Kezdődhet-e egy kettőhatvány 2016-tal? Érdekességek az első számjegyek kapcsán
|
|
|
- Rudolf Boros
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Kezdődhet-e egy kettőhatvány 2016-tal? Érdekességek az első számjegyek kapcsán Besenyei Ádám Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Matematikai Intézet Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest ELTE Matematikatanár-klub
2 Ismerkedés a 2 hatványaival A 2 első néhány hatványa (a 10-es számrendszerben): 2 10a+b. Észreveszünk-e bármi szabályosságot vagy szabálytalanságot? b a Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
3 Ismerkedés a 2 hatványaival Észrevétel. Van-e 9-es számjeggyel kezdődő kettőhatvány? ( Gelfand kérdése ) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
4 Ismerkedés a 2 hatványaival Észrevétel. Van-e 9-es számjeggyel kezdődő kettőhatvány? ( Gelfand kérdése ) Válasz: nem voltunk elég kitartóak, mert 2 53 = Sőt, 2 63, 2 73, 2 83, 2 93 mind 9-essel kezdődik, de nem (miért?). Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
5 Ismerkedés a 2 hatványaival Észrevétel. Van-e 9-es számjeggyel kezdődő kettőhatvány? ( Gelfand kérdése ) Válasz: nem voltunk elég kitartóak, mert 2 53 = Sőt, 2 63, 2 73, 2 83, 2 93 mind 9-essel kezdődik, de nem (miért?). Nehezítsünk: kezdődhet-e egy kettőhatvány 2016-tal? Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
6 Ismerkedés a 2 hatványaival Észrevétel. Van-e 9-es számjeggyel kezdődő kettőhatvány? ( Gelfand kérdése ) Válasz: nem voltunk elég kitartóak, mert 2 53 = Sőt, 2 63, 2 73, 2 83, 2 93 mind 9-essel kezdődik, de nem (miért?). Nehezítsünk: kezdődhet-e egy kettőhatvány 2016-tal? Egy másik megfigyelés: 2 n első számjegyeinek gyakorisága (%). 2 n első számjegye n n n ,6 12,6 9,8 7,8 6,8 5,6 5,2 4,6 Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
7 Ismerkedés a 2 hatványaival Észrevétel. Van-e 9-es számjeggyel kezdődő kettőhatvány? ( Gelfand kérdése ) Válasz: nem voltunk elég kitartóak, mert 2 53 = Sőt, 2 63, 2 73, 2 83, 2 93 mind 9-essel kezdődik, de nem (miért?). Nehezítsünk: kezdődhet-e egy kettőhatvány 2016-tal? Egy másik megfigyelés: 2 n első számjegyeinek gyakorisága (%). 2 n első számjegye n n n ,6 12,6 9,8 7,8 6,8 5,6 5,2 4,6 Különböző a gyakoriság? Mi történik, ha n? y(x) =? Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
8 Egy látszólag nem ideillő kérdés Az USA államainak népessége (2010. április 1., US Census Bureau). A két táblázat közül melyikben szerepelnek a valódi adatok? Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
9 Állhat-e egy kettőhatvány elején 2016? Első lépések. Mit jelent az, hogy 2 n első négy számjegye 2016? k + log }{{} 3, n = }{{} k darab számjegy k 2 n < k n log 10 2 < k + log }{{} 3, ha n elég nagy {n log 10 2} [ {log }, {log } ) [0,304490, 0,304705) Jelölés: {x} az x törtrésze, [x] az egészrésze (utóbbi: C. F. Gauss, 1808). Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
10 Állhat-e egy kettőhatvány elején 2016? Törtrészek a számegyenesen. Hol vannak azok az x 0 számok, amelyekre 0 a < {x} < b 1? a b a 1 + b a 2 + b a 3 + b Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
11 Állhat-e egy kettőhatvány elején 2016? Törtrészek a számegyenesen. Hol vannak azok az x 0 számok, amelyekre 0 a < {x} < b 1? Hol találhatók α = log ,301 pozitív egész számú többszörösei? α 2α 3α 4α 5α 6α 7α 8α 9α 10α a b a 1 + b a 2 + b a 3 + b Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
12 Állhat-e egy kettőhatvány elején 2016? Törtrészek a számegyenesen. Hol vannak azok az x 0 számok, amelyekre 0 a < {x} < b 1? Hol találhatók α = log ,301 pozitív egész számú többszörösei? Van-e olyan n, hogy nα valamelyik piros intervallumba esik? α 2α 3α 4α 5α 6α 7α 8α 9α 10α a b a 1 + b a 2 + b a 3 + b Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
13 Állhat-e egy kettőhatvány elején 2016? Törtrészek a számegyenesen. Hol vannak azok az x 0 számok, amelyekre 0 a < {x} < b 1? Hol találhatók α = log ,301 pozitív egész számú többszörösei? Van-e olyan n, hogy nα valamelyik piros intervallumba esik? α 2α 3α 4α 5α 6α 7α 8α 9α 10α a b a 1 + b a 2 + b a 3 + b Észrevétel. Az egészrészek nem lényegesek, elég mindent a [0, 1)-en tekinteni. Tekerjük fel a félegyenest az egység kerületű körre (pozitív körüljárással)! (Másképp: toljuk rá a [k, k + 1) intervallumokat a [0, 1)-re.) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
14 Állhat-e egy kettőhatvány elején 2016? Törtrészek az egység kerületű körvonalon. Az iménti ábra a körvonalra feltekerve : {nα}, n = 0, 1, 2,... {α} {4α} {7α} {10α} a b {2α}{5α}{8α} {9α} {6α} {3α} 0 Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
15 Állhat-e egy kettőhatvány elején 2016? Törtrészek az egység kerületű körvonalon. Az iménti ábra a körvonalra feltekerve : {nα}, n = 0, 1, 2,... {α} {4α} {7α} {10α} a b {2α}{5α}{8α} {9α} {6α} {3α} 0 Hasznos észrevétel. A számegyenesen (n + k)α = nα + [kα] + {kα}, így (a feltekerés miatt) {nα} {(n + k)α} átmenet a körvonalon = {kα} hosszú ívvel pozitív irányba forgás (+ körbefordulások). (Vigyázat: a számegyenesen általában {(n + k)α} {nα} + {kα}.) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
16 Állhat-e egy kettőhatvány elején 2016? Hány különböző pontot határoz meg ({nα}) a körvonalon? Ha valamilyen n m esetén {nα} = {mα}, akkor nα és mα a számegyenesen egész távolságra vannak, így mα nα = l, tehát α = l/(m n), vagyis α racionális. = Ekkor ({nα}) periodikus, véges sok pont adódik a körvonalon. {nα} nα k k + 1 mα nα = l {mα} mα k + l k + l + 1 Fordítva, α = p/q (p, q Z) esetén {(n + q)α} = {nα + p} = {nα}, tehát ({nα}) pontosan akkor periodikus, ha α racionális. Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
17 Állhat-e egy kettőhatvány elején 2016? Hány különböző pontot határoz meg ({nα}) a körvonalon? Ha valamilyen n m esetén {nα} = {mα}, akkor nα és mα a számegyenesen egész távolságra vannak, így mα nα = l, tehát α = l/(m n), vagyis α racionális. = Ekkor ({nα}) periodikus, véges sok pont adódik a körvonalon. {nα} nα k k + 1 mα nα = l {mα} mα k + l k + l + 1 Fordítva, α = p/q (p, q Z) esetén {(n + q)α} = {nα + p} = {nα}, tehát ({nα}) pontosan akkor periodikus, ha α racionális. Most α = log 10 2 irracionális, ugyanis ellenkező esetben log 10 2 = p (p, q Z + ) = 2 q = 10 p, q ami lehetetlen, hiszen a jobb oldal osztható 5-tel, de a bal nem. Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
18 Állhat-e egy kettőhatvány elején 2016? Milyen közel lehetnek egymáshoz ({nα}) értékei a körvonalon? Osszuk fel a körvonalat N darab 1/N hosszú (zárt-nyílt) körvonalra és tekintsük az {α},..., {(N + 1)α} páronként különböző számokat. 1/N 0 (N 1)/N Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
19 Állhat-e egy kettőhatvány elején 2016? Milyen közel lehetnek egymáshoz ({nα}) értékei a körvonalon? Osszuk fel a körvonalat N darab 1/N hosszú (zárt-nyílt) körvonalra és tekintsük az {α},..., {(N + 1)α} páronként különböző számokat. A skatulyaelv (Lejeune Dirichlet: Schubfachprinzip, 1834?) miatt van kettő, amelyek ugyanazon körívre esnek. 1/N 0 (N 1)/N {mα} {nα} Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
20 Állhat-e egy kettőhatvány elején 2016? A babérok learatása. Adott N esetén létezik n < m = n + q N + 1 (tehát 1 q N), hogy {nα} {(n + q)α} < 1/N. {qα} 0 {(n + q)α} {nα} Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
21 Állhat-e egy kettőhatvány elején 2016? A babérok learatása. Adott N esetén létezik n < m = n + q N + 1 (tehát 1 q N), hogy {nα} {(n + q)α} < 1/N. Ha {nα} < {(n + q)α}, akkor a hasznos észrevétel alapján az {nα}, {(n + q)α}, {(n + 2q)α},... pontok a körvonalon {qα} = {(n + q)α} {nα} < 1/N hosszú íveket határoznak meg. = bármely legfeljebb 1/N hosszú ívbe esik valamely {(n + jq)α}. {(n + jq)α} {qα} {(n + 3q)α} 0 {(n + 2q)α} {(n + q)α} {nα} Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
22 Állhat-e egy kettőhatvány elején 2016? A babérok learatása. Adott N esetén létezik n < m = n + q N + 1 (tehát 1 q N), hogy {nα} {(n + q)α} < 1/N. 1 {qα} 0 {nα} {(n + q)α} Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
23 Állhat-e egy kettőhatvány elején 2016? A babérok learatása. Adott N esetén létezik n < m = n + q N + 1 (tehát 1 q N), hogy {nα} {(n + q)α} < 1/N. Ha {nα} < {(n + q)α}, akkor az {nα}, {(n + q)α}, {(n + 2q)α},... pontok a körvonalon 1 {qα} = {(n + q)α} {nα} < 1/N hosszú íveket határoznak meg negatív körüljárás szerint. = bármely legfeljebb 1/N hosszú ívbe esik valamely {(n + jq)α}. {(n + jq)α} {(n + 3q)α} {(n + 2q)α} 1 {qα} 0 {nα} {(n + q)α} Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
24 Állhat-e egy kettőhatvány elején 2016? Tétel (törtrészek sűrű elhelyezkedése). Legyen α irracionális szám. Ekkor és csakis ekkor a [0, 1] intervallum bármely nemüres nyílt részintervallumába esik az ({nα}) sorozatnak tagja (szükségképpen végtelen sok). Azt mondjuk, hogy a sorozat mindenütt sűrű a [0, 1] intervallumban (Georg Cantor: überall-dicht, 1879). Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
25 Állhat-e egy kettőhatvány elején 2016? Tétel (törtrészek sűrű elhelyezkedése). Legyen α irracionális szám. Ekkor és csakis ekkor a [0, 1] intervallum bármely nemüres nyílt részintervallumába esik az ({nα}) sorozatnak tagja (szükségképpen végtelen sok). Azt mondjuk, hogy a sorozat mindenütt sűrű a [0, 1] intervallumban (Georg Cantor: überall-dicht, 1879). Következmény. Végtelen sok olyan kettőhatvány van, amely 2016-tal kezdődik (a tízes számrendszerben). Sőt, tetszőleges véges számjegysorozat állhat bármely r > 1 alapú hatvány elején, ha log 10 r irracionális. Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
26 Állhat-e egy kettőhatvány elején 2016? Tétel (törtrészek sűrű elhelyezkedése). Legyen α irracionális szám. Ekkor és csakis ekkor a [0, 1] intervallum bármely nemüres nyílt részintervallumába esik az ({nα}) sorozatnak tagja (szükségképpen végtelen sok). Azt mondjuk, hogy a sorozat mindenütt sűrű a [0, 1] intervallumban (Georg Cantor: überall-dicht, 1879). Következmény. Végtelen sok olyan kettőhatvány van, amely 2016-tal kezdődik (a tízes számrendszerben). Sőt, tetszőleges véges számjegysorozat állhat bármely r > 1 alapú hatvány elején, ha log 10 r irracionális. Megjegyzés. A 10 hatványainak első számjegyei 10-es számrendszerben: 1, 1, 1,.... A 2 hatványainak első jegyei 4-es számrendszerben: 1, 2, 1, 2, 1,.... Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
27 Egy hasznos melléktermék. Tétel (Lejeune Dirichlet, 1842: régóta ismert ). Tetszőleges α irracionális és N természetes szám esetén van olyan p/q racionális szám, hogy 1 q N és α p q < 1 Nq. Következésképpen végtelen sok olyan p/q racionális szám van, amelyre α p q < 1. q 2 (Ez a diofantikus approximációelmélet egy alapvető eredménye.) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
28 Egy hasznos melléktermék. Tétel (Lejeune Dirichlet, 1842: régóta ismert ). Tetszőleges α irracionális és N természetes szám esetén van olyan p/q racionális szám, hogy 1 q N és α p q < 1 Nq. Következésképpen végtelen sok olyan p/q racionális szám van, amelyre α p q < 1. q 2 (Ez a diofantikus approximációelmélet egy alapvető eredménye.) Bizonyítás. A babérok aratása közben kijött: létezik 1 q N, hogy {qα} < 1/N vagy 1 {qα} < 1/N. Ekkor van olyan p egész, amelyre qα p < 1/N. qα qα p 1 p 1 p N p + 1 N p {qα} {qα} Ezután legyen p 2 /q 2, amelyre α p 2 q 2 < 1 N 2 q 2 1 N 2 < α p 2 q 2 stb. Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
29 Melyik a legkisebb 2016-tal kezdődő kettőhatvány? = (Köszönet Száz Dénesnek a számításért.) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
30 Mekkora a 2016-tal kezdődő kettőhatványok aránya? A kettőhatványok milyen arányban kezdődnek 2016-tal? Adott N ( nagy ) szám esetén a 2, 2 2,..., 2 N hatványok közül mekkora a 2016-tal kezdődők aránya, vagyis {1 n N : 2 n első négy jegye 2016}? N (Itt H a H véges halmaz elemszámát jelöli.) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
31 Mekkora a 2016-tal kezdődő kettőhatványok aránya? A kettőhatványok milyen arányban kezdődnek 2016-tal? Adott N ( nagy ) szám esetén a 2, 2 2,..., 2 N hatványok közül mekkora a 2016-tal kezdődők aránya, vagyis {1 n N : 2 n első négy jegye 2016}? N (Itt H a H véges halmaz elemszámát jelöli.) Átfogalmazás a törtrészekre: {1 n N : {log } {n log 10 2} < {log }}? N Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
32 Mekkora a 2016-tal kezdődő kettőhatványok aránya? A kettőhatványok milyen arányban kezdődnek 2016-tal? Adott N ( nagy ) szám esetén a 2, 2 2,..., 2 N hatványok közül mekkora a 2016-tal kezdődők aránya, vagyis {1 n N : 2 n első négy jegye 2016}? N (Itt H a H véges halmaz elemszámát jelöli.) Átfogalmazás a törtrészekre: {1 n N : {log } {n log 10 2} < {log }}? N Általában adott α irracionális szám esetén az ({nα}) sorozat tagjainak hányad része esik egy [a, b] [0, 1] intervallumba (vagy a körvonal egy adott ívére)? Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
33 Mekkora a 2016-tal kezdődő kettőhatványok aránya? A kettőhatványok milyen arányban kezdődnek 2016-tal? Adott N ( nagy ) szám esetén a 2, 2 2,..., 2 N hatványok közül mekkora a 2016-tal kezdődők aránya, vagyis {1 n N : 2 n első négy jegye 2016}? N (Itt H a H véges halmaz elemszámát jelöli.) Átfogalmazás a törtrészekre: {1 n N : {log } {n log 10 2} < {log }}? N Általában adott α irracionális szám esetén az ({nα}) sorozat tagjainak hányad része esik egy [a, b] [0, 1] intervallumba (vagy a körvonal egy adott ívére)? Lenyűgöző válasz: amekkora az intervallum hossza (másképpen fogalmazva: időátlag = térátlag). Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
34 Mekkora a 2016-tal kezdődő kettőhatványok aránya? Tétel (törtrészek egyenletes eloszlása). Ha α irracionális szám, akkor bármely [a, b] [0, 1] intervallumba az ({nα}) sorozat tagjainak (b a)-ad része esik, pontosabban {1 n N : a {nα} b} lim = b a. N N Azt mondjuk, hogy az (nα) sorozat modulo 1 egyenletes eloszlású. Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
35 Mekkora a 2016-tal kezdődő kettőhatványok aránya? Tétel (törtrészek egyenletes eloszlása). Ha α irracionális szám, akkor bármely [a, b] [0, 1] intervallumba az ({nα}) sorozat tagjainak (b a)-ad része esik, pontosabban {1 n N : a {nα} b} lim = b a. N N Azt mondjuk, hogy az (nα) sorozat modulo 1 egyenletes eloszlású. Következmény A 2016-tal kezdődők kettőhatványok aránya log , d+1 A d számjeggyel kezdődő kettőhatványok aránya log 10 d, így a kettőhatványok (sőt r n, ahol log 10 r / Q) első számjegyeinek eloszlása: r n első számjegye gyakoriság (%) 30,1 17,6 12,5 9,7 7,9 6,7 5,8 5,1 4,6 Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
36 Mekkora az adott jeggyel kezdődő kettőhatványok aránya? A kettőhatványok első számjegyeinek eloszlása. % ,1 17,6 12,5 9,7 7,9 ( y(x) = log ) x 6,7 5,8 5,1 4, n első számjegye n n n ,6 12,6 9,8 7,8 6,8 5,6 5,2 4, Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
37 Mekkora az adott jeggyel kezdődő kettőhatványok aránya? Az 1-gyel kezdődő kettőhatványok aránya elemi okoskodással. Minden k-ra van k-jegyű kettőhatvány, különben valamilyen l-re 2 l < 10 k 1 és 2 l+1 10 k, de ekkor 2 = 2 l+1 /2 l > 10 lenne. Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
38 Mekkora az adott jeggyel kezdődő kettőhatványok aránya? Az 1-gyel kezdődő kettőhatványok aránya elemi okoskodással. Minden k-ra van k-jegyű kettőhatvány, különben valamilyen l-re 2 l < 10 k 1 és 2 l+1 10 k, de ekkor 2 = 2 l+1 /2 l > 10 lenne. A k-jegyű kettőhatványok között csakis a legkisebb kezdődik 1-gyel: ha a legkisebb nem 1-gyel kezdődne, akkor 2 l 2 10 k 1, de ekkor 2 l 1 10 k 1, azaz 2 l 1 egy kisebb k-jegyű kettőhatvány; ha lenne két különböző, akkor 10 k 1 2 l, 2 l+1 < 2 10 k 1, és így 2 = 2 l+1 /2 l < 2 lenne. Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
39 Mekkora az adott jeggyel kezdődő kettőhatványok aránya? Az 1-gyel kezdődő kettőhatványok aránya elemi okoskodással. Minden k-ra van k-jegyű kettőhatvány, különben valamilyen l-re 2 l < 10 k 1 és 2 l+1 10 k, de ekkor 2 = 2 l+1 /2 l > 10 lenne. A k-jegyű kettőhatványok között csakis a legkisebb kezdődik 1-gyel: ha a legkisebb nem 1-gyel kezdődne, akkor 2 l 2 10 k 1, de ekkor 2 l 1 10 k 1, azaz 2 l 1 egy kisebb k-jegyű kettőhatvány; ha lenne két különböző, akkor 10 k 1 2 l, 2 l+1 < 2 10 k 1, és így 2 = 2 l+1 /2 l < 2 lenne. = Az 1-gyel kezdődő kettőhatványok [ száma ] 2 N -ig ugyanannyi, mint 2 N számjegyeinek száma, vagyis log 10 2 N + 1. Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
40 Mekkora az adott jeggyel kezdődő kettőhatványok aránya? Az 1-gyel kezdődő kettőhatványok aránya elemi okoskodással. Minden k-ra van k-jegyű kettőhatvány, különben valamilyen l-re 2 l < 10 k 1 és 2 l+1 10 k, de ekkor 2 = 2 l+1 /2 l > 10 lenne. A k-jegyű kettőhatványok között csakis a legkisebb kezdődik 1-gyel: ha a legkisebb nem 1-gyel kezdődne, akkor 2 l 2 10 k 1, de ekkor 2 l 1 10 k 1, azaz 2 l 1 egy kisebb k-jegyű kettőhatvány; ha lenne két különböző, akkor 10 k 1 2 l, 2 l+1 < 2 10 k 1, és így 2 = 2 l+1 /2 l < 2 lenne. = Az 1-gyel kezdődő kettőhatványok [ száma ] 2 N -ig ugyanannyi, mint 2 N számjegyeinek száma, vagyis log 10 2 N + 1. = log 10 2 {1 n N : 2n első jegye 1} N log N. Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
41 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról Tétel (három távolság tétele). Ha α / Q, akkor minden N-re az {nα}, n = 0, 1,..., N pontok által a körvonalon adódó ívek között legfeljebb háromféle ívhosszúság fordul elő. 0 (Hugo Steinhaus sejtése. Bizonyítások: Erdős Pál, Hajós György, Szüsz Péter, Surányi János, T. Sós Vera, Stanisław Świerczkowski, ) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
42 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról Tétel (három távolság tétele). Ha α / Q, akkor minden N-re az {nα}, n = 0, 1,..., N pontok által a körvonalon adódó ívek között legfeljebb háromféle ívhosszúság fordul elő. 1 0 (Hugo Steinhaus sejtése. Bizonyítások: Erdős Pál, Hajós György, Szüsz Péter, Surányi János, T. Sós Vera, Stanisław Świerczkowski, ) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
43 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról Tétel (három távolság tétele). Ha α / Q, akkor minden N-re az {nα}, n = 0, 1,..., N pontok által a körvonalon adódó ívek között legfeljebb háromféle ívhosszúság fordul elő (Hugo Steinhaus sejtése. Bizonyítások: Erdős Pál, Hajós György, Szüsz Péter, Surányi János, T. Sós Vera, Stanisław Świerczkowski, ) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
44 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról Tétel (három távolság tétele). Ha α / Q, akkor minden N-re az {nα}, n = 0, 1,..., N pontok által a körvonalon adódó ívek között legfeljebb háromféle ívhosszúság fordul elő (Hugo Steinhaus sejtése. Bizonyítások: Erdős Pál, Hajós György, Szüsz Péter, Surányi János, T. Sós Vera, Stanisław Świerczkowski, ) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
45 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról Tétel (három távolság tétele). Ha α / Q, akkor minden N-re az {nα}, n = 0, 1,..., N pontok által a körvonalon adódó ívek között legfeljebb háromféle ívhosszúság fordul elő (Hugo Steinhaus sejtése. Bizonyítások: Erdős Pál, Hajós György, Szüsz Péter, Surányi János, T. Sós Vera, Stanisław Świerczkowski, ) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
46 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról Tétel (három távolság tétele). Ha α / Q, akkor minden N-re az {nα}, n = 0, 1,..., N pontok által a körvonalon adódó ívek között legfeljebb háromféle ívhosszúság fordul elő (Hugo Steinhaus sejtése. Bizonyítások: Erdős Pál, Hajós György, Szüsz Péter, Surányi János, T. Sós Vera, Stanisław Świerczkowski, ) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
47 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról Tétel (három távolság tétele). Ha α / Q, akkor minden N-re az {nα}, n = 0, 1,..., N pontok által a körvonalon adódó ívek között legfeljebb háromféle ívhosszúság fordul elő (Hugo Steinhaus sejtése. Bizonyítások: Erdős Pál, Hajós György, Szüsz Péter, Surányi János, T. Sós Vera, Stanisław Świerczkowski, ) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
48 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról Tétel (három távolság tétele). Ha α / Q, akkor minden N-re az {nα}, n = 0, 1,..., N pontok által a körvonalon adódó ívek között legfeljebb háromféle ívhosszúság fordul elő (Hugo Steinhaus sejtése. Bizonyítások: Erdős Pál, Hajós György, Szüsz Péter, Surányi János, T. Sós Vera, Stanisław Świerczkowski, ) 7 0 Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
49 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról Tétel (három távolság tétele). Ha α / Q, akkor minden N-re az {nα}, n = 0, 1,..., N pontok által a körvonalon adódó ívek között legfeljebb háromféle ívhosszúság fordul elő (Hugo Steinhaus sejtése. Bizonyítások: Erdős Pál, Hajós György, Szüsz Péter, Surányi János, T. Sós Vera, Stanisław Świerczkowski, ) 7 0 Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
50 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról Tétel (három távolság tétele). Ha α / Q, akkor minden N-re az {nα}, n = 0, 1,..., N pontok által a körvonalon adódó ívek között legfeljebb háromféle ívhosszúság fordul elő (Hugo Steinhaus sejtése. Bizonyítások: Erdős Pál, Hajós György, Szüsz Péter, Surányi János, T. Sós Vera, Stanisław Świerczkowski, ) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
51 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról Tétel (három távolság tétele). Ha α / Q, akkor minden N-re az {nα}, n = 0, 1,..., N pontok által a körvonalon adódó ívek között legfeljebb háromféle ívhosszúság fordul elő (Hugo Steinhaus sejtése. Bizonyítások: Erdős Pál, Hajós György, Szüsz Péter, Surányi János, T. Sós Vera, Stanisław Świerczkowski, ) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
52 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról Tétel (három távolság tétele). Ha α / Q, akkor minden N-re az {nα}, n = 0, 1,..., N pontok által a körvonalon adódó ívek között legfeljebb háromféle ívhosszúság fordul elő (Hugo Steinhaus sejtése. Bizonyítások: Erdős Pál, Hajós György, Szüsz Péter, Surányi János, T. Sós Vera, Stanisław Świerczkowski, ) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
53 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról Tétel (három távolság tétele). Ha α / Q, akkor minden N-re az {nα}, n = 0, 1,..., N pontok által a körvonalon adódó ívek között legfeljebb háromféle ívhosszúság fordul elő (Hugo Steinhaus sejtése. Bizonyítások: Erdős Pál, Hajós György, Szüsz Péter, Surányi János, T. Sós Vera, Stanisław Świerczkowski, ) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
54 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról Tétel (három távolság tétele). Ha α / Q, akkor minden N-re az {nα}, n = 0, 1,..., N pontok által a körvonalon adódó ívek között legfeljebb háromféle ívhosszúság fordul elő (Hugo Steinhaus sejtése. Bizonyítások: Erdős Pál, Hajós György, Szüsz Péter, Surányi János, T. Sós Vera, Stanisław Świerczkowski, ) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
55 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról Tétel (három távolság tétele). Ha α / Q, akkor minden N-re az {nα}, n = 0, 1,..., N pontok által a körvonalon adódó ívek között legfeljebb háromféle ívhosszúság fordul elő (Hugo Steinhaus sejtése. Bizonyítások: Erdős Pál, Hajós György, Szüsz Péter, Surányi János, T. Sós Vera, Stanisław Świerczkowski, ) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
56 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról Tétel (három távolság tétele). Ha α / Q, akkor minden N-re az {nα}, n = 0, 1,..., N pontok által a körvonalon adódó ívek között legfeljebb háromféle ívhosszúság fordul elő (Hugo Steinhaus sejtése. Bizonyítások: Erdős Pál, Hajós György, Szüsz Péter, Surányi János, T. Sós Vera, Stanisław Świerczkowski, ) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
57 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról Tétel (három távolság tétele). Ha α / Q, akkor minden N-re az {nα}, n = 0, 1,..., N pontok által a körvonalon adódó ívek között legfeljebb háromféle ívhosszúság fordul elő (Hugo Steinhaus sejtése. Bizonyítások: Erdős Pál, Hajós György, Szüsz Péter, Surányi János, T. Sós Vera, Stanisław Świerczkowski, ) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
58 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról Tétel (három távolság tétele). Ha α / Q, akkor minden N-re az {nα}, n = 0, 1,..., N pontok által a körvonalon adódó ívek között legfeljebb háromféle ívhosszúság fordul elő (Hugo Steinhaus sejtése. Bizonyítások: Erdős Pál, Hajós György, Szüsz Péter, Surányi János, T. Sós Vera, Stanisław Świerczkowski, ) Sőt, T. Sós Vera bámulatos eredménye szerint az 1, 2..., N számoknak a körvonalon kapott permutációja egyértelműen meghatározható csupán a 0 két szomszédjának sorszámából (α és az ábra ismerete nélkül)! Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
59 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról További érdekességek az ({nα}) sorozat kapcsán. Motiváció: Christiaan Huygens fogaskerék planetáriuma (1682), égi mechanika, bolygók egymásra való hatásai, perturbációszámítás. Sűrűségi tétel: Nicole Oresme (1360 körül), két pont egyenletes körmozgása egy körvonal mentén irracionális arányú sebességekkel = bármely íven lesz találkozási pont (érdemes meggondolni). Egyenletes eloszlási tétel: Piers Bohl, Wacław Sierpiński, Hermann Weyl, (Elemi bizonyítás: finomítsuk a korábbiakat!) Sűrű sorozatok: ({ n}), ({log n}), ({sin n}) mindenütt sűrűek a [0, 1]-en, de csak ({ n}) egyenletes eloszlású (érdemes meggondolni). Egyenletes eloszlású sorozatok: ({n n α}), ha α irracionális (H. Weyl 1916), ({p n α}), ahol p n az n-edik prím (I. M. Vinogradov 1948). Skatulyaelv: Jean Leurechon (1622), Biztosan van két ember, akinek ugyanannyi hajszála vagy pénzérméje van. Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
60 Érdekességek a törtrészek eloszlásáról A diofantikus approximáció egy alkalmazása. Huygens planetáriuma (készítette: Johannes van Ceulen órásmester, 1682) Föld évi elfordulása Szaturnusz évi elfordulása = (hiba: 0,00312) 7 = Szaturnusz fogaskereke 206 fogú, amely a főtengelyhez egy 7 fogú keréken keresztül kapcsolódik. Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
61 Érdekességek az első számjegyek eloszlásáról Az USA államainak népessége (2010. április 1., US Census Bureau). Melyik táblázatban szerepelnek a valódi adatok? Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
62 Érdekességek az első számjegyek eloszlásáról Az USA államainak népessége (2010. április 1., US Census Bureau). Melyik táblázatban szerepelnek a valódi adatok? Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
63 Érdekességek az első számjegyek eloszlásáról Az USA államainak népessége (2010. április 1., US Census Bureau). Melyik táblázatban szerepelnek a valódi adatok? = Ötlet: vizsgáljuk meg az első számjegyek eloszlását! első számjegy táblázat (db) táblázat (db) táblázat (%) 23,5 13,7 9,8 7,8 11,7 15,6 1,9 7,8 7,8 2. táblázat (%) 9,8 11,7 11,7 11,7 11,7 9,8 9,8 11,7 11,7 2 n (%) 30,1 17,6 12,5 9,7 7,9 6,7 5,8 5,1 4,6 Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
64 Érdekességek az első számjegyek eloszlásáról Az USA államainak népessége (2010. április 1., US Census Bureau). Az első számjegyek eloszlása a két táblázatban. % táblázat 2. táblázat 2 n első jegye Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
65 Érdekességek az első számjegyek eloszlásáról Az USA államainak népessége (2010. április 1., US Census Bureau). Az első számjegyek eloszlása a két táblázatban. % táblázat 2. táblázat 2 n első jegye = sejtés (helyes): az 1. táblázat tartalmaz valódi adatokat. Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
66 Érdekességek az első számjegyek eloszlásáról Exponenciális növekedés (mértani sorozat). A természetben gyakoriak az exponenciális jellegű folyamatok: népességnövekedés c r n (Malthus törvénye, 1798), Fibonacci-sorozat ϕn 5, ahol ϕ = az aranymetszés száma. Simon Newcomb (csillagász), 1881: logaritmustáblák első oldalai piszkosabbak a többinél. Frank Benford (mérnök, GE), 1938, The Law of Anomalous Numbers: számos adathalmaz első számjegyei követik ugyanazt az eloszlást, a Természet úgy számol, hogy e 0, e 1, e 2,.... Alkalmazás: könyvelési és adócsalások felderítése (Mark Nigrini), lebegőpontos számok (Donald Knuth). Valószínűségi magyarázat: véletlen eloszlásokból véletlenszerűen választva Benford-eloszlást kapunk (Theodore Hill). Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
67 Érdekességek az első számjegyek eloszlásáról Newcomb táblázata 1881-ből. Simon Newcomb ( ) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
68 Érdekességek az első számjegyek eloszlásáról Benford táblázata 1938-ból. Frank Benford ( ) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
69 Érdekességek az első számjegyek eloszlásáról Benford-törvény az n! értékeire (n 100). % Faktoriális Benford Nem exponenciális, hanem n! ( n e )n 2πn (de Moivre Stirling-formula). Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
70 Érdekességek az első számjegyek eloszlásáról Benford-törvény a Föld országainak területeire (km 2 ). % Terület Benford Exponenciális növekedési modell? (Adatok: CIA World Factbook, 2014.) Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
71 Érdekességek az első számjegyek eloszlásáról Benford-törvény a Föld országainak GDP értékeire ($). % GDP Benford Bárki készíthet hasonló diagramokat, ez szórakoztató módja a különböző adatokban rejlő rend és rendezetlenség felderítésének. Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
72 Érdekességek az első számjegyek eloszlásáról Vigyázat: az 1-essel kezdődő természetes számok aránya n-ig Hol találhatók a lokális maximumok/minimumok és mennyi az értékük? (Hogyan értelmeznénk a függvény átlagos értékét és mennyi lenne?) n Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
73 Gondolkodnivaló KöMaL F jelű feladat (1987. január). Ismeretes, hogy a 2 természetes kitevőjű hatványainak utolsó jegye periodikusan ismétlődik. Igaz-e ugyanez az első jegyre? KöMaL B jelű feladat (2002. május). Kezdődhet-e egy köbszám a tízes számrendszerben 2002 darab egyessel? Keményebb dió. A négyzetszámok, köbszámok stb. első számjegyei vajon követik-e a Benford-törvényt? (Vigyázat: Vlagyimir Arnold, Közönséges differenciálegyenletek című könyvének magyar fordításában hibás válasz szerepel.) Utolsó kérdés, de ez már egy másik előadás témája lehetne... Mi a helyzet a kettőhatványok utolsó k darab számjegyeivel? Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
74 Olvasni- és néznivalók Freud Róbert Gyarmati Edit, Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, A. M. Jaglom I. M. Jaglom, Nem elemi feladatok elemi tárgyalásban, Typotex, Budapest, Laczkovich Miklós, Sejtés és bizonyítás, Typotex, Budapest, Székely J. Gábor, Paradoxonok a véletlen matematikájában, Typotex, Budapest, (korábbi kiadás: Typotex, Műszaki Könyvkiadó, 1982.) Warren Weaver, Szerencse kisasszony (A valószínűség elmélete), Kairosz, Budapest, (korábbi kiadás: Gondolat, 1979.) T. Sós Vera, Rend, rendezetlenség és ami a kettő között van, KöMaL Ankét, november 6., James Tanton, Benford s law, Benford Online Bibliography, Three-Distance Theorem, Wolfram Demonstrations Project, Besenyei Ádám (ELTE) Érdekességek az első számjegyek kapcsán Tanárklub, / 32
75 Köszönöm a figyelmet!
Számelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Elemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Analízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Véletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás
Véletlenszám generátorok és tesztelésük Tossenberger Tamás Érdekességek Pénzérme feldobó gép: $0,25-os érme 1/6000 valószínűséggel esik az élére 51% eséllyel érkezik a felfelé mutató oldalára Pörgetésnél
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán
A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán Besenyei Ádám A következőkben a matematikának több ágában is fontos szerepet betöltő eszközével, a Baire kategória-tétellel és annak néhány alkalmazásával ismertetjük
Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
Egészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
Prímszámok statisztikai analízise
Prímszámok statisztikai analízise Puszta Adrián 28. április 18. Kivonat Munkám során a prímszámok és a páros prímek eloszlását, illetve különbségét vizsgáltam, majd ebből következtettem a véletlenszerű
Szakács Lili Kata megoldása
1. feladat Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számnak van olyan többszöröse, ami 0-tól 9-ig az összes számjegyet tartalmazza legalább egyszer! Andó Angelika megoldása Áll.: minden a Z + -nak van olyan
2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját!
1. Egy 27 fős osztályban mindenki tesz érettségi vizsgát angolból vagy németből. 23 diák vizsgázik angolból, 12 diák pedig németből. Hány olyan diák van az osztályban, aki angolból és németből is tesz
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok
Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)
Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz. Diszkrét matematika 2.C szakirány 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 207.
Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x
f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév
9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek
RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok
Halmazok Jelölések: A halmazok jele általában nyomtatott nagybetű: A, B, C Az x eleme az A halmaznak: Az x nem eleme az A halmaznak: Az A halmaz az a, b, c elemekből áll: A halmazban egy elemet csak egyszer
Matematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT
Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Mi a véletlen? Determinisztikus vs. Véletlen esemény? Véletlenszám: számok sorozata, ahol véletlenszerűen követik egymást az elemek Pszeudo-véletlenszám
Matematika pótvizsga témakörök 9. V
Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális
Egy halmazt elemei megadásával tekintünk ismertnek. Az elemeket felsorolással,vagy ha lehet a rájuk jellemző közös tulajdonság megadásával adunk meg.
Halmazelmélet A matematikai halmazelmélet megalapítója Georg Cantor (1845 1918) matematikus. Cantor Oroszországban született, de életét Németországban töltötte. Egy halmazt elemei megadásával tekintünk
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és
1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek
1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza
OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
4. Sorozatok. 2. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 100 =
4. Sorozatok Megjegyzés: A szakirodalomban használt a sorozat tagjáról, máskor eleméről beszélni. Az alábbiakban mindkét kifejezést használtuk megtartva a feladatok eredeti fogalmazását. I. Feladatok.
Örök visszatérés Periodikus sorozatok Sorozatok 2. feladatcsomag
Örök visszatérés Periodikus sorozatok Sorozatok 2. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 13 16 év szabályfelismerés, szabályalkotás oszthatóság, maradékosztályok racionális és irracionális számok
1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
Algoritmuselmélet. Hashelés. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Algoritmuselmélet Hashelés Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 9. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 9. előadás
Ramsey-féle problémák
FEJEZET 8 Ramsey-féle problémák "Az intelligens eljárást az jellemzi, hogy még a látszólag megközelíthetetlen célhoz is utat nyit, megfelelő segédproblémát talál ki és először azt oldja meg." Pólya György:
ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11.
ARANYMETSZÉS - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka 2014. június 11. Zenta TARTALMI ÁTTEKINTÉS Az aranymetszés fogalma eredete és előfordulása
7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?
7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom
Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,
Közepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán
Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör Megnyitója Debrecen, 015. szeptember 7. AGH-egyenl tlenség Tétel Értelmezzük
Valószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma
A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok
1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok
Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 204 205 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)
Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika 1. félév 1. Gondolkozz és számolj! A természetes szám fogalma, műveleti tulajdonságok Helyiértékek rendszere a tízes számrendszerben: alakiérték, tényleges
MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. évfolyam 1. félév ESZKÖZÖK Matematika A 9. évfolyam 1. modul 1.1 dominó { 5-re végződő páros számok } { az x < 0 egyenlet megoldásai } { a Föld holdjai }
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Hajnal Péter. Bolyai Intézet, TTIK, SZTE, Szeged április 8.
Fibonacci- számok és tányérok Hajnal Péter Bolyai Intézet, TTIK, SZTE, Szeged 2017. április 8. A Fibonacci-sorozat A Fibonacci-sorozat Rekurzív definíció F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n 1 + F n 2. A Fibonacci-sorozat
Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb
Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb 2004_02/4 Tegyél * jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Biztosan Lehet hogy, de nem biztos Lehetetlen a) b) c) Négy egymást követő természetes
Formális nyelvek és automaták
Formális nyelvek és automaták Nagy Sára gyakorlatai alapján Készítette: Nagy Krisztián 2. gyakorlat Ismétlés: Megjegyzés: Az ismétlés egy része nem szerepel a dokumentumban, mivel lényegében a teljes 1.
Számelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha
MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész
MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.
MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam
MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1 TARTALOM 11.osztály (222 óra)... 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra)... 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra)... 3 3. Függvények,
Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...
Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...) Története Az ókortól kezdve rengeteg feltört titkosírás létezik. Monoalfabetikus
Assembly programozás: 2. gyakorlat
Assembly programozás: 2. gyakorlat Számrendszerek: Kettes (bináris) számrendszer: {0, 1} Nyolcas (oktális) számrendszer: {0,..., 7} Tízes (decimális) számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális
Algoritmuselmélet. Hashelés. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Algoritmuselmélet Hashelés Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 8. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 8. előadás
2016, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat
egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.
Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
Algoritmuselmélet 6. előadás
Algoritmuselmélet 6. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Március 4. ALGORITMUSELMÉLET 6. ELŐADÁS 1 Hash-elés
Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Megyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló
Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. Mennyi a tizenkilencedik prím és a tizenkilencedik összetett szám szorzata? (A) 00 (B) 0 (C) 0 (D) 04 (E) Az előző válaszok egyike sem helyes.. Az 000
TANTÁRGYI ADATLAP. 2.7 A tantárgy jellege DI
TANTÁRGYI ADATLAP 1. Programadatok 1.1 Intézmény Sapientia, Erdélyi Magyar Tudományegyetem 1.2 Kar Műszaki és Humántudományok 1.3 Intézet Matematika Informatika 1.4 Szak Informatika 1.5 Tanulmányi típus
4,5 1,5 cm. Ezek alapján 8 és 1,5 cm lesz.
1. Tekintse az oldalsó ábrát! a. Mekkora lesz a 4. sor téglalap mérete? b. Számítsa ki az ábrán látható három téglalap területösszegét! c. Mekkora lesz a 018. sorban a téglalap oldalai? d. Hány téglalapot
Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
Függvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel
Megoldások 9. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege
Tartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
Sorozatok határértéke VÉGTELEN SOROK
Sorozatok határértéke VÉGTELEN SOROK Végtelen valós számsor: Definíció: Az a n sorozat tagjaiból képzett a 1 + a 2 + + a n + végtelen összeget végtelen valós számsornak, röviden sornak nevezzük. Sor részletösszegei:
Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.
A továbbiakban Y = {0, 1}, azaz minden szóhoz egy bináris sorozatot rendelünk
1. Kódelmélet Legyen X = {x 1,..., x n } egy véges, nemüres halmaz. X-et ábécének, elemeit betűknek hívjuk. Az X elemeiből képzett v = y 1... y m sorozatokat X feletti szavaknak nevezzük; egy szó hosszán
Hatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
Logika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás
Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának