Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 11. Az érthetõ matematika NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ BUDAPEST

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 11. Az érthetõ matematika NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ BUDAPEST"

Átírás

1 matek borito_ny 0 szeptember :9:07

2 Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA Az érthetõ matematika NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ BUDAPEST

3 TARTALOM Fontosabb jelölések 6 A tankönyv használatáról 7 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS 8 Vegyes algebrai feladatok ismétlés 9 Egészkitevõjû hatványok, azonosságok Az nedik gyök és azonosságai Racionális kitevõjû hatvány, permanencia elv 7 Az eponenciális függvény 0 Eponenciális egyenletek 6 Eponenciális egyenletrendszerek, egyenlõtlenségek 7 7 A logaritmus fogalma 0 O A természetes alapú logaritmus és egyéb matematikatörténeti érdekességek (olvasmány) 8 A logaritmusfüggvény 9 A logaritmus azonosságai 9 0 Logaritmusos egyenletek Logaritmusos egyenletrendszerek, egyenlõtlenségek 8 Gyakorlati alkalmazások O Közelítõ értékek (olvasmány) II TRIGONOMETRIA 60 Skalárszorzás 6 Skalárszorzással megoldható feladatok a koordinátarendszerben 6 A szinusz és koszinusztétel alkalmazása 68 6 A szinusz és koszinusztétel alkalmazása 7 O Addíciós tételek (olvasmány, emelt szint) 76 7 Trigonometrikus egyenletek 8 8 Trigonometrikus egyenletek 88 9 Trigonometrikus egyenlõtlenségek (emelt szint) 9 O Skaláris szorzat geometriai alkalmazásai (olvasmány) 99 Válogatás érettségi elõkészítõ feladatsorokból 0 III FÜGGVÉNYEK 06 0 Az inverz függvény fogalma, elsõfokú függvény inverze (ismétlés) 07 Gyakrabban elõforduló függvények és inverzeik (ismétlés) 0 Trigonometrikus alapfüggvények jellemzése Függvénytranszformációk általános vizsgálata 8 Összetett trigonometrikus függvények ábrázolása és jellemzésük 6 Egyenletek grafikus megoldása 9 7 Egyenlõtlenségek grafikus megoldása (emelt szint) 8 Gyakorlati problémák vizsgálata

4 TARTALOM IV KOORDINÁTAGEOMETRIA 8 Bevezetés Egyértelmû vektorfelbontási tétel 9 Felezõpont, súlypont, osztópont koordinátái (ismétlés) Skaláris szorzat koordinátákkal 6 O A beírt kör középpontjának koordinátái (olvasmány, nem érettségi tananyag) 0 Az egyenes normálvektoros egyenlete 6 Egyenes irányvektoros egyenlete, két ponton átmenõ egyenes egyenlete 7 Irányszög, iránytangens, iránytényezõs egyenlet 6 8 Metszéspont meghatározása 9 9 A párhuzamosság és a merõlegesség koordinátageometriai feltétele 6 O Geometriai transzformációk és koordináták (olvasmány) 6 0 Pont és egyenes távolsága (két párhuzamos egyenes távolsága) 67 Adott középpontú és sugarú kör egyenlete 69 Kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet 7 Egyenes és kör kölcsönös helyzete 7 Adott pontban húzott és adott irányú érintõk meghatározása 77 Két kör kölcsönös helyzete, érintkezõ körök (emelt szint) 79 6 Ponthalmazok a koordinátasíkon (egyenlet, egyenlõtlenség, mértani hely) 8 O Parabola és a másodfokú egyenlet (olvasmány, emelt szint) 87 O Kúpszeletek (olvasmány, nem érettségi tananyag) 9 7 Alkalmazások 96 V KOMBINATORIKA, GRÁFOK 0 8 Ismétlés 0 9 Binomiális együtthatók 08 O Binomiálistétel, Pascalháromszög (olvasmány) 6 0 Gyakorlófeladatok 0 O A kombinatorika leggyakoribb leszámolási struktúrái (olvasmány) 6 A gráfmodell 9 A gráfmodell alkalmazása; gráfok egyenlõsége 6 Gráfok jellemzõi Vegyes feladatok (gráfok) 0 O Néhány érdekes gráfelméleti probléma (olvasmány) 6 Kombinatorikai és gráfelméleti alkalmazások 60

5 TARTALOM VI VALÓSZÍNÛSÉGSZÁMÍTÁS, STATISZTIKA 66 Bevezetés 67 6 Független események (emelt szint) 68 7 Binomiális eloszlás 7 8 Statisztikai mintavétel (visszatevéssel vagy visszatevés nélkül) 76 O Játékok elemzése (olvasmány) 80 9 Statisztika körülöttünk 8 FOGALOMTÁR 9

6 FONTOSABB JELÖLÉSEK 6 Az A pont és az e egyenes távolsága: d(a; e) vagy Ae vagy Ae Az A és B pont távolsága: AB vagy AB vagy d(a; B) Az A és B pont összekötõ egyenese: e(a; B) Az f és f egyenesek szöge: B (; f f) vagy (; f f) B A B csúcspontú szög, melynek egyik szárán az A, másik szárán a C pont található: ABCB A C csúcspontú szög: CB Szög jelölése: a, b, c, f Az A, B és C csúcsokkal rendelkezõ háromszög: ABC9 Az ABC9 területe: T(ABC) vagy T ABC Az a, b és c oldalú háromszög fél kerülete: s a b c + + A derékszög jele: * Az e egyenes merõleges az f egyenesre: e f Az e egyenes párhuzamos az f egyenessel: e f Egybevágóság:,; ABCO, AlBlCO l Hasonlóság: + ; ABCO + AlBlCO l A hasonlóság aránya: m Az A pontból a B pontba mutató vektor: AB Az A pontba mutató helyvektor: a vagy A v vektor: v vagy v vagy v A természetes számok halmaza: N; {0; ; ; } Az egész számok halmaza: Z { ; ; ; 0; ; ; } A pozitív, a negatív egész számok halmaza: Z +, Z {; ; ; }, { ; ; ; } A racionális, az irracionális számok halmaza: Q, Q* A pozitív, a negatív racionális számok halmaza: Q +, Q A valós számok halmaza: R A pozitív, a negatív valós számok halmaza: R +, R Eleme, nem eleme a halmaznak:!, ";! N, g Z Részhalmaz, valódi részhalmaz:, ; A R, N Q Nem részhalmaza a halmaznak: j; Z Y Q A + + Halmazok uniója, metszete:,, +; Halmazok különbsége: \; A \ B Üres halmaz: Q, {} Az A halmaz komplementere: A Az A halmaz elemszáma: A ; " 0;;, Végtelen: ; N Az szám abszolút értéke: ;,, Az f függvény értelmezési tartománya és értékkészlete: D f, R f Az f függvény hozzárendelési szabálya: f: 7 f]g ; f: 7 + f]g y; f ] g + Az f függvény helyettesítési értéke az 0 helyen: f0 ( ); f(), ha 0 Az f függvény inverze: f n faktoriális: n!;! Az X sokaság átlaga: X Az összegzés jele: ; 8 / i i A, B, A+ B + + f + 8 Permutációk: P n ; P n n!, P! klm Ismétléses permutációk: P,, n, (k + l + m # n); klm,,, P n! ; P! n 0 k! $ l! $ m!! $! k k Variációk: V n ; V n n (n ) (n ) (n k + ); V $ $ 60 ki ki Ismétléses variációk: ; n k,i V, V, n n ; V k n Kombinációk: C n vagy d n; k n n n k C $ ^ h $ f $ ^ + h k ; C $ n 0 k! $ n Binomiális együttható: ; $ d n d n 0 k $ Állítások tagadása (negációja): J Állítások diszjunkciója, konjunkciója:, Állítások implikációja, ekvivalenciája:, vagy, Univerzális kvantor (minden ) Egzisztenciális kvantor (létezik )

7 A TANKÖNYV HASZNÁLATÁRÓL A tankönyv elsõsorban a középszintû érettségi vizsga tananyagát tartalmazza, de megtalálható benne néhány olyan kiegészítés is, amely az emelt szintû érettségi vizsga követelményrendszeréhez tartozik A tankönyv nem tartalmazza az emelt szintû érettségi vizsga követelményeit A tankönyvben a matematikai szemlélet fejlesztése a definíciókhoz és a fogalmakhoz kapcsolódó tananyagelemek kidolgozásával történik A matematika megértéséhez, sikeres tanulásához feltétlenül hozzátartozik a bizonyítási készség kialakítása és fejlesztése Minden lecke végén összegyûjtöttük a fontosabb új fogalmakat Kiegészítõ anyagként ajánljuk az olvasmányok és matematikatörténeti ismertetések, érdekességek elolvasását A tankönyvben Emelt szint tel (és apró betûvel), jól elkülönítve jelöltük azokat a kiegészítéseket, amelyek csak az emelt szintû érettségi vizsgán kérhetõk számon Számos kidolgozott példa található a könyv minden leckéjében, amelyek fokozatosan vezetik be a tanulókat az elsajátítandó tananyagba A tananyag gyakorlását, elmélyítését, az otthoni tanulást és az érettségi vizsgára való felkészülést a leckék végén kitûzött feladatok segítik Ezeket a nehézségi szintjük szerint is csoportosítottuk: K K E E középszint, könnyebb; középszint, nehezebb; emelt szint, könnyebb; emelt szint, nehezebb feladat A leckék végén lévõ feladatok részletes megoldása megtalálható az interneten, a wwwntkhu weboldalon Az érdeklõdõk vagy gyakorolni vágyók számára a leckék végén még további feladatokat is ajánlunk, amelyeket a Nemzeti Tankönyvkiadó MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény családjából jelöltünk ki Segíteni kívánjuk a diákok pályaorientációját, ezért néhány pályaképpel szeretnénk felhívni a figyelmet a matematikatanulás hasznosságára A pályaképekben megjelenõ fiataloktól megtudhatjuk, hogy jelenlegi munkájuk során hogyan hasznosítják, amit korábban a középiskolában megtanultak A felkészüléshez ajánlott példatárak: Gerõcs László Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr Simon Judit: 6/I (+CDn a megoldások) MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I 6/II MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I, ok 66/I (+CDn a megoldások) MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény II 6/II MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény II, ok Czapáry Endre Czapáry Endréné Csete Lajos Hegyi Györgyné Iványiné Harró Ágota Morvai Éva Reiman István: 67/I (+CDn a megoldások) MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény III, Geometriai feladatok gyûjteménye 67/II MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény III, Geometriai feladatok gyûjteménye, ok 7

8 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS A középkor végének Európájában egyre fontosabbá vált a hajózás, csillagászat, kereskedelem,és az ipar fejlesztése Ezt a felgyorsult fejlõdést elsõsorban mûszaki és matematikai vívmányoknak köszönhették A pénzforgalomban érdekelt szakemberek számára a kamatos kamat gyors kiszámítása érdekében táblázatokat készítettek A megfeleltetést a görög logosz, arány és arithmosz, szám összevonásából latinosan logaritmusnak nevezték el 8

9 VEGYES ALGEBRA FELADATOK ISMÉTLÉS VEGYES ALGEBRA FELADATOK ISMÉTLÉS A 9 és 0 osztályban elsajátított algebrai módszerek és eszközök már sokféle feladat megoldását teszik lehetõvé Ismétlésképpen a hatványozás, gyökvonás és a nevezetes azonosságok témakörébõl válogattunk össze néhány feladatot Ezek megoldásához néha valamilyen ötlet kell de a megoldás leírása elegánsan, néhány sorban megadható Az alábbi feladatsorban az A, B,, F számértékeket kell meghatározni Próbáljuk ügyes számolással, a számológép használata nélkül megoldani a feladatot! példa (számválaszos verseny) A ; B ; C + ; D ; b + lb + lfb + 00 l E ; 6 $ 7 F Segítség: A: Az + y y ( y) azonosságot alkalmazhatjuk B: Segít az y ( + y)( y) azonosság C: Az + y z kifejezés tagjait érdemes z + y sorrendbe csoportosítani D: Alakítsuk át a tényezõket közönséges törtté! E: Legyen például 6, ekkor a tört alakú ^ h^+ h F: Észrevehetjük, hogy a két négyzetgyök alatt teljes négyzetek szerepelnek Eredmények: A ( ) B ( )( ) ( ) (8 darab ös) C ( + )( ) D $ $ $ f $ 00 $ 0 0 (A,,, 00 tényezõkkel egyszerûsíthetünk) E, így a tört ^ h^ + h ^ h alakú F: 0 6 ^ 6 h és ^ 6 + h, így F ^ 6 h ^ 6 + h ^ 6 + h Másképpen is eljárhatunk: F ^0 6h^0 + 6h $ 6 6, s mivel F < 0, ebbõl F következik A következõ két példa egyegy matematikai alkalmazás Most is elõször önállóan próbáljuk megoldani a feladatokat 9

10 VEGYES ALGEBRAI FELADATOK ISMÉTLÉS Megfigyelhetjük, hogy ; ; Vajon folytatódik ez a szabályosság? példa Azt kell igazolnunk, hogy S f S f SS f$ f minden pozitív egész k számra teljesül Helyettesítsük a k darab esbõl álló kdarab kdarab kdarab kdarab S f számot aval! Ekkor az S f szám a 0 k + a, és az igazolandó k darab k darab állítás a 0 k + a a a a alakú Átrendezés és aval való egyszerûsítés után 0 k 9a egyenlet adódik, és ez minden a fenti ara igaz: 0 k éppen k darab 9esbõl áll Az észrevett szabályosság tehát folytatódik példa A darts nevû ügyességi játékban a céltábla egyes mezõire dobónyíllal célzunk A megfelelõ,,, 0 mezõket eltalálva ennyi pontot ér egyegy dobás A külsõ vékony körgyûrût eltalálva a dobásérték duplázódik, a beljebb lévõ körgyûrû eltalálása pedig háromszorozza az értéket Még két speciális mezõ van: a céltábla piros közepe (Bull) 0 pontot, a körülötte levõ zöld külsõ Bull pedig pontot ér Három dobásból legfeljebb 80 pont érhetõ el, ha három tripla 0ast dob a játékos (T0 + T0 + T0 80) Feladat: mutassuk meg, hogy a 7 pont nem érhetõ el három dobásból! Dupla szektor Szimpla szektor külsõ Bull Bull Tripla szektor 6 0 Ha az egyik dobás 0es Bull (vagy kisebb értékû), akkor a maradék pont túl sok, két dobásból nem érhetõ el Minden dobásnak tehát 0nél nagyobbnak, azaz triplának kell lennie De a tripla találatok, valamint összegük is mind oszthatók mal, míg a 7ra ez nem igaz Ezért a 7 pont valóban nem állítható elõ 0 K K FELADATOK Mennyi az alábbi kifejezések kiszámított értékében a számjegyek összege? 0 ^0 a) ; b) 0 h ^0 h 7 7; c) S 99f9 0darab Mennyi az + + f + kifejezés pontos értéke? (Segítség: gyöktelenítsük a törteket!)

11 EGÉSZKITEVÕJÛ HATVÁNYOK, AZONOSSÁGOK EGÉSZKITEVÕJÛ HATVÁNYOK, AZONOSSÁGOK Elõzõ évi tanulmányainkban értelmeztük a valós számok egész kitevõjû hatványát Természetes a kérdés: bõvíthetõe a hatványozás fogalma tetszõleges racionális, esetleg irracionális kitevõkre is Ezt a kérdést fogjuk vizsgálni, elõtte ismételjük át a hatványozás azonosságait Azonos alapú hatványok szorzata: m n m n a $ a a +, a! R, a! 0, m, n! Z példa $ $ ; ; 7 $ b l b l b l b l 7 p $ p $ p p a b + ab Szorzat hatványozása: n n n ^a$ bh a $ b, ab,! R, a! 0, b! 0, n! Z példa ^$ 7h $ 7 ; b b b b ^k$ l$ nh k $ l $ n Azonos alapú hatványok hányadosa: a a m m n n a, a! R, a! 0, m, n! Z példa a $ a a ^ h ; a + a, a! R, a! 0 Tört (hányados) hatványozása: a a k b n n a n, ab,! R, a! 0, b! 0, n! Z b

12 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS példa ; 6 b l 8 9 b l 6 Hatvány hatványozása ^a h n m nm a $, a! R, a! 0, m, n! Z példa 6 ^7 h 7 6 ; 7 k c l m k l 6, kl,! R, k! 0, l! 0 Nézzünk néhány példát az azonosságok összetettebb használatára, ezek segítségével kifejezések egyszerûbb alakját keressük 6 példa Határozzuk meg az a b a b kifejezés értékét, ha a, b 8 8 a b a b ab $ b 8 l $ 8 b l 7 példa Hozzuk egyszerûbb alakra az alábbi kifejezéseket: a) m $ n n 7 $ : m $ n, mn,! R, mn! 0; c m ^ h m$ n m b) pq^p + q h^q p h, pq,! R, pq! 0, q! p Fogalmak a hatványozás azonosságai a) m $ n n $ : m $ n m $ n $ n $ m $ m $ n m $ n ; c m ^ h m$ n m b) pq^p + q h^q p h pqc q p p + q mc q p q p q p q m ^ + hc ^ + h^ h m p

13 EGÉSZKITEVÕJÛ HATVÁNYOK, AZONOSSÁGOK FELADATOK K K K Számítsuk ki az alábbi hatványok értékét! ^7 h $ 9 a) 8, 8, ^h 8 ; d) ; 7 ^7 h $ b) ^ $ 6 h: 9 ; e) ; $ 8 c) $ ; f) 7 8 $ ^ h + Döntsük el, hogy igazake az alábbi egyenlõségek! Ahol az egyenlõség nem igaz, javítsuk ki úgy, hogy igaz legyen! a) $ ; d) ; 6 b) 9$ ; e) $ 8 ; 6 c) ^9$ h 7 ; f) $ 8 Írjuk fel egyetlen hatványként az alábbi mûveletek eredményét! a) $ 9 $ 8 ; b) $ $ $ ^6 h $ K K 6 K Írjuk fel negatív kitevõ nélkül az alábbi hatványokat! a) ; b) ; c) ; d) ; e) b l Írjuk fel egyetlen hatványként az alábbi kifejezéseket! 6 9 $ $ ^ h a) ^a $ a h$ ^a h ; d) 0 ; 8 ^y h $ ^y h b) $ ; e) $ ^ h ^y h $ y ^y h $ ^y h c) ; 7 ^y h $ y Írjuk egyszerûbb alakba az alábbi kifejezéseket! a) a $ b a 8 $ : a $ b, c m ^ h b$ a b ab,! R, ab,! 0; b) a + a + a a 7 $ a a + a+ Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I 86 8, 87 88, 8 80 Franciaországban 79ben elfogadott prefiumok: A prefium A prefium A prefium neve értéke jele eredete jelentése kilo 0 k görög ezer hekto 0 h görög száz deka 0 da görög tíz deci 0 d latin tíz centi 0 c latin száz milli 0 m latin ezer

14 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS AZ nedik GYÖK ÉS AZONOSSÁGAI Ismételjük át az nedik gyök fogalmát és azonosságait! Definíció n Az a definíciója: eset Ha n pozitív páros szám, azaz n k, k! N +, akkor az a nemnegatív szám kadik gyökén azt a nemnegatív számot értjük, melynek kadik hatványa a k k ^ ah a, ahol a $ 0, és n k, k! N + eset Ha n $ pozitív páratlan szám, azaz n k +, k! N +, akkor az a valós szám (k + )edik gyökén azt a valós számot értjük, melynek (k + )edik hatványa a ^ k + k + ah a, ahol a! R, és n k +, k! N + Megjegyzés Nemnegatív valós szám nedik gyökén azt a nemnegatív valós számot értjük, melynek nedik hatványa az számmal egyezik meg, ahol n! N, n $ n n A definíció szerint: ^ h, $ 0, n! N, n $ A TANULT AZONOSSÁGOK I Szorzat nedik gyöke egyenlõ a tényezõk nedik gyökének szorzatával n Ha a $ 0, b $ 0, és n! N, n $, akkor n ab n a $ b (Ha n páratlan, a és b negatív is lehet) példa 7 $ ; 8 $ ^ h II Tört (hányados) nedik gyöke, egyenlõ a számláló és a nevezõ nedik gyökének hányadosával n Ha a $ 0, b > 0, és n! N, n $, akkor n a a b n b

15 AZ nedik GYÖK ÉS AZONOSSÁGAI példa ; nem értelmezett, mert 6 0 III Egy nemnegatív valós szám nedik gyökének kadik, egész kitevõjû hatványa egyenlõ a szám ugyanazon kitevõjû hatványának nedik gyökével Ha a $ 0, n! N, n $, és k! Z, akkor n a k n ^ h a k példa ^ h ; a a a a a a 6 ^ h $ ^ h $ a $ a a IV Az nedik gyök kadik gyökét felírhatjuk úgy is, hogy a gyök alatti kifejezés (n k)adik gyökét vesszük n k nk Ha a $ 0, n! N, n $, és k! N, k $, akkor a a $ példa Ha a, b pozitív valós számok: 6 a a ^ ah; a b 6 b ab a 6 b ab a 6 b a b a b a b a 6 $ b a a b V Hatvány alakú kifejezés gyökénél a hatványkitevõ és a gyökkitevõ egyszerûsíthetõ, bõvíthetõ nk $ mk $ n m Ha a > 0, n! N, n $, k! N, k $, m! Z, akkor a a példa a a 8 6 ; ^ h^ + h ^ 6 7h^ h Fogalmak gyökvonás; nedik gyök

16 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS FELADATOK K K K K K Döntsük el melyik szám nagyobb! a) vagy ; b) vagy ; c) 0, vagy 0, ; d) 7 vagy 6 Állítsuk nagyság szerint csökkenõ sorrendbe az alábbi számokat! 6 ; 8 ; 0 Számítsuk ki az alábbi gyökök értékét! a) ; c) $ 0, 6 $ 6 0 $ ; e) 00, b) 8 $ ; d) 96 ; $ Végezzük el az alábbi mûveleteket! a) ; b) ; c) 6 $ 0 c m $ $ Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével az alábbi mûveletek eredményét! a) $ $ ; c) ; e) a $ $ a$ a 8 b) ; d) ; $ $ 6 Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladat gyûj te mény I , 90 9,

17 RACIONÁLIS KITEVÕJÛ HATVÁNY, PERMANENCIA ELV RACIONÁLIS KITEVÕJÛ HATVÁNY, PERMANENCIA ELV Az elõzõekben az egész kitevõjû hatványokat értelmeztük, a hatványozás és az nedik gyök azonosságait ismételtük át Nyilvánvalóan felmerül a kérdés, kiterjeszthetõe a hatványozás fogalma tetszõleges racionális kitevõkre Ha ez lehetséges, akkor úgy járjunk el, hogy az eddig megismert azonosságok érvényben maradjanak Ezt az igényt fejezi ki a permanencia elv Vegyük figyelembe a következõ azonosságot: k l ^a h a kl, ahol k, l! Z Tehát ha racionális kitevõre szeretnénk értelmezni a hatványozást, akkor legyen igaz: m n _ a n i a m, ahol a! 0, n! 0, m, n! Z Ha mindkét oldalból nedik gyököt vonunk: m n n m a a Még vizsgáljuk meg, hogy ha ezt az összefüggést definíciónak fogadjuk el, akkor az értelmezési tartomány milyen alap esetén felel meg elvárásainknak Három probléma merülhet fel probléma Ha az alap negatív szám, akkor ellentmondásba juthatnánk, például: ^ h ^h nem értelmezhetõ a valós számok halmazán, ezért a negatív alapot ki kell zárnunk probléma m k Ha m k, akkor a n a l teljesüle? n l Az igazoláshoz alakítsuk át a feltételt Ha m k, akkor m$ l k$ n n l Induljunk ki az igazolandó egyenlõség bal ldalából m n k l n m nl ml nl kn l k a a a a a a Az egyenlõség sorozat harmadik lépésénél használtuk ki a feltételt, és igazoltuk az állítást, azaz a törtkitevõ más alakban történõ felírásától nem függ a hatvány értéke probléma A permanencia elv vizsgálata: Bizonyítható, hogy a hatványozás azonosságai is érvényben maradnak m k m n Példaként vizsgáljunk meg az a a l n $ a l + k azonosság érvényese? 7

18 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS m n k l ml nl kn ln nl ml nl kn nl ml+ kn Egyrészt: a $ a a $ a a $ a a m k + ml+ kn Másrészt: a n l a nl nl ml+ kn a Az egyenlõségek jobb oldalai megegyeznek, tehát a bal oldalak is egyenlõk m k m n Ezzel beláttuk, hogy a a a l n $ a l + k régebben ismert azonosság érvényben maradt Hasonlóan igazolható a többi azonosság megmaradása is Definíció Egy tetszõleges pozitív szám m edik hatványa az szám medik hatványából vont nedik gyök, n azaz m n n m, ahol > 0, m! Z, n! N, n 0, n példa Számítsuk ki a következõ hatványok pontos értékét! a) ; b) ; c) b ; d) ; e) 8 l 00,, 8 0 a) 8 8 ; b) 0 0 0; 0 c) 6 8 b ; 8 l b 6 l 0 b l, d) 0,0 b ; 00 l 6 e) 6 ^ h $ példa Hozzuk egyszerûbb alakra a kifejezéseket! a) ; b) a a a k $ $ ^ ah 8 a) a k $ $ ; + b) a a $ a $ a + a a a, ha a > 0 ^ ah a

19 RACIONÁLIS KITEVÕJÛ HATVÁNY, PERMANENCIA ELV példa Végezzük el a mûveleteket, a hatványok alapja pozitív valós szám! a) a a b k ; b) aa + b k a) a a b k 0 0 a b a b a b ; b) aa + b k a + ^abh + b a + $ ab + b Fogalmak permanenciaelv; racionális kitevõjû hatványozás FELADATOK K K K K K 6 K Számítsuk ki az alábbi hatványok értékét! a) ; b) 0 ; c) 7 b ; 8 l d) 0, 0000, ; e) ; f) 6, ; g), ; 0 h) 7 6 6, ; i) b ; j) 8 l 06, Írjuk át az alábbi kifejezéseket gyökös alakba! a) ; b) ; c) ; d) ; e) Írjuk át az alábbi kifejezéseket egyetlen szám hatványaként! a) 8 ; b) 8 b ; c) ; d) l $ 8 $ $ 6 Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével az alábbi mûveletek eredményét! a) a ; b) ; c) a a k $ $ $ _ i $ a ; d) b $ b $ b 6 ^ h ^ bh Végezzük el az alábbi hatványozásokat! 0, 0 a) a $ k ; b) $ 6 ; c) aa b k 0 7 Írjuk a lehetõ legegyszerûbb alakba az alábbi kifejezéseket! a) a $ b $ ab ; b) a a b ab + k $ ^a+ bh a a + b k 6, Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I

20 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS AZ EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY Az elõzõ leckében értelmeztük a pozitív alapú, racionális kitevõjû hatványt Magasabb matematikai módszerekkel bizonyítható, hogy az értelmezés kiterjeszthetõ irracionális kitevõkre is Ez a kiterjesztés a permanencia elvnek megfelelõen, megtartja az eddig megismert hatványozás azonosságokat, valamint teljesül a következõ tulajdonság: ha a > valós szám, p, r racionális számok, q irracionális szám és p < q < r, akkor a p < a q < a r ; ha 0 < a < valós szám, p, r racionális számok, q irracionális szám és p < q < r, akkor a p > a q > a r Az eponenciális kifejezések vizsgálatát, egyenletek, egyenlõtlenségek megoldását segíti, ha megismerjük az eponenciális függvényeket és legfontosabb tulajdonságaikat Azokat a függvényeket, amelyekben a változó a kitevõben szerepel, eponenciális függvényeknek nevezzük, azaz f : R R +, f () a, ahol a > 0 függvény az a alapú eponenciális függvény Vizsgáljuk meg az f : R R +, f () a függvényt, ahol a > 0! Tekintsük elõször az f : R R +, f () függvényt (Legegyszerûbben úgy fogalmazhatnánk, hogy a vizsgált eponenciális függvény állandó mértékben többszörözõdik, például egy baktériumkultúra, amely minden órában megduplázódik ) Az egész, illetve a racionális kitevõjû hatvány értelmezése, tulajdonságai alapján kijelenthetjük, hogy az eponenciális függvény szigorúan monoton növekvõ A bevezetõ alapján is láttuk, hogy bizonyítható, hogy ha az értelmezési tartományt kiterjesztjük a valós számok halmazára, akkor a függvény monotonitása nem változik A függvény grafikonja: y A függvény legfontosabb tulajdonságai: D f R R f R + (minden pozitív értékeket felvesz) Szigorúan monoton növekvõ Zérushelye nincs Az ordináta tengelyt a grafikon a (0; ) pontban metszi 0 Felmerül a kérdés: milyen lényeges tulajdonságok változnak meg, ha az alapot módosítjuk? 0

21 AZ EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY eset Legyen az alap: a > Tekintsük a következõ függvényeket: f : R R +, f^h ; g : R R +, g^h b ; h : R R +, l h^h ^ h y y y ( ) ( ) Megállapíthatjuk, hogy az elõzõ tulajdonságok mindegyike érvényes ezekre a függvényekre is eset y Legyen az alap: a ; f : R R +, f^h Ebben az esetben a függvény konstans függvény, grafikonja az tengellyel párhuzamos egyenes (Megjegyzés: Sok esetben az a alapot nem engedik meg) 0 eset Legyen az alap 0 < a < Tekintsük a következõ függvényeket: f : R R +, f^h b ; l y y g : R R +, g^h b l Látható, hogy lényeges változás csak a monotonitásban történt! D f R R f R +, azaz csak pozitív értékeket vesz fel Szigorúan monoton csökkenõ Zérushelye nincs Az ordináta tengelyt a grafikon a (0;) pontban metszi ( ) 0 ( ) 0

22 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS Összegezzük megfigyeléseinket! (Természetesen ezek a tulajdonságok magasabb matematikai módszerekkel bizonyíthatók) a< y a> Az f : R R +, f^h a függvényt, ahol a > 0 eponenciális függvénynek nevezzük Ha az alap, a, akkor a függvény konstans függvény Ha az alap, 0 < a <, akkor a függvény szigorúan monoton csökkenõ Ha az alap, a >, akkor a függvény szigorúan monoton növekvõ Mindhárom függvény csak pozitív értékeket vesz fel és minden pozitív értéket felvesz, valamint az ordináta tengelyt a (0; ) pontban metszi a 0 példa Ábrázoljuk és jellemezzük a függvényeket! a) f : R R, f^h ; b) g: R R +, g^h ; c) h: R R +, h ^ h $ b ; l a) Az f : R R, f^h szigorúan monoton növekvõ, mert az alap nél nagyobb A függvény grafikonja eltolással kapható a k : R R +, k^h v(0; ) függvény grafikonjából, az eltolás vektora: y y 0 0 b) Az g: R R +, g^h szigorúan monoton növekvõ, mert az alap nél nagyobb A függvény grafikonja eltolással kapható a k : R R +, k^h vény grafikonjából, az eltolás vektora: v(; 0) függ

23 AZ EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY c) A h: R R +, h ^ h $ b szigorúan monoton csökkenõ, mert az alap nél l kisebb A függvény grafikonja a k: R R +, szeres nyújtással kapható k^h b l függvény grafikonjából Fogalom eponenciális függvény FELADATOK K K K K Ábrázoljuk az f : 7 0 függvényt! Válasszuk ki az alábbi függvények közül azokat, amelyek monoton csökkenõek! ; ; ; d: 7 ; e: 7 ; a: 7 b: 7 b f: 7 0, l c: 7 b l Vázoljuk fel a megadott függvények grafikonjait Határozzuk meg hol és mennyi az f függvény minimuma és maimuma! f : [ ; ] R, 7 ; g : [ ; ] R, 7 ; h : [0; ] R, Az eddig tanult függvénytranszformációk felhasználásával ábrázoljuk az alábbi függvényeket! f: 7 ; g: 7 ; h: 7 $ b ; l k: 7 ; f: 7 6 K Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket! K a) 7 ; K c) 7 ; K e) 7 ; K g) 7 K b) 7 b ; K d) 7 ; K f) 7 ; l b l Keressük meg grafikus úton az egyenletek megoldásait! a) + 6; b) ; c) Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény II 7 70

24 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK Oldjuk meg a következõ alapegyenleteket a valós számok halmazán! példa a) ; b) ; c) ; d) 8 7 Ötlet: az alapegyenletekben szereplõ számokat, kifejezéseket írjuk fel azonos alapú hatványokkal a) ; b) ; c) ; d) ; 8 7 ; 7 7 ; ; 0 Értelmezzük az egyenletek bal oldalán álló kifejezéseket, mint egyegy eponenciális függvényt Mivel az eponenciális függvény szigorúan monoton (kölcsönösen egyértelmû), így a megoldások a kitevõk egyenlõségébõl következnek: a) ; b) ; c) ; d) 0; ; ; ; 6 ainkat ellenõrizzük! Például: a) ; b) 7 Összetettebb egyenletek esetén elõször törekedjünk arra, hogy ekvivalens átalakításokkal az példában látott alapegyenlethez jussunk példa Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! , mivel az eponenciális függvény szigorúan monoton, így + 8 0; ^+ 6h^ h 0; 6, Ellenõrzéssel megállapíthatjuk, hogy a kapott gyökök kielégítik az egyenletet

25 EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK Ha az egyenletben azonos alapú hatványok összege szerepel: példa Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! Alakítsuk át az egyenlet bal oldalát: + $ 70; 0 $ 70; 7; Mivel az eponenciális függvény szigorúan monoton, így a kitevõkre: ; Végezzünk ellenõrzést! $ $ + 7; ; Tudode, hogyan kell kiolvasni ezt a számot:? Segítségül használhatod a táblázatot 0 6 millió 0 9 milliárd (0 6 ) billió 0 billiárd (0 6 ) trillió (0 6 ) quadrillió Ha az egyenletben különbözõ alapú hatványok szerepelnek: példa Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! $ 0 0 Azonos alapú hatványokká alakítva: $ 0 0, most re nézve másodfokú egyenlethez jutottunk: ^ h $ 0 0; ^ h! 9 0! 7, + Tehát, vagy Ennek az egyenletnek nincs megoldása, mivel csak pozitív értékeket vesz fel Ellenõrzéssel megállapíthatjuk, hogy a kapott gyök kielégíti az egyenletet

26 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS példa Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! + + Ekvivalens átalakításokkal: + + ; ; 9 + $ $ 8 $ $ ; 9 ; b l b l Mivel az eponenciális függvény szigorúan monoton, így Ellenõrzés: + 8+ ; példa Mutassuk meg, hogy az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán! b l + ^ h 0 Az eponenciális függvény csak pozitív értékeket vesz fel, így ^ h 0, ezért összegük nem lehet 0 b l 0, és Fogalom eponenciális egyenlet FELADATOK Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! K a) ; K e) ; K i) 8; 8 K b) ; K f) ; K j) $ 9; K c) ; K g) ; K k) $ $ ; K d) + ^ h ; K h) 7 0; K l) ^ h $ b l $ Vane az alábbi egyenleteknek megoldása az egész számok halmazán? K a) + $ ; K c) $ $ ; + E e) 9 $ 7 $ 9 $ K b) 68; K d) 6 ; 6

27 6 EXPONENCIÁLIS EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÕTLENSÉGEK K K Új ismeretlen bevezetésével oldjuk meg az alábbi egyenleteket! + a) + 9; b) + $ + 0; + + c) Hány megoldása van az alábbi egyenleteknek az egész számok halmazán? a) $ 9 ; c) 9$ 8; + e) 0 ; + b) $ ; + d) ; f) Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I , 6 6, 66 6 EXPONENCIÁLIS EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÕTLENSÉGEK Az egyenletrendszerek megoldásakor alkalmazzuk a már jól ismert módszerek valamelyikét, célszerû elõször ekvivalens átalakításokkal egyszerûbb alakú egyenleteket keresni Az új ismeretlen bevezetése gyakran egyszerûsítheti a feladatmegoldást Megjegyzés A témakör nincs a szigorúan vett érettségi tananyagban, ugyanakkor nagyon egyszerû függvényeket használ, amelyek a függvények témakörben is szereplõ kérdéseket vezetnek be Az egyenletrendszerek részben ötletet mutatunk az új változó bevezetésére példa Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán! y+ () + ; () y $ $ Vezessünk be új ismeretleneket, legyen a, y b, ahol a, b pozitív számok Ekkor: () a+ b a b () a b Behelyettesítve: ^ bh b b b b a 7

28 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS Visszatérve az eredeti ismeretlenekre: y, y, mivel az eponenciális függvény szigorúan monoton Az egyenletrendszer megoldása: ^y ; h ^ ; h Ellenõrzés: + () ; () $ $ példa Oldjuk meg az egyenlõtlenségeket a valós számok halmazán! a) $ 8 ; b) ; b l # c) ; d) $ # b l b l a) $ 8; $ Mivel a hatvány alapja nél nagyobb, az f^h függvény szigorúan monoton nõ, így akkor vesz fel nél nem kisebb értéket, ha $ (Figyeljük meg, hogy a reláció jel állása változatlan maradt) b) b ; l # 0 b l # b l Mivel a hatvány alapja nél kisebb, az f^h b l vesz fel b nál nem nagyobb értéket, ha l 0 $ 0 (Figyeljük meg, hogy a reláció jel állása változott) függvény szigorúan monoton csökken, így akkor c) $ ; $ Mivel a hatvány alapja nél nagyobb, az f ^ h fel nél nem kisebb értéket, ha $ ; $ ; $ (Figyeljük meg, hogy a reláció jel állása változatlan maradt!) függvény szigorúan monoton nõ, így akkor vesz 8

29 6 EXPONENCIÁLIS EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÕTLENSÉGEK d) b l b l b l b l b l ; # b l # b ; l # ; # b l Mivel a hatvány alapja nél nagyobb, az f^h b függvény szigorúan monoton nõ, így akkor vesz l 0 fel b nél nem nagyobb értéket, ha l 6 # 0; # 6 (Figyeljük meg, hogy a reláció jel állása változatlan maradt!) Mint a példákban láttuk, az egyenlõtlenségek megoldása során figyelnünk kell a reláció jel állására Célszerû úgy átalakítani az egyenlõtlenséget, hogy annak egyik oldalán konstans, másik oldalán olyan eponenciális kifejezés legyen, melynek kitevõjében az ismeretlen együtthatója pozitív A reláció jel állása így az eponenciális függvény monotonitása miatt biztonságosabban megállapítható Fogalmak eponenciális egyenletrendszer; eponenciális egyenlõtlenség FELADATOK K K E Ismételjük át, mikor mondjuk azt egy függvényrõl, hogy a) szigorúan monoton növekedõ; b) szigorúan monoton csökkenõ! Ábrázoljuk közös koordinátarendszerben az f: 7 és a g: 7 b függvényeket! l a) Vizsgáljuk meg monotonitás szempontjából! b) Általánosan milyen esetekben szigorúan monoton növekedõ; szigorúan monoton csökkenõ egy eponenciális függvény? Oldjuk meg az alábbi egyenlõtlenségeket! + K a) 8; K b) + $ ; K c) 0, 000, ; E d) $ # Ábrázoljuk számegyenesen az alábbi egyenlõtlenségek megoldásait! a) ; b) ; c) + # 08, ; d) 0, 0 $ 000 b l b l $ 6 b l 9

30 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS Oldjuk meg az egyenlõtlenségeket a valós számok halmazán! + K a) ; K b) ; K c) ; E d) , 0 # + b l $ Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I 69 6, A LOGARITMUS FOGALMA példa Vizsgáljuk Ft lekötését, évi,%os kamat esetén Mennyi idõre kell lekötni pénzünket ahhoz, hogy millió Ft követelésünk legyen a bankkal szemben? év múlva , Ftot, év múlva , ,0 6 Ftot, n év múlva ,0 n Ftot követelhetnénk Tehát a következõ egyenlet megoldását keressük: ,0 n , ahol n a keresett évek számát jelöli Rendezve,0 n , o Nyilvánvaló a kérdés: létezike olyan valós szám, amelyre,0 n,6 o? Mivel n pozitív egész szám (évek száma), ezért próbálgatással, számológéppel számolva:,0,6,,0,696 Tehát minimum évre kellene lekötnünk a Ftot, év elteltével követelésünk: 07 9 Ft Az egyenletnek ennél pontosabb megoldásra most a feladat szövege miatt nyilván nincs szükségünk 0 Általánosan nézve a problémát az a b ^! Rh alakú egyenletnek keressük a megoldását, ahol a hatvány alapja (a) pozitív, a hatvány értéke (b) szintén pozitív Úgy is fogalmazhatunk: olyan () kitevõt keresünk, amelyre a pozitív alapot (at) emelve a hatvány értéke a pozitív (b) szám A keresett kitevõt a továbbiakban logaritmusnak fogjuk nevezni

31 7 A LOGARITMUS FOGALMA Definíció A b pozitív szám a alapú (a > 0, és a ) logaritmusának nevezzük azt a kitevõt, amelyre at emelve bt kapunk A kitevõ jelölése: log a b log Tehát a definíció szerint: a a b b Ha a logaritmus alapja 0, akkor rövidebb jelölést használunk: log 0 b helyett lg bt Megjegyzés A matematikában fontos egy speciális alapú logaritmus használata, ez az e alapú logaritmus, melynek jelölése log e helyett az ln Errõl többet a következõ olvasmányban olvashatunk példa Definíció egyszerû használata: a) log 6, mert 6 b) lg 000, mert c) log, 9 mert 9 d), mert log b l e), mert log 8 b l 8 f) log6 0, mert 6 g) log 7, mert 7 példa Hozzuk egyszerûbb alakra a kifejezést! a + log a, ha a > 0, a Radioaktív kormeghatározáskor az eponenciális bomlási törvényt használjuk A hatványozás, négyzetgyök és a logaritmus tulajdonságai, definíciója alapján + loga a a $ loga a a $ a példa + log lg Számítsuk ki a kifejezés pontos értékét: 0! log 9 + log lg log lg $ + ^0 h 9$ a9 k log 9 9, $ ^ h + $ + $ + Fogalmak b pozitív szám a alapú logaritmusa; 0es alapú logaritmus

32 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS FELADATOK K K K K K Írjuk át a logaritmus fogalmának felhasználásával az alábbi hatványokat logaritmusos alakba! a),, 0 0, 9, 0 0, 0; b),,,, 8 9 b 0 0 l Írjuk át hatványalakba az alábbi egyenlõségeket! a) log,, log, log ; 6 log9 8 9 b) log, log, log, lg 0, Számítsuk ki az alábbi logaritmus értékeket! a) log,,,,, log 8 log 8 log 0, log log7 ^h ; 8 b) log 0, log, log, log, log 8, log 6 Számítsuk ki az alábbi logaritmusos kifejezések értékét! log9 + a) ; b) ; c) ; d) log 9 6 log log log 6 ; e) Számítsuk ki az alábbi kifejezések értékét! K a) + ; 0 lg log 9 K b) ; log6 8 K c) 6 ; log6 log log96 K d) + 9 ; K e) log6 8+ log 6 log Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I 9 98

33 A TERMÉSZETES ALAPÚ LOGARITMUS ÉS EGYÉB (OLVASMÁNY) A TERMÉSZETES ALAPÚ LOGARITMUS ÉS EGYÉB MATEMATIKATÖRTÉNETI ÉRDEKESSÉGEK (OLVASMÁNY) A középkor végének Európájában egyre fontosabbá vált a hajózás, csillagászat, kereskedelem, és az ipar fejlesztése Ezt a felgyorsult fejlõdést elsõsorban mûszaki és matematikai vívmányoknak köszönhették A pénzforgalomban érdekelt szakemberek számára a kamatos kamat gyors kiszámítása érdekében táblázatokat készítettek Az elsõ táblázatot Joost Bürgi svájci mûszerkészítõ készítette A táblázat megjelenése elõtt John Napier skót matematikus egy speciális mozgás leírását vizsgálta A vizsgált mozgás lényege, hogy valaki egy d hoszszúságú úton úgy mozog, hogy sebességének mérõszáma minden pillanatban a hátralevõ út hosszával egyezzen meg Az idõt rövid, m hosszúságú szeletekre vágta, és a sebességet minden szeletben állandónak vette Az eredményekbõl útidõ táblázatot készített A megfeleltetést a görög logosz, arány és arithmosz, szám összevonásából latinosan logaritmusnak nevezte el Napier munkáját az Ofordi Egyetem professzora, Henry Briggs (6 60) fejlesztette tovább, ez jelentette a logaritmus alapjának megfogalmazását, egyben a tízes alapú logaritmus megszületését is A gyakorlati életben a különbözõ fizikai mennyiségek által keltett, általunk érzékelt fiziológiai érzet a fizikai jel logaritmusával arányos Erre épülnek bizonyos logaritmussal arányos skálák elkészítései, ezek közül talán a legismertebbek a decibelskálák (hangtanban és akusztikában használatos), illetve a Richterskála (földrengés erôsség mérésénél használják) (Charles Francis Richter amerikai szeizmológus (900 98)) Amikor az eponenciális függvényt, logaritmus fogalmát tanuljuk, talán a es alap használata a legtermészetesebb, mivel a kis pozitív számok között sok olyan van, aminek es alapú logaritmusa egész (Pl,,,, 8,, ) 8 A tízes alap elõnye, hogy ehhez az alapszámhoz készültek táblázatok, illetve a mai számológépek is ezt használják Joost Bürgi (6 6) Elég meglepõ ezért, hogy a logaritmus használatában mégsem ezen számok valamelyikét nevezik a természetes alapú logaritmus alapszámának n Ezt az alapszámot a legtöbb tankönyv az a n b + sorozat határértékeként definiálja Ez leegyszerûsítve azt jelenti, hogy ha n helyére egyre nagyobb számokat írunk, akkor a sorozat tagjai egyre n l jobban közelítenek egyetlen valós számhoz Eulerhez hasonlóan, néhány tankönyv ezt a számot egy végtelen tagú összegként definiálja: f+ + f!!!! n! Az így elõállított szám: e, ben számítógép segítségével enek már 0 9 nagyságrendû tizedes jegyét állapítottak meg A log e jelölés helyett bevezették a ln jelölést, az ln a logarithmus naturalis kifejezés rövidítése John Napier (0 67) Miért éppen az e szimbólumot választották? Erre nincs pontos adatunk Egyesek szerint az eponenciális szó kezdõbetûjébõl, mások az addig gyakran használt a, b, c, d betûk sorozatában egyszerûen a következõ betût látják benne Ismert az a vélekedés is, miszerint Euler önmagáról nevezte a számot enek (Leonhard Euler svájci matematikus (707 78)) Az e számról már Euler bizonyította, hogy irracionális szám, Liouville belátta, hogy egyetlen egész együtthatós másodfokú polinomnak sem gyöke, Hermite azt is igazolta 87ban, hogy transzcendens szám (Joseph Liouville (809 88) és Charles Hermite (8 90) francia matematikusok voltak)

34 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS Miért éppen ezt a számot választották a természetes alapú logaritmus alapszámának, hiszen ezzel a számmal igen körülményes számolni? Erre már tudunk kézenfekvõ magyarázatot adni A gyakorlati életben megfigyelt összefüggések adnak erre magyarázatot példa Egy radioaktív izotóp bomlásánál az izotópok számát az idõben csökkenõ eponenciális függvény írja le: mt N^th N^0he, ahol N(t) az izotópok száma a t idõpillanatban, N(0) pedig az N értéke t 0 pillanatban, m pedig egy magtól függõ állandó, amit bomlási állandónak nevezünk Mivel a felezési idõ azt az idõtartamot adja meg, amely alatt a kezdeti érték felére csökken N, ez a következõképp számolható: mt 0, N^0h N^0he /, ahol a felezési idõt jelöli, ezt szeretnénk T / kifejezni az egyenletbõl A felezési idõ független a kezdeti értéktõl, az N(0) kiesik az egyenletbõl, és a felezési idõt a következõképp kapjuk: mt / 0, e, ln 0, mt / Mivel ln 0, ln, írhatjuk, hogy ln mt / Innen T ln az izotóp felezési ideje / m példa Mutathatunk példát a bankszektorból Elõfordulhat az, hogy egy bank a lekötött betétek után nem éves, féléves, havi lekötést, hanem úgynevezett folyamatos tõkésítést alkalmaz Ez esetben a tõkésítések száma végtelen A képlet az alábbiak szerint alakul: A A $ np $ n 0 e, ahol: A n : az n év végén (idõszak végén) esedékes pénzösszeg, A 0 : a jelenlegi pénzösszeg, p: a kamatláb, n: az évek száma (idõszakok száma), e: a természetes logaritmus alapja (e,78) Ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy a betett pénzösszeg mennyi idõ alatt növekedik egy adott értékre, akkor A n n $ ln képlet segítségével határozhatjuk meg p A 0

35 8 A LOGARITMUSFÜGGVÉNY Végül még egy példa a logaritmus használatára: példa (0es alapú logaritmus használatára) A hangintenzitás Ha a hang merõlegesen esik egy A nagyságú felületre, az erre a felületre a hang által szállított teljesítmény legyen: P Ekkor hangintenzitásnak nevezzük az I P mennyiséget A khz esetén az emberi fül már I 0 W 0 intenzitást is érzékel Ezt nevezzük az emberi fül küszöbintenzitásának m A hangnyomásszint Az ember hangérzete nem a hangintenzitással (I) arányos A pontos összefüggés bonyolult Közelítése a hangérzet, amely lg Ivel arányos Hangnyomásszint: n lg I 0 $ I0 Történeti elnevezés: decibelskála Az emberi hallás szélsõértékei 0 db, illetve 0 db Fogalmak természetes alapú logaritmus alapszáma; e alapú logaritmus (Forrás: Kós RitaKós Géza: Miért természetes az e? KÖMAL; Sain Márton: Nincs királyi út; Wikipédia) 8 A LOGARITMUSFÜGGVÉNY A logaritmus definíciója alapján értelmezhetjük a logaritmusfüggvényt: Azt a függvényt, amely minden pozitív valós számon értelmezve van, és minden számhoz annak az a alapú (a > 0, a ) logaritmusát rendeli hozzá, az a alapú logaritmusfüggvénynek nevezzük f : R + R, f^h log, ahol a > 0, és a a példa Ábrázoljuk, jellemezzük az f : R + R, f^h log Készítsünk értéktáblázatot: függvényt y log 8 8 log 0 A függvény grafikonja: 0

36 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS Tulajdonságok: A vizsgált logaritmusfüggvény minden valós értéket felvesz, ez következik az eponenciális függvény tulajdonságaiból, hiszen bármilyen valós számra igaz: log A f : R + R, f^h log függvény szigorúan monoton növekvõ, hiszen ha 0, vagy más log log alakban, akkor az eponenciális függvény monotonitása miatt az állítás igaz A szigorúan monoton tulajdonságból következik, hogy kölcsönösen egyértelmû Zérus helye az A függvénynek se minimuma, se maimuma nincs y Az eponenciális függvény és a logaritmusfüggvény értel me zé sébõl következik, hogy szoros kapcsolat van a két függvény között Ha az elõbbi táblázat két sorát megcseréljük, log akkor az értéktáblázatunk a g^h függvény értéktáblázatának egy részlete Az f logaritmusfüggvény értelmezési tartománya a g eponenciális függvény értékkészletével egyezik meg, míg a g eponenciális függvény értelmezési tartománya az f logaritmusfüggvény értékkészletével azonos és az f tetszõleges hez f()et rendel, akkor a g az f()hez et rendel Ezen tulajdonságok miatt, a két függvény egymás inverze, grafikonjaik egymás tükörképei a h : R R, h^h függvény grafikonjára (egyenesére) Belátható az elõbb megállapított kapcsolat a következõ függvények esetében is: Adott a > 0, és a alap esetén, az 7 a és a 7 log függvények egymás inverzei a Amennyiben 0 < a <, akkor a két függvény szigorúan monoton csökkenõ: Amennyiben a >, akkor a két függvény szigorúan monoton növekvõ: y y a a log a 0 0 log a 6

37 8 A LOGARITMUSFÜGGVÉNY Összegezve megállapításainkat az f : R + R, f^h loga logaritmusfüggvény legfontosabb tulajdonságai: A logaritmusfüggvény a pozitív számok halmazán értelmezett, kölcsönösen egyértelmû függvény; A logaritmusfüggvény monoton, növekvõ, ha a > csökkenõ, ha 0 < a < Inverze a g : R R +, g^h a függvénynek, a függvények grafikonjai egymás tükörképei a h : R R, h^h függvény grafikonjára Minden logaritmusfüggvény grafikonjára illeszkedik az (; 0) pont, azaz a függvény zérushelye az A függvénynek se minimuma, se maimuma sincs példa Ábrázoljuk és jellemezzük a következõ függvényt: f : R + R, f^h log +! Adjuk meg a függvény inverzét! Az f : R + R, f^h log + függvény grafikonját a g : R + R, g^h log függvény grafikonjából eltolással kapjuk, az eltolás vektora: v(0; ), a függvények grafikonjai: Az f : R + R, f^h log + függvény jellemzése: Értelmezési tartománya a pozitív valós számok halmaza Értékkészlete a valós számok halmaza Zérushelye az, mert log log Szélsõértéke nincs Szigorúan monoton csökkenõ függvény A függvény inverz függvénye: f ^ h b l y ( ) 0 log log + Fogalom logaritmusfüggvény tulajdonságai FELADATOK K K Ábrázoljuk és jellemezzük az f : R + R, f^h log függvényt! Válasszuk ki az alábbi függvények közül a monoton növekvõket! a) f : R + R, f^h log ; d) k : R + R, k^h log ; b) g : R + R, g^h lg ; e) l : R + R, l^h log c) h : R + R, h^h log ; 7

38 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS K K Ábrázoljuk függvénytranszformációk felhasználásával az alábbi függvényeket! Határozzuk meg a függvények értelmezési tartományát! a) f: 7 log ^+ h; b) g: 7 log ; c) h: 7 $ log Ábrázoljuk az R + R, 7 log grafikonjának felhasználásával az alábbi függvényeket! Határozzuk meg a függvények értelmezési tartományát! K a) f: 7log ; K b) g: 7 log ^ h; K c) h: 7 log ; K d) k: 7 log Oldjuk meg grafikusan az alábbi egyenleteket! a) log ; b) log ^+ h, Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény II 7 7, Pályakép Név: Réka Lakhely: Budapest Végzettség: Nemzetközi gazdálkodás angolul (Budapesti Corvinus Egyetem) és Pszichológia (ELTE) Jelenlegi beosztás: hallgató Milyen tantárgyakból felvételizett, tanult emelt szinten? Matematika, történelem Sziasztok! Mindig is szerettem a szöveges feladatokat Titkon reméltem, hogy majd az én nevem is felbukkan a szereplők között Bár az Ádám, Béla és Cili keresztnevek népszerűbbek voltak a Rékánál, a történeteket mégis sokszor magaménak éreztem, hiszen én is vásárolok a zöldségesnél, kártyázom, moziba járok, néha még lottózom is Rájöttem, hogy körül vagyok véve matek példákkal, éppen úgy, mint Ádám, Béla és Cili Ahhoz, hogy boldoguljak, és helyes döntéseket hozzak, napról napra szembe kell néznem a saját szöveges feladataimmal Sokat ezek közül a mateknak hála mára gondolkodás nélkül megoldok, akár anélkül, hogy egyáltalán észlelném a problémát Olyan eszköztáram fejlődött ki az évek során, ami felvértez a legbonyolultabb szituációk ellen is Megtanultam rendszerben gondolkodni, leképezni a környezetem egyenletek, modellek, koordinátarendszer vagy akár halmazok segítségével E képességekre mind közgazdászként, mind pszichológusként nagy szükségem lesz, hiszen a gazdasági folyamatok megértéséhez nélkülözhetetlen a modellezés, a mentális és viselkedéses folyamatok működésére és kapcsolatára pedig statisztikák, vizsgálatok alapján következtethetünk (pl a vizsgált személyek reakcióinak átlagát, bizonyos változók korrelálását figyeljük meg) Egy szó, mint száz, a matekos kapaszkodók még sosem hagytak cserben! 8

39 9 A LOGARITMUS AZONOSSÁGAI 9 A LOGARITMUS AZONOSSÁGAI Feladatmegoldásokban, egyenletmegoldások esetén gyakran kell átalakítanunk logaritmusos kifejezéseket Ehhez ismernünk kell az átalakítások szabályait, azaz a logaritmus azonosságait Ezek megfogalmazásához felhasználjuk a definíciót, valamint a logaritmusfüggvény megismert tulajdonságait Szorzat logaritmusa loga^bch loga b + loga c, ha a > 0, a, b > 0, c > 0, azaz szorzat logaritmusa egyenlõ a tényezõk logaritmusának összegével Bizonyítás loga b Egyrészt: a b, és loga c loga b $ loga c loga b+ loga c a c bc a a a log ^bch Másrészt: bc a loga b+ loga c loga^bch Összevetve a két egyenlõséget: bc a a log ^bch log b + log c a a a Hányados logaritmusa log b ab log log, ha a > 0, a, b > 0, c > 0, azaz c l a b a c hányados logaritmusa egyenlõ a számláló és a nevezõ logaritmusának különbségével Bizonyítás loga b log Egyrészt:, és b a a b loga c loga b loga c a b a c c a log c a a Másrészt: b a log b a b c l c Összevetve a két egyenlõséget: b log b log c log a a b c log b a a a b l ab log b log c c c l a a Hatvány logaritmusa k loga ^b h k$ loga b, ha a > 0, a, b > 0, k! R, azaz hatvány logaritmusa egyenlõ az alap logaritmusának és a kitevõnek a szorzatával Egyrészt: b k a log b k a ^ h k log b k a k loga b Másrészt: b ^a h a $ k k loga b k loga b Összevetve a két egyenlõséget: b a a log k ^b h k$ log b a a 9

40 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS Az elõzõ eset speciálisan, k esetén, n! N, n $ : n nedik gyök logaritmusa n loga b loga b, azaz n nedik gyök logaritmusa egyenlõ a gyök alatti kifejezés logaritmusának és a gyökkitevõnek a hányadosával Áttérés más alapú (c alapú) logaritmusra loga b logc b, ha a > 0, a, b > 0, c > 0, c azaz loga c egy szám új alapú logaritmusát megkapjuk, ha a szám régi alapú logaritmusát elosztjuk az új alap régi alapú logaritmusával példa Számítsuk ki a kifejezés pontos értékét! log 6 + log log 0 log log 6 log log 0 log log 6 $ log log 9 0 $ 80 példa Adjuk meg a kifejezés értelmezési tartományának legbõvebb halmazát Fejezzük ki értékét, a, b, c, d segítségével! log log b log c log d a a + a a A kifejezés értelmezhetõ, ha a, és a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 log log b log c log d log b c log $ + d a a a a a a bc d bc d ; 0

41 9 A LOGARITMUS AZONOSSÁGAI példa Határozzuk meg a kifejezés pontos értékét! lg lg sin r lg cos r lg sin r + a 6 k+ a 6 k a k sin r cos r lg lg sin r lg cos r lg sin r + a lg 6 k+ a 6 k a k 6 6 sin r (Felhasználjuk, hogy sin r cos r $ $ sin ) 6 6 r sin r lg lg 0 sin r példa Határozzuk meg lg 6 értékét a és b segítségével, ha a lg 8, és b lg 7! Célszerû a számok prímfelbontásából kiindulni: 8 $ 7 $ 6 $ Célunk meghatározni lg t és lg at, a és b segítségével, mert lg + lg lg 6 a lg 8 lg + lg, b lg + lg Azt próbáljuk meg elérni, hogy lg együtthatói azonosak legyenek, ekkor különbségükben nem szerepel lg : a b 8lg + lg ^lg + lg h lg ; a b lg Most fejezzük ki lg at: a $ a b lg ; + lg a 8a b b a ; lg 6 lg lg a b b a b a + +

42 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS példa Igaze a következõ egyenlõség: log 0 $ log log 0 $ log? 7 7 Térjünk át azonos alapú logaritmusokra log7 0 log7 Mivel log 0, és log, ezért log7 log7 Fogalom log0 $ log7 log70 $ log, az egyenlõség átalakítva: a logaritmus log 0 log azonosságai 7 7 $ log7 log70 $ log7 log7 Mind a két oldalon azonos tényezõk szerepelnek, tehát az egyenlõség igaz FELADATOK K K K K 6 K Számítsuk ki az értékét! a) log + log log ; c) lg lg + lg 9 lg ; b) lg 8 lg lg ; d) log log 60 Számítsuk ki az alábbi kifejezések értékét! a) lg + lg + lg lg ; b) log 7 log log 0 log 6 log ; + + c) lg lg lg lg lg Számítsuk ki az alábbi kifejezés értékét! $ log sin r log sin r log tg r log cos r log tg r log cos r a 6 k+ a k a k+ a k+ a k a 6 k Hozzuk egyszerûbb alakra! K a) ^lg + lg 9h; K b) loga a $ a lg Írjuk át az alábbiakat tízes alapú logaritmus alakra! a) a log ; b) b log ; c) c log ; d) d log 7 Számítsuk ki számológép használata nélkül az alábbi mûveletek eredményét! a) log $ log ; b) log 7 + log 7; c) log + log 8 0, 9 0, 0, Ajánlott feladatok Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatgyûjtemény I , 96, 96

43 0 LOGARITMUSOS EGYENLETEK 0 LOGARITMUSOS EGYENLETEK Példákon keresztül mutatjuk be a logaritmusos egyenletek megoldásának néhány alapötletét A feladatmegoldások során gyakran hivatkozunk a logaritmusfüggvény és az eponenciális függvény tulajdonságaira, a logaritmus azonosságaira Fontos az egyenletek értelmezési tartományának vizsgálata, valamint a megoldás ellenõrzése, hogy kiszûrjük a fellépõ hamis gyököket! Ha az egyenlet egyik oldalán konstans érték szerepel: példa Oldjuk meg az egyenletet! log ^ h A hamis gyök fellépése elkerülhetõ a következõ módon: log ^ h ; log ^ h ; log^ h log; ; 8 Ellenõrzés: log 8 b $ log $ l Megjegyzés Az egyenlet akkor értelmezhetõ, ha log ^ h A hatvány logaritmusa azonossága alapján: log ^ h A definíció alapján: ^ h 9 A másodfokú egyenletet megoldva: ^h^ + h 0; 8, Az értelmezési tartománynak csak 8 felel meg Csillagvizsgáló példa Adjuk meg az egyenlet pozitív megoldásait! log log log

NT-17312 Az érthető matematika 11. Tanmenetjavaslat

NT-17312 Az érthető matematika 11. Tanmenetjavaslat NT-17312 Az érthető matematika 11. Tanmenetjavaslat Idézet a 3.2.04. kerettantervből (11 12. évfolyam, bevezetés): Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos

Részletesebben

Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, kulcsfogalmak/fogalmak 1. Év eleji szervezési feladatok 2.

Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, kulcsfogalmak/fogalmak 1. Év eleji szervezési feladatok 2. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI ELŐKÉSZTŐ 11. évfolyam Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, 1. Év eleji szervezési feladatok 2. A hatványozásról tanultak ismétlése, feladatok az n- edik gyök fogalmára, azonosságaira

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék

Részletesebben

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport)

Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport) Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport) Műveltségi terület: MATEMATIKA Iskola, osztályok: Vetési Albert Gimnázium, 11.A, 11.B, 11.D (alap) Tantárgy: MATEMATIKA Heti óraszám: 4 óra Készítették:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

NT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17302 Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 11. tankönyv a Heuréka-sorozat harmadik tagja. Ebben a segédanyagban ehhez a könyvhöz a tizenegyedikes tananyag

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

TANMENET. a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára

TANMENET. a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján Használatos

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Matematika 11. évfolyam

Matematika 11. évfolyam Matematika 11. évfolyam Tanmenet Másodfokúra visszavezethető magasabb rendű egyenletek, másodfokú egyenletrendszerek 1. Másodfokú egyenletek (ismétlés) 2. Másodfokú egyenletrendszerek (behelyettesítő módszer)

Részletesebben

Tanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához

Tanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához ciklus óra óra anyaga, tartalma 1 1. Év eleji szervezési feladatok, bemutatkozás Hatvány, gyök, logaritmus (40 óra) 2. Ismétlés: hatványozás 3. Ismétlés: gyökvonás 4. Értelmezési tartomány vizsgálata 2

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

TANMENET 2015/16. Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya

TANMENET 2015/16. Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya Tantárgy: Matematika Osztály: 10. B Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya Vetési Albert Gimnázium, Veszprém Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 108 Tankönyv: Hajdu Sándor Czeglédy István Hajdu

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY

OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Gráfok Betűk használata a matematikában Hatványozás. A

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus Logaritmus DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. Bármely pozitív

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

2018/2019. Matematika 10.K

2018/2019. Matematika 10.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép, függvénytáblázat 2 órás, 4 jegyet ér 2019. május 27-31. héten Aki hiányzik, a következő héten írja meg, e nélkül

Részletesebben

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából évfolyam

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából évfolyam Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 9 12. évfolyam Matematikából a tanulónak írásbeli osztályozó vizsgán kell részt vennie. Az írásbeli vizsga időtartama 60 perc. A vizsgázónak 4-5 különböző

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1 TARTALOM 11.osztály (222 óra)... 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra)... 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra)... 3 3. Függvények,

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2012

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2012 2012 2. Számhalmazok (a valós számok halmaza és részhalmazai), oszthatósággal kapcsolatos problémák, számrendszerek. 4. Hatványozás, hatványfogalom kiterjesztése, azonosságok. Gyökvonás és azonosságai,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:

Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége,

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

TANMENET. a matematika tantárgy tanításához 10. E.osztályok számára

TANMENET. a matematika tantárgy tanításához 10. E.osztályok számára Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához 10. E.osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján

Részletesebben

2017/2018. Matematika 9.K

2017/2018. Matematika 9.K 2017/2018. Matematika 9.K Matematika javítóvizsga 2018. augusztus szóbeli 3 rövidebb (feladat, definíció, tétel) és 3 hosszabb feladat megoldása a 30 perces felkészülési idő alatt a megoldás ismertetése

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! Megoldások. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 7 49 = c A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log 4 = c 4

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

ÖSSZEVONT ÓRÁK A MÁSIK CSOPORTTAL. tartósság, megerősítés, visszacsatolás, differenciálás, rendszerezés. SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK (25 óra)

ÖSSZEVONT ÓRÁK A MÁSIK CSOPORTTAL. tartósság, megerősítés, visszacsatolás, differenciálás, rendszerezés. SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK (25 óra) Tantárgy: MATEMATIKA Készítette: KRISTÓF GÁBOR, KÁDÁR JUTKA Osztály: 12. évfolyam, fakultációs csoport Vetési Albert Gimnázium, Veszprém Heti óraszám: 6 Éves óraszám: 180 Tankönyv: MATEMATIKA 11 és MATEMATIKA

Részletesebben

SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM

SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM A vizsga szerkezete: A vizsga írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. 1.) Írásbeli vizsga Időtartama: 45 perc Elérhető pontszám: 65 pont Feladattípusok:

Részletesebben

Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök

Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök I. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok Állítás (igazságérték), állítás tagadása, állítás megfordítása Halmazok

Részletesebben

MATEMATIKA. Szakközépiskola

MATEMATIKA. Szakközépiskola MATEMATIKA Szakközépiskola Az osztályozóvizsga írásbeli feladatlap. Az osztályozó vizsgán az osztályzás a munkaközösség által elfogadott egységes követelményrendszer alapján történik. A tanuló az osztályozó

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

2017/2018. Matematika 9.K

2017/2018. Matematika 9.K 2017/2018. Matematika 9.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép 2 órás, 4 jegyet ér 2018. május 28. hétfő 1-2. óra A312 terem Aki hiányzik, a következő

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

TANMENET ... Az iskola fejbélyegzője. a matematika tantárgy. tanításához a 9. a, b osztályok számára

TANMENET ... Az iskola fejbélyegzője. a matematika tantárgy. tanításához a 9. a, b osztályok számára Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához a 9. a, b osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI. A vizsga formája. Közé pszinten: írásbeli Emelt szinten: írásbeli és szóbeli

A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI. A vizsga formája. Közé pszinten: írásbeli Emelt szinten: írásbeli és szóbeli Az érettségi vizsga követelményei 1 MATEK A vizsga formája Közé pszinten: írásbeli Emelt szinten: írásbeli és szóbeli A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga

Részletesebben

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

Részletesebben