Hullámok. v=d/t 1 d d

Átírás

1 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 1 Utolsó módosítás: Hullámok A különböző fizikai mennyiségek áltozása pl egy rezgés igen gyakran a létrehozásának helyétől táolabb is kiált hatásokat: a létrehozott áltozás agy más néen zaar a térben elterjed A különböző zaarok térbeli terjedését hullámnak (néha hullámterjedésnek)-, azt a helyet pedig, ahol a zaar létrejött, hullámforrásnak neezik A hullám igen gyakori jelenség, és szoros kapcsolatban áll a rezgésekkel, hiszen a hullámban lényegében alamilyen rezgés terjed toa a térben A zaarterjedésnek számtalan példája an, ezek közül egyesek szemmel látható módon mennek égbe, és egyszerű kísérletekkel bemutathatók KÍSÉRLET: Ha egy kifeszített rugalmas kötélre ráütünk egy rúddal, tehát egy egyszeri kitérést ( ölgyet ) hozunk létre (ábra), akkor ez a kitérés égigszalad a kötélen, agyis a kötélnek a ráütéstől táoli pontjai is megismétlik a létrehozott kitérést 1 Megfigyelhetjük, hogy a zaar egyenletes mozgással halad a kötélen Ettől kissé eltérő jellegű zaarterjedést láthatunk egy csaarrugóban létrehozott deformációnál KÍSÉRLET: Nagyobb átmérőjű, gyenge csaarrugó egyik égét egy hirtelen mozdulattal nyomjuk össze a rugó tengelyéel párhuzamosan Ez a deformáció a rugó meneteinek sűrűsödéséel jár, és ez a sűrűsödés jól láthatóan égigszalad a rugón A zaar itt is egyenletesen terjed t t 0 t 0 +t 1 t 0 +t 1 t 0 t 1 t t 3 d d =d/t 1 Az előbbi esetekben a zaar egy dimenzióban (kötél agy csaarrugó mentén) terjedt Kétdimenziós zaarterjedés legegyszerűbben egy ízfelületen mutatható be, ami rugalmas hártyaként iselkedik KÍSÉRLET: Vízfelület egy pontjában létrehozott kitérés a felületen egy táguló kör formájában minden irányban terjed (ábra), és a táolabbi pontok megismétlik a létrehozott kitérést Ez ilágosan látszik, ha a íz felületén elhelyezünk egy parafa dugót: a dugó a zaar megérkezésekor megemelkedik és lesüllyed, de a zaar áthaladása után helyben marad Ez azt is mutatja, hogy a kifelé szaladó körben a látszat ellenére nem a íz áramlik, hanem a létrehozott állapotáltozás (zaar) terjed t 0 +t 1 t 0 +t 1 =d/t 1 t 0 d d 1 A ráütés helyén a ölgy fokozatosan megszűnik, és elileg ellenkező irányú kitérés is létrejön Ez azonban a legtöbb esetben a nagy csillapítás miatt alig észlelhető A megfigyelést zaarhatja, hogy ha a zaar eléri a kötél égét, akkor elindul isszafelé (isszaerődik) A leírt egyszerű zaarterjedés csak eléggé hosszú kötélen figyelhető meg tisztán A isszaerődés hatásaial később foglalkozunk

2 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) Utolsó módosítás: A zaarterjedés más esetei nem ennyire szemléletesek, de a zaarterjedés ténye legtöbbször ilyenkor is könnyen kimutatható A csaarrugón bemutatott esethez hasonló de szemmel nem látható zaarterjedés jön létre, ha egy rugalmas rúd egyik égét a rúd tengelyéel párhuzamosan megütjük Ekkor ott a rúd összenyomódik (az ábrán ezt sűrűbb onalkázással érzékeltettük), és ez az összenyomódás szalad égig a rúdon Ugyanez történik egy dugattyúal lezárt edényben léő gázoszlopban, ha a dugattyút hirtelen elmozdíta, a gázt a dugattyúnál összenyomjuk A zaar megérkezése a rúd agy gázoszlop másik égére megfelelő elmozdulás- agy nyomásérzékelőel észlelhető A háromdimenziós hullámterjedés sem szemléltethető egyszerűen, de ezzel kapcsolatban számos hétköznapi tapasztalatunk an Egy rezgő tárgy által létrehozott hang hullámként minden irányban terjed: egy adott helyen megszólaló hangot más helyeken is hallunk Egy fényfelillanás elektromágneses hullámként szintén minden irányban terjed, és a felillanás helyétől táoli pontokban is észlelhető A hullámterjedés mechanizmusa függ a zaar jellegétől Egy rugalmas közeg mechanikai deformációja az anyag részei közti rugalmas kapcsolatok miatt terjed, ezeket a rugalmas közegekben létrehozott zaarokat rugalmas hullámoknak neezik Ilyenek pl a kísérletekben látott kötélhullámok ízhullámok agy a hang Az elektromos agy mágneses erőtér áltozása miatt létrejött elektromágneses zaarok terjedése a áltozó mágneses- és elektromos tér egymást létrehozó hatásán alapul Az így létrejött elektromágneses hullámok közeg nélkül is terjedhetnek Ilyenek pl a rádióhullámok, a fény, a röntgen- és a gamma sugárzás Most a rugalmas hullámokkal foglalkozunk Tárgyalásunk során megismerkedünk a hullámterjedés leírására szolgáló alapető mennyiségekkel és törényekkel, majd foglalkozunk a rugalmas hullámokra onatkozó speciális jelenségekkel Annak ellenére, hogy most kifejezetten a rugalmas hullámokról lesz szó, az itt tárgyalt anyag jól használható más hullámok tárgyalásánál is, hiszen a zaarterjedésnek annak általános jellegzetességei, amelyeknek leírására a különböző hullámok esetén ugyanazokat a fogalmakat és módszereket alkalmazhatjuk t t 0 t 0 +t 1 t 0 +t 1 d d =d/t 1

3 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 3 Utolsó módosítás: Hullámtípusok és hullámfüggények A terjedő zaar adott helyen alamilyen mennyiség időbeli áltozását jelenti A kötél esetében pl egy adott pontban a zaar megérkezése után a kitérés időben áltozik Másrészt adott időpillanatban a mennyiség pillanatnyi értéke helyről-helyre más A kötélen haladó pulzus példájánál marada, a kötélnek egy kiszemelt helyét megfigyele, azt látjuk, hogy egy darabig nincs kitérés, azután a izsgált pont kitér, majd a kitérés megszűnik A kötélre egy adott időpillanatban ránéze pedig azt látjuk, hogy a kötél nagy része deformálatlan, de azon a helyen, ahoá a zaar éppen ebben a pillanatban megérkezett, egy kitérést látunk A zaarterjedés tehát csak akkor írható le, ha a izsgált mennyiség időbeli áltozását és térbeli eloszlását is ismerjük Ehhez egy helytől és időtől függő hullámfüggény szükséges Ha a zaar a ψ-el jelölt mennyiség áltozásának toaterjedéséel jár, akkor a zaarterjedés leírására használt hullámfüggény általános matematikai alakja ψ = ψ ( r, t) (r annak a pontnak a helyektora, ahol a zaart izsgáljuk, t az idő) A zaar lehet ektor-jellegű, amelynek iránya an (pl elmozdulás), ilyenkor ψ a ektor nagyságát, agy egyik komponensét jelöli, de lehet skaláris is (pl nyomásáltozás) A hullámok típusai A hullámok áltozatos formái közötti eligazodás kedéért célszerű a hullámokat csoportosítani Ezt többféle szempont szerint tehetjük meg, amelyek közül a legfontosabbak a köetkezők A hullám lehet a terjedés térbeli iszonyai szerint: egydimenziós (pl rugalmas kitérés kötélen) kétdimenziós (pl zaarterjedés ízfelületen) háromdimenziós (ez a leggyakoribb, pl hang agy fény terjedése kiterjedt közegben) a terjedés és a zaar irányának iszonya szerint: transzerzális hullám (a zaart jellemző ektor iránya merőleges a terjedés irányára, pl egy rugalmas kötél mentén, a kötélre merőleges kitérés terjedése) longitudinális hullám (a zaart jellemző ektor iránya párhuzamos a terjedés irányáal, pl egy rugó hosszirányú összenyomásáal keltett zaar terjedése a rugó mentén) a zaar azonos értékeinek megfelelő (azonos fázisban léő) pontok elhelyezkedése szerint: síkban terjedő hullámoknál az azonos fázisú helyek egy onalon annak, és a hullámokat a onal alakja szerint is lehet csoportosítani: pl egyenes hullám, körhullám (utóbbira példa egy ízfelületen egy pontban keltett hullámok terjedése), háromdimenziós hullámoknál az azonos fázisú helyek egy felületen helyezkednek el, ezeket a felületeket gyakran hullámfelületeknek neezik, és a hullámfelületek alakja szerint beszélünk síkhullámról, hengerhullámról, gömbhullámról, a onal- és síkhullám terjedése az egydimenziós hullámokhoz hasonlóan egyetlen (az azonos fázisú onalakra, illete síkokra merőleges) koordinátáal leírható, bonyolultabb hullámok (pl kör-, henger- agy gömbhullámok) a hullámforrástól táol közelítőleg egyenes- illete síkhullámnak tekinthetők,

4 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 4 Utolsó módosítás: a hullám terjedése során a zaar fokozatosan újabb helyekre jut el, így az azonos fázisú felületeknek (onalaknak) an egy speciális fajtája: ennek egyik oldalán már megjelent a zaar, a másik oldalán még nem A hullámot tartalmazó térrészt, a hullámteret határoló, azonos fázisú felületet (onalat) hullámfrontnak neezik a terjedő zaar időfüggése szerint: ha a zaar időfüggését harmonikus függény adja meg, akkor a létrejött hullámot harmonikus hullámnak neezik, egyéb esetekben a hullám nem harmonikus (a nem harmonikus hullámok harmonikus hullámok összegzéseként idegen szóal szuperpozíciójaként foghatók fel) Egydimenziós hullámterjedés, a síkhullám hullámfüggénye Az egyszerűség kedéért izsgáljunk először egy olyan zaart, amely egy irányban (pl az tengely mentén) terjed Egy ilyen hullám a gyakorlatban pl úgy alósítható meg, hogy egy kifeszített, rugalmas kötélen létrehozunk egy kitérést, ami a kötél mentén terjed toább Ha az =0 helyen (például a zaar forrásánál) a zaar időbeli áltozása ψ ( 0,t ) = f ( t ), és a zaar adott c sebességgel terjed a térben, akkor a zaar egy pozití helyre f(t) f(t-/) egy negatí helyre t k = + t t k = k+ =/ késéssel érkezik meg Ha feltételezzük, hogy a terjedés közben a zaar nem áltozik meg, akkor az helyen a zaar időbeli áltozását a ψ (,t ) = f ( t m ) hullámfüggény írja le (a "-" jel az -tengely pozití-, a "+" jel az -tengely negatí irányában terjedő hullámot jelent) Ez az egydimenziós hullámterjedést leíró hullámfüggény általános alakja, amely konkrét zaarterjedés esetén meghatározott függényalakot ölt A terjedési irányban felett egyetlen koordinátáal írható le egy síkhullám is, ahol a hullám terjedési irányára merőleges bármelyik síkban minden pont ugyanúgy iselkedik Ezért a fenti egydimenziós terjedésre felírt ψ (,t ) = f ( t m alakú függény egyben a síkhullám hullámfüggénye is A felületen terjedő egyenes hullám agy az egydimenziós közegben terjedő hullám lényegében a síkhullám speciális esete: előbbi esetben az azonos fázisú helyek felületből egyenessé-, utóbbiban egyetlen ponttá zsugorodnak Miel a toábbiakban az egy- és kétdimenziós közegben terjedő hullámokat legtöbbször az egyszerűbb szemléltetés kedéért használjuk, a fenti hullámfüggénnyel jellemzett hullámot gyakran akkor is síkhullámnak neezzük, ha egy- agy kétdimenziós terjedésről an szó 0 ) t t

5 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 5 Utolsó módosítás: A hullámban terjedő energia Ahhoz, hogy egy rugalmas közegben deformációt hozzunk létre, munkát kell égeznünk Amikor ez a deformáció zaarként megjelenik egy táolabbi helyen, akkor ott is munkaégzésre an szükség Ez csak úgy lehetséges, hogy a hullámmal nem pusztán egy állapotáltozás terjed, hanem a hullám energiát is szállít A hullám által szállított energiát leggyakrabban az energiaáram nagyságáal (Φ ) jellemzik, amely egy adott helyen a hullámmal átáramló Δ E energia és az áthaladás Δt idejének hányadosa: ΔE Φ = Δt Az energiaáram az energiaterjedést globálisan jellemzi, mert egy teljes felületen áthaladó összes energiát adja meg Előfordulhat azonban, hogy az energiaáram erőssége egy nagyobb felületen nem egyenletesen oszlik el, hanem helyről helyre áltozik Az energiaáramlás helyi (lokális) jellemzésére ezették be az energia-áramsűrűséget Ha a hullám terjedésére merőleges Δ S nagyságú felületelemen ΔΦ energiaáram halad át, akkor az energiaáramsűrűség (amit a hullámtanban rendszerint I-el jelölnek): ΔΦ I = ΔS Ezt a mennyiséget a hullám intenzitásának neezik Ha egy nagyobb S felületen az I intenzitás mindenütt ugyanakkora, akkor a teljes Φ energiaáram: Φ = IS A hullám intenzitását a különböző hullámok esetén később kiszámítjuk, és a terjedő hullám jellemzőiel kifejezzük, most bizonyítás nélkül csak annyit bocsátunk előre, hogy az intenzitás arányos a hullám amplitúdójának négyzetéel, azaz I = CA, ahol C a hullám egyéb jellemzőitől függő mennyiség Ezt azért fontos tudni, mert egy gömbhullám esetén a forrásban betáplált energia egyre nagyobb felületen oszlik el, így ha az I energiaáram nem áltozik a hullámforrástól r táolságban az energia-áramsűrűség egyre kisebb lesz Ennek az a köetkezménye, hogy a hullám amplitúdójának is csökkenni kell, hiszen r táolságban Φ = IS = I4r π = CA 4r π = állandó 1 1 Ez csak úgy lehetséges, ha A ~, agyis A ( r ) ~ A gömbhullám amplitúdója tehát a r r forrástól táoloda egyre csökken, akkor is, ha nincs semmilyen energiaelnyelő folyamat Gömbhullám hullámfüggénye Ha a hullám homogén, izotróp közegben terjed, agyis a terjedése nem függ a helytől és az iránytól, akkor egy pontban keltett zaar minden irányban ugyanolyan sebességgel terjed Ennek köetkeztében pontszerű hullámforrás esetén az azonos fázisú helyek egy gömbfelületen (felületi hullámoknál egy körön) helyezkednek el, agyis gömbhullám (körhullám) jön létre A síkhullámra onatkozó meggondolásaink alapján megpróbálhatjuk felírni a gömbhullám hullámfüggényének általános alakját, hiszen első pillantásra úgy látszik, hogy csak az koordinátát kell helyettesíteni a pontforrástól mért r táolsággal Ezzel a felteéssel az alábbi hullámfüggényt kapjuk:

6 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 6 Utolsó módosítás: r ψ ( r,t ) = f ( t m ) A - jel a forrástól táolodó, a + jel a forrás felé haladó hullámra onatkozik A helyzet sajnos ennél bonyolultabb, mert láttuk, hogy a gömbhullám amplitúdója a forrástól táoloda csökken, ezért helyesebb a gömbhullám hullámfüggényét a A0 r ψ ( r,t ) = f ( t m ) r alakban felírni, ahol A 0 az amplitúdó a forrásban Ha a gömbhullámot nagyon kis térrészben, agy a forrástól nagy táolságban izsgáljuk, akkor közelítőleg síkhullámnak tekinthetjük Ilyenkor ha energiaeszteségek nincsenek az amplitúdó helyfüggése elhanyagolható Egydimenziós, harmonikus síkhullám Ha a zaar időbeli áltozása szinusz agy koszinusz függénnyel írható le, agyis a zaar például f ( t ) = Acos( ω t + α ) alakú harmonikus rezgés, akkor a zaarterjedést leíró függény is ilyen lesz Ha a zaar egy onalszerű közegben agy egy kiterjedt közegben síkhullámként sebességgel terjed az -tengely mentén, akkor a ψ (,t ) = Acos ω( t m ) + α hullámfüggénnyel írható le, ahol α fázisállandó Az ilyen állandó amplitúdójú hullámot harmonikus síkhullámnak neezik A toábbiakban az egyszerűség kedéért a síkhullám tárgyalásánál általában a pozití - tengely irányában terjedő hullám hullámfüggényét írjuk fel, agyis a ψ (,t ) = Acos ω( t ) + α alakot használjuk Az így kapott összefüggésekből előjeláltással mindig megkapható az ellenkező terjedési iránynak megfelelő eredmény is Természetesen a harmonikus hullám szinusz t függénnyel is leírható, mi a toábbiakban általában a 0 koszinusz alakot használjuk *************** *************** Ahogy a harmonikus rezgést megadó függény, úgy a harmonikus síkhullám hullámfüggénye is felírható komple alakban Trigonometrikus formában ekkor a hullámfüggény: T/8 T/4 ψ,t ) = Acos ω( t ) + α + iasin ω( t ) + α ( Ugyanez eponenciális alakban: i ω( t ) + α ψ (,t ) = Ae *************** *************** Rugalmas kötélen terjedő transzerzális, harmonikus hullám kialakulását mutatja sematikusan a jobboldali ábra Itt a kötél alakját mutatjuk be a forrásban lezajló rezgés egy teljes periódusának (T) különböző 3T/8 T/ 5T/8 3T/4 7T/8 T

7 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 7 Utolsó módosítás: T időpillanataiban A pillanatképek egyenlő, időközökben készültek Az ábrán 8 feltüntettük a kötél egyes részeinek pillanatnyi mozgásirányát is Hasonló módon kaphatjuk meg egy csaarrugóban terjedő longitudinális, harmonikus hullám terjedésének pillanatképeit is, csak ott a kitérések a terjedés irányáal párhuzamosak A mellékelt ábrán a rugó deformációjában beköetkező T áltozások láthatók, amelyeket 4 időközönként ábrázoltunk Korábban már olt szó arról, hogy a hullámfüggény adott helyen megadja a zaar időbeli áltozását, adott időpillanatban pedig megadja a zaar térbeli eloszlását Ezt mutatja egy harmonikus síkhullám esetén a mellékelt ábra, amelyen a ψ ( 1,t ) ψ( 1,t) függény megadja a izsgált mennyiség időbeli áltozását az 1 T ψ(,t 1 ) λ helyen, a ψ (,t1 ) függény pedig a izsgált mennyiség térbeli eloszlását a t 1 időpillanatban) 0 t 0 A harmonikus hullám a definíció szerint egy égtelen hosszú, csillapítatlan hullámonulat, hiszen áltozó amplitúdójú agy éges hosszúságú hullámonulat nem írható le egyetlen harmonikus függénnyel A gyakorlatban a harmonikus hullám közelítő megalósítása egy nagyon kis csillapodású, igen hosszú hullámonulat A hullámok izsgálatánál a harmonikus hullám ugyanolyan fontos szerepet tölt be, mint a rezgéseknél a harmonikus rezgés Itt is érényes ugyanis, hogy tetszőleges hullám felfogható harmonikus hullámok szuperpozíciójaként t A fázissebesség A rugalmas kötélen terjedő harmonikus hullám kialakulását bemutató, korábbi ábrát itt kiegészíte látjuk Bejelöltük azt a λ táolságot, ameddig a zaar a T rezgésidő alatt eljut, és egy onallal összekötöttük a zaar maimális értékének helyét különböző időpillanatokban megadó pontokat Látható, hogy az idő és a befutott táolság egymással arányos, agyis a maimumhely egyenletes sebességgel halad a terjedés irányában, és az ábrán látható esetben 3 3 T idő alatt λ táolságra jutott el Ha a 4 4 λ táolságot ismerjük, akkor kiszámíthatjuk a maimumhely mozgásának f sebességét is: 0 T/8 T/4 3T/8 T/ 5T/8 3T/4 7T/8 T λ

8 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 8 Utolsó módosítás: λ f = Bármilyen más fázisban léő pont mozgását izsgáljuk, ugyanezt a mozgási T sebességet kapjuk, ez a fázissebesség Nézzük meg most egy pozití -tengely irányában haladó síkhullámban, hogy milyen összefüggés an a hullámfüggényben korábban zaarterjedési sebességként beezetett sebesség és a f fázissebesség között Ehhez felhasználjuk azt, hogy adott ϕ fázisú hely adott t időpillanatban olyan koordinátájú helyen an, amelyre ϕ = ω( t ) + α = állandó Az összetartozó -t értékpárokra ebből azt kapjuk, hogy (ϕ α ) = t ω Eszerint a pozití -irányban haladó harmonikus síkhullámban az azonos fázisú helyek sebessége d f = = dt A negatí -irányban haladó síkhullámra természetesen azt kapjuk, hogy f = A fázissebesség tehát azonos a korábban "zaarterjedési sebesség"-ként beezetett mennyiséggel A toábbiakban a fázissebességet inde nélküli -el jelöljük *************** *************** *************** Megjegyezzük, hogy egy nem harmonikus zaar (pl egy röid pulzus) terjedésénél a fázissebesség egyes esetekben megegyezik a zaar terjedési sebességéel (pl rugalmas kötélen agy rugalmas rúdban terjedő hullámoknál), más esetekben iszont a nem harmonikus zaar terjedési sebessége és a fázissebesség nem azonos (ez a helyzet a íz felszínén keltett ízhullámoknál és egy közegben terjedő elektromágneses hullámnál) Ezzel a kérdéssel később foglalkozunk *************** *************** *************** A hullámhossz és a hullámszám A harmonikus hullám kialakulását szemléltető ábrán λ-al jelöltük azt a táolságot, amelyre a zaar a T rezgésidő alatt eljut Ezt a táolságot hullámhossznak neezik Elneezése érthetőbbé álik, ha egy másik definícióját használjuk, amely szerint a λ hullámhossz egy tetszőleges t időpillanatban azonos fázisban léő, szomszédos pontok táolsága (agyis a hullám helyfüggését megadó harmonikus függény egy teljes periódusának hossza, amint az a fenti ábrán látható) Ezt a táolságot annak felhasználásáal kaphatjuk meg, hogy az azonos fázisban léő helyeken a hullámfüggény értéke azonos: ψ (,t ) = ψ ( + λ,t ) Ez a harmonikus síkhullámban a koszinusz (agy szinusz) függény argumentumára onatkozóan azt jelenti, hogy + λ ω( t ) + α ω( t ) α = π Ebből a korábbi definícióal összhangban azt kapjuk, hogy π λ = = T ω A hullámhosszal összefüggő, gyakran használt mennyiség a hullámszám (k), aminek definíciója:

9 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 9 Utolsó módosítás: π ω k = = λ Ezzel a harmonikus síkhullám egyenlete átírható az alábbi alakba: ψ (,t ) = Acos( ωt k + α ) *************** *************** *************** ( ω α ) Ugyanez a hullámfüggény komple alakban: ~ i t k+ ψ (,t ) = Ae *************** *************** *************** Síkhullám térbeli terjedésének leírása Ha egy síkhullám az -tengely mentén terjed, akkor leírására a ψ (,t ) = f t m c hullámfüggényt használhatjuk Speciálisan harmonikus síkhullám esetén a hullámfüggény: ψ (,t ) = Acos ω( t m ) + α = Acos( ωt m k + α ) c Ez a koordináta-álasztás azonban nem mindig lehetséges, ezért most megizsgáljuk, hogy milyen hullámfüggényt hullámfront használhatunk, ha a síkhullám nem alamelyik y (azonos fázisú koordinátatengely mentén terjed helyek síkja) Az ábrán feltüntettük az azonos fázisban léő helyek síkjait A hullám ezekre merőlegesen terjed, terjedési r terjedési irányát az u egységektor mutatja irány Egy tetszőleges r helyektorú pontban, a t időpillanatban a hullámfüggényt úgy kaphatjuk meg, hogy kiszámítjuk a t=0 időponthoz tartozó illete az r helyektorú ponton átmenő (a t időpillanathoz tartozó) két azonos fázisú sík z közötti táolságot, amelyet az ábrán d-el jelöltünk A d hullámfüggény argumentumába ugyanis most a t m mennyiség kerül Az r helyektortól függő az előjelet is tartalmazó d táolság az ábra jelöléseiel: d ( r ) = ru, ezért a hullámfüggény az r helyektorú pontban d( r ) ru ψ ( r,t ) = ψ ( d( r ),t) = f t = f t Harmonikus síkhullámnál: ru ψ ( r,t ) = Acos ω( t ) + α agy ψ ( r,t ) = Acos( ωt kur + α ) Vezessük be a k = ku hullámszám-ektort, amely a terjedési irányt mutatja, és nagysága π k = Ezzel a koordinátarendszerhez képest tetszőleges irányban haladó harmonikus λ hullám hullámfüggénye: ψ ( r,t ) = Acos( ωt kr + α ) d u

10 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 10 Utolsó módosítás: Általános irányú terjedésnél kr = k + k y y + kzz Olyan gömbhullámoknál (agy kétdimenziós esetben körhullámoknál), amelyeknek forrása az origóban an, érényes, hogy r u, ezért d ( r ) = ru = r A gömbhullámoknál (körhullámoknál) tehát a hullámfüggény A0 ψ ( r,t ) = cos( ωt kr + α ) r Ilyenkor az azonos fázisú helyek az ru = állandó, agyis az r = állandó összefüggéssel megadott gömbfelületen (síkbeli terjedésnél körön) helyezkednek el *************** *************** *************** A sík- és gömbhullám fenti hullámfüggényei komple formában a ~ i( ωt kr+ α ) ψ (,t ) = Ae illete ~ ( ωt kr+ α ) = alakot öltik ψ (,t ) A 0 e i r *************** *************** ***************

11 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 11 Utolsó módosítás: Nem harmonikus hullám terjedése, a csoportsebesség Nem harmonikus hullám terjedése esetén a terjedési sebesség fogalmát pontosítanunk kell Ennek az az oka, hogy egy ilyen hullám különböző frekenciájú harmonikus hullámok szuperpozíciójának tekinthető, agyis benne különböző frekenciájú harmonikus g hullámok terjednek Az ilyen hullámok tipikus példája az ábrán látható röid hullámonulat, amelyet éppen összetett olta miatt hullámcsoportnak agy hullámcsomagnak neeznek A terjedési sebességgel kapcsolatban akkor lép fel probléma, ha mint az gyakran előfordul a harmonikus hullám fázissebessége függ a frekenciától, = ( ω ), így a hullámcsomagot alkotó, különböző frekenciájú harmonikus hullámok fázissebessége eltérő Ez a jelenség a hullámok diszperziója Diszperzió esetén az összeteő harmonikus hullámok a haladás közben egymáshoz képest eltolódnak, emiatt az összegük, és így általában a hullámcsomag alakját meghatározó burkológörbe (az ábrán szaggatott onallal jelöle) alakja is áltozik A csomag sebességét ilyenkor a burkológörbe maimumának (az ábrán fekete pont) mozgási sebességéel, a csoportsebességgel ( g ) adhatjuk meg A csoportsebesség elméleti meghatározása általában nem egyszerű feladat, de egy nagyon leegyszerűsített esetben a számolás könnyen elégezhető, és általánosabban is érényes eredményt kapunk Vizsgáljuk meg annak a hullámcsomagnak a mozgását, amely két közel azonos frekenciájú, harmonikus síkhullám összeadásának eredményeként jön létre Az egyszerűség kedéért tegyük fel, hogy az -tengely mentén haladó két hullám amplitúdója azonos, és nincs köztük fáziseltolódás Ekkor az összeadandó hullámok a ψ (,t ) = Acos ( ωt k ) 1 ψ ( t ) = Acos( ω' t k' ), alakban írhatók fel Itt ω ' = ω + Δω, k' = k + Δk, és Δ ω << ω, Δ k << k Az eredő hullámot a szuperpozíció ele alapján kaphatjuk meg: ψ (,t ) = ψ 1(,t ) + ψ ( t ) = Acos( ωt k) + Acos( ω' t k' ) Az eredő hullám egyszerűbb alakba írható, ha alkalmazzuk a rezgések összeteésénél már alkalmazott α α 1 α + α 1 cosα 1 + cosα = cos cos trigonometriai összefüggést Ennek segítségéel az alábbi eredményt kapjuk ( ω' ω )t ( k' k ) ( ω' + ω )t ( k' + k ) ψ (,t ) = Acos cos A körfrekenciákra és hullámszámokra onatkozó fenti felteésünk szerint ω + ω' ω, k + k' k, így azt kapjuk, hogy Δω Δk ψ (,t ) = Acos t cos( ωt k) Ez a kifejezés úgy is felfogható, mint egy ω körfrekenciájú, k hullámszámú, ω = k

12 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 1 Utolsó módosítás: fázissebességű hullám, amelynek az amplitúdója az Δω Δk A(,t ) = Acos t függény szerint áltozik Az ilyen, áltozó amplitúdójú hullámot modulált hullámnak neezik Az amplitúdófüggény azonban maga is egy hullámfüggény, amely Δω g = Δ k sebességgel terjedő hullámnak felel meg A hullámról készült sematikus pillanatfelétel az alábbi ábrán látható Az amplitúdóáltozást megadó burkológörbe (az amplitúdóhullám) egy hullámcsomag, amelyhez a fenti g csoportsebesség tartozik Az eredő hullám egy meghatározott fázisban léő helye (az ábrán az egyik maimális amplitúdójú hely) diszperzió esetén a csoportsebességtől eltérő sebességgel halad A fentihez hasonló hullám egy periódusáról különböző időpillanatokban készített pillanatfelételek sematikus képét látjuk a köetkező ábrán A szaggatottan berajzolt burkológörbe t 1 maimumának helyét fekete pont-, az eredő hullám egy kiszemelt maimumának mindenkori helyét pedig nyíl t jelöli Ebben az esetben a fázissebesség nagyobb, mint a csoportsebesség: az eredő hullám kiszemelt maimumhelye (nyíl) lehagyja a csomag maimumhelyét t 3 (pont) Ez egyben azt is mutatja, hogy az eredő hullám a burkológörbe belsejében mozog A fenti számolás eredménye sok harmonikus összeteő t 4 esetén is érényes marad, ha az összeteők frekenciája egy szűk interallumba esik: dω g = dk Miel ω = k, és diszperzió esetén a fázissebesség függ a körfrekenciától illete a hullámszámtól ( = ( k )), a csoportsebesség és a fázissebesség összefüggésére azt kapjuk, hogy d g = + k dk Az összefüggést érdemes a hullámszám helyett a szemléletesebb hullámhosszal kifejezni π 1 Miel k = és dk = π dλ, égül a λ λ d g = λ d λ

13 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 13 Utolsó módosítás: összefüggést kapjuk d Az összefüggésből látszik, hogy ha > 0, akkor a csoportsebesség kisebb a dλ d fázissebességnél (ez a normális diszperzió), a < 0 esetben pedig a csoportsebesség dλ nagyobb, mint a fázissebesség (ez az anomális diszperzió) d Ha = 0, azaz nincs diszperzió, akkor azt kapjuk, hogy g =, tehát a csoportsebesség dλ megegyezik a minden hullámhosszra azonos fázissebességgel A diszperzió megfigyelhető ízhullámok esetén és alamilyen közegben terjedő elektromágneses hullámoknál Utóbbi eset igen fontos szerepet játszik pl az optikában

14 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 14 Utolsó módosítás: Hullámok polarizációja Ha a hullámban terjedő zaarnak iránya an (pl egy kitérés), akkor a hullám lehet longitudinális agy transzerzális, attól függően, hogy a zaar iránya párhuzamos a terjedési iránnyal agy arra merőleges Longitudinális hullámban egyetlen kitüntetett irány an, a zaar- és a zaarterjedés közös iránya, a transzerzális hullámban iszont a zaar- és a zaarterjedés iránya szétálik ( polarizálódik ), ezért két kitüntetett irány an Ha a hullámforrásban a transzerzális zaar iránya időben állandó, akkor homogén, izotróp terjedés esetén a zaar iránya a hullámban sem áltozik meg Ez azt jelenti, hogy a hullám terjedési iránya és a zaar iránya minden pillanatban és minden helyen ugyanabban a síkban an KÍSÉRLET: Ilyen hullámot kapunk például, ha egy rugalmas kötél egyik égét mindig ugyanazon egyenes mentén mozgatjuk Az ábrán az így kapott hullám pillanatképét (a t 1 időpillanatban) derékszögű koordinátarendszerben mutatjuk be: a hullám az -tengely mentén mozog, a kitérés mindenütt y-irányú, a két kitüntetett irány és így a zaar térbeli eloszlását megadó görbe is az y-síkban an z y ψ(,t 1 ) y Az ilyen hullámot síkban poláros agy lineárisan poláros hullámnak-, a két kitüntetett irány által megadott síkot pedig a hullám rezgési síkjának neezik A hullám keltésénél azonban nem mindig teljesül a fenti feltétel, a hullámforrásban a transzerzális zaar iránya áltozhat, és ennek megfelelően áltozik a hullám rezgési z síkjának helyzete is A zaar irányának áltozása lehet életlenszerű, de köethet alamilyen szabályszerűséget is ψ(,t 1 ) Szabályszerű áltozásról beszélhetünk például akkor, ha a rugalmas kötél égét egy kör mentén mozgatjuk (ábra) Ekkor a kötél többi pontja is körmozgást égez, a forrástól mért táolságnak megfelelő fáziskéséssel Az ilyen hullámot cirkulárisan poláros hullámnak neezik Az ábrán látható cirkulárisan poláros hullám forrásában a zaart jellemző ektor állandó szögsebességgel körbeforog Ez a forgó ektor minden pillanatban felbontható egy-egy áltozó hosszúságú y- és z-irányú ektorra, ezért a cirkulárisan poláros hullám felbontható két egymásra merőleges rezgési síkú, azonos amplitúdójú, lineárisan poláros hullámra Az összeteő hullámok amplitúdója ekkor az említett kör sugaráal egyenlő Ha a forrásban a zaart jellemző ektor égpontja egy ellipszis mentén mozog, akkor a keletkező hullámot elliptikusan poláros hullámnak neezik Ez a hullám mindig felbontható két egymásra merőleges rezgési síkú, különböző amplitúdójú, lineárisan poláros hullámra Az összeteő hullámok amplitúdója ekkor az ellipszis két féltengelyének hosszáal egyenlő A cirkulárisan poláros hullám tulajdonképpen az elliptikusan poláros hullám speciális esete (a kör olyan ellipszis, amelynek két féltengelye azonos hosszúságú) A szabálytalanul áltozó rezgési síkú transzerzális hullámoktól aló megkülönböztetés érdekében a lineárisan-, cirkulárisan- agy elliptikusan poláros hullámokat összefoglaló néen poláros hullámoknak neezik

15 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 15 Utolsó módosítás: Nem lineárisan poláros, transzerzális hullámból megfelelő módszerrel kiálasztható a hullámnak egy tetszőleges síkú lineárisan poláros összeteője Ez jól szemléltethető egy rugalmas kötélen létrehozott transzerzális hullám esetében KÍSÉRLET: Rugalmas kötél égét körbeforgata, létrehozunk egy nagyjából cirkulárisan poláros hullámot (a) ábra), majd a kötél középpontja közelében a kötelet egy összecsukható fakerettel esszük körül Ezáltal a hullám egy keskeny, függőleges irányú résen kénytelen áthaladni A rés csak a hullám függőleges összeteőjét engedi át, így tehát egy lineárisan poláros hullámot kapunk 1 Ha a rést függőleges tengely körül elforgatjuk, akkor mindig az új iránnyal párhuzamos rezgési síkú lineárisan poláros hullám jön létre, agyis ezzel a módszerrel a nem poláros hullámból tetszőleges rezgési síkú lineárisan poláros hullámot ki tudunk álasztani Az ilyen eszközöket, amelyekkel nem lineárisan poláros hullámból lineárisan poláros hullámot állíthatunk elő, polarizátoroknak-, azt a rezgési síkot pedig, amelyet a polarizátor átenged, a polarizátor rezgési síkjának KÍSÉRLET: Ha az előző kísérletben alkalmazott polarizátor mellett egy másik polarizátort is alkalmazunk, akkor a két polarizátor után megjelenő hullám jellege attól függ, hogy a két polarizátor rezgési síkja egymással milyen szöget zár be Ha a második polarizátor rezgési síkja párhuzamos az elsőéel, akkor a lineárisan poláros hullám áltozatlanul halad át a második polarizátoron is (b) ábra) Ha most a második polarizátort ízszintes tengely körül elkezdjük körbeforgatni, akkor a második polarizátor után megjelenő lineárisan poláros hullám rezgési síkja a polarizátorral együtt elfordul, és amplitúdója fokozatosan csökken Ha a két polarizátor rezgési síkja egymásra merőleges, akkor a második polarizátor után nincs hullám (c) ábra), agyis a lineárisan poláros hullámot a rezgési síkjára merőleges polarizátor kioltja neezik Polarizátorként a különböző hullámterjedési mechanizmusoknál más és más eszközöket alkalmaznak Rugalmas kötélhullámok esetén a polarizátor kísérletben használt rést használhatjuk, az elektromágneses rezgési síkja hullámoknál használt eszközökről később lesz szó Miel a kísérlet tanúsága szerint a polarizátor kioltja a rá merőleges rezgési síkú lineárisan poláros hullámot, a polarizátor forgatásakor beköetkező amplitúdó- és intenzitáscsökkenés a köetkezőképpen is felfogható A hullám az első polarizátor által meghatározott rezgési A 0 A N α A T =A 0 cosα beeső, lineárisan poláros hullám rezgési síkja 1 A kísérletben megjelennek a kötél égéről isszaerődő hullámok is, amelyek sajátos hullámalakzatot, állóhullámot hozhatnak létre Ez a köetkeztetéseinken nem áltoztat Az állóhullámokkal később foglalkozunk

16 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 16 Utolsó módosítás: síkkal érkezik a második polarizátorhoz, amelynek rezgési síkja α szöget zár be az első polarizátorral illete a beeső hullám rezgési síkjáal Ha a beeső lineárisan poláros hullámot (az ábrán A 0 ) felbontjuk a második polarizátorral párhuzamos ( A N )- és arra merőleges rezgési síkú ( A T ) lineárisan poláros hullámokra, akkor a második polarizátor a merőleges összeteőt kioltja, és az eredeti amplitúdónak csak a második polarizátor síkjáal párhuzamos összeteője halad toább Az átmenő hullám amplitúdójának a két polarizátor egymással bezárt szögétől aló függését az A = AT = A0 cosα összefüggés adja meg Miel a hullám intenzitása arányos az amplitúdó négyzetéel, a második polarizátorra eső I 0 intenzitásból az átjutott I intenzitás az I = I 0 cos α összefüggésből kapható meg Ebből isszakapjuk a tapasztalatból már ismert eredményt: ha a π két polarizátor egymásra merőleges, agyis α =, akkor A = I = 0, tehát nincs átmenő hullám Miel a kísérletben alkalmazott második polarizátor segítségéel a beérkező hullám rezgési síkját meg lehet találni, a fenti elrendezésben a második polarizátort analizátornak is neezik Ha a polarizátor és az analizátor rezgési síkja egymásra merőleges, akkor keresztezett polarizátorokról beszélünk Ezzel a kifejezéssel éle, azt mondhatjuk, hogy a keresztezett polarizátorok a transzerzális hullámot kioltják, ezért alkalmazásukkal eldönthető, hogy egy hullám transzerzális agy nem Mint láttuk, a polarizátor-analizátor pár az analizátor forgatásáal alkalmas arra, hogy az átmenő hullám intenzitását szabályozni tudjuk Ennek különösen az optikában an nagy jelentősége

17 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 17 Utolsó módosítás: Energiaterjedés rugalmas hullámban Egy hullám létrehozásához munkát kell befektetni (rugalmas közeg deformálása) Az, hogy a hullám a forrástól táol ugyanolyan rugalmas alakáltozást hozzon létre, mint ami a forrásban létrejött, csak úgy lehetséges, hogy a hullám energiát isz magáal, és a szükséges munkát ez az energia fedezi Az energiaterjedés általános leírása A hullám által szállított energiát az energiaárammal jellemezhetjük Ha egy felületen a hullámmal Δt idő alatt ΔE energia halad át akkor az energiaáram: ΔE Φ = Δt A hullám által szállított energiát a fenti általános összefüggés helyett jó lenne a hullám és a közeg jellemző mennyiségeiel kifejezni Ehhez először a hullámban az energia térfogati sűrűségét kell meghatároznunk Ha ugyanis a w energiasűrűséget és a hullám terjedési sebességét ismerjük, akkor az energiaáramot az alábbi egyszerű megfontolással kaphatjuk meg Δt Az ábrán látható, a hullám terjedésére merőleges S felületen, a felületre merőlegesen Δt idő alatt az az energia megy át a w hullámmal, ami benne an a Δ t magasságú, S alapterületű S hasábban, agyis a Δ V = SΔt térfogatban Miel az energia térfogati sűrűsége w, az áthaladt energia: Δ E = wδv = ws Δt A Φ energiaáram ezzel ΔE Φ = = ws Δ t Ennek alapján az energia-áramsűrűség (amit a hullámtanban általában I-el jelölnek) I = Φ = w, S amit a hullám intenzitásának neeznek Ez az összefüggés általában is igaz, tehát egy hullámban terjedő energia áramsűrűsége úgy kapható meg, hogy a térfogati energiasűrűséget megszorozzuk a terjedési sebességgel Miel az áramsűrűség és a terjedési sebesség iránya azonos, az áramsűrűség (intenzitás) ektori formában az alábbi módon adható meg: I = w Ha egy olyan felületen átmenő energiaáramot akarunk kiszámítani, amely a terjedési sebességre nem merőleges, akkor egy elemi ΔS felületen átmenő energiaáram ΔS ΔΦ = jδs, j ahol ΔS a felületektor Véges S felületen átmenő energiaáram ebből ΔS integrálással (a felületelemekre történő összegzéssel) kapható meg: Φ S = jds S Ahhoz, hogy egy konkrét hullám intenzitását kiszámítsuk, meg kell határoznunk a hullámban az energiasűrűséget

18 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 18 Utolsó módosítás: Rugalmas hullám energiája, a hullám intenzitása Az energiaiszonyokat egy rugalmas rúdban izsgáljuk, amelyben egydimenziós, longitudinális hullám terjed A hullám által szállított energia kiszámítására az intenzitásra kapott I = w Δ összefüggést alkalmazzuk Ehhez meg kell határoznunk a ΔS hullámban az energia átlagos sűrűségét A izsgált rúd keresztmetszete S, a rúd anyagának energia sűrűsége ρ, rugalmassági modulusa E Az energia kiszámításához a rúd egy elemi Δ V = ΔΔS térfogatát (ábra) álasztjuk ki A térfogatelem mechanikai energiája a mozgási és helyzeti energia összege, ezért először ezeket az energiákat írjuk fel: 1 1 ψ 1 ψ ΔEm = Δm = ρδδs = ρ ΔV, t t 1 1 ψ ΔEh = Eε ΔΔS = E ΔV Felhasznála a longitudinális rugalmas hullám terjedési sebességére onatkozó E = E = ρ ρ összefüggést, a helyzeti energiára azt kapjuk, hogy 1 ψ ΔEh = ρ ΔV Ezzel az összenergia ψ ψ 1 Δ E = ΔEm + ΔEh = ρδv + t Az energia térfogati sűrűsége: ΔE ψ ψ 1 w = = ρ + ΔV t Ebből a kifejezésből konkrét égeredményt csak akkor kapunk, ha ismerjük a hullámfüggényt Példaként számítsuk ki az energiasűrűséget a ψ (, t ) = Acos( ωt k + α ) harmonikus hullám esetén Ha ezt a hullámfüggényt behelyettesítjük az általános összefüggésbe, akkor az energiasűrűségre azt kapjuk, hogy w (,t ) = [ A sin ( t k ) k A sin ( t k ) ] 1 ρ ω ω + α + ω + α Felhasznála az ω =k összefüggést, az energiasűrűség az egyszerűbb w(,t ) = ρ A ω sin ( ωt k + α ) alakba írható Eszerint az energiasűrűség adott helyen időben periodikusan áltozik, adott időpillanatban pedig a helynek periodikus függénye Az időben áltozó energiasűrűség helyett a gyakorlatban jobban használható az energiasűrűség időbeli átlaga A hullámban adott helyen létrejött energiasűrűség időbeli átlaga:

19 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 19 Utolsó módosítás: w T 1 1 = w(,t )dt = ρa ω T 0 Ismere az energia átlagos térfogati sűrűségét, mind az átlagos energiaáramot, mind pedig az átlagos intenzitást ki tudjuk számítani: 1 Φ = ws = ρa ω S 1 I = ρa ω Az átlagos energia-áramsűrűség ektor ennek alapján I = w = 1 ρ A ω Az intenzitás- és az amplitúdó térbeli áltozása egyszerű esetekben Az energia-áramsűrűség és ezzel együtt a hullám amplitúdója áltozhat geometriai okokból és a közegben történő energiaeszteségek (elnyelés) miatt Amplitúdócsökkenés gömbhullámban Korábban már olt szó arról, hogy egy pontforrásból kiinduló hullám esetén mindig fellép egy geometriai jellegű intenzitásáltozás, aminek az az oka, hogy ugyanaz az energiaáram a terjedés során egyre nagyobb felületen oszlik el Miel az intenzitás arányos az amplitúdó négyzetéel, a forrástól táoloda az amplitúdónak is csökkennie kell A gömbhullámra elégzett számolás eredménye az olt, hogy homogén, izotróp közegben az amplitúdónak a forrástól mért r táolsággal fordított arányban kell áltoznia: 1 A( r ) r Ugyanilyen számolás eredményeként azt kapjuk, hogy egy pontforrásból kiinduló felületi körhullámban (pl ízhullám) az amplitúdó helyfüggése 1 A( r ) r jellegű Ezek a égeredmények csak akkor érényesek, ha a hullám terjedése során nem lépnek fel olyan energiaelnyelő (disszipatí) folyamatok, amelyek a hullámban terjedő összenergiát csökkentik Amplitúdócsökkenés energiaelnyelés miatt Az áramsűrűség áltozásának másik lehetséges oka, hogy a közeg a hullám energiájának egy részét elnyeli Ilyenkor maga az energiaáram, és ele együtt az intenzitás is áltozik Ha az energiaeszteség nem túl nagy, akkor egy -irányban terjedő síkhullámban d hosszúságú szakaszon aló áthaladás közben az intenzitás áltozása arányos a szakasz hosszáal és az eredeti intenzitással: di = I( + d ) I( ) = μid Ebből azt kapjuk, hogy di = μd, I I( ) = I0 ep( μ ) (Itt μ a közegtől függő állandó, a csillapítási tényező, I 0 az intenzitás az = 0 helyen)

20 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 0 Utolsó módosítás: Miel az intenzitás arányos az amplitúdó négyzetéel, ez azt jelenti, hogy a hullám amplitúdója az elnyelés köetkeztében szintén eponenciálisan csökken: μ A( ) = A0 ep( ) = A0 ep( β ) (Itt beezettük a β =μ/ jelölést)

21 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 1 Utolsó módosítás: Hullámok isszaerődése és törése A hullámterjedés izsgálatánál eddig azt tételeztük fel, hogy a hullám homogén közegben, állandó sebességgel terjed Ha a hullám egy közeg határához ér, akkor a tapasztalat szerint onnan részben isszaerődik, részben pedig behatol a szomszédos közegbe, és terjedésében mindkét esetben áltozások állhatnak be Visszaerődésnél például megáltozhat a hullám fázisa, új közegbe történő behatolásnál pedig általában megáltozik a hullám terjedési sebessége, és ezzel együtt a hullámhossza, elektromágneses hullámoknál mindkét esetben megáltozhat a hullám polarizációs állapota is A isszaerődés és törés során a különböző típusú (rugalmas, elektromágneses) hullámok különbözőképpen iselkednek, de annak olyan jelenségek, amelyek mindenféle hullám esetén fellépnek Itt elsősorban ezekkel a közös jelenségekkel foglalkozunk, az egyes hullámfajtákra jellemző speciális problémákat a megfelelő helyen tárgyaljuk A isszaerődés és törés alapjelenségeinek bemutatására szemléletességük miatt elsősorban kifeszített, rugalmas kötélen-, illete ízfelületen terjedő rugalmas hullámokat használunk Először égezzünk el két kísérletet rugalmas kötélen terjedő hullámokkal KÍSÉRLETEK: Rugalmas kötél egyik égét rögzítsük a falhoz, úgy hogy ne tudjon elmozdulni, feszítsük ki, és a másik égéről indítsunk el egy pulzust (baloldali ábra) Jól megfigyelhető, hogy amikor a pulzus a kötél és a fal határához érkezik, onnan isszaerődik, de a kitérés iránya ellenkezőre áltozik Ez azt jelenti, hogy a rögzített égről történő isszaerődésnél a hullám fázisában π nagyságú ugrás köetkezik be Módosítsuk a kötél égének rögzítését úgy, hogy szabadon elmozdulhasson Ezt amint a jobboldali ábrán is látszik a fal és a rugalmas kötél közé beiktatott ékony, rugalmatlan zsinórral érhetjük el Most a kétféle kötél határáról történő isszaerődés közben a zaar iránya nem áltozik meg, a szabad égről történő isszaerődésnél nincs fázisugrás A rögzített égen beköetkező fázisugrás oka az, hogy a falhoz érkező zaarnak a falnál el kell tűnnie, és ez csak úgy lehetséges, hogy a falnál elinduló ellentétes kitérés kompenzálja az eredeti kitérést Visszaerődésnél nem csak rugalmas hullámoknál léphet fel fázisugrás A jelenség a elektromágneses hullámok esetén is megfigyelhető

22 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) Utolsó módosítás: Kétdimenziós terjedésnél beköetkező törési és isszaerődési jelenségek jól demonstrálhatók ízhullámokkal KÍSÉRLET: Vízfelületet egy egyenes pálcáal periodikusan ütögete, egyenes hullámot hozunk létre, és a hullám útjába ferdén elhelyezünk egy egyenes akadályt, amelyen a hullám nem tud áthatolni (ábra) A hullám az akadályról jól láthatóan isszaerődik, mégpedig úgy, hogy az ábrán bejelölt α beesési szög megegyezik az α b isszaerődési szöggel (az u N ektor az akadályra merőleges irányt, a beesési merőlegest jelöli) u N α b α Ha az előző kísérletnél a hullám útjába a terjedésére merőleges akadályt helyezünk el, a hullám akkor is isszaerődik Ennek tiszta szemléltetése azonban ízhullámokkal nehéz, mert a isszaerődő hullámok összetalálkoznak a beeső hullámokkal, és kölcsönhatásuk miatt a kialakult kép bonyolulttá álik (a hullámok találkozásánál fellépő jelenségekkel később foglalkozunk) A problémát úgy lehet kiküszöbölni, hogy csak egyetlen röid pulzus terjedését izsgáljuk Vízhullámokkal modellezhető az az eset is, amikor a hullám egyik közegből a másikba megy át Ezt az teszi lehetőé, hogy a ízhullámok terjedési sebessége függ a íz mélységétől Ha a hullámkád egyik részének aljára üeglapot teszünk, és ezzel a ízmélységet lecsökkentjük, akkor ez a rész a hullámok számára más terjedési sebességet, tehát egy másik közeget jelent A tapasztalat szerint a sekélyebb ízben a sebesség-, és ennek megfelelően a hullámhossz is kisebb (a rezgésidő a közegtől nem függ, így a λ = T összefüggés szerint a terjedési sebesség és a hullámhossz egymással arányos) KÍSÉRLET: λ 1 λ Hullámkád egyik felében (az ábrán a jobboldali rész) a ízmélységet lecsökkentjük, így két különböző közeget hozunk létre, amelyeket egyenes határonal álaszt el A közeghatárra merőlegesen beeső egyenes hullám iránya a határonalon aló áthaladásnál nem áltozik meg, de a hullámhossz lecsökken 1 < 1 KÍSÉRLET: Az előző kísérletet égezzük el úgy, hogy a hullám terjedési iránya nem merőleges a közeghatárra (ábra) Az új közegbe aló belépésnél most is megáltozik a hullámhossz, de emellett az azonos fázisú helyeket megadó egyenesek helyzete is módosul (és ennek megfelelően az erre merőleges terjedési irány is más lesz) A izsgált esetben az α törési szög kisebb, mint az α beesési szög t b u N 1 λ 1 λ α b α t < 1

23 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 3 Utolsó módosítás: KÍSÉRLET: Ha a hullámkád aljába egy domború lencse alakú üeglapot teszünk (ábra), akkor az így létrehozott lencse a ráeső síkhullámot egy pontban (a fókuszpontban) gyűjti össze Ez a kísérlet lényegében az optikából ismert gyűjtőlencse ízhullámmodellje Nehezebben alósítható meg az a kísérlet, amiel az optikából ismert gömbtükör modellezhető, mert a hengeres akadályról isszaerődő hullámok összetalálkoznak a beérkező hullámokkal, és ez a képet bonyolulttá teszi Itt is segít, ha csak egyetlen pulzust izsgálunk A Huygens-el, a törés és isszaerődés értelmezése A isszaerődésnél és törésnél beköetkező jelenségek megmagyarázhatók egy egyszerű modell- és a belőle köetkező szerkesztés segítségéel, amelyet Huygens 1 dolgozott ki A modell alapötletét az a tény adta, hogy egy pontszerű zaar gömbhullám (két dimenzióban körhullám) alakjában terjed Miel pedig egy hullámfront minden pontjában ugyanaz a zaar jön létre, mint a hullámforrásban, a hullámfront minden pontja elemi gömbhullámok forrásaként fogható fel Ezt a felteést megerősíti az alábbi kísérlet KÍSÉRLET: Vízfelületen létrehozott egyenes hullámok útjába olyan akadályt teszünk amelyen egy a hullámhosszhoz képest kis rés an, és a hullám csak ezen tud áthaladni Az akadály túloldalán ekkor a résből kiinduló körhullámot látunk (ábra) Ez a kísérlet azt mutatja, hogy a hullámfront kellően kicsi (pontszerű) szakasza alóban elemi gömbhullámot (a kísérletben körhullámot) kelt Fontos megfigyelni, hogy a körhullám csak a hullámterjedés irányában jön létre, isszafelé induló körhullámot nem látunk A hullámterjedésnek ezen a tapasztalaton alapuló modelljét a Huygens-el foglalja össze, amely szerint egy hullámfront minden pontjából elemi gömbhullámok indulnak ki, és a mindenkori új hullámfrontot az elemi gömbhullámok burkolófelülete adja A burkolófelület megrajzolásánál a gömbfelületeknek a hullám eredeti terjedési irányába eső részét kell figyelembe enni A mellékelt ábrán az látható, hogy a t időpillanatban érényes hullámfrontból r r t+δt hogyan lehet az elemi gömbhullámok (körhullámok) segítségéel megszerkeszteni a r=cδt t t + Δt időpillanatban érényes hullámfrontot Példaként nézzük meg, hogy a Huygens-el segítségéel hogyan lehet számszerűen leírni a isszaerődés és törés szabályszerűségeit, amelyeket a fenti kísérletekben tapasztaltunk A isszaerődést az alábbi ábra a) részén láthatjuk, ahol egy felületre, a felület normálisáal α b szöget bezáró irányban egy síkhullám érkezik Ezt abban a pillanatban ábrázoltuk, amikor a hullámfront egy pontja (A) éppen eléri a felületet Az ábrán Δt idő múla (amikor a hullámfront B pontja is elérte a felületet) megszerkesztettük a isszaert hullám 1 Christiaan HUYGENS ( ) holland fizikus

24 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 4 Utolsó módosítás: hullámfrontját a Huygens-el segítségéel A hullám haladási iránya a isszaerődés után a felület normálisáal α szöget zár be Az ábráról leolasható, hogy a beeső és isszaert hullám haladási iránya szimmetrikus a beesési merőlegesre, agyis α b = α A isszaerődés itt tárgyalt törényén alapul az optikában használt tükrök működése A b) ábrán az 1 közegben a felületre beeső hullám átmegy a közegbe, ahol haladási irányát a felület normálisáal bezárt α t törési szöggel adjuk meg A két közegben a hullám terjedési sebessége eltérő: 1 és Az új hullámfrontot most a közegben szerkesztettük meg Az ábrából kiderül, hogy az új közegbe behatoló (a határfelületen átmenő) hullám törésére érényes a sinαb = sinα t összefüggés Az így beezetett n 1 mennyiség a közegnek az 1 közegre onatkozó törésmutatója Ezen a törényen alapul számos optikai eszköz (pl lencsék, prizma) működése A isszaerődés és törés törényeinek megfogalmazásánál hasznos a hullám haladási irányát jellemző sugarak beezetése A sugár az a onal amely mentén a hullám által szállított energia terjed Ez izotróp közegben az azonos fázisú síkokra merőleges onal, amely homogén közegben egyenes, inhomogén közegben megtört agy görbe onal Így például homogén, izotróp közegben terjedő síkhullámban a sugarak az azonos fázisú síkokra merőleges, egymással párhuzamos egyenesek, gömbhullámban pedig a forrásból kiinduló sugárirányú egyenesek A hullámnak egy éges felületen átmenő részét sugárnyalábnak 1 = n neezik (ez alóban a sugarak egy nyalábja) A isszaerődés és törés fent megállapított beesési merőleges szabálya a sugarak segítségéel is megfogalmazható A isszaerődés beeső törénye ebben a megfogalmazásban úgy α b α sugár hangzik, hogy egy határoló felületre beeső 1 sugár α b beesési szöge (a) ábra) megegyezik az α isszaerődési szöggel, és a beesési sugár a beesési merőlegessel és a isszaert sugárral egy síkban an A törés törénye pedig úgy fogalmazható meg, hogy a határfelületre beeső sugár α b beesési szöge (b) ábra) és a határfelületen átmenő sugár α t sinαb törési szöge között a már tárgyalt = n1 sinα t α b α 1 összefüggés áll fenn, a beesési sugár a beesési merőlegessel és a megtört sugárral egy síkban an A α b α B -- Δt 1 α b -- a) b) A isszaert sugár 1 beeső sugár α b α t α b α t α t beesési merőleges a) b) Δt megtört sugár

25 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 5 Utolsó módosítás: Ezek a törények nagy mértékben megkönnyítik a törésen és isszaerődésen alapuló optikai eszközök (pl prizmák, tükrök, lencsék) működésének megértését és terezését Ha a közeg inhomogén, akkor a törésmutató áltozása miatt a sugarak iránya áltozik Réteges közegben az irányáltozás többszörösen megtört sugarakat eredményez (ábra), folytonosan áltozó közegben a sugarak folyamatosan görbülő onalak Visszaerődés és törés leírása a Fermat-el segítségéel A isszaerődés és törés törénye megkapható az ún Fermat-el segítségéel, amely szerint két pont között egy hullámban felett sugár mindig olyan útonalon halad, amelyen az egyik pontból a másikba a legröidebb idő alatt jut el Ez matematikailag az ábra jelöléseiel a köetkezőképpen fogalmazható meg Az A és B pontok közötti útonalon kiálasztott ds szakasz befutásához szükséges idő ds dt =, ahol a hullám terjedési sebessége ezen a szakaszon Az A és B közötti út befutásának ideje az L1 pályán B B L1 1 τ AB = ds A ds (integrálni azért kell, mert a sebesség függhet a helytől) L1 A Fermat-el szerint a hullám azon az L úton halad, amelyre B L 1 τ AB = ds = minimum A A Ez az eddigi problémákhoz képest újszerű feladat: nem egy integrált kell meghatározni, hanem egy útonalat, amelynél az integrál minimális (matematikailag ez egy ún ariációszámítási feladat) *************** *************** *************** Az el az optikában a fényút meghatározására használható, és más módon szokták megfogalmazni Ha egy álasztott referencia közegben a hullám terjedési sebessége 0, akkor a izsgált közeg abszolút törésmutatója 0 1 n n = így = Ezzel a futási időre a 0 1 dt = nds 0 kifejezést kapjuk Az itt szereplő nds mennyiséget optikai úthossznak neezik, és ezzel az A és B pontok közötti futási idő egy L pályán Miel 0 állandó, a Fermat-el a τ B L 1 τ AB = nds B = nds A 0 L AB = A minimum alakba írható, agyis a hullám úgy halad, hogy az optikai úthossz a lehető legkisebb legyen *************** *************** *************** L

26 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 6 Utolsó módosítás: Hullámterjedés homogén közegben Az el alapján könnyen belátható, hogy homogén közegben a hullám egyenes onalban terjed, hiszen ekkor B B L 1 1 τ AB = ds = ds = minimum A A Ekkor tehát az A és B pontokat összekötő onal hosszának kell minimálisnak lenni, ez a onal pedig a két pontot összekötő egyenes Hullámterjedés közeghatáron történő áthaladásnál Könnyen leezethető a Huygens-elel korábban már megkapott törési törény is Két különböző közegben léő A és B pontok között a hullám haladási ideje az ábra jelöléseiel az alábbi módon írható fel A s 1 s s τ AB = τ 1 + τ = a α b Az -koordinátáal kifejeze B a + ( A ) b + ( B ) A τ AB = + α t s 1 b A feladat a alódi útnak megfelelő B koordináta és abból az α b beesési- illete α t törési szög meghatározása A Fermat-el szerint a alódi úton τ AB minimális, agyis dτ AB = 0 d A differenciálás elégzése után azt kapjuk, hogy dτ AB 1 A 1 B = = 0 d a ( ) 1 + A b + ( B ) Felhasznála, hogy A B sinα b = és sinα a + ( ) t =, A b + ( ) B égül alóban az ismert sinαb 1 = sinαt törési törényt kapjuk Hullámterjedés közeghatárról történő isszaerődésnél A isszaerődésre onatkozó törény a mellékelt ábra alapján teljesen hasonló módon kapható meg, ha az α t törési szöget az α A isszaerődési szöggel helyettesítjük, és s B 1 figyelembe esszük, hogy a hullám a a α b α s b isszaerődés után is ugyanabban a közegben terjed, agyis 1 = = A B Ekkor a sinα b = 1 sinα t

27 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 7 Utolsó módosítás: összefüggést kapjuk, amiből köetkezik, hogy α = b α A isszaerődési és törési törény leezetése a hullámfüggény segítségéel A isszaerődés és törés törényét már leezettük a Huygens-el és a Fermat-el segítségéel Most bemutatjuk, hogy hogyan lehet tárgyalni a közeghatárhoz érkező hullám iselkedését a hullámfüggény segítségéel Vegyük fel a koordinátarendszerünket úgy, hogy az 1 és közeget elálasztó határfelület az z-síkba-, a beeső hullám k b hullámszám-ektora pedig az y-síkba essen (ábra) Az y-síkot beesési síknak neezik A beérkező hullámot harmonikus síkhullámnak tételezzük fel, amelynek hullámfüggénye ψ r,t ) = A cos( ωt k r ) b( b b A tapasztalat szerint, ha egy harmonikus síkhullám megérkezik a két közeget elálasztó határfelületre, akkor a beeső hullám mellett keletkezik egy isszaertés egy áteresztett (megtört) síkhullám is, amelyeknek hullámfüggénye illete ψ ( r,t ) = A cos( ωt k r ) ψ r,t ) = A cos( ωt k r ) t( t t Itt k és k t a isszaert- és az átmenő hullám hullámszám-ektora Miel a közeghatár két oldalán terjedő hullámok a felületen azonos áltozást okoznak, a hullámfüggényekre a felületen fennáll, hogy ψ b( r,t ) + ψ ( r,t ) = ψ t( r,t ) Miel a zaarok a felület minden pontján, minden pillanatban azonosak, a hullámok fázisa itt nem különbözhet egymástól, agyis ω t krb = ωt k r = ωt ktr Ebből köetkezik, hogy krb = k r = ktr Az itt szereplő ektorok komponensei a köetkezők: r ( 0,,z ), mert a határfelületen agyunk, és ez az z síkban an, k b( kb,kby 0, ), mert a koordinátarendszer álasztása miatt az y síkban an, k k,k,k ), mert ennek irányát nem tudjuk, ( y z t( kt,kty,ktz ) k, mert ennek irányát sem tudjuk A fázisok egyenlőségéből két független egyenletet kapunk: krb = k r és krb = ktr Behelyettesíte a ektorok komponenseit, az alábbi összefüggéseket kapjuk kb = k + kz z kb = kt + ktzz, átrendezés után pedig k k ) k z 0 ( b z = 1 k b y ϑ b ϑ r z ϑ t k t k

28 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 8 Utolsó módosítás: ( kb kt ) ktzz = 0 Miel és z tetszőleges, ezek az egyenletek csak úgy állhatnak fenn, ha és z együtthatói nullák Ebből egyrészt az köetkezik, hogy kz = ktz = 0, tehát a isszaert és átmenő hullámok hullámszám-ektorai ( k és k t ) az y síkban annak Másrészt kb = k kb = kt Utóbbi két egyenlet a kb sinϑ b = k sinϑ kb sinϑ b = kt sinϑt alakba is átírható Miel a beeső- és a isszaert hullám is az 1 közegben terjed, hullámszám ektoraik ω megegyeznek ( kb = k = ), ezért az első egyenlet azt jelenti, hogy sinϑ b = sinϑ, tehát 1 megkapjuk a isszaerődés ismert ϑ b = ϑ törényét ω ω A második egyenletből pedig a kb =, kt = összefüggések felhasználásáal a szintén a 1 jól ismert törési törényt kapjuk: sinϑb k 1 = = sinϑt k Az ismert összefüggések mellett ebből a leezetésből az is kiderül, hogy ha a hullám terjedését a hullámszám-ektorokkal párhuzamos sugarakkal írjuk le, akkor a fenti eredményt úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a beeső, a isszaert és áteresztett sugár is a beesési síkban an Intenzitásiszonyok határfelületről történő isszaerődésnél és határfelületen történő áthaladásnál A törésre és isszaerődésre onatkozó fenti megfontolásokból az is köetkezik, hogy a határfelületen a beeső-, isszaert- és áteresztett hullámok amplitúdóira fennáll, hogy A b + A = At Ahhoz, hogy az amplitúdókat meg tudjuk határozni, a határfelületen aló áthaladásnál toábbi fizikai összefüggésre an szükségünk Felhasználhatjuk az energiamegmaradás tételét, amely szerint a beeső intenzitás (I b ) megegyezik a isszaert (I ) és az áteresztett (I t ) intenzitások összegéel: I b = I + It Behelyettesíte az intenzitásokra érényes 1 Ib = ρ1ab ω 1 1 Ib = ρ1a ω 1

29 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 9 Utolsó módosítás: Ib = ρ At ω kifejezéseket, az alábbi egyenletet kapjuk ρ 11( Ab A ) = ρ At Ez az A b + A = At egyenlettel együtt lehetőséget ad az ismeretlen A és A t amplitúdók meghatározására A két közeg sűrűségét ( ρ 1,ρ ), a hullámok terjedési sebességét a két közegben ( 1, ) és a beeső hullám amplitúdóját ( A b ) ismertnek tételezzük fel A két egyenletből pl A -re másodfokú egyenletet kapunk, amelyből a isszaert amplitúdó: A ρ ρ 1 1 = Ab ρ11 + ρ Ennek felhasználásáal az áteresztett hullám amplitúdójára azt kapjuk, hogy ρ11 At = Ab ρ11 + ρ A hanghullámok izsgálatánál hasznos egy közeg hullám-impedanciájának agy akusztikai keménységének beezetése, amelynek definíciója: z = ρ Az elneezés onnan származik, hogy ez a mennyiség a hullámterjedésnél formálisan a áltóáramú áramkörökben használt impedanciához hasonló szerepet játszik Ezzel az amplitúdók: z1 z A = z1 + z z1 A = z1 + z A hullámterjedésnél fontos lehet a hullám által szállított energia isszaert illete átment hányadának ismerete, amit az R refleiós- illete a T transzmissziós tényezőel szokás megadni Ezeket az intenzitásokkal definiálják: 1 ρ1ω 1A I ( z1 z ) R = = = I 1 b ρ ( z ) 1 z 1ω 1A + b I t I b I I 4z1z T = = = 1 = 1 R = I b I b I b ( z ) 1 + z Ezekből a kifejezésekből látható, hogy a z 1 << z illete z 1 >> z esetekben T 0 és R 1, agyis a hullám gyakorlatilag nem hatol be a második közegbe, hanem isszaerődik onnan Ez az eset áll elő például, ha egy hanghullám leegő és szilárd anyag határához érkezik, 7 kg kg hiszen az akusztikai keménységek nagyságrendje: zszilárd 10, z gáz 10 ) Ha m s m s azt akarjuk, hogy a hang behatoljon a másik közegbe, egy átmeneti folyadékréteget célszerű 5 kg alkalmazni z folyadék 10 m s Ha a két közeg akusztikai ellenállása közel azonos ( z1 z ), akkor a hullám majdnem teljesen áthalad a határon, és gyakorlatilag nincs isszaert hullám

30 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 30 Utolsó módosítás: Hullámok találkozása, interferencia Ha a tér egy pontjában két hullám an jelen, akkor hatásuk ott alamilyen módon összegződik A hullámok összeadódását interferenciának neezik Ha a szuperpozíció ele érényes (és szélsőséges esetektől eltekinte általában érényes), akkor adott helyen (r), a hullámok által okozott áltozás minden időpillanatban (t) a két hullám által külön-külön okozott áltozások összege, agyis a két hullámfüggény egyszerűen összeadható: ψ ( r,t ) = ψ 1( r,t ) + ψ ( r,t ) Ezt a felteést elfogada, most az interferencia néhány egyszerű esetéel foglalkozunk: megizsgáljuk pontszerű forrásokban keltett gömbhullámok (két dimenzióban körhullámok)- és rugalmas kötélen terjedő, egydimenziós hullámok interferenciáját Egy-egy pontforrásban keltett két gömbhullám interferenciája Általános köetkeztetések leonására is alkalmas példaként izsgáljuk meg két pontforrásból induló, azonos ω körfrekenciájú, harmonikus gömbhullám (agy körhullám) interferenciáját Az amplitúdó térbeli eloszlása, az interferenciakép Tegyük fel, hogy az ábrán látható O 1 és O forrásokban létrehozott két rezgés amplitúdója különböző, és köztük ϕ fáziskülönbség an, így a rezgések időfüggését az f1( t ) = A1 cosωt f ( t ) = A cos( ωt + ϕ ) P függényekkel adhatjuk meg r Ha feltételezzük, hogy a izsgált térrészben a 1 r hullámok amplitúdójának csökkenése még nem számotteő, akkor a két hullám hullámfüggénye d ψ 1( r1,t ) = A1 cos( ωt kr1 ) O 1 O ψ ( r,t ) = A cos( ωt kr + ϕ ) alakban írható fel Az interferencia eredményét egy tetszőlegesen álasztott P pontban számítjuk ki Az eredő hullám a P pontban a szuperpozíció ele szerint: ψ ( P,t ) = ψ 1 ( r1,t ) + ψ ( r,t ) Ez áttekinthetőbb alakban írható fel, ha felhasználjuk a rezgések összegzésénél a forgóektoros módszerrel kapott összefüggést: A1 cos( ω t + α1 ) + A cos( ωt + α ) = Acos( ωt + α ) ahol A = A1 + A + A1 A cos( α α1 ) A1 sinα1 + A sinα tgα = A cosα + A cosα 1 1 Most az α 1 = kr1 és α = kr + ϕ fázisszögek adott helyen állandók, így α is az Ezzel az eredő hullám: ψ P,t ) = A + A + A A cos( kr kr + ϕ ) cos( ωt + ) ( α

31 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 31 Utolsó módosítás: A P pontban tehát ω körfrekenciájú harmonikus rezgés jön létre (a kifejezés második tényezője), amelynek amplitúdója (az első tényező) a helytől függ: A = A1 + A + A1 A cos( kr1 kr + ϕ ) = A( P ) = A( r1,r ) Az amplitúdó maimális lesz akkor, ha a négyzetgyök alatti kifejezés maimális, agyis ha cos( kr1 kr + ϕ ) = + 1 Ekkor A ma = A1 + A, agyis a két hullám amplitúdója összeadódik A koszinusz függény tulajdonságaiból köetkezik, hogy maimális amplitúdó ott alakul ki, ahol kr1 kr + ϕ = ± nπ, agyis a két hullám által a találkozásukig megtett utak Δ sma = r1 r különbsége: ϕ Δs ma = ± nλ λ (n = 0, 1,, 3, ) π Hasonlóan belátható, hogy a minimális amplitúdó Amin = A1 A, amely azokon a helyeken jön létre, ahol a hullámok közötti útkülönbség λ ϕ λ Δs min = ± ( n + 1) (n = 0, 1,, 3, ) π Ha a hullámok között nincs fáziskülönbség (ϕ=0), akkor a két feltétel egyszerűbben megfogalmazható: maimális amplitúdó ott jön létre, ahol a két hullám Δs útkülönbsége a hullámhossz egész számú többszöröse: Δs ma = ± nλ minimális amplitúdó pedig ott, ahol az útkülönbség a félhullámhossz páratlan számú λ többszöröse: Δ s min = ± ( n + 1) Ha a ϕ fáziskülönbség időben állandó, akkor a fenti egyenletekből azt kapjuk, hogy a maimális és minimális amplitúdójú (intenzitású) helyek síkban terjedő hullámoknál egy-egy időben állandó helyzetű hiperbola-seregen helyezkednek el, hiszen az r1 r = állandó összefüggés hiperbola egyenlete Az ábrán a ϕ = 0 eset látható A két forrásból kiinduló körhullámok maimális amplitúdójú onalait folytonos körök, a minimális amplitúdójú helyeket szaggatott onallal rajzolt körök mutatják Vastag onalak jelzik az λ O r1 r = m feltételnek megfelelő 1 O hiperbolákat A maimális amplitúdójú helyek az m = 0,,4, 6 értékeknek megfelelő folytonos onalakon találhatók A két hullám útkülönbsége ezeken a helyeken a hullámhossz m egész számú többszöröse A minimális amplitúdójú helyek az m = 1,3, 5 értékeknek megfelelő szaggatott onalakon helyezkednek el Itt az útkülönbség a félhullámhossz páratlan számú többszöröse Ha ϕ 0, de állandó, akkor is hiperbolákat kapunk, csak ezek az ábrán látható hiperbolákhoz képest eltolt helyzetűek lesznek Térbeli terjedés (gömbhullámok) estén a maimális és minimális amplitúdójú helyek forgási hiperboloidokon helyezkednek el, amelyeket a fenti hiperboláknak az O1 O egyenes körül történő forgatásáal kapunk meg

32 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 3 Utolsó módosítás: Intenzitáseloszlás a forrásoktól táol Az intenzitáseloszlás egyszerűen kiszámítható, ha a pontforrásoktól nagy táolságban, a forrásokat összekötő egyenessel párhuzamos egyenes (az ábrán az -tengely) mentén izsgáljuk, és az interferenciát csak kis -tartományban izsgáljuk (a ϑ szög kicsi) Ekkor a mellékelt sematikus ábra jelöléseiel azt kapjuk, hogy sin ϑ tgϑ = D r illete O r1 r ϑ sinϑ r 1 d d ϑ O Ebből az ~90 r1 r O o D 1 r 1 -r d D közelítő összefüggést kapjuk A maimumhelyek -koordinátái eszerint a minimumhelyeké pedig ma n λ ± n D, d min λ n ± ( n + 1) D d Ezek az összefüggések akkor használhatók, ha és d sokkal kisebb, mint D, agyis a források egymástól mért táolsága kicsi, a megfigyelés helye a forrásoktól táol an, és az interferenciát csak az O centrum közelében izsgáljuk Az r1 r a sinϑ összefüggést felhasznála az intenzitás szögfüggése az πd sinϑ I = I0 ( 1+ cos( kr1 kr )) = I0 ( 1+ cos( kd sinϑ )) = I0 1+ cos λ alakba írható α Ez toább egyszerűsíthető, ha felhasználjuk az 1+ cosα = cos trigonometriai összefüggést: πa sinϑ I = 4I 0 cos λ r1 r Az D D sinϑ összefüggés segítségéel az intenzitás helyfüggésére is d kaphatunk egy egyszerűbb kifejezést: I() πd I = 4I0 cos 4I Dλ 0 Az intenzitás tehát az ernyőn periodikusan áltozik, maimális értéke az összeteő hullámok intenzitásának 4-szerese (ábra) Ha az interferenciaképen megmérjük a maimális amplitúdójú helyek Δ táolságát akkor meghatározhatjuk a két forrásban keltett hullámok hullámhosszát Erre a ma ma λd Δ = n+ 1 n = d

33 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 33 Utolsó módosítás: összefüggés ad lehetőséget, amiből a hullámhosszra azt kapjuk, hogy dδ λ = D Ha tehát ismerjük a források egymástól mért d táolságát és a megfigyelés síkjának a forrásoktól mért D táolságát, akkor a Δ táolság méréséel a hullámhossz meghatározható Ez a lehetőség különösen fontos az optikában, ahol a hullámhossz közetlen megfigyeléssel nem határozható meg Az ábrán sematikusan azt is feltüntettük, hogy ha a két hullámforrást összekötő egyenessel párhuzamosan haladunk, akkor az amplitúdó jellegzetes maimumok és minimumok sorozatából álló helyfüggést mutat A két pontforrásból induló körhullámok interferenciája ízhullám kísérletekkel jól szemléltethető KÍSÉRLET: Vízfelület két pontjában egyidejűleg azonos fázisú rezgéseket keltünk, és megfigyeljük a keletkező körhullámok interferenciáját (ábra) Az interferenciaképen jól láthatók azok a onalak, amelyeken a maimális- és minimális amplitúdójú helyek találhatók (a középre berajzolt függőleges onal maimumhelyeket jelöl ki) A hullámok interferenciájánál kialakuló jellegzetes, állandósult amplitúdó-helyfüggést interferenciaképnek neezik Állandósult interferenciakép azonban csak akkor alakul ki, ha a hullámok közötti fáziskülönbség időben nem áltozik Az állandó fáziskülönbségű tehát állandósult interferenciaképet létrehozó hullámokat koherens hullámoknak neezik Interferencia természetesen akkor is létrejön, ha az interferáló hullámok fáziskülönbsége nem állandó, de ekkor többnyire az interferenciakép is olyan gyorsan áltozik, hogy nem figyelhető meg Az eredő hullám amplitúdójának helyfüggésére onatkozó egyenletet négyzetre emele, az A = A1 + A + A1 A cos( kr1 kr +ϕ ) összefüggést kapjuk Korábban már olt róla szó, hogy a hullám által szállított energia áramsűrűsége, az I intenzitás, az amplitúdó négyzetéel arányos, agyis a találkozó hullámokra és az eredő hullámra fennállnak az alábbi összefüggések: I 1 = CA1, I = CA, I = CA Ezeket az összefüggéseket figyelembe ée, az amplitúdóra onatkozó egyenletből az intenzitásokra az alábbi összefüggést kapjuk: I = I1 + I + I1I cos( kr1 kr + ϕ ) Az interferenciánál tehát az eredő hullám I intenzitása nem egyszerűen az interferáló hullámok I 1 és I intenzitásainak összege, hanem megjelenik egy a helytől és a hullámok fáziskülönbségétől függő interferencia-tag Ha a ϕ fáziskülönbség időben áltozik, azaz ϕ = ϕ( t ), akkor adott helyen (r 1, r ) a találkozó hullámok eredő intenzitása is függni fog az időtől = I + I + I I cos kr kr + ϕ ( t ) I( r,r,t ( ) ) I = 1

34 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 34 Utolsó módosítás: Ha tehát a hullámok nem koherensek, akkor az intenzitás-eloszlás időben áltozó lesz, agyis nem alakul ki állandósult interferenciakép Ha a fáziskülönbség minden szabályszerűség nélkül, életlenszerűen, és a megfigyelő (agy a mérőeszköz) reakcióidejéhez képest gyorsan áltozik, akkor a megfigyelő az átlagos intenzitást észleli Miel ekkor az interferencia-tagban szereplő cos( kr1 kr + ϕ( t )) időbeli átlaga nulla, a megfigyelt intenzitás a két hullám intenzitásának összege lesz: I = I 1 + I Ilyenkor interferenciakép helyett egyenletes intenzitás-eloszlást észlelünk (Ez az oka annak, hogy két közönséges lámpa fényének interferenciáját nem észleljük: a lámpák fényében a hullámok fáziskülönbsége életlenszerűen áltozik, két ilyen lámpa nem koherens fényforrás) A két pontforrásban keltett gömbhullámok interferenciájáal kapcsolatban még egy kérdést érdemes tisztázni Eddig nem foglalkoztunk azzal, hogy hogyan befolyásolja az interferenciát a hullámforrások egymástól mért d táolsága Nyilánaló, hogy a két hullám útkülönbsége nem lehet nagyobb, mint a d táolság Ebből köetkezik, hogy d csökkenéséel egyre keesebb olyan hiperbola lesz, amelyen teljesül az λ r1 r = m feltétel, agyis csökken a maimális- és minimális amplitúdójú helyeket megadó hiperbolák száma Ez az interferenciaképet megáltoztatja λ Ha elérjük a < d < λ értéket, akkor a fenti feltételnek már csak három útkülönbség λ λ felel meg: a, a 0 és a +, agyis középen lesz egy maimumhelyeket összekötő egyenes és két minimumhelyeket összekötő hiperbola Ha a források táolságát toább λ csökkentjük, és elérjük a d < értéket, akkor ez a két minimum-hiperbola is eltűnik, mert a gyengítés feltétele sehol nem teljesül A táolság toábbi csökkenésénél a hullámtér bármely pontján egyre kisebb lesz a hullámok útkülönbsége, és a jellegzetes interferencia nem észlelhető: a két pontforrás olyan hullámot hoz létre, mintha csak egyetlen forrás olna Pontforrás-sor által keltett hullámok interferenciája Sok pontforrásból induló, azonos frekenciájú és amplitúdójú gömbhullámok interferenciáját abban az egyszerű esetben izsgáljuk, amikor a pontforrások egy egyenes mentén egymástól azonos a táolságban helyezkednek el (ábra), nincs közöttük fáziskülönbség, és az interferenciát a forrásoktól nagyon nagy (elileg égtelen) táolságban izsgáljuk Ilyenkor az egyes pontokból kiinduló hullámok akkor erősítik egymást, ha az útkülönbségük a hullámhossz egész számú többszöröse Az ábrából látható, hogy ez olyan irányokban teljesül, amelyekre fennáll, hogy ϑ a Δsn = a sinϑn = nλ, Δs=a sinϑ λ Azaz sinϑ n = n a Miel a hullámok amplitúdója azonos, a maimális amplitúdó a két pontforrás esetéhez hasonlóan az egyes amplitúdók összege lesz Ha N számú, A

35 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 35 Utolsó módosítás: amplitúdójú pontforrás an, akkor A ma = NA (Ennek megfelelően a maimális amplitúdójú irányokban az intenzitás I ma = N I ahol I az egyes forrásokból érkező hullámok intenzitása) A maimális amplitúdójú irányok között minimális (esetünkben nulla) amplitúdójú irányok találhatók, így a pontforrásokat összekötő egyenessel párhuzamosan halada a két pontforrás esetéhez hasonlóan az amplitúdó periodikus térbeli áltozását tapasztaljuk A mellékelt ábrán a különböző a sinϑ n = értékekhez tartozó maimális λ intenzitások láthatók különböző számú (N) pontforrás esetén Az N=8-nak megfelelő ábra a fenti számítással nem egyezik Ennek az az oka, hogy az eredő hullám amplitúdóját nem számítottuk ki, így csak a főmaimumok helyét tudtuk meghatározni Ha a hullámokat alóban összegezzük (pl a forgóektoros módszerrel), akkor kiderül, hogy a főmaimumok között jóal kisebb amplitúdójú mellékmaimumok is annak Ezek intenzitása a források számának nöeléséel csökken: igen nagy számú forrás esetén a fenti ábra alsó részén látható, mellékmaimumok nélküli eloszlást kapjuk Az interferencia látányos megnyilánulása az, hogy ékony hártyákról (pl olajréteg a íz felületén) isszaerődő fényben színes csíkokat látunk Ezt a hártya két oldaláról isszaerődő fényhullámok interferenciája okozza (ábra): a hártyáról a szemünkbe érkező b és c fényhullámok között útkülönbség an, ami függ attól, hogy milyen szög alatt nézünk a hártyára Egy adott szög esetén az erősítés feltétele (az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse) csak egy bizonyos hullámhosszra (színre) teljesül, így ebből az irányból ezt a színt látjuk A hártya különböző pontjairól tehát különböző szög alatt a szemünkbe érkező fénynél az erősítés feltétele különböző hullámhosszakra teljesül, ezért látunk különböző színű sáokat Egy egyenes mentén egy irányban terjedő két harmonikus síkhullám interferenciája A hullámok interferenciájának gyakori esete az, amikor az összetalálkozó két síkhullám ugyanazon egyenes mentén terjed Vizsgáljuk meg az interferenciát abban az egyszerű esetben, amikor a közeg homogén, és a hullámok frekenciája (és hullámhossza) azonos Példaként ismét egy rugalmas kötélen terjedő transzerzális hullám szolgál KÍSÉRLET: Egy Y alakú rugalmas kötél szárát rögzítjük (ábra), és két azonos hosszúságú ágának O 1 és O égén rezgetéssel hullámokat keltünk A hullámok az ágakon égigfuta közös szakaszon haladnak toább Ha az Y két égét az összekötő rúd segítségéel azonos fázisban rezgetjük (a) ábra), akkor a közös szakaszon az amplitúdók összeadódnak, ellenkező fázisban történő rezgetésnél (b) ábra) a közös részen a hullámok kioltják egymást Az ábrán az eredő hullámot astag onal jelzi O 1 O 1 leegő hártya íz a A kísérletből látszik, hogy a c b O a) O b) c

36 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 36 Utolsó módosítás: hullámok interferenciája egyaránt ezethet a hullám amplitúdójának nöekedéséhez és csökkenéséhez (sőt eltűnéséhez) 1 Az a tény, hogy két hullám összeadása a hullám megszűnését eredményezheti, a hullámok jellegzetes tulajdonsága A megfigyelt erősítés azzal magyarázható, hogy az azonos fázisú források esetén a két azonos utat befutott hullám azonos fázisban találkozik, így a rezgések a közös részen mindenütt azonos fázisban zajlanak, és erősítik egymást, a rezgési amplitúdók mindenütt összeadódnak A gyengítés oka az, hogy az ellenkező fázisú forrásból jöő hullámok ellenkező fázisban találkoznak, így a rezgések mindenütt ellenkező fázisúak, és gyengítik (azonos amplitúdó esetén kioltják) egymást Az interferenciának ezt az esetét egyszerűen tárgyalhatjuk, ha a két pontforrásra onatkozó számítás speciális estének tekintjük, és az interferenciát csak a két pontforrást összekötő egyenes mentén izsgáljuk Ha az -tengelyt az O1 O egyenesen esszük fel, és a nulla pont O 1 O az O 1 forrás helyén an (ábra), akkor a két pontforrásra onatkozó 0 d egyenletekből az r 1 =, r = d helyettesítéssel kapjuk a síkhullámokra onatkozó eredményt Eszerint az erősítés feltétele: ϕ d = ± nλ λ (n = 0, 1,, 3, ), π a gyengítésé pedig λ ϕ λ d = ± ( n + 1) (n = 0, 1,, 3, ) π Érdemes két speciális esetet megizsgálni: ha a hullámok között nincs útkülönbség (mint a korábban leírt kísérletben), akkor d = 0, tehát a hullámok akkor erősítik egymást, ha fáziskülönbségük ϕ = ±nπ (a kísérletben n = ϕ = 0 olt), és akkor gyengítik egymást ha ϕ = ±( n + 1) π (a kísérletben ϕ = π olt), ha a hullámok között nincs fáziskülönbség, akkor ϕ = 0, tehát a hullámok akkor erősítik λ egymást, ha az útkülönbségük d = nλ, és akkor gyengítik egymást, ha d = ( n + 1) Közeghatár felé haladó- és isszaerődő síkhullámok interferenciája, állóhullámok Eddig feltételeztük, hogy az egymással kölcsönhatásba lépő hullámok olyan nagy méretű közegben terjednek, hogy a közeghatárról aló isszaerődés elhanyagolható Ez a alóságban általában nem így an (emlékezzünk az előző pontban ismertetett kísérletre, ahol ebből bonyodalmak származtak) Miel ez elileg és gyakorlatilag egyaránt fontos eset, most megizsgáljuk egy határfelület felé haladó- és az onnan isszaerődő síkhullámok találkozásánál fellépő interferenciát A kialakuló hullámkép nagyon jól szemléltethető rugalmas kötélen terjedő hullámokkal 1 Mint korábbi kötél-kísérleteinknél is előfordult, a rögzített égről történő isszaerődés miatt itt is állóhullámok jönnek létre, amelyekkel később foglalkozunk Ez azonban a leont köetkeztetéseket nem befolyásolja

37 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 37 Utolsó módosítás: KÍSÉRLET: Rugalmas kötél egyik égét rögzítjük, másik égét megfogjuk, és lassú rezgésbe hozzuk Ekkor a kötélég felé haladó és onnan isszaerődő hullámok interferenciája általában rendszertelen hullámzást eredményez Ha a rezgetés frekenciáját nöeljük, akkor bizonyos frekenciáknál sajátos hullámalakzatok jönnek létre Vannak helyek amelyeknek a kitérése mindig nulla, ezek a csomópontok A közöttük elhelyezkedő kötélszakaszokon mindenegyes pont ugyanolyan fázisban rezeg, de az amplitúdó a hely függényében áltozik Nincs rezgés a csomópontokban, és maimális amplitúdójú rezgés an a csomópontok közötti szakaszok felezőpontjában, ezeket duzzadóhelyeknek neezik Az ábrán feltüntettünk néhány jellegzetes hullámalakzatot A kísérletben kialakult hullámalakzat sajátossága az, hogy szemben a zaartalanul terjedő hullámmal az azonos fázisú helyek nem mozognak, a kötél úgy iselkedik, mintha nem is terjedne benne hullám Ezt a hullámalakzatot ezért állóhullámnak neezik (Az eddig tárgyalt hullámokat megkülönböztetésül gyakran haladó hullámoknak híják) A jelenséget a közeghatár felé haladó és onnan isszaert hullámok interferenciájának izsgálatáal értelmezhetjük Tegyük fel, hogy a kötélen egy harmonikus síkhullám ( ψ ( 1,t ) ) az -tengellyel szemben, a rögzített kötélég felé mozog, és isszaerődése köetkeztében létrejön egy másik ( ψ (,t ) ) hullám, amely az -tengely irányában halad (ábra) A két hullám hullámfüggényei: ψ (,t) ψ 1 (,t) ψ 1(,t ) = A1 sin( ωt + k ) ψ (,t ) = A sin( ωt k + α ) 0 Az eredő hullám a szuperpozíció ele alapján ψ (,t ) = ψ 1(,t ) + ψ (,t ) = A1 sin( ωt + k ) + A sin( ωt k + α ) Tudjuk, hogy a közeghatárnál (rögzített ég) a hullám terjedésére onatkozóan teljesülni kell bizonyos feltételeknek, amelyeket általában határfeltételeknek agy peremfeltételeknek neeznek Ebben az esetben a peremfeltétel azt jelenti, hogy az =0 helyen rögzített ég an, nincs kitérés, tehát ψ ( 0,t ) = 0 Ez iszont csak úgy lehetséges, ha α = π, és A 1 = A, tehát a rögzített égről a hullám áltozatlan amplitúdóal, de ellenkező fázisban erődik issza, ahogy azt a kísérleteink is mutatták Ezzel az eredő hullám kifejezése így alakul ψ (,t ) = A1 ( sin( ωt + k ) + sin( ωt k + π )) = A1 ( sin( ωt + k ) sin( ωt k )) α β α + β Felhasznála a sinα sin β = sin cos összefüggést, azt kapjuk, hogy ψ (,t ) = A1 sin k cos ωt Ennek a függénynek az argumentumában nem jelenik meg a hullámokra jellemző ω t k kifejezés, tehát itt nem egy szokásos (haladó) hullám jön létre, hanem a kísérleteknél már említett állóhullám Ez tulajdonképpen a közegnek egy rezgése, ahol a közeg egyes részei azonos fázisban rezegnek, de a rezgés ϕ amplitúdója a hely függénye:

38 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 38 Utolsó módosítás: ψ (,t ) = ϕ( ) cos ωt, ahol ϕ ( ) = A1 sin k = Asink (itt beezettük a A 1 = A jelölést) Miel éges hosszúságú kötélről an szó, foglalkoznunk kell a kötél másik égének hatásáal is, hiszen a hullám onnan is isszaerődik Vizsgáljuk meg először azt az esetet, amikor a kötél mindkét ége rögzített A kötél másik égének rögzítése újabb peremfeltételt jelent, ami L hosszúságú kötélnél ψ ( L,t ) = A sin kl cosωt = 0, mégpedig minden időpillanatban Ez csak úgy teljesülhet, ha az időfüggő rész együtthatója, agyis az amplitúdó nulla: ϕ ( L ) = AsinkL = 0 Adott hosszúságú kötél esetén ez a feltétel csak a hullámszám megfelelő megálasztásáal teljesíthető Ez azt jelenti, hogy a mindkét égén rögzített rugalmas kötélen agy egy rugalmas húrban olyan hullámszámú állóhullámok alakulhatnak ki, amelyekre fennáll a kl = nπ (n = 1,, 3,), illete π k n = n (n = 1,, 3,) L feltétel Itt a különböző n értékeknek megfelelő hullámszámokat k n -el jelöltük Ezzel az amplitúdó helyfüggését megadó összefüggés így alakul ϕ n( ) = Asin nπ L Ezt a függényt mutatja különböző n értékek esetén a mellékelt ábra Látható, hogy a számolásból alóban a kísérleteknek megfelelő alakzatokat ϕ n () kapunk λ=l π n=1 Az állóhullám-feltétel a k = összefüggés 0 λ L felhasználásáal a hullámhosszal is kifejezhető: λ=l L n= 0 λ n = (n = 1,, 3,) L/ L n λ=l/3 Ez azt jelenti, hogy ha egy kifeszített, két égén rögzített n=3 kötélben létrehozunk egy zaart, akkor abban ilyen 0 L/3 L/3 L hullámhosszú állóhullámok alakulhatnak ki A feltétel még egy alakban megfogalmazható, hiszen a hullámszám (hullámhossz) a rezgés ω körfrekenciájáal is összefüggésbe hozható: k = ( a fázissebesség) Így a lehetséges frekenciákra azt kapjuk, hogy π ω n = n (n = 1,, 3,) L Ha tehát az említett kísérletben a kötelet lengetjük, agyis benne kényszerrezgést hozunk létre, akkor állandósult hullámalakzat csak olyankor jön létre, ha a kötél égét a fenti feltételnek megfelelő frekenciáal mozgatjuk Ezzel magyarázható, hogy a kísérletben csak bizonyos frekenciáknál alakul ki a jellegzetes állóhullám alakzat A jelenség tulajdonképpen egy rezonancia Ezzel kapcsolatban emlékeztetünk arra, hogy több szabadsági fokú rendszer csatolt rezgései esetén a rendszernek annyi normálfrekenciája an, amennyi a szabadsági fokok száma A fenti összefüggés a két égén rögzített kötél

39 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 39 Utolsó módosítás: normálfrekenciáit adja meg Amikor a rezgetéskor eltaláljuk az egyik normálfrekenciát, akkor rezonanciaszerűen kialakul a megfelelő állóhullám alakzat Ezek a normálfrekenciák tehát egyben a rendszer rezonanciafrekenciái is A fenti körfrekenciák felhasználásáal felírhatjuk az állóhullámok hullámfüggényeit: ψ,t ) = A sin nπ cosω t n( n L Az n=1 értékhez tartozó frekenciát alapfrekenciának, az n>1 értéknek megfelelő frekenciákat felharmonikusoknak neezik Az elmondottak értelemszerű áltoztatásokkal érényesek a húros hangszerekben használt húrok transzerzális rezgéseire és a mindkét égükön zárt légoszloppal működő sípokban létrejött longitudinális hullámokra is Az n=1 értéknek megfelelő frekenciájú hangot itt alaphangnak neezik Légoszlopban létrejött állóhullámok jól demonstrálhatók a Kundt-féle cső segítségéel KÍSÉRLET: Vízszintes helyzetű üegcső aljára keés parafa port szórunk, majd egyik égét mozgatható dugattyúal (D) zárjuk le, másik égébe pedig egy fémpálcára (F) erősített könnyű korongot (K) helyezünk (ábra) A fémpálcában dörzsöléssel longitudinális hullámokat keltünk, amelyek az üegcsőben léő légoszlopra átterjednek Ezt a parafa szemcsék mozgása mutatja Ha a D dugattyút mozgatjuk, akkor találhatunk olyan helyzeteket, amikor a parafa szemcsék szabályos (periodikus) elrendezést mutatnak (ábra) Az ábrán C-el jelölt helyeken a szemcsék összegyűlnek, a közbülső helyeken pedig szétszóródnak A kialakult kép magyarázata az, hogy a D dugattyú bizonyos helyzeteinél teljesül az állóhullám-feltétel, és a gázoszlopban longitudinális állóhullámok jönnek létre Ekkor a nagy amplitúdójú rezgési helyeken (rezgési duzzadóhelyek) a parafa szemcsék szétszóródnak, a rezgési csomópontokban (C) pedig összegyűlnek D C λ C parafa por C K F Rugalmas kötél, húr agy légoszlopok rezgéseinél a alóságos helyzet általában eléggé bonyolult Egy zaart elindíta, általában az összes lehetséges frekencián létrejön rezgés, de ezek közül az alapfrekenciának megfelelő állóhullám marad meg a legnagyobb amplitúdóal Emellett azonban kisebb amplitúdóal jelen annak a felharmonikusok is A különböző konstrukciójú húros és fúós hangszerek hangjában más és más a felharmonikusok intenzitása, amit a fülünk hangszíneltérésként érzékel Ezért tudjuk megkülönböztetni egymástól a különböző hangszerek hangját, még akkor is, ha azonos hangmagasságú (frekenciájú) alaphangon szólnak Hasonló gondolatmenettel határozhatjuk meg egyik égén szabad rugalmas kötél agy pálca-, toábbá egyik égén nyitott légoszlop rezgéseinél kialakuló állóhullámokat A hullám amplitúdója itt sem áltozik meg ( A1 = A = A ), toábbá α = 0 (a szabad égről a hullám áltozatlan amplitúdóal és áltozatlan fázissal erődik issza), így az eredő hullám ψ (,t ) = A( sin( ωt + k ) + sin( ωt k )), amiből trigonometriai átalakítással azt kapjuk, hogy ψ (,t ) = Acos k sinωt

40 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 40 Utolsó módosítás: Ha a másik ég most is rögzített, akkor az amplitúdóra onatkozó másik peremfeltétel most is ϕ ( ) = Acos kl = 0, agyis π kl = ( n 1) (n = 1,, 3,) A lehetséges hullámszámokra, hullámhosszakra és ϕ n () körfrekenciákra ebből azt kapjuk, hogy λ=4l n=1 π 4L π 0 k n = ( n 1), λ n =, ωn = ( n 1) L L ( n 1) L λ=4l/3 Az egyes n értékeknek megfelelő amplitúdó-függények most 0 n= tehát a L/3 L π λ=4l/5 ϕ n ( ) = Acos ( n 1) (n = 1,, 3,) n=3 L 0 L/5 3L/5 L függényekkel adhatók meg Ezek a függények láthatók a mellékelt ábrán különböző n értékek esetén Mindkét égén szabad pálca agy mindkét égén nyitott ϕ n () gázoszlop esetén a második peremnél is maimális amplitúdó λ=l n=1 jön létre, agyis 0 L cos kl = ± 1, kl = nπ λ=l Ez megegyezik a két rögzített ég esetén kapott feltétellel, 0 n= agyis például a lehetséges hullámhosszakra itt is azt kapjuk, L/4 3L/4 L hogy λ=l/3 L λ n = (n = 1,, 3,) 0 n=3 n L/6 3L/6 5L/6L A kialakult állóhullám azonban különbözik a két égen rögzített esettől, mert most mindkét égen maimális az amplitúdó, amint az a mellékelt ábrán látható

41 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 41 Utolsó módosítás: Hullámok elhajlása (diffrakció), a Huygens Fresnel-el A hullámok terjedését eddig olyan esetekben izsgáltuk, amikor a terjedést korlátozó, agy módosító felületek (közeghatárok) nagyméretűek oltak, a közegekben pedig a határoktól eltekinte a hullámterjedés homogén és izotróp olt A hullámok terjedését azonban lényegesen befolyásolja, ha az útjukba éges méretű akadályok agy rések kerülnek Ha ezeknek a mérete sokkal nagyobb, mint a hullámhossz, akkor még nincs jelentős áltozás Ezt szemlélteti a köetkező kísérlet KÍSÉRLET: Hullámkád egy pontjában létrehozunk egy körhullámot, és egy a hullámhosszhoz képest nagyméretű résen bocsátjuk át A rés után nagyjából az ábrán látható hullámképet látjuk Ebben az esetben tehát szabályos árnyék keletkezik, a hullám jó közelítéssel egyenes onalban terjed, az egyenesekkel határolt, geometriai árnyéktérbe nem agy alig hatol be árnyék d>>λ d árnyék A hullámok egyenes onalú terjedése teszi lehetőé, hogy a hullámterjedést a sugarak beezetéséel sok esetben egyszerű geometriai szerkesztésekkel tudjuk nyomon köetni, és egyszerű magyarázatot adjunk számos optikai eszköz működésére (ezzel a geometriai optika foglalkozik) Vannak azonban olyan esetek, amikor a hullám lényegesen eltér az egyenes onalú terjedéstől Ez történik pl akkor, ha az előbbi kísérletben a rés méretét lecsökkentjük KÍSÉRLET: Az előbbi kísérletben csökkentsük a rés méretét Amikor a rés mérete közel azonos a hullámhosszal (a) ábra), akkor a hullám jelentősen behatol az árnyéktérbe, az egyenes terjedéshez képest elhajlik Még jelentősebb eltérés köetkezik be, ha a rés mérete sokkal kisebb a hullámhossznál (b) ábra), hiszen ekkor mint azt korábban már láttuk a rés pontforrásként iselkedik d~λ d a) d<<λ d b) Már a nagyméretű rés esetén is utaltunk arra, hogy az egyenes onalú terjedés csak jó közelítéssel alósul meg Pontosabb megfigyelések azt is megmutatják, hogy bármilyen akadály szélénél is beköetkeznek az egyenes onalú terjedéstől eltérő jelenségek KÍSÉRLET: Ezt megfigyelhetjük egy hullámkádban, ha egy nagyobb hullámhosszú hullám egy akadály széle mellett halad el (ábra)

42 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 4 Utolsó módosítás: Kis méretű akadály esetén a hullám az akadály mindlét szélén behatol az árnyéktérbe KÍSÉRLET: Hullámkádban keltett körhullám útjába a hullámhosszal összemérhető akadályt helyezünk el A hullámok jól láthatóan behatolnak az akadály mögötti geometriai árnyéktérbe d~λ Toábbi izsgálatok amelyekről részletesebben a fényhullámoknál lesz szó azt mutatják, hogy a hullám intenzitáseloszlása nem olyan egyszerű, mint amiről eddig szó olt Ez legjobban fényhullámokkal mutatható be, de a jelenség hullámkádban is megfigyelhető KÍSÉRLET: Vízfelületen létrehozott hullám útjába kis méretű rést helyezünk el Ha résméretet és a hullámhosszt megfelelően álasztjuk meg, akkor a rés túloldalán a pontforrások interferenciájához hasonló hullámalakzatot látunk Itt az egyenes terjedéstől aló eltérés mellett a résen áthaladt hullámban maimális és minimális amplitúdójú helyeket mutató onalak figyelhetők meg Ehhez hasonló képet kapunk akkor is, ha a hullám egymás mellett elhelyezett rések sorozatán (rácson) halad át Az itt bemutatott eseteken kíül is számos tapasztalat mutatja, hogy ha a hullám réseken halad át, agy éges méretű akadályokba ütközik, akkor az egyenes onalú terjedéstől jelentős eltérések figyelhetők meg A hullámnak az egyenes onalú terjedéstől aló eltérését hullámelhajlásnak agy diffrakciónak-, az ezzel kapcsolatos jelenségeket elhajlásjelenségeknek-, a létrejött hullámalakzatot pedig elhajlási képnek agy diffrakciós képnek neezik Az elhajlásjelenségek a Huygens-elel már nem értelmezhetők Ennek alapető oka az, hogy a Huygens-el nem eszi figyelembe a terjedő hullám intenzitásiszonyait, így nem tudja értelmezni sem az árnyékjelenséget, sem pedig azt, hogy a hullám részlegesen behatol az árnyéktérbe Ezt a problémát oldja meg a Fresnel 1 által jaasolt módosítás, amely szerint az új hullámfrontot nem az elemi hullámok burkolófelületeként értelmezzük, hanem az elemi hullámok interferenciájából számítjuk ki Ez a Huygens Fresnel-el A Huygens Fresnel-el tehát nem egyszerűen a geometriai terjedési szabályokat eszi figyelembe, hanem azt is, hogy az interferencia miatt az elemi hullámok a hullámtér egyes tartományaiban egymást erősíthetik agy gyengíthetik (esetleg kioltják) egymást, agyis intenzitásáltozások köetkezhetnek be A Huygens Fresnel-el alapján elégzett számításokból derül ki, hogy az árnyékjelenség oka az, hogy az elemi hullámok a rés túloldalán, az "árnyéktérben" a rés méretétől függő d 1 Augustin Jean FRESNEL ( ) francia fizikus

43 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 43 Utolsó módosítás: mértékben kioltják egymást Ezzel egyúttal az árnyéktérbe aló behatolás különböző esetei is értelmezhetők Az is megmagyarázható, hogy miért jelennek meg az interferenciára jellemző hullámalakzatok A Huygens Fresnel-el szerint ugyanis a hullámfront minden pontjából elemi gömbhullámok indulnak ki, és a hullámtér egy adott pontjában az amplitúdót ezek interferenciája adja meg Egy rés mögött tehát olyan interferenciakép jelenik meg, amely a résben elképzelt égtelen sok pontforrásból kiinduló, koherens hullámok interferenciájának felel meg A diffrakció különösen fontos szerepet játszik az optikában, ahol ezt a jelenséget fényelhajlásnak neezik A diffrakcióra onatkozó optikai kísérletekkel és az egyszerűbb elhajlásjelenségek értelmezéséel az elektromágneses hullámoknál foglalkozunk

44 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 44 Utolsó módosítás: Rugalmas hullámok dinamikai leírása A hullám leírása akkor teljes, ha a hullámfüggényt a hullámot létrehozó hatások és a terjedését befolyásoló határfeltételek ismeretében meg tudjuk határozni, agyis ismerjük a hullámfüggény meghatározására szolgáló fizikai egyenletet Emellett a hullám által szállított energia meghatározása is fontos feladat Ezeknek a problémáknak a megoldásához a különböző zaarterjedési mechanizmusok esetén más és más eszközöket és alaptörényeket kell felhasználnunk, ezért a rugalmas hullámokkal és az elektromágneses hullámokkal külön foglalkozunk A tárgyalást a rugalmas hullámokkal kezdjük A hullámegyenlet Első célunk az, hogy egy olyan fizikai egyenletet találjunk, amely alkalmas a hullámfüggény meghatározására Ezt az egyenletet hullámegyenletnek neezik Rugalmas hullámok esetén a hullámegyenlet felírásánál abból indulhatunk ki, hogy a hullám keltésekor erőt fejtünk ki a közeg egy kis térfogatelemére, ezért a hullámegyenletet a hullámban elmozduló közeg egy kis térfogatelemére felírt mozgásegyenlet segítségéel kaphatjuk meg Hullámegyenlet egydimenziós, longitudinális rugalmas hullámok esetén A közeg elemi darabjára felírt mozgásegyenletben természetesen nem szerepel a hullámfüggény, ezért a feladat az, hogy a mozgásegyenletben szereplő, helytől és időtől függő mennyiségeket a hullámfüggénnyel fejezzük ki Ekkor a hullámfüggényre onatkozó differenciálegyenletet kapunk Először egy S keresztmetszetű rugalmas rúdban -irányban terjedő egydimenziós longitudinális hullámra égezzük el a számolást A S mozgásegyenlet egy dm tömegű térfogatelemre (ábra) +d df = dm a Ebből úgy lesz hullámegyenlet, hogy a rúd elemi darabjára ható df erőt és a gyorsulást kapcsolatba hozzuk a ψ hullámfüggénnyel F(,t) ψ(,t) F(+d,t) ψ(+d,t) Első lépésként alkalmazzuk a Hooke-törényt, amely egy rugalmas test megnyújtásánál agy összenyomásánál a testre ható F erőt összefüggésbe hozza az dl ε = deformációal: l F = SEε (E a Young-modulus) Esetünkben a deformáció a kiálasztott térfogatelem relatí hosszáltozása, ami iszonylag egyszerűen kifejezhető a hullámfüggénnyel Egy adott t időpillanatban az ábrán látható térfogatelem két égének relatí elmozdulását éppen a hullámfüggény - és +d helyeken felett értékeinek a különbsége adja meg, agyis dl = ψ( + d,t ) ψ(,t ) A térfogatelem eredeti hossza l = d Így az elemi térfogat ε deformációját az dl ψ( + d,t ) ψ(,t ) ε = = l d

45 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 45 Utolsó módosítás: kifejezés adja meg Ez tulajdonképpen a ψ (,t ) függény szerinti differenciálhányadosa Miel itt egy kétáltozós függényt csak az egyik áltozója szerint differenciálunk (és közben a másik áltozót állandónak tekintjük), ezt a differenciálhányadost parciális deriáltnak neezik, és jelölésére a szokásos d szimbólum helyett a szimbólumot használják Ezzel a jelöléssel a deformáció: ψ (, t ) ε = A Hooke-törény szerint az erő és a deformáció arányos egymással, agyis ψ(,t ) F (,t ) = SEε (,t ) = SE Az elemi darabra ható erő adott t időpillanatban F(,t ) df = F( + d,t ) F(,t ) = d, ami az erő kifejezése alapján: ψ (,t ) df = SE d Ezzel a mozgásegyenlet baloldalát sikerült a hullámfüggénnyel kifejeznünk A gyorsulás a helykoordináta (itt a hullámfüggény) második időderiáltja, azaz ψ (, t ) a =, t így a mozgásegyenlet jobboldalán is megjelent a hullámfüggény Fejezzük ki még a izsgált térfogatelem tömegét a ρ sűrűséggel: dm = Sdρ A fenti összefüggések felhasználásáal df = dm a mozgásegyenlet a hullámfüggénnyel kifejeze az E ψ (,t ) ψ (,t ) = ρ t alakot ölti Ez a hullámterjedést leíró hullámegyenlet egy rugalmas rúdban terjedő longitudinális hullám esetén Miel a rúdban terjedhet harmonikus hullám, az egyenletnek biztosan megoldása a harmonikus hullámot leíró ψ (, t ) = Acos( ωt k + α ) hullámfüggény is Ha meg akarjuk tudni, hogy ez a függény milyen feltételek mellett megoldás, akkor be kell helyettesítenünk a hullámegyenletbe A deriálásokat elégeze az alábbi egyenletet kapjuk: E k cos( ωt k + α ) = ω cos( ωt k + α ) ρ Az egyenletet rendeze azt kapjuk, hogy E k ω cos( ωt k + α ) = 0 ρ Ennek az egyenletnek bármilyen t időpillanatban érényesnek kell lennie, ami csak úgy teljesülhet, hogy az időfüggő rész együtthatója nulla: E k ρ ω = 0

46 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 46 Utolsó módosítás: ω Felhasznála a k = összefüggést, azt kapjuk, hogy a longitudinális hullám terjedési sebessége a rúdban E = ρ A izsgált esetben tehát a hullámegyenlet felírható a ψ (,t ) ψ (,t ) = t alakban is Hullámegyenlet gázoszlopban terjedő longitudinális hullám esetén Az alapel ugyanaz, mint a rúdban terjedő longitudinális hullámoknál, agyis a gázoszlop egy elemi darabjára felírjuk a mozgásegyenletet, majd a gyorsulást és az erőt kifejezzük a hullámfüggénnyel A mozgásegyenlet df = dm a, ahol df a kiálasztott térfogatelemre ható erő, a a térfogatelem gyorsulása, dm pedig a tömege Itt az erő az -tengely adott helyén létrejött nyomásesésből származik, amire a t időpillanatban az F(,t ) = Sdp(,t ) összefüggés érényes A rugalmasságtanból tudjuk, hogy egy gáz összenyomására dv dp = K V ψ összefüggés érényes Miel V = Sd, és dv = Sdψ = S d, azt kapjuk, hogy ψ dp(,t ) = K S +d Egy helyen t időpillanatban fellépő erő ennek alapján p(,t) p(+d,t) ψ F(,t ) = SK ψ(,t) ψ(+d,t) Egy kiálasztott térfogatelemre ható eredő erőt az erőnek a kiálasztott hosszon történő F(,t ) ψ (,t ) df = d = SK d megáltozása adja meg A gyorsulás most is ψ (, t ) a =, t és dm = Sdρ0, ahol ρ 0 a gáz átlagos sűrűsége A fenti összefüggésekkel a mozgásegyenlet az

47 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 47 Utolsó módosítás: ψ (,t ) ψ (,t ) SK d = Sdρ 0 t alakot ölti Egyszerűsítések után ebből a K ψ (,t ) ψ (,t ) = ρ0 t hullámegyenletet kapjuk Hullámegyenlet rugalmas húrban terjedő, transzerzális hullámokra Egy -tengelyen elhelyezkedő rugalmas húr a rezgései közben az eredeti helyzetéből arra merőlegesen kitér (ábra), és a húr mentén transzerzális hullám terjed Az eközben létrejött y-irányú kitérés hely és y időfüggését az y = ψ (,t) hullámfüggénnyel T jellemezzük A hullámegyenletet most is egy elemi d l hosszúságú húrszakaszra felírt mozgásegyenletből kaphatjuk meg A számolás során egyszerűsítő felteéseket teszünk: elhanyagoljuk a húrszakasz -irányú elmozdulását, és feltesszük, hogy a húrszakasz kitérése kicsi, agyis a kitérést jellemző szögek (α, α') is kicsik (az ábra az áttekinthetőség érdekében nagyon torz) A húr megfeszített állapotban an, a húr érintője irányába mutató feszítő erőt az ábrán T-el jelöltük A dm tömegű elemi szakaszra felírt mozgásegyenlet y-irányú összeteője: df y = dma y Most Fy -t és ay -t kell kifejezni ψ -el Az erő y-komponense: dfy = T y + Ty = T sinα' T sinα Miel α, α' kicsi: sinα tgα és sinα' tgα', így ( ) ( ) ( tgα ) df y T tgα ' tgα = Td tgα = T d De tudjuk, hogy y ψ tgα = = ezért ( tgα ) ψ (,t ) = Ezzel az erő kifejezése így alakul ψ dfy = T d A mozgásegyenletben szereplő többi mennyiségre felírhatjuk, hogy y ψ (,t ) a y = = t t T y T T α dl d α' T' +d T' y

48 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 48 Utolsó módosítás: dm = ρdls ρds (ρ a húr anyagának sűrűsége, S a húr keresztmetszete) Ezeket a mozgásegyenletbe behelyettesíte, megkapjuk annak hullámfüggénnyel kifejezett alakját: T ψ (,t ) ψ (,t ) = ρs t Ez a hullámegyenlet megfeszített húrban terjedő transzerzális hullámokra Az egyenlet formailag megegyezik a rúdban terjedő longitudinális hullámokra kapott hullámegyenlettel, csak a baloldalon álló állandók mások Ezeknek a jelentését ismét a hullámegyenletnek harmonikus hullámra aló alkalmazásáal deríthetjük ki Az egyenletbe behelyettesíte a ψ (, t ) = Acos( ωt k + α ) harmonikus hullámfüggényt, a rugalmas rúdra onatkozó számolás megismétléséel azt kapjuk, hogy T = ρs Ez a transzerzális hullám terjedési sebessége megfeszített, rugalmas húrban (itt T a húrt feszítő erő, S a húr keresztmetszete) Ennek felhasználásáal a hullámegyenlet most is a ψ (,t ) ψ (,t ) = t alakba írható Az egydimenziós hullámegyenlet általános alakja Abból, hogy többféle hullámterjedési esetre ugyanolyan alakú hullámegyenletet kaptunk, sejthető, hogy itt általános törényszerűségről an szó Valóban kimutatható, hogy a hullámegyenletre kapott ψ (,t ) ψ (,t ) = t alak nem csak a tárgyalt speciális esetekben érényes, hanem ez az egydimenziós hullámegyenlet általános alakja Az egyes konkrét esetekben csak annyi a különbség, hogy a terjedési sebesség kifejezése más A terjedési sebességet az éppen izsgált esetben a hullámegyenlet leezetése során kapjuk meg Így például a terjedési sebesség különböző terjedési körülmények között az alábbi összefüggésekkel adható meg: K Nyomás- és sűrűséghullám gázban: = (K a kompressziómodulus, ρ 0 a ρ0 gáz átlagos sűrűsége) G Nyírási hullám rugalmas rúdban: = (G a nyírási modulus) ρ Gázokban és folyadékokban gyakorlatilag csak longitudinális hullámok terjednek (nyírófeszültség nem ébred bennük) Szilárd anyagokban longitudinális és transzerzális hullámok is terjednek, és terjedési sebességük eltérő: általában a longitudinális hullámok terjednek gyorsabban *************** *************** *************** Térbeli hullámegyenlet

49 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 49 Utolsó módosítás: A hullámok az esetek döntő többségében nem egy dimenzióban, hanem térben terjednek Ilyenkor a hullámfüggény helyfüggését a helyzetektorral adhatjuk meg: ψ = ψ (r,t ) A térbeli hullámegyenletet formálisan iszonylag egyszerűen megkaphatjuk egy harmonikus síkhullám ψ ( r,t ) = Acos( ωt kr ) hullámfüggényének segítségéel Miel az egydimenziós esetből tudjuk, hogy a hullámegyenletben a hullámfüggény második parciális deriáltjai szerepelnek, számítsuk ki először a hely szerinti deriáltakat a fenti hullámfüggény esetén Ha figyelembe esszük, hogy, az alábbi összefüggéseket kapjuk: kr = k + k y y + k ψ ( r,t ) = k ψ ( r,t ) ψ ( r,t ) = k yψ ( r,t ) y ψ ( r,t ) = k zψ ( r,t ) z Ezeket az egyenleteket összeada azt kapjuk, hogy ψ ( r,t ) ψ ( r,t ) ψ ( r,t ) ω + + = k ψ ( r,t ) = ψ ( r,t ) y z ω (itt felhasználtuk a k = összefüggést) Másrészt a hullámfüggény idő szerinti második deriáltja: ψ ( r,t ) = ω ψ ( r,t ) t Az utóbbi két egyenletből azt kapjuk, hogy ψ ( r,t ) ψ ( r,t ) ψ ( r,t ) ψ ( r,t ) + + = y z t ψ ψ ψ Ha alkalmazzuk a matematikában szokásos + + = Δ jelölést, akkor az egyszerűbb y z Δ ψ( r,t ) = z z ψ( r,t ) t alakot kapjuk Kimutatható, hogy ez az egyenlet nem csak a leezetésnél feltételezett harmonikus hullámokra igaz, hanem ez a hullámegyenlet általánosan érényes alakja *************** *************** *************** A hullámegyenlet alkalmazása: az állóhullám-egyenlet Korábban már tárgyaltuk az állóhullámokat, de ott lényegében csak kinematikai megfontolásokat tettünk Kézenfekőnek látszik, hogy az általános hullámegyenlet a hullámok bármilyen fajtájának, így az állóhullámoknak a leírására is alkalmas Most a hullámegyenlet egy alkalmazásaként leezetjük az egydimenziós állóhullámok alapegyenletét a hullámegyenlet általános alakjából Véges közegben a forrásból kiinduló és a isszaert hullámok találkoznak és interferálnak A tapasztalat szerint bizonyos feltételek teljesülésekor (pl egy kötélben indított hullámnál meghatározott frekenciákon) sajátos, a haladó hullámtól különböző, állandósult hullámalakzatok jöhetnek létre, amelyekben a hullámtér egész

50 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 50 Utolsó módosítás: tartományai azonos fázisban rezegnek, csak a rezgés amplitúdója áltozik helyrőlhelyre Az ilyen hullámalakzatokat neeztük állóhullámoknak Az állóhullám jellemzői a tapasztalat szerint: helyfüggő amplitúdó nagyobb térrészre kiterjedő, azonos időfüggésű, azonos fázisú rezgés Egyszerű példaként próbáljuk megoldani a hullámegyenletet egy mindkét égén rögzített, L hosszúságú rugalmas húrban agy kötélben (ábra) terjedő transzerzális harmonikus hullámra Ha a közeg éges, akkor az egyenlet megoldásánál ψ(0,t)=0 0 ψ(l,t)=0 L ezt figyelembe kell enni, ami a határfeltételek megadásáal történik Esetünkben a határfeltételek: ψ ( 0, t ) = ψ ( L, t ) = 0 Meg kell adni még a kezdeti feltételeket is (a húr kezdeti alakját és pontjainak kezdeti sebességét): ψ ( 0, ) = f ( ) és ψ (, t ) t t= 0 = g( ) Az f és g függényeket ismertnek tételezzük fel Az állóhullámokra onatkozó tapasztalatok (helyfüggő amplitúdó, helyfüggetlen időfüggés) alapján a ψ (,t ) ψ (,t ) = t hullámegyenlet megoldását a ψ (, t ) = ϕ( ) cos( ωt + α ) alakban keressük Behelyettesíte ezt a függényt a hullámegyenletbe, a d ϕ cos( ωt + α ) = ϕ( ) ω cos( ωt + α ) d ω összefüggést kapjuk, ami rendezéssel és a k = összefüggés felhasználásáal a d ϕ + k ϕ( ) cos( ωt + α ) = 0 d alakba írható Az egyenletnek bármely időpillanatban teljesülni kell, ami csak úgy lehetséges, hogy d ϕ( ) + k ϕ( ) = 0 d Ezt a differenciálegyenletet, amely megadja az állóhullám amplitúdójának helyfüggését, egydimenziós állóhullám-egyenletnek neezik Miel az egyenlet formailag teljesen azonos a harmonikus rezgőmozgás egyenletéel, megoldása is ugyanaz, csak most a áltozó nem t, hanem : ϕ ( ) = Asin( k + β ) Ezzel az állóhullám időfüggését is megadó hullámfüggény a ψ (,t ) = Asin( k + β )cos( ωt + α ) alakot ölti

51 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 51 Utolsó módosítás: A konkrét esetben érényes állóhullám-megoldást akkor kapjuk meg, ha figyelembe esszük a határfeltételeket A két égén rögzített kötél agy húr esetén egyrészt bármely időpillanatban fennáll, hogy ψ ( 0,t ) = 0 Ez azt jelenti, hogy ϕ ( 0 ) = 0, így a ϕ ( ) = Asin( k + β ) alakban felírt amplitúdó-függény csak a β = 0 esetben alkalmazható, tehát csak a ϕ ( ) = A sin( k) alak megengedett Másrészt a kötél agy húr másik ége is rögzített, tehát ψ ( L,t ) = 0, ami azt jelenti, hogy ϕ ( L ) = Asin( kl ) = 0, illete sin( kl ) = 0 Ez ugyanaz a feltétel, mint amit korábbi megfontolásainkból kaptunk, és a köetkeztetések is ugyanazok Állóhullám egy mindkét égén rögzített kötélen agy húron csak akkor jön létre, ha a hullámszám a kl = nπ feltételnek megfelelő értékek alamelyikét eszi fel, azaz π k n = n L (n egész szám) Ezzel a hullámegyenlet n-től függő megoldása: π ψ n (, t ) = A sin( n )cos( ωt + α ) L Mint korábban is láttuk, a határfeltételek miatt a húron kialakuló hullámok frekenciája és hullámhossza sem tetszőleges, hanem π L ω n = k n c = n c illete λ n = L n Mint már az állóhullámok korábbi tárgyalásánál is említettük, a fenti, egyetlen n értékhez tartozó megoldás csak igen speciális kezdeti feltételek mellett alósítható meg Általában egy húr gerjesztésekor bonyolult hullám alakul ki, amely különböző frekenciájú harmonikus hullámok szuperpozíciója, így az n = 1 értékhez tartozó alapfrekencia mellett rendszerint kisebb intenzitással egyéb lehetséges frekenciák (felharmonikusok) is megjelennek A fentihez hasonló módon tárgyalhatók egyéb peremfeltételek is (pl egyik égén szabad kötél, mindkét égén szabad rezgő pálca, zárt és nyitott síp (leegőoszlop), stb A két- agy háromdimenziós hullámegyenlettel síkon agy térben terjedő hullámok által létrehozott állóhullámok is tárgyalhatók Számolásokat itt nem égzünk, de bemutatunk néhány síkbeli állóhullám képet

52 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 5 Utolsó módosítás: KÍSÉRLET: Közepén befogott négyzet- és kör alakú, ékony fémlemezekben (ábra) hegedűhúrral transzerzális rezgéseket hozunk létre Ennek köetkeztében állóhullámok alakulnak ki, amelyeknek kimutatására finom port használunk A port a hullám gerjesztése előtt egyenletesen rászórjuk a lapokra, majd a hegedűonót az ábrán látható D pontokban a lemezre merőlegesen égighúzzuk a lemezen Közben ujjunkkal a lemez egy agy két pontját megérintjük (az ábrán a C-el jelölt helyek) A porszemcsék azokon a helyeken gyűlnek össze, ahol a legkisebb a rezgés amplitúdója, tehát kirajzolják az állóhullám csomóonalait (az ábrán a sötét tartományok) A gerjesztés helyén mindig duzzadóhely an, az érintési helyeken csomópont Látható hogy az érintés helyének (rögzített pont) áltoztatásáal a csomóonalak helyzetét áltoztatni tudjuk

53 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 53 Utolsó módosítás: Doppler-effektus Tapasztalatból tudjuk, hogy ha egy jármű nagy sebességgel közeledik felénk, és elhalad mellettünk, akkor az általa kibocsátott hang magasságát táolodáskor hirtelen mélyebbnek észleljük A jelenség egyszerű kísérlettel sokkal meggyőzőbben is bemutatható KÍSÉRLET: Függőleges tengely körül forgatható ízszintes karra egy sípot rögzítünk, úgy, hogy körbeforgatásakor a síp szája a körpálya érintője irányába mutat Ha a kart és ele a sípot megforgatjuk, akkor a pálya érintőjének irányába mutató síp a rajta átáramló leegő hatására megszólal Jól megfigyelhető, hogy amikor a síp keringése közben közeledik felénk, akkor a hangját sokkal magasabbnak halljuk, mint amikor táolodik tőlünk Az észlelt hangmagasságnak, általánosabban egy hullám észlelt frekenciájának a megfigyelő agy a hullámforrás mozgásállapotától aló függését Dopplereffektusnak 1 neezik Elsőként izsgáljuk meg, azt az esetet, amikor F az f 0 frekenciájú hullámforrás a hullámot közetítő közeghez képest u F sebességgel mozog A hullám terjedési sebessége nyugó B A s+s'=(+u F )τ C s-s'=(-u F )τ közegben, hullámhossza λ 0 = f0 Ha a forrás (az ábrán az A pontban), a t=0 időpillanatban kibocsát egy hullámot, akkor a hullámfront az ettől számított τ idő alatt mindkét irányban sebességgel mozog, és s = τ táolságra jut el (az ábrán a B illete C pontokig), függetlenül attól, hogy a forrás áll agy s s τ mozog Ezen a táolságon kialakul N = = = = f0τ számú teljes periódus (egy λ T T 0 pillanatfelételen ennyi teljes szinusz-periódust látunk) Ha a forrás az -tengely irányában mozog, akkor τ idő alatt s ' = u F τ táolságot tesz meg, tehát az -tengely irányában a τ időtartam égén az N számú periódus az s s' = ( uf ) τ hosszúságú szakaszon figyelhető meg (alsó ábra) Szemléletesen szóla, a hullámhossz ebben az irányban összenyomódik A C pontnál álló megfigyelő által észlelt hullámhossz ekkor s s' ( uf ) τ uf λ C = = = < λ0 A B pontban álló megfigyelő által észlelt hullámhossz N f0τ f0 iszont nagyobb lesz, mint az álló forrás esetén mért λ 0, hiszen ettől a helytől a forrás táolodik, az N számú periódus az s + s' = ( + uf ) τ szakaszra széthúzódik, és megfigyelt + uf értéke λ B = > λ0 lesz f 0 B s=τ álló forrás F A mozgó forrás t=τ s=τ u F C 1 Christian Johann DOPPLER ( ) osztrák fizikus

54 TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 54 Utolsó módosítás: Ha megállapodunk abban, hogy a megfigyelő felé mozgó forrás sebessége pozití ( u F > 0 ), és a táolodó forrás sebessége negatí ( u F < 0 ), akkor a két összefüggés összeonható a uf λ = f0 alakba A mozgó forrásból érkező hullám esetén a megfigyelő az f = összefüggésnek megfelelő, λ megáltozott frekenciát észlel: f = f0 uf Vagyis a tapasztalattal egyezően, közeledő forrásnál ( u F > 0 ) nagyobb-, táolodó forrásnál ( u F < 0 ) kisebb frekenciát kapunk, mint a nyugó forrással mért f 0 A számolás alapját képező hullámhossz-összenyomódás és hullámhossz-megnyúlás alóságosan is bemutatható ízhullámok segítségéel Ha a íz felületén mozgatható forrással keltünk körhullámokat (például egy mozgó csőből a felületre szaggatottan kiáramló leegőel), akkor a árakozásnak megfelelően a képen látható hullámalakzatot láthatjuk A második kérdés az, hogy hogyan befolyásolja az észlelt frekenciát a megfigyelőnek a közeghez iszonyított mozgása Ha a megfigyelő mozog, akkor számára a hullám terjedési sebessége más, mint ha nyugalomban lenne Ha például a C pontban léő megfigyelő a nyugalomban léő forrás felé (tehát a hullám terjedési irányáal szemben) mozog u M sebességgel, akkor a hullám terjedési sebességét = + um -nek méri, és ennek megfelelően + um + um f = = f0 λ0 frekenciát észlel Ellenkező irányú mozgás esetén az észlelt frekencia: um um f = = f0 λ0 Ha a forráshoz közeledő megfigyelő sebességét tekintjük pozitínak ( u M > 0 ), és az ellenkező irányban mozgóét negatínak ( u M < 0 ), akkor a két összefüggést összeonhatjuk az + u f == M f0 alakban A számolás során feltételeztük, hogy a megfigyelő sebessége a hullámterjedés sebességéel párhuzamos Ha a forrás is mozog, akkor λ helyébe a mozgó forrásnál kapott hullámhosszt kell beírnunk a fenti összefüggésbe, agyis + um f = λ uf Ebből a λ = kifejezés beírása után azt kapjuk, hogy f 0