mindenki megoldotta a saját rangsorolási problémáját, és most ezekből a sorrendekből szeretnénk egy csoportsorrendet képezni. a következő eljárásokban a döntéshozók nem változtathatják meg a preferenciasorrendjüket, azaz mindig annak megfelelően szavaznak. Condorcet példája Tegyük fel, hogy egy 60 fős testület akar elnököt választani a, b és c jelöltek közül. Tehát k = 60, n = 3, X = {a, b, c} és a döntéshozók preferenciasorrendje a következőképpen alakul: ap cp b bp cp a cp bp a cp ap b 23 fő 19 fő 16 fő 2 fő Megjegyezzük, hogy az ap bp c és a bp ap c sorrendeket senki sem alakította ki. Most három különböző eljárást mutatunk be, melyekkel csoportos sorrendet lehet kialakítani. A jelölésekből innentől a fő -ket elhagyjuk, nyilván azzal együtt értendőek. Egyszerű többségi elv. Ha összeszámláljuk, hogy az egyes döntéshozók az általuk legjobbnak tartott jelöltre hány szavazatot adtak le, akkor a következő sorrend alakul ki: a : 23 b : 19 c : 18 = Az egyszerű többségi elv alapján kialakult csoportos sorrend tehát ap bp c, azaz az a jelöltet választják elnöknek. 3
4 Abszolút többségi elv. Ekkor ismételt fordulóra van szükség, úgy, hogy mindig kiejtetjük az utolsó helyezettet. Az egyszerű többség alapján c lett az utolsó. Az új fordulót a és b között rendezzük, ekkor a sorrend: b : 35 = a : 25 = Az abszolút többségi elv alapján kialakult csoportos sorrend tehát bp ap c, azaz a b jelöltet választják elnöknek. Páros összehasonlítás. Most olyan eljárást készítünk, ahol minden jelölt megküzd minden jelölttel. A preferenciarendezésekből származó páros összehasonlítások végeredménye: ap b : 25 ap c : 23 bp c : 19 bp a : 35 cp a : 37 cp b : 41 A páros összehasonlítások alapján kialakult csoportos sorrend cp bp a, azaz a c jelöltet választják elnöknek. Vegyük észre, hogy a döntéshozók preferenciasorrendjei rögzítettek voltak, és az eljárások során sem változtatta meg senki az előre bemondott sorrendjét, tehát egy rögzített preferenciaprofil mellett az eljárástól függően bármely alternatívát ki tudtuk hozni nyertesnek. Fontos észrevétel továbbá, hogy teljesülnek az Arrow-féle lehetetlenségi tétel feltételei. Az, hogy melyik eljárást választjuk, egy szubjektív döntés. Mivel a páros összehasonlítás használta fel az adatokban rejlő legtöbb információt, így ha emiatt ezt választanánk, akkor sajnos még egy probléma jelentkezhet, mégpedig, hogy a csoportos sorrend nem feltétlenül lesz tranzitív, ami pedig egy természetes elvárásunk lenne, hiszen így a csoportos sorrend preferenciarendezés sem lehet. Egy ilyen szituációt láthatunk a következő példán. Páros összehasonlítások problémája: nem tranzitív csoportos sorrend. Legyen most is k = 60, n = 3, X = {a, b, c}. A döntéshozók preferenciasorrendjét most a következőképp rögzítsük: ap bp c bp cp a bp ap c cp ap b cp bp a 23 fő 17 fő 2 fő 10 fő 8 fő 4
5 Megjegyezzük, hogy az ap cp b sorrendet senki sem alakította ki. Ezekre a preferenciasorrendekből származó páros összehasonlítások végeredménye: ap b : 33 ap c : 25 bp c : 42 bp a : 27 cp a : 35 cp b : 18 A kialakuló sorrendek tehát ap b, bp c, cp a. Nem tudunk a jelöltek közül választani, mert megsérült a tranzitivitás. A probléma szemléltetésére a páros összehasonlításokból származó reláció gráfját alább ábrázoltuk. cp a a c ap b bp c 8 A gráf is mutatja, hogy a reláció nem tranzitív. Az ap c éllel már tranzitív lenne. A probléma az, hogy a szavazási eljárás nem tesz eleget a Condorcet-kritériumnak. Condorcet-kritérium. Ha egy szavazási eljárásban az egyik alternatíva minden másikkal összehasonlítva előnyt élvez, akkor ezt az alternatívát az eljárás Condorcetgyőztesének vagy Condorcet-jelöltjének nevezzük. Condorcet-kritériumnak nevezzük azt a feltételt, hogy egy adott szavazási eljárás azt az alternatívát választja, amelyik a Condorcet-győztes. Minden Condorcet-kritériumnak megfelelő szavazási eljárást Condorceteljárásnak, vagy Condorcet-módszernek nevezünk. A Condorcet-eljárásokat karakterizálhatjuk úgy is, hogy a páros összehasonlításokból származó reláció egy preferenciarendezés. b Az alábbiakban néhány Condorcet-kritériumot kielégítő eljárást mutatunk be. Condorcet-féle maximin-eljárás Condorcet [4] a maximin-eljárást javasolja. Tekintsük az alábbi táblázatot, ahol minden páros összehasonlítást szerepeltettünk, és a negyedik oszlopban a sorminimumokat is feltüntettük. P a b c min a b c Azt tekintjük győztesnek, akinek a legrosszabb eredménye a legjobb, tehát b nyer. A sorminimumokat a szokásos reláció szerint sorba rendezve a Condorcet-féle maximineljárással a bp ap c csoportos preferenciasorrend adódik. 5
6 Borda-eljárás Borda-eljárás egyszerű esetben. Condorcet kortársa Borda [3] a következő eljárást adta meg. Az alternatívákat pontszámokkal rangsoroljuk. Minden döntéshozó preferenciarendezésében az utolsó 0 pontot kap, az utolsó előtti 1-et és így tovább az első helyezettig, aki n 1 pontot kap. A helyezési pontokat összegezve a szokásos reláció alakítja ki a csoportos rangsort. Példánkban a : 58 pont = b : 69 pont = c : 53 pont = A Borda-eljárással kapott csoportos preferenciasorrend tehát bp ap c, tehát itt b nyer. Borda-eljárás eliminációval. A Borda-féle eljárást eliminálással is végezhetjük, úgy, hogy a legutolsó helyezettet mindig kivesszük és az addig kialakult preferenciasorrend elejére helyezzük, majd a maradék jelöltre újra kiértékeljük az eljárást. Példánkban c lett az utolsó, így őt vesszük ki először. Az eljárás újrakiértékelésének eredménye pedig a : 33 pont = b : 27 pont = Így az eliminációval végzett Borda-eljárásban az ap bp c csoportos preferenciasorrendet kaptuk, tehát itt a nyer. Cook Seiford-eljárás A Cook Seiford-eljárás egy az eddigiekhez képest jóval későbbi eredmény, melyről Cook és Seiford [5] cikkében olvashatunk. Konstruáljunk egy D mátrixot úgy, hogy d ij jelentse azt, hogy az i-edik jelölt j-edik helyezését hány döntéshozó preferenciasorrendje gátolja. A példánkhoz tartozó D mátrix tehát: D = a b c Pédául d 11 = 62 = , hiszen bp a = 27 esetben és cp a = 35 esetben gátolja a 1. helyezését; d 12 = 48 = , hiszen ap bp c 23 esetben, bp cp a 17 esetben és cp bp a 8 esetben gátolja a 2. helyezését; d 13 = 58 = , hiszen ap b = 33 esetben és ap c = 25 esetben gátolja a 3. helyezését. A mátrix többi eleme analóg módon adódik. 6
7 D mátrixot úgy is interpretálhatjuk, hogy a d ij elem az i-edik alternatíva j-edik helyezéstől vett eltéréseinek összege. Például d 11 = = 62; stb. A csoportos preferenciasorrend úgy adódik, hogy az ellenzések lehetséges összegeit minimalizáljuk. Példánkban ap bp c : = 144 ap cp b : = 174 bp ap c : = 152 bp cp a : = 152 cp ap b : = 184 cp bp a : = 154 A lehetséges összegek minimuma 144, így a Cook Seiford-eljárással az ap bp c sorrend adódik. Megjegyezzük, hogy a minimum meghatározása ezzel a módszerrel O(n!) időben történik. A probléma ennél jóval hatékonyabban is megoldható. Belátható, hogy a fenti mátrixon értelmezett hozzárendelési feladat is ugyanezt a sorrendet szolgáltatja. A Kőnig Dénesről és Egerváry Jenőről elnevezett magyar módszer segítségével O(n 4 ) időben megoldható a feladat. A módszert Kuhn dolgozta ki 1955-ben, erről részletesebben Kuhn [9, 10] publikációiban olvashatunk. A magyar módszer időbonyolultságával Munkres [11] cikke foglalkozik. A módszert módosítva O(n 3 ) bonyolultság is elérhető, mint arra Edmonds és Karp [6], vagy Tomizawa [13] is rámutatott. Hivatkozások [1] Arrow, K. J.: A Difficulty in the Concept of Social Welfare. The Journal of Political Economy, 58, pp , [2] Arrow, K. J.: Social Choice and Individual Values. Second Edition, John Wiley and Sons, New York, [3] Borda, J.-C.: Mémoire sur les électiones au scrutin. Histoire de l Académie Royale des Sciences, Paris, [4] Condorcet, M.: Essai sur l application de l analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix. Paris, [5] Cook, W. D. Seiford, L. M.: Priority Ranking and Consensus Formation. Management Science, 24, pp ,
8 [6] Edmonds, J. Karp, R. M.: Theoretical improvements in algorithmic efficiency for network flow problems. J. ACM, 19, pp , [7] Geanakoplos, J.: Three Brief Proofs of Arrow s Impossibility Theorem. Cowles Foundation, Yale University, New Haven, [8] Járai A.: Bevezetés a matematikába. Negyedik, javított és bővített kiadás, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, [9] Kuhn, H. W.: The Hungarian Method for the assignment problem. Naval Research Logistics Quarterly, 2, pp , [10] Kuhn, H. W.: Variants of the Hungarian method for assignment problems. Naval Research Logistics Quarterly, 3, pp , [11] Munkres, J.: Algorithms for the Assignment and Transportation Problems. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 5, pp , [12] Temesi J.: A döntéselmélet alapjai. Aula, Budapest, [13] Tomizawa, N.: On some techniques useful for solution of transportation network problems. Networks, 1, pp , [14] Zalai E.: Bevezetés a matematikai közgazdaságtanba. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest,
EGYSZERŰ ÉS ABSZOLÚT TÖBBSÉGI SZAVAZÁS
EGYSZERŰ ÉS ABSZOLÚT TÖBBSÉGI SZAVAZÁS A választások és a szavazások többszempontú döntési problémák a szavazók valamilyen módon döntenek a jelöltekről a választási bizottság a szavazás után megállapítja,
RészletesebbenAlternatívák rangsora Rangsor módszerek. Debreceni Egyetem
Döntéstámogató Rendszerek VII. előadás Bekéné Rácz Anett Debreceni Egyetem Definíciók Példa rangsorfordulásra Rangsorokkal kapcsolatos fogalmak Condorcet nyertes: Az az alternatíva, amely az összes többi
RészletesebbenVálasztási rendszerek axiomatikus elmélete
Választási rendszerek axiomatikus elmélete Boros Zoltán Debreceni Egyetem TTK Matematikai Intézet Analízis Tanszék Matematika Szakkör Megnyitó 2016. szeptember 12. Interaktív demonstráció: fagylalt preferenciák
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
Részletesebben4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Részletesebben4. Fogyasztói preferenciák elmélete
4. Fogyasztói preferenciák elmélete (ld. Temesi J.: A döntéselmélet alapjai, 47-63) 4.1 Preferencia relációk Mit jelent a fogyasztó választása? Legyen X egy olyan halmaz amelynek az elemei azok a lehetőségek
RészletesebbenSzavazási protokollok - közös preferencia kialakítása
Szavazási protokollok - közös preferencia kialakítása Szavazás: Társadalmi választás SCF social choice/ wellfare function: Minden ágensnek van saját preferencia listája Agi, ennek alapján el kell jutni
RészletesebbenPOLITIKAI GAZDASÁGTAN
POLITIKAI GAZDASÁGTAN Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
RészletesebbenA Borda-szavazás Nash-implementálható értelmezési tartományai
A Borda-szavazás Nash-implementálható értelmezési tartományai Tasnádi Attila 2007. június 8. Alapfogalmak Jelölések: X az alternatívák véges nem üres halmaza (q = X ). Alapfogalmak Jelölések: X az alternatívák
Részletesebben2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai
RészletesebbenHalmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy
1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenPáros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata. Bozóki Sándor
Páros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata Bozóki Sándor MTA SZTAKI Operációkutatás és Döntési Rendszerek Kutatócsoport Budapesti Corvinus Egyetem Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék
RészletesebbenSZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI
SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI INBGM0101-17 Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 2. gyakorlat Az alábbi összefüggések közül melyek érvényesek minden A, B halmaz
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenLeképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.
Leképezések Leképezések tulajdonságai. Számosságok. 1. Leképezések tulajdonságai A továbbiakban legyen A és B két tetszőleges halmaz. Idézzünk fel néhány definíciót. 1. Definíció (Emlékeztető). Relációknak
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenHalmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A
Halmazok Érdekes feladat lehet, amikor bizonyos mennyiségű adatok között keressük az adott tulajdonsággal rendelkezők számát. A következőekben azt szeretném megmutatni, hogy a halmazábrák segítségével,
RészletesebbenA relációelmélet alapjai
A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal
RészletesebbenLINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL
LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
RészletesebbenNem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 1/29. Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE Bozóki Sándor BCE, MTA SZTAKI 2010. november 4. Nem teljesen kitöltött páros
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 9. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Halmazok Diszkrét
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenÁltalános algoritmustervezési módszerek
Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás
RészletesebbenPOLITIKAI GAZDASÁGTAN
POLITIKAI GAZDASÁGTAN Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
RészletesebbenTöbbtényezős döntési problémák
KIPA módszer: Lépései:. értékelési tényezők páros elrendezése, 2. páros összehasonlítás elvégzése, 3. egyéni preferencia táblázatok felvétele, konzisztencia mutatók meghatározása, 4. aggregált preferencia
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenBevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia
Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen
Részletesebbenösszeadjuk 0-t kapunk. Képletben:
814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha
RészletesebbenLogika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Negyedik el oad as 1/26
1/26 Logika és számításelmélet I. rész Logika Negyedik előadás Tartalom 2/26 Az elsőrendű logika szemantikája Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai Elsőrendű logikai nyelv interpretációja
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenMikroökonómia elıadás
Mikroökonómia - 12. elıadás JÓLÉT ÉS TÁRSADALMI PREFERENCIÁK Bacsi, 12. ea. 1 Fogyasztói preferenciák A fogyasztó saját jószágkosarainak összehasonlítása pl: 1 narancs + 3 kg hús + 2 pár cipı kevésbé értékes,
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenTérinformatikai algoritmusok Elemi algoritmusok
Cserép Máté Analóg programozásnak nevezzük azt, amikor egy feladat megoldásához egy már ismert és megoldott feladat megoldását használjuk fel. Általában nem pontosan ugyanazt a feladatot oldottuk meg korábban,
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenHálózati Folyamok Alkalmazásai. Mályusz Levente BME Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék
Hálózati Folyamok Alkalmazásai Mályusz Levente BME Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék Maximális folyam 7 7 9 3 2 7 source 8 4 7 sink 7 2 9 7 5 7 6 Maximális folyam feladat Adott [N, A] digráf (irányított
RészletesebbenFeladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a
Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenTérinformatikai algoritmusok Elemi algoritmusok
Cserép Máté 2016. szeptember 14. Analóg programozásnak nevezzük azt, amikor egy feladat megoldásához egy már ismert és megoldott feladat megoldását használjuk fel. Általában nem pontosan ugyanazt a feladatot
RészletesebbenA matematikai feladatok és megoldások konvenciói
A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott
RészletesebbenPáros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása
Páros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása Bozóki Sándor 1,2, Fülöp János 1,3 1 MTA SZTAKI; 2 Budapesti Corvinus Egyetem 3 Óbudai Egyetem XXXI. Magyar Operációkutatási Konferencia
RészletesebbenGráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma
Készítette: Laczik Sándor János Gráfelmélet I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Definíció: a G=(V,E) párt egyszerű gráfnak nevezzük, (V elemeit a gráf csúcsainak/pontjainak,e elemeit
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
Részletesebbenút hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.
1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
RészletesebbenSzámítógépes döntéstámogatás. Döntések fuzzy környezetben Közelítő következtetések
BLSZM-09 p. 1/17 Számítógépes döntéstámogatás Döntések fuzzy környezetben Közelítő következtetések Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu
RészletesebbenOpkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. középszint
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenItt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:
1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
Részletesebben1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,
RészletesebbenFüggvények növekedési korlátainak jellemzése
17 Függvények növekedési korlátainak jellemzése A jellemzés jól bevált eszközei az Ω, O, Θ, o és ω jelölések. Mivel az igények általában nemnegatívak, ezért az alábbi meghatározásokban mindenütt feltesszük,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenA valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS
A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja
RészletesebbenTöbbtényezős döntési problémák
KIPA módszer: Lépései: 1. értékelési tényezők páros elrendezése, 2. páros összehasonlítás elvégzése, 3. egyéni preferencia táblázatok felvétele, konzisztencia mutatók meghatározása, 4. aggregált preferencia
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az
Részletesebben30. ERŐSEN ÜSSZEFÜGGŐ KOMPONENSEK
30. ERŐSEN ÜSSZEFÜGGŐ KOMPONENSEK A gráfos alkalmazások között is találkozunk olyan problémákkal, amelyeket megoldását a részekre bontott gráfon határozzuk meg, majd ezeket alkalmas módon teljes megoldássá
RészletesebbenBOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai
BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenA Condorcet-paradoxon egy valószínűségi modellje
A Condorcet-paradoxon egy valószínűségi modellje Bozóki Sándor 1,2, Csató László 2, Temesi József 2 1 MTA SZTAKI; 2 Budapesti Corvinus Egyetem 2013. június 11. p. 1/24 Intranzitív dobókockák A valószínűségi
RészletesebbenA lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.
2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,
RészletesebbenDöntési rendszerek I.
Döntési rendszerek I. SZTE Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék Készítette: London András 7. Gyakorlat Alapfogalmak A terület alapfogalmai megtalálhatók Pluhár András Döntési rendszerek
RészletesebbenBozóki Sándor február 16. Érzékenységvizsgálat a Promethee módszertanban p. 1/18
Érzékenységvizsgálat a Promethee módszertanban Bozóki Sándor 2011. február 16. Érzékenységvizsgálat a Promethee módszertanban p. 1/18 Vázlat PROMETHEE Parciális érzékenységvizsgálat egy szempontsúly változhat
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenMátrixjátékok tiszta nyeregponttal
1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenAlgoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 9. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 18 Közelítő algoritmusok ládapakolás (bin packing) Adott n tárgy (s i tömeggel) és végtelen sok 1 kapacitású láda
RészletesebbenKOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben
RészletesebbenLogika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika 1/36
1/36 Logika és számításelmélet I. rész Logika 2/36 Elérhetőségek Tejfel Máté Déli épület, 2.606 matej@inf.elte.hu http://matej.web.elte.hu Tankönyv 3/36 Tartalom 4/36 Bevezető fogalmak Ítéletlogika Ítéletlogika
RészletesebbenRamsey-féle problémák
FEJEZET 8 Ramsey-féle problémák "Az intelligens eljárást az jellemzi, hogy még a látszólag megközelíthetetlen célhoz is utat nyit, megfelelő segédproblémát talál ki és először azt oldja meg." Pólya György:
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100
Részletesebben3. előadás. Programozás-elmélet. A változó fogalma Kiterjesztések A feladat kiterjesztése A program kiterjesztése Kiterjesztési tételek Példa
A változó fogalma Definíció Legyen A = A 1 A 2... A n állapottér. A pr Ai projekciós függvényeket változóknak nevezzük: : A A i pr Ai (a) = a i ( a = (a 1, a 2,..., a n ) A). A változók jelölése: v i =
RészletesebbenPublikációk. Libor Józsefné dr.
Publikációk Libor Józsefné dr. Referált publikációk/ Refereed publications 1, Libor Józsefné, Tómács Tibor: Rényi-Hajek inequality and its applications. ( Annales Mathematicae et Informaticae, 33. Eger,
RészletesebbenBoronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. (: 27-317 - 077 (/fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2014/2015.
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 1. előadás
Algoritmuselmélet 1. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Február 11. ALGORITMUSELMÉLET 1. ELŐADÁS 1 Források
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 3. előadás: Mátrixok LU-felbontása Lócsi Levente ELTE IK 2013. szeptember 23. Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
RészletesebbenDISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes
1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz
RészletesebbenMatematikai modellezés
Matematikai modellezés Bevezető A diasorozat a Döntési modellek című könyvhöz készült. Készítette: Dr. Ábrahám István Döntési folyamatok matematikai modellezése Az emberi tevékenységben meghatározó szerepe
RészletesebbenIrodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0
Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon
RészletesebbenCsima Judit október 24.
Adatbáziskezelés Funkcionális függőségek Csima Judit BME, VIK, Számítástudományi és Információelméleti Tanszék 2018. október 24. Csima Judit Adatbáziskezelés Funkcionális függőségek 1 / 1 Relációs sémák
RészletesebbenAz optimális megoldást adó algoritmusok
Az optimális megoldást adó algoritmusok shop ütemezés esetén Ebben a fejezetben olyan modellekkel foglalkozunk, amelyekben a munkák több műveletből állnak. Speciálisan shop ütemezési problémákat vizsgálunk.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenA félév során előkerülő témakörök
A félév során előkerülő témakörök rekurzív algoritmusok rendező algoritmusok alapvető adattípusok, adatszerkezetek, és kapcsolódó algoritmusok dinamikus programozás mohó algoritmusok gráf algoritmusok
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
Részletesebben1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex
RészletesebbenA továbbiakban Y = {0, 1}, azaz minden szóhoz egy bináris sorozatot rendelünk
1. Kódelmélet Legyen X = {x 1,..., x n } egy véges, nemüres halmaz. X-et ábécének, elemeit betűknek hívjuk. Az X elemeiből képzett v = y 1... y m sorozatokat X feletti szavaknak nevezzük; egy szó hosszán
Részletesebben