Gergely Noémi. Numerikus módszerek a Black-Scholes egyenlet megoldásához. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Témavezet : Tóth Árpád

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gergely Noémi Numerikus módszerek a Black-Scholes egyenlet megoldásához BSc Szakdolgozat Témavezet : Tóth Árpád Analízis Tanszék Budapest, 2014

2 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Tóth Árpádnak, aki hasznos ötletivel és kérdéseimre adott kielégít válaszaival segítette munkámat. Valamint köszönettel tartozom családomnak, barátaimnak és a csoporttársaimnak, akik kitartóan támogattak egyetemi éveim alatt. 2

3 Tartalomjegyzék 1. Opció fajták: Alapfogalmak áttekintése: Opció típusok: Európai típusú opció: Amerikai típusú opció: Bermuda típusú opció: Egzotikus opció: Összetett opciós pozíciók: Különböz típusú opciók Black-Scholes egyenlet: Európai vételi opció: Európai eladási opció: Digitális vételi opció Digitális eladási opció Korlátos (limitáras) opciók Összetett opciós pozíciók Black-Scholes egyenlet matematikai áttekintése Részvény derivativák árszabása és elemzése Érzékenységi vizsgálatok A Black-Scholes egyenlet visszavezetése a H vezetési egyenletre Véges dierenciák módszere Egylépéses módszerek Az explicit Euler-módszer

4 Az implicit Euler-módszer A Crank Nicolson-módszer H vezetési egyenlet véges dierenciákkal való közelítése

5 1. fejezet Opció fajták: Az opciók olyan ügyletek,melyek értéke más értékpapírok árfolyamától függ. Feltételes követelésnek is szokták nevezni ezeket az eszközöket. Ma már opciós ügyletekkel számos t zsdén kereskednek. Ezek többségében részvényekre, devizára, nemesfémekre, részvényindexekre, határid s kamatláb-csereügyletekre és mez gazdasági termékekre szólnak Alapfogalmak áttekintése: Deníció. A vételi opció (call option) egy jogot (de nem kötelezettséget) biztosít az opció tulajdonosának, hogy egy adott id ben vagy adott id ig megvásárolja az opció tárgyát egy meghatározott árfolyamon, (kötési árfolyamon) Megjegyzés. A vételi opció tulajdonosának csak akkor éri meg lehívni vételi opcióját, ha a megvásárolandó opció tárgyának piaci értéke meghaladja a kötési árfolyamot. Ha a piaci árfolyam nagyobb a kötési árfolyamnál, akkor az opció tulajdonosa lehívhatja az opció tárgyát a kötési árfolyamon és így protra tehet szert! De ha nem hívja le a lejáratáig, akkor a vételi opció lejár, és nem lesz már többé értéke! Jövedelem = Részvényárfolyam - Kötési árfolyam Prot = Jövedelem - Eredeti befektetés 5

6 Deníció. Az opció tulajdonosának az eladási opció (put option) jogot biztosít arra, hogy egy meghatározott áron adjon el egy eszközt (az opció alapját képz tárgyat). A vételi opció estében minél alacsonyabb az eszközértéke (azaz csökken),annál nagyobb protunk lesz, míg ezzel szemben az eladási opciót akkor éri meg lehívni, ha az opció tárgyának árfolyama alacsonyabb,mint a kötési árfolyam. Jövedelem = Kötési árfolyam - Részvény árfolyam Prot = Jövedelem - Eredeti befektetés Ezek után, most vizsgáljuk meg az opciók nyereségességi helyzetét. Az opciós ügyletek nyereségességi helyzete a piaci ár és a lehívási ár alakulásától függ. Ha a lehívási ár alacsonyabb, mint a piaci ár, akkor a vételi opció nyereséges, míg ha eladási opcióról van szó akkor az veszteséges lesz. Ha a lehívási ár megegyezik a piaci árral, akkor sem a vételi opciót sem az eladási opciót nem érdemes lehívni, hisz ilyenkor egy semleges helyzet áll el, ugyanis ebben az esetben nem lesz nyereségünk. Viszont, ha a lehívási ár nagyobb, mint a piaci ár, akkor a vételi opció esetében veszteséges helyzet áll el, míg az eladási opciónál nyereséges. Ezt most foglaljuk össze egy táblázat segítségével: Piaci helyzet Vételi opció Eladási opció Piaci ár > Lehívási ár Nyereséges Veszteséges Piaci ár = Lehívási ár Semleges Semleges Piaci ár < Leívási ár Veszteséges Nyereséges Érdemes gyelni még a prémium összegére is, azaz az opciós jogért zetett díjra. Ugyanis el állhat olyan helyzet is, mikor a piaci ár nagyobb mint a lehívási ár, azaz a vételi opciónk lehívása elvileg nyereséggel járna, de a prémium összeg meghaladja ezt a nyereségességi összeget, ekkor vagy pont semlegesen jövünk ki vagy pont veszteségesen, és ekkor nem éri meg lehívni az opciónkat. Tehát összefoglalva nyereségességi helyzet így állhat el : Vételi opció: Piaci ár > Lehívási ár + Prémium Eladási opció: Lehívási opció < Piaci ár + Prémium 6

7 Ha egy opciót rögtön lehívunk és ez jövedelmet biztosít az opció tulajdonosának, akkor ezt bels értékkel rendelkez (in-the-money, ITM) opciónak nevezzük. Viszont, ha a lehívás veszteséges, akkor az opciót bels érték nélkülinek (out-of-the-money, OTM) hívjuk. Ezek alapján, a vételi opció ITM, ha az eszköz árfolyama alatt van a kötési árfolyam, ellenkez esetben OTM-r l beszélünk. Hasonlóan bels értéke van az eladási opciónak, ha az eszköz értéke felett van a kötési árfolyam. Egy opció atthe-money (ATM), ha az eszköz azonnali ára megegyezik a kötési árfolyammal Opció típusok: Európai típusú opció: Az Európai opció esetében, az opció tulajdonosa kizárólag egy el re meghatározott id pontban élhet opciós jogával. (Miszerint, hogy lehívja az opciót vagy sem.) A vételi opció kiírójának "csak" annyi a kockázata, hogy neki rendelkeznie kell az alaptermékkel az el re meghatározott id pontban, ugyanis nem tudhatja el re, hogy az opció tulajdonosa lehívja majd az opciót vagy sem Amerikai típusú opció: Az Amerikai típusú opciónál az opció tulajdonosa már nem csak egy adott pillanatban élhet opciós jogával-mint az Európai opció esetében-, az opció lehívása egy adott id intervallum alatt bármikor megtörténhet. Ekkor a vételi opció kiírójának a kockázata is nagy lesz, hisz az opció lehívása bármikor megtörténhet, ezért az alapterméknek is mindig rendelkezésre kell állnia. Ez pedig igencsak jelent s költséget jelent a kötelezett számára Bermuda típusú opció: A Bermuda opció az Európai és az Amerikai típusú opciók között egy átment, hisz ekkor az opció jogosultja csak megadott id pontokban élhet opciós jogával. 7

8 Egzotikus opció: Valamilyen szempontból eltérnek az els dlegesen alkalmazott opciós típusoktól, innen is kapták nevüket. 1. Limitáras opciók (más néven korlátos opciók): A limitáras opciók kizetése függ attól, hogy meghaladja-e az alaptermék ára az el re meghatározott limitet. Ha nem haladja meg ezt a korlátot, akkor az opció limitár alatt értéktelen és akkor jár le, mikor az alaptermék ára alacsonyabb lesz, mint a limitár. Azonban a limitár alatt értékes opciók az árfolyam limitár alá esésekor zetnek. Ez egy olyan opció melynek értéke az adott termék lejárati ára mellett még attól is függ, hogy ez az ár átlép-e egy bizonyos korlátot. 2. Bináris opció (vagy fogadásos opció): Ebben az esetben ha jól tippeljük meg az eszköz árának elmozdulást nyerünk ellenkez esetben veszítünk. Vételi opció esetén a tulajdonos arra számít, hogy emelkedni fog az eszköz ára, míg eladási opció esetén az ár csökkenését várja. Ha jól tippeltünk, akkor "Bent a pénzben" kifejezést használjuk, viszont ha veszítettünk, akkor pedig a "Kint a pénzb l" kifejezést. "Pénznél" kifejezést akkor használjuk, mikor az eszköz árában elmozdulás nem történik, ebben az esetben nem is nyertünk és nem is veszítettünk, és ilyenkor a befektetett pénzünket is visszakapjuk Összetett opciós pozíciók: Ezeknek a pozícióknak az a lényege, hogy olyan kombinációkat hozzanak létre a befektet k, mellyel minimalizálni tudják a kockázatot, és a nyereséget pedig maximalizálni. Az összetett opciók egy típusa az opciós spreadek. A spredek esetében is ugyanúgy egy opció eladásról és egy másik vételér l beszélünk. Ami viszont még fontos a spreadeknél, hogy azonos típusú opcióknak kell lenniük, azaz vagy csak eladási vagy csal vételi lehet az opciónk. Két f típusa van a bull spread és a bear spread. 8

9 1. Bull spread A befektet bull spread esetén az árak emelkedésére számít, éppen ezért egy olyan opciót fog megvenni, melynek a küszöbára alacsonyabb és egy olyat ad majd el, melynek a küszöbára magasabb. Vételi opció esetén, egy adott lehívási áron kell vásárolnia egy vételi opciót, és egy magasabb lehívási áron eladni egy másik opciót, természetesen ugyanazzal a lehívási id ponttal. Az eladási opciónál pedig a befektet egy alacsonyabb lehívási áron vásárol eladási opciót, és egy magasabb lehívási áron ad elegy másikat. 2. Bear spread A bear spread fordítottja a bull spreadnek, ugyanis itt a befektet nem az árfolyamok növekedésére számít, hanem éppen a csökkenésükre. Épp ezért fog megvenni egy magasabb kötési árfolyamú opciót és fog eladni egy alacsonyabb kötési árfolyamút. Vételi opció esetén a befektet el ször magasabb kötési árfolyamon vásárol opciót és alacsonyabb kötési árfolyamon fog eladni egy másik vételi opciót. Eladási opciók kombinációjaként is el állítható bear spread. Mégpedig egy magasabb árfolyamon lév eladási opció megvásárlásával, és egy eladási opció alacsonyabb árfolyamon történ eladásával állítható el. 3. Buttery spread (Pillangó) A Pillangó-féle összetett pozíció négy opciós pozíció kombinációja alkotja. Két spread illetve egy bull spread és egy bear spreadb l áll. Ennek a lényege, hogy két közepes árfolyamú vételi opciót adunk elés egy magasabb meg egy alacsonyabb árfolyamú vételi opciót veszünk meg. Ezen opciók közül néhányat a következ fejezetben részletesebben megvizsgálunk. 9

10 2. fejezet Különböz típusú opciók 2.1. Black-Scholes egyenlet: Rövidebb alakja: V t σ2 S 2 2 V V + rs S2 S V + L t BSV = 0 rv = 0 (2.1) ahol, V(S,t) jelöli az opció értékét S a részvény árfolyamot r kockázatmentes kamatlábat σ a volatilitást Ennek az egyenletnek több megoldásai is lehet a peremfeltételekt l függ en. Az S és t (id ) lehetséges értékeinek határán ezek a feltételek határozzák meg a származtatott ügyleteink értékét Európai vételi opció: Az els fejezetben már láttuk, hogy a vételi opció jogot biztosít az opció tulajdonosának arra, hogy a lejárati id pontba (T) lehívja az opciót. Természetesen csak 10

11 akkor van értelme az alaptermék megvásárlásának, ha az eszköz jelenértéke magasabb mint a lehívási ár, azaz S > E. Ha ez a lehívás nem történik meg - S E esetén - akkor az opció értéktelen lesz. Tehát az opció lejáratkori értéke vagy 0 vagy S E, ami a nettó prot. C + L t BSC = 0 C(0, t) = 0 C(S, t) = Se δ(t t) Ee r(t t), ha S C(S, T ) = max(s E, 0) = Ismert a vételi opció analitikus megoldása: A jelölések: { S E, ha S > E 0, ha S E C(S, t) = Se δ(t t) N(d 1 ) Ee r(t t) N(d 2 ) d 1 = lns lne + (r δ σ2 (T t) σ T t (2.2) d 2 = d 1 σ T t (2.3) N(y) = 1 2π y e 1 2 x2 dx (2.4) Az N(d 2 )paraméter jelöli annak a valószín ségét, hogy a lehívási árnál magasabb lesz az eszköz értéke, a δ pedig a folytonos osztalék hozamát. 11

12 2.3. Európai eladási opció: Az európai eladási opció jogot biztosít az opció tulajdonosának, hogy eladjon egy eszközt egy el re meghatározott kötési árfolyamon (E) a lejáratkori id ben (T). Ha az eszköz ára magasabb, mint a lehívási ár akkor az opció értéktelen, azaz P (S, T ) = 0 S > E. Ha az eszköz ára alacsonyabb, mint a lehívási ár, akkor a nettó prot E S. A peremérték feltételek: P + L t BSP = 0 r(t t) P (0, t) = Ee P (S, t) = 0, ha S { E S,ha S < E P (S, T ) = max(e S, 0) = 0,ha S > E Az eladási opció analitikus megoldása is ismert ( d 1, d 2 és az N, pedig a (2.2), (2.3) és (2.4) egyenleteknél már láttuk): P (S, t) = Ee r(t t) N( d 2 ) Se δ(t t) N( d 1 ) 2.4. Digitális vételi opció Vételi opció esetén, a keresked az eszköz emelkedésére számít. Már akkor is nyereséges egy ilyen bináris opciós üzlet, ha az eszköz árában csak nagyon minimális 12

13 emelkedés történik. A digitális vételi opció a Heaviside függvénnyel írható le: { C = 1,ha S > E H(S) : C = 0,ha S < E Összegezve a problémákat: C + L t BSC = 0 C(0, t) = 0 C(S, t) = Qe r(t t), S { Q,ha S > E C(S, T ) = QH(S E) = 0,ha S < E Az (2.2), és (2.4) egyenletb l d 1 és N segítségével ismert a digitális vételi opció analitikus megoldása, miszerint C(S, t) = Qe r(t t) N(d 2 ) Ha az eszköz árában semmilyen változás nem történik akkor az egyenletünk a következ lesz: C + L t BSC = 0 C(0, t) = 0 C(S, t) = Se δ(t t), S { S,ha S > E C(S, T ) = SH(S E) = 0,ha S < E 13

14 2.5. Digitális eladási opció Ebben az esetben a keresked az eszköz árának csökkenésére számít. Már akkor is nyereséges egy ilyen bináris opciós üzlet, ha az eszköz árában csak nagyon minimális csökkenés történik. A digitális eladási opció egyenlete: P + L t BSP = 0 r(t t) P (0, t) = Qe P (S, t) = 0, S { 0,ha S > E P (S, T ) = Q(1 H(S E)) = Q,ha S < E A digitális eladási opció analitikus megoldása: P (S, t) = Qe r(t t) N( d 2 ) Emellett az a lehet ség is fennáll, hogy az eszközben semmi változás nem történik. Ekkor az egyenletünk: P + L t BSP = 0 δ(t t) P (0, t) = Se P (S, t) = 0, ha S { 0,ha S > E P (S, T ) = Q(1 H(S E)) = S,ha S < E 14

15 Megoldása ekkor az opciónknak: P (S, t) = Se δ(t t) N( d 1 ) 2.6. Korlátos (limitáras) opciók A korlátos opciók is különböznek az európai vanília 1 opcióktól. Ezeket az opciókat is az egzotikus opciók közé soroljuk. Ebben a részben a limitár alatt értéktelen opciókról lesz szó. Limitár alatt értéktelen az opciónk, ha az alaptermék ára nem haladja meg az el re meghatározott B korlátot. Tehát az opció értéktelen ha S < B, és ezért a baloldali peremfeltétel változik, miszerint V (B, t) = 0 helyett V (0, t) = 0 lesz. Egyetlen megoldás, hogy a dierenciál egyenletet a S [B, S max ] területen kell megoldani. A pontos megoldása: V (S, t) = C(S, t) ( S B ) (k 1) C( B2 S, t) ahol C(S, t) jelöli a standard európai vételi opció megoldását, és k = 2r σ Összetett opciós pozíciók Bull spread (Er söd különbözeti ügylet) Vételi opció esetén, a maximális veszteség a kapott és zetett prémiumok különbsége, míg a maximális nyereség a lehívási árak különbsége lesz. Az eladási opciónál pedig a maximális nyereség a kapott és a zetett prémiumok különbsége, és a maximális veszteség pedig a különböz lehívási árfolyamok különbsége lesz. 1 Egy termék legegyszer bb változatának elnevezése 15

16 0, ha S < E 1 V (S, t) = max(s E 1, 0) max(s E 2, 0) S E 1, ha E 1 < S < E 2 S, ha S > E 2 Bear spread (Gyengül különbözeti ügylet) Vételi opció esetén a maximális nyereség a kizetett és a kapott prémiumok különbsége lesz, míg a maximális veszteség pedig a lehívási árak különbsége. Eladási opciónál pedig a maximális nyereség a lehívási árfolyamok különbsége, és a maximális veszteség pedig a kizetett és a kapott prémiumok különbsége lesz. 16

17 S, ha S < E 1 V (S, t) = max(e 1 S, 0) max(e 2 S, 0) E 2 S, ha E 1 < S < E 2 0, ha S > E 2 Buttery spread (Pillangó) Pillangó vétele esetén a befektet a volatilitás csökkenését várja vagy azt, hogy egy bizonyos intervallumon belül legyen lejáratkor az árfolyam. Ebben az esetben a nyereség a középs árfolyam és a széls árfolyamok közül a kisebbik különbsége plusz a kapott és a zetett prémiumok különbsége lesz. Pillangó eladásnál a befektet a volatilitás emelkedésére számít, illetve hogy az azonnali ár jelent sebben tér majd el lejáratkor az árfolyamtól. A nyereség a kapott és a kizetett prémiumok különbsége és a veszteség pedig a középs árfolyam és a széls árfolyamok közül a kisebbik különbsége plusz a kapott és a zetett prémiumok különbsége. V (S, t) = (max(s E 1, 0) max(s E 2, 0)) + S, ha S < E 1 S E 1, ha E 1 < S < E 2 +(max(e 2 S, 0) max(e 3 S, 0)) E 3 S, ha E 2 < S < E 3 0, ha S > E 3 17

18 3. fejezet Black-Scholes egyenlet matematikai áttekintése 3.1. Részvény derivativák árszabása és elemzése Ezekkel az eszközkészletekkel opciók és egyéb részvény derivativák árszabása, érzékenysége és prot portfóliója számítható ki. Ehhez hasonló becslések hasznosak portfóliók kezelésére Érzékenységi vizsgálatok Az opció árszabással kapcsolatban 6 alapvet vizsgálattípust említhetünk: (delta), Γ(gamma), Λ(lambda), ρ(rho), Θ(theta) és Vega a görögök. Az eszközcsomaggal lehet ségünk nyílik ezek érzékenységének és implikált volatilitásának kiszámolására. 1. : Egy származtatott értékpapír deltája nem más, mint a saját értékének a változási üteme az alap nyereség árához viszonyítva. Ez azon görbe els deriváltja, mely összekapcsolja a származék árát az alap értékpapírok árával. Ha delta nagy, a származék ára érzékeny az alap értékpapírok árának kis változásaira. = V S 2. Γ: Egy származtatott értékpapír gammája kifejezi a delta változási ütemét az alap nyereség árához képest. Azaz a második deriváltja az opció árának az ér- 18

19 tékpapír árához képest. Ha gamma kicsi, delta változása kicsi. Az érzékenységvizsgálat fontos annak az eldöntésében, hogyan szabályozzuk a hedge 1 pozícióját. Γ = 2 V S 2 3. Λ: Más néven egy opció rugalmasságaként nevezik. Egy opció árának százalékos változását reprezentálja az alap értékpapír árának 1%-os változásának függvényében. 4. ρ: Az opció árának változási üteme az alap értékpapírok kockázatmentes kamatváltozásütemének függvényében. ρ = V r 5. Θ: Egy származtatott értékpapír árának változási üteme az id függvényében. Általában nagyon kicsi vagy negatív érték, mivel egy opció értéke általában hajlamos leesni a lejárati id höz közeledve. Θ = V t 6. Vega: Az opció árváltozásának és a volatilitás változásának aránya. Az id múlásával az alaptermék ára változik, erre utal a volatilitás. Minél nagyobb egy termék változékonysága, annál nagyobb lesz a termékre kiírt opció értéke, akár vételi, akár eladási opcióról van szó. Vételi opció megvásárlása esetén a vega értéke pozitív, és annál nagyobb az értéke minél inkább közelít a lehívási árhoz. Viszont a vételi opció eladásakor a vega értéke negatív és akkor a legkisebb, ha a piaci ár közelíti a lehívási árat. Vega értéke az eladási opció megvételekor is pozitív lesz, s akkor lesz a legnagyobb az értéke, ha a lehívási ár és a piaci ár közötti különbség minimális. Vega értéke az eladási opció eladásakor is negatív lesz és értéke akkor lesz a legkisebb, ha a a piaci és lehívási ár közeli. A volatilitás számszer síthet, úgy hogy meghatározzuk az alaptermék folytonos kamatozással számított hozamának szórását. V ega = V σ Implikált volatilitás: Egy opció implikált volatilitása a variancia, amely egy vételi opció árat egyenl vé tesz a piaci árral. Ez egy alapt ke jöv beni volatilitásának piaci becslésére alkalmazzák ezenkívül ha szükséges- egy bemen volatilitást nyújt más Black-Scholes funkciókhoz. 1 hedge (Fedezeti ügylet): ennek során az árfolyam nem kívánt változásából fakadó kockázatot igyekeznek kivédeni a piaci szerepl k. Az árfolyam kockázat ellen védekez adott jöv beli id pontra, devizára, összegre szólóvételi vagy eladási opciót, jogot vásárol díj ellenében. 19

20 Analízis modellek: Részvény derivativák analízisére ez az eszközkészlet Black-Scholes modellt alkalmaz. A Black-Scholes modell hipotéziseket állít fel az alap értékpapírokkal és ezek viselkedésével kapcsolatban. Black-Scholes modell: A Black-Scholes modell használata az alábbi feltételezéseket vonja maga után: Az opció ára egy Ito-folyamatot 2 követ. Egy opció csak a lejárati idején belül használható. Rövid eladás engedélyezett. Nincsenek tranzakciós költségek. Minden értékpapír osztható és nem kell zetni utána jutalékot. Nincs kockázatmentes arbitrázs 3. A kereskedés egy folytatólagos folyamat. A kockázatmentes kamatláb állandó és ugyanannyi marad az összes lejáratig Megjegyzés. Ha a felsoroltak közül akár egy is nem teljesül, akkor ez a modell nem használható. 2 Ito-folyamat: általánosított Wiener-folyamat. Az Ito-folyamat a következ képlettel adható meg: dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz, ahol a és b paraméterek az alapul szolgáló x változó és az id függvényei. Általánosított Wiener-folyamat a következ módon írhatjuk fel dz függvényében egy x változóra: dx = adt + bdz 3 kockázatmentes nyereséget biztosító egyszeri ügylet vagy ügyletek egy sorozata 20

21 3.2. A Black-Scholes egyenlet visszavezetése a H vezetési egyenletre 4 Tegyük fel, hogy adott egy vékony, henger alakú rúd, és jelölje u(x, t) a rúd x koordinátájú pontjának h mérsékletét a t id pillanatban. Az egydimenziós H vezetési 5 egyenlet: u(x, t) t 2 u(x, t) x 2 = 0 < x <, t > Deníció. A H vezetési egyenlet alapmegoldása: { 1 H(x, t) = 4πt e x2 4t,ha x R, t 0 0,ha x R, t < 0 H(x, t) ismeretével meghatározható egy adott kezdeti feltételekb l kiinduló megoldás Tétel. A h vezetési egyenlet kezdetiérték-probléma megoldása u(x, t) = = 1 4πt H(x s, t)u(s, 0)ds e x s 2 4t u(s, 0)ds (3.1) A Black-Scholes parciális dierenciálegyenlet és peremérték-probléma L(V ) = V t σ2 S 2 2 V V + rs rv = 0 0 S, 0 t T S2 S V (S, T ) = f(s), 0 S V (0, t) = 0 0 t T Ha V az értéke a vételi opciónak, akkor a peremérték f(s) = max(s E, 0), ahol E jelöli a vételi opció kötési árfolyamának árát. Legyen S = e x, t = T 2τ σ 2 4 Ebben az alfejezetben az [5] és [6] irodalmat követtem. 5 Besenyei Ádám - Komornik Vilmos - Simon László: Parciális dierenciálegyenletek cím könyve alapján 21

22 Ebb l x és τ kifejezve: Ezek után a V (S, t) a következ lesz: τ = 1 2 σ2 (T t) x = ln(s) ) V (S, t) = v(x, τ) = v (ln(s), σ2 2 (T t) A V -nek az S és t szerinti els deriváltjai kifejezhet a v x és τ szerinti deriváltjaival. V t = v σ2 2 τ, mivel τ t = σ2 2 V S = 1 v S x, mivel x S = 1 S Szükségünk van még az S szerinti második deriváltra is: 2 V S = ( V ) = 2 S S = 1 S 2 v x + 1 S = 1 S 2 v x + 1 S ( 1 v ) S S x ( v ) S x = 1 S 2 v x + 1 S 2 2 v x 2 x ( v x ) x S Behelyettesítve ezeket a kifejezéseket a Black-Scholes egyenletbe a következ egyenletet kapjuk: v τ ( σ 2 ) + 1 ( 2 σ2 S v S 2 x v ) ( 1 + rs S 2 x 2 S v ) rv = 0 (3.2) x Majd v τ -ra rendezve, az els deriváltban S-sel, míg a második deriváltban S2 -tel és végül az egészet σ2 -vel egyszer sítve a következ egyszer sített alakot kapjuk: 2 v τ = 2 v x + (2r 2 σ 1) v 2 x 2r σ v 2 Legyen κ = 2r és t = τ (a volatilitás és a kockázatmentes kamatláb arányát méri a σ 2 κ), ekkor az egyenletünk a következ képpen fog változni v t = 2 v + (κ 1) v κv, (3.3) x2 x 22

23 ahol, < x <, 0 t σ2 2 T v(x, 0) = V (e x, T ) = f(e x ), < x < A következ átparaméterezéssel tovább tudjuk majd egyszer síteni az egyenletünket: v(x, t) = e αx+βt u(x, t) = φu ahol α-t és β-t olyan konstansok, melyeket kés bb határozunk meg. Ezek után írjuk fel a v-nek x és t szerinti deriváltját: v = βφu + φ u t t v = αφu + φ u x x 2 v x = 2 α2 φu + 2αφ u x + u φ 2 x 2 Rakjuk ezeket a kifejezéseket a (3.2)-es egyenletbe, βφu + φ u t = α2 φu + 2αφ u x + u ( φ 2 x + (κ 1) αφu + φ u ) κφu 2 x majd φ-vel leosztva βu + u t = α2 u + 2α u x + 2 u ( x + (κ 1) αu + u ) κu 2 x u -re rendezve. t Majd α-t és β-t úgy választjuk meg, hogy az u együtthatója 0 legyen. Azaz α = 1 2 (k 1) = σ2 2r 2σ 2 β = 1 ( σ 2 4 (k + + 2r ) 2 1)2 = 2σ 2 α-t β-t behelyettesítve és u -re rendezve meg is kaptuk a h vezetési egyenletet: t u t = 2 u x, σ2 < x <, 0 t 2 2 T (3.4) u(x, 0) = e αx v(x, 0) = e αx f(e x ), < x < (3.5) Már majdnem kész vagyunk, még a kezdeti feltételeket is át kell transzformálnunk. Ha az opció vételi opció, E kötési árfolyammal, akkor f(x) = max(x E, 0) és u(x, 0) = e αx max(e x E, 0) = e k 1 ( 2 )x ( (k+1)2 4 )0 v(x, 0) = e ( k 1 2 )x max(e x 1, 0) = max(e ( k+1 2 )x e ( k 1 2 )x, 0) 23

24 Ha az x változó szigorúan pozitív, akkor ez az u(x, 0) függvény is szigorúan pozitív lesz. A (3.1)-es egyenlethez vezessünk be egy új változót: y = (s x)/ 2τ Akkor most helyettesítsük is be ezeket az új változót u(x, τ) = 1 2 τπ = 1 2π = 1 2π = 1 2π x/ 2τ = 1 2π = I 1 I 2 x/ 2τ u(s, 0)e (s x)2 /4τ dy u(y 2τ + x, 0)e 1 2 y2 dy max{e 1 2 (k+1)(x+y 2τ) e 1 2 (k 1)(x+y 2τ), 0}e 1 2 y2 dy ( ) e 1 2 (k+1)(x+y 2τ) e 1 2 (k 1)(x+y 2τ) e 1 2 y2 dy e 1 2 (k+1)(x+y 2τ) e 1 2 y2 dy 1 2π x/ 2τ e 1 2 (k 1)(x+y 2τ) e 1 2 y2 dy El ször értékeljük ki I 1 -et: ahol I 1 = 1 2π = e 1 2 (k+1)x 2π x/ 2τ x/ 2τ = e 1 2 (k+1)x+ 1 4 (k+1)2 τ 2π e 1 2 (k+1)(x+y 2τ) 1 2 y2 dy e 1 4 (k+1)2τ e 1 2 (y 1 2 (k+1) 2τ) 2 dy = e 1 2 (k+1)x+ 1 4 (k+1)2τ Φ(d 1 ), d 1 = x/ 2τ 1 2 (k+1) 2τ x 2τ (k + 1) 2τ, e 1 2 z2 dz és Φ pedig a a normális eloszlás eloszlásfüggvénye, azaz Φ(d) = 1 2π d e y2 1 2 dy = e y2 2 dy 2π d 24

25 Az I 2 ugyanúgy levezethet, mint az I 1, annyi különbséggel, hogy az (k + 1) helyére mindig (k 1)-et írunk. Ezek alapján az I 2 a következ lesz: I 2 = e 1 2 (k 1)x+ 1 4 (k 1)2τ Φ(d 2 ) ahol d 2 = x 2τ (k 1) 2τ Ezek utána transzformált h vezetési egyenlet megoldása a kezdetiérték-problémára: u(x, τ) = I 1 I 2 = e 1 2 (k+1)x+ 1 4 (k+1)2τ Φ(d 1 ) e 1 2 (k 1)x+ 1 4 (k 1)2τ Φ(d 2 ) Azaz v(x, t) a következ képpen írható fel: v(x, t) = e 1 2 (k 1)x 1 4 (k+1)2τ u(x, τ) ( ) = e 1 2 (k 1)x 1 4 (k+1)2 τ e 1 2 (k+1)x+ 1 4 (k+1)2τ Φ(d 1 ) e 1 2 (k 1)x+ 1 4 (k 1)2τ Φ(d 2 ) Végül utolsó lépésként helyettesítsünk be (3.2)-be és V (S, t)-be: x = ln(s), τ = 1 2 σ2 (T t), V (S, t) = v(x, t) És ezzel végs megoldásként meg is kaptuk a Black-Scholes formulát. 25

26 4. fejezet Véges dierenciák módszere 4.1. Egylépéses módszerek Ebben az alfejezetben a [3] irodalom 9. fejezetének 9.3-as bekezdése alapján lépésr l lépésre levezetjük az Egylépéses módszereket. Csak nagyon speciális f függvény esetén adható meg képlet segítségével a közönséges dierenciálegyenletek kezdetiérték-feladatainak megoldásai, éppen ezért numerikus megoldst állítunk el, miszerint az ismeretlen megoldás függvény értékeit véges számú lépéssel közelítve határozzuk meg az értelmezési tartomány egyes pontjaiban. Most olyan típusú eljárásokat nézünk, ahol valamely rögzített id pontbeli közelítést egy azt megel z id pontbeli közelítés felhasználásával határozunk meg. Az ilyen módszereket nevezzük egylépéses módszereknek. Továbbiakban a célunk a du = f(t, u), dt t [0, T ] (4.1) u(0) = u 0 (4.2) feladat egylépéses módszerrel történ közelít megoldása, ahol a T > 0 olyan szám amely mellett a (4.1) és a (4.2) feladatnak létezik egyértelm megoldása a [0, T ] intervallumon. 26

27 Az explicit Euler-módszer El ször bevezetjük a θ-módszert, mert majd szeretnénk felhasználni az explicit Euler-módszer levezetésénél Tétel. Tetsz leges θ R esetén az α = (1 θ)u (t i ) + θu (t i+1 ) (4.3) megválasztású α függvény esetén az α u (t i ) = O(h i ) (4.4) becslés érvényes. Kell egy olyan P 1 (t) polinom, amely átmegy a (t i, u(t i )) ponton, és irányát az u(t) függvény t i és t i+1 pontbeli érint inek iránya határozza meg. Ezért legyen P 1 (t) := u(t i ) + α(t t i ) t [t i, t i+1 ] alakú, ahol α = α(u (t i ), u (t i+1 )) egy adott függvény. Ez a P 1 (t) polinom az y i+1 = y i + αh i (4.5) egylépéses numerikus módszert határozza meg, ahol a (4.1) és a (4.3) összefüggések alapján α = (1 θ)f(t i, y i ) + θf(t i+1, y i+1 ). (4.6) Deníció. A (4.5)-(4.6) numerikus módszert θ-módszernek nevezzük. Ezek után, hogy végeztünk a θ-módszer áttekintésével, áttérhetünk az explicit Eulermódszer tárgyalására. Nézzük a θ-módszert a θ=0 megválasztással. Ebben az estben a a következ numerikus módszert generálja a (4.5) és a (4.6): y i+1 = y i + h i f(t i, y i ), i = 0, 1,..., N 1 (4.7) Az ismeretlen u(t) függvény t i pontbeli közelítése y i lesz, y 0 = u(0) = u 0 (4.8) azaz (4.7) iterációban az i=0 értékhez tartozó y 0 értéke adott. 27

28 Deníció. Explicit Euler-módszernek nevezzük a (4.7) és a (4.8) képlettel deniált egylépéses közelít módszert Megjegyzés. Egy egyszer függvény behelyettesítéssel kiszámolható a t i+1 pontbeli közelítés, a t i pontbeli érték ismeretében. Ezért nevezzük a (4.7) (4.8) módszert explicitnek Az implicit Euler-módszer Most nézzük a θ-módszert a θ=1 megválasztással. Ebben az estben a a következ numerikus módszert generálja a (4.5) és a (4.6): y i+1 = y i + h i f(t i+1, y i+1 ), i = 0, 1,..., N 1 (4.9) y 0 = u 0 (4.10) Deníció. Implicit Euler-módszernek nevezzük a (4.9) (4.10) képletekkel de- niált egylépéses numerikus módszert Megjegyzés. Az id ben való el rehaladáshoz y i ismeretében y i+1 értékét minden egyes id lépésben egy egyenlet meghatározásával tudjuk csak meghatározni, ezért nevezzük, a (4.9) implicit Euler-módszert implicitnek A Crank Nicolson-módszer Most nézzük a θ-módszert a θ=0.5 megválasztással. Ebben az estben a a következ numerikus módszert generálja a (4.5) és a (4.6): ahol y 0 = u 0. y i+1 y i = h i 2 [f(t i, y i ) + f(t i+1, y i+1 )], i = 0, 1,..., N 1 (4.11) Deníció. Crank Nicolson-módszernek nevezzük a (4.11) képlettel deniált egylépéses módszert. Rögzített rácshálón a numerikus megoldás explicit Euler-módszer és implicit Eulermódszer esetén nagyjából hasonló pontosságot ad, míg a Crank Nicolson-módszer pontosabb az el z két módszernél. Meggyelhetjük a nomodó rácshálókon, hogy a Crnak Nicolson-módszer hibafüggvénye O(h 2 ), az implicit és explicit Euler-módszer hibafüggvénye viszont csak O(h) rendben tart nullához. 28

29 H vezetési egyenlet véges dierenciákkal való közelítése Mint azt már láthattuk az el z fejezet végén a Black-Scholes egyenlet visszavezethet a H vezetési egyenletre. Ezek után elegend a H vezetési egyenletnek a véges dierenciákkal való közelítését bemutatnunk. Az egydimenziós H vezetési egyenlet: u(x, t) t 2 u(x, t) x 2 = f(x, t), ahol (x, t) (0, l) (0, t ] (4.12) A hozzá tartozó kezdeti feltétel: u(x, 0) = µ 0 (x), x (0, l) És peremfeltétel: u(0, t) = µ 1 (t), u(l, t) = µ 2 (t), t (0, t ] ahol f, µ 0, µ 1, µ 2 adott függvények. Jelölje Ω t = (0, l) (0, t ) azon pontok halmazát amelyen a (4.12) egyenletet felírjuk, Γ t = Ω t \ Ω t pedig ennek parabolikus peremét, végül µ egy olyan függvényt mely a Γ halmazon értelmezett és egyes szakaszain megegyezik µ 0, µ 1, µ 2 függvényekkel. Ezek után tegyük fel, hogy f C(Ω t ) és µ C(Γ t ). Most vezessünk be egy L : C 2,1 (Ω t ) C(Ω t ) C(Γ t ) lineáris operátort és egy f : Ω t R függvényt. Lu(x, t) = { ( u 2 u)(x, t) t x 2 u(x, t), ha (x, t) Ω t, ha (x, t) Γ t { f(x, t), ha (x, t) Ωt f(x, t) = µ(x, t), ha (x, t) Γ t 29

30 A következ egyenlet megoldásával megkapjuk a (4.12) megoldását is, ahol az u C 2,1 (Ω t ) az ismeretlen. Lu = f (4.13) Numerikus eljárásunk lényegét most összefoglaljuk három pontban. 1. Megadjuk az Ω t halmazon a rácshálókat a következ képpen ω h,τ = {(x i, t n ), x i = ih t n = nτ, i = 1, 2,... N x 1, n = 1, 2,... N t } ω h,τ = {(x i, t n ), x i = ih t n = nτ, i = 0, 1, 2,... N x, n = 0, 1, 2,... N t } N x és N t az x és t irányú osztásrészek számát jelöli, h = l N x és τ = t N t pedig a lépésközöket míg a Γ h,τ = ω h,τ \ ω h,τ rácsháló Γ t parabolikus peremre es pontjait. 2. Legyen F(ω h,τ ) és F(ω h,τ ) vektorterek, amelyeket az ω h,τ és az ω h,τ rácsokon értelmezett R-be képez függvények alkotják. 3. Célunk egy y h,τ F(ω h,τ ) rácsfüggvény meghatározása ω h,τ pontjaiban, h, τ 0 esetén, ahol y az u egy közelítése. Tehát adjunk meg egy L h,τ b h,τ F(ω h,τ ) elemet. Ekkor a : F(ω h,τ ) F(ω h,τ ) lineáris operátort és egy L h,τ y h,τ = b h,τ (4.14) operátoregyenletnek y h,τ egy megoldása lesz, amely az el bb felsorolt 3 tulajdonsággal rendelkezni fog. Az L h,τ operátor el áll a következ képpen L h,τ = 1 2 (L 1 h,τ + L 2h,τ ) Lemma. (L 1h,τ operátor megválasztásához) Legyen y C 4,2 (Ω t ). y t (x i, t n ) = y(x i, t n+1 ) y(x i, t n ) + O(τ) τ 2 y x (x i, t 2 n ) = y(x i+1, t n ) 2y(x i, t n ) + y(x i 1, t n ) + O(τ + h 2 ). h Lemma. (L 2h,τ operátor megválasztásához) Legyen y C 4,2 (Ω t ). y t (x i, t n ) = y(x i, t n+1 ) y(x i, t n ) + O(τ) τ 2 y x (x i, t 2 n ) = y(x i+1, t n+1 ) 2y(x i, t n+1 ) + y(x i 1, t n+1 ) + O(τ + h 2 ). h 2 30

31 Célunk (Ly)(x i, t n ) érték közelítése O(τ +h) pontossággal y függvény ω h,τ rácspontbeli értékeivel. Ezek után vezessünk be egy új jelölést, miszerint y h,τ F(ω h,τ ) adott rácsfüggvény esetén y h (x i, t n ) = y i,n, f(x i, t n ) =: f i,n és µ(x i, t n ) = µ i,n. Ezek után a következ képpen deniálható az L h,τ : F(ω h,τ ) F(ω h,τ ) rácsoperátor, és a b h,τ : F(ω h,τ ) rácsfüggvény: (L h,τ y h,τ )(x i, t n ) = ( y i,n+1 y i,n 1 yi+1,n 2y i,n +y i 1,n + τ 2 h ) 2 y i+1,n+1 2y i,n+1 +y i 1,n+1 h 2 y i,n, ha (x i, t n ) ω h,τ, ha (x i, t n ) γ h,τ b h,τ (x i, t n ) = { fi,n, ha (x i, t n ) ω h,τ µ i,n, ha (x i, t n ) γ h,τ A (4.14) egyenletünk ezek alapján azt jelenti, hogy olyan y h,τ F(ω h,τ ) rácsfüggvényt keresünk, amelyet az el bb deniált L h,τ operátor a b h,τ rácsfüggvénybe képez le. 31

32 Irodalomjegyzék [1] Bodie-Kane-Marcus, Befektetések, Aula Kiadó, 2006 [2] John C. Hull, Opciók, határid s ügyletek és egyéb származtatott termékek, Panem Kft., 1999 [3] Faragó István-Horváth Róbert, Numerikus módszerek, Typotex, 2011 [4] Hudák Renáta, Kockázatkezelés-Opciós ügyletek,2009 [5] [6] rchan/teaching/math4210/chap08.pdf [7] 32