Hullámok. v=d/t 1 d d. TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 1

Átírás

1 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 1 Hullámok A különböző fizikai mennyiségek áltozása pl. egy rezgés igen gyakran a létrehozásának helyétől táolabb is kiált hatásokat: a létrehozott áltozás agy más néen zaar a térben elterjed. A különböző zaarok térbeli terjedését hullámnak (néha hullámterjedésnek)-, azt a helyet pedig, ahol a zaar létrejött, hullámforrásnak neezik. A hullám igen gyakori jelenség, és szoros kapcsolatban áll a rezgésekkel, hiszen a hullámban lényegében alamilyen rezgés terjed toa a térben. A zaarterjedésnek számtalan példája an, ezek közül egyesek szemmel látható módon mennek égbe, és egyszerű kísérletekkel bemutathatók. KÍSÉRLET: Ha egy kifeszített rugalmas kötélre ráütünk egy rúddal, tehát egy egyszeri kitérést ( ölgyet ) hozunk létre (ábra), akkor ez a kitérés égigszalad a kötélen, agyis a kötélnek a ráütéstől táoli pontjai is megismétlik a létrehozott kitérést 1. Megfigyelhetjük, hogy a zaar egyenletes mozgással halad a kötélen. Ettől kissé eltérő jellegű zaarterjedést láthatunk egy csaarrugóban létrehozott deformációnál. KÍSÉRLET: Nagyobb átmérőjű, gyenge csaarrugó egyik égét egy hirtelen mozdulattal nyomjuk össze a rugó tengelyéel párhuzamosan. Ez a deformáció a rugó meneteinek sűrűsödéséel jár, és ez a sűrűsödés jól láthatóan égigszalad a rugón. A zaar itt is egyenletesen terjed. t t 0 t 0 +t 1 t 0 +t 1 t 0 t 1 t t 3 d d =d/t 1 Az előbbi esetekben a zaar egy dimenzióban (kötél agy csaarrugó mentén) terjedt. Kétdimenziós zaarterjedés legegyszerűbben egy ízfelületen mutatható be, ami rugalmas hártyaként iselkedik. KÍSÉRLET: Vízfelület egy pontjában létrehozott kitérés a felületen egy táguló kör formájában minden irányban terjed (ábra), és a táolabbi pontok megismétlik a létrehozott kitérést. Ez ilágosan látszik, ha a íz felületén elhelyezünk egy parafa dugót: a dugó a zaar megérkezésekor megemelkedik és lesüllyed, de a zaar áthaladása után helyben marad. Ez azt is mutatja, hogy a kifelé szaladó körben a látszat ellenére nem a íz áramlik, hanem a létrehozott állapotáltozás (zaar) terjed. t 0 +t 1 t 0 +t 1 =d/t 1 t 0 d d 1 A ráütés helyén a ölgy fokozatosan megszűnik, és elileg ellenkező irányú kitérés is létrejön. Ez azonban a legtöbb esetben a nagy csillapítás miatt alig észlelhető. A megfigyelést zaarhatja, hogy ha a zaar eléri a kötél égét, akkor elindul isszafelé (isszaerődik). A leírt egyszerű zaarterjedés csak eléggé hosszú kötélen figyelhető meg tisztán. A isszaerődés hatásaial később foglalkozunk.

2 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) A zaarterjedés más esetei nem ennyire szemléletesek, de a zaarterjedés ténye legtöbbször ilyenkor is könnyen kimutatható. A csaarrugón bemutatott esethez hasonló de szemmel nem látható zaarterjedés jön létre, ha egy rugalmas rúd egyik égét a rúd tengelyéel párhuzamosan megütjük. Ekkor ott a rúd összenyomódik (az ábrán ezt sűrűbb onalkázással érzékeltettük), és ez az összenyomódás szalad égig a rúdon. Ugyanez történik egy dugattyúal lezárt edényben léő gázoszlopban, ha a dugattyút hirtelen elmozdíta, a gázt a dugattyúnál összenyomjuk. A zaar megérkezése a rúd agy gázoszlop másik égére megfelelő elmozdulás- agy nyomásérzékelőel észlelhető. A háromdimenziós hullámterjedés sem szemléltethető egyszerűen, de ezzel kapcsolatban számos hétköznapi tapasztalatunk an. Egy rezgő tárgy által létrehozott hang hullámként minden irányban terjed: egy adott helyen megszólaló hangot más helyeken is hallunk. Egy fényfelillanás elektromágneses hullámként szintén minden irányban terjed, és a felillanás helyétől táoli pontokban is észlelhető. A hullámterjedés mechanizmusa függ a zaar jellegétől. Egy rugalmas közeg mechanikai deformációja az anyag részei közti rugalmas kapcsolatok miatt terjed, ezeket a rugalmas közegekben létrehozott zaarokat rugalmas hullámoknak neezik. Ilyenek pl. a kísérletekben látott kötélhullámok ízhullámok agy a hang. Az elektromos agy mágneses erőtér áltozása miatt létrejött elektromágneses zaarok terjedése a áltozó mágneses- és elektromos tér egymást létrehozó hatásán alapul. Az így létrejött elektromágneses hullámok közeg nélkül is terjedhetnek. Ilyenek pl. a rádióhullámok, a fény, a röntgen- és a gamma sugárzás. Most a rugalmas hullámokkal foglalkozunk. Tárgyalásunk során megismerkedünk a hullámterjedés leírására szolgáló alapető mennyiségekkel és törényekkel, majd foglalkozunk a rugalmas hullámokra onatkozó speciális jelenségekkel. Annak ellenére, hogy most kifejezetten a rugalmas hullámokról lesz szó, az itt tárgyalt anyag jól használható más hullámok tárgyalásánál is, hiszen a zaarterjedésnek annak általános jellegzetességei, amelyeknek leírására a különböző hullámok esetén ugyanazokat a fogalmakat és módszereket alkalmazhatjuk. t t 0 t 0 +t 1 t 0 +t 1 d d =d/t 1

3 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 3 Hullámtípusok és hullámfüggények A terjedő zaar adott helyen alamilyen mennyiség időbeli áltozását jelenti. A kötél esetében pl. egy adott pontban a zaar megérkezése után a kitérés időben áltozik. Másrészt adott időpillanatban a mennyiség pillanatnyi értéke helyről-helyre más. A kötélen haladó pulzus példájánál marada, a kötélnek egy kiszemelt helyét megfigyele, azt látjuk, hogy egy darabig nincs kitérés, azután a izsgált pont kitér, majd a kitérés megszűnik. A kötélre egy adott időpillanatban ránéze pedig azt látjuk, hogy a kötél nagy része deformálatlan, de azon a helyen, ahoá a zaar éppen ebben a pillanatban megérkezett, egy kitérést látunk. A zaarterjedés tehát csak akkor írható le, ha a izsgált mennyiség időbeli áltozását és térbeli eloszlását is ismerjük. Ehhez egy helytől és időtől függő hullámfüggény szükséges. Ha a zaar a ψ-el jelölt mennyiség áltozásának toaterjedéséel jár, akkor a zaarterjedés leírására használt hullámfüggény általános matematikai alakja ψ = ψ ( r, t) (r annak a pontnak a helyektora, ahol a zaart izsgáljuk, t az idő). A zaar lehet ektor-jellegű, amelynek iránya an (pl. elmozdulás), ilyenkor ψ a ektor nagyságát, agy egyik komponensét jelöli, de lehet skaláris is (pl. nyomásáltozás). A hullámok típusai A hullámok áltozatos formái közötti eligazodás kedéért célszerű a hullámokat csoportosítani. Ezt többféle szempont szerint tehetjük meg, amelyek közül a legfontosabbak a köetkezők. A hullám lehet a terjedés térbeli iszonyai szerint: egydimenziós (pl. rugalmas kitérés kötélen) kétdimenziós (pl. zaarterjedés ízfelületen) háromdimenziós (ez a leggyakoribb, pl. hang agy fény terjedése kiterjedt közegben). a terjedés és a zaar irányának iszonya szerint: transzerzális hullám (a zaart jellemző ektor iránya merőleges a terjedés irányára, pl. egy rugalmas kötél mentén, a kötélre merőleges kitérés terjedése) longitudinális hullám (a zaart jellemző ektor iránya párhuzamos a terjedés irányáal, pl. egy rugó hosszirányú összenyomásáal keltett zaar terjedése a rugó mentén). a zaar azonos értékeinek megfelelő (azonos fázisban léő) pontok elhelyezkedése szerint: síkban terjedő hullámoknál az azonos fázisú helyek egy onalon annak, és a hullámokat a onal alakja szerint is lehet csoportosítani: pl. egyenes hullám, körhullám (utóbbira példa egy ízfelületen egy pontban keltett hullámok terjedése), háromdimenziós hullámoknál az azonos fázisú helyek egy felületen helyezkednek el, ezeket a felületeket gyakran hullámfelületeknek neezik, és a hullámfelületek alakja szerint beszélünk síkhullámról, hengerhullámról, gömbhullámról, a onal- és síkhullám terjedése az egydimenziós hullámokhoz hasonlóan egyetlen (az azonos fázisú onalakra, illete síkokra merőleges) koordinátáal leírható, bonyolultabb hullámok (pl. kör-, henger- agy gömbhullámok) a hullámforrástól táol közelítőleg egyenes- illete síkhullámnak tekinthetők,

4 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 4 a hullám terjedése során a zaar fokozatosan újabb helyekre jut el, így az azonos fázisú felületeknek (onalaknak) an egy speciális fajtája: ennek egyik oldalán már megjelent a zaar, a másik oldalán még nem. A hullámot tartalmazó térrészt, a hullámteret határoló, azonos fázisú felületet (onalat) hullámfrontnak neezik. a terjedő zaar időfüggése szerint: ha a zaar időfüggését harmonikus függény adja meg, akkor a létrejött hullámot harmonikus hullámnak neezik, egyéb esetekben a hullám nem harmonikus (a nem harmonikus hullámok harmonikus hullámok összegzéseként idegen szóal szuperpozíciójaként foghatók fel). Egydimenziós hullámterjedés, a síkhullám hullámfüggénye Az egyszerűség kedéért izsgáljunk először egy olyan zaart, amely egy irányban (pl. az tengely mentén) terjed. Egy ilyen hullám a gyakorlatban pl. úgy alósítható meg, hogy egy kifeszített, rugalmas kötélen létrehozunk egy kitérést, ami a kötél mentén terjed toább. Ha az =0 helyen (például a zaar forrásánál) a zaar időbeli áltozása ψ ( 0,t ) = f ( t ), és a zaar adott c sebességgel terjed a térben, akkor a zaar egy pozití helyre f(t) f(t-/) egy negatí helyre t k = + t t k = k+ =/ késéssel érkezik meg. Ha feltételezzük, hogy a terjedés közben a zaar nem áltozik meg, akkor az helyen a zaar időbeli áltozását a ψ (,t ) = f ( t m ) hullámfüggény írja le (a "-" jel az -tengely pozití-, a "+" jel az -tengely negatí irányában terjedő hullámot jelent). Ez az egydimenziós hullámterjedést leíró hullámfüggény általános alakja, amely konkrét zaarterjedés esetén meghatározott függényalakot ölt. A terjedési irányban felett egyetlen koordinátáal írható le egy síkhullám is, ahol a hullám terjedési irányára merőleges bármelyik síkban minden pont ugyanúgy iselkedik. Ezért a fenti egydimenziós terjedésre felírt ψ (, t) = f ( t m ) alakú függény egyben a síkhullám hullámfüggénye is. A felületen terjedő egyenes hullám agy az egydimenziós közegben terjedő hullám lényegében a síkhullám speciális esete: előbbi esetben az azonos fázisú helyek felületből egyenessé-, utóbbiban egyetlen ponttá zsugorodnak. Miel a toábbiakban az egy- és kétdimenziós közegben terjedő hullámokat legtöbbször az egyszerűbb szemléltetés kedéért használjuk, a fenti hullámfüggénnyel jellemzett hullámot gyakran akkor is síkhullámnak neezzük, ha egy- agy kétdimenziós terjedésről an szó. 0 t t

5 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 5 A hullámban terjedő energia Ahhoz, hogy egy rugalmas közegben deformációt hozzunk létre, munkát kell égeznünk. Amikor ez a deformáció zaarként megjelenik egy táolabbi helyen, akkor ott is munkaégzésre an szükség. Ez csak úgy lehetséges, hogy a hullámmal nem pusztán egy állapotáltozás terjed, hanem a hullám energiát is szállít. A hullám által szállított energiát leggyakrabban az energiaáram nagyságáal (Φ ) jellemzik, amely egy adott helyen a hullámmal átáramló Δ E energia és az áthaladás Δt idejének hányadosa: ΔE Φ =. Δt Az energiaáram az energiaterjedést globálisan jellemzi, mert egy teljes felületen áthaladó összes energiát adja meg. Előfordulhat azonban, hogy az energiaáram erőssége egy nagyobb felületen nem egyenletesen oszlik el, hanem helyről helyre áltozik. Az energiaáramlás helyi (lokális) jellemzésére ezették be az energia-áramsűrűséget. Ha a hullám terjedésére merőleges Δ S nagyságú felületelemen ΔΦ energiaáram halad át, akkor az energiaáramsűrűség (amit a hullámtanban rendszerint I-el jelölnek): ΔΦ I =. ΔS Ezt a mennyiséget a hullám intenzitásának neezik. Ha egy nagyobb S felületen az I intenzitás mindenütt ugyanakkora, akkor a teljes Φ energiaáram: Φ = IS. A hullám intenzitását a különböző hullámok esetén később kiszámítjuk, és a terjedő hullám jellemzőiel kifejezzük, most bizonyítás nélkül csak annyit bocsátunk előre, hogy az intenzitás arányos a hullám amplitúdójának négyzetéel, azaz I = CA, ahol C a hullám egyéb jellemzőitől függő mennyiség. Ezt azért fontos tudni, mert egy gömbhullám esetén a forrásban betáplált energia egyre nagyobb felületen oszlik el, így ha az I energiaáram nem áltozik a hullámforrástól r táolságban az energia-áramsűrűség egyre kisebb lesz. Ennek az a köetkezménye, hogy a hullám amplitúdójának is csökkenni kell, hiszen r táolságban Φ = IS = I4r π = CA 4r π = állandó. 1 1 Ez csak úgy lehetséges, ha A ~, agyis A ( r ) ~. A gömbhullám amplitúdója tehát a r r forrástól táoloda egyre csökken, akkor is, ha nincs semmilyen energiaelnyelő folyamat. Gömbhullám hullámfüggénye Ha a hullám homogén, izotróp közegben terjed, agyis a terjedése nem függ a helytől és az iránytól, akkor egy pontban keltett zaar minden irányban ugyanolyan sebességgel terjed. Ennek köetkeztében pontszerű hullámforrás esetén az azonos fázisú helyek egy gömbfelületen (felületi hullámoknál egy körön) helyezkednek el, agyis gömbhullám (körhullám) jön létre. A síkhullámra onatkozó meggondolásaink alapján megpróbálhatjuk felírni a gömbhullám hullámfüggényének általános alakját, hiszen első pillantásra úgy látszik, hogy csak az koordinátát kell helyettesíteni a pontforrástól mért r táolsággal. Ezzel a felteéssel az alábbi hullámfüggényt kapjuk:

6 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 6 r ψ ( r,t ) = f ( t m ). A - jel a forrástól táolodó, a + jel a forrás felé haladó hullámra onatkozik. A helyzet sajnos ennél bonyolultabb, mert láttuk, hogy a gömbhullám amplitúdója a forrástól táoloda csökken, ezért helyesebb a gömbhullám hullámfüggényét a A0 r ψ ( r,t ) = f ( t m ) r alakban felírni, ahol A 0 az amplitúdó a forrásban. Ha a gömbhullámot nagyon kis térrészben, agy a forrástól nagy táolságban izsgáljuk, akkor közelítőleg síkhullámnak tekinthetjük. Ilyenkor ha energiaeszteségek nincsenek az amplitúdó helyfüggése elhanyagolható. Egydimenziós, harmonikus síkhullám Ha a zaar időbeli áltozása szinusz agy koszinusz függénnyel írható le, agyis a zaar például f ( t ) = Acos( ω t + α ) alakú harmonikus rezgés, akkor a zaarterjedést leíró függény is ilyen lesz. Ha a zaar egy onalszerű közegben agy egy kiterjedt közegben síkhullámként sebességgel terjed az -tengely mentén, akkor a ψ (,t ) = Acos ω( t m ) + α hullámfüggénnyel írható le, ahol α fázisállandó. Az ilyen állandó amplitúdójú hullámot harmonikus síkhullámnak neezik. A toábbiakban az egyszerűség kedéért a síkhullám tárgyalásánál általában a pozití - tengely irányában terjedő hullám hullámfüggényét írjuk fel, agyis a ψ (,t ) = Acos ω( t ) + α t 0 alakot használjuk. Az így kapott összefüggésekből előjeláltással mindig megkapható az ellenkező T/8 terjedési iránynak megfelelő eredmény is. Természetesen a harmonikus hullám szinusz függénnyel is leírható, mi a toábbiakban általában a T/4 koszinusz alakot használjuk. 3T/8 *************** *************** Ahogy a harmonikus rezgést megadó függény, úgy a harmonikus síkhullám hullámfüggénye is felírható komple T/ alakban. Trigonometrikus formában ekkor a hullámfüggény: 5T/8 ψ (,t ) = Acos ω( t ) + α + iasin ω( t ) + α. 3T/4 Ugyanez eponenciális alakban: i ω( t ) + α ψ (,t ) = Ae. *************** *************** Rugalmas kötélen terjedő transzerzális, harmonikus hullám kialakulását mutatja sematikusan a jobboldali ábra. Itt a kötél alakját mutatjuk be a forrásban lezajló 7T/8 T

7 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 7 rezgés egy teljes periódusának (T) különböző időpillanataiban. A pillanatképek egyenlő, T időközökben készültek. Az ábrán feltüntettük a kötél egyes részeinek pillanatnyi 8 mozgásirányát is. Hasonló módon kaphatjuk meg egy csaarrugóban terjedő longitudinális, harmonikus hullám terjedésének pillanatképeit is, csak ott a kitérések a terjedés irányáal párhuzamosak. A mellékelt ábrán a rugó deformációjában beköetkező T áltozások láthatók, amelyeket 4 időközönként ábrázoltunk. Korábban már olt szó arról, hogy a hullámfüggény adott helyen megadja a zaar időbeli áltozását, adott időpillanatban pedig megadja a zaar térbeli eloszlását. Ezt mutatja egy harmonikus síkhullám esetén a ψ( 1,t) mellékelt ábra, amelyen a ψ ( 1,t ) T ψ(,t 1 ) λ függény megadja a izsgált mennyiség időbeli áltozását az 1 helyen, a ψ (,t1 ) függény pedig a izsgált mennyiség térbeli eloszlását a t 1 időpillanatban). 0 t 0 A harmonikus hullám a definíció szerint egy égtelen hosszú, csillapítatlan hullámonulat, hiszen áltozó amplitúdójú agy éges hosszúságú hullámonulat nem írható le egyetlen harmonikus függénnyel. A gyakorlatban a harmonikus hullám közelítő megalósítása egy nagyon kis csillapodású, igen hosszú hullámonulat. A hullámok izsgálatánál a harmonikus hullám t ugyanolyan fontos szerepet tölt be, mint a rezgéseknél a 0 harmonikus rezgés. Itt is érényes ugyanis, hogy tetszőleges hullám felfogható harmonikus hullámok T/8 szuperpozíciójaként. A fázissebesség A rugalmas kötélen terjedő harmonikus hullám kialakulását bemutató, korábbi ábrát itt kiegészíte látjuk. Bejelöltük azt a λ táolságot, ameddig a zaar a T rezgésidő alatt eljut, és egy onallal összekötöttük a zaar maimális értékének helyét különböző időpillanatokban megadó pontokat. Látható, hogy az idő és a befutott táolság egymással arányos, agyis a maimumhely egyenletes sebességgel halad a terjedés irányában, és az ábrán látható esetben 3 3 T idő alatt λ táolságra jutott el. Ha a 4 4 λ táolságot ismerjük, akkor kiszámíthatjuk a T/4 3T/8 T/ 5T/8 3T/4 7T/8 T λ

8 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 8 λ maimumhely mozgásának f sebességét is: f =. Bármilyen más fázisban léő T pont mozgását izsgáljuk, ugyanezt a mozgási sebességet kapjuk, ez a fázissebesség. Nézzük meg most egy pozití -tengely irányában haladó síkhullámban, hogy milyen összefüggés an a hullámfüggényben korábban zaarterjedési sebességként beezetett sebesség és a f fázissebesség között. Ehhez felhasználjuk azt, hogy adott ϕ fázisú hely adott t időpillanatban olyan koordinátájú helyen an, amelyre ϕ = ω( t ) + α = állandó. Az összetartozó -t értékpárokra ebből azt kapjuk, hogy (ϕ α ) = t. ω Eszerint a pozití -irányban haladó harmonikus síkhullámban az azonos fázisú helyek sebessége d f = =. dt A negatí -irányban haladó síkhullámra természetesen azt kapjuk, hogy f =. A fázissebesség tehát azonos a korábban "zaarterjedési sebesség"-ként beezetett mennyiséggel. A toábbiakban a fázissebességet inde nélküli -el jelöljük. Nem harmonikus hullám terjedése, a csoportsebesség Nem harmonikus hullám terjedése esetén a terjedési sebesség fogalmát pontosítanunk kell. Ennek az az oka, hogy egy ilyen hullám különböző frekenciájú harmonikus hullámok szuperpozíciójának tekinthető, agyis benne g különböző frekenciájú harmonikus hullámok terjednek. Az ilyen hullámok tipikus példája az ábrán látható röid hullámonulat, amelyet éppen összetett olta miatt hullámcsoportnak agy hullámcsomagnak neeznek. A terjedési sebességgel kapcsolatban akkor lép fel probléma, ha mint az gyakran előfordul a harmonikus hullám fázissebessége függ a frekenciától, = ( ω ), így a hullámcsomagot alkotó, különböző frekenciájú harmonikus hullámok fázissebessége eltérő. Ez a jelenség a hullámok diszperziója. Diszperzió esetén az összeteő harmonikus hullámok a haladás közben egymáshoz képest eltolódnak, emiatt az összegük, és így általában a hullámcsomag alakját meghatározó burkológörbe (az ábrán szaggatott onallal jelöle) alakja is áltozik. A csomag sebességét ilyenkor a burkológörbe maimumának (az ábrán fekete pont) mozgási sebességéel, a csoportsebességgel ( g ) adhatjuk meg. t 3 Egy hullámcsomag különböző időpillanatokban készített pillanatfelételeinek sematikus képét t látjuk a köetkező ábrán. A szaggatottan berajzolt 4 burkológörbe maimumának helyét fekete pont-, az eredő hullám egy kiszemelt maimumának mindenkori helyét pedig nyíl jelöli. t 1 t

9 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 9 Ebben az esetben a fázissebesség nagyobb, mint a csoportsebesség: az eredő hullám kiszemelt maimumhelye (nyíl) lehagyja a csomag maimumhelyét (pont). Ez egyben azt is mutatja, hogy az eredő hullám a burkológörbe belsejében mozog. A diszperzió megfigyelhető ízhullámok esetén és alamilyen közegben terjedő elektromágneses hullámoknál. Utóbbi eset igen fontos szerepet játszik pl. az optikában. A hullámhossz és a hullámszám A harmonikus hullám kialakulását szemléltető ábrán λ-al jelöltük azt a táolságot, amelyre a zaar a T rezgésidő alatt eljut. Ezt a táolságot hullámhossznak neezik. Elneezése érthetőbbé álik, ha egy másik definícióját használjuk, amely szerint a λ hullámhossz egy tetszőleges t időpillanatban azonos fázisban léő, szomszédos pontok táolsága (agyis a hullám helyfüggését megadó harmonikus függény egy teljes periódusának hossza, amint az a fenti ábrán látható). Ezt a táolságot annak felhasználásáal kaphatjuk meg, hogy az azonos fázisban léő helyeken a hullámfüggény értéke azonos: ψ (,t ) = ψ( + λ,t ). Ez a harmonikus síkhullámban a koszinusz (agy szinusz) függény argumentumára onatkozóan azt jelenti, hogy + λ ω( t ) + α ω( t ) α = π. Ebből a korábbi definícióal összhangban azt kapjuk, hogy π λ = = T. ω A hullámhosszal összefüggő, gyakran használt mennyiség a hullámszám (k), aminek definíciója: π ω k = = λ Ezzel a harmonikus síkhullám egyenlete átírható az alábbi alakba: ψ (,t ) = Acos( ωt k + α ). *************** *************** *************** ( ω α ) Ugyanez a hullámfüggény komple alakban: ~ i t k+ ψ (,t ) = Ae. *************** *************** *************** Síkhullám térbeli terjedésének leírása Ha egy síkhullám az -tengely mentén terjed, akkor leírására a ψ (,t ) = f t m c hullámfüggényt használhatjuk. Speciálisan harmonikus síkhullám esetén a hullámfüggény: ψ (,t ) = Acos ω( t m ) + α = Acos m k + c ( ωt α ) Ez a koordináta-álasztás azonban nem mindig lehetséges, ezért most megizsgáljuk, hogy milyen hullámfüggényt használhatunk, ha a síkhullám nem alamelyik koordinátatengely mentén terjed. Az ábrán feltüntettük az azonos fázisban léő helyek síkjait. A hullám ezekre merőlegesen terjed, terjedési irányát az u egységektor mutatja. Egy tetszőleges r helyektorú pontban, a t időpillanatban a hullámfüggényt úgy kaphatjuk meg, hogy kiszámítjuk a t=0 időponthoz tartozó illete az r helyektorú ponton átmenő (a t időpillanathoz tartozó) két

10 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 10 azonos fázisú sík közötti táolságot, amelyet az ábrán d-el jelöltünk. A hullámfüggény argumentumába d ugyanis most a t m mennyiség kerül. Az r helyektortól függő az előjelet is tartalmazó d táolság az ábra jelöléseiel: d ( r ) = ru, ezért a hullámfüggény az r helyektorú pontban d( r ) ru ψ ( r,t ) = ψ ( d( r ),t) = f t = f t Harmonikus síkhullámnál: hullámfront ru y (azonos fázisú ψ ( r,t ) = Acos ω( t ) + α helyek síkja) agy ψ ( r,t ) = Acos( ωt kur + α ) r terjedési. Vezessük be a k = ku hullámszám-ektort, amely a terjedési irányt irány π mutatja, és nagysága k =. Ezzel a koordinátarendszerhez képest λ tetszőleges irányban haladó harmonikus hullám hullámfüggénye: ψ ( r,t ) = Acos( ωt kr + α ). z Általános irányú terjedésnél kr = k + k y y + kzz. Olyan gömbhullámoknál (agy kétdimenziós esetben körhullámoknál), amelyeknek forrása az origóban an, érényes, hogy r u, ezért d ( r ) = ru = r. A gömbhullámoknál (körhullámoknál) tehát a hullámfüggény Ilyenkor az azonos fázisú helyek az gömbfelületen (síkbeli terjedésnél körön) helyezkednek el. A0 ψ ( r,t ) = cos( ωt kr + α ). r ru = állandó, agyis az r = állandó összefüggéssel megadott *************** *************** *************** A sík- és gömbhullám fenti hullámfüggényei komple formában a i( ωt kr+ α ) illete alakot öltik. ~ ψ (,t ) = Ae ~ ψ (,t ) = A 0 e i r ( ωt kr+ α ) *************** *************** *************** d u

11 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 11 Hullámok polarizációja Ha a hullámban terjedő zaarnak iránya an (pl. egy kitérés), akkor a hullám lehet longitudinális agy transzerzális, attól függően, hogy a zaar iránya párhuzamos a terjedési iránnyal agy arra merőleges. Longitudinális hullámban egyetlen kitüntetett irány an, a zaar- és a zaarterjedés közös iránya, a transzerzális hullámban iszont a zaar- és a zaarterjedés iránya szétálik ( polarizálódik ), ezért két kitüntetett irány an. Ha a hullámforrásban a transzerzális zaar iránya időben állandó, akkor homogén, izotróp terjedés esetén a zaar iránya a hullámban sem áltozik meg. Ez azt jelenti, hogy a hullám terjedési iránya és a zaar iránya minden pillanatban és minden helyen ugyanabban a síkban an. KÍSÉRLET: Ilyen hullámot kapunk például, ha egy rugalmas kötél egyik égét mindig ugyanazon egyenes mentén mozgatjuk. Az ábrán az így kapott hullám pillanatképét (a t 1 időpillanatban) derékszögű koordinátarendszerben mutatjuk be: a hullám az -tengely mentén mozog, a kitérés mindenütt y-irányú, a két kitüntetett irány és így a zaar térbeli eloszlását megadó görbe is az y-síkban an. ψ(,t 1 ) Az ilyen hullámot síkban poláros agy lineárisan poláros hullámnak-, a két kitüntetett irány által megadott síkot pedig a hullám rezgési síkjának neezik. A hullám keltésénél azonban nem mindig teljesül a fenti feltétel, a hullámforrásban a transzerzális zaar iránya áltozhat, és ennek megfelelően áltozik a hullám rezgési síkjának helyzete is. A zaar irányának áltozása lehet életlenszerű, de köethet alamilyen szabályszerűséget is. Szabályszerű áltozásról beszélhetünk például akkor, ha a rugalmas kötél égét egy kör mentén mozgatjuk (ábra). Ekkor a kötél többi pontja is körmozgást égez, a forrástól mért táolságnak megfelelő fáziskéséssel. Az ilyen hullámot cirkulárisan poláros hullámnak neezik. Az ábrán látható cirkulárisan poláros hullám forrásában a zaart jellemző ektor állandó szögsebességgel körbeforog. Ez a forgó ektor minden pillanatban felbontható egy-egy áltozó hosszúságú y- és z- irányú ektorra, ezért a cirkulárisan poláros hullám felbontható két egymásra merőleges rezgési síkú, azonos amplitúdójú, lineárisan poláros hullámra. Az összeteő hullámok amplitúdója ekkor az említett kör sugaráal egyenlő. Ha a forrásban a zaart jellemző ektor égpontja egy ellipszis mentén mozog, akkor a keletkező hullámot elliptikusan poláros hullámnak neezik. Ez a hullám mindig felbontható két egymásra merőleges rezgési síkú, különböző amplitúdójú, lineárisan poláros hullámra. Az összeteő hullámok amplitúdója ekkor az ellipszis két féltengelyének hosszáal egyenlő. A cirkulárisan poláros hullám tulajdonképpen az elliptikusan poláros hullám speciális esete (a kör olyan ellipszis, amelynek két féltengelye azonos hosszúságú). A szabálytalanul áltozó rezgési síkú transzerzális hullámoktól aló megkülönböztetés érdekében a lineárisan-, cirkulárisan- agy elliptikusan poláros hullámokat összefoglaló néen poláros hullámoknak neezik. Nem lineárisan poláros, transzerzális hullámból megfelelő módszerrel kiálasztható a hullámnak egy tetszőleges síkú lineárisan poláros összeteője. Ez jól szemléltethető egy rugalmas kötélen létrehozott transzerzális hullám esetében. KÍSÉRLET: Rugalmas kötél égét körbeforgata, létrehozunk egy nagyjából cirkulárisan poláros hullámot (a) ábra), majd a kötél középpontja közelében a kötelet egy összecsukható fakerettel esszük körül. Ezáltal a hullám egy keskeny, függőleges irányú résen kénytelen áthaladni. A rés csak a hullám függőleges összeteőjét engedi át, így tehát egy lineárisan poláros hullámot kapunk. Ha a rést függőleges tengely körül elforgatjuk, akkor mindig az új iránnyal párhuzamos rezgési síkú lineárisan poláros hullám jön létre, agyis ezzel a módszerrel a nem poláros hullámból tetszőleges rezgési síkú lineárisan poláros hullámot ki tudunk álasztani. z z y y ψ(,t 1 )

12 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 1 Az ilyen eszközöket, amelyekkel nem lineárisan poláros hullámból lineárisan poláros hullámot állíthatunk elő, polarizátoroknak-, azt a rezgési síkot pedig, amelyet a polarizátor átenged, a polarizátor rezgési síkjának neezik. Polarizátorként a különböző hullámterjedési mechanizmusoknál más és más eszközöket alkalmaznak. Rugalmas kötélhullámok esetén a kísérletben használt rést használhatjuk, az elektromágneses hullámoknál használt eszközökről később lesz szó. KÍSÉRLET: Ha az előző kísérletben alkalmazott polarizátor mellett egy másik polarizátort is alkalmazunk, akkor a két polarizátor után megjelenő hullám jellege attól függ, hogy a két polarizátor rezgési síkja egymással milyen szöget zár be. Ha a második polarizátor rezgési síkja párhuzamos az elsőéel, akkor a lineárisan poláros hullám áltozatlanul halad át a második polarizátoron is (b) ábra). Ha most a második polarizátort ízszintes tengely körül elkezdjük körbeforgatni, akkor a második polarizátor után megjelenő lineárisan poláros hullám rezgési síkja a polarizátorral együtt elfordul, és amplitúdója fokozatosan csökken. Ha a két polarizátor rezgési síkja egymásra merőleges, akkor a második polarizátor után nincs hullám (c) ábra), agyis a lineárisan poláros hullámot a rezgési síkjára merőleges polarizátor kioltja. Miel a kísérlet tanúsága szerint a polarizátor kioltja a rá merőleges rezgési síkú lineárisan poláros hullámot, a polarizátor forgatásakor beköetkező amplitúdó- és intenzitáscsökkenés a köetkezőképpen is felfogható. A hullám az első polarizátor által meghatározott rezgési síkkal érkezik a második polarizátorhoz, amelynek rezgési síkja α szöget zár be az első polarizátorral illete a beeső hullám rezgési síkjáal. Ha a beeső lineárisan poláros hullámot (az ábrán A 0 ) felbontjuk a második polarizátorral párhuzamos ( A N )- és arra merőleges rezgési síkú ( A T ) lineárisan poláros hullámokra, akkor a második polarizátor a merőleges összeteőt kioltja, és az eredeti amplitúdónak csak a második polarizátor síkjáal párhuzamos összeteője halad toább. Az átmenő hullám amplitúdójának a két polarizátor egymással bezárt szögétől aló függését az A = AT = A0 cosα összefüggés adja meg. Miel a hullám intenzitása arányos az amplitúdó négyzetéel, a második polarizátorra eső I 0 intenzitásból az átjutott I intenzitás az I = I 0 cos α összefüggésből kapható meg. Ebből isszakapjuk a tapasztalatból már ismert eredményt: ha a két polarizátor egymásra merőleges, agyis átmenő hullám. π α =, akkor A I = 0 =, tehát nincs Miel a kísérletben alkalmazott második polarizátor segítségéel a beérkező hullám rezgési síkját meg lehet találni, a fenti elrendezésben a második polarizátort analizátornak is neezik. Ha a polarizátor és az analizátor rezgési síkja egymásra merőleges, akkor keresztezett polarizátorokról beszélünk. Ezzel a kifejezéssel éle, azt mondhatjuk, hogy a keresztezett polarizátorok a transzerzális hullámot kioltják, ezért alkalmazásukkal eldönthető, hogy egy hullám transzerzális agy nem.. polarizátor rezgési síkja beeső, lineárisan poláros hullám rezgési síkja Mint láttuk, a polarizátor-analizátor pár az analizátor forgatásáal alkalmas arra, hogy az átmenő hullám intenzitását szabályozni tudjuk. Ennek különösen az optikában an nagy jelentősége. A 0 A N α A T =A 0 cosα

13 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 13 Hullámok isszaerődése és törése A hullámterjedés izsgálatánál eddig azt tételeztük fel, hogy a hullám homogén közegben, állandó sebességgel terjed. Ha a hullám egy közeg határához ér, akkor a tapasztalat szerint onnan részben isszaerődik, részben pedig behatol a szomszédos közegbe, és terjedésében mindkét esetben áltozások állhatnak be. Visszaerődésnél például megáltozhat a hullám fázisa, új közegbe történő behatolásnál pedig általában megáltozik a hullám terjedési sebessége, és ezzel együtt a hullámhossza, elektromágneses hullámoknál mindkét esetben megáltozhat a hullám polarizációs állapota is. A isszaerődés és törés során a különböző típusú (rugalmas, elektromágneses) hullámok különbözőképpen iselkednek, de annak olyan jelenségek, amelyek mindenféle hullám esetén fellépnek. Itt elsősorban ezekkel a közös jelenségekkel foglalkozunk, az egyes hullámfajtákra jellemző speciális problémákat a megfelelő helyen tárgyaljuk. A isszaerődés és törés alapjelenségeinek bemutatására szemléletességük miatt elsősorban kifeszített, rugalmas kötélen-, illete ízfelületen terjedő rugalmas hullámokat használunk. Először égezzünk el két kísérletet rugalmas kötélen terjedő hullámokkal. KÍSÉRLETEK: Rugalmas kötél egyik égét rögzítsük a falhoz, úgy hogy ne tudjon elmozdulni, feszítsük ki, és a másik égéről indítsunk el egy pulzust (baloldali ábra). Jól megfigyelhető, hogy amikor a pulzus a kötél és a fal határához érkezik, onnan isszaerődik, de a kitérés iránya ellenkezőre áltozik. Ez azt jelenti, hogy a rögzített égről történő isszaerődésnél a hullám fázisában π nagyságú ugrás köetkezik be. Módosítsuk a kötél égének rögzítését úgy, hogy szabadon elmozdulhasson. Ezt amint a jobboldali ábrán is látszik a fal és a rugalmas kötél közé beiktatott ékony, rugalmatlan zsinórral érhetjük el. Most a kétféle kötél határáról történő isszaerődés közben a zaar iránya nem áltozik meg, a szabad égről történő isszaerődésnél nincs fázisugrás. A rögzített égen beköetkező fázisugrás oka az, hogy a falhoz érkező zaarnak a falnál el kell tűnnie, és ez csak úgy lehetséges, hogy a falnál elinduló ellentétes kitérés kompenzálja az eredeti kitérést. Visszaerődésnél nem csak rugalmas hullámoknál léphet fel fázisugrás. A jelenség a elektromágneses hullámok esetén is megfigyelhető.

14 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 14 Kétdimenziós terjedésnél beköetkező törési és isszaerődési jelenségek jól demonstrálhatók ízhullámokkal. KÍSÉRLET: Vízfelületet egy egyenes pálcáal periodikusan ütögete, egyenes hullámot hozunk létre, és a hullám útjába ferdén elhelyezünk egy egyenes akadályt, amelyen a hullám nem tud áthatolni (ábra). A hullám az akadályról jól láthatóan isszaerődik, mégpedig úgy, hogy az ábrán bejelölt α beesési szög megegyezik az α b isszaerődési szöggel (az u N ektor az akadályra merőleges irányt, a beesési merőlegest jelöli). u N α b α Ha az előző kísérletnél a hullám útjába a terjedésére merőleges akadályt helyezünk el, a hullám akkor is isszaerődik. Ennek tiszta szemléltetése azonban ízhullámokkal nehéz, mert a isszaerődő hullámok összetalálkoznak a beeső hullámokkal, és kölcsönhatásuk miatt a kialakult kép bonyolulttá álik (a hullámok találkozásánál fellépő jelenségekkel később foglalkozunk). A problémát úgy lehet kiküszöbölni, hogy csak egyetlen röid pulzus terjedését izsgáljuk. Vízhullámokkal modellezhető az az eset is, amikor a hullám egyik közegből a másikba megy át. Ezt az teszi lehetőé, hogy a ízhullámok terjedési sebessége függ a íz mélységétől. Ha a hullámkád egyik részének aljára üeglapot teszünk, és ezzel a ízmélységet lecsökkentjük, akkor ez a rész a hullámok számára más terjedési sebességet, tehát egy másik közeget jelent. A tapasztalat szerint a sekélyebb ízben a sebesség-, és ennek megfelelően a hullámhossz is kisebb (a rezgésidő a közegtől nem függ, így a λ = T összefüggés szerint a terjedési sebesség és a hullámhossz egymással arányos). KÍSÉRLET: λ 1 λ Hullámkád egyik felében (az ábrán a jobboldali rész) a ízmélységet lecsökkentjük, így két különböző közeget hozunk létre, amelyeket egyenes határonal álaszt el. A közeghatárra merőlegesen beeső egyenes hullám iránya a határonalon aló áthaladásnál nem áltozik meg, de a hullámhossz lecsökken. 1 < 1 KÍSÉRLET: Az előző kísérletet égezzük el úgy, hogy a hullám terjedési iránya nem merőleges a közeghatárra (ábra). Az új közegbe aló belépésnél most is megáltozik a hullámhossz, de emellett az azonos fázisú helyeket megadó egyenesek helyzete is módosul (és ennek megfelelően az erre merőleges terjedési irány is más lesz). A izsgált esetben az α törési szög kisebb, mint az α beesési szög. t b u N 1 λ 1 λ α b α t < 1

15 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 15 KÍSÉRLET: Ha a hullámkád aljába egy domború lencse alakú üeglapot teszünk (ábra), akkor az így létrehozott lencse a ráeső síkhullámot egy pontban (a fókuszpontban) gyűjti össze. Ez a kísérlet lényegében az optikából ismert gyűjtőlencse ízhullámmodellje. Nehezebben alósítható meg az a kísérlet, amiel az optikából ismert gömbtükör modellezhető, mert a hengeres akadályról isszaerődő hullámok összetalálkoznak a beérkező hullámokkal, és ez a képet bonyolulttá teszi. Itt is segít, ha csak egyetlen pulzust izsgálunk. A Huygens-el, a törés és isszaerődés értelmezése A isszaerődésnél és törésnél beköetkező jelenségek megmagyarázhatók egy egyszerű modell- és a belőle köetkező szerkesztés segítségéel, amelyet Huygens 1 dolgozott ki. A modell alapötletét az a tény adta, hogy egy pontszerű zaar gömbhullám (két dimenzióban körhullám) alakjában terjed. Miel pedig egy hullámfront minden pontjában ugyanaz a zaar jön létre, mint a hullámforrásban, a hullámfront minden pontja elemi gömbhullámok forrásaként fogható fel. Ezt a felteést megerősíti az alábbi kísérlet. KÍSÉRLET: Vízfelületen létrehozott egyenes hullámok útjába olyan akadályt teszünk amelyen egy a hullámhosszhoz képest kis rés an, és a hullám csak ezen tud áthaladni. Az akadály túloldalán ekkor a résből kiinduló körhullámot látunk (ábra). Ez a kísérlet azt mutatja, hogy a hullámfront kellően kicsi (pontszerű) szakasza alóban elemi gömbhullámot (a kísérletben körhullámot) kelt. Fontos megfigyelni, hogy a körhullám csak a hullámterjedés irányában jön létre, isszafelé induló körhullámot nem látunk. A hullámterjedésnek ezen a tapasztalaton alapuló modelljét a Huygens-el foglalja össze, amely szerint egy hullámfront minden pontjából elemi gömbhullámok indulnak ki, és a mindenkori új hullámfrontot az elemi gömbhullámok burkolófelülete adja. A burkolófelület megrajzolásánál a gömbfelületeknek a hullám eredeti terjedési irányába eső részét kell figyelembe enni. A mellékelt ábrán az látható, hogy a t időpillanatban érényes hullámfrontból r r t+δt hogyan lehet az elemi gömbhullámok (körhullámok) segítségéel megszerkeszteni a r=cδt t t + Δt időpillanatban érényes hullámfrontot. Példaként nézzük meg, hogy a Huygens-el segítségéel hogyan lehet számszerűen leírni a isszaerődés és törés szabályszerűségeit, amelyeket a fenti kísérletekben tapasztaltunk. A isszaerődést az alábbi ábra a) részén láthatjuk, ahol egy felületre, a felület normálisáal α b szöget bezáró irányban egy síkhullám érkezik. Ezt abban a pillanatban ábrázoltuk, amikor a hullámfront egy pontja (A) éppen eléri a felületet. Az ábrán Δt idő múla (amikor a hullámfront B pontja is elérte a felületet) megszerkesztettük a isszaert hullám 1 Christiaan HUYGENS ( ) holland fizikus.

16 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 16 hullámfrontját a Huygens-el segítségéel. A hullám haladási iránya a isszaerődés α után a felület normálisáal α szöget zár be. b α α b Az ábráról leolasható, hogy a beeső és B α b 1 Δt isszaert hullám haladási iránya szimmetrikus a beesési merőlegesre, agyis A α b α A Δt α t α b = α. α t A isszaerődés itt tárgyalt törényén alapul -- az optikában használt tükrök működése. a) b) A b) ábrán az 1 közegben a felületre beeső hullám átmegy a közegbe, ahol haladási irányát a felület normálisáal bezárt α t törési szöggel adjuk meg. A két közegben a hullám terjedési sebessége eltérő: 1 és. Az új hullámfrontot most a közegben szerkesztettük meg. Az ábrából kiderül, hogy az új közegbe behatoló (a határfelületen átmenő) hullám törésére érényes a sinαb 1 = = n1 sinα t összefüggés. Az így beezetett n 1 mennyiség a közegnek az 1 közegre onatkozó törésmutatója. Ezen a törényen alapul számos optikai eszköz (pl. lencsék, prizma) működése. A isszaerődés és törés törényeinek megfogalmazásánál hasznos a hullám haladási irányát jellemző sugarak beezetése. A sugár az a onal amely mentén a hullám által szállított energia terjed. Ez izotróp közegben az azonos fázisú síkokra merőleges onal, amely homogén közegben egyenes, inhomogén közegben megtört agy görbe onal. Így például homogén, izotróp közegben terjedő síkhullámban a sugarak az azonos fázisú síkokra merőleges, egymással párhuzamos egyenesek, gömbhullámban pedig a forrásból kiinduló sugárirányú egyenesek. A hullámnak egy éges felületen átmenő részét sugárnyalábnak neezik (ez alóban a sugarak egy nyalábja). A isszaerődés és törés fent megállapított szabálya a sugarak segítségéel is megfogalmazható. A isszaerődés törénye ebben a megfogalmazásban úgy hangzik, hogy egy határoló felületre beeső sugár α b beesési szöge (a) ábra) megegyezik az α isszaerődési szöggel, és a beesési sugár a beesési merőlegessel és a isszaert sugárral egy síkban an. A törés törénye pedig úgy fogalmazható meg, hogy a határfelületre beeső sugár α b beesési szöge (b) ábra) és a határfelületen átmenő sugár α t törési szöge között a sinαb már tárgyalt = n1 sinα t összefüggés áll fenn, a beesési sugár a beesési merőlegessel és a megtört sugárral egy síkban an. Ezek a törények nagy mértékben megkönnyítik a törésen és isszaerődésen alapuló optikai eszközök (pl. prizmák, tükrök, lencsék) működésének megértését és terezését. Ha a közeg inhomogén, akkor a törésmutató áltozása miatt a beeső sugár beesési merőleges 1 α b α isszaert sugár beeső sugár beesési merőleges α b α t a) b) megtört sugár

17 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 17 sugarak iránya áltozik. Réteges közegben az irányáltozás többszörösen megtört sugarakat eredményez (ábra), folytonosan áltozó közegben a sugarak folyamatosan görbülő onalak.

18 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 18 Hullámok találkozása, interferencia Ha a tér egy pontjában két hullám an jelen, akkor hatásuk ott alamilyen módon összegződik. A hullámok összeadódását interferenciának neezik. Ha a szuperpozíció ele érényes (és szélsőséges esetektől eltekinte általában érényes), akkor adott helyen (r), a hullámok által okozott áltozás minden időpillanatban (t) a két hullám által külön-külön okozott áltozások összege, agyis a két hullámfüggény egyszerűen összeadható: ψ ( r,t ) = ψ 1( r,t ) + ψ ( r,t ). Ezt a felteést elfogada, most az interferencia néhány egyszerű esetéel foglalkozunk: megizsgáljuk pontszerű forrásokban keltett gömbhullámok (két dimenzióban körhullámok)- és rugalmas kötélen terjedő, egydimenziós hullámok interferenciáját. Egy-egy pontforrásban keltett két gömbhullám interferenciája Általános köetkeztetések leonására is alkalmas példaként izsgáljuk meg két pontforrásból induló, azonos ω körfrekenciájú, harmonikus gömbhullám (agy körhullám) interferenciáját. Az amplitúdó térbeli eloszlása, az interferenciakép Tegyük fel, hogy az ábrán látható O 1 és O forrásokban létrehozott két rezgés amplitúdója különböző, és köztük ϕ fáziskülönbség an, így a rezgések időfüggését az f1( t ) = A1 cosωt f ( t ) = A cos( ωt + ϕ ) P függényekkel adhatjuk meg. r Ha feltételezzük, hogy a izsgált térrészben a 1 r hullámok amplitúdójának csökkenése még nem számotteő, akkor a két hullám hullámfüggénye d ψ 1( r1,t ) = A1 cos( ωt kr1 ) O 1 O ψ ( r,t ) = A cos( ωt kr + ϕ ) alakban írható fel. Az interferencia eredményét egy tetszőlegesen álasztott P pontban számítjuk ki. Az eredő hullám a P pontban a szuperpozíció ele szerint: ψ ( P,t ) = ψ 1 ( r1,t ) + ψ ( r,t ). Ez áttekinthetőbb alakban írható fel, ha felhasználjuk a rezgések összegzésénél a forgóektoros módszerrel kapott összefüggést: A1 cos( ω t + α1 ) + A cos( ωt + α ) = Acos( ωt + α ) ahol A = A1 + A + A1 A cos( α α1 ) A1 sinα1 + A sinα tgα =. A cosα + A cosα 1 1 Most az α 1 = kr1 és α = kr + ϕ fázisszögek adott helyen állandók, így α is az. Ezzel az eredő hullám: ψ P,t ) = A + A + A A cos( kr kr + ϕ ) cos( ωt + ). ( α

19 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 19 A P pontban tehát ω körfrekenciájú harmonikus rezgés jön létre (a kifejezés második tényezője), amelynek amplitúdója (az első tényező) a helytől függ: A = A1 + A + A1 A cos( kr1 kr + ϕ ) = A( P ) = A( r1,r ). Az amplitúdó maimális lesz akkor, ha a négyzetgyök alatti kifejezés maimális, agyis ha cos( kr1 kr + ϕ ) = + 1. Ekkor A ma = A1 + A, agyis a két hullám amplitúdója összeadódik. A koszinusz függény tulajdonságaiból köetkezik, hogy maimális amplitúdó ott alakul ki, ahol kr1 kr + ϕ = ± nπ, agyis a két hullám által a találkozásukig megtett utak Δ sma = r1 r különbsége: ϕ Δs ma = ± nλ λ (n = 0, 1,, 3,...). π Hasonlóan belátható, hogy a minimális amplitúdó Amin = A1 A, amely azokon a helyeken jön létre, ahol a hullámok közötti útkülönbség λ ϕ λ Δs min = ± ( n + 1) (n = 0, 1,, 3,...). π Ha a hullámok között nincs fáziskülönbség (ϕ=0), akkor a két feltétel egyszerűbben megfogalmazható: maimális amplitúdó ott jön létre, ahol a két hullám Δs útkülönbsége a hullámhossz egész számú többszöröse: Δs ma = ± nλ minimális amplitúdó pedig ott, ahol az útkülönbség a félhullámhossz páratlan számú λ többszöröse: Δ s min = ± ( n + 1). Ha a ϕ fáziskülönbség időben állandó, akkor a fenti egyenletekből azt kapjuk, hogy a maimális és minimális amplitúdójú (intenzitású) helyek síkban terjedő hullámoknál egy-egy időben állandó helyzetű hiperbola-seregen helyezkednek el, hiszen az r1 r = állandó összefüggés hiperbola egyenlete. Az ábrán a ϕ = 0 eset látható. A két forrásból kiinduló körhullámok maimális amplitúdójú onalait folytonos körök, a minimális amplitúdójú helyeket szaggatott onallal rajzolt körök mutatják. Vastag onalak jelzik az λ O r1 r = m feltételnek megfelelő 1 O hiperbolákat. A maimális amplitúdójú helyek az m = 0,,4, 6 értékeknek megfelelő folytonos onalakon találhatók. A két hullám útkülönbsége ezeken a helyeken a hullámhossz m egész számú többszöröse. A minimális amplitúdójú helyek az m = 1,3, 5 értékeknek megfelelő szaggatott onalakon helyezkednek el. Itt az útkülönbség a félhullámhossz páratlan számú többszöröse. Ha ϕ 0, de állandó, akkor is hiperbolákat kapunk, csak ezek az ábrán látható hiperbolákhoz képest eltolt helyzetűek lesznek. Térbeli terjedés (gömbhullámok) estén a maimális és minimális amplitúdójú helyek forgási hiperboloidokon helyezkednek el, amelyeket a fenti hiperboláknak az O1 O egyenes körül történő forgatásáal kapunk meg.

20 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 0 Kimutatható, hogy a pontforrásoktól nagy táolságban, a forrásokat összekötő egyenessel párhuzamos egyenes (az ábrán az -tengely) mentén az intenzitás jellegzetes maimumok és minimumok sorozatából álló periodikus helyfüggést mutat. 4I 0 I() A két pontforrásból induló körhullámok interferenciája ízhullám kísérletekkel jól szemléltethető. KÍSÉRLET: Vízfelület két pontjában egyidejűleg azonos fázisú rezgéseket keltünk, és megfigyeljük a keletkező körhullámok interferenciáját (ábra). Az interferenciaképen jól láthatók azok a onalak, amelyeken a maimális- és minimális amplitúdójú helyek találhatók (a középre berajzolt függőleges onal maimumhelyeket jelöl ki). A hullámok interferenciájánál kialakuló jellegzetes, állandósult amplitúdó-helyfüggést interferenciaképnek neezik. Állandósult interferenciakép azonban csak akkor alakul ki, ha a hullámok közötti fáziskülönbség időben nem áltozik. Az állandó fáziskülönbségű tehát állandósult interferenciaképet létrehozó hullámokat koherens hullámoknak neezik. Interferencia természetesen akkor is létrejön, ha az interferáló hullámok fáziskülönbsége nem állandó, de ekkor többnyire az interferenciakép is olyan gyorsan áltozik, hogy nem figyelhető meg. Az eredő hullám amplitúdójának helyfüggésére onatkozó egyenletet négyzetre emele, az A = A1 + A + A1 A cos( kr1 kr +ϕ ) összefüggést kapjuk. Korábban már olt róla szó, hogy a hullám által szállított energia áramsűrűsége, az I intenzitás, az amplitúdó négyzetéel arányos, agyis a találkozó hullámokra és az eredő hullámra fennállnak az alábbi összefüggések: I 1 = CA1, I = CA, I = CA. Ezeket az összefüggéseket figyelembe ée, az amplitúdóra onatkozó egyenletből az intenzitásokra az alábbi összefüggést kapjuk: I = I1 + I + I1I cos( kr1 kr + ϕ ). Az interferenciánál tehát az eredő hullám I intenzitása nem egyszerűen az interferáló hullámok I 1 és I intenzitásainak összege, hanem megjelenik egy a helytől és a hullámok fáziskülönbségétől függő interferencia-tag. Ha a ϕ fáziskülönbség időben áltozik, azaz ϕ = ϕ( t ), akkor adott helyen (r 1, r ) a találkozó hullámok eredő intenzitása is függni fog az időtől I = I1 + I + I1I cos( kr1 kr + ϕ ( t )) = I( r1,r,t ). Ha tehát a hullámok nem koherensek, akkor az intenzitás-eloszlás időben áltozó lesz, agyis nem alakul ki állandósult interferenciakép. Ha a fáziskülönbség minden szabályszerűség nélkül, életlenszerűen, és a megfigyelő (agy a mérőeszköz) reakcióidejéhez képest gyorsan áltozik, akkor a megfigyelő az átlagos intenzitást észleli. Miel ekkor az interferencia-tagban szereplő

21 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 1 ( kr kr + ( t )) cos 1 ϕ időbeli átlaga nulla, a megfigyelt intenzitás a két hullám intenzitásának összege lesz: I = I 1 + I. Ilyenkor interferenciakép helyett egyenletes intenzitás-eloszlást észlelünk. (Ez az oka annak, hogy két közönséges lámpa fényének interferenciáját nem észleljük: a lámpák fényében a hullámok fáziskülönbsége életlenszerűen áltozik, két ilyen lámpa nem koherens fényforrás.) Pontforrás-sor által keltett hullámok interferenciája Sok pontforrásból induló, azonos frekenciájú és amplitúdójú gömbhullámok interferenciáját abban az egyszerű esetben izsgáljuk, amikor a pontforrások egy egyenes mentén egymástól azonos a táolságban helyezkednek el (ábra), nincs közöttük fáziskülönbség, és az interferenciát a forrásoktól nagyon nagy (elileg égtelen) táolságban izsgáljuk. Ilyenkor az egyes pontokból kiinduló hullámok akkor erősítik egymást, ha az útkülönbségük a hullámhossz egész számú többszöröse. Az ábrából látható, hogy ez olyan irányokban teljesül, amelyekre fennáll, hogy ϑ a Δsn = a sinϑn = nλ, Δs=a sinϑ λ Azaz sinϑ n = n. a Miel a hullámok amplitúdója azonos, a maimális amplitúdó a két pontforrás esetéhez hasonlóan az egyes amplitúdók összege lesz. Ha N számú, A amplitúdójú pontforrás an, akkor A ma = NA (Ennek megfelelően a maimális amplitúdójú irányokban az intenzitás I ma = N I ahol I az egyes forrásokból érkező hullámok intenzitása). A maimális amplitúdójú irányok között minimális (esetünkben nulla) amplitúdójú irányok találhatók, így a pontforrásokat összekötő egyenessel párhuzamosan halada a két pontforrás esetéhez hasonlóan az amplitúdó periodikus térbeli áltozását tapasztaljuk. a sinϑ A mellékelt ábrán a különböző n = értékekhez tartozó maimális intenzitások λ láthatók különböző számú (N) pontforrás esetén. Az N=8-nak megfelelő ábra a fenti számítással nem egyezik. Ennek az az oka, hogy az eredő hullám amplitúdóját nem számítottuk ki, így csak a főmaimumok helyét tudtuk meghatározni. Ha a hullámokat alóban összegezzük (pl. a forgóektoros módszerrel), akkor kiderül, hogy a főmaimumok között jóal kisebb amplitúdójú mellékmaimumok is annak. Ezek intenzitása a források számának nöeléséel csökken: igen nagy számú forrás esetén a fenti ábra alsó részén látható, mellékmaimumok nélküli eloszlást kapjuk. Az interferencia látányos megnyilánulása az, hogy ékony hártyákról (pl. olajréteg a íz felületén) isszaerődő fényben színes csíkokat látunk. Ezt a hártya két oldaláról isszaerődő fényhullámok interferenciája okozza (ábra): a hártyáról a szemünkbe érkező b és c fényhullámok között útkülönbség an, ami függ attól, hogy milyen szög alatt nézünk a

22 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) hártyára. Egy adott szög esetén az erősítés feltétele (az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse) csak egy bizonyos hullámhosszra (színre) teljesül, így ebből az irányból ezt a színt látjuk. A hártya különböző pontjairól tehát különböző szög alatt a szemünkbe érkező fénynél az erősítés feltétele különböző hullámhosszakra teljesül, ezért látunk különböző színű sáokat. a leegő hártya íz c b c

23 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 3 Hullámok elhajlása (diffrakció), a Huygens Fresnel-el A hullámok terjedését eddig olyan esetekben izsgáltuk, amikor a terjedést korlátozó, agy módosító felületek (közeghatárok) nagyméretűek oltak, a közegekben pedig a határoktól eltekinte a hullámterjedés homogén és izotróp olt. A hullámok terjedését azonban lényegesen befolyásolja, ha az útjukba éges méretű akadályok agy rések kerülnek. Ha ezeknek a mérete sokkal nagyobb, mint a hullámhossz, akkor még nincs jelentős áltozás. Ezt szemlélteti a köetkező kísérlet. KÍSÉRLET: Hullámkád egy pontjában létrehozunk egy körhullámot, és egy a hullámhosszhoz képest nagyméretű résen bocsátjuk át. A rés után nagyjából az ábrán látható hullámképet látjuk. Ebben az esetben tehát szabályos árnyék keletkezik, a hullám jó közelítéssel egyenes onalban terjed, az egyenesekkel határolt, geometriai árnyéktérbe nem agy alig hatol be. árnyék d>>λ d árnyék A hullámok egyenes onalú terjedése teszi lehetőé, hogy a hullámterjedést a sugarak beezetéséel sok esetben egyszerű geometriai szerkesztésekkel tudjuk nyomon köetni, és egyszerű magyarázatot adjunk számos optikai eszköz működésére (ezzel a geometriai optika foglalkozik). Vannak azonban olyan esetek, amikor a hullám lényegesen eltér az egyenes onalú terjedéstől. Ez történik pl. akkor, ha az előbbi kísérletben a rés méretét lecsökkentjük. KÍSÉRLET: Az előbbi kísérletben csökkentsük a rés méretét. Amikor a rés mérete közel azonos a hullámhosszal (a) ábra), akkor a hullám jelentősen behatol az árnyéktérbe, az egyenes terjedéshez képest elhajlik. Még jelentősebb eltérés köetkezik be, ha a rés mérete sokkal kisebb a hullámhossznál (b) ábra), hiszen ekkor mint azt korábban már láttuk a rés pontforrásként iselkedik. d~λ d a) d<<λ d b) Már a nagyméretű rés esetén is utaltunk arra, hogy az egyenes onalú terjedés csak jó közelítéssel alósul meg. Pontosabb megfigyelések azt is megmutatják, hogy bármilyen akadály szélénél is beköetkeznek az egyenes onalú terjedéstől eltérő jelenségek. KÍSÉRLET: Ezt megfigyelhetjük egy hullámkádban, ha egy nagyobb hullámhosszú hullám egy akadály széle mellett halad el (ábra).

24 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 4 Kis méretű akadály esetén a hullám az akadály mindlét szélén behatol az árnyéktérbe. KÍSÉRLET: Hullámkádban keltett körhullám útjába a hullámhosszal összemérhető akadályt helyezünk el. A hullámok jól láthatóan behatolnak az akadály mögötti geometriai árnyéktérbe. d~λ Toábbi izsgálatok amelyekről részletesebben a fényhullámoknál lesz szó azt mutatják, hogy a hullám intenzitáseloszlása nem olyan egyszerű, mint amiről eddig szó olt. Ez legjobban fényhullámokkal mutatható be, de a jelenség hullámkádban is megfigyelhető. KÍSÉRLET: Vízfelületen létrehozott hullám útjába kis méretű rést helyezünk el. Ha résméretet és a hullámhosszt megfelelően álasztjuk meg, akkor a rés túloldalán a pontforrások interferenciájához hasonló hullámalakzatot látunk. Itt az egyenes terjedéstől aló eltérés mellett a résen áthaladt hullámban maimális és minimális amplitúdójú helyeket mutató onalak figyelhetők meg. Ehhez hasonló képet kapunk akkor is, ha a hullám egymás mellett elhelyezett rések sorozatán (rácson) halad át. Az itt bemutatott eseteken kíül is számos tapasztalat mutatja, hogy ha a hullám réseken halad át, agy éges méretű akadályokba ütközik, akkor az egyenes onalú terjedéstől jelentős eltérések figyelhetők meg. A hullámnak az egyenes onalú terjedéstől aló eltérését hullámelhajlásnak agy diffrakciónak-, az ezzel kapcsolatos jelenségeket elhajlásjelenségeknek-, a létrejött hullámalakzatot pedig elhajlási képnek agy diffrakciós képnek neezik. Az elhajlásjelenségek a Huygens-elel már nem értelmezhetők. Ennek alapető oka az, hogy a Huygens-el nem eszi figyelembe a terjedő hullám intenzitásiszonyait, így nem tudja értelmezni sem az árnyékjelenséget, sem pedig azt, hogy a hullám részlegesen behatol az árnyéktérbe. Ezt a problémát oldja meg a Fresnel 1 által jaasolt módosítás, amely szerint az új hullámfrontot nem az elemi hullámok burkolófelületeként értelmezzük, hanem az elemi hullámok interferenciájából számítjuk ki. Ez a Huygens Fresnel-el. A Huygens Fresnel-el tehát nem egyszerűen a geometriai terjedési szabályokat eszi figyelembe, hanem azt is, hogy az interferencia miatt az elemi hullámok a hullámtér egyes tartományaiban egymást erősíthetik agy gyengíthetik (esetleg kioltják) egymást, agyis intenzitásáltozások köetkezhetnek be. A Huygens Fresnel-el alapján elégzett számításokból derül ki, hogy az árnyékjelenség oka az, hogy az elemi hullámok a rés túloldalán, az "árnyéktérben" a rés méretétől függő d 1 Augustin Jean FRESNEL ( ) francia fizikus.

25 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 5 mértékben kioltják egymást. Ezzel egyúttal az árnyéktérbe aló behatolás különböző esetei is értelmezhetők. Az is megmagyarázható, hogy miért jelennek meg az interferenciára jellemző hullámalakzatok. A Huygens Fresnel-el szerint ugyanis a hullámfront minden pontjából elemi gömbhullámok indulnak ki, és a hullámtér egy adott pontjában az amplitúdót ezek interferenciája adja meg. Egy rés mögött tehát olyan interferenciakép jelenik meg, amely a résben elképzelt égtelen sok pontforrásból kiinduló, koherens hullámok interferenciájának felel meg. A diffrakció különösen fontos szerepet játszik az optikában, ahol ezt a jelenséget fényelhajlásnak neezik. Gyakorlatilag is fontos eset az, amikor a hullám rések sorozatán ún. rácson halad át. Ilyenkor a rések különböző pontjaiból kiinduló elemi hullámok bizonyos irányokban erősítik, más irányokban gyengítik egymást, és a rács mögött a ráccsal párhuzamos irányban halada az amplitúdó (és a hullám intenzitása, ami arányos az amplitúdó négyzetéel, l. alább) maimumokon és minimumokon megy át (ábra). Az intenzitáseloszlás abban különbözik a pontforrás-sor interferenciánál kapott eloszlástól, hogy a diffrakció köetkeztében a maimumok magassága a középonaltól kifelé halada csökken. amplitúdó n=3 n= n=1 A maimumok α n irányai úgy kaphatók meg, hogy ezekben az irányokban a rések α n=0 azonos helyeiről (pl. a rések tetejéről) n=-1 kiinduló hullámok páronként erősítik n=- egymást, tehát a Δs= d sinα n α d n=-3 útkülönbségükre érényes, hogy Δs=d sinα Δs= nλ. Ezért a maimumok irányaira azt kapjuk, hogy d sin α n = nλ ( n = 0, ± 1, ±,...). Az összefüggésből a rácsállandó (d) ismeretében a hullámhossz meghatározható. A rácson aló elhajlás a hullámok jellegzetes iselkedése.

26 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 6 A hullámterjedést leíró alaptörény: a hullámegyenlet A hullám leírása akkor teljes, ha a hullámfüggényt a hullámot létrehozó hatások és a terjedését befolyásoló határfeltételek ismeretében meg tudjuk határozni, agyis ismerjük a hullámfüggény meghatározására szolgáló fizikai egyenletet. Emellett a hullám által szállított energia meghatározása is fontos feladat. Ezeknek a problémáknak a megoldásához a különböző zaarterjedési mechanizmusok esetén más és más eszközöket és alaptörényeket kell felhasználnunk, ezért a rugalmas hullámokkal és az elektromágneses hullámokkal külön foglalkozunk. A tárgyalást a rugalmas hullámokkal kezdjük. Hullámegyenlet rugalmas hullámokra Első célunk az, hogy egy olyan fizikai egyenletet találjunk, amely alkalmas a hullámfüggény meghatározására. Ezt az egyenletet hullámegyenletnek neezik. Rugalmas hullámok esetén a hullámegyenlet felírásánál abból indulhatunk ki, hogy a hullám keltésekor erőt fejtünk ki a közeg egy kis térfogatelemére, ezért a hullámegyenletet a hullámban elmozduló közeg egy kis térfogatelemére felírt mozgásegyenlet segítségéel kaphatjuk meg. Hullámegyenlet egydimenziós, longitudinális rugalmas hullámok esetén A közeg elemi darabjára felírt mozgásegyenletben természetesen nem szerepel a hullámfüggény, ezért a feladat az, hogy a mozgásegyenletben szereplő, helytől és időtől függő mennyiségeket a hullámfüggénnyel fejezzük ki. Ekkor a hullámfüggényre onatkozó differenciálegyenletet kapunk. Először egy S keresztmetszetű rugalmas rúdban -irányban terjedő egydimenziós longitudinális hullámra égezzük el a számolást. A S mozgásegyenlet egy dm tömegű térfogatelemre (ábra) +d df = dm a. Ebből úgy lesz hullámegyenlet, hogy a rúd elemi darabjára ható df erőt és a gyorsulást kapcsolatba hozzuk a ψ hullámfüggénnyel. F(,t) ψ(,t) F(+d,t) ψ(+d,t) Első lépésként alkalmazzuk a Hooke-törényt, amely egy rugalmas test megnyújtásánál agy összenyomásánál a testre ható F erőt összefüggésbe hozza az dl ε = deformációal: l F = SEε (E a Young-modulus). Esetünkben a deformáció a kiálasztott térfogatelem relatí hosszáltozása, ami iszonylag egyszerűen kifejezhető a hullámfüggénnyel. Egy adott t időpillanatban az ábrán látható térfogatelem két égének relatí elmozdulását éppen a hullámfüggény - és +d helyeken felett értékeinek a különbsége adja meg, agyis dl = ψ( + d,t ) ψ(,t ). A térfogatelem eredeti hossza l = d. Így az elemi térfogat ε deformációját az dl ψ( + d,t ) ψ(,t ) ε = = l d

27 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 7 kifejezés adja meg. Ez tulajdonképpen a ψ (,t ) függény szerinti differenciálhányadosa. Miel itt egy kétáltozós függényt csak az egyik áltozója szerint differenciálunk (és közben a másik áltozót állandónak tekintjük), ezt a differenciálhányadost parciális deriáltnak neezik, és jelölésére a szokásos d szimbólum helyett a szimbólumot használják. Ezzel a jelöléssel a deformáció: ψ (, t ) ε =. A Hooke-törény szerint az erő és a deformáció arányos egymással, agyis ψ(,t ) F (,t ) = SEε (,t ) = SE. Az elemi darabra ható erő adott t időpillanatban F(,t ) df = F( + d,t ) F(,t ) = d, ami az erő kifejezése alapján: ψ (,t ) df = SE d. Ezzel a mozgásegyenlet baloldalát sikerült a hullámfüggénnyel kifejeznünk. A gyorsulás a helykoordináta (itt a hullámfüggény) második időderiáltja, azaz ψ (, t ) a =, t így a mozgásegyenlet jobboldalán is megjelent a hullámfüggény. Fejezzük ki még a izsgált térfogatelem tömegét a ρ sűrűséggel: dm = Sdρ. A fenti összefüggések felhasználásáal df = dm a mozgásegyenlet a hullámfüggénnyel kifejeze az E ψ (,t ) ψ (,t ) = ρ t alakot ölti. Ez a hullámterjedést leíró hullámegyenlet egy rugalmas rúdban terjedő longitudinális hullám esetén. Miel a rúdban terjedhet harmonikus hullám, az egyenletnek biztosan megoldása a harmonikus hullámot leíró ψ (, t ) = Acos( ωt k + α ) hullámfüggény is. Ha meg akarjuk tudni, hogy ez a függény milyen feltételek mellett megoldás, akkor be kell helyettesítenünk a hullámegyenletbe. A deriálásokat elégeze az alábbi egyenletet kapjuk: E k cos( ωt k + α ) = ω cos( ωt k + α ). ρ Az egyenletet rendeze azt kapjuk, hogy E k ω cos( ωt k + α ) = 0. ρ Ennek az egyenletnek bármilyen t időpillanatban érényesnek kell lennie, ami csak úgy teljesülhet, hogy az időfüggő rész együtthatója nulla: E k ρ ω = 0.

28 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 8 ω Felhasznála a k = összefüggést, azt kapjuk, hogy a longitudinális hullám terjedési sebessége a rúdban E =. ρ A izsgált esetben tehát a hullámegyenlet felírható a ψ (,t ) ψ (,t ) = t alakban is. Hullámegyenlet gázoszlopban terjedő longitudinális hullám esetén Az alapel ugyanaz, mint a rúdban terjedő longitudinális hullámoknál, agyis a gázoszlop egy elemi darabjára felírjuk a mozgásegyenletet, majd a gyorsulást és az erőt kifejezzük a hullámfüggénnyel. A mozgásegyenlet df = dm a, ahol df a kiálasztott térfogatelemre ható erő, a a térfogatelem gyorsulása, dm pedig a tömege. Itt az erő az -tengely adott helyén létrejött nyomásesésből származik, amire a t időpillanatban az F(,t ) = Sdp(,t ) összefüggés érényes. A rugalmasságtanból tudjuk, hogy egy gáz összenyomására dv dp = K V ψ összefüggés érényes. Miel V = Sd, és dv = Sdψ = S d, azt kapjuk, hogy ψ dp(,t ) = K. S +d Egy helyen t időpillanatban fellépő erő ennek alapján p(,t) p(+d,t) ψ F(,t ) = SK ψ(,t) ψ(+d,t) Egy kiálasztott térfogatelemre ható eredő erőt az erőnek a kiálasztott hosszon történő F(,t ) ψ (,t ) df = d = SK d megáltozása adja meg. A gyorsulás most is ψ (, t ) a =, t és dm = Sdρ0, ahol ρ 0 a gáz átlagos sűrűsége. A fenti összefüggésekkel a mozgásegyenlet az

29 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 9 ψ (,t ) ψ (,t ) SK d = Sdρ 0 t alakot ölti. Egyszerűsítések után ebből a K ψ (,t ) ψ (,t ) = ρ0 t hullámegyenletet kapjuk. Az egydimenziós hullámegyenlet általános alakja Láttuk, hogy többféle hullámterjedési esetre ugyanolyan alakú hullámegyenletet kaptunk: ezek a különböző esetekben csak az egyenletek baloldalán szereplő, anyagjellemzőket és geometriai adatokat tartalmazó állandókban különböznek egymástól. Mindezek alapján sejthető, hogy itt általános törényszerűségről an szó. Ha az egyenletek baloldalán megjelenő állandót B-el jelöljük, akkor a hullámegyenlet a ψ (, t) ψ (, t) B = t alakba írható, ahol E rúdban terjedő longitudinális hullámnál B =, ρ K gázoszlopban terjedő longitudinális hullámnál B = és ρ 0 Nézzük meg, hogy mi a fizikai jelentése ennek az állandónak. Ezt az egyenlet megoldásáal, agyis a hullámfüggény meghatározásáal deríthetnénk ki (ekkor az állandó feltehetőleg megjelenik a hullámfüggényben). Az egyenletet kellő matematikai ismeretek híján egyelőre nem tudjuk megoldani, de tudjuk, hogy a rúdban elileg terjedhet harmonikus síkhullám, ezért az egyenletnek biztosan megoldása a harmonikus síkhullámot leíró ψ (, t ) = Acos( ωt k + α ) hullámfüggény is. Helyettesítsük be ezt a függényt a hullámegyenletbe, és nézzük meg, hogy milyen feltételek mellett lehet megoldás. A deriálásokat elégeze az alábbi egyenletet kapjuk: Bk cos( ω t k + α) = ω cos( ωt k + α). Az egyenletet rendeze azt kapjuk, hogy ( Bk ω ) cos( ωt k + α) = 0. Ennek az egyenletnek bármilyen - és t értékek mellett érényesnek kell lennie, ami csak úgy teljesülhet, hogy a hely-és időfüggő rész együtthatója nulla: Bk ω = 0. ω Felhasznála a k = összefüggést, azt kapjuk, hogy a B állandó közetlen összefüggésben an a hullám terjedési sebességéel: = B. Az egydimenziós hullámegyenlet általános alakban tehát az alábbi módon írható fel:

30 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 30 ψ (,t ) ψ (,t ) =. t Az egyes konkrét esetekben csak annyi a különbség, hogy a terjedési sebesség kifejezése más, amit a hullámegyenlet leezetése során kapunk meg. A fentiek alapján a terjedési sebesség különböző terjedési körülmények között az alábbi összefüggésekkel adható meg: longitudinális hullám rugalmas rúdban: = E, ρ longitudinális hullám (nyomás- és sűrűséghullám) gázban: K =. ρ A terjedési sebességet bármilyen más esetben a fentiekhez hasonló módon, a hullámegyenlet konkrét esetre történő leezetéséel kaphatnánk meg. Így például G rugalmas rúdban terjedő nyírási hullámra a = (G a nyírási modulus), húrban ρ T terjedő transzerzális hullámra pedig a = kifejezést kapjuk (T a húrt feszítő erő, ρs ρ a húr anyagának sűrűsége, S a húr keresztmetszete). Gázokban és folyadékokban gyakorlatilag csak longitudinális hullámok terjednek. Szilárd anyagokban longitudinális és transzerzális hullámok is terjednek, és terjedési sebességük eltérő: általában a longitudinális hullámok terjednek gyorsabban. Hullámegyenlet elektromágneses hullámokra A Mawell-egyenletekből leezethető, hogy a hullámegyenlet fenti általános alakja elektromágneses hullámok esetén is érényes, csak ekkor ψ helyébe az elektromos térerősség (E) illete a mágneses indukció (B) ektor megfelelő komponensei kerülnek, a c terjedési sebesség pedig a fénysebesség. Ebben a hullámban a mágneses- és elektromos tér egymással azonos fázisban áltozik, és egymásra merőlegesek. Így pl. -irányban haladó síkhullám esetén az y-tengelyt az elektromos tér irányában felée, a mágneses indukció z-irányú lesz, és a hullámot leíró egyenletek: E y(, t ) E y(, t ) c =, t Bz(, t ) Bz(, t ) c =. t A leezetés során kiderül, hogy az elektromágnenses hullám terjedési sebessége 1 y c =. ε0ε rμ0μ E r y A fenti hullámegyenletnek megfelelő harmonikus hullámban az elektromos- és mágneses tér áltozásait az alábbi hullámfüggények adják meg: E y(, t ) = E0 cos( ωt k ), z B B (, t ) = B cos( ωt k ). z z 0 0

31 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 31 A két térmennyiség pillanatnyi értékeit az -tengely mentén az ábra mutatja. Miel a hullám mind az elektromos- mind pedig a mágneses tér irányára merőlegesen terjed, a hullám terjedési irányát az E B ektor iránya adja meg. *************** *************** *************** Térbeli hullámegyenlet A hullámok az esetek döntő többségében nem egy dimenzióban, hanem térben terjednek. Ilyenkor a hullámfüggény helyfüggését a helyzetektorral adhatjuk meg: ψ = ψ (r,t ). A térbeli hullámegyenletet formálisan iszonylag egyszerűen megkaphatjuk egy harmonikus síkhullám ψ ( r,t ) = Acos( ωt kr ) hullámfüggényének segítségéel. Miel az egydimenziós esetből tudjuk, hogy a hullámegyenletben a hullámfüggény második parciális deriáltjai szerepelnek, számítsuk ki először a hely szerinti deriáltakat a fenti hullámfüggény esetén. Ha figyelembe esszük, hogy kr = +, az alábbi összefüggéseket kapjuk: k k y y + k z z ψ ( r,t ) = k ψ ( r,t ) ψ ( r,t ) = k yψ ( r,t ) y ψ ( r,t ) = k zψ ( r,t ). z Ezeket az egyenleteket összeada azt kapjuk, hogy ψ ( r,t ) ψ ( r,t ) ψ ( r,t ) ω + + = k ψ ( r,t ) = ψ ( r,t ) y z ω (itt felhasználtuk a k = összefüggést). Másrészt a hullámfüggény idő szerinti második deriáltja: ψ ( r,t ) = ω ψ ( r,t ) t Az utóbbi két egyenletből azt kapjuk, hogy ψ ( r,t ) ψ ( r,t ) ψ ( r,t ) ψ ( r,t ) + + =. y z t ψ ψ ψ Ha alkalmazzuk a matematikában szokásos + + = Δ jelölést, akkor az egyszerűbb y z Δ ψ( r,t ) =. ψ( r,t ) t alakot kapjuk. Kimutatható, hogy ez az egyenlet nem csak a leezetésnél feltételezett harmonikus hullámokra igaz, hanem ez a hullámegyenlet általánosan érényes alakja. *************** *************** ***************

32 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 3 A hullámegyenlet alkalmazása: az állóhullámegyenlet Eddig feltételeztük, hogy az egymással kölcsönhatásba lépő hullámok olyan nagy méretű közegben terjednek, hogy a közeghatárról aló isszaerődés elhanyagolható. Ez a alóságban általában nem így an. Miel ez elileg és gyakorlatilag egyaránt fontos eset, most megizsgáljuk egy határfelület felé haladó- és az onnan isszaerődő síkhullámok találkozásánál fellépő interferenciát. A kialakuló hullámkép nagyon jól szemléltethető rugalmas kötélen terjedő hullámokkal. KÍSÉRLET: Rugalmas kötél egyik égét rögzítjük, másik égét megfogjuk, és lassú rezgésbe hozzuk. Ekkor a kötélég felé haladó és onnan isszaerődő hullámok interferenciája általában rendszertelen hullámzást eredményez. Ha a rezgetés frekenciáját nöeljük, akkor bizonyos frekenciáknál sajátos hullámalakzatok jönnek létre. Vannak helyek amelyeknek a kitérése mindig nulla, ezek a csomópontok. A közöttük elhelyezkedő kötélszakaszokon mindenegyes pont ugyanolyan fázisban rezeg, de az amplitúdó a hely függényében áltozik. Nincs rezgés a csomópontokban, és maimális amplitúdójú rezgés an a csomópontok közötti szakaszok felezőpontjában, ezeket duzzadóhelyeknek neezik. Az ábrán feltüntettünk néhány jellegzetes hullámalakzatot. A kísérletben kialakult állandósult hullámalakzat sajátossága az, hogy szemben a zaartalanul terjedő hullámmal az azonos fázisú helyek nem mozognak, a kötél úgy iselkedik, mintha nem is terjedne benne hullám. Ezt a hullámalakzatot ezért állóhullámnak neezik. (Az eddig tárgyalt hullámokat megkülönböztetésül gyakran haladó hullámoknak híják.) Az állóhullám jellegzetessége, hogy a hullámtér egész tartományai azonos fázisban rezegnek, a rezgés amplitúdója helyről-helyre áltozik, és állóhullám alakzat csak meghatározott frekenciákon jön létre. Kézenfekőnek látszik, hogy az általános hullámegyenlet a hullámok bármilyen fajtájának, így az állóhullámoknak a leírására is alkalmas. Most a hullámegyenlet egy alkalmazásaként leezetjük az egydimenziós állóhullámok alapegyenletét a hullámegyenlet általános alakjából. Állóhullámok tulajdoságainak értelmezése, az állóhullámegyenlet Egyszerű példaként próbáljuk megoldani a hullámegyenletet egy mindkét égén rögzített, L hosszúságú rugalmas húrban agy kötélben (ábra) terjedő transzerzális harmonikus hullámra. Ha a közeg éges, akkor az egyenlet megoldásánál ψ(0,t)=0 0 ψ(l,t)=0 L ezt figyelembe kell enni, ami a határfeltételek megadásáal történik. Esetünkben a határfeltételek: ψ ( 0, t ) = ψ ( L, t ) = 0. Meg kell adni még a kezdeti feltételeket is (a húr kezdeti alakját és pontjainak kezdeti sebességét):

33 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 33 ψ ( 0, ) = ψ (, t ) t f ( ) t= 0 és = g( ). Az f és g függényeket ismertnek tételezzük fel. Az állóhullámokra onatkozó tapasztalatok (helyfüggő amplitúdó, helyfüggetlen időfüggés) alapján a ψ (,t ) ψ (,t ) = t hullámegyenlet megoldását a ψ (, t ) = ϕ( ) cos( ωt + α ) alakban keressük. Behelyettesíte ezt a függényt a hullámegyenletbe, a d ϕ cos( ωt + α ) = ϕ( ) ω cos( ωt + α ) d ω összefüggést kapjuk, ami rendezéssel és a k = összefüggés felhasználásáal a d ϕ + k ϕ( ) cos( ωt + α ) = 0 d alakba írható. Az egyenletnek bármely időpillanatban teljesülni kell, ami csak úgy lehetséges, hogy d ϕ( ) + k ϕ( ) = 0. d Ezt a differenciálegyenletet, amely megadja az állóhullám amplitúdójának helyfüggését, egydimenziós állóhullám-egyenletnek neezik. Miel az egyenlet formailag teljesen azonos a harmonikus rezgőmozgás egyenletéel, megoldása is ugyanaz, csak most a áltozó nem t, hanem : ϕ ( ) = Asin( k + β ). Ezzel az állóhullám időfüggését is megadó hullámfüggény a ψ (,t ) = Asin( k + β )cos( ωt + α ) alakot ölti. A konkrét esetben érényes állóhullám-megoldást akkor kapjuk meg, ha figyelembe esszük a határfeltételeket. A két égén rögzített kötél agy húr esetén egyrészt bármely időpillanatban fennáll, hogy ψ ( 0,t ) = 0. Ez azt jelenti, hogy ϕ ( 0 ) = 0, így a ϕ ( ) = Asin( k + β ) alakban felírt amplitúdó-függény csak a β = 0 esetben alkalmazható, tehát csak a ϕ ( ) = A sin( k) alak megengedett. Másrészt a kötél agy húr másik ége is rögzített, tehát ψ ( L,t ) = 0, ami azt jelenti, hogy ϕ ( L ) = Asin( kl ) = 0, illete sin( kl ) = 0. Eszerint állóhullám egy mindkét égén rögzített kötélen agy húron csak akkor jön létre, ha a hullámszám a kl = nπ feltételnek megfelelő értékek alamelyikét eszi fel, azaz

34 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 34 π k n = n L (n egész szám). π Az állóhullám-feltétel a k = összefüggés felhasználásáal a hullámhosszal is λ kifejezhető: L λ n = (n = 1,, 3,...). n Ez azt jelenti, hogy ha egy kifeszített, két égén rögzített kötélben létrehozunk egy zaart, akkor abban ilyen hullámhosszú állóhullámok alakulhatnak ki. A feltétel még egy alakban megfogalmazható, hiszen a hullámszám (hullámhossz) a ω rezgés körfrekenciájáal is összefüggésbe hozható: k = ( a fázissebesség). Így a lehetséges frekenciákra azt kapjuk, hogy π ω n = n (n = 1,, 3,...). L ϕ n () λ=l Ha tehát az említett kísérletben a kötelet lengetjük, n=1 agyis benne kényszerrezgést hozunk létre, akkor 0 L állandósult hullámalakzat csak olyankor jön létre, λ=l ha a kötél égét a fenti feltételnek megfelelő n= frekenciáal mozgatjuk. Ezzel magyarázható, hogy 0 L/ L a kísérletben csak bizonyos frekenciáknál alakul ki a jellegzetes állóhullám alakzat. λ=l/3 Az amplitúdó-függény ennek alapján n=3 0 π L/3 L/3 L ϕ n(,t ) = Asin( n ). L Ezt a függényt mutatja különböző n értékek esetén a mellékelt ábra. Látható, hogy a számolásból alóban a kísérleteknek megfelelő alakzatokat kapunk. A fenti körfrekenciák felhasználásáal felírhatjuk az állóhullámok hullámfüggényeit: ψ n(,t ) = A sin nπ cosωnt. L Az n=1 értékhez tartozó frekenciát alapfrekenciának, az n>1 értéknek megfelelő frekenciákat felharmonikusoknak neezik. Az elmondottak értelemszerű áltoztatásokkal érényesek a húros hangszerekben használt húrok transzerzális rezgéseire és a mindkét égükön zárt légoszloppal működő sípokban létrejött longitudinális hullámokra is. Az n=1 értéknek megfelelő frekenciájú hangot itt alaphangnak neezik. Rugalmas kötél, húr agy légoszlopok rezgéseinél a alóságos helyzet általában eléggé bonyolult. Egy zaart elindíta, általában az összes lehetséges frekencián létrejön rezgés, de ezek közül az alapfrekenciának megfelelő állóhullám marad meg a legnagyobb amplitúdóal. Emellett azonban kisebb amplitúdóal jelen annak a felharmonikusok is. A különböző konstrukciójú húros és fúós hangszerek hangjában más és más a felharmonikusok intenzitása, amit a fülünk hangszíneltérésként érzékel. Ezért tudjuk megkülönböztetni egymástól a különböző hangszerek hangját, még akkor is, ha azonos hangmagasságú (frekenciájú) alaphangon szólnak.

35 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 35 Hasonló gondolatmenettel határozhatjuk meg egyik égén szabad rugalmas kötél agy pálca-, toábbá egyik égén nyitott légoszlop rezgéseinél kialakuló állóhullámokat. A lehetséges hullámszámokra, hullámhosszakra és körfrekenciákra azt kapjuk, hogy π 4L π k n = ( n 1), λ n =, ωn = ( n 1). L ( n 1) L Az egyes n értékeknek megfelelő amplitúdó-függények most tehát a π ϕ n ( ) = Acos ( n 1) (n = 1,, 3,...). L ϕ n () λ=4l alakban adhatók meg. n=1 0 Ezek a függények láthatók a mellékelt ábrán különböző L n értékek esetén. λ=4l/3 0 n= Mindkét égén szabad pálca agy mindkét égén nyitott L/3 L gázoszlop esetén a lehetséges hullámhosszakra azt λ=4l/5 n=3 kapjuk, hogy 0 L L/5 3L/5 L λ n = (n = 1,, 3,...). n ϕ n () Ez a feltétel megegyezik a két égén rögzített rugalmas λ=l n=1 kötélre kapott feltétellel. A kialakult állóhullám azonban 0 különbözik a két égen rögzített esettől, mert most L λ=l mindkét égen maimális az amplitúdó, amint az a mellékelt ábrán látható. 0 n= L/4 3L/4 L A két- agy háromdimenziós hullámegyenlettel síkon λ=l/3 agy térben terjedő hullámok által létrehozott 0 n=3 állóhullámok is tárgyalhatók. Számolásokat itt nem L/6 3L/6 5L/6L égzünk, de bemutatunk néhány síkbeli állóhullám képet. KÍSÉRLET: Közepén befogott négyzet- és kör alakú, ékony fémlemezekben (ábra) hegedűhúrral transzerzális rezgéseket hozunk létre. Ennek köetkeztében állóhullámok alakulnak ki, amelyeknek kimutatására finom port használunk. A port a hullám gerjesztése előtt egyenletesen rászórjuk a lapokra, majd a hegedűonót az ábrán látható D pontokban a lemezre merőlegesen égighúzzuk a lemezen. Közben ujjunkkal a lemez egy agy két pontját megérintjük (az ábrán a C-el jelölt helyek). A porszemcsék azokon a helyeken gyűlnek össze, ahol a legkisebb a rezgés amplitúdója, tehát kirajzolják az állóhullám csomóonalait (az ábrán a sötét tartományok). A gerjesztés helyén mindig duzzadóhely an, az érintési helyeken csomópont. Látható hogy az érintés helyének (rögzített pont) áltoztatásáal a csomóonalak helyzetét áltoztatni tudjuk.