Statika. Miskolci Egyetem. (Oktatási segédlet a Gépészmérnöki és Informatikai Kar Bsc levelez½os hallgatói részére)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Statika. Miskolci Egyetem. (Oktatási segédlet a Gépészmérnöki és Informatikai Kar Bsc levelez½os hallgatói részére)"

Átírás

1 iskolci Egetem GÉPÉSZÉRNÖKI ÉS INORTIKI KR Statika (Oktatási segédlet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc levele½os hallgatói résére) Késítette: Sirbik Sándor, Nándori riges ½usaki echanikai Intéet iskolc, 014.

2 1. eveetés Een kéirat a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc levele½os hallgatói résére késült kivonatos anag, amel a ½usaki echanikai Intéet által gondoott Statika (GEET01L) el½oadások alapján lett össeállítva és a tárg alapsint½u elsajátításában nújt segítséget. mechanika tárga, alapfogalmak Koordináta-rendser: tárg keretében eg, a,, egségvektorok által kijelölt deréksög½u Descartes-féle koordináta-rendsert hasnálunk vonatkotatási alapként, amelben a tér bármel pontja a = + + helvektor által megadható. Néhán alkalmaásra kerül½o test modell: erev test olan idealiált test, mel alakját er½o hatására nem váltotatja, aa bármel két tets½oleges pontjának távolsága állandó marad. Silárd test olan idealiált test, mel alakváltoásra képes, tehát pontjainak távolsága er½o hatására a pontok relatív rendeettségének megmaradása mellett megváltohat. er½ot testek kölcsönhatásának mértékeként értelmeük. er½o iránított menniség, aa vektor. koncentrált er½o jele a és mértékegsége a N [Newton]. P = + + er½ovektort jellemi: ² nagsága (mér½osáma és mértékegsége) j j q e = = + + r, P ² hatásvonala (egenes, mel megmutatja a er½ovektor helét a térben), ² iránítása (hatásvonal menti két irán köül a egiket jelöli ki). hatásvonal Ha 1 és er½ok egserre lépnek fel eg adott testen, akkor bel½olük a = 1 + ered½o képehet½o. Két egmással párhuamos, aonos nagságú, de ellentétes iránú és nem köös hatásvonalú er½o er½opárt alkot. er½opárnak 0 a ered½oje, követkeésképp können beláthatjuk at, hog míg egetlen er½o eltolni és forgatni igeksik a testet, addig a er½opár kiárólag forgató hatást, aa nomatékot fejt ki rá. er½opárból sármaó nomatékvektor a test minden pontjában aonosnak adódik. További fontos ésrevétel a, hog a er½o hatásvonala mentén eltolható anélkül, hog a adott pontra vonatkoó nomatéka megváltona. nomaték is vektormenniség, jele a, mértékegsége pedig a Nm [Newtonméter]. Egetlen koncentrált er½onek a test adott pontjára gakorolt nomatéka a = képlet alapján sámítható, ahol nomatékvektor mer½oleges a és vektorok által kifesített síkra. nomaték össetev½oi értelmehet½ok úg is, mint egetlen koncentrált er½o által kifejtett forgató hatás eg olan csapágaott vég½u tengelre, mel a adott pontban a testhe mereven rögített és valamel koordináta-tengellel párhuamos. P r P P r P r P e e e e e r P P r P r P 1 = + + nomatékvektor, és koordinátái a, és tengelekre vett nomatéknak neveük.

3 Ha 1 és er½ok egserre támadnak eg adott testen, akkor a pontra vett nomaték a 1 és er½ok adott pontra vett nomatékainak össege les. ered½o és a nomaték ismeretében pedig a adott test tets½oleges pontjára a = + össefüggés solgáltatja a nomatékot, ahol a pontból pontba mutató helvektort jelöli. Síkbeli er½onek síkra mer½oleges tengelre vett P k a nak) és a er½o j j nagságának = j j soratából adódik. odelleés során a visgált testet (alkatrést, stb.) elválastjuk valamenni rá hatást kifejt½o testt½ol, majd eek hatását felületen megosló, pontbeli, stb. er½okkel váltjuk ki. küls½o er½ok berajolásakor megkülönbötethetünk testre terhelésként ható ismert er½oket és a támasoknál fellép½o ismeretlen támastóer½oket. Támasok: okat a gépelemeket, felületeket, stb, amelekre a adott test felfeksik (támaskodik) támasnak neveük. ábrákon a legegser½usítések után a síkbeli modelleésben hasnálatos pontbeli er½oátadást bitosító támasok köül a ún. görg½os, rudas, illetve csuklós megtámastásokat, valamint a befalaást láthatjuk. Eek a támasok mindig pontbeliek és kétiránúak, aa a test nem válhat el a megtámastásától. támasok sematikus jelölése alatt a általuk a megtámastott testre kifejtett támastóer½o poitív el½ojel½unek, aa tengeliránúnak válastott és koordi- nátáit, valamint a befalaásnál fellép½o a síkra mer½oleges jel½u támastónomaték síkban berajolt forgatási értelmét láthatjuk. Ha rudas támas helett kötél vag lánc kerül alkalmaásra, akkor gelni kell arra, hog eek a elemek csak húóer½ot képesek átvinni! mechanika, mint a ika eg területe felbontható dinamikára és kinematikára. Dinamika a mogó testekre ható er½ok tana, kinematika pedig a mogástan. dinamikán belül a statika a a résterület, mel a er½ok egensúlát visgálja, miköben a visgált testek relatív nugalomban vannak. statika felostható merev test statikájára és a alakváltoásra képes test statikájára, aa a silárdságtanra.. erev test statikája merev test statikájának feladata általában a merev testek támastóer½o rendserének meghatároása. Tartós nugalom feltételei tartós nugalom sükséges feltétele a merev testre ható küls½o er½orendser egensúlának megléte: = 0 és = 0 aa a testre ható küls½o er½orendser ered½oje és eg tets½oleges pontra sámított nomatéka érus. elégséges feltétel pedig, hog a megtámastások a test össes merevtestser½u mogását gátolják, aa a test nem modulhat el. Síkbeli feladatok Síkbeli feladatok esetén a nugalomban lév½o test egensúlát 3 darab független skaláregenlet írja le. Eek lehetnek például a síkot kijelöl½o két tengel iránába vett vetületi egenletek és a sík eg tets½oleges pontján Q R d a nomatéka sámítható a er½o j j nagságának és a er½okarnak (a tengel adott síkkal vett jel½u döféspontjának a er½o hatásvonalától mért távolságának) el½ojeles soroatából. nomaték el½ojele a válastott forgatási értelemt½ol függ, a ábrán váolt esetben poitív el½ojel½unek a -b½ol -ba történ½o forgatást tekintjük, aa =. Íg = j j. Eg er½opár nomatéka pedig a er½opár távolságának (két hatásvonal mer½oleges távolságá

4 áthaladó, síkra mer½oleges tengelre vett nomatéki egenlet. Eges esetekben aonban célser½ubb vetületi egenletek helett inkább a megfelel½o tengelekre felírt nomatéki egenleteket hasnálni, mivel eek segítségével válik lehet½ové a példamegoldás. Ha a támastóer½orendser ismeretleneinek sáma megegeik a statikai egenletek sámával és eekb½ol a feladat ismeretlenei egértelm½uen meghatárohatók, aa a egmástól független statikai egenletek sáma egeik a ismeretlenek sámával, akkor a feladat statikailag határoott les. Két er½o síkbeli egensúla: merev testre ható két er½ob½ol álló küls½o er½orendser egensúli, ha a er½ok nagsága aonos, hatásvonal köös és iránításuk ellentétes. (E áll fenn támastórúd esetén is.) Példa három er½o síkbeli egensúlára: ábrán látható síkbeli keretserkeetet saját síkjában eg koncentrált = 7 kn er½o terheli. pontban csuklós, míg -ben eg a függ½olegessel 45 söget beáró ferde görg½os megtámastás van kialakítva. Itt is felhívjuk a gelmet arra, hog a görg½os támas csak a görg½ofelületre mer½oleges hatásvonalú támastóer½ot tud kifejteni. Határouk meg a és támastóer½oket serkestéssel és sámítással is! m o 1.5m m o 1.5m 3 1.5m 1.5m 45 o 1.5m 1.5m 45 o feladat megoldása a, és er½ok síkbeli egensúla alapján történik. E at jelenti, hog e három küls½o er½ovel támadott síkbeli serkeet egensúla bitosított, ha a er½ok hatásvonalának van köös metséspontja és o a er½ovektorok alkotta árt vektorháromsögben a nílfolam foltonos. Els½oként a jobboldali heletábrán a és er½ok hatásvonalának ismeretében a köös metséspont megkere- sése történik. egensúl érdekében a er½o hatásvonalának is át kell haladnia een a köös metsésponton, íg a támastóer½ok hatásvonalai (kék sínnel), valamint a terhel½o er½o hatásvonala (piros sínnel) berajolásra kerül. Íg a els½o feltétel teljesült a hatásvonalak köös 1kN pontban mets½odnek. Eg lépték válastása után a ismert er½ovektort eg ked½opontból kiindulva, léptékhelesen felmérjük a er½oábrán. íg kapott vektor végpontjaiból párhuamost húunk a és hatásvonalaival. kiserketett vektorok iránát pedig a folamatos, áródó nílfolamnak megfelel½oen berajoljuk. feladat sámítással történ½o megoldására solgáló egenleteket a 1kN = 0 = = 0 + = = 0 vetületi egenletek és a síkot pontban mer½olegesen döf½o tengelre vett nomatéki egenlet, valamint a er½ok össetev½oi köti kapcsolatot adó, a és hatásvonalainak ismeretén alapuló j j j j = 1 5 vag j j = j j

5 4 képletek képik. és támastóer½ok keresett,,, és komponensei ebb½ol a nég független egenletb½ol meghatárohatóak: aa = = 3 kn = és = = ( ) kn = (4 + 4 ) kn egjegés: Termésetesen három párhuamos er½o is egensúlban lehet, de most eel külön nem foglalkounk. Példa síkbeli köös pontban támadó er½ok egensúlára: Eg = = = N = 15 kn súlú testet a ábrán látható módon súltalannak tekinthet½o kötelek segítségével függestjük fel. = 45 ± ; = 30 ±. Határouk meg a kötélágakban m½uköd½o 1 és er½oket a serkeet tartós nugalma esetén! G 1 1 G síkban visgált serkeet 1, és 3 jel½u kötélágaiban fellép½o er½ok hatásvonalai eg köös pontban mets½odnek. ismeretlen 1 és kötéler½ok meghatároására a köös pontban támadó er½orendser egensúlából adódó = 0 egenlet hasnálható fel. feladat jelöléseivel e a = 0 vektoregenlet les, amel síkban db skalár egenletre esik. ontsuk fel tehát a ismeretlen er½oket síkban a ábrán berajolt módon tengelek iránba es½o össetev½okre: 1 = = + E nég ismeretlen tengelekre es½o vetületet, aa 1, 1,, er½okoordinátát eredméne. igelni kell a felbontás során a el½ojelekre is, mivel például a 1 = vektor a és egségvektorok által kijelölt tengelekre vett felbontásában a 1 és ellentétes iránítású és et el½ojel jeli a képletben: 1 = 1. ismeretlenek sáma csökkenthet½o, mivel a serkeeti ábra alapján a 1 és er½ok hatásvonala ismert. Íg a kötéler½ok felbontása a er½ok 1 = 1 és = hossainak és a kötött hatásvonalak vísintes tengellel beárt és sögeinek felhasnálásával is megadható: 1 = ( 1 cos ) + ( 1 sin ) = 1 [( cos ) + (sin ) ] = ( cos ) + ( sin ) = [(cos ) + (sin ) ] Et kell alkalmanunk, mivel íg a er½ok egensúlát kifeje½o egenletben történ½o behelettesítéskor csak a 1 és jelenik meg ismeretlenként két ismeretlen, két skaláregenletre es½o vektoregenlet: 1 [( cos ) + (sin ) ] + [(cos ) + (sin ) ] = 0

6 egségvektorral sorova a el½o½o egenletet a 1 cos + cos = 0 iránú vetületi egenletet nerjük, amelb½ol például a cos = 1 cos = cos 45 ± 1 cos 30 ± = kifejehet½o, majd et a iránú vetületi egenletbe helettesítve 1 sin + sin = 0 1 sin 45 ± sin 30 ± 15 = 0 és et megoldva a 1 = kn eredménre jutunk. Ennek ismeretéb½ol a = = kn adódik. 1 = 1 [( cos 45 ± ) + (sin 45 ± ) ] = ( ) kn = [(cos 30 ± ) + (sin 30 ± ) ] = ( ) kn = ( 15 ) kn vissahelettesítés után a er½ok egensúla könnedén ellen½orihet½o, mivel jól látsik a, hog a iránban a er½okoordináták el½ojelkülönbsége, a iránban pedig a 1 + = 15 össeg és a függ½oleges terhelés egütt tesi nullává a ered½ot. egjegés: feladat megoldható a hatásvonalak ismeretében felírható 1 1 = = össefüggések helettesítésével is. Példa térbeli köös pontban támadó er½ok egensúlára: alábbi serkeet D gerendája a, illetve pontoknál rögített kötelek segítségével eg = 960 kg tömeg½u terhet tart. teher súlát a súlpontjáho kötött = = = 9600 N = 9 6 kn nagságú er½oként vessük gelembe, amel a célser½uen megválastott koordináta-rendserben = ( 9 6 ) kn er½ovektor les. teher súla mellett a gerenda súla elhanagolható, íg a gerendát eg súltalan rúddal modelleük, továbbá a köteleket is ideálisnak tételeük fel. feladat egser½usített vonalas ábráját elkésítjük, ahol a berajolt egenes sakasok egben a ébred½o bels½o er½ok, a ( = 1 4) kötéler½ok hatásvonalait is jelölik (termésetesen 4 = ). adott KR-ben a vonatkoó pontok helét a = 0; = ( + 4 ) m; = (3 + 4 ) m és = (6 ) m helvektorok jelölik! 5 D r D r D 3 r D 1 4 D G G eltételeés serint a serkeet tartós nugalomban van. köös ponton támadó er½orendsert, aa a D pont

7 6 egensúlát visgálva megállapíthatjuk at, hog a ismeretlen ( = 1 3) kötéler½ok meghatároására solgáló statikai egenlet köül csak a = 0 marad, mert a másik a = 0 identikusan teljesül D-ben. feladat jelöléseivel a vonatkoó egenlet a = 0 alakban írható fel, amel 3 db skalár egenletet is jelent. megoldást a továbbiakban a = alakban keressük, ahol a er½o iránát kijelöl½o iránvektor, pedig a vonatkoó skalár soró les. iránvektorok legegser½ubben a helvektorokból állíthatók el½o. E úg történik például a 1 -re bemutatva, hog a 1 er½o hatásvonalán rajta lév½o = = 6 0 = (6 ) m helvektort dimeniótlanítjuk, aa a mértékegséget elhagjuk, íg 1 = 6 les. Et elvégeve a másik kett½ore is a = = ( ) m! = = = ( ) m! 3 = jutunk. Eek birtokában, valamint a ismert er½o jobboldalra történ½o átvitele után kapjuk a vektoregenletet. vektoregenletb½ol felírhatjuk a vonatkoó = 3 3 = = = 9 6 skaláregenletekb½ol álló egenletrendsert, amit a lineáris algebrában megsokott módon a tömörebb = alakban is meg lehet adni. kapott egenletrendser nem bonolult és mérete is kicsi íg megoldása a skaláregenletekb½ol is egser½uen megkapható például a követke½o módon: els½o skaláregenletb½ol kiindulva a = 3 3 össefüggés egb½ol adódik. Et behelettesítve a harmadik egenletbe juthatunk a = 9 6 : ( 4) {} + 3 = alakra ahonnan a 3 = 4 = 0 6 adódik és íg = 3 ( 0 6) = 1 8 is ismert les. második 4 egenletet el½osör 6-al végig ostva, majd a -t és 3 -t behelettesítve adódik a egenletet, melb½ol jutunk a 1 = 4 eredménre. megoldás ismeretében pedig les a végeredmén = 0 1 = 1 1 = 4 6 = (14 4 ) kn = = 1 8 ( ) = ( ) kn 3 = 3 3 = 0 6 ( ) = ( ) kn

8 7 egjegés: Jól látsik a ábrán, hog a pont egensúlban van, a és 3 jel½u köteleket = p ' kn illetve 3 = p ' 4 69 kn nagságú er½ok húák, míg a 1 jel½u rudat 1 = 14 nagságú er½o nomja. eg gelhet½o továbbá a, hog a jel½u rögítési helen a támast nomja a gerenda, míg a és jel½u felfüggestési pontokat a kötelek le akarják sakítani. 1 3 G D 1 3 Példa síkbeli megtámastásra: alábbi ábrán váolt ún. háromrudas megtámastású síkbeli alakatot a = 80 N er½o terheli. csuklókban vég½od½o támastó rudak csak rúdiránú er½oket vesnek fel. rudak köül kett½o egmással párhuamos, tehát a és er½ok hatásvonalai nem mets½odnek a végesben. Határouk meg a alakatot egensúloó és er½oket! o o 0 0 D 0 0 E rudas támasokat helettesít½o poitívnak (tengeliránúnak) feltételeett er½ok és eek hatásvonalai (kék sínnel) berajolásra kerültek a jobboldali ábrán. ábrán látható, hog a hatásvonalaknak metséspontja van a és pontokban. d e feladat megoldása a ún. Ritter-sámítás alapján történik, amel serint ha a feladatbeli ismeret- o len =, = és = er½ok D d e köül kett½o hatásvonala köös pontban mets½odik, E akkor a harmadik er½ot meg lehet meghatároni eg nomatéki egenletb½ol, mivel a metsésponton áthaladó, síkra mer½oleges tengelre vett egenletben D csak eg ismeretlen (a harmadik) er½okomponens jelenik meg. Ha pedig két er½o párhuamos, akkor a harmadik er½o meghatároására a megfelel½o vetületi egenlet felírása solgál.

9 8 = er½o sámítása a elmondottak alapján a ponton áthaladó tengelre vett nomatéki egenletb½ol történik, ahol a poitív forgást ( -b½ol -ba) a egenl½oségjel feletti simbólum jelöli. Termésetesen a ellentétes iránú forgást is lehet poitívnak válastani, mivel a egenlet jobboldalán 0 áll. feladat adatainak felhasnálásával felírt egenlet: j j = = 0 Et megoldva a = 60 N eredménre jutunk. iránát eredetileg iránúnak (") tételetük fel, mivel a kapott eredmén negatív sám lett, eért a er½o lefele (#) mutat. Ennek mintájára a = sámítása a ponton áthaladó tengelre vett nomatéki egenletb½ol történik. Innen: j j = = 0 Végül a = 60 N eredmént kapjuk. ivel eredménünk poitív sám lett, eért a er½o a el½oetes feltételeésünknek megfelel½oen felfele (") mutat. és er½ok hatásvonalai párhuamosak, aa végesben nem mets½odnek, íg a 60 N = 0 vetületi egenlet felírása veet eredménre, aa síkbeli alakatra ható er½ok iránú össetev½oinek össege nugalom esetén érus les. egenletbe a iránú össetev½ok poitív, a vele ellentétes iránúak pedig negatív el½ojellel kerülnek behelettesítésre. Eek alapján a 0 80 N 80 = 0 egenletb½ol a = 80 N, aa er½ovektor jobbra (!) mutat. feladat megoldása során a fel nem hasnált iránú? = 0 vetületi egenlet ellen½orésre hasnálható. kapott eredméneknek a feladat ábrájára történ½o vissarajolása után jól látható a egensúl teljesülése. 60 N 0 80 N 0 30 Síkbeli vonalmentén megosló terhelés Er½ohatás két test köött nem csak koncentráltan eg pontban, hanem felület és vonalmentén is átadódhat. Ismeretesek továbbá térfogaton megosló er½orendserek is. említettek köül a vonalmentén megoslóval foglalkounk röviden. vonalmenti konstans megosló terhelés jó mechanikai modelleés abban a esetben, ha eg gerenda, vag acélselvén önsúlát is gelembe akarjuk venni, de termésetesen terhelést is lehet íg megadni. alábbi ábrán eg U acélból késült, jobbvégénél befalaott tartó látható, amel eg felületmentén megosló konstans terhelésnek van kitéve. p b L

10 serkeet egser½usített síkbeli mechanikai modelljét elkésítve beveetjük a vonalmentén megosló terhelés s½ur½uségvektorát, amelnek mértékegsége N/m. 9 L/ L f a e f b p L vonalmentén megosló terhelés s½ur½uségvektorának irána de niálja a ½ot helettesít½o ered½o iránát is. ered½o nagságát pedig integrálás vag egser½u területsámítás útján nerjük. konstans megosló terhelés ered½oje és nomatéka a pontra a Z Z = d = és = d = j j { } = = formulákból sámítható, aa nomatékot integrálás mellett a megosló terhelés ered½ojét beveetve egser½ubben is sámíthatunk. Példa kéttámasú tartóra: tartóserkeetek valamilen sálanagból, vag acélselvénb½ol késülhetnek. Statikai feladatok megoldása során a tartó kerestmetsete és anaga nem játsik serepet, eért köépvonalával (vonalas ábrával) helettesítjük. tartók (gerendák), olan mechanikai modellek, ameleket tengeliránba és rá mer½olegesen is terhelésnek lehet kitenni, aa igénbevenni. eladat a alább váolt tartó és támastóer½oinek meghatároása les. tartó ismert küls½o terheléseit a ábrán piros sínnel jelöltük. Els½o lépésben a kénsereket a megfelel½o er½okomponensekkel (kék sín) helettesítjük. vonalmentén megosló terhelés helett a sakas fele½opontjában vett 8 kn nagságú koncentrált er½ovel sámolunk és a 1 nagságú koncentrált er½ot pedig a köépvonalon lév½o csatlakoási pontba redukáljuk. 1 m 1 m kn/m 4 m 1m 8 kn 1 m m m rra töreksünk, hog olan egenleteket írjuk fel, amelek egmástól függetlenek és eg ismeretlen er½okoordinátát tartalmanak: és a er½ok hatásvonalai a pontban mets½odnek, eért a meghatároása érdekében tengelre vett nomatéki egenletet írunk fel: egenletbe helettesítéskor gelni kell a tengel körüli forgatási iránra és arra, hog a ponton áthaladó hatásvonalú er½ok a tengelre nem adnak nomatékot. terhelésként megjelen½o nomaték forgatási értelme ellentétes a válastott poitív forgással, íg annak el½ojele negatív. vonatkoó = 0

11 10 egenletb½ol a = 5 kn (") eredménre jutunk. és er½ok hatásvonalai a pontban metsik egmást, eért a meghatároása érdekében tengelre vett nomatéki egenletet írunk fel. Ekkor = 0 a vonatkoó egenlet, ebb½ol a = 3 kn (") eredmén adódik. Ellen½orésre a fel nem hasnált P vetületi egenlet solgál. meghatároása pedig a = 0 vetületi egenletb½ol történik, mivel és hatásvonala egmással párhuamos. Innen 14 = 0 tehát a = 1 (!) eredmén adódik. Íg a tartó támastóer½oi: eredménül kapott támastóer½oket ábráoljuk: 1 = ( ) kn és = (3 ) kn 1m 8 kn 1 5 kn m m m 3 kn Követke½o példában eg gerenda jobboldali vége sima (súrlódásmentes, ) felülettel van megtámastva. Követkeésképpen a pontban ébred½o támastóer½o hatásvonala mer½oleges erre a felületre, és abból csak kifelé mutathat. 3kN/m m 1 m 1 knm 30 o 3 m 1 m 6 kn 1 m 1 m 1 knm 3 m ivel a és er½ok hatásvonala köös, íg a függ½oleges és össetev½ok meghatároására nomatéki egenletek írhatók fel. Íg a és er½ok köös hatásvonala valamint a er½o hatásvonala a pontban mets½odik, eért a meghatároása érdekében a tengelre felírt: = 0 nomatéki egenletb½ol a = 10 5 kn (") eredménre jutunk. tengelre vett nomatéki egenletet írunk fel. Ekkor meghatároása céljából a = 0

12 a vonatkoó egenlet, amelb½ol a = 4 5 kn (#) les a eredmén. sámítást a P vetületi egenlettel ellen½oriük. támastóer½ok és össetev½oinek sámításánál kihasnáljuk at a körülmént, hog a hatásvonala valamint a és össetev½ok nagsága és irána ismert. elírhatjuk a er½o két komponense köötti 30 = j 30 j o! j j = 30 j j j j» = 6 kn 30 o össefüggést, melb½ol a» = 6 kn (Ã ) eredménre jutunk, mivel hatásvonala adott és = 4 5 kn (#) lefele mutat. ismertté vált komponens birtokában a P vetületi egenletb½ol sámíthatóvá válik a : 6 = 0 tehát = 6 kn (!). tartó támastóer½oi: = ( ) kn és = ( ) kn Példa befalaott tartóra: alább váolt jobbvégén ( kerestmetseténél) befalaott tartó támastóer½orendserét, aa a -ben ébred½o er½ot és nomatékot keressük. tartón piros sínnel jelöltük a küls½o terheléseket. Els½o lépésben a kénsereket helettesítjük a nekik megfelel½o er½okomponensekkel (kék sín) és a vonalmentén megosló kn/m intenitású er½ot helettesítjük 8 kn nagságú ered½ojével kn kn/m 1 m 3 m 3 kn 1 m 1 m 8 kn m és támastóer½o komponensek hatásvonalai a jel½u pontban mets½odnek, íg a támastónomaték a tengelre vett nomatéki egenletb½ol adódó össefüggésb½ol = 8 knm les. másik két ismeretlent, a és er½okomponenseket a és iránú vetületi egenletekb½ol sámítjuk, aa a = 0 vetületi egenletbe helettesítve felírt egenletb½ol a megoldás = 1 kn ("). 4 8 = 0 = = 0

13 1 egenletb½ol a = 3 kn (!) adódik. támastóer½orendser tehát a = (1 + 3 ) kn és = 15 knm er½ob½ol és nomatékból áll. eredménül kapott össetev½oket ábráoljuk: 8 kn 8 knm 3 kn 3 kn 1 m 1 m m 1 kn Össetett serkeetek statikája 1. Példa: Ismeretes a ábrán váolt háromcsuklós ív terhelése. Határouk meg sámítással a ábrán váolt rúdserkeet és támastóer½oit, valamint a 1-es rúdról a -es rúdra ható 1 bels½oer½ot! 3 m m 1 7 knm 1,5 m 1,5 m kn/m 3 m m 1 7 knm 1,5 m 1,5 m,5 m,5 m 10 kn els½o lépésben a konstans megosló terhelést a általa terhelt sakas fele½opontjában eg koncentrált er½ovel helettesítjük. és jel½u csuklókban ébred½o támastó er½okoordinátákat pedig koordinátatengel iránúnak feltételeve kék sínnel berajoljuk. Vegük ésre, hog a és ismeretlen er½okomponenesek hatásvonala egbees½o itt e a tengel. E at eredménei, hog és támastó er½o

14 koordináták pontban síkra mer½oleges, illetve pontban mer½oleges tengelekre vett, a teljes serkeetre felírt nomatéki egenletekb½ol adódnak, aa = 0 a egik vonatkoó össefüggés, ahonnan = ("). Ehhe hasonlóan a ponton átmen½o tengelre vett = 0 nomatéki egenlet adja a = 6 kn (") megoldást. Ismertté vált minden iránú támastó er½okomponens, íg a fel nem hasnált P? vetületi egenlettel akár ellen½orihetünk is. teljes serkeetre néve független egenletetek a, meghatároására már nem írhatók fel, mivel és párhuamos er½okomponenesek nem mets½odnek a végesben, a P vetületi egenlet pedig két ismeretlent tartalma (, ). továbblépéshe a teljes serkeet egensúla után a résserkeetek egensúlát kell kihasnálni. serkeet résekre történ½o bontását a csuklópontban célser½u megtenni, mivel a ott kapcsolódó rések (ívek) köött csak 1 = 1 er½o átadás van tudni illik a csukló nomatékot nem vis át m 1 1 1,5 m,5 m 10 kn Et gelembe véve rajolható fel a 1 jel½u rés egensúla, ahol pontban megjelennek a rés hatását a 1 jel½u ívre átadó 1 és 1 bels½o er½okoordináták is. visgált résen a ismeretlenek sáma íg össesen 3 les, mivel a = (") már ismert. Eképpen a résserkeeten minden ismeretlen er½okomponenes kisámíthatóvá válik. Kiárólag csak a 1 jel½u résen m½uköd½o er½orendsert tekintve a els½oként vett m 6 kn = 0 nomatéki egenletb½ol a = 1 _6 kn (!) eredménre jutunk, míg a legegser½ubben a = 0 = 0 7 knm 1,5 m = = 0 vetületi egenletekb½ol sámíthatók a 1 = 1 _6 kn (Ã) és 1 = 6 kn (") bels½o er½okomponensek. Íg a 1 = 1 = 1 _6 kn (!) és 1 = 1 = 6 kn (#) valamint a már ismert = 6 kn (") er½okoordinátákat a jel½u 1,6 kn 1,5 m 6 kn

15 14 serkeeti résre a már korábbról ismert er½oket berajolva látható hog a iránú er½ok egensúla teljesül. iránba es½o pedig a = 0 vetületi, vag a síkot pontban mer½olegesen döf½o tengelre vett = 0 nomatéki egenletb½ol adódóan = 1 _6 kn (Ã) les. Utóbbi két egenlet a jel½u résre vonatkoik. Sámításaink ellen½orésére a teljes serkeetre vonatkoó, fel nem hasnált vetületi egenletek solgálnak. Eek köül most a iránú? = 0 + = 0 vetületi egenlet teljesülése jelenti a végs½o ellen½orést. Gerber-tartó: nag hossúságú, egenes köépvonalú tartókat érdemes több helen is alátámastani, mivel íg a lehajlás és a sükséges kerestmetset mérete csökken. tartó további támasokkal történ½o megfogása at eredménei, hog a serkeet statikailag határoatlanná válik, eért a statikai határoottság érdekében a tartót résekre ostó köbens½o csuklót kell alkalmani. Eek a ún. Gerber-tartók tehát két, vag több köös köépvonalú tartórésb½ol, a réseket össeköt½o köbens½o csuklókból, valamint a megfelel½oen elheleett és kialakított támasokból állnak, mivel csak ilen kialakítás mellett lehetséges e többtámasú tartók támastóer½orendserét tistán statikai egenletek felhasnálásával meghatároni. síkbeli nugalomban lév½o, össetett serkeet egensúlára három, egmástól független skaláregenlet írható fel. Gerber-tartók támastóer½orendserében megjelen½o ismeretlenek sáma aonban mindig több les ennél, íg els½o lépésben a köbens½o csuklóknál kell résserkeetekre bontani a tartót, majd pedig a kapott rések egensúlát visgálni. Példa: alábbi ábrán látható, két résb½ol álló Gerber-tartó támastóer½orendserét, aa a támasoknál megjelen½o, és er½okoordinátákat, valamint a támastónomatékot kell meghatároni. knm 3 kn kn/m 1 1 m 1 m m 1 m 3 m csuklónál (a pontban) elválastott résserkeetek egensúlát a pontban megjelen½o 1 és 1 bels½o er½ok bitosítják, melekre a kölcsönhatás miatt a 1 = 1 teljesül. résserkeeteken (a 1 és jel½u réseken) ébred½o, poitívnak feltételeett ismeretleneket berajoltuk. Zöld sín jelöli a bels½o er½ok össetev½oit, míg kék sín a támastóer½orendser ismeretleneit (a bels½o er½oknél még nem vettük gelembe a kölcsönhatást): 3 kn knm kn/m 1 1 kn/m 1 m m m 1 m 1 3 m Vegük ésre at, hog a 1 jel½u résen három darab ismeretlen jelenik meg, aa a feladat megoldását a 1 jel½u tartórés egensúlából kiindulva kedjük meg. korábbiakban bemutatott Ritter-sámítást végeük

16 el, aa meghatároása a ponton átmen½o tengelre felírt nomatéki egenletb½ol történik, amelb½ol = 0 a vonatkoó össefüggés, ahonnan = 3 kn ("). Ehhe hasonlóan a ponton átmen½o tengelre vett = 0 nomatéki egenlet adja a 1 = kn (") megoldást. iránú vetületi egenletb½ol pedig követkeik, hog 1 = (!). Követkeésképp a 1 jel½u rés teljes er½ojátékát sikerült tistáni. Kihasnálva at a körülmént, hog a 1 = 1 = kn (#) és 1 = 1 = (Ã ) össefüggések érvénesek, a jel½u résen a eredetileg öt ismeretlenb½ol csak három marad. támastónomaték a tengelre vett nomatéki egenletb½ol adódó össefüggésb½ol = 15 knm nagságú les. és iránú vetületi egenletekb½ol követkeik, hog = 8 kn ("), valamint = (!). támastóer½orendser tehát a = 3 kn és = (8 + 4 ) kn er½okb½ol és = 15 knm nomatékból áll. 1 = ( 4 ) kn pedig a pontban a 1 jel½u résr½ol a jel½u résre átadódó bels½o er½o. kapott eredméneket a serkeetre berajolva semléltetjük: knm 3kN 3 kn kn/m 1 m 1 m m 1 m 3 m 1 8 kn 15 knm teljes serkeet egensúlát nem hasnáltuk fel, íg a vetületi egenletek ellen½orésre alkalmasak, aa a? = 0? = = = 0 egenletekbe történ½o behelettesítés igaolja, hog jól sámoltunk.

17 16 suklós rúdláncnak neveük a egmásho csuklóval csatlakotatott, súltalannak tekintett rudakból álló labilis serkeetet. Példa: ábrán látható serkeet egensúli heletét két er½o bitosítja: a pontban ható 6 kn nagságú ismert és eg másik, -ben lefele mutató ismeretlen nagságú er½o. Határouk meg a er½ot! 1.5 m m 6 kn.5 m D m 1 m feladatban serepl½o rúdlánc csak a csuklópontokban terhelt, követkeésképp 1, és 3 jel½u rudakban csak rúdiránú er½o (rúder½o) ébredhet. rúder½ot poitívnak tekintjük ha a adott rúdcsonkból kifele mutat, aa a rúd húott. Ellenke½o esetben a rúd nomott les. poitív el½ojel½unek feltételeett rúder½oket berajolva a és csomópontok egensúlát visgáljuk: N 1 N 1 N 3 N 3 N 1 N N D 6 kn N 3 élser½u a koordináta-tengelekkel nem párhuamos N 1 és N 3 rúder½ot a és tengellel párhuamos össetev½okre bontani. csomópont egensúlát néve egértelm½u, hog N 1 = 6 kn ("). Kihasnálva a fennálló hasonlóságot: jn 1 j jn 1 j = =) jn 1 j = jn 1 j = 6 kn kapott N 1 = 6 kn (Ã ) eredmént felhasnálva a iránú N 1 + N = 0 vetületi egenletben, adódik hog a jel½u rúd húott N = 6 kn. N = 6 kn birtokában a pont egensúlából követkeik, hog N 3 = 6 kn (!). hasonlóságot ismételten felhasnálva kapjuk, hog jn 3 j jn 3 j = =) jn 3 j = jn 3 j = aa a 3 jel½u rúd is húott: q N 3 = (N 3 ) + (N 3 ) = p 6 + 4» = 7 1 kn iránú er½ok egensúlából felírt N 3 = 0 egenletb½ol kapjuk, hog a ábrán váolt helet el½oáll, ha = ( 4 ) kn.

18 Rácsos serkeet, olan mechanikai modell, melben a egmásho csuklók segítségével csatlakoó, súltalannak tekintett, egenes rudak stabil serkeetet alkotnak. serkeetre ható küls½o er½ok a csuklópontokban m½uködnek, íg a serkeet össes rúdjában kiárólag rúdiránú bels½o er½o ébred. Példa: eladat a ábrán látható serkeet kijelölt rúdjaiban ébred½o rúdiránú er½ok (rúder½ok) meghatároása les. 4 m m 4 m 3 m 17 feladat végrehajtása során kétféle technikát alkalmaunk a ún. csomóponti, valamint a átmets½o-módsert. els½oben vetületi egenleteket írunk fel, míg a másodikban nomatéki egenleteket is hasnálunk. Els½oként a 1 és jel½u rudakban ébred½o rúder½ok meghatároását végeük el a csomóponti módser segítségével. Itt a megfelel½o csomópont (ahová mindkét jelett rúd befut) egensúlát írjuk fel. csomópontban a nagságú er½onek, valamint a N 1 és N rúder½oknek (ameleket úgis fel lehet fogni, mint a elhagott rések hatását) kell egensúlban lenni. ismeretlen rúder½oket érdemes a kirajolt csomópont ábráján a húott rúdnak megfelel½oen a rudak csonkjaiból kifele mutatónak felvenni. vetületi egenletek miatt célser½u a koordináta-tengelekkel nem párhuamos N rúder½ot a és tengellel párhuamos össetev½oire, aa a N és N jel½u er½okre bontani. ábrán jól látsik, hog iránba csak eg ismeretlen les, eért a iránú = 0 4 N = 0 vetületi egenletet képeük, ahonnan N = (") les. kapott sám negatív, követkeésképp a N iránát fordítva tételetük fel. N össetev½o iránának váltoása miatt a N is el½ojelet vált, aa N 0, tehát a jel½u rúd nomott les. N nagságát a hasonló háromsögek tételéb½ol sámíthatjuk. ivel N rúdiránú, eért N és N össetev½oi sükségképpen aránosak a jel½u rúd és vetületeivel, vag még egser½ubben a 1, és 3 jel½u rudak alkotta háromsög megfelel½o oldalainak nagságával, tehát jn j jn j = 4 1 =) jn j = 4 1 jn j = 16 kn N iránát a el½obb meghatárotuk, íg N = 16 kn (Ã ). két össetev½o birtokában pedig q p N = (N ) + (N ) = » = kn ismertté vált. ivel N nagsága és irána tistáott a = 0 vetületi egenletb½ol behelettesítés után nert N 1 + N = 0 N 1 16 = 0 egenletb½ol a N 1 = 16 kn adódik, aa a 1-es rúd húott. átmets½o-módser segítségével meghatárouk a 8, 9 és 10 jel½u rudakban ébred½o rúder½ot. Ehhe a serkeet 8, 9 és 10 jel½u rúdjánál úg metsük át a tartót, hog a két különálló résre esik. 1 N N 1 N N

19 18 jobboldali rést elhagjuk és a fennmaradó résre berajoljuk a N 8, N 9 és N 10 rúder½oket. résserkeeten a három rúder½o les a ismeretlen, eért a korábbiak alapján itt is megfelel½o helre felírt nomatéki egenletekkel érdemes dolgoni. ivel N 9 és N 10 hatásvonala nem párhuamos, eért N 8 sámítása a metsésponton áthaladó síkra mer½oleges tengelre felírt egenletb½ol történik, ahonnan 3 N = 0 Íg N 8 = 3 kn eredmén adódik, aa a 8-as rúd húott. N 8 és N 9 hatásvonala a ábrán látható módon a pontban mets½odik a ide felírt 4 m 4 m 4 m egenletb½ol elvileg a N 10 sámítható. N 10 aonban nem párhuamos valamel koordináta-tengellel, eért a rúder½o felbontásra kerül. Kihasnálva at, hog a er½o hatásvonala mentén eltolható anélkül, hog nomatéka a adott pontra váltona, a N 10 er½ot a pont alatti csomópontban bontjuk fel. Ebb½ol követkeik a, hog a N 10 hatásvonala áthalad a ponton, íg a tengelre csak a N 10 ad nomatékot. adódó 4 m m 4 m N 10 N 10 9 N 8 N 9 N N 8 N 10 9 N m 3 m N = 0 egenletb½ol pedig kapjuk, hog N 10 = (Ã ). N 10 er½okomponens el½oállítása úg is történhet, hog a N 10 er½ot hatásvonala mentén most a ponttal eg magasságba toljuk fel, de eljárhatunk a hasonlóságot kihasnálva is, aa jn 10 j jn 10 j = 1 4 =) jn 10 j = 1 4 jn 10 j = 6 kn N 10 irána felfele mutat, mivel N 10 iránát ellentétesen válastottuk meg, aa N 10 = 6 kn ("). Innen q p N 10 = (N 10 ) + (N 10 ) = 4 + 6» = 4 7 les, aa a 10-es rúd nomott. N 9 rúder½o sámítása kétféle módon is történhet. ivel a N 8 és a N 10 rúder½ok már ismertek íg csak N 9 két össetev½oje marad ismeretlen a résserkeeten, eért N 9 össetev½oit vetületi egenletek felírásából is meg lehet határoni, ámbár ebben a esetben a ellen½orési lehet½oségünk is elvés. N 10 sámításánál bemutatott technikát követve pedig a keresett N 9 rúder½ot a pontba tolva felbontjuk és a N 8, N 10 rúder½ok hatásvonalának metséspontján áthaladó tengelre vett nomatéki egenletet írjuk fel.

20 19 D m N 9 N 8 N N m 4 m N 10 3 m íg nert 8 N = 0 egenletb½ol a N 9 = 6 kn (") adódik. Követkeésképp a N 9 és N 9 is el½ojelet, aa iránt vált. Hasonlóságot gelembevéve kapjuk, hog jn 9 j jn 9 j = 4 =) jn 9 j = jn 9 j = 8 kn és N 9 = 8 kn (Ã ). két össetev½o birtokában pedig a 9 jel½u rúd eg q N 9 = (N 9 ) + (N 9 ) = p = 10 kn nagságú er½ovel nomott rúd les. sámítások ellen½orése pedig a résserkeet egensúlát kifeje½o vetületi egenletekkel lehetséges N 8 4 m N N N 10 9 N m 4 m N 9 N 9 3 m vonatkoó egenletek a? = 0 és? = 0 N 8 + N 9 + N 10 = 0 és N 9 N 10 = 0 amelekbe helettesítve kapjuk, hog = 0 és = 0 serkeet többi rúdjában ébred½o rúder½o a bemutatott módserekkel sámítható. egjegés: El½ofordul, hog nem sikerül sétválastani a serkeetet úg, hog a sétes½o réseken a ismeretlen rúder½ok sáma kett½o vag három legen. Ilenkor a megoldás érdekében a el½obbi technikákat vegítve kell alkalmani.

21 0 Síkidom súlpontja síkbeli felületek súlpontjának meghatároását a alábbi példán mutatjuk be (a méretek mm-ben értend½ok!): r= r S S 15 S 1 S S felületet egser½ubb alakatokra bontjuk, amelek súlpontja (köéppontja) már jól ismert. Eek területei 1 = = 100 mm = 0 0 = 400 mm és 3 = 0 = 100 mm» = mm 4 nagságúak, valamint súlpontjaiknak 1 = (0 ) mm = (30 5 ) mm és 3 = (0 ) mm a helvektora a koordináta-rendserben. megadott alakat tehát két darab (kék sín½u) négsög össegéb½ol és a ebb½ol kivont (piros) körb½ol áll össe. területek és súlpontok helvektorait felhasnálva a S = = 100 (0 ) (30 5 ) (0 )»= »= ( ) mm képlet serint sámítjuk a origóból a alakat S súlpontjába mutató S helvektort. egjegés: sámítás általánosítható simmetrikus résekb½ol felépül½o térfogatra, homogén testre és rúdra is. Súrlódás Nugalomban lév½o, érdes felület½u testek érintkeésekor mindig a oulomb-féle súrlódási törvént ( nugvásbeli súrlódási téne½ot) alkalmauk a általunk visgált statikai feladatokban, ahol a érintke½o testek deformációja elhanagolhatóan kicsi. átadódó er½ok a testek köös érintkeési síkjába es½o komponense és e köös síkra mer½oleges komponens köött fennáll a össefüggés, ahol 0 Ha a érintke½o felületek simák (), akkor a testek köt átadódó er½ok a köös érintkeési síkra mindig mer½olegesek.

22 1 Egmásra támaskodó testek Példa: Két hengert a ábrán váolt módon helenek egmásra eg vájatban. Határouk meg a támastóer½oket, aa sámítsuk ki sámser½uen a, és er½oket! érintke½o felületek simák! S 0,6 m D S 0,6 m 10 N 10 N S 1 0,4 m 80 N 0,6 m S 1 0,4 m 80 N 0,4 m 0,8 m 0,3 m Sima falho támaskodó hengerek esetén és a hengereket egüttesen keelve a adott falsakasra mer½oleges, és össetev½ok maradnak meg ismeretlenként a, és jel½u támastóer½okben. Eeket a össetev½oket hatásvonalaikkal egütt (kék sínnel) bejelöltük a jobboldali ábrán. Egser½u geometriai össefüggések által a hatásvonalak egmástól mért távolsága können meghatároható. három ismeretlen meghatároásakor elegend½o a teljes serkeet (két henger egüttes) egensúlát visgálni. Egetlen merev test esetén alkalmaott eljárás itt is érvénes, tehát a és a hatásvonalának metséspontjára vett 1 = 0 nomatéki egenlet kerül felírásra, aa = 0 Eredménül a = 90 N (Ã ) kapjuk. Ehhe hasonlóan a és hatásvonalának metséspontjára vett S 0.6 m 10 N 90 N nomatéki egenletb½ol sármatatott = 0 egenletb½ol adódik a = 90 N (!) eredmén. komponens sámítása pedig a = = 0 vetületi egenletb½ol történik. Íg = 00 N (") sámítások helességének ellen½orésére a fel nem hasnált P egenlet solgál, tehát megg½o½odhetünk a iránú er½okomponensek egensúláról a itt érvénes +? = 0 90 N 00 N S m 80 N 0.3 m egenletet véve alapul. Végeredménül kapjuk, hog = (90 ) N = (00 ) N és = ( 90 ) N 0.4 m

23 Rudak igénbevétele továbbiakban primatikus rudak, aa egenes köépvonallal és állandó kerestmetsettel bíró rudak, igénbevételeit visgáljuk meg. visgált tartót eg tets½oleges kerestmetsetben átvágjuk és a egik rését elhagjuk. elhagott rés hatása a megtartott résre a kerestmetset felületén megosló bels½o er½orendserként jelentkeik. bels½o er½orendsernek a kerestmetset súlpontjába redukált ered½ojének és nomatékának koordinátáit értjük a kerestmetset igénbevétele alatt. Igénbevételek el½ojelsabála ered½onek kerestmetset síkjába es½o koordinátája a jel½u níróer½o, a síkra mer½oleges pedig a rúder½o les. nomatékvektor síkba es½o össetev½oje a hajlítónomaték, a síkra mer½oleges pedig a csavarónomaték. egállapodás serint a ábrákon rögített el½ojelsabálok alapján állapítjuk meg a feladatokban el½oforduló igénbevételek el½ojelét: N > 0 T > 0 h > 0 c > 0 N < 0 T < 0 h < 0 c < 0 egenes köépvonalú tartók egensúli egenletei ábrán látható kéttámasú tartó eg hossúságú sakasának egensúlát visgáljuk: f k f k T h f() Q h + h T + T sakas egensúlát a kétvégén berajolásra került bels½o er½orendser bitosítja. eltételeésünk serint eek poitív igénbevételeket jelentenek. iránba vett vetületi egenletb½ol a össefüggésre. + ( + ) = 0 = lim határátmenet képésével jutunk a!0 d d = ( )

24 3 sakas jobboldali végén kijelölt ponton áthaladó síkra mer½oleges tengelre vett nomatéki egenletb½ol a + ( ) + + = 0 lim!0 határátmenet képésével a = ( + ( )) d = d össefüggés adódik. Eeket a egenleteket, a egensúli egenlet di erenciális alakjait, a tartó tengele mentén 0 és köött integrálva nerjük a Z Z ( ) = ( )d és ( ) = ( )d =0 össefüggéseket, aa a egensúli egenlet integrálalakjait. Eek ismerete módot ad igénbevételi ábrák rajolására. Igénbevételi ábrák ábrarajolás bemutatásra kiválastott kéttámasú tartó támastóer½oi már ismertek és kék sínnel berajolásra kerültek a alábbi ábrán. =0 kn 1 kn/m D 8 knm m 3 kn 4 m 5 kn m Síkbeli, tengel½u, egenes vonalú tartók igénbevételi ábráinak serkestése a igénbevételek el½ojelsabálainak gelembevételével történik. gerendán balról jobbra, tengel mentén haladunk és köben sakasonként visgáljuk a igénbevételeket. tartó iránú (rúdiránú) er½okkel terhelt, eért a rúder½o ábra rajolással kedünk. ² kerestmetset és a kerstmetset ( ponttól eg kicsit balra lév½o kerestmetset) köött nincs rúder½o, eért een a sakason a ( ) függvén érus érték½u les. ² pontban a tengeliránnal ellentétes iránba mutató nagságú koncentrált er½o van, amel a rúd jobb végén, a kerestmetsetben ható, vele ellentétes iránú, sintén nagságú er½ovel tart egensúlt. koncentrált er½o a ( ) ábrán mindig sakadást oko. Eért a kerestmetsetnél -ra, -ben pedig vissa 0-ra ugrik a függvén. sakast a két er½o húa, eért a rúder½o állandó = nagságú les een a sakason. N 4 [kn] - D tartót rá mer½oleges er½ok is terhelik, eért ( ) níróer½o ábra rajolható. Ismét a gerenda balvégét½ol, a pontból kiindulva kedjük meg a ( ) függvén ábráolását. ² iránú koncentrált er½ok a ábráolt ( ) függvén sakadását idéik el½o, eért a pontban jelentke½o kn (") er½o miatt a kerestmetsetnél a induló 0 érték½u függvén kn-ra ugrik.

25 4 + és kerestmetsetek köötti rúdsakas függ½olegesen terheletlen, eért a + sakason a függvénváltoás értéke nulla, tehát ott a függvénérték állandó kn les. T [kn] 1-1 E D 8 knm ² pontban ható 3 kn (#) támastóer½o komponens miatt ismét ugrunk a függvénértékkel 1 knra. + sakason 1 kn/m (#) intenitású megosló er½o van. sakas hossa 4 m, íg 4 ( 1) = a váltoás mértéke. -ben a függvén 1 kn érték½u a 4 m hossúságú + sakason a váltoás, eért -ban a níróer½o 5 kn les. ² pontbeli 5 kn (") nagságú támastóer½ovel vissatérünk a nullába. + és kerestmetsetek köött nem találhatók függ½oleges hatásvonalú er½ok, eért a + sakason a függvénváltoás értéke nulla, tehát ott a függvén állandó érus érték½u les. ábrán megjelenik még a kerestmetsetben a 8 knm nagságú nomatékból sármaó területvektort. területvektor iránát a ½ot helettesít½o er½opár baloldali er½ovektorának irána solgáltatja. ( vonatkoó er½opár a els½o ábrán berajolásra került!) hajlítónomatéki ábra serkestése követlenül a níróer½o ábrából lehetséges. egensúli egenletnek megfelel½oen a ( ) foltonos függvén adott sakason történ½o váltoása a adott sakasra vonatkoó ( ) függvén alatti terület mínus egseres nagságával (adott sakason vett határoott integráljával) les egenl½o. Ha a tartó balvégén nincs terhelésként el½oírt nomaték, akkor a függvén nullából indul, majd a gerenda végén oda is tér vissa. ² m hossúságú sakason vett ( ) függvénérték állandó ( kn), íg a sakason vett ( ) függvén alatti (ábrán besrafoott) terület = m nagságú. E terület a tengel feletti (poitív), eért negatív megváltoást ( m) oko a sakason lineáris függvénben. Íg ( ) = 0 m = m. h 8 [knm] - -4 D E ² sakason lineáris ( ) okán a függvén parabolát ír le e sakas felett. E parabolát három pont és három érint½o segítségével lehet megadni, eért a serkestés a ún. területkiegenlítés elve serint történik: sakast megfeleük ( pont) és a sakas ked½o- és végpontjánál lév½o ( ) = 1 kn és ( ) = 5 kn függvénértékeknél eg-eg vísintest húunk. el½oálló és a ábrán besrafoott negatív területnek sámító téglalapok 1 = knm és 5 = 10 knm nagságúak. rajolását foltonos vonallal a ( ) = knm függvénértéknél foltatjuk a követke½ok serint. sakason knm a függvén váltoásának mértéke, aa pontnál knm-nél jelet tesünk és et össekötve vékon saggatott vonallal a pontbeli függvénértékkel megkapjuk a pontbeli érint½ot. függvén megváltoása 10 knm a sakason, íg ( ) = 8 knm. Össekötve eg vékon saggatott vonallal a -nél rajolt jelet a pontban vett függvénértékeket ismét nerünk eg parabolaérint½ot -ben. harmadik pont és érint½o

26 5 úg áll el½o, hog a ( ) = knm és ( ) = 8 knm függvénértékeket össeköt½o vonal és a sakasfele½o metséspontjánál leolvasott knm-ból levonom a pontnál vett knm, aa ( ) = 0 a függvénérték a érint½o pedig párhuamos a el½obbi össeköt½ovonallal. ² sakason nincs tengeliránra mer½oleges er½o tehát a függvén váltoás nulla, tehát 8 knmnél vísintes vonalat húok -ig. -nél megjelen½o nomatékból sármaó területvektor miatt a nomatéki ábrában sakadás les. területvektor felfele mutat, eért negatív váltoást oko és íg a tartóvégén vissatértünk 0-ba. Egser½u terhelésekhe tartoó igénbevételi ábrák a a a b b a+b a a+b T T h h a a+b b a+b f a ab a+b h/ h fh h/ a b fh fh a+b a+b T T fh h fh a+b h a a+b a+b fh 8 b a+b

27 6 a b T h b a a+b a b a b a b T h a a a a h T h h h h h T h fh fh fh fh f fh fh fh 8

Mechanika. III. előadás március 11. Mechanika III. előadás március / 30

Mechanika. III. előadás március 11. Mechanika III. előadás március / 30 Mechanika III. előadás 2019. március 11. Mechanika III. előadás 2019. március 11. 1 / 30 7. Serkeetek statikája 7.2. Rácsos serkeet hidak, daruk, távveeték tartó oslopok, stb. 3 kn C 4 m 2 4 8 5 3 7 1

Részletesebben

STATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév)

STATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév) STATIKA A minimum test kérdései a gépésmérnöki sak hallgatói résére (2003/2004 tavasi félév) Statika Pontsám 1. A modell definíciója (2) 2. A silárd test értelmeése (1) 3. A merev test fogalma (1) 4. A

Részletesebben

Műszaki Mechanika I. A legfontosabb statikai fogalmak a gépészmérnöki kar mérnök menedzser hallgatói részére (2008/2009 őszi félév)

Műszaki Mechanika I. A legfontosabb statikai fogalmak a gépészmérnöki kar mérnök menedzser hallgatói részére (2008/2009 őszi félév) Műsaki Mechanika I. A legfontosabb statikai fogalmak a gépésmérnöki kar mérnök menedser hallgatói résére (2008/2009 ősi félév) Műsaki Mechanika I. Pontsám 1. A modell definíciója (2) 2. A silárd test értelmeése

Részletesebben

Mechanika. II. előadás március 4. Mechanika II. előadás március 4. 1 / 31

Mechanika. II. előadás március 4. Mechanika II. előadás március 4. 1 / 31 Mechanika II. előadás 219. március 4. Mechanika II. előadás 219. március 4. 1 / 31 4. Merev test megtámasztásai, statikai feladatok megtámasztás: testek érintkezése útján jön létre, az érintkezés során

Részletesebben

2. Koordináta-transzformációk

2. Koordináta-transzformációk Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,

Részletesebben

Statika gyakorló teszt I.

Statika gyakorló teszt I. Statika gakorló teszt I. Készítette: Gönczi Dávid Témakörök: (I) közös ponton támadó erőrendszerek síkbeli és térbeli feladatai (1.1-1.6) (II) merev testre ható síkbeli és térbeli erőrendszerek (1.7-1.13)

Részletesebben

Az F er A pontra számított nyomatéka: M A = r AP F, ahol

Az F er A pontra számított nyomatéka: M A = r AP F, ahol Sécheni István Egetem M saki Tudománi Kar lkalmaott Mechanika Tansék LKLMZTT MECHNIK () Mi a mechanika tárga? Elméleti kérdések és válasok MSc képésben réstvev mérnök hallgatók sámára nagi rendserek (testek)

Részletesebben

Megoldás: ( ) és F 2

Megoldás: ( ) és F 2 . példa Határoa meg F F F erıkbıl álló erırendser F eredıjét annak F nagságát és e iránvektorát valamint a talajban ébredı F 0 támastóerıt! F = 0 N; F = 0 N; F = 0 N! F F F F e e N F = 5.5880 N = F. =

Részletesebben

Szilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR

Szilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Miskolci Egetem GÉÉMÉRNÖKI É INORMTIKI KR ilárságtan (Oktatási segélet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc leveleős hallgatói résére) Késítette: Nánori riges, irbik ánor Miskolc, 2008. Een kéirat a Gépésmérnöki

Részletesebben

Az összetett hajlítás képleteiről

Az összetett hajlítás képleteiről A össetett hajlítás képleteiről Beveetés A elemi silárdságtan ismereteit a tankönvek serői általában igekenek úg kifejteni, hog a kedő sámára se okoanak komolabb matematikai nehéségeket. A húásra / nomásra

Részletesebben

Statika gyakorló teszt II.

Statika gyakorló teszt II. Statika gakorló teszt II. Készítette: Gönczi Dávid Témakörök: (I) Egszerű szerkezetek síkbeli statikai feladatai (II) Megoszló terhelésekkel kapcsolatos számítások (III) Összetett szerkezetek síkbeli statikai

Részletesebben

Műszaki mechanika gyakorlati példák 1. hét: Közös ponton támadó erőrendszer síkban, kötélerők számítása

Műszaki mechanika gyakorlati példák 1. hét: Közös ponton támadó erőrendszer síkban, kötélerők számítása Műsaki mechanika gakorlati példák. hét: Köös ponton támadó erőrendser síkban, kötélerők sámítása. ábrán látható G = 22 N súlerejű lámpát fújja a sél. Ennek hatására a kötél a függőlegestől β = 2 -ban tér

Részletesebben

A ferde hajlítás alapképleteiről

A ferde hajlítás alapképleteiről ferde hajlítás alapképleteiről Beveetés régebbi silárdságtani sakirodalomban [ 1 ], [ ] más típusú leveetések, más alakú képletek voltak forgalomban a egenes tengelű rudak ferde hajlításával kapcsolatban,

Részletesebben

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN ÉRETEZÉS ELLENŐRZÉS STATIUS TERHELÉS ESETÉN A méreteés ellenőrés célkitűése: Annak elérése hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal elviselje a adott terhelést anélkül

Részletesebben

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.

Részletesebben

6. RUDAK ÖSSZETETT IGÉNYBEVÉTELEI

6. RUDAK ÖSSZETETT IGÉNYBEVÉTELEI RUK ÖZETETT GÉNYBEVÉTELE Tönkremeneteli elméletek a) peiális eset: a fesültségi tenornak sak eg eleme nem nulla (pl rudak egserű igénbevételeinél), ϕ tt nins probléma, mert a anagjellemők eekre a egserű

Részletesebben

(5) Mit értünk a szilárdságtanban a dinamikán? A szilárdságtanban a dinamika leírja a terhelés hatására a testben fellépő belső erőrendszert.

(5) Mit értünk a szilárdságtanban a dinamikán? A szilárdságtanban a dinamika leírja a terhelés hatására a testben fellépő belső erőrendszert. SZÉCHENY STVÁN EGYETE ECHANKA - SZLÁRDSÁGTAN ALKALAZOTT ECHANKA TANSZÉK Elméleti kérdések és válasok egetemi alapképésben (BS képésben) réstvevő mérnökhallgatók sámára () i a silárdságtan tárga? A silárdságtan

Részletesebben

3. Szerkezeti elemek méretezése

3. Szerkezeti elemek méretezése . Serkeeti elemek méreteése.. Serkeeti elemek méreteési elvei A EC serint a teherbírási határállapotok ellenőrése során a alábbi visgálatokat kell elvégeni: - Kerestmetseti ellenállások visgálata, ami

Részletesebben

ANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL. Oktatási segédlet

ANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL. Oktatási segédlet ANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL Oktatási segédlet a Rugalmasságtan és Alkalmaott mechanika laboratóriumi mérési gakorlatokho a egetemi mesterképésben (MSc) réstvevő mérnökhallgatók

Részletesebben

A szilárdságtan alapkísérletei III. Tiszta hajlítás

A szilárdságtan alapkísérletei III. Tiszta hajlítás 5. FEJEET silárdságtan alapkísérletei III. Tista hajlítás 5.1. Egenes primatikus rúd tista egenes hajlítása 5.1.1. Beveető megjegések.tista hajlításról besélünk, ha a rúd eg adott sakasa csak hajlításra

Részletesebben

az eredő átmegy a közös ponton.

az eredő átmegy a közös ponton. M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár g közös ponton támadó koncentrált erők (centrális erőrendszer) Két erő eredője: = +, Több erő eredője: = + ++...+ n, az eredő átmeg a közös

Részletesebben

TARTÓSZERKETETEK III.

TARTÓSZERKETETEK III. TARTÓSZERKETETEK III. KERESZTETSZETEK ELLENÁLLÁSA + STABILITÁSI ELLENÁLLÁS 1 KERESZTETSZETEK ELLENÁLLÁSA 1.1 Csavarlukkal gengített köpontosan húott rúd 1. Egik sárán kapsolt köpontosan húott sögaél 1.

Részletesebben

A szilárdságtan 2D feladatainak az feladatok értelmezése

A szilárdságtan 2D feladatainak az feladatok értelmezése A silárdságtan D feladatainak a feladatok értelmeése Olvassa el a ekedést! Jegee meg a silárdságtan D feladatainak csoportosítását! A silárdságtan (rugalmasságtan) kétdimeniós vag kétméretű (D) feladatai

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a rugalmasságtan 2D feladatainak elméleti alapjait.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a rugalmasságtan 2D feladatainak elméleti alapjait. 9 modul: A rugalmasságtan D feladatai 9 lecke: A D feladatok definíciója és egenletei A lecke célja: A tananag felhasnálója megismerje a rugalmasságtan D feladatainak elméleti alapjait Követelmének: Ön

Részletesebben

Fizika A2E, 1. feladatsor

Fizika A2E, 1. feladatsor Fiika AE, 1. feladatsor Vida Görg Jósef vidagorg@gmail.com 1. feladat: Legen a = i + j + 3k, b = i 3j + k és c = i + j k. a Mekkora a a, b és c vektorok hossa? b Milen söget ár be egmással a és b? c Mekkora

Részletesebben

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL Koák Imre Seidl Görg FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 008 0 Tartalomjegék. fejeet. tenorsámítás elemei.. Beveető megjegések.. Függvének.3. másodrendű tenor fogalmának geometriai beveetése 5.4. Speciális

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erő, a nyomaték és erőrendszerek jellemzőit.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erő, a nyomaték és erőrendszerek jellemzőit. 2 modul: Erőrendserek 21 lecke: Erő és nomték lecke célj: tnng felhsnálój megismerje erő, nomték és erőrendserek jellemőit Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően tnngot, h sját svivl meg tudj htároni

Részletesebben

12. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.

12. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár. 1 EHNK-ZLÁRDÁGTN GYKORLT (kidolgota: dr Nag Zoltán eg adjunktus; Bojtár Gergel eg Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár) 11 Primatikus rúd össetett igénbevétele (nírás és hajlítás) dott: a 0,4 m, b 45 mm, F 1 kn,

Részletesebben

l = 1 m c) Mekkora a megnyúlás, ha közben a rúd hőmérséklete ΔT = 30 C-kal megváltozik? (a lineáris hőtágulási együtható: α = 1, C -1 )

l = 1 m c) Mekkora a megnyúlás, ha közben a rúd hőmérséklete ΔT = 30 C-kal megváltozik? (a lineáris hőtágulási együtható: α = 1, C -1 ) 5. TIZTA HÚZÁ-NYOMÁ, PÉLDÁK I. 1. a) Határouk meg a függestőrúd négetkerestmetsetének a oldalhossát cm-re kerekítve úg, hog a függestőrúdban ébredő normálfesültség ne érje el a σ e = 180 MPa-t! 3 m 1 C

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Statika. Készítette: Nándori Frigyes, Szirbik Sándor Mechanikai Tanszék, 3515 Miskolc-Egyetemváros

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Statika. Készítette: Nándori Frigyes, Szirbik Sándor Mechanikai Tanszék, 3515 Miskolc-Egyetemváros iskolci Egetem GÉPÉSZÉRNÖKI ÉS INORTIKI KR Sttik (Okttási segédlet Gépésmérnöki és Informtiki Kr sc leveleős hllgtói résére) Késítette: Nándori riges, Sirbik Sándor echniki Tnsék, 3515 iskolc-egetemváros

Részletesebben

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása 5. Többváltoós függvének differenciálsámítása 5.. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének elsőrendű parciális derivált függvéneit és a gradiens függvénét, valamint eek értékét a megadott pontban:, =

Részletesebben

A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát.

A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát. Oros Gyula, 00. november Emelt sintű érettségi feladatsor Össeállította: Oros Gyula; dátum: 00. október A feladatsorok össeállításánál felhasnáltuk a Nemeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkésítő

Részletesebben

Dr. Égert János Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT RUGALMASSÁGTAN

Dr. Égert János Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT RUGALMASSÁGTAN Dr Égert János Dr Nag Zoltán ALALMAZOTT UGALMASSÁGTAN Dr Égert János Dr Nag Zoltán ALALMAZOTT UGALMASSÁGTAN UNIVESITAS-GYŐ Nonprofit ft Gőr 9 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM GYŐ Írta: Dr Égert János Dr Nag Zoltán

Részletesebben

σ = = (y', z' ) = EI (z') y'

σ = = (y', z' ) = EI (z') y' 178 5.4.. Váltoó kerestmetsetű rudak tsta hajlítása Enhén váltoó kerestmetsetű, tsta hajlításra génbevett rúdnál a eges pontok fesültség állapota - a váltoó kerestmetsetű rudak tsta nomásáho vag húásáho

Részletesebben

Y 10. S x. 1. ábra. A rúd keresztmetszete.

Y 10. S x. 1. ábra. A rúd keresztmetszete. zilárdságtan mintafeladatok: tehetetlenségi tenzor meghatározása, a tehetetlenségi tenzor főtengelproblémájának megoldása két mintafeladaton keresztül Először is oldjuk meg a gakorlatokon is elhangzott

Részletesebben

GÉPÉSZMÉRNÖKI, INFORMATIKAI ÉS VILLAMOSMÉRNÖKI KAR

GÉPÉSZMÉRNÖKI, INFORMATIKAI ÉS VILLAMOSMÉRNÖKI KAR ZÉCHENYI ITVÁN EGYETE GÉPÉZÉRNÖKI, INFRTIKI É VILLÉRNÖKI KR E C H N I K LKLZTT ECHNIK TNZÉK Elméleti kérdések és válasok mesterképésben (c) réstvevő mérnökhallgatók sámára 1 dja meg vektorok skaláris sorásának

Részletesebben

A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása

A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása 3. FEJEZET silárdságtan alapkísérletei I. Egenes rúd húása, ömök rúd nomása 3.. alapkísérletek célja Hétkönapi megfigelés, hog uganaon silárd test alakváltoásainak mértéke függ a testet terhelő erőrendsertől.

Részletesebben

2. Koordináta-transzformációk

2. Koordináta-transzformációk Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,

Részletesebben

Héj / lemez hajlítási elméletek, felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok

Héj / lemez hajlítási elméletek, felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok Héj / leme hajlítási elméletek felületi fesültségek / élerők és élnomatékok Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Jegee meg a héj és a leme definícióját! Tanulja meg a superpoíció elvét és a membrán állapot

Részletesebben

Acélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint

Acélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint Acélserkeetek méreteése Eurocode 3 serint Gakorlati útmutató Dunai Lásló, Horváth Lásló, Kovács auika, Varga Géa, Verőci Béla, Vigh L. Gergel (a Útmutató jelen késültségi sintjén a Tartalomjegékben dőlt

Részletesebben

Robottechnika II. 1. Bevezetés, ismétlés. Ballagi Áron Automatizálási Tanszék

Robottechnika II. 1. Bevezetés, ismétlés. Ballagi Áron Automatizálási Tanszék Robottechnika II. 1. Beveetés, ismétlés Ballagi Áron Automatiálási Tansék Bemutatkoás Dr. Ballagi Áron tansékveető-helettes, egetemi docens Automatiálási Ts. C71, 3461 Autonóm és Intelligens Robotok Laboratórium

Részletesebben

A VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

A VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI A projekt címe: Egségesített Jármű- és mobilgépek képés- és tananagfejlestés A megvalósítás érdekében létrehoott konorcium réstvevői: KECSKEMÉI FŐISKOA BUDAPESI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGUDOMÁNYI

Részletesebben

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A

Részletesebben

Terhelés: Minden erőt egy terhelési esetben veszünk figyelembe.

Terhelés: Minden erőt egy terhelési esetben veszünk figyelembe. 71 Síkbeli rácsos tartó Adott: A serkeet geometriai méretei A rudak átmérője: d = 4 mm A anag acél: 5 N E =,1 1, ν =,3 mm A terhelés: F1 = F = kn, F 3 = 4 kn F 1 A 6 5m F F 3 1 m B Feladat: a) A serkeet

Részletesebben

Egzakt következtetés (poli-)fa Bayes-hálókban

Egzakt következtetés (poli-)fa Bayes-hálókban gakt követketetés pol-fa Baes-hálókban Outlne Tpes of nference B method: exact, stochastc B purpose: dagnostc sngle-step, sequental DSS, explanaton generaton Hardness of exact nference xact nference n

Részletesebben

14. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Tarnai Gábor mérnöktanár.) Adott:, F F. y A

14. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Tarnai Gábor mérnöktanár.) Adott:, F F. y A 4 EHNK-SZLÁRDSÁGTN GYKORLT (kidogota: Tarnai Gábor mérnöktanár) 4 Statikaiag határoatan tartó igénbeéteeinek meghatároása: (astigiano téte) dott: m kn 4 5 mm N E 5 mm Statikai ismeretenek: tartó statikaiag

Részletesebben

2.2. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ÉS VÁLASZOK EGYETEMI MÉRNÖKHALLGATÓK SZÁMÁRA

2.2. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ÉS VÁLASZOK EGYETEMI MÉRNÖKHALLGATÓK SZÁMÁRA 2.2. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ÉS VÁLSZK EGYETEMI MÉRNÖKHLLGTÓK SZÁMÁR (1) Mi a mechanika tága? nagi endseek (testek) heletváltotatással jáó mogásainak és a eeket létehoó hatásoknak (e knek) a visgálata. heletváltoást

Részletesebben

Statika. Armuth Miklós, Karácsonyi Zsolt, Bodnár Miklós. Nyugat-magyarországi Egyetem TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0067

Statika. Armuth Miklós, Karácsonyi Zsolt, Bodnár Miklós. Nyugat-magyarországi Egyetem TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0067 ! Nugat-magarországi Egetem Armuth Miklós, Karácsoni Zsolt, Bodnár Miklós Statika Műszaki metaadatázis alapú fenntartható e-learning és tudástár létrehozása TÁMOP-4.1..A/1-11/1-011-0067 GSPulisherEngine

Részletesebben

A statika és dinamika alapjai 11,0

A statika és dinamika alapjai 11,0 FA Házi feladatok (A. gakorlat) Adottak az alábbi vektorok: a=[ 2,0 6,0,2] [ 5,2,b= 8,5 3,9] [ 4,2,c= 0,9 4,8] [,0 ],d= 3,0 5,2 Számítsa ki az alábbi vektorokat! e=a+b+d, f =b+c d Számítsa ki az e f vektort

Részletesebben

HÁZI FELADAT megoldási segédlet PONTSZERŐ TEST MOZGÁSA FORGÓ TÁRCSA HORNYÁBAN 2. Anyagi pont dinamikája neminerciarendszerben

HÁZI FELADAT megoldási segédlet PONTSZERŐ TEST MOZGÁSA FORGÓ TÁRCSA HORNYÁBAN 2. Anyagi pont dinamikája neminerciarendszerben HÁZI FELADAT megolási segélet PONTSZEŐ TEST MOZGÁSA FOGÓ TÁCSA HONYÁBAN. Anyagi pont inamikája neminerciarenserben. A pont a tárcsán egyenes pályán moog, mert a horony kénysert jelent a mogása sámára.

Részletesebben

Fizika A2E, 5. feladatsor

Fizika A2E, 5. feladatsor Fiika A2E, 5. feladatsor Vida György Jósef vidagyorgy@gmail.com. feladat: Mi a homogén E térer sség potenciálja? A potenciál deníciója: E(x,y, = U(x,y,, amely kifejtve a három komponensre: Utolsó módosítás:

Részletesebben

Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 65 percre lesz szüksége.

Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 65 percre lesz szüksége. 4. modul: Rudak igénbevételei, igénbevételi ábrái 4.2. lecke: Igénbevételi ábrák, igénbevételi függvének lecke célja: tananag felhanálója megimerje: a rudak igénbevételi ábráit, megrajoláuk gondolatmenetét;

Részletesebben

1. Lineáris transzformáció

1. Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható

Részletesebben

Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 9. hét. , ahol ρ a sűrűség (ami lehet helyfüggő is), és M = ρ dv az össztömeg. ϕ=104,45 d=95,84 pm !,!

Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 9. hét. , ahol ρ a sűrűség (ami lehet helyfüggő is), és M = ρ dv az össztömeg. ϕ=104,45 d=95,84 pm !,! Fiika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 9. hét Tömegköéppont (súlpont) Pontrendser esetén a m i tömegű, r i helvektorú tömegpontok tömegköéppontja a tömegekkel súloott átlagos helvektor: = =, ahol M

Részletesebben

Mechanika II. Szilárdságtan

Mechanika II. Szilárdságtan echanika II. Szilárdságtan Zalka Károl / q / B Budapest, 05 Zalka Károl, 05, e-kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni. Tilos viszont a kiadvánt

Részletesebben

Mechanika című MSc tantárgy: TENGELYMÉRETEZÉS

Mechanika című MSc tantárgy: TENGELYMÉRETEZÉS ZÉHENY TVÁN EGYETE GÉPÉZÉRNÖ NORT É VLLOÉRNÖ R LLZOTT EHN TNZÉ ehanika ímű tantárg: TENGELYÉRETEZÉ felaat: őtengel méreteée feültégúra iolgoá: ott: eg körgűrű keretmetetű tartó (őtengel) veéle keretmetetének

Részletesebben

3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra

3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra SZÉCHENYI ISÁN EGYEEM AAMAZO MECHANIA ANSZÉ 6. MECHANIA-ÉGESEEM MÓDSZER EŐADÁS (kidolgozta: Szüle eronika, eg. ts.) I. előadás. okális aroimáció elve, végeselem diszkretizáció egdimenziós feladatra.. Csomóonti

Részletesebben

Feladatok Oktatási segédanyag

Feladatok Oktatási segédanyag VIK, Műsaki Informatika ANAÍZIS () Komplex függvénytan Feladatok Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műsaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján össeállította: Frit

Részletesebben

9. A RUGALMASSÁGTAN 2D FELADATAI

9. A RUGALMASSÁGTAN 2D FELADATAI 9 A UGALMASSÁGTAN D FELADATAI A D ( két dimeniós ) feladatok köös jellemői: - két skalár elmodulásmeő különöik nullától - minden mechanikai menniség két helkoordinátától függ 9 Sík alakváltoás (SA) a)

Részletesebben

ANALITIKUS MÓDSZER RÉSZLEGESEN KAPCSOLT, RÉTEGEZETT KOMPOZIT RUDAK SZILÁRDSÁGTANI FELADATAINAK MEGOLDÁSÁRA

ANALITIKUS MÓDSZER RÉSZLEGESEN KAPCSOLT, RÉTEGEZETT KOMPOZIT RUDAK SZILÁRDSÁGTANI FELADATAINAK MEGOLDÁSÁRA Multidisciplináris tudománok. kötet. () s. pp. 89-. ANALITIKUS MÓDSZER RÉSZLEGESEN KAPCSOLT RÉTEGEZETT KOMPOZIT RUDAK SZILÁRDSÁGTANI FELADATAINAK MEGOLDÁSÁRA Lengel Ákos Jósef Ecsedi István doktorandus

Részletesebben

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL Koák Imre Seidl Görg FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 004 008 . FEJEZET tenorsámítás elemei.. Beveető megjegések... Könapi tapastalat, hog a terméset jelenségei függetlenek a megfigelőtől. Várható tehát,

Részletesebben

9. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.

9. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár. LKLZOTT EHNIK TNSZÉK 9 EHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgot: dr Ng Zoltán eg djunktus; ojtár Gergel eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) 9 Fjlgos núlás htároás núlásmérő béleggel érőeskö: 6 -os núlásmérő béleg

Részletesebben

6.8. Gyorsan forgó tengelyek, csőtengelyek

6.8. Gyorsan forgó tengelyek, csőtengelyek 68 Gyorsan forgó tengelyek, csőtengelyek p y p S iinduló feltételeések: - állandó, - a súlyerő, - p p A silárdságtani állapotokat henger koordinátarendseren (H-en) írjuk le Forgás a gyorsulásól sármaó,

Részletesebben

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg

Részletesebben

1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK

1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK Gak 01 Mechanka. Szlárdságtan 016 01 Segédlet MECHNK. TNNYG SMÉTLÉSE Tartalom 1. MÁSODRENDŰ NYOMTÉK... 1. RÁCSOS TRTÓ.... GÉNYEVÉTEL ÁRÁK... 5. TÉREL TRTÓK GÉNYEVÉTEL ÁRÁ... 8 Ez a Segédlet a 015, 016

Részletesebben

A fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként

A fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként A fő - másodrendű nomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként A Keresztmetszeti jellemzők című mappa első lakója eg ritkábban látható levezetést mutat be amel talán segít helesen elrendezni

Részletesebben

11. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár)

11. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár) SZÉHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MEHNIK TNSZÉK.. Példa:. MEHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozta: Triesz Péter, eg. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár) Összetett szerkezetek statikája (három csuklós ív, Gerber tartó)

Részletesebben

5. Szerkezetek méretezése

5. Szerkezetek méretezése . Serkeeek méreeése Hajlío, ömör gerinű gerendaarók és oso selvénű nomo rúd méreeési példái..1. Tömör gerinű gerendaarók méreeése.1.1. elegen hengerel gerendaarók Sükséges ismereek: - Keresmesei ellenállások

Részletesebben

Cél: elsőrendű feladatukat ellássák (védelem a természeti hatások ellen) erőhatásokat biztonsággal viseljék gazdaságosak legenek Eges szerk. elemek an

Cél: elsőrendű feladatukat ellássák (védelem a természeti hatások ellen) erőhatásokat biztonsággal viseljék gazdaságosak legenek Eges szerk. elemek an MECHNIK I. /Statika/ 1. előadás SZIE-YMM 1. Bevezetés épületek, építmének fizikai hatások, köztük erőhatások részleges vag teljes tönkremenetel használhatatlanná válás anagi kár, emberáldozat 1 Cél: elsőrendű

Részletesebben

MECHANIKA I. /Statika/ 1. előadás SZIE-YMM 1. Bevezetés épületek, építmények fizikai hatások, köztük erőhatások részleges vagy teljes tönkremenetel használhatatlanná válás anyagi kár, emberáldozat 1 Cél:

Részletesebben

Kalkulus II., harmadik házi feladat

Kalkulus II., harmadik házi feladat Név: Neptun: Web: http://mawell.sze.hu/~ungert Kalkulus II., harmadik házi feladat.,5 pont) Határozzuk meg a következ határértékeket: ahol a) A =, ), b) A =, ), c) A =, ).,) A Az egszer bb kezelhet ség

Részletesebben

2.2. A z-transzformált

2.2. A z-transzformált 22 MAM2M előadásjegyet, 2008/2009 2. A -transformált 2.. Egy információátviteli probléma Legyen adott egy üenetátviteli rendserünk, amelyben a üeneteket két alapjel mondjuk a és b segítségével kódoljuk

Részletesebben

Acélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint

Acélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint Aélserkeetek méreteése Euroode serint Gakorlati útmutató rásos tartó síkja h t t r h t Serők: Dunai Lásló, Horváth Lásló, Kovás auika, Verői Béla, Vigh L. Gergel Verió: 9.9.. Tartalomjegék. Beveetés....

Részletesebben

ÍVHÍDMODELL TEHERBÍRÁSA: KÍSÉRLETI, NUMERIKUS ÉS SZABVÁNYOS EREDMÉNYEK

ÍVHÍDMODELL TEHERBÍRÁSA: KÍSÉRLETI, NUMERIKUS ÉS SZABVÁNYOS EREDMÉNYEK ÍVHÍDODELL TEHERBÍRÁSA: KÍSÉRLETI, UERIKUS ÉS SZABVÁYOS EREDÉYEK Dunai Lásló * - Joó Attila Lásló ** RÖVID KIVOAT A Dunaújvárosi Duna-híd terveése kapcsán a BE Hidak és Serkeetek Tansékén végrehajtottunk

Részletesebben

A rögzített tengely körül forgó test csapágyreakcióinak meghatározása a forgástengely ferde helyzete esetében. Bevezetés

A rögzített tengely körül forgó test csapágyreakcióinak meghatározása a forgástengely ferde helyzete esetében. Bevezetés A rögített tengel körül forgó test csapágreakcióinak meghatároása a forgástengel ferde helete esetében Beveetés A előő dolgoatokban nem esett só a forgástengel ferde heletének esetéről. Aokban a ábrák

Részletesebben

14. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Tarnai Gábor, mérnöktanár) Érdes testek - súrlódás

14. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Tarnai Gábor, mérnöktanár) Érdes testek - súrlódás SZÉCHENYI ISTVÁN EYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK 4. MECHNIK-STTIK YKORLT (kidolgozt: Trni ábor, mérnöktnár) Érdes testek - súrlódás 4.. Péld. dott: z ábrán láthtó letőn elhelezett test méretei és terhelése.

Részletesebben

Máté: Számítógépes grafika alapjai

Máté: Számítógépes grafika alapjai VETÍTÉSEK Vetítések fajtái / Trasformációk amelek -imeiós objektumokat kisebb imeiós terekbe visek át. Pl. 3D 2D Vetítés köéotja ersektívikus A A B Vetítési B Vetítés köéotja a végtelebe árhuamos A A B

Részletesebben

A táblázatkezelő mérnöki alkalmazásai. Számítógépek alkalmazása előadás nov. 24.

A táblázatkezelő mérnöki alkalmazásai. Számítógépek alkalmazása előadás nov. 24. A tábláatkeelő mérnöki alkalmaásai Sámítógépek alkalmaása. 7. előadás 003. nov. 4. A előadás témái Felsín- és térfogatsámítás A Visual Basic Modul hasnálata Egyenletmegoldás, sélsőérték sámítás A Solver

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

A hajlítással egyidejű nyírás fogalma. Tipikus esetek a mérnöki gyakorlatban

A hajlítással egyidejű nyírás fogalma. Tipikus esetek a mérnöki gyakorlatban 24. HAJLÍTÁ É NYÍRÁ I. A hajlítással egidejű nírás fogalma M Ha a rúd eg kerestmetsetének nemérus níróigénbeételen kíül a nírásra merőleges hajlítónomaték-komponense is an, akkor a nírást hajlítással egidejűnek

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x. Mat. A3 9. feladatsor 06/7, első félév. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek típusát (eplicit-e vag implicit, milen rendű, illetve fokú, homogén vag inhomogén)! a) 3 (tg) +ch = 0 b) = e ln c)

Részletesebben

A PÓLUSMOZGÁS FIZIKAI ALAPJAI. Völgyesi Lajos *

A PÓLUSMOZGÁS FIZIKAI ALAPJAI. Völgyesi Lajos * Geomatikai Kölemének V., PÓLUSMOZGÁS FZK LPJ Völgesi Lajos * Phsical backgrounds of polar motion. Rotation of the Earth is quite involved process. Deep knowledge of certain area of phsics is indispensable

Részletesebben

12. AZ EULER-FÉLE SZABADNUTÁCIÓ, KÉNYSZERNUTÁCIÓ, PÓLUSVÁNDORLÁS

12. AZ EULER-FÉLE SZABADNUTÁCIÓ, KÉNYSZERNUTÁCIÓ, PÓLUSVÁNDORLÁS 1. Z EULER-FÉLE SZBDUTÁCÓ, KÉYSZERUTÁCÓ, PÓLUSVÁDORLÁS Euler-egenletek inen merev test forgása során a forgási tehetetlensége miatt igeksik megtartani forgási állapotát, más sóval a impulusnomaték megmaraási

Részletesebben

Fizikai kémia 2. A newtoni fizika alapfeltevései. A newtoni fizika alapfeltevései E teljes. (=T) + E helyzeti.

Fizikai kémia 2. A newtoni fizika alapfeltevései. A newtoni fizika alapfeltevései E teljes. (=T) + E helyzeti. 06.07.0. Fiikai kémia.. A kvantummechanika alajai Dr. Berkesi Ottó SZTE Fiikai Kémiai és Anagtudománi Tanséke 05 A newtoni fiika alafeltevései I. Minden test megtartja mogásállaotát amíg valamilen erő

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Tevékenység: Olvassa el a jegyzet oldalain található tananyagát! Tanulmányozza át a segédlet 11. fejezetében lévı kidolgozott feladatot!

Tevékenység: Olvassa el a jegyzet oldalain található tananyagát! Tanulmányozza át a segédlet 11. fejezetében lévı kidolgozott feladatot! 3.2. Lánchajtások Tevékenység: Olvassa el a jegyet 163-173 oldalain található tananyagát! Tanulmányoa át a segédlet 11. fejeetében lévı kidolgoott feladatot! A tananyag tanulmányoása köben a alábbiakra

Részletesebben

Egy feltételes szélsőérték - feladat

Egy feltételes szélsőérték - feladat Eg feltételes sélsőérté - feladat A most öveteő feladattal már régen találotam; most újra elővesem. Ami lepő, a a, hog a 80 - as éve elején történt találoás óta sehol nem uant fel, pedig jócsán hordo tanulságoat.

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,

Részletesebben

Leggyakoribb fa rácsos tartó kialakítások

Leggyakoribb fa rácsos tartó kialakítások Fa rácsostartók vizsgálata 1. Dr. Koris Kálmán, Dr. Bódi István BME Hidak és Szerkezetek Tanszék Leggakoribb fa rácsos tartó kialakítások Változó magasságú Állandó magasságú Kis mértékben változó magasságú

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a forgó tömegek kiegyensúlyozásának elméleti alapjait.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a forgó tömegek kiegyensúlyozásának elméleti alapjait. modu: Kinematika Kinetika 4 ecke: Forgó tömegek kiegensúoása ecke céja: tananag fehasnáója megismerje a forgó tömegek kiegensúoásának eméeti aapjait Követemének: Ön akkor sajátította e megfeeően a tananagot

Részletesebben

- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége.

- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége. 2 LPFGLK mechnk fk egk (klsskus) résterülete mechnk tárg: testek (ng pontok ng pontrendserek) heletváltottó mogásnk és eeket létrehoó htásoknk (erőknek) vsgált vsgált testek hlmállpot sernt besélhetünk:

Részletesebben

x = 1 egyenletnek megoldása. Komplex számok Komplex számok bevezetése

x = 1 egyenletnek megoldása. Komplex számok Komplex számok bevezetése Komplex sámok Komplex sámok beveetése A valós sámok körét a követkeőképpen építettük fel. Elősör a termésetes sámokat veettük be. Itt két művelet volt, a össeadás és a sorás (ismételt össeadás A össeadás

Részletesebben

- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége.

- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége. LFGLK mechnk fk egk (klsskus) résterülete mechnk tárg: testek (ng pontok ng pontrendserek) heletváltottó mogásnk és eeket létrehoó htásoknk (erőknek) vsgált vsgált testek hlmállpot sernt besélhetünk: -

Részletesebben

Mechanika I. Statika

Mechanika I. Statika echanika I. Statika Zalka Károl 3 q 3 C 0 7 6 3 5 4 4 5 8 7 6 9 udapest, 08 Zalka Károl, 983-08, ásodik kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni.

Részletesebben

A K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS-

A K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS- A K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS- Forgatónyomaték meghatározása G Á L A T A Egy erő forgatónyomatékkal hat egy pontra, ha az az erővel össze van kötve. Például

Részletesebben

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet! HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MAEMAIKAVERSENY MEZŐKÖVESD Sóeli feldto és megoldáso ostál ) Oldju meg vlós sámhármso hlmán öveteő egenletet! ( pont) A egenlet l oldlát átlíthtju öveteőéppen: A l oldl egi tgj sem

Részletesebben

A flóderes rajzolatról

A flóderes rajzolatról A flóderes rajolatról Beveetés Ebben a dolgoatban vagy talán több ilyenben is at a célt igyeksünk megvalósítani, hogy matematikailag leírjuk a faanyag úgyneveett flóderes, más néven lángnyelv alakú rajolatát.

Részletesebben

Példatár megoldások. æ + ö ç è. ö ç è. ö ç è. æ ø. = ø

Példatár megoldások. æ + ö ç è. ö ç è. ö ç è. æ ø. = ø Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft. Pldatár megoldások. feladat megoldása Mivel s B típusa megegeik, a sseadás elvgehető s Z is

Részletesebben

5. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár)

5. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár) ZÉCHENY TVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANKA TANZÉK 5. MECHANKA-ZLÁRDÁGTAN GYAKORLAT (kidogota: dr. Nag Zotá eg. adjuktus; Bojtár Gerge eg. ts.; Tarai Gábor méröktaár) 5.. Rugamas sá differeciáegeete (ehajás

Részletesebben