Szerzők Lak Ágnes Rozina, Palincsár Ildikó, Szabó Lívia Dóra, Szepesi Ildikó, Szipőcsné Krolopp Judit

Átírás

1 2015

2 Szerzők Lak Ágnes Rozina, Palincsár Ildikó, Szabó Lívia Dóra, Szepesi Ildikó, Szipőcsné Krolopp Judit

3 Országos kompetenciamérés 2015 Feladatok és jellemzőik matematika 8. évfolyam Oktatási Hivatal Budapest, 2016

4

5 8. ÉVFOLYAM A KOMPETENCIAMÉRÉSEKRŐL 2015 májusában immár tizenkettedik alkalommal került sor az Országos kompetenciamérésre, amelyen minden 6., 8. és 10. évfolyamos tanuló részt vett, és amelynek célja a diákok szövegértési képességeinek és matematikai eszköztudásának a feltérképezése. A kompetenciamérés eredményeiről minden telephely, iskola és fenntartó jelentést kap, amelynek segítségével elhelyezheti magát az országos képességskálán, és összehasonlíthatja eredményeit a hozzá hasonló telephelyeken, iskolákban és fenntartónál tanuló diákok eredményeivel. Emellett az iskolák egyéni elemzéseket is készíthetnek, ennek segítségével kérdésenként is elemezhetik az eredményeket. Az Országos kompetenciamérés 2015 Feladatok és jellemzőik kötetek célja Az a szándékunk, hogy az iskola eredményeit bemutató grafikonok mellett a lehető legteljesebb mértékben megismertessük a tanárokat, intézményvezetőket és oktatáspolitikusokat a mérésben rejlő lehetőségekkel, és az eredmények helyes interpretálásához minél alaposabb segítséget biztosítsunk. E célt szolgálja a kompetencia mérés 2014-ben megjelent Tartalmi kerete, 1 valamint az Országos kompetenciamérés 2015 fenn tartói, iskolai és telephelyi jelentései, amelyek megtekinthetők a illetve a honlapon. A feladatokat bemutató kötetek célja az, hogy megismertessék a tanárokat az egyes feladatok mérési céljaival és statisztikai paramétereivel. A diákok feladatonkénti eredményeit elemezve a tanárok képet kaphatnak arról, hogy diákjaik milyen problémákkal, hiányosságokkal küzdenek, melyek azok a területek, amelyekre nagyobb figyelmet kell fordítaniuk a jövőben, és milyen fejlesztési feladatokkal kell megbirkózniuk. A feladatokat tartalmazó kötetek az országos eredmények bemutatásával mindehhez keretet és viszonyítási pontokat nyújtanak. A kötetből kiderül, hogy mely feladatok okozták a legtöbb gondot a diákoknak, melyek esetében választottak sokan valamilyen tipikusan rossz választ, és melyek nem okoztak problémát a diákok többségének. A kötet felépítése Ez a kötet a évi Országos kompetenciamérés 8. évfolyamos tesztfüzetének matematikafeladatait (itemeit) tartalmazza. Az itemek olyan sorrendben találhatók a kötetben, ahogyan az A) tesztfüzetben szerepeltek. A kötet végén található 3. mellékletben táblázatos formában is feltüntettük az itemek jellemzőit. A kötetben minden egyes itemről a következő információk szerepelnek: A kérdés (item), ahogyan a tesztfüzetben szerepelt. Az item javítókulcsa. A kérdés besorolása: az item besorolása a Tartalmi keretben rögzített csoportosítási szempontok alapján: tartalmi terület, gondolkodási művelet, illetve ezeken belül az alkategória sorszáma 2 ; kulcsszavak: az itemet jellemző matematikai fogalmak A feladat leírása: rövid leírás arról, milyen matematikai műveleteket kell a tanulónak elvégeznie az item helyes megválaszolásához. 1 Balázsi Ildikó Balkányi Péter Ostorics László Palincsár Ildikó Rábainé Szabó Annamária Szepesi Ildikó, Szipőcsné Krolopp Judit Vadász Csaba: Az Országos kompetenciamérés tartalmi keretei. Szövegértés, matematika, háttérkérdőívek. Oktatási Hivatal, Budapest, Elérhető: meresek/orszmer2014/azokmtartalmikeretei.pdf. 2 Az alkategóriák pontos megnevezése és részletesebb leírása a 2. mellékletben olvasható. 3

6 MATEMATIKA Az item statisztikai jellemzői: 3 az item tesztelméleti paraméterei (a kérdés nehézsége és meredeksége, valamint kétpontos item esetén a lépésnehézségek); feleletválasztásos feladatok tippelési paramétere (bizonyos feladatoknál); az item nehézségi szintje; a lehetséges kódok és az egyes kódokra adott pontszámok; az egyes kódok előfordulási aránya; az item lehetséges kódjainak pontbiszeriális korrelációja; az item százalékos megoldottsága országosan és településtípusonként, valamint az egyes tanulói képességszinteken. Képességszintek a 8. évfolyamos matematikateszt esetében Az adatok elemzésében fontos szerepet játszanak a szakmai és statisztikai szempontok alapján meghatározott képességszintek. Ezek segítségével a tanulókat képességük szerint kategóriákba sorolva képet tudunk adni arról, hogy milyen képességeket tudhatnak magukénak a szintbe tartozók, és mi az, amiben elmaradnak a magasabb szinten található tanulóktól. A képességszintek kialakításának statisztikai hátterét az 1. melléklet mutatja be. Képességszint A képességszint alsó határa A szintet elérő tanulók képességei újszerű és/vagy többszörösen összetett szituációban megjelenő, önálló megoldási stratégiát igénylő, gyakran többlépéses feladatok megoldása összetett problémák vizsgálatából és modellezéséből nyert információk értelmezése, általánosítása és alkalmazása különböző információforrások és reprezentációk összekapcsolása és egymásnak való megfeleltetése fejlett matematikai gondolkodás és érvelés a szimbolikus és formális matematikai műveletek és kapcsolatok magas színvonalú alkalmazásával újszerű problémaszituációk megoldása új megoldási módok és stratégiák megalkotása műveleti lépések, az eredmények és azok értelmezésével kapcsolatos gondolatok pontos megfogalmazása az eredményeknek az eredeti probléma szempontjából való vizsgálata, értelmezése újszerű, komolyabb értelmezést igénylő szövegkörnyezetben megjelenő, önálló stratégiával megoldható többlépéses feladatok megoldása modellalkotás összetett problémaszituációra, a modell alkalmazhatósági feltételeinek meghatározása, majd annak helyes alkalmazása modellekhez kapcsolódó összetett problémák lehetséges megoldási módjainak kiválasztása, összehasonlítása és értékelése a kiválasztott megoldási stratégia és matematikai módszer értékelése, az elvégzett lépések végrehajtása széles körű és jó színvonalú gondolkodási és érvelési képességek, készségek különböző adatmegjelenítések, szimbolikus és formális leírások és probléma megjelenítések nagy biztonsággal való értelmezése és kezelése 3 A statisztikai jellemzők képzési szabályait az 1. melléklet ismerteti. 4

7 8. ÉVFOLYAM Képességszint A képességszint alsó határa A szintet elérő tanulók képességei újszerű szituációban megjelenő többlépéses, önálló stratégia kidolgozását igénylő, különböző módon megjelenített összefüggéseket tartalmazó feladatok megoldása problémákhoz egyszerű modell önálló megalkotása, majd annak helyes alkalmazása rugalmas érvelés és reflektálás az elvégzett lépésekre értelmezés és gondolatmenet megalkotása és megfogalmazása összetettebb vagy kevésbé ismerős, újszerű szituációjú, több lépéses feladatok megoldása konkrét problémaszituációkat egyértelműen leíró modellek hatékony alkalmazása, a modellek alkalmazhatósági feltételeinek meghatározása különböző, akár szimbolikus adatmegjelenítések kiválasztása és egyesítése, azok közvetlen összekapcsolása a valóságos szituációk különböző aspektusaival értelmezés és gondolatmenet röviden leírása ismerős kontextusban megjelenő egy-két lépéses problémák megoldása egyértelműen leírt matematikai eljárások elvégzése, amelyek szekvenciális döntési pontokat is magukban foglalhatnak egyszerű problémamegoldási stratégiák kiválasztása és alkalmazása különböző információforrásokon alapuló adatmegjelenítések értelmezése és alkalmazása, majd ezek alapján érvek megalkotása a legalapvetőbb, közismert matematikai fogalmak és eljárások ismerete a kontextus alapján közvetlenül megérthető problémaszituációk értelmezése egyetlen információforrásból a szükséges információk megszerzése egyszerű vagy szimplán matematikai kontextusban megjelenő, jól körülírt, egylépéses problémák megoldása egyszerű, jól begyakorolt algoritmusok, képletek, eljárások és megoldási technikák alkalmazása egyszerűen érvelés és az eredmények szó szerint értelmezése ismerős, főként matematikai szituációban, gyakran kontextus nélküli helyzetben feltett matematikai kérdések megválaszolása egyértelmű, jól körülírt és minden szükséges információt tartalmazó feladatok megoldása közvetlen utasításokat követve rutinszerű eljárások végrehajtása a feladat kontextusából nyilvánvalóan következő lépések végrehajtása 5

8 MATEMATIKA A 8. évfolyamos matematikateszt általános jellemzése A teszt általános jellemzői A felmérés tesztfüzeteit a Tartalmi keretben megfogalmazott szempontok szerint állítottuk össze. A felmérést minden 6., 8. és 10. évfolyamos diák megírta, majd 8. évfolyamon a központi elemzés elkészítéséhez minden intézmény minden tanulójától összegyűjtöttük a kitöltött tesztfüzeteket. Az 1. táblázat azt ismerteti, hogy a tesztfüzetben milyen arányban szerepelnek a tartalmi keretben definiált gondolkodási műveletekhez és tartalmi területekhez tartozó feladatok. A 2. táblázat a teszt értékelése során kapott néhány alapvető jellemzőjét mutatja be (a 2. táblázatban az értékelés során törölt feladatok nem jelennek meg). Tartalmi területek Gondolkodási műveletek Mennyiségek, számok, műveletek Hozzárendelések, összefüggések Alakzatok, tájékozódás Statisztikai jellemzők, valószínűség Tényismeret és egyszerű műveletek Alkalmazás, integráció Komplex megoldások és értékelés Tartalmi terület összesen Műveletcsoport összesen táblázat: A feladatok megoszlása a gondolkodási műveletek és tartalmi területek szerint a 8. évfolyamos matematikatesztben Az értékelésbe vont itemek száma 56 A központi elemzésbe bevont kitöltött tesztfüzettel rendelkező tanulók száma Cronbach-alfa 0,913 Országos átlag (standard hiba) 1617,601 (0,511) Országos szórás (standard hiba) 194,392 (0,459) 2. táblázat: A 8. évfolyamos matematikateszt néhány jellemzője 6

9 A feladatok megoszlása a képességskálán 8. ÉVFOLYAM Az 1. ábra az itemek és a diákok megoszlását mutatja a képességskálán. Az ábrán a feladatok nehézségi szintjeit és a diákok képességszintjeit is feltüntettük. Láthatjuk, hogy a mérésben könnyű és nehéz feladatok egyaránt találhatók, az itemekkel igyekeztünk minél szélesebb tartományban lefedni a képességskálát. Ily módon a kiemelkedően tehetséges és a gyenge diákokat is megbízhatóbban tudjuk elhelyezni a képességskálán. Standardizált képességpont ML21902 MH ML18701 MJ33801 ML01701 ML13601 ML ML14101 ML09201 ML09601 ML25901 ML17001 ML26601 ML18901 MJ01701 ML06601 ML12602 ML27602 MJ34701 ML22501 ML23001 ML05901 ML25801 ML21701 ML12401 ML19601 ML24701 ML08501 ML19701 ML27601 ML26901 ML09001 ML21101 ML07803 ML08002 ML19002 ML25001 ML09602 ML26401 ML99201 ML22201 ML22001 ML24801 ML99301 ML22002 ML27101 ML17901 ML15901 ML17101 ML07301 ML03701 ML12701 ML07302 MH14801 ML14501 ML Adott nehézségű feladatok Adott képességpontot elért diákok száma 1. ábra: Az itemek és diákok megoszlása a képességskálán, 8. évfolyam, matematika 7

10 MATEMATIKA 8

11 8. ÉVFOLYAM A FELADATOK ISMERTETÉSE 9

12 MATEMATIKA 64/92. FELADAT: AUTÓTESZT ML99301 Egy autós magazinban különböző szempontok szerint pontozták az autókat. Az egyes tulajdonságokra adott pontszámokból a megadott szorzókat figyelembe véve kiszámították az összpontszámot. Egy autó a következő pontokat kapta. Pontszám Szorzó Felszereltség 3 3x Fogyasztás 5 2x Teljesítmény 4 1x Megjelenés 4 1x Mennyi az autó összpontszáma? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 7 B 16 C 23 D 27 E 96 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: D 10

13 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.1) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.4) Kulcsszavak: Műveletsor végrehajtása, alapműveletek egész számokkal A feladat leírása: A tanulónak táblázatban közölt adatokat kell összegeznie, a táblában szereplő szorzókat figyelembe véve. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0037 0,00012 Standard nehézség ,4 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,10-0,31-0,18 0,43-0,12-0,02-0,09 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 79,6 0,12 1. szint alatt 14,2 0,94 Főváros 85,9 0,33 1. szint 34,2 0,83 Megyeszékhely 83,5 0,25 2. szint 55,3 0,47 Város 78,7 0,20 3. szint 74,3 0,29 Község 74,0 0,29 4. szint 86,9 0,23 5. szint 93,9 0,20 6. szint 97,6 0,19 7. szint 99,0 0,22 11

14 MATEMATIKA 65/93. FELADAT: NAPRENDSZERMAKETT ML19701 Debóra osztálya a Naprendszer bolygóinak makettjét készíti el egyforma méretarány alapján. A következő táblázat néhány bolygó méretét tartalmazza. Vénusz Föld Mars Szaturnusz Uránusz Egyenlítői átmérő (km) átmérő A Föld makettje már elkészült, 10 cm az átmérője. Debóra makettjének átmérője 40 cm. A táblázat adatai alapján melyik bolygó makettjét készítette el? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D Vénusz Mars Szaturnusz Uránusz JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: D 12

15 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.1) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Arányszámítás nem 1-hez viszonyítva A feladat leírása: A tanuló feladata arányszámítás elvégzése táblázatban közölt konkrét adatokkal, nem 1-hez viszonyítva. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0038 0,00009 Standard nehézség ,1 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0 4 0,3 0,0-0,3-0,6-0,18-0,31-0,23-0,02-0,10 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 65,3 0,15 1. szint alatt 7,0 0,82 Főváros 73,1 0,35 1. szint 17,2 0,63 Megyeszékhely 70,0 0,34 2. szint 30,9 0,48 Város 64,1 0,22 3. szint 51,8 0,33 Község 58,6 0,33 4. szint 72,5 0,29 5. szint 87,8 0,25 6. szint 95,0 0,27 7. szint 99,0 0,22 13

16 MATEMATIKA 66/94. FELADAT: TÜKRÖZÉS ML11401 A tükörre eső fénysugár ugyanakkora szögben verődik vissza a tükörre állított merőlegeshez képest, mint amekkora szögben érkezett; ez látható a következő ábrán. fénysugár Lívia tükörrel szeretne jelt adni barátnőjének, Áginak. A következő ábrák közül melyik mutatja helyesen, hogyan kell tartania Líviának a tükröt, hogy a beeső fény éppen Ágihoz verődjön vissza? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! tükör A B fénysugár fénysugár Ági Ági tükör tükör C D fénysugár fénysugár tükör Ági Ági tükör JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: A 14

17 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.1.2) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.3) Kulcsszavak: Tengelyes tükrözés, merőleges A feladat leírása: A feladat szövege alapján négy esetet kell megvizsgálnia a tanulónak, és ki kell választania közülük azt, amelyiken a megadott egyenes adott pontjára állított merőlegesre tükrözve a megadott félegyenest, a tükörképre illeszkedik a megadott kérdéses pont. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0024 0,00010 Standard nehézség ,8 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,36-0,15-0,17-0,16-0,04-0,17 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 77,2 0,15 1. szint alatt 18,2 1,23 Főváros 81,6 0,33 1. szint 38,0 0,84 Megyeszékhely 79,5 0,32 2. szint 57,4 0,52 Város 76,6 0,23 3. szint 73,2 0,30 Község 73,4 0,30 4. szint 82,2 0,27 5. szint 88,9 0,24 6. szint 94,3 0,26 7. szint 98,0 0,31 15

18 MATEMATIKA 67/95. FELADAT: NAGY BUDDHA-SZOBOR ML24701 Józsi Japánban járt, ahol a régi fővárosban, Kamakurában látta a híres Nagy Buddha-szobrot. Egy fénykép is készült, amelyen Józsi a szobor előtt áll.? 170 cm Hány MÉTER magas a szobor, ha Józsi magassága 170 cm? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! A feladat megoldásához használj vonalzót! JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: Ennél a feladatnál, ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik oda, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási hiba, mérési pontatlanság vagy kerekítés miatt és nem módszertani hiba miatt adódott. A szobor mért magasságánál 6,8 és 7,2 cm közötti értékek az elfogadhatók. 2-es kód: 11,9 m vagy ennek kerekítése vagy 11 m 90 cm. A mérési pontatlanság tűréshatára miatt a 6,8 és 7,2 közti szorzóval számolt, 11,5 és 12,24 közé eső értékeket lehet elfogadni. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. A 11 és 12 m-t számolás nélkül is elfogadjuk, a 13-at csak akkor, ha az láthatóan a 12,24 kerekítése. Nem számít hibának, ha a tanuló a helyes érték mellé rossz mértékegységet írt, akkor sem, ha művelet nem látható. Ugyancsak nem számít hibának, ha a helyes végeredménynyel a tanuló további, átváltásra irányuló számításokat végez. Számítás: 1 cm 1,7 m 7 cm 1,7 7 = 11,9 m Tanulói példaválasz(ok): 7 1,7 = 12 kb. 12 méter 11 méter 90 cm 1,7 7 = 13,9 [Jó a műveletsor, számolási hiba.] 11,9 cm [A cm elírás, nyilvánvaló, hogy elvégezte a méréseket és az átváltást.] 1,7 6,8 = 11,56 [6,8-as szorzóval számolt.] 1190 : 100 = 119 [Jó váltószám, számolási hiba.] = : 100 = 833 [Jó gondolatmenet, számolási hiba.] 16

19 8. ÉVFOLYAM A feladathoz tartozó adatok a következő oldalakon találhatók. 17

20 MATEMATIKA 1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló megkapta centiméterben a helyes értéket (1190) rossz mértékegységgel és helyes mértékegység nélkül is. Ha rossz mértékegységet ad meg, akkor látszania kell a helyes számításnak. Idetartoznak azoka válaszok is, amikor az 1190-nel a tanuló további, átváltásra irányuló számításokat végez és a 2-es kódtól eltérő eredményt kap. Ide tartoznak a mérési pontatlanság tűréshatára miatt a 6,8 és 7,2 közti szorzóval számolt, 1150 és 1224 közé eső értékek, melyek látható számítások nélkül is elfogadhatók. Tanulói példaválasz(ok): [Jó műveletsor, átváltás hiányzik.] = 1190 hétszerakkora, mint Józsi [Józsi magassága cm-ben volt megadva.] 1 cm = cm = = 1190 m magas [Az 1190-es érték helyes, a méterre való átváltás valójában hiányzik.] cm = 1190 cm 1 m 190 cm [Az 1190-es érték helyes, átváltás rossz.] = cm magas [Jó műveletsor, számolási hiba, átváltás hiányzik.] = 1190 m [Az 1190-es érték helyes, átváltás hiányzik] = 1190 cm, tehát 119 m [Az 1190-es érték helyes, átváltás rossz.] 1190 cm = 11,9 cm [Cm-ben számolt, számolási hiba.] = 1190 cm A szobor 10 m 190 cm magas. [Nem tudta a 190 cm-t méterre átváltani.] = 1,190 m [A cm-ben számolt értéket ugyan nem látjuk, de a méterre való átváltás számjegyei azonosak az 1190-nel, csak így a cm-m átváltási hibát vétett.] 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 119 m = 1190 = 11,9 m 11,9 + 1,7 = 13,6 m = 1190 tehát 680 m [A cm-ben megkapott helyes értéket megkapja, de utána rossz a végeredmény.] 13 [Nem látszik, hogyan jött ki, vagy minek a kerekítése.] = 1190 cm = 10 m 90 cm magas a szobor. [Nem indokolt a válaszában szereplő érték; nem látjuk, mi az oka az elírásnak.] cm = 1190 Tehát 11 m 119 cm volt a szobor magassága. [Nem érthető, miért lesz 119 cm a válaszában.] 1190 m [Méterben számolva hibás érték, látható számításokkal lehetne 1-es kód.] Lásd még: X és 9-es kód. 18

21 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.4) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4) Kulcsszavak: Méretarány, arányszámítás 1-hez viszonyítva, mértékegység-átváltás A feladat leírása: A tanulónak méretarányos ábrán egy megadott valós hosszérték alapján kell mérés és számolás segítségével egy másik valós hosszat meghatároznia. A feladatban a hosszmértékegységet át is kell váltania. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0024 0,00010 Standard nehézség ,8 1. lépésnehézség lépésnehézség Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 11 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,25-0,04 0,43-0,34 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 57,2 0,13 1. szint alatt 5,1 0,46 Főváros 63,5 0,35 1. szint 16,4 0,42 Megyeszékhely 61,7 0,32 2. szint 28,3 0,33 Város 55,7 0,22 3. szint 45,9 0,26 Község 52,2 0,24 4. szint 63,3 0,25 5. szint 75,1 0,26 6. szint 83,9 0,35 7. szint 90,1 0,42 19

22 MATEMATIKA 68/96. FELADAT: KISVENDÉGLŐ ML21902 Újhidán új kisvendéglő nyílik. A kisvendéglő a nyitás napján minden vendégnek egy díszdobozba csomagolt, henger alakú söröspoharat ad ajándékba. A pohár alapja 7 cm sugarú kör, magassága 23 cm. A következők közül melyik az a LEGKISEBB térfogatú, téglatest alakú doboz, amelyben elfér a pohár? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D E 7 cm 7 cm 23 cm 13 cm 14 cm 23 cm 14 cm 15 cm 22 cm 15 cm 16 cm 24 cm 16 cm 17 cm 25 cm JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: D 20

23 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.2.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Befoglaló test, henger, téglatest A feladat leírása: A tanulónak ki kell választania egy adott dimenziókkal rendelkező hengeres testhez a legkisebb befoglaló testet a megadott dimenziók alapján. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0044 0,00031 Standard nehézség ,3 Tippelési paraméter 0,09 0,01 Nehézségi szint 7 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 3 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,15 0,01-0,16 0,33-0,10-0,02-0,10 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 25,6 0,15 1. szint alatt 9,9 0,90 Főváros 28,9 0,37 1. szint 11,1 0,48 Megyeszékhely 26,9 0,37 2. szint 11,2 0,32 Város 24,1 0,20 3. szint 14,2 0,27 Község 25,0 0,27 4. szint 22,4 0,27 5. szint 35,7 0,35 6. szint 55,1 0,56 7. szint 77,9 0,88 21

24 MATEMATIKA 69/97. FELADAT: SZOFVERLETÖLTÉS ML08002 Egy szoftvereket fejlesztő cég az egyik programjából egy újabb verziót tett elérhetővé januárban. A következő diagramon látható, hányan töltötték le a régi és az új verziót az egyes hónapokban. Letöltések száma január Régi verzió Új verzió február március április május A régi verzió 3 zedért, az új verzióé 10 zedért tölthető le. Hány zed bevétele volt összesen a cégnek a programletöltésekből januárban? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! június július augusztus szeptember október november december 22

25 8. ÉVFOLYAM JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: Ennél a feladatnál, ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik oda, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott. A kódnak megfelelő műveletsor önmagában, végeredmény nélkül is az adott kódot kapja. Ha több hónapot is kiszámolt, a január hónap helyes és azonosítható, a többi hónaphoz írt értéket nem vizsgáljuk. 1-es kód: 7300 zed. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Elfogadjuk azokat a válaszokat is, amikor a tanuló nem összegezte a részeredményeket, tehát külön helyesen megadta az új és a régi programok letöltéséből származó bevételt: 1800 zed, 5500 zed. Elfogadhatók azok a válaszok is, amikor a tanuló 550 helyett 540 és 560 közötti értéket olvasott le, 600 helyett 595 és 605 közötti értéket olvasott le és ezekkel az értékekkel a továbbiakban helyes gondolatmenettel számolt. Ide tartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló nem csak a januári értékeket számította ki, hanem minden hónaphoz megadta a kérdéses értékeket (akár külön a régi és új verzióból származó bevételt). Ha odaírta az éves összeget, de szerepel a januári érték (7300 vagy 1800 zed ÉS 5500 zed.) Nem tekintjük hibának, ha a tanuló meghatározta a januári összletöltések számát is (1150). Számolás nélkül a 7185 és 7415 közötti értékek fogadhatók el, illetve ha külön adja meg a verziókat, a régire az 1785 és 1815 értékek, az újra és 5400 és 5600 közötti értékek fogadható el. Csak akkor fogadhatók el értékek ezekből a tartományokból, ha a tanuló válaszából nem derül ki, hogy hibás értéket olvasott le. Mértékegység megadása nem szükséges. A tanuló az ábrán is megadhatja a válaszát. Számítás: = = 7300 zed Tanulói példaválasz(ok): 1800, 5500 [Az összeadás hiányzik, a két megadott érték helyes.] Régi: = 1800 Új: = 5500 [Az összeadás hiányzik, a két kiszámított érték helyes.] régi verzió: 600 fő, új verzió: 540 fő = = 7200 zed volt a januári bevétel [550 helyett 540-et olvasott le, ezzel az értékkel helyesen számol tovább.] = 1797 zed, = 5500 zed Összesen: 7297 zed [600 helyett 599-et olvasott le, ezzel az értékkel helyesen számol tovább.] = 1800 zed = 5500 zed januárban a bevétele a régi verzióból: 1800 zed, új verzióból 5500 zed [Az összeadás hiányzik, a két kiszámított érték helyes.] = = = 2350 [Az utolsó összeadás eredménye rossz, de fel van írva a helyes műveletsor.] 23

26 MATEMATIKA 6-os kód: Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló felcserélte a régi és az új verzióhoz tartozó januári értékeket, de ezekkel helyes módszerrel számolt tovább, ezért válasza 7650 zed. Ide tartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló nem összegezte a felcserélt értékekkel számolt részeredményeket, tehát külön adta meg az új és a régi programok letöltéséből származó bevételt, és így válasza: 1650 zed, 6000 zed. Mértékegység megadása nem szükséges. Ide tartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló 550 helyett 540 és 560 közötti értéket olvasott le, 600 helyett 595 és 605 közötti értéket olvasott le és ezekkel az értékekkel a továbbiakban a 6-os gondolatmenettel számolt. Számolás nélkül a 7570 és 7730 közötti értékek tartoznak ide, illetve ha külön adja meg a verziókat, az egyikre az 1620 és 1680 értékek, a másikra 5950 és 6050 közötti értékek fogadható el. Csak akkor kapnak 6-os kódot ezek az értékek ezekből a tartományokból, ha a tanuló válaszából nem derül ki, hogy hibás értéket olvasott le. Tanulói példaválasz(ok): = = 1650 zed bevétel a régiből, = 6000 zed bevétel az újból. [Hiányzik az összeadás, a részeredmények a 6-os kódnak megfelelőek.] régi: = 1650 új: = bevétele volt januárban. új: régi: = 7650 zed 1650 forint, 6000 forint [A rossz mértékegység nem számít hibának.] [Nem számolta ki a végeredményt, de a műveletsor a kódnak megfelelő.] 0-s kód: Más rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): régi: = 1800 zed, új: = 4500 zed [550 helyett 450-et olvasott le.] 600 régi = 1800 zed 500 új = 5000 zed = 6800 zed bevétele volt. [550 helyett 500-at olvasott le.] = 13 zed bevétele volt a cégnek = 7 régi verzió: új verzió: Régi: 3 z, új 10 z (600 3) + (550 10) = 2350 zed bevétele volt a cégnek januárban. [A műveletsor helyes, de a zárójelfelbontás hibás, valójában ( ) 10-et számított ki.] Lásd még: X és 9-es kód. 24

27 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.1) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4) Kulcsszavak: Adatleolvasás, műveletsor A feladat leírása: A tanulónak a megfelelő adatpárt kell leolvasnia egy csoportosított oszlopdiagramról, majd a szövegben adott információk alapján alapműveleteket végrehajtania velük. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0041 0,00010 Standard nehézség ,1 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) ,3 0,0-0,3-0,6-0,22-0,02-0,42 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 66,7 0,15 1. szint alatt 1,5 0,35 Főváros 74,5 0,34 1. szint 9,5 0,43 Megyeszékhely 72,2 0,31 2. szint 30,9 0,45 Város 65,7 0,24 3. szint 58,4 0,37 Község 59,0 0,28 4. szint 75,9 0,31 5. szint 86,5 0,27 6. szint 92,1 0,31 7. szint 96,6 0,37 25

28 MATEMATIKA 70/98. FELADAT: DESIGNÓRA ML18901 A következő ábrán egy olyan óra látható, amelyen a pontos időt egy középen álló pálca árnyékai mutatják. A pálcát 3 különböző magasságú, különálló lámpa világítja meg, amelyek körbejárják a számlapot a megfelelő sínen haladva. A képen a pontos idő: 8 óra 5 perc 20 másodperc. Rajzold be a három lámpa helyét az alábbi üres óralap megfelelő sínjére, ha az óra 15 óra 30 perc 00 másodpercet mutat! Jelöld O-val az órát, P-vel a percet, M-mel a másodpercet jelző LÁMPA helyét!

29 8. ÉVFOLYAM JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: A helyes válaszban az O pont jelölése 9 és 9,5 közé esik (a határokat is beleértve), a P pont jelölése 12-nél, az M pont jelölése pedig 6-nál van. Ettől mindkét irányban maximum 3 fokkal lehet eltérni. A tanuló jelölheti a mutatók helyét X-szel vagy bármilyen más egyértelmű módon. Ha nem X-szel jelölt, a jelölő alakzat (pont vagy betű) középpontjának kell a megfelelő tartományban lennie. Ha lámpákat vagy szakaszokat rajzol a tanuló, a lámpa aljának, vagy a szakasznak a közepét kell vizsgálni. Ha jelölés és betű is szerepel, akkor a jelölést vesszük figyelembe és a betűket elnevezéseknek tekintjük. A válasz helyességét nem befolyásolja az ábra középére rajzolt, a designóra pálcája által vetett árnyékok helyessége/helytelensége. 2-es kód: A tanuló a következő ábrán szereplő tartományokban jelölte a lámpák helyét. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a lámpák megfelelő helyen vannak a megfelelő vonalon, de az elnevezésük valamelyiknél vagy mindegyiknél hiányzik. Tanulói példaválasz(ok): [A pontok a megfelelő tartományba esnek.] 27

30 MATEMATIKA [A betűk közepének pozícióját kell nézni.] [A betűk közepének pozícióját kell nézni. A nyíl a mutató.] [Lámpákat rajzolt, megfelelő tartományba esik az aljuk és a megfelelő vonalon van, nem betűzte be őket.] [A betűk elhelyezéséből látszik, hogy az O a legkülső vonalhoz tartozik, a P a középsőhöz, az M pedig a legbelsőhöz, mert mindegyik betűnél a megfelelő körön kívűlre írta a betűket, ezért tudjuk, hogy az M a legbelső körhöz tartozik.] 28

31 8. ÉVFOLYAM [A jelölések jók, a betűket az árnyékokhoz írta.] 1-es kód: A tanuló a lámpák helyét a jó vonalon és jó pozicióban (9 9,5 közé, 12-nél és 6-nál) jelölte a megadott hibahatáron belül, de a betűjelzések rosszak. Tanulói példaválasz(ok): [Az X-ek a megfelelő vonalon a megfelelő tartományban vannak, az M és az O fel van cserélve.] [Az X-ek a megfelelő vonalon a megfelelő tartományban vannak, mindhárom betű rossz helyen van.] 29

32 MATEMATIKA 6-os kód: A tanuló a lámpák helyét jó pozicióban (9 9,5 közé, 12-nél és 6-nál) jelölte a megadott hibahatáron belül, de legalább egyet nem a megfelelő vonalon (a betűjelek helyességétől függetlenül). Ide tartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló egy vagy több pozíció esetén nem tudta eldönteni, melyik sínre helyezze a lámpá(ka)t, de az adott lámpához tartozó mindkét jelölés beleesik a tartományba. Tanulói példaválasz(ok): [Lámpákat rajzolt, a lámpák alját kell nézni, az O és az M rossz vonalon vannak.] [Lámpákat rajzolt, a P és az M rossz vonalon vannak] [Mindhárom betűt ugyanahhoz a vonalhoz írta.] 30

33 8. ÉVFOLYAM [Az M rossz vonalon van.] [Lámpákat rajzolt, a lámpák alját kell nézni, az O és az M rossz vonalon vannak.] 31

34 MATEMATIKA 0-s kód: Más rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): [Mindhárom betű rossz tartományban.] [Csak két betűt jelölt jó tartományban, rossz vonalon, ha az M-et is jelölte volna a helyes tartományban, 6-os lehetett volna.] [Az órát x-szel és O-val is jelölte, nem egyértelmű.] Lásd még: X és 9-es kód. 32

35 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.1.2) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.1) Kulcsszavak: Összefüggések ábrázolása, középpontos tükrözés, óra A feladat leírása: A tanulónak értelmeznie kell az ábrát, három irány adott pontra vonatkozó tükörképét kell adott hibahatáron belül bejelölnie. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0021 0,00005 Standard nehézség ,7 1. lépésnehézség lépésnehézség Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,26 0,01 0,40 0,15-0,27 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 31,6 0,13 1. szint alatt 0,4 0,16 Főváros 41,6 0,32 1. szint 1,4 0,17 Megyeszékhely 36,6 0,33 2. szint 6,2 0,20 Város 30,4 0,19 3. szint 17,4 0,25 Község 23,6 0,25 4. szint 33,0 0,26 5. szint 49,4 0,34 6. szint 63,9 0,46 7. szint 77,9 0,68 33

36 MATEMATIKA 71/99. FELADAT: ROZMÁROK MH07301 A biológusok megfigyelték, hogy néhány állatfaj egy adott időben egy bizonyos helyen nagy létszámban csoportosul. A képen látható rozmárok például nyaranta nagy számban lepik el Alaszka egyik homokos partszakaszát. Írj le részletesen egy matematikai módszert arra, hogyan lehetne megbecsülni, hány rozmár van egy szabálytalan alakú partszakaszon, amelynek ismerjük a területét! JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: Terület helyett nem fogadhatók el a következő szavak: méret, térfogat, testméret, nagyság (sem a rozmárra, sem a partszakaszra vonatkozóan). A felszín szó a partszakasz területére vonatkozóan elfogadható, a rozmár esetében nem. A terület szó önmagában a partszakasz területére értendő. Ha a tanuló válasza a 2-es és 6-os kódnak is megfelel, akkor a választ 2-es kóddal értékeljük. Ha a tanuló válasza az 1-es és 6-os kódnak is megfelel, akkor a választ 6-os kóddal értékeljük. Elfogadjuk azokat a válaszokat is, amikor a tanuló rozmár helyett valamilyen más élőlényre utal. Ha a tanuló konkrét értékeket adott meg, akkor szövegesen vagy a mértékegységből ki kell derülnie, hogy azok területre vonatkoznak. Nem vesszük hibának, ha a tanuló a teljes partszakaszt téglalap alakúnak tekintette és úgy adott meg egy konkrét értéket a partszakasz területére, hiszen a partszakasz területét ismertnek tételezi a feladat. A tanuló a nagy területen nem számolhatja ki a rozmárok számát azzal a módszerrel, hogy hány rozmár van vízszintesen és függőlegesen és ezeket összeszorozza. 2-es kód: A tanuló a partszakasz egy kisebb részterületére vonatkoztatva megadott egy helyes módszert az egyedek számának összeszámolására (részterületen számolt rozmárok száma, agyarak száma, egy rozmárhoz tartozó terület stb.), ÉS megfogalmazta azt is, hogy ebből milyen matematikai lépésekkel és hogyan számítható ki a kérdéses érték, VAGY egyéb helyes, részletesen leírt módszert ad meg, amelyet követve a kérdéses érték kiszámítható. Tanulói példaválasz(ok): T terület : T rozmár [Minimális válasz.] Az egész területet elosztjuk egy rozmárnyi területtel. Megnézem négyzetméterenként hány rozmár van és megszorzom a partszakasz területével. Egy kis területen x db agyar van, ez x rozmárt jelent. 2 x 2 -t megszorzom a teljes partszakasz kis terület -tel 34

37 8. ÉVFOLYAM 1-es kód: 6-os kód: A tanuló a partszakasz egy kisebb részterületére vonatkozóan megadott egy helyes módszert az egyedek számának megbecslésére (részterületen számolt rozmárok száma, agyarak száma, egy rozmárhoz tartozó terület stb), ÉS az egyenes arányosságra/teljes területre való viszonyításra utal, de nem fogalmazta meg az ezt leíró pontos matematikai műveletet, hogy hogyan határozható meg az egyedszám a teljes partszakaszon, de utalt a teljes partszakaszra, teljes területre. A következő szavak nem elfogadhatók: összevetem, kiszámolom, megbecsülöm, kikövetkeztetem, kiderül, felnagyítom (ezek az arányosságra utalás helyett nem értékelhető módszerek). Ide tartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló egy rozmár területével számol, de válaszából nem derül ki, mit mivel oszt. Tanulói példaválasz(ok): Egy kisebb területen megszámolt agyarak számát elosztom 2-vel, és ezt a teljes területhez viszonyítom. [A viszonyítás nincs elég részletesen kifejtve.] Egy téglalap alakú részen megszámolom kb. hány van vízszintesen és függőlegesen, ezeket összeszorzom és ezt arányosítom a teljes területhez. [Az arányosítás nincs elég részletesen kifejtve.] 10 m 2 -es területű négyzetet jelölnék ki dróttal és megszámolnám, hogy ott hány db rozmár van. Utána egyenes arányossággal megbecsülném, hogy a teljes partszakaszon hány db van. [Pontatlan, nem derül ki, egyenes arányossággal tud-e számolni.] Meg kell nézni, hogy egy rozmár területe kb. mennyi és azt kell megnézni mennyiszer fér ki az adott területen. [Hiányzik belőle a módszer, meg kell nézni, mennyiszer fér ki nem derül ki, hogy hogyan.] Megnézzük a partszakasz területét és egy romzmár területét, és ezt a kettőt osztjuk. [Nem derül ki, mit mivel oszt és nem derül ki, hogy egyértelműen jó aránnyal számolna.] A tanuló nem általánosságban fogalmazott meg egy módszert, hanem konkrét számokkal részletesen bemutatta, hogyan számítható ki a kérdéses érték. A megadott számokról ki kell derülnie, hogy mire vonatkoznak (akár szövegesen, akár a mértékegység feltüntetésével), tehát annak is ki kell derülnie, hogy az egyik a teljes területre (partszakaszra) vonatkozik. Elfogadjuk azokat a válaszokat is, amelyekből kiderülnek mit jelölnek az adatok, a tanuló magát a műveletet nem írta le, de a tanuló által megadott adatokkal számolt helyes végeredmény látható. Ha a tanuló átváltási hibát vétett a konkrét példájában, válasza nem kaphat 6-os kódot. (pl. = 10 km 2 = m 2 ) Tanulói példaválasz(ok): Partszakasz: pl. 10 m 2 Megnézem 1 m 2 területen hány rozmár van és ezt szorzom 10-zel. [Konkrét értéken keresztül mutatja be a módszert.] Egy 5 m 2 -es területen megszámolnám, hogy ott hány db rozmár van. Utána egyenes arányossággal megbecsülném, hogy a teljes partszakaszon hány db van. Pl. 5 m 2 -en van 30 db 100 m 2 -en? db = x = x 600 = x [A szövegesen hiányosan megadott módszert a helyes, részletesen kidolgozott konkrét példa megerősíti.] 35

38 MATEMATIKA Egy rozmár: 2 m 2 Partszakasz: 5000 m : 2 = 2500 [A mértékegységekből kiderül, hogy területekkel számolt.] 1 rozmár területe kb. 1 m 2 és beszorozzuk az egész területtel. [Konkrét értékkel számolt.] 1 rozmár 1 m 2, és ahány négyzetméter a terület, annyi rozmár lesz. Partszakasz mérete: 100 m 25 m A rozmár mérete: 1 m 2 m (100 25) : (1 2) = 1250 [Egyértelműen kiderül, hogy területekre gondol és azzal számolt és valóban a méretét adta meg, de területet értett alatta.] 5-ös kód: Tipikus válasznak tekintjük, ha a tanuló válaszában arra utalt, hogy a partszakasz területét elosztja a rozmárok területével, azaz a válaszból nem teljesen egyértelmű, hogy az összes rozmár területével vagy egy rozmár területével akart számolni. Tanulói példaválasz(ok): A partszakasz területe osztva a rozmárok területével. T1 : T2 =? [Nem elég pontos a megfogalmazás.] 0-s kód. Más rossz válasz. Úgy, hogy megmérjük 1 rozmár méretét (területét) és elosztjuk a partszakasz területével. [Nem a megfelelő arányra utal.] T : rozmárok száma [Rossz módszer, valójában szoroznia kellett volna.] m 2 Tudni kell, hogy m 2 -enként hány rozmár van. rozmár db/km 2 1 nm kb 1 rozmár. Egy kisebb téglalap alakú területen megszámolom kb. hány van vízszintesen és függőlegesen, ezeket összeszorzom. A területet elosztjuk a rozmárok átlagnagyságával. [A rozmár átlagnagysága pontatlan kifejezés.] Lásd még: X és 9-es kód. 36

39 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.4) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.6) Kulcsszavak: Statisztikai módszer, eljárás megadása A feladat leírása: A feladatban egy nagy, szabálytalan, ismert területű alakzaton egyenletesen elhelyezkedő objektumok számának becslésére vonatkozó módszert kell ismertetnie a tanulónak. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0051 0,00021 Standard nehézség ,6 Nehézségi szint 7 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 61 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,12 0,05 0,39 0,05 0,08-0,38 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 10,6 0,10 1. szint alatt 0,0 0,00 Főváros 17,0 0,32 1. szint 0,0 0,03 Megyeszékhely 13,6 0,21 2. szint 0,4 0,07 Város 9,5 0,15 3. szint 1,7 0,10 Község 5,8 0,14 4. szint 5,7 0,16 5. szint 16,9 0,30 6. szint 37,2 0,60 7. szint 68,8 0,92 37

40 MATEMATIKA 72/100. FELADAT: HOMOKÓRA ML14101 A szaunákban a bent töltött idő mérésére homokórát használnak. A felső tartályból 15 perc alatt az összes homok lepereg az alsóba, ekkor a homokórát meg kell fordítani, hogy felülre kerüljön a homokkal teli tartály. Amikor Tomi bemegy a szaunába, a homokóra a következőt mutatja. 15 p 10 p 5 p 0 p 15 p 10 p 5 p 0 p ML14101 Tomi 10 percet szeretne szaunázni. A következő ábrák közül melyik mutatja helyesen a 10 perc elteltét? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! A B C D E 15 p 15 p 15 p 15 p 15 p 10 p 10 p 10 p 10 p 10 p 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p 0 p 0 p 0 p 0 p 0 p 15 p 15 p 15 p 15 p 15 p 10 p 10 p 10 p 10 p 10 p Homokóra 5 p 5 p 5 p 5 p 5 p 0 p 0 p 0 p 0 p 0 p ML14101 A következő ábrák közül melyik mutatja helyesen a 10 perc elteltét? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 38

41 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.3.1) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.1) Kulcsszavak: Skála, leolvasás, idő A feladat leírása: Adott időmennyiség változását kell egy véges és újrakezdődő skálán értelmeznie a tanulónak. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0034 0,00019 Standard nehézség ,5 Tippelési paraméter 0,10 0,01 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,22 0,35-0,11-0,07 0,00-0,02-0,14 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 38,6 0,15 1. szint alatt 13,9 0,96 Főváros 45,7 0,41 1. szint 16,2 0,59 Megyeszékhely 41,5 0,44 2. szint 18,2 0,38 Város 37,1 0,25 3. szint 26,2 0,28 Község 34,5 0,28 4. szint 37,6 0,28 5. szint 53,2 0,38 6. szint 69,2 0,55 7. szint 83,9 0,73 39

42 MATEMATIKA 73/101. FELADAT: LÁTÁS ML07301 A különböző állatok látóterének nagysága eltérő. A következő ábrákon négy állat látótere látható. Feketével van jelölve az a terület, amely mindkét szemmel, szürke színnel az a terület, amely csak az egyik szemmel látható. Pöttyözött rész jelzi azt a területet, amelyet az állat nem lát. csimpánz házimacska aranyhal erdei szalonka Az ábrák alapján állapítsd meg, a négy állat közül melyik látja be a legnagyobb területet! Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D csimpánz házimacska aranyhal erdei szalonka JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: D 40

43 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.1.1) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.2) Kulcsszavak: Kördiagram, középponti szög A feladat leírása: A tanulónak kördiagramon ábrázolt adatokat kell értelmeznie, összehasonlítania. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0031 0,00009 Standard nehézség ,6 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,29-0,14-0,13 0,38-0,03-0,09 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 80,7 0,14 1. szint alatt 20,4 1,25 Főváros 86,2 0,30 1. szint 41,5 0,78 Megyeszékhely 84,0 0,28 2. szint 60,3 0,50 Város 80,2 0,22 3. szint 76,2 0,33 Község 75,6 0,23 4. szint 87,0 0,20 5. szint 92,8 0,21 6. szint 96,6 0,22 7. szint 98,8 0,24 41

44 MATEMATIKA 74/102. FELADAT: LÁTÁS ML07302 A következő diagram azt ábrázolja, hogy a felsorolt állatok közül három mekkora területet lát be Két szemmel látja Egy szemmel látja Nem látja Melyik állat látótere nincs ábrázolva? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D csimpánz házimacska aranyhal erdei szalonka JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 42

45 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.2) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.2) Kulcsszavak: Kördiagram, középponti szög, oszlopdiagram, adatábrázolás A feladat leírása: A tanulónak kördiagramokon ábrázolt adatokat kell értelmeznie, és oszlopdiagramon ábrázolt adatcsoportok adataival összepárosítania. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0027 0,00008 Standard nehézség ,7 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,16-0,16 0,37-0,26-0,03-0,10 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 76,4 0,15 1. szint alatt 18,1 1,10 Főváros 81,9 0,34 1. szint 37,4 0,83 Megyeszékhely 79,6 0,32 2. szint 56,0 0,49 Város 75,7 0,24 3. szint 70,4 0,30 Község 71,8 0,27 4. szint 82,3 0,26 5. szint 89,3 0,24 6. szint 94,4 0,23 7. szint 97,7 0,38 43

46 MATEMATIKA 75/103. FELADAT: SZOBROK ML09601 A következő táblázat a világ legnagyobb szobrai közül néhánynak a magasságát tartalmazza. Szobor neve Magasság (m) Anyaföld-szobor (Kijev, Ukrajna) 102 Krisztus-szobor (Rio de Janeiro, Brazília) 38 Nagy Álló Buddha (Emei Township, Tajvan) 72 Tavaszi Buddha szobra (Lushan, Kína) 153 Szabadság-szobor (New York, USA) 93 A következő oszlopdiagram a fenti táblázatban szereplő szobrok magasságát mutatja egy kivételével. Melyik szoborhoz tartozó oszlop HIÁNYZIK a diagramról? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A megoldáshoz használj vonalzót! A B C D E Anyaföld-szobor Krisztus-szobor Nagy Álló Buddha Tavaszi Buddha szobra Szabadság-szobor JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 44

47 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.2) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.1) Kulcsszavak: Statisztikai adatok megfeleltetése, skála nélküli diagram, összehasonlítás, nem 1-hez viszonyított méretarány A feladat leírása: A tanulónak tengelybeosztást nem tartalmazó oszlopdiagram oszlopait kell megfeleltetnie a táblázatban megadott értékekkel. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0018 0,00022 Standard nehézség ,4 Tippelési paraméter 0,17 0,05 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6 0,03-0,20 0,23-0,11-0,12-0,03-0,10 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 48,2 0,15 1. szint alatt 24,8 1,37 Főváros 52,4 0,40 1. szint 27,2 0,76 Megyeszékhely 49,9 0,39 2. szint 35,1 0,43 Város 46,9 0,23 3. szint 41,8 0,38 Község 46,2 0,34 4. szint 48,9 0,32 5. szint 56,5 0,36 6. szint 65,9 0,56 7. szint 79,5 0,84 45

48 MATEMATIKA 76/104. FELADAT: SZOBROK ML09602 A rodoszi kolosszus Héliosz isten óriási méretű szobra volt, az ókori világ hét csodája között tartották számon. Ókori források szerint a szobor 70 könyök magas volt, és egy 33 könyök magas talapzaton állt. Hány méter magas volt a rodoszi kolosszus a talapzattal együtt (1 könyök = 0,45 m)? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: Ennél a feladatnál, ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik oda, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott. Ennél a feladatnál, ha a helyes műveletek/végeredmény mellett rossz gondolatmenet is látszik, a válasz 0-s kódot kap. 2-es kód: 46,35 m vagy ennek kerekítései. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Nem számít hibának, ha a mértékegység rossz vagy hiányzik. Elfogadjuk azokat a válaszokat is, amikor a tanuló a szobor és talapzat magasságát külön határozta meg (31,5 és 14,85) és azokat nem adta össze vagy egyértelműen látszik az összeadás szándéka, de a megadottól eltérő végeredményt kap. A 45 m csak akkor fogadható el, ha kiderül a válaszból, hogy a talapzat és a szobor kerekített magasságának összegzésével jött ki. Nem tekintjük hibának, ha a tanuló cm-ben adta meg a válaszát, de akkor szerepelnie kell a számolásnál vagy a végeredmény mellett a cm-nek is. Ha a feladat megoldása közben a tanuló átváltást végez, akkor annak helyesnek kell lennie. Számítás: ( ) 0,45 = 103 0,45 = 46,35 m Tanulói példaválasz(ok): kb. 46 méter 46,4 [Kerekített érték.] Szobor: 70 0,45 = 31,5 Talapzat: 33 0,45 = 14,85 [Nem adta össze a szobor és a talapzat magasságát.] = ,43 = 46,35 m magas volt a kolosszus. [Rosszul írta le a váltószámot, de valójában helyesen, 0,45-tel számolt.] 70 0, ,45 = 31,5 + 14,85 = 46,36 1 m = 2,2 könyök 103 : 22 = 46,8 m [Rossz értéket ír, de jóval számol.] 70 0,45 = 31,5 m magas a szobor, a talapzat pedig 32 0,45 = 14,85 m magas [Nem összegezte a szobor és a talapzat magasságát. 33 helyett 32-t ír, de 33-mal számol.] = = 4636 cm [Cm-ben számolt, megadta a helyes mértékegységet.] 103 0,45 = 46,35 könyök [Helyes eredmény, a mértékegységet elírta.] ,9 = 45,9 [Az egyik értéket felfelé, a másikat lefelé kerekítette.] 46

49 8. ÉVFOLYAM A feladathoz tartozó adatok a következő oldalakon találhatók. 47

50 MATEMATIKA 1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló vagy csak a szobor, vagy csak a talapzat magasságát határozta meg, ezért válasza 31,5 VAGY 14,85 (vagy ezek kerekítései), további számítások nem látszanak. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a két részeredményt összegezte, de válaszában csak az egyiket adta meg. Tanulói példaválasz(ok): 70 0,45 = 31,5 [A szobor magassága.] Talapzat: 33 0,45 = 14,85 [A talapzat magassága.] 15 m [A talapzat magassága kerekítve.] 32 m [A szobor magassága kerekítve.] 1 könyök = 0,45 70 könyök = 31,5 m magas volt. [A szobor magassága.] 31 m [A szobor magassága kerekítve.] 14 [A talapzat magassága kerekítve.] 70 0,45 = 31,5 33 0,45 = 14,9 a szobor magassága 31,5 m [Bár látszik mindkét helyes részeredmény, a szöveges válaszban csak az egyiket adja meg.] 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): = ,43 = 44,29 m magas volt a kolosszus. [0,43-mal számolt 0,45 helyett.] = 100 könyök összesen, 1 könyök 0,45 m 100 könyök 45 m magas volt a szobor 70 0,45 = 31,5 31, = 64,5 magas volt A szobor magassága talapzattal = 103 könyök Méterben: 103 : 0,45 = 228,89 m = ,45 = 16,65 16 méter magas volt alapzat: 14,85 m szobor: = ,45 = 16, , ,45 = 29,025 [Helyes műveletsor, de rosszul elvégzett műveleti sorrend.] 70 0, ,45 = 46,35 45,36 m volt a szobor magassága. [Látszik a helyes eredmény, de a szöveges válaszban 2 számjeggyel eltérő értéket adott meg.] 31,5 m, 14,85 m. Válasz: 45,35 [Látható a két részeredmény, nem utal rá, hogy öszszegezne, a válasza nem a helyes érték.] Lásd még: X és 9-es kód. 48

51 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.3.3) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.5) Kulcsszavak: Mértékegység átváltás, tizedestörttel való számolás A feladat leírása: Nem szokványos mértékegységeket kell átváltania a tanulónak megadott váltószám segítségével, majd ezeket összegeznie kell. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0048 0,00011 Standard nehézség ,6 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 23 0,3 0,0-0,3-0,6-0,15-0,06-0,48 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 66,5 0,14 1. szint alatt 1,5 0,35 Főváros 76,3 0,35 1. szint 8,2 0,42 Megyeszékhely 74,0 0,37 2. szint 27,6 0,45 Város 65,3 0,24 3. szint 55,0 0,38 Község 56,5 0,31 4. szint 76,0 0,27 5. szint 90,0 0,22 6. szint 95,5 0,23 7. szint 98,0 0,26 49

52 MATEMATIKA 77/105. FELADAT: RÉGÉSZETI LELŐHELY ML12401 A régészek a lelőhely térképén koordinátákkal látják el a fontos pontokat. A következő ábrán a kutat a ( 3; 2), a barlangot az (1; 2) koordinátájú pont jelöli. Kút ( 3; 2) Barlang (1; 2) Hol helyezkedik el a tábor a kúthoz és a barlanghoz képest, ha a tábor a (0; 0) koordinátájú helyen található? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! A B Kút ( 3; 2) Tábor Barlang (1; 2) Kút ( 3; 2) Tábor Barlang (1; 2) C D Kút ( 3; 2) Barlang (1; 2) Kút ( 3; 2) Barlang (1; 2) Tábor Tábor JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: D 50

53 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.3.3) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.3) Kulcsszavak: Helymeghatározás koordináta-rendszerben A feladat leírása: Koordináta-rendszerben két adott pont és azok koordinátáinak ismeretében kell azonosítania a tanulónak egy harmadik pont helyzetét a megadottakhoz viszonyítva. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0053 0,00021 Standard nehézség ,4 Tippelési paraméter 0,15 0,01 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6-0,29-0,18-0,23-0,05-0,18 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 64,0 0,17 1. szint alatt 14,8 1,07 Főváros 74,3 0,37 1. szint 19,1 0,60 Megyeszékhely 69,4 0,34 2. szint 26,7 0,41 Város 62,0 0,25 3. szint 48,0 0,37 Község 56,6 0,32 4. szint 72,4 0,32 5. szint 87,9 0,27 6. szint 94,8 0,24 7. szint 98,0 0,31 51

54 MATEMATIKA 78/106. FELADAT: FUTÁS ML07803 Gergő és Levente a hét minden napján futott egy kört a Margitszigeten. A következő diagram azt ábrázolja, hogy Gergő és Levente hány perc alatt futott le egy szigetkört a hét egyes napjain. Hány perc alatt futotta le a szigetkört Gergő Levente hétfő kedd szerda csütörtök péntek szombat vasárnap A diagram adatai alapján döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! Válaszodat a megfelelő kezdőbetű besatírozásával jelöld! Gergő 28 perc alatt futotta le leggyorsabban a szigetkört. I Levente többször is azonos idő alatt futotta le a szigetkört. I Nem volt olyan nap, hogy mindketten ugyanannyi idő alatt futották volna le a szigetkört. I Levente átlagosan rövidebb idő alatt futotta le a szigetkört, mint Gergő. I Igaz Hamis H H H H JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: IGAZ, IGAZ, HAMIS, HAMIS ebben a sorrendben. 52

55 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.1) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4) Kulcsszavak: Adatleolvasás, adatösszehasonlítás A feladat leírása: A tanulónak oszlopdiagram adatait kell értelmeznie, megfelelő adatokat leolvasnia, összehasonlítania. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0027 0,00008 Standard nehézség ,8 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 1 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,38 0,41-0,13 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 64,8 0,16 1. szint alatt 5,3 0,63 Főváros 72,4 0,38 1. szint 17,0 0,58 Megyeszékhely 69,6 0,36 2. szint 36,9 0,44 Város 64,4 0,25 3. szint 57,7 0,35 Község 57,1 0,31 4. szint 72,1 0,29 5. szint 80,9 0,32 6. szint 86,7 0,42 7. szint 93,1 0,50 53

56 MATEMATIKA 79/107. FELADAT: FITNESZBÉRLET ML01701 Egy fitneszközpontban kétféle bérletet kínálnak. 4 heti, korlátlan számú alkalomra érvényes bérlet 8 alkalomra szóló bérlet (tetszőleges ideig felhasználható) Ft Ft Janka 26 héten keresztül heti 3 alkalommal szeretne a fitneszközpontba járni. Melyik bérlettípus lenne számára az olcsóbb, ha a 26 hét során csak az egyik bérlettípusból akar vásárolni? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Válaszodat számítással indokold! H A M A 4 heti, korlátlan számú alkalomra érvényes bérlet. A 8 alkalomra szóló bérlet (tetszőleges ideig felhasználható). Mindegy, mert ennyi időre mindkettő ugyanannyiba kerül. Indoklás: JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: Ennél a feladatnál, ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik oda, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott, ÉS a tanuló a saját eredménye alapján helyesen döntött (kivéve a 6-os kódnál, ahol a döntést nem kell vizsgálni). A tanuló szöveges válasza minden kódnál felülírja a satírozással megjelölt döntését. Mértékegység megadása nem szükséges, nem tekintjük hibának, ha a tanuló más mérték egységet írt. A feladatban fontos szerepe van a kerekítésnek, ezért a 26 : 4 hányados kiszámításakor a 6, a 78 : 8 hányadosnál a 9 kerekítési hibának minősül, ami nem fogadható el. Ha a tanuló az előbbi hányadosok valamelyikét elszámolta és az elszámolt értéket lefelé kerekítette a válasz 0-s kódot kap. 1-es kód: A tanuló A 4 heti korlátlan... válaszlehetőséget jelölte meg és indoklásában látszik legalább az egyik bérlet helyes ára, vagy a két bérlet árának különbsége. Ha a tanuló a két bérlet árát adta meg, akkor mindkét értéknek helyesnek kell lennie. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor látszódik mindkét bérlet helyes ára, de a döntés hiányzik. Számítás: 4 hetes bérlet: 26 : 4 = 6,5 7 db 4 hetes bérlet = Ft ez az olcsóbb 8 alkalomra szóló: 26 3 = 78 alkalom 78 : 8 = 9,75 10 db 8 alkalomra szóló = Ft A 4 heti bérlet az olcsóbb. Tanulói példaválasz(ok): 54

57 8. ÉVFOLYAM A 4 heti bérlet az olcsóbb. Tanulói példaválasz(ok): A 4 heti korlátlan számú alkalomra érvényes bérlet. Mert az 3500-zal olcsóbban jön ki. A 4 heti korlátlan számú alkalomra érvényes bérlet. Mert az Ft, a 8 alkalmas Ft. A 8 alkalmra szóló bérlet (tetszőleges ideig felhasználható). 26 hét 3 alkalom = 78 alkalom 8 alkalmas: 78 : 8 = 10 db bérletre van szükség = Ft 26 : 4 = 7 db havi bérletre lenne szüksége = Ft [A 8 alkalomra szóló bérletnél számolási hiba, helyesen 10-et írt, de valójában 8-cal szorzott., a kapott eredmény alapján helyes döntés.] A 4 heti, korlátlan számú alkalomra érvényes bérlet = 78 ennyi alkalom összesen 4 heti bérletből kell: 26 : 4 = 6, = Ft 8 alkalomra szóló bérletből kell: 78 : 8 = 9, = Ft A 8 alkalmra szóló bérlet (tetszőleges ideig felhasználható) = tehát ez az olcsóbb = [Mindkét érték helyes, de rosszat jelölt meg, de szöveges válasza felülírja a satírozását.] [Nincs jelölés.] A 4 heti Ft, a 8 alkalmas Ft. [Mindkét érték helyes, döntés hiányzik.] 6-os kód: Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló a következő hibák valamelyikét követte el: (1) a bérletek számának meghatározásánál legalább az egyik esetben nem kerekített (94 250, illetve ) és nem írt rossz értéket, VAGY (2) az egy alkalomra eső bérletárakat vizsgálta (1208 és 1312,5 vagy kerekítéseik) vagy más azonos egységre vonatkozóan (nap (517,5 ill. 562,5), hét (3625 ill. 3937,5), hónap ( ill ) vizsgálta a bérletárakat. Ennél a kódnál elég az egyik értéket megadnia. Ha másik értéket is megadott, az nem lehet rossz. Ennél a kódnál a tanuló döntésének helyességét nem kell vizsgálni. Tanulói példaválasz(ok): [Nincs jelölés.] 26 : 4 = 6,5 6, = ez az olcsóbb 3 26 = : 8 = 9,75 9, = [A szöveges válaszból derül ki döntése, nem kerekített egyik bérlet számánál sem.] A 4 heti, korlátlan számú alkalomra érvényes bérlet. Mert az 8125 Ft-tal olcsóbb. [Nem kerekített a bérletek számánál.] [Nincs jelölés.] egy alkalomra : 12 = 1208,3 ez lesz az olcsóbb egy alkalomra : 8 = 1312,5 [A szöveges válaszból derül ki döntése, az egy alkalomra szóló bérletek árát hasonlította össze.] A 4 heti, korlátlan számú alkalomra érvényes bérlet. 26 hét, heti 3: 26 3 = 78 alkalom 8 alkalmi: 9,75 10 bérlet kell = Ft 4 heti: 26 : 4 = 6,5 6, = Ft [Az egyik bérletnél (a 4 heti bérleteknél) nem kerekített.] A 4 heti, korlátlan számú alkalomra érvényes bérlet. 55

58 MATEMATIKA nem kerekített.] A 4 heti, korlátlan számú alkalomra érvényes bérlet. 4 heti: 1 hét 3 alkalom, 4 hét 12 alkalom, 1 alkalom: 1208 Ft 8 alkalomra szóló: alkalom 1312,5 Ft A 4 heti bérlet olcsóbban jön ki. [Az egy alkalomra szóló bérletek árát hasonlította össze.] A 4 heti bérlet hét x Ft 4 hét Ft x = hét 3 alkalom 26 hét 26 3 = 78 alkalom 78 alkalom x Ft = Ft 8 alkalom x = = Ft 0-s kód: Más rossz válasz. Idetartozik a helyes válasz is megfelelő indoklás nélkül, valamint ha a tanuló helyesen kiszámította mindkét bérletre vonatkozó részeredményt és döntése hibás. Tanulói példaválasz(ok): A 8 alkalomra szóló bérlet (tetszőleges ideig felhasználható). 26 : 4 = 6, ,5 = : 8 = 3, : 3,25 = A 8 alkalomra szóló bérlet (tetszőleges ideig felhasználható). 4 heti: 26 : 4 = 6,5 7 db = alkalomra szóló: 26 3 = 78 alkalom 9,75 10 db 10 db = Ft Jobban jár a 8 alkalmas bérlettel [Helyes számítások, szövegesen megerősített rossz döntés.] A 8 alkalomra szóló bérlet (tetszőleges ideig felhasználható). 26 : 4 = 6,5 6, = Ft 26 hét = 182 nap 182 : 3 = 60,67 61 nap 61 : 8 = 7, = A 8 alkalomra szóló bérlet (tetszőleges ideig felhasználható). 26 : 4 = 6,5 7 bérletet kellene az 1. bérletből = Ft 26 : 3 = 8,6 8 bérlet kell a 2. bérletből = Ft A 8 alkalomra szóló bérlet (tetszőleges ideig felhasználható). Mert az 4000-rel olcsóbb. [Csak a bérletek megadott árát hasonlította össze.] A 8 alkalomra szóló bérlet (tetszőleges ideig felhasználható). A 8 alkalomra szóló csak Ft, a 4 hetes pedig Ft [Csak a bérletek megadott árát hasonlította össze.] Lásd még: X és 9-es kód. 56

59 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.1) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.2) Kulcsszavak: Műveletsor A feladat leírása: Szövegesen megfogalmazott szituáció alapján kell felírnia a tanulónak két különböző műveletsort, kiszámítania az értéküket, és kiválasztania a feltételnek megfelelőt (kisebbet). A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0060 0,00018 Standard nehézség ,7 Nehézségi szint 7 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6-0,33 0,20-0,16 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 11,7 0,11 1. szint alatt 0,0 0,00 Főváros 19,4 0,34 1. szint 0,0 0,00 Megyeszékhely 14,8 0,29 2. szint 0,2 0,04 Város 10,4 0,16 3. szint 0,9 0,07 Község 6,8 0,15 4. szint 4,6 0,13 5. szint 18,8 0,31 6. szint 47,9 0,58 7. szint 80,9 0,91 57

60 MATEMATIKA 80/108. FELADAT: DINOSZAURUSZ ML19002 Zedóniában egy ásatáson dinoszaurusz-lábnyomra bukkantak. Zedóniában a lábnyomuk mérete alapján csoportosították a dinoszauruszokat. Faj Minirusz Medirusz Bigirusz Lábnyom mérete < 40 cm cm cm Hipirusz 81 cm < A következő ábrán a megtalált dinoszaurusz lábnyomának rajza látható. 10 cm A táblázat és a lábnyom alapján melyik fajhoz tartozik a lelet? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A feladat megoldásához használj vonalzót! A B C D Minirusz Medirusz Bigirusz Hipirusz JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 58

61 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4) Kulcsszavak: Méretarány nem 1-hez viszonyítva, mért adatokkal, intervallum, táblázat A feladat leírása: A tanulónak a megadott lépték alapján mérés segítségével a megrajzolt objektum valós hosszát kell meghatároznia. A válaszhoz meg kell találnia, hogy a kapott érték melyik táblázatosan megadott intervallumba tartozik, és mi a kategória neve. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0017 0,00008 Standard nehézség ,4 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6-0,16-0,21 0,27 0,00-0,03-0,16 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 58,4 0,15 1. szint alatt 21,1 1,20 Főváros 62,0 0,40 1. szint 33,0 0,74 Megyeszékhely 60,5 0,36 2. szint 42,4 0,49 Város 58,4 0,26 3. szint 51,0 0,37 Község 54,5 0,33 4. szint 61,0 0,33 5. szint 68,8 0,36 6. szint 77,0 0,52 7. szint 86,8 0,70 59

62 MATEMATIKA 81/109. FELADAT: SÁRI ÚTJA ML26901 A következő ábrán négy diagram látható, amelyek Sári útját mutatják négy különböző alkalommal. Otthontól való távolság Idő Otthontól való távolság Idő Otthontól való távolság Idő Otthontól való távolság Idő Írd a diagramok alá a következő szituációk közül annak a sorszámát, amelyiket ábrázolja! 1. Sári elindult az iskolába, a közeli boltban vásárolt magának egy szendvicset, majd sietve tette meg az iskoláig hátralévő utat. 2. Sári elment otthonról a barátnőjéhez, náluk töltötte a délutánt, majd hazament. 3. Sári egy nehéz bőrönddel gyalog ment a pályaudvarra. Ahogy egyre jobban elfáradt, egyre lassabban ment. 4. Sári a nagymamájától megállás nélkül hazagyalogolt. 60

63 8. ÉVFOLYAM JAVÍTÓKULCS 1-es kód: 3, 4, 1, 2 ebben a sorrendben. Elfogaldhatók azok a válaszok is, amikor nem számokkal válaszol a tanuló, de válasza alapján egyértelműen beazonosítható, melyik szituációhoz tartozik a diagram. A válasz akkor is elfogadható, ha nem a vonalra írja a tanuló a válaszát, hanem az ábrára. Tanulói példaválasz(ok): [Megfelelő kulcsszavak ahhoz, hogy beazonosíthatóak legyenek a mondatok; jó sorrend.] pályaudvar, nagymama, iskola, barátnő [Megfelelő kulcsszavak ahhoz, hogy beazonosíthatóak legyenek a mondatok; jó sorrend] [Egy vonalra írta a helyes számsort.] [Átnyilalazta, így helyes lett a válasz.] [A 2-es is oda van írva, csak nem a vonalra, hanem az ábra fölé.] 61

64 MATEMATIKA 0-s kód: Rossz válasz. Ide tartoznak azok a válaszok is, amikor csak 3 diagram alá ír helyes választ a tanuló, a negyedik hiányzik. Tanulói példaválasz(ok): [Az utolsó hiányzik.] 3, 4, 2, 1 [Rossz sorrend.] 3, 4, 1, 3 [Kétszer szerepel a 3-as.] 3, 4, 5, 3 [1 helyett 5 szerepel.] [A feladat sorszámát áthúzta.] Lásd még: X és 9-es kód. 62

65 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.2) Kulcsszavak: Diagram, adatértelmezés, ábrázolás vizsgálata A feladat leírása: A tanulónak szövegesen adott, mozgást leíró szituációkat kell párosítania az azokat ábrázoló (idő-távolság) grafikonokkal. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0032 0,00008 Standard nehézség ,5 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 13 0,3 0,0-0,3-0,6-0,22-0,38 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 57,3 0,15 1. szint alatt 3,1 0,51 Főváros 65,3 0,38 1. szint 10,8 0,52 Megyeszékhely 61,4 0,40 2. szint 26,6 0,43 Város 56,5 0,23 3. szint 45,0 0,34 Község 50,4 0,32 4. szint 62,5 0,32 5. szint 77,4 0,30 6. szint 88,5 0,35 7. szint 96,5 0,37 63

66 MATEMATIKA 82/110. FELADAT: VILLAMOS HÁLÓZAT ML22201 Zedországban 9 évente ellenőrzik a lakóházak villamos hálózatát. Első alkalommal 1921-ben végeztek ilyen ellenőrzést. A felsorolt évek közül melyikben fogják ellenőrizni majd a hálózatot? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 2016 B 2017 C 2018 D 2019 E 2020 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: E 64

67 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.4.2) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.4) Kulcsszavak: Maradékok vizsgálata A feladat leírása: A tanulónak (9-cel való) osztással keletkező maradékokat kell vizsgálnia. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0038 0,00010 Standard nehézség ,9 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) ,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,22-0,17-0,19-0,10 0,44-0,04-0,19 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 74,3 0,16 1. szint alatt 7,5 0,86 Főváros 78,7 0,35 1. szint 20,7 0,66 Megyeszékhely 78,6 0,28 2. szint 45,0 0,50 Város 74,2 0,23 3. szint 69,4 0,40 Község 68,5 0,33 4. szint 83,8 0,22 5. szint 89,7 0,21 6. szint 93,3 0,28 7. szint 96,2 0,38 65

68 MATEMATIKA 83/111. FELADAT: ARCOK ML99201 Egy középiskola végzős évfolyamán az osztályokra jellemző adatokat arcdiagramon ábrázolták, amelyen az egyes arcvonások (arc, szem, száj, orr) más-más adatot szemléltetnek. ARC Osztálylétszám SZEM Nyelvvizsgával rendelkezők aránya SZÁJ Rendszeresen sportolók aránya ORR Felsőfokú intézménybe jelentkezők aránya > 30 > 70% > 70% > 70% % 30 70% 30 70% < 20 < 30% < 30% < 30% A következő táblázat az egyik végzős osztály néhány adatát tartalmazza. Osztálylétszám 24 fő Nyelvvizsgával rendelkezők aránya 66% Rendszeresen sportolók aránya 25% Felsőfokú intézménybe jelentkezők aránya 88% Melyik arcdiagram készült a táblázat adatai alapján? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! A B C D E JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 66

69 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.1) Kulcsszavak: Statisztikai adatok megfeleltetése, táblázat, rajzos diagram A feladat leírása: A tanuló feladata négy értékekhez tartozó kategóriát azonosítani a megadott táblázatban, és a kategóriákhoz tartozó jelöléseket egyesíteni, majd kiválasztani az eredményt a megadottak közül. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0030 0,00008 Standard nehézség ,9 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 6 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,19-0,22 0,44-0,15-0,10-0,05-0,16 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 69,2 0,16 1. szint alatt 13,4 0,99 Főváros 75,4 0,36 1. szint 25,9 0,66 Megyeszékhely 74,7 0,32 2. szint 40,5 0,52 Város 68,2 0,21 3. szint 58,8 0,37 Község 62,5 0,31 4. szint 75,6 0,27 5. szint 87,7 0,23 6. szint 94,2 0,23 7. szint 97,6 0,35 67

70 MATEMATIKA 84/112. FELADAT: RÁDIÓ ML22501 A következő ábrán Bulcsú rádiójának frekvenciaskálája látható. 87,4 89,2 Kedvenc adóját, a Dió Rádiót a 87,8-es frekvencián lehet fogni. Jelöld X-szel a fenti skálán a Dió Rádió frekvenciáját! JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: Nem tekintjük hibának, ha a tanuló nem X-szel, hanem valamilyen más egyértelmű jelöléssel jelölte meg a Dió Rádió frekvenciáját. A tanuló jelölésének (X esetén annak metszéspontjának) érintenie kell a 87,8-as pöcköt vagy annak meghosszabítását. Ha a tanuló több helyet is megjelölt és nem derül ki, hogy melyik a végleges válasza, akkor az X-szel jelölt helyet kell vizsgálni. Ha a tanuló valamelyik pöcök alá vagy fölé odaírta a 87,8-as értéket, akkor azt a helyet kell vizsgálni (függetlenül attól, hogy X-szel jelölt-e meg más helyet). Ha a tanuló a jelölés mellé odaírta a frekvenciaértéket is, akkor annak jónak kell lennie. Ha más rovátkák frekvenciaértékét is megadta, azok helyességét nem vizsgáljuk. 1-es kód: A tanuló a következő ábrának megfelelő helyen jelölte az értéket X-szel vagy bármilyen egyértelmű jelöléssel. Tanulói példaválasz(ok): 87,4 87,8 89,2 87,4 89,2 6-os kód: Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló a skálabeosztást 0,1-nek vette, ezért a következő ábrának megfelelő helyen jelölte az értéket. Tanulói példaválasz(ok): 87,4 87,8 89,2 87,4 89,2 87,8 [A frekvencia feltüntetésével jelölte, melyik a végleges válasza. Vö. 0-s kód, 1. példaválasz.] 68

71 8. ÉVFOLYAM A feladathoz tartozó adatok a következő oldalakon találhatók. 69

72 MATEMATIKA 0-s kód: Más rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló a helyes pont mellett egy rosszat is bejelölt és nem derül ki, hogy melyiket szánta megoldásnak. Tanulói példaválasz(ok): 87,4 87,1 89,2 [A 6-os kódnak megfelelő helyet jelölte be, de rossz frekvenciát írt rá. Vö. 6-os kód, 1. példaválasz.] Lásd még: X és 9-es kód. 70

73 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.3.1) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.1) Kulcsszavak: Skála A feladat leírása: A tanulónak egy nem megadott beosztású lineáris számskálán kell adott pont helyét meghatároznia és pontosan bejelölnie úgy, hogy két ponthoz tartozó érték be van jelölve. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0038 0,00009 Standard nehézség ,1 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) ,3 0,0-0,3-0,6-0,16-0,14-0,37 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 45,6 0,14 1. szint alatt 0,8 0,28 Főváros 54,9 0,43 1. szint 4,5 0,32 Megyeszékhely 51,5 0,35 2. szint 11,2 0,28 Város 43,7 0,28 3. szint 26,7 0,33 Község 38,1 0,25 4. szint 49,3 0,33 5. szint 70,7 0,30 6. szint 84,5 0,43 7. szint 92,7 0,46 71

74 MATEMATIKA 85/113. FELADAT: ÓRABÉR ML24801 Gábor egy autószerelőnél dolgozik. Hétfőn, szerdán és pénteken 8 órát dolgozik, kedden és csütörtökön 6 órát. Hétvégén nem dolgozik. Hány zed Gábor ÓRABÉRE, ha egy hét alatt 9720 zedet keres? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 39 zed B 81 zed C 270 zed D 694 zed JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 72

75 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.3.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Egyenlet A feladat leírása: A tanulónak szövegesen megfogalmazott szituáció alapján kell felírnia és megoldania egy egyenletet, és kiválasztania a megoldást a megadottak közül. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0028 0,00008 Standard nehézség ,9 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0 7 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,15-0,25 0,44-0,16-0,03-0,18 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 67,0 0,14 1. szint alatt 20,1 1,29 Főváros 72,0 0,38 1. szint 29,8 0,76 Megyeszékhely 70,7 0,34 2. szint 40,5 0,44 Város 66,5 0,22 3. szint 53,0 0,34 Község 61,7 0,32 4. szint 70,1 0,27 5. szint 87,9 0,25 6. szint 96,9 0,21 7. szint 99,5 0,13 73

76 MATEMATIKA 86/114. FELADAT: JÓTÉKONYSÁGI MÉRKŐZÉS ML23001 Egy sportklub jótékonysági kézilabda-mérkőzést rendezett, a jegyekből származó bevételnek a költségek levonása után megmaradó részét egy állatmenhely támogatására fordítják. A mérkőzésre egy belépőjegy 3500 Ft-ba került, összesen 1270 jegyet adtak el. Hány forint támogatás gyűlt össze az állatmenhely részére a jótékonysági mérkőzésen, ha jegyenként 1400 Ft volt a sportklub költsége a mérkőzés megszervezésére és lebonyolítására? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D Ft Ft Ft Ft JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 74

77 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.1) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Műveletsor A feladat leírása: A tanuló feladata szöveges információk alapján felírni és elvégezni egy alapműveleteket tartalmazó műveletsort, majd az eredményt kiválasztani a megadott lehetőségek közül. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0057 0,00027 Standard nehézség ,9 Tippelési paraméter 0,30 0,01 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) ,3 0,0-0,3-0,6-0,14-0,21-0,20-0,02-0,19 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 59,8 0,16 1. szint alatt 30,6 1,56 Főváros 66,4 0,39 1. szint 31,6 0,78 Megyeszékhely 64,7 0,39 2. szint 30,4 0,39 Város 58,7 0,28 3. szint 39,7 0,35 Község 53,8 0,31 4. szint 61,4 0,31 5. szint 84,7 0,28 6. szint 95,5 0,25 7. szint 99,2 0,20 75

78 MATEMATIKA 87/115. FELADAT: MINTA MJ33801 Egy tanuszoda 33 m hosszú és 17 m széles medencéjének belső oldalait a következő ábrán látható 25 cm széles, egysoros mintával szeretnék díszíteni. 25 cm Hány darab minta kell a medence díszítéséhez? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: Ennél a feladatnál, ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik oda, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott. 1-es kód: 400 A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor nem látszik a végeredmény, de szerepel leírva az egyes oldalakra szükséges csempeszám, azaz a 132, 132, 68, 68, és ezeket nem adta össze vagy csak a 264 és 136 értékek látszódnak és további rossz gondolatmenet nem látható. Számítás: 2 ( ) = : 0,25 = 400 Tanulói példaválasz(ok): 2 ( ) = : 25 = 400 ( ) 2 = 120 m = cm : 25 = 480 [Számolási hiba a nél, de látszik a helyes művelet, a rossz értékkel helyesen számolt tovább.] 25 cm = 0,25 m 2 33 m oldalára 264 db kell 2 17 m oldalára 136 db kell [Szerepel a kétféle oldalra szükséges csempék száma (264, 136), csak az összegzés hiányzik.] 3300 : 25 = : 25 = 68 2 ( ) = = m = 4 m 33 4 = = = = = 400 db kell a halacskákból [Meghatározta, hogy a 33 méteres oldalakra összesen 264, a 17 méteres oldalakra összesen 136 minta kell, majd ezeket összegezte.] = 100 : 25 = minta kell [Valószínűleg fejben váltott át.] 76

79 8. ÉVFOLYAM 6-os kód: Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló a mértékátváltást nem vagy roszszul végezte el, de a többi lépés helyes. A 400-tól nagyságrendben eltérő értékek (akár egész számra kerekítve is) számítás nélkül is idetartoznak, azaz a 400-nak a 10 hatványaiszorosai. Tanulói példaválasz(ok): 2 ( ) = : 25 = 4 [A 25 cm-t nem váltotta át m-re, de ettől eltekintve helyes a gondolatmenet.] = 100 m 100 m = cm : 25 = [Hibás átváltás, de ettől eltekintve helyes a gondolatmenet.] 25 cm = 0,025 m K = 100 : 0,025 = 4000 [Hibás átváltás, de ettől eltekintve helyes a gondolatmenet.] K = 2 ( ) = = [A 25 cm-t nem váltotta át m-re.] 5-ös kód: Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló nem duplázta meg az oldalhosszakat (azaz csak a két különböző oldalhosszúságú oldallal számolt), és a végén sem utalt a félkerület duplázására, ezért válasza 200. Idettartoznak továbbá azok a válaszok is, amikor a két különböző oldalon lévő csempék számát adta meg külün-külön (nem is utalt arra, hogy ezeket kétszer kellene venni), ezért válasza 132 és 68. Az 5-ös kódnál említett értékektől nagyságrendben eltérő értékek (akár egész számra kerekítve is, függetlenül attól hogy lefelé vagy felfelé kerekítette) látható számítások nélkül is elfogadhatók. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló nem duplázta meg a különböző oldalhosszúságú oldalakat ÉS nem váltott át a megfelelő mértékegységre vagy átváltási hibát is vétett. A 2 látható számítások nélkül 5-ös kódot kap. Tanulói példaválasz(ok): 33 4 = = = = : 25 = [Számolás nem látható.] 33 m = 330 cm 330 : 25 = 13,2 17 m = 170 cm 170 : 25 = 6,8 13,2 + 6,8 = 20 [A kódnak megfelelő módszer és átváltási hiba.] 50 m = 5000 cm 5000 : 25 = 20 [A kódnak megfelelő módszer és számítási hiba, de látható a műveletsor.] 25 cm = 0,25 m 17 m : 0,25 m = m : 0,25 m = halat kell díszíteni. 77

80 MATEMATIKA 7-es kód: A tanuló kerületképlet helyett területképletet alkalmazott, azaz összeszorozta a megadott oldalhosszúságokat és az így kapott értéket elosztotta a minta szélességével, ezért válasza vagy Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló gondolatmenete a kódnak megfelelő, de nem váltott át a megfelelő mértékegységre vagy átváltási hibát követett el. A fentiektől nagyságrendben eltérő értékek (akár egész számra kerekítve is, kivéve a 2) számítás nélkül is idetartoznak. Tanulói példaválasz(ok): = 561 m 561 : 0,25 = 2244 db : 0,25 = 2244 [Kerület helyett területtel számolt.] = cm : 25 = [Kerület helyett területtel számolt.] 22 [22,4 érték kerekítve.] = 561 m 5610 cm : 25 cm = 224,4 225 [Kerület helyett területtel számolt, átváltási hiba.] 3300 cm 1700 cm = 2244 [A 68 az 1700 : 25 művelet eredménye, azaz : 25 művelet végzett el, a 25-tel való osztást mindegy mikor végzi el.] 0-s kód: Más rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 3300 : 25 = : 25 = = 8976 [Csak 1-1 oldallal számolt, összeadás helyett szorzott.] ( ) 2 = : 0,25 = 268 [Módszertani hiba, mert rossz sorrendben hajtotta végre a műveleteket, mert = = 67.] = : 0,25 = 3300 [Rossz számokat szorzott össze.] 3300 : 25 = = 264 [A különböző oldalhosszúságok közül csak az egyikkel számolt.] 330 : 25 = 13,2 13 [Csak egy oldalra számolta ki, átváltási hiba.] 17 : 0,25 = 68 [Csak egy oldalra számolta ki.] (25 4) 33 = = 132 db 1 25 cm 2 50 cm 3 75 cm : 0,25 m = 132 [Csak egy oldalra számolta ki.] 33 m = 330 cm 330 : 25 = 13,2 13 db minta kell [Csak egy oldalra számolta ki, átváltási hiba.] Lásd még: X és 9-es kód. 78

81 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.1.3) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4) Kulcsszavak: Téglalap kerülete, lefedés, mértékegység-átváltás A feladat leírása: A feladat megoldásához a téglalap oldalhosszainak ismeretében a lefedéshez szükséges adott hosszúságú alakzat darabszámát kell meghatároznia a tanulónak. A feladat megoldásához m-cm átváltásra is szükség van. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0046 0,00013 Standard nehézség ,7 Nehézségi szint 7 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 46 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,03 0,44 0,14 0,10 0,05-0,44 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 15,3 0,11 1. szint alatt 0,4 0,21 Főváros 20,1 0,33 1. szint 0,7 0,15 Megyeszékhely 17,5 0,32 2. szint 1,6 0,12 Város 13,9 0,16 3. szint 3,4 0,15 Község 12,8 0,20 4. szint 9,2 0,17 5. szint 25,1 0,27 6. szint 51,3 0,59 7. szint 80,4 0,78 79

82 MATEMATIKA 88/116. FELADAT: GYÖNGYHÍMZÉS ML12602 Fanni az iskolai kirakodóvásárra gyöngyökkel kivarrt pénztárcákat szeretne készíteni. Egy pénztárca díszítéséhez 12 db sárga, 30 db piros és 25 db zöld gyöngy szükséges. Legfeljebb hány pénztárcát tud elkészíteni, ha 150 db sárga, 200 db piros és 180 db zöld gyöngye van? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! JAVÍTÓKULCS Megj.: Ennél a feladatnál, ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik oda, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott. A kódokhoz a saját eredménye alapján jól kell döntenie a tanulónak. A feladatban fontos szerepe van a kerekítésnek, ezért a 150 : 12 hányados kiszámításakor kapott 12 és 13, a 200 : 30 hányadosnál kapott 6 és 7, valamint a 180 : 25 hányadosnál kapott 7 és 8 mint kapott értékek látható kerekítési szándék nélkül is is kerekítésnek minősülnek, és ezek alapján döntünk a kódról. 1-es kód: 6 vagy 6, A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló a = hányadost adta meg, vagy ezt a törtet legalább 1 tizedesjegyet tartalmazó tizedestörtként adta meg akár felfelé, akár lefelé kerekítve. Rossz gondolatmenet mellett önmagában szereplő 6-os végeredmény nem fogadható el. Számítás: 150 : 12 = 12, : 30 = 6, : 25 = 7,2 7 6 pénztárcát tud készíteni. Tanulói példaválasz(ok): 1 db pénztárca 12 db s, 30 db p, 25 db z x db = 12, = 6, = 7,2 Tehát max : 12 = : 30 = : 25 = 7 legfeljebb 6,6 darabot tud készíteni [Már az osztásoknál lefelé kerekített.] legfeljebb 6 pénztárcát [Nem látszik számítás, helyes válasz.] 6,7 [A ,6 [A hányados 1 tizedesjegyre kerekített értéke.] hányados 1 tizedesjegyre kerekített értéke.] 150 : 12 = 12,5 200 : 30 = 6,7 legfeljebb 5 darabot tud készíteni 180 : 25 = 5,2 [Számolási hiba, látszik a helyes műveletsor, a saját rossz eredménye alapján helyesen dönt.] 80

83 8. ÉVFOLYAM 6-ös kód: 5-ös kód: 7-es kód: A tanuló eljutott a hányadosértékek értelmezés alapján történő kerekítéséig mindhárom szám esetében (12, 6, 7) és további műveleteteket nem hajtott végre, nem választotta ki közülük a legkisebbet. A 12, 6, 7 számhármas önmagában, látható gondolatmenet nélkül is 6-os kódot kap. Tanulói példaválasz(ok): 150 : 12 = 12,5 sárga : 30 = 6, piros : 25 = 7,2 zöld : 12 = 12,5 200 : 30 = : 25 = 7,2 Tehát sárgából 12-t, pirosból 6-ot, zöldből 7-et [Nem dönt.] Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló leírta a helyesen képzett hányadosokat, de vélhetően vagy láthatóan mindhármat a matematika szabályai szerint kerekíti, ezért válasza 7 (6, kerekítése). Idetartoznak még azok az esetek is, amikor a 13, 7, 7 eredmények alapján a 7-et adta meg válaszként, akár látható a kerekítési szándék, akár eredményként kapta ezeket az értékeket. Tanulói példaválasz(ok): 150 : 12 = 12, : 30 = 6, : 25 = 7,2 7 7 pénztárca jön ki. 150 : 12 = 12,5 200 : 30 = 6, : 25 = 7,2 Tehát 7 db pénztárcát tud készíteni Tehát 7. [Nem látszik számolás, saját eredménye alapján jól dönt.] 150 : 12 = : 30 = : 25 = 7 7 db pénztárcát tud készíteni. [Ez az a kivételes eset, amit nem tekintünk számolási hibának, a 13, 7, 7 eredmények alapján a 7-et választotta.] A tanuló összeadta a szükséges gyöngyök számát és a rendelkezésre álló gyöngyök számát, és ezek hányadosát számította ki, tehát számításaiban az 530 hányados vagy 67 7,9 szerepel. Az ilyen típusú válaszok idetartoznak kerekítés nélkül, és akkor is, ha ezt 7-re kerekíti, és akkor is, ha 8-ra kerekíti. Látható gondolatmenet nélkül csak a 7,9-es érték és az hányados kap 7-es kódot. 81

84 MATEMATIKA Tanulói példaválasz(ok): = 530 gyöngy van összesen = 67 egy pénztárca 530 : 67 = 7,9 legfeljebb 7 pénztárcát tud elkészíteni. [Összes gyöngy és egy pénztárca gyöngyeinek hányadosa, lefelé kerekítve.] 530 = 7,9 8 legfeljebb 8-at tud elkészíteni. [Összes gyöngy és egy pénztárca 67 gyöngyeinek hányadosa, felfelé kerekítve.] = = 67 Tehát 7. [Nem látszik az 530 és a 67 hányadosa, de egyértelműen a 7-es kódhoz tartozó módszer.] 7,9 [A 7,9 önmagában, számítás nélkül is idetartozik.] 67 : db-ot tud készíteni [Az 530 és 67-es értékekek szerepelnek a tanuló válaszában, megadta a kódnak megfelelő választ.] 0-s kód: Más rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló gondolatmenete nem látszik és úgy adja meg a 7-es vagy 8-as értéket, vagy más rossz gondolatmenttel kapja meg a 7-et vagy a 8-at. Azok a válaszok is ide tartoznak, ahol látszik a három hányados, értékük tizedestörtben is meg van adva helyesen, de a tanuló nem adott meg választ, vagy rossz választ adott. Tanulói példaválasz(ok): 7 [Számítás nélkül, hányadosértékek nem láthatók.] = 25 db pénztárca [6-os kód sem lehet, mert összeadta az értékeket.] = 530 gyöngy van összesen = 67 egy pénztárca 530 : 67 = 7,9 6 karkötőt tud készíteni [Nem tudni, honnan jött a 6.] 150 : 12 = 12,5 12 [Csak azt a színt vizsgálta, amiből legkevesebb van/legkevesebb kell.] Tehát 12-t tud készíteni. [Eljutott a hányadosértékek helyes kerekítéséig, de közülük a legnagyobbat adta meg.] 12 db sárga 150 db 30 db piros 200 db 25 db zöld 180 db legfeljebb 12, mivel a sárga elfogy utána [A legnagyobb egészrészt adta meg.] 200 : 30 = 6,6 180 : 25 = 7,8 150 : 12 = 12,5 12 db sárga [A legnagyobb egészrészt adta meg.] 150 : 12 = 12, : 30 = 6, : 25 = 7,2 8 [A tanuló minden értéket felfelé kerekített, és nem is derül ki melyik a válasza.] 150 : 12 = 12,5 200 : 30 = 6, 180 : 25 = 7,2 [Nincs kerekítés, nincs válasz.] Lásd még: X és 9-es kód. 82

85 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.4.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4) Kulcsszavak: Osztás, egészrész, összehasonlítás A feladat leírása: A tanulónak a rendelkezésre álló összetevők mennyiségéből a maximálisan előállítható mennyiséget kell meghatároznia a feladatban: az adott mennyiségekkel hányadosokat kell képeznie, majd a legkisebb kapott hányados egészrészét meghatároznia. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0052 0,00015 Standard nehézség ,6 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 48 0,3 0,0-0,3-0,6-0,11 0,03-0,02-0,02-0,46 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 31,2 0,14 1. szint alatt 0,0 0,00 Főváros 39,9 0,37 1. szint 0,5 0,11 Megyeszékhely 37,1 0,32 2. szint 2,2 0,12 Város 30,0 0,25 3. szint 7,7 0,18 Község 23,0 0,24 4. szint 25,6 0,31 5. szint 58,3 0,43 6. szint 85,7 0,47 7. szint 96,2 0,38 83

86 MATEMATIKA 89/117. FELADAT: ISKOLAI FOCI ML27601 Zoliék iskolájában focibajnokságot rendeznek az évfolyam osztályai között. A következő táblázatban látható, milyen eredmények születtek az eddig lejátszott meccseken. Mérkőzés Eredmény 8.a 8.d b 8.c b 8.d b 8.e d 8.e 1-0 Melyik osztály lőtte eddig a legtöbb gólt? Add meg azt is, hány gólt lőtt ez az osztály! A legtöbb gólt lövő osztály: Az általuk lőtt gólok száma: JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: Ha a gólok számához a tanuló leírta a 8.b osztály góljainak összegzését ( vagy 3 + 2) de nem adta meg a végeredményt, a válasz elfogadható. Nem számolhatja el a gólok számát. Ha a tanuló nem írt a vonalakra semmit, meg kell nézni, nem írta e máshová a válaszát, pl. a táblázat mellé. Ott egyértelműen ki kell jelölnie, melyik osztály és gól a válasza. 2-es kód: Mindkét megadott érték helyes: A legtöbb gólt lövő osztály: 8.b vagy b. Az általuk lőtt gólok száma: 5. Tanulói példaválasz(ok): A legtöbb gólt lövő osztály: b Az általuk lőtt gólok száma: 5 A legtöbb gólt lövő osztály: B Az általuk lőtt gólok száma: A legtöbb gólt lövő osztály: b Az általuk lőtt gólok száma: 3, 2 [Osztály jó, fesorolta a lőtt gólok számát.] A legtöbb gólt lövő osztály: 8b, 5 Az általuk lőtt gólok száma: [Egy sorba írta, a másik sorba nem írt semmit.] A legtöbb gólt lövő osztály: 8b Az általuk lőtt gólok száma: 5 b [A második sorban nem számít a B hibának.] 84

87 8. ÉVFOLYAM [A 8 b-t jelölte meg, ehhez hozzákapcsolható a táblázat melletti helyes érték.] 1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló csak az egyik értéket adta meg helyesen, a másik érték hiányzik. Tanulói példaválasz(ok): A legtöbb gólt lövő osztály: b osztály Az általuk lőtt gólok száma: [Csak az osztályt adta meg.] A legtöbb gólt lövő osztály: Az általuk lőtt gólok száma: 5 [Csak a gólok számát adta meg.] A legtöbb gólt lövő osztály: 8b Az általuk lőtt gólok száma: [Csak az osztályt adta meg.] A legtöbb gólt lövő osztály: Az általuk lőtt gólok száma: 3+2 [Csak a gólok számát adta meg, nem összegezte.] A legtöbb gólt lövő osztály: 8b Az általuk lőtt gólok száma: 8b [Mindkét sorban az osztályt nevezte meg.] A legtöbb gólt lövő osztály: 5 Az általuk lőtt gólok száma: 5 [Mindkét sorban a gólt adta meg.] A legtöbb gólt lövő osztály: 8.osztály Az általuk lőtt gólok száma: 5 [Nem adott meg osztályt, de nem hibás a 8. osztály.] 85

88 MATEMATIKA 6-os kód: Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló azt olvasta le a táblázatból, melyik osztály lőtte egy meccsen a legtöbb gólt, ezért válasza 8.e, 4 gól. Tanulói példaválasz(ok): A legtöbb gólt lövő osztály: 8e Az általuk lőtt gólok száma: 4 A legtöbb gólt lövő osztály: 8e, 4 gól Az általuk lőtt gólok száma: 4 gól A legtöbb gólt lövő osztály: 8e, - 4 Az általuk lőtt gólok száma: 4 [Mindkét sorba beírta a 4-et.] A legtöbb gólt lövő osztály: 8b - 8e Az általuk lőtt gólok száma: 4 [Aláhúzta a 8e-t.] A legtöbb gólt lövő osztály: 8 e Az általuk lőtt gólok száma: 2-4, vagyis 4 [kiemelte a 4-et.] 0-s kód: Más rossz válasz. Ide tartoznak azok a válaszok is, amikor az egyik érték jó, a másik rossz. Tanulói példaválasz(ok): A legtöbb gólt lövő osztály: 8b, 8e Az általuk lőtt gólok száma: 5 5 A legtöbb gólt lövő osztály: 8 b Az általuk lőtt gólok száma: =6 [Osztály jó, gólok száma rossz.] A legtöbb gólt lövő osztály: 8b 5 gól Az általuk lőtt gólok száma: 8e 4 gól [Megadott egy jót és egy rosszat.] A legtöbb gólt lövő osztály: 8b 8a Az általuk lőtt gólok száma: 5 [Az osztálynál a helyes válasz mellett egy hibást is megadott.] A legtöbb gólt lövő osztály: 8b Az általuk lőtt gólok száma: 8 [A gólok száma már nem utalhat az évfolyamra.] A legtöbb gólt lövő osztály: 8b Az általuk lőtt gólok száma: 3 2 [Nem derül ki, hogy a gólokat össze kell adni, a gólok száma tehát rossz.] A legtöbb gólt lövő osztály: 8b Az általuk lőtt gólok száma: 15 [Csak az osztály helyes.] A legtöbb gólt lövő osztály: 8 b Az általuk lőtt gólok száma: =6 [Osztály jó, gólok száma látszik, az összegzés rossz.] A legtöbb gólt lövő osztály: 8 Az általuk lőtt gólok száma: 5 [Nem egyérteélmű, hogy osztályt akart megnevezni, vagy felüre is gólt írt.] A legtöbb gólt lövő osztály: 8 b Az általuk lőtt gólok száma: 5 a [Az a miatt a második sorban.] Lásd még: X és 9-es kód. 86

89 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.1) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.6) Kulcsszavak: Adatgyűjtés táblázatból A feladat leírása: A tanulónak táblázat adatait kell a megfelelő módon összesítenie, összehasonlítania, a legnagyobb értéket kiválasztania és megadnia a hozzá tartozó kategórianévvel. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0034 0,00009 Standard nehézség ,4 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) ,3 0,0-0,3-0,6-0,24-0,04-0,13-0,25 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 60,0 0,16 1. szint alatt 4,2 0,59 Főváros 66,2 0,39 1. szint 14,1 0,50 Megyeszékhely 65,7 0,36 2. szint 31,0 0,42 Város 60,0 0,25 3. szint 48,3 0,37 Község 51,6 0,35 4. szint 65,2 0,33 5. szint 79,3 0,30 6. szint 89,7 0,38 7. szint 96,1 0,46 87

90 MATEMATIKA 90/118. FELADAT: ISKOLAI FOCI ML27602 Az évfolyam tanulói közül többen is lerajzolták, hogy eddig melyik osztály melyikkel játszott. A következő ábrák közül melyik szemlélteti helyesen az eddig lejátszott mérkőzéseket? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! A B C D 8.a 8.a 8.b 8.c 8.a 8.a 8.b 8.c 8.d 8.e 8.b 8.c 8.d 8.d 8.b 8.e 8.e 8.e 8.c 8.d JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: A 88

91 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.2) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.2) Kulcsszavak: Összefüggés gráfon, táblázat A feladat leírása: A tanulónak a táblázatban megadott kapcsolatokat helyesen szemléltető gráfot kell kiválasztania a megadottak a közül. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0035 0,00021 Standard nehézség ,7 Tippelési paraméter 0,09 0,02 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) ,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,42-0,19-0,15-0,05-0,01-0,17 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 39,1 0,17 1. szint alatt 8,6 0,87 Főváros 46,4 0,41 1. szint 12,3 0,47 Megyeszékhely 43,1 0,39 2. szint 16,1 0,39 Város 38,3 0,26 3. szint 23,6 0,32 Község 32,7 0,31 4. szint 37,5 0,36 5. szint 56,5 0,38 6. szint 77,2 0,47 7. szint 91,1 0,54 89

92 MATEMATIKA 91/119. FELADAT: VITORLÁSVERSENY MJ34701 A következő ábrán egy vitorlásverseny térképe látható. É Ny K D 1 Start 1 10 km 14 km A verseny résztvevői a térképen jelölt (4; 2) koordinátájú Start feliratú ponttól indultak, délnyugati irányban hajóztak 42 km-t, majd déli irányban további 20 km megtétele után érkeztek a célba. Add meg a cél koordinátáit a koordináta-rendszer segítségével! Cél: ( ; ) 90

93 JAVÍTÓKULCS 8. ÉVFOLYAM Megjegyzés: Először a megoldásra megadott helyen lévő választ vizsgáljuk. Ha a tanuló a megoldásra kijelölt helyet üresen hagyta vagy azt áthúzta, akkor az ábrát is meg kell vizsgálni, és ha a tanuló írt oda koordinátát, azt kell értékelni. Ha a tanuló a megoldásra megadott helyre írt koordinátákat, akkor az ábrára írt koordinátákát nem kell figyelembe venni. Ha a megoldásra megadott helyen rossz koordináták szerepelnek, akkor a cél jelölésének helyét kell vizsgálni. Az ábrán a cél helyének megjelölése akkor helyes, ha közelebb van az (1; 3) ponthoz, mint a koordinátarendszer bármely más rácspontjához. Amikor az ábrát vizsgáljuk, a következőket kell figyelembe venni: ha a tanuló megadta a helyes útvonalat, akkor az útvonal végét vizsgáljuk. Ha a tanuló jó végpontot adott meg, de rossz útvonallal jutott el oda, válasza nem elfogadható. Hasonlóképp ha több útvonal van, vagy egy jó útvonal és az útvonalon kívül eső egy értelmű helymegjelölés (pl. nagy X), amiből nem egyértelmű a tanuló végső válasza, 0-s kódot kap. 2-es kód: (1; 3) Tanulói példaválasz(ok): É Ny K D 1 Start 1 10 km 14 km 1; 3 A megadott helyet a tanuló üresen hagyta. De az ábrán bejelölte a cél helyét és ott adta meg (1; 3) koordinátákat. 91

94 MATEMATIKA É Ny K D 1 Start 1 10 km 14 km 1 3 (1; 3) és a tanuló az ábrán rossz helyen jelölte a célt. [Jó koordinátákat adott meg, az ábrát nem vesszük figyelembe, ott még csak próbálkozott.] É Ny K D 1 Start 1 10 km 14 km 1 3 [A tanuló megadott helyre jó koordinátákat írt, ilyenkor már egyáltalán nem kell nézni, hogy ábrán mi látható, tehát az sem baj, ha látható, hogy rossz az útvonal.] 92

95 8. ÉVFOLYAM É Ny K D 1 Start 1 42 km 20 km 10 km 14 km (1; 1) (1; 3) [Megfelelő sorrendben megadta a jól ábrázolt töréspont és a cél koordinátáit is.] 1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló a térképen jó helyen jelölte meg a cél helyét, de a koordinátákat nem/rosszul adta meg. Ha a tanuló jó útvonalat jelölt meg, akkor annak a végpontját kell nézni. Nem számít hibának, ha a tanuló útvonal helyett két pontot jelölt meg, az útvonal töréspontját és a végpontját. Tanulói példaválasz(ok): É Ny K D 1 Start 1 10 km 14 km 1 3 (1; 3) és az ábrán a cél bejelölése helyes. 93

96 MATEMATIKA É Ny K D 1 Start 1 10 km 14 km A megadott helyet a tanuló üresen hagyta és az ábrán a cél bejelölése helyes. É Ny K D 1 Start 1 10 km 14 km 3 1 (3; 1) és az ábrán a cél bejelölése helyes az ábrán megadott koordináta: (1; 3). 0-s kód: Rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló a kijelölt helyen rossz koordinátákat adott meg vagy nem adott meg koordinátát, ÉS rossz útvonalat rajzolt be, melynek végpontja helyes. Tanulói példaválasz(ok): (1; 4) és az ábrán a cél rossz helyen van jelölve. ( 0,5; 4,5) és az ábrán a cél rossz helyen van jelölve (1; 2,8) és az ábrán jelölés nem látható. ( 3; 1) és az ábrán nincs vagy rossz jelölés látható. Lásd még: X és 9-es kód. 94

97 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.3.3) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4) Kulcsszavak: Helymeghatározás koordináta-rendszerben A feladat leírása: A tanulónak egy adott koordinátájú pontból indulva egy két szakaszból álló útvonalat kell követnie és a végpont koordinátáját megadnia. Az irány égtájakkal adott, a szakaszok hoszsza a megadott lépték alapján számítható ki. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0041 0,00013 Standard nehézség ,8 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6-0,14 0,03-0,40 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 36,0 0,16 1. szint alatt 0,1 0,11 Főváros 44,0 0,40 1. szint 2,6 0,22 Megyeszékhely 41,0 0,38 2. szint 6,5 0,25 Város 34,3 0,24 3. szint 17,0 0,27 Község 29,8 0,26 4. szint 35,6 0,32 5. szint 58,8 0,36 6. szint 78,5 0,46 7. szint 92,6 0,62 95

98 MATEMATIKA 92/64. FELADAT: PARKOLÓ ML22001 Botondnak egy utazási irodában van dolga, és a közelben szeretne parkolni az autójával. A következő ábra mutatja a négy szabad parkolóhely, az utazási iroda és a parkolójegyautomata elhelyezkedését. Utazási iroda bejárat Parkolójegy-automata A B C D A parkolás után Botondnak el kell mennie a parkolójegy-automatához, ott parkolójegyet kell vásárolnia, azt vissza kell vinnie az autóhoz, utána tud csak bemenni az utazási irodába. Az ábrán látható üres parkolóhelyek közül melyiket válassza Botond, hogy a legrövidebb legyen az autó parkolójegy-automata autó utazási iroda bejárata útvonalon megtett út? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D A helyet B helyet C helyet D helyet JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 96

99 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.3.1) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.5) Kulcsszavak: Mérés, összehasonlítás A feladat leírása: A tanulónak ábra alapján kell szakaszok összegének a hosszát összehasonlítania és a legrövidebbet kiválasztania. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0022 0,00007 Standard nehézség ,5 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,15-0,26 0,35-0,09-0,02-0,09 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 67,5 0,15 1. szint alatt 22,3 1,23 Főváros 75,6 0,32 1. szint 33,8 0,63 Megyeszékhely 71,9 0,38 2. szint 45,3 0,45 Város 66,2 0,26 3. szint 58,8 0,32 Község 61,2 0,33 4. szint 71,5 0,28 5. szint 82,2 0,33 6. szint 89,8 0,38 7. szint 95,2 0,46 97

100 MATEMATIKA 93/65. FELADAT: PARKOLÓ ML22002 A parkolóban az első fél óráért 100 zedet kell fizetni, az ezen felül ott töltött időért percenként 3 zedet. Botond háromnegyed órára szeretne parkolójegyet váltani. Hány zedet kell fizetnie a parkolásért? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 103 B 135 C 145 D 235 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 98

101 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.1) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.4) Kulcsszavak: Műveletsor, mértékegység-átváltás A feladat leírása: A tanulónak tört alakban adott időmennyiségeket átváltva kell a szövegesen megfogalmazott szabály alapján a műveletsort felírnia és az eredményt meghatároznia. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0037 0,00010 Standard nehézség ,7 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,27-0,28 0,44-0,14-0,02-0,10 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 79,0 0,13 1. szint alatt 16,9 1,21 Főváros 85,5 0,28 1. szint 33,7 0,70 Megyeszékhely 83,8 0,27 2. szint 52,2 0,52 Város 78,1 0,21 3. szint 72,7 0,33 Község 72,5 0,29 4. szint 87,3 0,22 5. szint 94,1 0,16 6. szint 97,1 0,18 7. szint 98,5 0,25 99

102 MATEMATIKA 94/66. FELADAT: PADLÓCSISZOLÓ ML09001 Szilágyi úr padlócsiszoló gépet szeretne kölcsönözni lakása felújításához. A gép kölcsönzési díja két részből áll: alapdíjból és a használati díjból. Az előző évben a gép alapdíja 100 zed volt, és óránként 20 zed használati díjat kellett fizetni érte. A kölcsönzőcég ebben az évben 10 zeddel emelte az óránként fizetendő használati díjat. Melyik összefüggés írja le helyesen a felemelt kölcsönzési díjat (K), ha s a kölcsönzési órák száma? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D K = s K = s K = s K = s JAVÍTÓKULCS Helyes válasz A 100

103 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.3) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.2) Kulcsszavak: Hozzárendelési szabály, paraméterezés, változók közötti kapcsolat A feladat leírása: Az egyik változó (szövegesen körülírt) változtatásával keletkező paraméteres hozzárendelési szabályt kell kiválasztania a tanulónak a megadottak közül. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0029 0,00008 Standard nehézség ,8 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,43-0,22-0,22-0,16-0,02-0,14 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 67,9 0,14 1. szint alatt 14,7 1,00 Főváros 73,5 0,34 1. szint 26,1 0,65 Megyeszékhely 72,2 0,36 2. szint 39,1 0,48 Város 66,9 0,21 3. szint 58,0 0,33 Község 62,5 0,34 4. szint 73,4 0,25 5. szint 86,3 0,29 6. szint 93,2 0,30 7. szint 97,0 0,39 101

104 MATEMATIKA 95/67. FELADAT: FÖLDRENGÉS ML17101 A következő ábrán egy szeizmográf látható, amely földrengések kimutatására alkalmas. Súly Írószerkezet Forgó dob papírszalaggal A műszer egy felfüggesztett súlyból, egy arra rögzített írószerkezetből és egy forgó dobból áll. A dobra időbeosztással ellátott papírszalagot helyeznek, amelyre az írószerkezet rárajzolja a súly elmozdulását. Minél erősebb a földrengés, annál jobban elmozdul a súly és annál nagyobb hullámot rajzol a szerkezet. Az írószerkezet folyamatosan rajzolja a görbét, egy óra alatt a forgó dob teljesen körbefordul, majd odébbugrik és új sorban folytatódik a görbe rajzolása. A következő ábra a szeizmográf által egy adott napon 12 órától 24 óráig rajzolt görbét mutatja. Óra Óra Perc Olvasd le, hogy az ábrázolt időszakban mikor rengett legerősebben a föld! óra perckor 102

105 8. ÉVFOLYAM A feladathoz tartozó adatok a következő oldalakon találhatók. 103

106 MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS 1-es kód: 6-os kód: 5-ös kód: 21 óra 26 perckor Tanulói példaválasz(ok): 9 óra 26 perckor huszonegy óra huszonhat perckor óra perckor [Az órához írja a teljes időpontot.] óra 26 perc [Az órához beírt időpontnál nem számít hibának, ha kiírja a 0 percet, ha a perchez helyes értéket ír.] óra 26 perc [Az órás értékhez és a perchez is kiírta ugyanazt a helyes percértéket.] 21:00 óra 00:26 perckor [A 21:26-os formátumot bontotta ketté az egyik helyen az órát, a másik helyen a perces értéket adta meg.] Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló az óra értéket a jobboldali tengelyről olvasta le, ezért válasza 22 óra 26 perckor. Tanulói példaválasz(ok): 22 óra 26 perckor 10 óra 26 perckor Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló nem a legerősebb rengés időpontját adta meg, ezért válasza a és közötti érték, DE nem Ha tartományt ad meg a tanuló, a teljes tartománynak és közé kell esnie, hogy 5-ös kódot kaphasson. Tanulói példaválasz(ok): 21 óra 24 perckor 21 óra 25 perckor 21 óra perckor 21 óra 25,5 perckor 21 óra perckor 21 óra 26,5 perckor 0-s kód: Más rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 21,5 óra 26 perckor [Az órához beírt érték helytelen.] 20 óra 25 perckor 22 óra 27 perckor 20 óra 26 perckor óra 26 perckor [Az órához beírt érték helytelen.] óra 25 perckor 19 óra 26 perckor 21:30 óra 26 perckor [Az órához beírt érték helytelen.] 22 óra 25 perckor [Az órához beírt érték helytelen.] 21 óra 30 perckor 25 óra 30 perckor 21 óra perckor [A megadott tartomány kilóg az 5-ös kódnál megadott intervallumból.] Lásd még: X és 9-es kód. 104

107 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.1) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.1) Kulcsszavak: Adatgyűjtés leolvasással, grafikon A feladat leírása: A tanulónak egy szokatlan diagramon egy megkeresett ponthoz tartozó értékeket kell leolvasnia a két tengelyről. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0020 0,00007 Standard nehézség ,5 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6-0,21 0,32-0,12-0,02-0,22 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 69,6 0,13 1. szint alatt 13,5 1,01 Főváros 74,5 0,40 1. szint 32,7 0,80 Megyeszékhely 72,7 0,32 2. szint 51,2 0,47 Város 68,8 0,23 3. szint 63,8 0,35 Község 65,2 0,30 4. szint 74,6 0,29 5. szint 81,2 0,28 6. szint 87,5 0,39 7. szint 92,4 0,56 105

108 MATEMATIKA 96/68. FELADAT: MOTOROSBAJNOKSÁG ML19601 Egy motorosbajnokságon a célba érőket futamonként pontozzák az alábbi módon. 1. hely: 8 pont 2. hely: 6 pont 3. hely: 4 pont 4. hely: 2 pont 5. hely: 1 pont Az utolsó futam előtt az első két helyen álló versenyző pontjai a következők. Versenyző neve Összpontszám Szalay Gábor 64 Horváth Marcell 59 Legalább milyen helyezést kell elérnie a most első helyen álló versenyzőnek az utolsó futamon, hogy BIZTOSAN megnyerje a bajnokságot? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D E 1. helyezést 2. helyezést 3. helyezést 4. helyezést 5. helyezést JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 106

109 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.9) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4) Kulcsszavak: Logikai műveletek, mennyiségek összehasonlítása A feladat leírása: A tanulónak logikai fogalmak (biztosan) értelmezése után a megadott feltételeket figyelembe véve, számértékeket kell megfelelő értékkel növelnie majd összehasonlítania. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0037 0,00032 Standard nehézség ,3 Tippelési paraméter 0,16 0,04 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6-0,30-0,20-0,07-0,07-0,04-0,11 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 59,2 0,16 1. szint alatt 19,9 1,26 Főváros 69,3 0,37 1. szint 21,1 0,60 Megyeszékhely 64,1 0,40 2. szint 27,9 0,47 Város 57,5 0,26 3. szint 44,5 0,36 Község 52,1 0,32 4. szint 63,8 0,32 5. szint 80,2 0,31 6. szint 90,9 0,33 7. szint 96,4 0,42 107

110 MATEMATIKA 97/69. FELADAT: KONFERENCIABESZÉLGETÉS ML21101 Virág úr egy nemzetközi cégnél dolgozik Budapesten, amelynek Abu Dhabiban és Buenos Airesben is vannak partnerei. Konferenciabeszélgetésen tudnak tárgyalásokat folytatni, amikor mindhárom fél egyszerre van telefonos kapcsolatban. A következő ábra azt mutatja, hány óra van az egyes városokban, amikor Budapesten van. BUDAPESTI IDŐ SZERINT mikor tudnak megtartani egy 1 órás konferenciabeszélgetést úgy, hogy az mindhárom városban helyi idő szerint 10 és 18 óra között legyen? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D E JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 108

111 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.3.4) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Számolás idővel (időzóna) A feladat leírása: Az időzónák vizsgálatát igénylő feladatban a tanulónak az időeltéréseket felismerve és alkalmazva kell azt az időszakot kiválasztania a megadottak közül, amely mindhárom helyen egy adott intervallumba esik. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0024 0,00007 Standard nehézség ,6 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,10-0,13 0,38-0,20-0,20-0,01-0,10 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 65,8 0,16 1. szint alatt 19,2 1,30 Főváros 73,9 0,36 1. szint 29,4 0,79 Megyeszékhely 70,6 0,37 2. szint 41,7 0,51 Város 64,3 0,29 3. szint 55,6 0,39 Község 59,3 0,35 4. szint 70,1 0,31 5. szint 82,3 0,28 6. szint 90,0 0,34 7. szint 95,0 0,46 109

112 MATEMATIKA 98/70. FELADAT: SÍUGRÁS ML17901 A síugró versenyen a síelők lesiklanak egy sáncon, a végén elrugaszkodnak, és megpróbálnak a lehető legmesszebbre repülni. Azon a lejtőn, ahová leérnek, van egy K-vonal (kalkulációs vonal). A versenyző akkor kap pontot az ugrásáért, ha a K-vonalon túlra érkezik. Az egyik versenyen ez a vonal 120 méterre van a sánc végétől. A következő diagram néhány versenyző síugrásának a hosszát mutatja ezen a sáncon. 150 Síugrás hossza (méter) A B C D E F G H I J Versenyzők Sorold fel, hogy a fenti diagram adatai alapján mely versenyzők ugrottak a K-vonalnál messzebbre ezen a sáncon! Add meg a betűjelüket! 110

113 8. ÉVFOLYAM JAVÍTÓKULCS 1-es kód: D, E, G, J A helyes betűjelek bármilyen sorrendben elfogadhatók. Azt is elfogadjuk, ha a tanuló a diagram alatt bekarikázta a helyes betűjeleket. Ha karikázott is és a kijelölt helyre is írt, akkor az utóbbit kell figyelembe venni. Nem vesszük hibának, ha egy betű többször is szerepel, de rossz nincs a felsorolásban. Tanulói példaválasz(ok): A = nem F = nem B = nem G = igen C = nem H = nem D = igen I = nem E = igen J = igen [A tanuló helyesen megnevezte, mely betűkkel jelzett sportolók ugrottak a K vonal fölé.] A = 114 cm B = 109 cm C = 113 cm D = 122 cm K vonalon E = 129 cm K vonalon F = 111 cm G = 131 cm K vonalon H = 109 cm I = 113 cm J = 123 cm K vonalon [Csak azokhoz a betűkhöz írta a K-vonalon kifejezést, amelyekre a kérdés vonatkozott.] János: 134 cm Gábor: 131 cm Erik: 129 cm Dénes: 122 cm [A betűkhöz keresztneveket társított, a kezdőbetűk alapján helyes.] 0-s kód: Rossz válasz. Ide tartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló a négy helyes betű mellett rosszat is megadott. Tanulói példaválasz(ok): 4 versenyző D, E, J C, D, G, J G, J, E J, G, E, D, A A, D, E, G, J [Az A-t nem tudjuk névelőnek tekinteni, mert vessző van utána.] A: B: C: D: E: F:

114 MATEMATIKA G: H I: J: J a legmagasabb, B a legkisebb [Nem derül ki, hogy a 120 +, és a 120 ok közül melyiket kell nézni.] D, E, G, J versenyző D, E az F és a G bersenyző ugrotta át a K vonalat. [A rossz szöveges válasz felülírja a fölötte lévő jó felsorolást.] (D, J, G, E) [Zárójelbe tette a kifejezést, utána nem írt semmit.] Lásd még: X és 9-es kód. 112

115 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.1) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.6) Kulcsszavak: Statisztikai adatgyűjtés diagramról A feladat leírása: A tanulónak meg kell adnia az oszlopdiagramon egy adott értéknél nagyobb eredmények címkéjét. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0040 0,00010 Standard nehézség ,3 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 11 0,3 0,0-0,3-0,6-0,24-0,38 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 76,5 0,14 1. szint alatt 5,8 0,73 Főváros 83,8 0,29 1. szint 19,9 0,68 Megyeszékhely 82,3 0,28 2. szint 46,7 0,47 Város 75,4 0,20 3. szint 71,7 0,32 Község 69,3 0,32 4. szint 86,0 0,23 5. szint 92,8 0,18 6. szint 96,2 0,20 7. szint 98,5 0,26 113

116 MATEMATIKA 99/71. FELADAT: GAZDASÁGI SZERKEZET II. ML26401 A következő háromszögdiagram azt mutatja, hogy Kongóban a bruttó hazai terméknek (GDP) a mezőgazdaság a 44%-át, az ipar a 22%-át, a szolgáltatások a 34%-át teszi ki Szolgáltatások (%) Ipar (%) Mezőgazdaság (%) Ábrázoláskor az egyes tengelyek megfelelő százalékértékétől a skálabeosztás vonalkáival párhuzamosan haladva kell megkeresni a másik két tengelytől hasonlóan induló vonallal alkotott metszéspontot. 114

117 8. ÉVFOLYAM A következő ábrán négy ország gazdasági szerkezete és mellette Észak-Korea adatai láthatók A Szolgáltatások (%) B C D E Ipar (%) Észak-Korea GDP %-a Mezőgazdaság 23 Ipar 47 Szolgáltatás Mezőgazdaság (%) Melyik pont jelöli a diagramon Észak-Koreát? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D E A B C D E JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 115

118 MATEMATIKA A feladathoz tartozó adatok a következő oldalakon találhatók. 116

119 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.3.3) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.1) Kulcsszavak: Helymeghatározás nem szokványos koordinátarendszerben A feladat leírása: A tanulónak egy nem szokványos koordináta-rendszerben kell a megadott koordináták alapján egy pontot azonosítania és kiválasztania a megadott lehetőségek közül. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0025 0,00010 Standard nehézség ,4 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0 3 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,15-0,20 0,37-0,16-0,09-0,04-0,13 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 71,4 0,15 1. szint alatt 26,3 1,38 Főváros 77,0 0,39 1. szint 36,6 0,76 Megyeszékhely 74,5 0,30 2. szint 48,5 0,51 Város 70,6 0,24 3. szint 62,5 0,33 Község 66,8 0,31 4. szint 76,2 0,27 5. szint 86,0 0,25 6. szint 93,5 0,27 7. szint 97,6 0,30 117

120 MATEMATIKA 100/72. FELADAT: TESTMAGASSÁG ML15901 Áron és Levi ikertestvérek. Anyukájuk minden születésnapjukon megméri a testmagasságukat. Ezeket az adatokat ábrázolja a következő diagram Testmagasság (cm) Áron testmagassága (cm) Levi testmagassága (cm) Életkor Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! Válaszodat a megfelelő kezdőbetű besatírozásával jelöld! 3 éves korukban Levi alacsonyabb volt, mint Áron. I Igaz Hamis H 4 éves korukra mindketten elérték az 1 m-es magasságot. I Áron többet nőtt 6 éves koráig, mint Levi. I Levi három mérés alkalmával volt magasabb, mint Áron. I H H H JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: IGAZ, IGAZ, HAMIS, IGAZ ebben a sorrendben. 118

121 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.1) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.6) Kulcsszavak: Összefüggések leolvasása grafikonról A feladat leírása: Két görbe megfelelő adatainak összehasonlítására vonatkozó állítások helyességét kell elbírálnia a tanulónak. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0028 0,00008 Standard nehézség ,1 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 1 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,37 0,39-0,10 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 73,2 0,14 1. szint alatt 12,1 1,01 Főváros 78,6 0,36 1. szint 29,0 0,65 Megyeszékhely 77,3 0,32 2. szint 50,5 0,53 Város 72,8 0,22 3. szint 67,5 0,37 Község 67,4 0,28 4. szint 79,3 0,25 5. szint 87,0 0,24 6. szint 93,0 0,25 7. szint 96,3 0,43 119

122 MATEMATIKA 101/73. FELADAT: FOGLALÁS ML17001 Egy 6 tagú baráti társaság többnapos kirándulást szervez, egy turistaszállóban szeretnének megszállni. A kirándulást júniusra tervezik, és 5 éjszakára szeretnének szállást foglalni. A következő ábra a turistaház szobáinak foglaltságát mutatja június hónapban. Szobák 2 fős 2 fős 2 fős 4 fős 4 fős 6 fős JÚNIUS Foglalt Szabad Melyik 5 egymást követő éjszakára foglaljon szállást a társaság a szállóban, ha bármilyen típusú szobában történő elhelyezés megfelel számukra, és az ott-tartózkodásuk során nem szeretnének más szobába költözni? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! 120

123 8. ÉVFOLYAM JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: Ha a tanuló írt szöveges választ a kérdés alá, azt értékeljük elősorban. Ha nem írt semmit, vagy nem adott konkrét választ a kérdésre, az ábra jelöléseit értékeljük. Ha a kérdés alá írt szöveges részben más időpont szerepel, mint az ábrán, a szöveges részben adott választ értékeljük. 1-es kód: Június vagy június 23, 24, 25, 26, 27. A júniusnak nem kell szerepelnie a válaszban. Azokat a válaszokat is elfogadjuk, amikor a tanuló nem írta le a helyes időpontot, de az ábrán megjelölte a megfelelő napokat. Elfogadjuk azokat a válaszokat is, amikor a tanuló csak azt fogalmazta meg egyértelműen, hogy a kezdő időpont június 23., a záróidőpontról nem állít semmit, ha záró időpontot is megad, annak jónak kell lennie. Elfogadjuk azokat a válaszokat is, amikor a tanuló helyesen adta meg az időintervallumot vagy a kezdő dátumot és csak az egyik szobatípust írta mellé (a szobák megnevezése nem volt feladat). Az ábrán is elegendő, ha az egyik szobatípusnál jelölte be a helyes időintervallumot. Ha az ábrán jelölt, a teljes időintervallumnak látszania kell. Tanulói példaválasz(ok): 23-án [Megadta a kezdő időpontot.] között 5 éjszaka június 23 és június 27. között tudnak szállást foglalni. 2 ember ig foglal 2 ember ig foglal szállást és 4 ember ig foglal szállást. 6 fős társaság, júniusban, 5 éjszaka megfelelő nekik a 2 fős szoba, június 23, 24, 25, 26, 27 június 23-tól [Helyes kezdő időpont.] Szobák JÚNIUS [a 4 fős szobára nem utal, de az időpont helyes] Foglalt Szabad [Az ábrán jelölte be a választ. Egy téglalappal kijelölte a végső válaszát.] 6 nap 5 éjszaka június 23-án érkeznek és 28-án reggel mennek el. [Válaszából egyértelműen kiderül, melyek az ott töltött éjszakák.] 121

124 MATEMATIKA 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 4 fő júni [Megadott záró dátumot, és az rossz.] 1 db 2 fős szoba június ig szabad 1 db 4 fős szoba június ig szabad [Nem adta meg a végső választ.] júni ig a 2 fős szobákban vagy jún ig vagy jún ig vagy jún 4-8-ig a 4 fősben vagy jún 1-5-ig vagy jún ig [Nem következtet, nem hoz döntést] június 22, 23, 24, 25, 26, 27 [Kezdő dátum rossz.] ig [Kezdő dátum rossz.] június ig június ig június ig június ig [Nincs döntés, nincs helyes időintevallum sem.] összes: 6 1 db 2 fős 5 napra június db 4 fős utolsó éjszaka át kell költözniük egy másik 2 személyes szobába. Szobák JÚNIUS Foglalt Szabad június között 2 fős szoba szabad között 4 fős szoba 22-28, ig mindkét szoba szabad [Az ábrán a jelölése jó, de a szöveges válasza rossz. Ha van szöveges válasza, azt nézzük.] Lásd még: X és 9-es kód. 122

125 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.1.2) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.1) Kulcsszavak: Intervallum, táblázat, halmazok A feladat leírása: A tanulónak naptáron megjelenített intervallumok metszeteit kell vizsgálnia, majd kiválasztania azt a metszetet, amely teljesíti a szövegesen megadott feltételeket. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0041 0,00010 Standard nehézség ,8 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 38 0,3 0,0-0,3-0,6-0,11-0,36 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 30,2 0,15 1. szint alatt 0,2 0,14 Főváros 41,6 0,38 1. szint 1,7 0,21 Megyeszékhely 35,6 0,37 2. szint 4,4 0,22 Város 28,2 0,21 3. szint 12,4 0,22 Község 22,3 0,24 4. szint 27,6 0,25 5. szint 50,5 0,39 6. szint 73,8 0,50 7. szint 89,4 0,76 123

126 MATEMATIKA 102/74. FELADAT: KIRAKÓS I. MJ01701 A következő képen négy különböző alakzat látható. Helyezd el mind a négy alakzatot egy négyzethálón úgy, hogy ne fedjék egymást! Az alakzatokat csak elforgatni szabad, tükrözni nem. Itt próbálkozhatsz: Végleges megoldás: 124

127 8. ÉVFOLYAM A feladathoz tartozó adatok a következő oldalakon találhatók. 125

128 MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: Ennél a feladatnál alapvetően a Végleges megoldás -hoz rajzolt alakzat helyességét kell vizsgálni, kivéve, ha a tanuló valamilyen egyértelmű jelöléssel meg nem jelölte más helyre írt végső válaszát (pl. a végleges megoldáshoz nem írt semmit, de bekarikázta a próbálkozási helyen a megoldását, VAGY áthúzta azt, amit a Végleges megoldáshoz rajzolt, mellé saját négyzetrácsot rajzolt, és oda rajzolta le a megoldást). Ha a tanuló nem rajzolt semmit a Végleges megoldáshoz és egyéb jelzést sem alkalmazott a végső válaszának megjelölésére, akkor az utolsónak rajzolt ábráját kell értékelni. Ez a próbálkozásra kijelölt helyen az utolsó rajz. 1-es kód: Mind a négy alakzat berajzolása helyes. Egy lehetséges elrendezést mutat a következő ábra. Tanulói példaválasz(ok): 126

129 8. ÉVFOLYAM 6-os kód: Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló mind a négy alakzatot elhelyezte a négyzethálón, a 3. alakzatot tükrözte. A 3. alakzatnak a következő állások valamelyikében kell lennie, ahhoz hogy a válasz 6-os kódot kaphasson. Tanulói példaválasz(ok): 127

130 MATEMATIKA 0-s kód: Más rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a helyes vonalakon kívül olyan vonal is be van rajzolva az ábrán, ami miatt nem egyértelmű, hogy egy (vagy több) négyzet melyik alakzathoz tartozik. Ugyancsak rossz a válasz, ha két alakzat helyesen be van rajzolva, a másik kettőnek az elválasztó vonala hiányzik. Tanulói példaválasz(ok): Végleges megoldás: [Jól próbálkozik, de a végleges válasznál behúz egy vonalat.] Végleges megoldás: [A bal alsó sarokban kis négyzetek vannak, nem egyértelmű, mihez tartozik.] Végleges megoldás: [Két, egymással érintkező alakzatot nem rajzolt be, így nem egyértelmű az egyes elemek elhelyezkedése.] Lásd még: X és 9-es kód. 128

131 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.1.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Síkbeli transzformáció, eltolás, elforgatás A feladat leírása: A tanulónak egy négyzetrácsot kell adott szempont figyelembevételével (az alakzatok nem lehetnek átfedésben) lefednie megadott alakzatokkal, eltolás és elforgatás végrehajtásával. Az alakzatok között akad nem tengelyesen szimmetrikus alakzat is. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0020 0,00007 Standard nehézség ,3 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) ,3 0,0-0,3-0,6-0,32 0,30 0,13-0,21 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 35,1 0,15 1. szint alatt 3,9 0,51 Főváros 42,2 0,44 1. szint 9,2 0,47 Megyeszékhely 37,3 0,35 2. szint 17,1 0,36 Város 34,4 0,22 3. szint 27,0 0,31 Község 30,0 0,28 4. szint 36,6 0,31 5. szint 45,9 0,36 6. szint 58,0 0,54 7. szint 69,5 0,96 129

132 MATEMATIKA 103/75. FELADAT: NYOMTATÓPATRON I. ML06601 Egy irodában naponta átlagosan 50 oldalt nyomtatnak. 1 nyomtatópatron 480 oldal nyomtatásához elegendő. Egyszerre annyi nyomtatópatront rendelnek, amennyi 60 munkanapra szükséges. Mennyit fognak fizetni, ha 1 nyomtatópatron ára 6450 Ft? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: Ennél a feladatnál, ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik oda, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott. Ha a tanuló a 480 : 50 műveleti sor végeredményeként 9-et kap, ezt ennél a feladatnál nem tudjuk számítási hibának venni, csak lefelé kerekítésnek, ezért ezek a válaszok maximum 1-es kódot kaphatnak, ha a további gondolatmenet helyes. A 3000 : 480 művelet eredményeként kapott 6 és 7 szintén kerekítésként értékelendő, nem tekintjük számítási hibának. 2-es kód: Ft A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Számítás: = : 480 = 6,25 7 patron kell = Tanulói példaválasz(ok): = : 480 = 6, = Ft [Jó műveletsor, számítási hiba a nál.] 50 oldal 1 patron = 480 oldal 3 hónap = 60 munkanap, a nyomtatópatron nap = nap = nap = 500 oldal 60 nap = 3000 oldal 6 patron oldalra elegendő 7 patron kell = : 50 = 9,6 nap 60 : 9,6 = 6, [A műveletsor helyes, a pontos kiszámított végeredmény hiányzik.] = : 480 = = Ft [Számolási hiba, látszik a műveletsor (6,25 helyett 625-öt írt), ez kerek szám, nem kell kerekíteni, ezzel jó módszerrel számol tovább.] 60 : 9,6 = 6, 25 tehát = [Ennél a válasznál látszik, hogy tudja a tanuló, hogy még egy patron biztosan elég, hiszen 0,25 marad, ezért ad hozzá +1 patront.] 3000 : 480 = 6,25 6, = Ft-ot [Még 6,25-öt írt le a szorzáshoz, de művelet közben felfelé kerekített, helyesen.] 130

133 8. ÉVFOLYAM 1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló a nyomtatópatronok számát nem kerekítette (6,25), vagy lefelé kerekítette (6 vagy 6,2), vagy nem egészre kerekítette (6,3), ezért válasza ,5 (vagy ennek kerekítése) vagy vagy vagy , VAGY az egy oldal nyomtatásához szükséges nyomtatópatron arányos árával ( ) számolt függetlenül attól, hogy ezt az értéket hogyan kerekítette. A ,5 (vagy ennek kerekítése), a , a , a és a számolás nélkül is 1-es kódot kap. Azok a válaszok is idetartoznak, amikor a tanuló kiszámolta, hogy hány napra elegendő egy patron (9,6), de ezt az értéket 9-re vagy 10-re kerekítette, és ezzel az értékkel számolt tovább. Tanulói példaválasz(ok): : = 6, = , [6,25 patron árát számította ki.] [6,25 patron árát számította ki, 5 Ft-ra kerekített fizetendő összeg.] 1 patron 6450 Ft 480 : 50 = 9,6 napig elegendő 1 patron 60 : 9,6 = 6, = 3000 oldal 3 hónap alatt 3000 : 480 = 6,25 6, = , Ft [6,25 patron árát számította ki.] : 480 = 3000 : 480 = 6, = [6 patron árát számította ki.] 480 : 50 = 9,6 egy nyomtatópatron 9 napra elég 60 : 9 = 6,6 3 hónapra 6 patron kell = forintot fognak fizetni. [6 patron] 1 nap 50 oldal, 1 patron 480 oldal 6450 Ft 60 napra patron 1 patron 480 oldal 9 munkanap 1 patron 60 munkanap 6 patron = Ft [6 patron árát számította ki, többször is kerekített.] 480 oldal = 6450 Ft 1 oldal =? Ft 1 oldal 6450 : 480 = 13,4375, azaz kb. 13 Ft, = 650 Ft = 1 nap 60 nap = = Ft-ot fizetnek 3 hónapra. [Az 1 oldal nyomtatásához szükséges nyomtatópatron árával számolt, lefelé kerekítette.] [1 oldal nyomtatásához szükséges nyomtatópatron árával számolt.] = 13, ,5 Ft-ba kerül 1 oldal 13, = Ft = 13, Ft-ból kijön 1 oldal = Ft [Kiszámolta 1 oldal nyomtatási árát, felfelé kerekítette egész számra, majd szorozta a 60 nap alatt kinyomtatott oldalak árával.] 480 : 50 = 9,6 nap 10 napra elég 60 : 10 = = [A tanuló felfelé kerekítette (10-re a 9,6-ot), hogy hány napra elég a patron, ezzel jó módszer szerint számolt tovább.] 131

134 MATEMATIKA 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 1 patron 480 oldal 1 nap 50 oldal 60 nap =? 60 nap 50 o = : 480 = 6,25 7 db patron kell. [Csak a patronok számát határozta meg.] 1 nap 50 oldal 1 patron 480 oldal 6450 Ft 60 nap 3000 oldal = Ft [A patronok száma helyett a napok számával szorzott, vesd össze az 1-es kód as válaszával.] 7 patron kell. [A patronok számát helyesen meghatározta, de nem számolja ki az árat.] 1 patron 11 napra elég 60 : 11 = 5,45 6 patron = [11 nappal számol.] 480 : 50 = 9,66 egy nyomtatópatron 9,5 napra elég 60 : 9,5 = 6,31 3 hónapra 6 patron kell = forintot fognak fizetni. [A 9,66-ot 9,5-re kerekítette, ez rossz kerekítés.] Lásd még: X és 9-es kód. 132

135 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.1) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Műveletsor, kerekítés értelmezés alpján A feladat leírása: A feladatban megadott információk alapján kell műveletsorokat elvégeznie és végre hajtania a tanulónak. A feladatban fontos szerepe van a kerekítésnek, amelyet a megfelelő lépésnél lehet csak végrehajtani ahhoz, hogy a helyes eredményhez eljuthassunk. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0040 0,00009 Standard nehézség ,7 1. lépésnehézség lépésnehézség 8 7 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, ,3 0,0-0,3-0,20 0,13 0 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) -0,6-0,46 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 36,6 0,14 1. szint alatt 0,4 0,13 Főváros 47,2 0,36 1. szint 1,0 0,10 Megyeszékhely 42,6 0,33 2. szint 3,8 0,15 Város 35,3 0,21 3. szint 14,2 0,23 Község 27,4 0,24 4. szint 35,7 0,25 5. szint 63,1 0,32 6. szint 85,4 0,30 7. szint 96,5 0,34 133

136 MATEMATIKA 104/76. FELADAT: NÖVEKEDÉS ML25901 Az alábbi táblázatokban négy növény növekedési üteme látható. Kínai bambusz Bab Napraforgó Kukorica Mérés Magasság (cm) Mérés Magasság (cm) Mérés Magasság (cm) Mérés Magasság (cm) , A következő grafikon az egyik fenti növény növekedési ütemét ábrázolja. A függőleges tengely értékei hiányoznak a grafikonról. Magasság Mérés Melyik növény növekedési ütemét ábrázolhatja a grafikon? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D kínai bambusz bab napraforgó kukorica JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: A 134

137 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.4) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.2) Kulcsszavak: Összefüggés, táblázat, grafikon, megfeleltetés A feladat leírása: A tanulónak egy grafikonhoz kell kiválasztania azt a táblázatot, amelynek az adatpárjait ábrázolja. A függőleges skála beosztása nem ismert. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0035 0,00029 Standard nehézség ,2 Tippelési paraméter 0,30 0,03 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0 3 0,3 0,0-0,3-0,6 0,30-0,22-0,12-0,03-0,02-0,12 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 54,0 0,16 1. szint alatt 26,6 1,40 Főváros 58,8 0,46 1. szint 33,3 0,80 Megyeszékhely 56,7 0,39 2. szint 36,0 0,51 Város 53,1 0,24 3. szint 42,8 0,32 Község 50,4 0,32 4. szint 54,5 0,30 5. szint 67,0 0,38 6. szint 79,3 0,50 7. szint 91,4 0,59 135

138 MATEMATIKA 105/77. FELADAT: SZÍNEZÉS MH14801 Matematikaórán a tanulóknak négy ábra mindegyikének a felét kellett beszínezniük. Robi az egyik rajzot hibásan színezte. Satírozd be annak az ábrának a betűjelét, amelyet Robi HIBÁSAN színezett! A B C D JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 136

139 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.1.3) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.2) Kulcsszavak: Síkidomok területe, átdarabolás, arány A feladat leírása: Azonos részalakzatokra bontható alakzatok esetében a beszínezett rész arányát kell vizsgálnia a tanulónak. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0021 0,00008 Standard nehézség ,0 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0 4 0,3 0,0-0,3-0,6-0,05 0,31-0,20-0,14-0,04-0,19 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 76,9 0,14 1. szint alatt 21,8 1,26 Főváros 82,0 0,32 1. szint 43,1 0,80 Megyeszékhely 79,4 0,28 2. szint 61,1 0,50 Város 76,4 0,23 3. szint 72,6 0,33 Község 72,4 0,32 4. szint 81,6 0,25 5. szint 87,1 0,25 6. szint 90,9 0,31 7. szint 95,9 0,35 137

140 MATEMATIKA 106/78. FELADAT: DOBÓÁTLAG ML24301 Norbi és Simon versenyeznek, melyikük dob jobban kosárlabdával. Eddig ugyanannyi rádobásból mindkettőjüknek ugyanannyi volt sikeres, ezt mutatja a következő táblázat is. Rádobások száma Sikeres dobások száma Sikeres dobások aránya (%) Norbi ,1% Simon ,1% Norbi következő 5 rádobásából 4, Simonnak 3 rádobásából 3 lett sikeres. Kinél lesz jobb a sikeres dobások aránya ezekkel a dobásokkal együtt? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Válaszodat számítással indokold! N S E Norbi sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb. Simon sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb. Egyforma lesz a sikeres dobásaik aránya. Indoklás: JAVÍTÓKULCS Megj.: Ennél a feladatnál, ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik oda, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott, valamint döntése saját eredménye alapján a kódnak megfelelő. Ha a tanuló nem jelölte meg döntését, de indoklásában ezt szövegesen megfogalmazta, akkor azt a döntést kell figyelembe venni. Egyik kódnál sem számít hibának, ha a hányados kiszámításakor kapott érték mögé % jelet írt (anélkül, hogy azt 100-zal szorozta volna). A tanuló az általa számított értékek összehasonlítása során nem hibázhat, azaz, ha a tanuló a két számított érték/tört közül rosszul állapította meg a nagyobbat/kisebbet (akár ezt külön leírta, akár ez derül ki a döntéséből) a válasz 0-s kódot kap es kód: A tanuló a Norbi sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb válaszlehetőséget jelölte meg és indoklásában a következők valamelyike szerepel: (1) mindkét fiú esetében a helyes arány (0,357 és 0,356) vagy százalékos arány (35,7% és 35,6%, vagy azok kerekítése vagy azok különbsége (pl. 0,1% vagy 0,2% vagy 0,3%) látható. Ha az aránynál a reciprokkal számolt, akkor 2,796 és 2,814 értékeknek kell látszódniuk. VAGY (2) mindkét fiú esetében látszik a megalapozott indokláshoz szükséges megfelelő műveletsor felírása, a végeredmény kiszámítása nélkül. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló megfelelő műveletsort írt fel, de annak eredményét elszámolta (akár egyik vagy mindkét fiú esetében), és döntése az elszámolt értékek alapján helyes. Ha a tanuló akár jó, akár rossz irányba kerekített végeredményeket írt le, amelyek egyenlők, válasza csak akkor tartozik ide, ha azt állapította meg, hogy Norbi dobásainak aránya lesz a jobb Számítás: Norbi: = = 35,8% Simon: = = 35,6% 135

141 8. ÉVFOLYAM Tanulói példaválasz(ok): Norbi sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb. Norbi: 36%, Simon 36% [Helyes kerekített értékeket írt le, a döntés helyes, mert Norbit jelölte meg.] Lásd 6-os kód, 2. példaválasz! Norbi sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb 0,2%-kal. [A százalékok különbsége látszik.] Norbi sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb. Norbi: ,7% Simon: ,5% [Lefelé kerekített Norbinál.] Norbi: ,36% Simon: ,35% Ekkor Norbinak jobb lesz az átlaga mint Simonnak, mert jobb az aránya. Norbi sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb. Norbi: 137 : 49 = 2,796 Simon: 135 : 48 = 2,8135 [Az arányoknál a reciprokot vizsgálta és helyesen a kisebb arányt választotta.] 6-os kód: 5-ös kód: Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló az Egyforma lesz a sikeres dobásaik aránya válaszlehetőséget jelölte meg és indoklásból az derül ki, hogy gondolatmenete helyes, ÉS kevés tizedesjegyig számolt vagy rosszul kerekített, azaz láthatóan egyenlő értékeket kapott. Tanulói példaválasz(ok): Egyforma lesz a sikeres dobásaik aránya. 49 : 137 = 0,35 0, = 35% 48 : 135 = 0,35 0, = 35% Egyforma lesz a sikeres dobásaik aránya. Norbi: 36%, Simon 36% [A kerekített értékek egyenlők, ez alapján hozta meg döntését]. Lásd 1-es kód, 6. példaválasz! Egyforma lesz a sikeres dobásaik aránya. Norbi:137 : 49 = 2,8 Simon: 135 : 48 = 2,8 Tehát egyforma Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló a Simon sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb válaszlehetőséget jelölte meg és indoklásából kiderül, hogy csak a következő dobások sikerességének arányát vette figyelembe (legalább az egyik fiúnál) és a dobásokat nem összesítette a korábbi dobásokkal. Tanulói példaválasz(ok): Simon sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb, mert Simon 3-ból 3-at bedobott, Norbi viszont 5-ből 4-et és az nem 100%. [A következő dobásokat vizsgálta, az egyik fiú esetében látható a százalékos arány.] Norbi: 4 5 = 0,8 80% Simon: 3 = 1 100% Simoné lesz a jobb. [A következő dobásokat vizsgálta, 3 nem döntött, de indoklásából szövegesen kiderül a döntése.] Simon sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb, mert nem volt hibája. Simon sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb, mert ő egyet sem vétett el. Simon sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb, Simon mindet bedobta, Norbi pedig 139

142 MATEMATIKA Simon sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb, mert ő egyet sem vétett el. Simon sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb, Simon mindet bedobta, Norbi pedig hibázott. Simon sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb, mert ahányszor rádobott, mindig bement. Simon sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb, 4 5 < s kód: Más rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló a Norbi sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb válaszlehetőséget jelölte meg és indoklásában arra utal, hogy Norbi többször dobott rá. Azok a válaszok is idetartoznak, amikor a tanuló válaszából nem derül ki, hogy csak a következőket dobásokat vizsgálta-e, vagy azokat már összegezte az eddigi adatokkal. Tanulói példaválasz(ok): Simon sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb. Norbi: 5 : 4 = 1,25% nem sikerült 98,75% sikerült Simon: 100% sikerült Simon sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb. Mert eggyel többet dobott Norbi. Norbi sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb. Norbi: ,72% Simon: ,5% [Nem látszik, hogy a Norbira vonatkozó vélhetően elszámolt eredmény, milyen művelet sor eredményeként adódott.] Simon sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb. N S Norbi: % 49 x% x = 2,79 Simon: % 48 x% x = 2,8 [Rossz döntés, a 137/49, illetve 138/48 hányadosokat számította ki, ekkor azonban a kisebb hányadost kellett volna választania.] Simon sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb. N : 137 = 35% S : 133 = 36% [135 helyett 133-mal számol, és bár saját eredményei alapján jól dönt, a 135 helyett a 133 használata nem tekinthető számítási hibának, hiszen nem látható, hogyan jött ki a 133.] Simon sikeres dobásainak az aránya lesz a jobb. N: ,7% S: ,5% [Jó számolás, rossz döntés.] Lásd még: X és 9-es kód. 140

143 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.4) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.1) Kulcsszavak: Százalékszámítás A feladat leírása: A tanuló feladata százalékos arány változásának a vizsgálatával a kapott értékeket összehasonlítani. Két azonos előtagból és utótagból álló arány úgy változik, hogy különböző értékkel nőnek az előtagok és az utótagok. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0054 0,00019 Standard nehézség ,6 Nehézségi szint 7 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) ,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,31 0,39 0,18 0,05-0,13 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 9,2 0,09 1. szint alatt 0,0 0,00 Főváros 15,0 0,27 1. szint 0,0 0,00 Megyeszékhely 11,7 0,23 2. szint 0,2 0,04 Város 8,3 0,14 3. szint 1,0 0,07 Község 5,2 0,15 4. szint 4,2 0,12 5. szint 14,6 0,30 6. szint 34,7 0,50 7. szint 68,3 0,93 141

144 MATEMATIKA 107/79. FELADAT: MÚZEUMI BELÉPŐJEGY ML05901 A következő táblázat egy múzeum kiállításait és a belépőjegyek árát tartalmazza. Kiállítás címe Belépőjegy ára (Ft) Helytörténeti kiállítás 1250 Képtár 900 Látványmanufaktúra (kézműves foglalkozás) 750 Porcelánkiállítás 1400 Több kiállítás egy napon történő meglátogatása esetén a múzeum a következő kedvezményt nyújtja a jegyek árából. 2 kiállítás 15% kedvezmény 3 kiállítás 20% kedvezmény 4 kiállítás 30% kedvezmény Mennyibe kerül a Helytörténeti kiállítás és a Látványmanufaktúra egy napon történő meglátogatása? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: Ennél a feladatnál, ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik oda, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott. 1-es kód: 1700 Ft. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Elfogadjuk azokat a válaszokat is, amikor a tanuló a két kiállítás megtekintésének árát különkülön határozta meg és azokat nem összegezte, de más műveletet sem hajtott velük végre. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló csak a kedvezmény mértékét határozta meg (akár összegezve, akár külön-külön), és erre szövegesen utal a válaszában is. Számítás: ( ) 0,85 = ,85 = 1700 Ft Tanulói példaválasz(ok): ( ) 0,15 = 300 Ft kedvezményt kap [Szövegesen utalt rá, hogy ez a kedvezmény.] ,85 = 1062, ,85 = 637,50 [A tanuló nem összegezte egyes kiállítások kedvezményes belépőjegyeit.] Ft-ot a belépő, de ebből 15%-ot levonnak %-a 300 Ft ,15 = 300 Így a jegy csak 1700 Ft-ba fog kerülni = 2000 Ft 112, ,5 = 300 a kedvezmény 1700 Ft-ba került 187, (15%) = 1062,5 112, Ft a belépő 750 (15%) = 637, =

145 8. ÉVFOLYAM 750 (15%) = 637, = % 2000 : 100 :100 1% % Ft kedvezmény [Kiderül, hogy a kedvezmény összegét határozta meg.] Helytörténeti: 1250 : 100 = 12,5 12,5 15 = 187,5 Ft a kedvezmény Látványmanufaktúra: 750 : 100 = 7,5 7,5 15 = 112,5 Ft a kedvezmény [A kedvezmények mértékét külön-külön helyesen határozta meg, az is kiderül, hogy a kedvezményeket határozta meg, azokat nem összegezte.] 6-os kód: Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló csak a kedvezmény mértékét számolta ki (akár összegezve, akár külön-külön) ÉS válaszában nem utalt arra, hogy ez a kedvezmény, de további műveleteket sem hajtott velük végre. Tanulói példaválasz(ok): ( ) 0,15 = 300 [Nem utalt rá, hogy ez a kedvezmény.] 1250 : = 187,5 750 : = 112,5 [Nem utalt rá, hogy ezek a kedvezmények, összegzés nélkül adta meg.] x 100 = x = 0, = 112,5 Ft x = 15 x = 0, = 187,5 112, , Ft 3000 Ft-ba került a látogatás [Számolási hibát vét de látszik a helyes műveletsor, nem utal rá, hogy a kedvezményt számolta ki.] H: 1250 Ft L: 750 Ft a: 2000 p: 15% a 100 p = e = forintot kell fizetnie. [Nem utalt rá, hogy ez a kedvezmény.] = : 100 = = 300 Tehát 300 Ft-ba kerül az egy napon történő meglátogatás. H.k. + L.m. = 2000 Ft 100% :100 : Ft 1% : Ft 15% 143

146 MATEMATIKA 0-s kód: Más rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló a táblázatból vett rossz értékkel számolt vagy elírt egy táblázatbeli értéket, és számításaiból az derül ki, hogy valóban ezzel az értékkel számolt tovább. Tanulói példaválasz(ok): 1900 : = 1615 [Nem látszik, hogy az 1900 milyen műveletsor eredménye.] = 2000, ,75 = 1500 Ft-ba kerül. [Nem látszik, hogy a 75 milyen műveletsor eredménye.] 100% % % [Nem látszik az a művelet, hogy a 200 milyen művelet eredménye.] %-a 230 Ft = 1770 Ft-ba fog kerülni. [Nem látszik, hogy a 230 milyen művelet eredménye.] H.k L. 750 = % = 1600 Ft 1600 Ft-ba kerül [Rossz adattal számolt, 15% helyett 20%-kal.] ,75 = 937,5 Ft 750 0,75 = 562,5 Ft [Nem derül ki, hogy a 0,75 hogyan jött ki.] H Ft 20% = 1000 Ft 100% % 12, % 250,0 L. 750 Ft 20% = 735 Ft 100% 750 1% 7,5 20% 15 [Rossz adattal számolt, 15% helyett 20%-kal.] Lásd még: X és 9-es kód. 144

147 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4) Kulcsszavak: Százalékszámítás, adatgyűjtés táblázatból A feladat leírása: A tanulónak a táblázatokból ki kell választania a megfelelő adatokat, majd két érték összeadása után kell kiválasztania a szituációhoz tartozó százalékos arányt, végül százalékszámítást kell végeznie. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0052 0,00015 Standard nehézség ,1 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) ,3 0,0-0,3-0,6-0,12-0,04-0,50 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 42,0 0,14 1. szint alatt 0,0 0,00 Főváros 53,9 0,43 1. szint 0,9 0,15 Megyeszékhely 50,9 0,34 2. szint 3,9 0,20 Város 40,2 0,25 3. szint 17,4 0,25 Község 30,6 0,30 4. szint 45,1 0,31 5. szint 72,8 0,31 6. szint 87,5 0,37 7. szint 95,0 0,47 145

148 MATEMATIKA 108/80. FELADAT: ÓRA ML14501 Linda vonaton ül. A vele szemben ülő utas karóráján ezt látja: KMÉO Mennyi az idő az óra szerint? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 146

149 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.1.2) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.3) Kulcsszavak: Tengelyes tükrözés, skála leolvasása A feladat leírása: Ismert mérőeszköz (óralap) 180 -kal elforgatott képéről kell leolvasnia a tanulónak a mutatott értéket (időt). A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0024 0,00009 Standard nehézség ,7 Nehézségi szint 1 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,19 0,30-0,12-0,12-0,02-0,13 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 83,1 0,12 1. szint alatt 40,5 1,55 Főváros 86,5 0,30 1. szint 56,3 0,75 Megyeszékhely 84,8 0,29 2. szint 68,2 0,49 Város 82,7 0,19 3. szint 78,7 0,27 Község 80,3 0,26 4. szint 87,3 0,22 5. szint 92,4 0,19 6. szint 95,8 0,23 7. szint 98,4 0,25 147

150 MATEMATIKA 109/81. FELADAT: ÉRDEMJEGY ML09201 Balázs biológia szakos hallgató az egyetemen. A sejtbiológia tantárgy félévi jegyének a meghatározásához a következő átlagot számítják ki: Átlag = házi dolgozat jegye + 2 zárthelyi dolgozat jegye + 3 vizsgadolgozat jegye 6 Átlag Félévi jegy 2,00 alatt Elégtelen (1) 2,00 2,50 Elégséges (2) 2,51 3,50 Közepes (3) 3,51 4,50 Jó (4) 4,51 felett Jeles (5) Balázs a házi dolgozatára 3-as, a zárthelyi dolgozatára 2-es érdemjegyet kapott, a vizsgadolgozat még hátra van. Lehet-e még 4-es a félévi jegye? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Válaszodat számítással indokold! I N Igen, lehet 4-es a félévi jegye. Nem, nem lehet 4-es a félévi jegye. Indoklás: 148

151 8. ÉVFOLYAM JAVÍTÓKULCS 1-es kód: A tanuló az Igen, lehet... válaszlehetőséget jelölte meg (vagy szöveges válaszából egyértelműen ez derül ki) ÉS (1) látszódik a helyesen megoldott egyenlet vagy egyenlőtlenség, amelynek megoldása az x 4,69 (vagy 4,68, vagy ezek kerekítése 4,6-ra/4,7-re, ezek egyenlőségjellel is elfogadható értékek) VAGY (2) a válaszból kiderül, hogy 5-ös jegyet kell szereznie* (akár szövegesen utal rá, akár a behelyettesítés során látszódik az 5-ös) és látszik az 5-össel helyesen kiszámított átlagérték ( 22 vagy 3,6 vagy 3,7). 6 Ahhoz, hogy a tanuló válasza 1-es kódot kapjon, a tanulónak jól kellett döntenie. Ennél a kódnál számítási hiba/elírás nem fogadható el (az egyenletmegoldásnál sem), még akkor sem, ha látszik a helyes műveletsor. Nem tekintjük hibának, ha a tanuló a behelyettesítés során nem írta le a nevezőt, de látszik a helyes átlagérték. * KIVÉTEL: Ha a tanuló a tört alakban megadott 22 vagy 3,66 vagy 3,67 vagy átlagra 6 hivatkozik, és az Igen-t jelölte meg, akkor nem feltétlenül kell látszódnia az 5-ös jegy behelyettesítésének, a választ enélkül is elfogadjuk. Számítás: x 3, x 21,06 3x 14,06 x 4,69 5-ösre kell megírnia. Tanulói példaválasz(ok): Igen, egy 5-ös vizsgadolgozattal az átlaga 3,66 és úgy 4-es. Igen, ahhoz hogy az átlaga 3,51 vagy nagyobb legyen legalább 4,7 5-ös kell a vizsgadolgozatra. Igen. Ha 5-ösre írja, az átlag 22 = 3,67 4-es lesz az átlag 6 Ha 4-esre írja, az átlag 19 6 = 3,16 Ha 3-asra írja, az átlag 16 6 = 2,6 149

152 MATEMATIKA Igen x = x 6 = 22 6 = 3,666 = x 6 Igen. Legjobb esetben: = 3,66 Csak tanuljon sokat! [Nem jelölt semmit, de látszik a helyes érték.] 6-os kód: 5-ös kód: ? 6 = 3,67 ha a vizsgadolgozat jegye 5-ös lesz, akkor még lehet 4-es. A tanuló az Igen, lehet... válaszlehetőséget jelölte meg és indoklásában csak az 5-ös vizsgadolgozat jegyre hivatkozik, sem a vizsga utáni átlag kiszámítása, sem az 5-össel adódó helyes átlagérték, sem az 5-ös vagy más számérték képletbe/számlálójába való behelyettesítése nem látható. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló az indoklásban az 5-ös érdemjegyre hivatkozik és esetleg a x általános képlet felírása vagy a jelenglegi 6 (vizsga dolgozat nélküli) átlag kiszámítása szerepel. Ha az általános képlet felírása után x=5-tel (is) jelzi a tanuló, hogy ha 5-öst kap, lehet négyes félévkor, azt behelyettesítési szándéknak értékeljük, és 5-ös kódot kap. Tanulói példaválasz(ok): Igen. Ha a vizsgadolgozatára 5-öst kap. Igen. Ha a vizsgadolgozata ötös lesz, akkor az átlaga 3,5-nél nagyobb lesz, és megkapja a négyest. [Jó döntés, csak az ötösre utal, számolás, számított átlagérték nem látható. A 3,5-re való utalással csak a feladat szövegét ismétli meg.] Igen. Ha 5-öst kap. Igen. Ha 5-öst kap. ( ) : 3 = 2,3 [A jelengegi jegyek átlagát számolta ki, azaz a vizsgadolgozat nélküli átlagot.] A tanuló helyesen behelyettesítette az 5-ös vizsgajegyet a képletbe, de annak kiszámítása rossz (számolási vagy módszertani hiba miatt) vagy hiányzik Ha a tanuló rosszul számította ki a helyettesítési értéket, akkor az alapján jól kell döntenie; ha azonban nem számította ki, akkor az Igen -t kell választania. Ha az általános képlet felírása után x=5-tel jelzi a tanuló, hogy ha 5-öst kap, lehet négyes félévkor, azt behelyettesítési szándéknak értékeljük, és 5-ös kódot kap. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló azért nem 5-öst helyettesít be, mert számítási hibából fakadóan annál rosszabb érdemjeggyel is egy 3,51-nél magasabb értéket kap ÉS igent jelöl. Tanulói példaválasz(ok): Igen = 6 150

153 8. ÉVFOLYAM [Beírta az 5-ös jegyet a képletbe, de nem számította ki az 5-ös jegy behelyettesítésével kapott tört értékét és helyesen az Igen-t jelölte meg.] Nem, nem lehet 4-es a félévi jegye = 3,06 [A 22 miatt tudjuk, hogy jól számolt az 5-ös jeggyel, a tört értékét nem jól határozta meg, annak alapján viszont jó a döntése.] Nem, nem lehet 4-es a félévi jegye = 3,16 6 [Beírta az 5-ös jegyet a képletbe, a kiszámított végeredmény rossz, de az alapján jól döntött.] Nem, nem lehet 4-es a félévi jegye x 6 3, x 21,06 x 14,06 nem kaphat ilyen jegyet. [A tanuló helyes egyenlőtlenséget írt fel, a megoldás során hibát követett el, mert a 2. sorban lehagyta a az x hármas szorzóját, saját eredménye alapján jól dönt.] Igen, lehet 4-es a félévi jegye. Ha a vizsgadolgozatra ötöst kap [Azért nem 1-es kód, mert nem látszik a helyesen kiszámított átlagérték.] 0-s kód: Más rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló megjelölte valamelyik válaszlehetőséget, de nem indokolt. Tanulói példaválasz(ok): Igen. Átlag = x x = 25x 6 6 Azért lehet, mert ha egyest ír, akkor is megvan a 4 egészes átlaga. [Az 1-es jegy helyettesítési értékét számította ki, de a kiszámítás közben módszertani hibát is vétett.] Nem = : 3 = 3,33 3-as lehet maximum Igen. 3 (2 2) = : 3 = 4 lehet, ha legalább 4-esre írja meg. Igen x 6 = x 6 = x =

154 MATEMATIKA 3x = 14 x = 4 lehet, ha minimum 4-est szerez. [A tanuló rossz egyenletet írt fel (jobb oldalon 4 szerepel 3,51 helyett), és még módszertani hibát vétett: kiszámításakor (3 +2) 2-vel számolt.] Igen Nem. = 25x 6 = 4,16 4-esre kell. 3,51 = x 6 3,51 = x 6 21,06 = 7 + 3x 14,06 = 3x x = 4,686 3,51 = ,058 6 Nem x x 21,06 3,51 3, ,343 = 9,343 x 14,06 nem kaphat ilyen jegyet. Lásd még: X és 9-es kód. 152

155 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.3.1) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.2) Kulcsszavak: Képletbe való behelyettesítés, átrendezés, egyenlet A feladat leírása: A tanulónak egy megadott képletet vizsgálva meg kell állapítania, hogy a valamely lehetséges értékeket behelyettesítve, a képlettel kijövő érték eléri-e a kritikus számot. A kritikus számot egy táblázatban kell megtalálnia. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0047 0,00014 Standard nehézség ,1 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 15 0,3 0,0-0,3-0,6-0,30 0,10 0,05-0,21 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 20,1 0,13 1. szint alatt 0,0 0,00 Főváros 30,9 0,35 1. szint 0,1 0,05 Megyeszékhely 25,8 0,32 2. szint 0,7 0,08 Város 18,3 0,20 3. szint 3,3 0,13 Község 11,7 0,22 4. szint 14,2 0,21 5. szint 36,1 0,35 6. szint 64,2 0,57 7. szint 86,4 0,71 153

156 MATEMATIKA 110/82. FELADAT: HÓAKADÁLY ML12701 A következő ábra egy térség úthálózatát mutatja, a településeket körök jelzik, az utakat vonalak. Az ábráról leolvasható, hogy a hóakadály miatt mely településekről lehet eljutni az iskolába, és melyekről nem. Iskola A B C D E Járható út Járhatatlan út Döntsd el, hogy a következő települések melyikéből lehet eljutni az iskolába, és melyikből nem! Válaszodat a megfelelő kezdőbetű besatírozásával jelöld! El lehet jutni A település E B település E C település E D település E E település E Nem lehet eljutni N N N N N JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: NEM LEHET ELJUTNI, EL LEHET JUTNI, NEM LEHET ELJUTNI, EL LEHET JUTNI, EL LEHET JUTNI ebben a sorrendben. 154

157 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.7) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Gráf, út A feladat leírása: A tanulónak meg kell állapítania, hogy egy gráf adott csúcsából vezet-e út a megadott csúcsokba vagy sem. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0037 0,00010 Standard nehézség ,3 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 5 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,35 0,40-0,17 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 83,6 0,11 1. szint alatt 14,2 1,02 Főváros 87,3 0,28 1. szint 40,6 0,81 Megyeszékhely 87,5 0,24 2. szint 65,7 0,49 Város 83,8 0,17 3. szint 80,2 0,26 Község 77,7 0,28 4. szint 89,8 0,18 5. szint 95,4 0,16 6. szint 97,7 0,17 7. szint 99,4 0,18 155

158 MATEMATIKA 111/83. FELADAT: BENZINKÚT ML13601 Egy benzinkútnál benzinnel töltenek fel egy literes üres tartályt. A tartály 3 rekeszre van osztva. Ha az 1. rekeszben a benzin eléri a tartály magasságának 80%-át, akkor elkezd töltődni a 2. rekesz. Ha a benzin szintje mindhárom rekeszben eléri a 80%-ot, akkor töltődik fel a tartály maradék 20%-a. Egy ilyen tartály oldalnézeti képe látható a következő ábrán. 100% 80% 100% 80% 3. rekesz 2. rekesz 1. rekesz Satírozd be a fenti ábrán, meddig ér a benzin szintje a rekeszekben, ha összesen litert töltöttek a tartályba! A feladat megoldásához használj vonalzót! JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: A tanuló válaszának értékelésekor először az ábrát vizsgáljuk. Ha a tanuló az ábrát üresen hagyta vagy rossz területet jelölt meg, akkor a tanuló számításait is meg kell nézni. Ennél a feladatnál, ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik oda, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott. 2-es kód: A tanuló a tartály 3. rekeszében a következő ábrán megadott elfogadható tartományban jelölte be a benzin szintjét (vonallal vagy satírozással) függetlenül attól, hogy besatírozta a másik két (1. és 2.) rekeszt a szaggatott vonalig vagy üresen hagyta). Ha 3. rekeszben a szintvonal nincs vonallal bejelölve, akkor a satírozás legfelső pontját kell vizsgálni. Ha a tanuló felcserélte az 1. és 3. rekeszt, azaz csak a 1. rekeszben jelölte meg a szintet az elfogadható tartománynak megfelelő magasságban, akkor a válasz csak abban az esetben kaphat 2-es kódot, ha a másik két rekeszt (3. és 2.) megfelelően, a szaggatott vonalig telinek jelölte. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló helyesen felírta az alapműveletekből álló műveletsort, és számolási, de nem módszerteni hibát követett el, majd az így kapott értéknek megfelelően helyes területet satírozott be. 100% 80% 100% 80% Elfogadható tartomány 3. rekesz 2. rekesz 1. rekesz 156

159 8. ÉVFOLYAM Számítás: ( : 3) 0,8 = ,8 = 4000 liter fér 1 rekeszbe = 2000 a 3. rekesz a 80% féléig van, az 1. és 2. rekesz 80%-ig van. Tanulói példaválasz(ok): 100% 80% 100% 80% 3. rekesz 2. rekesz 1. rekesz 100% 80% 100% 80% 3. rekesz 2. rekesz 1. rekesz [A tanuló felcserélte az 1. és 3. rekeszt, ettől eltekintve helyes a satírozás.] 100% 80% 100% 80% 3. rekesz 2. rekesz 1. rekesz [Csak a 3. rekeszben jelölt (megfelelő tartományban), a másik rekesznél semmit nem jelölt.] Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló helyesen adta meg az egyes rekeszekbe 157

160 MATEMATIKA 1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló helyesen adta meg az egyes rekeszekbe kerülő literek számát (4000, 4000 és 2000), de az ábrán nem vagy rosszul jelölte be a szinteket a rekeszekben. A 2000-es érték helyett elfogadjuk a 40%-ot is. Tanulói példaválasz(ok): ,8 = : 3 = 4000 liter fér 1 rekeszbe a szaggatott vonalig 1. rekesz: rekesz: rekesz: 2000, pontosan félig lesz. [Jó gondolatmenet, jelölés hiányzik.] Egy rekeszben 5000 a 100%, 4000 a 80%. A 3. rekesz félig lesz [Az ábrán a jelölés kilóg a megadott tartományból.] 100% 80% 100% 80% 3. rekesz 2. rekesz 1. rekesz 2000 l 4000 l 4000 l [Rossz satírozás, jó értékek] 6-os kód: Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló a tartály teljes magasságát vette figyelembe (nem számolt a 80%-kal), ezért két rekeszt satírozott be a 100%-ot jelölő vonalig vagy válaszában arra utalt, hogy a liter az első két rekeszt tölti fel teljesen. Tanulói példaválasz(ok): [Az ábrán két rekesz van besatírozva a 100%-os szintig.] : 3 = : 5000 = 2 2 rekesz lesz teljesen tele. Más rossz válasz. 158

161 8. ÉVFOLYAM A feladathoz tartozó adatok a következő oldalakon találhatók. 159

162 MATEMATIKA 0-s kód: Más rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 100% 80% 100% 80% 3. rekesz 2. rekesz 1. rekesz [Csak az 1. és a 2. rekesznél jelölt helyesen.] 100% 80% 100% 80% 3. rekesz 2. rekesz 1. rekesz [A satírozást nézzük, hiszen azt kérte a feladat.] 100% 80% 100% 80% 3. rekesz 2. rekesz 1. rekesz [Nem az aljára rajzolta a benzint.] 100% 80% 100% 80% 3. rekesz 2. rekesz 1. rekesz [Fordítva vette a rekeszek sorrendjét, nem ez a baj, hanem, hogy a két első rekesze rosszul van satírozva.] Lásd még: X és 9-es kód. 160

163 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.2) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.2) Kulcsszavak: Százalékszámítás, műveletsor, arány vizuális megjelenítése A feladat leírása: Százalékszámítást is tartalmazó műveletsor végrehajtása után arányszámítást kell elvégeznie a tanulónak, majd a kapott arányt megjelenítenie egy ábrán. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0046 0,00024 Standard nehézség ,7 Nehézségi szint 7 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) ,3 0,0-0,3-0,6 0,04 0,03 0,00-0,37 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 14,9 0,13 1. szint alatt 0,1 0,08 Főváros 21,9 0,38 1. szint 0,6 0,13 Megyeszékhely 17,5 0,22 2. szint 1,2 0,10 Város 13,6 0,21 3. szint 3,2 0,12 Község 10,5 0,18 4. szint 8,7 0,17 5. szint 22,8 0,35 6. szint 53,0 0,60 7. szint 84,6 0,73 161

164 MATEMATIKA 112/84. FELADAT: SZÍNHÁZJEGY ML27101 A következő ábrán a Gondola Színház nézőterének az alaprajza látható. SZÍNPAD I I. III. II. IV II. IV. III. VI. V V. VI. VII. VIII. IX VII. VIII. IX. Marcinak a bal oldal VI. sor 7-es ülőhelyre szól a jegye. Jelöld az ábrán X-szel Marci ülőhelyét! JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: A válasz értékeléskor mindig csak a nézőtéren látható X-eket kell vizsgálni, az azon kívül található X-eket figyelemen kívül kell hagyni. Ha a tanuló nem X-szel jelölt, hanem más jelölést alkalmazott (pl. karikázás, satírozás, nyilazás stb.), akkor azt a jelölést vizsgáljuk. Ha azonban az ábrán X-szel is jelölt meg helyet, akkor mindenképpen az X helyét vizsgáljuk. Ha több helyet is megjelölt valamilyen jelöléssel és nem derül ki, hogy melyik a végleges (pl. szövegesen odaírta, vagy áthúzta/zárójelezte az egyiket), akkor 0-s kóddal értékeljük, kivéve a 6-os kódnál megadott esetet. Ha a tanuló több X-et is megjelölt és valamelyik X alatt satírozás/firkálás/lehúzás látható, ebben az esetben a satírozást lehúzásnak, javításnak tekintjük, ezért azt az X-et nem vizsgáljuk, a másik (satírozás nélküli) X alapján döntünk. Abban az esetben, ha satírozás(ok) és satírozott X(-ek) is szerepel(nek), a satírozott X-e(ke)t nézzük. Ha a tanuló több X-et is megjelölt és valamelyiket bekarikázta, akkor a magát a karikázást figyelmen kívül kell hagyni (karikázás nélkül tekintünk arra az X-re is), az X-ek helyzetét kell vizsgálni. 162

165 8. ÉVFOLYAM 1-es kód: A tanuló a következő ábrán látható helyet jelölte meg valamilyen egyértelmű jelöléssel. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló a 6-os kódnál leírtaknak megfelelően mindkét oldalon megjelölte a VI. sor 7. ülőhelyet és szövegesen is utalt rá, hogy a jobboldali a színpad felöl nézve, a baloldali pedig szemből nézve lesz a megoldás. SZÍNPAD I I. II II. III III. IV. V V. IV. VI VI. VII VII. VIII. IX VIII. IX. Tanulói példaválasz(ok): SZÍNPAD I I. II II. III III. IV IV. V V. VI VI. VII VII. VIII VIII. IX IX. [A VI. sor 6. székének jelölését láthatóan áthúzta, ezért a másik X-et tekintjük végső válasznak.] Ha innen nézzük, a színpadról, akkor a piros. [Két X-et jelölt ugyan, de szövegesen leírta, hogy a nézettől függően, melyik székre gondolt.] a másik X-et kell vizsgálni.] [Az V. sorban lévő X-et értéket átsatírozta, így 163

166 MATEMATIKA a másik X-et kell vizsgálni.] [Az V. sorban lévő X-et értéket átsatírozta, így [A IV. sorban lévő X-et lesatírozta, a másik X-et kell vizsgálni, az alapján jó válasz.] 6-os kód: Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló a következő hibák valamelyik követte el: (1) felcserélte a jobb és a bal oldalt, a sor és a szék helyes, vagyis a jobb oldal VI. sor 7. ülőhelyet jelölte meg, VAGY (2) megjelölte a bal oldali és jobb oldali 7-es széket is a VI. sorban, de mást nem jelölt be. Idetartoznak azok a válaszok is, ha a tanuló a (2) pontnak megfelelően jelölt és szövegesen utalt rá, hogy attól függ honnan nézzük, de nem derül ki, hogy melyik nézethez melyik jelölés tartozik. Tanulói példaválasz(ok): SZÍNPAD I I. III. II. IV II. IV. III. V V. VI VI. VII VII. VIII. IX VIII. IX. [A baloldali VI.sor 7-es széket jelölte meg.] SZÍNPAD I I. 164 II II. III III. IV IV. V V. VI VI. VII VII.

167 8. ÉVFOLYAM SZÍNPAD I I. II II. III III. IV IV. V V. VI VI. VII VII. VIII VIII. IX Attól függ, honnan nézzük. [Mindkét oldalon bejelölte a VI. sor 7. széket.] IX. [A nézőtéren kívüli x-et figyelmen kívül hagyjuk.] [6-os kódnak megfelelő helyet jelölte meg, nem számít az sem, hogy ő odaírta, hogy melyiket melyik oldalnak tekintette.] 0-s kód: Más rossz válasz. Azok a válaszok is idetartoznak, amikor a helyes szék mellett egy (6- os kódnál megadott helytől különböző) egy vagy több más helyet is megjelölt. Tanulói példaválasz(ok): SZÍNPAD I I. II II. III III. IV IV. V V. VI VI. VII VII. VIII VIII. IX SZÍNPAD I I. IX. [A helyes mellett egy rosszat is bejelölt.] 165 II II. III III.

168 MATEMATIKA 0-s kód: Más rossz válasz. Azok a válaszok is idetartoznak, amikor a helyes szék mellett egy (6- os kódnál megadott helytől különböző) egy vagy több más helyet is megjelölt. Tanulói példaválasz(ok): SZÍNPAD I I. II II. III III. IV IV. V V. VI VI. VII VII. VIII. IX SZÍNPAD VIII. IX. [A helyes mellett egy rosszat is bejelölt.] I I. II II. III III. IV IV. V V. VI VI. VII VII. VIII. IX VIII. IX. [A VII. sorban jelölt a VI. sor helyett.] sor és az ülőhely számát.] [A VII. sorban jelölt, valójában felcserélte a [A két X-et vizsgáljuk, rossz helyen vannak.] Lásd még: X és 9-es kód. 166

169 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.3.3) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.1) Kulcsszavak: Koordináta-rendszer, irányok A feladat leírása: A tanulónak egy nem szokványos koordináta-rendszerben kell egy adott pont helyét meghatároznia az irányok figyelembevételével. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0015 0,00007 Standard nehézség ,0 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) ,3 0,0-0,3-0,6-0,04 0,22 0,05-0,31 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 67,1 0,16 1. szint alatt 22,2 1,17 Főváros 70,4 0,45 1. szint 42,7 0,80 Megyeszékhely 68,3 0,34 2. szint 55,2 0,45 Város 67,2 0,25 3. szint 63,1 0,35 Község 63,7 0,32 4. szint 69,4 0,32 5. szint 75,9 0,35 6. szint 79,9 0,39 7. szint 84,0 0,73 167

170 MATEMATIKA 113/85. FELADAT: FIZETÉS ML21701 Csaba eladóként dolgozik egy műszaki kisboltban. Fizetését a következőképpen határozta meg a munkáltatója: 1000 zed/hó + az abban a hónapban általa eladott termékekből származó bevétel 5%-a. A következő képletek közül melyikkel határozható meg Csaba havi fizetése (F), ha y jelöli az általa eladott termékekből származó bevételt? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A F = 0,05 ( y) B C F = ,05 y F = ,05 + y D F = y + 0, E F = (1000 0,05) y JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 168

171 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.3) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.2) Kulcsszavak: Hozzárendelési szabály megadása, összefüggések felismerése A feladat leírása: A tanulónak egy szövegesen megfogalmazott szituációhoz tartozó, százalékot is tartalmazó matematikai formában megadott összefüggést kell kiválasztania a megadottak közül. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0072 0,00037 Standard nehézség ,6 Tippelési paraméter 0,27 0,01 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) ,3 0,0-0,3-0,6-0,09-0,25-0,14-0,11-0,03-0,19 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 52,1 0,16 1. szint alatt 23,0 1,30 Főváros 60,3 0,39 1. szint 24,4 0,69 Megyeszékhely 57,0 0,36 2. szint 24,9 0,46 Város 50,9 0,27 3. szint 30,8 0,34 Község 45,3 0,32 4. szint 49,6 0,30 5. szint 78,4 0,30 6. szint 95,2 0,26 7. szint 99,5 0,14 169

172 MATEMATIKA 114/86. FELADAT: KONCERT ML26601 Krisztián, Vilmos és András koncertre mentek. Krisztián vette meg mindhármuk jegyét, egy jegy ára 4500 Ft volt. A koncerten meg lehetett vásárolni az együttes CD-jét 2500 Ft-ért, Krisztián szeretett volna egyet, ezt Vilmos fizette ki, hogy ennyivel kevesebbel tartozzon Krisztiánnak a jegyért. A szünetben a büfében mindhárman 1-1 szendvicset és innivalót fogyasztottak fejenként 800 Ft-ért, amelyet András fizetett ki. A koncert után a fiúk szeretnék rendezni egymás között a tartozásukat. A következő ábrán látható vonalakon NYÍLLAL JELÖLD, hogy ki fizessen kinek, és ÍRD A PONTOZOTT VONALRA, hogy hány forintot! Krisztián Ft Ft András Vilmos Ft 170

173 8. ÉVFOLYAM JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: Először mindig az ábrára írt választ kell vizsgálni. Ha a tanuló által beírt érték nem helyes, de látható a helyesen felírt műveletsor, akkor a tanuló válaszát elfogadjuk. A nyilakkal egyenértékű válasznak tekintjük, ha a tanuló szövegesen fogalmazta meg, hogy ki kinek fizessen. 2-es kód: A tanuló a mind a három nyilat és mind a három értéket helyesen adta meg a következő ábrák valamelyikének megfelelően. Elfogadjuk azokat a válaszokat is, amikor a tanuló nem az ábrán rajzolt, hanem szövegesen fogalmazta meg, ki kinek mennyit fizessen. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló helyesen jelölte az ábrán, hogy ki kinek mennyit fizessen, de nem végezte el a közöttük lévő műveletet. Krisztián 3700 Ft 2000 Ft András 800 Ft Vilmos VAGY [A tanuló azt számolta ki, kinek mennyit kellett volna fizetnie, ha mindenki magának fizet (K: 7800 A: 5300 V: 5300), és ehhez képest ki mennyit fizetett ténylegesen (K: A: 2400 V: 2500), és ezeket hasonlította össze = = = 2800 Ebből jön ki, hogy András és Vilmos is Krisztiánnak tartozik ( = 5700), hiszen egyedül ő van mínuszban (mert többet fizetett, mint amennyit magára kellett volna költenie).] 171

174 MATEMATIKA Tanulói példaválasz(ok): [A szöveges válaszból kiderül a nyilak iránya.] K: = V: = 1000 A: [Az egyik érték (1000) nem jó, de látszik, hogy milyen művelet eredményeként született, és a művelet felírása helyes.] Vili Krisztián 2000 Ft Vili András 800 Ft András Krisztián 3700 Ft [A tanuló az ábra alatti területen adta meg válaszát.] [A 200-as értéknél látszik a helyes művelet és eredmény is (2000), másoláskor elírta az eredményt.] 172

175 8. ÉVFOLYAM [Az értékek, a nyilak jók, a nyilakat úgy rajzolta, hogy a pontozott rész megszakítja őket.] 1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló helyesen adott meg minden értéket a megfelelő helyen ÉS LEGALÁBB EGY nyilat nem VAGY rosszul rajzolt be. Tanulói példaválasz(ok): Krisztián 3700 Ft 2000 Ft 800 Ft András Vilmos [A nyilakat nem rajzolta be és szövegesen sem jelezte azok irányát.] [A megfelelő értékek a megfelelő helyen, két nyíl rossz (mert nem egyértelmű melyik a válasza).] 173

176 MATEMATIKA [Az értékek jók, de Krisztián - Vilmos nyíl rossz.] [Az értékek jók, de csak 2 nyíl helyes, 1 nyíl hiányzik.] 6-os kód: A tanuló a 3700 és 2000 értéket felcserélte, a harmadik érték (800) jó, ÉS a két, Krisztián felé mutató nyíl iránya helyes, az alsó nyílat nem vizsgáljuk. Azok a válaszok is idetartoznak, amikor a tanuló a 2900 és 2800 értéket felcserélte, a harmadik értékre nem írt semmit, vagy nulllát írt ÉS mindkét nyíl iránya helyes, az alsó nyilat itt sem vizsgáljuk. Tanulói példaválasz(ok): = Ft K 2500 Ft V = 2400 Ft A [Két felső érték felcserélve, nyilak jók.] 174

177 8. ÉVFOLYAM [A felső két érték felcserélve, az alsó nyíl iránya rosszul van berajzolva, de azt nem vizsgáljuk.] 0-s kód: Rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a mind a három nyíl helyesen van berajzolva, de az értékek hiányoznak. Tanulói példaválasz(ok): [A vásárolt áruk összegét írta be.] 175

178 MATEMATIKA Vilmos 2000 Ft-tal tartozik Krisztiánnak, András 3700 Ft-tal tartozik Krisztiánnak. [A harmadik érték és a nyilak is hiányoznak.] Lásd még: X és 9-es kód. 176

179 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.3.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4) Kulcsszavak: Mennyiségek összehasonlítása A feladat leírása: A tanuló feladata szövegesen adott információ alapján mennyiségek (pénz) közötti viszony (tartozások) ábrázolása. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0022 0,00004 Standard nehézség ,4 1. lépésnehézség lépésnehézség Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) ,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,14 0,09 0,44 0,03-0,30 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 26,1 0,13 1. szint alatt 0,1 0,10 Főváros 34,6 0,44 1. szint 1,2 0,16 Megyeszékhely 30,5 0,33 2. szint 4,3 0,20 Város 25,4 0,20 3. szint 10,9 0,23 Község 18,6 0,25 4. szint 23,8 0,25 5. szint 42,6 0,31 6. szint 64,0 0,54 7. szint 81,1 0,82 177

180 MATEMATIKA 115/87. FELADAT: MÉRŐEDÉNY ML18701 Natasa a következő ábrán oldalnézetben látható HENGER alakú edénybe 1 dl folyadékot tölt. A B r = 4 cm C 8 cm D Melyik betűvel jelölt szint mutatja helyesen a mérőedénybe töltött folyadék magasságát? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D A B C D JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: D 178

181 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.2.4) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4) Kulcsszavak: Henger térfogata, paraméterének és térfogatának kapcsolata, mértékegységátváltás A feladat leírása: A tanulónak a mértékegység-átváltást is tartalmazó feladatban adott paraméter (sugár) és ismert térfogat mellett kell másik paramétert kiszámítania (magasság), az így kapott érték és a megadott hossz arányát (vagy a henger térfogatát kell kiszámítania, majd ennek az értéknek és a megadott űrmértéknek az arányát) meghatároznia és szemléltetnie az ábrán. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0020 0,00009 Standard nehézség ,4 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) ,3 0,0-0,3-0,6-0,12-0,15 0,01 0,27-0,01-0,11 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 28,3 0,18 1. szint alatt 7,0 0,76 Főváros 31,0 0,45 1. szint 12,3 0,56 Megyeszékhely 29,8 0,35 2. szint 16,8 0,39 Város 27,7 0,25 3. szint 19,8 0,33 Község 26,6 0,27 4. szint 26,2 0,29 5. szint 36,2 0,36 6. szint 52,0 0,65 7. szint 74,0 0,95 179

182 MATEMATIKA 116/88. FELADAT: BAMBUSZ I. ML25801 A kínai bambusz rendkívül gyorsan nő. A táblázatban egy kínai bambusz növény növekedési üteme látható az 5. naptól. Az alábbi állítások közül melyik írja le legpontosabban, hogyan változott a kínai bambusz magassága ötnaponként? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Nap Magasság (cm) A B C D Kb. 15 cm-rel nőtt. Kb. 100 cm-rel nőtt. Kb. 3-szorosára nőtt. Kb. 30-szorosára nőtt. JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 180

183 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.3) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.2) Kulcsszavak: Hozzárendelési szabály, táblázat A feladat leírása: A tanulónak egy adatsor adatai közötti összefüggést kell megállapítania, és kiválasztania a hozzárendelési szabályt a megadottak közül. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0029 0,00024 Standard nehézség ,4 Tippelési paraméter 0,17 0,03 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) ,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,21-0,22 0,36-0,04-0,03-0,16 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 55,6 0,16 1. szint alatt 19,4 1,10 Főváros 59,2 0,35 1. szint 26,3 0,65 Megyeszékhely 60,0 0,38 2. szint 33,0 0,44 Város 55,2 0,27 3. szint 43,6 0,38 Község 50,7 0,33 4. szint 57,9 0,32 5. szint 71,8 0,36 6. szint 82,3 0,46 7. szint 92,2 0,53 181

184 MATEMATIKA 117/89. FELADAT: SPORTESEMÉNYEK ML08501 Egy városban sakk-, jégtánc- és kerékpárversenyt is rendeztek ebben az évben. LEGKÖZELEBB hány év múlva fognak a városban mindhárom sportágban versenyt rendezni, ha sakkversenyt 2 évente, jégtáncversenyt 3 évente, kerékpárversenyt 4 évente rendeznek? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 4 B 6 C 9 D 12 E 24 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: D 182

185 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.4.1) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Legkisebb közös többszörös A feladat leírása: A tanulónak nem relatív prímek legkisebb közös többszörösét kell meghatároznia és kiválasztania a megadott lehetőségek közül. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0033 0,00008 Standard nehézség ,4 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) ,3 0,0-0,3-0,6-0,11-0,15-0,35-0,05-0,02-0,13 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 55,2 0,15 1. szint alatt 7,6 0,81 Főváros 63,9 0,43 1. szint 14,6 0,61 Megyeszékhely 59,5 0,38 2. szint 22,5 0,35 Város 54,0 0,27 3. szint 38,3 0,35 Község 48,2 0,31 4. szint 59,9 0,32 5. szint 78,4 0,31 6. szint 89,7 0,36 7. szint 96,9 0,37 183

186 MATEMATIKA 118/90. FELADAT: PIZZARENDELÉS ML25001 Juli és a barátnői pizzát rendelnek interneten. A honlap szerint legfeljebb 40 percet kell várni a kiszállításra. Ennek alapján LEGKÉSŐBB mikor fogják megkapni a pizzájukat, ha kor adták le a rendelést? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D E kor kor kor kor kor JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: E PIZZA6 Megrendelés visszaigazolása Rendelését rögzítettük. Rendelés feladásának időpontja: Házhoz szállítás ideje: a rendelés feladásától számított legfeljebb 40 perc. 184

187 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.3.4) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.4) Kulcsszavak: Számolás idővel A feladat leírása: A tanulónak adott időponthoz kell időtartamot hozzáadnia. Óraátlépés is szerepel a feladatban. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0028 0,00008 Standard nehézség ,5 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) ,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,02-0,16-0,23-0,18 0,39-0,02-0,12 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 64,0 0,15 1. szint alatt 10,9 0,98 Főváros 68,1 0,42 1. szint 24,9 0,71 Megyeszékhely 68,1 0,30 2. szint 39,1 0,45 Város 64,1 0,24 3. szint 55,2 0,30 Község 58,0 0,29 4. szint 68,5 0,29 5. szint 79,8 0,30 6. szint 88,3 0,40 7. szint 94,9 0,50 185

188 MATEMATIKA 119/91. FELADAT: PÁRA ML03701 Juli vonaton ül, várja az indulást. Barátnője, Dóri a peronon várakozik. Juli a vonat párás ablakának üvegére írja: HOLNAP JÖVÖK. Hogyan írja Juli az üzenetet az ablaküveg BELSŐ OLDALÁRA úgy, hogy kintről megfelelően olvasható legyen? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: A 186

189 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.1.2) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.3) Kulcsszavak: Tengelyes tükrözés A feladat leírása: Alakzathoz (írott szöveg) tartozó tengelyes tükörképet kell a tanulónak kiválasztania. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0018 0,00007 Standard nehézség ,7 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 9 0,3 0,0-0,3-0,6 0,30-0,17-0,14-0,09-0,05-0,12 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 71,1 0,14 1. szint alatt 25,3 1,34 Főváros 74,9 0,37 1. szint 41,8 0,80 Megyeszékhely 74,0 0,30 2. szint 55,6 0,45 Város 70,5 0,23 3. szint 64,6 0,37 Község 67,6 0,25 4. szint 74,1 0,29 5. szint 82,1 0,28 6. szint 89,3 0,38 7. szint 94,6 0,51 187

190 MATEMATIKA 188

191 8. ÉVFOLYAM MELLÉKLETEK 189

192 MATEMATIKA 1. melléklet A statisztikai jellemzők A tesztelméleti paraméterek A tanulók képességeinek mérésére a teszten elért összes pontszám vagy a százalékos eredmények nem megfelelőek. Egyrészt az elért pontszám függ a teszt nehézségétől, azaz ugyanezek a tanulók egy másik, hasonló képességeket mérő teszten akár sokkal jobb vagy gyengébb eredményeket is elérhetnek. Másrészt az összes pontszám nem lineárisan nő a tanulók képességeivel: egypontnyi különbség a kis pontszámot elérő tanulók között nem jelent ugyanakkora tudásbeli különbséget, mint egy pontszámnyi eltérés az átlagos eredményt elérők között. Ugyanígy az item nehézségének mérésére sem alkalmas az itemre adott helyes válaszok száma vagy aránya. Ráadásul egy ilyen típusú pontozásnál nehéz értelmezni a tanulók képességei és az itemek nehézsége közötti összefüggéseket, hiszen nem ugyanazon a skálán mérjük őket. A tanulók képességei a pontszám vagy százalékos mérőszám növekedésével nőnek, az itemek nehézsége ezzel szemben csökken az őket megoldók számának növekedésével. Ezért a tanulók tudásának mérésére a pszichometriában különböző képességmodelleket (Rasch-modell, kétparaméteres, illetve háromparaméteres modell) alkalmaznak a nemzetközi és a hazai gyakorlatban. 1 Ezek közös tulajdonságai: tesztfüggetlen módon becsülhető velük a tanulók képessége, azaz egy ugyanolyan típusú, de más kérdéseket tartalmazó teszt alapján számítva a tanulók képességeit, közel azonos eredményeket kapnánk; mintafüggetlenné teszik az itemek nehézségét, azaz az adott populációból új reprezentatív mintát választva az itemek nehézsége hasonlóan alakul; linearizálják a képességet és az itemnehézséget, azaz egypontnyi képességkülönbség a skála minden pontján ugyanakkora mértékű tudásbeli különbséget jelez; közös skálára helyezik a tanuló képességét és az item nehézségét. Ezen tulajdonságok a képességmodelleket alkalmassá teszik arra is, hogy az azonos mérési területekre és a közös feladatok adta összekapcsolási lehetőségekre építve közös modellben becsüljék meg a különböző évfolyamok tanulóinak képességeit. Ezt a lehetőséget kihasználva, a mérési azonosító 2008-as bevezetésével és az évfolyamok közös feladatait felhasználva, a évi méréstől kezdődően új, évfolyamfüggetlen képességskálákat alkottunk. 2 A tesztfüggetlen és mintafüggetlen közös skálán a évfolyamos tanulók szövegértési képességeit, illetve matematikai eszköztudását oly módon tudjuk megadni, hogy a 6., a 8. és a 10. évfolyamos tanulók eredménye és a kétéves fejlődés is könnyen mérhetővé válik. A tesztelméleti modellek valószínűségi modellek, azaz a tanulók képességét nem olyan határként kell elképzelnünk, amely egyértelműen elválasztja a számára megoldható itemeket a megoldhatatlanoktól. A tanuló képességétől és a feladat paramétereitől függő 0 és 1 közötti érték adja a tanuló eredményességének valószínűségét az adott feladaton. Az általunk használt kétparaméteres modell minden tanulóhoz hozzárendel egy képességértéket (Ѳi), és ezzel párhuzamosan minden egypontos itemhez hozzárendel két paramétert: a nehézséget (bj) és a meredekséget (aj). A nehézség azt mutatja, hogy a képességskála mely részén helyezkedik el az item, a meredekség pedig azt, hogy az item megoldási valószínűsége milyen gyorsan növekszik a tanulók képességének növekedésével. 1 ROBERT L. BRENNAN (ed.): Educational Measurement: Fourth Edition (ACE/Praeger Series on Higher Education). Praeger Publishers, 2006; HORVÁTH GYÖRGY: Bevezetés a tesztelméletbe. Budapest, Az új skálák bevezetésének szakmai hátteréről bővebben a Változások az Országos kompetenciamérés skáláiban ismertetőben olvashatnak, amely elérhető a weboldalon. 190

193 8. ÉVFOLYAM A paraméterek ismeretében az i. tanuló eredményességének valószínűségét a j. item megoldásában a következő képlet adja: A 1. ábrán egy egypontos item megoldási valószínűségének változását láthatjuk a képesség függvényében. 1,2 1 Valószínűség 0,8 0,6 0,4 0,2 0 4,00 3,46 2,92 2,37 1,83 1,29 0,75 0,20 0,34 0,88 1,42 1,97 2,51 3,05 3,59 Képesség 0 pont elérésének valószínűsége 1 pont elérésének valószínűsége 1. ábra: Egypontos item megoldási valószínűsége Az item nehézsége itt az a pont, ahol a két görbe metszi egymást, azaz, ahol a tanuló sikerességének esélye 50 százalék. Egy nagyobb nehézségű, de ugyanilyen meredekséggel rendelkező item megoldási valószínűségét mutató ábra az itt bemutatott ábrától annyiban különbözik, hogy a görbék jobbra csúsznak a vízszintes tengely mentén, míg egy ugyanilyen nehézségű, de ennél nagyobb meredekséggel rendelkező item esetén a metszéspont koordinátái változatlanok maradnak, a görbék meredekebbek lesznek. A többpontos itemekhez a meredekségen és a nehézségen kívül minden 0-nál nagyobb pontszámhoz tartozik egy viszonylagos lépésnehézség (c jv ) is. Ekkor k pont elérésének a valószínűségét a következő képlettel kapjuk:, ahol m j a maximális pontszám, c j0 0 és. A nehézség, b j itt is az item elhelyezkedését mutatja a képességskálán, a c jv értékek pedig a lépések egymáshoz viszonyított nehézségét mutatják. Ezek nem feltétlenül növekvő sorrendben követik egymást, előfordulhat, hogy a második lépés könnyebb az elsőnél. Például elképzelhető olyan item, amelyre igaz, hogy ha valaki meg tudja oldani az item egypontos részét, akkor jó eséllyel a két pontot is meg tudja szerezni. A 2. ábrán egy kétpontos item pontszámainak valószínűségeit láthatjuk a képesség függvényében. 191

194 MATEMATIKA 2. ábra: Kétpontos item megoldási valószínűsége Többpontos itemek esetén az item nehézsége az a pont, amelyre a 0 és a maximális pontszám valószínűsége megegyezik, azaz ahol a két görbe metszi egymást; a viszonylagos lépésnehézségek pedig azon pontok előjeles távolságai a nehézségtől, amelyre az adott pontszám és az eggyel kisebb pontszám elérésének valószínűsége azonos. Feleletválasztós feladatokhoz a meredekségen és a nehézségen kívül tartozhat egy tippelési paraméter is. Az ilyen feladatoknál a tanuló akkor is adhat jó megoldást a kérdésre, ha nem tudja a jó választ, de tippeléssel a helyeset választja ki a lehetséges válaszok közül. Ennek valószínűsége az i. tanuló és a j. item esetén: g j (1 P ij (pontszám=1)), ahol g j annak a valószínűsége, hogy a tanuló helyesen tippel (függetlenül a képességeitől), (1 P ij (pontszám=1)) pedig annak a valószínűsége, hogy a tanuló nem tudja a jó választ. Ekkor annak a valószínűsége, hogy az i. tanuló a j. itemre helyes választ ad: P ij (pontszám=1) = g j (1 P ij (pontszám=1))+p ij (pontszám=1) = g j +(1 g j )P ij (pontszám=1), azaz a tanuló nem tudja a jó választ, de jól tippel, vagy a tanuló tudja a jó választ, így nincs szüksége tippelésre. A tippelési paraméter lehet, de ha a tanuló egy vagy több lehetőséget ki tud 1 a lehetséges válaszok száma zárni, akkor kevesebb válasz közül kell tippelnie, így a tippelési paraméter is lehet nagyobb. Ha a tippelési paraméter 0,3, az azt jelenti, hogy a tanulónak 30% esélye volt, hogy tippeléssel is jó választ adjon. Amelyik feleletválasztós feladatnál nem szerepel tippelési paraméter, ott a tippelés nem játszott nagy szerepet a feladat megoldásában, tekinthetjük nullának. Összegezve az eddigieket: az általunk számított képességértékek és itemparaméterek közös, lineáris skálán helyezkednek el. Jól értelmezhető az összefüggés közöttük, tetszőleges képességű tanuló és tetszőleges paraméterekkel rendelkező item esetén megadható, hogy az adott tanuló mekkora valószínűséggel oldja meg az adott itemet. A tanulói mérési azonosító bevezetésével a 2008-as évtől kezdődően vezettük be az évfolyamfüggetlen standard képességskálákat a szövegértés, illetve a matematikai eszköztudás területén. A standard pontok a képességek lineáris transzformációi. A standardizálás célja a viszonyítási pontok beállítása. Az évfolyamfüggetlen szövegértés és matematikaskálák standardizálásánál a évi 6. évfolyamos országos átlagot 1500, 192

195 8. ÉVFOLYAM a szórást 200 pontban rögzítettük a matematika és a szövegértés területén egyaránt. A 3. és 4. ábrán azt szemléltetjük, hogyan oszlanak meg a képességskálán a tanulók egy teszt esetén standardizálás előtt és után. Látható, hogy a tanulók egymáshoz viszonyított helyzete nem változik, csupán a skála cserélődik ki alattuk. Az ábrákon folytonos vonallal jelöltük az átlagot és szaggatott vonalakkal az átlagtól egyszórásnyira lévő pontokat Szórás = 0,9062 Átlag = 0,3983 N = Tanulók száma Képesség 3. ábra: A tanulók képességei standardizálás előtt Tanulók száma Szórás = 200 Átlag = 1500 N = Standard képességpontok 4. ábra: A tanulók képességei standardizálás után A képességpontok standardizálására az egyszerűbb összehasonlíthatóság kedvéért van szükség, hiszen többnyire a tanulók egyes csoportjainak egymáshoz, illetve a képességek átlagához viszonyított helyzetére vagyunk kíváncsiak, és ezek az összehasonlítások a standardizálás révén sokkal szemléletesebbé tehetők. Mivel a tanulók eloszlása a képességskálán rendszerint normális eloszlással jól közelíthető, elmondhatjuk, hogy körülbelül a tanulók fele az átlag alatt, fele az átlag felett található, és mintegy kétharmaduk van az átlag körüli, szórásnyi sugarú intervallumban. Tehát a standardizált képességskálán körülbelül a tanulók fele az országos átlag alatt és felett, kétharmada az országos átlag körüli, ±1 szórásnyi intervallumban helyezkedik el. Ezért például az 1500-as átlagú és 200-as szórású skála esetén, ha egy 6. évfolyamos tanuló 1520 pont körül teljesít, akkor kicsivel jobb képességű, mint egy átlagos 6. évfolyamos tanuló, ha pedig 1720 standard pontot ér el, akkor a 6. évfolyamos tanulók felső 20 százalékba tartozik. A 8. és 10. évfolyamos eredmények értelmezése valamivel bonyolultabb, hiszen ott figyelembe kell vennünk azt, hogy ezeken az évfolyamokon magasabb az átlageredmény, és kis mértékben a szórás is változik. 193

196 MATEMATIKA Az egyes területek itemei ugyanezen transzformáció segítségével szintén elhelyezhetők a skálán, így a tanulók és itemek közötti jól értelmezhető viszony is megmarad, az item megoldási valószínűségére felírt képletek érvényessége nem sérül. A 2008-as évfolyamfüggetlen skála kialakítása utáni évek mérési eredményeit az ország véletlenszerűen kiválasztott kb , illetve 8. évfolyamos, továbbá kb évfolyamos osztályában felvett változatlan és titkos tartalmú Core-teszt segítségével ugyanerre a skálára mértük. Ezzel a módszerrel az eredmények nem csak egy mérés különböző évfolyamain, de az egymást követő méréseken keresztül is egyszerűen összehasonlíthatók. Így ugyanannak a populációnak a 6., a 8. és a 10. évfolyamos eredménye is összevethető, akár tanulói szinten is követhető a fejlődés mértéke. Az item nehézségi szintje A diákok standard pontjai mellett az eredmények elemzésében fontos szerepet játszanak a szakmai és statisztikai szempontok alapján meghatározott tanulói képességszintek. Az itemek nehézségi szintjei és a hozzájuk kapcsolódó képességszintek a képességek egyfajta hierarchiáját jelzik. Azok a tanulók, akik elérnek egy szintet, természetesen nem csupán az azon a szinten elvárható képességekkel rendelkeznek, hanem az alsóbb szintekhez tartozó képességeknek is a birtokában vannak. Így például az a tanuló, aki a harmadik szinten teljesít, értelemszerűen a második és az első szint követelményeinek is megfelel. Egy adott szinten lévő tanuló várhatóan a szinthez tartozó kérdéseknek legalább a felére helyes választ ad. Fontos megérteni, hogy a képességskála folytonos, nincsenek rajta természetes osztópontok. A képességszintek bevezetése csupán abban segít, hogy a tanulókat képességük szerint kategóriákba sorolva meg tudjuk mondani, hogy legalább milyen képességeket tudhatnak magukénak a szintbe tartozók, és mi az, amiben elmaradnak a magasabb szinten található tanulóktól. A képességskálán meghúzott határvonalak segítségével tehát meghatározható, hogy az egyes határvonalakat elért tanulók milyen képességekkel rendelkeznek. Mind a szövegértési képességük, mind a matematikai eszköztudásuk alapján hét képességszintbe soroltuk be a diákokat. 3 A tanulók képességszintekbe sorolása több lépésből állt. A feladatok nehézségének megállapítása és a megoldáshoz szükséges műveletek meghatározása után a feladatok nehézségi szintekre osztása következett. A feladatok nehézségskáláján (ami megegyezik a tanulók képességskálájával) hat határpontot határoztunk meg a feladatok követelményeit is figyelembe véve, és ezáltal az itemeket a kialakított hét szint valamelyikébe soroltuk. Az első és a hetedik szint csak egy oldalról határolt, a határpontokat tudatosan úgy határoztuk meg, hogy a többi szint intervalluma azonos hosszúságú legyen. Ezt követően egy-egy szint feladatainak megoldásához szükséges műveleteket összesítve és általánosítva meghatároztuk az adott szint követelményrendszerét. A tanulók képességszintjét azon elv alapján határoztuk meg, hogy egy adott szint (pl. a 2. szint) leggyengébb tanulója várhatóan 50 százalékos eredményt érjen el az adott szintű (pl. 2. szintű) azonos meredekségű, nehézségük szerint egyenletesen megoszló feladatokból összeállított teszten. Tehát a tanuló szintje az a legmagasabb szint, amely szint feladatainak legalább a felét megoldaná képessége alapján. Ez az elv használható a 2. szinttől a 6. szintig, de a két szélső szintnél nem, hiszen azoknál nem intervallum, hanem félegyenes tartalmazza a szint itemeit. Ezért ezekben az esetekben a tanulókra vonatkozó szint alsó határpontjának kiszámítása úgy történik, hogy a többi szint szélességét (például tanulók 2. szintjének alsó és felső határpontja közötti távolságot) mérjük fel a 2. szint alsó határától balra, illetve a 6. szint alsó határától jobbra, a képességskála ezen pontjai lettek a tanulók 1., illetve 7. szintjének alsó határpontjai. Ily módon a képességskálát végül 3 A szintek meghatározása a PISA 2000 vizsgálatban használt módszerrel történt. 194

197 8. ÉVFOLYAM 8 részre osztottuk, a hét szint mellett az 1. szinttől balra található még egy félegyenes, amely az 1. szint alatti tanulókat tartalmazza, ők a teszten elért eredményeik alapján még az 1. szint követelményeinek sem tettek eleget. Képességeikről, ismereteik természetéről nem kaphatunk átfogó képet, tudásuk megragadására a kompetenciamérésben használt tesztfeladatok nem alkalmasak. Az 5. és 6. ábra szemléletesebb képet ad a szintek kialakításának folyamatáról, bemutatva a szövegértés és a matematika teszt képességszintjeit. Segítségével az is jól látható, hogy a szinthatárok az itemek és a tanulók esetében nem egyeznek meg, ami a tanulókra vonatkozó követelményekből természetes módon adódik. ITEMEK SZINTJEI 1. szint 2. szint 3. szint 4. szint 5. szint 6. szint szint DIÁKOK SZINTJEI 1. szint alatt 1. szint 2. szint 3. szint 4. szint 5. szint 6. szint 7. szint Az 1. szint alsó határát úgy kaptuk, hogy két szomszédos szint alsó határa közötti távolságot vettük alapul. A 2 6. szintek alsó határát úgy kapjuk meg, hogy az adott itemekre vonatkozó szint intervallumának felezőpontját vesszük. Az 7. szint alsó határát úgy kaptuk, hogy két szomszédos szint alsó határa közötti távolságot vettük alapul. 5. ábra: A szintkialakítás folyamata matematikából ITEMEK SZINTJEI 1. szint 2. szint 3. szint 4. szint 5. szint 6. szint szint DIÁKOK SZINTJEI 1. szint alatt 1. szint 2. szint 3. szint 4. szint 5. szint 6. szint 7. szint Az 1. szint alsó határát úgy kaptuk, hogy két szomszédos szint alsó határa közötti távolságot vettük alapul. A 2 6. szintek alsó határát úgy kapjuk meg, hogy az adott itemekre vonatkozó szint intervallumának felezőpontját vesszük. Az 7. szint alsó határát úgy kaptuk, hogy két szomszédos szint alsó határa közötti távolságot vettük alapul. 6. ábra: A szintkialakítás folyamata szövegértésből 195

198 MATEMATIKA Az egyes kódok előfordulási aránya Az eredmények feldolgozásához a nyílt végű itemekre adott válaszokat a Javítókulcsban leírtaknak megfelelően kódoltuk, a feleletválasztós itemek esetében pedig az A, B, C, D és E válaszlehetőségeket rendre az 1, 2, 3, 4 és 5 kódokkal jelöltük. Nyomdahiba esetén x, nem egyértelmű válasz esetén 8-as, hiányzó válasz esetén pedig 9-es kódot alkalmaztunk. Az adott item lehetséges kódjainak megoszlását az adott évfolyam diákjai körében minden item esetében egy ábrán szemléltetjük, amely azt mutatja, hogy a diákok hány százaléka kapta az adott kódot. Ezek az értékek a kötet mellékletében táblázatos formában is szerepelnek. Az item lehetséges kódjainak pontbiszeriális korrelációja Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációja (angolul: point biserial correlation) az adott kód előfordulása és a képességpontok közötti korreláció. Értékének kiszámításához egy olyan indikátorváltozót képezünk, amelynek értéke 1 azoknak a diákoknak az esetében, akik az adott kódot kapták a vizsgált itemre, és egyébként 0, majd e változó és a diákok képességpontja közötti hagyományos Pearson-féle korreláció a keresett pontbiszeriális korreláció az adott item adott kódjára. A korreláció a két változó közötti lineáris kapcsolat mutatója, értéke 1 és 1 közötti, negatív abban az esetben, ha a két változó ellentétes irányban mozog (az egyik változó nagyobb értékei a másik változó kisebb értékeivel járnak együtt), és pozitív abban az esetben, ha a két változó együtt mozog (az egyik változó nagyob b értékei a másik változó nagyobb értékeivel járnak együtt). A pontbiszeriális korreláció pozitív értéke azt mutatja tehát, hogy a jobb képességű diákok, negatív értéke pedig azt, hogy a gyengébb képességű diákok kapták inkább az adott kódot. Egy item akkor illeszkedik a teljes teszt által mérni kívánt mögöttes szövegértési vagy matematikai képességskálára, ha a jó válasz pontbiszeriális korrelációja pozitív (legalább 0,2), a rossz válaszok pontbiszeriális korrelációja pedig negatív. Ez jelenti azt ugyanis, hogy a jó eredményt elért diákok nagyobb valószínűséggel oldották meg a feladatot gyengébb eredményt elért társaiknál. Többpontos feladatok vonatkozásában akko r megfelelő az item viselkedése, ha a kisebb pontszámot érő kódok mellett a pontbiszeriális korreláció is kisebb értéket vesz fel. Például egy kétpontos item esetében ideális esetben a 2-es kód pontbiszeriális korrelációja nagyobb értéket vesz fel, mint az 1-es kód pontbiszeriális korrelációja, és a 0 pontot érő kódok pontbiszeriális korrelációi a legkisebbek. Az adott item lehetséges kódjainak pontbiszeriális korrelációját az adott évfolyam diákjai körében minden item esetében egy-egy ábrán szemléltetjük. Ezek az értékek a kötet mellékletében táblázatos formában is szerepelnek. Az item százalékos megoldottsága országosan és településtípusonként, valamint az egyes tanulói képességszinteken A fenti jellemzőkön kívül táblázatos formában bemutatjuk minden egyes item esetén az item százalékos megoldottságát országosan, az egyes településtípusok esetében, valamint az egyes képességszintekhez tartozó diákok körében. A százalékos megoldottság mellett a becslés hibáját is feltüntettük. Ezek az értékek a kötet mellékletében táblázatos formában is szerepelnek. 196

199 8. ÉVFOLYAM 2. melléklet: Tartalmi területek és gondolkodási műveletek Tartalmi területek Gondolkodási műveletek 1. MENNYISÉGEK, SZÁMOK, MŰVELETEK (M) 1.1 Számok számegyenes intervallum számok felbontása, helyi érték törtek (közönséges és tizedes törtek, ekvivalencia, összehasonlítás, egyszerűsítés, vizuális megjelenítés stb.) normálalak* 1.2 Számítások, műveletek műveletsor (pl. felírás, elvégzés, hatvány*, négyzetgyök*, kerekítés**), számításhoz szükséges adatok százalékérték kiszámítása, százalékos arány tört vagy vizuális megjelenítés megfeleltetése arányszámítás 1-hez viszonyítva méretarány 1-hez viszonyítva (mért vagy megadott adatokkal) számítások geometriai alakzatokkal (pl. kerület, terület, felszín, térfogat, Pitagorasz-tétel***) behelyettesítés átrendezés nélkül 1.3 Mérés skála (leolvasás, berajzolás, pl. mérleg, óra) mennyiségek összehasonlítása mértékegység-átváltás számolás idővel (időzóna is) 1.4 Oszthatóság közös osztó, közös többszörös (közös osztó meghatározása, közös többszörös meghatározása) maradékok vizsgálata, oszthatósági szabályok * Csak a 8. és a 10. évfolyamon. ** A matematika szabályai szerint vagy a szituációnak megfelelően. *** Csak a 8. és a 10. évfolyamon. 3. ALAKZATOK, TÁJÉKOZÓDÁS (A) 3.1 Síkbeli alakzatok geometriai tulajdonságok ismerete (pl. négyzet átlója, háromszög szögei, szabályos és nem szabályos sokszögek szögei, átlói, kör) síkbeli transzformációk: egybevágóság* (tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás, elforgatás), szimmetria, hasonlóság** (arányok), minta kiegészítése síkidomok kerülete, területe (pl. becslés, átdarabolás, lefedés, paraméterek közötti kapcsolat) 3.2 Térbeli alakzatok, dimenziók test ábrázolása (nézet, háló, alkotóelemek stb.) befoglaló test*** térbeli transzformációk (elforgatás, eltolás, hasonlóság, síkra vonatkozó tükrözés ) testek paramétereinek és felszínének, illetve térfogatának kapcsolata 3.3 Tájékozódás irányok, égtájak látószög vizsgálata helymeghatározás koordináta-rendszerekben (pl. sakktábla, földgömb, Descartes-féle koordináta-rendszer, szintvonalas térkép) * A tengelyes tükrözés mindhárom évfolyamon megjelenik, a többi transzformáció 6. évfolyamon csak szemlélet alapján. ** Csak a 10. évfolyamon, szemlélet alapján a 6. és a 8. évfolyamon is. *** Olyan test, amelynek minden dimenziója nagyobb egy adott térbeli alakzat megfelelő dimenzióinál (pl. adott méretű tárgyhoz megfelelő méretű doboz kiválasztása). Transzformációk eredményének felismerése, azonosítása szemlélet alapján. Szemlélet alapján. 2. HOZZÁRENDELÉSEK, ÖSSZEFÜGGÉSEK (H) 2.1 Mennyiségek egymáshoz rendelése (táblázat, függvény, diagram, gráf stb., nem statisztikai adat) összefüggések leolvasása (érték, meredekség, folytatás, értelmezés stb.) összefüggések ábrázolása (pl. grafikonon, gráfon), ábrázolás vizsgálata hozzárendelési szabály (megadás, alkalmazás, paraméterezés, általános képlet stb.) változók közötti kapcsolat 2.2 Arányosság (egyenes és fordított arányosság*, olyan arányossági feladatok, amelyeknél az aránypár egyik tagja sem 1) számok, mennyiségek aránya (nem 1-hez viszonyítva) méretarány nem 1-hez viszonyítva (mért vagy megadott adatokkal) százalékalap és százalékláb kiszámítása 2.3 Paraméter-algebra formulákkal, képletekkel végzett műveletek átrendezéssel egyenlet, egyenlőtlenség (felírás, megoldás) 2.4 Sorozatok szabálykövetés következő elem meghatározása szabálykövetés adott sorszámú elem meghatározása, adott elem sorszámának meghatározása sorozat elemeinek összege** * Csak a 8. és a 10. évfolyamon. ** Összegképlet alkalmazása nélkül is megoldható feladatok. 4. STATISZTIKAI JELLEMZŐK, VALÓSZÍNŰSÉG (S) 4.1 Statisztikai adatgyűjtés táblázatból/diagramról (adat leolvasás, adat-összehasonlítás (pl. legkisebb, leg nagyobb, eltérés), adatértelmezés, adatelemzés) 4.2 Statisztikai adatábrázolás, adatok megfeleltetése (különböző formában (pl. szöveg, táblázat, diagram) megadott statisztikai adatok megjelenítése, megfeleltetése) 4.3 Statisztikai számítások (pl. átlag (számtani közép, súlyozott átlag), medián*, terjedelem, leggyakoribb elem) 4.4 Statisztikai módszerek (pl. eljárás megadása, értelmezése, alkalmazása, elemzése, szükséges adatok, statisztikai ábrázolás alapján megállapítható statisztikai jellemzők) 4.5 Valószínűség-számítás (biztos, lehetetlen, lehetséges események, esély, valószínűbb, kevésbé valószínű, gyakoriság, relatív gyakoriság stb.) 4.6 Kombinatorika** (összeszámlálás) 4.7 Eseménygráfok (élek összeszámlálása, utak) 4.8 Halmazok (halmazműveletek és tulajdonságaik) 4.9 Logikai ismeretek (logikai értékek, logikai műveletek) * Csak a 8. és a 10. évfolyamon. ** A 6. évfolyamon csak kis elemszámmal. 197

200 MATEMATIKA Gondolkodási műveletek 1. TÉNYISMERET ÉS EGYSZERŰ MŰVELETEK Egy tartalmi területről származó egy vagy több egyértelmű lépés végrehajtása 1.1 Egyszerű matematikai definíciók, alapfogalmak (pl. számok, műveletek, mértékegységek, geometriai alakzatok, terület) jellemzőinek felidézése. Osztályozás, halmazba sorolás ismert tulajdonság szerint (pl. matematikai objektumok csoportosítása közös tulajdonság alapján, beletartozás vizsgálata). 1.2 Adott tulajdonságú matematikai objektumok (pl. alakzatok, számok, kifejezések), valamint ekvivalens matematikai objektumok azonosítása (pl. törtek vagy százalékos arányok grafikus szemléltetése). 1.3 Műveletek eredményének felismerése (pl. nézet, tükörkép azonosítása, ismert geometriai alakzat hálójának felismerése). 1.4 Számítások, műveletek végrehajtása (alapműveletek és alapműveletek kombinációinak végrehajtása, [paraméteres] kifejezések, képletek értékének kiszámítása [átrendezés nélkül], százalékérték kiszámítása, [nem súlyozott] átlag kiszámítása, mennyiség adott arány szerinti változtatása, algebrai kifejezések egyszerűsítése, bővítése, maradékok vizsgálata, geometriai műveletek, gráfon utak, csúcsok összeszámlálása stb.). 1.5 Mérés, mértékegységek (pl. leolvasás mérőeszközökről, mértékegység-átváltás [ismert váltószámmal, pl. óra, szögperc], mérési becslések). 1.6 Adatgyűjtés leolvasással (pl. grafikonról, táblázatból, skáláról). Adott tulajdonságú adat, adatsor megtalálása, leolvasott adatokkal végzett egylépéses számítások, egylépéses számítások eredményének kikeresése. 3. KOMPLEX MEGOLDÁSOK ÉS ÉRTÉKELÉS Komplex problémák megoldásai és az eredmények értékelése 3.1 Komolyabb értelmezést igénylő szituációban megjelenő jel legzetességek felismerése, elemzése (pl. adatsorok, statisz tikai ábrázolások vizsgálata, elemzése), összefüggések értelmezése. 3.2 Komolyabb értelmezést igénylő szituációban többféle művelet, információ kombinálása. 3.3 Adatok, információk megjelenítése, önálló ábrázolása (táblázatban, diagramon, grafikonon vagy egyéb módon) az ábrázolási forma önálló megválasztásával. Ábrázolt érték alapján skála megtalálása és a további értékek ábrázolása. 3.4 Műveletek végrehajtásával nyert adatok megjelenítése, áb rázolása táblázatban, diagramon, grafikonon vagy egyéb módon. 3.5 Állítások, feltételezések, módszerek, bizonyítások igazságának, érvényességének értékelése matematikai indoklással. 3.6 Saját megoldási módszerek újszerű problémára, a módszer ismertetése. 2. ALKALMAZÁS, INTEGRÁCIÓ Ismert módszerek vagy azok kombinációjának kiválasztása és alkalmazása 2.1 Jól definiált adatok, információk megjelenítése, leolvasása, ábrázolása táblázatban, diagramon, grafikonon (adott tengelyek, beosztás), rajzon, gráffal stb. 2.2 Szabályok, összefüggések felismerése és ismertetése szövegesen vagy matematikai szimbólumokkal, vagy szabály felismerése és alkalmazása, szituációhoz tartozó összefüggés megadása. Döntéshozatalhoz szükséges adatok kiválasztása. 2.3 Ismert eljárások, szabályok, algoritmusok kiválasztása és alkalmazása (pl. százalékalap, százalékláb kiszámítása*, arányszámítás, jól definiált szöveges információ/paraméteres kifejezések alapján összetettebb műveletsor végrehajtása, átrendezése, Pitagorasz-tétel alkalmazása**, kombinatorikai, valószínűség-számítási módszerek alkalmazása***, egyenletmegoldás, geometriai transzformációk végrehajtása, terület lefedése/térfogat kitöltése alakzatokkal, közös osztó, közös többszörös megtalálása, halmazműveletek alkalmazása, eligazodás gráfokon, befoglaló test megtalálása, receptes feladatok megoldása). 2.4 Többféle eljárás, művelet és információ kombinálása, összekapcsolása (pl. ábrázolt információk leolvasás utáni felhasználása valamilyen további problémamegoldáshoz, megkülönböztetett lapú test hálójának felismerése [pl. betűkocka], ki-kinek-mennyivel tartozik típusú feladatok). * Csak a 8. és a 10. évfolyamon. ** Csak a 8. és a 10. évfolyamon. *** 6. évfolyamon csak kis elemszámú problémák. 198

201 8. ÉVFOLYAM 3. melléklet: Az itemek jellemzői 199

202 MATEMATIKA Azonosító Feladatcím Tartalmi terület Gondolkodási művelet ML99301 Autóteszt - Mennyi az autó összpontszáma? Mennyiségek, számok, műveletek Tényismeret és egyszerű műveletek 1.4 ML19701 Naprendszermakett - A táblázat adatai alapján melyik bolygó makettjét készítette el? Hozzárendelések, összefüggések Alkalmazás, integráció 2.3 ML11401 Tükrözés - Melyik mutatja helyesen, hogyan kell tartania Líviának a tükröt, hogy? Alakzatok, tájékozódás Tényismeret és egyszerű műveletek 1.3 ML24701 Nagy Buddha-szobor - Hány MÉTER magas a szobor, ha Józsi magassága 170 cm? Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.4 ML21902 Kisvendéglő - 2. Melyik az a LEGKISEBB térfogatú, téglatest alakú doboz, amelyben? Alakzatok, tájékozódás Alkalmazás, integráció 2.3 ML08002 Szoftverletöltés - Hány zed bevétele volt összesen a cégnek? Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.4 ML18901 Designóra - Rajzold be a három lámpa helyét! Alakzatok, tájékozódás Komplex megoldások és értékelés 3.1 MH07301 Rozmárok - Írj le részletesen egy matematikai módszert arra! Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.4 Komplex megoldások és értékelés 3.6 ML14101 Homokóra - A következő ábrák közül melyik mutatja helyesena 10 perc elteltét? Mennyiségek, számok, műveletek Komplex megoldások és értékelés 3.1 ML07301 Látás - 1. Állapítsd meg, melyik látja be a legnagyobb területet? Alakzatok, tájékozódás Tényismeret és egyszerű műveletek 1.2 ML07302 Látás - 2. Melyik állat látótere nincs ábrázolva? Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.2 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.2 ML09601 Szobrok - 1. Melyik szoborhoz tartozó oszlop HIÁNYZIK a diagramról? Hozzárendelések, összefüggések Komplex megoldások és értékelés 3.1 ML09602 Szobrok - 2. Hány méter magas volt a rodoszi kolosszus a talapzattal együtt? Mennyiségek, számok, műveletek Tényismeret és egyszerű műveletek 1.5 ML12401 Régészeti lelőhely - Hol helyezkedik el a tábor a kúthoz és a barlanghoz képest, ha? Alakzatok, tájékozódás Komplex megoldások és értékelés 3.3 ML07803 Futás - Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.1 Alkalmazás, integráció 2.4 ML01701 Fitneszbérlet - Melyik bérlettípus lenne számára az olcsóbb, ha...? Mennyiségek, számok, műveletek Komplex megoldások és értékelés 3.2 ML19002 Dinoszaurusz - 2. A táblázat és a lábnyom alapján melyik fajhoz tartozik a lelet? Hozzárendelések, összefüggések Alkalmazás, integráció 2.4 ML26901 Sári útja - Írd a diagramok alá a következő szituációk közül annak a sorszámát! Hozzárendelések, összefüggések Alkalmazás, integráció 2.2 ML22201 Villamos hálózat - A felsorolt évek közül melyikben fogják ellenőrizni majd a hálózatot? Mennyiségek, számok, műveletek Tényismeret és egyszerű műveletek 1.4 ML99201 Arcok - Melyik arcdiagram készült a táblázat adatai alapján? Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.2 Alkalmazás, integráció 2.1 ML22501 Rádió - Jelöld X-szel a fenti skálán a Dió Rádió frekvenciáját! Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.1 ML24801 Órabér - Hány zed Gábor ÓRABÉRE, ha egy hét alatt 9720 zedet keres? Hozzárendelések, összefüggések Alkalmazás, integráció 2.3 ML23001 Jótékonysági mérkőzés - Hány forint támogatás gyűlt össze? Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.3 MJ33801 Minta - Hány darab minta kell a medence díszítéséhez? Alakzatok, tájékozódás Alkalmazás, integráció 2.4 ML12602 Gyöngyhímzés - Legfeljebb hány pénztárcát tud elkészíteni, ha...? Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.4 ML27601 Iskolai foci - 1. Melyik osztály lőtte eddig a legtöbb gólt és hány gólt lőttek? Hozzárendelések, összefüggések Tényismeret és egyszerű műveletek 1.6 ML27602 Iskolai foci - 2. Melyik szemlélteti helyesen az eddig lejátszott mérkőzéseket? Hozzárendelések, összefüggések Tényismeret és egyszerű műveletek 1.2 MJ34701 Vitorlásverseny - Add meg a cél koordinátáit a koordináta-rendszer segítségével! Alakzatok, tájékozódás Alkalmazás, integráció 2.4 ML22001 Parkoló - 1. Melyiket válassza Botond, hogy a legrövidebb legyen? Mennyiségek, számok, műveletek Tényismeret és egyszerű műveletek 1.5 ML22002 Parkoló - 2. Hány zedet kell fizetnie a parkolásért? Mennyiségek, számok, műveletek Tényismeret és egyszerű műveletek 1.4 ML09001 Padlócsiszoló - Melyik összefüggés írja le helyesen? Hozzárendelések, összefüggések Alkalmazás, integráció 2.2 ML17101 Földrengés - 1. Olvasd le, hogy az ábrázolt időszakban mikor rengett legerősebben a föld! Hozzárendelések, összefüggések Komplex megoldások és értékelés 3.1 ML19601 Motorosbajnokság - Legalább milyen helyezést kell elérnie? Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.9 Alkalmazás, integráció 2.4 ML21101 Konferenciabeszélgetés - BUDAPESTI IDŐ SZERINT mikor tudnak megtartani? Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.3 ML17901 Síugrás - Sorold fel, mely versenyzők ugrottak a K-vonalnál messzebbre ezen a sáncon! Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.1 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.6 ML26401 Gazdasági szerkezet II. - Melyik pont jelöli a diagramon Észak-Koreát? Alakzatok, tájékozódás Komplex megoldások és értékelés 3.1 ML15901 Testmagasság - Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! Hozzárendelések, összefüggések Tényismeret és egyszerű műveletek 1.6 ML17001 Foglalás - Melyik 5 egymást követő éjszakára foglaljon szállást a társaság? Mennyiségek, számok, műveletek Komplex megoldások és értékelés 3.1 MJ01701 Kirakós I. - Helyezd el mind a 4 alakzatot egy négyzethálón úgy, hogy ne fedjék egymást! Alakzatok, tájékozódás Alkalmazás, integráció 2.3 ML06601 Nyomtatópatron I. - Mennyit fognak fizetni, ha 1 nyomtatópatron ára 6450 Ft? Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.3 ML25901 Növekedés - Melyik növény növekedési ütemét ábrázolhatja a grafikon? Hozzárendelések, összefüggések Alkalmazás, integráció 2.2 MH14801 Színezés - Satírozd be annak az ábrának a betűjelét, amelyet Robi HIBÁSAN színezett! Alakzatok, tájékozódás Tényismeret és egyszerű műveletek 1.2 ML24301 Dobóátlag - Kinél lesz jobb asikeres dobások aránya ezekkel a dobásokkal együtt? Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.4 Komplex megoldások és értékelés 3.1 ML05901 Múzeumi belépőjegy - Mennyibe kerül a Helytörténeti kiállítás és a Látványmanufaktúra? Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.4 ML14501 Óra - Mennyi az idő az óra szerint? Alakzatok, tájékozódás Tényismeret és egyszerű műveletek 1.3 ML09201 Érdemjegy - Lehet-e még 4-es a félévi jegye? Hozzárendelések, összefüggések Komplex megoldások és értékelés 3.2 ML12701 Hóakadály - Döntsd el, hogy a következő települések melyikéből lehet! Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.7 Alkalmazás, integráció 2.3 ML13601 Benzinkút - Satírozd be a fenti ábrán, meddig ér a benzin szintje a rekeszekben, ha! Mennyiségek, számok, műveletek Komplex megoldások és értékelés 3.2 ML27101 Színházjegy - Jelöld az ábrán X-szel Marci ülőhelyét! Alakzatok, tájékozódás Alkalmazás, integráció 2.1 ML21701 Fizetés - Melyikkel határozható meg Csaba havi fizetése (F), ha? Hozzárendelések, összefüggések Alkalmazás, integráció 2.2 ML26601 Koncert - A következő ábrán látható vonalakon NYÍLLAL JELÖLD, hogy! Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.4 ML18701 Mérőedény - Melyik betűvel jelölt szint mutatja helyesen? Alakzatok, tájékozódás Alkalmazás, integráció 2.4 ML25801 Bambusz I. - Melyik írja le legpontosabban, hogyan változott? Hozzárendelések, összefüggések Alkalmazás, integráció 2.2 ML08501 Sportesemények - LEGKÖZELEBB hány év múlva fognak a városban? Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.3 ML25001 Pizzarendelés -Ennek alapján LEGKÉSŐBB mikor fogják megkapni a pizzájukat, ha? Mennyiségek, számok, műveletek Tényismeret és egyszerű műveletek 1.4 ML03701 Pára - Hogyan írja Juli az üzenetet az ablaküveg BELSŐ OLDALÁRA úgy, hogy...? Alakzatok, tájékozódás Tényismeret és egyszerű műveletek táblázat: Az itemek besorolása 200

203 8. ÉVFOLYAM Azonosító Standard meredekség Standard nehézség 1. lépésnehézség 2. lépésnehézség Tippelési paraméter Becslés Standard hiba Becslés Standard hiba Becslés Standard hiba Becslés Standard hiba Becslés Standard hiba Százalékos megoldottság teljes populáció ML ,0037 0, ,4 79,6 0,12 ML ,0038 0, ,1 65,3 0,15 ML ,0024 0, ,8 77,2 0,15 ML ,0024 0, , ,2 0,13 ML ,0044 0, ,3 0,09 0,01 25,6 0,15 ML ,0041 0, ,1 66,7 0,15 ML ,0021 0, , ,7 0,13 MH ,0051 0, ,6 10,6 0,10 ML ,0034 0, ,5 0,10 0,01 38,6 0,15 ML ,0031 0, ,6 80,7 0,14 ML ,0027 0, ,7 76,4 0,15 ML ,0018 0, ,4 0,17 0,05 48,2 0,15 ML ,0048 0, ,6 66,5 0,14 ML ,0053 0, ,4 0,15 0,01 64,0 0,17 ML ,0027 0, ,8 64,8 0,16 ML ,0060 0, ,7 11,7 0,11 ML ,0017 0, ,4 58,4 0,15 ML ,0032 0, ,5 57,3 0,15 ML ,0038 0, ,9 74,3 0,16 ML ,0030 0, ,9 69,2 0,16 ML ,0038 0, ,1 45,6 0,14 ML ,0028 0, ,9 67,0 0,14 ML ,0057 0, ,9 0,30 0,01 59,8 0,16 MJ ,0046 0, ,7 15,3 0,11 ML ,0052 0, ,6 31,2 0,14 ML ,0034 0, ,4 60,0 0,16 ML ,0035 0, ,7 0,09 0,02 39,1 0,17 MJ ,0041 0, ,8 36,0 0,16 ML ,0022 0, ,5 67,5 0,15 ML ,0037 0, ,7 79,0 0,13 ML ,0029 0, ,8 67,9 0,14 ML ,0020 0, ,5 69,6 0,13 ML ,0037 0, ,3 0,16 0,04 59,2 0,16 ML ,0024 0, ,6 65,8 0,16 ML ,0040 0, ,3 76,5 0,14 ML ,0025 0, ,4 71,4 0,15 ML ,0028 0, ,1 73,2 0,14 ML ,0041 0, ,8 30,2 0,15 MJ ,0020 0, ,3 35,1 0,15 ML ,0040 0, , ,6 0,14 ML ,0035 0, ,2 0,30 0,03 54,0 0,16 MH ,0021 0, ,0 76,9 0,14 ML ,0054 0, ,6 9,3 0,09 ML ,0052 0, ,1 42,0 0,14 ML ,0024 0, ,7 83,1 0,12 ML ,0047 0, ,1 20,1 0,13 ML ,0037 0, ,3 83,5 0,11 ML ,0046 0, ,7 14,9 0,13 ML ,0015 0, ,0 67,1 0,16 ML ,0072 0, ,6 0,27 0,01 52,2 0,16 ML ,0022 0, , ,1 0,13 ML ,0020 0, ,4 28,3 0,18 ML ,0029 0, ,4 0,17 0,03 55,6 0,16 ML ,0033 0, ,4 55,2 0,15 ML ,0028 0, ,5 64,0 0,15 ML ,0018 0, ,7 71,1 0,14 2. táblázat: Az itemek statisztikai jellemzői % Standard hiba 201

204 MATEMATIKA Az egyes kódok előfordulási aránya (%) Azonosító 0-s kód 1-es kód 2-es kód 3-as kód 4-es kód 5-ös kód 6-os kód 7-es kód 8-as kód 9-es kód ML ML ML ML ML ML ML MH ML ML ML ML ML ML ML ML ML ML ML ML ML ML ML MJ ML ML ML MJ ML ML ML ML ML ML ML ML ML ML MJ ML ML MH ML ML ML ML ML ML ML ML ML ML ML ML ML ML táblázat: Az itemek lehetséges kódjainak megoszlása 202

205 8. ÉVFOLYAM Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Azonosító 0-s kód 1-es kód 2-es kód 3-as kód 4-es kód 5-ös kód 6-os kód 7-es kód 8-as kód 9-es kód ML ,10 0,31 0,18 0,43 0,12 0,02 0,09 ML ,18 0,31 0,23 0,50 0,02 0,10 ML ,36 0,15 0,17 0,16 0,04 0,17 ML ,25 0,04 0,43 0,34 ML ,15 0,01 0,16 0,33 0,10 0,02 0,10 ML ,22 0,49 0,02 0,42 ML ,26 0,01 0,40 0,15 0,27 MH ,12 0,05 0,39 0,05 0,08 0,38 ML ,22 0,35 0,11 0,07 0,00 0,02 0,14 ML ,29 0,14 0,13 0,38 0,03 0,09 ML ,16 0,16 0,37 0,26 0,03 0,10 ML ,03 0,20 0,23 0,11 0,12 0,03 0,10 ML ,15 0,06 0,54 0,48 ML ,29 0,18 0,23 0,51 0,05 0,18 ML ,38 0,41 0,13 ML ,33 0,46 0,20 0,16 ML ,16 0,21 0,27 0,00 0,03 0,16 ML ,22 0,46 0,38 ML ,22 0,17 0,19 0,10 0,44 0,04 0,19 ML ,19 0,22 0,44 0,15 0,10 0,05 0,16 ML ,16 0,51 0,14 0,37 ML ,15 0,25 0,44 0,16 0,03 0,18 ML ,14 0,45 0,21 0,20 0,02 0,19 MJ ,03 0,44 0,14 0,10 0,05 0,44 ML ,11 0,59 0,03 0,02 0,02 0,46 ML ,24 0,04 0,45 0,13 0,25 ML ,42 0,19 0,15 0,05 0,01 0,17 MJ ,14 0,03 0,51 0,40 ML ,15 0,26 0,35 0,09 0,02 0,09 ML ,27 0,28 0,44 0,14 0,02 0,10 ML ,43 0,22 0,22 0,16 0,02 0,14 ML ,21 0,32 0,12 0,02 0,22 ML ,30 0,20 0,45 0,07 0,07 0,04 0,11 ML ,10 0,13 0,38 0,20 0,20 0,01 0,10 ML ,24 0,47 0,38 ML ,15 0,20 0,37 0,16 0,09 0,04 0,13 ML ,37 0,39 0,10 ML ,11 0,50 0,36 MJ ,32 0,30 0,13 0,21 ML ,20 0,13 0,55 0,46 ML ,30 0,22 0,12 0,03 0,02 0,12 MH ,05 0,31 0,20 0,14 0,04 0,19 ML ,31 0,39 0,18 0,05 0,13 ML ,12 0,59 0,04 0,50 ML ,19 0,30 0,12 0,12 0,02 0,13 ML ,30 0,50 0,10 0,05 0,21 ML ,35 0,40 0,17 ML ,04 0,03 0,45 0,00 0,37 ML ,04 0,22 0,05 0,31 ML ,09 0,47 0,25 0,14 0,11 0,03 0,19 ML ,14 0,09 0,44 0,03 0,30 ML ,12 0,15 0,01 0,27 0,01 0,11 ML ,21 0,22 0,36 0,04 0,03 0,16 ML ,11 0,15 0,35 0,48 0,05 0,02 0,13 ML ,02 0,16 0,23 0,18 0,39 0,02 0,12 ML ,30 0,17 0,14 0,09 0,05 0,12 4. táblázat: Az item lehetséges kódjainak pontbiszeriális korrelációja 203

206