A belföldi vándorlás többállapotú demográfiai analízise, Magyarország tartózkodási hely szerinti halandósági táblája*

Átírás

1 A belföldi vádorlás többállapotú demográfiai aalízise, Magyarország tartózkodási hely szeriti haladósági tábláa* Faragó Miklós, a Közpoti Statisztikai Hivatal vezető főtaácsosa Miklos.Farago@ksh.hu Belföldi vádorlási és halálozási statisztikai adatokra alapozva, a többállapotú demográfia harmic éve megalkotott, de Magyarországo eddig még em alkalmazott módszertaa szerit előállítuk Magyarország tartózkodási hely (megye) szeriti kor és emfüggő haladósági tábláát, mely a klasszikus kétállapotú (élet, halál) haladósági táblákhoz hasolóa egy épesség véletle egyedéek megyékéti továbbélési és vádorlási valószíűségeit, valamit a külöböző megyékbe várható élettartamát tartalmazza ha adott a kiiduló állapota (megyée), kora és eme. Mad ezekből kiszámítuk a 21. évi magyar épesség megyékéti várható vádorlási számait és a vádorlással átvitt várható élettartamokat. A cikk a számítási eredméyeke kívül magyar yelve először a többállapotú demográfiai aalízis teles módszertai leírását is tartalmazza, beleértve az állapotok közötti átmeeti ráták eredeti módszerű becslését, melyek a tuladoképpei számítás alapául szolgálak. TÁRGYSZÓ: Haladósági tábla. Többállapotú redszer. Vádorlás. Markov-folyamat. * A szerző ezúto szerete köszöetet modai az aoim lektorak a godos avításért és haszos észrevételeiért, melyek yomá a cikk remélhetőleg érthetőbbé vált.

2 66 Faragó Miklós A többállapotú demográfia a klasszikus matematikai demográfia egy általáosítása: olya épességek demográfiai folyamatait vizsgála, melyekek egyedei (a koro és eme felül) valamely demográfiai vagy társadalmi-gazdasági ellemzőek időbe változó értékeivel redelkezek. Ilye ellemzők például: a lakóhely, a családi, az egészségi és a mukaerő-piaci állapot. A ellemzők lehetséges értékeit (Baraya, Somogy ; házas, elvált ; aktív, yugdías ) általába is állapotokak evezik. A többállapotú demográfia em csupá az állapotok számáak övelésébe általáosítása a klasszikus kétállapotú matematikai demográfiai modellek (élet, halál), haem abba is, hogy megegedi az egyes állapotok közötti tetszőleges iráyú mozgást az időbe, így a visszatérést is egy korábbi állapotba. Az elmélet első alkalmazásakét Rogers [1973] állított elő egy ú. többállapotú haladósági táblát (multistate life table) 17 ország közötti migrációra. A modell a halálozást is kezelte, azaz a 18. állapot a halál volt. A módszer fő eréye azoba a mátrix formalizmus bevezetése volt. Kiderült ugyais, hogy a mátrixalgebra alkalmazásával a többállapotú épesség vizsgálata egyáltalá em boyolult. Ezutá sorozatba eletek meg a publikációk változatos témakörökbe, mit például családi állapot (Schoe Nelso [1974], Schoe Lad [1979], Willekes et al. [1982], Keyfitz [1988]), mukaerő-piaci állapot (Hoem [1977]), Schoe Woodrow [198], Willekes [198]), termékeység (Suchidra et. al. [1977], Lutz Wolf [1986]), emzetközi vádorlás (DeWaard Raymer [212]). A többállapotú demográfiai számítások elteredését a megfelelő részletezettségű statisztikai adatok hiáya és feltehetőleg módszertaáak viszoylagos ehézsége együttese okozza. Az alkalmazott többállapotú modellek közös feltételezése, hogy a vizsgált épesség egyedeiek állapotváltozása egymástól függetle, a kohorszok pedig homogéek, azaz egyedeik állapotváltozásáak valószíűsége azoos. Továbbá, hogy e valószíűség egy adott pillaatba és állapotba em függ sem az állapotok korábbi betöltésétől, sem az aktuális állapotba már eltelt időtől. Ezért az egyedek mozgása az állapotok között leírható véges állapotterű, ihomogé ideű Markov-folyamattal (később midezt részletese kifetük). Nyilvá alapvető kérdés, hogy egy adott vizsgálatál e feltételeket meyire támaszták alá a tapasztalatok. Például családi állapotok vizsgálatakor a házasságból eltelt idő erőse befolyásola a válás és az úraházasodás valószíűségét, de a házastársak haláláak függetlesége is megkérdőelezhető. Az első feezetbe rövide vázoluk a modellt, a másodikba a magyarországi belső vádorlásra alkalmazott modell számítási eredméyeit, a 3.1. alfeezetbe a részletes matematikai modellt mutatuk be. A 3.2. alfeezetbe kiszámítuk a 21. évi magyar épesség a vádorlás és a halálozás yomá kialakult várható me-

3 A belföldi vádorlás többállapotú demográfiai aalízise 67 gyékéti épességszámait, vádorlási számait és a vádorlással átvitt várható élettartamokat úgy, hogy a 3.1.-be kiszámított egy főre voatkozó valószíűségeket és várható élettartamokat egyszerűe megszorozzuk a megfelelő kiiduló (21-es) kohorszlétszámokkal. Végül a 3.3. alfeezetbe megaduk a vádorlási ráták becsléséek formuláit. A 3.2. és a 3.3. alfeezet eredeti számítási módszert tartalmaz. 1. A többállapotú haladósági tábla modelle rövid leírás A klasszikus, kétállapotú, ú. periódus haladósági táblák elméletéek aalógiáára, a vizsgált épesség külöböző állapotokba eltöltött korfüggő várható élettartamaiak és más mutatóiak becslésére egy modellt hozuk létre, melyet többállapotú haladósági tábláak hívuk. Ez egy sztochasztikus folyamat, amely egy halmazból véletleszerűe kiválasztott fiktív személy ugyaeze állapotok közötti mozgását íra le. A modellből külöböző függvéyeket foguk kiszámoli, melyeket tábla függvéyekek evezük (ilyeek az egyes állapotokba tartózkodás valószíűségei vagy a külöböző várható élettartamok). Ezeket végül azzal a megfotolással tekitük érvéyesek a vizsgált épességre is, hogy a beük paraméterkét szereplő korfüggő átmeeti rátákba (az egyes állapot-párok között) behelyettesítve a vizsgált épességre voatkozó egy vizsgált időszak, az ú. periódus alapá statisztikai adatokból számítással yert átmeeti rátákat, a modell hasolóa viselkedik, mit a valóság, feltéve a ráták hosszú távú álladóságát a épességbe. (A haladósági táblák klasszikus alapfeltételezése ez, mely sohasem telesül. Az eredméyek helyes dialektikus értelmezése: a számítási eredméyek a övőre voatkozak, de a elet ellemzik.) Az 1. ábra a) része egy lakóhely haladósági tábla gráfa: az 1 3 állapot valamelyikébe tartózkodás (például álladó) lakóhelyet elet az állapotak megfelelő régióba, az állapotváltozás pedig: a migráció. A állapot a halál. Pi, ( xh, ) aak a valószíűsége, hogy egy potosa x éves (születésapos) i állapotú, az i régióba lakó ember potosa h idő múlva -be lesz. (Az azoosa ulla valószíűségű éleket elhagytuk.) A Pi, ( x, h )-k meghatározása a periódus épességéek statisztikai adataiból törtéik. Pi, ( xh, ) a pillaatyi átmeeti itezitások h idő belüli összegzése, mely az általuk haszált elmélet szerit (éves) szakaszokét expoeciális. (A klasszikus elmélet szerit viszot Pi, ( xh, ) szakaszokét lieáris. A módszertai feezetbe midkét elmélet formuláit levezetük.)

4 68 Faragó Miklós 1. ábra. Haladósági táblák gráfai a) b) 1 1 él P ( x h) 2,1, 2 3 c) 1 őtle 2 házas 3 elvált 4 özvegy Összehasolításul: az 1. ábra b) részé a klasszikus, kétállapotú haladósági tábla gráfa látható, a c)- pedig egy ötállapotú családi állapot haladósági tábla. Midhárom tábla egy forrásállapottal redelkezik és egy -yelővel. (Érdekes, hogy a haladósági tábla agolul: life table ) A következő kérdéseket foguk többek között megválaszoli (az életkorok potos egész évek, azaz születésapos személyekre voatkozak): a) Egy y éves i állapotú személy milye valószíűséggel lesz (vagy em lesz) x évese a állapotba ( y x)? b) Egy y éves i állapotú személy várható értékbe háy évet tölt el x 1 és x 2 éves kora között a állapotba ( y x1 < x2)? Világos, hogy például y = x1 és x 2 " = " eseté a kérdésre adott válaszok szeriti összege az y évese i állapotú személy hátralévő várható élettartama. A válaszokat tetszőleges potossággal megadhaták ú. Mote-Carlo-féle szimulációval a következőképpe. Egy x éves személyt elhelyezük a megfelelő ábra i- edik dobozába és a Pi, ( x ) valószíűségekkel kisorsoluk, hogy hova lépe x + 1 éveskét. Ezt a sorozatot folytatva bolyogtatuk őt addig, míg a állapotba kerül

5 A belföldi vádorlás többállapotú demográfiai aalízise 69 (ez 1 valószíűséggel bekövetkezik). Ha ezt az elárást elég sokszor megismételük, akkor az egyes dobozokba x1 és x2 éves kora között eltöltött átlagos idő (az összidő osztva az elvégzett elárások számával) tetszőleges potossággal válasz ad a b) kérdésre. Az a) és b) kérdésekkel defiiált és más táblafüggvéyek azoba explicite is megadhatók. Kiszámításuk móda a Módszerta című feezet Az általáos modell alfeezetébe található, a Pi, ( x ) valószíűségekhez szükséges ráták becslése pedig az Az átlépési ráták kiszámítása alfeezetbe. 2. Számítási eredméyek A periódus a 21. aptári év. A vizsgált épesség a periódus eleé élő, megyékéti magyar férfi- és ői épesség. A kiidulási adatok: a periódus elei épességszámok és a periódus alatt regisztrált halálozási és vádorlási számok, kor és téyleges tartózkodási hely(-pár) szerit, midkét emre. (Adatforrás: KSH.) Az állapot: a téyleges tartózkodási hely megyée, ami alatt a tartózkodási hely vagy aak hiáyába a lakóhely megyéét értük. A vádorlás a téyleges tartózkodási hely megváltozása, azaz az állapotváltozás. A dolgozatba tartózkodási hely alatt a téylegest értük. A táblázatok és ábrák a helyszűke miatt kizárólag Magyarország férfi épességére voatkozak, ezt a továbbiakba általába em tütetük fel. Ugyaeze okból eltekitük részletes elemzésüktől, csupá alapvető észrevételeket teszük, és éháy retett összefüggésre hívuk fel a figyelmet szempotokat adva ezzel a további elemzéshez. Fotos szem előtt tartai, hogy az eredméyek em regisztrált statisztikai adatok vagy azok átlagai, haem övőbe várható létszámok vagy tartamok, ezért egyetle alkalommal sem mulasztuk el a várható elző haszálatát. Az alapfeltételezés az, hogy a periódus, azaz a 21. aptári év korfüggő halálozási és vádorlásai aráyszámai változatlaok maradak a övőbe. A továbbiakba a táékozódás megköyítésére a táblázatok és ábrák címébe elölük a módszerta voatkozó képletét (például /11/). A következő táblázatok és ábrák csak töredékét teszik ki a kiszámítható eredméyekek. Már a b) kérdés is százezerél több megyés (2 2-as) táblázatot defiiál Magyarország tartózkodási hely (megye) szeriti férfi haladósági tábláa, 21 Érdemes tisztázi az elevezést: em Magyarország megyék szeriti haladósági tábláiról lesz szó. Ezek ugyais megyékét egy-egy haladósági táblát eleteek

6 61 Faragó Miklós (kétállapotút: élet, halál) azzal a feltételezéssel, hogy a lakosok egész életüket a szülőmegyéükbe töltik el, és aak halálozási rátái szerit halak. (Vádorlásról ekkor tehát szó sics.) A haladósági tábla kétféle számítási eredméyel szolgál, egyetle személyre voatkozó valószíűségekkel és várható élettartamokkal, megválaszolva a 2. feezetbe feltett a) és b) kérdést: a) Egy y éves i állapotú személy milye valószíűséggel lesz x évese a állapotba ( y x)? b) Egy y éves i állapotú személy várható értékbe háy évet tölt el x 1 és x 2 éves kora között a állapotba? Az következő eredméyek speciális esetre voatkozak: az a) kérdésél (lásd az 1. táblázatot, illetve a 2. ábrát) y =, míg a b) kérdésél (lásd a 2. táblázatot) y = x1 és x 2 =, azaz y évesek teles hátralévő élettartamát mutatuk be Továbbélők Az 1. táblázat aak a valószíűségét ada meg százalékba kifeezve, hogy egy a sor megyéébe tartózkodó éves 6 év múlva az oszlop megyéébe él. Ez egybe a 1 ilye évesből élve maradottak várható száma. Az összese oszlop tehát a (bárhol) élve maradás valószíűségeit tartalmazza 6 évese. Az ottho, azaz a kiiduló megyébe élve maradás valószíűségét em feltétleül folyamatosa ott tartózkodva tartalmazza a sor főátlóba eső (szürke) celláa. Modellük fotos tuladosága ugyais, hogy kezeli a többszöri bevádorlást ugyaoda. (Lásd a módszertat). Az utolsó oszlop, mely a főátló-elem aráya a sor összesehez képest, egyfata megtartási mutatókét kezelhető. Vastag, illetve vékoy keret elzi itt a kiugróa agy és kis értékeket. Eltekitve a táblázat részletes elemzésétől, kiugró a re és Pest megyébe törtéő (lásd a két keretezett oszlopot) várható agy beköltözés (és egybe élve maradás), továbbá, hogy a feletleebb megyék mellett egyedüli felettkét Győr-Moso-Sopro tarta meg agy aráyba várhatóa lakosait 6 év elteltével. A 2. ábra a) része aak a valószíűségét ada meg százalékba, hogy egy éves budapesti x éves korára az adott megyébe lesz. Ez egybe 1, kezdetbe budapesti tartózkodású évesből az x év múlva az egyes megyékbe tartózkodók várható száma. A b) rész a fordított iráyt mutata. Hasoló ábrapár készíthető a többi 19 megyére.

7 A belföldi vádorlás többállapotú demográfiai aalízise táblázat A 6 évese továbbélők aráya a évesekéhez viszoyítva /14/ (százalék) Megye Baraya Bács-Kisku Békés Borsod-Abaú.- Zemplé Csográd Feér Győr-Moso-Sopro Hadú-Bihar Heves Komárom-Esztergom Nógrád Pest Somogy Szabolcs-Szatmár- Bereg Jász-Nagyku-Szolok Tola Vas Veszprém Zala Összese Ebből az ottho élők aráya 25,1 1,4 2,6 1,4 2,5 1,7 3,2 2,2 2, 1,6 1,8 1,2 2,5 1,8 2,2 2,1,9 1, 1,9 1,2 78,4,32 Baraya 11, 28,2 2,5 1, 1,4 1,6 2,3 2,7 1,2,7 1,5,6 7,8 4,1,9 1, 3,9 1,1 1,6 1,8 76,9,37 Bács 12,1 2,1 26,9 1,6 1,6 5,2 2,8 1,9 1,3,9 1,3,8 1,2 1,3 1,2 2,1 1,5,7 1,5,9 78,2,34 Békés 12,7 1,1 3,2 21,1 1,7 7,1 2,1 3,4 3,1 1, 1,9,6 9,8 1,3 1,4 2,6,7,8 1,5 1, 78,3,27 Borsod 13,7,8 1,7 1,1 24,3 1,3 2, 2,5 3,6 2,8 1,9,9 1,1 1,1 3, 1,7,6,8 1,3,8 76,,32 Csográd 1,6 1,4 5,1 4,1 1,3 3,7 1,8 2, 1,6,8 1,3,6 7,9 1,1 1,2 1,7,8,8 1,1,8 76,8,4 Feér 13,9 1,8 2,7 1,1 1,9 1,5 21,2 2,9 1,5 1, 2,9,8 11,4 2,2 1,3 1,5 2,3 1,2 3,8 1,5 78,3,27 Győr 1,3 1,2 1,5 1,1 1,5 1,3 2, 36,4 1,4,8 2,4,5 6,9 1,3 1,4 1,2,7 2,7 3,1 1,3 79,,46 Hadú 11,2,8 1,5 1,8 3,4 1,4 1,9 2,4 29,7 1,4 1,4,7 8,5 1, 4,5 2,1,5,8 1,1,8 76,7,39 Heves 15,5 1,1 2, 1,3 4,6 1,4 2,2 2,6 2,9 17,4 1,7 2,3 12,5 1,4 1,9 3,4,7,9 1,4,8 77,8,22 Komárom.. 12,7 1,4 1,9 1,4 2, 1,5 3,8 5,4 1,7 1, 25,1,8 1, 1,5 1,3 1,6,8 1,2 2,2 1,1 78,3,32 Nógrád 16,3 1, 1,9 1, 2,5 1,3 2,2 2,5 1,7 3,7 1,7 18,5 16,1 1,3 1,3 2,,6,9 1,5,9 78,8,23 Pest 19,6 1,2 3,1 1,4 2,1 1,6 2,9 2, 1,8 1,6 1,8 1,4 28,3 1,5 1,9 2,4,9,9 1,7 1, 79,2,36 Somogy 13,1 5,1 2,2 1,1 1,6 1,5 3,3 3,1 1,4,9 1,7,7 9,3 18,9 1,2 1,3 2,3 1,6 2,3 5, 77,6,24 Szabolcs... 13,7,8 1,7 1,1 3,8 1,4 2, 2,1 6,4 1,2 1,4,7 1,3,9 24,4 1,6,6,7 1,2,8 76,7,32 Jász 14,1 1, 3,7 2,1 2,3 2,7 2,3 2,3 3,4 2,6 1,7 1,1 12,1 1,3 1,7 19,1,7,8 1,4,8 77,4,25 Tola 12,3 7,2 3,9,9 1,4 2, 4,9 2,1 1,3,9 1,5,6 8,9 3,3 1,1 1,3 19,7 1,1 2,1 1,5 78,,25 Vas 1,7 1,2 1,4,7 1,3 1, 1,9 6,9 1,1,8 1,4,5 6,9 1,6 1,,9,7 29, 4, 5,1 78,,37 Veszprém 12,5 1,5 2,1 1,2 1,6 1,3 4,2 6,8 1,1,9 2,1,7 9, 1,8 1,1 1,2 1,2 3, 22,1 2,9 78,1,28 Zala 11,9 2,1 1,7,9 1,3 1,2 2,2 3,6 1,1,7 1,4,6 7,9 4, 1,1 1,1,9 4,2 3,4 26,7 78,,34 Megegyzés. Helyszűke miatt itt és a továbbiakba a megyék teles evét csak a táblázatok ferovatába közölük. 2. ábra. Továbbélők a kor függvéyébe /14/ Fő 3 a) 1 budapesti évesből b) 1 más megyébe évesből más megyékbe továbbélők e továbbélők Fő Pest megye 25 2 Pest megye korév korév Az ábra szerit a budapestiek várható vádorlásába midkét iráyba Pest megyéé a főszerep. Észrevehető, hogy a 2. ábra a) részé a görbék maximumhelyei 4 év felettiek, a b) részé pedig 4 év alattiak. Ez így értelmezhető: a maximumhelytől

8 612 Faragó Miklós balra a várható bevádorlás még pótola a halálozást, később már em, és elkezdődik a bevádorolt kohorsz várható fogyása. Ez arra utal, hogy a ről kivádoroltak később halak az ú helye, mit a re bevádoroltak. Azaz a fiatalkori tartózkodás helye a meghatározó. A b) rész görbéiek meredeksége 18 éves kor körül hirtele megő, és az ú szite tartósul. Ez a re bevádoroltak esetébe a várható vádorlás itezitásáak övekedését elzi a felőttkor kezdeté. Midez em érvéyes a ről törtéő elvádorlásra, ahol a várható itezitás közel álladó a kor szerit. (Lásd a 2. ábra a) részét.) Várható élettartamok A 2. táblázat az adott sor megyéébe tartózkodó, 3 és 6 éves férfiak várható hátralévő élettartamát mutata az oszlopok megyéibe em feltétleül egyhuzamba eltöltve. Várható hátralévő élettartamok megyék szerit /19/ 2. táblázat Megye Baraya Bács-Kisku Békés Borsod-Abaú-Zemplé Csográd Feér Győr-Moso-Sopro Hadú-Bihar Heves Komárom-Esztergom Nógrád Pest Somogy Szabolcs-Szatmár-Bereg Jász-Nagyku-Szolok Tola Vas Veszprém Zala Összese Ebből ottho (%) éves korba 34,8,9 1,5,9 1,6 1, 2,2 1,3 1,2 1, 1,2,8 15,7 1,1 1,4 1,3,5,6 1,2,7 7,8 49 Baraya 7,7 38,8 1,4,5,8 1, 1,4 1,7,7,4,8,3 4,4 3,,5,5 3,,6,9 1,1 69,8 56 Bács-Kisku 8,7 1,4 37,4 1, 1, 3,6 1,8 1,1,7,6,8,4 6,3,8,7 1,4 1,1,4,9,5 7,6 53 Békés 9,3,6 2,1 32,9 1, 5,1 1,2 2,3 2,1,6 1,3,3 6,1,8,8 2,,4,4,9,6 71, 46 Borsod 9,6,5,9,7 36,6,8 1,2 1,6 2,5 2,2 1,1,6 5,9,6 2, 1,,3,4,7,5 69,6 53 Csográd 7,4,9 3,5 3,,8 4,8 1, 1,1 1,,5,8,3 4,6,6,7 1,,5,5,6,4 7, 58 Feér 1, 1,2 1,7,6 1,2,9 33,1 1,8,9,6 2,2,4 7,1 1,5,7,8 1,7,6 2,8,9 7,8 47 Győr... 7,2,7,8,7,8,7 1,2 44,5,8,5 1,6,3 3,8,7,9,7,5 1,7 2,1,8 71, 63 Hadú-Bihar 7,8,4,8 1,4 2,3,8 1,2 1,5 39,7,9,8,4 5,,5 3,1 1,5,3,4,6,4 7, 57 Heves 11,3,7 1,1,8 3,3,8 1,3 1,8 2, 3,4 1,1 1,7 7,8,9 1,2 2,6,4,4,8,4 7,8 43 Komárom 9,,9 1,1,9 1,1 1, 2,6 3,6 1,1,6 36,5,5 6,3 1,,8 1,,5,6 1,4,6 71, 51 Nógrád 11,5,5 1,,6 1,8,7 1,4 1,6,9 3, 1,1 31,2 11,,8,7 1,3,3,5,9,5 71,2 44 Pest 16,3,7 2,,9 1,3 1, 1,9 1,2 1,1 1, 1,2,9 35,8,9 1,2 1,6,5,5 1,1,6 71,6 5 Somogy 9,4 3,9 1,3,7 1,,9 2,1 1,9,9,5 1,,3 5,6 31,6,7,8 1,6,9 1,6 3,7 7,5 45 Szabolcs 9,7,4,9,6 2,8,9 1,2 1,3 4,7,7,9,4 6,2,5 36,1 1,,3,4,7,4 7,1 51 Jász- 1,1,6 2,5 1,6 1,6 1,8 1,4 1,4 2,4 2,1 1,2,7 7,6,8 1,1 31,8,4,5,8,4 7,7 45 Tola 8,7 5,5 2,7,5,8 1,3 3,9 1,2,8,5,9,3 5,2 2,3,7,8 31,9,7 1,4,9 71, 45 Vas 7,7,7,8,4,7,5 1,1 4,8,7,5,9,2 3,8,9,6,5,5 38,4 3, 3,7 7,3 55 Veszprém 8,9,9 1,2,7 1,,8 3, 4,8,7,5 1,5,4 5,4 1,,6,7,8 2,1 33,6 2, 7,7 48 Zala 8,6 1,3,9,5,7,6 1,4 2,2,7,4,8,4 4,4 3,1,6,6,5 2,9 2,4 37,8 7,9 53 (A táblázat folytatása a következő oldalo.)

9 A belföldi vádorlás többállapotú demográfiai aalízise 613 (Folytatás.) Megye Baraya Bács-Kisku Békés Borsod-Abaú-Zemplé Csográd Feér Győr-Moso-Sopro Hadú-Bihar Heves Komárom-Esztergom Nógrád Pest Somogy Szabolcs-Szatmár-Bereg Jász-Nagyku-Szolok Tola Vas Veszprém Zala Összese Ebből ottho (%) 3 éves korba 25,8,3,7,4,7,4,9,4,4,4,4,4 7,5,5,5,5,2,3,6,3 41,8 62 Baraya 2,7 3,3,6,3,2,2,4,5,2,1,4,2 1,5 1,1,1,2 1,2,2,3,4 41,1 74 Bács-Kisku 2,8,5 3,1,3,3 1,3,7,4,2,2,2,2 2,2,2,2,6,4,1,3,2 41,4 73 Békés 3,4,3,6 28,5,5 2,,4,6,7,2,4,1 1,9,3,3,7,1,1,3,2 41,6 68 Borsod 4,,2,3,2 27,8,2,4,6,8,8,5,2 2,3,2,8,4,1,2,3,2 4,2 69 Csográd 2,3,3 1,3 1,1,2 31,8,4,4,3,2,2,1 1,5,2,2,3,2,2,2,2 41,5 77 Feér 3,8,3,7,3,4,3 28,,5,3,2,7,2 2,7,6,2,3,6,2 1,,3 41,6 67 Győr... 1,8,2,3,3,3,3,4 34,2,2,2,6,1 1,1,3,2,2,1,6,9,3 42,3 81 Hadú-Bihar 2,5,1,2,4,8,2,4,5 31,2,3,3,1 1,7,2 1,2,5,1,1,2,2 41,3 76 Heves 4,2,2,3,3 1,5,3,4,4,7 26,7,3,6 2,9,3,3 1,,1,2,3,2 41,1 65 Komárom... 3,1,3,3,3,5,3 1,1 1,4,3,2 29,6,1 2,1,3,2,3,2,3,5,2 41,6 71 Nógrád 4,9,2,3,2,4,2,5,6,3 1,1,3 26,2 4,9,3,2,4,1,2,3,2 41,8 63 Pest 6,8,3,7,3,5,3,8,3,4,4,4,4 29,6,4,4,7,2,2,4,2 43,6 68 Somogy 3,5 1,3,5,3,3,3 1,,7,3,2,4,2 2, 26,1,2,3,8,4,5 1,7 4,8 64 Szabolcs 3,7,1,3,2,9,2,4,4 1,6,2,3,1 2,3,2 29,1,3,1,1,2,2 4,9 71 Jász... 3,7,2 1,,5,5,5,5,5,8,6,3,3 3,2,3,3 27,9,1,1,3,2 41,7 67 Tola 2,8 2,2 1,,1,2,4 1,3,5,2,2,3,1 1,7 1,1,1,3 28,4,2,3,3 41,7 68 Vas 2,3,2,2,1,3,2,3 1,5,1,1,2,1 1,1,3,1,1,1 31,5,9 1,7 41,4 76 Veszprém 3,2,3,4,2,3,3 1,4 1,8,1,2,5,1 1,9,4,2,3,3,7 28,3,8 41,8 68 Zala 2,7,4,3,2,2,2,4,7,2,1,2,1 1,5 1,1,2,2,2 1,2,8 31,1 42, 74 6 éves korba 14,49,3,9,6,5,5,2,4,3,7,8,5 1,28,13,6,7,4,6,15,5 17,1 85 Baraya,14 15,56,6,2,1,3,3,1,3,,1,,5,2,3,1,12,1,1,4 16,4 95 Bács-Kisku,25,5 15,67,5,3,15,6,1,2,3,2,1,16,1,1,5,5,1,3,3 16,7 94 Békés,18,2,6 16,21,1,18,2,2,6,1,3,1,12,1,1,8,,,2,1 17,1 95 Borsod...,25,1,1,1 15,,1,4,4,11,1,1,1,13,2,8,3,1,2,2,2 15,9 94 Csográd,15,3,15,17,1 16,32,1,2,2,,1,,7,1,,5,1,,2,1 17,1 95 Feér,51,4,8,1,3,3 15,35,2,2,3,8,1,23,7,1,3,6,1,14,3 16,8 91 Győr...,17,2,1,1,1,1,1 16,58,1,1,5,,8,3,1,1,,6,17,4 17,3 96 Hadú-Bihar,18,1,2,6,11,4,2,2 15,96,5,2,1,15,2,12,2,1,1,2,1 16,9 95 Heves,38,,7,3,19,3,2,2,4 15,4,1,8,23,2,5,1,,2,1,2 16,4 92 Komárom...,34,3,2,4,4,5,9,13,2,2 15,61,1,18,5,3,4,2,1,5,2 16,8 93 Nógrád,48,3,3,2,4,5,2,,1,21,4 14,74 1,5,3,3,8,1,,1,3 16,9 87 Pest 1,2,3,1,5,4,3,12,4,4,5,5,9 17,6,6,3,11,2,2,6,4 19,3 89 Somogy,48,14,6,1,3,2,11,3,2,3,5,,2 14,2,,4,11,3,1,36 16, 88 Szabolcs..,29,1,2,,11,,2,1,18,2,,,17,2 15,27,4,,,2,1 16,2 94 Jász...,33,1,8,7,2,1,4,3,6,6,2,2,35,3,4 15,94,1,1,4,2 17,3 92 Tola,27,24,13,,1,3,18,,2,2,3,2,11,18,,4 15,78,2,4,7 17,2 92 Vas,22,1,,,3,3,4,22,,1,1,,8,3,1,1,1 15,4,17,42 16,3 92 Veszprém,51,3,1,1,4,4,16,21,2,2,4,1,18,5,2,2,1,18 15,18,22 17, 89 Zala,26,4,3,1,1,1,6,6,1,2,4,2,11,17,,1,1,18,17 16,7 17,3 93

10 614 Faragó Miklós A főátló elemei a kiidulási helye eltöltött várható időtartamok. A sorösszegek yilvá a férfiak teles hátralevő élettartamát adák, kiidulási megyékét. Ezek alapvetőe külöbözek a klasszikus, megyék szeriti haladósági táblák várható élettartamaitól, ugyais utóbbiak kiszámítása azo a feltételezése alapul, hogy az illető egész életét ugyaabba a megyébe az ottai ráták szerit halva éli le. Ezért csak ilye emberekre lehet érvéyesek tekitei (!). A klasszikus, megyék szeriti várható élettartamokéhoz képest feltűőe kicsiy az összese oszlop elemeiek szóródása a 2. táblázatba: a éves korba ezek 69,54 és 71,86 százalék közé esek. A kiiduló megyék szeriti kis szóródás azt eleti, hogy egy éves ember, a periódus statisztikai adataiból becsült vádorlási ráták szerit végigvádorolva az összes megyé, midegyikbe az ottai halálozási ráta szerit halva, közel azoos hosszú életet él, bármelyik megyéből is idul. Ezt yilvá érdemesebb sok, moduk ezer ember vádorlásáak átlagakét értelmezi, hisze egyetle ember em képes egykét megyeváltásál többre élete sorá. A hosszú redelkezésre álló időtáv mideesetre elősegíti a kiegyelítődést. Ezért a relatív szórás (az összese oszlop elemeié) ő a kiiduló korral:, 3 és 6 év eseté redre:,8;,17;, A 21. év elei férfi épesség várható belföldi vádorlása A módszertaból kitűik, hogy a várható élettartamok em függeek a vizsgált épesség koreloszlásától, haem megegyezőe a klasszikus haladósági táblák elméletével kizárólag az átlépési (esetükbe vádorlási és halálozási) rátáktól. Azaz két külöböző koreloszlású, de azoos átlépési rátákkal redelkező épességre számított várható élettartamok azoosak. A 2.2. alfeezetbe kilépük az elmélet eddigi kereteiből, már em egy főre utó értékeket számítuk, haem a teles vizsgált 21. év elei épességből életbe maradt elvádoroltak várható számát és a vádorlással (egyik megyéből a másikba) átvitt életévek várható számát. Ez utóbbit oly módo, hogy az eddig egy főre kohorszokét kiszámított továbbélési valószíűségeket, valamit várható élettartamokat egyszerűe megszorozzuk a vizsgált épesség kiiduló állapotbeli kohorszlétszámaival és ezeket összegezzük. (Lásd a /21/ /26/ képleteket.) Továbbélők Ez a szakasz a 21. év elei kiiduló épességből a halálozás és a belföldi vádorlás yomá kialakult várható épességszámokat tartalmazza, az eltelt idő függvéyébe. Azaz em veszi számba sem a várható születésszámokat, sem a külföldi vádorlást. Így az ebbe az értelembe zárt redszerek tekithető ország várható

11 A belföldi vádorlás többállapotú demográfiai aalízise 615 megyékéti épességszámai az esetleges kezdeti a pozitív bevádorlási egyelegek köszöhető övekedés utá idővel -ra csökkeek. A 3. táblázat helybe maradók és bevádoroltak része a kiiduló 21. év megyei épességeiből a t év múlva helybe maradt (vagy visszaköltözött), illetve a bevádorolt életbe maradók számát tartalmazza. Az eyiből sor a t = pillaathoz tartozó kiiduló épességeket tartalmazza. Az összese rész a helybe maradók és bevádoroltak összege (marad+ö), azaz a 21. évi épességből életbe levő várható megyei épességeket tartalmazza. A kivádoroltak a már más megyékbe költözött és ott életbe levők számát mutata. A 21. évi épességből továbbélők száma az idő függvéyébe /22/ (ezer fő) 3. táblázat Év Bara-ya Bács-Kisku Békés Borsod-Abaú- Zemplé Csográd Feér Győr-Moso-Sopro Hadú-Bihar Heves Komárom-Esztergom Nógrád Pest Somogy Szabolcs-Szatmár- Bereg Jász-Nagyku- Szolok Tola Vas Veszprém Zala Eyiből Helybe maradók Bevádoroltak Összese (A táblázat folytatása a következő oldalo.)

12 616 Faragó Miklós (Folytatás.) Év Bara-ya Bács-Kisku Békés Borsod-Abaú- Zemplé Csográd Feér Győr-Moso-Sopro Hadú-Bihar Heves Komárom-Esztergom Nógrád Pest Somogy Szabolcs-Szatmár- Bereg Jász-Nagyku- Szolok Tola Vas Veszprém Zala Kivádoroltak A 3. ábra a) része a 3. táblázat összese értékeit ábrázola. A 3. ábra b) része szerit és Pest megye várható épességét óval agyobb aráyba öveli a várható ettó bevádorlás, mit Borsod-Abaú-Zemplé megyéét. 3. ábra. A 21. évi épességből továbbélők száma az idő függvéyébe /22/, /23/ a) Az összes megyére bevádorlással Fő Pest megye év Fő b) Három megyére bevádorlással és aélkül Pest Pest Borsod-Abaú-Zemplé Borsod-A.-Z. Borsod-Abaú-Zemplé Szaggatott: bevádorlás élkül Szaggatott: bevádorlás élkül év

13 A belföldi vádorlás többállapotú demográfiai aalízise Vádorlások várható számai A várható vádorlási számok általába agyobbak (de semmiképp em kisebbek) a vádorolt személyek várható számáál, hisze előfordulhat többszöri bevádorlás egy megyébe. A 3. táblázat be- és kivádorolások értékei azoba em csupá ezért kisebbek a 4. táblázat megfelelő értékeiél, haem mert az előbbiek a bevádoroltak közül csak az életbe maradottakat tartalmazzák. A 21. évi épesség megyékéti várható be- és kivádorlásai számai t év alatt /24/ (ezer fő) 4. táblázat Év Baraya Bács-Kisku Békés Borsod-Abaú- Zemplé Csográd Feér Győr-Moso-Sopro Hadú-Bihar Heves Komárom-Esztergom Nógrád Pest Somogy Szabolcs-Szatmár- Bereg Jász-Nagyku- Szolok Tola Vas Veszprém Zala Bevádorlások Kivádorlások A 4. táblázatot a 4. ábra, a 8 t = év alatt kumulált be- és kivádorlásokat az 5. ábra (a obb oldali a megye épességével osztva) eleíti meg. A 4. táblázat és a 4. ábra szerit és Pest megye várható bevádorlási számai 8 év alatt 7 ezer, illetve 65 ezer egy agyságreddel agyobbak a többiekéél. Nem sokkal kisebbek azoba a várható kivádorlási számaik sem: 5 ezer, illetve 44 ezer. A többieké 5 ezer és 12 ezer közé esik. Nagy, de kiegyelített, alig pozitív várható vádorlást mutat Feér megye. A három midkét iráyba legkisebb várható vádorlású megye Nógrád, Tola és Vas. Aráyaiba is agy

14 618 Faragó Miklós bevádorlás várható Győr-Moso-Soproba, Zalába és Pest megyébe, és aráyaiba is agy a ettó várható kivádorlása Borsod-Abaú-Zempléek, Szabolcs- Szatmár-Beregek és Nógrádak. 4. ábra. A 21. évi épesség megyékéti várható be- és kivádorlásai számai t év alatt /24/ a) Bevádorlás b) Kivádorlás Fő Fő Pest megye Pest megye korév korév 5. ábra. A 21. évi épesség megyékéti várható be- és kivádorlási számai t = 8 év alatt /24/ Fő 7 6 a) Bevádorlás b) Kivádorlás,9,8,7 Pest 5 Pest,6 Nógrád Kivádorlás 4 3 Kivádorlás,5,4 Borsod-A.-Z., Szabolcs Zala,3 Győr-M.-S. 2 1 Borsod-A.-Z. Feér,2, fő Bevádorlás,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Bevádorlás Az 5. b) ábra azt a eleséget mutata, hogy még az egy főre utó agy, illetve kicsi várható kivádorlási számok is gyakra agy, illetve kicsi várható bevádorlási számokkal árak együtt (az abszolút számokra ez természetes, lásd a bal oldali ábrát). Megegyezzük, hogy az 5. a) ábrá az x és y koordiáták összege megegyezik, azaz a potok súlypota az átlóra esik, hisze a kivádorlások és bevádorlások megyékéti összege yilvá egyelő, zárt redszerről lévé szó.

15 A belföldi vádorlás többállapotú demográfiai aalízise Átvitt várható élettartamok Egy a 21. év eleé y éves, i megyébe tartózkodó ember hátralévő várható élettartamából a ( i) megyébe eltöltött része tekithető az i megyéből a -be bevitt várható tartamak. (Ilye értékeket tartalmazak a 2. táblázat egyes sorai, kivéve a főátlóelemeket, azok ugyais a kiidulási megyébe bet eltöltött várható tartamok.) Ha ezt az értéket megszorozzuk a 21. év eleé i megyébe tartózkodó y évesek számával, és összegezzük mide korra és megyére, akkor megkapuk a teles 21. év elei, - kívüli épesség által vádorlással a megyébe bevitt várható tartamot. Hasolóa lehet kiszámítai a 21. év eleé -be tartózkodók bet (-be) eltöltött várható élettartamát, és kit, más megyékbe összese eltöltött várható élettartamát. Utóbbit azoba em korrekt kivitt várható tartamak evezi (bár a továbbiakba mégis ezt haszáluk), ugyais a megyéből kivádoroltak ú helye (más halálozási ráták szerit) eltöltött várható élettartama em egyezik meg azzal, ami akkor lee érvéyes, ha itt maradtak vola, azaz az itt maradt azoos korúak várható élettartamával. A 21. évi épesség átvitt várható élettartamai /26/ 5. táblázat Emberév Baraya Bács-Kisku Békés Borsod-Abaú- Zemplé Csográd Feér Győr-Moso-Sopro Hadú-Bihar Heves Komárom-Esztergom Nógrád Pest Somogy Szabolcs-Szatmár- Bereg Jász-Nagyku- Szolok Tola Vas Veszprém Zala T-behozott T-bet eltöltött T-kivitt Tartamaráy T-be/T-bet eltöltött,77,3,36,33,25,35,53,4,3,44,43,42,68,49,24,41,39,35,45,4 T-ki//T-bet eltöltött,56,38,41,47,46,34,52,3,37,59,44,59,49,57,48,55,52,37,5,41 A behozott, a kivitt és a bet eltöltött várható élettartamot tütettük fel a 5. táblázat első három sorába és a 6. a) ábrá. Az utolsó sor mely összeveti a máshol eltöltött várható tartamokat a helybe maradottakéval, amely ily módo a megyék megtartó eree egy úabb mérőszámáak tekithető (ebbe az esetbe a 21-es férfi épességre voatkoztatva) az iméti meggodolások miatt csupá táékoztató ellegű.

16 62 Faragó Miklós A 6. b) ábra alapá a relatíve (a bet eltöltötthöz képest) agy behozott várható tartammal redelkező megyék: és Pest megye; a kis behozott várható tartammal redelkezők: Borsod-Abaú-Zemplé és Szabolcs-Szatmár-Bereg. A agy, illetve kis kivitt várható tartammal redelkezők: Heves, Nógrád, Somogy,, Jász-Nagyku-Szolok, illetve Győr-Moso-Sopro és Csográd. A kivitelhez képest eletőse agyobb a behozatal e és Pest megyébe, fordítva pedig Békés, Heves és Nógrád megyébe. Emberév ábra. A 21. évi épesség átvitt várható élettartamai /26/ a) A bet eltöltöttel együtt T-behozott T-bet eltöltött T-kivitt Baraya Bács-Kisku Békés Borsod-Abaú-Zemplé Csográd Feér Győr-Moso-Sopro Hadú-Bihar Heves Komárom-Eesztergom Nógrád Pest Somogy Szabolcs-Szatmár-Bereg Jász-Nagyku-Szolok Tola Vas Veszprém Zala b) A bet eltöltötthöz viszoyítva,9,8,7,6 T-behozott/T-bet eltöltött T-kivitt//T-bet eltöltött,5,4,3,2,1, Baraya Bács-Kisku Békés Borsod-Abaú-Zemplé Csográd Feér Győr-Moso-Sopro Hadú-Bihar Heves Komárom-Eesztergom Nógrád Pest Somogy Szabolcs-Szatmár-Bereg Jász-Nagyku-Szolok Tola Vas Veszprém Zala 3. Módszerta Az Általáos modell c. alfeezetbe egyetle egyed véletleszerű mozgását íruk le lehetséges állapotok között, a véges állapotterű, ihomogé ideű Markovfolyamatok elméletével. A leírásba közpoti szerepet átszaak az állapotok közötti

17 A belföldi vádorlás többállapotú demográfiai aalízise 621 korfüggő átmeeti valószíűségek ezekből számítuk ki az összes többi ú. táblafüggvéyt, melyeket átmeeti rátákból számítuk ki. Utóbbiakat ismertek tételezzük fel, azoba ezekek statisztikai esetszámokból a periódus állapotokéti korfüggő épességszámaiból és az egyes állapotok közötti korfüggő átlépési számokból törtéő becslését az utolsó alfeezetre hagytuk. Az átmeeti ráták becslése egy izgalmas területe a demográfiáak Az általáos modell A továbbiakba az álló, vastagított betűk valós mátrixokat elölek, x, y, h, t, τ valós számokat i,, k, pedig egészeket. A mátrixok közül a hullámtetősek voatkozak a vizsgált épességre, a többi tábla függvéy. Az állapotokat, 1, 2,, -el elölük, a halálak felel meg, bármelyik állapotból bármelyikbe át lehet lépi, kivéve a -ból, ahoa sehova sem. Legye ξ t valószíűségi változó és eletse a modellbeli személy állapotát a t időpotba. Feltesszük, hogy a ξ t sztochasztikus folyamat Markov-folyamat, azaz telesül a Markov-tuladoság: ( t = u = i1 u = i2 u = i) = ( u = i) Pr,,..., Pr ξ ξ ξ ξ ξ ( u u u t) < 2 <... < <. /1/ Feltételezzük, hogy az egyes eseméyek valószíűsége a modellbe csak a személy korá keresztül függ az időtől, azaz explicite em függ tőle, ezért az idő ekvivales a korral, és az idő elölésére a megszokott t helyett x-et íruk. Kolmogorov első egyelete véges állapotterű Markov-folyamatokra: dp i, xx, + h k, i, k i, = x+ hpx, x+ h, px, x= i, dh k = μ δ ( h>, i, = 1,2,..., ), /2/ i, ahol μ x az átmeeti itezitás x éves korba az i állapotból a -be, melyek eletése: μ x dx aak a valószíűsége, hogy a személy x + dx évese -be lesz, feltéve, i, i, hogy x évese i-be tartózkodik. Speciálisa μ x a halálozási itezitás az x korba, i, és az i állapotba, továbbá μ x = mide -re (ez idő tát). A p x, x + hátmeeti valószíűség aak a valószíűsége, hogy a személy x + h évese -be lesz, feltéve, hogy x évese i-be va. A /2/ differeciálegyelet-redszer midegyik sora a teles valószíűség tétele azzal a megszorítással, hogy az átmeeti itezitások em függ-

18 622 Faragó Miklós ek explicite x-től (csak a későbbi x+ h-tól ). Mivel esetükbe egy állapotból vagy megyük, vagy maraduk, vagy meghaluk, feáll:,, k μx dx = 1 μ x dx és k = k i, i pxx, + h= 1 q x, x + h, /3/ k = 1 ahol i q x x + h, az x évese i állapotba tartózkodók haláláak valószíűsége h éve belül. Ezzel /2/ mátrix alakba: ahol (, + )) dp x x h dh ( x h) ( x, x h), ( x, x) = μ + P + P = I, /4/ μ ( x) 1, 1,2 1, μx μx... μx = 2,1 2, 2, μx μx... μ x = =,1,2, μx μx... μ x = 1,1 1,2 1, px, x hpx, x h... p + + x, x+ h 2,1 2,2 2, px, x+ hpx, x+ h... px, x+ h P, + =. /5/,1,2, px, x+ hpx, x+ h... px, x+ h és ( xx h) Ily módo em került a mátrixokba a. sor és oszlop, továbbá μ sorösszegei az x korhoz tartozó halálozási itezitást adák a sorak megfelelő állapotba, P soröszszegei pedig a halál valószíűsége híá 1-et. Ekvivales átírása /4/-ek: Ha /4/-be μ folytoos [ x, x h] h (, + ) = ( + ) (, + ) P x x h I μ x τ P x x τ dτ. /6/ + - és ugyaott P is az a második változóába, akkor (az itegrál tuladosága és a Bolzao Weierstrass-tétel szerit) va olya m x, h, melyre telesül /7/ és /8/. ( ) ( x ) m ( x h) ( x ) ( i ) mi μ + τ, max μ + τ, = 1, 2,..., /7/ τ h i, i, τ h i,

19 A belföldi vádorlás többállapotú demográfiai aalízise 623 (, ) (, ) (, ) h P x x+ h = I m x h P x x+τ dτ /8/ Ha előíruk, hogy μ () t legye kostas a [ t h] akkor /8/-ből : (, + ) dp x x t dt μ( t) m ( x, h) ( t h) itervallumo, azaz, ha, /9/ ( x, h) ( x, x t), ( x, x) ( t h) = m P + P = I. /1/ A /1/ kezdetiérték-feladat egyértelmű megoldása: Ha azoba /9/ helyett ( x, x+ t) ( x, x+ t) = exp t ( x, h) ( t h) P m. /11/ P lieáris [, h]- ezt a feltételezést haszála a klasszikus elmélet akkor /8/-ból közvetleül következik az ismert képlet: hisze a liearitást kifeező ( x, x+ h) = + ( h/2 ) ( x, h) 1 ( h/2 ) ( x, h) P I m I m, /12/ h h P ( x, x+ t) = + ( x, x+ h) 2 I P t h /13/ azoosság obb oldalát /8/ obb oldalába helyettesítve megkapuk /12/-t. Ez azoba i, csak elegedőe kis h-kra (és így mx, h -kre) ad megfelelő értéket P( x, x+ h) -re, ellekező esetbe a tapasztalatok szerit akár olya mértékű torzítást is eredméyezhet, hogy a sorösszegek eletőse eltérek 1 q x, x + h-től, esetleg egatív valószíű- i ségek is megelehetek. (Erre Nour Suchidra [1984] adak példát.) Ezért mi az /9/ /11/ számítási módszert választuk, az átmeeti valószíűségek mátrixát /11/-gyel defiiáluk a klasszikus /12/ képlet helyett. E módszer tehát a második változóba P szakaszokéti liearitása helyett m szakaszokéti kostas voltát íra elő a modellbe, m ( x, h) tehát az [ x, x+ h] itervallum mide potába érvéyes, álladó átmeeti ráta. (Lásd a /9/ képletet.) Ekkor /11/ szerit P szakaszokét expoeciális lesz a második változóba.

20 624 Faragó Miklós A P( x, x+ h) i, yx, -kből a táblázat további függvéyei is kiszámolhatók h lépésekét. 1 Legye ugyais l aak a valószíűsége, hogy egy személy x évese a állapotba va (él), feltéve, hogy y évese az i állapotba volt. Jelöle z az utolsó koritervallum kezdetét, és z x legye osztható h-val. Ekkor az l yx, 1,1 1,2 1, lyx, lyx,... l yx, 2,1 2,2 2, lyx, lyx,... l yx, =,1,2, lyx, lyx,... lyx, ( y x), /14/ továbbélési mátrixok a teles valószíűség tétele alapá előállak az alábbi rekurzió (h éves) lépésekéti alkalmazásával y+ khalakú x-ekre (k egész): ( ) l l P,, yx, + h= yx, x, x+ h l I ( y x z h) yy =. /15/ Jelöle L yxh,, az ú. megélési mátrixot, melyek Lyxh,, eleme egy y évese az i állapotba élő személy által x és x + h kor között a állapotba leélt évek várható (yilvá h-ál kisebb) számát eleti. Haszálva /15/-öt, /11/ alapá itegrálva kapuk, hogy: h h yxh,, yx, + t yx, yx, i, (, ) (, ) 1 (, ) ( y x z h), /16/ L = l dt= P xx+ t l dt= l m xh I P xx+ h kivéve az utolsó, félig yílt [ z, ) itervallumra, amelye az átmeeti valószíűségeket /11/-hez hasolóa expoeciálisak feltételezzük kostas átmeeti itezitással: ( z, z+ t) = exp t ( z) ( t) P m. /17/ Ie (kéyelmi okokból /19/ számára haszálva a h idexet): ( ) ( ) 1 yzh,, = zz+ t yz, dt= z yz, L P, l m l. /18/ 1 h Megegyezzük, hogy a számítás sorá a ( x, h) ( x, x + h) = m P e = h ( x, h) / i! i= m Taylor-sorfetés első hat taga elegedőe potosak bizoyult. i

21 A belföldi vádorlás többállapotú demográfiai aalízise 625 Végül a modellbe y korba várható élettartam az x ( y) kor fölött: z yx, = ykh,,. k= x step h e L /19/ i, A mátrix eyx, eleme egy y évese i állapotba élő személy által x éves kora utá állapotba (em feltétleül egyhuzamba!) leélt emberévek várható számát eleti. (Formálisa e yx, is függ h-tól, mit lépésköztől, de fogalmilag em, ezért elhagytuk a h idexet.) Áttérve a vizsgált épesség becslésére: a korábbi képletekbe (/6/-tól kezdve) m x, h helyébe a vizsgált épesség x és x + h kor közé eső tagaira voatkozó ( ) m ( x, h) átmeeti ráta kerül, /18/-ba pedig m ( z) helyébe a z kor fölöttieké, ( z) m. (E ráták kiszámítását a következő pot tartalmazza.) Az emiatt megváltozott változók hullámtetőt kaptak. Ezzel: ( xh, ) 1 ( xx, h) és = ( z) 1 L m I P + l yxh,, yx, L m l, /18 / yzh,, yz, és a vizsgált épesség egy tetszőleges y éves tagáak becsült, x ( y) várható élettartama: kor fölött z e = L. /19 / yx, ykh,, k= x step h A lieáris átmeeti valószíűségű modellbe az előzőekhez képest a külöbség az, hogy /11/ helyett a klasszikus /12/-t haszálva, és /16/-ba /13/ szerit itegrálva a megélési mátrixra /18/ helyett a haladósági táblákál megszokott alakú h (, ) L = l dt = P x x + t l dt = yxh,, yx, + t yx, h h h = + + = + 2 I P l l l 2 ( xx, h) yx, ( yx, yx, + h) /2/ formula áll elő, amibe m ( x, h) helyébe most is m ( x, h) -t írva (P /12/-beli kifeezésébe) kapuk:

22 626 Faragó Miklós L h l + l 2 ( + ) ( y x z h ) és = ( z) 1 yxh,, yx, yx, h L m l. /2 / yzh,, yz, (Az utolsó itervallumra a lieáris modell is az expoeciális képletet haszála.) A várható élettartam becslését most is /19 / ada A vizsgált (21. évi) épesség várható vádorlása A most következő alfeezet már kilép a haladósági táblák elméletéből, mely egy főre voatkoztatott várható értékeket számít ki. Az ismert koreloszlású periódus elei épesség továbbélőit, várható vádorlási számait és a vádorlással átvitt élettartamok várható számát állítuk itt elő. E célból az eddig már kiszámított egy főre voatkozó továbbélési valószíűségeket és várható élettartamokat foguk kohorsz létszámokkal szorozi, ismét kihaszálva feltevésüket, hogy a épesség külöböző tagaira voatkozó eseméyek egymástól függetleül, és kohorszo belül azoos valószíűséggel következek be. a) Jelöle Rs ( y ) a periódus eleé y betöltött korú (azaz most már y egész szám) s állapotú épesség létszámát, azaz a 21. év eleé az s megyébe élő y évesek kohorszlétszámát. Közülük s ( ), s yx, R y l /21/ lesz x évese, azaz x y év múlva várhatóa -be. /21/ tehát a periódus elei épességből (hely és kor szerit) a továbbélők számát ada meg (hely és kor szerit). A teles periódus elei épességből t év múlva -be élve található bevádoroltak vagy precízebbe a periódus eleé még - kívüli épességből t év múlva -be továbbélők várható száma, továbbá a -be található (végig ottmaradó vagy időközbe viszszatért) továbbélők és a -ből kivádorolt (máshol) továbbélők várható száma /21/ megfelelő szummázásaival: * s, λ () t = R ( y) l ; () ( ) + z t y s= 1 s s yy, + t z t * i, + () t = R ( y) l yy, + t y i= 1 i z t,, + t = R y l yy, + t y λ ; λ. /22/

23 A belföldi vádorlás többállapotú demográfiai aalízise 627 (A + az y korévekre törtéő szummázást eleti. Állhata helyette például bármilye [ y1, y 2] koritervallum, akkor az abba eső korú kiiduló épességből továbbélők számát adá a képlet.) Végül is a periódus elei épességből -be továbbélők száma (azaz a várható ettó vádorlással együtt): z t s,, * Rs( y) l y, y+ t = λ+ ( t) + λ + ( t). /23/ y s= 1 b) A teles periódus elei épességből t év alatt törtéő bevádorlások várható száma i-ből -be, illetve a -be és -ből törtéő vádorlások várható száma összese, redre: t z τ i,, v+ t = Pi, y+ Rs y l y, y+ τ τ = y= s= 1 s i * i, () ( τ ) ( ) ( i ) ; v () t v () t *, + + i= 1 i i () () = ; + + i= 1 i v t = v t. /24/ Ezek tehát em vádorló személyek várható számai: egy személy többször is be- s i Rs y l y, y+τ a vádorolhat ugyaoda. /24/ első formulááak rövid magyarázata: ( ), kezdetbe y évesekből τ év múlva az i állapotba élők várható száma. Ezt megszorozva az i-ből -be átlépés valószíűségével kapuk meg a τ évbe i-ből -be átlépések várható számát. Elletétbe /22/-gyel, ahol az időugrás -ról t-re egy lépésbe elvégezhető, itt évete kell összegezi az áramlást -tól t-ig. A 21. év eleé s megyébe tartózkodó Rs ( y ) számú y éves férfi által x éves kor fölött leélt emberévek várható száma -be: ( ) s, s, yx, s yx, s= 1 T = R y e. /25/ Ezzel kiszámítható az átvitt élettartamok várható száma, azaz a megyébe behozott, kivitt és bet eltöltött várható összes életévek száma ( kor fölött). A behozott éveket, azaz az összes, 21. év eleé - kívüli megyékbe tartózkodó R y számú y éves férfi által x éves kor fölött -be leélt emberévek várható szá- s ( )

24 628 Faragó Miklós mát ada /26/ első formuláa. Hasoló összegzéssel adódik a 21. év eleé megyébe tartózkodók - kívül, illetve -be eltöltött várható összes élettartama: *, +, s yy, y s= 1 s s = ( ) ; ( ) T R y e * i, +, i y, y y i= 1 i = ; ( ) T R y e,, +, yy, y T = R y e. /26/ 3.3. Az átlépési ráták kiszámítása A következő módszerta általáosítása a Huma Mortality Database (Wilmot et al. [27]) által halálozási ráták kiszámítására kifelesztettek, ugyais egy épesség tagaiak egy adott időszakba, a periódusba tetszőleges véges számú állapot (melyek egyike a halál) között észlelt korfüggő átlépési esetszámaiból a épességre voatkozó korfüggő átlépési rátákat számíta ki. (Ebbe a dolgozatba speciálisa az egyes állapotok egyes megyékbe tartózkodást eletek, az átlépési számok pedig az ú. vádorlási számok.) Az állapotokat, 1, 2,, -el elölük, a halálak felel meg, bármelyik állapotból bármelyikbe át lehet lépi, kivéve a -ból, ahoa sehova sem. Az ábrá az i-edik állapothoz tartozó ú. Lexis-diagram látható. Mide i > -hoz tartozik egy ilye ábra. A ferde voalhoz tartozó személy a t 1 (aptári) év eleé x 1 egész évese lépett a k állapotból az i-be (az ábra síkába), mad a t év közepé x egész évese átlépett -be (és aak az ábráába). A voal hossza 2 -val osztva: az i -be eltöltött időtartam (a égyzet átlóa épp egy évet elet). A vizsgált épesség mide egyedéhez tartozik egy életvoal, amely egy egyees szakasz, mely részszakaszokra va osztva úgy, hogy midegyikük potosa egy ábrá látszik, az egyed aktuális állapotához tartozó. A személy életúta egy x = -ból kiiduló voallal kezdődik (valahol balra le, a születési állapotához tartozó ábrá) és az utolsó ábra címkéű potába végződő voallal zárul. (A legegyszerűbb lee egyetle síko ábrázoli a teles életszakaszt úgy, hogy az egyes állapotokba eltöltött részitervallumok az állapotak megfelelő szíűek.) a a Jelöle Vik, ( x, t ) és Vki, ( x, t ) a 7. ábrá vastago elölt ( ixt,, ) égyzet alsó háromszögéből a k állapotba átlépők, illetve a k-ból az i-be belépők számát. Hasolóa, f f Vik, ( x, t ) és Vki, ( x, t ) elöle a ki- és belépőket a felső háromszögbe. Akkor a ettó kilépés a két háromszögből: f (, ) =, (, ), (, ) és (, f ), (, f Vi x t = Vik x t) Vki, ( x, t) a a a i i k k i k i V x t V x t V x t. /27/ k i

25 A belföldi vádorlás többállapotú demográfiai aalízise ábra. Az i-edik állapot Lexis-diagrama x +1 x x 1 N i ( x + 1, t) R i ( x, t ) ( x, t +1) k ( x t) N i, R i t 1 t t + 1 Defiíció: A t évhez, az x korhoz és az i állapothoz tartozó kockázati időtartamak (exposed to risk) evezzük és Ei ( xt, ) -vel elölük egy épesség tagai által a t évbe x egész évese i állapotba eltöltött összidőt (emberévbe megadva), azaz a ixt,, égyzetbe. épesség egyedei életvoalhosszáak összegét az ( ) Defiíció: Egy épességre voatkozóa a t évhez, az x korhoz és az i állapotból - ixt,, égyzetéből be átlépéshez tartozó Mi, ( x, t ) átmeeti ráta: a Lexis-diagram ( ) a f törtéő kilépések Vi( x, t) = Vi, k ( x, t) + Vik, ( x, t) száma osztva a az Ei (, ) időtartammal. ( M ( xt ) megegyezik a 3.1.-be haszált m ( x h) i,, év és t a periódus éve.) i,, x t kockázati -val, ha h = 1 Tehát még meghatározadó Ei ( xt, ). Legye Ni ( x, t ) azok száma, akik a t évbe töltik az x éves születésapukat, azaz életvoaluk átmetszi az ( ixt,, ) égyzet alsó oldalát. A metszéspotok eletik a születésapokat. Tegyük fel, hogy a születésapok eloszlása egyeletes az évbe, azaz a potoké a égyzet alsó oldalá. 2 Ha ők em lépéek ki a t évbe, akkor átlagosa feekét 1 2 évet tölteéek az alsó háromszögbe. Hasolóa, ha az Ni ( x+ 1, t) számú, az x + 1 éves születésapát t- be üeplő év elee óta i-be lee, és e születésapok szité egyeletes eloszlásúak leéek t-be, akkor ők is átlagosa 12 évet tölteéek a felső háromszögbe i ( 1, ) N x+ t. Ekkor e két csoport együttes kockázati időtartama eyi lee: 2 Az egyeletesség helyett elegedő, ha a égyzet alsó és felső oldalá közel azoos a potok eloszlása.

26 63 Faragó Miklós Legye R (, ) ( ) + ( + ) Ni x, t Ni x 1, t 2. /28/ égyzet bal oldalát. ( ( ) i i x t azok száma, akik a t év auár 1-é már betöltötték az x-edik születésapukat, de az x + 1-ediket még em, azaz életvoaluk metszi az ( x, t ) R xt, -t t élkül haszáltuk az előző pot /22/ /26/ képleteibe.) Ekkor bármilye születésap-eloszlás eseté a ettó kilépéseket felhaszálva: (, ) (, 1 ) a f = + + (, ) és N ( x 1, t) R ( x, t) V ( x, t) N x t R x t V x t i i i + =. /29/ i i i Általáos feltételezés, hogy a halálesetek eloszlása a felső, illetve alsó háromszög tartomáyo egyeletes (területaráyos). Mi ugyaezt feltételezzük midegyik, állapotba törtéő kilépésekre voatkozóa. Azaz midkét háromszögbe a [ ] [, ] -be törtéő kilépések átlaga a háromszög súlypotába esik. Így mide kilépő átlagosa 1/3 évet tölt a háromszögbe, ti. a súlypoto átmeő egyees a háromszögbe eső 2/3 hosszúságú szakaszáak a felét. Ezzel, felhaszálva /28/-at: f a ( ) = ( ) + ( + ) + ( ) ( ) Ei xt, Ni xt, Ni x 1, t /2 Vi xt, Vi xt, /3, /3/ amelybe /29/-et behelyettesítve kapuk: M a f ( ) = ( ) + ( + ) + ( ) ( ) Ei x, t Ri x, t Ri x, t 1 /2 Vi x, t Vi x, t /6. /31/ Végül az átmeeti ráta a defiícióa szerit: ( x, t) ( ) ( ) a f ( ) + ( ) ( ) + ( + ) + ( ) ( ) V x, t V x, t V x, t. /32/ E x, t R xt, R xt, 1 /2 V xt, V xt, /6 i, i, i, i, = = a f i i i i i * A bemutatott számítási eredméyek csupá töredékét teszik ki az összesek, melyek további elemzésre várak. A többállapotú (a szokásos Markov-folyamatok alapá modellezett) haladósági táblák itt közölt általáos és komplett módszertaa szerit az olvasó bármilye, a többállapotú redszerek változatos körébe eső probléma vizsgálatát elvégezheti. A számítás természetes a módszerta megváltoztatását em