A matematikai gondolkodás megújulása

Átírás

1 5. Matematikai tudományok A matematikai gondolkodás megújulása Szekcióvezető: Petz Tiborné Tartalomjegyzék: Krisztin Német István: Az Euklides szoftver alkalmazása a műveltségi terület geometria-oktatásában... 2 Bagota Mónika: Miért kell(ene) egy leendő tanítónak elolvasnia Péter Rózsa: Játék a végtelennel című könyvét? Pintér Klára: A tanító hallgatók problémamegoldási és problémaalkotási képességének fejlesztése Fülöp Zsolt: A tanulók matematikai gondolkodásának fejlődése a középiskolai oktatás során Fehér András, Nagy Szilvia: Zsebszámoló kütyük, fejlődés vagy visszafejlődés Reider József: - Milyen idő lesz holnap? Felhős. A felhő alapú számítástechnika jövője és lehetőségei Petzné Tóth Szilvia: Érdekességek a matematika oktatás és a matematika érettségik világából

2 KRISZTIN NÉMET István Szegedi Tudományegyetem, Juhász Gyula Pedagógusképző Kar, Tanító- és Óvóképző Intézet, Matematika Szakcsoport Az Euklides szoftver alkalmazása a műveltségi terület geometria-oktatásában Az SZTE JGYPK Tanító BA szakának Matematika műveltségi területén a 4. és 5. félévekben szerepel geometria, mindkétszer heti 2 órás gyakorlat formájában. Az első félévben a geometriai alakzatokkal keletkezés, szemléltetés, a másodikban pedig a geometriai függvényekkel transzformációk, mértékek foglalkozunk. Előző írásainkban (KRISZTIN NÉMET 2010, 2011) mutattuk be e kurzusokat. Az oktatás során felhasználtuk az Euklides nevű szoftvert is. Jelen írásunkban ennek az eszköznek az alkalmazásáról számolunk be. Az Euklides egy magyar fejlesztésű, ún. dinamikus geometriai szoftver (EUKLIDES). Lényege, hogy a benne elkészített euklideszi szerkesztés alakzatait meg lehet mozdítani, át lehet alakítani a kiindulási, ún. bázispontok helyének egérrel történő változtatásával. Ezen kívül bizonyos mozgásokat lehet benne generálni (pl. egy pont végig fut egy szakaszon vagy egy körvonalon), és a szoftver azonnal megjeleníti a mozgás által létrejövő új alakzatot (pl. egy másik pont mozgásának pályája, ún. nyomvonala, vagy egy mozgó egyenes különböző időpontokban felvett helyzetei). Ezek a dinamikus lehetőségek nagy segítséget nyújtanak sok geometriai probléma szemléltetéséhez, megoldásához. Több ehhez hasonló szoftver is létezik, legismertebbek a Cabri (CABRI) és a GeoGebra (GEOGEBRA) Két szinten alkalmaztuk a szoftvert: először a fent említett két műveltségi területes geometria-kurzuson, másodszor egy speciálkollégium keretében. Az első szinten egyrészt bizonyos nehezen elképzelhető vagy nehezen bemutatható alakzatok szemléltetése, másrészt egyes szerkesztési feladatok megoldásának megjelenítése és a diszkusszió támogatása volt az alkalmazás célja. Ennek megfelelően demonstrációs módon, frontálisan használtuk. E szint munkája évek óta zajlik. Itt a szoftver egyrészt pontosan és dinamikusan jeleníti meg a bemutatandó alakzatot, ill. a szerkesztési feladat megoldását, továbbá, dinamikusságával nagyban megkönnyíti a diszkusszió áttekintését. Ezeken túl a szoftver látványossága igen alkalmas a hallgatók érdeklődésének felkeltésére és fenntartására. Ennek egyik eredménye volt, hogy egy félévben sor kerülhetett a második szintként említett speciálkollégiumra. Ennek keretében a közoktatás egyszerű geometriai ismereteihez közvetlenül kapcsolódó, összetettebb feladatok megjelenítésére, szemléletes megoldására került sor. Ezen a szinten a hallgatók részben már egyénileg, oktatói segítséggel dolgoztak: itt a szoftver alapfunkcióinak és egyes alkalmazási lehetőségeinek megismertetése volt a cél. A speciálkollégiumon a csoport négy legjobb és legaktívabb hallgatója vett részt. Külön kiemelendő, hogy a hallgatók teljesen magánszorgalomból, kreditszerzési lehetőség nélkül vettek részt az órán. A hallgatók elfoglaltságai miatt nem sikerült heti rendszerességgel megtartani az órákat, csak kb. kéthetente, de így is elértünk bizonyos sikereket. A hallgatók lelkesen próbálták megismerni az új eszközt, látszott rajtuk, hogy sok sikerélmény érte őket a feladatok megoldáskor. Az elméleti háttér felidézése és alkalmazása persze nehezebben ment, de igyekeztünk, hogy ne vigyük túlzásba a bizonyításokat: csak annyit igazoltunk, amit korábbi ismereteik alapján ott és akkor meg tudtak érteni. A következőkben a két szint néhány feladatával mutatjuk be, hogyan alkalmaztuk a szoftvert. Az első geometria-kurzuson az alakzatok keletkezése és szemléltetése 2

3 volt a középpontban, két ilyen jellegű példát ismertetünk. Természetesen részletesen foglalkoztunk többek között a kockával is. A fizikai (papír- és élvázas) modellek elkészítése mellett többféle vetületben is megszerkesztettük képét: Monge-féle két képsíkos, kavalier és ortogonális axonometrikus, valamint perspektív ábrázolásban is. Az egyik leglátványosabb a csúcsán álló kocka Monge-féle képének elkészítése volt. A körzővel-vonalzóval történt kézi szerkesztés után került sor a feladat Euklides-szel történő bemutatására. Az előre elkészített file bemutatása során a felülnézeti síkra merőleges testátló körüli elforgatással megmozdítottuk a kockát: ezáltal még jobban kilépett a térbe, a szaggatottal jelzett nem látható élek még jobban érzékeltették a mélységet. E szerkesztés kis kiegészítésével egy meglepő tényt lehet illusztrálni: egy kockán keresztül lehet alagutat fúrni úgy, hogy azon keresztül lehet bujtani egy, az eredetivel egybevágó kockát. Ennek fizikai bemutatására elég nehéz a megfelelő papírmodellt elkészíteni, az Euklides-ben megjeleníthető képet könnyebb megszerkeszteni. A kép megfelelően szemlélteti a csonkolt kockát, bár természetesen teljesen nem pótolja a kézbe fogható modellt. Másik példánk az olyan görbe felületek szemléltetése, amik meglepő módon előállíthatók egyenesekből is: az egyik az egyköpenyű hiperboloid, a másik a hiperbolikus paraboloid, más néven nyeregfelület (GÖRKE et al. 1974, HAJÓS 1995). Az elsőhöz a forgástestek között jutunk el: az Euklides-ben elforgatva egy forgáshenger alapkörét, az elmozdult alkotók szépen szemléltetik az új forgásfelületet. 3

4 Az Euklides egyik lehetősége, hogy több rajzot is elkészíthetünk egymás fölé az ún. fóliákra, és mindig a megfelelőt mutatjuk. Ennek használatával az elforgatott alkotókról egy kattintással áttérhetünk a másik származtatásra, az elforgatott hiperbolákra. A nyeregfelület származtatásának és jellemzőinek bemutatására is alkalmaztuk mind a mozgatást, mind a fóliákat: egy szabályos tetraéder kitérő éleit megfelelő módon összekötő szakasz mozgatásával létrejön a felület, a fóliákkal pedig látható válnak a rajta levő parabolák és hiperbolák. A második geometriakurzuson fontosak a transzformációkkal kapcsolatos szerkesztések. Két ilyet mutatunk be, mindkettőnél a diszkusszió áttekintésében nyújt nagy segítséget az Euklides. Az első feladatban adott két koncentrikus kör és egy pont. Szerkesztendő olyan szabályos háromszög, melynek egyik csúcsa az adott pont, másik csúcsai pedig egy-egy adott körvonalon vannak. A szerkesztés füzetbeli elvégzése után kerül bemutatásra a feladat Euklides file-ja. Az adott A pont mozgatása során változik a megoldások helyzete és száma. Az OA szakasz hosszának a sugarak összegéhez és különbségéhez képest történő változását megfigyelve kapjuk, hogy mikor lesz a feladatnak 4, ill. 2 megoldása, és mikor nem lesz egy sem. A másik feladatban deltoidot kell szerkeszteni, ha adott két átlójának és egyik oldalának hossza. A szerkesztés füzetbeli elvégzése után került bemutatásra a feladat Euklides file-ja. Az adott oldal egyik végpontjának mozgatása során változik a kapott deltoidok alakja és száma. Gyorsan megmondták a hallgatók, hogy a megoldhatóságnak feltétele, hogy az oldal hosszabb legyen, mint a nem-szimmetria átló fele. De az, hogy van olyan kivételes hossz, amikor az egyik deltoid háromszöggé fajul, és így egy megoldás eltűnik, általában csak a mozgatás során vált világossá. 4

5 A speciálkollégium keretében öt témát érintettünk. Egy-egy olyan feladat köré épültek, ami közvetlenül kapcsolódik a közoktatásbeli geometria anyaghoz, ill. ami a kötelező geometria-kurzusokon szerepelt. Minden feladatnál a hallgatók először részben önállóan, a szoftver kezelésére vonatkozó utasítások mellett megszerkesztették a kiindulási alakzatot, majd utána megismerkedtek a szoftver valamelyik dinamikus megjelenítési lehetőségével. A létrehozott alakzathoz mindig tartozott egy különlegeség, egy könnyen megjeleníthető, látványos probléma. Ezt próbáltuk az Euklides eszközei segítségével legalább szemléletesen megoldani. Azért csak szemléletesen, mert a feladatok teljes megoldásának nehézsége általában messze meghaladta a hallgatók tudásszintjét. Az első feladat egy háromszög beírt és hozzáírt köreinek megszerkesztése volt. Elméleti és szerkesztési ismétlés után elkészítették az alakzatot. A háromszög csúcsainak mozgatásával szemléltük a körök változását. Majd a háromszög oldalfelezőpontjain átmenő kört ez az ún. Feuerbach-kör kellett megszerkeszteni és vizsgálni: az új kör hogyan helyezkedik el a négy korábbi körhöz képest. A csúcsok mozgatása során az a sejtés alakul ki, hogy az új kör érinti a korábbiakat. Hogy lehet ezt igazolni? Fel kellett eleveníteni körök érintésére vonatkozó ismereteket, és eszükbe jutott, hogy érintés esetén az érintési pont rajta van a centrálison. Tehát szerkesszük meg a centrális és az egyik kör metszéspontját, és vizsgáljuk, hogy ez a pont a mozgatás során illeszkedik-e a másik körre. Azt találtuk, hogy igen, így jónak tűnik a sejtés. Ezt az eljárást neveztük korábban szemléletes bizonyításnak; a pontos matematikai bizonyítás bonyolult (COXETER-GREITZER 1977, REIMAN 1986). 5

6 A második feladat a körülírt körhöz kapcsolódott. Egy háromszög körülírt körének megszerkesztése után megismerkedtünk a vetítés nevű funkcióval. Ennek segítségével felvettünk a körvonalon egy pontot, majd azt merőlegesen vetítettük a háromszög oldalegyeneseire. E talppontok kölcsönös helyzetét vizsgáltuk a körvonalon levő pont körbeforgatásánál. Az a sejtés alakult ki, hogy ezek egy egyenesbe esnek. Ennek szemléletes igazolására két pontra egyenest illesztettünk és vizsgáltuk, átmegy-e a harmadikon. Azt, találtuk, hogy igen (Simson-egyenes, COXETER- GREITZER 1977). Végül egy igen látványos alakzatot alkottunk a mozgás fázisainak együttes mutatásával: a pont körön való mozgása során az egyenesek egy különleges görbét burkolnak, rajzolnak ki, az ún. háromcsúcsú hipocikloist. A harmadik feladat kúpszeletek ábrázolása volt. Az első geometria-kurzus során körzővel és vonalzóval már megszerkesztettük néhány pontjukat. Most a görbék megjelenítése volt a cél. Itt is először a definícióik alapján megszerkesztettük az ellipszis, parabola és hiperbola egy-egy pontját, majd a megfelelő adat változtatásával mozgattuk ezt a pontot. Az ún. nyomvonal-rajzolás funkció segítségével meg is jelenítettük az illető görbét. Ellipszis esetén a vezérsugarak külső szögfelezőjével érintőt is szerkesztettünk. A negyedik feladatban egy szabályos háromszöglap egy pontjának az oldalaktól való távolságösszegét vizsgáltuk: a pont mely helyzeténél lesz az összeg maximális, ill. minimális. A feladatot a második geometria-kurzusban a terület témakörénél már érintettük, most szemléletessé tettük. A három szakaszt, amik a ponttól annak merőleges vetületeiig haladtak, egymás után felmértük egy félegyenesre, majd mozgattuk a pontot a háromszögben. Azt tapasztaltuk, hogy a három, egymás után felmért szakaszt elválasztó két pont helyzete változik, de a harmadik végpontjáé nem, azaz az összeg valóban változatlan nagyságú, hossza független a háromszögben mozgatott pont helyzetétől. Ezután módosítottuk a problémát: most a csúcsoktól való távolságösszeg szélsőértékét kerestük. A fenti módszert alkalmazva most azt kaptuk, hogy nemcsak az elválasztó pontok, hanem a végpont is mozog a félegyenesen, vagyis itt nem állandó az összeg. A pont mozgatásával kiderítettük, hogy a csúcsoknál lesz maximális az összeg, a súlypontban pedig minimális. (A pontos bizonyítást a viszonylagos bonyolultság miatt az egyik csúcs körüli 60 -os elforgatás, majd háromszög-egyenlőtlenségek alkalmazása nem végeztük el.) 6

7 Az ötödik, utolsó feladatban mozgó háromszög nevezetes pontjainak helyzetét vizsgáltuk. Először adva volt egy körvonal, rajta két rögzített ponttal. Ezeket összekötöttük egymással és a körvonal egy harmadik pontjával. A kérdés az volt, hogy ha ez utóbbi pontot végigfuttatjuk a körvonalon, akkor milyen görbét írnak le a háromszög tanult nevezetes pontjai: a beírt és a hozzáírt körök középpontjai, a magasságpont és súlypont. A pont mozgatása során az a sejtés alakult ki, hogy mindegyik körvonalon mozog. E körvonalakat a nyomvonal-rajzoló funkcióval meg is jelenítettük. 7

8 Ezzel szemléletesen igazolást is nyert a sejtés. A matematikai bizonyítást a beírt kör középpontja esetére nagyjából elvégeztük, a többivel nem foglalkoztunk. A második geometria-kurzusban, a szögekkel kapcsolatban volt egy ide kapcsolódó feladat: Egy háromszög egyik szöge 70. Ezen információ alapján meg lehet-e mondani, hogy a beírt kör középpontjából mekkora szögben látszik a 70 -kal szemközti oldal? Ha igen, mekkora a látószög; ha nem, milyen információ kell még? A szögfelezők segítségével kapjuk, hogy a kérdéses szög 125 ; általános esetben 90 / 2. Tehát, ha az oldallal szemközti csúcsnál levő szög állandó, akkor a beírt kör középpontjából is állandó szögben látszik az oldal. Felelevenítve a közoktatási matematika látókörre vonatkozó ismereteit kaptuk, hogy a beírt kör középpontja körvonalon mozog. (A hozzáírt körök középpontjainak esetét is hasonlóan lehet vizsgálni.) Végül az előző feladat egy módosítását vizsgáltuk. Ennél egy egyenes és egy vele párhuzamos szakasz volt adva. Összekötöttük a szakasz végpontjait az egyenes egy pontjával. A kérdés most is az volt, hogy ha ez utóbbi pontot végigfuttatjuk az egyenesen, akkor milyen görbét írnak le a háromszög tanult nevezetes pontjai: a körülírt, a beírt és a hozzáírt körök középpontjai, a magasságpont és a súlypont. Az előző feladathoz képest itt az volt az érdekesség, hogy egyik pont sem körön mozog. A körülírt kör középpontjának, ill. a súlypontnak a mozgása nagyon egyszerű: azonnal látták, hogy félegyenesen, ill. egyenesen mozognak. Ezeknél kis ismétlés után a matematikai igazolás is egyszerű volt: a körülírt kör középpontja a definíciója miatt az adott szakasz felezőmerőlegesén van, a súlypont pedig a harmadoló tulajdonsága és a párhuzamos szelők tételei miatt az adott szakasszal és egyenessel párhuzamos egyenesen. A nyomvonal alapján megsejtették, hogy a magasságpont parabolán mozog. (Az alábbi ábra M-en átmenő görbéje.) A beírt és hozzáírt körök középpontjai által leírt görbére adott tippjeik viszont rosszak voltak, ami nem is csoda, mert amint az alábbi ábrán látszik, ez egy bonyolult görbe. (O, O a, O b és O c pontok görbéje.) Az Euklides-beli nyomvonal részletei ugyan hasonlítanak ismert görbék részleteire a két szélső hiperbolára, az alsó ellipszisre, ill. parabolára, de nem azok. 8

9 A teljesség kedvéért röviden, a részleteket részben mellőzve levezetjük a beírt és hozzáírt körök középpontjai érdekes mértani helyének egyenletét. A koordinátarendszert vegyük fel úgy, hogy a rögzített szakasz végpontjai A(-1;0) és B(1;0) legyenek, a rögzített egyenes egyenlete pedig y c (c>0 konstans) legyen. Ekkor elemi, de hosszadalmas számolás adja, hogy a háromszög A-nál, ill. B-nél levő külső-belső szögfelezőinek egyenletei 2 2 c cx cy 2cx 2y 2yt 2xy 2xyt 0, ill. 2 2 c cx cy 2cx 2y 2yt 2xy 2xyt 0, ahol t az egyenesen mozgó C pont első koordinátája. Ebből az egyenletrendszerből kell kiküszöbölni t-t, hogy megkapjuk az (x;y) metszéspont koordinátáira vonatkozó egyenletet. A kiküszöbölést elvégezve mindkettőből kifejezve 2yt -t, a következő egyenlet kapjuk (x;y)-ra: cx 2x y cy 2y c Ez a harmadrendű görbe a 2y c egyenletű egyeneshez és a 2x cy c 2 egyenletű parabolához simul aszimptotikusan, ha pedig c, akkor határhelyzetben az x y 1 egyenletű körbe megy 2 2 át. Irodalom: CABRI: ( ) COXETER, H.S.M GREITZER S.L.: Az újra felfedezett geometria, Gondolat, Budapest 1977 EUKLIDES: ( ) GEOGEBRA: ( ) GÖRKE, Lilly - ILGNER, Kurt - LORENZ, Günter - PIETZSCH, Günter - REHM, Manfred: Séta a matematika birodalmában, Műszaki Kiadó, Budapest, 1974 HAJÓS György: Bevezetés a geometriába, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1995 KRISZTIN NÉMET István: A Matematika műveltségi terület Geometria tárgyának oktatásáról. XIII. Apáczai Napok Nemzetközi Tudományos Konferencia 2009 tanulmányai. CD (pdf) ISBN , pp , NYME-AK, Győr, apok_2009_tanulmanykotet_ pdf KRISZTIN NÉMET István: A Matematika műveltségi terület Geometria tárgyának oktatásáról 2. rész, XIV. Apáczai Napok Nemzetközi Tudományos Konferencia tanulmányai, CD (pdf) ISBN , pp , NYME-AK, Győr, apok_2010_tanulmanykotet pdf REIMAN István: A geometria és határterületei, Gondolat, Budapest,

10 BAGOTA Mónika SZTE JGYPK TÓKI, Matematika Szakcsoport Miért kell(ene) egy leendő tanítónak elolvasnia Péter Rózsa: Játék a végtelennel című könyvét? Ha röviden szeretnék válaszolni a címben feltett kérdésre, akkor egyszerűen csak annyit mondanék, hogy: Azért, mert jó! Az a véleményem, hogy Péter Rózsa könyve hihetetlenül olvasmányos, közérthető és a tanító szakos hallgatók számára matematika tantárgypedagógiából rendkívül jól használható. Úgy gondolom, hogy az a hallgató, aki elolvassa és megérti ezt a könyvet, nagyon sok olyan ismeretet szerez, amelyet jól tud majd hasznosítani a matematikatanítás során. Nyilván egy rövid dolgozatban nem lehet alaposan bemutatni egy egész könyvet, de nem is ez volt a célom. Kedvet szeretnék csupán csinálni ahhoz, hogy minél többen a kezükbe vegyék ezt a könyvet. Biztos vagyok abban, hogy bárki (legyen az tanító szakos vagy sem) aki elkezdi olvasni, nem tudja majd letenni ezt a könyvet, mielőtt a végére nem ért volna. Az alábbi a bevezetésből kiragadott néhány sor is megmutatja a matematika, és a matematikatanítás tanítók számára is rendkívül fontos alappilléreit: egy-egy fejezetet olvasatlanul átlapozni, későbbre halasztani, vagy csak felületesen futni át: nem szabad. Matematikát csak téglánként lehet felépíteni: itt egyetlen szó sem felesleges, minden következő részlet az előzőre épít, ha ez itt nem is annyira szembeszökő, mint egy unalmasan szisztematizáló könyvben. A kevés utasítást is követni kell: igazán ránézni az ábrára, valóban próbálgatni egy egyszerű rajzot vagy számolást, ha itt-ott erre kérem az olvasót. Viszont engesztelésül megígérem, hogy nem lesz unalmas. (PÉTER Rózsa 1969 : 11) Péter Rózsa: Játék a végtelennel című könyve három részből áll. Bár e három rész mindegyike rendkívül érdekes, véleményem szerint a tanító szakos hallgatók számára a legjobban az első rész fejezetei, illetve a második rész első fejezete használható, ezekből a fejezetekből mutatok be most egy kis ízelítőt. I. rész A bűvészinas 1. Játék az ujjakkal A szerző az I. rész 1. fejezetében az alábbi módon vezeti be a természetes számokat: a számlálás mindig azt jelenti, hogy még eggyel túlmegyünk a már meglevőn, a tíz ujjon is túljuthatunk, és így létrejön az ember első nagyszerű matematikai alkotása az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, végtelen számsorozat, az úgynevezett természetes számsor. Végtelen, mert bármily nagy számon túl is lehet még eggyel továbbszámlálni. (PÉTER Rózsa 1969 : 15) Ne felejtsük el, hogy a tanító is ezzel kezdi az első osztályban, s pontosan az alábbi gondolatok mentén terelgeti a kis elsősöket: ezek a számok csak árnyai a valóságnak: például a 3 itt nem 3 ujjat, 3 almát, 3 érverést stb. jelent, hanem azt, ami mindezekben közös: a belőlük absztrahált számukat. (PÉTER Rózsa 1969 : 15) 10

11 A számlálás bevezetése után egyértelműen adódik az összeadás és a szorzás bevezetése: 4-nél tartunk? Számláljunk tovább még 1-gyel! No még 1-gyel! No még 1- gyel! Hova jutottunk? 7-hez; ugyanoda, mintha mindjárt 3-mal számláltunk volna tovább: felfedeztük az összeadást: =4+3=7. Most játsszunk tovább ezzel a művelettel: adjunk 3-hoz még 3-at és még 3-at és még 3-at! Itt már 4-szer adtunk össze 3-at, ezt röviden így is mondhatjuk: 4-szer 3 az 12, jelekben: =4 3=12, ezt pedig már szorzásnak nevezik. (PÉTER Rózsa 1969 : 16) S valóban, ebből a megközelítésből teljesen nyilvánvaló lesz az összeadás kommutativitása: Csak jól végig kell gondolni, hogy az összeadás tulajdonképpen továbbszámlálást jelent annyival, amennyi a szóban forgó összeadandó, és akkor világossá válik, hogy a felcserélés nem változtat az eredményen. (PÉTER Rózsa 1969 : 17) Bár a szorzás kommutativitása nehezebben igazolható, az alábbi ötletes ábrákból olyannyira egyszerűen látható, hogy a tanító ezt az ábrát egy alsós diák számára is megmutathatja: Ugyanezt egy kicsit nehezebb a szorzásról is elhinni, hiszen 4 3 ezt jelenti: és 3 4 ezt: 4+4+4, és az igazán nem magától értetődő, hogy = De ez rögtön világossá válik, ha lerajzoljuk. Rajzoljunk 4-szer 3 ilyen helyzetű pontot egymás alá: Mindenki látja, hogy ez ugyanaz, mintha 3-szor 4 ilyen helyzetű pontot rajzoltunk volna egymás mellé. Tehát 4 3=3 4, ezért nevezik a matematikusok a szorzandót és a szorzót közös néven: tényezőknek. (PÉTER Rózsa 1969 : 17) 2. A műveletek lázgörbéi Gondolhatunk arra, hogy a kórházból ismert lázgörbéknek vajon milyen szerepe lehet egy matematikáról szóló könyvben. A szerző azonban ezek segítségével vezeti be igen ötletesen a függvény fogalmát. Magamat ismételve megint csak azt mondhatom, hogy egy alsós diák számára ez a fajta megközelítés még egy ilyen nehéz fogalom esetében is szemléletes és könnyen érthető. A betegek jól ismerik az ilyen rajzot: tudják, hogy csak egy pillantást kell vetni a lázgörbéjükre, és ez elárulja a betegség egész lefolyását. (PÉTER Rózsa 1969 : 21) A fölfelé törő vonalak a láz emelkedéséről, a lefelé esők az alászállásáról adnak számot, a vízszintes darabon stagnált a betegség. (PÉTER Rózsa 1969 : 23) Kezdjük az összeadáson. Az egyik összeadandó mindig 3, a változó másik összeadandót fogom a vízszintes vonalon ábrázolni és fölfelé a megfelelő összeget. 11

12 Tehát az összeadás lázgörbéje: 3+1=4 3+2=5 3+3=6 3+4=7 Itt minden összekötő vonaldarab egyetlen egyenesbe esik: az összeg egyenletesen növekszik, ha az egyik összeadandóját növeljük. (PÉTER Rózsa 1969 : 23) (Megjegyzés: Könnyen látható, hogy ebben a példában az f ( x) 3 x lineáris függvényről van szó, amelynek képe egyenes.) Még csak annyit jegyzek meg, hogy amit mi itt csináltunk, azt a matematikus így nevezi: függvények grafikus ábrázolása. Az összeg függ attól, hogy hogyan választjuk meg a változó összeadandóját; ezt úgy fejezik ki, hogy az összeg a változó öszszeadandónak függvénye, és ennek a függvénynek a növekedését ábrázoltuk. (PÉ- TER Rózsa 1969 : 25) 3. A végtelen számsor parcellázása Ebben a részben a tízes számrendszert a következő módon vezeti be a szerző (megmutatva azt is, hogy miért van szükség valamilyen számrandszerre): Hogy lehet pusztán 10 jellel a végtelen sok szám bármelyikét leírni? Úgy, hogy a végtelenségig egyhangúan tovanyúló számsort parcellázzuk, körülzárjuk egy-egy részletét: amint 10 egységet megszámláltunk, azt mondjuk, hogy ennyit még egy pillantással át tudunk fogni, fogjuk ezeket egy csokorba és nevezzünk egy ilyen csokrot új néven; a tíz egyes együttes neve: 1 tízes. Most már nagyobb lépésekben számlálhatunk tovább: tízesenként haladva előre, tíz tízest ismét összefoghatunk, pl. átköthetjük egy szalaggal, melyre ráírjuk, hogy 1 százas. Ezt folytatva, 10 százast 1 ezressé, 10 ezrest 1 tízezressé, 10 tízezrest 1 százezressé foghatunk össze. Így valóban minden szám felírható az említett 10 jel segítségével: amint a 9-en túlhaladunk, ismét 1-et írhatunk, csakhogy egy tízest, az ezután következő szám 1 tízesből és 1 egyesből áll, tehát két 1 jel segítségével leírható s.í.t. Így azonban a tízes, százas és hasonló szavakat is alkalmaznunk kell írás közben. Egy ügyes ötlet ezeket is feleslegessé teszi: a bolt pénztárosa fiókjának különböző rekeszeibe teszi az egyforintosokat, a kétforintosokat s.í.t. Mi is megállapodhatunk az egyesek, tízesek, százasok helyében. Jobb felől írjuk az egyeseket, azután bal felé haladva sorra az egyre nagyobb egységeket: a második hely a tízeseké, a harmadik a százasoké. Így a szavakat el is hagyhatjuk, mert a számjelek értékét a helyükről is felismerhetjük; ezeknek helyi értékük is van: egyesből, 5 tízesből és 3 százasból áll. Ezt fejezik ki úgy, hogy mi a tízes számrendszert használjuk. (PÉTER Rózsa 1969 : 25) De igazán nem lett volna semmi 12

13 akadálya sem annak, hogy 10-nél előbb vagy később álljunk meg. (PÉTER Rózsa 1969 : 26) Az alábbi néhány sor egyértelműen rávilágít arra a tényre, hogy hasonlóan eljárva a tízes számrendszer helyett választhattunk volna más alkalmas számrendszert is, az lenne csupán fontos, hogy ezáltal rendet tartsunk valamilyen módon a számok között: Mire jó a számrendszerek használata? Minden művelet hasonlíthatatlanul könnyebb lesz, ha ilyen rendet tartunk a számok közt, és például egyesekhez egyeseket, tízesekhez tízeseket adunk összeadáskor. (PÉTER Rózsa 1969 : 27) A szerző a tízes számrendszer kapcsán említést tesz a 2-vel, 5-tel, 10-zel, 4-gyel 8- cal való oszthatósági szabályokról. Rendkívül szemléletesen mutatja be a 9-cel való oszthatóság szabályát: a 9 esetén: 10= = =999+1 tehát 9 nem lehet osztója sem 10-nek, sem 100-nak, sem 1000-nek, mert bármelyiket próbáljuk osztani vele, marad 1; de éppen ez, hogy mindig 1 marad, vezet egy egyszerű oszthatósági szabályra: általában, ha tízeseket osztunk 9-cel, annyi marad, ahány tízest osztottunk. Ugyanígy, általában százasok osztásakor 9-cel annyi marad, ahány százast osztottunk. S.í.t. Tehát, ha egy számnak 9-cel való oszthatóságát kell eldöntenünk, legcélszerűbb ezt a számot széttagolni egyesekre, tízesekre, százasokra. Íme a keresett szabály: egy szám osztható 9-cel, ha számjegyeit öszszeadva 9-cel osztható számot kapunk. (PÉTER Rózsa 1969 : 30) 6. Minden lehetőséget megjátszunk Számos egyszerű példa bemutatása után a szerző az alábbi módon írja le a teljes indukciót: A természetes számsor 1-nél kezdődik, és mindig 1-gyel számlálva tovább, juthatunk el bármely tagjáig. A teljes indukció pedig abban áll, hogy ha valami igaz a számsor kezdetén és ez a számsorban előrehaladva számról számra öröklődik, akkor minden természetes számra igaz. Ez adott módot arra, hogy valamit minden számra bebizonyítsunk, holott minden számot végigpróbálni véges ésszel nem lehet: csak két, véges ésszel is megfogható dolgot kellett bebizonyítanunk: először, hogy a szóban forgó állítás igaz 1-re, másodszor, hogy öröklődő természetű. Ez itt a legfontosabb tanulság: a végtelen a matematikában véges eszközökkel fogható meg. (PÉTER Rózsa 1969 : 56) 7. A szürke számsor színezése Ebben a részben megismerkedünk a prímszámokkal és az összetett számokkal. Az alábbi szellemes ötlettel azt figyelhetjük meg, hogy milyen nagy rések lehetnek a prímszámok között: Így például meg lehet mutatni, hogy bármilyen nagy réseket találhatunk köztük (a prímszámok között), ha elég messzire megyünk a számsorban. Például egy legalább 6 egységnyi rést, azaz hat egymást követő olyan számot, amelyek egyike sem prímszám, adnak a következő műveletek eredményei: mert ezek valóban egymást követő számok: mindegyik éppen 1-gyel több az előzőnél, és egyik sem prímszám. (PÉTER Rózsa 1969 : 64) Ezen a módon találhatunk bármilyen hosszú réseket is. PÉTER Rózsa 1969 : 64) 13

14 II. rész A teremtő forma 9. Szétfutó számok A második részben foglalkozik a könyv pl. a műveletek megfordításával, először is a kivonással. (Ezért is lett Szétfutó számok a címe a fejezetnek, hiszen eddig a számegyenesen csak a 0-tól jobbra elhelyezkedő számokkal dolgoztunk, most azonban már a 0-tól balra elhelyezkedő számokkal is foglalkoznunk majd.) Nem egyedülálló eset az, hogy egy mennyiségnek irányt is kell tulajdonítanunk. Ha egy téli napon azt mondjuk, hogy 4 fok van odakinn, ezzel még nem adtunk kimerítő felvilágosítást az utca hőmérsékletéről. Azt is meg kell mondani, hogy 0 fölött, vagy 0 alatt van-e 4 fok; érzékeny ember számára ez komoly különbség lehet. Mindezekben az esetekben +, illetőleg - jelzéssel lehetne ellátni a kétirányú mennyiségeket, és külön nevet adni nekik: a + előjelűeket pozitív, a - előjelűeket negatív számoknak nevezik. És a negatív szám mindig úgy fogható fel, mint olyan kivonás eredménye, amelyben kisebb pozitív számból nagyobbat vonunk ki. (PÉ- TER Rózsa 1969 : 81) Példaértékű, ahogy a könyv tárgyalja a pozitív és negatív számok közötti műveleteket. Már a probléma bevezetése is tanulságos: De hátha a szorzó negatív szám? Egy számot lehet 2-szer, 3-szor, 4-szer egymásután összeadni, de annak azután igazán semmi értelme sincs, hogy 2-szer adjuk össze. Most már van némi tapasztalatunk, már nem fogjuk könnyedén rámondani: ha nincs értelme, hát ne csináljuk, hanem mondjuk ki egyszerűen, hogy negatív számmal nem lehet szorozni. Hiszen már a negatív szám bevezetése is azért történt, hogy ugyanazon feladatnak ne kelljen kétféle módon nekimenni, hogy egyöntetűen járhassunk el. A szorzás esetében is ez a helyzet: ha olyan feladatunk van, amit pozitív számokkal dolgozva szorzással lehet megoldani, kényelmetlen állandóan szétválasztani az eseteket és ezt mondani: pozitív szereplők esetén szorzunk, negatív szereplők esetén valami mást csinálunk. Figyeljük meg, hogy mi az a más, amit ilyenkor csinálunk, és negatív számok esetén nevezzük éppen ezt szorzásnak. (PÉTER Rózsa 1969 : 86) A gondolatmenetet a következő módon folytatja a szerző: Ha valaki óránként 3 kmes egyenletes tempóban sétál, mekkora utat tesz meg 2 óra alatt? Erre nyilván szorzás felel: ha 1 óra alatt 3 km-t, akkor 2 óra alatt 2 3=6 km-t tesz meg a sétáló. Most rendezzük be a feladatot úgy, hogy mind az út, mind az idő, mind a sebesség irányított mennyiség legyen. Az úton van egy pont itt -nek fogom nevezni amitől jobb felé haladó sétát pozitívnak, bal felé haladót negatívnak fogok tekinteni. Ha jobb felé tesz meg a sétáló óránként 3 km-t, azt fogom mondani, hogy a sebessége +3 km, ha bal felé, akkor azt, hogy a sebessége -3 km óránként. Végre választok egy időpontot most -nak fogom nevezni és az utána eltelő időt pozitívnak, az előtte elmúlt időt negatívnak tekintem. A kiindulás mindig ez: most itt van a sétáló : _ Most itt 1van a sétáló (PÉTER Rózsa 1969 : 86) 14

15 Kritikus esetek: (-2) (+3) és a (-2) (-3), ezek közül az utóbbit az alábbi módon mutatja be a könyv: Legyen a sebesség -3 km óránként, most itt van a sétáló; hol volt 2 órával ezelőtt? Ezt tekinthetjük majd a (-2) (-3) szorzás eredményének. A negatív sebesség azt jelenti, hogy a sétáló bal felé haladt, most ide érkezett (tessék ismét rábökni a táblára); ez csak úgy lehet, hogy 2 órával ezelőtt jobbra volt a táblától, éspedig 6 km-rel. A táblától 6 km-rel jobbra +6 van, tehát (-2) (-3)=+6. Eszerint két negatív szám szorzata pozitív. (PÉTER Rózsa 1969 : 86) Személyes tapasztalatom alapján is mondhatom azt, hogy a permanencia elv megtapasztalása, megértése sokszor okoz problémát a hallgatóknak. Az alábbi sorokat olvasva azonban egészen biztos vagyok benne, hogy a tanítójelöltek pontosabban, alaposabban megértik ezt a fogalmat. A szorzás fogalmának kiterjesztését negatív számokra itt egyetlen példából kaptuk; felmerülhet az a kétely, hogy más példa esetleg más szabályra vezetett volna. Teljes megnyugvást csak az ad, hogy új szorzási szabályunk teljesíti mindazokat a törvényeket, amelyeket a természetes számok közötti régi szorzásból leszűrtünk és így gondtalanul alkalmazhatjuk, nem fogunk ellenkezésbe jutni eddigi matematikánkkal. Mindig erre fogunk vigyázni, ha új számokat, új műveleteket vezetünk be: éppen, mert az a céljuk, hogy egységessé tegyék eljárásunkat, rajta leszünk, hogy teljesítsék a régi szabályokat. Nehogy szét kelljen választanunk a tennivalókat aszerint, hogy az újfajta szám, illetve művelet szerepele, vagy csak a régi. Ezt az óvatosságot a régi fogalmak kibővítésében nevezik permanencia-elvnek. (PÉTER Rózsa 1969 : 88) Természetesen egy ilyen rövid dolgozatban nem lehet teljes részletességgel bemutatni egy egész könyvet. Én sem tudtam nagyon sok mindenről említést tenni, nagyon sok olyan érdekességről, izgalmas feladatról, amelyek megtalálhatók ebben a könyvben. Arra biztatom tehát a kedves Olvasót, hogy vegye kezébe Péter Rózsa nagyszerű könyvét és olvassa el, akár többször is. Azt azonban remélem, hogy a néhány kiragadott idézet segítségével azt sikerült megmutatnom, hogy miért is annyira hasznos és fontos a tanító szakos hallgatók számára ez a könyv. Irodalom: PÉTER Rózsa: Játék a végtelennel. Bp., Tankönyvkiadó,

16 PINTÉR Klára SZTE Juhász Gyula Pedagógusképző Kar Tanító- és Óvóképző Intézet Matematika Szakcsoport A tanító hallgatók problémamegoldási és problémaalkotási képességének fejlesztése 1. Bevezetés A matematika tanítás célja a gondolkodás fejlesztése, amely leginkább problémák megoldásával valósulhat meg (POLYA 1987). A probléma-megoldás fejlesztésével célszerű külön is foglalkozni a tanítóképzésben. A közoktatásban a problémamegoldás kulcs-kompetencia, ugyanez érvényes a majdani pedagógusok képzésére is. A tanítóknak ismerniük kell a problémamegoldás lépéseit, az alsó tagozatos feladatok megoldásához szükséges legfontosabb stratégiáit, és ezeket tudniuk kell alkalmazni. Ahhoz, hogy a tanulók problémamegoldási képességét fejleszthessék, nekik maguknak is rendelkezniük kell ezekkel a képességekkel, tanulóként meg kell tapasztalniuk a fejlesztés lehetőségeit, gyakorlatát. A felfedeztető tanítást csak úgy tudják megvalósítani, ha a problémákat megfelelő lépésekre tudják bontani, és kérdésekkel rá tudják vezetni a tanulókat a megoldásra. A problémamegoldás fejlesztését segíti a problémák alkotása (KILPATRICK 1987) ami elengedhetetlen akkor, amikor a tanulók számára őket érdeklő, a hétköznapi életükhöz kapcsolódó gyakorlati problémákat találunk ki. 2. Elméleti háttér A problémamegoldás folyamatának modelljei közül a Pólya-féle négylépéses modellt (PÓLYA 1977) vettük alapul a Schoenfeld-féle kiegészítésekkel (SCHOENFELD 1985): - Értsük meg a problémát, határozzuk meg a célt. - Tervezzük meg a megoldási stratégiát. - Hajtsuk végre a stratégiát, ellenőrizzük és módosítsuk, ha szükséges. - Ellenőrizzük és járjuk körbe a megoldást. Hangsúlyozzuk a vezérlés központi szerepét a lépések végrehajtása folyamán. Az utolsó lépésben a probléma körbejárása különösen fontos. Következményeket, általánosításokat keresünk, új kérdéseket teszünk fel a problémával kapcsolatban. A problémaalkotás formái a következők: - Játék, tevékenység, kísérletezés során problémák alkotása. Az alsó tagozatban különösen fontos a tárgyi tevékenységen alapuló induktív ismeretszerzés, ennek során a tapasztalatokat meg kell tudni fogalmazni, ezekkel kapcsolatban kérdéseket kell tudni felvetni. - Problémamegoldás folyamatában nagy jelentősége van a lépések meghatározásának, a részproblémák kitűzésének, a problémák új reprezentációba való átfogalmazásának, amely rendszerint a megoldás alapja (MAYER 1982). - Mi lenne, ha stratégiával új problémához jutunk, ha változtatjuk a kérdést, a problémában szereplő adatokat, feltételeket (BROWN & WALTER 1990). - Adott vagy kitalált helyzethez alkotunk matematikai problémákat. - Adott megoldási módszerhez keresünk különböző szövegeket, megvalósulási formákat (STOYANOVA 1998). A problémamegoldás és problémaalkotás fejlesztése kognitív, metakognitív és affektív területen zajlik. 16

17 - A kognitív aspektus a változatos reprezentációkat (AMBRUS,2007), a különböző probléma típusok és stratégiák tanítását jelenti. - A metakognitív aspektus a lépések, stratégiák tudatos végrehajtását, a kontrollt, az önellenőrzést, a folyamat felügyeletét jelenti (FLAWELL 1976). A problémamegoldó folyamatos önmagával folytatott párbeszéddel irányítja gondolkodását. - Az affektív aspektus a tanulók aktivitásának fejlesztését, önállóságuk, pozitív hozzáállásuk erősítését, az ösztönző tanári magatartás tanulását jelenti (KILPATRICK 2009). 3. A kutatás módszere A kutatás célja tanító szakos hallgatók problémamegoldási, problémaalkotási képességének felmérése, a fejlesztés fő területeinek meghatározása. Ezek alapján fejlesztő kurzus kidolgozása, feladatlapok összeállítása, a megvalósítás módszertanának kidolgozása. A hallgatók órai munkájának, házi feladatainak, valamint a kurzus végén a problémamegoldó teljesítményének értékelése. Hipotézisek - A tanító szakos hallgatók problémamegoldási képessége speciális kurzus során fejleszthető. - A probléma-megoldási stratégiák taníthatóak. - A szöveges indoklás fejleszthető. - A problémaalkotási képesség fejleszthető. A kutatás módszere kvantitatív: - A problémamegoldó képesség felmérése feladatlappal, amelynek feladatai a problémamegoldás lépéseire, néhány stratégiára, a többféle megoldási módszer keresésére, az új kérdések felvetésére vonatkoznak. A feladatok megoldását egyenként értékeltük vizsgálva a megoldási módszereket, a válaszok indoklását. - Fejlesztés kiscsoportban, megfigyelések osztálytermi körülmények között. A házi feladatok, az önálló problémamegoldás értékelése, a tanult stratégiák alkalmazásának vizsgálata. - A záró mérés szintén egy feladatlap, amelynek feladatai a fejlesztő foglalkozások alapján megoldhatók, de nem ismert feladatok. A megoldásokat egyenként értékeltük a kezdő méréshez hasonlóan. A felmérés célja: - A tanító hallgatók problémamegoldási képességének felmérése. - A fejlesztendő területek meghatározása. - A különböző hallgatói csoportok összehasonlítása. A felmérést a fejlesztésben részt vevő hallgatókon kívül a kontroll csoport tagjai is megírták, akik szintén tanító szakos hallgatók. Rajtuk kívül korábbi tanár szakos hallgatók eredményeiről is szereztünk információt. A felmérés alapján a leginkább fejlesztendő területek a következők: - A problémamegoldás lépéseinek tudatos végigjárása. - Probléma-megoldási stratégiák megismerése. - Modell felismerése, új reprezentációk alkotása. A hallgatók kevésbé ismerik fel a matematikai modellt, ha a feladatot hétköznapi szöveggel adjuk fel, és szinte egyáltalán nem tudják megoldani a problémát, ha felesleges információkkal nehezítjük. - Megoldások szöveges leírása fejlesztendő, szinte kizárólag formulákat írnak a hallgatók megoldásként. - Indoklások igénye és gyakorlata nagyon hiányos. Sokan néhány esetből általánosítanak, nem érzik szükségét a bizonyításnak. 17

18 - Új problémák alkotása. Alig tettek fel új kérdéseket, nincsenek hozzászokva a kérdésfeltevés feladatához. Hallgatói csoportok összehasonlítása - A tanító szakos hallgatók absztrakciós szintje alacsonyabb, mint a tanár szakosoké, megoldási módszereik kevéssé szimbolikusak. - A tanító szakos hallgatók aktívabbak, mint a tanár szakosok, akkor is hozzáfognak a megoldáshoz, ha nem látják a befejezését előre, elkezdenek próbálgatni, és ezután sokszor sikerrel járnak. - A kontroll csoport tagjai sikeresebbek a megoldásban, kreatívabbak az új konstrukciók alkotásában. 3. A fejlesztés módszere A fejlesztésben tíz téma szerepel, mindegyik témára egy foglalkozást terveztünk. A foglalkozások többségére kidolgoztunk egy feladatsort. A feladatsorok mintaproblémákkal kezdődnek, amelyeket rendszerint tárgyi tevékenységből, játékból indulva oldunk meg. Ezeket önállóan megoldandó problémák követik, amelyeket házi feladatként kell megoldani, a megoldásokat írásban beadni. A megoldásokat a következő foglalkozáson megbeszéljük. A kreativitás fejlesztésére a feladatsorok végén rejtvények találhatók. A továbbiakban áttekintjük a fejlesztés témáit. 1. A problémamegoldás lépései Egy problémából indulva tárgyi tevékenységet végzünk a probléma megértésének, új reprezentációk alkotásának segítésére. Tudatosítjuk a lépések, módszerek végrehajtását. Összegyűjtjük a továbbhaladást segítő kérdéseket: Hol tartunk?, Mi a célunk?, Mi akadályozza a megoldást? és bemutatjuk ezek tudatos alkalmazását. 2. Kísérletezés, példák, ellenpéldák Bemutatjuk, hogyan lehet kísérletezéssel sejtésekhez jutni, amelyeket igazolni kell ellenpéldával, bizonyítással. Igyekszünk a próbálgatást tudatossá tenni. A közös munkában sikeresek a hallgatók, de még önállóan kevésbé megy az indoklás. 3. Rajzoljunk! Az ábra készítése a problémamegoldás egyik fontos lépése, segítője lehet. A képi reprezentációk alkotását (táblázatok, gráfok, stb.) is tanulniuk kell a hallgatóknak. Az ábrák rajzolása segíti a probléma struktúrájának megismerését. Foglalkozunk a feladatok kódolásával a képi reprezentációba, és dekódolásával az eredeti kontextusba. 4. Szöveges feladatok megoldása szakaszokkal Az alsó tagozaton különösen fontos a szöveges feladatok következtetéses megoldása szakaszokkal próbálgatás vagy egyenletek helyett. A hallgatók legnagyobb nehézségei a többlépéses, és az arányokat tartalmazó feladatokkal vannak. Hibakereséssel bemutatjuk az indoklások fontosságát, hiszen kaphatunk jó eredményt hibás gondolatmenettel is. A problémaalkotást gyakoroljuk azzal, hogy szöveget alkotunk adott szakaszos modellhez. 5. Gondolkodjunk visszafelé! A hallgatók megtanulják a visszafelé gondolkodás ábrázolási módjait (buborékok, táblázatok). Ezeket alkalmazzák műveletekre, játékok állapotaira. Gyakorolják a lépések tudatosságát párbeszédes módszerrel. 6. Alkossunk problémákat Harry Potter nyomán! Probléma alkotását gyakoroljuk adott helyzethez, amikor egy, a Harry Potter és a bölcsek köve című könyvben szereplő rejtvényhez találunk ki kérdéseket, ábrát. Eközben látható, hogy a kérdéseket hogyan lehet pontosan, egyértelműen megfogalmazni. Hasonló problémaalkotásokkal erősíthetők a tantárgyközi kapcsolatok is. 18

19 7. Problémacsokrok mi lenne, ha? A Mi lenne, ha? stratégiával új problémákat alkothatunk a kérdés, az adatok, feltételek változtatásával. Erre példa a következő: Helyezzük el az 1; 2; 3; 4; 5; 6 számokat a körök metszéspontjaiban úgy, hogy bűvös köröket kapjunk, azaz a számok összege minden körön ugyanannyi legyen. Egy megoldás megtalálása után keressük a megoldások szerkezetét, a megoldások számát. Vizsgáljuk, hogy milyen számok esetén lehetséges a kitöltés. Mi történik, ha változtatjuk a kitöltés módszerét, például a számok 1-től 6-ig cédulákon vannak, és sorban húzunk számot az egyes helyekre. Kitölthetjük a helyeket kockadobással, vagy úgy, hogy egyszerre dobunk hat dobókockával, és megpróbáljuk úgy elhelyezni a dobott számokat, hogy bűvös köröket kapjunk. Számoljuk az egyes módszerek esetén annak valószínűségét, hogy bűvös köröket kapunk. Megváltoztatjuk a körök számát négyre, és 1-től 12-ig elhelyezzük a számokat a metszéspontokban. Vizsgáljuk, elhelyezhetők-e 1-től 6-ig a számok négy egyenes metszéspontjaiban úgy, hogy mindegyik egyenesen ugyanannyi legyen a számok összege. Megváltoztathatjuk a műveletet, az összeadást szorzásra. Tapasztalatunk szerint a problémaalkotás ilyen módon a közös munkában jól működik, önállóan azonban kevésbé. 8. Egy modell különféle reprezentációk Egy feladat különböző reprezentációinak felismerését megalkotását tanítjuk. A problémához tárgyi tevékenységet alkotunk, amely segíti a megoldás megtalálását. Ezután más kontextusban kell felismerni ugyanazt a problémát. Vizsgáljuk, hogy a megfogalmazások közötti különbség, az adatok megadása hogyan befolyásolhatja a megoldást. Házi feladatként a hallgatóknak szöveges feladatok modelljeit kell megtalálni műveletekkel, és szöveget kell alkotni adott modellhez. 9. Alkossunk játékokat matematikai problémákból! A játékok segítségével a tanulók sok kísérletet végeznek el szívesen, így ha játékot alkotunk matematikai problémákból a játék során szerzett tapasztalatok segítik a probléma megoldását. Példákat mutatunk játékokra, melyek alapjai összeszámlálási feladatok, skatulya-elvre vonatkozó feladatok, színezési feladatok. 10. Szerepjáték a problémamegoldásra, problémaalkotásra A szerepek a következők: Kapitány: szabályt alkot, ellenőriz. Fürkész: kérdez, irányítja a munkát. Számítógép: adatokat szolgáltat, számol. Bölcsek: megtervezik a megoldást. Írnok: lejegyzi a történéseket. A hallgatók csoportban dolgozva kiosztják a szerepeket, megbeszélik az alap szituációt, ami lehet például egy kalózhajón a szerzett kincs elosztása. A szerepjátékkal a hallgatók adott helyzethez találnak ki problémákat, a megoldás során szembesülnek azzal, hogy milyen adatokra van szükségük, továbbá az adatok megadásának nehé- 19

20 zségeivel. Előfordul, hogy nem kapnak egész megoldást, ami sokkal életszerűbb, mint a tankönyvi feladatok. A Kapitány érdeke a szabály ellenőrzése. Látják a kérdések irányító szerepét, fontosságát. A játék motiváló ereje is nagy. 4. A záró mérés A záró mérés célja a fejlesztés eredményének felmérése, valamint a fejlesztett és a kontroll csoport összehasonlítása. Módszere: feladatlap, amelynek feladatai nem ismétlései a felmérésben szereplő példáknak, vagy a fejlesztő feladatsorok feladatainak. Közepes és nehezebb problémák a módszerek új helyzetben alkalmazására. A záró mérés egy feladata a következő: Mennyi a 3x3-as tömbök átellenes sarkaiban levő számpárok szorzatainak különbsége? Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek Szombat Vasárnap A megoldás a számtani sorozatnak a naptárban való felismerésén és tagjai közötti összefüggések alkalmazásán alapul. A naptár alkalmas számtalan további kérdés alkotására, például találjunk ki módszereket egy 3x3-as tömbben levő számok öszszegének gyors meghatározására. Megfigyelhetjük az osztási maradékok szabályos megjelenését is. A feladat megoldásának értékelése: Fejlesztett csoport Kontroll csoport Jó megoldás indoklással 13,04 % 0 % Próbálkozás Példák alapján jó válasz Példák, de nem válaszol % 55 % 17 % 9 % 87 % Kihagyja 35% 36% Új kérdéseket tesz fel 43% 9% 100% Látható, hogy a fejlesztett csoportban nagyobb arányban vannak, akik jó megoldást adtak indoklással. A próbálgatás után a fejlesztett csoport tagjai között kevesebben válaszoltak a kérdésre, ami azt mutatja, hogy indoklás nélkül nem gondolták teljesnek a megoldást. Tehát az indoklás igénye fejlődött a foglalkozások során. A feladatot a két csoportban ugyanannyian hagyták ki. Nagy a különbség az új kérdések alkotásának tekintetében a fejlesztett csoport javára.

21 A záró mérés eredménye: - Közepesen nehéz feladatokat sikeresebben oldottak meg a fejlesztett csoport tagjai. - Szöveges indoklások leírása fejlődött, a fejlesztett csoport tagjai több szöveges indoklást írtak, mint korábban, és mint a kontroll csoport tagjai. - Szöveges feladatok szakaszos ábrázolása gyakrabban fordult elő a fejlesztett csoportban, mint a kontroll csoportban. - A visszafelé gondolkodás táblázattal stratégiát a fejlesztett csoport tagjai sikeresen alkalmazták szemben a kontroll csoporttal. - A megoldás ellenőrzését nem hagyták ki a fejlesztett csoport tagjai. - Az új problémák alkotásában a fejlesztett csoport tagjai jóval megelőzik a kontroll csoportot. A hipotézisek igazolódtak: - A problémamegoldás, tárgyi tevékenységgel való szemléltetés, kísérletezés, közös gondolkodás fejlődött az órai tapasztalatok alapján. - A visszafelé gondolkodás, szakaszos ábrázolás stratégiája fejlődött a házi feladatok, a záró mérés eredményei alapján. - A megoldások, indoklások leírása fejlődött, ez látható a házi feladatokban és a záró mérésben is. - Több, pontosabb, lényegre törőbb probléma kitűzéssel találkozunk a foglalkozásokon, a házi feladatokban és a záró mérésben is. 5. Összegzés A kidolgozott kurzus alkalmas tanító hallgatók problémamegoldó képességének fejlesztésére különös tekintettel a 6-12 éves korosztály igényeire, és a pedagógusi kompetenciákra. A kurzus során fejlődött a hallgatók bizonyítási igénye és az indoklások leírása. A problémaalkotás mellett fejlődött a hallgatók tudatossága, önmagukkal való párbeszéde problémamegoldás közben. A matematikához, a problémamegoldáshoz való hozzáállásuk pozitív irányban változott, még a korábban kevésbé érdeklődő hallgatók is szívesen és aktívan vettek részt a tevékenységekben, játékokban. A kurzus folytatásával tovább lehetne fejleszteni a nehezebb szöveges feladatok megoldását, a bizonyítási igényt és gyakorlatot. Ezt segíti, ha más tantárgyakat is problémaközpontúan tanítunk. Kiváló lehetőség adódik erre például a kombinatorika tanításakor, ahol a tanulóknak sok lehetősége van saját stratégiák alkotására a megoldások során. Kombinatorikában általában többféle megoldási módszer létezik, ezek megismerése segíti a problémának megfelelő matematikai modellek megtalálását. Hasonló problémákkal, tevékenységekkel általános iskolai tanulók problémamegoldó képességét is fejlesztjük. 21

22 Irodalom: AMBRUS A. A konkrét és vizuális reprezentációk szükségessége az iskolai matematikaoktatásban. ( ) BROWN, S. I.,& WALTER, M.: The art of problem posing. NJ: Lawrence Erlbaum Associates 1990 FLAWELL, J. H.: Metacognitive aspects of problem solving. In L. B. Resnick (Ed.) The nature of intelligence. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates,1976 KILPATRICK, J.: Problem Formulating: Where do good problems come from? In: A. Schoenfeld (Ed.) Cognitive science and mathematics education, Hillsdale, NJ: 1987, Erlbaum, KILPATRICK, J.: A retrospective Account of the Past Twenty-five Years of Research on Teaching Mathematical Problem Solving. In E. A. Silver (Ed.), Teaching and Learning Mathematical Problem solving: Multiple Research Perspectives (pp. 1-16). Routledge, New York and London, 2009 MAYER, R. E.: Implication of Cognitive Psychology for Instruction in Mathematical Problem Solving. In F. K. Lester & J. Garofalo (Eds.) Mathematical Problem Solving: Issues in Research, Philadelphia: The Franklin Institute Press, 1982 PÓLYA György: A gondolkodás iskolája, Gondolat, Budapest, 1977 POLYA, G.: On learning, teaching and learning teaching. In F.R.Curcio (ed.), Teaching and learning: A problem solving focus (pp. 1.15). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1987 SCHOENFELD, A.: Mathematical Problem Solving, Academic Press INC.,New York, 1985 STOYANOVA, E.: Problem posing in mathematics classrooms. In: A. McIntosh &N. Ellerton (Eds.), Research in Mathematics Education: a contemporary perspective. Edith Cowan University: MASTEC, p