Hullámok. v=d/t 1 d d

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Hullámok. v=d/t 1 d d"

Átírás

1 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) Utolsó módosítás: Hullámok A különböző fizikai mennyiségek áltozása pl. egy rezgés igen gyakran a létrehozásának helyétől táolabb is kiált hatásokat: a létrehozott áltozás agy más néen zaar a térben elterjed. A különböző zaarok térbeli terjedését hullámnak (néha hullámterjedésnek)-, azt a helyet pedig, ahol a zaar létrejött, hullámforrásnak neezik. A hullám igen gyakori jelenség, és szoros kapcsolatban áll a rezgésekkel, hiszen a hullámban lényegében alamilyen rezgés terjed toa a térben. A zaarterjedésnek számtalan példája an, ezek közül egyesek szemmel látható módon mennek égbe, és egyszerű kísérletekkel bemutathatók. KÍSÉRLET: Ha egy kifeszített rugalmas kötélre ráütünk egy rúddal, tehát egy egyszeri kitérést ( ölgyet ) hozunk létre (ábra), akkor ez a kitérés égigszalad a kötélen, agyis a kötélnek a ráütéstől táoli pontjai is megismétlik a létrehozott kitérést. Megfigyelhetjük, hogy a zaar egyenletes mozgással halad a kötélen. Ettől kissé eltérő jellegű zaarterjedést láthatunk egy csaarrugóban létrehozott deformációnál. KÍSÉRLET: Nagyobb átmérőjű, gyenge csaarrugó egyik égét egy hirtelen mozdulattal nyomjuk össze a rugó tengelyéel párhuzamosan. Ez a deformáció a rugó meneteinek sűrűsödéséel jár, és ez a sűrűsödés jól láthatóan égigszalad a rugón. A zaar itt is egyenletesen terjed. t +t +t t t t 3 d d =d/t Az előbbi esetekben a zaar egy dimenzióban (kötél agy csaarrugó mentén) terjedt. Kétdimenziós zaarterjedés legegyszerűbben egy ízfelületen mutatható be, ami rugalmas hártyaként iselkedik. KÍSÉRLET: Vízfelület egy pontjában létrehozott kitérés a felületen egy táguló kör formájában minden irányban terjed (ábra), és a táolabbi pontok megismétlik a létrehozott kitérést. Ez ilágosan látszik, ha a íz felületén elhelyezünk egy parafa dugót: a dugó a zaar megérkezésekor megemelkedik és lesüllyed, de a zaar áthaladása után helyben marad. Ez azt is mutatja, hogy a kifelé szaladó körben a látszat ellenére nem a íz áramlik, hanem a létrehozott állapotáltozás (zaar) terjed. +t +t =d/t d d A ráütés helyén a ölgy fokozatosan megszűnik, és elileg ellenkező irányú kitérés is létrejön. Ez azonban a legtöbb esetben a nagy csillapítás miatt alig észlelhető. A megfigyelést zaarhatja, hogy ha a zaar eléri a kötél égét, akkor elindul isszafelé (isszaerődik). A leírt egyszerű zaarterjedés csak eléggé hosszú kötélen figyelhető meg tisztán. A isszaerődés hatásaial később foglalkozunk.

2 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) Utolsó módosítás: A zaarterjedés más esetei nem ennyire szemléletesek, de a zaarterjedés ténye legtöbbször ilyenkor is könnyen kimutatható. A csaarrugón bemutatott esethez hasonló de szemmel nem látható zaarterjedés jön létre, ha egy rugalmas rúd egyik égét a rúd tengelyéel párhuzamosan megütjük. Ekkor ott a rúd összenyomódik (az ábrán ezt sűrűbb onalkázással érzékeltettük), és ez az összenyomódás szalad égig a rúdon. Ugyanez történik egy dugattyúal lezárt edényben léő gázoszlopban, ha a dugattyút hirtelen elmozdíta, a gázt a dugattyúnál összenyomjuk. A zaar megérkezése a rúd agy gázoszlop másik égére megfelelő elmozdulás- agy nyomásérzékelőel észlelhető. A háromdimenziós hullámterjedés sem szemléltethető egyszerűen, de ezzel kapcsolatban számos hétköznapi tapasztalatunk an. Egy rezgő tárgy által létrehozott hang hullámként minden irányban terjed: egy adott helyen megszólaló hangot más helyeken is hallunk. Egy fényfelillanás elektromágneses hullámként szintén minden irányban terjed, és a felillanás helyétől táoli pontokban is észlelhető. A hullámterjedés mechanizmusa függ a zaar jellegétől. Egy rugalmas közeg mechanikai deformációja az anyag részei közti rugalmas kapcsolatok miatt terjed, ezeket a rugalmas közegekben létrehozott zaarokat rugalmas hullámoknak neezik. Ilyenek pl. a kísérletekben látott kötélhullámok ízhullámok agy a hang. Az elektromos agy mágneses erőtér áltozása miatt létrejött elektromágneses zaarok terjedése a áltozó mágneses- és elektromos tér egymást létrehozó hatásán alapul. Az így létrejött elektromágneses hullámok közeg nélkül is terjedhetnek. Ilyenek pl. a rádióhullámok, a fény, a röntgen- és a gamma sugárzás. Most a rugalmas hullámokkal foglalkozunk. Tárgyalásunk során megismerkedünk a hullámterjedés leírására szolgáló alapető mennyiségekkel és törényekkel, majd foglalkozunk a rugalmas hullámokra onatkozó speciális jelenségekkel. Annak ellenére, hogy most kifejezetten a rugalmas hullámokról lesz szó, az itt tárgyalt anyag jól használható más hullámok tárgyalásánál is, hiszen a zaarterjedésnek annak általános jellegzetességei, amelyeknek leírására a különböző hullámok esetén ugyanazokat a fogalmakat és módszereket alkalmazhatjuk. t +t +t d d =d/t

3 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 3 Utolsó módosítás: Hullámtípusok és hullámfüggények A terjedő zaar adott helyen alamilyen mennyiség időbeli áltozását jelenti. A kötél esetében pl. egy adott pontban a zaar megérkezése után a kitérés időben áltozik. Másrészt adott időpillanatban a mennyiség pillanatnyi értéke helyről-helyre más. A kötélen haladó pulzus példájánál marada, a kötélnek egy kiszemelt helyét megfigyele, azt látjuk, hogy egy darabig nincs kitérés, azután a izsgált pont kitér, majd a kitérés megszűnik. A kötélre egy adott időpillanatban ránéze pedig azt látjuk, hogy a kötél nagy része deformálatlan, de azon a helyen, ahoá a zaar éppen ebben a pillanatban megérkezett, egy kitérést látunk. A zaarterjedés tehát csak akkor írható le, ha a izsgált mennyiség időbeli áltozását és térbeli eloszlását is ismerjük. Ehhez egy helytől és időtől függő hullámfüggény szükséges. Ha a zaar a ψ-el jelölt mennyiség áltozásának toaterjedéséel jár, akkor a zaarterjedés leírására használt hullámfüggény általános matematikai alakja ψ = ψ ( r, t) (r annak a pontnak a helyektora, ahol a zaart izsgáljuk, t az idő). A zaar lehet ektor-jellegű, amelynek iránya an (pl. elmozdulás), ilyenkor ψ a ektor nagyságát, agy egyik komponensét jelöli, de lehet skaláris is (pl. nyomásáltozás). A hullámok típusai A hullámok áltozatos formái közötti eligazodás kedéért célszerű a hullámokat csoportosítani. Ezt többféle szempont szerint tehetjük meg, amelyek közül a legfontosabbak a köetkezők. A hullám lehet a terjedés térbeli iszonyai szerint: egydimenziós (pl. rugalmas kitérés kötélen) kétdimenziós (pl. zaarterjedés ízfelületen) háromdimenziós (ez a leggyakoribb, pl. hang agy fény terjedése kiterjedt közegben). a terjedés és a zaar irányának iszonya szerint: transzerzális hullám (a zaart jellemző ektor iránya merőleges a terjedés irányára, pl. egy rugalmas kötél mentén, a kötélre merőleges kitérés terjedése) longitudinális hullám (a zaart jellemző ektor iránya párhuzamos a terjedés irányáal, pl. egy rugó hosszirányú összenyomásáal keltett zaar terjedése a rugó mentén). a zaar azonos értékeinek megfelelő (azonos fázisban léő) pontok elhelyezkedése szerint: síkban terjedő hullámoknál az azonos fázisú helyek egy onalon annak, és a hullámokat a onal alakja szerint is lehet csoportosítani: pl. egyenes hullám, körhullám (utóbbira példa egy ízfelületen egy pontban keltett hullámok terjedése), háromdimenziós hullámoknál az azonos fázisú helyek egy felületen helyezkednek el, ezeket a felületeket gyakran hullámfelületeknek neezik, és a hullámfelületek alakja szerint beszélünk síkhullámról, hengerhullámról, gömbhullámról, a onal- és síkhullám terjedése az egydimenziós hullámokhoz hasonlóan egyetlen (az azonos fázisú onalakra, illete síkokra merőleges) koordinátáal leírható, bonyolultabb hullámok (pl. kör-, henger- agy gömbhullámok) a hullámforrástól táol közelítőleg egyenes- illete síkhullámnak tekinthetők,

4 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 4 Utolsó módosítás: a hullám terjedése során a zaar fokozatosan újabb helyekre jut el, így az azonos fázisú felületeknek (onalaknak) an egy speciális fajtája: ennek egyik oldalán már megjelent a zaar, a másik oldalán még nem. A hullámot tartalmazó térrészt, a hullámteret határoló, azonos fázisú felületet (onalat) hullámfrontnak neezik. a terjedő zaar időfüggése szerint: ha a zaar időfüggését harmonikus függény adja meg, akkor a létrejött hullámot harmonikus hullámnak neezik, egyéb esetekben a hullám nem harmonikus (a nem harmonikus hullámok harmonikus hullámok összegzéseként idegen szóal szuperpozíciójaként foghatók fel). Egydimenziós hullámterjedés, a síkhullám hullámfüggénye Az egyszerűség kedéért izsgáljunk először egy olyan zaart, amely egy irányban (pl. az tengely mentén) terjed. Egy ilyen hullám a gyakorlatban pl. úgy alósítható meg, hogy egy kifeszített, rugalmas kötélen létrehozunk egy kitérést, ami a kötél mentén terjed toább. Ha az =0 helyen (például a zaar forrásánál) a zaar időbeli áltozása ψ ( 0,t ) = f ( t ), és a zaar adott c sebességgel terjed a térben, akkor a zaar egy pozití helyre f(t) f(t-/) egy negatí helyre t k = + t t k = k+ =/ késéssel érkezik meg. Ha feltételezzük, hogy a terjedés közben a zaar nem áltozik meg, akkor az helyen a zaar időbeli áltozását a ψ (,t ) = f ( t m ) hullámfüggény írja le (a "-" jel az -tengely pozití-, a "+" jel az -tengely negatí irányában terjedő hullámot jelent). Ez az egydimenziós hullámterjedést leíró hullámfüggény általános alakja, amely konkrét zaarterjedés esetén meghatározott függényalakot ölt. A terjedési irányban felett egyetlen koordinátáal írható le egy síkhullám is, ahol a hullám terjedési irányára merőleges bármelyik síkban minden pont ugyanúgy iselkedik. Ezért a fenti egydimenziós terjedésre felírt ψ (,t ) = f ( t m alakú függény egyben a síkhullám hullámfüggénye is. A felületen terjedő egyenes hullám agy az egydimenziós közegben terjedő hullám lényegében a síkhullám speciális esete: előbbi esetben az azonos fázisú helyek felületből egyenessé-, utóbbiban egyetlen ponttá zsugorodnak. Miel a toábbiakban az egy- és kétdimenziós közegben terjedő hullámokat legtöbbször az egyszerűbb szemléltetés kedéért használjuk, a fenti hullámfüggénnyel jellemzett hullámot gyakran akkor is síkhullámnak neezzük, ha egy- agy kétdimenziós terjedésről an szó. 0 ) t t

5 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 5 Utolsó módosítás: A hullámban terjedő energia Ahhoz, hogy egy rugalmas közegben deformációt hozzunk létre, munkát kell égeznünk. Amikor ez a deformáció zaarként megjelenik egy táolabbi helyen, akkor ott is munkaégzésre an szükség. Ez csak úgy lehetséges, hogy a hullámmal nem pusztán egy állapotáltozás terjed, hanem a hullám energiát is szállít. A hullám által szállított energiát leggyakrabban az energiaáram nagyságáal (Φ ) jellemzik, amely egy adott helyen a hullámmal átáramló Δ E energia és az áthaladás Δt idejének hányadosa: ΔE Φ =. Δt Az energiaáram az energiaterjedést globálisan jellemzi, mert egy teljes felületen áthaladó összes energiát adja meg. Előfordulhat azonban, hogy az energiaáram erőssége egy nagyobb felületen nem egyenletesen oszlik el, hanem helyről helyre áltozik. Az energiaáramlás helyi (lokális) jellemzésére ezették be az energia-áramsűrűséget. Ha a hullám terjedésére merőleges Δ S nagyságú felületelemen ΔΦ energiaáram halad át, akkor az energiaáramsűrűség (amit a hullámtanban rendszerint I-el jelölnek): ΔΦ I =. ΔS Ezt a mennyiséget a hullám intenzitásának neezik. Ha egy nagyobb S felületen az I intenzitás mindenütt ugyanakkora, akkor a teljes Φ energiaáram: Φ = IS. A hullám intenzitását a különböző hullámok esetén később kiszámítjuk, és a terjedő hullám jellemzőiel kifejezzük, most bizonyítás nélkül csak annyit bocsátunk előre, hogy az intenzitás arányos a hullám amplitúdójának négyzetéel, azaz I = CA, ahol C a hullám egyéb jellemzőitől függő mennyiség. Ezt azért fontos tudni, mert egy gömbhullám esetén a forrásban betáplált energia egyre nagyobb felületen oszlik el, így ha az I energiaáram nem áltozik a hullámforrástól r táolságban az energia-áramsűrűség egyre kisebb lesz. Ennek az a köetkezménye, hogy a hullám amplitúdójának is csökkenni kell, hiszen r táolságban Φ = IS = I4r π = CA 4r π = állandó. Ez csak úgy lehetséges, ha A ~, agyis A ( r ) ~. A gömbhullám amplitúdója tehát a r r forrástól táoloda egyre csökken, akkor is, ha nincs semmilyen energiaelnyelő folyamat. Gömbhullám hullámfüggénye Ha a hullám homogén, izotróp közegben terjed, agyis a terjedése nem függ a helytől és az iránytól, akkor egy pontban keltett zaar minden irányban ugyanolyan sebességgel terjed. Ennek köetkeztében pontszerű hullámforrás esetén az azonos fázisú helyek egy gömbfelületen (felületi hullámoknál egy körön) helyezkednek el, agyis gömbhullám (körhullám) jön létre. A síkhullámra onatkozó meggondolásaink alapján megpróbálhatjuk felírni a gömbhullám hullámfüggényének általános alakját, hiszen első pillantásra úgy látszik, hogy csak az koordinátát kell helyettesíteni a pontforrástól mért r táolsággal. Ezzel a felteéssel az alábbi hullámfüggényt kapjuk:

6 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 6 Utolsó módosítás: r ψ ( r,t ) = f ( t m ). A - jel a forrástól táolodó, a + jel a forrás felé haladó hullámra onatkozik. A helyzet sajnos ennél bonyolultabb, mert láttuk, hogy a gömbhullám amplitúdója a forrástól táoloda csökken, ezért helyesebb a gömbhullám hullámfüggényét a A0 r ψ ( r,t ) = f ( t m ) r alakban felírni, ahol A 0 az amplitúdó a forrásban. Ha a gömbhullámot nagyon kis térrészben, agy a forrástól nagy táolságban izsgáljuk, akkor közelítőleg síkhullámnak tekinthetjük. Ilyenkor ha energiaeszteségek nincsenek az amplitúdó helyfüggése elhanyagolható. Egydimenziós, harmonikus síkhullám Ha a zaar időbeli áltozása szinusz agy koszinusz függénnyel írható le, agyis a zaar például f ( t ) = Acos( ω t + α ) alakú harmonikus rezgés, akkor a zaarterjedést leíró függény is ilyen lesz. Ha a zaar egy onalszerű közegben agy egy kiterjedt közegben síkhullámként sebességgel terjed az -tengely mentén, akkor a ψ (,t ) = Acos ω( t m ) + α hullámfüggénnyel írható le, ahol α fázisállandó. Az ilyen állandó amplitúdójú hullámot harmonikus síkhullámnak neezik. A toábbiakban az egyszerűség kedéért a síkhullám tárgyalásánál általában a pozití - tengely irányában terjedő hullám hullámfüggényét írjuk fel, agyis a ψ (,t ) = Acos ω( t ) + α t 0 alakot használjuk. Az így kapott összefüggésekből előjeláltással mindig megkapható az ellenkező terjedési iránynak megfelelő eredmény is. T/8 Természetesen a harmonikus hullám szinusz függénnyel is leírható, mi a toábbiakban általában a T/4 koszinusz alakot használjuk. 3T/8 *************** *************** Ahogy a harmonikus rezgést megadó függény, úgy a harmonikus síkhullám hullámfüggénye is felírható komple T/ alakban. Trigonometrikus formában ekkor a hullámfüggény: 5T/8 ψ (,t ) = Acos ω( t ) + α + iasin ω( t ) + α. 3T/4 Ugyanez eponenciális alakban: i ω( t ) + α ψ (,t ) = Ae. *************** *************** Rugalmas kötélen terjedő transzerzális, harmonikus hullám kialakulását mutatja sematikusan a jobboldali ábra. Itt a kötél alakját mutatjuk be a forrásban lezajló 7T/8 T

7 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 7 Utolsó módosítás: rezgés egy teljes periódusának (T) különböző időpillanataiban. A pillanatképek egyenlő, T időközökben készültek. Az ábrán feltüntettük a kötél egyes részeinek pillanatnyi 8 mozgásirányát is. Hasonló módon kaphatjuk meg egy csaarrugóban terjedő longitudinális, harmonikus hullám terjedésének pillanatképeit is, csak ott a kitérések a terjedés irányáal párhuzamosak. A mellékelt ábrán a rugó deformációjában beköetkező T áltozások láthatók, amelyeket 4 időközönként ábrázoltunk. Korábban már olt szó arról, hogy a hullámfüggény adott helyen megadja a zaar időbeli áltozását, adott időpillanatban pedig megadja a zaar térbeli eloszlását. Ezt mutatja egy harmonikus síkhullám esetén a ψ(,t) mellékelt ábra, amelyen a ψ (,t ) T ψ(,t ) λ függény megadja a izsgált mennyiség időbeli áltozását az helyen, a ψ (,t ) függény pedig a izsgált mennyiség térbeli eloszlását a t időpillanatban). 0 A harmonikus hullám a definíció szerint egy égtelen hosszú, csillapítatlan hullámonulat, hiszen áltozó amplitúdójú agy éges hosszúságú hullámonulat nem írható le egyetlen harmonikus függénnyel. A gyakorlatban a harmonikus hullám közelítő megalósítása egy nagyon kis csillapodású, igen hosszú hullámonulat. A hullámok izsgálatánál a harmonikus hullám t ugyanolyan fontos szerepet tölt be, mint a rezgéseknél a 0 harmonikus rezgés. Itt is érényes ugyanis, hogy tetszőleges hullám felfogható harmonikus hullámok T/8 szuperpozíciójaként. A fázissebesség A rugalmas kötélen terjedő harmonikus hullám kialakulását bemutató, korábbi ábrát itt kiegészíte látjuk. Bejelöltük azt a λ táolságot, ameddig a zaar a T rezgésidő alatt eljut, és egy onallal összekötöttük a zaar maimális értékének helyét különböző időpillanatokban megadó pontokat. Látható, hogy az idő és a befutott táolság egymással arányos, agyis a maimumhely egyenletes sebességgel halad a terjedés irányában, és az ábrán látható esetben 3 3 T idő alatt λ táolságra jutott el. Ha a 4 4 λ táolságot ismerjük, akkor kiszámíthatjuk a T/4 3T/8 T/ 5T/8 3T/4 7T/8 T λ

8 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 8 Utolsó módosítás: λ maimumhely mozgásának f sebességét is: f =. Bármilyen más fázisban léő T pont mozgását izsgáljuk, ugyanezt a mozgási sebességet kapjuk, ez a fázissebesség. Nézzük meg most egy pozití -tengely irányában haladó síkhullámban, hogy milyen összefüggés an a hullámfüggényben korábban zaarterjedési sebességként beezetett sebesség és a f fázissebesség között. Ehhez felhasználjuk azt, hogy adott ϕ fázisú hely adott t időpillanatban olyan koordinátájú helyen an, amelyre ϕ = ω( t ) + α = állandó. Az összetartozó -t értékpárokra ebből azt kapjuk, hogy (ϕ α ) = t. ω Eszerint a pozití -irányban haladó harmonikus síkhullámban az azonos fázisú helyek sebessége d f = =. dt A negatí -irányban haladó síkhullámra természetesen azt kapjuk, hogy f =. A fázissebesség tehát azonos a korábban "zaarterjedési sebesség"-ként beezetett mennyiséggel. A toábbiakban a fázissebességet inde nélküli -el jelöljük. *************** *************** *************** Megjegyezzük, hogy egy nem harmonikus zaar (pl. egy röid pulzus) terjedésénél a fázissebesség egyes esetekben megegyezik a zaar terjedési sebességéel (pl. rugalmas kötélen agy rugalmas rúdban terjedő hullámoknál), más esetekben iszont a nem harmonikus zaar terjedési sebessége és a fázissebesség nem azonos (ez a helyzet a íz felszínén keltett ízhullámoknál és egy közegben terjedő elektromágneses hullámnál). Ezzel a kérdéssel később foglalkozunk. *************** *************** *************** A hullámhossz és a hullámszám A harmonikus hullám kialakulását szemléltető ábrán λ-al jelöltük azt a táolságot, amelyre a zaar a T rezgésidő alatt eljut. Ezt a táolságot hullámhossznak neezik. Elneezése érthetőbbé álik, ha egy másik definícióját használjuk, amely szerint a λ hullámhossz egy tetszőleges t időpillanatban azonos fázisban léő, szomszédos pontok táolsága (agyis a hullám helyfüggését megadó harmonikus függény egy teljes periódusának hossza, amint az a fenti ábrán látható). Ezt a táolságot annak felhasználásáal kaphatjuk meg, hogy az azonos fázisban léő helyeken a hullámfüggény értéke azonos: ψ (,t ) = ψ ( + λ,t ). Ez a harmonikus síkhullámban a koszinusz (agy szinusz) függény argumentumára onatkozóan azt jelenti, hogy + λ ω( t ) + α ω( t ) α = π. Ebből a korábbi definícióal összhangban azt kapjuk, hogy π λ = = T. ω A hullámhosszal összefüggő, gyakran használt mennyiség a hullámszám (k), aminek definíciója:

9 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 9 Utolsó módosítás: π ω k = = λ Ezzel a harmonikus síkhullám egyenlete átírható az alábbi alakba: ψ (,t ) = Acos( ωt k + α ). *************** *************** *************** ( ω α ) Ugyanez a hullámfüggény komple alakban: ~ i t k+ ψ (,t ) = Ae. *************** *************** *************** Síkhullám térbeli terjedésének leírása Ha egy síkhullám az -tengely mentén terjed, akkor leírására a ψ (,t ) = f t m c hullámfüggényt használhatjuk. Speciálisan harmonikus síkhullám esetén a hullámfüggény: ψ (,t ) = Acos ω( t m ) + α = Acos( ωt m k + α ) c Ez a koordináta-álasztás azonban nem mindig lehetséges, ezért most megizsgáljuk, hogy milyen hullámfüggényt hullámfront használhatunk, ha a síkhullám nem alamelyik y (azonos fázisú koordinátatengely mentén terjed. helyek síkja) Az ábrán feltüntettük az azonos fázisban léő helyek síkjait. A hullám ezekre merőlegesen terjed, terjedési r terjedési irányát az u egységektor mutatja.. irány Egy tetszőleges r helyektorú pontban, a t időpillanatban a hullámfüggényt úgy kaphatjuk meg, hogy kiszámítjuk a t=0 időponthoz tartozó illete az r helyektorú ponton átmenő (a t időpillanathoz tartozó) két azonos fázisú sík z közötti táolságot, amelyet az ábrán d-el jelöltünk. A d hullámfüggény argumentumába ugyanis most a t m mennyiség kerül. Az r helyektortól függő az előjelet is tartalmazó d táolság az ábra jelöléseiel: d ( r ) = ru, ezért a hullámfüggény az r helyektorú pontban d( r ) ru ψ ( r,t ) = ψ ( d( r ),t) = f t = f t Harmonikus síkhullámnál: ru ψ ( r,t ) = Acos ω( t ) + α agy ψ ( r,t ) = Acos( ωt kur + α ) Vezessük be a k = ku hullámszám-ektort, amely a terjedési irányt mutatja, és nagysága π k =. Ezzel a koordinátarendszerhez képest tetszőleges irányban haladó harmonikus λ hullám hullámfüggénye: ψ ( r,t ) = Acos( ωt kr + α ). d u

10 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 0 Utolsó módosítás: Általános irányú terjedésnél kr = k + k y y + kzz. Olyan gömbhullámoknál (agy kétdimenziós esetben körhullámoknál), amelyeknek forrása az origóban an, érényes, hogy r u, ezért d ( r ) = ru = r. A gömbhullámoknál (körhullámoknál) tehát a hullámfüggény A0 ψ ( r,t ) = cos( ωt kr + α ). r Ilyenkor az azonos fázisú helyek az ru = állandó, agyis az r = állandó összefüggéssel megadott gömbfelületen (síkbeli terjedésnél körön) helyezkednek el. *************** *************** *************** A sík- és gömbhullám fenti hullámfüggényei komple formában a ~ i( ωt kr+ α ) ψ (,t ) = Ae illete ~ ( ωt kr+ α ) = alakot öltik. ψ (,t ) A 0 e i r *************** *************** ***************

11 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) Utolsó módosítás: Nem harmonikus hullám terjedése, a csoportsebesség Nem harmonikus hullám terjedése esetén a terjedési sebesség fogalmát pontosítanunk kell. Ennek az az oka, hogy egy ilyen hullám különböző frekenciájú harmonikus hullámok szuperpozíciójának tekinthető, agyis benne különböző frekenciájú harmonikus g hullámok terjednek. Az ilyen hullámok tipikus példája az ábrán látható röid hullámonulat, amelyet éppen összetett olta miatt hullámcsoportnak agy hullámcsomagnak neeznek. A terjedési sebességgel kapcsolatban akkor lép fel probléma, ha mint az gyakran előfordul a harmonikus hullám fázissebessége függ a frekenciától, = ( ω ), így a hullámcsomagot alkotó, különböző frekenciájú harmonikus hullámok fázissebessége eltérő. Ez a jelenség a hullámok diszperziója. Diszperzió esetén az összeteő harmonikus hullámok a haladás közben egymáshoz képest eltolódnak, emiatt az összegük, és így általában a hullámcsomag alakját meghatározó burkológörbe (az ábrán szaggatott onallal jelöle) alakja is áltozik. A csomag sebességét ilyenkor a burkológörbe maimumának (az ábrán fekete pont) mozgási sebességéel, a csoportsebességgel ( g ) adhatjuk meg. A csoportsebesség elméleti meghatározása általában nem egyszerű feladat, de egy nagyon leegyszerűsített esetben a számolás könnyen elégezhető, és általánosabban is érényes eredményt kapunk. Vizsgáljuk meg annak a hullámcsomagnak a mozgását, amely két közel azonos frekenciájú, harmonikus síkhullám összeadásának eredményeként jön létre. Az egyszerűség kedéért tegyük fel, hogy az -tengely mentén haladó két hullám amplitúdója azonos, és nincs köztük fáziseltolódás. Ekkor az összeadandó hullámok a ψ (,t ) = Acos ( ωt k ) ψ ( t ) = Acos( ω' t k' ), alakban írhatók fel. Itt ω ' = ω + Δω, k' = k + Δk, és Δ ω << ω, Δ k << k. Az eredő hullámot a szuperpozíció ele alapján kaphatjuk meg: ψ (,t ) = ψ (,t ) + ψ ( t ) = Acos( ωt k) + Acos( ω' t k' ). Az eredő hullám egyszerűbb alakba írható, ha alkalmazzuk a rezgések összeteésénél már alkalmazott α α α + α cosα + cosα = cos cos trigonometriai összefüggést. Ennek segítségéel az alábbi eredményt kapjuk ( ω' ω )t ( k' k ) ( ω' + ω )t ( k' + k ) ψ (,t ) = Acos cos. A körfrekenciákra és hullámszámokra onatkozó fenti felteésünk szerint ω + ω' ω, k + k' k, így azt kapjuk, hogy Δω Δk ψ (,t ) = Acos t cos( ωt k) Ez a kifejezés úgy is felfogható, mint egy ω körfrekenciájú, k hullámszámú, ω = k

12 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) Utolsó módosítás: fázissebességű hullám, amelynek az amplitúdója az Δω Δk A(,t ) = Acos t függény szerint áltozik. Az ilyen, áltozó amplitúdójú hullámot modulált hullámnak neezik. Az amplitúdófüggény azonban maga is egy hullámfüggény, amely Δω g = Δ k sebességgel terjedő hullámnak felel meg. A hullámról készült sematikus pillanatfelétel az alábbi ábrán látható. Az amplitúdóáltozást megadó burkológörbe (az amplitúdóhullám) egy hullámcsomag, amelyhez a fenti g csoportsebesség tartozik. Az eredő hullám egy meghatározott fázisban léő helye (az ábrán az egyik maimális amplitúdójú hely) diszperzió esetén a csoportsebességtől eltérő sebességgel halad. A fentihez hasonló hullám egy periódusáról különböző időpillanatokban készített pillanatfelételek sematikus képét látjuk a köetkező ábrán. A szaggatottan berajzolt burkológörbe t maimumának helyét fekete pont-, az eredő hullám egy kiszemelt maimumának mindenkori helyét pedig nyíl t jelöli. Ebben az esetben a fázissebesség nagyobb, mint a csoportsebesség: az eredő hullám kiszemelt maimumhelye (nyíl) lehagyja a csomag maimumhelyét t 3 (pont). Ez egyben azt is mutatja, hogy az eredő hullám a burkológörbe belsejében mozog. A fenti számolás eredménye sok harmonikus összeteő t 4 esetén is érényes marad, ha az összeteők frekenciája egy szűk interallumba esik: dω g =. dk Miel ω = k, és diszperzió esetén a fázissebesség függ a körfrekenciától illete a hullámszámtól ( = ( k )), a csoportsebesség és a fázissebesség összefüggésére azt kapjuk, hogy d g = + k. dk Az összefüggést érdemes a hullámszám helyett a szemléletesebb hullámhosszal kifejezni. π Miel k = és dk = π dλ, égül a λ λ d g = λ d λ

13 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 3 Utolsó módosítás: összefüggést kapjuk. d Az összefüggésből látszik, hogy ha > 0, akkor a csoportsebesség kisebb a dλ d fázissebességnél (ez a normális diszperzió), a < 0 esetben pedig a csoportsebesség dλ nagyobb, mint a fázissebesség (ez az anomális diszperzió). d Ha = 0, azaz nincs diszperzió, akkor azt kapjuk, hogy g =, tehát a csoportsebesség dλ megegyezik a minden hullámhosszra azonos fázissebességgel. A diszperzió megfigyelhető ízhullámok esetén és alamilyen közegben terjedő elektromágneses hullámoknál. Utóbbi eset igen fontos szerepet játszik pl. az optikában.

14 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 4 Utolsó módosítás: Hullámok polarizációja Ha a hullámban terjedő zaarnak iránya an (pl. egy kitérés), akkor a hullám lehet longitudinális agy transzerzális, attól függően, hogy a zaar iránya párhuzamos a terjedési iránnyal agy arra merőleges. Longitudinális hullámban egyetlen kitüntetett irány an, a zaar- és a zaarterjedés közös iránya, a transzerzális hullámban iszont a zaar- és a zaarterjedés iránya szétálik ( polarizálódik ), ezért két kitüntetett irány an. Ha a hullámforrásban a transzerzális zaar iránya időben állandó, akkor homogén, izotróp terjedés esetén a zaar iránya a hullámban sem áltozik meg. Ez azt jelenti, hogy a hullám terjedési iránya és a zaar iránya minden pillanatban és minden helyen ugyanabban a síkban an. KÍSÉRLET: y Ilyen hullámot kapunk például, ha egy rugalmas kötél egyik égét mindig ugyanazon egyenes mentén mozgatjuk. Az ábrán az így kapott hullám pillanatképét (a t időpillanatban) derékszögű koordinátarendszerben mutatjuk be: a hullám az -tengely mentén mozog, a z kitérés mindenütt y-irányú, a két kitüntetett irány és így a ψ(,t zaar térbeli eloszlását megadó görbe is az y-síkban an. ) Az ilyen hullámot síkban poláros agy lineárisan poláros y hullámnak-, a két kitüntetett irány által megadott síkot pedig a hullám rezgési síkjának neezik. A hullám keltésénél azonban nem mindig teljesül a fenti feltétel, a hullámforrásban a transzerzális zaar iránya áltozhat, és ennek megfelelően áltozik a hullám rezgési z síkjának helyzete is. A zaar irányának áltozása lehet életlenszerű, de köethet alamilyen szabályszerűséget is. Szabályszerű áltozásról beszélhetünk például akkor, ha a ψ(,t ) rugalmas kötél égét egy kör mentén mozgatjuk (ábra). Ekkor a kötél többi pontja is körmozgást égez, a forrástól mért táolságnak megfelelő fáziskéséssel. Az ilyen hullámot cirkulárisan poláros hullámnak neezik. Az ábrán látható cirkulárisan poláros hullám forrásában a zaart jellemző ektor állandó szögsebességgel körbeforog. Ez a forgó ektor minden pillanatban felbontható egy-egy áltozó hosszúságú y- és z-irányú ektorra, ezért a cirkulárisan poláros hullám felbontható két egymásra merőleges rezgési síkú, azonos amplitúdójú, lineárisan poláros hullámra. Az összeteő hullámok amplitúdója ekkor az említett kör sugaráal egyenlő. Ha a forrásban a zaart jellemző ektor égpontja egy ellipszis mentén mozog, akkor a keletkező hullámot elliptikusan poláros hullámnak neezik. Ez a hullám mindig felbontható két egymásra merőleges rezgési síkú, különböző amplitúdójú, lineárisan poláros hullámra. Az összeteő hullámok amplitúdója ekkor az ellipszis két féltengelyének hosszáal egyenlő. A cirkulárisan poláros hullám tulajdonképpen az elliptikusan poláros hullám speciális esete (a kör olyan ellipszis, amelynek két féltengelye azonos hosszúságú). A szabálytalanul áltozó rezgési síkú transzerzális hullámoktól aló megkülönböztetés érdekében a lineárisan-, cirkulárisan- agy elliptikusan poláros hullámokat összefoglaló néen poláros hullámoknak neezik.

15 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 5 Utolsó módosítás: Nem lineárisan poláros, transzerzális hullámból megfelelő módszerrel kiálasztható a hullámnak egy tetszőleges síkú lineárisan poláros összeteője. Ez jól szemléltethető egy rugalmas kötélen létrehozott transzerzális hullám esetében. KÍSÉRLET: Rugalmas kötél égét körbeforgata, létrehozunk egy nagyjából cirkulárisan poláros hullámot (a) ábra), majd a kötél középpontja közelében a kötelet egy összecsukható fakerettel esszük körül. Ezáltal a hullám egy keskeny, függőleges irányú résen kénytelen áthaladni. A rés csak a hullám függőleges összeteőjét engedi át, így tehát egy lineárisan poláros hullámot kapunk. Ha a rést függőleges tengely körül elforgatjuk, akkor mindig az új iránnyal párhuzamos rezgési síkú lineárisan poláros hullám jön létre, agyis ezzel a módszerrel a nem poláros hullámból tetszőleges rezgési síkú lineárisan poláros hullámot ki tudunk álasztani. Az ilyen eszközöket, amelyekkel nem lineárisan poláros hullámból lineárisan poláros hullámot állíthatunk elő, polarizátoroknak-, azt a rezgési síkot pedig, amelyet a polarizátor átenged, a polarizátor rezgési síkjának neezik. Polarizátorként a különböző hullámterjedési mechanizmusoknál más és más eszközöket alkalmaznak. Rugalmas kötélhullámok esetén a kísérletben használt rést használhatjuk, az elektromágneses hullámoknál használt eszközökről később lesz szó. KÍSÉRLET: Ha az előző kísérletben alkalmazott polarizátor mellett egy másik polarizátort is alkalmazunk, akkor a két polarizátor után megjelenő hullám jellege attól függ, hogy a két polarizátor rezgési síkja egymással milyen szöget zár be. Ha a második polarizátor rezgési síkja párhuzamos az elsőéel, akkor a lineárisan poláros hullám áltozatlanul halad át a második polarizátoron is (b) ábra). Ha most a második polarizátort ízszintes tengely körül elkezdjük körbeforgatni, akkor a második polarizátor után megjelenő lineárisan poláros hullám rezgési síkja a polarizátorral együtt elfordul, és amplitúdója fokozatosan csökken. Ha a két polarizátor rezgési síkja egymásra merőleges, akkor a második polarizátor után nincs hullám (c) ábra), agyis a lineárisan poláros hullámot a rezgési síkjára merőleges polarizátor kioltja. Miel a kísérlet tanúsága szerint a polarizátor kioltja a rá merőleges rezgési síkú lineárisan poláros hullámot, a polarizátor forgatásakor beköetkező amplitúdó- és intenzitáscsökkenés a köetkezőképpen is felfogható. A hullám az első polarizátor által meghatározott rezgési síkkal érkezik a második polarizátorhoz, amelynek rezgési síkja α szöget zár be az első polarizátorral illete a beeső A 0 A N. polarizátor rezgési síkja α A T =A 0 cosα beeső, lineárisan poláros hullám rezgési síkja A kísérletben megjelennek a kötél égéről isszaerődő hullámok is, amelyek sajátos hullámalakzatot, állóhullámot hozhatnak létre. Ez a köetkeztetéseinken nem áltoztat. Az állóhullámokkal később foglalkozunk.

16 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 6 Utolsó módosítás: hullám rezgési síkjáal. Ha a beeső lineárisan poláros hullámot (az ábrán A 0 ) felbontjuk a második polarizátorral párhuzamos ( A N )- és arra merőleges rezgési síkú ( A T ) lineárisan poláros hullámokra, akkor a második polarizátor a merőleges összeteőt kioltja, és az eredeti amplitúdónak csak a második polarizátor síkjáal párhuzamos összeteője halad toább. Az átmenő hullám amplitúdójának a két polarizátor egymással bezárt szögétől aló függését az A = AT = A0 cosα összefüggés adja meg. Miel a hullám intenzitása arányos az amplitúdó négyzetéel, a második polarizátorra eső I 0 intenzitásból az átjutott I intenzitás az I = I 0 cos α összefüggésből kapható meg. Ebből isszakapjuk a tapasztalatból már ismert eredményt: ha a π két polarizátor egymásra merőleges, agyis α =, akkor A = I = 0, tehát nincs átmenő hullám. Miel a kísérletben alkalmazott második polarizátor segítségéel a beérkező hullám rezgési síkját meg lehet találni, a fenti elrendezésben a második polarizátort analizátornak is neezik. Ha a polarizátor és az analizátor rezgési síkja egymásra merőleges, akkor keresztezett polarizátorokról beszélünk. Ezzel a kifejezéssel éle, azt mondhatjuk, hogy a keresztezett polarizátorok a transzerzális hullámot kioltják, ezért alkalmazásukkal eldönthető, hogy egy hullám transzerzális agy nem. Mint láttuk, a polarizátor-analizátor pár az analizátor forgatásáal alkalmas arra, hogy az átmenő hullám intenzitását szabályozni tudjuk. Ennek különösen az optikában an nagy jelentősége.

17 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 7 Utolsó módosítás: Energiaterjedés rugalmas hullámban Egy hullám létrehozásához munkát kell befektetni (rugalmas közeg deformálása). Az, hogy a hullám a forrástól táol ugyanolyan rugalmas alakáltozást hozzon létre, mint ami a forrásban létrejött, csak úgy lehetséges, hogy a hullám energiát isz magáal, és a szükséges munkát ez az energia fedezi. Az energiaterjedés általános leírása A hullám által szállított energiát az energiaárammal jellemezhetjük. Ha egy felületen a hullámmal Δt idő alatt ΔE energia halad át akkor az energiaáram: ΔE Φ =. Δt A hullám által szállított energiát a fenti általános összefüggés helyett jó lenne a hullám és a közeg jellemző mennyiségeiel kifejezni. Ehhez először a hullámban az energia térfogati sűrűségét kell meghatároznunk. Ha ugyanis a w energiasűrűséget és a hullám terjedési sebességét ismerjük, akkor az energiaáramot az alábbi egyszerű megfontolással kaphatjuk meg. Δt Az ábrán látható, a hullám terjedésére merőleges S felületen, a felületre merőlegesen Δt idő alatt az az energia megy át a w hullámmal, ami benne an a Δ t magasságú, S alapterületű S hasábban, agyis a Δ V = SΔt térfogatban. Miel az energia térfogati sűrűsége w, az áthaladt energia: Δ E = wδv = ws Δt. A Φ energiaáram ezzel ΔE Φ = = ws. Δ t Ennek alapján az energia-áramsűrűség (amit a hullámtanban általában I-el jelölnek) I = Φ = w, S amit a hullám intenzitásának neeznek. Ez az összefüggés általában is igaz, tehát egy hullámban terjedő energia áramsűrűsége úgy kapható meg, hogy a térfogati energiasűrűséget megszorozzuk a terjedési sebességgel. Miel az áramsűrűség és a terjedési sebesség iránya azonos, az áramsűrűség (intenzitás) ektori formában az alábbi módon adható meg: I = w. Ha egy olyan felületen átmenő energiaáramot akarunk kiszámítani, amely a terjedési sebességre nem merőleges, akkor egy elemi ΔS felületen átmenő energiaáram ΔS ΔΦ = jδs, j ahol ΔS a felületektor. Véges S felületen átmenő energiaáram ebből ΔS integrálással (a felületelemekre történő összegzéssel) kapható meg: Φ S = jds. S Ahhoz, hogy egy konkrét hullám intenzitását kiszámítsuk, meg kell határoznunk a hullámban az energiasűrűséget.

18 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 8 Utolsó módosítás: Rugalmas hullám energiája, a hullám intenzitása Az energiaiszonyokat egy rugalmas rúdban izsgáljuk, amelyben egydimenziós, longitudinális hullám terjed. A hullám által szállított energia kiszámítására az intenzitásra kapott I = w Δ összefüggést alkalmazzuk. Ehhez meg kell határoznunk a ΔS hullámban az energia átlagos sűrűségét. energia A izsgált rúd keresztmetszete S, a rúd anyagának sűrűsége ρ, rugalmassági modulusa E. Az energia kiszámításához a rúd egy elemi Δ V = ΔΔS térfogatát (ábra) álasztjuk ki. A térfogatelem mechanikai energiája a mozgási és helyzeti energia összege, ezért először ezeket az energiákat írjuk fel: ψ ψ ΔEm = Δm = ρδδs = ρ ΔV, t t ψ ΔEh = Eε ΔΔS = E ΔV. Felhasznála a longitudinális rugalmas hullám terjedési sebességére onatkozó E = E = ρ ρ összefüggést, a helyzeti energiára azt kapjuk, hogy ψ ΔEh = ρ ΔV. Ezzel az összenergia ψ ψ Δ E = ΔEm + ΔEh = ρδv +. t Az energia térfogati sűrűsége: ΔE ψ ψ w = = ρ +. ΔV t Ebből a kifejezésből konkrét égeredményt csak akkor kapunk, ha ismerjük a hullámfüggényt. Példaként számítsuk ki az energiasűrűséget a ψ (, t ) = Acos( ωt k + α ) harmonikus hullám esetén. Ha ezt a hullámfüggényt behelyettesítjük az általános összefüggésbe, akkor az energiasűrűségre azt kapjuk, hogy w (,t ) = [ A sin ( t k ) k A sin ( t k ) ] ρ ω ω + α + ω + α. Felhasznála az ω =k összefüggést, az energiasűrűség az egyszerűbb w(,t ) = ρ A ω sin ( ωt k + α ) alakba írható. Eszerint az energiasűrűség adott helyen időben periodikusan áltozik, adott időpillanatban pedig a helynek periodikus függénye. Az időben áltozó energiasűrűség helyett a gyakorlatban jobban használható az energiasűrűség időbeli átlaga. A hullámban adott helyen létrejött energiasűrűség időbeli átlaga:

19 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 9 Utolsó módosítás: w T = w(,t )dt = ρa ω T. 0 Ismere az energia átlagos térfogati sűrűségét, mind az átlagos energiaáramot, mind pedig az átlagos intenzitást ki tudjuk számítani: Φ = ws = ρa ω S I = ρa ω. Az átlagos energia-áramsűrűség ektor ennek alapján I = w = ρ A ω. Az intenzitás- és az amplitúdó térbeli áltozása egyszerű esetekben Az energia-áramsűrűség és ezzel együtt a hullám amplitúdója áltozhat geometriai okokból és a közegben történő energiaeszteségek (elnyelés) miatt. Amplitúdócsökkenés gömbhullámban Korábban már olt szó arról, hogy egy pontforrásból kiinduló hullám esetén mindig fellép egy geometriai jellegű intenzitásáltozás, aminek az az oka, hogy ugyanaz az energiaáram a terjedés során egyre nagyobb felületen oszlik el. Miel az intenzitás arányos az amplitúdó négyzetéel, a forrástól táoloda az amplitúdónak is csökkennie kell. A gömbhullámra elégzett számolás eredménye az olt, hogy homogén, izotróp közegben az amplitúdónak a forrástól mért r táolsággal fordított arányban kell áltoznia: A( r ). r Ugyanilyen számolás eredményeként azt kapjuk, hogy egy pontforrásból kiinduló felületi körhullámban (pl. ízhullám) az amplitúdó helyfüggése A( r ) r jellegű. Ezek a égeredmények csak akkor érényesek, ha a hullám terjedése során nem lépnek fel olyan energiaelnyelő (disszipatí) folyamatok, amelyek a hullámban terjedő összenergiát csökkentik. Amplitúdócsökkenés energiaelnyelés miatt Az áramsűrűség áltozásának másik lehetséges oka, hogy a közeg a hullám energiájának egy részét elnyeli. Ilyenkor maga az energiaáram, és ele együtt az intenzitás is áltozik. Ha az energiaeszteség nem túl nagy, akkor egy -irányban terjedő síkhullámban d hosszúságú szakaszon aló áthaladás közben az intenzitás áltozása arányos a szakasz hosszáal és az eredeti intenzitással: di = I( + d ) I( ) = μid. Ebből azt kapjuk, hogy di = μd, I I( ) = I0 ep( μ ) (Itt μ a közegtől függő állandó, a csillapítási tényező, I 0 az intenzitás az = 0 helyen).

20 TÓTH A.: Hullámok/ (kibőítet óraázlat) 0 Utolsó módosítás: Miel az intenzitás arányos az amplitúdó négyzetéel, ez azt jelenti, hogy a hullám amplitúdója az elnyelés köetkeztében szintén eponenciálisan csökken: μ A( ) = A0 ep( ) = A0 ep( β ). (Itt beezettük a β =μ/ jelölést.)

Hullámok. v=d/t 1 d d

Hullámok. v=d/t 1 d d TÓTH A: Hullámok (kibőítet óraázlat) 1 Utolsó módosítás: 006119 Hullámok A különböző fizikai mennyiségek áltozása pl egy rezgés igen gyakran a létrehozásának helyétől táolabb is kiált hatásokat: a létrehozott

Részletesebben

Hullámok. v=d/t 1 d d. TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 1

Hullámok. v=d/t 1 d d. TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 1 TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) 1 Hullámok A különböző fizikai mennyiségek áltozása pl. egy rezgés igen gyakran a létrehozásának helyétől táolabb is kiált hatásokat: a létrehozott áltozás agy más néen

Részletesebben

Hullámmozgás. Mechanikai hullámok A hang és jellemzői A fény hullámtermészete

Hullámmozgás. Mechanikai hullámok A hang és jellemzői A fény hullámtermészete Hullámmozgás Mechanikai hullámok A hang és jellemzői A fény hullámtermészete A hullámmozgás fogalma A rezgési energia térbeli továbbterjedését hullámmozgásnak nevezzük. Hullámmozgáskor a közeg, vagy mező

Részletesebben

a terjedés és a zavar irányának viszonya szerint:

a terjedés és a zavar irányának viszonya szerint: TÓTH A.: Hullámok (összefoglaló) Hullámtani összefoglaló A hullám fogalma és leírása A hullám valamilyen (mehanikai, elektromágneses, termikus, stb.) zavar térbeli tovaterjedése. Terjedésének mehanizmusa

Részletesebben

Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény

Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér

Részletesebben

Hullámok elhajlása (diffrakció), a Huygens Fresnel-elv

Hullámok elhajlása (diffrakció), a Huygens Fresnel-elv TÓTH A.: Hullámok/3 (kibőítet óraázlat 41 Utolsó módosítás: 006.1.0. Hullámok elhajlása (diffrakció, a Huygens Fresnel-el A hullámok terjedését eddig olyan esetekben izsgáltuk, amikor a terjedést korlátozó,

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1. (b) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1. (b) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1. (b) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 Síkhullámok végtelen kiterjedésű, szilárd izotróp közegekben (1) longitudinális hullám transzverzális

Részletesebben

Csillapított rezgés. a fékező erő miatt a mozgás energiája (mechanikai energia) disszipálódik. kváziperiódikus mozgás

Csillapított rezgés. a fékező erő miatt a mozgás energiája (mechanikai energia) disszipálódik. kváziperiódikus mozgás Csillapított rezgés Csillapított rezgés: A valóságban a rezgések lassan vagy gyorsan, de csillapodnak. A rugalmas erőn kívül, még egy sebességgel arányos fékező erőt figyelembe véve: a fékező erő miatt

Részletesebben

A hullámok terjedése során a közegrészecskék egyensúlyi helyzetük körül rezegnek, azaz átlagos elmozdulásuk zérus.

A hullámok terjedése során a közegrészecskék egyensúlyi helyzetük körül rezegnek, azaz átlagos elmozdulásuk zérus. HULLÁMOK MECHANIKAI HULLÁMOK Mechanikai hullám: ha egy rugalmas közeg egyensúlyi állapotát megbolygatva az előidézett zavar tovaterjed a közegben. A zavart a hullámforrás váltja ki. A hullámok terjedése

Részletesebben

Hullámtan. A hullám fogalma. A hullámok osztályozása.

Hullámtan. A hullám fogalma. A hullámok osztályozása. Hullátan A hullá fogala. A hulláok osztályozása. Kísérletek Kis súlyokkal összekötött ingasor elején keltett rezgés átterjed a többi ingára is [0:6] Kifeszített guikötélen keltett zavar végig fut a kötélen

Részletesebben

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása TÓTH.: Rezgések/3 (kibővített óravázlat Harmonikus rezgések összetevése és felbontása Gyakran előfordul hogy egy rezgésre képes rendszerben több közelítőleg harmonikus rezgés egyszerre jelenik meg és meg

Részletesebben

11. Egy Y alakú gumikötél egyik ága 20 cm, másik ága 50 cm. A két ág végeit azonos, f = 4 Hz

11. Egy Y alakú gumikötél egyik ága 20 cm, másik ága 50 cm. A két ág végeit azonos, f = 4 Hz Hullámok tesztek 1. Melyik állítás nem igaz a mechanikai hullámok körében? a) Transzverzális hullám esetén a részecskék rezgésének iránya merőleges a hullámterjedés irányára. b) Csak a transzverzális hullám

Részletesebben

Rezgés, Hullámok. Rezgés, oszcilláció. Harmonikus rezgő mozgás jellemzői

Rezgés, Hullámok. Rezgés, oszcilláció. Harmonikus rezgő mozgás jellemzői Rezgés, oszcilláció Rezgés, Hullámok Fogorvos képzés 2016/17 Szatmári Dávid (david.szatmari@aok.pte.hu) 2016.09.26. Bármilyen azonos időközönként ismétlődő mozgást, periodikus mozgásnak nevezünk. A rezgési

Részletesebben

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:

Részletesebben

P vízhullámok) interferenciáját. A két hullám hullámfüggvénye:

P vízhullámok) interferenciáját. A két hullám hullámfüggvénye: Hullámok találkozása, interferencia Ha a tér egy pontjában két hullám van jelen, akkor hatásuk ott valamilyen módon összegződik. A hullámok összeadódását interferenciának nevezzük. Mi az interferencia

Részletesebben

Rezgések és hullámok

Rezgések és hullámok Rezgések és hullámok A rezgőmozgás és jellemzői Tapasztalatok: Felfüggesztett rugóra nehezéket akasztunk és kitérítjük egyensúlyi helyzetéből. Satuba fogott vaslemezt megpendítjük. Ingaóra ingáján lévő

Részletesebben

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS

Részletesebben

Hullámok tesztek. 3. Melyik állítás nem igaz a mechanikai hullámok körében?

Hullámok tesztek. 3. Melyik állítás nem igaz a mechanikai hullámok körében? Hullámok tesztek 1. Melyik állítás nem igaz a mechanikai hullámok körében? a) Transzverzális hullám esetén a részecskék rezgésének iránya merıleges a hullámterjedés irányára. b) Csak a transzverzális hullám

Részletesebben

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása TÓTH.: Rezgésösszetevés (kibővített óravázlat) 30 005.06.09. Harmonikus rezgések összetevése és felbontása Gyakran előfordul hogy egy rezgésre képes rendszerben több közelítőleg harmonikus rezgés egyszerre

Részletesebben

Vontatás III. A feladat

Vontatás III. A feladat Vontatás III Ebben a részben ázoljuk a ontatási feladat egy lehetséges numerikus megoldási módját Ezt az I részben ismertetett alapegyenletre építjük fel Itt az egy ontatott kerékpár esetét izsgáljuk feladat

Részletesebben

Rugalmas hullámok terjedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai

Rugalmas hullámok terjedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai Rugalmas hullámok tejedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai Milyen hullámok alakulhatnak ki ugalmas közegben? Gázokban és folyadékokban csak longitudinális hullámok tejedhetnek. Szilád közegben

Részletesebben

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika Fizika mérnm rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Mechanika. előadás Dr. Geretovszky Zsolt 1. szeptember 15. Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó

Részletesebben

Elektromágneses hullámok - Interferencia

Elektromágneses hullámok - Interferencia Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (d) Elektromágneses hullámok - Interferencia Utolsó módosítás: 2012 október 18. 1 Interferencia (1) Mi történik két elektromágneses hullám találkozásakor? Az elektromágneses

Részletesebben

Mechanika. Kinematika

Mechanika. Kinematika Mechanika Kinematika Alapfogalmak Anyagi pont Vonatkoztatási és koordináta rendszer Pálya, út, elmozdulás, Vektormennyiségek: elmozdulásvektor Helyvektor fogalma Sebesség Mozgások csoportosítása A mozgásokat

Részletesebben

Fizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések

Fizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések Fizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések 1.) Írja fel a 4 Maxwell-egyenletet lokális (differenciális) alakban! rot = j+ D rot = B div B=0 div D=ρ : elektromos térerősség : mágneses térerősség D : elektromos

Részletesebben

SZEIZMOLÓGIA. Alapfogalmak

SZEIZMOLÓGIA. Alapfogalmak SZEIZMOLÓGIA A szeizmológia a természetes eredetű földrengések megfigyeléséel és feldolgozásáal foglalkozó tudomány. A becslések szerint Földünkön mintegy háromszázezer földrengés pattan ki éente, ebből

Részletesebben

Hullámok visszaverődése és törése

Hullámok visszaverődése és törése TÓTH : Hullámok/ (kibővítet óravázlat) Hullámok visszaverődése és törése hullámterjedés vizsgálatánál eddig azt tételeztük fel, hogy a hullám homogén közegben, állandó sebességgel terjed Ha a hullám egy

Részletesebben

Hullámtani összefoglaló

Hullámtani összefoglaló Hullámtani összefoglaló A hullám fogalma és leírása A hullám valamilyen (mehanikai, elektromágneses, termikus, stb.) zavar térbeli tovaterjedése. Terjedésének mehanizmusa függ a zavar jellegétől, így például

Részletesebben

Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak

Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 2. Fényhullámok tulajdonságai Cserti József, jegyzet, ELTE, 2007. Az elektromágneses spektrum Látható spektrum (erre állt be a szemünk) UV: ultraibolya

Részletesebben

Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések

Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések 1. Melyek a rezgőmozgást jellemző fizikai mennyiségek?. Egy rezgés során mely helyzetekben maximális a sebesség, és mikor a gyorsulás? 3. Milyen

Részletesebben

Mechanikai hullámok. Hullámhegyek és hullámvölgyek alakulnak ki.

Mechanikai hullámok. Hullámhegyek és hullámvölgyek alakulnak ki. Mechanikai hullámok Mechanikai hullámnak nevezzük, ha egy anyagban az anyag részecskéinek rezgésállapota továbbterjed. A mechanikai hullám terjedéséhez tehát szükség van valamilyen anyagra (légüres térben

Részletesebben

azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra

azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra 4. Gyakorlat 31B-9 A 31-15 ábrán látható, téglalap alakú vezetőhurok és a hosszúságú, egyenes vezető azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra. 31-15 ábra

Részletesebben

Az arkhimédészi csőfelületről

Az arkhimédészi csőfelületről Az arkhimédészi csőfelületről Az előző dolgozatban melynek címe: Csaarokról és rokon témákról elkezdtük a csaaros témakör körüljárását. Most folytatjuk a címbeli témáal. A felület definíciója [ 1 ] szerint:

Részletesebben

Mechanika, dinamika. p = m = F t vagy. m t

Mechanika, dinamika. p = m = F t vagy. m t Mechanika, dinamika Mozgás, alakváltozás és ennek háttere Newton: a mozgás természetes állapot. A témakör egyik kulcsfontosságú fizikai mennyisége az impulzus (p), vagy lendület, vagy mozgásmennyiség.

Részletesebben

1. ábra. 24B-19 feladat

1. ábra. 24B-19 feladat . gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,

Részletesebben

Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)

Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2) 2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,

Részletesebben

Szökőkút - feladat. 1. ábra. A fotók forrása:

Szökőkút - feladat. 1. ábra. A fotók forrása: Szökőkút - feladat Nemrégen Gyulán jártunk, ahol sok szép szökőkutat láttunk. Az egyik különösen megtetszett, ezért elhatároztam, hogy megpróbálom elemi módon leírni a ízsugarak, illete az általuk leírt

Részletesebben

-2σ. 1. A végtelen kiterjedésű +σ és 2σ felületi töltéssűrűségű síklapok terében az ábrának megfelelően egy dipól helyezkedik el.

-2σ. 1. A végtelen kiterjedésű +σ és 2σ felületi töltéssűrűségű síklapok terében az ábrának megfelelően egy dipól helyezkedik el. 1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Energetikai mérnöki alapszak Mérnöki fizika 2. ZH NÉV:.. 2018. május 15. Neptun kód:... g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus

Részletesebben

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása

Részletesebben

3.1. ábra ábra

3.1. ábra ábra 3. Gyakorlat 28C-41 A 28-15 ábrán két, azonos anyagból gyártott ellenállás látható. A véglapokat vezető 3.1. ábra. 28-15 ábra réteggel vonták be. Tételezzük fel, hogy az ellenállások belsejében az áramsűrűség

Részletesebben

Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)

Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1. 2. 3. Mondat E1 E2 Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, 2017. október 10.. CHFMAX NÉV: Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 Előadó: Márkus / Varga Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1) Az l hosszúságú

Részletesebben

Zaj- és rezgés. Törvényszerűségek

Zaj- és rezgés. Törvényszerűségek Zaj- és rezgés Törvényszerűségek A hang valamilyen közegben létrejövő rezgés. A vivőközeg szerint megkülönböztetünk: léghangot (a vivőközeg gáz, leggyakrabban levegő); folyadékhangot (a vivőközeg folyadék,

Részletesebben

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra . Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától

Részletesebben

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1) . Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol

Részletesebben

VI. A tömeg növekedése.

VI. A tömeg növekedése. VI A tömeg nöekedése Egyszerű tárgyalás A tehetetlenség a test egy tlajdonsága, egy adata A tömeg az adott test tehetetlenségének kantitatí mértéke A tömeg meghatározásának módszere: meg kell izsgálni,

Részletesebben

= Φ B(t = t) Φ B (t = 0) t

= Φ B(t = t) Φ B (t = 0) t 4. Gyakorlat 32B-3 Egy ellenállású, r sugarú köralakú huzalhurok a B homogén mágneses erőtér irányára merőleges felületen fekszik. A hurkot gyorsan, t idő alatt 180 o -kal átforditjuk. Számitsuk ki, hogy

Részletesebben

Elektromágneses hullámok

Elektromágneses hullámok Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (a) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: 2015. október 3. 1 A Maxwell-egyenletek (1) (2) (3) (4) E: elektromos térerősség D: elektromos eltolás H: mágneses

Részletesebben

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA 1. A kinematika és a dinamika tárgya. Egyenes onalú egyenletes mozgás a) Kísérlet és a belőle leont köetkeztetés b) A mozgás jellemző grafikonjai

Részletesebben

1. fejezet. Gyakorlat C-41

1. fejezet. Gyakorlat C-41 1. fejezet Gyakorlat 3 1.1. 28C-41 A 1.1 ábrán két, azonos anyagból gyártott ellenállás látható. A véglapokat vezető réteggel vonták be. Tételezzük fel, hogy az ellenállások belsejében az áramsűrűség bármely,

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

a térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.

a térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus. 2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3

Részletesebben

4. MECHANIKA-MECHANIZMUSOK ELŐADÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.)

4. MECHANIKA-MECHANIZMUSOK ELŐADÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) SZÉHNYI ISTVÁN YTM LKLMZOTT MHNIK TNSZÉK. MHNIK-MHNIZMUSOK LŐÁS (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) yalugép sebességábrája: F. ábra: yalugép kulisszás mechanizmusának onalas ázlata dott: az ábrán látható

Részletesebben

PÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE

PÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE PÉLÁ ERŐTÖRVÉNYERE Szabad erők: erőtörvénnyel megadhatók, általában nem függenek a test mozgásállapotától (sebességtől, gyorsulástól) Példák: nehézségi erő, súrlódási erők, rugalmas erők, felhajtóerők,

Részletesebben

Geometriai és hullámoptika. Utolsó módosítás: május 10..

Geometriai és hullámoptika. Utolsó módosítás: május 10.. Geometriai és hullámoptika Utolsó módosítás: 2016. május 10.. 1 Mi a fény? Részecske vagy hullám? Isaac Newton (1642-1727) Pierre de Fermat (1601-1665) Christiaan Huygens (1629-1695) Thomas Young (1773-1829)

Részletesebben

A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról

A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról 1 A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról A végein fonállal felfüggesztett egyenes rúd részleges erőtani vizsgálatát mutattuk be egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Forgatónyomaték mérése - I.

Részletesebben

Orvosi Biofizika I. 12. vizsgatétel. IsmétlésI. -Fény

Orvosi Biofizika I. 12. vizsgatétel. IsmétlésI. -Fény Orvosi iofizika I. Fénysugárzásanyaggalvalókölcsönhatásai. Fényszóródás, fényabszorpció. Az abszorpciós spektrometria alapelvei. (Segítséga 12. tételmegértéséhezésmegtanulásához, továbbá a Fényabszorpció

Részletesebben

9. Hang terjedési sebességének mérése Kundt-féle csővel

9. Hang terjedési sebességének mérése Kundt-féle csővel 9. Hang terjedési sebességének mérése Kundt-féle sőel Célkitűzés: A hangsebesség mérése különböző gázokban. A hangsebesség és a gázok hőtani araméterei között fennálló kasolat tanulmányozása, a / érték

Részletesebben

Az aszinkron és a szinkron gépek külső mágnesének vasmagja, -amelyik általában az

Az aszinkron és a szinkron gépek külső mágnesének vasmagja, -amelyik általában az 8 FORGÓMEZŐS GÉPEK. Az aszinkron és a szinkron géek külső mágnesének vasmagja, -amelyik általában az állórész,- hengergyűrű alakú. A D átmérőjű belső felületén tengelyirányban hornyokat mélyítenek, és

Részletesebben

Optika gyakorlat 6. Interferencia. I = u 2 = u 1 + u I 2 cos( Φ)

Optika gyakorlat 6. Interferencia. I = u 2 = u 1 + u I 2 cos( Φ) Optika gyakorlat 6. Interferencia Interferencia Az interferencia az a jelenség, amikor kett vagy több hullám fázishelyes szuperpozíciója révén a térben állóhullám kép alakul ki. Ez elektromágneses hullámok

Részletesebben

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből

Részletesebben

W = F s A munka származtatott, előjeles skalármennyiség.

W = F s A munka származtatott, előjeles skalármennyiség. Ha az erő és az elmozdulás egymásra merőleges, akkor fizikai értelemben nem történik munkavégzés. Pl.: ha egy táskát függőlegesen tartunk, és úgy sétálunk, akkor sem a tartóerő, sem a nehézségi erő nem

Részletesebben

Rezgőmozgás, lengőmozgás

Rezgőmozgás, lengőmozgás Rezgőmozgás, lengőmozgás A rezgőmozgás időben ismétlődő, periodikus mozgás. A rezgő test áthalad azon a helyen, ahol egyensúlyban volt a kitérítés előtt, és két szélső helyzet között periodikus mozgást

Részletesebben

Optika gyakorlat 3. Sugáregyenlet, fényterjedés parabolikus szálban, polarizáció, Jones-vektor. Hamilton-elv. Sugáregyenlet. (Euler-Lagrange egyenlet)

Optika gyakorlat 3. Sugáregyenlet, fényterjedés parabolikus szálban, polarizáció, Jones-vektor. Hamilton-elv. Sugáregyenlet. (Euler-Lagrange egyenlet) Optika gyakorlat 3. Sugáregyenlet, fényterjeés parabolikus szálban, polarizáció, Jones-vektor Hamilton-elv t2 t2 δ Lq k, q k, t) t δ T V ) t 0 t 1 t 1 t L L 0 q k q k Euler-Lagrange egyenlet) De mi az

Részletesebben

Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása

Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög

Részletesebben

Mechanikai rezgések = 1 (1)

Mechanikai rezgések = 1 (1) 1. Jellemző fizikai mennyiségek Mechanikai rezgések Mivel a harmonikus rezgőmozgást végző test leírható egy egyenletes körmozgást végző test vetületével, a rezgőmozgást jellemző mennyiségek megegyeznek

Részletesebben

Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)

Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1) 3. Gyakorlat 29A-34 Egy C kapacitású kondenzátort R ellenálláson keresztül sütünk ki. Mennyi idő alatt csökken a kondenzátor töltése a kezdeti érték 1/e 2 ed részére? Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény)

Részletesebben

Egy mozgástani feladat

Egy mozgástani feladat 1 Egy mozgástani feladat Előző dolgozatunk melynek jele és címe: ED ~ Ismét az ellipszis egyenleteiről folytatásának tekinthető ez az írás. Leválasztottuk róla, mert bár szorosan kapcsolódnak, más a céljuk.

Részletesebben

Ψ - 1/v 2 2 Ψ/ t 2 = 0

Ψ - 1/v 2 2 Ψ/ t 2 = 0 ELTE II. Fizikus 005/006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Optika 7. (X. 4) Interferencia I. Ψ (r,t) = Φ (r,t)e iωt = A(r) e ikl(r) e iωt hullámfüggvény (E, B, E, B,...) Ψ - /v Ψ/ t = 0 ω /v = k ; ω /c = k o ;

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

1. Az üregsugárzás törvényei

1. Az üregsugárzás törvényei 1. Az üregsugárzás törvényei 1.1. A Wien féle eltolódási törvény és a Stefan-Boltzmann törvény Egy zárt, belül üres fémdoboz kis nyílása az úgynevezett abszolút fekete test. A nyílás elektromágneses sugárzást

Részletesebben

FELÜLETI FESZÜLTSÉG. Jelenség: A folyadék szabad felszíne másképp viselkedik, mint a folyadék belseje.

FELÜLETI FESZÜLTSÉG. Jelenség: A folyadék szabad felszíne másképp viselkedik, mint a folyadék belseje. Jelenség: A folyadék szabad felszíne másképp iselkedik, mint a folyadék belseje. A felületen leő molekulákra a saját részecskéik onzása csak alulról hat, a felülettel érintkező leegő molekulái által kifejtett

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Felvételi, 2017 július -Alapképzés, fizika vizsga-

Felvételi, 2017 július -Alapképzés, fizika vizsga- Sapientia Erdélyi Magyar Tudományegyetem Marosvásárhelyi Kar Felvételi, 2017 július -Alapképzés, fizika vizsga- Minden tétel kötelező. Hivatalból 10 pont jár. Munkaidő 3 óra. I. Az alábbi kérdésekre adott

Részletesebben

A lengőfűrészelésről

A lengőfűrészelésről A lengőfűrészelésről Az [ 1 ] tankönyvben ezt írják a lengőfűrészről, működéséről, használatáról: A lengőfűrész árkolásra, csaprések készítésére alkalmazott, 150 00 mm átmérőjű, 3 4 mm vastag, sűrű fogazású

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra

Részletesebben

Elektromágnesség tesztek

Elektromágnesség tesztek Elektromágnesség tesztek 1. Melyik esetben nem tapasztalunk onzóerőt? a) A mágnesrúd északi pólusához asdarabot közelítünk. b) A mágnesrúd közepéhez asdarabot közelítünk. c) A mágnesrúd déli pólusához

Részletesebben

Biofizika. Sugárzások. Csik Gabriella. Mi a biofizika tárgya? Mi a biofizika tárgya? Biológiai jelenségek fizikai leírása/értelmezése

Biofizika. Sugárzások. Csik Gabriella. Mi a biofizika tárgya? Mi a biofizika tárgya? Biológiai jelenségek fizikai leírása/értelmezése Mi a biofizika tárgya? Biofizika Csik Gabriella Biológiai jelenségek fizikai leírása/értelmezése Pl. szívműködés, membránok szerkezete és működése, érzékelés stb. csik.gabriella@med.semmelweis-univ.hu

Részletesebben

Legyen a rések távolsága d, az üveglemez vastagsága w! Az üveglemez behelyezése

Legyen a rések távolsága d, az üveglemez vastagsága w! Az üveglemez behelyezése 6. Gyakorlat 38B-1 Kettős rést 600 nm hullámhosszúságú fénnyel világitunk meg és ezzel egy ernyőn interferenciát hozunk létre. Ezután igen vékony flintüvegből (n = 1,65) készült lemezt helyezünk csak az

Részletesebben

1. A hang, mint akusztikus jel

1. A hang, mint akusztikus jel 1. A hang, mint akusztikus jel Mechanikai rezgés - csak anyagi közegben terjed. A levegő molekuláinak a hangforrástól kiinduló, egyre csillapodva tovaterjedő mechanikai rezgése. Nemcsak levegőben, hanem

Részletesebben

Dinamika. p = mυ = F t vagy. = t

Dinamika. p = mυ = F t vagy. = t Dinamika Mozgás, alakváltozás és ennek háttere Newton: a mozgás természetes állapot. A témakör egyik kulcsfontosságú fizikai mennyisége az impulzus (p), vagy lendület, vagy mozgásmennyiség. Klasszikus

Részletesebben

Az elméleti mechanika alapjai

Az elméleti mechanika alapjai Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.

Részletesebben

1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből

1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből 1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből Forgatónyomaték, impulzusmomentum, impulzusmomentum tétel 1.1. Feladat: (HN 13B-7) Homogén tömör henger csúszás nélkül gördül le az α szög alatt hajló

Részletesebben

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

A Hamilton-Jacobi-egyenlet A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P

Részletesebben

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk

Részletesebben

s levegő = 10 λ d sin α 10 = 10 λ (6.1.1)

s levegő = 10 λ d sin α 10 = 10 λ (6.1.1) 6. gyakorlat 6.. Feladat: (HN 38B-) Kettős rést 6 nm hullámhosszúságú fénnyel világitunk meg és ezzel egy ernyőn interferenciát hozunk létre. Ezután igen vékony flintüvegből (n,65) készült lemezt helyezünk

Részletesebben

A hullám frekvenciája egyenlő a hullámforrás frekvenciájával, azzal a kikötéssel, hogy a hullámforrás és megfigyelő nyugalomban van.

A hullám frekvenciája egyenlő a hullámforrás frekvenciájával, azzal a kikötéssel, hogy a hullámforrás és megfigyelő nyugalomban van. Mechanikai hullámok 1) Alapfogalmak A rugalmas közegekben a külső behatás térben tovaterjed. Ezt nevezzük mechanikai hullámnak. A hullám lehet egy-, két- vagy háromdimenziós, mint például kifeszített húr

Részletesebben

Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika 2. ZH, december 05. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)

Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika 2. ZH, december 05. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1. 2. 3. Mondat E1 E2 NÉV: Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika 2. ZH, 2017. december 05. Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus /

Részletesebben

13. Előadás. A Grid Source panelen a Polarization fül alatt megadhatjuk a. Rendre az alábbi lehetőségek közül választhatunk:

13. Előadás. A Grid Source panelen a Polarization fül alatt megadhatjuk a. Rendre az alábbi lehetőségek közül választhatunk: 13. Előadás Polarizáció és anizotrópia A Grid Source panelen a Polarization fül alatt megadhatjuk a sugár polarizációs állapotát Rendre az alábbi lehetőségek közül választhatunk: Polarizálatlan Lineáris

Részletesebben

Rezgőmozgás, lengőmozgás, hullámmozgás

Rezgőmozgás, lengőmozgás, hullámmozgás Rezgőmozgás, lengőmozgás, hullámmozgás A rezgőmozgás időben ismétlődő, periodikus mozgás. A rezgő test áthalad azon a helyen, ahol egyensúlyban volt a kitérítés előtt, és két szélső helyzet között periodikus

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról

Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról 1 Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról Erről viszonylag ritkán olvashatunk, ezért most erről lesz szó. Az [ 1 ] munkában találtuk az alábbi részt 1. ábra. 1. ábra Itt a ( c ) feladat és annak megoldása

Részletesebben

Transzformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól

Transzformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól Ellipsis.tex, February 9, 01 Az ellipszis Az ellipszis leírása Az ellipszis szerkesztése és tulajdonságai Az ellipszis kanonikus egyenlete A kör vetülete ellipszis Az ellipszis polárkoordinátás egyenlete

Részletesebben

Hatvani István fizikaverseny forduló megoldások. 1. kategória. J 0,063 kg kg + m 3

Hatvani István fizikaverseny forduló megoldások. 1. kategória. J 0,063 kg kg + m 3 Hatvani István fizikaverseny 016-17. 1. kategória 1..1.a) Két eltérő méretű golyó - azonos magasságból - ugyanakkora végsebességgel ér a talajra. Mert a földfelszín közelében minden szabadon eső test ugyanúgy

Részletesebben

1. Feladatok a dinamika tárgyköréből

1. Feladatok a dinamika tárgyköréből 1. Feladatok a dinamika tárgyköréből Newton három törvénye 1.1. Feladat: Három azonos m tömegű gyöngyszemet fonálra fűzünk, egymástól kis távolságokban a fonálhoz rögzítünk, és az elhanyagolható tömegű

Részletesebben

MateFIZIKA: Szélsőértékelvek a fizikában

MateFIZIKA: Szélsőértékelvek a fizikában MateFIZIKA: Szélsőértékelvek a fizikában Tasnádi Tamás 1 2015. április 10.,17. 1 BME, Mat. Int., Analízis Tsz. Tartalom Energiaminimum-elv a mechanikában (ápr. 10.) Okos szappanhártyák (ápr. 10.) Legrövidebb

Részletesebben

Optika gyakorlat 2. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető

Optika gyakorlat 2. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető Optika gyakorlat. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető. példa: Fényterjedés planparalel lemezen keresztül A plánparalel lemezen történő fényterjedés hatására a fénysugár újta távolsággal

Részletesebben

Ellipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához

Ellipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához 1 Ellipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához Előző dolgozatunkkal melynek címe: A ferde körkúp palástfelszínének meghatározásához már mintegy megágyaztunk a jelen írásnak. Több mindent

Részletesebben

2 j függvény írja le,

2 j függvény írja le, Fizika 1 Mechanika órai eladatok megoldása. hét /1. Egy tömegpont helyektora az időtől a köetkezőképpen ügg: r(t) (at+b) i + (at b) j + ( ct +4at+5b) k, ahol a 3 m/s, b 1 m, c 5 m/s. a) Milyen táol an

Részletesebben

FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens

FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin egyetemi docens Fontos tudnivalók e-mail: racz.ervin@kvk.uni-obuda.hu web: http://uni-obuda.hu/users/racz.ervin/index.htm Iroda: Bécsi út, C. épület, 124. szoba Fizika II. - ismertetés

Részletesebben