Szállításszervezési módszerek Jármvek optimális kiterhelése 1

Átírás

1 Jármvek optimális kiterhelése 1 A jármvek megrakását azok teherbírása és raktérfogata (esetleg ez utóbbi helyett rakterülete) korlátozza. A szállítandó jármveknek tömege és térfogata van (ez utóbbit gyakran helyettesítheti az áru rakfelület igénye). A jármvekhez hasonlóan az egységrakomány-képz' eszközöknek (konténer, rakodólap) szintén meghatározott geometriai méretei és terhelhet'ségi el'írásai vannak. Az egységrakomány-képz' eszközök, illetve a szállítójármvek rakterének (rakfelületének) optimális kihasználása érdekében ezért különös gondot kell fordítani a csomag- és egységrakomány-méretek, valamint az egységrakomány- és a járm raktér-méretek összhangjára. Ha egy adott árut kell szállítani, akkor ehhez az áru szállítási szempontból meghatározó tulajdonságai mellett célszer egyéb szempontokat is érvényesíteni. Ilyen lehet a jármvek kiterhelhet'sége

2 Jármvek optimális kiterhelése 2 Ha csak egyféle árut kell szállítani, akkor ehhez az áru szállítási szempontból meghatározó tulajdonságai mellett célszer gazdaságossági szempontokat is érvényesíteni. Ilyen lehet a jármvek kiterhelhet'sége. Általánosságban mondható, hogy ebb'l a megközelítésb'l az a megfelel' járm, amelynek raktömeg/raktérfogat aránya a legjobban közelíti meg az adott áru fajsúlyát. Nézzünk erre egy példát! A-B között 100 km-es távon ládás árut kell továbbítani. Egy láda mérete legyen 40*30*30 cm (= 36 dm 3 ), tömege 10 kg. Elszállítandó 100 tonna. Rendelkezésre áll 3 különböz' jármtípus: Tömeg (kg) Térf. (dm 3 ) Ft/km költs. Kicsi Közepes Nagy Melyik jármvel végezzük el a szállítást?

3 Jármvek optimális kiterhelése 3 Az els' áruból a jármre felrakható maximális mennyiséget a teherbírás határozza meg, mert eszerint 4.000/10 = 400 ládát tudunk a raktérben elhelyezni, míg a térfogat-kapacitás / ládát tenne lehet'vé. A nagy kocsi esetében a helyzet éppen fordított, mert a raktömeg szerinti /10 = ládával szemben a raktérben csak / láda fér el. A közepes jármre viszont a raktömeg szerinti 7.250/10 = 725 és a térfogat szerinti / ládaszám csaknem megegyezik egymással. Egy forduló távolsága 2*100 = 200 km, ezzel számolva töltöttük ki az alábbi táblázatot. A legjobbnak a közepes járm használata tnik. Szállítható ládaszám Töm. szerint Térf. szerint Szükséges forduló Szükséges futás (km) Szállítási költség Kicsi Közepes ,9 (=14) Nagy ,9 (=13)

4 Jármvek optimális kiterhelése 4 Természetesen az egyes jármvek méreteinek és költségeinek aránya er'sen ingadozhat, mindazonáltal legtöbbször iránymutató lehet ilyen esetekben a jármre megállapítható raktömeg/raktérfogat arány. Azt mondhatjuk, hogy az adott járm annak az árunak a szállítására alkalmas leginkább, amelynek fajtömege ezzel az értékkel éppen megegyezik, vagy másképpen egy bizonyos áru továbbításához els' megközelítésben azt a jármvet célszer kiválasztani, amelynek raktömeg/raktérfogat aránya az adott áru fajtömegét leginkább megközelíti. Ez esetünkben 10/36 = 0,28 kg/dm 3. Raktömeg (kg) Raktérfogat(dm 3 ) Raktöm./ Raktérf. Áru fajtömege Eltérés Kicsi ,182 0,28 0,098 Közepes ,279 0,28 0,001 Nagy ,357 0,28 0,

5 Jármvek optimális kiterhelése 5 Ha több árufélét kell egyirányban továbbítani, amelyek együtt szállíthatók, s ezek az áruk küls' formájukban, méreteikben, tömegükben, térfogatukban stb. különböznek egymástól, megkísérelhetjük az árukat úgy csoportosítani, hogy a rendelkezésre álló jármveknek mind a raktömegét, mind a raktérfogatát a lehet' legjobban kihasználjuk. A számítás elvét kért árufélére az alábbi ábra mutatja: A járm térfogata itt V, teherbírása Q. Az egyes típusú áru láthatóan terjedelmes, azaz ezzel a járm V 1 térfogata kiterhelhet' és még szabad raktömeg-kapacitás marad. Térfogat v 1 q 1 Q Tömeg 2 A második áru raksúlyos, vagyis azzal a járm raktérfogata nem használható ki, mert a járm raktömege szab határt a felrakható árumennyiségnek

6 Jármvek optimális kiterhelése 6 Térfogat V v 1 Legyen az áruk egységnyi tömegének és térfogatának aránya (fajsúlya) i. 1 q 2 = Q q 1 2 v 2 = V v 1 q 1 Q Tömeg Ha az áruk tetszés szerint kombinálhatók a jármvön, akkor az optimális mix számítással a következ' kétismeretlenes egyenletrendszerb'l számítható: Q V Az egyes típusú áruból egy rakományban továbbítandó mennyiség legyen meghatározott, mondjuk q 1. Ebben az esetben a második típusú áruból az ehhez hozzárakandó árumennyiséget grafikusan a kék vonal párhuzamos eltolásával határozhatjuk meg. (A példában a jármnek még marad szabad térfogat-kapacitása.) = = q v q v 2 = q / + q / 2

7 Jármvek optimális kiterhelése 7 Tételezzük fel - az el'z' példát folytatva -, hogy csak a 4 tonna teherbírású járm áll rendelkezésünkre (ennek térfogata 23 m 3 ), és a 100 tonna ládás árun kívül még 50 tonna dobozos árut is el kell szállítani az A-B relációban. A dobozméret 50*30*30 (=0,045 m 3 ), bruttó tömege pedig 4,5 kg. Számítsuk ki, hogy hány fordulóra lenne szükség, ha az árukat nem rakjuk össze! Az el'z' példában már meghatároztuk, hogy a ládás áru továbbításához 25 fordulót kell indítani. A dobozos áruból a jármre 4,5*23.000/45 = kg helyezhet' el, mert többet a raktérfogat nem enged meg. Emiatt a dobozos áru elszállításához további 50/2,3 = 21,7 (22) fordulót kell indítani. A ládás áru fajlagos tömege 0,28 kg/dm 3 (az el'z' példából), a dobozosé pedig 4,5/45 = 0,1 kg/ dm 3. Ezekkel az adatokkal: = = q 1 q + 1 / q 2 0,28 + q 2 / 0,

8 Jármvek optimális kiterhelése = = q 1 q + 1 / q 2 0,28 + q 2 / 0,1 Innen q 2 = 4000-q 1. Behelyettesítve: = q 1 /0,28 +(4000- q 1 )/0,1 Ebb'l, 0,28-al megszorozva mindkét oldalt: 6440 = q 1 + 2,8*( q 1 ) = q ,8*q 1 = ,8*q 1, ahonnan q 1 = ( )/1,8 = 4760/1,8 = 2644,4, teljes ládával számolva 2640 kg. q 2 = = 1360 kg. (Pontosan 1359 kg, egész dobozzal számolva.) Eszerint 100/2,64 = 37,9 (38) fordulóval elvihet' az összes ládás áru, s ezzel együtt 38*1,360=51,68 tonna dobozos küldemény, ami több is, mint amennyit szállítani kell, vagyis az utolsó járatra már nem is jut dobozos áru. Az összes szükséges járat az el'z' 25+22=47 fordulóval szemben csak legfeljebb 38, ami járatszámban csaknem 20%-os megtakarítást jelent!

9 Jármvek optimális kiterhelése 9 Most tegyük fel, hogy több különböz' méret és tömeg árut kell azonos irányokba továbbítanunk. Az áruk (általában) összerakhatók. A továbbításhoz több, esetleg eltér' teherbírású és raktérfogatú járm (konténer stb.) áll rendelkezésre. Hogyan kell az árukkal az egyes jármveket úgy megrakni, hogy a továbbítás minimális jármszámmal (költséggel) legyen lebonyolítható? Ezt a feladatot egész érték lineáris programozási problémára lehet visszavezetni s ennek megoldásával lehet elméletileg optimális teherbíráskihasználási változatokat kidolgozni

10 Jármvek optimális kiterhelése 10 A megoldás menete: 1. Lehetséges felrakási változatokat generálunk. Egy-egy felrakási változat lehet'ség szerint vegye igénybe a járm raktérfogatát vagy raktömegét. 2. Ezután felállítjuk a lineáris programozási feladatot, amelyben a programozásra kerül' x ij mennyiségek azt fogják jelenteni, hogy az adott felrakási változat szerint hány fordulót kell indítani. 3. Az különböz' jármvek a fordulókat eltér' költséggel teljesítik. Egy forduló költségét k i -vel adhatjuk meg, ahol i = 1,2,..,m. Itt m = a jármtípusok számát jelenti. A célfüggvény ezután a következ'képpen írható fel: Z = m v i i = 1 j = 1 k i x ij min! Itt v i az i-edik járm számára készített megrakási változatok számát jelenti. Ha csak egyfajta jármvünk van, akkor a fordulóköltségek helyett 1-et lehet felvenni, ekkor a célfüggvény a lehet' legkevesebb fordulóval járó megoldást keresi

11 Jármvek optimális kiterhelése 11 Nyilvánvalóan minden árut el kell szállítani, legtöbbször sem több, sem kevesebb nem lehet a megadottnál. Az árumennyiségekre ezért a következ' feltételeket írhatjuk fel: m n i = 1 j = 1 x ij c ijk = Q k ahol k=1,2,..,r, itt r = az árufélék száma c ijk pedig az i-edik járm, j-edik felrakási változatában a k-adik áruféle mennyisége

12 Jármvek optimális kiterhelése 12 Természetesen több helyre is irányulhat a szállítás. Ha a kiinduló raktárból s = 1,2,..,w helyre kell szállítani (w = a szállítási relációk száma), akkor a célfüggvény a következ'képpen módosul: Z Itt k is az i-edik gépkocsival a s-edik feladat egy fordulójának teljesítési költségét, X isj pedig az i-edik járm s-edik relációban tervezett j-edik felrakási változata szerint továbbítandó fordulószám (járatszám). Ebben az esetben a feltételi egyenl'ségek (egyenl'tlenségek) is kib'vülnek a szállítási feladatokkal: m = w m n w i = 1 s = 1 j = 1 v i= 1 s = 1 j = 1 x i isj k is c x isjk isj = Q min! sk Itt C isjk az i-edik járm, s-edik viszonylatban tervezett j-edik felrakási változatában a k-adik áruféléb'l szállítandó mennyiséget jelöli

13 Jármvek optimális kiterhelése 13 Nézzük a következ' példát! Egy nagyvállalat egy ügyfeléhez naponta három különböz' méret árut szállít. A továbbítandó mennyiségek a következ'k: Q1 = 100 tonna, ill. 50 m 3 Q2 = 60 tonna, ill. 150 m 3 Q3 = 40 tonna, ill. 60 m 3 Két jármtípus áll rendelkezésre. Ezek kapacitása tömegben, illetve térfogatban: g1 = 10 tonna, ill. 8,0 m 3 g2 = 8 tonna, ill. 9,6 m 3 Minden jármvel naponta egy forduló teljesíthet'. Az els' típusú jármb'l 10, a másodikból 25 db áll rendelkezésre. A jármvek költségei fordulónként 10, illetve 9 pénzegységet tesznek ki. Az elszállítandó áruk ládákban vannak, melyek (tovább nem bontható) egységei a következ' méretekkel rendelkeznek: a1 = 4 tonna, ill. 2,0 m 3 a2 = 1 tonna, ill. 2,5 m 3 a3 = 2 tonna, ill. 3,0 m 3 Megkötés: a jármveken legfeljebb kétfajta árut helyezhetünk el

14 Jármvek optimális kiterhelése 14 Tegyük fel, hogy nem rakjuk össze az árukat! 1. Az a1 árut a g1 gépkocsival szállítjuk el. Egy fordulóban elszállítható 8 tonna (2 láda). Összesen elvihet' 10 fordulóval 10*8 = 80 tonna, marad 20 tonna a1-es áru. Ezt a g2-es típusú jármvel visszük el. Erre szintén felfér 2 láda, azaz 8 tonna. A 20 t elszállításához kell 20/8 = 2,5, kerekítve 3 forduló. Marad még 22 szabad g2-es gépkocsi. 2. Az a2-es árut a g2-es kocsival kell elvinni. Erre felfér 9,6/2,5 = 3,84, vagyis lefelé kerekítve 3 láda. Ez csak 3*1 = 3 tonna. Szükséges tehát 60/3 = 20 gépkocsi. 3. A maradék 2 fordulóval elvihet' 2*3*2 = 12 tonna az a3-as áruból, vagyis = 28 tonna árut nem tudunk elvinni! Készítsünk felrakási változatokat! Próbálgatással a következ' felrakási variánsokat állítjuk fel:

15 Jármvek optimális kiterhelése 15 Jelölés Járm Áru Változat Tömeg (t) Térf. (m 3 ) C C C Összesen 10 7 C C ,5 C Összesen 9 6,5 C C C Összesen 8 8 C C C Összesen 4 8 A táblázatban elképzelhet' felrakási változatok vannak. Így pl. az els' járm els' felrakási változatában 8 tonnát teszünk fel az els' áruból (2 láda), ez csak 4 m 3. Ehhez hozzátehetünk 1 láda harmadik terméket tartalmazó ládát, ami 2 tonna és 3 m 3. Több áru ebben a változatban a jármvön már nem helyezhet' el, mert elértük az els' járm megengedhet' teherbírását, bár még 1 m 3 szabad térfogatkapacitás maradt. Ellen'rizd a többi megrakási változatot!

16 Jármvek optimális kiterhelése 16 Jelölés Járm Áru Változat Tömeg (t) Térf. (m 3 ) C C C Összesen 8 4 C C ,5 C Összesen 7 9,5 C C C Összesen 4 8 C C C Összesen 6 9 Most a második kocsira készítünk berakási változatokat. Az els' változatban 2 ládát rakunk fel az els' áruból. Ez csak 4 m 3, de 8 tonna, vagyis több áru a 8 tonna teherbírású gépkocsin már nem fér el. Ellen'rizd a többi berakási variánst!

17 Jármvek optimális kiterhelése 17 Természetesen más, és ennél jóval több változat is elkészíthet'. A feladat lineáris programozással, pl. szimplex módszerrel megoldható. A következ' szimplex táblázat lehet a kiindulás: X11 X12 X13 X14 X21 X22 X23 X24 Kap. a = 100 a = 60 a = 40 f f C Nem kell minden jármvet használni, ezért itt a kisebb-egyenl' feltétel szerepel

18 Jármvek optimális kiterhelése 18 Megoldás szimplex módszerrel, számítógépen (program: STORM) Változó Érték Költség VAR VAR VAR VAR VAR VAR VAR VAR A célfüggvény értéke (Objective Function Value) = 265 Az els' jármtípusból használunk: 3 +1 = 4 darabot, még maradt 6 szabad járm. Az másodikból viszont szükségünk van mind a 25-re: = 25 Az eredmény szerint tehát az els' berakási változat szerint (els' kocsi els' megrakási változata) 3 gépkocsit kell elküldeni. A második jármre készített második berakási változat viszont feltehet'leg jó kombináció, mert az így megrakott jármb'l 18-at kell indítani. Az egyes változatokkal elszállított mennyiségek, tonnában a következ' táblázatban látható:

19 Jármvek optimális kiterhelése 19 X11 X12 X13 X14 X21 X22 X23 X24 Ford Kap. a = 100 a = 60 a = 40 f f C Az els' felrakási változat szerint, amelyb'l 3-at indítunk, elszállítunk 3*8 = 24 tonna 1-es és 3*2 = 6 tonna 2-es típusú árut. Ellen'rizd a többi értéket!

20 Jármvek optimális kiterhelése 20 Jó (sok esetben optimális) megoldást kaphatunk a következ' heurisztikus eljárással is: Képezzük mind a teherbírás, mind a térfogat kihasználási mutatókat, majd ezek közül a kisebbiket választjuk ki. Ezután megkeressük az így kiválasztottak közül a legnagyobbat, ha két egyformát találunk, akkor mindig az alacsonyabb fajlagos költség jármvel kezdünk. Igy pl. az 11 változatban a térfogat-kihasználás (7/8 = 0,875), Változat Rakott tömeg Térfogat Kihasználási % A kisebbik Sorrend Tömeg Térf ,000 0,875 0, ,5 0,900 0,813 0, ,800 0,750 0, ,400 1,000 0, ,000 0,417 0, ,5 0,875 0,990 0, ,500 0,833 0, ,5 0,750 0,781 0,750 4 a 22 változatban pedig a teherbíráskihasználás értéke lett azonos. Mivel a 2. járm fajlagos költsége kisebb (9 < 10), ezért a 22 variáns lesz az els'

21 Jármvek optimális kiterhelése 21 Egy áttekinthet' táblázatot készítünk a programozáshoz. Itt a sorszám sorban az el'z' táblázat szerint vesszük fel a berakási változatokat Maradék kapacitások Ssz 1 Fd A A A F F C 0 1. A 22 változatból annyit készítünk, amennyi lehetséges. Ebben a változatban van 4 tonna a1-es és 3 tonna a2-es áru. Legfeljebb 20 forduló indítható, mert ekkor elfogy az a2-es áru: 20*3 = 60 tonna. Ezt beírjuk a táblázatba. Felvesszük a 22 oszlopába az ezzel a változattal elszállított mennyiségeket: 20*4, 20*3, stb., továbbá a felhasznált jármszámot, a program értékét Ezután a maradék kapacitásokat módosítjuk: Pl = 20, = 0 stb

22 Jármvek optimális kiterhelése 22 A 22 változatból, mint láttuk, 20 járatot is indíthattunk. Ezután a korábban meghatározott sorrendnek megfelel'en haladunk tovább, vagyis az els', másképpen az 11 variánst választjuk Maradék kapacitások Ssz Fd A A A F F C Minthogy a 22 változat után már csak 20 tömegegység maradt az a1-es áruból (5 láda), ezért e variánsból csak kett't vehetünk, mert 20/8 = 2,5 (2). Ezzel a megrakási változattal tehát elviszünk 16 tonna a1-es és 2*2, azaz 4 tonna a3-as árut. Ezt ismét szerepeltetjük a táblázatban. Beírjuk a költségeket is. 3. Harmadik az 12 változat lenne, de már nincs a2-es áru, ezért a 8. változatot választjuk. Ez a 24 variáns. Mivel csak 5 fordulóra van lehet'ség, ezért nem tudunk így minden a3-as árut elvinni

23 Jármvek optimális kiterhelése Végül az 13 berakási változatot választjuk, amelyb'l már csak 1 járat indítható Maradék kapacitások Ssz Fd A A A F F C A maradék 2 egységnyi tömeget, ami az a3-as áruból megmaradt, elszállítjuk egy g1 típusú jármvel, mert ebb'l még 7 darab van. Ez még 10 pénzegység többletet jelent. Láthatjuk, hogy az eredmény most is - mint az optimális megoldás esetében egység lett, s szintén 6 jármvet takarítottunk meg

24 Jármvek optimális kiterhelése 24 Tegyük fel, hogy ugyanezen példa esetében van egy további, 2. feladat is, melyet csak a g2 típusú gépkocsi teljesíthet, mert a fogadóhelyre a g1 típusú járm nem tud beállni. A megoldást most az alábbi szimplex táblázatból nyerhetjük Kap. a =100 a =60 a =40 a =64 a =30 F F C Mivel a feladat mennyisége megn'tt, ezért több jármforduló kell. A g2-es kocsi lehetséges fordulóinak száma legyen 40. Figyeljük meg, hogy a második feladat miatt újabb sorokat kellett felvennünk. Az új feladat oszlopait (berakási változatok) sárgával jelöltük. Miért zérus értékek a kékkel jelölt mez'k?

25 Jármvek optimális kiterhelése 25 Az optimális megoldást a következ' táblázat mutatja Kap. Gk a = 100 a = 60 a = 40 a = 64 a = 30 F = 2 F = 40 C Még 8 járm maradt az egyes típusú (g1) kocsiból. Ellen'rizd az eredményt!

26 Jármvek optimális kiterhelése 26 Gyakorlásképpen oldja meg a következ' feladatot! Elszállítandó A városból B városba 3 különböz' módon csomagolt áru: Áru Mérete (m) Tömege (tonna) Halmazolás Elszállítandó (H*Sz*M) Hullámpapír-doboz 1*1*1 0,5 2 szint 50 db Faláda 2*1*1,5 1 Nem lehetséges 100 db Rakodólap 0,8*1,2*1,5 0,75 Nem lehetséges 100 db Rendelkezésre álló gépkocsi teherbírása 5 tonna, rakfelületének mérete 4,35*2,3 méter = 10 m 2. Kérdés: hány jármfordulót kell indítani? Készítsen papíron néhány elfogadható járm-megrakási változatot!

27 Jármvek optimális kiterhelése 27 Az alábbiak felrakási variánsokat mutatnak. Doboz Láda Raklap A berakási változatok táblázatban: Doboz Láda Raklap

28 Jármvek optimális kiterhelése 28 Az optimális megoldás szerint 13 fordulót kell indítani a második, hármat a negyedik és 25-öt a hatodik megrakási változatból. Ez összesen 41 forduló. A közelít' számításhoz szükséges segédtáblázat adatait a berakási változatok alapján töltöttük ki. Ellen'rizze a beírt értékeket! Változat Rakott Berakott Kihasználási % A kiesebb Sorrend tömeg térfogat Tömeg Térfogat érték 1 4,75 6, ,6 69, , ,0 50, ,0 80, , ,6 67, , ,4 78,4 3 Azért soroltuk a 2. változatot az els' helyre, mert ebben a teherbírást jobban kihasználjuk, mint az 5. variánsban

29 Jármvek optimális kiterhelése Maradék Ssz Fd A A A C Figyeljük meg, hogy a második legjobb variáns után sem a harmadik, sem a negyedik nem indítható, mert az a2-es árut már elvittük. (Az a2 áru mind a harmadik helyre sorolt hatodik, mind a negyedik legjobbként szerepl' els' variánsban egyaránt szerepel.) Ezért kell harmadikként az 5-ös sorszámú változatot figyelembe venni. A megmaradt 88 rakodólapot 15 darab járattal lehet elszállítani. A járatokon 6-6 rakodólap lesz, melyek összes tömege 4,5 tonna, az utolsó fordulót kivéve, amelyen csak 4 rakodólap és 3 tonna árut lesz. Összesen tehát 45 fordulót kellett indítani, ami ugyan rosszabb az optimumnál, amely 41, de sokkal jobb annál, amit a külön-külön szállítás igényelt volna (10 forduló doboz, 25 forduló láda és végül 17 forduló rakodólap, ami összesen 52 forduló)

30 Kedves hallgatóm! Jó tanulást kívánok. Ha a bemutatóban bármilyen hibát talál, vagy az anyaggal kapcsolatban észrevétele van, kérem, küldjön t! Segítségét el're is köszönöm. Hirkó Bálint hirko@sze.hu