Rugalmas inga Bevezetés T=2π CNC 100 khz 10 μs A mérési adatok értelmezése T[ms] m[g] hibás mérések

Átírás

1 Rugalmas inga A feladat ajánlójána megoldása Bevezetés. A feladat iírásában nem fogalmaztá meg a övetelményeet, de a ísérlet bemutatásaor mégis adta egy ötletet: lehetséges, hogy az isolában tanult elmélete itt nem alalmazható teljes mértében, hiszen ezeet egyszerűsített modelle alapján vezetté le. Mivel a jól ismert T=2π m/ perióduséplet igen egyszerű, esetleg hiányozhat belőle egy eddig elhanyagolt tag. Az elméleti számításoban azt a tényt eddig nem vettü figyelembe, hogy a a rugót nem jellemzi teljes egészében. Egyenletes teercselés esetében, a rugó anyagi pontjai sebességéne eloszlása lineárisan változi a rugó tengelye mentén. Ebben az esetben iszámíthatju a rugó mindegyi pontjána a sebességét. Meg ell találnun enne az energiána az eredetét, mert az energiatranszfer befolyásolhatja a rezgés periódusát. Mindeze ellenére a éplet az isolai laboratóriumo lehetőségeine megfelelő pontosságú értéet ad, a papír meg úgyis mindent ibír. Az isolán fiziai laboratóriumában (Fizium), még a 90-es éve legelején egy CNC (Computer Numerical Control) időmérőrendszert fejlesztettem i, a 100 Hz-es varcból származó feloldóépessége 10 μs, a periódusoat ezzel mértem. A rugóra aasztott nehezée tömegét egy 0,1 g feloldóépességű eletronius mérleggel mértem meg. A ét mérés pontossága elégséges volt a laborgyaorlat sieres elvégzéséhez. A mérési adato értelmezése. A fizius mérései befejeztével, íváncsiságból, még az SI-re való áttérés előtt megrajzolja a mérésből származó grafionoat. Számára eze a grafiono többet mondana, mint bármely, esetleg egyszerűsített alapoon nyugvó elmélet. A baloldali grafionon látható a rezgés T[ms] periódusána függése az X rugóra aasztott test m[g] tömegétől. Látszólag a periódus arányos az m[g] tömeg gyöével, az ordináta pedig érintője a meghosszabbított illesztőgörbéne. Minden úgy van, mint az isolai elméletben! Mégis van egy pici ülönbség: a özelítő hatványfüggvény itevője isebb, mint 1/2, ami a négyzetgyöne felelne meg. Helytelenül mondhatnán: hibás mérése. Nem, itt másról van szó! Ha a rugalmas inga periódusát a nehezé tömegéne négyzetgyöe függvényében ábrázolnán, aor az origón áthaladó egyenest ellene apnun. A jobboldali grafionon az illesztőgörbe egy töéletes egyenes. Egyenesről lévén szó, meghosszabbítottam az origóig. Meglepődésemre, az egyenes nem halad át az origón!

2 Ez azt jelenti, hogy a rugó a ráaasztott nehezé nélül is rezegne, amit ísérletileg is ellenőriztem. Eze szerint van egy figyelmen ívül hagyott tehetetlenség, amelyet nem tudun elerülni! Feltételezzü, hogy a rugó ezzel a tehetetlenséggel szegül ellen a részecséi sebessége megváltoztatásána. Ezt az egyenértéű tehetetlenséget hozzá ell adnun a nehezé m tömegéhez, és meg is ell határoznun az értéét. Jelölje μ ezt az egyenértéű tehetetlenséget, eor a periódus éplete így alaul: T = 2π m+μ [1] Ebben a épletben nem tudju szétválasztani a ét tehetetlenséget, ezért az előbbieben a T ábrázolása a nehezé tömege négyzetgyöéne függvényében ( m) nem vezethet a μ egyenértéű tehetetlenség és a rugóállandó egyidejű meghatározásához. Ha az [1] egyenletet négyzetre emeljü, aor egy egyenest apun m-ben, az iránytényező tartalmazza a rugó rugóállandóját (), a szabadtag pedig a rugó egyenértéű tehetetlenségét (μ): T 2 = 4π2 m + 4π2 μ [2] A ét ismeretlent töéletesen szétválaszthatju a T 2 = a m + b egyenlet együtthatóiból: 4π 2 = a = 4π2 a 4π 2 μ = b μ = b/a [4] [3] Ez a három grafion a T 2 [s 2 ] = f(m[g]) függvényt ábrázolja, ahol T az inga periódusa, m a nehezé tömege. A grafionoat rendre megszeresztettem az X és Y rugóból létrejött ingára, valamint a ét rugó párhuzamos ötéséből létrejött rugalmas ingára. A rugóállandóat a [3]-as éplet segítségével számolju i, a értésávját statisztiai módszereel aptam meg, a rugóállandó értésávja százaléban: δ x = ±0,79%; δ y = ±0,63%; δ xpy = ±0,30%. X rugó: x = 11,28 N/m ± 0,0896 N/m; Y rugó: y = 14,62 N/m ± 0,0926 N/m; XpY rugó: xpy = 25,99 N/m ± 0,0790 N/m, ahol δ = ±Δ/ 100%.

3 Az egyenértéű tehetetlenség iszámítása. Anélül, hogy érdeelne a tehetetlenség természete, az illesztőegyenes szabadtagjából iszámíthatju enne a tehetetlensége az értéét: X rugó: μ x = 10,00 g ±1,81 g; δμ x = ±18,1%; ahol δμ x = Δμ x /μ x 100% Y rugó: μ y = 8,79 g ±1,43 g; δμ y = ±16,3%; ahol δμ y = Δμ y /μ y 100% XpY rugó: μ xpy = 18,60 g ±0,72 g; δμ xpy = ±3,9%; ahol δμ xpy = Δμ xpy /μ xpy 100% Az egyenértéű tehetetlenség analitius formája. Ez a tehetetlenség egyaránt jelentezi a rugó megnyúlásaor, vagy összenyomásaor, a változás irányától függetlenül. Az m R tömegű és L hosszúságú rugó egyi vége rögzített, a mási v pillanatnyi sebességgel mozog. A rögzített végtől valahol x távolságra levő dm elemi tömeg pillanatnyi sebessége u, ez függ a dmne a rugóban levő helyzetétől. A rugóelem elemi mozgási energiája de c : dec = dm u 2 /2 [5] A dm elemi tömeg egy (nagyon) ferde henger, melyne szélessége dx, ez bárhol lehet a rugó mentén (a tömeg egyenlőtlen eloszlása nem befolyásolja a dm elemi tömeg méretét): dm = m R dx/l [6] Feltételezzü, hogy a rugót egyenletesen teercselté. Ebben az esetben, amennyiben a szabad vég pillanatnyi sebessége v, a dm elemi tömeg sebessége arányos lesz x/l-lel. u = v x/l [7] A tömegelem értéét [6] és anna sebességét [7] behelyettesítjü az [5] egyenletbe: de c = 1 2 mrv 2 L 3 x 2 dx [8] A rugó mozgási energiáját az elemi de c energiána [8] a rugó L hosszában való integrálásával apju meg: L E c = 1 mrv 2 x 2 dx 2 0 L 3 Az integrálás elvégzése után megapju az egyi pontban rögzített rugó pillanatnyi teljes mozgási energiáját: E c = 1 2 mr 3 v2 [10] Ha a rugó tömegeloszlása egyenletes (a menetöz állandó), aor a rugó μ egyenértéű tehetetlensége a rugó m R tömegéne egyharmada, függetlenül a mozgás irányától. [9] μ = m R 3 [11] A rezgés periódusa. Figyelembe véve a rendszerre ható összes erőt, felírju a dinamia másodi törvényét. Ahhoz, hogy önnyebben láthatóa legyene az egyes hatóerő, a melléelt ábrán a övetező helyzeteben ábrázoltam a rugót: a. Az L atív hosszúságú rugó vízszintes. Az alsó aasztó tömegét a nehezé részéne teintjü. Mivel a rugó nyugalomban van, nincsene rugalmassági erő (F ea = 0).

4 b. A rugó a saját súlya alatt megnyúli. Az elemzésor a felső aasztótól indulun, az aasztó és az elemezett pont özötti rugót a pont alatti rugó súlya nyújtja meg. A ezdetben ez az erő m R g, a végén pedig zérus lesz. Feltételezzü az egyenletes teercselést, így az elemi megnyúláso összeadása helyett elfogadju, hogy a rugót az (mrg+0)/2 átlagerő nyújtotta meg. Egy nagyon icsi F eb rugalmassági (elasztius) erő jeleni meg, amely egyenlő a rugó súlyána a felével. c. Az m tömegű testet ráaasztju a rugóra. Mivel az aasztóna nincs rugalmassági tulajdonsága, a tömegét hozzáadju a nehezé tömegéhez, a felső aasztó azonban nem vesz részt a rezgésben. A rendszer egyensúlyban van, a nehezé és az aasztó együttes súlypontját egy is ereszt jelzi, az EQ egyenes az egyensúlyi vonalat mutatja. A súlypont d távolságra van a rugó legalsó pontjától. Felírhatju az erő egyensúlyát: ( m R 2 + m) g (δl + ΔL) = 0 [12] Az EQ vonal a rezgés leírásána referenciája lesz, de a viszonyítási rendszert a rugó felső pontjához ötjü. Ebben a rendszerben az EQ ordinátája: h EQ = L + δl + ΔL + d [13] d. F erővel meghúzzu a nehezéet, anna súlypontja az EQ-hoz épest A-val megereszedi. e. Amior elengedjü a testet, a rugalmassági erő nagyobb, mint az egyensúlynál volt, egy visszaállító erő alaul i, rezgés eletezi. A rendszer 0 eredőjéhez épest a súlypont h távolságra lesz. h = L + δl + ΔL + d + z [14] Behelyettesítjü a [13] ifejezést a [14]-be, és megapju a nehezé helyzetét az EQ vonalhoz épest: z = h h EQ [15] Összeadju a testre ható összes erőt, és felírju a dinamia másodi törvényét: (m + m R ) a = mg + m Rg (δl + ΔL + z) [16] 3 2 A [12] egyenletet behelyettesítjü a [16]-ba, az egyszerűsítése és az a = d2 z dt2 behelyettesítés után ezt apju: (m + m R ) d2 z 3 dt2 = z [17] A [17] egyenlet egy állandó együtthatójú, másodrendű, homogén differenciálegyenlet, amelyet önnyen megoldun a partiuláris megoldáso megtalálásával. A partiuláris megoldást a z = e rt formában eressü, ahol az r egy fiziai értelem nélüli segédváltozó. Kiszámítju a deriváltaat és behelyettesítjü a [17]-be: dz dt = rert şi d 2 z dt 2 = r2 e rt [18] (m + m R 3 ) r2 e rt + e rt = 0 [19] Mivel az e rt ifejezés nem lehet zérus, leegyszerűsítjü. Végigosztun (m + m R )-mal, és egyelőre magyarázat nélül ω 2 -tel jelöljü a /(m+m R /3) ifejezést, 3 azaz: ω 2 = (m+ m R 3 ) [20] Megaptu a [17] differenciálegyenlet araterisztius egyenletét: r 2 + ω 2 =0 [21] Az ω 2 jelölés látszólag hibás, mert ét négyzet összege nem lehet zérus. A araterisztius egyenlet ét gyöe ét partiuláris megoldást fog adni, eze lineáris ombinációja pedig a differenciálegyenlet általános

5 megoldását. Ha elfogadju, hogy az egyenlet gyöei lehetne imagináriusa is, aor a lineáris ombináció egy harmonius függvényhez (sin, cos) vezethet, azaz harmonius oszcillátorun lesz. Az ω 2 előtti + jelne ülönleges fontossága van. Ez a jel csa aor lesz pozitív, ha a [17] egyenletben a előjele negatív, vagyis a visszaállító erő ellentétes a z itéréssel. Ha ráadásul a állandó, aor a rezgés harmonius lesz. Elfogadju az értelmetlenne tűnt ω 2 jelölést, és iszámítju a [21]-es egyenlet ét imaginárius gyöét: r 1 = +jω; şi r 2 = -jω [22] Megapju a differenciálegyenlet ét partiuláris megoldását: z 1 = e +jωt şi z 2 = e jωt [23] Az általános megoldást a ét partiuláris megoldás lineáris ombinációjából állítju elő: z = C 1 e +jωt + C 2 e jωt [24] Ez egy aármilyen folyamatot leíró differenciálegyenlet általános megoldása. A harmonius oszcillátor leírásához ezt az egyenletet ét időpontban illesztenün ell a fiziai folyamatra. Egy mási lehetőség az, hogy találjun ét fiziai mennyiséget, amelyne ismerjü az értéét t = 0 időpontban. Ezt az utóbbit választju, és iszámítju a itérést és a sebességet a ezdő időpontban. Ha t =0, a itérés éppen az A amplitúdó lesz: A = C 1 + C 2 [25] Kiszámítju a itérés első deriváltját (a sebesség): v=dz/dt dz dt = jωc 1e +jωt jωc 2 e jωt [26] A ezdeti időpontban a sebesség zérus. Egyszerűsítün a biztosan pozitív ω-val, majd a j-vel, ezt apju: 0 = C 1 C 2 [27] A [25] és [27] egyenleteből övetezi a C 1 = C 2 = A/2, ezt behelyettesítjü a [24]-be: z = A e+jωt +e jωt 2 ahol a tört éppen a cos ωt, vagyis megapju a rezgésegyenletet: [28], z = A cos ωt [29] Valami teljesen ismeretlent ω 2 -tel jelöltün, ez még nem jelenti azt, hogy az ω a rezgés örfrevenciája. Megeressü azt a ét időpontot, amelyne 2π szögülönbség felel meg, ez a t 2 -t 1 lesz a rezgés periódusa: ωt 2 - ωt 1 = 2π; T = t 2 - t 1; T = 2π/ω [30] A [20] és [30] egyenleteből megapju a rugalmas inga periódusát (az egyenletesen teercselt rugóra): T = 2π m+m R 3 [31] A rugó tömegéne ellenőrzése. Az m R = 3μ éplet csa a töéletesen egyenletes tömegeloszlású rugó esetében érvényes. Az m R /3 a rugó dinamius (tehetetlenségi) tömege, amely az egyi végén rögzített rugóna a tengelyirányú állapotváltozásoal szembeni ellenszegülését jellemzi. A rendszer egyensúlyi helyzetében ([12] egyenlet) a gravitációs tömeg szerepelt, ezt meg is mértü az eletronius mérleggel. X rugó: m Rx = 3μ x = 30,00 g, m Rxmérleg = 19,4 g L xnyugalmi = 275 mm N x =114 Y rugó: m Ry = 3μ y = 26,38 g, m Rymérleg = 24,6 g L ynyugalmi = 193 mm N y =144 XpY rugó: m Rxpy = 3μ xpy = 55,81 g, m Rxpymérleg = 44,0 g A tehetetlenségi tömeg meghatározása nagyon jó, ez megfigyelhető a rugó párhuzamos apcsolásaor létrejött hibánál: ε = (m Rx + m Ry - m Rxpy )/m Rxpy 100 = 1,02%. Az X rugó esetében látszi legjobban az egyenet-

6 len tömegeloszlás hatása. Az X rugó dinamius tömege 50 %-al nagyobb a mérleggel mért tömeghez épest, de a csoportosításnál fellépő hiba csa 1,02%, azaz megfelelő a tehetetlenségi tömeg mérési módszere. Hibaforráso. Az alalmazott mérőrendszer soal performánsabb a szüségesnél. Éppen ez a precizitás tette lehetővé olyan jelensége detetálását, amelyeet az egyszerűsített elmélet elhanyagolt. Még maradta ülönböző rendszerhibá, egyeseet próbáltam lecsöenteni. Íme, néhány megmaradt hibaforrás: A mérése száma (13) evés, az adatfeldolgozás megönnyítése végett, orlátoztam. A differenciálegyenlet megoldásána önnyítése. A [17] egyenletet állandó együtthatójú egyenletne vettem. Ez csa a nagyon icsi amplitúdó esetében realizálódi, mert csa ilyenor erülhetjü el a rugóállandó változását a itéréssel. Ha az amplitúdó nagy, a rezgés már nem harmonius, az egyenletet nehéz megoldani, ha enne ellenére harmoniusna vesszü, aor nagy hiba eletezi. Mechaniailag az amplitúdót 10 mm-re orlátoztam. Függőleges rezgése. Egy megfogó eletromágnest alalmaztam (lásd a melléelt ábrát), enne egy is rögzítő fésze van. Amior az eletromágnes iapcsol, a nehezé függőleges rezgéseet végez, még rezgés után is. Az eletromágnes remanenciája. A legerősebb hibaforrás. A remanencia hatásána egy elsődleges csöentését az eletromágnes és a nehezé özötti távolság legnagyobb értééne beszabályozásával értem el. A sárgaréz anya nagyon finom menetű. Még van egy szabályozási lépcső: ésleltetem a periódusmérés ezdetét, így a test eltávolodi az eletromágnestől, özben a remanencia is csöen. Az első másodperceben ellenőrizhetjü a rezgés függőlegességét, ha nem felel meg, megállítju a ísérletet, így elerülün egy rossz mérést. Az X rugó menetei alul összetömörülte, vagyis nőtt az egyenértéű tehetetlenség. Nem érdeel a gravitációs tömeg ilyenszerű mérése, az állandó, de a ritább menete erőteljesebb igénybevétele befolyásolhatja a rugóállandó értéét. Követeztetése. A laborgyaorlat elsődleges célja a valóság és az egyszerűsített modelle alapján levezetett törvénye özötti ellentmondáso megtalálása volt. Megvizsgáltu azoat az ooat, amelye a perióduséplet alalmazását orlátozzá, és csa a rugalmas inga periódusa nagyságrendjéne meghatározását teszi lehetővé. Kifejlesztettün egy módszert, amely a rugóállandó dinamius mérését és a rugó dinamius tehetetlenségéne a meghatározását teszi lehetővé. A rugóállandó meghatározásána a szórása 0,80% alatti. Egy egyenletesen teercselt rugóval meghatározható lenne a dinamius rugóállandó linearitásána változása (lásd a fenti, majdnem ész eszözt). Az egyenértéű tehetetlenség meghatározásána a hibája nagyobb 10%-nál, vagyis az illesztőegyenes függőleges szabadsága elég nagy. Másént es az időmeghatározáso pontatlanságára vall. Mivel ez igen jó, felvetődi a periódus egyenlőtlensége, nagyszámú méréssel ez a hiba csöenthető lenne. dr. Bartos-Elees István