ELÕADÁSVÁZLAT ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

Átírás

1 Gábor Dénes Fõiskola ELÕADÁSVÁZLAT 005 Vezetõtanár: DR. DOMONKOS SÁNDOR

2 SI RENDSZER ALAPEGYSÉGEI Mennyiség Egység neve Egység jele Jelölése képletben út, hosszúság, távolság méter m s, l, r idõ másodperc, szekundum s t elektromos áram amper A i, I hõmérséklet kelvin K T tömeg kilogramm kg m Származtatott mértékegységek sebesség (s/t) m/s m/s v gyorsulás (v/t) m/s 2 m/s 2 a, g erõ (m a) newton N F munka, energia (F s) joule N m W teljesítmény (W/t) watt (N m)/s P Oldalszám: 1

3 VILLAMOS EGYSÉGEK (SZÁRMAZTATOTT) Név Mértékegység Jel elektromos töltés (I t) Coulomb A s q, Q feszültség ( W/C) volt Joule/Coulomb u, U térerõsség ( U/l ) V/m V/m E teljesítmény (U I) watt V A P munka (P t) joule V A s W ellenállás (U/I) ohm V/A R kapacitás (Q/U) farad As/V F induktivitás henry Vs/A H mágneses indukció (F/(I l)) tesla N/(A m) ; T B fluxus (B A) weber T m 2 ; V s Φ Oldalszám: 2

4 Két, egymáshoz képest el nem mozduló töltés között erõhatás észlelhetõ, mely a Coulomb törvénnyel adható meg: F = (1 / 4πε ) (Q A Q B /l 2 ) Két töltés eredõ erõtere F Q A, Q B l - erõhatás (N - Newton) - töltések (Coulomb) - a töltések távolsága (m) ε = ε 0 ε r - dielektromos állandó ε 0 =10-9 /36π - vákuum dielektromos állandója (Coulomb 2 /m 2 N) ε r - anyagonként változó, relatív dielektromos állandó Oldalszám: 3

5 Valamely meglévõ elektromos erõtérbe egy Q elektromos töltést juttatva, a töltést erõhatás éri, mely az erõtérre jellemzõ elektromos térerõsség következménye. A térerõsség vektormennyiség, iránya az erõvonalak irányába mutat. Az erõhatás ugyancsak vektormennyiség, melynek iránya megegyezik a térerõsség vektoráéval, nagysága pedig arányos a Q töltéssel: F = Q E Amennyiben az elõbbi Q töltés az erõhatás következtében az ábra szerint, az erõtér A és B pontjai között elmozdul, akkor a térben munkavégzés történik, melynek nagysága: A W AB = F dl = Q E dl = Q U AB B Töltés elmozdulása erõtérben Oldalszám: 4

6 A végzett munka a töltéssel arányos. Az arányossági tényezõ: A U AB = E dl B az A-B pontok közötti elektromos feszültség, mely független mind a töltés nagyságától, mind az A-B pontok közötti elmozdulás útvonalától. A feszültséget Volt-ban mérjük. [U]= [W]/[Q] = Joule/Coulomb =Volt Ezt követõen már megadható a térerõsség egysége is átrendezéssel és dimenziók szerinti értelmezéssel: [E]= [U]/[l ]=Volt/méter=V/m Oldalszám: 5

7 Az elektromos tér jellemzésével kapcsolatosan értelmezhetõ a tér egy vonatkoztatási alappontjaként kijelölt hely és ehhez viszonyítottan a tér bármely pontja között mérhetõ feszültség, melyet elektromos potenciálnak nevezünk. A potenciál bevezetésével a két pont között mérhetõ feszültséget kifejezhetjük az egyes pontokhoz rendelhetõ potenciálok különbségével U AB = ϕ A - ϕ B Potenciál és feszültség Oldalszám: 6

8 Ily módon elektromos töltések tárolására alkalmas eszközökhöz ún. kondenzátorhoz jutunk, melynek tárolóképességét a kapacitással jellemezhetjük: C=Q/U C - a kapacitás (F - Farad) Q - tárolt töltés (coulomb) U - rákapcsolt feszültség (V) A kapacitás egysége a Farad: [C]=[Q]/[U]=Coulomb/Volt=F Oldalszám: 7

9 Síkkondenzátor Szimbólikus jelölés C=ε A l C - kapacitás (F) A - felület (m 2 ) l - lemezek távolsága (m) ε - dieletromos állandó (C/Vm) Oldalszám: 8

10 KONDENZÁTOROK PÁRHUZAMOS ÖSSZEKAPCSOLÁSA: Az eredõk meghatározásánál az eredõ töltésbõl, illetve az eredõ feszültségbõl célszerû kiindulni. Az ábránál U e = U figyelembevételével: Oldalszám: 9

11 KONDENZÁTOROK SOROS ÖSSZEKAPCSOLÁSA: Az ábránál figyelembe véve, hogy minden kapacitáson ugyanakkora töltés van, azaz Q e =Q n n ebbõl: U e = Q/C es = Q/C i = Q 1/C i i=1 i=1 n U e /Q=1/C es = 1/C i =(1/C 1 )+(1/C 2 )+(1/C 3 )+...+(1/C n ) i=1 A soros eredõ reciproka egyenlõ az egyes összetevõk reciprokának összegével. n 1/C es = 1/C i i=1 Oldalszám: 10

12 ELEKTROSZTATIKUS ENERGIA felírható valamely Q i töltés energiája a tér egy ϕ i potenciálú helyén, ha a feszültséget a helyre jellemzõ potenciállal helyettesíthetjük: W i = Q i ϕ i "n" számú töltést magában foglaló elektromos tér elektrosztatikus energiája ezután a következõképpen alakul: n W = 1/2 Q i ϕ i i=1 A kondenzátorok energia tárolására jól felhasználhatók. A tárolt energia a fenti összefüggés figyelembevételével: W c = 1/2(Q U)=1/2(C U 2 )=1/2 (Q 2 /C) Oldalszám: 11

13 ELEKTROMOS ÁRAM, ELLENÁLLÁS, VEZETÕKÉPESSÉG Ha egy közegben elõidézzük az elemi töltések mozgását, akkor elektromos áram (I) alakul ki. Az elektromos áram a töltések (többnyire valamilyen szempontból rendezett) áramlása, melyet az áramerõsséggel, az adott helyen idõegység alatt áthaladó töltések számával jellemezhetjük. I = Q/t I Q t - elektromos áram (A - Amper) - áthaladó töltések száma (Coulomb) - idõ (s - másodperc) Az áramerõsség egysége az Amper. 1 Amper erõsségû áram folyik, ha 1 másodperc alatt 1 Coulomb töltés halad át. [l]= [Q]/[C] = Coulomb/s = A Oldalszám: 12

14 Az Ohm törvénynek nevezett U=f R (I) összefüggésben szereplõ R arányossági tényezõ a vezetékszakasz ellenállása. R - ellenállás (Ω - Ohm) U - feszültég (V) I - áram (A) Az ellenállás egysége: [R] = [U]/[I] = V/A = Ω Oldalszám: 13

15 Gyakran célszerûbb az ellenállás reciprokával, a vezetõképességgel számolni: G = 1/R = I/U A vezetõképesség egysége a Siemens: [G] = 1/[R] = [A]/[V] = S Az ellenállások különbözõ típusait az alkalmazott elektronikában elterjedten alkalmazzák, ezekre a késõbbiek során még visszatérünk. Egy vezetõ tulajdonságú anyag ellenállása annak geometriai méreteitõl és anyagi összetételétõl függ: R=ρ (l/a) R - kérdéses ellenállás (Ω) ρ - az anyagi összetételtõl függõ fajlagos ellenállás (Ω m) l - a vezetõ hossza (m) A - a vezetõ keresztmetszete (m 2 ), melyrõl itt feltételezzük, hogy az l hosszon állandó. Oldalszám: 14

16 Az R es soros eredõ ellenállások összege. Oldalszám: 15

17 Oldalszám: 16

18 ENERGIA ÉS TELJESÍTMÉNY STACIONÁRIS ÁRAMLÁS ESETÉN Korábban levezetett összefüggéseink alapján felírhatjuk: W = Q U I = Q/t Ezekbõl a töltések áramoltatását végzõ munka: W = U I t A teljesítmény, mint idõegység alatt végzett munka összefüggései az Ohmtörvényt is felhasználva: P = W/t = U I = I 2 R = U 2 /R A teljesítmény egysége: Watt [P] = [W]/t = Joule/s = Watt Oldalszám: 17

19 A generátor elvi felépítését az ábrán tanulmányozhatjuk. A töltések szétosztását jelképezõ energiaforrást a G jelû elem jelképezi, mely az U 0 belsõ feszültséget vagy üresjárási feszültséget szolgáltatja. Mivel minden generátor belsejében jelentkezik energiaveszteség, ezt az R b belsõ ellenállással fejezzük ki. A generátorokból kivett I áramtól függõen (mely az R b -n is átfolyik) alakul a generátor kimeneti kapcsain jelentkezõ tényleges feszültég, az U k kapocsfeszültség. Amennyiben I = 0 l 0, akkor az R b ellenálláson nincs Ohm-törvény értelmében vett feszültség és (l 0 R b =0), ilyenkor a generátor üresjáratban van és U k = U o. Oldalszám: 18

20 A kimenetekre egy R T terhelõ ellenállást, vagy egy R T eredõ ellenállással helyettesített ellenállás-együttest kapcsolva elektromos áramkör jön létre. A generátorból kivett áram nagysága, valamint a kapocsfeszültség is a terhelõ ellenállás hatásától függ: U k = U 0 - (I R b ) Bizonyos esetekben a generátorokat kihangsúlyozandó célzattal áramgenerátoroknak ill. feszültség-generátoroknak nevezik. Az áramgenerátorokról feltételezik, hogy nagy belsõ ellenállásúak, és állandó áramot, a feszültséggenerátorokról, hogy kis belsõ ellenállásúak és állandó feszültséget szolgáltatnak. A generátorok szükség szerint összekapcsolhatók. a.) soros összekapcsolás esetén az eredõ feszültséget az összetevõk belsõ feszültségeinek elõjelhelyes összege, az eredõ belsõ ellenállást az összetevõk belsõ ellenállásainak összege adja meg: n U 0e = ±U 0 i=1 n R be = R bi i=1 Oldalszám: 19

21 CSOMÓPONTI TÖRVÉNY (KIRCHHOFF ELSÕ TÖRVÉNYE) Stacionárius áramlás esetén valamely csomópontban töltések nem halmozódhatnak fel, ezért a befolyó és elfolyó áramok egyenlõ, illetve ha a befolyókat mínusz elõjellel, az elfolyókat plusz elõjellel látjuk el a teljes áramösszeg nulla lesz. Általánosítva n-re Oldalszám: 20

22 HUROKTORVENY (KIRCHHOFF MÁSODIK TORVENYE) Egy tetszõlegesen kiragadott áramhurokban a generátorok belsõ feszültségeinek összege egyenlõ az ellenállásokon fellépõ feszültségek összegével. A nullára redukált változatnál a generátorfeszültségnek a pozitívtól a negatív kapocs felé mutató irányt tulajdonítunk, míg az ellenállásokon fellépõ feszültségnek a bejelölt áramiránnyal megegyezõ irányt. Általánosítva m-re, p-re, r-re Oldalszám: 21

23 A gerjesztõ-áram és az általa elõidézett mágneses erõtér kapcsolata homogén közegben: a mágneses tér erõsségét jellemzõ mágneses indukció (B) egy zárt görbe mentén vett körintegrálja egyenlõ a görbe által körbefogott áramok összegével. Azok a görbén belüli áramok, melyek a körüljárás irányával jobbcsavar értelemben összehangolt irányba mutatnak pozitív-, az ellenkezõ nyilazásúak negatív elõjellel szerepelnek. Gerjesztés, indukció Oldalszám: 22

24 B dl = µ Ι = θ l B - mágneses indukció vektora (T) l - zárt görbe paramétere (erõvonal-hossz) (m) I - áram (A) µ - abszolút permeabilitás θ - gerjesztés (A) A mágneses indukció egysége a: Tesla 1T = 1 Vs/m 2 Az abszolút permeabilitás két komponensbõl áll: µ 0 = 4π10-7 (Vs/Am) µ = µ 0 µ r µ r = anyagonként változó relatív permeabilitás Oldalszám: 23

25 Ha bevezetjük a mágneses térerõsséget: H = B/µ akkor behelyettesítve, az inhomogén közegre is érvényes gerjesztési törvényt kapjuk: H dl = I =θ H - mágneses térerõsség (A/m) A mágneses térerõsség egysége: [H] = [I]/[l ] = A/m Oldalszám: 24

26 1. példa: Egyenes, végtelen vezetéknél a gerjesztési törvény az alábbi egyszerû alakot veszi fel: H l = I Oldalszám: 25

27 2. példa: Az ábrán látható N menetszámú tekercsbe rendezett vezetõ (szolenoid) esetében a gerjesztési törvény: H l = N I Tekercseknél az egyes menetek eredõjeként alakul ki a térerõsség és s tekercs kifelé, észak-dél pólussal rendelkezõ "mágnesrúd"-hoz hasonlóan viselkedik. Oldalszám: 26

28 FLUXUS, ONINDUKCIO, KOLCSONOS INDUKCIO Valamely felületen áthaladó mágneses indukció-vonalak számát mágneses fluxusnak nevezzük: φ = BdA A φ - fluxus (Weber = Wb) B - mágneses indukció vektora (Vs/m 2 ) A - felület (m 2 ) A fluxus egysége a: Weber 1Wb=1Vs Oldalszám: 27

29 Amennyiben több áramhurok vesz részt a mágneses jelenségek alakításában, akkor a keletkezõ rész-fluxusok egymással kapcsolódnak. Például egy N-menetû egyenes tekercs (szolenoid) esetén az eredõ tekercs-fluxus a kapcsolódó rész-fluxusok összegeként alakul: n Ψ= φ = N φ i=1 Több áramhurok esetén az i-edik áramkör l i árama által keltett mágneses tér áthatol a k-adik áramkör felületén, és ott φ ki nagyságú fluxust eredményez, mely arányos az l i árammal: φ ki = L ki l i Az L ki (néha M-mel is jelöljük) arányossági tényezõ, melyre felírható: L ik = L ki az i-edik és k-adik hurok kölcsönös indukciós együtthatója. Ha i=k, akkor önindukciós együtthatóról beszélünk. Oldalszám: 28

30 Kölcsönös indukció Példa: Az elõzõ ábra kapcsán már szerepelt szolenoid tekercs önindukciós együtthatójának meghatározása a következõ lépésben történhet: Oldalszám: 29

31 Mivel többmenetes a tekercs, a tekercs-fluxussal kell számolni. Felírható: egyrészt: Ψ = L I másrészt: Ψ = N B A A másodikként felírt Ψ-be egymás után behelyettesítve B=µH, H=N (I/l ) végül kapjuk a következõket: Ψ=µ A (N 2 /l)i Ezt az elsõként felírt Ψ-vel összehasonlítva I egyszerûsítése után adódik a szolenoid önindukciós tényezõje: L=µA(N 2 /l ) Oldalszám: 30

32 Példa: Az elõzõ ábrabeli két tekercsnél már négy esettel kell számolni: Ψ 1 = L 1 I 1 Ψ 1 = L 1 I 1 Ψ 1 = L 1 I 1 Ψ 1 = L 1 I 1 A fluxus kapcsolódások fõként a tekercsek egymáshoz viszonyított elrendezési geometriájától függenek, melyek leggyakoribb típus-eseteit az irodalomban táblázatosan feldolgozták. Például a két-tekercses esetnél írható: Ψ 12 =k 1 Ψ 1, Ψ 21 =k 2 Ψ 2 itt k 1, k 2 a geometriától függõ csatolási faktorok és L 12 = k L 1 L 2, ahol k= k 1 k 2, továbbá fennáll, hogy k 2 <1. Például közös vasmagra és egymásra csévélve a tekercseket k közel elérheti az 1-et. A kölcsönös indukciós együttható értéke a tekercselési irányok egymáshoz viszonyított jellegének is függvénye. Oldalszám: 31

33 A ferromágneses anyagoknál a µ r nem állandó érték, hanem függ a hõmérsékletétõl és az anyag elõzetes mágnesezettségtõl. Az ábrán látható mágnesezési görbe a µ r -tõl befolyásolt B = f(h) függvényt ábrázolja. Oldalszám: 32

34 A mágnesezés fel- és le irányú lehet a θ = ±n l gerjesztés elõjelének függvényében. Az elõjel mind a tekercsek jobbos vagy balos iránya, mind a tekercsben folyó áram iránya révén változtatható. Oldalszám: 33

35 A mágneses indukció a másik vezetõ helyén: a korábbi formulák felhasználásával: B = µh = µ(i/l ) = µ(i/2πa) Ez a vezetõre merõleges és a vezetõ mentén állandó. Erre az egyszerû elrendezésre alkalmazva kapjuk a h hosszúságú szakaszra ható erõt: F = I h B = µ(h/2πa)i 2 Oldalszám: 34

36 Erõviszonyok homogén mágneses térbe helyezett vezetõknél Oldalszám: 35

37 KVÁZISTACIONÁRIUS ELEKTROMÁGNESES TÉR, INDUKÁLT FESZÜLTSÉG Az eddig tanulmányozott mágnesezéssel kapcsolatos jelenségeknél az idõt állandónak tekintettük. Ha a mágneses térben egy vezetõ tartózkodik, akkor a mágneses tér fluxusának valamilyen okból bekövetkezõ idõbeli változása a vezetõ sarkain feszültséget eredményez (indukál), melynek értéke Faraday-indukció törvénye értelmében: u i - az indukált feszültség u i = -( Ψ / t ) -( Ψ / t ) - a fluxus idõbeli megváltozása, melyhez rendelt konvenciós térirány ellentétes a feszültség irányával A fluxus idõbeli megváltozása kétféle módon is elõidézhetõ: a.) Kívülrõl jövõ hatásra változó mágneses térrel; b.) Mágneses térben adott sebességgel mozgatott vezetõ révén. Oldalszám: 36

38 VÁLTOZÓ MÁGNESES TÉR HATÁSA Ennél a változatnál kívülrõl valamely idõfüggvény szerint változtatjuk a mágneses teret és vele a fluxust. Változó fluxus és az indukált feszültség Oldalszám: 37

39 u i =-L(di/dt) Ha két vezetõ szerepel (és L 12 =L 21 = =M): -u i1 = -L(di 1 /dt)+m(di 2 /dt) -u i2 = M(di 1 /dt)+l 2 (di 2 /dt) Vasmagos transzformátor A külsõ hatásra változó mágneses térrel elõidézett fluxusváltozás elvét használják fel, például a gyakorlatban alkalmazott transzformátoroknál, melyekre egy változat látható az ábrán. Oldalszám: 38

40 u i - indukált feszültség (V) v - vezetõ darab mozgási-sebesség vektora (m/s) B - mágneses indukció vektora (Vs/m 2 ) dl - vezetõ hossz egységvektora (m) Egy klasszikus kísérleti berendezést mutat az ábra, melynél a papírlapra merõleges indukció-vonalak állandó irányúak. A két vízszintes vonal egy-egy csúszó érintkezõ sínt jelképez, melyen a v sebességgel mozgó vezetõanyagon R rúd csúszik. Az u i indukált feszültség a sínek között lemérhetõ. Az elrendezés geometriája és az állandó irányú B vonalak miatt az összefüggés nagyon leegyszerûsödhet, és az indukált feszültség: u i = v B l Oldalszám: 39

41 Mozgó vezetõ által indukált feszültség Oldalszám: 40

42 Generátor Általános esetben mind az a.), mind a b.) típusú indukálási eset is elõfordulhat: mozgatjuk a vezetõt, de a mágneses teret is változtatjuk. Ilyenkor az eredõ indukált feszültség: u i = -(dψ/dt) Oldalszám: 41

43 Az idõben változó, pillanatnyi értékeket kis betûkkel jelöljük a továbbiakban, a nagy betûk állandó értékekre utalnak. Az áramkör egyes elemein fellépõ áramfeszültség függvények a következõképpen írhatók fel: - Ellenállás: Az Ohm-törvény alapján: u R = R i - Induktivitás: Az önindukciós feszültség alapján: u L = L(di/dt) Kölcsönös indukciós feszültség: u M = M(di'/dt) Oldalszám: 42

44 - Kapacitás: Valójában a kondenzátoron keresztül nem folyhat áram, mivel az elektródok egymással el vannak szigetelve a dielektrikum révén. Az elektródákon azonban a töltések felhalmozhatók és a felhalmozódás, ill. kiürülés során töltésáramlás keletkezik, mely kívülrõl úgy "tûnik", mintha a kondenzátoron az áram valóban átfolyna. Továbbmenõleg valamely vizsgált esetben a kondenzátoron feltételezhetünk egy korábbi kiindulótöltést (Q 0 ) is, melynek hatását a kondenzátor sarkain mért feszültség felírásánál figyelembe kell vennünk, mintegy második komponenst. A kondenzátor feszültsége: t 1 u c = (Q 0 /C)+(1/C) i dt t 0 Oldalszám: 43

45 A Kirchhoff-törvények új alakjai: - Csomóponti törvény egy csomópontra - Hurok törvény egy hurokra i=0 u=0 Az áramköri számításoknál ezután a következõ algoritmus szerint járunk el: - az áramköri rajzba berajzoljuk az áram és a feszültség irányokat; - felírunk a csomópontok számánál eggyel kevesebb csomóponti törvényt; - felírunk annyi független huroktörvényt, hogy a kapott egyenletek száma az ágak (a megengedett ismeretlenek) számával legyen egyenlõ. Oldalszám: 44

46 ENERGIAVISZONYOK IDÕFÜGGÕ ÁRAMJELLEMZÕKNÉL A teljesítmény általánosságban: p = u i Az egyes áramköri elemekre felírva a teljesítményeket: generátor: p G = u b i ellenállás: p R = u R i = R i 2 induktivitás: kondenzátor: p L = u L i = L (di/dt)i p C = u C i = (q/c) (dq/dt) Oldalszám: 45

47 Az egyes áramköri elemeknél a felvett illetve leadott energiák: t 2 generátor W G = u b idt t 1 t1 ellenállás W R = R i 2 dt t 0 induktivitás W L = (1/2)Li 2 (t 2 )-(1/2)Li 2 (t 1 ) kondenzátor W C = (q 2 (t 2 )/2c)-(q 2 (t 2 )/2c) =(1/2)Cu 2 (t 2 ) - (1/2)Cu 2 (t 1 ) Mint látható, az ellenállás mindig fogyaszt energiát, míg a többiek felvehetnek és leadhatnak az idõ függvényében. A felvett (fogyasztott) energia pozitív, míg a leadott negatív elõjelû lesz. Oldalszám: 46

48 A frekvencia egysége a Hertz (Hz): [f] = 1/[T]=1/s=s -1 =1 Hz - Fázis: A periodikuskezdet idõponthoz viszonyítva 1. példa: A felsoroltak egy négyszögjel kapcsán az ábra példáján tanulmányozhatók. Oldalszám: 47

49 A szerteágazó leírási, felhasználási kívánalmaknak megfelelõen, a periodikus jelekkel (áramok, feszültségek stb.) kapcsolatosan különféle mennyiségi jellemzõket célszerû bevezetni, melyek felhasználási jellegzetességeit az elektromos áram példáinál szemléltethetjük: - Csúcsérték: A felvett legnagyobb érték (amplitúdó) I m, Î - Effektív érték: Négyzetes középérték egy periódusra számítva l eff = (1/T) i 2 (t)dt 0 Ez például elektromos áram esetén azzal az egyenárammal egyenértékû, mely a T idõ alatt valamely R ellenálláson ugyanannyi hõt fejleszt, mint az adott áram. - Aritmetikai középérték: Ugyancsak egy periódusra l K = (1/T) i(t)dt 0 T T Oldalszám: 48

50 - Abszolút középérték: A mennyiség abszolút értékének egy periódusára számított középérték: l a = (1/T) i(t) dt 0 2. példa: Az ábrán egy kétutasan egyenirányított szinuszos áram idõbeli lefolyását rajzoltuk fel. A jel periodikus, de nem váltakozó, mert I k 0. Az l a abszolút közép itt fontos szerepet kap, mivel a mûszerek többsége ezt az értéket méri. T Oldalszám: 49

51 u(t) = U m sin(ϖ t + Ψ) ϖ = 2πf = 2π/T A szögsebességet itt körfrekvenciaként értelmezzük, mely, mint már láttuk, a frekvenciával és a periódus-idõvel is felírható. Egysége radiánban mért szögelfordulással kifejezve: Oldalszám: 50

52 Idõfüggvény és forgóvektor Oldalszám: 51

53 A komplex idõfüggvényes leírásmód gyakorlati szemléltetésére vizsgáljuk meg az ábrán látható hálózatot, melynél a befolyó áram például egy szinuszos idõfüggvénnyel jellemezhetõ: i(t) = I m sin(ω t + Ψ) Hálózat és impedancia Oldalszám: 52

54 A levezetett integro-differenciálegyenlet itt is felírható a huroktörvény alapján az ábra jelöléseivel: u(t) = u R (t) + u L (t) + u C (t) = Ri(t) + L (di(t)/dt) + (1/C) i(t)dt A kapacitás kezdeti töltését zérusnak vettük (Q 0 = 0). A felírt egyenletünkbe behelyettesítve az i(t)=i m sinωt idõfüggvényt, a deriválás és integrálás elvégzése után a feszültség U(t) idõfüggvényére következõ adódik: u(t) = Rl m sin(ω t + Ψ) + ω LI m cos(ω t + Ψ) - (1/ω C)I m cos(ω t + Ψ) Oldalszám: 53

55 Tehát az elõzõ képletbõl a váltakozó áramú ellenállások - Az áramhoz képest U RM /I M = R REZISZTENCIA - Azonos fázisú X L = U LM /I M = ωl INDUKTÍV REAKTANCIA - A feszültség 90 -kal siet X C = U CM /I M =1/ωC KAPACITÍV REAKTANCIA - A feszültség 90 -kal késik Oldalszám: 54

56 A szinuszos idõfüggvények vektoros ábrázolása alapján az impedancia: azaz Z = R 2 +(ω L - 1/ω C ) 2 Z = R 2 + (X L - X C ) 2 Az eredõ kapocsfeszültség effektív értéke U eff = I eff Z Oldalszám: 55

57 Az R, L, C áramköri elemek komplex feszültségeinek maximális értékei I m = I m e j Ψ bevezetésével: U Rm = Rl m U Lm =jωli m U Cm =(1/jω C) I m U m = U Rm + U Lm + U Cm Innen végül felírhatók a komplex effektív értékek, a maximális érték 2 vel való osztása után: U R = R l = Z R I U L = jω L I = Z L I U Cm = (1/jω C) I = Z C I U m = U R + U L + U C Oldalszám: 56

58 Visszatérve az ábra hálózatára, ennek idõfüggvényes jellemzésére felrajzoltuk a következõ ábrát, melyen az i(t) áram, az u R (t), u L (t) és az eredõ u(t) feszültségek összehasonlíthatók. Leolvasható például, hogy az u R (t) feszültség azonos fázisú az i(t) árammal, az u L (t) 90 -kal "késik" az áramhoz képest. Az eredõ kapocsfeszültség a három összetevõ eredõje. Összetevõk és eredõ idõfüggvényes ábrázolása Oldalszám: 57

59 Összetevõk és eredõ vektorok ábrázolása Oldalszám: 58

60 Impedanciák eredõje: sorbakapcsolt: n Z s = Z k k=1 párhuzamos: n 1/Z p = 1/Z k k=1 Kirchhoff-törvények: csomóponti: I = 0 hurok: U=0 Oldalszám: 59

61 Teljesítmény- és energiaviszonyok szinuszos jelek esetén Pillanatnyi teljesítmény: p(t) = u(t) i(t) Ha u(t) = U m cos, i(t) = I m cos(ω t -ϕ) a behelyettesítés után: p(t) = U m I m cosω t cos(ω t -ϕ) U m I m /2 ( 1 + cos2ω t + sin2ω t sinϕ ) I. II. Hatásos teljesítmény: A pillanatnyi teljesítmény egy peridusra vett átlaga: T P = 1/T p(t)dt = (U m I m /2) cosϕ = U I cosϕ 0 Mivel a 2ω operandusú függvények teljes peridusára vett átlaga zérus, ezért kiesnek. - U = Um/ 2, I = Im/ 2 : effektív értékek - cosϕ : teljesítménytényezõ Oldalszám: 60

62 A meddõ teljesítmény egysége a Watt, de néhány gyakorlati esetben VAr (Voltamper reaktív) jelölést is szoktak használni. Látszólagos teljesítmény: S = U I = P 2 + Q 2 ahol P = U I cosϕ, Q = U I sinϕ A látszólagos teljesítményt VA (Voltamper) egységben szokták megadni. Elektromos munka: A munka mindig kiszámítható a teljesítmény és idõ szorzataként. A bemutatott teljesítményfajták jellegzetességei alapján megállapítható, hogy csak a hatásos teljesítmény végez munkát, így felírható: W = P t (Ws) P= hatásos teljesítmény (W) t = eltelt idõ (s) Oldalszám: 61

63 Az egyes generátor tekercsek kapcsán mért feszültséget fázis-feszültségnek (U f ) nevezzük. Háromfázisú rendszer Oldalszám: 62

64 U f Csillag és delta kapcsolás Oldalszám: 63

65 Ha a kérdéses általános periodikus függvény f(t) (mely Iehet áram, feszültség stb. dimenziójú), akkor Fourier-tétele értelmében felírható a szuperpozíciós végtelen sor: f(t) = A0 + (A k coskω t + B k sinkω t) k=1 ahol az együtthatók T alapperiódus-idõ esetén: A 0 = 1/T f(t)dt 0 T A k = 2/T f(t)coskω t dt 0 B k = 2/T f(t)sinkω t dt 0 k = 1, 2,... értékeket vehet fel. T T Oldalszám: 64

66 u(t) = t Mivel a jelsorozat nem szimmetrikus a t tengelyre, kell lennie egyenáramú összetevõnek, mely a fûrészfog sort feljebb tolja. Ezt az A 0 együtthatókból számíthatjuk (T = 2π): Fûrészfog jel és Fourier közelítése Oldalszám: 65

67 Oldalszám: 66

68 i(t)= I 0 e -t/rc = (U 0 /R)e -t/rc = (U 0 /R)e -t/τ ( 0 t T) τ = RC az áramkör jellemzõ idõállandója: τ idõ alatt az áram "e" -ed részére csökken. Az ellenálláson esõ feszültség: A kondenzátorra jutó feszültség: U R (t) = R i(t) = U 0 e -t/τ t Uc(t) = 1/C i(t) dt = U 0 [ - e -t/τ ] t = U 0 (1 - e -t/τ ) 0 0 Oldalszám: 67

69 Példa: Szemléltetõ példaként vizsgáljuk meg az ábrán felrajzolt R-C hálózat viselkedését, ha a t=0 pillanatban U 0 ugrásfüggvényt kapcsolunk a bemeneti pontokra. R-C hálózat idõbeli viselkedése Oldalszám: 68

70 Összefoglaló példaként vizsgáljuk meg az egyszer már felrajzolt áramkörünk viselkedését olyan feltételek között, hogy most a bemenetre bekapcsoláskor u(t) = U 0 ε(t) feszültséget kapcsolunk. Soros R-L-C kapcsolás Oldalszám: 69

71 ρ = R/2L, ω 2 = 1/LC 0 A nevezõ gyökei S 1,2 = -ρ ± ρ 2 + ω 2 Itt több eset lehetséges: a.) ha: p > ω 0, akkor s 1 =-λ 1, s 2 =-λ 2 és λ 1, λ 2 pozitív, valós számok, ekkor az áram i(t) = U 0 /L [ (e -λ 1t /-λ 1 +λ 2 ) + (e -λ 2t /-λ 2 +λ 1 ) ] = (U 0 /2L ρ 2 ω 2 )[e -λ 1 t - e -λ 2 t ] Ez annyit jelent, hogy az áram az idõben exponenciálisan a "0"-hoz tart. Oldalszám: 70

72 b.) ha: p < ω 0, akkor ekkor az áram: S 1,2 = -ρ ± jω ; ω = ω 2 - ρ 2 0 i(t) = U 0 /L[(e (δ+jω) t /2jω) + (e -(-δ-jω) t /-2jω)] = (U 0 /ωl) e -ρt sinωt Ez annyit jelent, hogy az áram az idõben csökkenõ amplitudóval rezeg. Oldalszám: 71

73 az idõtartományban pedig: i(t) = (U 0 /L)t e -ρt Ez a berezgés határesete, itt R = R 0 = 2 L/C Ha R > R 0, akkor a folyamat aperiodikus, ellenkezõ esetben berezgés lép fel. Oldalszám: 72

74 1. példa: Vizsgáljuk meg a CR tag viselkedését különbözõ frekvenciákon, szinuszos jeleket feltételezve. CR tag, mint valóságos felüláteresztõ Oldalszám: 73

75 Felüláteresztõ szûrõ Aluláteresztõ szûrõ Oldalszám: 74

76 2. példa: Hasonlóképpen vizsgáljuk meg egy RC tag viselkedését különbözõ frekvenciákon, szinuszos jeleket feltételezve. Az ábrán felrajzolt RC tag annyiban tér el az elõzõ példa CR tagjától, hogy a kimenõ feszültség itt a kondenzátor sarkain mérhetõ. RC tag, mint valóságos aluláteresztõ Oldalszám: 75

77 u 2 (t) = τ (du 1 (t)/dt) = τ u 1 '(t) ami azt jelenti, hogy a CR négypólus kimenetén a bemenõ feszültség deriváltja jelenik meg adott kötöttségek teljesítése esetén. A CR kapcsolást ezért gyakran nevezik differenciáló kapcsolásnak. Oldalszám: 76

78 RC tag, mint integráló négypólus Oldalszám: 77

79 l R = (ρ(l )/A(l )) dl 0 Szemléltetésül az ábrán egy integrált áramköri részletet rajzoltunk fel a geometriai méretek feltüntetésével. Az alap-hordozón lévõ két sraffozott vezetõ darab eltérõ (p 1, p 2 ) fajlagos ellenállású. A sraffozott részek eredõ ellenállásának kiszámításánál az eltérõ ρ-k miatt külön-külön kell õket vizsgálnunk. Mint látható, a bal oldali résznél az A 1 = a v keresztmetszet és a ρ 1 fajlagos ellenállás állandók, így a klasszikus formula használható. A jobb oldali résznél ρ 2 ugyan állandó az x 2 hosszon, viszont az I függvényében A 2 = A 2 (l) = a(v+l) lineáris függvény szerint változik. Oldalszám: 78

80 Ellenállás változó ρ és A paraméterekkel Oldalszám: 79

81 Oldalszám: 80

82 Az ellenállás a P = I 2 R (Watt) teljesítményt nem tudja disszipálni. Emiatt az ellenállások specifikálásánál megadják azt a legnagyobb teljesítményt, amire az ellenállás igénybevehetõ. A terhelési osztályokat az ábra táblázatában soroltuk fel. Ellenállások névleges terhelhetõségi osztályai Watt: 0,05 0,1 0,25 0, Az anyagok fajlagos ellenállása változik a hõmérséklet függvényében. Az ellenállás-változást jó közelítéssel leíró összefüggések szerint: ρ ϑ = ρ 0 [1+α R (ϑ-ϑ 0 )] = ρ 0 (1 + α R ϑ) R ϑ = R 0 [1+α R (ϑ-ϑ 0 )] = R 0 (1 + α R ϑ) Oldalszám: 81

83 Nagyfrekvenciás rendszerekben az ellenállások (felépítésük révén) kapacitív és induktív tulajdonságokat is mutatnak, így viselkedésük egy impedancia modellel helyettesíthetõ. A helyettesíthetõ modellt az ábrán rajzoltuk fel. Ohmos ellenállás helyettesítõ képe és frekvenciafüggése Oldalszám: 82

84 Feszültségfüggõ ellenállás Ennél az ellenállás-típusnál az ellenállás csatlakozási pontjain mérhetõ "vezérlõ"-feszültség külsõ megváltoztatásának hatására maga az ellenállás is megváltozik. Mivel a pillanatnyi érték a feszültség függvénye, ezért az ilyen ellenállásokat VDR (Voltage Dependent Resistor) ellenállásoknak is nevezik. Oldalszám: 83

85 A VDR ellenállás áramfeszültség karakterisztikája nem lineáris, és a következõ összefüggéssel jellemzhetõ: U = C I β C - a VDR-re jellemzõ állandó β - meredekségi kitevõ (β 0, ) kifejezhetõ az ellenálláskarakterisztika: R = U/I = C I β 1 További specifikációs adatként megadjuk a maximális P watt valamint a megengedett maximális hõmérsékleti értékeket. Az elterjedtebb VDR ellenállások szilícium-karbid alapanyagúak. Oldalszám: 84

86 Minél nagyobb kapacitású kondenzátort kívánunk elõállítani, annál közelebb kell vinni egymáshoz a nagy felületûvé kialakított fegyverzeteket, és ezek közé olyan megfelelõ anyagot kell helyezni, amelynek dielektromos állandója a lehetõ legnagyobb értékû. A szigetelõanyagokra jellemzõ dielektromos állandót másként permittivitásnak nevezzük. Ez két összetevõbõl épül fel az összefüggés szerint: ε 0 ε = ε 0 ε r - vákuum dielektromos állandója ε 0 = 1/4π , As/Vm ε r - relatív dielektromos állandó, mely szigetelõanyagonként változik és értékét táblázatok tartalmazzák. Oldalszám: 85

87 Kondenzátor helyettesítõ kapcsolásai A teljesítmény hányados egy ún. Q jósági tényezõ, melynek reciprokát az ún. D = tgδ -át szokták a kondenzátor veszteségi tényezõjeként megadni. A veszteségi tényezõ mindkét helyettesítõ képre felírható, értéke frekvenciafüggõ: párhuzamos esetre: D = tgδ = 1/Q = P v /Pm = (0.5U 2 (1/R p ))/(0.5U 2 ω C p ) = 1/(ωR p C p ) Oldalszám: 86

88 Egy szolenoid tekercs induktivitása L = µa(n 2 /l ) egyenesen arányos a permeabilitással és a mágneses erõvonalak által átjárt keresztmetszettel, négyzetesen függ a menetszámtól és fordítottan arányos az erõvonal-hosszal. Amennyiben a permeabilitás nem ferromágneses anyagra utal, az induktivitás, ill. tekercs lineáris áramköri elemnek tekinthetõ. Ferromágneses anyagra utal az induktivitás, ill. tekercs lineáris áramköri elemnek tekinthetõ. Ferromágneses anyag esetén ez a linearitás nem áll fenn. Tekercsek mûködési veszteségei A tekercsek mûködése során energiaveszteségek lépnek fel, melyeket két összetevõre bonthatunk. A VT tekercsveszteség: V T = V R +V V Az VR rézveszteség a tekercshuzal (általában rézbõl van) ohmos ellenállásán disszipálódó teljesítményt jelenti: V R = I 2 R OHM Oldalszám: 87

89 Miután egy másodperc alatt a frekvenciától függõen f-szer járjuk körül a hurkot, a veszteségi teljesítmény arányos lesz a frekvenciával is: V H = k A H f Körüljárt hiszterézisterület kiszámítása Oldalszám: 88

90 Példa: Klasszikus digitális ferrit-elemet mutat példaként az ábra. Az áramkör egy ún. "destruktív" tárolóelem, melynél, ha "1 "-et akarunk a gyûrûbe beírni, akkor a BE tekercsen keresztül egy I áramimpulzust küldünk, minek hatására a vasmag +Br("1") állapotba kerül és az impulzus után ott is marad. Kiolvasáskor az LP tekercsre egy, a késõbbivel ellentétes hatású gerjesztést adunk (például az LP fordított tekercselésû a BE-hez viszonyítva), amely a vasmagot -BR("0") állapotba vezérli. A +BR -BR átmenetnél nagy az indukcióváltozás, ezért számottevõ indukált feszültségimpulzus jelenik meg a KI jelû (szekunder) tekercsen, jelezve, hogy a vasmag "1"-ben volt. Ha eredetileg -BR-t ("0") írtunk volna be a BE tekercs révén, akkor az LP hatására lebonyolódó -BR -Br átmenet, indukcióváltozás híján nem indukált volna feszültséget a KI tekercsen, jelezve ezzel, hogy a vasmag "0"-ban volt. Oldalszám: 89

91 Kemény ferrit, mint 1 bit-es tárolóelem Oldalszám: 90