GYAKORLAT. sszeæll totta: VÆrady Lajos
|
|
- Dénes Szőke
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 SZ`M T G PI GRAFIKA GYAKORLAT sszeæll totta: VÆrady Lajos varadyl@math.klte.hu
2 TARTALOM. HASZNÁLT ADATSZERKEZETEK...4. RASZTERES ALGORITMUSOK...5. SZAKASZ RAJZOLÁSA Egyszerû növekményes algoritmus Középpontos vonalalgoritmus...6. SZAKASZ LEHATÁROLÁSA..... Cohen-Sutherland algoritmus....3 POLIGONLEHATÁROLÁS (SUTHERLAND-HODGMAN)....4 KÖZÉPPONTOS KÖRRAJZOLÓ ALGORITMUS Elmélet Program {smidpcir.pas} KÖR KITÖLTÉSE {SFILLCIR.PAS} TÉGLALAP KITÖLTÉSE {SFILLREC.PAS} REKURZÍV KITÖLTÉS {SFLOODFI.PAS} ÁLTALÁNOS POLIGON KITÖLTÉSE Algoritmus Kitöltés mintával SÍKBELI TRANSZFORMÁCIÓK {SLABDA?.PAS} WINDOW TO VIEWPORT TRANSZFORMÁCIÓ {SWINVIEW.PAS} KONVEX BUROK ALGORITMUSOK GRAHAM PÁSZTÁZÁS (SÍKBAN) {SHULLGRH.PAS} INTERPOLÁCIÓ, APPROXIMÁCIÓ HERMITE-ÍV Elsõ eset Második eset {shermit.pas} Kezdeti érintõ meghatározása BEZIER GÖRBE de Casteljau algoritmus { sdecast.pas } A görbe elõállítása Bernstein polinommal {sbezier.pas} Bezier görbe tulajdonságai Interpoláció Bézier-görbével Kapcsolódó Bezier görbék Bezier görbe bevezetése másképpen ADFOKÚ B-SPLINE GÖRBE {S3BSPLN.PAS} B-SPLINE GÖRBE ÁLTALÁNOS ALAKJA {SBSPLN.PAS, SCOXDEBU.PAS} TÉRBELI PONTTRANSZFORMÁCIÓK EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓ HASONLÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK NYÍRÁS TÉR SÍKRA VALÓ LEKÉPEZÉSE AXONOMETRIA...43
3 7. CENTRÁLIS PROJEKCIÓ, PERSPEKTÍVA Z tengelyen a C nézõpont az Origótól d távolságra Általános helyzetû nézõpont (alfa, béta, r, d) FELÜLETEK ÁBRÁZOLÁSA LÁTHATÓSÁG SZERINTI ÁBRÁZOLÁS FELÜLET INTERPOLÁCIÓ, APPROXIMÁCIÓ BEZIER FELÜLET {BEZIERFE?.PAS} B-SPLINE FELÜLET Általános B-spline felület Harmadfokú B-spline felület {bspl3fe?.pas} SÍKLAPOKKAL HATÁROLT TESTEK ÁBRÁZOLÁSA TESTMODELLEZÉS Drótváz modell {\Polieder\Ztnezop\nemlathato\ } Felületmodell {\Polieder\Ztnezop\lathato\ } LÁTHATÓSÁG SZERINTI ÁBRÁZOLÁS...5. HÁTSÓ LAPOK KISZÛRÉSE...5. Z BUFFER ALGORITMUS SUGÁRKÖVETÉS (RAY TRACING) {POVRAY.DOC} Algoritmus A metszéspontok meghatározása Hatékonyságot növelõ módszerek:
4 . HasznÆlt adatszerkezetek Type Ponttype=Record X,Y:integer; Type rpointdtype=record x,y:real; rpoint3dtype=record x,y,z:real; Pontsor=array[..N] of ponttype; 4
5 . Raszteres algoritmusok. Szakasz rajzolæsa.. Egyszerß n vekmønyes algoritmus y y m = = x x y = m x + B y x y = m x + B i+ i+ Ha az m <=, akkor x = -re y lesz (azaz løpøs x-ben egynøl kisebb egyenlı løpøst jelent y-ban). y = m ( x + x) + B = y + m x, i+ i i Ha x =, akkor y = y + m i+ i gy az ( xi, yi ) pont utæn a ( xi +, round( yi + m)) pontot kell megjelen teni. Ha a m >, akkor x = -re y > lesz, (azaz løpøs x-ben egynøl kisebb egyenlı løpøst jelent y-ban). gy y = esetøn x <, azaz y szerint kell løpkedn nk egyesøvel. yi+ B yi + y B y xi+ = = = xi +, m m m Ha y =, akkor xi+ = xi + m gy az ( xi, yi ) pont utæn a ( xi + round, yi + ) pontot kell megjelen teni m HÆtrÆny: Ha egyszer is, de osztæst kell vøgezni ( m y = x ). Az m nem egøsz, gy a programban sem tudunk egøsz t pust hasznælni. A kerek tøs szintøn idıigønyes. 5
6 .. K zøppontos vonalalgoritmus... ElmØlet y y m = = x x y x y = m x + B y y = x x + B F( x, y) = a x + b y + c d = y x x y + B x = y F(x,y)< F(x,y)= F(x,y)> x Ha m, akkor x = -re y < lesz (azaz løpøs x-ben egynøl kisebb løpøst jelent y- ban). Q NE M P=(x p, y p) E Ha d p+ = F x p + y p +, >, akkor a P utæn az NE pontot gyœjtjuk ki. Ha d p+ = F x p +, y p + <, akkor a P utæn az E pontot gyœjtjuk ki. 6
7 Ha d p+ = F x p +, y p + =, akkor a P utæn az E pontot gyœjtjuk ki (megællapodæs szerint). Ha minden x szerinti løpøsben az ( x p+, y p+ ) pontot behelyettes tenønk az F-be, akkor a sok mßvelet miatt lassœ lenne a szæm tæs, ezørt pr bæljuk meg meghatærozni a d p+ ØrtØkØt a d p+ ØrtØkØbıl. Ennek meghatærozæsæhoz køt esetet kell figyelembe venn nk: a) E-t vælasztottuk az x p+ pontban ( ) d p+ = F x p + y p + a x p b y p c = + + +, + ( ) d p+ = F x p + y p + a x p b y p c = + + +, + E = d d = a = y p+ p+ b) NE-t vælasztottuk az x p+ pontban ( ) 3 d p+ = F x p + y p + a x p b y p c = , + ( ) d p+ = F x p + y p + a x p b y p c = + + +, + NE = d d = a + b = y x p+ p+ MeghatÆroztuk, hogy az x szerint løpkedve, hogyan væltozik a d az elızı x d ØrtØkØre alapozva. MostmÆr csak a d kezdeti ØrtØkØt kell meghatæroznunk. Az elsı køppontunk a szakasz egyik vøgpontja, legyen ez ( x, y ) Az elsı k zøppont x +, y + -nøl van, Øs gy ( ). b b F x +, y + = a x + b y + c + a + = F( x, y) + a +. Mivel ( x, y ) a vonalon van, az F x, y =, gy a d kezd b x = a + = y. A t rtek elker løsøhez szorozzuk meg az F f ggvøny ØrtØkØt -vel.... Algoritmus {smidplin.pas} procedure MidpointLine(x,y,x,y:integer;color:word); Var x,y,dx,dy,ince,incne,d:longint; dx:=x-x; dy:=y-y; d:= *dy-dx; 7
8 ince:=*dy; incne:=*(dy-dx); x:=x; y:=y; setpixel(x,y,color); while x<x do if d<= then inc(d,ince);inc(x);end else inc(d,incne);inc(x);inc(y); setpixel(x,y,color); KØsz ts k el a programot œgy, hogy tetszıleges meredeksøgß egyenesre mßk dj n.. LØpØs: A tetszıleges meredeksøgß szakasz vøgpontjait az elsı s knyolcadba transzformæljuk..-b l az.-be Y = X tengelyre t kr zøs ( x, y) ( y, x) 3.-b l az.-be Y tengelyre t kr zøs Y = X tengelyre t kr zøs ( x, y) ( x, y) ( y, x) 4.-bıl az.-be Y tengelyre t kr zøs. ( x, y) ( x, y). LØpØs: A szakasz vøgpontjait X koordinætæjuk szerint rendezz k (p,p). 3. LØpØs: HasznÆljuk az eredeti Midpointline algoritmust. procedure csere(var x,y,x,y:integer); var x,y:integer; x:=x;x:=x;x:=x; y:=y;y:=y;y:=y; Procedure transzyt(var x,y:integer); {X=} var s:integer; x:=-x; Procedure transzxyt(var x,y:integer); {X=Y} var s:integer; s:=x;x:=y;y:=s; procedure linepoints(x,y:integer;color:word;nyolcad:nyolcadtipus); case nyolcad of : transzxyt(x,y); 3: transzxyt(x,y);transzyt(x,y); 8
9 4: transzyt(x,y); putpixel(x+origox,-y+origoy,color); procedure MidpLine(x,y,x,y:integer;color:word;nyolcad:nyolcadtipus); Var dx,dy,ince,incne,d:longint; x,y:integer; dx:=x-x; dy:=y-y; d:= *dy-dx; ince:=*dy; incne:=*(dy-dx); x:=x; y:=y; linepoints(x,y,color,nyolcad); while x<x do if d<= then inc(d,ince);inc(x);end else inc(d,incne);inc(x);inc(y); linepoints(x,y,color,nyolcad); Procedure Xsorba (var x,y,x,y:integer); if x>x then csere(x,y,x,y); Procedure Teszt(var x,y,x,y:integer;var nyolcad:nyolcadtipus); Var dx,dy:integer; dx:=x-x; dy:=y-y; if DX= then nyolcad:=;transzxyt(x,y);transzxyt(x,y);end else if (<=DY/DX) AND (DY/DX<=) then nyolcad:=; if (-<=DY/DX) AND (DY/DX<) then nyolcad:=4;transzyt(x,y);transzyt(x,y); if (DY/DX>) then nyolcad:=;transzxyt(x,y);transzxyt(x,y); if (DY/DX<-) then nyolcad:=3;transzyt(x,y);transzyt(x,y); transzxyt(x,y);transzxyt(x,y); 9
10 procedure MidpointLine(x,y,x,y:integer;color:word); Var nyolcad:nyolcadtipus; Teszt(x,y,x,y,nyolcad); Xsorba(x,y,x,y); MidpLine(x,y,x,y,yellow,nyolcad); A Pascalban: Line (x, y, x, y: Integer); Linerel (Dx, Dy: Integer); LineTo (X, Y: Integer); SetLineStyle (LineStyle: Word; Pattern: Word; Thickness: Word);. Szakasz lehatærolæsa.. Cohen-Sutherland algoritmus... ElmØlet f R S V [j] a K' [a] U K'' [] T V' [] K [a,b] b j Az algoritmus folyamatæbræja
11 Start R, S, U, T; K, V A sík 9 részre vágása, a kódok (b,a,j,f) hozzárendelése a síkrészekhez K-hoz és V-hez a kódok hozzárendelése K d( K) I K d( V) Yes K, V I R, S, U, T = Stop No K: = K, V I K k dbeli egyenes Yes K d( K) No V: = K, V I V k dbeli egyenes Yes K d( V ) No K, V szakasz kirajzolása Stop... Program {scohsuth.pas} procedure Clip (bax,bay,jfx,jfy,x,y,x,y:real;color,linestyle,thickness:word ); type el=(bal,jobb,also,felso); kodok=set of el; Var c,c,c:kodok;x,y:real; label return; Procedure Kod(x,y:real;var c:kodok); c:=[]; if x<bax then c:=[bal] else if x>jfx then c:=[jobb]; if y<bay then c:=c+[also] else if y>jfy then c:=c+[felso];
12 {Clip} kod(x,y,c);kod(x,y,c); segment(round(x),round(y),round(x),round(y),color,dottedln,n ormwidth); while (c<>[]) or (c<>[]) do if (c*c)<>[] then goto return; c:=c; if c=[] then c:=c; if bal in c then {metszes a bal elen} y:=y+(y-y)*(bax-x) / (x-x); x:=bax; end else if jobb in c then {metszes a jobb elen} y:=y+(y-y)*(jfx-x) / (x-x); x:=jfx; end else if also in c then {metszes also elen} x:=x+(x-x)*(bay-y) / (y-y); y:=bay; end else if felso in c then {metszes felso elen} x:=x+(x-x)*(jfy-y) / (y-y); y:=jfy; if c=c then circle(origox+round(x),- round(y)+origoy,4);x:=x;y:=y;kod(x,y,c);end else circle(origox+round(x),- round(y)+origoy,4);x:=x;y:=y;kod(x,y,c); segment(round(x),round(y),round(x),round(y),color,linestyle, thickness); return:.3 PoligonlehatÆrolÆs (Sutherland-Hodgman) (Tetszıleges poligont væg konvex poligonra.)
13 vágandó poligon IV III vágó poligon I II 3 4. eset. eset 3. eset 4. eset Belseje Külseje Belseje Külseje Belseje Külseje Belseje Külseje s p s r p p s p r s vágóél vágóél vágóél vágóél Output: p Output: r Output:- Output: r, p Procedure SatHod(Input_poligon:pontsor;Var output_poligon:pontsor;inputhossz:integer; Var outputhossz:integer;vagoel:integer); {egy væg Ølre vægja az input_poligont} Var s,p,r:pointtype; j:integer; outputhossz:=; s:=input_poligon[inputhossz]; for j:= to inputhossz do p:=input_poligon[j]; if belseje(p,vagoel) then {,4 eset} if belseje(s,vagoel) then { eset} output(p,outputhossz,output_poligon) else {4 eset} metszes(s,p,vagoel,r); ouput(r,outputhossz,output_poligon); 3
14 ouput(p,outputhossz, output_poligon); end else {,3 eset} if belseje(s,vagoel) then {} metszes(s,p,vagoel,r); ouput(r,outputhossz, output_poligon); s:=p; {for} Begin For VE=I to IV do SatHod(vÆgand _poligon,vægott_poligon,4,outputhossz,ve); vægand _poligon:= vægott_poligon; End. A Pascalban: DrawPoly (NumPoints: Word; var PolyPoints);.4 K zøppontos k rrajzol algoritmus.4. ElmØlet (-x,y) (x,y) R R, (-y,x) R (y,x) (-y,-x) (y,-x) (-x,-y) (x,-y) F( x, y) = x + y R 4
15 F(x,y)> F(x,y)< R F(x,y)= P=(x p, y p) E M SE M M d p F M F xp yp xp yp R = ( ),, akkor SE-t, Ha + = = + ( ) egyøbkønt az E-t vælasztjuk. a) E-t vælasztottuk az x p+ pontban ( ) d p+ = F xp + yp xp yp R = + +, E = d d = x + 3 p+ p+ p b) SE-t vælasztottuk az x p+ pontban ( ) 3 d p+ = F xp + yp xp yp R = + + 3, SE = d d = x y + 5 p+ p+ p p MeghatÆroztuk, hogy az x szerint løpkedve, hogyan væltozik a d az elızı x d ØrtØkØre alapozva. MostmÆr csak a d kezdeti ØrtØkØt kell meghatæroznunk. Az elsı køppontunk a (, R ). Az elsı k zøppont,r -nøl van, Øs gy 5 dkezd = F, R = + R R + R = R Program {smidpcir.pas} procedure Circlepontok(centrumx,centrumy,x,y:integer;c:word); setpixel(x+centrumx,y+centrumy,c); setpixel(y+centrumx,x+centrumy,c); setpixel(y+centrumx,-x+centrumy,c); 5
16 setpixel(x+centrumx,-y+centrumy,c); setpixel(-x+centrumx,-y+centrumy,c); setpixel(-y+centrumx,-x+centrumy,c); setpixel(-x+centrumx,y+centrumy,c); setpixel(-y+centrumx,x+centrumy,c); procedure MidPointCircle(centrumx,centrumy,r:integer; szin:word); var d:integer;x,y:integer; x:=; y:=r; d:=-r; Circlepontok(centrumx,centrumy,x,y,szin); while y>x do if d< then d:=d+*x+3; inc(x); end else d:=d+*(x-y)+5; inc(x); dec(y); Circlepontok(centrumx,centrumy,x,y,szin); A Pascalban: Arc (X,Y: Integer; StAngle, EndAngle, Radius: Word); Circle (X,Y: Integer; Radius: Word); GetArcCoords (var ArcCoords; _ArcCoordsType_); 6
17 .5 K r kit ltøse {sfillcir.pas} (-x,y) (x,y) R R, (-y,x) R (y,x) (-y,-x) (y,-x) (-x,-y) (x,-y).6 TØglalap kit ltøse {sfillrec.pas} Csak a bal oldali, Øs az als Øleket rajzoljuk ki. Procedure FillRec(xmin,ymin,xmax,ymax:integer;color:word); var x,y:integer; for y:=ymin to ymax do for x:=xmin to xmax do setpixel(x,y,color);.7 Rekurz v kit ltøs {sfloodfi.pas} procedure flood_fill(x,y:integer;hatterszin,szin:word); if getpixel(x,y)=hatterszin then putpixel(x,y,szin) flood_fill(x+,y,hatterszin,szin); flood_fill(x-,y,hatterszin,szin); flood_fill(x,y+,hatterszin,szin); flood_fill(x,y-,hatterszin,szin); A Pascalban: procedure FloodFill (x,y: Word; BorderColor: Word); 7
18 .8 `ltalænos poligon kit ltøse SzØlsı pixel A kit ltøsi algoritmus løpøsei: Belsı pixelek. A scan-line metszøspontjainak meghatærozæsa a polygon minden ØlØvel.. A metszøspontok rendezøse x kordinæta szerint. 3. Azon pixelek kit ltøse a metszøspontok k z tt, melyek a poligon belsejøben fekszenek, hasznælva egy paritæs bitet. 8
19 ProblØmÆk: 3. Nem egøsz kordinætæjœ metszøspont esetøn hogyan Ællap that meg, hogy melyik oldalon løvı pixel tartozik a poligon belsejøbe? 3. Hogyan kezelhetık az egøsz koordinætæjœ metszøspontok? 3.3 Hogyan kezelhetıek a 3. beli pontok k z s Øl esetøn? 3.4 Hogyan kezelhetıek a 3. beli pontok vizszintes Øl esetøn? MegoldÆsok: 3. Bal oldal felfelø, jobb oldal lefelø kerek tøssel 3. A bal oldali pixelt belsınek, a jobb oldalit k lsınek tekintj k. 3.3 Egy Ølre vonatkoz an csak az y min csœcsot rajzoljuk ki, az y max csœcsa az Ølnek akkor lesz kirajzolva, ha az y min csœcsa egy mæsik Ølnek. 3.4 Hasonl an a tøglalaphoz az als Ølek ki lesznek rajzolva, a felsı Ølek viszont nem..8. Algoritmus Az ET (Øl tæbla) lista: nil EF / DE 7 6/4 nil CD 5 3 nil FA 3 9 nil AB BC 3 7-5/ 3 7-5/ nil y koord. Ymax Xmin /m ET Az y koordinætæk az Ølek alacsonyabb csœcsænak y koordinætæja Az ymax az Øl maximælis y koordinætæja Az xmin az Øl alacsonyabb csœcsænak az x koordinætæja /m az Øl meredeksøge 9
20 A vizszintes lista Ølei xmin koordinætæjuk szerint vannak rendezve Az AET (akt v Øl tæbla) lista:. T lts k fel az ET listæt.. Legyen y az ET lista elsı elemønek az y-ja. 3. InicializÆljuk resnek az AET listæt. 4. IsmØtelj k a k vetkezıket, am g az ET Øs AET listæk resek nem lesznek: 4. Tegy k az AET listæba azokat az Øleket, amelyekre y= y min, majd rendezz k az az AET-ben løvı Øleket az x koordinæta szerint. 4. Rajzoljuk ki az y scan line-t, az AET-ben løvı x koordinætapærok k z tt, figyelembe vøve a paritæst. 4.3 y:=y+ 4.4 TÆvol tsuk el azokat az eleket az AET-bıl, amelyekre y= y max. 4.5 Minden nem f ggıleges AET-beli Ølre x:=x+ m. Sz ksøges adatszerkezetek: {dfillpol.pas} Type Elmutato=^El; El=record ymax:integer; xmin:real; xmer:real; Elre:Elmutato; ETmutato=^ETelem; ETelem=record y:integer; ETre:ETmutato; Elre:Elmutato;
21 .8. Kit ltøs mintæval Kit ltøs mintæval Scan-konverzi t hasznælva ProblØma: a minta melyik pixele rendelıdj n hozzæ az aktuælis pixelhez. a minta bal elsı pixeløt rendelj k a poligon egy csœcsæhoz. SRGP esetøn a teljes køpernyıt az adott mintæval kit lt ttnek feltøtelezz k, Øs a kit ltendı ter leten ÆtlÆtszatjuk. MxN-es minta esetøn a køpernyı orig jæhoz a Minta(,) pixeløt rendelj k, egy x,y ponthoz pedig a minta minta[x div M, y div N] pixeløt. Kit ltøs mintæval ismøtelt Scan-converzi nølk l `tmæsoljuk a kit ltenı ter letet egy tøglalap tartomænyra, Øs ezen tartomæny minden pixeløt a megfelelı helyre rjuk. A Pascalban: procedure DrawPoly(NumPoints: Word; var PolyPoints); procedure FillPoly(NumPoints: Word; var PolyPoints); Sets the fill pattern and color. Declaration: procedure SetFillStyle(Pattern: Word; Color: Word); Selects a user-defined fill pattern. Declaration: procedure SetFillPattern(Pattern: FillPatternType; Color: Word); Gets the current fill pattern and color, as set by SetFillStyle or SetFillPattern. Declaration: procedure GetFillSettings(var FillInfo: FillSettingsType); FillPatternType Record that defines a user-defined fill pattern; used by GetFillPattern and SetFillPattern. Declaration: FillPatternType = array [..8] of Byte; Fill Pattern Constants Use these constants as fill patterns for GetFillSettings
22 and SetFillStyle. Constant Value Meaning EmptyFill Uses background color SolidFill Uses draw color LineFill --- fill LtSlashFill 3 /// fill SlashFill 4 /// thick fill BkSlashFill 5 \thick fill LtBkSlashFill 6 \fill HatchFill 7 Light hatch fill XhatchFill 8 Heavy cross hatch InterleaveFill 9 Interleaving line WideDotFill Widely spaced dot CloseDotFill Closely spaced dot UserFill User-defined fill
23 Window to Viewport eltolæs forgatæs tengelyek k r l skælæzæs 3. S kbeli transzformæci k {slabda?.pas} 3. Window to Viewport transzformæci {swinview.pas} y ( x, y ) max max y v v ( u, v ) max max ( xmin, ymin) ( umin, vmin) x x u u Világkoordináta rendszer Eltolás az origóba Skálázás Eltolás 3
24 M wv T u v S u max u min v max v min = ( min, min ), T( x min, y min ) = x x y y u v u x max max min min u x max max max min max min umin xmin x v max v min y y y max min u min u max u x min x min x max x v max v min v max v ymin ymax y min y max y + u + v min min = umax u min v max v min P = ( x xmin ) + u min, ( y y min ) + v min, x x y y max min max min min min min min min min 4
25 4. Konvex burok algoritmusok 4. GRAHAM pæsztæzæs (s kban) {shullgrh.pas} ( ) BonyolultsÆg: O n log( n) Adott: p, p,..., p n s kbeli pontok Q halmaza. Feladat: p, p,..., p n pontok KB(Q) konvex burkæt (az a legszßkebb konvex poligon, amely vagy belsı pontkønt vagy csœcspontkønt tartalmazza az sszes p, p,..., p n pontot) elıæll tani. Sz ksøges adatszerkezetek: P: a p, p,..., p n pontok S: verem, amiben a KB(Q) pontok keletkeznek. A P Øs S implementælhat k t mbbel vagy køtirænyœ læncolt listæval. Sz ksøges eljæræsok: procedure INIT(var S): resnek inicializælja a vermet. procedure PUSH(var S,E): a verem tetejøre tesz egy E elemet. procedure POP(var S): eltævol tja a verembıl a legfelsı elemet. function TOP(S): visszaadja a verem a legfelsı elemøt, de nem tævol tja el. function TOP(S): visszaadja a verem a legfelsı alatti elemøt, de nem tævol tja el. Algoritmus løpøsei:. Legyen p a Q-nak minimælis y koordinætæjœ pontjai k z l a legbaloldalibb 5
26 . Legyen p,..., p n (Q t bbi pontja), a p -ra vonatkoz polærsz geik szerint rajæræssal ellentøtes sorrendben rendezve p k r l. Ha t bb pontnak is ugyanaz a polærsz ge, akkor csak a p -t l legtævolabbi pontot tartjuk meg tovæbbi feldolgozæsra. 3. INIT(S); 4. PUSH(S,p ); 5. PUSH(S,p ); 6. PUSH(S,p ); 7. FOR j:=3 to n DO BEGIN END; WHILE TOP(S),TOP(S),p j pontok alkotta sz g nem bal fordulatot vøgez DO POP(S); PUSH(S, p j ) PolÆrsz g szerinti rendezøs:. A rendezøs miatt a P adatszerkezet elemei tartalmazzæk a k vetkezı informæci kat: x 6
27 y polærsz g, tævolsæg p -t l. Minden p j -re szæmoljuk ki a polærsz get, Øs a p -t l val tævolsægot 3. Rendezz k a p,..., p n pontokat polærsz geik szerint n vekvı sorrendbe, majd az azonos polærsz gß pontok k z l csak a p -t l legtævolabbit tartsuk meg. A vektoriælis szorzæst hasznæljuk a polærsz gek kiszæm tæsæhoz. r r [ a, b] = r z ( ya zb za yb, za xb xa zb, xa yb ya xb ), ahol a r, b r Øs r z jobbrendszert alkotnak, és r z = r r r r a b sin( a, b). Pj (xj,yj) b P (x,y) a T (x+,y) Az Æbra alapjæn a(,,), b( x j - x, y j - y,) ad dik. gy a p j -hez tartoz y j y arcsin, ha x j x ( x j x ) + ( y j y ) polærsz g = y j y Π arcsin, egyøbkønt ( x j x ) + ( y j y ) Balra fordulæs: A vektoriælis szorzattal k nnyen eld nthetı. 7
28 5. InterpolÆci, approximæci 5. Hermite- v 5.. Elsı eset Adott køt pont, p Øs p, valamint a køt pontban az Ørintı vektorai, t Øs t. t p p t Egy harmadfokœ polinomiælis g rbøt keres nk, melynek egyenlete a k vetkezı alakœ: 3 S( u) = a u + a u + a u + a u [, ]. 3 Ebben az egyenletben nøgy ismeretlen szerepel, ugyanakkor meg tudunk adni nøgy egyenletet, melyek a kezdeti feltøteleket rjæk le. Ezek: S( ) = p S( ) = p S&( ) = t S& ( ) = t Az egyenletrendszer megoldæsa: 8
29 S( ) = p = a S( ) = p = a + a + a + a S&( ) = t = a S&( ) = t = 3 a + a + a p t 3 3 = a + a + t + p a = p p t a = 3 a + a + t t = 3 p 3 t 3 p 3 a + a + t a = 3 p 3 p t t a = p p + t + t ====================== A megoldæsok behelyettes tøse: 3 S( u) = ( p p + t + t ) u + ( 3 p + 3 p t t ) u + t u + p 3 u x( u) u S( u) = GH MH U [ p, p, t, t ] MH MH? y( u) = = = u S( ) = p = GH MH S( ) = p = GH MH 3 S& ( ) t GH MH S& = = ( ) = t = GH MH 3 3 p p t t = GH = GH MH M H = [ ] 3 3 u x( u) u S( u) = GH MH U [ p, p, t, t ] y( u) = = 3 u Az egyenlet ÆtrendezØse: 3 S( u) = ( u 3u + ) p + ( u + 3u ) p + ( u u + u) t + ( u u ) t u [, ]
30 Az egyenletben szereplı egy tthat polinomokat Hermite-polinomoknak nevezz k, Øs a k vetkezıkøppen jel lj k: 3 H = u 3u + H = u + 3u 3 H = u u + u H = u u Az egysøgesebb szemløletm d miatt fel rhatjuk a g rbøt mætrix alakban is: p 3 3 p 3 S( u) = ( u u u ) t t 5.. MÆsodik eset {shermit.pas} Adott hærom pont, p Øs p, p valamint az elsı pontban az Ørintı vektora, t. p t p p Egy harmadfokœ polinomiælis g rbøt keres nk, melynek egyenlete a k vetkezı alakœ: 3 S( u) = a u + a u + a u + a u [, ]. 3 Ebben az egyenletben nøgy ismeretlen szerepel, ugyanakkor meg tudunk adni nøgy egyenletet, melyek a kezdeti feltøteleket rjæk le. Ezek: S( ) = p S( ) = p S( ) = p S&( ) = t Az egyenletrendszer megoldæsa: 3
31 S( ) = p = a + a a + a S( ) = p = a S( ) = p = a + a + a + a3 S&( ) = t = 3 a a + a p t p 3 3 p = a + a a = 3 a a + a p = a + a + a 3 = + = p 4 p + p + t p p a a a a 4 p p + t = 5 p + 4 p + p t 3 3 = a a a 4 p + p p p + p p = a a = ===================== A megoldæsok behelyettes tøse: 3p 4p + p + t S( u) = 4 3p 4p + p + t S( u) = 4 p p + p u + p 4p + p u p + 4p u + p t p + 4p u + p t u x( u) u S( u) = GH MH U [ p, p, p, t ] MH MH? y( u) = = = u S( ) = p = GH MH S( ) = p = GH MH 3 S( ) = p = GH MH S& ( ) = t = GH MH 3 3 p p t = GH = GH MH M H = [ p ] u + p 4 u + p 4 3
32 u x( u) u S( u) = GH MH U [ p, p, p, t ] y( u) = = u Kezdeti Ørintı meghatærozæsa I. II. e d/ p e p d p p p p 5. Bezier g rbe Adottak: p,..., p n approximæland pontok a s kban (vagy tørben), Øs u R. 5.. de Casteljau algoritmus { sdecast.pas } i p = p ( i =,,..., n) r i i r i r i+ p ( u) = ( u) p ( u) + u p ( u) ( r =,.., n Øs i =,,..., n r) A g rbe u = 3 paramøterhez tartoz pontjænak megszerkesztøse a de Casteljau algoritmussal. Az gy meghatærozott p n ( u) pont a Bezier g rbe u paramøterhez taroz pontja. p p p p p p 3 p p p 3 p 3
33 5.. A g rbe elıæll tæsa Bernstein polinommal {sbezier.pas} n S( u) = p B ( u) (u [,]) a Bezier g rbe u paramøterhez tartoz pontja, ahol a B j= j n j n ( u) = u ( u) j a Bernstein polinom. n j n j j 5..3 Bezier g rbe tulajdonsægai Bersnstein polinom tulajdonsægai! A Bezier g rbe kontrollpontjainak affin transzformæci jæra invariæns (k vetkezik a de Casteljau-fØle elıæll tæsb l). Ha u [, ], akkor a Bezier g rbe kontrollpontjainak konvex burkæn bel l van. A Bezier g rbe az elsı Øs utols kontrollponton Æthalad. Bezier g rbe szimmetrikus. Ha u [, ] akkor ezen g rbe kezdı- Øs vøgørintıje: d du p n p p d ( ) = ( ) du p ( ) = n ( p n p n ) ApproximÆl g rbe ugyanakkor igaz a k vetkezı tulajdonsæg is: a BØzier-g rbønek bærmely s kkal legfeljebb annyi metszøspontja van, ahæny pontban a s k a kontrollpoligont metszi. Az eljæræs tehæt, amint azt a køpletbıl k nnyen læthatjuk, n pontot n--edfokœ g rbøvel approximæl, azaz a kontrollpontok szæmænak n vekedøsøvel nı a poligon fokszæma is InterpolÆci BØzier-g rbøvel Mint mær eml tett k, a BØzier-g rbe a kontrollpontok k z l csak az elsıre Øs az utols ra illeszkedik, a t bbit approximælja. Most egy olyan eljæræst mutatunk be, mely adott pontokhoz olyan BØzier-g rbøt szæm t ki, amely az adott pontok mindegyikøn Ætmegy. Ezt œgy Ørj k el, hogy feltøtelezz k az adott pontokr l, hogy a g rbe pontjai, majd ebbıl visszaszæmoljuk a kontrollpontokat. Legyen adott a p,p,p,...,p n pontsorozat, valamint a u, u,..., u n [, ] szæmok. Keress k azt az S(t) BØzier-g rbøt, amelyre S( u ) = p i =,..., n i Ezek a feltøtelek a b,b,b,...,b n kontrollpontokra a k vetkezı egyenleteket adjæk: n i n S( u ) = b B ( u ) i =,..., n i j j j= Ez az egyenletrendszer a Bernstein-polinomok lineæris f ggetlensøge miatt egyørtelmßen megoldhat a b j kontrollpontokra mint ismeretlenekre nøzve, Øs az ezekkel fel rt BØzierg rbe az eredeti pontok mindegyikøt interpolælni fogja. i 33
34 5..5 Kapcsol d Bezier g rbøk Tegy k fel, hogy køt harmadfokœ BØzier-g rbe szegmenst akarunk csatolni. Ezek nøgy-nøgy kontrollponttal rendelkeznek, ezek helyzetøre kell megszor tæsokat tenn nk a csatlakozæs folytonossægæhoz. Tekints k az a,a,a,a 3 Øs b,b,b,b 3 kontrollpontok Æltal meghatærozott a( u) b( u) u [, ] BØzier-szegmenseket. Ezek minden pontjukban mæsodrendben folytonosak, a kapcsol dæsnæl tehæt megk vetelhet nk nulladrendß (C ), elsırendß (C ), illetve mæsodrendß (C ) folytonossægot. A nulladrendß folytonossæghoz elegendı, hogy az elsı szegmens vøgpontja megegyezzen a mæsodik szegmens kezdıpontjæval, azaz: a() = b() Øs mivel ezen g rbepontok megegyeznek a megfelelı kontrollpontokkal, hiszen a BØzier-g rbe a vøgpontokat interpolælja, ezørt a 3 = b kell, hogy teljes lj n. Az elsırendß folytonossæghoz az Ørintıknek kell megegyezni k, azaz d d a( ) = b( ) kell, du du hogy teljes lj n. Ez a kontrollpontokra az (a 3 - a ) = (b - b ) feltøtelt jelenti, azaz, amellett, hogy a køt szegmens kezdı- Øs vøgpontja megegyezik, az a, a 3 =b, b pontoknak kollineærisaknak kell lenni k Øs az a 3 pontnak feleznie kell az a b szakaszt. A mæsodrendben folytonos kapcsol dæshoz a fenti feltøteleken k v l a k vetkezınek kell d d teljes lnie: a( ) = b( ) Ez a kontrollpontokra nøzve a k vetkezıt jelenti: du du ((a 3 - a ) - (a - a )) = ((b - b ) - (b - b )) ami geometriai szempontb l azt jelenti, hogy az a a egyenes Øs a b b egyenes m metszøspontjæra teljes l, hogy a felezi az a m szakaszt, b pedig felezi az mb szakaszt Bezier g rbe bevezetøse mæskøppen Adottak: p, p, p, p3 approximæland pontok a s kban (vagy tørben), u R, 34
35 t = S&( ) = 3( p p ), t = S&( ) = 3( p p ) G = [ p p p p ] B G = G M H B HB G = [ p p t t = p p p p 3 3] [ 3] = G M 3 3 A Bezier matrix: M = M M H B HB B HB H S( u) = G M U = ( G M ) M U = G ( M M ) U = G M U H H B HB H M = M M = B HB H 3 3 B HB H B B S( u) = G M U = ( t) p + 3t( t) p + 3t ( t) p + t p B B
36 5.3 3-adfokœ B-spline g rbe {s3bspln.pas} Kontroll pontok: P,P,,P m-, P m m 3 A løtrehozand vek: Q 3,Q 4,,Q m-, Q m A t paramøter:q i v esetøben t i t t i+, ahol 3 i m. A Q i vet meghatæroz pontok: P i-3, P i-,,p i-, P i,azaz [ ] G = P P P P, i m Bsi i 3 i i i 3 Q 3 v esetøn: P, P, P, P 3 t 3 =, t 4 = Q 4 v esetøn: P, P, P 3, P 4 t 4 =, t 5 =. Q i v esetøn: P i-3, P i-, P i-, P i t i =i-3, t i+ =i-. Q m v esetøn: P m-3, P m-, P m-, P m t m =m-3, t m+ =m- Az i. szegmens tehæt t=t-t i paramøter transzformæci utæn: Qi ( t) = X( t) Pi 3 + X( u) Pi + X( u) Pi + X3( u) Pi i = 3, 4,..., m t [, ] alakœ, ahol az X j (u)-k egyelıre ismeretlen harmadfokœ polinomok. Tudjuk azonban, hogy az egymæs utæn k vetkezı szegmenseknek mæsodrendben kell kapcsol dniuk. A nulladrendß kapcsol dæs miatt minden i-re teljes lnie kell, hogy Q i () = Q i+ (), amibıl: 36
37 X X X X ( ) = X ( ) = 3 ( ) = X ( ) ( ) = X ( ) ( ) = X ( ) 3 Ehhez hasonl an a C Øs C folytonossæghoz valamennyi i-re teljes lnie kell, hogy Q& ( ) = Q& + ( ) Øs Q&& ( ) = Q&& + ( ), amikbıl: i X& ( ) & = X 3 ( ) = X& ( ) & = X ( ) X& ( ) X& = ( ) X& ( ) = X& ( ) Øs 3 X&& ( ) && = X 3 ( ) = X&& ( ) && = X ( ) X&& ( ) X&& = ( ) X&& ( ) = X&& ( ) 3 i i i Cauchy-egyenletet, hogy invariæns legyen a koordinæta-transzformæci ra: X ( t) + X ( t) + X ( t) + X ( t) 3 akkor 6 lineærisan f ggetlen egyenletet kapunk. Mivel az X j ( t) polinomokat harmadfokœaknak tøtelezz k fel, ezørt sszesen 6 ismeretlen nk van, tehæt az egyenletrendszer egyørtelmßen megoldhat. MegoldÆskØnt a k vetkezı polinomokat kapjuk: 3 X( t) = ( t 6 ) 3 X( t) = ( t t ) 3 X( t) = ( 3t + 3t + 3t + ) 6 3 X3( t) = t 6 Q 3 i r i 3+ r r= ( t) = X ( t) P, t [, ] i = 3,..., m 37
38 Ugyanez mætrixos fel ræsban: T=[t 3 t t ] T 38
39 Q i ( t) = G Bsi M Bs T i, t < M Bs = [ ] T B Bs = M T = B B B B Bs Bs 3 Bs Bs Bs = T ( t t t + t + t + t + t t < 6 ) B-spline g rbe ÆltalÆnos alakja {sbspln.pas, scoxdebu.pas} 39
40 6. TØrbeli ponttranszformæci k 6. EgybevÆg sægi transzformæci EltolÆs d( dx, dy, dz) vektorral dx M = d y d z ElforgatÆs α sz ggel x tengely k r l M = cosα sinα sinα cosα y tengely k r l z tengely k r l cosα sinα M = sinα cosα cosα sinα M = sinα cosα 4
41 T kr zøs az {x,y} s kra M = 6. Hasonl sægi transzformæci k Kicsiny tøs, nagy tæs orig k zøpponttal λ M = λ λ j 6.3 Affin transzformæci k SkÆlÆzÆs λ M = µ ν j 4
42 6.4 Ny ræs p = p + λ d t = p + ( λn p) t MÆtrix reprezentæci ban: x y z + λtxnx λtxny λtxnz x + = λtynx λt yny λt ynz y λt n t n + t n z z x λ z y λ z z 4
43 7. TØr s kra val lekøpezøse 7. Axonometria Axonometria P( x, y, z) P ( u, v) : u a a a v = a a a 3 3 x y z Kavalier axonometria: x u q y v cos( α) = q sin( α) z q: az x szerinti rovidules α: x tengely y tengellyel bezært sz ge 7. CentrÆlis projekci, perspekt va 7.. Z tengelyen a C nøzıpont az Orig t l d tævolsægra P y x y P c P y c z P x c d z P z O C c x x d d Px C Px C = ; = ; = d z d z P C P C c c c y y x d d = x ; y = y ; z = d z d z c c c 43
44 7.. `ltalænos helyzetß nøzıpont (alfa, bøta, r, d) 44
45 8. Fel letek ÆbrÆzolÆsa z = f ( x, y ) f ggvønyfel letek (x, y) [ x, x ] [ y, y ] a b a b r = r( u, v) paramøteres egyenlettel adott fel letek, ahol (u, v) [ u, u ] [ v, v ] paramøtertartomæny a b a b paramøtervonalakkal t rtønı ÆbrÆzolÆs 8. LÆthat sæg szerinti ÆbrÆzolÆs F ggvønyfel leteknøl. a hæl szemeket balr l jobbra, hætulr l elıre rajzoljuk ki {zfxy.pas}. 3 Ymax Ymin getmaxx 3 `ltalæban A hæl szemeket a vet tøsi irænyra rendezz k (pærhuzamos vet tøsnøl) vagy a nøzıpontt l val tævolsæg szerint rendezz k (centrælis projekci næl). 45
46 9. Fel let interpolæci, approximæci 9. Bezier fel let {bezierfe?.pas} Adottak a b ij (i=,,n; j=,,m) kontrollpontok a tørben. n a( u) = a B ( u), i= i n i m m i i j j j= ahol a ( v) = b B ( v), gy a Bezier fel let egy (u, v) paramøterß pontjænak elıææl tæsa: n m n m m n m n b( u, v) = bi j B j ( v) B i ( u) = bi j B j ( v) B i ( u) i= j= i= j= ahol (u,v) [,] [,] 46
47 9. B-spline fel let 9.. `ltalænos B-spline fel let a( u) = a ( v ~ ) N ( u), i i k i l i i j j j ahol a ( ~ v) = b N ( ~ v), gy a B - spline fel let egy (u,v) paramøterß pontjænak elıææl tæsa: l k l k b( u, v) = bi j N j ( v) Ni ( u) bi j N j ( v) Ni ( u) i j = i j 9.. Harmadfokœ B-spline fel let {bspl3fe?.pas} Legyenek b - k kontrollpontok, ahol i =,..., 3; j =,..., 3. i j A harmadfok] B - spline fel let egy (u,v) paramøterß pontjænak elıææl tæsa: 3 b( u, v) = b X ( u) X ( v), i= j= i j ahol (u,v) [, ] [, ] 3 3 X( t) = ( t 6 ) 3 X( t) = ( t t ) 3 X( t) = ( 3t + 3t + 3t + ) 6 3 X3( t) = t 6 i j Ha a b ij kontrollpontok (i=,,n; j=,,m) alakban vannak adva, ahol n>3 ;s m>3, akkor az (n+) X (m+) -es kontrollhæl ban az sszes 4x4 -es kontrollhæl szegmensre illeszteni kell egy harmadfokœ B-spline fel letet, Øs ezen fel letek uni ja lesz az (n+) X (m+) -es kontrollhæl ra illesztett fel let. 47
48 . S klapokkal hatærolt testek ÆbrÆzolÆsa. TestmodellezØs.. Dr tvæz modell {\Polieder\Ztnezop\nemlathato\ } test.txt V {csœcsok szæma} x y z x v- y v- z v- E {Ølek szæma} V s V f C {csœcs_index csœcs_index sz n} V se- V fe- C E- kocka.txt Const Vmax=5; Emax=5; Type rpoint3dtype=record x,y,z:real; Var edgetype=record VS,VE:integer; EC:word; Verticestype=array[..Vmax] of rpoint3dtype; Edgestype=array[..Emax] of edgetype; 48
49 vertices:verticestype; edges:edgestype; V,E:integer; procedure Hiba(msg:string); writeln( FutÆsi hiba:,msg); halt; procedure Beolvas(s:string); var af:text; i:integer; sz:integer; {$I-} assign(af,s);;reset(af); {$I+} if ioresult<> then hiba( Nem elørhet file +s); {csucsok beolvasasa} readln(af,v); for i:= to V- do readln(af,vertices[i].x,vertices[i].y,vertices[i].z); {elek beolvasasa} readln(af,e); for i:= to E- do readln(af,edges[i].vs,edges[i].ve,edges[i].ec);.. Fel letmodell {\Polieder\Ztnezop\lathato\ } test.txt V {csœcsok szæma} x y z x v- y v- z v- F {lapok szæma} elsı lapot alkot csœcsok indexei utols lapot alkot csœcsok indexei Const Vmax=5; kocka.txt
50 Type Fmax=5; rpointdtype=record x,y:real; rpoint3dtype=record x,y,z:real; vertexpointertype=^vertexinfacelist; vertexinfacelist=record FV:integer; n:vertexpointertype; facetype=record normal:rpoint3dtype; head:vertexpointertype; Verticestype=array[..Vmax] of rpoint3dtype; Facestype=array[..Fmax] of facetype; Var vertices:verticestype; faces:facestype; V,F:integer; origox,origoy:integer; procedure Hiba(msg:string); writeln( FutÆsi hiba:,msg); halt; procedure Beolvas(s:string); var af:text; i,c,c,c3,c4:integer; sz:integer; p,q:vertexpointertype; {$I-} assign(af,s);;reset(af); {$I+} if ioresult<> then hiba( Nem elørhet file +s); {csucsok beolvasasa} readln(af,v); for i:= to V- do readln(af,vertices[i].x,vertices[i].y,vertices[i].z); {lapok beolvasasa} 5
51 readln(af,f); for i:= to F- do read(af,sz); new(faces[i].head);faces[i].head^.fv:=sz; q:=faces[i].head; while not eoln(af) do read(af,sz); new(p);p^.fv:=sz; q^.n:=p; q:=p; p^.n:=nil; {lapok kifele mutato normalvektorainak kiszamitasa} with faces[i] do lapnormalis(vertices[head^.fv],vertices[head^.n^.fv],vertices[he ad^.n^.n^.fv],normal); 5
52 . LÆthat sæg szerinti ÆbrÆzolÆs. HÆts lapok kiszßrøse HÆts lapok kiszßrøse a lapok kifelø mutat normælvektorai (n) Øs a centrumba mutat (c) vektor Æltal bezært sz g alapjæn: cos( n, c) Egy lap hæts lap, ha azaz. n x cx + ny cy + n z cz A konvex poliøderek læthat sæg szerinti megjelen tøsøhez elegendı a hæts lapokat eltævol tani {\Polieder\Ztnezop\lathato\brep3.pas}. Ez a technika hasznælhat a test laponkønt egysz nß ÆrnyalÆsÆra is {\Polieder\Ztnezop\lathato\shade.pas}.. Z Buffer algoritmus.3 SugÆrk vetøs (ray tracing) {POVRAY.DOC}.3. Algoritmus for minden scan-line-ra a køps kon do for minden pixelre a scan line-on do a centrumb l a pixelhez vezetı sugær meghatærozæsa; for minden megjelen tendı objektumjæra a tørrøsznek do if van metszøspont Øs k zelebb van, mint az elızı then feljegyezni a metszøspontot Øs az objektumot; a pixel szinøt beæll tani 5
53 .3. A metszøspontok meghatærozæsa. A vet tısugær meghatærozæsa: C( x, y, z ) a vet tøsi centrum, P( x, y, z ) egy pixel k zepe. x=x + t( x x ), y=y + t( y y ), z=z + t( z z ) G mb esetøben: x = x x, y = y y, z = z z x=x + t x, y=y + y, z=z + z ( x a) + ( y b) + ( z c) = r, behelyettes tve x, y, Øs z - t: [ ] ( x + y + z) t + t x( x a) + y( y b) + z( z c) + A g mb normælisa : Poligon esetøn: ( x a) + ( y b) + ( z c) r = ( ) P( x, y, z) - ben: ( x a) / r + ( y b) / r + ( z c) / r A poligon s kjænak egyenlete: Ax+By+Cz+D=. Behelyettes tøs utæn t-re ad dik: Ax +By +Cz +D t =, hacsak A x+b y+c z A x+b y+c z. Ekkor levet tj k a poligont a legnagyobb køpet elıæll t koordinætas kra, ahol a metszøspontra elvøgezz k a bentvan tesztet..3.3 HatØkonysÆgot n velı m dszerek: A metszøspontok kiszæm tæsænak optimalizælæsa A sugarak transzformælæsa z tengellyel pærhuzamos helyzetbe. HatÆrol objektumok bevezetøse (pl konvex poliøderek, pærhuzamos egyenespærok Æltal hatærolt konvex lapokkal) 53
54 Hierarhia TØrbeli szeparælæs 54
Területi primitívek: Zárt görbék által határolt területek (pl. kör, ellipszis, poligon) b) Minden belső pont kirajzolásával (kitöltött)
Grafikus primitívek kitöltése Téglalap kitöltése Poligon kitöltése Kör, ellipszis kitöltése Kitöltés mintával Grafikus primitívek kitöltése Területi primitívek: Zárt görbék által határolt területek (pl.
RészletesebbenSZÁMÍTÓGÉPI GRAFIKA VÁGÁS
SZÁMÍTÓGÉPI GRAFIKA VÁGÁS FELADAT: Ha az alakzat nagyobb, mint a képtartomány, amelyben megjelenítendő, akkor a kívül eső részeket el kell hagyni, azaz az alakzatról le kell vágni, röviden szólva: az alakzatot
RészletesebbenKlár Gergely
Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. őszi félév Tartalom Vágás Szakaszvágás Poligonvágás 1 Vágás Szakaszvágás Poligonvágás 2 Vágás
RészletesebbenMáté: Számítógépes grafika alapjai
Téglalap kitöltése Kör, ellipszis kitöltése Területi primitívek: Zárt görbék által határolt területek (pl. kör, ellipszis, poligon) Megjeleníthetők a) Csak a határvonalat reprezentáló pontok kirajzolásával
Részletesebben2D képszintézis. Szirmay-Kalos László
2D képszintézis Szirmay-Kalos László 2D képszintézis Modell szín (200, 200) Kép Kamera ablak (window) viewport Unit=pixel Saját színnel rajzolás Világ koordinátarendszer Pixel vezérelt megközelítés: Tartalmazás
Részletesebbenx = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
RészletesebbenTerületi primitívek: Zárt görbék által határolt területek (pl. kör, ellipszis, poligon)
Grafikus primitívek kitöltése Téglalap kitöltése Poligon kitöltése Kör, ellipszis kitöltése Kitöltés mintával Grafikus primitívek kitöltése Területi primitívek: Zárt görbék által határolt területek (pl.
RészletesebbenTerületi primitívek: Zárt görbék által határolt területek (pl. kör, ellipszis, poligon)
Grafikus primitívek kitöltése Téglalap kitöltése Kör, ellipszis kitöltése Kitöltés mintával Grafikus primitívek kitöltése A tertületi primitívek zárt görbével határolt területek, amelyeket megjelníthetünk
Részletesebben2. Interpolációs görbetervezés
2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,
RészletesebbenInformáció megjelenítés Számítógépes ábrázolás. Dr. Iványi Péter
Információ megjelenítés Számítógépes ábrázolás Dr. Iványi Péter Raszterizáció OpenGL Mely pixelek vannak a primitíven belül fragment generálása minden ilyen pixelre Attribútumok (pl., szín) hozzárendelése
RészletesebbenSchwarcz Tibor BEVEZETÉS A SZÁMÍTÓGÉPI GRAFIKÁBA. mobidiák könyvtár
Schwarcz Tibor BEVEZETÉS A SZÁMÍTÓGÉPI GRAFIKÁBA mobidiák könyvtár Schwarcz Tibor BEVEZETÉS A SZÁMÍTÓGÉPI GRAFIKÁBA 2 mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István 3 Schwarcz Tibor BEVEZETÉS A SZÁMÍTÓGÉPI
RészletesebbenSchwarcz Tibor BEVEZETÉS A SZÁMÍTÓGÉPI GRAFIKÁBA. mobidiák könyvtár
Schwarcz Tibor BEVEZETÉS A SZÁMÍTÓGÉPI GRAFIKÁBA mobidiák könyvtár Schwarcz Tibor BEVEZETÉS A SZÁMÍTÓGÉPI GRAFIKÁBA 2 mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István 3 Schwarcz Tibor BEVEZETÉS A SZÁMÍTÓGÉPI
RészletesebbenFejezetek a számítógépi grafikából
Tornai Róbert Fejezetek a számítógépi grafikából mobidiák könyvtár Tornai Róbert Fejezetek a számítógépi grafikából mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Tornai Róbert Fejezetek a számítógépi
RészletesebbenTartalom. Tartalom. Hajder Levente Szakasz raszterizálása. 2017/2018. II. félév. Poligon raszterizáció.
Tartalom Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév 1 Emlékeztető 2 Vágás 3 Raszterizálás Inkrementális képszintézis Tartalom 1 Emlékeztető Inkrementális
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenSzámítási feladatok a Számítógépi geometria órához
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát
RészletesebbenHajder Levente 2018/2019. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2018/2019. II. félév Tartalom 1 2 Törtvonal Felületi folytonosságok B-spline Spline variánsok Felosztott (subdivision) görbék
RészletesebbenGörbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés
Görbe- és felületmodellezés Szplájnok Felületmodellezés Spline (szplájn) Spline: Szakaszosan, parametrikus polinomokkal leírt görbe A spline nevét arról a rugalmasan hajlítható vonalzóról kapta, melyet
Részletesebben. Typeset by AMS -TEX 0
. Typeset by AMS-TEX 0 Numerikus alkalmazások 1 NUMERIKUS ALKALMAZÁSOK Tematika, feladatok 2003 1. LECKE Koordináta rendszer felvétele, pontok, egyenesek és szinek ábrázolása VB-ben MenuEditor használata
RészletesebbenSzámítógépes geometria (mester kurzus) III
2010 sz, Debreceni Egyetem Felületek A felület megadása implicit: F : R 3 R, F (x, y, z) = 0 Euler-Monge: f : [a, b] [c, d] R, z = f (x, y) paraméteres: r : [a, b] [c, d] R 3 trianguláris háló direkt megadása
RészletesebbenGrafika. Egyváltozós függvény grafikonja
Grafika Egyváltozós függvény grafikonja Egyváltozós függvény grafikonját a plot paranccsal tudjuk kirajzolni. Elsı paraméter egy függvény képlete, a második paraméter változónév=intervallum alakú: plot(x^3-16*x+2,x=-6..6);
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenHajder Levente 2018/2019. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2018/2019. II. félév Tartalom 1 2 3 4 5 Albrecht Dürer, 1525 Motiváció Tekintsünk minden pixelre úgy, mint egy kis ablakra
RészletesebbenModellezési transzformáció: [r lokális,1] T M = [r világ,1] Nézeti transzformáció: [r világ,1] T v = [r képernyo,1]
Inkrementális képsintéis Inkrementális 3D képsintéis Sirma-Kalos Lásló Árnalás, láthatóság nehé, különösen általános heletu objektumokra koherencia: oldjuk meg nagobb egségekre feleslegesen ne sámoljunk:
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenHajder Levente 2014/2015. tavaszi félév
Hajder Levente hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom 1 2 3 4 5 Albrecht Dürer, 1525 Motiváció Tekintsünk minden pixelre úgy, mint
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenGyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz
Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Vas Gabriella 204. február A feladatgy jtemény a TÁMOP-4.2.4.A/2-/-202-000 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói, illetve
RészletesebbenTranszformációk síkon, térben
Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek
RészletesebbenFélévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz
Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenLáthatósági kérdések
Láthatósági kérdések Láthatósági algoritmusok Adott térbeli objektum és adott nézőpont esetén el kell döntenünk, hogy mi látható az adott alakzatból a nézőpontból, vagy irányából nézve. Az algoritmusok
RészletesebbenAlgoritmusok raszteres grafikához
Algoritmusok raszteres grafikához Egyenes rajzolása Kör rajzolása Ellipszis rajzolása Algoritmusok raszteres grafikához Feladat: Grafikai primitíveket (pl. vonalat, síkidomot) ábrázolni kép-mátrixszal,
RészletesebbenValasek Gábor
Geometria és topológia tárolása Görbék reprezentációja Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2015/2016. őszi félév Geometria és topológia tárolása Görbék reprezentációja
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris
RészletesebbenRendezések. A föltöltés nemcsak az r-re vonatkozik, hanem az s-re is. Ez használható föl a további rendezések
Rendezések Feladat Rendezési algoritmusok kipróbálása, hatékonysági viselkedésének vizsgálata. A rendezések egy ElemSzam méretü r tömben történik. Többféle föltöltés közül lehet választani: o a növekvően
RészletesebbenMatematikai programozás gyakorlatok
VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................
RészletesebbenMATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
RészletesebbenGeometriai modellezés. Szécsi László
Geometriai modellezés Szécsi László Adatáramlás vezérlés Animáció világleírás Modellezés kamera Virtuális világ kép Képszintézis A modellezés részfeladatai Geometria megadása [1. előadás] pont, görbe,
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
RészletesebbenLineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál
Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
RészletesebbenNemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016
Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 2016 Fazekas, Berzsenyi Budapest Berzsenyi Dániel Gimnázium Fazekas Mihály Gimnázium Budapest 2. javított kiadás 2016. március 1115. Technikai el készítés, tördelés:
RészletesebbenA keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)
55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
RészletesebbenKözismereti informatika 2.zh T-M szakirány
1. feladat: Az alábbi algoritmus egy szövegnek meghatározza a leghosszabb szavát és annak hosszát. Írja át időben hatékonyabbra! Írja meg az időben hatékonyabb Pascal programot! Eljárás Maxkiv(S:Szöveg;
Részletesebben9. előadás. Térbeli koordinátageometria
9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy
RészletesebbenLineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
RészletesebbenProgramozási alapismeretek (M1,M2)
1. feladat: Koordináta rendszer kirajzolása 1db TImage, 1db TGroupBox TImage: Name: ImageRajz Align: alclient TGroupBox: Name: GroupBoxManip Caption: - Align: albottom var ks, ko: integer; procedure Inicializal;
RészletesebbenFejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert
Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris
Részletesebben5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?
5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,
RészletesebbenADATB`ZIS-KEZEL S. SegØdanyag a gyakorlathoz. sszeæll totta: VÆrady Lajos varadyl@math.klte.hu
ADATB`ZIS-KEZEL S SegØdanyag a gyakorlathoz sszeæll totta: VÆrady Lajos varadyl@math.klte.hu 1 TARTALOM 1. REL`CI KON V GEZHET M VELETEK... 3 1.1 PROJEKCI (EGY T`BLA VERTIK`LIS MEGSZOR T`SA)... 3 1.2 SZELEKCI
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
RészletesebbenKőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam
-- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...
RészletesebbenKözépszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész
Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.
RészletesebbenFeladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,
RészletesebbenMatematikai problémák vizsgálata a Maple programcsomag segítségével
Matematikai problémák vizsgálata a Maple programcsomag segítségével Tengely Szabolcs tengely@science.unideb.hu http://www.math.unideb.hu/~tengely Tengely Szabolcs 2014.04.26 Matematikai problémák és a
RészletesebbenSzámítógépes Grafika SZIE YMÉK
Számítógépes Grafika SZIE YMÉK Analóg - digitális Analóg: a jel értelmezési tartománya (idő), és az értékkészletes is folytonos (pl. hang, fény) Diszkrét idejű: az értelmezési tartomány diszkrét (pl. a
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenGörbemodellezés. Interpoláció Approximáció
Görbemodellezés Interpoláció Approximáció Motiváció Mi okozhat problémát egy görbe megjelenítésekor? 1. A paraméteres alak segítségével történő megjelenítése nagyon bonyolult számításokat vehet igénybe.
RészletesebbenMatematikai logika. Nagy Károly 2009
Matematikai logika előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2009 1 1. Elsőrendű nyelvek 1.1. Definíció. Az Ω =< Srt, Cnst, F n, P r > komponensekből álló rendezett négyest elsőrendű
Részletesebben4. Felületek Forgásfelületek. Felületek 1. Legyen adott egy paramétersíkbeli T tartomány. A paramétersíkot az u és v koordinátatengelyekkel
Felületek 1 4. Felületek Legyen adott egy paramétersíkbeli T tartomány. A paramétersíkot az u és v koordinátatengelyekkel adjuk meg. Ekkor egy F felületet az (u, v) r(u, v), (u, v) T kétváltozós vektor-vektor
RészletesebbenCohen-Sutherland vágóalgoritmus
Vágási algoritmusok Alapprobléma Van egy alakzatunk (szakaszokból felépítve) és van egy "ablakunk" (lehet a monitor, vagy egy téglalap alakú tartomány, vagy ennél szabálytalanabb poligon által határolt
RészletesebbenTartalom. Geometria közvetlen tárolása. Geometria tárolása - brute force. Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu. Hermite interpoláció. Subdivision görbék
Tartalom Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2015/2016. őszi félév Geometria és topológia tárolása Geometria tárolása Topológia tárolása
RészletesebbenVektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam
Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................
RészletesebbenFejezetek a számítógépi grafikából
Dr. Tornai Róbert Fejezetek a számítógépi grafikából mobidiák könyvtár Dr. Tornai Róbert Fejezetek a számítógépi grafikából mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Dr. Tornai Róbert Fejezetek
RészletesebbenBevezetés. Transzformáció
Geoinformatika alapjai ea. VI. Bevezetés GIS mőveletek I. Tematika Számonkérés Irodalom Transzformáció 28.5.6. Transzformációk típusai formátum geometriai 28.5.6. 2 Geometriai transzformáció I. Célja:
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenTartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév
Tartalom Pont Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Egyenes Sík Háromszög Gömb 2010/2011. tavaszi félév Descartes-koordináták Geometriai értelmezés
RészletesebbenGeometriai algoritmusok
Geometriai algoritmusok Alapfogalmak Pont: (x,y) R R Szakasz: Legyen A,B két pont. Az A és B pontok által meghatározott szakasz: AB = {p = (x,y) : x = aa.x + (1 a)b.x,y = aa.y + (1 a)b.y),a R,0 a 1. Ha
RészletesebbenElsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek
Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint
RészletesebbenBevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai
Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor
Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................
RészletesebbenLátható felszín algoritmusok
Látható felszín algoritmusok Látható felszínek Z-buffer algoritmus Festő algoritmus A látható felszín meghatározására szolgáló algoritmusok A tárgyak takarják-e egymást? Mely tárgy látható? Pontokra: P
RészletesebbenSztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013
UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenMezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan
Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................
RészletesebbenSzámítógépes geometria
2011 sz A grakus szállítószalag terv a geometriai (matematikai) modell megalkotása modelltranszformáció (3D 3D) vetítés (3D 2D) képtranszformáció (2D 2D)... raszterizáció A grakus szállítószalag: koncepció
RészletesebbenTAN`CS. (InformÆció) (2005/C 58 E/01)
2005.3.8. C 58 E/1 I (InformÆció) TAN`CS 10/2005/EK KÖZÖS `LL`SPONT a TanÆcs Æltal 2004. december 21-Øn elfogadva a szakmai køpesítøsek elismerøsørıl szóló, ð-i 2005/ð/EK európai parlamenti Øs tanæcsi
RészletesebbenMáté: Számítógépes grafika alapjai
Pontok rajzolása OpenGL Rajzoljunk egy piros pontot a (10, 10), egy zöld pontot az (50, 10) és egy kék pontot a (30, 80) koordinátákba (az ablak 100*100-as méretű) Pontok rajzolása Színek és színmódok
RészletesebbenTranszformációk. Szécsi László
Transzformációk Szécsi László A feladat Adott a 3D modell háromszögek csúcspontjai [modellezési koordináták] Háromszögkitöltő algoritmus pixeleket színez be [viewport koordináták] A feladat: számítsuk
Részletesebbenend function Az A vektorban elõforduló legnagyobb és legkisebb értékek indexeinek különbségét.. (1.5 pont) Ha üres a vektor, akkor 0-t..
A Név: l 2014.04.09 Neptun kód: Gyakorlat vezető: HG BP MN l 1. Adott egy (12 nem nulla értékû elemmel rendelkezõ) 6x7 méretû ritka mátrix hiányos 4+2 soros reprezentációja. SOR: 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 6
RészletesebbenProgramozási technikák Pál László. Sapientia EMTE, Csíkszereda, 2009/2010
Programozási technikák Pál László Sapientia EMTE, Csíkszereda, 2009/2010 Előadás tematika 1. Pascal ismétlés, kiegészítések 2. Objektum orientált programozás (OOP) 3. Delphi környezet 4. Komponensek bemutatása
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
MIKROÖKONÓMIA I. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenV. Koordinátageometria
oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón
RészletesebbenSzámítógépes geometria (mester kurzus)
2010 sz, Debreceni Egyetem Csuklós szerkezetek animációja (Kép 1985-b l: Tony de Peltrie) Csontváz-modellek Csuklós szerkezet (robotkar) A robotkar részei: csuklók (joints) rotációs prizmatikus (transzlációs)
RészletesebbenMATEMATIKA tankönyvcsaládunkat
Bemutatjuk a NAT 01 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat 9 10 1 MATEMATIKA A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK
RészletesebbenElső sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =
2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög
RészletesebbenBME MOGI Gépészeti informatika 18. Grafika, fájlkezelés gyakorló óra. 1. feladat Készítsen alkalmazást az = +
BME MOGI Gépészeti informatika 18. Grafika, fájlkezelés gyakorló óra 1. feladat Készítsen alkalmazást az = + függvény ábrázolására! Az értelmezési tartomány a [-6;5] intervallum, a lépésköz 0,1 legyen!
RészletesebbenAlgoritmizálás és adatmodellezés tanítása 1. előadás
Algoritmizálás és adatmodellezés tanítása 1. előadás Algoritmus-leíró eszközök Folyamatábra Irányított gráf, amely csomópontokból és őket összekötő élekből áll, egyetlen induló és befejező éle van, az
Részletesebben1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény
RészletesebbenGeometriai algoritmusok
Geometriai algoritmusok Horváth Gyula horvath@inf.elte.hu Számos olyan gyakorlati számítási probléma van, amely megoldható olyan geometriai modellben, amelyben csak egyszerű objektumok, pontok, egyenesek,
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenMegoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)
Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0
RészletesebbenMegyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló
Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. különbözı pozitív egész szám átlaga. Legfeljebb mekkora lehet ezen számok közül a legnagyobb? (A) (B) 8 (C) 9 (D) 78 (E) 44. 00 009 + 008 007 +... + 4
Részletesebben