Pénzügyi matematika. Sz cs Gábor. Szeged, szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Pénzügyi matematika. Sz cs Gábor. Szeged, 2011. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet"

Átírás

1 Pénzügyi matematika Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 1 / 79

2 Értékpapírpiacok Bevezetés Értékpapírpiacok A t zsde (piac, market) egy olyan intézmény, melyen a résztvev k különféle eszközökkel (devizával, értékpapírral, árúval, energiával, stb.) kereskednek. Mi az értékt zsdével, tehát a devizák és értékpapírok piacával foglalkozunk. Törvényileg el írt szabályok: minden résztvev ugyanazokhoz az információkhoz juthat hozzá (tiltott a bennfentes kereskedés); minden pénzügyi eszköz esetén engedélyezett a short selling (fedezetlen eladás). Feltevések, melyek a valóságban (általában) nem teljesülnek: minden pénzügyi eszköz (deviza és értékpapír) korlátlanul osztható és likvid (bármikor eladható és megvásárolható); nincsenek tranzakciós költségek, megbízási jutalékok; a banki betét- és hitelkamatok egyenl ek; nincs korlátozás a bankkölcsön nagyságára és az értékpapírvásárlás mennyiségére. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 2 / 79

3 Bevezetés Értékpapírpiacok Matematikai modellek: mindig egy rögzített [0, T ] id intervallumot vizsgálunk; a determinisztikus T > 0 értéket lejárati id pontnak nevezzük; a cél bizonyos termékek piaci árának modellezése; további cél egy optimális kereskedési stratégia kidolgozása. Modellek típusai: diszkrét idej modellek: csak bizonyos 0 = t 0 < t 1 < < t N = T id pontokban kereskedhetünk, és emiatt az értékpapírok árát is csak ezekben az id pontokban vizsgáljuk. folytonos idej modellek: a [0, T ] intervallumon bármely id pontban kereskedhetünk, ezért az árakat folytonos id ben modellezzük. A piaci szerepl k a valóságban (általában) folytonos idej modelleket alkalmaznak, de a tranzakciós költségek miatt csak véges sok id pontban kereskednek. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 3 / 79

4 Bevezetés Értékpapírpiacok Részvény (Stock) Olyan eszköz, melynek nincs rögzített hozama. A piaci ára egy 0 t T id pontban egy S t véletlen változó, melynek értéke a t id pont el tt (általában) nem ismert. Kötvény (Bond) Olyan eszköz, melynek el re bejelentett kamata van, tehát kockázatmentes. Értéke egy 0 t T id pontban B t, mely a t id pont el tt is ismert. Például, diszkrét idej piacokon: (0 = t 0 < t 1 < < t N = T) a részvény ára a t k id pontban S k = S tk, mely csak a t k id pontban válik ismerté; a kötvény ára ugyanebben az id pontban B k = B tk, melyet legkés bb a t k 1 id pontban kihírdetnek. A modellekben egy vagy több részvénnyel, de csak egy kötvénnyel dolgozunk. (A piacon több kötvény is létezhet, de mi mindig kiválasztjuk azt, amelyik a legmagasabb hozamot biztosítja.) Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 4 / 79

5 Bevezetés Származtatott értékpapírok Származtatott értékpapírok Opciók Opciónak nevezünk egy olyan szerz dést, melyben az egyik fél vételi vagy eladási kötelezettséget vállal bizonyos piaci termékre a másik féllel szemben. Opciók közös jellemz i: a kötelezettséget vállaló felet az opció eladójának nevezzük, és azt mondjuk, hogy rövid (short) pozícióban van; a másik felet vev nek hívjuk, aki hosszú (long) pozícióban van; az opció mindig egy rögzített és véges [0, T ] id intervallumra vonatkozik, T a szerz dés lejárati id pontja; a kötelezettség általában csak akkor lép életbe, ha bizonyos piaci feltételek teljesülnek; az opció érvényesítését lehívásnak nevezzük; a vev a szerz dés megkötésekor a kötelezettségvállalásért cserébe díjat zet az eladónak, ez az opció ára. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 5 / 79

6 Bevezetés Származtatott értékpapírok Az opciós szerz déseket tovább lehet adni a másodlagos piacon, gyakorlatilag értékpapírnak tekinthet ek. Származtatott értékpapírok (derivatívák) A származtatott értékpapírok olyan pénzügyi eszközök, melyek értéke más eszközök értékét l függ. Megjegyzés: Általában az opció tulajdonosa (a kedvezményezett) nem érvényesíti a vételi vagy eladási jogát, hanem az eladó az aktuális piaci árak alapján készpénzzel váltja ki a kötelezettségét. (Tranzakciós költségek!) Kizetési függvény A kizetési függvény azt mutatja meg, hogy az opció tulajdonosa mekkora pénzösszeget realizál, ha optimálisan használja fel a jogosultságát. F kérdés: Hogyan árazzunk egy opciót, tehát mennyiért adjuk el vagy vásároljuk meg, hogy megérje nekünk? Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 6 / 79

7 Bevezetés Származtatott értékpapírok Európai vételi (call) opció Vételi jog (de nem kötelesség) egy adott részvényre. Az eladó vállalja, hogy a T lejárati id pontban a szerz désben rögzített K áron elad egy darab részvényt az opció aktuális tulajdonosának, ha az ezt akarja. Az európai vételi opció jellemz i: a K értéket kötési árnak (strike) nevezzük; a továbbiakban C jelöli az opció piaci árát; kizetési függvény: f (S T ) = (S T K) + ; a vev nyeresége: f (S T ) C = (S T K) + C; az eladó nyeresége: C f (S T ) = C (S T K) +. C K S T C K S T K S T Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 7 / 79

8 Bevezetés Származtatott értékpapírok Európai eladási (put) opció Eladási jog (de nem kötelesség) egy adott részvényre. Az eladó vállalja, hogy a T lejárati id pontban a szerz désben rögzített K áron megvesz egy darab részvényt az opció aktuális tulajdonosától, ha az ezt akarja. Az európai eladási opció jellemz i: a K értéket kötési árnak (strike) nevezzük; a továbbiakban P jelöli az opció piaci árát; kizetési függvény: f (S T ) = (K S T ) + ; a vev nyeresége: f (S T ) P = (K S T ) + P; az eladó nyeresége: P f (S T ) = P (K S T ) +. K K P P K S T P K S T P K K S T Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 8 / 79

9 Bevezetés Származtatott értékpapírok Kombinált opciók Kombinált opciónak nevezzük azt, amikor az opciós szerz dés több ugyanazon értékpapírra vonatkozó opciót egyesít. Példák: Bull spread: vételi opció (K 1, T ) vétele + vételi opció (K 2, T ) eladása, ahol K 1 < K 2 ; Bear spread: vételi opció (K 1, T ) vétele + vételi opció (K 2, T ) eladása, ahol K 1 > K 2 ; Calendar spread: vételi opció (K, T 1 ) vétele + vételi opció (K, T 2 ) eladása; Straddle (terpeszállás): vételi opció (K, T ) vétele + eladási opció (K, T ) vétele; Buttery spread: vételi opció (K 1, T ) vétele + vételi opció (K 2, T ) vétele + 2 vételi opció ((K 1 + K 2 )/2, T ) eladása. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 9 / 79

10 Bevezetés Származtatott értékpapírok Példa olyan opcióra, melynek kizetési függvénye nem csak az értékpapír lejáratkori árától függ: Look-back vételi opció Vételi jog (de nem kötelesség) egy adott részvényre a szerz désben adott T id pontban min{s t, 0 t T } kötési áron. Kizetési függvénye: f = S T min{s t, 0 t T } = max{s T S t, 0 t T }. Példa olyan opcióra, mely a lejárat el tt is lehívható: Amerikai vételi opció Vételi jog (de nem kötelesség) egy adott részvényre adott K kötési áron, melyet a vev a T id pontig bármikor lehívhat. A lehívás id pontja egy τ véletlen változó (megállási id ), a kizetési függvény f = (S τ K) +. Feladat: Deniáljuk a look-back eladási és az amerikai eladási opciót, és írjuk fel a kizetési függvényüket. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 10 / 79

11 Bevezetés Származtatott értékpapírok Hogyan árazzunk egy opciót, mi egy opció igazságos ára? Az igazságos ár alatt megéri megvenni, efölött megéri eladni az opciót. Szerencsejátékoknál és biztosításmatematikában a nagy számok törvénye miatt az igazságos ár a várható kizetés, tehát a kizetés várható értéke. Ez most nem jó ötlet, a nagy számok törvénye nem alkalmazható, ugyanis egy-egy opciót csak egyszer kötünk meg, és az egyes opciók nem is függetlenek. Más módszert fogunk alkalmazni. Meghatározzuk, hogy minimálisan mennyi pénzre van szükségünk ahoz, hogy a futamid végén a rendelkezésünkre álljon akkora összeg, amennyit zetnünk kell, tehát ami az opció kizetési függvénye. Az európai (és egyes más) opciók esetében elég a vételi opciót árazni, ebb l az eladási opció ára meghatározható. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 11 / 79

12 Bevezetés Opcióárazás egylépéses bináris piacon Opcióárazás egylépéses bináris piacon Kereskedési id pontok: 0 = t 0 < t 1 = T. A részvény ára: S 0 (determinisztikus) és S 1 (véletlen). A kötvény ára: B 0 és B 1 = (1 + r)b 0, ahol r > 1. Adott egy opció, a kizetési függvénye a részvény árától függ: F = f (S 1 ). A részvénynek, és ezáltal az opciónak két értéke lehet: eseménytér: Ω = {ω, ω }, P({ω }) = p, 0 < p < 1; a részvény és a kizetési függvény értéke: (s s ) S 1 (ω) = { s, ω = ω, s, ω = ω, F (ω) = f (S 1 ) = { f, ω = ω, f, ω = ω, Feladat: Árazzuk az opciót, tehát adjunk meg egy olyan X 0 értéket, mellyel gazdálkodva az opció eladója a lejáratkor át tud adni F = f (S 1 ) összeget az opció tulajdonosának. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 12 / 79

13 Bevezetés Opcióárazás egylépéses bináris piacon Portfólió A birtokunkban lév részvények és kötvények együttesét portfóliónak nevezzük. A részvények és a kötvények száma a t id pontban γ t illetve β t. Erre a portfólióra a π t = (β t, γ t ) jelölést fogjuk használni. A portfólió értéke a t id pontban: X t = β t B t + γ t S t. A portfólióban β és γ lehet negatív is. A negatív β hitelfelvételt, a negatív γ részvények kölcsönadását jelenti. Replikáló portfólió Azt mondjuk, hogy a portfólió replikál egy F értéke X T = F m.b. opciót, ha a lejáratkori Feladat: Adjuk meg azt a minimális X 0 értéket, melyb l kiindulva összeállíthatunk egy replikáló portfóliót. Tehát adjuk egy π 1 = (β 1, γ 1 ) portfóliót úgy, hogy X 1 = β 1 B 1 + γ 1 S 1 = F m.b. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 13 / 79

14 Bevezetés Opcióárazás egylépéses bináris piacon Ez az ár valóban igazságos, ugyanis bármely más opcióár esetén arbitrázsra, kockázatmentes hozamra van lehet ség: Ha az opció piaci ára C > X 0, akkor adjuk el az opciót C áron, X 0 összegb l állítsuk össze a (β 1, γ 1 ) replikáló portfóliót, és a maradék C X 0 összeget fektessük kötvénybe. A portfóliónk értéke az opció lejárati id pontjában éppen a kizetési függvény X 1 = F, tehát kockázatmentesen kerestünk (1 + r)(c X 0 ) összeget. Ha az opció piaci ára C < X 0, akkor adjuk el X 0 áron a (β 1, γ 1 ) replikáló portfóliót (short selling). A bejöv pénzb l C áron vegyük meg az opciót, a fennmaradó X 0 C összeget fektessük kötvénybe. A portfóliót a lejáratkor vissza kell ugyan vásárolnunk, de a birtokunkban lév opció éppen fedezi ezt az árat, és a kötvények lejáratkori ára kockázatmentes nyereség. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 14 / 79

15 Bevezetés Opcióárazás egylépéses bináris piacon A π 1 = (β 1, γ 1 ) portfólió értéke a T id pontban: β 1 (1 + r)b 0 + γ 1 s = f, ha ω = ω, β 1 (1 + r)b 0 + γ 1 s = f, ha ω = ω. Ennek létezik egyértelm megoldása: γ 1 = f f s s, β 1 = f γ 1 s (1 + r)b 0 = s f s f (s s )(1 + r)b 0. A portfólió értéke a 0 id pontban, tehát az opció ára: X 0 = β 1 B 0 + γ 1 S 0 = 1 [ (1 + r)s0 s ] f + [ s ] (1 + r)s 0 f 1 + r s s = 1 [ p 1 f + (1 p )f ] = 1 + r 1 + r E (F ) = r E (X 1 ), ahol p = P ({ω }) = P (F = f ) = (1 + r)s 0 s s s. Ha s < (1 + r)s 0 < s, akkor 0 < p < 1. (Arbitrázsmentesség!) Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 15 / 79

16 Bevezetés Opcióárazás egylépéses bináris piacon Ha a s < (1 + r)s 0 < s feltétel nem teljesülne, akkor arbitrázsra, kockázatmentes nyereségre lenne lehet ség, amit a piac hosszabb vagy rövidebb id alatt korrigálna: Ha (1 + r)s 0 s teljesülne, akkor állítsuk össze a ( S 0, B 0 ) portfóliót, tehát adjunk el S 0 kötvényt, és vegyünk B 0 részvényt. A portfólió értéke: X 0 = β 1 B 0 + γ 1 S 0 = 0, X 1 = β 1 B 1 + γ 1 S 1 ( S 0 )(1 + r)b 0 + B 0 s 0. Mivel ezt a piac minden szerepl je észrevenné, mindenki részvényt akarna venni, vagyis a részvény kiindulási S 0 ára megemelkedne. Ha (1 + r)s 0 s, akkor állítsuk össze az (S 0, B 0 ) portfóliót, adjunk el B 0 részvényt (short selling), és vegyünk S 0 kötvényt. A portfólió értéke: X 0 = β 1 B 0 + γ 1 S 0 = 0, X 1 = β 1 B 1 + γ 1 S 1 S 0 (1 + r)b 0 + ( B 0 )s 0. Emiatt mindenki próbálna megszabadulni a részvényeit l, hogy a pénzét kötvénybe fektesse, vagyis a részvény S 0 ára leesne. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 16 / 79

17 Bevezetés Opcióárazás egylépéses bináris piacon Példa: Európai call opció K = 1 kötési árral: r = 0, S 0 = B 0 = 1, s = 2 s = 0, 5, f = 1, f = 0. A formulák alkalmazásával: β 1 = 1/3 és γ 1 = 2/3. A portfólió értéke a 0 id pontban: X 0 = β 1 B 0 + γ 1 S 0 = 1/3. A mesterségesen bevezetett valószín ség: p = 1/3, amivel E (X 1 ) = E (F ) = p f + (1 p )f = 1/3 = X r. Diszkontált értékfolyamat A V t = X t /B t, 0 t T, folyamatot diszkontált értékfolyamatnak nevezzük. A korábbiak miatt: E (V 1 ) = E (X 1 ) (1 + r)b 0 = X 0 B 0 = V 0. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 17 / 79

18 Bevezetés Opcióárazás kétlépéses bináris piacon Opcióárazás kétlépéses bináris piacon Kereskedési id pontok: 0 = t 0 < t 1 < t 2 = T. Eseménytér: Ω = {ω, ω, ω, ω }. A kötvény ára: B 1 = B 0 (1 + r 1 ) és B 2 = B 1 (1 + r 2 ), ahol B 0 és r 1 determinisztikus, valamint { r r 2 =, ω {ω, ω }, r, ω {ω, ω }. A részvény ára S 0, S 1 S 1 = { s, ω {ω, ω }, s, ω {ω, ω }. és S 2, ahol S 0 determinisztikus, és S 2 = s, ω = ω, s, ω = ω, s, ω = ω, s, ω = ω. Az F 2 = f (S 0, S 1, S 2 ) kizetési függvény értékei: f, f, f, f. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 18 / 79

19 Bevezetés Opcióárazás kétlépéses bináris piacon Feladat: Határozzuk meg az opció igazságos árát, és adjunk meg egy replikáló stratégiát. Megoldás: Visszavezetjük a problémát három egylépéses piacra: Meghatározzuk, hogy a t 1 id pontban mekkora F 1 t kével kell rendelkeznünk ahoz, hogy a t 2 id pontra legyen replikáló portfóliónk. Az F 1 változó értékei { f F 1 =, S 1 = s, f, S 1 = s. Kiszámoljuk, hogy a t 0 id pontban mekkora F 0 determinisztikus t kével kell rendelkeznünk, hogy a t 1 -ben legyen F 1 összegünk. Mindeközben az egylépéses piacok portfóliói stratégiát is adnak. Mindehez fel kell tennünk, hogy mindhárom piac arbitrázsmentes, tehát s < S 0 (1 + r) < s, s < s (1 + r ) < s, s < s (1 + r ) < s. Házi feladat: Adjunk formulát az F 0 replikáló portfóliók összetételét. értékre, valamint határozzuk meg a Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 19 / 79

20 Diszkrét idej piacok Diszkrét idej piacok Deníciók Diszkrét idej piac Egy {Ω, A, P, F, B, S} halmazt N lépéses diszkrét idej piacnak nevezünk, ( jelölésben: (B, S) N ), ha (Ω, A, P) valószín ségi mez, N Z + ; F = {F n : n = 1,..., N} ltráció az eseménytéren, melyre F 1 = {, Ω} = F 0 F 1 F N = A; B = {B n 0 : n = 0,..., N} a kötvény el rejelezhet árfolyamata; S = {S n 0 : n = 0,..., N} a részvény árfolyamata, mely adaptált az F ltrációhoz, tehát S n mérhet F n -re, n = 0,..., N. El rejelezhet ség Azt mondjuk, hogy véletlen változóknak egy B 0,..., B N sorozata el rejelezhet, ha B n mérhet az F n 1 -re nézve, n = 0,..., N. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 20 / 79

21 Diszkrét idej piacok Deníciók Diszkrét idej bináris piac Egy (B, S) N diszkrét idej piac bináris (r 1,..., r N ) kamatlábakkal, valamint (a 1,..., a N ) és (b 1,..., b N ) együtthatókkal, ha r n > 1 és b n > a n > 1, n = 1,..., N; a kötvény ára determinisztikus B n = (1 + r n )B n 1, n = 1,..., N; a részvény ára S n = (1 + ρ n )S n 1, és valamely 0 < p n < 1 mellett P(ρ n = b n ) = p n és P(ρ n = a n ) = 1 p n, n = 1,..., N; minden információt a részvény árából szerzünk, tehát F n = σ(s 0,..., S n ) = σ(ρ 0,..., ρ n ), n = 0,..., N; Diszkrét idej homogén bináris piac Egy diszkrét idej bináris piac homogén, ha valamely r, a, b, p R értékekre r n = r, a n = a, b n = b és p n = p, n = 1,..., N; változók függetlenek (és azonos eloszlásúak). a ρ 1,..., ρ N Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 21 / 79

22 Diszkrét idej piacok Deníciók Kényelmi feltevés A továbbiakban feltesszük, hogy egy diszkrét idej piac esetén véges az eseménytér, és minden kimenetelnek pozitív a valószín sége. Jegyezzük meg, hogy egy diszkrét idej bináris piac reprezentálható az alábbi módon. Legyen az eseménytér illetve az események halmaza { Ω 0 = (x 1,..., x N ) : x n {a n, b n }, n = 1,..., N} és A0 = P(Ω 0 ). Ekkor egy ω = (x 1,..., x N ) Ω kimenetel valószín sége P 0 ( {ω} ) = P(ρ1 = x 1,..., ρ N = x N ). A kényelmi feltevés miatt P 0 (ω) > 0 minden ω Ω 0 esetén. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 22 / 79

23 Diszkrét idej piacok Stratégia és fedezet diszkrét idej piacon Stratégia és fedezet diszkrét idej piacon Stratégia Legyen β n és γ n el rejelezhet változó, tehát legyenek mérhet ek az F n 1 σ-algebrára, n = 0,..., N. A π = { π n = (β n, γ n ) : n = 0,..., N } portfóliósorozatot stratégiának nevezzük. A stratégia értékfolyamata és diszkontált értékfolyamata X π n = β n B n + γ n S n, V π n = X π n /B n, n = 0,..., N. Megjegyzések: π n az n 1 id pontban összeállított portfólió. π 0 az eredetileg rendelkezésre álló portfólió, gyakran π 0 = (β 0, 0). Nálunk F 1 = F 0 = {0, Ω}, ezért π 0 és π 1 determinisztikus. Az Xn π és a Vn π, n = 0,..., N, sorozat adaptált. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 23 / 79

24 Diszkrét idej piacok Stratégia és fedezet diszkrét idej piacon Önnanszírozó stratégia A π stratégia önnanszírozó, ha X π n 1 = β nb n 1 + γ n S n 1, n = 1,..., N. Jelentése: Nem teszünk be és nem veszünk ki pénzt a rendszerb l. Dierenciasorozat Egy α n véletlen vagy determinisztikus sorozat dierenciasorozata Önnanszírozó stratégiák Az alábbiak ekvivalensek. 1 A π stratégia önnanszírozó. α n = α n α n 1, n = 1, 2,... 2 Xn π = β n B n + γ n S n, n = 1,..., N. 3 B n 1 β n + S n 1 γ n = 0, n = 1,..., N. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 24 / 79

25 Diszkrét idej piacok Egy általánosabb diszkrét idej modell: Stratégia és fedezet diszkrét idej piacon K 1 részvény és egy kötvény. A részvények S (k) n, k = 1,..., K, n = 0,..., N, ára adaptált, az egyes részvények árfolyamata általában nem független. Stratégia, el rejelezhet sorozat: { π = π n = ( β n, γ (1) n,..., γ (K) ) } n, n = 0,..., N. A portfólió értéke: Xn π = β n B n + K k=1 γ(k) n n, n = 0,..., N. A stratégia önnanszírozó, ha az alábbi ekvivalens állítások valamelyike teljesül: 1 X π n 1 = β nb n 1 + K 2 X π n = β n B n + K k=1 γ(k) n S (k) n 1 k=1 γ(k) n S (k) S (k), n = 1,..., N; n, n = 1,..., N; 3 B n 1 β n + K k=1 S (k) n 1 γ(k) n = 0, n = 1,..., N. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 25 / 79

26 Diszkrét idej piacok Stratégia és fedezet diszkrét idej piacon Fedezeti stratégia (hedging stratégia) Egy (B, S) N diszkrét idej piacon legyen x R és f N : R N+1 R mérhet függvény. Egy π stratégiát (x, f N ) hedging stratégiának, fedezeti stratégiának vagy röviden fedezetnek nevezünk, ha X π = 0 x és X π N f ( ) N S0,..., S N m.b. A fedezeti stratégiát minimálisnak vagy tökéletesnek nevezzük, ha X π N = f ( ) N S0,..., S N m.b. Megjegyzések: Az Ω eseményen nincsen 0 valószín ség kimenetel, ezért a m.b. egyenl ség/egyenl tlenség minden ω Ω kimenetelre teljesül. Mi csak önnanszírozó (x, f N ) fedezeti stratégiákat fogunk vizsgálni. Ezek halmaza: Π(x, f N ). ( ) Speciális eset: f N S0,..., S N = g(sn ). Például: Európai opciók. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 26 / 79

27 Diszkrét idej piacok Stratégia és fedezet diszkrét idej piacon Arbitrázsstratégia Egy (B, S) N diszkrét idej piacon egy π önnanszírozó stratégia arbitrázs vagy arbirázsstratégia, ha X π = 0 m.b.; 0 Xn π 0 m.b., n = 1,..., N; P(X π N > 0) > 0, tehát létezik ω Ω, melyre X π N (ω) > 0. Általában feltesszük, hogy a piacon arbitrázsmentes, nincsen ingyenebéd. Arbitrázsstratégia létezése Tfh egy (B, S) N diszkrét idej piacon egy π önnanszírozó stratégiára teljesül, hogy X π = 0 m.b., 0 X π N 0 m.b. és P(X π N > 0) > 0. Ekkor létezik arbitrázsstratégia a piacon. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 27 / 79

28 Diszkrét idej piacok Ekvivalens martingálmértékek Ekvivalens martingálmértékek Ekvivalens mértékek Legyen µ és µ mérték egy (X, F) mérhet téren. Azt mondjuk, hogy a két mérték ekvivalens, ha abszolút folytonosak egymásra nézve, (azaz µ µ és µ µ), tehát tetsz leges A F mérhet halmazra µ(a) = 0 pontosan akkor teljesül, ha µ (A) = 0. Ekvivalens mértékek megszámlálható alaphalmazon Legyen µ és µ mérték az (X, F) téren, ahol X megszámlálható halmaz és F = 2 X. A két mérték pontosan akkor ekvivalens, ha tetsz leges x X elem esetén µ({x}) = 0 pontosan akkor, ha µ ({x}) = 0. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 28 / 79

29 Diszkrét idej piacok Ekvivalens martingálmértékek Ekvivalens martingálmérték Azt mondjuk, hogy P martingálmérték a (B, S) N piacon, ha P valószín ségi mérték az (Ω, A) téren; az S n /B n folyamat martingált alkot a P mérték alatt az F n, n = 0,..., N, ltrációra nézve. Ha ezen túl P és P ekvivalens mértékek, akkor P ekvivalens martingálmérték a piacon. A továbbiakban E jelöli a P szerinti várható értéket. Martingálmértékek diszkrét idej piacon Egy (B, S) N diszkrét idej piacon az alábbiak ekvivalensek. 1 P martingálmérték a piacon. 2 Tetsz leges π önnanszírozó stratégia esetén a V π n = X π n /B n diszkontált értékfolyamat martingál a P mérték alatt az F n, n = 0,..., N, ltrációra nézve. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 29 / 79

30 Diszkrét idej piacok Ekvivalens martingálmértékek Ekvivalens martingálmértékek diszkrét idej bináris piacon Tfh a (B, S) N diszkrét idej bináris piacon a n < r n < b n, n = 1,..., N, és tekintsük az eseménytér korábban vett (Ω 0, A 0, P 0 ) reprezentációját. Legyen p n = r n a n, n = 1,..., N, b n a n P ( { (x1,..., x N ) }) = (1 pn). Ekkor teljesülnek az alábbiak. 1 n N xn=bn p n 1 n N xn=an 1 A ρ 1,..., ρ N változók függetlenek a P valószín ségre nézve, és P (ρ n = b n ) = p n, n = 1,..., N. 2 A piacon P az egyetlen martingálmérték. 3 Ha teljesül a kényelmi feltevés, tehát minden kimenetelnek pozitív a P 0 valószín sége, akkor P ekvivalens martingálmérték. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 30 / 79

31 Diszkrét idej piacok Ekvivalens martingálmértékek Jegyezzük meg, hogy az (B, S) N diszkrét idej homogén bináris piacon az S N részvényár lehetséges értékei s k = S 0 (1 + b) k (1 + a) N k, k = 0,..., N. A részvényár pontosan akkor s k, ha az ár k alkalommal lépett felfelé, és N k alkalommal lépett lefelé. A binoniális fán az ilyen utak száma ( ) N k. Ekvivalens martingálmértékek diszkrét idej homogén bináris piacon Tegyük fel, hogy a (B, S) N diszkrét idej homogén piacon a < r < b. Ekkor a piacon létezik pontosan egy ekvivalens martingálmérték, melyre P ( ) ( ) N (p S N = S 0 (1+b) k (1+a) N k = ) k( 1 p ) N k, k = 0,..., N, k ahol p = (r a)/(b a). Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 31 / 79

32 Diszkrét idej piacok Ekvivalens martingálmértékek A közgazdászok az ekvivalens martingálmértéket kockázatsemleges valószín ségnek nevezik. Az egyszer ség kedvéért legyen B 0 = 1, és tegyük fel, hogy S 0 összeget fektetünk be. Ha egy darab részvényt veszünk, akkor a befektetés diszkontált lejáratkori értékének várható értéke P szerint E ( S N /B N ) = S0 /B 0 = S 0. Ha a teljes összeget kötvénybe fektetjük, akkor a diszkontált lejáratkori érték várható értéke E ( S 0 B N /B N ) = S0. Tehát a kockázatos részvénybefektetés várható értékben pontosan akkora hozamot ad, mint a kötvény. Speciálisan, diszkrét idej bináris piacon E (S N ) = (1 + r 1 ) (1 + r N )S 0. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 32 / 79

33 Diszkrét idej piacok Ekvivalens martingálmértékek Martingálok Legyen V 0,..., V N az F 0,..., F N ltrációhoz adaptált sorozat, és tegyük fel, hogy tetsz leges τ : Ω {0,..., N} megállási id esetén E(V τ ) = E(V 0 ). Ekkor V 0,..., V N martingál a ltrációra nézve. Az arbitrázsmentességre vonatkozó f tétel Egy (B, S) N diszkrét idej piacon a következ k ekvivalensek. 1 Létezik ekvivalens martingálmérték. 2 A piac kizárja az arbitrázslehet séget. A f tétel következménye bináris piacon Tegyük fel, hogy egy (B, S) N diszkrét idej bináris piacon teljesül a kényelmi feltevés. Ekkor az alábbiak ekvivalensek. 1 Létezik ekvivalens martingálmérték. 2 A piac kizárja az arbitrázslehet séget. 3 a n < r n < b n, n = 1,..., N. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 33 / 79

34 A piac teljessége Diszkrét idej piacok A piac teljessége Teljes piac A (B, S) N diszkrét idej piac teljes, ha bármely f N kizetési függvényhez létezik minimális fedezet, tehát olyan π önnanszírozó stratégia, melyre X π N = f ( ) N S0,..., S N m.b. A teljességre vonatkozó f tétel következménye: Teljesség diszkrét idej bináris piacon A (B, S) N diszkrét idej bináris piac pontosan akkor teljes, ha a n r n b n, n = 1,..., N. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 34 / 79

35 Diszkrét idej piacok A piac teljessége A teljességre vonatkozó f tétel Tegyük fel, hogy a (B, S) N diszkrét idej piacon létezik P ekvivalens martingálmérték. Ekkor az alábbiak ekvivalensek. 1 A piac teljes. 2 P az egyetlen ekvivalens martingálmérték a piacon. 3 Tetsz leges (M n, F n, P ) 0 n N martingál el áll M n = M 0 + n k=1 alakban, ahol a γ n, n = 1,..., N ( Sn γ k S ) n 1, n = 1,..., N, B n B n 1 változók el rejelezhet ek. A gyakorlatban, ha adott egy piac és egy részvényopció: (2) Létezik egyértelm ekvivalens martingálmérték = (1) Az opcióra létezik fedezeti stratégia, bár nem ismerjük = (3) A fedezeti stratégia felírható, az opció árazható Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 35 / 79

36 Opciók árazása Diszkrét idej piacok Opciók árazása Befektetési költség A (B, S) N diszkrét idej piacon tekintsünk egy f N (S 0,..., S N ) kizetési függvényt, valamint az ehhez kapcsolódó opciót. A C N,fN = inf { x R : Π(x, f N ) } értéket az opció befektetési költségének nevezzük. Fedezeti stratégia létezése A (B, S) N piacon tetsz leges f N (S 0,..., S N ) kizetési függvény esetén létezik x R, melyre Π(x, f N ). Ebb l C N,fN <. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 36 / 79

37 Diszkrét idej piacok Opciók árazása Feltételes követelések árazása Tfh létezik P ekvivalens martingálmérték a (B, S) N diszkrét idej piacon, és tekintsünk egy f N (S 0,..., S N ) kizetési függvényt. Ekkor C N,fN [ ] E B0 ( ) f N S0,..., S N. B N Továbbá, ha a piac teljes, akkor a kizetési függvény replikálható, és a befektetési költség [ ] C N,fN = E B0 ( ) f N S0,..., S N. B N Megjegyzések: Teljes piacon az opció igazságos (arbitrázsmentes) ára C N,fN. Ha π egy minimális fedezeti stratégia, akkor [ X X π n = B n E π ] [ N 1 Fn = B n E ( ) ] f N S0,..., S N Fn. B N B N Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 37 / 79

38 Diszkrét idej piacok Néhány széles körben alkalmazott árazási formula Néhány széles körben alkalmazott árazási formula Árazás diszkrét idej bináris piacon Tfh a (B, S) N diszkrét idej bináris piacon a n < r n < b n, n = 1,..., N, és tegyük fel, hogy teljesül a kényelmi feltevés. Jelölje P az egyetlen ekvivalens martingálmértéket a piacon, és tekintsünk egy tetsz leges f N (S 0,..., S N ) kizetési függvényt. Ekkor az opcióra létezik minimális fedezeti stratégia, és az opció árbitrázsmentes ára C N,fN = 1 d E ( ) N f N S0,..., S N, ahol d = (1 + r n ). Speciálisan, ha f (S 0,..., S N ) = g(s N ), akkor C N,fN = 1 ( g S 0 + b n ) d H {1,...,N} n H(1 ) (1 + a n ) n H n H n=1 (1 pn). p n n H Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 38 / 79

39 Diszkrét idej piacok Néhány széles körben alkalmazott árazási formula Fedezeti stratégia diszkrét idej bináris piacon Az el z tétel feltételei mellett legyen M n = 1 d E [ f N ( S0,..., S N ) Fn ], n = 0,..., N. Ekkor teljesülnek az alábbiak. 1 Léteznek h n : R n R mérhet determinisztikus függvények, hogy M n = h n ( ρ1,..., ρ n ) m.b., n = 1,..., N. 2 Az alábbi stratégia egy lehetséges fedezet a kizetési függvényre: β 0 = M 0, γ 0 = 0, β n = M n γ n S n B n, n = 1,..., N, γ n = B [ n ( ) ( ) ] h n ρ1,..., ρ n 1, b n hn ρ1,..., ρ n 1, a n, S n 1 (b n a n ) Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 39 / 79

40 Diszkrét idej piacok Néhány széles körben alkalmazott árazási formula CoxRossRubinstein árazási formula A (B, S) N diszkrét idej homogén bináris piacon legyen a < r < b. Ekkor az európai call opció arbitrázsmentes ára K lejáratkori ár esetén ahol p = r a b a, C N,K = S 0 B(k 0, N, p) K(1 + r) N B(k 0, N, p ), p = 1 + b log 1 + r p, k 0 = 1 + K S0(1+a) N log 1+b 1+a továbbá j Z és 0 p 1 esetén N ( N ) k=j k p k (1 p) N k, 0 j N, B(j, N, p) = 0, j > N, 1, j < 0., Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 40 / 79

41 Diszkrét idej piacok Néhány széles körben alkalmazott árazási formula Put-Call paritás Ha a (B, S) N diszkrét idej piac teljes, akkor a K kötési árhoz tartozó európai vételi és eladási opció arbitrázsmentes árára P N,K = C N,K S 0 + KE ( B 0 /B N ). Speciálisan, teljes bináris piacon P N,K = C N,K S 0 + K/ N n=1 (1 + r n). Amerikai típusú opciók árazása Egy opciót amerikai típusúnak nevezünk, ha a lejárati id el tt is lehívható. Tegyük fel, hogy a (B, S) N piacon létezik P ekv. martingálmérték. Az opció fedezéséhez szükséges összeg: Cn Am, n = 0,..., N. A kizetés, ha az opciót lehívják az n. id pontban: Cn, L n = 0,..., N. Ekkor a befektetési költség C Am 0, ahol visszafelé haladó rekurzióval ] F n C Am n = max ( [ ) Cn, L Cn Eu, C Eu n = E Bn C Am n+1 B n+1, n = 0,..., N 1. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 41 / 79

42 Sztochasztikus kalkulus A standard Wiener folyamat és tulajdonságai A standard Wiener folyamat és tulajdonságai A standard Wiener folyamat A W (t), t 0, sztochasztikus folyamat standard Wiener folyamat vagy standard Brown mozgás, ha W (0) = 0 m.b. W (t), t 0, független növekmény. Tetsz leges 0 s t esetén W (t) W (s) N(0, t s). (= a folyamat stacionárius növekmény ) W (t), t 0, mintafolytonos. Legyen µ R és σ > 0 tetsz leges. Az X (t), t 0, folyamat Brown mozgás µ drifttel és σ volatilitással, ha X (t) = µt + σw (t), t 0. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 42 / 79

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

8-9 Opciós piacok. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 2012 1

8-9 Opciós piacok. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 2012 1 8-9 Opciós piacok 1 Opció típusok Call: vételi jog Put: eladási jog Európai opció: csak lejáratkor érvényesíthető Amerikai opció: lejáratig bármikor érvényesíthető Pozíciók: long call, long put (vételi

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Biztosítási kockázatok elemzése befektetések gyelembe vételével

Biztosítási kockázatok elemzése befektetések gyelembe vételével Biztosítási kockázatok elemzése befektetések gyelembe vételével Diplomamunka Írta: Csisztu Nóra Alkalmazott matematikus szak Témavezet k: Márkus László, egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika

Részletesebben

LIKVIDITÁSI KOCKÁZATOK

LIKVIDITÁSI KOCKÁZATOK LIKVIDITÁSI KOCKÁZATOK SZAKDOLGOZAT Írta: Kiss Blanka Biztosítási és pénzügyi matematika MSc Kvantitatív pénzügyek szakirány Témavezet : Prokaj Vilmos egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok

Sztochasztikus folyamatok Sztochasztikus folyamatok Pap Gyula, Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet, Sztochasztika Tanszék Utolsó frissítés: 2014. február 8. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 2 1. Sztochasztikus folyamatok

Részletesebben

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése 9. el adás Bevezetés az ökonozikába El adó: London András 2015. november 2. Motiváció Komplex rendszerek modellezése statisztikus mechanika és elméleti zika

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Gazdasági Információs Rendszerek

Gazdasági Információs Rendszerek Gazdasági Információs Rendszerek 7. előadás Bánhelyi Balázs Alkalmazott Informatika Tanszék, Szegedi Tudományegyetem 2009 Opció fogalma Az opció jövőbeni döntési lehetőséget jelent valami megtételére,

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Opciók árazása. Szakdolgozat. Írta: Kiss Valéria. Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány. Témavezet :

Opciók árazása. Szakdolgozat. Írta: Kiss Valéria. Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány. Témavezet : Opciók árazása Szakdolgozat Írta: Kiss Valéria Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Sikolya Eszter, adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

OPERÁCIÓKUTATÁS. No. 1. Nagy Tamás - Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK

OPERÁCIÓKUTATÁS. No. 1. Nagy Tamás - Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK OPERÁCIÓKUTATÁS No. 1. Nagy Tamás - Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK Budapest 2002 Nagy Tamás - Klafszky Emil: SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK OPERÁCIÓKUTATÁS No.1 Szerkeszti: Komáromi Éva Megjelenik

Részletesebben

MINTASOR (Figyelem az I. rész - Szabályzatok és Elszámolás tesztkérdéseiben megadott válaszok a hatályos szabályzatok szerint változhatnak!

MINTASOR (Figyelem az I. rész - Szabályzatok és Elszámolás tesztkérdéseiben megadott válaszok a hatályos szabályzatok szerint változhatnak! OPCIÓS PIACOK VIZSGA MINTASOR (Figyelem az I. rész - Szabályzatok és Elszámolás tesztkérdéseiben megadott válaszok a hatályos szabályzatok szerint változhatnak!) NÉV:. SZÜLETÉSI DÁTUM: PONTSZÁM: / 30 Tisztelt

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8.

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8. Pénzügyi matematika Medvegyev Péter 13. szeptember 8. Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében a Corvinus egyetemen tartott matematikai el adásaim kib vített verziója. A

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Kockázatos pénzügyi eszközök

Kockázatos pénzügyi eszközök Kockázatos pénzügyi eszközök Tulassay Zsolt zsolt.tulassay@uni-corvinus.hu Tőkepiaci és vállalati pénzügyek 2006. tavasz Budapesti Corvinus Egyetem 2006. március 1. Motiváció Mi a fő különbség (pénzügyi

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

A hozamgörbe paraméteres becslési módszerei

A hozamgörbe paraméteres becslési módszerei A hozamgörbe paraméteres becslési módszerei Diplomamunka Szanka Julianna alkalmazott matematikus szak matematikatanár szak Témavezet k: Prokaj Vilmos, egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika

Részletesebben

Bevezetés az opciók világába Opciók a mindennapokban

Bevezetés az opciók világába Opciók a mindennapokban Opciók és stratégiák Bevezetés az opciók világába Opciós fogalmak Az opció árát meghatározó tényezők Az opciók görög betűi Delta hedging Opciós arbitrázs Opciós stratégiák osztályzása Stratégia példatár

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK

SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK OPERÁCIÓKUTATÁS No.1. Nagy Tamás Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK Budapest 00 Nagy Tamás Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK OPERÁCIÓKUTATÁS No.1 Szerkeszti: Komáromi Éva Megjelenik a Budapesti

Részletesebben

Száz János. Computer finance. Oktatás, válság, martingálok

Száz János. Computer finance. Oktatás, válság, martingálok Száz János Computer finance Oktatás, válság, martingálok Bologna, SPM, BPM 90-es évek: az angol atomfizikus phd-sok több mint fele befektetési bankba ment dolgozni Bologna a Közgázon: 50 év után nincs

Részletesebben

1 Határidős szerződések és opciók. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 2012 1

1 Határidős szerződések és opciók. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 2012 1 1 Határidős szerződések és opciók 1 Mi egy származékos pénzügyi termék (derivative)? Értéke egy másik eszköz, vagyontárgy (asset) feltételezett jövőbeli értékétől függ. Pl.: határidős szerződés, opciók,

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

5 Forward és Futures Árazás. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 2012 1

5 Forward és Futures Árazás. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 2012 1 5 Forward és Futures Árazás 1 Fogyasztási vs beruházási javak Beruházási célú javak (pl. arany, ezüst, ingatlan, műkincsek, stb.) Fogyasztási javak (pl. ércek, nyersfémek, olaj, kőszén, fél sertés, stb.)

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Tájékoztató hirdetmény az OTP Bank Nyrt. Regionális Treasury Igazgatóságának Értékesítési Üzletszabályzatához

Tájékoztató hirdetmény az OTP Bank Nyrt. Regionális Treasury Igazgatóságának Értékesítési Üzletszabályzatához Tájékoztató hirdetmény az OTP Bank Nyrt. Regionális Treasury Igazgatóságának Értékesítési Üzletszabályzatához Az egyes tőzsdén kívüli származtatott Egyedi Ügyletek változó letét igény mértékének számításáról

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 47 55 pont jeles 38 46 pont jó 29 37 pont közepes 20 28

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,

Részletesebben

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ DIGITÁLIS (BINÁRIS) OPCIÓS ÜGYLETEKHEZ

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ DIGITÁLIS (BINÁRIS) OPCIÓS ÜGYLETEKHEZ TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ DIGITÁLIS (BINÁRIS) OPCIÓS ÜGYLETEKHEZ A termék leírása: A Devizaárfolyam Digitális-opció (vagy más kifejezéssel Bináris opciós) egy olyan ügylet, amely keretében az opció jogosultja

Részletesebben

Mire jó az opció? Kisokos a hazai opciós termékekhez. 2011. augusztus 2.

Mire jó az opció? Kisokos a hazai opciós termékekhez. 2011. augusztus 2. Mire jó az opció? Kisokos a hazai opciós termékekhez 2011. augusztus 2. Opciók: tegyük helyre a dolgokat! Bevezető A mindennapi kereskedésben mindeddig méltánytalanul mellőzöttnek bizonyultak az opciók,

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

Körmend és Vidéke Takarékszövetkezet. Treasury termékei és szolgáltatásai. Lakossági Ügyfelek részére

Körmend és Vidéke Takarékszövetkezet. Treasury termékei és szolgáltatásai. Lakossági Ügyfelek részére Körmend és Vidéke Takarékszövetkezet Treasury termékei és szolgáltatásai Lakossági Ügyfelek részére 1 TARTALOMJEGYZÉK 1. Befektetési szolgáltatások és termékek... 3 1.1 Portfoliókezelés... 3 2. Pénz-és

Részletesebben

Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok.

Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok. Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok. Láttuk, hogy a Wiener-folyamat teljesíti az úgynevezett funkcionális centrális határeloszlástételt. Ez az eredmény durván szólva azt fejezi

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

Játékelmélet és pénzügyek

Játékelmélet és pénzügyek Játékelmélet és pénzügyek Czigány Gábor 2013. május 30. Eötvös Lóránd Tudományegyetem - Budapesti Corvinus Egyetem Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Témavezet : Dr. Csóka Péter Tartalomjegyzék

Részletesebben

Tómács Tibor. Matematikai statisztika

Tómács Tibor. Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly

Részletesebben

A határidős kereskedés alapjai

A határidős kereskedés alapjai A határidős kereskedés alapjai Molnár Melina Budapest, 2014.11.25. A határidős ügyletekről általánosságban Határidős termékek a Budapesti Értéktőzsdén A letéti díj A határidős ár meghatározása 2 Az árak

Részletesebben

Certifikátok a Budapesti Értéktızsdén

Certifikátok a Budapesti Értéktızsdén Certifikátok a Budapesti Értéktızsdén Elméleti Alapok Végh Richárd Budapesti Értéktızsde Zrt. Budapest, 2009.05.26-28. Mirıl lesz szó? Certifikát fogalma és hozzá kapcsolódó alapfogalmak Certifikátok fajtái

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

KALKULUS II. PÉLDATÁR

KALKULUS II. PÉLDATÁR Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŽ Fazekas István Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR Programozó és programtervez

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

a) 16% b) 17% c) 18% d) 19%

a) 16% b) 17% c) 18% d) 19% 1. Mekkora az euró féléves paritásos határidős árfolyama, ha az azonnali árfolyam 240 HUF/EUR, a kockázatmentes forint kamatláb minden lejáratra évi 8%, a kockázatmentes euró márka kamatláb minden lejáratra

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

BetBulls Opció- és Stratégia Szimulátor

BetBulls Opció- és Stratégia Szimulátor BetBulls Opció- és Stratégia Szimulátor A szimulátor célja, hogy a weblap látogatói egy ingyenes regisztrációt követően tesztelhessék az egyes stratégiák nyereség / veszteség küszöbeit. A szimulátorban

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 47 55 pont jeles 38 46 pont jó 29 37 pont közepes 20 28

Részletesebben

13. előadás, 2015. május 13.

13. előadás, 2015. május 13. 13. előadás, 2015. május 13. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem A pénzügyi válság okai Átláthatatlan, ellenőrizhetetlen árazású

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium E Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 43 50 pont jeles 35 42 pont jó 27 34 pont közepes 19 26

Részletesebben

Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat

Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat PÉNZÜGYI MATEMATIKA Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultsága Analitikus módszerek a pénzügyekben Bevezetés az analízisbe Differential

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt kis kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum 12

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Dinamikus Indexek. Kondor Gábor. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Témavezet k: Márkus Balázs. Böde Csaba.

Dinamikus Indexek. Kondor Gábor. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Témavezet k: Márkus Balázs. Böde Csaba. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar MSc Szakdolgozat Dinamikus Indexek Kondor Gábor Biztosítási és Pénzügyi Matematika Szak Kvantitatív Pénzügyek Szakirány Témavezet k: Böde Csaba Vice

Részletesebben

Mikroökonómia I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét PREFERENCIÁK, HASZNOSSÁG 2. RÉSZ

Mikroökonómia I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét PREFERENCIÁK, HASZNOSSÁG 2. RÉSZ MIKROÖKONÓMI I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia I. PREFERENCIÁK, HSZNOSSÁG 2. RÉSZ Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június tananyagot

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

Az analízis néhány alkalmazása

Az analízis néhány alkalmazása Az analízis néhány alkalmazása SZAKDOLGOZAT Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Szerz : Fodor Péter Szak: Matematika Bsc Szakirány: Matematikai elemz Témavezet : Sikolya Eszter, adjunktus

Részletesebben

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 2. hét KERESLET, KÍNÁLAT, EGYENSÚLY

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 2. hét KERESLET, KÍNÁLAT, EGYENSÚLY KÖZGAZDASÁGTAN I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Közgazdaságtan 1. KERESLET, KÍNÁLAT, EGYENSÚLY Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június Vázlat 1

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Matematikai analízis 1. Szász Róbert

Matematikai analízis 1. Szász Róbert Matematikai analízis Szász Róbert . fejezet.. Topológikus terek... Értelmezés. Adott egy X halmaz. A d : X X [0, + ) függvényt metrikának nevezzük, ha teljesülnek a következő feltételek:. d(x, y) > 0,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek.

hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek. A Valószínűségszámítás II. előadássorozat második témája. A CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁSTÉTEL A valószínűségszámítás legfontosabb eredménye a centrális határeloszlástétel. Ez azt mondja ki, hogy független valószínűségi

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben