Pénzügyi matematika. Sz cs Gábor. Szeged, szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Átírás

1 Pénzügyi matematika Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 1 / 79

2 Értékpapírpiacok Bevezetés Értékpapírpiacok A t zsde (piac, market) egy olyan intézmény, melyen a résztvev k különféle eszközökkel (devizával, értékpapírral, árúval, energiával, stb.) kereskednek. Mi az értékt zsdével, tehát a devizák és értékpapírok piacával foglalkozunk. Törvényileg el írt szabályok: minden résztvev ugyanazokhoz az információkhoz juthat hozzá (tiltott a bennfentes kereskedés); minden pénzügyi eszköz esetén engedélyezett a short selling (fedezetlen eladás). Feltevések, melyek a valóságban (általában) nem teljesülnek: minden pénzügyi eszköz (deviza és értékpapír) korlátlanul osztható és likvid (bármikor eladható és megvásárolható); nincsenek tranzakciós költségek, megbízási jutalékok; a banki betét- és hitelkamatok egyenl ek; nincs korlátozás a bankkölcsön nagyságára és az értékpapírvásárlás mennyiségére. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 2 / 79

3 Bevezetés Értékpapírpiacok Matematikai modellek: mindig egy rögzített [0, T ] id intervallumot vizsgálunk; a determinisztikus T > 0 értéket lejárati id pontnak nevezzük; a cél bizonyos termékek piaci árának modellezése; további cél egy optimális kereskedési stratégia kidolgozása. Modellek típusai: diszkrét idej modellek: csak bizonyos 0 = t 0 < t 1 < < t N = T id pontokban kereskedhetünk, és emiatt az értékpapírok árát is csak ezekben az id pontokban vizsgáljuk. folytonos idej modellek: a [0, T ] intervallumon bármely id pontban kereskedhetünk, ezért az árakat folytonos id ben modellezzük. A piaci szerepl k a valóságban (általában) folytonos idej modelleket alkalmaznak, de a tranzakciós költségek miatt csak véges sok id pontban kereskednek. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 3 / 79

4 Bevezetés Értékpapírpiacok Részvény (Stock) Olyan eszköz, melynek nincs rögzített hozama. A piaci ára egy 0 t T id pontban egy S t véletlen változó, melynek értéke a t id pont el tt (általában) nem ismert. Kötvény (Bond) Olyan eszköz, melynek el re bejelentett kamata van, tehát kockázatmentes. Értéke egy 0 t T id pontban B t, mely a t id pont el tt is ismert. Például, diszkrét idej piacokon: (0 = t 0 < t 1 < < t N = T) a részvény ára a t k id pontban S k = S tk, mely csak a t k id pontban válik ismerté; a kötvény ára ugyanebben az id pontban B k = B tk, melyet legkés bb a t k 1 id pontban kihírdetnek. A modellekben egy vagy több részvénnyel, de csak egy kötvénnyel dolgozunk. (A piacon több kötvény is létezhet, de mi mindig kiválasztjuk azt, amelyik a legmagasabb hozamot biztosítja.) Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 4 / 79

5 Bevezetés Származtatott értékpapírok Származtatott értékpapírok Opciók Opciónak nevezünk egy olyan szerz dést, melyben az egyik fél vételi vagy eladási kötelezettséget vállal bizonyos piaci termékre a másik féllel szemben. Opciók közös jellemz i: a kötelezettséget vállaló felet az opció eladójának nevezzük, és azt mondjuk, hogy rövid (short) pozícióban van; a másik felet vev nek hívjuk, aki hosszú (long) pozícióban van; az opció mindig egy rögzített és véges [0, T ] id intervallumra vonatkozik, T a szerz dés lejárati id pontja; a kötelezettség általában csak akkor lép életbe, ha bizonyos piaci feltételek teljesülnek; az opció érvényesítését lehívásnak nevezzük; a vev a szerz dés megkötésekor a kötelezettségvállalásért cserébe díjat zet az eladónak, ez az opció ára. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 5 / 79

6 Bevezetés Származtatott értékpapírok Az opciós szerz déseket tovább lehet adni a másodlagos piacon, gyakorlatilag értékpapírnak tekinthet ek. Származtatott értékpapírok (derivatívák) A származtatott értékpapírok olyan pénzügyi eszközök, melyek értéke más eszközök értékét l függ. Megjegyzés: Általában az opció tulajdonosa (a kedvezményezett) nem érvényesíti a vételi vagy eladási jogát, hanem az eladó az aktuális piaci árak alapján készpénzzel váltja ki a kötelezettségét. (Tranzakciós költségek!) Kizetési függvény A kizetési függvény azt mutatja meg, hogy az opció tulajdonosa mekkora pénzösszeget realizál, ha optimálisan használja fel a jogosultságát. F kérdés: Hogyan árazzunk egy opciót, tehát mennyiért adjuk el vagy vásároljuk meg, hogy megérje nekünk? Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 6 / 79

7 Bevezetés Származtatott értékpapírok Európai vételi (call) opció Vételi jog (de nem kötelesség) egy adott részvényre. Az eladó vállalja, hogy a T lejárati id pontban a szerz désben rögzített K áron elad egy darab részvényt az opció aktuális tulajdonosának, ha az ezt akarja. Az európai vételi opció jellemz i: a K értéket kötési árnak (strike) nevezzük; a továbbiakban C jelöli az opció piaci árát; kizetési függvény: f (S T ) = (S T K) + ; a vev nyeresége: f (S T ) C = (S T K) + C; az eladó nyeresége: C f (S T ) = C (S T K) +. C K S T C K S T K S T Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 7 / 79

8 Bevezetés Származtatott értékpapírok Európai eladási (put) opció Eladási jog (de nem kötelesség) egy adott részvényre. Az eladó vállalja, hogy a T lejárati id pontban a szerz désben rögzített K áron megvesz egy darab részvényt az opció aktuális tulajdonosától, ha az ezt akarja. Az európai eladási opció jellemz i: a K értéket kötési árnak (strike) nevezzük; a továbbiakban P jelöli az opció piaci árát; kizetési függvény: f (S T ) = (K S T ) + ; a vev nyeresége: f (S T ) P = (K S T ) + P; az eladó nyeresége: P f (S T ) = P (K S T ) +. K K P P K S T P K S T P K K S T Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 8 / 79

9 Bevezetés Származtatott értékpapírok Kombinált opciók Kombinált opciónak nevezzük azt, amikor az opciós szerz dés több ugyanazon értékpapírra vonatkozó opciót egyesít. Példák: Bull spread: vételi opció (K 1, T ) vétele + vételi opció (K 2, T ) eladása, ahol K 1 < K 2 ; Bear spread: vételi opció (K 1, T ) vétele + vételi opció (K 2, T ) eladása, ahol K 1 > K 2 ; Calendar spread: vételi opció (K, T 1 ) vétele + vételi opció (K, T 2 ) eladása; Straddle (terpeszállás): vételi opció (K, T ) vétele + eladási opció (K, T ) vétele; Buttery spread: vételi opció (K 1, T ) vétele + vételi opció (K 2, T ) vétele + 2 vételi opció ((K 1 + K 2 )/2, T ) eladása. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 9 / 79

10 Bevezetés Származtatott értékpapírok Példa olyan opcióra, melynek kizetési függvénye nem csak az értékpapír lejáratkori árától függ: Look-back vételi opció Vételi jog (de nem kötelesség) egy adott részvényre a szerz désben adott T id pontban min{s t, 0 t T } kötési áron. Kizetési függvénye: f = S T min{s t, 0 t T } = max{s T S t, 0 t T }. Példa olyan opcióra, mely a lejárat el tt is lehívható: Amerikai vételi opció Vételi jog (de nem kötelesség) egy adott részvényre adott K kötési áron, melyet a vev a T id pontig bármikor lehívhat. A lehívás id pontja egy τ véletlen változó (megállási id ), a kizetési függvény f = (S τ K) +. Feladat: Deniáljuk a look-back eladási és az amerikai eladási opciót, és írjuk fel a kizetési függvényüket. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 10 / 79

11 Bevezetés Származtatott értékpapírok Hogyan árazzunk egy opciót, mi egy opció igazságos ára? Az igazságos ár alatt megéri megvenni, efölött megéri eladni az opciót. Szerencsejátékoknál és biztosításmatematikában a nagy számok törvénye miatt az igazságos ár a várható kizetés, tehát a kizetés várható értéke. Ez most nem jó ötlet, a nagy számok törvénye nem alkalmazható, ugyanis egy-egy opciót csak egyszer kötünk meg, és az egyes opciók nem is függetlenek. Más módszert fogunk alkalmazni. Meghatározzuk, hogy minimálisan mennyi pénzre van szükségünk ahoz, hogy a futamid végén a rendelkezésünkre álljon akkora összeg, amennyit zetnünk kell, tehát ami az opció kizetési függvénye. Az európai (és egyes más) opciók esetében elég a vételi opciót árazni, ebb l az eladási opció ára meghatározható. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 11 / 79

12 Bevezetés Opcióárazás egylépéses bináris piacon Opcióárazás egylépéses bináris piacon Kereskedési id pontok: 0 = t 0 < t 1 = T. A részvény ára: S 0 (determinisztikus) és S 1 (véletlen). A kötvény ára: B 0 és B 1 = (1 + r)b 0, ahol r > 1. Adott egy opció, a kizetési függvénye a részvény árától függ: F = f (S 1 ). A részvénynek, és ezáltal az opciónak két értéke lehet: eseménytér: Ω = {ω, ω }, P({ω }) = p, 0 < p < 1; a részvény és a kizetési függvény értéke: (s s ) S 1 (ω) = { s, ω = ω, s, ω = ω, F (ω) = f (S 1 ) = { f, ω = ω, f, ω = ω, Feladat: Árazzuk az opciót, tehát adjunk meg egy olyan X 0 értéket, mellyel gazdálkodva az opció eladója a lejáratkor át tud adni F = f (S 1 ) összeget az opció tulajdonosának. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 12 / 79

13 Bevezetés Opcióárazás egylépéses bináris piacon Portfólió A birtokunkban lév részvények és kötvények együttesét portfóliónak nevezzük. A részvények és a kötvények száma a t id pontban γ t illetve β t. Erre a portfólióra a π t = (β t, γ t ) jelölést fogjuk használni. A portfólió értéke a t id pontban: X t = β t B t + γ t S t. A portfólióban β és γ lehet negatív is. A negatív β hitelfelvételt, a negatív γ részvények kölcsönadását jelenti. Replikáló portfólió Azt mondjuk, hogy a portfólió replikál egy F értéke X T = F m.b. opciót, ha a lejáratkori Feladat: Adjuk meg azt a minimális X 0 értéket, melyb l kiindulva összeállíthatunk egy replikáló portfóliót. Tehát adjuk egy π 1 = (β 1, γ 1 ) portfóliót úgy, hogy X 1 = β 1 B 1 + γ 1 S 1 = F m.b. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 13 / 79

14 Bevezetés Opcióárazás egylépéses bináris piacon Ez az ár valóban igazságos, ugyanis bármely más opcióár esetén arbitrázsra, kockázatmentes hozamra van lehet ség: Ha az opció piaci ára C > X 0, akkor adjuk el az opciót C áron, X 0 összegb l állítsuk össze a (β 1, γ 1 ) replikáló portfóliót, és a maradék C X 0 összeget fektessük kötvénybe. A portfóliónk értéke az opció lejárati id pontjában éppen a kizetési függvény X 1 = F, tehát kockázatmentesen kerestünk (1 + r)(c X 0 ) összeget. Ha az opció piaci ára C < X 0, akkor adjuk el X 0 áron a (β 1, γ 1 ) replikáló portfóliót (short selling). A bejöv pénzb l C áron vegyük meg az opciót, a fennmaradó X 0 C összeget fektessük kötvénybe. A portfóliót a lejáratkor vissza kell ugyan vásárolnunk, de a birtokunkban lév opció éppen fedezi ezt az árat, és a kötvények lejáratkori ára kockázatmentes nyereség. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 14 / 79

15 Bevezetés Opcióárazás egylépéses bináris piacon A π 1 = (β 1, γ 1 ) portfólió értéke a T id pontban: β 1 (1 + r)b 0 + γ 1 s = f, ha ω = ω, β 1 (1 + r)b 0 + γ 1 s = f, ha ω = ω. Ennek létezik egyértelm megoldása: γ 1 = f f s s, β 1 = f γ 1 s (1 + r)b 0 = s f s f (s s )(1 + r)b 0. A portfólió értéke a 0 id pontban, tehát az opció ára: X 0 = β 1 B 0 + γ 1 S 0 = 1 [ (1 + r)s0 s ] f + [ s ] (1 + r)s 0 f 1 + r s s = 1 [ p 1 f + (1 p )f ] = 1 + r 1 + r E (F ) = r E (X 1 ), ahol p = P ({ω }) = P (F = f ) = (1 + r)s 0 s s s. Ha s < (1 + r)s 0 < s, akkor 0 < p < 1. (Arbitrázsmentesség!) Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 15 / 79

16 Bevezetés Opcióárazás egylépéses bináris piacon Ha a s < (1 + r)s 0 < s feltétel nem teljesülne, akkor arbitrázsra, kockázatmentes nyereségre lenne lehet ség, amit a piac hosszabb vagy rövidebb id alatt korrigálna: Ha (1 + r)s 0 s teljesülne, akkor állítsuk össze a ( S 0, B 0 ) portfóliót, tehát adjunk el S 0 kötvényt, és vegyünk B 0 részvényt. A portfólió értéke: X 0 = β 1 B 0 + γ 1 S 0 = 0, X 1 = β 1 B 1 + γ 1 S 1 ( S 0 )(1 + r)b 0 + B 0 s 0. Mivel ezt a piac minden szerepl je észrevenné, mindenki részvényt akarna venni, vagyis a részvény kiindulási S 0 ára megemelkedne. Ha (1 + r)s 0 s, akkor állítsuk össze az (S 0, B 0 ) portfóliót, adjunk el B 0 részvényt (short selling), és vegyünk S 0 kötvényt. A portfólió értéke: X 0 = β 1 B 0 + γ 1 S 0 = 0, X 1 = β 1 B 1 + γ 1 S 1 S 0 (1 + r)b 0 + ( B 0 )s 0. Emiatt mindenki próbálna megszabadulni a részvényeit l, hogy a pénzét kötvénybe fektesse, vagyis a részvény S 0 ára leesne. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 16 / 79

17 Bevezetés Opcióárazás egylépéses bináris piacon Példa: Európai call opció K = 1 kötési árral: r = 0, S 0 = B 0 = 1, s = 2 s = 0, 5, f = 1, f = 0. A formulák alkalmazásával: β 1 = 1/3 és γ 1 = 2/3. A portfólió értéke a 0 id pontban: X 0 = β 1 B 0 + γ 1 S 0 = 1/3. A mesterségesen bevezetett valószín ség: p = 1/3, amivel E (X 1 ) = E (F ) = p f + (1 p )f = 1/3 = X r. Diszkontált értékfolyamat A V t = X t /B t, 0 t T, folyamatot diszkontált értékfolyamatnak nevezzük. A korábbiak miatt: E (V 1 ) = E (X 1 ) (1 + r)b 0 = X 0 B 0 = V 0. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 17 / 79

18 Bevezetés Opcióárazás kétlépéses bináris piacon Opcióárazás kétlépéses bináris piacon Kereskedési id pontok: 0 = t 0 < t 1 < t 2 = T. Eseménytér: Ω = {ω, ω, ω, ω }. A kötvény ára: B 1 = B 0 (1 + r 1 ) és B 2 = B 1 (1 + r 2 ), ahol B 0 és r 1 determinisztikus, valamint { r r 2 =, ω {ω, ω }, r, ω {ω, ω }. A részvény ára S 0, S 1 S 1 = { s, ω {ω, ω }, s, ω {ω, ω }. és S 2, ahol S 0 determinisztikus, és S 2 = s, ω = ω, s, ω = ω, s, ω = ω, s, ω = ω. Az F 2 = f (S 0, S 1, S 2 ) kizetési függvény értékei: f, f, f, f. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 18 / 79

19 Bevezetés Opcióárazás kétlépéses bináris piacon Feladat: Határozzuk meg az opció igazságos árát, és adjunk meg egy replikáló stratégiát. Megoldás: Visszavezetjük a problémát három egylépéses piacra: Meghatározzuk, hogy a t 1 id pontban mekkora F 1 t kével kell rendelkeznünk ahoz, hogy a t 2 id pontra legyen replikáló portfóliónk. Az F 1 változó értékei { f F 1 =, S 1 = s, f, S 1 = s. Kiszámoljuk, hogy a t 0 id pontban mekkora F 0 determinisztikus t kével kell rendelkeznünk, hogy a t 1 -ben legyen F 1 összegünk. Mindeközben az egylépéses piacok portfóliói stratégiát is adnak. Mindehez fel kell tennünk, hogy mindhárom piac arbitrázsmentes, tehát s < S 0 (1 + r) < s, s < s (1 + r ) < s, s < s (1 + r ) < s. Házi feladat: Adjunk formulát az F 0 replikáló portfóliók összetételét. értékre, valamint határozzuk meg a Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 19 / 79

20 Diszkrét idej piacok Diszkrét idej piacok Deníciók Diszkrét idej piac Egy {Ω, A, P, F, B, S} halmazt N lépéses diszkrét idej piacnak nevezünk, ( jelölésben: (B, S) N ), ha (Ω, A, P) valószín ségi mez, N Z + ; F = {F n : n = 1,..., N} ltráció az eseménytéren, melyre F 1 = {, Ω} = F 0 F 1 F N = A; B = {B n 0 : n = 0,..., N} a kötvény el rejelezhet árfolyamata; S = {S n 0 : n = 0,..., N} a részvény árfolyamata, mely adaptált az F ltrációhoz, tehát S n mérhet F n -re, n = 0,..., N. El rejelezhet ség Azt mondjuk, hogy véletlen változóknak egy B 0,..., B N sorozata el rejelezhet, ha B n mérhet az F n 1 -re nézve, n = 0,..., N. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 20 / 79

21 Diszkrét idej piacok Deníciók Diszkrét idej bináris piac Egy (B, S) N diszkrét idej piac bináris (r 1,..., r N ) kamatlábakkal, valamint (a 1,..., a N ) és (b 1,..., b N ) együtthatókkal, ha r n > 1 és b n > a n > 1, n = 1,..., N; a kötvény ára determinisztikus B n = (1 + r n )B n 1, n = 1,..., N; a részvény ára S n = (1 + ρ n )S n 1, és valamely 0 < p n < 1 mellett P(ρ n = b n ) = p n és P(ρ n = a n ) = 1 p n, n = 1,..., N; minden információt a részvény árából szerzünk, tehát F n = σ(s 0,..., S n ) = σ(ρ 0,..., ρ n ), n = 0,..., N; Diszkrét idej homogén bináris piac Egy diszkrét idej bináris piac homogén, ha valamely r, a, b, p R értékekre r n = r, a n = a, b n = b és p n = p, n = 1,..., N; változók függetlenek (és azonos eloszlásúak). a ρ 1,..., ρ N Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 21 / 79

22 Diszkrét idej piacok Deníciók Kényelmi feltevés A továbbiakban feltesszük, hogy egy diszkrét idej piac esetén véges az eseménytér, és minden kimenetelnek pozitív a valószín sége. Jegyezzük meg, hogy egy diszkrét idej bináris piac reprezentálható az alábbi módon. Legyen az eseménytér illetve az események halmaza { Ω 0 = (x 1,..., x N ) : x n {a n, b n }, n = 1,..., N} és A0 = P(Ω 0 ). Ekkor egy ω = (x 1,..., x N ) Ω kimenetel valószín sége P 0 ( {ω} ) = P(ρ1 = x 1,..., ρ N = x N ). A kényelmi feltevés miatt P 0 (ω) > 0 minden ω Ω 0 esetén. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 22 / 79

23 Diszkrét idej piacok Stratégia és fedezet diszkrét idej piacon Stratégia és fedezet diszkrét idej piacon Stratégia Legyen β n és γ n el rejelezhet változó, tehát legyenek mérhet ek az F n 1 σ-algebrára, n = 0,..., N. A π = { π n = (β n, γ n ) : n = 0,..., N } portfóliósorozatot stratégiának nevezzük. A stratégia értékfolyamata és diszkontált értékfolyamata X π n = β n B n + γ n S n, V π n = X π n /B n, n = 0,..., N. Megjegyzések: π n az n 1 id pontban összeállított portfólió. π 0 az eredetileg rendelkezésre álló portfólió, gyakran π 0 = (β 0, 0). Nálunk F 1 = F 0 = {0, Ω}, ezért π 0 és π 1 determinisztikus. Az Xn π és a Vn π, n = 0,..., N, sorozat adaptált. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 23 / 79

24 Diszkrét idej piacok Stratégia és fedezet diszkrét idej piacon Önnanszírozó stratégia A π stratégia önnanszírozó, ha X π n 1 = β nb n 1 + γ n S n 1, n = 1,..., N. Jelentése: Nem teszünk be és nem veszünk ki pénzt a rendszerb l. Dierenciasorozat Egy α n véletlen vagy determinisztikus sorozat dierenciasorozata Önnanszírozó stratégiák Az alábbiak ekvivalensek. 1 A π stratégia önnanszírozó. α n = α n α n 1, n = 1, 2,... 2 Xn π = β n B n + γ n S n, n = 1,..., N. 3 B n 1 β n + S n 1 γ n = 0, n = 1,..., N. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 24 / 79

25 Diszkrét idej piacok Egy általánosabb diszkrét idej modell: Stratégia és fedezet diszkrét idej piacon K 1 részvény és egy kötvény. A részvények S (k) n, k = 1,..., K, n = 0,..., N, ára adaptált, az egyes részvények árfolyamata általában nem független. Stratégia, el rejelezhet sorozat: { π = π n = ( β n, γ (1) n,..., γ (K) ) } n, n = 0,..., N. A portfólió értéke: Xn π = β n B n + K k=1 γ(k) n n, n = 0,..., N. A stratégia önnanszírozó, ha az alábbi ekvivalens állítások valamelyike teljesül: 1 X π n 1 = β nb n 1 + K 2 X π n = β n B n + K k=1 γ(k) n S (k) n 1 k=1 γ(k) n S (k) S (k), n = 1,..., N; n, n = 1,..., N; 3 B n 1 β n + K k=1 S (k) n 1 γ(k) n = 0, n = 1,..., N. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 25 / 79

26 Diszkrét idej piacok Stratégia és fedezet diszkrét idej piacon Fedezeti stratégia (hedging stratégia) Egy (B, S) N diszkrét idej piacon legyen x R és f N : R N+1 R mérhet függvény. Egy π stratégiát (x, f N ) hedging stratégiának, fedezeti stratégiának vagy röviden fedezetnek nevezünk, ha X π = 0 x és X π N f ( ) N S0,..., S N m.b. A fedezeti stratégiát minimálisnak vagy tökéletesnek nevezzük, ha X π N = f ( ) N S0,..., S N m.b. Megjegyzések: Az Ω eseményen nincsen 0 valószín ség kimenetel, ezért a m.b. egyenl ség/egyenl tlenség minden ω Ω kimenetelre teljesül. Mi csak önnanszírozó (x, f N ) fedezeti stratégiákat fogunk vizsgálni. Ezek halmaza: Π(x, f N ). ( ) Speciális eset: f N S0,..., S N = g(sn ). Például: Európai opciók. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 26 / 79

27 Diszkrét idej piacok Stratégia és fedezet diszkrét idej piacon Arbitrázsstratégia Egy (B, S) N diszkrét idej piacon egy π önnanszírozó stratégia arbitrázs vagy arbirázsstratégia, ha X π = 0 m.b.; 0 Xn π 0 m.b., n = 1,..., N; P(X π N > 0) > 0, tehát létezik ω Ω, melyre X π N (ω) > 0. Általában feltesszük, hogy a piacon arbitrázsmentes, nincsen ingyenebéd. Arbitrázsstratégia létezése Tfh egy (B, S) N diszkrét idej piacon egy π önnanszírozó stratégiára teljesül, hogy X π = 0 m.b., 0 X π N 0 m.b. és P(X π N > 0) > 0. Ekkor létezik arbitrázsstratégia a piacon. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 27 / 79

28 Diszkrét idej piacok Ekvivalens martingálmértékek Ekvivalens martingálmértékek Ekvivalens mértékek Legyen µ és µ mérték egy (X, F) mérhet téren. Azt mondjuk, hogy a két mérték ekvivalens, ha abszolút folytonosak egymásra nézve, (azaz µ µ és µ µ), tehát tetsz leges A F mérhet halmazra µ(a) = 0 pontosan akkor teljesül, ha µ (A) = 0. Ekvivalens mértékek megszámlálható alaphalmazon Legyen µ és µ mérték az (X, F) téren, ahol X megszámlálható halmaz és F = 2 X. A két mérték pontosan akkor ekvivalens, ha tetsz leges x X elem esetén µ({x}) = 0 pontosan akkor, ha µ ({x}) = 0. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 28 / 79

29 Diszkrét idej piacok Ekvivalens martingálmértékek Ekvivalens martingálmérték Azt mondjuk, hogy P martingálmérték a (B, S) N piacon, ha P valószín ségi mérték az (Ω, A) téren; az S n /B n folyamat martingált alkot a P mérték alatt az F n, n = 0,..., N, ltrációra nézve. Ha ezen túl P és P ekvivalens mértékek, akkor P ekvivalens martingálmérték a piacon. A továbbiakban E jelöli a P szerinti várható értéket. Martingálmértékek diszkrét idej piacon Egy (B, S) N diszkrét idej piacon az alábbiak ekvivalensek. 1 P martingálmérték a piacon. 2 Tetsz leges π önnanszírozó stratégia esetén a V π n = X π n /B n diszkontált értékfolyamat martingál a P mérték alatt az F n, n = 0,..., N, ltrációra nézve. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 29 / 79

30 Diszkrét idej piacok Ekvivalens martingálmértékek Ekvivalens martingálmértékek diszkrét idej bináris piacon Tfh a (B, S) N diszkrét idej bináris piacon a n < r n < b n, n = 1,..., N, és tekintsük az eseménytér korábban vett (Ω 0, A 0, P 0 ) reprezentációját. Legyen p n = r n a n, n = 1,..., N, b n a n P ( { (x1,..., x N ) }) = (1 pn). Ekkor teljesülnek az alábbiak. 1 n N xn=bn p n 1 n N xn=an 1 A ρ 1,..., ρ N változók függetlenek a P valószín ségre nézve, és P (ρ n = b n ) = p n, n = 1,..., N. 2 A piacon P az egyetlen martingálmérték. 3 Ha teljesül a kényelmi feltevés, tehát minden kimenetelnek pozitív a P 0 valószín sége, akkor P ekvivalens martingálmérték. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 30 / 79

31 Diszkrét idej piacok Ekvivalens martingálmértékek Jegyezzük meg, hogy az (B, S) N diszkrét idej homogén bináris piacon az S N részvényár lehetséges értékei s k = S 0 (1 + b) k (1 + a) N k, k = 0,..., N. A részvényár pontosan akkor s k, ha az ár k alkalommal lépett felfelé, és N k alkalommal lépett lefelé. A binoniális fán az ilyen utak száma ( ) N k. Ekvivalens martingálmértékek diszkrét idej homogén bináris piacon Tegyük fel, hogy a (B, S) N diszkrét idej homogén piacon a < r < b. Ekkor a piacon létezik pontosan egy ekvivalens martingálmérték, melyre P ( ) ( ) N (p S N = S 0 (1+b) k (1+a) N k = ) k( 1 p ) N k, k = 0,..., N, k ahol p = (r a)/(b a). Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 31 / 79

32 Diszkrét idej piacok Ekvivalens martingálmértékek A közgazdászok az ekvivalens martingálmértéket kockázatsemleges valószín ségnek nevezik. Az egyszer ség kedvéért legyen B 0 = 1, és tegyük fel, hogy S 0 összeget fektetünk be. Ha egy darab részvényt veszünk, akkor a befektetés diszkontált lejáratkori értékének várható értéke P szerint E ( S N /B N ) = S0 /B 0 = S 0. Ha a teljes összeget kötvénybe fektetjük, akkor a diszkontált lejáratkori érték várható értéke E ( S 0 B N /B N ) = S0. Tehát a kockázatos részvénybefektetés várható értékben pontosan akkora hozamot ad, mint a kötvény. Speciálisan, diszkrét idej bináris piacon E (S N ) = (1 + r 1 ) (1 + r N )S 0. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 32 / 79

33 Diszkrét idej piacok Ekvivalens martingálmértékek Martingálok Legyen V 0,..., V N az F 0,..., F N ltrációhoz adaptált sorozat, és tegyük fel, hogy tetsz leges τ : Ω {0,..., N} megállási id esetén E(V τ ) = E(V 0 ). Ekkor V 0,..., V N martingál a ltrációra nézve. Az arbitrázsmentességre vonatkozó f tétel Egy (B, S) N diszkrét idej piacon a következ k ekvivalensek. 1 Létezik ekvivalens martingálmérték. 2 A piac kizárja az arbitrázslehet séget. A f tétel következménye bináris piacon Tegyük fel, hogy egy (B, S) N diszkrét idej bináris piacon teljesül a kényelmi feltevés. Ekkor az alábbiak ekvivalensek. 1 Létezik ekvivalens martingálmérték. 2 A piac kizárja az arbitrázslehet séget. 3 a n < r n < b n, n = 1,..., N. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 33 / 79

34 A piac teljessége Diszkrét idej piacok A piac teljessége Teljes piac A (B, S) N diszkrét idej piac teljes, ha bármely f N kizetési függvényhez létezik minimális fedezet, tehát olyan π önnanszírozó stratégia, melyre X π N = f ( ) N S0,..., S N m.b. A teljességre vonatkozó f tétel következménye: Teljesség diszkrét idej bináris piacon A (B, S) N diszkrét idej bináris piac pontosan akkor teljes, ha a n r n b n, n = 1,..., N. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 34 / 79

35 Diszkrét idej piacok A piac teljessége A teljességre vonatkozó f tétel Tegyük fel, hogy a (B, S) N diszkrét idej piacon létezik P ekvivalens martingálmérték. Ekkor az alábbiak ekvivalensek. 1 A piac teljes. 2 P az egyetlen ekvivalens martingálmérték a piacon. 3 Tetsz leges (M n, F n, P ) 0 n N martingál el áll M n = M 0 + n k=1 alakban, ahol a γ n, n = 1,..., N ( Sn γ k S ) n 1, n = 1,..., N, B n B n 1 változók el rejelezhet ek. A gyakorlatban, ha adott egy piac és egy részvényopció: (2) Létezik egyértelm ekvivalens martingálmérték = (1) Az opcióra létezik fedezeti stratégia, bár nem ismerjük = (3) A fedezeti stratégia felírható, az opció árazható Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 35 / 79

36 Opciók árazása Diszkrét idej piacok Opciók árazása Befektetési költség A (B, S) N diszkrét idej piacon tekintsünk egy f N (S 0,..., S N ) kizetési függvényt, valamint az ehhez kapcsolódó opciót. A C N,fN = inf { x R : Π(x, f N ) } értéket az opció befektetési költségének nevezzük. Fedezeti stratégia létezése A (B, S) N piacon tetsz leges f N (S 0,..., S N ) kizetési függvény esetén létezik x R, melyre Π(x, f N ). Ebb l C N,fN <. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 36 / 79

37 Diszkrét idej piacok Opciók árazása Feltételes követelések árazása Tfh létezik P ekvivalens martingálmérték a (B, S) N diszkrét idej piacon, és tekintsünk egy f N (S 0,..., S N ) kizetési függvényt. Ekkor C N,fN [ ] E B0 ( ) f N S0,..., S N. B N Továbbá, ha a piac teljes, akkor a kizetési függvény replikálható, és a befektetési költség [ ] C N,fN = E B0 ( ) f N S0,..., S N. B N Megjegyzések: Teljes piacon az opció igazságos (arbitrázsmentes) ára C N,fN. Ha π egy minimális fedezeti stratégia, akkor [ X X π n = B n E π ] [ N 1 Fn = B n E ( ) ] f N S0,..., S N Fn. B N B N Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 37 / 79

38 Diszkrét idej piacok Néhány széles körben alkalmazott árazási formula Néhány széles körben alkalmazott árazási formula Árazás diszkrét idej bináris piacon Tfh a (B, S) N diszkrét idej bináris piacon a n < r n < b n, n = 1,..., N, és tegyük fel, hogy teljesül a kényelmi feltevés. Jelölje P az egyetlen ekvivalens martingálmértéket a piacon, és tekintsünk egy tetsz leges f N (S 0,..., S N ) kizetési függvényt. Ekkor az opcióra létezik minimális fedezeti stratégia, és az opció árbitrázsmentes ára C N,fN = 1 d E ( ) N f N S0,..., S N, ahol d = (1 + r n ). Speciálisan, ha f (S 0,..., S N ) = g(s N ), akkor C N,fN = 1 ( g S 0 + b n ) d H {1,...,N} n H(1 ) (1 + a n ) n H n H n=1 (1 pn). p n n H Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 38 / 79

39 Diszkrét idej piacok Néhány széles körben alkalmazott árazási formula Fedezeti stratégia diszkrét idej bináris piacon Az el z tétel feltételei mellett legyen M n = 1 d E [ f N ( S0,..., S N ) Fn ], n = 0,..., N. Ekkor teljesülnek az alábbiak. 1 Léteznek h n : R n R mérhet determinisztikus függvények, hogy M n = h n ( ρ1,..., ρ n ) m.b., n = 1,..., N. 2 Az alábbi stratégia egy lehetséges fedezet a kizetési függvényre: β 0 = M 0, γ 0 = 0, β n = M n γ n S n B n, n = 1,..., N, γ n = B [ n ( ) ( ) ] h n ρ1,..., ρ n 1, b n hn ρ1,..., ρ n 1, a n, S n 1 (b n a n ) Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 39 / 79

40 Diszkrét idej piacok Néhány széles körben alkalmazott árazási formula CoxRossRubinstein árazási formula A (B, S) N diszkrét idej homogén bináris piacon legyen a < r < b. Ekkor az európai call opció arbitrázsmentes ára K lejáratkori ár esetén ahol p = r a b a, C N,K = S 0 B(k 0, N, p) K(1 + r) N B(k 0, N, p ), p = 1 + b log 1 + r p, k 0 = 1 + K S0(1+a) N log 1+b 1+a továbbá j Z és 0 p 1 esetén N ( N ) k=j k p k (1 p) N k, 0 j N, B(j, N, p) = 0, j > N, 1, j < 0., Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 40 / 79

41 Diszkrét idej piacok Néhány széles körben alkalmazott árazási formula Put-Call paritás Ha a (B, S) N diszkrét idej piac teljes, akkor a K kötési árhoz tartozó európai vételi és eladási opció arbitrázsmentes árára P N,K = C N,K S 0 + KE ( B 0 /B N ). Speciálisan, teljes bináris piacon P N,K = C N,K S 0 + K/ N n=1 (1 + r n). Amerikai típusú opciók árazása Egy opciót amerikai típusúnak nevezünk, ha a lejárati id el tt is lehívható. Tegyük fel, hogy a (B, S) N piacon létezik P ekv. martingálmérték. Az opció fedezéséhez szükséges összeg: Cn Am, n = 0,..., N. A kizetés, ha az opciót lehívják az n. id pontban: Cn, L n = 0,..., N. Ekkor a befektetési költség C Am 0, ahol visszafelé haladó rekurzióval ] F n C Am n = max ( [ ) Cn, L Cn Eu, C Eu n = E Bn C Am n+1 B n+1, n = 0,..., N 1. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 41 / 79

42 Sztochasztikus kalkulus A standard Wiener folyamat és tulajdonságai A standard Wiener folyamat és tulajdonságai A standard Wiener folyamat A W (t), t 0, sztochasztikus folyamat standard Wiener folyamat vagy standard Brown mozgás, ha W (0) = 0 m.b. W (t), t 0, független növekmény. Tetsz leges 0 s t esetén W (t) W (s) N(0, t s). (= a folyamat stacionárius növekmény ) W (t), t 0, mintafolytonos. Legyen µ R és σ > 0 tetsz leges. Az X (t), t 0, folyamat Brown mozgás µ drifttel és σ volatilitással, ha X (t) = µt + σw (t), t 0. Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika szi félév 42 / 79