5. Analytic Hierarchy Process (AHP)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "5. Analytic Hierarchy Process (AHP)"

Átírás

1 5 Analytic Hierarchy Process (AHP) (ld Temesi J: A döntéselmélet alapjai, ) (Rapcsák T: Többszempontú döntési problémák I ld ITobbsz-dont-modszpdf) 51 Bevezetés Az AHP-t Thomas Saaty fejlesztette ki 1980-ban Az erre épülő szoftver az Expert Choice, melynek jelenleg az EC 115-ös változata a legfrissebb A szoftver letölthető a honlapról a 15 napig működő demo változathoz is ott lehet kódot kérni Az AHP többszempontú döntési problémák megoldására alkalmas eljárás, ami lehetővé teszi a döntési feladatok logikus rendszerbe foglalását A döntési feladatok megoldásának első lépése a döntési feladat felépítése, ami a cél megfogalmazásából, az alternatívák kiválasztásából és a szempontok meghatározásából áll Az AHP-ben a döntési probléma az áttekinthetőség érdekében egy többszintű fastruktúraként van ábrázolva, amelynek legfelső szintjén a cél, az alatta levő szinteken a szempontok, az alszempontok stb, a legalsó szinten pedig az alternatívák helyezkednek el A legalacsonyabb szinten levő szempontokat levélszempontoknak nevezzük Az AHP döntési modellek szerkezetét mutatja az alábbi ábra 1

2 2 Látható, hogy az EC modellekben a grafikus ábrázolásában az alternatívák nincsenek megkülönböztetve a szempontoktól Az egyedüli különbség az, hogy az alternatívák helyezkednek el a szempontfa legalsó szintjén Az EC által kezelt fák legfeljebb 5 szint mélységűek, és egy szempontnak legfeljebb 9 alszempontja lehet, így - mivel az utolsó szinten az alternatívák vannak - elvileg 7380 = ( ) szempont kezelhető; ezekből 9 4 = 6561 levélszempont Az AHP döntési modellekben a cél mindig az adott alternatívák rangsorának a meghatározása Mivel az értékelési szempontok fastrukúrába vannak rendezve, ezért a szempontok közötti összefüggéseket is figyelembe lehet venni Az alternatívák szempontok szerinti értékelése alapulhat névleges, rangsor, intervallum és arányossági (hányados) skálán megadott értékeken

3 A döntési feladat megoldása a különböző AHP modellekben a következő lépésekből áll: 1 a szempontok súlyainak a meghatározása; 2 az alternatívák kiértékelése a megadott szempontok szerint; 3 a súlyozás és az értékelések összegzése 52 Páros összehasonlítás Az AHP döntési problémák megoldásának az egyik alapeszköze a páros (páronkénti) összehasonlítás, amit a szempontok súlyozására és az alternatívák egyes szempontok szerinti értékelésére egyaránt alkalmaznak A páros összehasonlítás mátrix általános esetben a következő, ahol a p i (i = 1,, n) súlyok tetszőleges, pozitív valós számok Itt a páros összehasonlítás mátrixát az A 1, A 2,, A n alternatívákra írjuk fel A 1 A 2 A n A 1 p 1 /p 1 p 1 /p 2 p 1 /p n A 2 p 2 /p 1 p 2 /p 2 p 2 /p n A n p n /p 1 p n /p 2 p n /p n Itt az a ij = p i /p j hányados azt mutatja, hogy az A i alternatíva hányszor jobb, előnyösebb az A j alternatívánál Azt is mondhatjuk, hogy a p i > 0 szám az A i alternatíva súlya Ha 3 p 1 /p 1 p 1 /p 2 p 1 /p n A = p 2 /p 1 p 2 /p 2 p 2 /p n p n /p 1 p n /p 2 p n /p n Rn n, p = p 1 p 2 p n Rn

4 4 az összehasonlítás mátrixa és a súlyok vektora, akkor látható, hogy Ap = np vagyis n az A mátrix sajátértéke és a hozzá tartozó sajátvektor éppen a súlyvektor Az A mátrix rangja 1, ennek segítségével igazolható, hogy A-nak csak egy nemzérus sajátértéke van Igazolható, hogy minden páros összehasonlítási mátrixnak két sajátértéke van, n, melynek multiplicitása 1 és a hozzá tartozó sajátvektor a p súlyvektor, a másik sajátérték 0, melynek multiplicitása n 1 és a hozzá tartozó lineárisan független sajátvektorok (p 1, 0, 0,, 0), (0, p 2, 0,, 0),, (0, 0, 0,, p n 1, 0) A páros összehasonlítási mátrixok a ij elemeire teljesül az, hogy a ij = 1 a ji mivel a ij = a ik a kj mivel p i p j = 1 p j p i p i p j = p i p k p k p j Definició Az A = (a ij ) R n n pozitív elemű a ij > 0 mátrixot reciprok mátrixnak nevezzük, ha a ij = 1 a ji (i, j = 1,, n) (1) Definició Az A = (a ij ) R n n mátrixot konzisztens mátrixnak nevezzük, ha a ij = a ik a kj (i, k, j = 1,, n) (2) A (2) egyenlet azt jelenti, hogy bármely rögzített i, k indexekre egy konzisztens A mátrix i-edik sorának elemei a k-adik sor elemeinek konstansszorosai (a konstans a ik függ az i, k indexektől)

5 Világos, hogy minden páros összehasonlítási mátrix pozitív (elemű) és konzisztens, és fordítva, minden pozitív (elemű) konzisztens mátrix páros összehasonlítási mátrix A megfordítás igazolásához legyen A = (a ij ) pozitív (elemű) konzisztens, akkor (2)-ből j = k = i-vel következik, hogy a ii = a ii a ii, azaz a ii (1 a ii ) = 0 azaz a ii = 1 vagy [a ii = 0] (3) Továbbá j = i-vel 1 = a ii = a ik a ki, azaz a ik = 1 a ki (4) azaz pozitív konzisztens mátrix reciprok Átjelölve A első oszlopának elemeit 1, P 2, P 3,, P n -nel (4) miatt az első sor elemei rendre 1, 1/P 2, 1/P 3,, 1/P n amiből a (3) tulajdonság miatt az első, második, harmadik, stb n-edik sor elemei úgy kaphatók, hogy az első sor minden elemét rendre megszorozzuk az 1, P 2, P 3,, P n számokkal így az A mátrix 1 1/P 2 1/P 3 1/P n P 2 1 P 2 /P 3 P 2 /P n P 3 P 3 /P 2 1 P 3 /P n P n P n /P 2 P n /P 3 1 végül P i = p i /p 1 (i = 1,, n)-nel kapjuk hogy A elemei a ij = p i /p j alakúak, amint azt állítottuk Láttuk, hogy ha egy pozitív mátrix konzisztens, akkor bármely sora egy tetszőleges másik sorának pozitív konstansszorosa Egyúttal az is adódik, hogy konzisztens mátrix rangja 1 5

6 6 De abból, hogy egy mátrix rangja 1 következik az, hogy a mátrix konzisztens Ellenpélda a ( ) melynek rangja 1, de nem konzisztens mivel a 22 = 4 1 Igazolhatók a következő tételek Tétel Egy pozitív reciprok mátrix akkor és csak akkor konzisztens, ha λ max = n Tétel Ha egy pozitív mátrix konzisztens, akkor bármely sora egy tetszőleges másik sorának pozitív konstansszorosa 53 Az AHP módszer A döntéshozatal során a döntéshozó a döntési feladat szempont súlyainak meghatározására és az alternatívák minden egyes levélszempont szerinti kiértékelésére megadja a páros összehasonlítás mátrixokat A páros összehasonlítás intervallum-skálája az AHP módszertanban a következő: 1 egyformán fontos / előnyös; 3 mérsékelten fontosabb / előnyösebb; 5 sokkal fontosabb / előnyösebb; 7 nagyon sokkal fontosabb / előnyösebb; 9 rendkívüli mértékben fontosabb / előnyösebb A páros összehasonlításnál felhasználhatjuk a 2, 4, 6, 8 közbenső értékeket is A döntési feladatok megoldása során keletkező tapasztalati páros összehasonlítás mátrixok sok esetben nem konzisztensek, ezért erre a mátrix osztályra is ki kell terjeszteni a páros összehasonlítás módszert A páros összehasonlítás mátrixok elemei pozitívak, így ez a mátrixosztály részosztálya a pozitív elemű mátrixoknak Perron 1907-ben az alábbi alapvető állítást bizonyította

7 Perron tétel Minden pozitív elemű mátrixnak van olyan egyszeres pozitív sajátértéke, amely nagyobb bármely másik sajátérték abszolút értékénél, a hozzátartozó sajátvektor koordinátái pozitív számok és egy konstanssal való szorzás erejéig egyértelműen meg vannak határozva A páros összehasonlítás mátrixokból a szempontok fontosságát, illetve az alternatívák egyes levélszempontokra vonatkoztatott pontértékét úgy kapjuk, hogy meghatározzuk a páros összehasonlítás mátrixok legnagyobb sajátértékeihez tartozó sajátvektorokat, és az így kapott sajátvektorok komponensei adják a prioritásokat (a p i értékeket) A módszer hasznossága azon alapul, hogy a gyakorlatban éppen a p i értékek ismeretlenek, és a p i /p j hányadosokról rendelkezünk információval a páros összehasonlítások elvégzése után A döntéshozó ugyanis azt mérlegeli, hogy bármely két szempont vagy alternatíva esetén az egyik hányszor fontosabb vagy kevésbé fontos, mint a másik, pl A i sokkal előnyösebb A j -nél, tehát a skála szerint p i /p j = 5 A döntéshozó egy pozitív reciprok mátrixot ad meg, ez a tapasztalati páros összehasonlítás mátrixa A döntési feladatok megoldásakor keletkező tapasztalati páros összehasonlítás mátrixok sok esetben nem konzisztensek, ennek okai az alábbiak lehetnek: tévedés az adatbevitelnél, információhiány, az egyén koncentrálásának hiánya az összehasonlításnál, a való világ sokszor inkonzisztens (pl sport) a modell struktúra nem jó (az egyes tényezők összehasonlítása kivül esik a megadott határokon) A tapasztalati páros összehasonlítás mátrixok inkonzisztenciájának mérésére bevezetjük a CI következetlenségi indexet, ami 7

8 8 az AHP módszertanban az alábbi formula alapján számítható: CI = λ max n n 1, ahol λ max a tapasztalati páros összehasonlítás mátrix legnagyobb sajátértéke és n a páros összehasonlítás mátrix sorainak a száma A következetlenségi indexek átlagos értékeit véletlenszerűen generált páros összehasonlítás mátrixok segítségével határozzuk meg minden n esetére, és ezeket RI-vel jelöljük Az RI értékeit Saaty nyomán az alábbi táblázatban adhatjuk meg: n RI 0 0,52 0,89 1,11 1,25 1,35 1,40 1,45 1,49 1,51 1,54 1,56 1,57 A CR következetlenségi hányadost, a CI és RI indexek hányadosaként kapjuk meg, azaz CR = CI RI Bizonyítható, hogy pozitív reciprok mátrixokra λ max n, ezért a következetlenségi hányados értéke nemnegatív szám A következetlenségi hányados értékeit az EC szoftver készítői akkor tartják jónak, ha az értéke kisebb, mint 0,1 Az alacsony inkonzisztencia azonban nem célja a döntésnek Lényeges, de nem elegendő a jó döntéshez A konzisztenciánál fontosabb a pontosság A páronkénti összehasonlításon alapuló módszerekben hátrányt jelent, hogy csak bizonyos, az összehasonlítandó objektumok számára vonatkozó méretkorlát alatt alkalmazhatók, és az alternatívákra csak rangsort (relatív értékeket) adnak; előny viszont, hogy szubjektív szempontok értékelésénél jól használhatóak

9 Néhány hasznos állítás T Saaty, The analytic hierarchy process, University of Pittsburgh, Pittsburgh, (1990) könyvéből: Tétel Pozitív mátrixok esetében a) a maximális sajátérték λ max felső korlátja a maximális sorösszeg; b) a maximális sajátérték λ max alsó korlátja a minimális sorösszeg Tétel (Wielandt) Pozitív mátrixok esetében a λ max értéke nő, ha a mátrix bármely komponensének az értéke nő Az AHP lépései tehát: A döntési tényezők hierarchiájának összeállítása Az egyes elemekre vonatkozó páros összehasonlításokat tartalmazó mátrixok előállítása a döntéshozó kikérdezése alapján Minden szinten minden elemre (az utolsó szint kivételével) a súlyok meghatározására szolgáló sajátérték feladat megoldása Az egyes szintek aggregálásával megkapjuk a döntési alternatívákra vonatkozó értékeket, amelyekből azok sorrendje megkonstruálható 9 54 Példa az AHP alkalmazására Közgazdász végzettségű ismerősünk állást keres, és három lehetőség közül választhat: belép egy nagy könyvelőcégbe partnerként A 1, saját tanácsadó céget alapít A 2, vagy elfogadja az egyetem ajánlatát A 3

10 10 A feladat hierarchikus struktúráját az alábbi ábra mutatja: 1szint Elégedettség 2szint Kereset Biztonság Előmenetel Munkakörülm 3szint Nagy váll Saját cég Egyetem Példánkban a hierarchia első szintje az (általában elvont) végcélt jelöli: elégedettség a kiválasztott lehetőséggel (amit úgy is megfogalmazhatunk, hogy a legjobb állás kiválasztása) A legalsó szinten a lehetőségek, vagy alternatívák sorakoznak A végcél alatt több szintű hierarchia is lehetséges, esetünkben a legegyszerűbb esetet választjuk: négy tényező alkotja ezt a szintet A tényezők: a kereseti lehetőség K, a biztonság B, az előmeneteli lehetőség E és a munkakörülmények M Tegyük fel, hogy közgazdász barátunk az állással való elégedettség (legfelső szint) szempontjából a középső szint tényezőire vonatkozóan 6 páros összehasonlítást végzett el, s azok eredménye: (K : B) = (7 : 1), (K : E) = (1 : 1), (K : M) = (7 : 1), (B : E) = (1 : 3), (B : M) = (2 : 1), (E : M) = (5 : 1) Az összes páros összehasonlítást tartalmazó mátrix: /7 1 1/ /7 1/2 1/5 1 A (legnagyobb pozitív) sajátérték és a hozzátartozó (alkalmasan normált) sajátvektor MAPLEV-tel számolva: [ , 1, [ , , , ]]

11 Itt az első szám a sajátérték, második a multiplicitás, az utána következő szögletes zárójelben álló számok a normált) sajátvektor koordinátái (normálás: a koordináták összege 1 kell, hogy legyen) Barátunk most az alternatívákat az egyes tényezők szerint is értékeli ugyanezen a skálán, ugyanezen a módon A kereseti lehetőségre vonatkozóan az alternatívák páros összehasonlítási mátrixa: 1 1/ /2 1/5 1 A (legnagyobb pozitív) sajátérték és a hozzátartozó normált sajátvektor MAPLEV-tel számolva: [ , 1, [ , , ]] A biztonságra vonatkozó mátrix: 1 3 1/5 1/3 1 1/ A (legnagyobb pozitív) sajátérték és a hozzátartozó normált sajátvektor MAPLEV-tel számolva: [ , 1, [ , , ]] Az előmeneteli lehetőségekre vonatkozó rnátrix: 1 1/ /2 1/7 1 A (legnagyobb pozitív) sajátérték és a hozzátartozó normált sajátvektor MAPLEV-tel számolva: [ , 1, [ , , ]] 11

12 12 A munkakörülményekre vonatkozó értékelés: 1 1/3 1/ / A (legnagyobb pozitív) sajátérték és a hozzátartozó normált sajátvektor MAPLEV-tel számolva: [ , 1, [ , , ]] (Vegyük észre, hogy az alternatíváknak az egyes tényezőkre vonatkozó értékeléseit is páros összehasonlítások segítségével kaptuk Ez nem kötelező: a keresetnél pl dolgozhattunk volna a valódi keresetarányokkal, amennyiben ezek az arányok jól kifejezik szubjektív értékelésünket) Az eredményeket összefoglalva (az adatokat kerekítve): Elégedettség(1,00) K(0, 48) B(0, 10) E(0, 36) M(0, 06) A 1 (0, 23) A 1 (0, 19) A 1 (0, 17) A 1 (0, 10) A 2 (0, 65) A 2 (0, 08) A 2 (0, 74) A 2 (0, 26) A 3 (0, 12) A 3 (0, 73) A 3 (0, 09) A 3 (0, 64) Végül a kiértékelés un disztributív módban (az alternatívák értékeit súlyozzuk) S(A 1 ) = 0, 48 0, , 10 0, , 36 0, , 06 0, 10 = 0, 1966 S(A 2 ) = 0, 6020 S(A 3 ) = 0, 2014 Ennek alapján az alternatívák sorrendje: A 2, A 3, A 1

13 6 Távolságminimalizáló módszerek Szempontok súlyainak meghatározása A döntési feladatok megoldásának első lépése a szempontok súlyainak meghatározása Az AHP modellekben a szempontok súlyát vagy közvetlenül adjuk meg, vagy a sajátvektor módszerrel határozzuk meg Ez utóbbi esetben felépítjük az azonos szinteken lévő szempontok egymáshoz viszonyított fontosságát tartalmazó páros összehasonlítás mátrixokat (melyek reciprok mátrixok, nem feltétlenül konzisztensek) és ezek legnagyobb sajátértékeihez tartozó sajátvektorai szolgáltatják az azonos szinteken levő szempontok súlyait, amelyek összege minden szinten 1 A sajátvektor módszer mellett távolságminimalizáló módszereket is alkalmazhatunk a prioritási értékek meghatározására Ezek a legkisebb négyzetek módszere (LSM), és a súlyozott egkisebb négyzetek módszere (WLSM) melyet Chu és szerzőtársai vezettek be 1979-ben, a logaritmikus legkisebb négyzetek módszere (LLSM) amit De Jong 1985 valamint Crawford és Williams 1985 javasoltak, és Jensen χ-négyzetek módszere (1984) Látható, hogy pozitív konzisztens mátrixokra (melyek páros összehasonlítás mátrixok) amikor a ij = p i p j egy összegűre normált p i súlyokkal, a w i = p i mindig megoldás Mivel a becslésnél reciprok, de nem feltétlenül konzisztens A = (a ij ) mátrixokkal dolgozunk a kapott eredményt a tekintjük ideális súlyoknak

14 14 Módszer Minimalizálandó függvény Feltételek n n ( ) 2 n LSM a ij w i w j w i = 1, w R n + i=1 j=1 i=1 WLSM n n n (a ij w j w i ) 2 w i = 1, w R n + i=1 j=1 i=1 n n n LLSM (ln a ij ln w i + ln w j ) 2 w i = 1, w R n + i=1 j=1 i=1 n n ( ) 2 CSM a ij w i wi n w j w j w i = 1, w R n + i=1 j=1 i=1 62 Az alternatívák értékelési módjai Tekintsünk n alternatívát A 1, A 2,, A n és m szempontot/kritériumot C 1, C 2,, C m Tételezzük fel, hogy az alternatívák értékelése az egyes szempontok szerint ismert, és a szempontok fontosságuk szerint súlyozva vannak Jelölje a ij > 0 (i = 1,, m, j = 1,, n) a j-edik alternatíva i-edik szempont szerinti értékét, w i > 0 (i = 1,, m) az i-edik szempont súlyát Feltételezzük, hogy n a ij = 1, (i = 1,, n) j=1 és m w i = 1 j=1 azaz az adatok normálva vannak Ezeket az adatokat táblázatos formában a következőképpen írhatjuk fel: A 1 A 2 A n w 1 C 1 a 11 a 12 a 1n w 2 C 2 a 21 a 22 a 2n w m C m a m1 a m2 a mn

15 A döntési probléma az alternatívák sorbarendezése Legyenek S(A j ), (j = 1,, n) az alternativák súlyai melyek segítségével adjuk meg a keresett végső rangsort Háromféle kiértékelési módot ismertetünk 1 Disztributív mód Ekkor S(A j ) D = m w i a ij, (j = 1,, n) i=1 tehát itt az 1 értéket osztottuk szét a levélszempontok és az alternatívák között a fontosságuknak megfelelően Megjegyezzük, hogy a disztributív AHP modell az alternatívák rangsorának a megállapítására, erőforrás szétosztásra és a legtöbb szempont szerint névleges értékkel bíró alternatívák közül való választáskor javasolt 2 Ideális mód Ez esetben m S(A j ) I a ij = w i, (j = 1,, n) max a i=1 ik k Ez a módszer leginkább akkor hasznos, ha a cél a legjobb alternatíva kiválasztása, és a sejthetően legjobb alternatívák pontszáma több szempont szerint közel azonos A tapasztalatok szerint a disztributív és az ideális AHP modellek az esetek nagy százalékában ugyanazt a rangsort adják az alternatívákra 15 3 Minősítő mód A minősítő AHP modellek esetében a szempontok súlyozása ugyanúgy történik, mint a disztributív és az ideális AHP modelleknél A lényeges különbség az alternatívák egyes szempontok

16 16 szerinti értékelésében van, ugyanis a minősítő modell esetében minden alternatívát külön-külön minősítünk a szempontokhoz megadott minősítéslisták alapján Ennek a modellnek hátránya, hogy az egyes szempontok szerinti értékeléskor nem adhatunk meg tetszőleges értéket, hanem egy, legfeljebb 9 elemű, listáról kell választani A minősítő AHP modellben az aggregálásra használt képlet a következő: S(A j ) R = m i=1 a ij w i a, (j = 1,, n) i ahol a i az i-edik szempont szerint adható pontszámok közül a maximális A képlet hasonló az ideális modellben alkalmazotthoz, de az a i, (i = 1,, m) értékek a feladattól (a konkrét alternatíváktól) függetlenek, és az értékeléskor előre megadott skálához tartoznak Az EC szoftverben a minősítő AHP modell esetén a levélszempontok alá egy-egy minősítéslista elemeit (pl jó, közepes, rossz) kell beszúrnunk, majd az egyes listaelemek értékeit kell meghatároznunk a közvetlen pontozáshoz hasonló módon, konkrét számok megadásával vagy páronkénti összehasonlítással Ezután a program automatikusan 1-re normál, és a táblázatban értékelhetjük az egyes alternatívákat a levélszempontok alapján, a megfelelő listáról kiválasztva a jónak gondolt minősítést

Döntéselőkészítés. XII. előadás. Döntéselőkészítés

Döntéselőkészítés. XII. előadás. Döntéselőkészítés XII. előadás Többszempontú döntések elmélete MAUT (Multi Attribute Utility Theory ) A többszempontú döntési feladatok megoldásának lépései: A döntési feladat felépítése: a) a cél megfogalmazása, b) az

Részletesebben

Többszempontú döntési módszerek, modellek Dr. Stettner Eleonóra

Többszempontú döntési módszerek, modellek Dr. Stettner Eleonóra Kaposvári Egyetem Gazdaságtudományi Kar Kari Tudományos Diákköri Tanács TDK módszertani kurzus 3. alkalom Többszempontú döntési módszerek, modellek Dr. Stettner Eleonóra 2016. április 4. A kurzus a Nemzeti

Részletesebben

Többszempontú döntési problémák

Többszempontú döntési problémák Budapesti Corvinus Egyetem MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézetébe kihelyezett Gazdasági Döntések Tanszék Rapcsák Tamás Többszempontú döntési problémák Egyetemi oktatáshoz segédanyag

Részletesebben

Páros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata. Bozóki Sándor

Páros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata. Bozóki Sándor Páros összehasonlítás mátrixok empirikus vizsgálata Bozóki Sándor MTA SZTAKI Operációkutatás és Döntési Rendszerek Kutatócsoport Budapesti Corvinus Egyetem Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék

Részletesebben

Analitikus hierarchia eljárás. Módszertani alapok, algoritmus és számpélda

Analitikus hierarchia eljárás. Módszertani alapok, algoritmus és számpélda Analitikus hierarchia eljárás Módszertani alapok, algoritmus és számpélda Készítette: Dr. Kiss Ferenc 2009. Tartalom Az Analitikus Hierarchia eljárás...3 Alapelvek és a szempontrendszer kialakítása...

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Többszempontú döntési módszerek

Többszempontú döntési módszerek XI. előadás Többszempontú döntési módszerek Mindennapi tapasztalat: döntési helyzetbe kerülve több változat (alternatíva) között kell (lehet) választani, az alternatívákat kölönféle szempontok szerint

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Bírálat. Farkas András

Bírálat. Farkas András Bírálat Farkas András Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával (Appraisal and Development of Transportation Systems Using Multiple Criteria Decision

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai

Bázistranszformáció és alkalmazásai Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Algoritmusok bonyolultsága

Algoritmusok bonyolultsága Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

EGYSZERŰ ÉS ABSZOLÚT TÖBBSÉGI SZAVAZÁS

EGYSZERŰ ÉS ABSZOLÚT TÖBBSÉGI SZAVAZÁS EGYSZERŰ ÉS ABSZOLÚT TÖBBSÉGI SZAVAZÁS A választások és a szavazások többszempontú döntési problémák a szavazók valamilyen módon döntenek a jelöltekről a választási bizottság a szavazás után megállapítja,

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Bozóki Sándor február 16. Érzékenységvizsgálat a Promethee módszertanban p. 1/18

Bozóki Sándor február 16. Érzékenységvizsgálat a Promethee módszertanban p. 1/18 Érzékenységvizsgálat a Promethee módszertanban Bozóki Sándor 2011. február 16. Érzékenységvizsgálat a Promethee módszertanban p. 1/18 Vázlat PROMETHEE Parciális érzékenységvizsgálat egy szempontsúly változhat

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Mérés és skálaképzés. Kovács István. BME Menedzsment és Vállalatgazdaságtan Tanszék

Mérés és skálaképzés. Kovács István. BME Menedzsment és Vállalatgazdaságtan Tanszék Mérés és skálaképzés Kovács István BME Menedzsment és Vállalatgazdaságtan Tanszék Miröl is lesz ma szó? Mi is az a mérés? A skálaképzés alapjai A skálaképzés technikái Összehasonlító skálák Nem összehasonlító

Részletesebben

Néhány elemmel konzisztenssé tehető páros összehasonlítás mátrixok

Néhány elemmel konzisztenssé tehető páros összehasonlítás mátrixok Néhány elemmel konzisztenssé tehető páros összehasonlítás mátrixok Poesz Attila BCE Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék 2010. április 1. Poesz A. () Következetlenség 2010. április 1. 1 / 28

Részletesebben

Opponensi vélemény. Farkas András. Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával

Opponensi vélemény. Farkas András. Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával Opponensi vélemény Farkas András Közlekedési rendszerek fejlesztése és értékelése többtényezős döntési eljárások felhasználásával 1. Disszertáció felépítése c. akadémiai doktori értekezéséről Az angol

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Döntések fuzzy környezetben Közelítő következtetések

Számítógépes döntéstámogatás. Döntések fuzzy környezetben Közelítő következtetések BLSZM-09 p. 1/17 Számítógépes döntéstámogatás Döntések fuzzy környezetben Közelítő következtetések Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103) Dr. Hartmann Miklós Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~hartm Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat teljesítése.

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

1. ábra ábra

1. ábra ábra A kifejtési tétel A kifejtési tétel kimondásához először meg kell ismerkedni az előjeles aldetermináns fogalmával. Ha az n n-es A mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának kereszteződésében az elem áll,

Részletesebben

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +

Részletesebben

Typotex Kiadó. Bevezetés

Typotex Kiadó. Bevezetés Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban

Részletesebben

Alternatívák rangsora Rangsor módszerek. Debreceni Egyetem

Alternatívák rangsora Rangsor módszerek. Debreceni Egyetem Döntéstámogató Rendszerek VII. előadás Bekéné Rácz Anett Debreceni Egyetem Definíciók Példa rangsorfordulásra Rangsorokkal kapcsolatos fogalmak Condorcet nyertes: Az az alternatíva, amely az összes többi

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Az egydimenziós harmonikus oszcillátor

Az egydimenziós harmonikus oszcillátor Az egydimenziós harmonikus oszcillátor tárgyalása az általános formalizmus keretében November 7, 006 Példaképpen itt megmutatjuk, hogyan lehet a kvantumos egydimenziós harmonikus oszcillátort tárgyalni

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 5.

Matematikai geodéziai számítások 5. Matematikai geodéziai számítások 5 Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 5: Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Lektor: Dr Benedek Judit Ez a modul a TÁMOP

Részletesebben

FELHASZNÁLÓI KÉZIKÖNYV

FELHASZNÁLÓI KÉZIKÖNYV többszempontú csoportos döntéstámogató szoftver EGY A ÉS WINGDSS PÉLDAFELADAT A KIÉRTÉKELÉS FÜGGELÉK 4.1 RENDSZERBEN FELÉPÍTÉSE LÉPÉSEI FELHASZNÁLÓI KÉZIKÖNYV Operációkutatás MTA és Döntési SZTAKI Rendszerek

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

HARCÁSZATI REPÜLŐGÉPEK ÖSSZEHASONLÍTÁSÁRA HASZNÁLHATÓ MATEMATIKAI MÓDSZEREK

HARCÁSZATI REPÜLŐGÉPEK ÖSSZEHASONLÍTÁSÁRA HASZNÁLHATÓ MATEMATIKAI MÓDSZEREK Békési Bertold - Kavas László - Prof Dr. Óvári Gyula HARCÁSZATI REPÜLŐGÉPEK ÖSSZEHASONLÍTÁSÁRA HASZNÁLHATÓ MATEMATIKAI MÓDSZEREK A Magyar Honvédség légierejének lehetséges korszerűsítési módja napjainkban

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat

Részletesebben

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése

Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése 2. el adás A hálózatkutatás néhány fontos fogalma El adó: London András 2015. szeptember 15. Átmér l ij a legrövidebb út a hálózatban i és j pont között =

Részletesebben

12. előadás - Markov-láncok I.

12. előadás - Markov-láncok I. 12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN Az Excelben az egyszerű adatok bevitelén kívül számításokat is végezhetünk. Ezeket a cellákba beírt képletek segítségével oldjuk meg. A képlet: olyan egyenlet, amely a munkalapon

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

0. BEVEZETÉS. Decision theory: web Google keresés= 27 millió találat Döntéselmélet: web Google keresés= 12 ezer találat

0. BEVEZETÉS. Decision theory: web Google keresés= 27 millió találat Döntéselmélet: web Google keresés= 12 ezer találat A-PDF Merger DEMO : Purchase from www.a-pdf.com to remove the watermark 0. BEVEZETÉS Decision theory: web Google keresés= 27 millió találat Döntéselmélet: web Google keresés= 12 ezer találat Döntéselmélet

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz)

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz) 6. OSZTÁLY Óraszám 1. 1. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése a 6. osztály anyagából Tk. 13/elsõ mintapélda 42/69 70. 96/elsõ mintapélda 202/16. 218/69. 2 3. 2 3. Halmazok Ismétlés (halmaz

Részletesebben

Új típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén

Új típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén Új típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén Dombi József Szegedi Tudományegyetem Bevezetés - ID3 (Iterative Dichotomiser 3) Az ID algoritmusok egy elemhalmaz felhasználásával

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

Adatszerkezetek. Nevezetes algoritmusok (Keresések, rendezések)

Adatszerkezetek. Nevezetes algoritmusok (Keresések, rendezések) Adatszerkezetek Nevezetes algoritmusok (Keresések, rendezések) Keresések A probléma általános megfogalmazása: Adott egy N elemű sorozat, keressük meg azt az elemet (határozzuk meg a helyét a sorozatban),

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Egyszerű programozási tételek

Egyszerű programozási tételek Egyszerű programozási tételek 2. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. szeptember 15. Sergyán (OE NIK) AAO 02 2011. szeptember 15.

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Programozási módszertan. Mohó algoritmusok

Programozási módszertan. Mohó algoritmusok PM-08 p. 1/17 Programozási módszertan Mohó algoritmusok Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu PM-08 p. 2/17 Bevezetés Dinamikus programozás

Részletesebben

Döntési módszerek és alternatív sakkeredmények

Döntési módszerek és alternatív sakkeredmények Döntési módszerek és alternatív sakkeredmények Csató László Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék 2011. október 14. Összefoglaló A tanulmány

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak Vállalkozási VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Tantárgyfelelős: Prof. Dr. Illés B. Csaba Előadó: Dr. Gyenge Balázs Az ökonómiai döntés fogalma Vállalat Környezet Döntések sorozata Jövő jövőre vonatkozik törekszik

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

A számítástudomány alapjai

A számítástudomány alapjai A számítástudomány alapjai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Legszélesebb utak Katona Gyula Y. (BME SZIT) A számítástudomány

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

A feladatok részletezése az egyidejűleg megküldött ajánlattételi dokumentációban található. IV. szakasz: Eljárás IV.

A feladatok részletezése az egyidejűleg megküldött ajánlattételi dokumentációban található. IV. szakasz: Eljárás IV. 14. melléklet a 44/2015. (XI. 2.) MvM rendelethez KÖZBESZERZÉSI ADATBÁZIS I. szakasz: Ajánlatkérő I.1) Név és címek 1 (jelölje meg az eljárásért felelős összes ajánlatkérőt) Hivatalos név: Óbudai Parkolási

Részletesebben