1. előadás. Adatok, számrendszerek, kódolás. Dr. Kallós Gábor

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. előadás. Adatok, számrendszerek, kódolás. Dr. Kallós Gábor"

Átírás

1 1. előadás Adatok, számrendszerek, kódolás Dr. Kallós Gábor

2 Tartalom Adat, információ, kód Az információ áramlásának klasszikus modellje Számrendszerek Út a 10-es számrendszerig 10-es és 2-es számrendszer Műveletek Átváltások számrendszerek között Átírás 10-es számrendszerbe és -ből Műveletek logikai adatokkal Kódolás Logikai adatok kódolása Karakterek és szövegek kódolása Egész számok kódolása Nemnegatív számok kódolása és előjeles kódolás Valós számok kódolása Összetett objektumok kódolása 2

3 Adat, információ Az információ áramlásának klasszikus modellje nformáció: ismeret, amely (számunkra) egy dologgal kapcsolatban csökkenti a bizonytalanságot, hozzájárul a dolog jobb megismeréséhez (Pontos definíció: Shannon, külön érdeklődőknek: mérnök hallgatók ea. anyaga (C100)) Adat: valamilyen jelsorozat formájában megjelenő ismeret, azaz kódolt és rögzített információ. Az adatot készítőt (rögzítőt) adónak nevezzük. Az adat a felhasználó (vevő/fogadó) rendszer számára értelmezhető és felhasználható. Ugyanazt az adatot más-más rendszer másképp is értelmezheti Példa: Ha egy bitsorozat egy gépi kódú program része, akkor a processzor számára írhatja elő az elvégzendő műveletet, de ha a nyomtató felé továbbítjuk, akkor egy írásjel jelenhet meg a nyomtatón Jel, jelrendszer: eszköztár (apparátus), amelynek segítségével adatként rögzítjük az információt (a velünk azonos ismeretanyaggal rendelkező felhasználó számára egyértelműen, ő is ugyanezt fogja érteni alatta) Példa: Az összeszokni írásjelsorozattal kódolhatjuk azt a folyamatot, amikor egymás tulajdonságait egyre jobban megismerjük és kölcsönösen elfogadjuk. Ez az elemi jelsorozat így azonosítja az előbbi fogalmat. De: ha a felhasználó nem tud magyarul, akkor ez az adat számára felhasználhatatlan lesz. 3

4 Adat, információ Kódolás: az adat átalakítása; olyan művelet, amellyel az adott információ elemeihez kódjeleket, szimbólumokat rendelünk. A kódolásnak egyrészt egyértelműnek kell lenni (dekódolhatóság), másrészt hatékonynak (a lehetőleg legrövidebb legyen). A hatékonyság ellen szól az egyszerű kezelhetőség kívánalma, ami többnyire a szabványos méretű kódhosszak alkalmazását jelenti. Ezen túl még azt is előírhatják, hogy hibatűrő, sőt hibajavító legyen. Erre pl. akkor van szükség, ha az adatot csatornán továbbítjuk, és annak az esélye, hogy az adó oldalról küldött kódsorozat nem pontosan érkezik meg a vevő oldalára, nem elhanyagolható Már az információ rögzítése is kódolás! (Sőt, a gondolatok rögzítése is) 4

5 Adat, információ Zaj: olyan hatás, amely a csatornán érheti a kódolt jelsorozatot és ennek eredményeképp a jelsorozat torzul Példa: Ha Morse berendezés használatakor a fenti küldeményünkben a 6. írásjel kódja után ritmushiba miatt belépne egy kihagyás (üres hely), akkor a furcsa összes zokni küldemény érkezne a vevő oldalára Csatorna: az a közeg, amelyen keresztül az adat az adótól a vevőig eljut. Mivel egy csatorna csak a saját jelkészletének jeleit tudja továbbítani, az adatot át kell alakítani erre a formára (kódolás), majd a vevő oldalán dekódolni (visszakódolni) kell. Példa: Ha az előbbi szavunkat a Morse-ábécé segítségével átkódoljuk, akkor egy távíró segítségével elektromos jelek formájában továbbíthatjuk Digitális jel (digit számjegy): a numerikus információ meghatározott pontosságú leírására használják, és valamilyen számrendszerben számjegyek segítségével adják meg Ha például a valós számokat maximum 16 darab 10-es számrendszerbeli számjeggyel jellemezzük (kódolási pontosság), akkor az irracionális számokat, mint pl. a π értékét, vagy az olyan racionális számokat, mint az 1/9, nem lehet pontosan megadni. Az 1/9 értéket a 9-es számrendszerben viszont pontosan megadhatjuk (lásd számrendszerek). 5

6 Számrendszerek A számolás kezdetei A számolással kapcsolatos őskori leletek alapján a történészek a kezdeteket a beszéd kialakulásának idejére teszik (kőkorszak; Kr. e Kr. e ) Nem mai módszerek, nincsenek hatékony számolást segítő eszközök, sőt ősünk nem tudott még esetleg írni sem Csak az ujjait vagy a környezetében fellelhető apró tárgyakat használhatta a számolásra Digitus latinul ujj, innét származik az angol digit (számjegy) szó is Tárgyak: kövek, (később) pálcákba vésett rovások, zsinegre kötött csomók (ma is megfigyelhetőősi kultúráknál) Az írásos formák kialakulása: nem csak a szövegeket kellett leírni (kódolni), hanem a mennyiségi információkat is, hiszen a távolság, terület nagyság, és az idő múlását jelző értékek egyértelmű közlésére szükség volt a mindennapok során Kezdetben a számokat nem önállóan, hanem a fenti módon, valaminek a mennyiségét, nagyságát kifejezve használták Az absztrakt számfogalom (azaz a számok önálló élete) csak a fejlődés későbbi szakaszában alakult ki. Régészeti leletek alapján ez az időszak a Kr. e környékére tehető. Erre csak közvetett bizonyítékok ismertek, és ezek magyarázatára is többféle elmélet létezik (a történészek körében vita zajlik erről) Kezdetben a mennyiségek megadására vsz. a mai egy, kettő, sok; később a kevés, majd a semmi (=0) szavainknak megfelelő szavak szolgáltak, és hosszú (akár: több évezredes) fejlődés következményeként alakultak ki a ma ismert kisebb számnevek Így jöttek létre a kisebb természetes számok önálló jelei, majd a különböző alapú számrendszerek 6

7 Számrendszerek Út a 10-es számrendszerig Ókori Mezopotámia: 60-as (vegyes) számrendszer, fejlett számolás Örököltük: időmérés, óra, perc felosztás Ókori Róma: nincs tiszta helyiértékes számrendszer, csak néhány értéket jelöltek önálló jellel 1:, 5: V, 10: X, 50: L, 100: C, 500: D, 1000: M Ezek additív (összeadás, ill. kivonás) egybeírásával képezték a különböző számértékek kódjait (részletesen lásd: jegyzet) Miért nem helyiértékes rendszer: gaz ugyan, hogy a nagyobb számot jelentő jelek a felíráskor megelőzik a kisebb értékűeket, de nem függ a képviselt érték attól, hogy a sorban hányadik helyen áll a jel. Pl: a C akkor is száz, ha egyedül áll, és akkor is, ha vannak még utána más jelek is A 10-es alapú számrendszer az ókori ndiából származik, az arab tudósok közvetítették A 0 is szám, ill. számjegy! Minden valós szám felírható legalább egy alakban a 10-es számrendszerben! Európában csak az 1200-as évektől kezdett elterjedni Fibonacci (Leonardo Pisano, kb kb. 1250): Utazásai során szerzett matematikai ismereteit összefoglalta, Liber Abaci című könyvében (Könyv a számtanról/abakuszról), ebben bemutatta a hindu-arab számrendszert (arab számjegyeket és a helyiérték fogalmát) Előny: az alapműveletek könnyen elvégezhetők, sőt automatizálhatók De: a 10-es szr. ennek ellenére sokáig nem volt igazán népszerű, idegenkedtek tőle pl. a hamisítás lehetősége miatt (egy nulla könnyen a szám végére írható, a 0 átírható 9-re, 6-ra) 7

8 Számrendszerek 10-es számrendszer Ha a 2014,6 értéket a szokásos módon leírjuk, akkor jól tudjuk, hogy ez a számjegyek által képviselt értékek összeadásával jön létre: /10 Mindegyik számjegy a 10-es alapszám megfelelő hatványával szorzott értéket képviseli, azaz a számjegy pozíciója megadja az aktuális helyi értéket Bármelyik pozíción csak a 0, 1,, 9 számjegyeket használhatjuk, azaz a 10- es alapszámnál kisebb egyjegyű számokat adhatunk meg Pontosan 10 különböző számjegy használható Általánosan, ha az egészrész és a törtrész számjegyeinek száma n és m: ahol a jegyek 0-tól 9-ig választhatók. Helyiértékesen leírva: Műveletek, előjel tudjuk 8

9 Számrendszerek Más számrendszerek A alapú számrendszer Az A pozitív egész szám (A > 1) megfelelő hatványaival szorzott értékek összeadásával Hasonló módon helyiértékes rendszer A 0, 1,, A 1 jegyeket használhatjuk (A db különböző jegy) 10-nél nagyobb alapokra: betűk, mint számjegyek (tudjuk: 16-os számrendszer, a további jegyek A, B, C, D, E és F) Előjel (tudjuk) 2-es számrendszer Első precíz matematikai leírás: Gottfried W. Leibniz ( Explication de l Arithmétique Binaire című könyv) tt is teljesül: Minden valós szám felírható legalább egy alakban a 2-es számrendszerben Általánosan, ha az egészrész és a törtrész számjegyeinek száma n és m: Műveletek ahol a 0 és az 1 jegyeket használhatjuk (2 db számjegy) A kettes számrendszer számjegyeit (0 és 1) az angol nevük (binary digit) rövidítéséből bitnek is nevezzük Vigyázni kell! (pl. kettes szr-ben = 10, lásd még gyakorlat) 9

10 Átváltások számrendszerek között Ha ez nem egyértelmű, akkor egyértelműen jelezni kell, hogy egy számot hányas számrendszerben írunk fel Pl: , hiszen = A számok átírását (egyik számrendszerből a másikba) leggyakrabban a tízes számrendszer közvetítésével végezzük el Megadható általános átváltó algoritmus (program) Átírás tízes számrendszerbe Egyszerűen felírjuk az összeget (kifejtve), amelynek rövidítéséből a szám jelsorozatát kaptuk, és elvégezzük a megfelelő műveleteket Azokat a számjegyeket, amelyek a tízes rendszerben nincsenek meg, helyettesíteni kell az értékük tízes rendszerbeli alakjával (ha A > 10) További példák, feladatok: jegyzet és gyakorlat A tanult programrendszerekben is léteznek eszközök ilyen átírásokra (pl: Excel, Bin.dec fv. de az alkalmazás részleteit tisztázni kell, értelmezési tartomány, értékkészlet, paraméterek!) 10

11 Átváltások számrendszerek között Átírás tízes számrendszerből Meg kell keresni A azon hatványainak összegét, amely (tízes számrendszerben) b-vel (az átírandó számmal) egyenlő, azaz Ehhez kell: n, m és az a i értékek (minden a i < A) Külön határozzuk meg az egészrészt és a törtrészt Egészrész tt olyan A i -s tagok szerepelnek, ahol i 0 (Direkt módszer: Leválasztjuk kivonogatással a lehető legnagyobb A i -s tagot, és így haladunk tovább) Észrevesszük, hogy az utolsó tag kivételével minden más tag osztható A-val. Az összeget maradékos osztással A-val elosztva éppen a 0 -t kapunk maradékul, a hányados pedig lesz. Ezt A-val újra (maradékosan) elosztva a 1 -et kapunk maradékul. Ezeket a lépéseket az újabb és újabb hányadosra elvégezve rendre megkapjuk a többi pozitív indexű a i -t. Az osztásokat akkor fejezzük be, ha a hányados nullává válik. 11

12 Átváltások számrendszerek között Átírás tízes számrendszerből (folyt.) Törtrész* tt olyan A i -s tagok szerepelnek, ahol i < 0 (Direkt módszer: Leválasztjuk kivonogatással a lehető legnagyobb A i -s tagot, és így haladunk tovább) Észrevesszük, hogy ha ezt az összeget A-val szorozzuk, akkor a kapott összeg egy olyan A- alapú számot határoz meg, amelynek egész része éppen a 1, a törtrésze pedig ugyancsak egy törtszám (összeg), csak a számjegyeinek száma az A-alapú alakban eggyel kevesebb, mint az előző törtrészé volt. Ezt a törtszámot A-val szorozva az egészrész a 2, a törtrész egy újabb törtszám, amelynek A-alapú alakjában a 3 -tól a m -ig szerepelnek a számjegyek. A szorzásokat addig folytatjuk, amíg a törtrész nullává nem válik. Előfordulhat, hogy a törtrész sohasem válik nullává (ha a b szám A-alapú alakja végtelen sok számjeggyel leírható törtrészből áll). Ekkor a szorzást addig kell folytatni, amíg elérjük a szükséges pontosságot, ill. elő nem kerül egy olyan törtrész, amelyik már a szorzások eredményeként megjelent. Ettől kezdve ugyanis periodikusan ismétlődni fog minden, a két egyforma törtrész közti szorzat. A periodicitás biztosan bekövetkezik, hiszen az A-alapú alak véges (a szám racionális) 12

13 Átváltások számrendszerek között Átírások tízes számrendszerből: az 1848 számra, 2-es, 8-as és 16-os számrendszerbe Eredmények: , és

14 Átváltások számrendszerek között Átírások tízes számrendszerből:* a 0,4 számra, 2-es, 8-as és 16-os számrendszerbe Eredmények: Megj.:* Jegyek elhagyásakor a pontosság sérül (visszaváltáskor nem kapjuk már meg az eredeti értéket) Pl. bináris felíráskor az abszolút hiba nagyságrendje az utolsó még feljegyzett bit nagyságrendje 14

15 Átváltások számrendszerek között Direkt átváltások számrendszerek között (2-es és 16-os) 15

16 Logikai műveletek 19. század közepétől: műveletek végezhetők nemcsak számokkal, hanem más objektumokon is, kialakult az absztrakt algebra. Számítástechnikai szempontból ennek a tudományágnak legfontosabb területe a Boole-algebra, amit George Boole munkássága alapozott meg. A Boole-algebra egy olyan struktúra, amely egy kételemű halmazból és a rajta elvégezhető műveletekből épül fel. A halmaz egyik elemét (gaz), másik elemét H(amis) értéknek tekintjük. Ezeken az értékeken maximum 4 egyoperandusú és 16 kétoperandusú művelet definiálható. Logikai állítás: igazságtartalma egyértelműen eldönthető (igaz vagy hamis) Egyváltozós műveletek Negáció (tagadás): NOT() = H, NOT(H) = gazságtáblázat 16

17 Logikai műveletek Kétváltozós logikai műveletek És művelet (AND), Vagy művelet (OR), Kizáró vagy művelet (XOR) mplikáció és ekvivalencia* gazságtáblázat A B A AND B A OR B A XOR B A B A B H H H H H H H H H H H H H Az És és a Vagy művelet asszociatív és kommutatív (A B) C = A (B C) = A B C és (A B) C = A (B C) = A B C A B = B A és A B = B A Az És művelet disztributív a Vagy műveletre, illetve a Vagy az És -re (A B) C = (A C) (B C), illetve (A B) C = (A C) (B C) *Az implikáció és az ekvivalencia kiváltható a többi művelettel A B = NOT(A) OR B A B = (A AND B) OR (NOT A AND NOT B) 17

18 Kódolás Miért kell nekünk ezzel foglalkozni? (Nem leszek programozó!) Vá.: Táblázatkezeléshez szükséges (többek között; bizonyos adattárolási kérdéseket ismerni kell átlagos felhasználónak is)! Lásd később: számolási pontosság, Solverrel megoldható feladatok Mi a jelen eszközeinek használatához nélkülözhetetlen kódolásokat nézzük meg. Alap: a kettes számrendszer, mivel eszközeink elektronikus eszközök. A két különböző bit elektronikus eszközökkel könnyen megjeleníthető például úgy, hogy az 1-nek egy magas, míg a 0-nak egy alacsony feszültségszintet feleltetünk meg Megkülönböztethetünk fix és változó hosszúságú kódokból álló kódrendszert. A számítástechnikában mindkét rendszert használják. A Boole-algebra objektumainak kódolása (logikai adatok) A legegyszerűbb kódolás, hiszen csak két elemnek kell kódot választani (, H) De meggondolandó: Hány jelből álljon a kód (bitekből építjük ugyan fel, de a tárolás általában bájtszervezésű) Egyetlen jelből álló (1 bites) kód: az objektumot 1-gyel, a H objektumot 0-val kódolhatjuk 8 bites kód: az kódja a jelsorozat, a H-é a jelsorozat lehet Mindkét esetben van(nak) más lehetőség(ek) is 18

19 Karakterek és szöveg kódolása Betűk és egyéb jelek (valamint tetszőleges szöveg) kódolása Fix hosszúságú kódolást használunk, a kód hossza általában 8 vagy 16 bináris jel Ritkábban előfordul a 24-es és 32-es kódhossz is Mivel 0 és 1 jelekből 8 hosszúságú kódot 256-féleképpen lehet előállítani, ezért ezzel a kódrendszerrel összesen 256 különböző jel kódolható Gondoljuk át, hogy n bit felhasználásával hány különböző jel kódolható! A jeleket, illetve kódjaikat szabványok határozzák meg A legelterjedtebb szabványok egyike az ASC (American Standard Code for nformation nterchange = amerikai szabványkód információcseréhez) Az első 128 kód sztenderd, azaz állandósult jeleket tartalmaz, a második 128 kód az úgynevezett kiterjesztett jelek kódjai (többféle lehetőség) tt valósítható meg a nemzeti karakterkészletek kódolása Pl. SO (Latin-1) és (Latin-2) De: az ASC kód lehetőségei nem bizonyultak elégnek egyes népek speciális írásjeleinek a kódolására Másik gyakori kódolási szisztéma: Unicode rendszer, gyakran 3, 4 (esetleg több) bájton Ebbe már pl. a kínai és koreai képírás is belefér Szöveg kódolása: karakterenként + hossz információ (változó hosszú kód) 19

20 Karakterek és szöveg kódolása Az ASC kódtáblázat első (fix) fele A rendszerben összefüggő tömböt alkotnak az angol ábécé nagybetűi és kisbetűi, valamint a számjegyek (második fele: lásd jegyzet) 20

21 Számok kódolása Nyilvánvalóan lehetséges jelenkénti/jegyenkénti szöveges (pl. ASC) kódolással, de ez nem célszerű A műveletvégzést ez a módszer nem támogatja A számokra ezért saját szabványok érvényesek Több lehetőség, néhányat tekintünk át (további lehetőségek: jegyzet) Nemnegatív egész számok kódolása Ezeket a számokat számítástechnikában előjeltelen (angolul unsigned) számoknak is szokás nevezni. Kódolásukra 8, 16, 32, 64 bites kódok a legelterjedtebbek. Technikailag: Írjuk fel a kódolandó számot kettes számrendszerben, és (ha szükséges) írjunk eléje annyi nullát, hogy a kód hossza megfelelő legyen A legkisebb ábrázolható szám így a csupa 0, a legnagyobb a csupa 1-es sorozat A legnagyobb kódolható számok: nyolc bittel = 255, 16 bittel = 65535, 32 bittel = Gazdasági és mérnöki számításokhoz 32 vagy 64 bites kódolás elég Ezzel a módszerrel a megadott intervallumokon kívüli egész számok nem kódolhatók! Pl. a 15 kódja 8 biten , a 256 már nem kódolható így 21

22 Számok kódolása Egész számok kódolása kettes komplemens kóddal Ezeket a számokat számítástechnikában előjeles (angolul signed) számoknak szokás nevezni. Szintén 8, 16, 32, 64 bites kódokat használunk a kódoláshoz. Nyolc bittel a 2 7 = 128 és = 127, 16 bittel a 2 15 = és = 32767, 32 bittel a 2 31 = és = közé eső számokat kódoljuk A megadott intervallumokon kívül eső számok ezzel a módszerrel nem kódolhatók! A kódolás menete (most: csak a nyolcbites változat, a többi változat is ugyanígy): Nemnegatív számra mint előbb; vesszük a kettes számrendszerbeli alakot, eléje írunk annyi nullát, hogy nyolc jelből álljon Negatív számra: A számhoz hozzáadunk 2 8 = 256-ot. Az eredmény 127-nél nagyobb, 256-nál kisebb pozitív szám lesz. Ennek vesszük a kettes számrendszerbeli alakját, ez a negatív számunk kódja. Próbáljuk ki ezt egy kisebb számmal! A nemnegatív szám kódja mindig nullával, a negatívé mindig eggyel kezdődik (azaz: a kód vezető bitje megadja azt is, hogy kód negatív vagy nemnegatív számot jelent-e) Ezt a bitet szokás előjelbitnek is nevezni (*elterjedt elnevezés, bár helytelen: ezt a bitet nem direkt módon az előjel kódolására használjuk!) A negatív szám kódját kettes komplemens kódnak is nevezik nnen kapta a nevét a módszer 22

23 Számok kódolása Egész számok kódolása kettes komplemens kóddal (folyt.) Kevesebb számolást igénylő módszer a kettes komplemens kód megállapítására Ötlet: a 2 n 1 szám kettes számrendszerben pontosan n darab egyesből áll, nulla nélkül. Ebből a számból könnyű kivonni bármilyen n-nél kevesebb bitből álló pozitív bináris számot; 0-t írunk arra a helyiértékre, ahol a kivonandóban 1 van, és 1-et arra, ahol 0 van. Az eredmény az a szám, amit úgy kapunk, hogy a kivonandóban minden bitet az ellentettjére cserélünk, és annyi 1-gyel kiegészítjük az elején, hogy n jegyű legyen. Ez a szám eggyel kisebb, mint a kivonandó 1-szeresének kettes komplemens kódja, ezért a kettes komplemens eléréséhez 1-et hozzá kell adni. További példák, feladatok: jegyzet és gyakorlat 23

24 Számok kódolása Egész számok kódolása kettes komplemens kóddal (folyt.) *Ebben a kódrendszerben két szám összegének kódját megkaphatjuk, ha a kódokat összeadjuk, tehát nem kell az összeadás elvégzéséhez oda-vissza kódolgatni A fentiek szerint megspórolhatjuk a kivonást is, ugyanis a b = a + ( b) tetszőleges a és b esetén Ha két szám összege vagy különbsége kilóg a kódolható számok intervallumából, akkor az összeg/különbség nem állít elő kódot! Túlcsordulás jelenség Fontos ismernünk (legalább nagyjából) az ábrázolható legkisebb és a legnagyobb számot! Példa: 16 biten *További lehetséges probléma az egész számok ábrázolásával (itt nem lép fel): pozitív és negatív 0 Ábrázolható számok legnagyobb nem negatív legkisebb nem negatív legnagyobb negatív legkisebb negatív Binárisan Decimálisan

25 Számok kódolása Valós számok kódolása* Ötlet: Minden a valós szám (a 0-t kivéve) tetszőleges A alapú számrdsz.ben egyértelműen felírható a = ma k alakban, ahol m az [1, A) intervallumba eső A-alapú valós szám (A-alapú normál alak). m neve mantissza, k szintén A-alapú egész szám, a karakterisztika (exponens). Az A = 2 esetet használjuk fel a kódoláshoz. Megállapítjuk/rögzítjük a kód hosszát, majd kódoljuk az m előjelét, az m -et, és a k-t. Az előjel kódolásához elég egy bit (előjelbit; a kód 0, ha a szám pozitív, és 1, ha negatív). m kódja: elhagyjuk az egészrész bitjét (ez a bit mindig 1) és a (kettedes) vesszőt. A megmaradó bitsorozatot a végén kiegészítjük nullákkal, ha nem elég hosszú; ill. a végét elhagyjuk, ha hosszabb, mint ahány bitünk van m kódolására. k kódolása: valamely egész számos kódolás szerint (pl. többletes kód, 1 bájton csupa 0 sorozat: 127, csupa 1 sorozat: +128). A valós szám kódja: a három kód egymásutánírásával (a sorrend rögzített). Pontosság kérdése: előfordulhat, hogy az m -ből el kell hagyni biteket, és emiatt a kódból csak a közelítő értéke kapható vissza Példa: a 987,56 lehetséges kódolása 32 biten 987,56 10 = Lebegőpontos alak: *2 9 Karakterisztika: 9 10 = ( = 136) Előjel Mantissza ( m ) Karakterisztika 1 (1)

26 Számok kódolása Valós számok kódolása (folyt.)* lyen típusú kódolások: lebegőpontos kódolási módszerek Azt, hogy a kód milyen hosszú legyen, és ezen belül hány bitet használhatunk a karakterisztika, és hányat a mantissza kódolására, szabványok határozzák meg. lyen szabványok például: EEE , EEE , EEE Ezek négy alaptípust definiálnak. További érdekes kérdések lebegőpontos kódolásnál Mekkora a tárolható legkisebb és legnagyobb szám? Mennyire pontosan tudunk számolni? (gépi epszilon vagy kód-epszilon; példa: double float ) 26

27 Összetett objektumok kódolása Összetett objektumok (pl. képek) kódolása Összetett obj.ok kódolása: több esetben mélyebb ismereteket is igényel, részletesen nem tárgyaljuk Most: (vázlatos) példa arra, hogy egy tágabb értelemben nem számjegyekkel kódolt objektum számokkal is kódolható Objektum: kép; eljárás kb.: pixelgrafikus kódolás Első lépés: a képet diszkrét egységek rendszerére bontjuk Ezek az egységek a képpontok (angolul pixel). Minden képpont egy-egy téglalap alakú képrész. A felbontás annál jobb és ennek következtében a pontokból összerakott kép annál jobban hasonlít az eredeti képhez, minél több pontból áll. A felbontás jellemzése: egy adott hosszúságegységre (inch) eső pontok száma (angolul: Dot Per nch; DP). Mivel a képek kétdimenziósak, és a vízszintes-függőleges irányú pontra bontás nem szükségképpen egyezik meg A kapott képpontok a képet egy téglalap alakú pontrendszerre bontják. A rendszer pontjait a méretük és a színük jellemzi (a méret egységes, a szín más és más lehet). Második lépés: kódolás A kép bitekből álló kódja: megadjuk a bitkódját annak, hogy hány pontból áll a kép vízszintesen, hány pontból függőlegesen, majd egyenként kódoljuk a pontok színét is (pl. RGB modellben) A bitkódokat egymás után írva egy 0-1 sorozatot kapunk, és ez lesz a kép kódja (módszer: digitalizálás) Megj.: Ezzel a kódolási mechanizmussal visszakódoláskor az eredeti képnek egy egyszerűbb változatát kapjuk Más és más felbontásra más és más kód alakul ki ugyanarról a képről, és a visszaalakítás után a képek csak hasonlítani fognak egymásra is és az eredeti képre is 27

28 Összetett objektumok kódolása RGB modell: minden színt három alapszín összetételével állítunk elő. Ezek a színek: vörös (Red), zöld (Green) kék (Blue). 16 bites színkód esetén a vörös összetevő kódolására 5, a zöldére ugyancsak 5, a kékre 6 bitet szokás használni, így féle szín kódolása lehetséges. Ez az emberi szem teljesítőképességét figyelembe véve egy hétköznapi kép kódolására bőségesen elegendő A kép kódjában általában még bizonyos kiegészítő vagy járulékos információt is kódolnak (pl. hibajavításra). Ez a kód végső méretét minimális mértékben megnöveli. RGB színkeverés (Kisugárzott és elnyelt fények) Külön köszönet: Pukler A. és dr. Szörényi M. kollégáimnak 28

29 Zh kérdés minták Töltsük le az mpera programot (impera.sze.hu) (Offline használatnál: Töltsük le a megfelelő feladatlapot) ndítsuk el a Beszámoló.exe fájlt Ha online dolgozunk: Lépjünk be és válasszuk ki a beszámolót Ha offline dolgozunk: Nyissuk meg az mperában a korábban letöltött feladatlapot Beadáskor elemezzük az eredményünket (!) 29

SZÁMRENDSZEREK KÉSZÍTETTE: JURÁNYINÉ BESENYEI GABRIELLA

SZÁMRENDSZEREK KÉSZÍTETTE: JURÁNYINÉ BESENYEI GABRIELLA SZÁMRENDSZEREK KÉSZÍTETTE: JURÁNYINÉ BESENYEI GABRIELLA BINÁRIS (kettes) ÉS HEXADECIMÁLIS (tizenhatos) SZÁMRENDSZEREK (HELYIÉRTÉK, ÁTVÁLTÁSOK, MŰVELETEK) A KETTES SZÁMRENDSZER A computerek világában a

Részletesebben

Assembly programozás: 2. gyakorlat

Assembly programozás: 2. gyakorlat Assembly programozás: 2. gyakorlat Számrendszerek: Kettes (bináris) számrendszer: {0, 1} Nyolcas (oktális) számrendszer: {0,..., 7} Tízes (decimális) számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális

Részletesebben

SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA

SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA 1 ELSŐ GYAKORLAT SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Számrendszerek közti átváltás előjelesen és előjel nélkül. Bináris, decimális, hexadexcimális számrendszer.

Részletesebben

Harmadik gyakorlat. Számrendszerek

Harmadik gyakorlat. Számrendszerek Harmadik gyakorlat Számrendszerek Ismétlés Tízes (decimális) számrendszer: 2 372 =3 2 +7 +2 alakiérték valódi érték = aé hé helyiérték helyiértékek a tízes szám hatványai, a számjegyek így,,2,,8,9 Kettes

Részletesebben

ÁTVÁLTÁSOK SZÁMRENDSZEREK KÖZÖTT, SZÁMÁBRÁZOLÁS, BOOLE-ALGEBRA

ÁTVÁLTÁSOK SZÁMRENDSZEREK KÖZÖTT, SZÁMÁBRÁZOLÁS, BOOLE-ALGEBRA 1. Tízes (decimális) számrendszerből: a. Kettes (bináris) számrendszerbe: Vegyük a 2634 10 -es számot, és váltsuk át bináris (kettes) számrendszerbe! A legegyszerűbb módszer: írjuk fel a számot, és húzzunk

Részletesebben

Kedves Diákok! A feladatok legtöbbször egy pontot érnek. Ahol ettől eltérés van, azt külön jelöljük.

Kedves Diákok! A feladatok legtöbbször egy pontot érnek. Ahol ettől eltérés van, azt külön jelöljük. Kedves Diákok! Szeretettel köszöntünk Benneteket abból az alkalomból, hogy a Ceglédi Közgazdasági és Informatikai Szakközépiskola informatika tehetséggondozásának első levelét olvassátok! A tehetséggondozással

Részletesebben

Bevezetés az informatikába gyakorló feladatok Utoljára módosítva:

Bevezetés az informatikába gyakorló feladatok Utoljára módosítva: Tartalom 1. Számrendszerek közti átváltás... 2 1.1. Megoldások... 4 2. Műveletek (+, -, bitműveletek)... 7 2.1. Megoldások... 8 3. Számítógépes adatábrázolás... 12 3.1. Megoldások... 14 A gyakorlósor lektorálatlan,

Részletesebben

Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez

Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez Sándor Tamás, sandor.tamas@kvk.bmf.hu Takács Gergely, takacs.gergo@kvk.bmf.hu Lektorálta: dr. Schuster György PhD, hal@k2.jozsef.kando.hu

Részletesebben

3. gyakorlat. Kettes számrendszer: {0, 1} Tízes számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális számrendszer): {0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F}

3. gyakorlat. Kettes számrendszer: {0, 1} Tízes számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális számrendszer): {0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F} 3. gyakorlat Számrendszerek: Kettes számrendszer: {0, 1} Tízes számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális számrendszer): {0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F} Alaki érték: 0, 1, 2,..., 9,... Helyi

Részletesebben

Dr. Oniga István DIGITÁLIS TECHNIKA 2

Dr. Oniga István DIGITÁLIS TECHNIKA 2 Dr. Oniga István DIGITÁLIS TECHNIKA 2 Számrendszerek A leggyakrabban használt számrendszerek: alapszám számjegyek Tízes (decimális) B = 10 0, 1, 8, 9 Kettes (bináris) B = 2 0, 1 Nyolcas (oktális) B = 8

Részletesebben

The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003

The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 . Fejezet : Számrendszerek The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons Wilson Wong, Bentley College Linda Senne,

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Máté: Számítógép architektúrák

Máté: Számítógép architektúrák Fixpontos számok Pl.: előjeles kétjegyű decimális számok : Ábrázolási tartomány: [-99, +99]. Pontosság (két szomszédos szám különbsége): 1. Maximális hiba: (az ábrázolási tartományba eső) tetszőleges valós

Részletesebben

4. Fejezet : Az egész számok (integer) ábrázolása

4. Fejezet : Az egész számok (integer) ábrázolása 4. Fejezet : Az egész számok (integer) ábrázolása The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An Information Technology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson

Részletesebben

Fixpontos és lebegőpontos DSP Számrendszerek

Fixpontos és lebegőpontos DSP Számrendszerek Fixpontos és lebegőpontos DSP Számrendszerek Ha megnézünk egy DSP kinálatot, akkor észrevehetjük, hogy két nagy család van az ajánlatban, az ismert adattipus függvényében. Van fixpontos és lebegőpontos

Részletesebben

Számrendszerek. Bináris, hexadecimális

Számrendszerek. Bináris, hexadecimális Számrendszerek Bináris, hexadecimális Mindennapokban használt számrendszerek Decimális 60-as számrendszer az időmérésre DNS-ek vizsgálata négyes számrendszerben Tetszőleges természetes számot megadhatunk

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Negatív alapú számrendszerek

Negatív alapú számrendszerek 2015. március 4. Negatív számok Legyen b > 1 egy adott egész szám. Ekkor bármely N 0 egész szám egyértelműen felírható N = m a k b k k=1 alakban, ahol 0 a k < b egész szám. Negatív számok Legyen b > 1

Részletesebben

(jegyzet) Bérci Norbert szeptember 10-i óra anyaga. 1. Számrendszerek A számrendszer alapja és a számjegyek

(jegyzet) Bérci Norbert szeptember 10-i óra anyaga. 1. Számrendszerek A számrendszer alapja és a számjegyek Egész számok ábrázolása (jegyzet) Bérci Norbert 2015. szeptember 10-i óra anyaga Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 1 1.1. A számrendszer alapja és a számjegyek........................ 1 1.2. Alaki- és

Részletesebben

Jel, adat, információ

Jel, adat, információ Kommunikáció Jel, adat, információ Jel: érzékszerveinkkel, műszerekkel felfogható fizikai állapotváltozás (hang, fény, feszültség, stb.) Adat: jelekből (számítástechnikában: számokból) képzett sorozat.

Részletesebben

Informatikai rendszerek alapjai

Informatikai rendszerek alapjai ábra: Ábra Boros Norbert, Kallós Gábor, Krankovits Melinda, Pukler Antal, Szörényi Miklós Informatikai rendszerek alapjai Szerkesztők: Krankovits Melinda 1 Bevezetés Előszó Az Informatikai rendszerek alapjai

Részletesebben

Informatikai Rendszerek Alapjai

Informatikai Rendszerek Alapjai Informatikai Rendszerek Alapjai Egész és törtszámok bináris ábrázolása http://uni-obuda.hu/users/kutor/ IRA 5/1 A mintavételezett (egész) számok bináris ábrázolása 2 n-1 2 0 1 1 0 1 0 n Most Significant

Részletesebben

A feladatok legtöbbször egy pontot érnek. Ahol ettől eltérés van, azt külön jelöljük.

A feladatok legtöbbször egy pontot érnek. Ahol ettől eltérés van, azt külön jelöljük. Szeretettel üdvözlünk Benneteket abból az alkalomból, hogy a Ceglédi Közgazdasági és Informatikai Szakközépiskola informatika tehetséggondozásának első levelét olvassátok! A tehetséggondozással az a célunk,

Részletesebben

Typotex Kiadó. Bevezetés

Typotex Kiadó. Bevezetés Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

5. Fejezet : Lebegőpontos számok. Lebegőpontos számok

5. Fejezet : Lebegőpontos számok. Lebegőpontos számok 5. Fejezet : Lebegőpontos The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson Wong, Bentley College Linda

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

5.1.4 Laborgyakorlat: A Windows számológép használata hálózati címeknél

5.1.4 Laborgyakorlat: A Windows számológép használata hálózati címeknél 5.1.4 Laborgyakorlat: A Windows számológép használata hálózati címeknél Célok Átkapcsolás a Windows Számológép két működési módja között. A Windows Számológép használata a decimális (tízes), a bináris

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

1. forduló. 1.1. Az adat, az információ és a hír jelentése és tartalma. A kommunikáció

1. forduló. 1.1. Az adat, az információ és a hír jelentése és tartalma. A kommunikáció 1. Az információ 1.1. Az adat, az információ és a hír jelentése és tartalma. A kommunikáció A tárgyaknak mérhető és nem mérhető, számunkra fontos tulajdonságait adatnak nevezzük. Egy tárgynak sok tulajdonsága

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

LEBEGŐPONTOS SZÁMÁBRÁZOLÁS

LEBEGŐPONTOS SZÁMÁBRÁZOLÁS LEBEGŐPONTOS SZÁMÁBRÁZOLÁS A fixpontos operandusoknak azt a hátrányát, hogy az ábrázolás adott hossza miatt csak korlátozott nagyságú és csak egész számok ábrázolhatók, a lebegőpontos számábrázolás küszöböli

Részletesebben

Feladat: Indítsd el a Jegyzettömböt (vagy Word programot)! Alt + számok a numerikus billentyűzeten!

Feladat: Indítsd el a Jegyzettömböt (vagy Word programot)! Alt + számok a numerikus billentyűzeten! Jelek JEL: információs értékkel bír Csatorna: Az információ eljuttatásához szükséges közeg, ami a jeleket továbbítja a vevőhöz, Jelek típusai 1. érzékszervekkel felfogható o vizuális (látható) jelek 1D,

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

3. OSZTÁLY A TANANYAG ELRENDEZÉSE

3. OSZTÁLY A TANANYAG ELRENDEZÉSE Jelölések: 3. OSZTÁLY A TANANYAG ELRENDEZÉSE Piros főtéma Citromsárga segítő, eszköz Narancssárga előkészítő Kék önálló melléktéma Hét Gondolkodási és megismerési módszerek Problémamegoldások, modellek

Részletesebben

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása 1 Információk 2 A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin Elérhetőség mesko.katalin@tfk.kefo.hu Fogadóóra: szerda 9:50-10:35 Számonkérés időpontok Április 25. 9 00 Május 17. 9 00 Június

Részletesebben

Számrendszerek. A római számok írására csak hét jelt használtak. Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat.

Számrendszerek. A római számok írására csak hét jelt használtak. Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat. Számrendszerek A római számok írására csak hét jelt használtak Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat Római számjegyek I V X L C D M E számok értéke 1 5 10

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

10-es számrendszer, 2-es számrendszer, 8-as számrendszer, 16-os számr. Számjegyek, alapműveletek.

10-es számrendszer, 2-es számrendszer, 8-as számrendszer, 16-os számr. Számjegyek, alapműveletek. Számrendszerek: 10-es számrendszer, 2-es számrendszer, 8-as számrendszer, 16-os számr. Számjegyek, alapműveletek. ritmetikai műveletek egész számokkal 1. Összeadás, kivonás (egész számokkal) 2. Negatív

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA tankönyv ötödikeseknek címû tankönyvéhez A heti 3 óra, évi 111 óra B heti 4 óra, évi 148 óra Javaslat témazáró dolgozatra: Dr. Korányi Erzsébet: Matematika

Részletesebben

Digitális technika VIMIAA01

Digitális technika VIMIAA01 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA01 Fehér Béla BME MIT Digitális Rendszerek Számítógépek

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Máté: Számítógép architektúrák

Máté: Számítógép architektúrák Bit: egy bináris számjegy, vagy olyan áramkör, amely egy bináris számjegy ábrázolására alkalmas. Bájt (Byte): 8 bites egység, 8 bites szám. Előjeles fixpontok számok: 2 8 = 256 különböző 8 bites szám lehetséges.

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

IBAN: INTERNATIONAL BANK ACCOUNT NUMBER. I. Az IBAN formái

IBAN: INTERNATIONAL BANK ACCOUNT NUMBER. I. Az IBAN formái IBAN: INTERNATIONAL BANK ACCOUNT NUMBER A EUROPEAN COMMITTEE FOR BANKING STANDARDS (ECBS) által 2001. februárban kiadott, EBS204 V3 jelű szabvány rögzíti a nemzetközi számlaszám formáját, valamint eljárást

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Digitális technika VIMIAA01

Digitális technika VIMIAA01 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA01 Fehér Béla BME MIT Digitális Rendszerek Számítógépek

Részletesebben

Matematikai alapok. Dr. Iványi Péter

Matematikai alapok. Dr. Iványi Péter Matematikai alapok Dr. Iványi Péter Számok A leggyakrabban használt adat típus Egész számok Valós számok Bináris számábrázolás Kettes számrendszer Bitek: és Byte: 8 bit 28 64 32 6 8 4 2 bináris decimális

Részletesebben

Számrendszerek. Átváltás a számrendszerek között: Általában 10-es számrendszerből váltunk tetszőlegesre és tetszőlegest 10-esre.

Számrendszerek. Átváltás a számrendszerek között: Általában 10-es számrendszerből váltunk tetszőlegesre és tetszőlegest 10-esre. Számrendszerek Tízes számrendszer: Ez az általános, informatikán kívül is használt legelterjedtebb számrendszer. Alapja 10 szám 0,1,2,3 9. Decimális számrendszernek is nevezzük. Egyik felhasználása az

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

INFO1 Számok és karakterek

INFO1 Számok és karakterek INFO1 Számok és karakterek Wettl Ferenc 2015. szeptember 29. Wettl Ferenc INFO1 Számok és karakterek 2015. szeptember 29. 1 / 22 Tartalom 1 Bináris számok, kettes komplemens számábrázolás Kettes számrendszer

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

1. Digitális írástudás: a kőtáblától a számítógépig 2. Szedjük szét a számítógépet 1. örök 3. Szedjük szét a számítógépet 2.

1. Digitális írástudás: a kőtáblától a számítógépig 2. Szedjük szét a számítógépet 1. örök 3. Szedjük szét a számítógépet 2. Témakörök 1. Digitális írástudás: a kőtáblától a számítógépig ( a kommunikáció fejlődése napjainkig) 2. Szedjük szét a számítógépet 1. ( a hardver architektúra elemei) 3. Szedjük szét a számítógépet 2.

Részletesebben

Adattípusok. Dr. Seebauer Márta. Budapesti Műszaki Főiskola Regionális Oktatási és Innovációs Központ Székesfehérvár

Adattípusok. Dr. Seebauer Márta. Budapesti Műszaki Főiskola Regionális Oktatási és Innovációs Központ Székesfehérvár Budapesti Műszaki Főiskola Regionális Oktatási és Innovációs Központ Székesfehérvár Adattípusok Dr. Seebauer Márta főiskolai tanár seebauer.marta@roik.bmf.hu Az adatmanipulációs fa z adatmanipulációs fa

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Tömbök kezelése. Példa: Vonalkód ellenőrzőjegyének kiszámítása

Tömbök kezelése. Példa: Vonalkód ellenőrzőjegyének kiszámítása Tömbök kezelése Példa: Vonalkód ellenőrzőjegyének kiszámítása A számokkal jellemzett adatok, pl. személyi szám, adószám, taj-szám, vonalkód, bankszámlaszám esetében az elírásból származó hibát ún. ellenőrző

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

BASH SCRIPT SHELL JEGYZETEK

BASH SCRIPT SHELL JEGYZETEK BASH SCRIPT SHELL JEGYZETEK 1 TARTALOM Paraméterek... 4 Változók... 4 Környezeti változók... 4 Szűrők... 4 grep... 4 sed... 5 cut... 5 head, tail... 5 Reguláris kifejezések... 6 *... 6 +... 6?... 6 {m,n}...

Részletesebben

Az Informatika Elméleti Alapjai

Az Informatika Elméleti Alapjai Az Informatika Elméleti Alapjai dr. Kutor László Törtszámok bináris ábrázolása, Az információ értelmezése és mérése http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/iea.html Felhasználónév: iea Jelszó: IEA07 BMF NIK

Részletesebben

Programozás BMEKOKAA146. Dr. Bécsi Tamás 2. előadás

Programozás BMEKOKAA146. Dr. Bécsi Tamás 2. előadás Programozás BMEKOKAA146 Dr. Bécsi Tamás 2. előadás Szintaktikai alapok Alapvető típusok, ismétlés C# típus.net típus Méret (byte) Leírás byte System.Byte 1Előjel nélküli 8 bites egész szám (0..255) char

Részletesebben

Digitális technika VIMIAA01

Digitális technika VIMIAA01 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK VIMIAA01 Fehér Béla BME MIT Digitális Rendszerek Számítógépek Számítógép

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI

I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI 1 A digitális áramkörökre is érvényesek a villamosságtanból ismert Ohm törvény és a Kirchhoff törvények, de az elemzés és a tervezés rendszerint nem ezekre épül.

Részletesebben

(jegyzet) Bérci Norbert szeptember i óra anyaga A számrendszer alapja és a számjegyek Alaki- és helyiérték...

(jegyzet) Bérci Norbert szeptember i óra anyaga A számrendszer alapja és a számjegyek Alaki- és helyiérték... Számábrázolás és karakterkódolás (jegyzet) Bérci Norbert 2014. szeptember 15-16-i óra anyaga Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 1 1.1. A számrendszer alapja és a számjegyek........................ 2 1.2.

Részletesebben

DIGITÁLIS TECHNIKA I BINÁRIS SZÁMRENDSZER BEVEZETŐ ÁTTEKINTÉS BINÁRIS SZÁMRENDSZER HELYÉRTÉK. Dr. Lovassy Rita Dr.

DIGITÁLIS TECHNIKA I BINÁRIS SZÁMRENDSZER BEVEZETŐ ÁTTEKINTÉS BINÁRIS SZÁMRENDSZER HELYÉRTÉK. Dr. Lovassy Rita Dr. 26..5. DIGITÁLIS TEHNIK I Dr. Lovassy Rita Dr. Pődör álint Óbudai Egyetem KVK Mikroelektronikai és Technológia Intézet INÁRIS SZÁMRENDSZER 5. ELŐDÁS 2 EVEZETŐ ÁTTEKINTÉS 6. előadás témája a digitális rendszerekben

Részletesebben

Az Informatika Elméleti Alapjai

Az Informatika Elméleti Alapjai Az Informatika Elméleti Alapjai dr. Kutor László Minimális redundanciájú kódok Statisztika alapú tömörítő algoritmusok http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/iea.html Felhasználónév: iea Jelszó: IEA07 BMF

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

A digitális analóg és az analóg digitális átalakító áramkör

A digitális analóg és az analóg digitális átalakító áramkör A digitális analóg és az analóg digitális átalakító áramkör I. rész Bevezetésként tisztázzuk a címben szereplő két fogalmat. A számítástechnikai kislexikon a következőképpen fogalmaz: digitális jel: olyan

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Informatikai rendszerek alapjai (Informatika I.) NGB_SZ003_1

Informatikai rendszerek alapjai (Informatika I.) NGB_SZ003_1 Informatikai rendszerek alapjai (Informatika I.) NGB_SZ003_1 1. előadás Történeti áttekintés Információelméleti alapfogalmak Lovas Szilárd SZE MTK MSZT lovas.szilard@sze.hu B607 szoba Történeti áttekintés:

Részletesebben

Hatodik gyakorlat. Rendszer, adat, információ

Hatodik gyakorlat. Rendszer, adat, információ Hatodik gyakorlat Rendszer, adat, információ Alapfogalmak Rendszer: A rendszer egymással kapcsolatban álló elemek összessége, amelyek adott cél érdekében együttmőködnek egymással, és mőködésük során erıforrásokat

Részletesebben

Bevezetés a számítástechnikába

Bevezetés a számítástechnikába Bevezetés a számítástechnikába Beadandó feladat, kódrendszerek Fodor Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék foa@almos.vein.hu 2010 október 12.

Részletesebben

Mechatronika Modul 1: Alapismeretek

Mechatronika Modul 1: Alapismeretek Mechatronika Modul : Alapismeretek Oktatói segédlet (Elképzelés) Készítették: Matthias Römer Chemnitz-i Műszaki Egyetem, Szerszámgépek és Gyártási Folyamatok Intézete, Németország Cser Adrienn Corvinus

Részletesebben

Bevezetés az informatikába

Bevezetés az informatikába Bevezetés az informatikába 2. előadás Dr. Istenes Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Programozáselmélet és Szoftvertechnológiai Tanszék Matematikus BSc - I. félév / 2008 / Budapest Dr.

Részletesebben

Bevezetés a programozásba. 5. Előadás: Tömbök

Bevezetés a programozásba. 5. Előadás: Tömbök Bevezetés a programozásba 5. Előadás: Tömbök ISMÉTLÉS Specifikáció Előfeltétel: milyen körülmények között követelünk helyes működést Utófeltétel: mit várunk a kimenettől, mi az összefüggés a kimenet és

Részletesebben

Számrendszerek és az informatika

Számrendszerek és az informatika Informatika tehetséggondozás 2012-2013 3. levél Az első levélben megismertétek a számrendszereket. A másodikban ízelítőt kaptatok az algoritmusos feladatokból. A harmadik levélben először megnézünk néhány

Részletesebben

BÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY IV. forduló MEGOLDÁSOK

BÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY IV. forduló MEGOLDÁSOK IV. forduló 1. Hány olyan legfeljebb 5 jegyű, 5-tel nem osztható természetes szám van, amelynek minden jegye prím? Mivel a feladatban számjegyekről van szó, akkor az egyjegyű prímszámokról lehet szó: 2;

Részletesebben

Informatika elméleti alapjai. January 17, 2014

Informatika elméleti alapjai. January 17, 2014 Szám- és kódrendszerek Informatika elméleti alapjai Horváth Árpád January 17, 2014 Contents 1 Számok és ábrázolásuk Számrendszerek Helyiérték nélküliek, pl római számok (MMVIIII) Helyiértékesek a nulla

Részletesebben

Számrendszerek, számábrázolás

Számrendszerek, számábrázolás Számrendszerek, számábrázolás Nagy Zsolt 1. Bevezetés Mindannyian, nap, mint nap használjuk a következ fogalmakat: adat, információ. Adatokkal találkozunk az utcán, a médiumokban, a boltban. Információt

Részletesebben

Informatikai Rendszerek Alapjai

Informatikai Rendszerek Alapjai Informatikai Rendszerek Alapjai Dr. Kutor László A redundancia fogalma és mérése Minimális redundanciájú kódok 1. http://uni-obuda.hu/users/kutor/ IRA 2014 könyvtár Óbudai Egyetem, NIK Dr. Kutor László

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Analóg és digitális jelek. Az adattárolás mértékegységei. Bit. Bájt. Nagy mennyiségû adatok mérése

Analóg és digitális jelek. Az adattárolás mértékegységei. Bit. Bájt. Nagy mennyiségû adatok mérése Analóg és digitális jelek Analóg mennyiség: Értéke tetszõleges lehet. Pl.:tömeg magasság,idõ Digitális mennyiség: Csak véges sok, elõre meghatározott értéket vehet fel. Pl.: gyerekek, feleségek száma Speciális

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

Írjon olyan programot a standard könyvtár alkalmazásával, amely konzolról megadott valós adatokból meghatározza és kiírja a minimális értékűt!

Írjon olyan programot a standard könyvtár alkalmazásával, amely konzolról megadott valós adatokból meghatározza és kiírja a minimális értékűt! Írjon olyan programot a standard könyvtár alkalmazásával, amely konzolról megadott valós adatokból meghatározza és kiírja a minimális értékűt! valós adatokat növekvő sorrendbe rendezi és egy sorba kiírja

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

2.3. Soros adatkommunikációs rendszerek CAN (Harmadik rész alapfogalmak II.)

2.3. Soros adatkommunikációs rendszerek CAN (Harmadik rész alapfogalmak II.) 2.3. Soros adatkommunikációs rendszerek CAN (Harmadik rész alapfogalmak II.) 2. Digitálistechnikai alapfogalmak II. Ahhoz, hogy valamilyen szinten követni tudjuk a CAN hálózatban létrejövő információ-átviteli

Részletesebben

Tudnivalók az otthon kidolgozandó feladatokról

Tudnivalók az otthon kidolgozandó feladatokról Tudnivalók az otthon kidolgozandó feladatokról Otthon kidolgozandó feladat megoldásának beküldése csak azok számára kötelező, akik fölvették az Assembly programozás konzultáció kurzust. Minden hallgató,

Részletesebben

I. el adás, A számítógép belseje

I. el adás, A számítógép belseje 2008. október 8. Követelmények Félévközi jegy feltétele két ZH teljesítése. Ha egy ZH nem sikerült, akkor lehetséges a pótlása. Mindkét ZH-hoz van pótlás. A pótzh körülbelül egy héttel az eredeti után

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat

Részletesebben

Jelátalakítás és kódolás

Jelátalakítás és kódolás Jelátalakítás és kódolás Információ, adat, kódolás Az információ valamely jelenségre vonatkozó értelmes közlés, amely új ismereteket szolgáltat az információ felhasználójának. Valójában információnak tekinthető

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

INFORMATIKA MATEMATIKAI ALAPJAI

INFORMATIKA MATEMATIKAI ALAPJAI INFORMATIKA MATEMATIKAI ALAPJAI Készítette: Kiss Szilvia ZKISZ informatikai szakcsoport Az információ 1. Az információ fogalma Az érzékszerveinken keresztül megszerzett új ismereteket információnak nevezzük.

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Diagnosztika - 3. p. 1/2 Modell Alapú Diagnosztika Diszkrét Módszerekkel Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék Diagnosztika - 3.

Részletesebben