Matematika. 9. évfolyam. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematika. 9. évfolyam. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg."

Átírás

1 Komplex kommunikációs és természettudományi csomag Matematika 9. évfolyam tanulói jegyzet A TISZK rendszer továbbfejlesztése Petrik TISZK TÁMOP /1-F A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg.

2

3 Komplex kommunikációs és természettudományi csomag Matematika TÁMOP /1-F matematika a mindennapi életben 9. évfolyam tanulói jegyzet

4 A kiadvány a TÁMOP /1-F azonosító számú projekt keretében jelenik meg. Szerző: Lovas Margaret Lektor: Kiss Jolán Borító és tipográfia: Új Magyarország Fejlesztési Terv Arculati kézikönyv alapján A mű egésze vagy annak részletei az üzletszerű felhasználás eseteit ide nem értve oktatási és tudományos célra korlátozás nélkül, szabadon felhasználhatók. A tananyagfejlesztés módszertani irányítása: Observans Kft. Budapest, 009. Igazgató: Bertalan Tamás Tördelés: Király és Társai Kkt. Cégvezető: Király Ildikó

5 Tartalomjegyzék Bevezetés...5 Aritmetikai műveletek, algebrai átalakítások...6 Számok, műveletek számokkal...6 Műveleti sorrend...6 Kapcsolat a közönséges illetve a tizedes törtek között...8 Betűkifejezések, műveletek betűkkel... 1 Algebrai kifejezések...1 Műveletek algebrai kifejezésekkel...13 Képletek Arányosságok, aránypárok felállítása Arányosságok Egyenes arányosság...19 Egyenes arányosságot megadó függvény grafikonja...1 Fordított arányosság...0 Fordított arányosságot megadó függvény grafikonja...3 Arányossági következtetés...6 Becslés...7 Arányok alkalmazása...9 Mértékegységek...33 Százalékszámítási feladatok...36 A százalék...36 Százalékérték, százalékláb, százalékalap...36 A százalék és a törtrész kapcsolata...38 A százalék és az arányosság kapcsolata...41

6

7 Bevezetés De hol fogom én ezt használni? Ugye mindenki feltette már magának ezt a kérdést néhány tantárgy bizonyos anyagrészei kapcsán. Nagyon sok esetben hangzik el ez a kérdés a matematika különböző részeivel kapcsolatban is. Most azt szeretnénk megmutatni Nektek, hogy a matematikának ez a rövid anyagrésze hogyan segíti az általatok választott szakmai alapozó tantárgyak feladatainak megoldását. Reméljük, hogy Ti is úgy fogjátok majd gondolni a tananyag végén, hogy valóban segítséget kaptatok a szakmai alapozó tantárgyak követelményeinek teljesítéséhez! Cél Fontos cél, hogy egy bevásárlás során könnyedén tudd kiszámolni az egységár alapján a többszörösért, ill. törtrészért fizetett összeget, ki tudd számolni, hogy van-e elég pénz nálad, azért, hogy ne kerülj fizetésnél kellemetlen helyzetbe. Célunk, hogy a választott szakmáddal kapcsolatos képleteket ismerd jól, és tudd megfelelően használni, hiszen a munkád során pl. egy keverési arányt az általad megálmodott színhez egyedül kell majd kiszámolnod. Szeretnénk elérni, hogy ne tudjanak becsapni, ha banki hitelt veszel fel, vagy ha árleszállítás van, egyszerű legyen kiszámolni, mennyivel tudsz olcsóbban megvenni pl. egy cipőt. Az arányokkal és a százalékszámítással kapcsolatos feladatok helyes megoldása. Követelmény Biztonsággal és megfelelő sorrendben tudd alkalmazni az alapvető aritmetikai műveleteket. Tudj képleteket biztonsággal rendezni, keresett értéket kifejezni. Ismerd az egyenes, ill. fordított arányosság közti különbséget, és a feladatokban felismerd a megfelelő összefüggéseket. Ismerd a százalékérték, a százalékláb, és a százalékalap közötti összefüggést, és ezt tudd biztonsággal alkalmazni. Jelmagyarázat A tanulói jegyzetben a tananyag fontos elemeit, a példákat és a tanulási tippeket különböző ikonok jelölik. Ikon Jelentés A fejezet célmeghatározása. Figyelmesen olvasd el, így megismered a fejezet fókuszpontjait! Az ikon fontos, jól megjegyzendő, megtanulandó ismereteket jelez. Az ikon mellett olyan gondolatébresztő, kérdéseket, felvetéseket, problémákat találsz, amelyek megválaszolásával elmélyülhetsz a témában. Az ismeretek elsajátítását megkönnyítik a példák. Az ikon mellett érdekességeket, példákat, gyakorlati életből vett esetleírásokat találsz. Az ikon a házi feladatot, otthoni munkát jelöli. PETRIK TISZK TÁMOP /1-F

8 Aritmetikai műveletek, algebrai átalakítások Ennek a témakörnek az a célja, hogy: helyesen tudd a számok közötti műveleteket elvégezni; jól tudd alkalmazni a százalékkal kapcsolatos fogalmakat; biztonsággal tudd kezelni a betűkifejezéseket; ezeken keresztül a fizikai, kémiai stb. képletekből helyesen tudd kifejezni a keresett értékeket. 1. feladat Számok, műveletek számokkal Gyűjtsetek példákat arra, hogy milyen konkrét helyzetekben kellett már valamilyen matematikai ismeretet alkalmaznotok! Ötletadónak néhány példát említünk: mobiltelefon díjcsomag választása, vegyszerek használati utasításának értelmezése Műveleti sorrend Általános iskolában már megtanultátok a számhalmazok nevét, tulajdonságait, és a számok között végezhető műveletekről is esett szó. Mégis fontosnak tartjuk néhány dolog átismétlését, felelevenítését a későbbi anyagrészek szempontjából. A valós számhalmazon értelmezett műveletek: összeadás (+), kivonás ( ), szorzás ( ), osztás (:), hatványozás, gyökvonás. Tulajdonságaik Kommutatív: a tagok sorrendje felcserélhető (összeadás, szorzás). Asszociatív: a tagok tetszőlegesen csoportosíthatók (összeadás, szorzás). A szorzás az összeadásra nézve disztributív: a (b+c) = a b+a c A kivonás, az osztás és a hatványozás (gyökvonás) ezekkel a tulajdonságokkal nem rendelkezik. 6 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam

9 Ha nincs zárójel, akkor a műveleti sorrend a következő: 1. hatványozás, gyökvonás;. szorzás, osztás; 3. összeadás, kivonás. Ha van zárójel, akkor a zárójelben lévő műveletet kell először elvégezni. Mintafeladat a műveleti sorrenddel kapcsolatban: a) 4,+5: =? A műveleti sorrendet betartva először az osztást végezzük el, majd ezután az összeadást. Tehát: 4,+5: = 4,+,5 = 6,7 b) (8 4,9) 5 = Mivel a feladat tartalmaz zárójelet, így most először az összeadást végezzük el, majd utána a szorzást. Tehát: (8 4,9) 5 = 3,1 5 = 15,5 Ha a műveleteket tizedes törtekkel végezzük, figyeljünk a helyi értékekre!. feladat Végezd el az alábbi műveleteket! a) 5,+3,07 = b) 3,75+3,5 (4,8+,) = c),9 3 (5,4 3,1) = d) 5 (7,4,55) 9,3:3 = Nézzünk egy példát arra, hogy az előző feladatban helyesen végzett műveleti típusok hol használhatók a mindennapi életben! Pisti elment az új plázába. A barátaival megnézték a Harry Potter legújabb részét, és mozi után elfagyizta a pénzét. Mindössze 600 Ft-ja maradt. Ám a szülei felhívták, hogy vigyen haza néhány dolgot a vacsorához. A listát SMS-ben elküldték: kg krumpli, 0,5 kg hagyma, db kígyóuborka. Pisti félt, hogy a pénztárnál bajban lesz, és nem tudja kifizetni, amit az édesanyja kért. Ezért vásárlás előtt megnézte az árakat: 1 kg krumpli 119 Ft, 1 kg hagyma 149 Ft, 1 db kígyóuborka 19 Ft. Ez után kiszámolta, hogy mennyit kell majd fizetnie: 119+0, = 38+74,5+58 = 570,5 570 Ft Így megnyugodott, hogy a nála lévő pénz elég lesz. PETRIK TISZK TÁMOP /1-F

10 Műveletek közönséges törtekkel Ha közönséges törtek között végzünk műveleteket, akkor az összeadás ill. kivonás esetében a törteket hozzuk közös nevezőre! 3. feladat Oldd meg az alábbi feladatokat! 4 3 a) + : = 5 4 b) c) : = 15 d) Kapcsolat a közönséges, illetve a tizedes törtek között Az előzőekben a műveleteket törtszámok körében végeztük el. De milyen számkörbe tartoznak a törtek? Ha visszaemlékszünk a definíciókra, akkor az előző kérdésünkre megkaphatjuk a választ. Két egész szám hányadosát racionális számnak nevezzük, azaz az b a alakban felírható számok racionális számok (a és b egész számok és b 0). Tehát ebbe a számkörbe tartoznak a közönséges törtek, és minden olyan szám, amelyet fel tudunk írni ilyen alakban. Tehát pl. az egészek, hiszen mindenki találkozott már azzal, amikor egy feladat végeredménye 3 6 =. De mi van a tizedes törtekkel? Valós számok: ebbe a számkörbe minden szám beletartozik. Tehát ebbe a számkörbe beletartoznak a tizedes törtek is. 8 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam

11 A következő kérdés az, hogy a két fajta törtnek van-e valamilyen köze egymáshoz, át lehet-e alakítani egymásba ezeket a számokat? Mivel a racionális számokat úgy definiálták, hogy két egész szám hányadosa, ez azt jelenti nekünk, hogy a törtvonal az osztás műveletével azonos, és ezt az osztást el is lehet végezni. Nézzünk néhány konkrét példát! A tizedes törtek típusai: 3 = 0,75 véges tizedes tört = 0, végtelen szakaszos (ismétlődő) tizedes tört, az ismétlődő számok a 333 szakasz, amit úgy jelölünk, hogy 0,13. Tehát a véges tizedes törtek, és a végtelen szakaszos tizedes törtek racionális számok, és a közönséges törtek átalakítása tizedes törtté igen egyszerű. 4. feladat Írd fel az alábbi közönséges törteket tizedes tört alakban! a) b) c) d) 7 10 e) f) PETRIK TISZK TÁMOP /1-F

12 5. feladat Az előző feladat közönséges törtjeit csoportosítsd az alábbiak szerint! Véges tizedes törtté alakítható Végtelen szakaszos tizedes törtté alakítható Házi feladat (1) a) A piramis felső három sorában mindegyik szám az alatta lévő két szám összege. Töltsd ki a piramis hiányzó mezőit! b) A piramis felső három sorában mindegyik szám az alatta lévő két szám szorzata. Töltsd ki a piramis hiányzó mezőit! c) Írd fel az első piramisban szereplő törteket tizedes tört formában! Hogyan lehet a tizedes törtekből közönséges törtet előállítani? Véges tizedes törtek esetén könnyű dolgunk van, hiszen csak a helyi értékeket kell felhasználnunk. 10 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam

13 6. feladat 0,5 A tizedes törtek elnevezése segít a közönséges formára való átírásban. Ennek a törtnek nulla egész huszonötszázad az elnevezése. Ha a nulla egész részt elhagyjuk, akkor a huszonöt század már a helyi értékre és a megfelelő helyi értéken álló értékről ad felvilágosítást, amit felhasználunk a közönséges tört felírásához: A törtet, ha lehet érdemes egyszerűsíteni. Ez a tört egyszerűsítve: 1 4 Írd fel közönséges tört alakban! a) 0,45 = b) 1,45 = c) 3,1 = d) 0,8 = e) 0,3 = f) 4,1 = A végtelen szakaszos tizedes törtek esetében az eljárás kissé bonyolultabb, hiszen nekünk egész számok hányadosaként kell felírnunk, tehát nincs szükségünk az ismétlődő szakaszra. Viszont egyszerűen nem lehet elhagyni, hiszen akkor nem ugyanarról a számról lenne szó. Nézzük meg, mit lehet tenni egy konkrét esetben! a 0, 5 = b a =?, b =? 1. Legyen 5 0, = x! Szorozzuk meg ezt az egyenlőséget 100-zal!. 5 5, = 100x Vonjuk ki az második egyenlőségből az elsőt! 3. 5 = 99x x = 5 99 PETRIK TISZK TÁMOP /1-F

14 7. feladat Írd fel közönséges tört alakban! a) 5 0,3 = b) 0,3 = c) 5 0, 4 = 5 d) 1, 4 = Betűkifejezések, műveletek betűkkel Algebrai kifejezések Az eddigiekben átismételtük a számok között végezhető műveleteket. Már általános iskolában is találkoztatok azzal, hogy a matematika nemcsak számokkal dolgozik, hanem nagyon sok esetben betűk (ismeretlenek) között is végez műveleteket. Ha betűk és számok között a négy alapműveletet véges sokszor alkalmazzuk, akkor algebrai kifejezésről beszélünk. Oldottatok meg egyenletet, amelyben már volt egy ismeretlen, azaz egy betű. Már ott tanultátok, hogy a kijelölt műveleteket nem lehet minden esetben elvégezni. Ahhoz, hogy pl. össze tudjuk vonni a kifejezéseket, néhány dolgot tudnunk kell. Elnevezések: a számokat helyettesítő betűket változóknak (vagy ismeretleneknek) nevezzük; a változók szorzószáma az együttható. Ha az algebrai kifejezésben szereplő változók és azok kitevői megegyeznek, akkor egynemű, ha nem akkor különnemű algebrai kifejezésről beszélünk. 1 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam

15 Osztályozásuk: Algebrai kifejezések Egytagú 3x 6a; 5xy; 5y Többtagú 3x+; 4xy 5ab Egynemű 5 5xy; 1xy; xy 3 Különnemű 5xy; 5x y; 6a A többtagú algebrai kifejezéseket polinomnak nevezzük. 8. feladat Párosítsd az egynemű algebrai kifejezéseket! x y 3 5 xy 3x y x y 1x y 5 xy 3 4 x y x y 7 Műveletek algebrai kifejezésekkel A polinomokban az összevonásokat csak egynemű algebrai kifejezések között lehet elvégezni. Mintafeladat az algebrai kifejezések összevonására: 1 a 3 + a b a b 3a =,5a + 0,5a b PETRIK TISZK TÁMOP /1-F

16 9. feladat Végezd el az összevonást a 8. feladat táblázat összetartozó párjai között! Nézzünk az összevonásra feladatokat! 10. feladat Végezd el az összevonást! a) 4a (7a 3) b) x + (5 4x) c) ( y 3) + (3 4y) ( y + 1) d) 5x 3 + (5x + 3) 7 e) f) y 3y + 5y 6 + y + 3 3y + 4y 3 3 3a + 5a 7 7a + a + 4a + 5 a g) ( x + 3x 5) + (x x 1) h) (8a 4ab + b ) ( b + ab a ) Házi feladat () 1) Karikázd be az egynemű algebrai kifejezéseket az alábbiak közül! a) 3 a b ab a b a 3 b 1,3a b b) 1 y 5 x 3 x y 3 3x y ) Végezd el az összevonást! a) 6x x 3x = 4x 3 y b) 3ab 4a b + 7ab a b + 5ab ab c) (b + ab a ) (8a 4ab + b ) 14 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam

17 Házi feladat (3) Gyűjtsetek 5 db általatok ismert fizikai, kémiai stb. képletet! Használjátok segédeszközként a függvénytáblázatot, vagy tavalyi tankönyveiteket vagy az internetet! Képletek A képletek tulajdonképpen egyenlőségek betűkifejezések között. Ám ezekben az egyenlőségekben a betűk valamilyen mennyiségnek (út, idő stb.) a jelei, és maguk az egyenlőségek a természetben lejátszódó folyamatok jellemzői között adnak összefüggést. Így ahhoz, hogy egy képletet értelmezni tudjunk, mindenképpen ismernünk kell a benne szereplő betűk jelentését. Q = c m Δt Ezt a képletet még általános iskolai fizikaórán tanultátok a hőtan keretein belül. A benne szereplő betűk jelentése a következő: Q: hőmennyiség c: fajhő m: tömeg Δt: hőmérsékletváltozás Mintafeladat a keresett érték képletből való kifejezésére Fejezzük ki a képletből a tömeget! Ez azt jelenti, hogy a képletet rendezzük át oly módon, hogy a képletben szereplő többi mennyiség segítségével a tömeg legyen meghatározható, vagyis a képlet úgy nézzen ki, hogy m= Ez azt a feladatot adja nekünk, hogy a képlet jobb oldalán szereplő mennyiségek közül a fajhőt, és a hőmérsékletváltozást az egyenlőség másik oldalára kell átvinni. Megoldás Q=c m Δt /:c Q = m Δt /:Δt c Q =m c t PETRIK TISZK TÁMOP /1-F

18 11. feladat Írd fel az alábbi képletekben szereplő betűk jelentését! 1. C 1 m 1 +C m = C 3 (m 1 +m ) (keverési egyenlet). p V= n R T (ideális gázok állapotegyenlete) 1. feladat Az első képletből fejezd ki a keverék koncentrációját, majd az 1-es kiindulási anyag tömegét! A második képletből fejezd ki a mólszámot, majd a gáz térfogatát! 13. feladat Válasszatok ki a táblán lévő képletek közül négyet! Fejezzétek ki a képletekből a tanár által kért értékeket! a) b) c) d) 16 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam

19 Házi feladat (4) Írd fel a képletekben szereplő betűk jelentését! A trapéz területe T ( a + c) m = Fejezd ki a képletből a trapéz magasságát! A sűrűség ρ m = V Fejezd ki a képletből a térfogatot! A téglalap kerülete K = ( a + b) Fejezd ki a képletből az a oldalt! Használjátok segédeszközként a függvénytáblázatot, vagy tavalyi tankönyveiteket vagy az internetet! Házi feladat (5) Keressetek 5 példát olyan mennyiségekre, melyek szerintetek egyenes arányban vannak egymással! PETRIK TISZK TÁMOP /1-F

20 Arányosságok, aránypárok felállítása Ennek a témakörnek az a célja, hogy: ismerd fel az arányos mennyiségeket; tudd megkülönböztetni az egyenes, ill. fordított arányosságot egymástól, és más típusú arányosságtól; tudd helyesen használni az arányokat különböző folyamatokkal kapcsolatos feladatok megoldása során (kémia, fizika, biológia); próbáld megbecsülni a végeredményt. arányosságok Biztosan mindenki találkozott már a mindennapi életben olyan mennyiségekkel, amelyek valamilyen szempontból arányosak voltak egymással, csak nem foglalkoztatok ennek az arányosságnak a matematikai formájával. Aránynak nevezzük általában két vagy több mennyiség nagyságbeli viszonyát. 14. feladat Írd az üres oszlopba a szerinted igaz állítás számát! 1. A két mennyiség együtt csökken, vagy együtt nő.. Ha az egyik mennyiség nő, akkor a másik csökken. 3. Nem található az elsőhöz és a másodikhoz hasonló összefüggés (vagy csak nagyon távoli). Milyen összefüggés van? a) Egy karácsonyfa ára és magassága között. b) Aliz cicáinak száma és Aliz életkora között. c) Gábor otthon eltöltött ideje és az iskolában eltöltött ideje között. d) Táblás csokoládé tömege és a csoki íze között. e) Egy csúszda hossza és a rajta végigcsúszó csiga haladási ideje között. f) Egy könyv elolvasott és el nem olvasott lapjainak száma között. g) Bence bácsi testsúlya és életkora között. h) A családtagok száma és a család élelmiszerre költött pénzének mennyisége között. i) A CD-n már meghallgatott dalok és a még nem meghallgatott dalok között. j) A sütemények száma és a felhasznált liszt mennyisége között k) Egy épület magassága és kora között. l) A lakásban elfogyasztott víz mennyisége és a vízszámla végösszege között. 18 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam

21 Egyenes arányosság Pisti szeretné megnézni a Harry Potter című film legújabb részét, viszont nincs kedve egyedül menni. Az interneten megnézte, hogy egy diákjegy 990 Ft-ba kerül. Telefonál a barátainak, hogy eljönnének-e vele moziba. Felajánlja, hogy elmegy jegyet venni, és megelőlegezi a vételárat. Mennyi pénzt kell magával vinni, ha ketten, ill. négyen mennek moziba? Ha ketten mennek, akkor 990 = 1880 Ft-ot, ha viszont négyen, akkor = 3960 Ft-ot kell vinnie. Az előző példán láttátok, hogy ebben az esetben a diákok száma és a jegyárak között olyan arányosság van, hogy ha az egyik mennyiség valahányszorosára növekedett, akkor ugyanannyiszorosára növekedett a másik mennyiség is (diákok száma/fizetett pénzmennyiség). 15. feladat Az iskolai büfében 90 Ft-ba kerül egy pogácsa. Töltsd ki a táblázat hiányzó értékeit! Vásárolt pogácsák száma (db) Fizetendő összeg (Ft) összeg Számold ki a következő hányadost néhány értékpár esetében: = darab 16. feladat 1,5 liter narancslevet 5 kg narancsból tudunk kifacsarni. Töltsd ki a táblázat hiányzó értékeit! Narancslé mennyisége 1 (l) 1 3 Narancs mennyisége (kg) 1 narancs Számold ki a következő hányadost néhány értékpár esetében: = narancslé A táblázat egy oszlopában szereplő számokat összetartozó értékpároknak nevezzük. Ha két változó mennyiség kapcsolata olyan, hogy az összetartozó értékpárok hányadosa egy nullától különböző állandó, akkor a két mennyiség egyenesen arányos. Az értékpárok hányadosa az arányossági tényező. PETRIK TISZK TÁMOP /1-F

22 17. feladat Egyenes arányosságot megadó függvény grafikonja Ábrázold az előző két táblázat értékeit koordináta rendszerben! Írd fel a függvény hozzárendelési utasítását! x x 0 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam

23 18. feladat Tapasztalataink alapján elmondhatjuk, hogy az egyenes arányosság képe x a x lineáris függvény. ÉT: x є R + és a > 0 Gyűjtsetek nyolc olyan példát a mindennapi életből melyek az egyenes arányosság körébe sorolhatók! Fordított arányosság Kirándulást szervez Nagy tanárnő az osztályának Bécsbe. Külön busszal szeretnének menni, amelynek az ára diáklétszámtól függetlenül Ft. Mennyibe fog kerülni az útiköltség, ha az osztály létszáma 30 fő? Mennyibe kerül a busz akkor, ha tíz tanuló nem akar elmenni a kirándulásra? Ha 30 tanuló megy kirándulni, akkor :30 = 5000 Ft a fejenkénti útiköltség. Ha csak 0 tanuló megy kirándulni, akkor :0 = 7500 Ft-ba kerül tanulónként a busz. Úgy döntenek, hogy feltöltik a buszt, és a 0 fő mellé szerveznek másik osztályból még húsz tanulót, akkor :40 = 3750 Ft csak a buszköltség fejenként. Az előző példán láttátok, hogy ebben az esetben a diákok száma és az útiköltség között olyan arányosság van, hogyha az egyik mennyiség valahányszorosára növekedett, akkor ugyanannyiad részére csökkent a másik mennyiség. (diákok száma/fizetett útiköltség) 19. feladat Egy autóval 300 km-t kell megtenni. Töltsd ki a táblázat hiányzó értékeit! sebesség (km/h) idő (óra) 5 Számold ki a következő szorzatot néhány értékpár esetében: idő sebesség = PETRIK TISZK TÁMOP /1-F

24 0. feladat 6 vízcsap 9 óra alatt tölt meg egy medencét Töltsd ki a táblázat hiányzó értékeit! Csapok száma (db) 6 1 idő (óra) Számold ki a következő szorzatot néhány értékpár esetében: idő csapszám = Ha két változó mennyiség kapcsolata olyan, hogy az összetartozó értékpárok szorzata egy nullától különböző állandó, akkor a két mennyiség fordítottan arányos. Az értékpárok szorzata az arányossági tényező. matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam

25 1. feladat Fordított arányosságot megadó függvény grafikonja Ábrázold az előző két táblázat értékeit koordináta rendszerben! Írd fel a függvény hozzárendelési utasítását! x x PETRIK TISZK TÁMOP /1-F

26 . feladat Tapasztalataink alapján elmondhatjuk, hogy a fordított arányosság képe x x a lineáris törtfüggvény. ÉT: x є R + és a > 0 Gyűjtsetek nyolc olyan példát a mindennapi életből melyek a fordított arányosság körébe sorolhatók! Házi feladat (6) Karikázd be azoknak az állításoknak a betűjelét, amely szerinted egyenes arányosságot határoz meg! a) A futóversenyen lefutott szakaszok és a hátralévő távok között b) A puzzle lerakott darabjainak a száma és a kirakott kép területe között c) A bankszámlánkon lévő pénz és az érte járó kamat nagysága között d) A matematika órából eltelt idők és a hátralévő idők között e) A megvásárolt szalámi mennyisége és az érte fizetendő összeg nagysága között 4 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam

27 Házi feladat (7) a) 10 dkg téliszalámit 400 Ft-ért árulnak a sarki boltban. Határozd meg, mennyit fizetnénk, ha 0, 30, 40, 80 dkg-ot vásárolnánk? Töltsd ki a táblázatot! Ábrázold az értékeket, és írd fel a hozzárendelési utasítást! x PETRIK TISZK TÁMOP /1-F

28 b) ember egy kert felásásával 5 óra 5 perc alatt végez. Mennyi idő alatt ásná fel ugyanezt a kertet 1, 4, 5, 8 ember, ha mindenki ugyanolyan tempóban ás? Töltsd ki a táblázatot! Ábrázold az értékeket, és írd fel a hozzárendelési utasítást! x Arányossági következtetés Péternek néhány hónapja kishúga született. Édesanyja minden héten felírta súlyának gyarapodását, hogy a gyerekorvosnál be tudjon róla számolni. Péter megtalálta a feljegyzést, és nagyon érdekelte, hogy a súly és az életkor vajon egyenes arányban van-e egymással, ezért ábrázolta az értékeket. Azt tapasztalta, hogy a mért értékek ugyan az életkorral arányosan növekednek, ám ez nem egyenes arányosság. A mindennapi életben nagyon sok olyan folyamat játszódik le, ami pl. az idővel arányosan nő vagy csökken, ám ez az arány nem tarozik sem az egyenes, sem a fordított arányosság körébe. 6 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam

29 3. feladat Gyűjtsetek nyolc olyan példát a mindennapi életből melyek sem az egyenes, sem a fordított arányosság körébe nem sorolhatók! Becslés Nagyon sok esetben a hétköznapi élet folyamatainak végeredményét nem számoljuk ki, hiszen talán nincs rá ilyen pontossággal szükségünk, vagy esetleg nincs rá időnk. Ha felismerjük a mennyiségek között érvényben lévő arányosság típusát, akkor egy hozzávetőlegesen pontos eredményt tudunk mondani, azaz meg tudjuk becsülni pl. a vásárolandó festék mennyiségét, vagy a lekvárhoz szükséges tiszta befőttes üvegek számát. A becslés tehát egy értékének, mértékének megközelítő meghatározása. Ez a meghatározás tapasztalattól függően igen pontos is lehet. Ha jó becslést tudunk adni egy arányos feladat végeredményéhez, akkor tulajdonképpen leellenőriztük feladatunk megoldását. Klári szülei úgy döntenek, hogy szeretnék kifestetni a szobákat. Ezért a szomszéd házban lakó szakembertől árajánlatot kérnek. A lakás felmérése során megadják a festőnek, hogy Klári szobája 3,5 4,5 m-es, az ő szobájuk 4,5 4,8 m-es, a belmagasság,8 méter. A festő rövid gondolkodás után közli, hogy Klári szobája kb. 50 m a festés szempontjából, a szülei szobája kb. 80 m a festés szempontjából, tehát 130 m felületet kell lefesteni. Ez 500 Ft/m árral számolva Ft munkadíjat jelent. Jól számolt a festő? Ellenőrizzük! Klári szobája: 3,5 4,5+ 3,5,8+ 4,5,8 = 60,55 m Szüleinek szobája: 4,5 4,8+ 4,5,8+ 4,8,8 = 73,68 m Összesen 134,3 m, ami Ft-ot jelentene. PETRIK TISZK TÁMOP /1-F

30 4. feladat Becsüld meg az alábbi városok távolságát a térkép alapján! Használd a becsléshez a mértéket! Budapest Debrecen: Budapest Kecskemét: Szeged Szombathely: Szeged Pécs: 5. feladat Szeretnél eljutni a szüleiddel a debreceni virágkarneválra. Az előző becslést használva határozd meg, hogy mennyi idő alatt értek le, ha 70 km/h átlagsebességgel számolhatunk, és mennyi benzint kell tankolni, ha az autó fogyasztása 6,5 liter 100 km-en! Ennyi idő alatt érünk le: Ennyit kell tankolnunk: Jól becsültél? A Budapest Debrecen távolság 30 km. 8 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam

31 6. feladat Becsüld meg az alábbi feladatok eredményét! Becslés után számold ki a pontos értéket! a) Egy csomag mosópor 3,6 kg. Mekkora a tömege 4 csomag mosószernek? Kb.: b) ember egy kert felásásával 5 óra 5 perc alatt végez. Mennyi idő alatt ásná fel ugyanezt a kertet 4 ember, ha mindenki ugyanolyan tempóban ás? Kb.: c) 14 kg sárgabarackból 7 db literes üveg lekvárt tudunk főzni. 0 kg sárgabarackból hány db literes üveg lekvárt tudunk főzni? Kb.: d) liter pattogatott kukorica elkészítéséhez 10 dkg kukoricára van szükség. Mennyi kukoricára van szükség 5,5 l, pattogatott kukorica elkészítéséhez? Kb.: Arányok alkalmazása Biztosan találkoztatok már kémia órán is azzal, hogy az arányosság segítségével kellett a feladatokat megoldani. Sajnos bizonyos elméleti ismeretek nélkül nem tudunk feladatokat megoldani, tehát az első olyan definíció, amire szükség van. Mólkoncentráció vagy molaritás Az adott komponens móljainak száma az elegy térfogategységében (1 dm 3 -ében). Értékét megkaphatjuk, ha az adott anyag móljainak számát osztjuk az elegy dm 3 -ben kifejezett térfogatával. (Az anyag móljainak száma [n] az anyag grammban kifejezett tömegének és a relatív molekulatömegnek a hányadosa.) c = oldott anyag móljainak száma [mol/dm 3 ] 3 oldat térfogata [ dm ] Mintafeladat a kémia feladatok megoldásában az arány alkalmazására Egy oldatban van mól anyag, az oldat mennyisége 345 ml. Mekkora a mólkoncentráció? Emlékszel? Aránynak nevezzük általában két vagy több mennyiség nagyságbeli viszonyát Ez azt jelenti számunkra, hogy a mólkoncentráció tulajdonképpen egy arány. Ebben a feladatban az oldott anyag móljainak száma, az oldat térfogata 345 ml = 0,345 dm 3, tehát a koncentráció PETRIK TISZK TÁMOP /1-F

32 c = 0,345 = 5,8 mol/dm 3 Mintafeladat a kémia feladatok megoldásában az egyenes arány alkalmazására Mennyi ezüst-nitrátot kell bemérni 50 cm 3, 8,5 g/dm 3 koncentrációjú oldat készítéséhez? Megoldás A kémia a feladatmegoldáshoz a keresztszabályt használja. 8,5 g oldott anyag 1000 cm 3 x g oldott anyag 50 cm 3 x = 8,5 50 =,15 g 1000 Erre azt mondhatnátok, hogy ennek semmi köze az egyenes arányhoz, ez teljesen más. Emlékszel? Ha két változó mennyiség kapcsolata olyan, hogy az összetartozó értékpárok hányadosa egy nullától különböző állandó, akkor a két mennyiség egyenesen arányos. Az értékpárok hányadosa az arányossági tényező. Oldjuk meg ezzel a módszerrel is a feladatot! Összetartozó értékpár az oldott anyag tömege és az oldószer mennyisége, tehát Fejezzük ki az x-et, vagyis szorozzunk 50-nel! 8,5 x = ,5 50 x= 1000 =,15 g Tehát valóban egyenes arányosság áll fenn a mennyiségek között, csak kémia órán nem a matematikai összefüggések hangsúlyozása a fontos. 30 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam

33 7. feladat Oldd meg az alábbi kémia feladatokat! a) Rendelkezésedre áll 678 ml oldat, amiben van 0,13 mol oldott anyag. Számold ki a koncentrációját! b) Oldatot kell készítened, aminek a koncentrációja 0,3 mol/l, mennyisége 350 ml. Hány mól anya got kell hozzá bemérned? c) 810 cm 3 vízben és 175,35 g nátrium-kloridot oldottunk fel. Az oldat sajnos kevés lett, és készítenünk kell még 0,5 l ugyanilyen koncentrációjú oldatot. Mennyi só kell hozzá? d) Rendelkezésedre áll 1500 ml oldat, amiben van 1,3 mol anyag. Számold ki a koncentrációját! PETRIK TISZK TÁMOP /1-F

34 Házi feladat (8) Magyar órán szóba kerül Csontváry Magányos cédrus című festménye. Úgy döntötök az osztályból négyen, hogy elmentek Pécsre, és megnézitek a festményt eredetiben. Készíts az útiköltségről egy összehasonlítást, ha Volánnal, vagy ha MÁV-val utaztok, illetve arra az esetre, ha édesapádat megkéred, hogy vigyen el benneteket, és a benzinköltségen megosztoztok! Segítséget a következő helyeken találsz: Volán busz jegyára fejenként: MÁV jegyára fejenként: Budapest Pécs távolság (Először becsülj!): Édesapád azt mondta, hogy az autó 7 liter benzint fogyaszt 100 km-en. Hány liter benzinre van szükségetek? (Először becsülj!) Mennyibe kerül a benzin? Útiköltség fejenként: Melyik éri meg jobban? 3 matematika tanulói jegyzet 9. évfolyam

35 Házi feladat (9) 1. Oldatot kell készítened, aminek a koncentrációja 0,67 mol/l, mennyisége 500 ml. Hány mol anyagot kell hozzá bemérned?. Rendelkezésedre áll 1500 ml oldat, amiben van 1,3 mol oldott anyag. Számold ki a koncentrációját. 3. Mennyi nátrium-kloridot kell bemérni 350 cm 3 1 g/dm 3 koncentrációjú oldat készítéséhez? Mértékegységek Az előző néhány feladat esetében láttátok, hogy szükség volt a mértékegységek átváltására. A matematika látszólag nem törődik a mennyiségek mértékegységével, ám ez csak abból a szempontból igaz, hogy nem az a fontos, hogy a feladatot pl. méterben, vagy centiméterben számoljuk végig, viszont elengedhetetlen, hogy a mértékegységeket a feladat elején egyeztessük. A kémia, a fizika viszont nem engedi meg tetszőleges mértékegységek használatát. Ahhoz, hogy tudjuk, milyen átváltást kell végrehajtani, ahhoz a kiszámolandó mennyiség mértékegységét ismernünk kell. A néhány alapmennyiségen (tömeg, idő, hosszúság stb.) kívül, a segítségükkel előállítható mértékegységeket származtatott mértékegységeknek nevezzük. Ilyen származtatott mértékegység pl. a térfogat esetén m 3, a sűrűség esetében kg/m 3.A mindennapi életben használják pl. a db/ft mértékegységet, ami jelenti egy darab termék árát. 8. feladat Gyűjtsetek tizenkét olyan mértékegységet, amelyet ismertek! Nézzük, hogyan kell használni az átváltásokat, konkrét feladat megoldása során! Mintafeladat megoldása mértékegység váltásával 1 kg asztali só hány mol NaCl? Emlékszel? Néhány dolgot tudni kell, hogy a feladatot meg tudd oldani! PETRIK TISZK TÁMOP /1-F

A százalékszámítás 620 15 15 620 620 0,15 93 100 100 93 93 100 93 : 0,15 620 15 15 100

A százalékszámítás 620 15 15 620 620 0,15 93 100 100 93 93 100 93 : 0,15 620 15 15 100 A százalékszámítás A következő alapfeladatokkal találkozhatsz: 1. Mennyi a 620-nak a 15%-a? 100 % 620 1% 620:100 = 6,2 15% 15 6,2 = 93 Vedd észre! Ahány százalék, annyi századrész! 620 15 15 620 620 0,15

Részletesebben

KOMPLEX KOMMUNIKÁCIÓS ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI CSOMAG MATEMATIKA TÁMOP-2.2.3-07/1-2F-2008-0011 MATEMATIKA A MINDENNAPI ÉLETBEN 9.

KOMPLEX KOMMUNIKÁCIÓS ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI CSOMAG MATEMATIKA TÁMOP-2.2.3-07/1-2F-2008-0011 MATEMATIKA A MINDENNAPI ÉLETBEN 9. KOMPLEX KOMMUNIKÁCIÓS ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI CSOMAG MATEMATIKA TÁMOP-2.2.3-07/1-2F-2008-0011 MATEMATIKA A MINDENNAPI ÉLETBEN 9. ÉVFOLYAM TANÁRI KÉZIKÖNYV MAT9_TK.indd 1 2009.11.05. 13:40:27 A kiadvány a

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

A kompetencia alapú matematika oktatás. tanmenete a 9. osztályban. Készítette Maitz Csaba

A kompetencia alapú matematika oktatás. tanmenete a 9. osztályban. Készítette Maitz Csaba A kompetencia alapú matematika oktatás tanmenete a 9. osztályban Készítette Maitz Csaba Szerkesztési feladatok 1. Síkgeometriai alapfogalmak 2. Egyszerűbb rajzok, szerkesztések körző, vonalzó használata

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

SZERVETLEN ALAPANYAGOK ISMERETE, OLDATKÉSZÍTÉS

SZERVETLEN ALAPANYAGOK ISMERETE, OLDATKÉSZÍTÉS SZERVETLEN ALAPANYAGOK ISMERETE, OLDATKÉSZÍTÉS ESETFELVETÉS MUNKAHELYZET Az eredményes munka szempontjából szükség van arra, hogy a kozmetikus, a gyakorlatban használt alapanyagokat ismerje, felismerje

Részletesebben

Név:. Dátum: 2013... 01a-1

Név:. Dátum: 2013... 01a-1 Név:. Dátum: 2013... 01a-1 Ezeket a szorzásokat a fejben, szorzótábla nélkül végezze el! 1. Mennyi 3 és 3 szorzata?.. 2. Mennyi 4 és 3 szorzata?.. 3. Mennyi 4 és 4 szorzata?.. 4. Mennyi 5 és 3 szorzata?..

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Az oldatok összetétele

Az oldatok összetétele Az oldatok összetétele Az oldatok összetételét (töménységét) többféleképpen fejezhetjük ki. Ezek közül itt a tömegszázalék, vegyes százalék és a mólos oldat fogalmát tárgyaljuk. a.) Tömegszázalék (jele:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT II. 135 perc A feladatok megoldására 135 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II/B

Részletesebben

Felkészítés szakmai vizsgára. 1163-06 modulhoz. II/14. évfolyam

Felkészítés szakmai vizsgára. 1163-06 modulhoz. II/14. évfolyam Felkészítés szakmai vizsgára informatika területre Felkészítés szakmai vizsgára informatika területre 1163-06 modulhoz II/14. évfolyam tanári kézikönyv A TISZK rendszer továbbfejlesztése Petrik TISZK TÁMOP-2.2.3-07/1-2F-2008-0011

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA tankönyv ötödikeseknek címû tankönyvéhez A heti 3 óra, évi 111 óra B heti 4 óra, évi 148 óra Javaslat témazáró dolgozatra: Dr. Korányi Erzsébet: Matematika

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

a) 4,9 g kénsavat, b) 48 g nikkel(ii)-szulfátot, c) 0,24 g salétromsavat, d) 65 g vas(iii)-kloridot?

a) 4,9 g kénsavat, b) 48 g nikkel(ii)-szulfátot, c) 0,24 g salétromsavat, d) 65 g vas(iii)-kloridot? 2.2. Anyagmennyiség-koncentráció 1. Hány mol/dm 3 koncentrációjú az az oldat, amelynek 200 cm 3 -ében 0,116 mol az oldott anyag? 2. 2,5 g nátrium-karbonátból 500 cm 3 oldatot készítettünk. Számítsuk ki

Részletesebben

Kompetenciaalapú mérés 2009/2010. M A T E M A T I K A 9. é v f o l y a m A változat

Kompetenciaalapú mérés 2009/2010. M A T E M A T I K A 9. é v f o l y a m A változat Az iskola Az osztály neme: Kompetenciaalapú mérés 2009/2010. M A T E M A T I K A 9. é v f o l y a m A változat Az iskola bélyegzője: Az MFFPPTI nem járul hozzá a feladatok részben vagy egészben történő

Részletesebben

Felkészítés szakmai vizsgára. 1144-06 modulhoz. II/14. évfolyam

Felkészítés szakmai vizsgára. 1144-06 modulhoz. II/14. évfolyam Felkészítés szakmai vizsgára informatika területre Felkészítés szakmai vizsgára informatika területre 1144-06 modulhoz II/14. évfolyam tanári kézikönyv A TISZK rendszer továbbfejlesztése Petrik TISZK TÁMOP-2.2.3-07/1-2F-2008-0011

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz)

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz) 6. OSZTÁLY Óraszám 1. 1. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése a 6. osztály anyagából Tk. 13/elsõ mintapélda 42/69 70. 96/elsõ mintapélda 202/16. 218/69. 2 3. 2 3. Halmazok Ismétlés (halmaz

Részletesebben

Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli

Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli I. rész 1. Mivel egyenlő ( x 3) 2, ha x tetszőleges valós számot jelöl? A) x 3 B) 3 x C) x 3 2. Mekkora az a és b szöge az ábrán látható

Részletesebben

1 m = 10 dm 1 dm 1 dm

1 m = 10 dm 1 dm 1 dm Ho szúságmérés Hosszúságot kilométerrel, méterrel, deciméterrel, centiméterrel és milliméterrel mérhetünk. A mérés eredménye egy mennyiség 3 cm mérôszám mértékegység m = 0 dm dm dm cm dm dm = 0 cm cm dm

Részletesebben

4. évfolyam A feladatsor

4. évfolyam A feladatsor Név: 4. évfolyam A feladatsor Osztály: Kedves Vizsgázó! Olvasd el figyelmesen a feladatokat, gondold át a megoldások menetét! Eredményes, sikeres munkát kívánunk!. a) Írd le számjegyekkel! Rendezd a számokat

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó. Második félév. Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó. Második félév. Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó Második félév Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 SZORZÁS ÉS OSZTÁS -VEL Mesélj a képrõl! Hány kerékpár és kerék van a képen?

Részletesebben

1. feladat Összesen: 15 pont. 2. feladat Összesen: 10 pont

1. feladat Összesen: 15 pont. 2. feladat Összesen: 10 pont 1. feladat Összesen: 15 pont Vizsgálja meg a hidrogén-klorid (vagy vizes oldata) reakciót különböző szervetlen és szerves anyagokkal! Ha nem játszódik le reakció, akkor ezt írja be! protonátmenettel járó

Részletesebben

MATEMATIKA VERSENY --------------------

MATEMATIKA VERSENY -------------------- Eötvös Károly Közös Fenntartású Általános Iskola 2013. és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény 831 Vonyarcvashegy, Fő u. 8/1. 2. osztály MATEMATIKA VERSENY -------------------- név Olvasd el figyelmesen,

Részletesebben

Feladatgyűjtemény matematikából

Feladatgyűjtemény matematikából Feladatgyűjtemény matematikából 1. Pótold a számok között a hiányzó jelet: 123: 6 a 45:9.10 2. Melyik az a kifejezés, amelyik 2c-7 tel nagyobb, mint a 3c+7 kifejezés? 3. Határozd meg azt a legnagyobb természetes

Részletesebben

Szerb Köztársaság OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUM OKTATÁSI ÉS NEVELÉSI MINŐSÉGELLENŐRZŐ INTÉZET

Szerb Köztársaság OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUM OKTATÁSI ÉS NEVELÉSI MINŐSÉGELLENŐRZŐ INTÉZET Szerb Köztársaság OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUM OKTATÁSI ÉS NEVELÉSI MINŐSÉGELLENŐRZŐ INTÉZET FELADATOK AZ ÁLTALÁNOS OKTATÁS ÉS NEVELÉS ZÁRÓVIZSGÁJÁRA a 2011/2012-es tanévben TESZT 1 matematikából

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

OECD adatlap - Tanmenet

OECD adatlap - Tanmenet OECD adatlap - Tanmenet Iskola neve: IV. Béla Általános Iskola Iskola címe: 3664, Járdánháza IV. Béla út 131. Tantárgy: Matematika Tanár neve: Lévai Gyula Csoport életkor (év): 13 Kitöltés dátuma 2003.

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Matematika (alsó tagozat)

Matematika (alsó tagozat) Matematika (alsó tagozat) Az értékelés elvei és eszközei A tanév során az értékelés alapja a tanulók állandó megfigyelése. Folyamatos fejlesztő célzatú szóbeli értékelés visszajelzést ad a tanuló számára

Részletesebben

Laboratóriumi munkához szükséges alapvető kémiai számítások

Laboratóriumi munkához szükséges alapvető kémiai számítások Oktatási segédanyag Petőcz György Laboratóriumi munkához szükséges alapvető kémiai számítások A KÉMIAI KÉPLETEK A képletek (a tapasztalati, a molekula- és a szerkezeti képletek) egyszerű és egyértelmű

Részletesebben

Százalék, ötvözet, keverék számolás

Százalék, ötvözet, keverék számolás Százalék, ötvözet, keverék számolás 1) Egy pár cipő ára 270 Lei. Mivel nagyon fogyott, megemelték az árát 20%-kal. De így már nem fogyott annyira és úgy döntöttek, hogy leszállítják az árát 20%-kal. Mennyi

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

835 + 835 + 835 + 835 + 835 5

835 + 835 + 835 + 835 + 835 5 Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 20/20 II. forduló. A macska és az egér jobbra indulnak el. Ha az egér négyzetet ugrik, akkor a macska 2 négyzetet lép előre. Melyik négyzetnél éri utol a macska az

Részletesebben

XY_TANULÓ FELADATSOR 8. ÉVFOLYAM MATEMATIKA

XY_TANULÓ FELADATSOR 8. ÉVFOLYAM MATEMATIKA XY_TNULÓ FELTSOR 8. ÉVFOLYM MTEMTIK 1. feladat: akkumulátor mc006 Egy mobiltelefon akkumulátorának töltöttségi állapota a következőképpen változott két nap leforgása alatt. Habekapcsoljuk,denemhasználjuk,48óraalattmerülleteljesenatelefon.Folyamatoshasználatban

Részletesebben

I. ANALITIKAI ADATOK MEGADÁSA, KONVERZIÓK

I. ANALITIKAI ADATOK MEGADÁSA, KONVERZIÓK I. ANALITIKAI ADATOK MEGADÁSA, KONVERZIÓK I.2. Konverziók Geokémiai vizsgálatok során gyakran kényszerülünk arra, hogy különböző kémiai koncentrációegységben megadott adatokat hasonlítsunk össze vagy alakítsuk

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. november 5. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint, jól követhetően

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN Az Excelben az egyszerű adatok bevitelén kívül számításokat is végezhetünk. Ezeket a cellákba beírt képletek segítségével oldjuk meg. A képlet: olyan egyenlet, amely a munkalapon

Részletesebben

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2.

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2. Pénzügyi számítások 2015. december 2. 1. ÁFA Nettó ár= Tiszta ár, adót nem tartalmaz, Bruttó ár=fogyasztói ár=adóval terhelt érték= Nettó ár+ ÁFA A jelenlegi ÁFA a nettó ár 27%-a. Összefüggések: bruttó

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 00. május-június MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Vizsgafejlesztő Központ Kedves Kolléga! Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével.

Részletesebben

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott

Részletesebben

Szakközépiskola 9. évfolyam. I/1 gyakorló feladatsor

Szakközépiskola 9. évfolyam. I/1 gyakorló feladatsor Szakközépiskola 9. évfolyam I/1 gyakorló feladatsor 1. Adott az A={1,,3,4,5,6} és a B={1,3,5,7,9} halmaz. Adjuk meg elemeinek felsorolásával az AUB és az A\B halmazokat!. Számítsuk ki a 40 és 560 legnagyobb

Részletesebben

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4 2012. február 2. 8. évfolyam TMat2 feladatlap Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATOK 8. évfolyamosok számára, tehetséggondozó változat TMat2 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget!

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget! Matematika vizsga 014. 9. osztály Név: Az 1-1. feladatok megoldását a feladatlapra írd! A 1-19. feladatokat a négyzetrácsos lapon oldd meg! 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! 0, = = p

Részletesebben

Matematika kisérettségi

Matematika kisérettségi Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.

Részletesebben

Vegyjel, képlet 1. Mi az alábbi elemek vegyjele: szilicium, germánium, antimon, ón, rubidium, cézium, ólom, kripton, szelén, palládium

Vegyjel, képlet 1. Mi az alábbi elemek vegyjele: szilicium, germánium, antimon, ón, rubidium, cézium, ólom, kripton, szelén, palládium Vegyjel, képlet 1. Mi az alábbi elemek vegyjele: szilicium, germánium, antimon, ón, rubidium, cézium, ólom, kripton, szelén, palládium 2. Mi az alábbi elemek neve: Ra, Rn, Hf, Zr, Tc, Pt, Ag, Au, Ga, Bi

Részletesebben

Jelenlegi életkor Életkor 11 év múlva Anya x x + 11 Gyermek x 29 x 29 + 11 = x 18

Jelenlegi életkor Életkor 11 év múlva Anya x x + 11 Gyermek x 29 x 29 + 11 = x 18 Szöveges feladatok Életkori feladatok. Feladat. Egy anya 29 éves volt, amikor a a született. év múlva az életkora évvel lesz kevesebb, mint a a akkori életkorának kétszerese. Hány évesek most? Megoldás.

Részletesebben

PYTAGORIÁDA Az országos forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév. Kategória P 6

PYTAGORIÁDA Az országos forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév. Kategória P 6 Kategória P 6 1. Írjátok le azt a számot, amely a csillag alatt rejtőzik: *. 5 = 9,55 2. Babszem Jankó 25 ször kisebb, mint Kukorica Jancsi. Írjátok le, hogy hány centiméter Babszem Jankó, ha Kukorica

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

Hevesy György Kémiaverseny. 8. osztály. megyei döntő 2003.

Hevesy György Kémiaverseny. 8. osztály. megyei döntő 2003. Hevesy György Kémiaverseny 8. osztály megyei döntő 2003. Figyelem! A feladatokat ezen a feladatlapon oldd meg! Megoldásod olvasható és áttekinthető legyen! A feladatok megoldásában a gondolatmeneted követhető

Részletesebben

Dudás Gabriella Hetényiné Kulcsár Mária Machánné Tatár Rita Sós Mária. sokszínû. 5 gyakorló. kompetenciafejlesztõ munkafüzet. 2.

Dudás Gabriella Hetényiné Kulcsár Mária Machánné Tatár Rita Sós Mária. sokszínû. 5 gyakorló. kompetenciafejlesztõ munkafüzet. 2. Dudás Gabriella Hetényiné Kulcsár Mária Machánné Tatár Rita Sós Mária sokszínû gyakorló kompetenciafejlesztõ munkafüzet. kötet Mozaik Kiadó Szeged, Színesrúd-készlet. Törtek bõvítése és egyszerûsítése

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

Excel Hivatkozások, függvények használata

Excel Hivatkozások, függvények használata Excel Hivatkozások, függvények használata 1. Fejezet Adatok, képletek, függvények Adatok táblázat celláiba írjuk, egy cellába egy adat kerül lehet szám, vagy szöveg * szám esetén a tizedes jegyek elválasztásához

Részletesebben

Szöveges feladatok és Egyenletek

Szöveges feladatok és Egyenletek Szöveges feladatok és Egyenletek Sok feladatot meg tudunk oldani következtetéssel, rajz segítségével és egyenlettel is. Vajon mikor érdemes egyenletet felírni? Van-e olyan eset, amikor nem tanácsos, vagy

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Érettségi feladatok: Sorozatok

Érettségi feladatok: Sorozatok Érettségi feladatok: Sorozatok 2005. május 10. 8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Részletesebben

1. feladat Összesen: 18 pont. 2. feladat Összesen: 9 pont

1. feladat Összesen: 18 pont. 2. feladat Összesen: 9 pont 1. feladat Összesen: 18 pont Különböző anyagok vízzel való kölcsönhatását vizsgáljuk. Töltse ki a táblázatot! második oszlopba írja, hogy oldódik-e vagy nem oldódik vízben az anyag, illetve ha reagál,

Részletesebben

A felmérési egység kódja:

A felmérési egység kódja: A felmérési egység lajstromszáma: 0108 ÚMFT Programiroda A felmérési egység adatai A felmérési egység kódja: A kódrészletek jelentése: Aterköz//50/Rea//Ált Agrár közös szakképesítés-csoportban, a célzott,

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

V átlag = (V 1 + V 2 +V 3 )/3. A szórás V = ((V átlag -V 1 ) 2 + ((V átlag -V 2 ) 2 ((V átlag -V 3 ) 2 ) 0,5 / 3

V átlag = (V 1 + V 2 +V 3 )/3. A szórás V = ((V átlag -V 1 ) 2 + ((V átlag -V 2 ) 2 ((V átlag -V 3 ) 2 ) 0,5 / 3 5. gyakorlat. Tömegmérés, térfogatmérés, pipettázás gyakorlása tömegméréssel kombinálva. A mérési eredmények megadása. Sóoldat sőrőségének meghatározása, koncentrációjának megadása a mért sőrőség alapján.

Részletesebben

Az 2009/2010. tanévi ORSZÁGOS KÖZÉPISKOLAI TANULMÁNYI VERSENY első (iskolai) fordulójának. feladatmegoldásai K É M I Á B Ó L

Az 2009/2010. tanévi ORSZÁGOS KÖZÉPISKOLAI TANULMÁNYI VERSENY első (iskolai) fordulójának. feladatmegoldásai K É M I Á B Ó L Oktatási Hivatal Az 009/010. tanévi ORSZÁGOS KÖZÉPISKOLAI TANULMÁNYI VERSENY első (iskolai) fordulójának feladatmegoldásai K É M I Á B Ó L Az értékelés szempontjai Egy-egy feladat összes pontszáma a részpontokból

Részletesebben

Matematikaóra-tervezet

Matematikaóra-tervezet Matematikaóra-tervezet "Mondd el és elfelejtem; Mutasd meg és megjegyzem; Engedd, hogy csináljam és megértem." (Kung Fu-Ce) Készítette: Horváth Judit Osztály: 3. osztály (év vége) Tantárgy: matematika

Részletesebben

térképet, és válaszolj a kérdésekre római számokkal!

térképet, és válaszolj a kérdésekre római számokkal! A római számok 1. Budapesten a kerületeket római számokkal jelölik. Vizsgáld meg a térképet, és válaszolj a kérdésekre római számokkal! Hányadik kerületben található a Parlament épülete? Melyik kerületbe

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Mechatronika Modul 1: Alapismeretek

Mechatronika Modul 1: Alapismeretek Mechatronika Modul : Alapismeretek Oktatói segédlet (Elképzelés) Készítették: Matthias Römer Chemnitz-i Műszaki Egyetem, Szerszámgépek és Gyártási Folyamatok Intézete, Németország Cser Adrienn Corvinus

Részletesebben

A valós szükségleteknek megfelelő fogyasztói magatartás fejlesztése

A valós szükségleteknek megfelelő fogyasztói magatartás fejlesztése A valós szükségleteknek megfelelő fogyasztói magatartás fejlesztése diákmelléklet ÉN ÉS A VILÁG 5. évfolyam 77 D1 Magyar pénzek Ki vagy mi látható az egyes magyar pénzérméken, bankjegyeken? Írd a pontozott

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május MATEMATIKA EMELT SZINT 240 perc A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben

Részletesebben

FEJSZÁMOLÁS A TÍZEZRES SZÁMKÖRBEN A KÉTJEGYŰEKKEL ANALÓG ESETEKBEN. AZ ÖSSZEADÁS ÉS KIVONÁS MONOTONITÁSA. 5. modul

FEJSZÁMOLÁS A TÍZEZRES SZÁMKÖRBEN A KÉTJEGYŰEKKEL ANALÓG ESETEKBEN. AZ ÖSSZEADÁS ÉS KIVONÁS MONOTONITÁSA. 5. modul Matematika A 4. évfolyam FEJSZÁMOLÁS A TÍZEZRES SZÁMKÖRBEN A KÉTJEGYŰEKKEL ANALÓG ESETEKBEN. AZ ÖSSZEADÁS ÉS KIVONÁS MONOTONITÁSA 5. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 5. modul FEJSZÁMOLÁS

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

2. Rugalmas állandók mérése jegyzőkönyv javított. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma:

2. Rugalmas állandók mérése jegyzőkönyv javított. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma: 2. Rugalmas állandók mérése jegyzőkönyv javított Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: 2008. 09. 17. Leadás dátuma: 2008. 10. 08. 1 1. Mérések ismertetése Az első részben egy téglalap keresztmetszetű

Részletesebben

5. évfolyam. Gondolkodási módszerek. Számelmélet, algebra 65. Függvények, analízis 12. Geometria 47. Statisztika, valószínűség 5

5. évfolyam. Gondolkodási módszerek. Számelmélet, algebra 65. Függvények, analízis 12. Geometria 47. Statisztika, valószínűség 5 MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

g) 42 kg sót 2400 kg vízben oldottunk. Mennyi az oldatok tömegszázalékos összetétele?

g) 42 kg sót 2400 kg vízben oldottunk. Mennyi az oldatok tömegszázalékos összetétele? Tömegszázalékos összetétel A sűrűségét, ahol nincs megadva, 1,000 g/cm 3 -nek vegyük! 1. 300 g oldat 30 g oldott anyagot tartalmaz. Milyen tömegszázalékos összetételű oldat keletkezett? Hány gramm vizet

Részletesebben

Megoldások IV. osztály

Megoldások IV. osztály Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely, 2015. március 20-22. Megoldások IV. osztály 1. Számkeresztrejtvény: Az alábbi keresztrejtvény ábra abban különbözik a hagyományos keresztrejtvényektől, hogy

Részletesebben