Mezıszimuláció végeselem módszerrel
|
|
- Zsanett Lakatos
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Mezıszimuláció végeselem módszerrel Házi feladat Egy koaxiális kábel megszakadásakor keletkezı potenciál eloszlás és lépésfeszültség, különbözı elrendezések esetén. Készítette: Molnár Dömötör
2 Bevezetés A választott feladatomban azzal a problémával foglalkozok, hogy ha egy földben húzódó koaxiális kábel megszakad, milyen potenciál eloszlás alakul ki, illetve mekkora lesz a lépésfeszültség. Habár a valóságban ez nem gyakran fordul elı, mert a kábel leföldelıdik, és a biztosíték miatt nem marad tovább feszültség alatt, elképzelhetı olyan eset, amikor a kábel megszakadásakor nem érintkezik a földdel, így kialakul valamekkora lépésfeszültség. A koaxiális kábel, és a modellje Egy általános koaxiális kábel felépítése az ábrán látható. Van egy belsı vezetı ér, körülötte dielektrikum, körülötte egy vezetı henger, az árnyékolás, legkívül pedig egy mőanyag borítás. Problémám megoldását a Matlab PDE Toolbox csomagjával végzem. Ahhoz, hogy a problémám megoldható legyen, több elhanyagolást is kell tennem. Elıször is a PDE Toolboxban csak síkbeli elrendezés megadása lehetséges, ezért például kábel modellezési problémákat hengerkoordináták segítségével oldhatunk meg. Az én elrendezésem azonban nem hengerszimmetrikus, hiszen a kábeltıl fölfelé levegı van, lefelé pedig föld, ezért a következı elhanyagolást teszem: a kábelnek csak a keresztmetszetét nézem, a többi részét elhanyagolom. Így tehát gyakorlatilag olyan, mintha sík fémlemezek lennének a föld alatt, dielektrikum lemezekkel elválasztva. A pontos elrendezés, modellezési problémák Nézzük meg elıször is egy ábrán, hogy hogyan is fog kinézni a szimulált terem keresztmetszete. Az ábra természetesen nem méretarányos, csak arra szolgál, hogy lássuk az elrendezést. Az ábra méreteinek megválasztását a következıkben ismertetem. A választott kábelem egy RG11/U típusú kábel. Azért éppen erre esett a választásom, mert ezt a kábeltípust gyakran használják föld alatti összeköttetésekre. Az általános méretei a követezıek: az ér átmérıje 1,63 mm, a dielektrikumé 7,2 mm (az érrel együtt), Az árnyékolóé kb. 8 mm, az egész kábel pedig 10,5 mm átmérıjő. A kábel dielektrikuma lehet polietilén, a köpeny készülhet gyakorlatilag bármilyen mőanyagból. Annak érdekében, hogy a peremfeltételeket könnyen megválaszthassam, kellıen nagy térben fogom szimulálni a kábelt: vízszintesen és függılegesen méter hosszan. A kábel balról, középrıl jön be a térbe, és 5 méteren hosszan az ábrázolt tér (illetve annak a sík keresztmetszete) közepéig tart. A kábelt három elrendezésben szimulálom: 1, 10, majd 100 cm-re lesz a föld alá beásva. A kábelrıl leszakadt véget nem veszem bele a szimulációba. Annak érdekében, hogy a kábel erén és árnyékolásán lévı "feszültségkényszert" könnyen megvalósítsam, célszerően ezeket nem veszem bele a szimulációs térbe. 2. oldal Molnár Dömötör
3 Az így keletkezett nagymérető térben azonban elég nehézkes a hálógenerálás: a hosszú és vékony dielektrikumban és köpenyben rengeteg elemet kéne felvenni, ezért a következı egyszerősítéseket teszem. A kábel belsejében a dielektrikum elegendıen hosszú, de viszonylag rövid távon legyen jelen, ezután a dielektrikum, az ér és az árnyékoló egy 'tömbként' húzódjon tovább. Ezt az elhanyagolást azért tehetem meg, mert a kábel belsejében kialakuló tér és potenciál nem része a probléma megoldásának, valamint bizonyos mélységbıl már nem szól bele a külsı térbe. Ha tehát elegendıen hosszú dielektrikumot meghagyunk, hogy a végén lévı elektromos teret és potenciál eloszlást már biztos ne zavarja a szakadás, ott egy homogén Neumann peremfeltétellel zárhatjuk le a kábelt. A másik elhanyagolást a köpennyel tesszük: ezt csak bizonyos távolságig "teszem rá" a kábelre, hiszen elegendıen hosszú távon már a nem léte nem szól bele lényegesen a térbe. Ezeket az elegendı hosszúságokat egyébként szimulációs úton állapítottam meg, figyelve, hogy ne legyen számottevı eltérés. A köpeny 55 cm hosszan vana kábelen, a kábel belsejét 5 cm mélyen szimulálom. A két elhanyagolást szemlélteti az alábbi ábra. Megjegyzés: habár a konstrukció több éles sarkot is tartalmaz, szingularitással nem kell számolnom, mert a potenciál bármilyen jó felbontás esetén sem mehet a kábel potenciálja fölé, így nem fog a végtelenbe tartani. A térre felírt differenciálegyenlet Az alábbi két Maxwell-egyenletbıl indítottam a levezetést: d D d B (1) roth = J +, (2) rote =. Mivel elektrosztatikai problémáról van szó, db/dt=0, dt dt ezért ( 3) rot E = 0. Mivel divrot=0, így (1) egyenlet mindkét oldalának divergenciáját véve: d D ( 4) div ( J + ) = 0. (3) egyenlet miatt be tudok vezetni egy skalárpotenciált: E = gradϕ, így dt D = ε * E, J = σ * E alapján (4) egyenletbe behelyettesítve: d div ( σ * gradϕ+ ( ε * gradϕ)) = 0. Esetemben az érben 325V (230Vrms), 50Hz szinuszosan dt váltakozó feszültség van az árnyékoláshoz képest. Így a szinuszos változás bevezethetünk komplex csúcsértéket E-nek: Re{ ˆ jωt E = E * e }, és komplex skalárpotenciált: Eˆ = gradϕ. A deriválást elvégezve megkapjuk a Parciális Differenciál Egyenletet: div [( σ + jωε ) * gradϕ] = 0 3. oldal Molnár Dömötör
4 Ez pont olyan alak, mint amilyen a PDE Toolbox elliptikus alakja, a megfelelı együtthatók értékeit az anyagoknak megfelelıen megadva szimulálni tudjuk majd a teret. A peremfeltételek Mint azt már korábban említettem, a vizsgált terem a kábel méreteihez képest igen nagy: a kábel átmérıje 10mm, a tér keresztmetszete pedig 10m x 10m. Így a tér határain lévı peremfeltételeknek nyugodtan választhatok homogén Dirichlet, u=0 feltételt, mert olyan távol már biztos nulla lesz a potenciál. Választhatnék akár homogén Neumann feltételt is, szimulációs tapasztalatom szerint ilyen távol már teljesen mindegy, homogén Neumann és Dirichlet feltétel esetére is szinte teljesen ugyan azt a teret kaptam. A kábelnél az árnyékolás, és az ezt folytató tömb szélein szintén nulla a potenciál, így Dirichlet peremfeltételt választottam, míg a kábeléren konstans 315V-ot tettem, tehát ide is Dirichlet feltételt választottam. Az éren azért vettem fel konstans feszültséget, mert a PDE Toolbox-ban csak a t=0 idıpillanathoz tartozó komplex potenciálértékeket határozom meg, majd ezt exportálom Matlabba, és itt függvények segítségével egy egész periódus potenciálértékeit meghatározom. A dielektrikum végén, már ismertetett okok miatt, homogén Neumann feltételt szabok meg. A határfeltételeket egy nem méretarányos ábrával is szemléltetem. 4. oldal Molnár Dömötör
5 A háló generálása, a PDE megoldása A PDE Toolbox automatikusan tud a síkra háromszöghálót tud elhelyezni. Én adaptív hálógenerálást használtam: 10-3 relatív hibáig. Az adaptáció kb. 3 percig tartott. A háló generálása után még meg kellett adni a PDE együtthatóit az egyes térrészekre a megfelelı, σ + jωε formátumban. Ezek az egyes anyagokra: Levegı: ε r = 1, σ elhanyagolható Föld: σ = 10-6, ε r = kb 10, de el is hanyagolható, mert 10-9 es nagyságrendő lesz Polietilén (és a köpeny is): ε r = 2.3, σ elhanyagolható Már minden készen áll, a PDE Toolbox meg tudja oldani a PDE-t, és képes kirajzolni a mezıt (de csak a komplex U valósrészét) a t=0 idıpillanatra. Az eredmények a dokumentációm végén találhatóak. Ezek után a hálót, és a hálóhoz tartozó megoldást exportálni tudjuk Matlabba. A Matlabban ezután mindhárom elrendezésben csinálok egy animációt a potenciál-eloszlás periodikus szimulálására. Az "animu.m" fájl forráskódja a dokumentáció végén található. A lépésfeszültségeket a következı képen szimulálom: egy lépést fix, 80 cm hosszúnak veszek, és a szimulált térben, a föld felszínén a lépés közepét futtatom végig, és ábrázolom, hogy ha a két lábunk az adott ponttól jobbra és balra 40cm-re van, mekkora feszültségkülönbség hat ránk. A lépésfeszültség idıbeli változásáról is animációt készítettem az "animlepes_[szam]cm.m" fájlokkal, ebbıl az elsı, 1 cm-es fájl forráskódja látható a dokumentáció végén csatolva. Minden animációból, amit készítettem avi fájlt is létrehoztam a "createavi.m" fájl segítségével. Az eredmény értékelése A szimulációk eredményeként kapott potenciáleloszlást megfigyelve különös jelenségeket vehetünk észre. Nem meglepı, hogy a potenciáleloszlás pulzál, az viszont igen, hogy a kábel mentén érdekes, ellenkezı potenciálú helyek alakulnak ki. Ezek szerintem nem feltétlenül valódi értékek, lehetséges, hogy a szimuláció hiábja, vagy valamelyik elhanyagolás miatt keletkezett. Legvalószínőbbnek azt tartottam, hogy a külsı borítás végessége okozza ezt, ám a problémát leszimuláltam teljes külsı borítással is, és a jelenség mégis fellépett. Érdekes továbbá, hogy a potenciál a második, 10 cm mélyen lévı kábel esetében terjed a legtovább. A lépésfeszültségek, amint látszik, nem halálosak, és ahogy várni lehetett, minél mélyebbre ássuk a kábelt, ánnál kevesebb. A második és harmadik esetben a görbék szépek, és valószínüleg nagyjából reálisak, azonban az elsı esetben a földfelszín még közel van az elıbb már leírt negatív potenciálú helyhez, így ez belezavar a görbébe. Érdekes megfigyelni, hogy ha megfelelı helyre állunk (majdnem pont a megszakadt kábel fölé), a lépésfeszültség pont nulla is lehet. 5. oldal Molnár Dömötör
6 A potenciál-eloszlás, valamint a lépésfeszültség a t=0 pillanatban, ha a kábel 1 cm mélyen van a földben: 6. oldal Molnár Dömötör
7 10 cm mélyen van a földben: 7. oldal Molnár Dömötör
8 100 cm mélyen van a földben: 8. oldal Molnár Dömötör
9 Az "animu.m" fájl: % Animaciot keszit a potencial-eloszlas valtozasarol egy periodus alatt. % Az adatmezoben leteznie kell a halo 'p', 'e', 't', illetve a megoldas % 'u' valtozojanak. A kepek szama az 'n' valtozoval allithato be. n=20; maxu=max(abs(u)); newplot; title('allitsa be az animacio meretet, majd nyomjon le egy billentyut!') disp('allitsa be az animacio meretet, majd nyomjon le egy billentyut!'); pause; cmap=load('hot-cold.dat'); for k=1:n, ur=real(u*exp(i*(k-1)*2*pi/n)); %kiszamolja a feszultseg valoserteket egy pillanatra pdeplot(p,e,t,'xydata',ur,'xystyle','interp',... %pdeplottal kirajzolja 'contour','off','mesh','off','colormap','jet',... 'levels',[-maxu:maxu/10:maxu]); axis tight, set(gca,'dataaspectratio',[1 1 1]); axis off caxis manual; caxis([-10 10]); colorbar; M(k)=getframe(gcf); %lementi a kepeket end clf; axes('position',[ ]); movie(m,50); %lejatsza a kepeket 9. oldal Molnár Dömötör
10 Az "animlepes_1cm.m" fájl: % p,t,u kell % A kepek szama az 'n' valtozoval allithato be. n=20; newplot; title('allitsa be az animacio meretet, majd nyomjon le egy billentyut!') disp('allitsa be az animacio meretet, majd nyomjon le egy billentyut!'); pause; x=0:0.001:10; y= ; %ez itt a fold y koordinataja uxy=tri2grid(p,t,u,x,y); %megallapitjuk az ertekeket a pontokban xmm=401:1:9601; %xmm lesz az x koordinata, millimeterben (a lepes kozepenek helye) maxu=0; for k=1:n, %kiszamoljuk a maximalis lepesfeszultseget temp=max( real(uxy(xmm-400)*exp(j*2*pi*(k-1)/n))-real(uxy(xmm+400)*exp(j*2*pi*(k- 1)/n)) ); if (temp>maxu) maxu=temp; end end for k=1:n, %kiszamoljuk az ertekeket (*exp(jwt) valoserteke a potencial, ezt kell a ket lab kozott kivonni) plot(xmm,real(uxy(xmm-400)*exp(j*2*pi*(k-1)/n))-real(uxy(xmm+400)*exp(j*2*pi*(k- 1)/n))); axis manual axis([ maxu maxu]); M(k)=getframe(gcf); end axes('position',[ ]); movie(m,10); 10. oldal Molnár Dömötör
11 A "createavi.m" fájl: aviobj = avifile('out.avi'); for i=1:length(m) aviobj = addframe(aviobj,m(i)); end aviobj = close(aviobj); 11. oldal Molnár Dömötör
BUDAPESTI MŐSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM
BUDAPESTI MŐSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Számítógépes Modellezés Házi Feladat Készítete: Magyar Bálint Dátum: 2008. 01. 01. A feladat kiírása A számítógépes modellezés c. tárgy házi feladataként
Részletesebben25/1. Stacionárius és tranziens megoldás. Kezdeti és végérték tétel.
25/1. Stacionárius és tranziens megoldás. Kezdeti és végérték tétel. A gerjesztı jelek hálózatba történı be- vagy kikapcsolása után átmeneti (tranziens) jelenség játszódik le. Az állandósult (stacionárius)
RészletesebbenRadioaktív bomlási sor szimulációja
Radioaktív bomlási sor szimulációja A radioaktív bomlásra képes atomok nem öregszenek, azaz nem lehet sem azt megmondani, hogy egy kiszemelt atom mennyi idıs (azaz mikor keletkezett), sem azt, hogy pontosan
RészletesebbenCAD-CAM-CAE Példatár
CAD-CAM-CAE Példatár A példa megnevezése: A példa száma: A példa szintje: CAx rendszer: Kapcsolódó TÁMOP tananyag rész: A feladat rövid leírása: VEM Rúdszerkezet sajátfrekvenciája ÓE-A05 alap közepes haladó
RészletesebbenVezetők elektrosztatikus térben
Vezetők elektrosztatikus térben Vezető: a töltések szabadon elmozdulhatnak Ha a vezető belsejében a térerősség nem lenne nulla akkor áram folyna. Ha a felületen a térerősségnek lenne tangenciális (párhuzamos)
RészletesebbenTermikus interface anyag teszter szimulációja MATLAB-ban
Termikus interface anyag teszter szimulációja MATLAB-ban Név: Somlay Gergely A feladat célkitőzése Termikus interface anyag vizsgálatára alkalmas elrendezés 2D-s termikus szimulációja véges differencia
RészletesebbenModern Fizika Labor Fizika BSC
Modern Fizika Labor Fizika BSC A mérés dátuma: 2009. április 20. A mérés száma és címe: 20. Folyadékáramlások 2D-ban Értékelés: A beadás dátuma: 2009. április 28. A mérést végezte: Márton Krisztina Zsigmond
RészletesebbenToronymerevítık mechanikai szempontból
Andó Mátyás: Toronymerevítık méretezése, 9 Gépész Tuning Kft. Toronymerevítık mechanikai szempontból Mint a neve is mutatja a toronymerevítık használatának célja az, hogy merevebbé tegye az autó karosszériáját
Részletesebben= Φ B(t = t) Φ B (t = 0) t
4. Gyakorlat 32B-3 Egy ellenállású, r sugarú köralakú huzalhurok a B homogén mágneses erőtér irányára merőleges felületen fekszik. A hurkot gyorsan, t idő alatt 180 o -kal átforditjuk. Számitsuk ki, hogy
RészletesebbenGyakorlat anyag. Veszely. February 13, Figure 1: Koaxiális kábel
Gyakorlat anyag Veszely February 13, 2012 1 Koaxiális kábel d b a Figure 1: Koaxiális kábel A 1 ábrán látható koaxiális kábel adatai: a = 7,2 mm, b = 4a = 8,28 mm, d = 0,6 mm, ε r = 3,5; 10 4 tanδ = 80,
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
RészletesebbenA gradiens törésmutatójú közeg I.
10. Előadás A gradiens törésmutatójú közeg I. Az ugrásszerű törésmutató változással szemben a TracePro-ban lehetőség van folytonosan változó törésmutatójú közeg definiálására. Ilyen érdekes típusú közegek
RészletesebbenDIFFERENCIAEGYENLETEK
DIFFERENCIAEGYENLETEK Példa: elsőrendű állandó e.h. lineáris differenciaegyenlet Ennek megoldása: Kezdeti feltétellel: Kezdeti feltétel nélkül ha 1 és a végtelen összeg (abszolút) konvergens: / 1 Minden
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
RészletesebbenGibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén
Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert
RészletesebbenEllenállásmérés Wheatstone híddal
Ellenállásmérés Wheatstone híddal A nagypontosságú elektromos ellenállásmérésre a gyakorlatban sokszor szükség van. Nagyon sok esetben nem elektromos mennyiségek mérését is visszavezethetjük ellenállásmérésre.
RészletesebbenA térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?
Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]
RészletesebbenA térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?
Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]
RészletesebbenElektromágneses rendszerek modellezése és tervezése
Elektromágneses rendszerek modellezése és tervezése Végeselem-módszer (rövid bevezető) Marcsa Dániel egyetemi tanársegéd E-mail: marcsad@sze.hu http://maxwell.sze.hu/~marcsa/targyak.html Széchenyi István
RészletesebbenCompton-effektus. Zsigmond Anna. jegyzıkönyv. Fizika BSc III.
Compton-effektus jegyzıkönyv Zsigmond Anna Fizika BSc III. Mérés vezetıje: Csanád Máté Mérés dátuma: 010. április. Leadás dátuma: 010. május 5. Mérés célja A kvantumelmélet egyik bizonyítékának a Compton-effektusnak
RészletesebbenModern Fizika Labor. 2. Elemi töltés meghatározása
Modern Fizika Labor Fizika BSC A mérés dátuma: 2011.09.27. A mérés száma és címe: 2. Elemi töltés meghatározása Értékelés: A beadás dátuma: 2011.10.11. A mérést végezte: Kalas György Benjámin Németh Gergely
RészletesebbenGyakorló feladatok a 2. zh-ra MM hallgatók számára
Gyakorló feladatok a. zh-ra MM hallgatók számára 1. Egy vállalat termelésének technológiai feltételeit a Q L K függvény írja le. Rövid távon a vállalat 8 egységnyi tőkét használ fel. A tőke ára 000, a
RészletesebbenMag-mágneses rezonancia
Mag-mágneses rezonancia jegyzıkönyv Zsigmond Anna Fizika BSc III. Mérés vezetıje: Csorba Ottó Mérés dátuma: 2010. március 25. Leadás dátuma: 2010. április 7. Mérés célja A labormérés célja a mag-mágneses
RészletesebbenMatematika B4 VIII. gyakorlat megoldása
Matematika B4 VIII. gyakorlat megoldása 5.április 7.. Eloszlás- és sűrűségfüggvény Ha az X egy folytonos valószínűségi változó, akkor X-et jól jellemzi az eloszlás illetve a sűrűségfüggvénye. Az eloszlásfüggvény
RészletesebbenÁtmeneti jelenségek egyenergiatárolós áramkörökben
TARTALOM JEGYZÉK 1. Egyenergiatárolós áramkörök átmeneti függvényeinek meghatározása Példák az egyenergiatárolós áramkörök átmeneti függvényeinek meghatározására 1.1 feladat 1.2 feladat 1.3 feladat 1.4
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.
Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y
Részletesebben17/1. Négypólusok átviteli függvényének ábrázolása. Nyquist diagram.
7/. Négypólusok átviteli függvényének ábrázolása. Nyquist diagram. A szinuszos áramú hálózatok vizsgálatánál gyakran alkalmazunk különbözı komplex átviteli függvényeket. Végezzük ezt a hálózat valamilyen
Részletesebben11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 3y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
Részletesebbena térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.
2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3
RészletesebbenSzá molá si feládáttí pusok á Ko zgázdásá gtán I. (BMEGT30A003) tá rgy zá rthelyi dolgozátá hoz
Szá molá si feládáttí pusok á Ko zgázdásá gtán I. (BMEGT30A003) tá rgy zá rthelyi dolgozátá hoz 1. feladattípus a megadott adatok alapján lineáris keresleti, vagy kínálati függvény meghatározása 1.1. feladat
RészletesebbenLemez- és gerendaalapok méretezése
Lemez- és gerendaalapok méretezése Az alapmerevség hatása az alap hajlékony merev a talpfeszültség egyenletes széleken nagyobb a süllyedés teknıszerő egyenletes Terhelés hatása hajlékony alapok esetén
Részletesebbenazonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra
4. Gyakorlat 31B-9 A 31-15 ábrán látható, téglalap alakú vezetőhurok és a hosszúságú, egyenes vezető azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra. 31-15 ábra
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
RészletesebbenMegyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló
Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. különbözı pozitív egész szám átlaga. Legfeljebb mekkora lehet ezen számok közül a legnagyobb? (A) (B) 8 (C) 9 (D) 78 (E) 44. 00 009 + 008 007 +... + 4
Részletesebben11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenMegjegyzés a villamos gép mágneses terét leíró kifejezéshez Comment on the Expression Describing the Magnetic Field of the Electrical Machine
Megjegyzés a villamos gép mágneses terét leíró kifejezéshez Comment on the Expression Describing the Magnetic Field of the Electrical Machine Dr. Tóth Ferenc, Dr. zabó Loránd 2 Miskolci Egyetem, Magyarország
RészletesebbenIntegrált áramkörök termikus szimulációja
BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Villamosmérnöki és Informatikai Kar Elektronikus Eszközök Tanszéke Dr. Székely Vladimír Integrált áramkörök termikus szimulációja Segédlet a Mikroelektronika
RészletesebbenVasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet
Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet 2. előadás A rugalmas lemezelmélet alapfeltevései A lemez anyaga homogén, izotróp, lineárisan rugalmas (Hooke törvény); A terheletlen állapotban
RészletesebbenMagspektroszkópiai gyakorlatok
Magspektroszkópiai gyakorlatok jegyzıkönyv Zsigmond Anna Fizika BSc III. Mérés vezetıje: Deák Ferenc Mérés dátuma: 010. április 8. Leadás dátuma: 010. április 13. I. γ-spekroszkópiai mérések A γ-spekroszkópiai
RészletesebbenEgy érdekes statikai - geometriai feladat
1 Egy érdekes statikai - geometriai feladat Előző dolgozatunkban melynek címe: Egy érdekes geometriai feladat egy olyan feladatot oldottunk meg, ami az itteni előtanulmányának is tekinthető. Az ottani
RészletesebbenNormák, kondíciószám
Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus
RészletesebbenGyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)
2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,
RészletesebbenHajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)
RészletesebbenBaran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. 1.-2. Gyakorlat 1 / 42 Numerikus differenciálás
RészletesebbenODE SOLVER-ek használata a MATLAB-ban
ODE SOLVER-ek használata a MATLAB-ban Mi az az ODE? ordinary differential equation Milyen ODE megoldók vannak a MATLAB-ban? ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb, stb. A részletes leírásuk
RészletesebbenDigiterra útmutató mobil Interneten kapcsoljuk be a telefont Start / Settings / Connections / Wireless Manager / Phone
Digiterra útmutató Ha a korrekció fogadása mobil Interneten történik: elıször kapcsoljuk be a telefont. Start menü, vagy: Start / Settings / Connections / Wireless Manager / Phone ON-ra állítani. Csatlakozás
RészletesebbenTömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások
2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel
RészletesebbenElektromágneses hullámok
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (a) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: 2015. október 3. 1 A Maxwell-egyenletek (1) (2) (3) (4) E: elektromos térerősség D: elektromos eltolás H: mágneses
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
RészletesebbenCAD-CAM-CAE Példatár
CAD-CAM-CAE Példatár A példa megnevezése: A példa száma: A példa szintje: CAx rendszer: Kapcsolódó TÁMOP tananyag rész: A feladat rövid leírása: Összeállítás készítése CAD rendszerben ÓE-A12 alap közepes
RészletesebbenElektronikai alapgyakorlatok
Elektronikai alapgyakorlatok Mőszerismertetés Bevezetés a szinuszos váltakozó feszültség témakörébe Alkalmazott mőszerek Stabilizált ikertápegység Digitális multiméter Kétsugaras oszcilloszkóp Hanggenerátor
RészletesebbenGeometriai valo szí nű se g
Geometriai valo szí nű se g Szűk elméleti áttekintő Klasszikus valószínűség: Geometriai valószínűség: - 1 dimenzióban: - dimenzióban: - + dimenzióban: jó esetek összes eset jó szakaszok teljes szakasz
Részletesebben4. Biztonsági elıírások. 1. A dokumentációval kapcsolatos megjegyzések
1 Tartalomjegyzék 1. A dokumentációval kapcsolatos megjegyzések 3 2. EU tanúsítvány.. 3 3. Az SD 201 felszerelése 3 4. Biztonsági elıírások. 3 5. Szállított anyagok listája.. 3 6. A berendezés felszerelése..
Részletesebben9. évfolyam 2. forduló
9. évfolyam. forduló. különbözı pozitív egész szám átlaga. Legfeljebb mekkora lehet ezen számok közül a legnagyobb? (A) (B) 8 (C) 9 (D) 78 (E) 44 Válasz: (D) 78 Megoldás: Ha a szám átlaga, akkor összegük
RészletesebbenSzimulációs technikák
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM Műszaki Tudományi Kar Informatikai tanszék Szimulációs technikák ( NGB_IN040_1) 2. csapat Comparator - Dokumentáció Mérnök informatikus BSc szak, nappali tagozat 2012/2013 II.
RészletesebbenHÍDTARTÓK ELLENÁLLÁSTÉNYEZŐJE
HÍDTARTÓK ELLENÁLLÁSTÉNYEZŐJE Csécs Ákos * - Dr. Lajos Tamás ** RÖVID KIVONAT A Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Hidak és Szerkezetek Tanszéke megbízta a BME Áramlástan Tanszékét az M8-as
RészletesebbenRAKTÁROZÁSTECHNIKA. Rakodólapos állványrendszer készítése. Andó Mátyás
RAKTÁROZÁSTECHNIKA Rakodólapos állványrendszer készítése Készítette: Andó Mátyás Budapest, 2006 november 27 Tartalomjegyzék TARTALOMJEGYZÉK RAKODÓLAPOS ÁLLVÁNYRENDSZER TERVEZÉSE 2 ALAP ADATOK 2 2 ALAPSZÁMÍTÁSOK
RészletesebbenNagyfelbontású magassági szélklimatológiai információk dinamikai elıállítása
Nagyfelbontású magassági szélklimatológiai információk dinamikai elıállítása Szépszó Gabriella Országos Meteorológiai Szolgálat Éghajlati Osztály, Klímamodellezı Csoport Együttmőködési lehetıségek a hidrodinamikai
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenJegyzet az Elektromágneses terek M.Sc. tantárgyhoz
Jegyzet az Elektromágneses terek M.Sc. tantárgyhoz 2016 05 06 Tartalomjegyzék 1 A legfontosabb elõismeretek összefoglalása 3 1.1 Főbb jelölések........................................... 3 1.2 Műveletek,
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenElektro- és magnetosztatika, áramkörök
1. fejezet Elektro- és magnetosztatika, áramkörök Coulomb- és Gauss-törvény, szuperpozíció elve, stacionárius áram. Vezet k, szigetel k, dielektrikumok, kondenzátor, magnetosztatika. Stacionárius áram,
RészletesebbenMATEMATIKA HETI 5 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : 2008. június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép
RészletesebbenBaran Ágnes. Gyakorlat Függvények, Matlab alapok
Matematika Mérnököknek 1. Baran Ágnes Gyakorlat Függvények, Matlab alapok Matematika Mérnököknek 1. A gyakorlatok fóliái: https://arato.inf.unideb.hu/baran.agnes/oktatas.html Feladatsorok: https://arato.inf.unideb.hu/baran.agnes/oktatas.html
RészletesebbenVillamos tér. Elektrosztatika. A térnek az a része, amelyben a. érvényesülnek.
III. VILLAMOS TÉR Villamos tér A térnek az a része, amelyben a villamos erőhatások érvényesülnek. Elektrosztatika A nyugvó és időben állandó villamos töltések által keltett villamos tér törvényeivel foglalkozik.
RészletesebbenFizika A2E, 8. feladatsor
Fizika AE, 8. feladatsor ida György József vidagyorgy@gmail.com. feladat: Az ábrán látható áramkörben határozzuk meg az áramer sséget! 4 5 Utolsó módosítás: 05. április 4., 0:9 El ször ki kell számolnunk
RészletesebbenJegyzőkönyv. mágneses szuszceptibilitás méréséről (7)
Jegyzőkönyv a mágneses szuszceptibilitás méréséről (7) Készítette: Tüzes Dániel Mérés ideje: 8-1-1, szerda 14-18 óra Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-8 A mérés célja A feladat egy mágneses térerősségmérő eszköz
RészletesebbenNavier-formula. Frissítve: Egyenes hajlítás
Navier-formula Akkor beszélünk egyenes hajlításról, ha a nyomatékvektor egybeesik valamelyik fő-másodrendű nyomatéki tengellyel. A hajlítást mindig súlyponti koordinátarendszerben értelmezzük. Ez még a
RészletesebbenAlapmőveletek koncentrált erıkkel
Alapmőveletek koncentrált erıkkel /a. példa Az.7. ábrán feltüntetett, a,5 [m], b, [m] és c,7 [m] oldalú hasábot a bejelölt erık terhelk. A berajzolt koordnátarendszer fgyelembevételével írjuk fel komponens-alakban
RészletesebbenElektromágneses terek 2011/12/1 félév. Készítette: Mucsi Dénes (HTUCA0)
Elektromágneses terek 2011/12/1 félév Készítette: Mucsi Dénes (HTUCA0) 1 1 Bevezetés... 11 2 Vázlat... 11 3 Matematikai eszköztár... 11 3.1 Vektoranalízis... 11 3.2 Jelenségek színtere... 11 3.3 Mezők...
Részletesebben3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, RC és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió)
3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, R és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió Zoli 2009. október 28. 1 Tartalomjegyzék 1. Frekvenciafüggő elemek, kondenzátorok és tekercsek:
Részletesebben17. Diffúzió vizsgálata
Modern Fizika Labor Fizika BSC A mérés dátuma: 2011.11.24. A beadás dátuma: 2011.12.04. A mérés száma és címe: 17. Diffúzió vizsgálata A mérést végezte: Németh Gergely Értékelés: Elméleti háttér Mi is
RészletesebbenA hőmérséklet-megoszlás és a közepes hőmérséklet számítása állandósult állapotban
A HŐMÉRSÉKLET ÉS HŐKÖZLÉS KÉRDÉSEI BETONRÉTEGBE ÁGYAZOTT FŰTŐCSŐKÍGYÓK ESETÉBEN A LINEÁRIS HŐVEZETÉS TÖRVÉNYSZERŰSÉGEINEK FIGYELEMBEVÉTELÉVEL Általános észrevételek A sugárzó fűtőtestek konstrukciójából
RészletesebbenGyakorlat 34A-25. kapcsolunk. Mekkora a fűtőtest teljesítménye? I o = U o R = 156 V = 1, 56 A (3.1) ezekkel a pillanatnyi értékek:
3. Gyakorlat 34-5 Egy Ω ellenállású elektromos fűtőtestre 56 V amplitúdójú váltakozó feszültséget kapcsolunk. Mekkora a fűtőtest teljesítménye? Jelölések: R = Ω, U o = 56 V fűtőtestben folyó áram amplitudója
RészletesebbenCAD-CAM-CAE Példatár
CAD-CAM-CAE Példatár A példa megnevezése: A példa száma: A példa szintje: CAD rendszer: Kapcsolódó TÁMOP tananyag: A feladat rövid leírása: Szíjtárcsa mőhelyrajzának elkészítése ÓE-A14 alap közepes haladó
RészletesebbenA jármővek méreteire vonatkozó üzemeltetési mőszaki feltételek
A jármővek méreteire vonatkozó üzemeltetési mőszaki feltételek A mezıgazdasági vontatóból vagy lassú jármőbıl és egy pótkocsiból álló jármőszerelvény hosszúsága a 18,00, a mezıgazdasági vontatóból és két
RészletesebbenA végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok
A végeselem módszer alapjai Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor 2. Alapvető elemtípusok - A 3D-s szerkezeteket vagy szerkezeti elemeket gyakran egyszerűsített formában modellezzük rúd, gerenda, 2D-s elemek,
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kúpszeletek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 6 TARTALOMJEGYZÉK Azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete
RészletesebbenMechatronika segédlet 10. gyakorlat
Mechatronika segédlet 10. gyakorlat 2017. április 21. Tartalom Vadai Gergely, Faragó Dénes Feladatleírás... 1 simrobot... 2 Paraméterei... 2 Visszatérési értéke... 2 Kód... 2 simrobotmdl... 3 robotsen.mdl...
RészletesebbenElektrodinamika. Maxwell egyenletek: Kontinuitási egyenlet: div n v =0. div E =4 div B =0. rot E = rot B=
Elektrodinamika Maxwell egyenletek: div E =4 div B =0 rot E = rot B= 1 B c t 1 E c t 4 c j Kontinuitási egyenlet: n t div n v =0 Vektoranalízis rot rot u=grad divu u rot grad =0 div rotu=0 udv= ud F V
RészletesebbenHangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata
Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk
RészletesebbenNÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2014 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 7.
1. Falióránk három mutatója közül az egyik az órát, a másik a percet, harmadik a másodpercet mutatja. Egy bolha ráugrik déli órakor a másodpercmutatóra és megkezdi egy órás körutazását. Ha fedésbe kerül
RészletesebbenDr. Walter Bitterlich
Dr. Walter Bitterlich 1908.02.19. 2008.02.09. Ha a távolság- vagy magasságmérés lejtıs terepen történik, az adott hajlásszögnek megfelelıen elvégzett automatikus korrekció igen nagy elıny! 20 m-es
Részletesebben3. jegyz könyv: Bolygómozgás
3. jegyz könyv: Bolygómozgás Harangozó Szilveszter Miklós, HASPABT.ELTE 21. április 6. 1. Bevezetés Mostani feladatunk a bolygók mozgásának modellezése. Mint mindig a program forráskódját a honlapon [1]
Részletesebben9. ábra. A 25B-7 feladathoz
. gyakolat.1. Feladat: (HN 5B-7) Egy d vastagságú lemezben egyenletes ρ téfogatmenti töltés van. A lemez a ±y és ±z iányokban gyakolatilag végtelen (9. ába); az x tengely zéuspontját úgy választottuk meg,
RészletesebbenMÁGNESES TÉR, INDUKCIÓ
Egy vezetéket 2 cm átmérőjű szigetelő testre 500 menettel tekercselünk fel, 25 cm hosszúságban. Mekkora térerősség lép fel a tekercs belsejében, ha a vezetékben 5 amperes áram folyik? Mekkora a mágneses
RészletesebbenPélda: Normálfeszültség eloszlása síkgörbe rúd esetén
Példa: Normálfeszültség eloszlása síkgörbe rúd esetén Készítette: Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2011. március 20. Az 1. ábrán vázolt síkgörbe rúd méretei és terhelése ismert.
RészletesebbenI. Fejezetek a klasszikus analízisből 3
Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál 9 2.1. Lebesgue-integrál, L p terek................... 9
RészletesebbenFizika II. feladatsor főiskolai szintű villamosmérnök szak hallgatóinak. Levelező tagozat
Fizika. feladatsor főiskolai szintű villamosmérnök szak hallgatóinak Levelező tagozat 1. z ábra szerinti félgömb alakú, ideális vezetőnek tekinthető földelőbe = 10 k erősségű áram folyik be. föld fajlagos
RészletesebbenAttól, hogy nem inog horizontális irányban a szélességi- és hosszúsági tengelye körül sem.
Konkrét tanácsok a Salgó-dexion polcrendszer összeszereléséhez Vásárlásunk során a Salgó-dexion polcokat, polcrendszereket sokféle módon állíthatjuk össze az igénybe vételnek, felhasználásnak, valamint
RészletesebbenTERMÉKSZIMULÁCIÓ. Dr. Kovács Zsolt. Végeselem módszer. Elıadó: egyetemi tanár. Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás március 22.
TERMÉKZIMULÁCIÓ Végeselem módszer Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás 211. március 22. Elıadó: Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár A végeselem módszer lényege A vizsgált, tetszıleges geometriai kialakítású
RészletesebbenKözönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben
Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Részletesebben83/2004. (VI. 4.) GKM rendelet. a közúti jelzőtáblák megtervezésének, alkalmazásának és elhelyezésének követelményeiről
83/2004. (VI. 4.) GKM rendelet a közúti jelzőtáblák megtervezésének, alkalmazásának és elhelyezésének követelményeiről A közúti közlekedésrıl szóló 1988. évi I. törvény 48. -a (3) bekezdése b) pontjának
RészletesebbenMolekuláris dinamika I. 10. előadás
Molekuláris dinamika I. 10. előadás Miről is szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten minden részecske mozgását szimuláljuk? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok,
Részletesebben1.feladat. Megoldás: r r az O és P pontok közötti helyvektor, r pedig a helyvektor hosszának harmadik hatványa. 0,03 0,04.
.feladat A derékszögű koordinátarendszer origójába elhelyezünk egy q töltést. Mekkora ennek a töltésnek a 4,32 0 nagysága, ha a töltés a koordinátarendszer P(0,03;0,04)[m] pontjában E(r ) = 5,76 0 nagyságú
RészletesebbenTranziens jelenségek rövid összefoglalás
Tranziens jelenségek rövid összefoglalás Átmenet alakul ki akkor, ha van energiatároló (kapacitás vagy induktivitás) a rendszerben, mert ezeken a feszültség vagy áram nem jelenik meg azonnal, mint az ohmos
Részletesebben