5. Deriválható függvények A derivált értelmezése A derivált mértani jelentése Műveletek deriválható függvényekkel...

Átírás

1

2 Tartalomjegyzék GEOMETRIA 1 Vektorok 1 11 Irányított szakaszok Vektorok 1 1 Műveletek vektorokkal 3 13 Kollineáris vektorok 6 14 Helyzetvektor 8 15 Párhuzamosság, összefutás, kollinearitás Skaláris szorzás 14 Analitikus geometria 18 3 Trigonometria 7 31 A trigonometria elemei 7 3 Trigonometrikus egyenletek Trigonometria síkmértani alkalmazásai 39 MATEMATIKAI ANALÍZIS 1 Valós számok, valós számhalmazok 4 Valós számsorozatok 45 1 Valós sorozatok 45 Műveletek valós sorozatokkal 47 3 Egyenlőtlenségek és határértékek 50 4 Konvergencia, monotonitás, korlátosság 51 5 Részsorozatok 5 6 Néhány fontos határérték 53 7 Határozatlansági esetek feloldása 54 3 Függvényhatárértékek Függvény határértéke 57 3 Határértékekkel végzett műveletek Határértékek tulajdonságai Fontos határértékek 63 4 Folytonos függvények A folytonosság értelmezése 66 4 Műveletek folytonos függvényekkel Folytonosság és Darboux tulajdonság 70

3 5 Deriválható függvények 7 51 A derivált értelmezése 7 5 A derivált mértani jelentése Műveletek deriválható függvényekkel Elemi függvények deriváltjai Összetett függvény deriváltja Magasabb rendű deriváltak A differenciálszámítás középértéktételei Függvény grafikus képe 9 6 A határozatlan integrál Primitív függvény A határozatlan integrál 97 6 Primitiválható függvények A parciális integrálás módszere Első helyettesítési módszer Második helyettesítési módszer Törtfüggvények integrálása A határozott integrál Riemann-integralható függvények Integrálható függvények tulajdonságai A parciális integrálás módszere Első helyettesítési módszer Második helyettesítési módszer Középértéktételek Az integrálszámítás alaptétele A határozott integrál alkalmazásai 13

4 AB AB ha ha 1 Vektorok 11 Irányított szakaszok Vektorok Irányított szakaszok rtelmezés Az (A,B) rendezett pontpárt irányított szakasznak nevezzük és így jelöljük: AB rtelmezés Az AB és CD irányított szakaszokat ekvipolenseknek nevezzük (jelölés: AB CD), ha az [AD] és [BC] szakaszok felezőpontjai egybeesnek Megjegyzés Ha AB CD, akkor az AB szakaszt párhuzamos eltolással a CD szakaszra lehet helyezni Tulajdonság Az irányított szakaszok halmazán az ekvipolencia egy ekvivalencia-reláció, azaz (reflexív), AB CD, akkor CD AB (szimmetrikus), AB CD és CD EF, akkor AB EF (tranzitív) B A A C D AB és CD pontosan akkor ekvipolensek, ha ABDC egy paralelogramma vagy az A,B,C,D pontok kollineárisak és az [AD], [BC] felezőpontja megegyezik C B D 1

5 Vektorok rtelmezés Egy adott irányított szakasszal ekvipolens irányított szakaszok halmazát vektornak nevezzük Jelölés Az AB irányított szakasz által meghatározott vektort AB-vel (vagy egy kisbetűvel) jelöljük: { } AB= CD CD AB Megjegyzés Ha AB CD, akkor AB= CD Az u = AB= CD jelöléssel az AB (vagy a CD) az u egy reprezentánsa rtelmezés Az u hossza (modulusza) az őt reprezentáló irányított szakaszok közös hosszával egyenlő és u -val jelöljük rtelmezés A nulla hosszúságú AA vektort nullvektornak nevezzük rtelmezés Az AB és CD vektorok egyenlőek (jelölés: AB= CD), ha az AB és CD irányított szakaszok ekvipolensek Megjegyzés Két vektor akkor egyenlő, ha irányuk megegyezik (tartóegyeneseik párhuzamosak), hosszuk egyenlő és ugyanaz az irányításuk Tétel (Adott kezdőpontú reprezentáns létezése) Ha adott az u vektor és egy tetszőleges M pont, akkor létezik egyetlen olyan M pont, amelyre u = MM Következmény Az egyértelműség alapján, ha MA= MB, akkor A=B Az irányított szakaszok halmaza u = C D G H A B E v = F A mellékelt ábrán u = AB= CD=, v = EF = GH=, CD az u egy reprezentánsa, EF a v egy reprezentánsa, AB= CD

6 16 Skaláris szorzás Két vektor szöge rtelmezés Legyen u 0 és v 0 két vektor Ha O egy tetszőleges pont a síkban, A és B az OA= u és OB= v egyenlőségek által meghatározott pontok, akkor az ÂOB [0,π] szöget az u és v vektorok szögének nevezzük Jelölés Az u és v szögét így jelöljük: ( u, v) rtelmezés Az u és v vektorok merőlegesek, ham( u, v)= π Két vektor skaláris sorzata rtelmezés Az u és v vektorok skaláris szorzata az u v -vel jelölt valós { szám: u v cos( u v= u, v) ha u 0 és v 0 0 ha u 0 vagy v 0 Tétel Két, a nullvektortól különböző vektor skaláris szorzata akkor és csakis akkor nulla, ha a vektorok merőlegesek egymásra: ha u 0, v 0, akkor u v u v=0 Példa Néhány sajátos eset az alábbi ábrán látható: u u v v v u u, v azonos u, v ellentétes u, v merőlegesek irányúak irányúak α=0, α=π, α= π, u v= u v u v= u v u v=0 14

7 u ( v+ u ( v u v>0 u v=0 u v<0 A skaláris sorzás tulajdonságai Tétel Tetszőleges u, v, w vektorok és α, β valós számok esetéṇ u v= v u; w)= u w+ v w, ( u+ v) w= u w+ v w; (α u) v= u (α v)=α( u v); (α u) (β v)=αβ( u v); w)= u v u w, ( u v) w= u w v w; ( u) v= u ( v)= ( u v) Skaláris szorzat előjele Tulajdonság Az u 0 és v 0 vektorok esetén [ akkor és csakis akkor, ha m( u, v) 0, π ) ; akkor és csakis akkor, ha m( u, v)= π ; ( akkor] és csakis akkor, ha m( u, v) π,π v u v u u v>0 v v u u v<0 u v u v u u v=0 Feladat Legyen M és N az ABCD négyzet [AB] és [BC] oldalának felezőpontja Igazoljuk, hogy AN DM M A kért állítás egyenértékű azzal, hogy DM AN=0 p= DM AN=( DA+ AM) ( AB+ BN)= DA AB+ DA 15

8 BN+ AM AB+ AM BN A D DA AB DA AB=0, AM BN AM BN=0, így M p=0+ DA BN+ AM AB+0= =a a cos180 + a a 0 +0=0, B N C ahol a a négyzet oldalát jelöli 180 DA BN Vektor skaláris négyzete rtelmezés Egy u vektornak önmagával vett skaláris szorzatát a vektor (skaláris) négyzetének nevezzük és így jelöljük: u = u u Tétel Bármely u vektor esetén u u= u, tehát bármely AB vektor esetén AB =AB Feladat Igazoljuk, hogy egy ABCD négyszög pontosan akkor paralelogramma, ha az oldalak négyzetének összege egyenlő a két átló négyzetének az összegével M AB +BC +CD +DA =BD +AC D C AB + BC + CD + DA = BD + AC AB + BC + CD + DA = =( BA+ AD) +( AD+ DC) A AB + BC + CD + DA = BA +BA B AD+ AD + AD +AD DC+ DC BC = BA AD+ AD +AD DC ( BA+ AD+ DC) = BA AD+ AD +AD DC BA + AD + DC +BA AD+AD DC+DC BA= BA AD+ AD +AD DC BA+ DC +BA DC=0 16

9 ( BA+ DC) =0 BA+ DC= 0 BA= CD ABCD paralelogramma Metrikus összefüggések a háromszögben Adott az ABC háromszög és legyen a=bc, b=ac, c= AB Tétel (Koszinusz-tétel) Az ABC háromszögben fennáll az a =b +c bccosâ összefüggés Tétel (Stewart tétele) Ha M (BC), akkor AB MC+AC BM=AM BC+BM MC BC Következmény (Oldalfelező hossza) Az ABC háromszög A csúcsából kiinduló oldalfelezőjének hosszát (m a) az m a = (b +c ) a 4 képlettel számíthatjuk ki Következmény (Szögfelező hossza) Az ABC háromszög A csúcsából kiinduló szögfelezőjének hosszát (l a) az l a = 4bc (b+c) p(p a) képlettel számíthatjuk ki, ahol p= a+b+c Feladat Az ABC háromszögben AB=, AC=3 és BC= Számítsuk ki az AB AC szorzatot! M A koszinusz-tétel alapján BC =AB +AC AB ACcos BAC 4=4+9 3cos BAC cos BAC= 3 4 Tehát AB AC=AB AC cos BAC= = 9 17

10 3 Trigonometria 31 A trigonometria elemei Szög-mértékegységek rtelmezés Egy kör félkerületének és sugarának aránya állandó és π 3,1415-tel egyenlő rtelmezés A kör sugarával megegyező hosszúságú körívhez tartozó középponti szög mértéke 1 radián Megjegyzés Egy szögnek fokban illetve radiánban való mértéke közt fennáll az α = 180 összefüggés, ahol α a x r π szög fokban kifejezett, x r a szög radiánban kifejezett mértéke P II π/ I P π/3 P π/3 P 5π/6 P π/6 A P π O P 0 P 7π/6 P 11π/6 P 4π/3 P 5π/3 III P 3π/ IV A trigonometrikus kör rtelmezés Adott egy xoy derékszögű koordináta-rendszer Az O középpontú, egységsugarú kört, amelyen kijelöltünk egy pozitív körbejárási irányt (az óramutató járásával ellentétes irányt), trigonometrikus körnek nevezzük A trigonometrikus kör - folytatás Jelölés Legyen t R egy szám Ekkor egyetlen olyan P t -vel jelölt pont van a trigonometriai körön, amely m(âop t )=t 7

11 Szinusz és koszinusz Legyen t egy valós szám és P t a hozzátartozó pont a körön rtelmezés A P t pont ordinátáját a t valós szám szinuszának nevezzük és így jelöljük: sint rtelmezés A P t pont abszcisszáját a t valós szám koszinuszának nevezzük és így jelöljük: cost ctgt T sint t O cost P t A P t t O T tgt A Tangens és kotangens rtelmezés Az x=1 egyenletű függőleges egyenest tangens-tengelynek, az y=1 egyenletű vízszintes egyenest pedig kotangens-tengelynek { nevezzük } π rtelmezés Ha t R\ +kπ k Z, P t a t-nek megfelelő pont és T az OP t egyenes és a tangens-tengely met- széspontja, akkor T ordinátáját t tangensének nevezzük és így jelöljük: tgt rtelmezés Ha t R\{kπ k Z}, P t a t-nek megfelelő pont és T az OP t egyenes és a kotangens-tengely metszéspontja, akkor T abszcisszáját t kotangensének nevezzük és így jelöljük: ctgt 8

12 Fontosabb értékek π π π π π 3π 5π x 0 π sinx cosx tgx ctgx Visszavezetés az első negyedbe x C x C 3 sinx=sin(π x) sinx= sin(x π) cosx= cos(π x) cosx= cos(x π) tgx= tg(π x) tgx=tg(x π) ctgx= ctg(π x) ctgx=ctg(x π) x C 4 sinx= sin(π x) cosx=cos(π x) tgx= tg(π x) ctgx= ctg(π x) A trigonometrikus függvények előjele π 3π x 0 N 1 N π N 3 N 4 π sinx cosx tgx ctgx

13 A trigonometrikus függvények π 3π x 0 N 1 N π N 3 N 4 π sinx cosx tgx ctgx Alapösszefüggések sin x+cos x=1 (a trig alapképlete) tgx= sinx cosx = 1 ( ) ctgx π sin x =cosx sin( x)= sinx sin(x+π)=sinx ( ) π cos x =sinx cos( x)=cosx cos(x+π)=cosx ( ) π tg x =ctgx tg( x)= tgx tg(x+π)=tgx ( ) π ctg x =tgx ctg( x)= ctgx ctg(x+π)=ctgx Összeg, különbség szögfüggvényei sin(x+y)=sinx cosy+cosx siny sin(x y)=sinx cosy cosx siny cos(x+y)=cosx cosy sinx siny cos(x y)=cosx cosy+sinx siny tg(x+y)= tgx+tgy 1 tgx tgy ctg(x+y)= ctgx ctgy 1 ctgx+ctgy tg(x y)= tgx tgy 1+tgx tgy ctg(x y)= ctgx ctgy 1 ctgx ctgy 30

14 növekvő, csökkenő, korlátos, periodikus, Valós számsorozatok 1 Valós sorozatok rtelmezés Valós sorozatnak nevezünk egy f:{k,k+1,k+,} R függvényt (k N) A sorozatot így jelöljük: (a n ), ahol a n =f(n) rtelmezés Az (a n ) n k sorozat ha a n+1 a n, n k; ha a n+1 a n, n k; ha m,m R úgy, hogy m a n M, n k; ha t N úgy, hogy a n+t =a n, n k Sorozat határértéke rtelmezés Az (a n ) n k sorozat határértéke az α valós szám, ha az α bármely V környezete esetén a sorozat csak véges számú tagja nem eleme V -nek: (a n) határértéke α V =V (α), n V N úgy, hogy a n V, n n V Jelölés Ha (a n ) határértéke α, ezt így írjuk: lim n=α n Tétel Legyen (a n) n N egy valós elemű számsorozat, α R lim an=α ε>0, n n0 N úgy, hogy a n α <ε, n n 0 lim an= ε>0, n n0 N úgy, hogy a n >ε, n n 0 lim an= ε>0, n n0 N úgy, hogy a n< ε, n n 0 45

15 Sorozat határértéke - folytatás rtelmezés Egy (a n) sorozat konvergens, ha van véges határértéke Ha (a n) nem konvergens, akkor divergens Tétel Ha (a n ) konvergens, akkor határértéke egyértelmű Tétel lim a n=α lim a n = α n n Tétel lim an=0 lim an =0 n n Tétel Ha (a n ) konvergens, akkor (a n ) korlátos n+1 Feladat Igazoljuk, hogy lim n 3n 1 = 3 M Igazolnunk kell, hogy ε>0 esetén létezik olyan n 0 úgy, hogy bármely n n 0 esetén an n+1 3 <ε, ahol an= 3n 1 n+1 3n 1 3 <ε 5 3(3n 1) <ε 5 5 3ε <3n 1 3ε +1 <n, [ ] 3 5+3ε így küszöbszámnak választható az n 0 = érték ([A] az A egész része) n Feladat Igazoljuk, hogy lim n n+1 = M Igazolnunk kell, hogy ε>0 esetén létezik olyan n 0 úgy, hogy bármely n n 0 esetén n n+1 >ε n εn ε>0 ) ( ) n (, ε ε +4ε ε+ ε +4ε, [ ] ε+ ε Az n 0 = +4ε +1 választással a n >ε, n n 0 46

16 (x 3 Függvényhatárértékek 31 Függvény határértéke rtelmezés Azt mondjuk, hogy az f:d R, D R függvény határértéke az x 0 R torlódási pontban l R, ha az l bármely V l környezete esetén létezik az x 0 olyan U x0 környezete, amelyre x U x 0 D esetén f(x) V l Jelölés Ha az f:d R függvény határértéke az x 0 R pontban l R, akkor ezt így jelöljük: lim f(x)=l x x 0 Tétel (A határérték Heine féle értelmezése) Legyen f: D R, x 0 R, l R Egyenértékűek a következő állítások: lim f(x)=l, x x 0 n ) n 1, x n D, x n x 0, lim n x n=x 0 sorozat lim n f(xn)=l Feladat Igazoljuk, hogy az f:r R, f(x)=sin 1 x függvénynek nincs határértéke az x 0=0 pontban! M Tekintsük az (x n ) n 1 és (x n ) n 1 sorozatokat, ahol x n = 1 nπ, x n = (4n+1)π Ekkor lim x n= lim n n x n =0 és lim f(xn)= lim sin 1 = lim n n x sinnπ=0, n n lim n f(x n )= lim sin 1 (4n+1)π = lim sin =1, n x n n így f-nek nincs határértéke 0-ban 57

17 Határérték az x 0 R pontban rtelmezés lim f(x)=l R x x 0 ε>0, δ(ε)>0 úgy, hogy ha x x 0 <δ(ε), x x 0 akkor f(x) l <ε rtelmezés lim f(x)=+ x x 0 ε>0, δ(ε)>0 úgy, hogy ha x x 0 <δ(ε), x x 0 akkor f(x)>ε rtelmezés lim f(x)= x x 0 ε>0, δ(ε)>0 úgy, hogy ha x x 0 <δ(ε), x x 0 akkor f(x)< ε x 1 Feladat Igazoljuk, hogy lim x 0 x =! M Igazoljuk, hogy ε>0 esetén δ>0 úgy, hogy ha x <δ, x 0, akkor f(x)>ε f(x)>ε x 1 x >ε εx x+1<0 ( 1 1 4ε x, 1+ ) 1 4ε ε ε 1 A δ=min{ 1 4ε ε, 1 } 1 4ε választással tehát ε x <δ f(x)<ε Határérték + -ben 58 rtelmezés lim f(x)=l R x ε>0, δ(ε)>0 úgy, hogy ha x>δ(ε) akkor f(x) l <ε rtelmezés lim f(x)=+ x ε>0, δ(ε)>0 úgy, hogy ha x>δ(ε) akkor f(x)>ε rtelmezés lim f(x)= x ε>0, δ(ε)>0 úgy, hogy ha x>δ(ε), akkor f(x)< ε

18 Határérték -ben rtelmezés lim f(x)=l R ε>0, δ(ε)>0 úgy, x hogy ha x< δ(ε) akkor f(x) l <ε rtelmezés lim f(x)=+ ε>0, δ(ε)>0 úgy, x hogy ha x< δ(ε) akkor f(x)>ε rtelmezés lim f(x)= ε>0, δ(ε)>0 úgy, x hogy ha x< δ(ε), akkor f(x)< ε Jobb és bal oldali határérték rtelmezés Azt mondjuk, hogy az f:d R, D R függvény bal oldali határértéke az x 0 R torlódási pontban l R, ha az l bármely V l környezete esetén létezik az x 0 olyan U x0 környezete, amelyre x U x D, x<x 0 0 esetén f(x) V l Jelölés lim f(x) vagy lim f(x) x x 0 x x x<x 0 0 Tétel lim f(x)=l x x 0 x<x 0 (x n) n 1, x n D, x n<x 0, lim xn=x0 sorozat esetén n lim f(x n)=l n Megjegyzés Hasonlóan értelmezhető a jobb oldali határérték is Tétel Az f:d R függvénynek a D halmaz x 0 torlódási pontjában akkor és csakis akkor van határértéke, ha van bal és jobb oldali határértéke és ezek egyenlők 59

19 F F 6 A határozatlan integrál 61 Primitív függvény A határozatlan integrál Függvény primitív függvénye rtelmezés Legyen f:i R, I intervallum Az f függvényt primitiválhatónak nevezzük, ha létezik olyan F :I R függvény, amelyre deriválható I-n és (x)=f(x), x I rtelmezés Az értelmezésben szereplő F függvényt az f egy primitív függvényének nevezzük Függvény határozatlan integrálja rtelmezés Legyen f:i R egy primitiválható függvény Az f összes primitív függvényének halmazát az f határozatlan integráljának nevezzük és f(x)dx-szel jelöljük: f(x)dx={f :I R F az f egy primitív függvénye} Tétel Ha F 1 és F az f:i R két primitív függvénye, akkor létezik c R úgy, hogy F 1 (x) F (x)=c, x I Ez alapján, ha F az f egy primitív függvénye, akkor f(x)dx={f (x)+c C R}=F (x)+c 97

20 f+g α f Műveletek primitiválható függvényekkel Tétel Legyen f,g:i R két, az I intervallumon primitiválható függvény és α R Ekko5 is primitiválható I-n és f(x)+g(x)dx= f(x)dx+ g(x)dx ( összeg integrálja egyenlő az integrálok összegével ); is primitiválható I-n és αf(x)dx= α f(x)dx ( konstans kiemelhető az integráljel elé ); Határozatlan integrálok Az alábbi képletekben I R egy intervallum, f:i R, a>0 A függvény A függvény határozatlan integrálja f(x)=c, c R c dx=cx+c f(x)=x n, n N f(x)=x α, I (0, ), α 1 x n dx= xn+1 n+1 +C x α dx= xα+1 α+1 +C f(x)=x 1 = 1 x, 0 I 1 x dx=ln x +C f(x)=a x, a 1 a x dx= ax lna +C 98

21 Határozatlan integrálok - folytatás Az alábbi képletekben I R egy intervallum, f:i R, a>0 A függvény A függvény határozatlan integrálja f(x)= 1 x a, 1 x a dx= 1 a ln x a x+a +C a,a I f(x)= 1 x +a 1 f(x)= x a I (, a) I (a, ) 1 f(x)= x +a 1 f(x)= a x, 1 x +a dx= 1 a arctg x a +C 1 x a dx=ln x+ x a +C 1 x +a dx=ln x+ x +a +C 1 a x dx=arcsin x a +C I ( a,a) f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)= 1 sin x I (kπ,(k+1)π) sinx dx= cosx+c cosx dx=sinx+c 1 sin x dx= ctgx+c 99