Dr. MADARAS LÁSZLÓNÉ Dr.
|
|
- Sára Kocsisné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Szolnok Tudományos Közlemények XI. Szolnok, Dr. MADARAS LÁSZLÓNÉ Dr. AZ OPTIMALIZÁLÁS ELMÉLETÉNEK EGYIK MAGYAR GYÖNGYSZEME Előadásukkal a 160 éve született Farkas Gyula ( ) akadémkus, vlághírű magyar elmélet fzka professzor matematka munkásságát és annak jelentőségét elsősorban az optmalzáláselméletben kmutatható jelentősége alapján kívánjuk méltatn. A tudományban gyakran előfordul, hogy az adott kor, amelyben egy-egy kutató dolgozk még nem érett meg teljesen arra, hogy a kutatás eredményeket a jelentőségüknek megfelelően értékelje. Így a korábban megfogalmazott tételek később új megvlágításba kerülve más, esetenként sokkal nagyobb jelentőséget kaphatnak. Az operácókutatás ma szntjén Farkas Gyula 1901-ben publkált 1, a lneárs egyenlőtlenségekre vonatkozó tételének az optmalzálás-elmélet kalakulása után jóval nagyobb jelentőséget tulajdonítunk, mnt ahogyan az életében megítélhető volt. A 20. században a különféle vállalatok, ntézmények mérete, bonyolultsága órás mértékben megnövekedett. A bonyolultság és szakosodás növekedésével szükségessé vált a rendelkezésre álló erőforrások különböző tevékenységek között lehető leghatékonyabb szétosztása, s az egyes tevékenységek céljanak összehangolása a vállalat egészének céljaval. Így egyre gyakrabban került előtérbe a tudományos megközelítés alkalmazása a vállalatok, ntézmények vezetésében. Azért, hogy mnél objektívebb, megalapozottabb döntések születhessenek az egyre szerteágazóbb, összetettebb feladatok megoldására, kalakult az optmalzálás-elmélet. A különböző döntéselőkészítések kapcsán az adott probléma gazdaság modelljéből kndulva, annak matematka modelljét felállítva, az optmalzálás probléma számítógépes megoldása megadja a lehetséges optmáls megoldást (megoldásokat). A kalakuló új tudományterület, az operácókutatás a gyakorlat életben előforduló összetett rendszerek modellezésével, a korlátozottan rendelkezésre álló különböző erőforrások 1 [3] 1
2 szétosztásával és az ezekhez kapcsolódó döntések meghozatalával foglalkozó elmélet. Célja tehát a vezető döntéshozatal objektív megalapozása. Az operácókutatás gyors fejlődését sokan a másodk vlágháborúhoz kötk, amkor különösen fontossá vált a katona erőforrásoknak különféle had műveletek, másrészt e műveleteken belül tevékenységek között hatékony szétosztása. Az ezen a területen folyt kutatás eredmények egyk fontos eredménye a lneárs programozás feladatok megoldására szolgáló ún. szmplex módszer kdolgozása, amely George Dantzg (1947) nevéhez fűződk. Az operácókutatás gyors fejlődését az elektronkus dgtáls számítógépek létrejöttének (1946) s köszönhetjük. Az említett bonyolult problémák nagy mennységű számítása ugyans csak az embernél ezerszer, esetenként akár mllószor gyorsabban elvégzett artmetka műveletek segítségével történhettek. A nemlneárs programozás elnevezés Kuhn és Tucker 1950-ben publkált 2 ckkétől számítódk, melyben az optmalzálás szükséges feltételet fogalmazták meg. Farkas Gyula ben megjelent homogén, lneárs egyenlőtlenségrendszerekre vonatkozó tétele 1950-ben, az optmalzálás-elmélet kalakulása révén 3 került előtérbe. A lneárs egyenlőtlenségekre vonatkozó alapvető tételét ugyans Kuhn és Tucker felhasználta a nemlneárs programozás alaptételének bzonyításában 4. Így vált közsmertté a bzonyításban felhasznált Farkas tétel. Farkas Gyula főleg elmélet fzka problémákkal foglalkozott, de a fzka problémák matematka hátterét olyan alaposan és mélyen kdolgozta, hogy közben klasszkus matematka eredmények s születtek. A lneárs egyenlőtlenségek alaptételén túl az elmélet fzka kereten belül skerült megfogalmazna és bzonyítana a nemlneárs programozás legfontosabb alaptételét. Bár elmélet fzka eredményt fogalmazott meg, tétele alkalmazható a nemlneárs programozásban egyenlőtlenséges feltételek mellett optmalzálásra s. Ahhoz, hogy az elmélet fzka magyar megalapozójának lyen tárgyú munkásságába betekntsünk, elért eredményt témánk szempontjából méltassuk, pllantsunk bele a fzkának abba a korszakába, amelyben Farkas Gyula alkotott. Az 1970-es évektől az 1890-es évekg a fzka fenomenológa korszakát éltük, míg a századfordulót a korpuszkulárs elméletek előtérbe-kerülése jellemezte. Az elmélet fzka a 19. században az analtka mechanka és a matematka analízs módszeret alkalmazva jött létre. A mechanka, lletve ég mechanka mntájára a jelenségeket merev kapcsolatokra vagy távolba ható centráls erőkre gyekeztek vsszavezetn. A 19. század másodk felében kezdték felsmern, hogy a fzka egyes jelenségcsoportjat nem lehet a pontmechanka által előírt szűk keretekben tárgyaln. Így a hőtan, fénytan, elektrodnamka területet már az ún. 2 [6] 3 Prékopa András így írja le a történetet: Az 1976-ban Budapesten tartott IX. Nemzetköz Matematka Programozás Szümpozon bankettjén a mellettem ülő Tucker elmondta, hogy amkor a nemlneárs programozás ún. szükséges optmaltás feltételének bzonyításán dolgozott, Kuhnnal, akkor doktoranduszával együtt, megakadtak egy ponton, ahol szükségük volt a lneárs egyenlőtlenségrendszerekkel kapcsolatos eredményekre. Mután Tucker leküldte tanítványát a könyvtárba, hogy kutasson, hátha talál valamt, amre támaszkodva a bzonyítást teljessé tudják tenn, a tanítvány csakhamar ráakadt Farkas Gyula ckkére, melynek fő tétele pontosan azt mondja k, amre szükségük volt. In: [10], 16. oldal. 4 A nemzetköz matematka rodalom egyk folyóratában, a Crelle Journalban publkálta 1901-ben. 2
3 fzka fenomenológának 5 nevezett ránynak megfelelően a tapasztalatra alapozva dolgozták k. Hertz után az elektromágneses tér Maxwell-féle egyenlete adták az eletrodnamka alaptörvényet. A 90-es évektől rádóaktvtás jelenségenek felfedezésével az atom, korpuszkulárs felfogás kerül előtérbe, majd válk mndnkább uralkodóvá a fzka fenomenológával szemben. Majd a 20. század elejétől főként a relatvtás elmélete, lletve a kvantumelmélet határozzák kutatások jellegét. Farkas Gyula kutatása a fzka fenomenológa korszakában kezdődtek, annak egyk legkövetkezetesebb képvselője. Ebben a korszakban a fzka egyk legfontosabb célja a fzka alaptörvényenek a közvetlenül adott tapasztalatra épülő precíz kdolgozása és a szükségtelen korlátozások nélkül általánosítás volt 6. Ezért fordultak a szgorú és pontos matematka alapok felé. Farkas Gyula első dolgozata matematka tárgyúak 7. A kolozsvár egyetemre kerüléség (1887) huszonöt matematka tárgyú és négy fzka témájú dolgozata jelent meg. Mután a kolozsvár egyetem matematka fzka tanszékére került, érdeklődése s főként a fzka felé rányult ben részt vett Paduában Galle tanszékfoglalásának 300.-dk évfordulójának tszteletére rendezett ünnepségeken, amelyek kapcsán az analtkus mechanka 5 A fzka fenomenológa a poztvzmust képvsel. A poztvzmus a tudományosság legfőbb krtérumának tapasztalatnak való közvetlen megfelelést, a bztos smeretek megfogalmazását tartja. Nem tartották célszerűnek a közvetlen tapasztalaton túl, ún. túl messzemenő következtetések levonását. A poztvsta rányzat eredményeként a fzka elméletek megalapozottabb fejlődése következett be, elvetve a hbásan létrejött, megalapozatlan smeretek jó részét. A fzka fenomenológa főbb képvselő Krchoff, W. Vogt, P. Duhem, Mach, Robn, Poncaré, Planck. 6 W. Vogt a fzka fenomenológa kmagasló képvselője elsmeréssel nylatkozott Farkas Gyula hdrodnamkában és termodnamkában megfogalmazott néhány eredményéről. (Kompendum der Theoretschen Physk, II. kötet, p.803) 7 Matematka értekezése egy részét Vllarceau és Hermte mutatták be a párzs Académe des Scences-ban. Ezek algebra problémákra, mnt lneárs egyenletrendszerek megoldására (Soluton d'équatons lnéares, présentée par M. Yvon Vllarceau. C. R. LXXXVII ), algebra egyenletek képzetes gyökenek meghatározására (Note sur la détermnaton des racnes magnares des équatons algébrques. Extrat d'une communquée par M. Yvon Vllarceau. C. R. LXXXVII , Sur la détermnaton des racnes magnares des équatons algébrques. Extrat d'une communquée par M. Yvon Vllarceau. (Folytatás.) C. R. LXXXVII , Note sur la détermnaton des racnes magnares des équatons algébrques. Extrat d'une lettre communquée par M. Yvon Vllarceau. (Folytatás.) C. R. LXXXVII , (Note sur la détermnaton des racnes magnares des équatons algébrques (sute et fn). Extrat d'une lettre communquée par M. Yvon Vllarceau. C. R. LXXXVII ) trnom egyenletekre (Auflösung der dregledrgen algebraschen Glechung. Archív der Mathematk und Physk. 64. Tel. Erstes Heft. IV Grefswald ) a gyökök sorfejtéssel való meghatározására (Vegyes m-edfokú egyenlet egyk gyökének meghatározása sorfejtés által Budapest. Athenæum R. T. nyomdája 1878.) vonatkoznak. Majd áttér függvénytan problémákra. Több dolgozatában s foglalkozk az ellptkus függvényekkel (Sur une classe de deux fonctons doublement pérodques, présentée par M. Yon Vllarceau. C. R. XC , Sur les fonctons ellptques, présentée par M. Yvon Vllarceau. C. R. XC ), a magasabbrendű sznuszfüggvénnyel (~Sur. I'applcaton de la théore de Snus des ordres supéreurs å I'ntegraton des équatons dfférentelles lnéares. Extrat d'une lettre adressée å M. Yvon Vllarceau. C. R. XC , Sur la théore de Snus des ordres supéreurs, communquée par M. Yvon Vllarceau. C. R. XC , Sur la théore de Snus des ordres supéreurs, communquée par M. Yvon Vllarceau. C. R. XC , Sur la théore de Snus des ordres supéreurs. Extrat d'une lettre a M. Yvon Vllarceau. C. R. XC ) és alkalmazásaval, ellptkus ntegrálok sorbafejtésével (Sur le dévelopment des ntegrales ellptques de premère et de deuxème etc., prèsentèe par M. Yvon Vllarceau.) Jacobnak a Hamlton-féle kanonkus egyenletekre vonatkozó tételének általánosításával (Gènèralsaton du thèorème de JACOBI sur les èquatons de HAMILTON, prèsentèe par M. Hermte. C. R. XCVI ) egyértékű függvényekkel (Sur les fonctons unformes, communquèe par M. Yvon Vllarceau. C. R. XCVI ) Egyk dolgozatában (A Bólya-féle algorthmus. Értekezések a mathematka tudományok köréből, kadja a M. Tud Akadéma. VIII. kötet III. szám ) az általa Bolya-féle algortmusnak nevezett x m =a+bx egyenlet megoldására szolgáló teráló eljárást tesz tanulmány tárgyává. Ugyancsak az terálás a témája a Sur les fonctons teratves című, a Journal de Mathematques-ban 1884-ben megjelent dolgozatának (Sur les fonctons tèratves. Journal de Mathematques. X ), mely terálás által nyerhető függvények analtka karakterének megállapításával és az terálás processzus konvergencájával foglalkozk. Két geometra tárgyú dolgozata közül az egyk Pascal-bgavonalával (PASCAL bgavonalának elemzése. Budapest. Athenæum R. T. nyomdája ), a másk egymásra lefejthető felületekkel (Az egymásra teríthető felületek problémájáról. Erdély Múzeum-egylet Orvos-természett. Értesítője. Kolozsvárt. 1888? ) foglalkozk. 3
4 kezdte foglalkoztatn. A vrtuáls sebességek, a vrtuáls munka elvének tanulmányozásával 8 olyan problémára talált, amelyre vonatkozó kutatása tudományos munkásságának legeredményesebb részét képezk. Részletesen foglalkozott a mechanka Fourertől eredő elvével, amely a kényszerfeltételek körében egyenlőtlenségeket s megenged. A Fourer-féle elv történetével, az elv előfeltételevel, a használt fogalmak pontos kdolgozásával, az elv alkalmazhatóságával foglalkozk hét dolgozata 9. A témához sorolhatjuk az elv matematka megalapozását képező, a lneárs egyenlőtlenségrendszerekre vonatkozó kutatás eredményet 10. Farkas a lneárs egyenlőtlenségek elméletét fzka kutatásanak megalapozása érdekében fejlesztette k. Bzonyítja ezt a korábban említett 1901-ben németül publkált dolgozatának első két mondata. Az analtkus mechanka természetes és szsztematkus tárgyalásának alapját az előbb FOURIER, és később GAUSS által megfogalmazott egyenlőtlenség elvnek kell alkotna. Egy lyen tárgyalás lehetősége azonban megkövetel bzonyos smereteket a homogén, lneárs, egész egyenlőtlenségekkel kapcsolatban, melyek eddg úgyszólván teljesen hányoztak. 11 Ha a vrtuáls elmozdulás komponenset, mnt a kényszerfeltételek által megengedett δx, δy, δz és valóságos dx, dy, dz elmozdulások különbségeként defnáljuk δx =ðx -dx, úgy a Fourer-féle elvet a következő egyenlőtlenség adja: m x X δ x + m y Y δy + m z Z δz 0, (1) ahol m az -edk pont tömege, x, y, z a gyorsulás komponense. X, Y, Z a szabad erő komponense. Azaz a vrtuáls elmozdulásnál a kényszererők munkája nem lehet negatív. A kényszer általában lneárs relácók fejezk k. Az egyenlőségek és egyenlőtlenségek a vrtuáls elmozdulások komponense között a következő alakúak: ( A δ x + B δy + C δz ) n M n = 1 ( Lkδ x + M kδy + N kδz ) = 1 k k k = 0, ahol k = 1, L j, j 3n, 0, k = 1,2, L, (2) ahol az együtthatók a koordnáták és az dő dfferencálható függvénye, melyek számára a dszkrét folytonosság szakadás helyeket enged meg. A kényszer független egyenletenek a száma azonban nem lehet nagyobb, mnt a változók száma. Farkas Gyula bebzonyította, hogy ha a független egyenlőtlenségek számának nncs felső 8 A vrtuáls sebességek elve GALILEINÉL. Mathematka és Physka Lapok , GALILEIről s a pádua GALILEI ünnepléséről. U. o A Fourer-féle mechanka elv alkalmazása. M. T. É. XII , A Fourer-féle mechanka elv története és némely specáls alkalmazása. Erdély Múzeumegylet Értesítője és , A Fourer-féle mechanka elv alkalmazásanak algebra alapjáról. Mathematka és Physka Lapok , A FOURIER-féle mechanka elv alkalmazásanak algebra alapja. M. T. É. XVI , Parameteres módszer FOURIER ~ mechanka elvéhez. Mathematka és Physka Lapok , Általános mechanka elvek aether számára. M.T. É. XIX Ugyanaz az Archív Neerlandases Lvre jublare dèdè å H. A. LORENTZ-ben., Beträge zu den Grundlagen der analytschen Mechank. Crelle Journal. 131, dolgozat tartozk de. A Fourer-féle mechanka elv alkalmazásanak algebra alapjáról. Mathematka és Physka Lapok , A FOURIER-féle mechanka elv alkalmazásanak algebra alapja. M. T. É. XVI Vektor-tan és az egyszerű naequatok tana. Különlenyomat az Erdély Múzeumegylet Értesítője után. Kolozsvárt I-XIV. és , Theore der enfachen Unglechungen. Crelle Journal. 124, Multplcatoros módszer négyzetes alakhoz. M. T. É. XXXV Nem-vonalas egyenlőtlenségek vonalassá tétele. M. T.É. XXXV , Egyenlőtlenségek alkalmazásának új módja. M. T. É. XXXVI , A lneárs egyenlőtlenségek következménye. M. T. É. XXXVI , Alapvetés az egyszerű egyenlőtlenségek vektorelméletéhez. M. T. É. XLIII In: [8] 166. oldal 4
5 határa, ha a változók száma nagyobb, mnt kettő. Független egyenlőtlenségeknek a változók számára újabb korlátozást jelentő egyenlőtlenségeket értjük. ' ' ' ' Ha θ A 1x1 + A2 x2 + L+ An xn és (3) θ A 1x1 + A 2 x2 + L+ An xn az x 1, L, xn n ' változó lneárs formája és a változóknak mnden θ = 0, = 1, L, k n., θ 0, = 1, L (4) lneárs relácórendszert kelégítő értékénél fennáll a ϑ a1x1 + a2 x2 + L+ a n xn 0 (5) lneárs homogén relácó, úgy azt mondjuk, hogy (5) relácó a (4) relácórendszer következménye. Ezen esetben mndg találhatók olyan λ multplkátorok és λ nem negatív multplkátorok, ' ' ' ' hogy ϑ λ θ + λ θ + L + λ θ + λ + L θ 2 Azt s kmutatta, egy lneárs relácórendszert kelégítő változókra, hogy ezek előállíthatók résznt mnt tetszés szernt v, résznt mnt nem-negatív w paraméterek lneárs kfejezése: Farkas Gyula 1901-ben publkált dolgozatát az operácókutatással foglalkozók elsősorban a homogén lneárs egyenlőtlenségekre vonatkozó tétele matt emelk k. Az általa vzsgált fzka probléma legfontosabb specáls esete a nemlneárs programozás alább problémájával azonosítható. Legyenek g 1,, g m, g m-komponensű vektorok és tekntsük az alább homogén lneárs egyenlőtlenségeket: x 0, = 1, L, M, (1) g T g T x 0. (2) A (2) egyenlőtlenséget az (1) következményének mondjuk, ha fennáll mnden olyan x esetére, amelyre az (1) egyenlőtlenségek fennállnak. Farkas tétele a következő: Tétel: A (2) egyenlőtlenség akkor és csak akkor következménye az (1) egyenlőtlenségeknek, ha léteznek olyan nemnegatív λ, λ, 1 2 L, λm számok, hogy fennáll a g = λ g + L + λ g 1 1 M M egyenlőség. (3) A tételt Farkas Gyula általánosabban s kmondta, az (1) relácók egy részére egyenlőséget megkövetelve. Az állítása ekkor csak annyban módosul, hogy az egyenlőséges feltételeknek megfelelő λ számoktól nem követeljük meg a nemnegatvtást, de a (3) egyenlőséget változatlanul állítjuk. A tétel bzonyítását Farkas a teljes ndukcó elve alapján végezte el. Azóta másfajta bzonyításokat s publkáltak. Közülük talán a legegyszerűbb a lneárs programozás dualtás elvére alapozó bzonyítás 12, amely azonban feltételez a lneárs programozás elméletének, ezen belül a dualtás tételének az smeretét, amt Farkas még nylván nem smerhetett. Farkas tétele egyébként ekvvalens a dualtás tétellel 13. Fontos még megemlíten, hogy Farkas Gyula 1901-ben publkált dolgozata tartalmaz még egy algortmkus eljárást s a G x 0 feltételnek eleget tevő x vektorok x = H w, w 0 alakban való előállítására. 12 Prékopa, A., A bref ntroducton to lnear programmng, Mathematcal Scentst 21 (1996) [9] 5
6 Egy, a Farkas-tétellel ekvvalens tételt Mnkowsk s bebzonyított 14. Farkas tételének azonban nagyobb lett a hatása, mert a lneárs egyenlőtlenségek elméletét alkalmazás céllal, egy konkrét fzka probléma megoldására dolgozta k. Így született meg a lneárs egyenlőtlenségekre vonatkozó tétel, amely Farkas-lemma néven az egyk legnagyobb magyar matematka eredmény. Ma már nemzetköz sznten s elsmert, hogy Farkas Gyulát a modern optmalzálás-elmélet egyk megalkotójának teknthetjük. FELHASZNÁLT IRODALOM 1. Farkas, Gy., A Fourer-féle mechanka elv alkalmazása, Mathematka és Természettudomány értesítő 12 (1984) Farkas, Gy., A Fourer-féle mechanka elv alkalmazásanak algebra alapjáról, Mathematka és Physka Lapok 5 (1896) Farkas, Gy., A Fourer-féle mechanka elv alkalmazásanak algebra alapja, Mathematka és Természettudomány értesítő 16 (1989) Farkas, J., Theore der enfachen Unglechungen, Journal für de Rene und Angewandte Mathematk 124 (1901) Farkas, Gy., Egyenlőtlenségek alkalmazásának új módja, Mathematka és Természettudomány Értesítő 36 (1918) Farkas, Gy., A lneárs egyenlőtlenségek következménye, Mathematka és Természettudomány Értesítő 36 (1918) Kuhn, H. W. and Tucker, A. W., Nonlnear Programmng, n: Proceedngs of the Second Berkeley Symposum on Mathematcal Statstcs and Probablty. Unversty of Calforna Press, Berkeley, Calforna, Ortvay, R., Farkas Gyula tudományos működése, Matematka és Fzka Lapok 34 (1927) Prékopa, A., Az optmalzáláselmélet kalakulásának történetéről Alkalmazott Matematka Lapok 4 (1978) 166. oldal. 10. Prékopa, A., Lneárs Programozás I. Bolya János Matematka Társulat, Budapest, Prékopa, A., Farkas Gyula élete és munkásságának jelentősége az optmalzálás elméletében, In: Új utak a magyar operácókutatásban, In memoram Farkas Gyula. Dalóg Campus Kadó, Budapest-Pécs, (1999) Szénássy, B., A Magyarország Matematka Története, Akadéma Kadó, Budapest, Mnkowsky, H., Geometre der Zahlen Teubner, Lepzg und Berln,
Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról
Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,
Részletesebben,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,
Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer
RészletesebbenTöréskép optimalizálás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás
Elmélet, megvalósítás, alkalmazás Készítették: Borbély Dánel Szerkezet-építőmérnök Msc hallgató Borbély Gábor Alkalmazott matematka Msc hallgató Koppány Zoltán Földmérő- és Térnformatka mérnök Msc hallgató
RészletesebbenAz entrópia statisztikus értelmezése
Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok
RészletesebbenSzárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval
Szárítás során kalakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Rajkó Róbert 1 Eszes Ferenc 2 Szabó Gábor 1 1 Szeged Tudományegyetem, Szeged Élelmszerpar Főskola Kar Élelmszerpar Műveletek és Környezettechnka
RészletesebbenMETROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS
METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.
Részletesebben(1847 1930) A matematika a fizikának az a része, ahol a kísérletek olcsók. V. I. Arnold
Farkas Gyula (1847 1930) A matematika a fizikának az a része, ahol a kísérletek olcsók. V. I. Arnold Farkas Gyula 1847. március 28-án született a Fehér megyei Sárosdon elszegényedett nemesi családban.
RészletesebbenHely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel
Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja
Részletesebbend(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.
Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés
RészletesebbenKOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben
RészletesebbenDualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat
RészletesebbenBevezetés a kémiai termodinamikába
A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal
Részletesebben3. Évközi ellenőrzés módja: 2 zárhelyi dolgozat íratása. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai: -
Tantárgy neve Halmazok és függvények Tantárgy kódja MTB00 Meghrdetés féléve Kredtpont Összóraszám (elm+gyak + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgy kód - Tantárgyfelelős neve Rozgony Tbor Tantárgyfelelős
Részletesebben4 2 lapultsági együttható =
Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenBUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK
BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK MÉRNÖKI MATAMATIKA Segédlet a Bessel-függvények témaköréhez a Közlekedésmérnök
RészletesebbenALGORITMUSOK, ALGORITMUS-LEÍRÓ ESZKÖZÖK
ALGORITMUSOK, ALGORITMUS-LEÍRÓ ESZKÖZÖK 1. ALGORITMUS FOGALMA ÉS JELLEMZŐI Az algortmus egyértelműen végreajtató tevékenység-, vagy utasítássorozat, amely véges sok lépés után befejeződk. 1.1 Fajtá: -
RészletesebbenAz elektromos kölcsönhatás
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy
Részletesebben1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék
1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
RészletesebbenFuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika
Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a
Részletesebbenegyenlőtlenségnek kell teljesülnie.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenEgyenáramú szervomotor modellezése
Egyenáramú szervomotor modellezése. A gyakorlat élja: Az egyenáramú szervomotor mködését leíró modell meghatározása. A modell valdálása számításokkal és szotverejlesztéssel katalógsadatok alapján.. Elmélet
RészletesebbenMéréselmélet: 5. előadás,
5. Modellllesztés (folyt.) Méréselmélet: 5. előadás, 03.03.3. Út az adaptív elárásokhoz: (85) és (88) alapán: W P, ( ( P). Ez utóbb mndkét oldalát megszorozva az mátrxszal: W W ( ( n ). (9) Feltételezve,
RészletesebbenX i = 0 F x + B x = 0. Y i = 0 A y F y + B y = 0. M A = 0 F y 3 + B y 7 = 0. B x = 200 N. B y =
1. feladat a = 3 m b = 4 m F = 400 N φ = 60 fok Első lépésként alkossuk meg a számítási modellt. A kényszereket helyettesítsük a bennük ébredő lehetséges erőkkel (második ábra). Az F erő felbontásával
Részletesebbenv i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M
Mképpen függ egy pontrendszer mpulzusa a vonatkoztatás rendszertől? K-ban legyenek a részecskék sebessége v. K -ben mely K-hoz képest V sebességgel halad v = v V. (1) P = m v = m (v V) = m v m V = = P
RészletesebbenBékefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció
Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban
RészletesebbenHipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer?
01.09.18. Hpotézs vzsgálatok Egy példa Kérdések (példa) Hogyan adhatunk választ? Kérdés: Hatásos a lázcsllapító gyógyszer? Hatásos-e a gyógyszer?? rodalomból kísérletekből Hpotézsek A megfgyelt változó
RészletesebbenA mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája
A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenPhilosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található
Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar
RészletesebbenIntegrált rendszerek n é v; dátum
Integrált rendszerek n é v; dátum.) Az dentfkálás (folyamatdentfkácó) a.) elsődleges feladata absztrahált leírás fzka modell formában b.) legfőbb feladata a struktúradentfkálás (modellszerkezet felállítása)
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/
Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív
RészletesebbenA Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA
A Ga-B OLVADÉK TRMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA Végh Ádám, Mekler Csaba, Dr. Kaptay György, Mskolc gyetem, Khelyezett Nanotechnológa tanszék, Mskolc-3, gyetemváros, Hungary Bay Zoltán Közhasznú Nonproft kft.,
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenA neurális hálózatok alapjai
A neuráls hálózatok alapja (A Neuráls hálózatok és mszak alkalmazásak cím könyv (ld. források) alapján) 1. Bológa alapok A bológa alapok megsmerése azért fontos, mert nagyon sok egyed neuráls struktúra,
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenKövetelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 1. Előadás Követelmények, teljesítés feltételei Vizsga anyaga Előadásokhoz tartozó diasor
RészletesebbenStatisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás.
Statsztka próbák Paraméteres. A populácó paraméteret becsüljük, ezekkel számolunk.. Az alapsokaság eloszlására van kkötés. Nem paraméteres Nncs lyen becslés Nncs kkötés Ugyanazon problémára sokszor megvan
RészletesebbenKövetelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 1. Előadás Követelmények, teljesítés feltételei Vizsga anyaga Előadásokhoz tartozó diasor
RészletesebbenMechanizmusok vegyes dinamikájának elemzése
echanzmuso vegyes dnamáána elemzése ntonya Csaba ranslvana Egyetem, nyagsmeret Kar, Brassó. Bevezetés Komple mechanzmuso nemata és dnama mozgásvszonyana elemzése nélülözhetetlen a termétervezés első szaaszaban.
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
Részletesebben1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
RészletesebbenGeometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy
Részletesebben200 éves a kerékpár. Pósfalvi Ödön Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
éves a kerékpár Pósfalv Ödön Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Pósfalv Ödön okl. közlekedésmérnök, c. egyetem docens. Pályafutása során műszak doktor és PhD. fokozatot szerzett a műszak tudomány
RészletesebbenFizika II. (Termosztatika, termodinamika)
Fzka II. (Termosztatka, termodnamka) előadás jegyzet Élelmszermérnök, Szőlész-borász mérnök és omérnök hallgatóknak Dr. Frtha Ferenc. árls 4. Tartalom evezetés.... Hőmérséklet, I. főtétel. Ideáls gázok...3
RészletesebbenIDA ELŐADÁS I. Bolgár Bence október 17.
IDA ELŐADÁS I. Bolgár Bence 2014. október 17. I. Generatív és dszkrmnatív modellek Korábban megsmerkedtünk a felügyelt tanulással (supervsed learnng). Legyen adott a D = {, y } P =1 tanító halmaz, ahol
RészletesebbenMŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése
MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenBels pontos módszer geometriai programozási feladatra
Bels pontos módszer geometra programozás feladatra MSc Szakdolgozat Deák Attla Alkalmazott matematkus szak Operácókutatás szakrány Témavezet : Illés Tbor, egyetem docens Operácókutatás Tanszék Eötvös Loránd
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenBalogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár
Balogh Edna Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetem tanár Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Építőmérnök Kar 202 . Bevezetés,
Részletesebben7. Regisztráció. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (
Kató Zoltán: Ipar Képfeldolgozás 7. Regsztrácó Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafka tanszék SZE (http://www.nf.u-szeged.hu/~kato/teachng/ Kató Zoltán: Ipar Képfeldolgozás Kép mozak agyobb
RészletesebbenLagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását
Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális
RészletesebbenA korlátozás programozás alapjai
A korlátozás programozás alapa Kovács András akovacs@mt.bme.hu Bevezetés Ez a segédlet a Mesterséges Intellgenca Labor c. tárgyat felvett hallgatókhoz szól, és feltételez a logka programozás elmélet alapanak,
RészletesebbenNemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással
pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál
RészletesebbenMatematika M1 1. zárthelyi megoldások, 2017 tavasz
Matematka M. zárthely megoldások, 7 tavasz A csoport Pontozás: + 7 + 7 + 7) + 3 + 6 5 pont.. Lehet-e az ux, y) e 3x cos3y) kétváltozós valós függvény egy regulárs komplex függvény valós része? Ha gen,
Részletesebben10. Alakzatok és minták detektálása
0. Alakzatok és mnták detektálása Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafka tanszék SZTE http://www.nf.u-szeged.hu/~kato/teachng/ 2 Hough transzformácó Éldetektálás során csak élpontok halmazát
RészletesebbenDr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola
Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy
RészletesebbenTárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,
Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus
RészletesebbenRegresszió. Fő cél: jóslás Történhet:
Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenRobotok inverz geometriája
Robotok inverz geometriája. A gyakorlat célja Inverz geometriai feladatot megvalósító függvények implementálása. A megvalósított függvénycsomag tesztelése egy kétszabadságfokú kar előírt végberendezés
Részletesebben10. Transzportfolyamatok folytonos közegben. dt dx. = λ. j Q. x l. termodinamika. mechanika. Onsager. jóslás: F a v x(t) magyarázat: x(t) v a F
10. Transzportfolyamatok folytonos közegben Erőtörvény dff-egyenlet: Mérleg mechanka Newton jóslás: F a v x(t) magyarázat: x(t) v a F pl. rugó: mat. nga: F = m & x m & x = D x x m & x mg l energa-, mpulzus
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1.(a) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
RészletesebbenKözépkori matematika
Fizikatörténet Középkori matematika Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 1.0 Bevezetés Láttuk korábban: A természettudomány forradalmát a középkor társadalmi, technikai és tudományos eredményei készítik
RészletesebbenVEZÉRIGAZGATÓI UTASÍTÁS
Követeléskezelés Szabályzat Sgma Követeléskezelı Zrt. A Sgma Követeléskezelı Zrt. tevékenység köre A Sgma Követeléskezelı Zrt. 1923-ban, részvénytársaság formában került bejegyzésre, magánosítására 1988.
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció
RészletesebbenTotális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
RészletesebbenA MODELLALKOTÁS ELVEI ÉS MÓDSZEREI
SZENT ISTVÁN EGYETEM GÖDÖLLŐ MECHANIKAI ÉS GÉPTANI INTÉZET A MODELLALKOTÁS ELVEI ÉS MÓDSZEREI Dr. M. Csizmadia Béla egyetemi tanár, az MMK Gépészeti Tagozatának elnöke Budapest 2013. október. 25. BPMK
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenMűszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok
Műszak folyamatok közgazdaság elemzése Kevert stratégák és evolúcós átékok Fogalmak: Példa: 1 szta stratéga Vegyes stratéga Ha m tszta stratéga létezk és a 1 m annak valószínűsége hogy az - edk átékos
RészletesebbenSchlüter -KERDI-BOARD. Közvetlenűl burkolható felületű építőlemez, többrétegű vízszigetelés
Schlüter -KERDI-BOARD Közvetlenűl burkolható felületű építőlemez, többrétegű vízszgetelés Schlüter -KERDI-BOARD Schlüter -KERDI-BOARD A csempeburkolat készítésének unverzáls alapfelülete Pontosan, ahogy
Részletesebben17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, KÉTISMERETLENES EGYENLETEK
MATEMATIK A 9. évfolyam 17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, KÉTISMERETLENES EGYENLETEK KÉSZÍTETTE: DARABOS NOÉMI ÁGNES Készítette: Darabos Noémi Ágnes Matematika A 9. évfolyam. 17. modul: EGYENLETEK,
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.
Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. DEFINÍCIÓ: (Nyitott mondat) Az olyan állítást, amelyben az alany helyén változó szerepel, nyitott mondatnak nevezzük. A nyitott mondatba írt változót
RészletesebbenVálasz. Dr. Jármai Károly professzornak. Lógó János: SZERKEZETOPTIMÁLÁS DETERMINISZTIKUS ÉS SZTOCHASZTIKUS ESETEKBEN
Válasz Dr. Járma Károly professzornak Lógó János: SZERKEZETOPTIMÁLÁS DETERMINISZTIKUS ÉS SZTOCHASZTIKUS ESETEKBEN című akadéma doktor értekezésének a bírálatára Nagyon köszönöm bírálómnak, hogy az értekezésemmel
RészletesebbenKörnyezetvédelmi analitika
Az anyag a TÁMOP-4...A/- /--89 téma keretében készült a Pannon Egyetemen. Környezetmérnök Tudástár Sorozat szerkesztő: Dr. Domokos Endre XXXIV. kötet Környezetvédelm analtka Rezgés spektroszkópa Blles
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy
Részletesebben8. Programozási tételek felsoroló típusokra
8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenA TERMODINAMIKA II., III. ÉS IV. AXIÓMÁJA. A termodinamika alapproblémája
A TERMODINAMIKA II., III. ÉS IV. AXIÓMÁJA A termodinamika alapproblémája Első észrevétel: U, V és n meghatározza a rendszer egyensúlyi állapotát. Mi történik, ha változás történik a rendszerben? Mi lesz
RészletesebbenBevezetés a programozásba. 3. Előadás Algoritmusok, tételek
Bevezetés progrmozásb 3. Elődás Algortmusok, tételek ISMÉTLÉS Specfkácó Előfeltétel: mlyen körülmények között követelünk helyes működést Utófeltétel: mt várunk kmenettől, m z összefüggés kmenet és bemenet
Részletesebben4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme
HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató
RészletesebbenSzerven belül egyenetlen dóziseloszlások és az LNT-modell
Szerven belül egyenetlen dózseloszlások és az LNT-modell Madas Balázs Gergely, Balásházy Imre MTA Energatudomány Kutatóközpont XXXVIII. Sugárvédelm Továbbképző Tanfolyam Hunguest Hotel Béke 2013. áprls
RészletesebbenNumerikus matematika. Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, Lebegőpontos számok
Numerikus matematika Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, 2007 Lebegőpontos számok Normák, kondíciószámok Lineáris egyenletrendszerek Legkisebb négyzetes
Részletesebben1.5.1 Büntető-függvényes módszerek: SUMT, belső, külső büntetőfüggvény
.5 Első derváltat génylő módszerek Az első derváltat génylő módszerek (elsőrendű módszerek, melyek felhasználák a gradens nformácókat, általában hatékonyabbak, mnt a nulladrendű módszerek. Ennek az az
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások 1. Feladat. (6p) Jelöljön. egy tetszőleges vektornormát, ill. a hozzá tartozó indukált mátrixnormát! Igazoljuk, hogy ha A
RészletesebbenMatematika a középkorban ( )
Matematika a középkorban (476-1492) 1) A középkori matematika fejlődésének területei a) Kína b) India c) Iszlám d) Európa e) Magyarország 2) A klasszikus indiai matematika a) Korát meghazudtoló eredményei
Részletesebben3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás
3D - geometra modellezés, alakzatrekonstrukcó, nyomtatás 17. 3D Szegmentálás http://cg.t.bme.hu/portal/node/312 https://www.vk.bme.hu/kepzes/targyak/viiiav54 Dr. Várady Tamás, Dr. Salv Péter BME, Vllamosmérnök
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika Aa Analízis BMETE90AX00 Az exp és ln függvények H607, EIC 209-04-24 Wettl
RészletesebbenMechanika I-II. Példatár
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását
Részletesebben